6 排队论教学目的与要求

通过对本章的学习，使学生了解在增添物流服务设备时，就要增加投资或发生空闲浪费；减少物流服务设备，物流排队现象就会严重。排队论的任务就是如何在这两者之间取得平衡。在熟悉和掌握排队论基本概念和基本模型的基础上，最终能够运用排队论的方法对物流管理中的设备投资和排队问题进行分析、建模并求解 ,以期提高服务质量，降低成本。

排队论（ Queueing Theory ） 也称随机服务系统理论， 是数学运筹学的重要分支学科。它是研究服务系统中排队现象随机规律的学科，广泛应用于计算机网络、生产、运输、库存等各项资源共享的随机服务系统。物流排队论研究的内容有三个方面：物流统计推断，根据资料建立模型；物流系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；物流系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个物流服务系统，使之发挥最佳效益。

6 排队论

6.1 排队问题的提出

6.2 排队论基本概念

6.3 到达间隔分布和服务时间分布

6.4 简单的排队系统模型

◎ 知识归纳

◎ 习题与思考题

6.1 排队问题的提出

6.1.1 排队论概述

排队论应用范围极广，排队论究竟包括什么内容是一件很难说清楚的事。简单地说，排队论所讨论的是一个系统对某一群体提供某种服务时该群体占用此服务系统时所呈现的状态。在界定排队问题中，必须交代清楚的事项包括： （ 1 ）群体到达系统的情况； （ 2 ）系统对群体中各个分子提供服务时花去的时间的长短； （ 3 ）系统提供服务的先后次序。 到达系统的个体称作“顾客”，提供服务的系统可由一个或一个以上的“服务台”组成，“服务时间”相当于顾客占用服务台的时间，而服务台对顾客们提供服务的次序则称作“排队规则”。服务系统的状态通常是以顾客留在服务系统上的数量来表示，这个数量称作“队列长度” ( 简称为“队长” ) ，有时也以顾客停留在系统上的时间表示，这段时间称作“等待时间”。等待时间由两个部分组成，其一为顾客等候使用服务台的“延误时间”；其二为占用服务台的时间，也即服务时间。由于排队论是讨论有关顾客在服务系统上的活动情形，因而排队论有时也称为“随机服务系统”或称作“拥挤理论”。现代排队论起源于 19 世纪末 20 世纪初，二战后发展成为一门完整而丰富的理论学科。学术界一般将其发展历程分为以下几个阶段。

（ 1 ）萌芽阶段 1909~1920 年，丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立了许多基本原则。之后从事排队论研究的先驱人物有法国数学家勃拉彻、前苏联数学家欣钦、瑞典数学家巴尔姆等，他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。20 世纪 30 年代中期，当费勒引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认是一门重要的学科。 （ 2 ）产生阶段 在第二次世界大战期间和第二次世界大战以后，排队论在运筹学这个新领域中变成了一个重要的内容。 20 世纪 50 年代初，英国人堪道尔对排队论作了系统的研究，他用嵌入马尔柯夫链方法研究排队论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先（ 1951 年）用 3 个字母组成的符号 A/B/C 表示排队系统。其中 A 表示顾客到达时间的分布， B 表示服务时间的分布， C 表示服务机构中的服务台的个数。 排队论与存量理论、水库问题等的联系开始于 20 世纪 50 年代末到 60 年代初，这期间 ，先后问世的重要著作有优先排队问题、网络队列问题。塔卡奇等人将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。 60 年代 , 排队论研究的课题日趋复杂，因而开始了近似法的探讨与队列上下限问题的研究。在应用方面，排队论已经渗透到了生产系统和交通运输系统。 （ 3 ）发展阶段 70 年代后，由于排队问题多呈网络出现，计算上的烦琐使得研究范围扩及到计算方法上面，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，这成为研究现代排队论的新趋势。排队论的发展、推广起自于实际应用的需要，同时由于近代计算工具的精密、快速以及排队问题本身趋于复杂的倾向决定了排队论研究的方向。

6.1.2 排队论在现代物流管理中的运用 排队论应用面很广，从开始的通信系统到存量问题和交通运输问题，从生产作业到公共服务，再到计算机配置等，可以说是不胜枚举。这里仅列出与现代物流管理有关的几个应用例子。 （ 1 ）交通运输系统 港口的码头是服务台，船只为顾客，码头的使用决定了港口的吞吐量，船只过久等待进港造成罚款都是应当注意的问题。飞机跑道或者停机坪可以作为服务台，飞机起降为顾客的服务要求，如何安排飞机班次便利旅客并使飞机起降有条不紊，是机场调度的重要问题。铁路公路交通站可视作一个大服务台，服务系统上的队长为交通站内旅客以及送行者的总人数，通过对人数变化的了解，可帮助设计者决定交通站建筑的容量、旅客候车或候机室座位的多寡等。 （ 2 ）仓储配送服务 储存系统中存量的变化是随机行为，和排队论中的队列长度变化的随机行为有相似之处。 （ 3 ）综合物流管理 在物流系统中排队的现象很多，如决策系统收发物流信息能力的强弱，服务网点的布局与服务水平的高低，物流设施设备的多少与服务能力的大小，服务内容的多寡与服务质量的好坏等等。 由此可见，排队问题不是一个简单的服务问题，它是一个管理问题。表面上的排队问题背后，实际上隐藏着急待改善管理的“大文章”。

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6.2 排队论基本概念

6.2.1 排队系统构成要素 现实中排队现象虽然多种多样，但其排队过程基本是一致的。都包含了各个需要服务的顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受物流服务，服务完之后就离开这样一个过程。图 6.1 即排队过程的一般模型。虚线包含的部分即排队系统。图 6.1 物流排队系统构成示意从图中可以看出，一个排队系统由输入、队列、服务台和输出四部分构成。

6.2.1.1 输入 输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式，人们通常用某种带有任意参数和适当简化假设的随机过程来表示它。输入过程又由如下一些元素构成： （ 1 ）顾客总体 顾客总体可以是人，也可以是非生物。如靠泊的船只、提货的单证等。可以是一个有限的集合，也可以是一个无限的集合，但只要顾客总体所包含的元素数量充分大，就可以把顾客总体有限的情况近似看成是顾客总体无限的情况来处理。上游河水流入水库可以认为顾客总体是无限的，而工厂里等待修理的机器设备显然是有限的顾客总体。

（ 2 ）顾客到达的时点 虽然顾客的到达可能是单个发生，也可能是成批发生，但排队系统中总是假设在同一时间点上只有一个顾客到达，同时到达的一批顾客只能看成是一个顾客。 （ 3 ）顾客到达的相关性 顾客到达可以是相互独立的，也可以是相关联的。所谓独立，即先前顾客的到达对后续顾客的到达没有影响，否则就是相关的。 （ 4 ）顾客到达的时间间隔 顾客到达的时间间隔可以是确定的，也可以是随机的。如在流水线上装配的各部件必须按确定的时间间隔到达装配点，定点运行的列车、班机的到达也都是确定的，但物流配送等待的顾客、办理出关手续的顾客、通过路口的车辆的到达都是随机的。对于随机的情形，我们必须了解单位时间的顾客到达数或相继到达的时间间隔的概率分布。如定长分布、负指数分布等。 （ 5 ）顾客到达的平稳性 平稳性是指顾客到达的时间间隔分布及其特征参数（数学期望、方差等）不随时间的变化而变化。

6.2.1.2 队列

（ 1 ）排队规则 需要服务的顾客到达时，如果所有服务台都被占用，顾客可以随即离去，也可以排队等候。随即离去的称为即时制或称损失制，排队等候的称为等待制。顾客起初进入排队，但后来觉得等待时间太长，又离开队伍的称为混合制。 在排队等候中，有的排队顾客因等候时间长而中途退出，有的不能退出（如高速公路上的汽车流），必须坚持到被服务为止。我们将只讨论不能中途退出的情形。 （ 2 ）队列形式 队列可以是排在具体处所的队列 (如物流公司交款处等 ) ，也可以是抽象的队列(如向物流服务台要求物流特殊服务的电话 ) 。 （ 3 ）队列容量 有的系统要规定容量的最大限，即允许进行排队系统的顾客数。有的没有这种限制，即认为队列的容量可以是无限的。 （ 4 ）队列数量 队列可以是单列，也可以是多列。在多列的情形下，各列间的顾客有的可以互相转移，有的不能（如用绳子或栏杆隔开）。我们将只讨论各列间不能相互转移的情形。 （ 5 ）排队时间 排队时间可以是有限制的，也可以是无限制的，如在机场餐厅等待进餐的旅客，则可能因怕等待时间过长而耽误了乘坐飞机，匆匆离去。这种情况等待时间是有限的。

6.2.1.3 服务台 （ 1 ）服务台形式 一个物流排队系统中可以有一个服务台，也可以有多个物流服务台。对多个物流服务台来讲，各服务台可以串联、并联，也可以混联。 （ 2 ）服务方式 服务可针对单一顾客来进行，也可以针对一批顾客来进行。公共汽车对等候的顾客就是成批进行服务的。 （ 3 ）服务时间 物流服务时间同到达时间一样，也可以分为确定和随机两种类型。 （ 4 ）服务的平稳性 物流服务的平稳性是指服务时间分布及其特征参数不随时间的变化而变化。 （ 5 ）服务规则 对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用下列各种规则： ①先到先服务。按到达次序接受服务，这是最通常的情形。 ②后到先服务。按最晚到达的次序接受服务。如钢板等库存物资的发放；又如 物流信息系统中，最后到达的信息往往是最有价值的，因而常采用后到先服务（指被采用）的规则。 ③随机服务。物流服务员从等待的需要物流服务的顾客中随机选取其一进行服务，而不管到达的先后，但容易遭到顾客投诉。 ④有优先权的服务。对于需要紧急服务的顾客将给予优先物流服务。如物流公司的大客户或救灾物资的运输等。

6.2.1.4 输出

输出是指顾客从得到物流服务到离开服务系统的情况，由于一结束服务顾客即刻离开服务系统，所以输出是通过服务时间来加以描述的。

6.2.2 排队系统模型分类

前面我们图示的形式给出了排队系统的一般模型，下面我们进一步介绍排队系统的数学模型及其分类。虽然排队系统的构成要素较为明晰，但排队系统的特征复杂多样。 1953 年堪道尔提出一个分类方法，按照排队系统特征中最主要的、影响最大的三个分类，即： （ 1 ）相继顾客到达间隔时间的分布； （ 2 ）服务时间的分布； （ 3 ）服务台个数。 按照这三个特征分类 (但是该分类仅是对服务台是多于一个的并列服务台的情形 ) ，并用一定符号表示，称为 Kendall记号，符号形式是： X/Y/Z 其中： X处填写表示相继到达间隔时间的分布； Y处填写表示服务时间的分布； Z处填写并列的服务台的数目。 表示相继到达间隔和服务时间的各种分布的符号是： M ——负指数分布 D —— 确定型 Ek ——k 阶爱尔朗分布 GI —— 一般相互独立的时间间隔的分布 G —— 一般服务时间的分布

1971 年，在一次关于排队论符号标准会议上决定，将 Kendall符号扩充成为： X/Y/Z/A/B/C形式，其中前三项意义不变，而 A处填写系统容量限制 N ； B处填写顾客源数目 m ； C处填写服务规则，如先到先服务 FCFS ，后到先服务 LCFS 等。 并约定，当排队系统模型为 X/Y/Z/∞/∞/FCFS 时，后三项可省略不用写出。如M/M/1 表示 M/M/1/∞/∞/FCFS ； M/M/c 表示 M/M/c/∞/∞/FCFS 。 从上面的阐述中我们知道排队系统的数学模型形式多样，根据具体情况各有不同。 M/M/c/∞ 表示输入过程是负指数分布，服务时间服从负指数分布，系统有 c 个服务台平行服务（ 0＜ c≤∞ ），系统容量为无穷，系统是等待制系统。 M/G/1/∞ 表示输入过程是负指数分布，顾客所需的服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统。 GI/M/1/∞ 表示输入过程是负指数分布，顾客独立到达且相继到达的间隔时间服从一般概率分布，服务时间是相互独立、服从负指数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统。 Ek/G/1/K 表示相继到达的间隔时间独立、服从 k 阶爱尔朗分布，服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务台，容量为 K （ 1≤K＜∞）的混合制系统； D/M/c/K 表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布，服务时间相互独立、服从负指数分布，系统中有 c 个服务台平行服务，容量为 K （ c≤K＜∞）的混合制系统。

6.2.3 排队系统的数量指标 研究排队服务系统的目的，就是研究排队服务系统的运行效率、估计服务质量、确定系统参数的最优值，以判定系统结构是否合理，从而研究设计改进措施等。因此，必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标。 这些数量指标有些是在问题提出时就给定的，有些需要根据实际测量的数据来确定。一个特定的模型可能会有多种假设，同时也需要通过多种数量指标来加以描述。由于受所处环境的影响，我们只需要选择那些起关键作用的指标作为模型求解的对象。环境不同，选择的指标也会不同。 （ 1 ）队长与排队长 队长是指系统中的顾客数，它的期望值记作 Ls 。 排队长是指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值记作 Lq 。 系统中的顾客数 = 在队列中排队等待服务的顾客数＋正在被服务的顾客数 队长和排队长都是随机变量，是顾客和服务机构双方都十分关心的数量指标。一般说来，队长或排队长越大，说明服务效率越低，顾客最厌烦排成长龙的情况。 （ 2 ）逗留时间和等待时间 逗留时间是指一个顾客在系统中的停留时间 , 它的期望值记作 Ws 。 等待时间是指一个顾客在系统中排队等待的时间 , 它的期望值记作 Wq 。 逗留时间 = 等待时间＋服务时间

（ 3 ）忙期和闲期 忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止这段时间的长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。它反映了系统中服务人员的工作强度。与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时间长度。 在排队系统中，统计平衡下忙期与闲期是交替出现的。通常，将忙期和一个忙期中平均完成服务的顾客数，均作为衡量服务机构效率的指标。 （ 4 ）服务设备利用率 服务设备利用率指服务设备工作时间占总时间的比例。这是衡量服务设备工作强度、疲劳程度的指标。这个指标也决定服务成本的大小，它是服务部门所关心的。 （ 5 ）顾客损失率 顾客损失率指由服务能力不足而造成顾客损失的比率。顾客损失率过高，则会使排队服务系统的获利减少。 计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。这些状态的概率一般是随时刻 t 而变化的，但随着时间的推进，系统状态的概率将不再随时刻 t 而变化。同时，由于对系统的瞬时状态研究分析起来很困难，所以排队论中主要研究系统处于稳定状态的工作情况。

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6.3 到达间隔分布和服务时间分布

在组成一个排队服务系统的四个要素中，由于顾客到达间隔（输入）与服务时间（输出）是随机的，比较复杂，因此首先要根据原始资料作出顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法来确定其适于哪种理论分布，并估计它的参数值。具体地讲可以分为经验分布与理论分布两类。其中，理论分布包括泊松分布、负指数分布和爱尔朗分布等。

6.3.1经验分布

我们通过一个例题来说明原始资料的整理。 【例 6.1】某物流服务机构是单服务台，先到先服务，对 41 个顾客记录到达时刻 τ 和服务时间 S （ min ） ,如表 6.1 所示。在表中记第 1号顾客到达时刻为 0 。全部服务时间为 127 （ min ）。

顾客编号 i

到达时刻 τi

服务时间 Si

到达间隔 ti

等待时间 wi

顾客编号 i

到达时刻 τi

服务时间 Si

到达间隔 ti

等待时间 wi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0

2

6

11

12

19

22

26

36

38

45

47

49

5

7

1

9

2

4

3

3

1

2

5

4

1

2

4

5

1

7

3

4

10

2

7

2

2

3

0

3

6

2

10

5

6

5

0

0

0

3

5

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

83

86

88

92

95

101

105

106

109

114

116

117

121

3

6

5

1

3

2

2

1

2

1

8

4

2

3

2

4

32

6

4

1

3

5

2

1

4

6

2

2

6

7

5

2

0

1

0

0

0

7

7

表 6.1

顾客编号 i

到达时刻 τi

服务时间 Si

到达间隔 ti

等待时间 wi

顾客编号 i

到达时刻 τi

服务时间 Si

到达间隔 ti

等待时间 wi

14

15

16

17

18

19

20

21

52

61

62

65

70

72

80

81

2

1

2

1

3

4

3

2

9

1

3

5

2

8

1

2

3

0

0

0

0

1

0

2

35

36

37

38

39

40

41

127

129

130

133

135

139

142

1

6

3

5

2

4

1

2

1

3

2

4

3

3

2

7

7

10

8

9

续表 6.1

解 各栏中，顾客编号、到达时刻、服务时间三栏是原始记录，到达间隔、排队等待时间两栏是通过表 6.1 计算得到的。计算方法如图 6.2 所示。

图 6.2

从图 6.1 中可以看出： 间隔时间 ti=τi+1-τi

等待时间

0<ti-si+wi当，0

0>ti-si+wi当 ，ti-si+wi1iw

由表 6.1 可得到达间隔与服务时间分布表，如表 6.2 、表 6.3 所示

到达间隔 (min)

次数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 次以上

6

10

8

6

3

2

2

1

1

1

合计 40

服务间隔 (min)

次数

1

2

3

4

5

6

7

8

9 次以上

10

10

7

5

4

2

1

1

1

合计 41

表 6.2 到达间隔分布表 表 6.3服务时间分布表

可得：平均间隔时间 =142/40=3.55 （分钟 /人）

平均到达率 =41/142=0.28 （人 / 分钟）

平均服务时间 =127/41=3.12 （分钟 /人）

平均服务率 =41/127=0.32 （人 / 分钟）

6.3. 2 理论分布

（ 1 ）泊松流 在概率论中，我们曾学习过泊松分布。设随机变量 X 所有可能取的值为 0 ， 1 ，2… ，而取每个值的概率为

,2,1,0,!

2

nn

enXp

式中 λ＞ 0 ，是常数，则称随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布。概率论的知识还告诉我们，泊松分布是一类二项分布的逼近，即每次抽样只能有两个结果，其中一种结果在一次抽样中发生的概率很小，当抽样的次数足够多时，则该事件发生 n次的概率就近似服从泊松分布。 现在，把上式中的参数 λ引入时间参数 t ，即得：

),2,1,0;0(!

)()(

ntn

ettp

tn

n

（ 6.1 ）

此式表示长为 t 的时间内到达 n 个顾客的概率 Pn(t) 服从泊松分布。称它为泊松流，或称泊松过程，或称最简单流。它是排队论中最常见的一种理论分布。 应当指出，引入时间参数的随机问题已经超出简单的概率论知识了，这类问题称为随机过程。就随机过程而言，我们既要讨论描述到达顾客的随机变量 X ，还要讨论与时间参数有关的前后顾客到达的时间间隔。这是泊松流或泊松过程的两个侧面的问题。 设 t 时间内到达的顾客数为随机变量 N(t) ，则其数学期望值和方差分别为 期望值 E［ N(t)］ =λt （ 6.2 ） 方差 D［ N(t)］ =λt （ 6.3 ） （ 2 ）负指数分布 我们再来研究两个顾客先后到达的时间间隔 T 的概率分布。 当输入过程是泊松流时，由于在单位时间里到达的顾客数是随机变量，那么对应的，前后两个顾客到达的时间间隔也就是随机变量了，即有的时间间隔长一些，有的时间隔又短一些。 设 T 的分布函数为 FT(t) ，则 FT(t)＝ P{T≤t} 这个概率也就是在［ 0 ， t)区间内至少有一个顾客到达的概率。由前面结果知，在［ 0,t) 内没有顾客到达的概率为 P0(t)=e-λt （当 n＝ 0 时） 所以，至少有一个顾客到达的概率为： FT(t)=1-e-λt ， t>0 （ 6.4 ） 而概率密度函数为： fT(t)=λe-λt ， t>0 （ 6.5 ）

就是说，到达间隔时间 T 服从负指数分布。由上可知，如果顾客到达是泊松流，那么，先后顾客到达的间隔时间必定服从负指数分布。反过来，如果相继到达的间隔时间服从负指数分布，那么， t 时间内到达的顾客数一定服从泊松分布，即泊松流。所以在 kendall记号中就都用 M 表示。负指数分布的数学期望值和方差分别为： 数学期望 E［ T］ =1/λ （ 6.6 ） 方差

2

1][

TD （ 6.7 ）

（ 3 ）爱尔朗分布 设 v1, v2,… ， vk 是 k 个相互独立的随机变量，服从相同参数 kμ 的负指数分布，那么 T=v1＋ v2＋…＋ vk

的概率密度是

0,)!1(

)()(

1

tek

uktuktp jkt

k

k （ 6.8 ）

我们说 T 服从 K 阶爱尔朗分布。其数学期望值和方差分别为：

数学期望

1

][ TE （ 6.9 ）

方差

2

1][

KTD

（ 6.10 ）

爱尔朗分布存在于这样一类排队系统中：有 k 个串联的服务台，每个服务台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数为 kμ ），那么一个顾客走完这 k 个服务台总共需要的服务时间就服从 k 阶爱尔朗分布。显然， k＝ 1 时， k 阶爱尔朗分布就是负指数分布，而当 k→∞ ，即若有无穷多个服务台相串联时，将爱尔朗分布退化为确定型分布。 因为理论分布有一定的规律，人们研究得比较彻底，分析起来也比较方便，所以，在研究某一实际排队系统时，常常要把经验分布拟合成某种理论分布，这时就应先从调查和统计数据入手，把这些数据加以整理，然后分析数据的特点，看看它们可能适合何种理论分布。

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6.4 简单的排队系统模型

6.4.1 到达率与服务时间不变的基本排队服务系统

下面通过几个实例来说明到达率与服务时间都不变的基本排队服务系统的情况。 （ 1 ）没有排队，如图 6.1 所示有闲置时间的情况 此时 wi＋ si－ ti＜ 0 ，其中 wi 、 si 、 ti 为常数。如图 6.1 （ b ）所示。 【例 6.2】假设顾客按每小时 12 个的定率到来，也就是说，每小时来 12 个顾客，正好是每 5 分钟来一个顾客。又假设服务机构以每小时对 15 个顾客完成服务。这正好是每 4 分钟完成对一个顾客的服务。因为服务机构能够很容易地处理全部顾客的工作负荷，所以不会形成排队现象。显然，服务机构将有 20％的闲置时间。 （ 2 ）没有排队，没有闲置时间的情况此时 wi＋ si－ ti＝ 0 ，其中 wi 、 si 、 ti 为常数。如图 6.3 所示。

图 6.3 wi+si-ti=0

【例 6.3】假设顾客按每小时 12 个的定率到来，即每 5 分钟来 1 个顾客，又假设服务机构每小时完成对 12 个顾客的服务，因为顾客到来的速度与被服务的速度相同，所以不会形成排队现象。在此情况下，服务机构必须全力以赴接待顾客，没有闲置时间。 （ 3 ）形成排队现象，没有闲置时间的情况此时 wi＋ si－ ti＞ 0 ，其中 wi 、 si 、 ti 为常数。如图 6.2 （ a ）所示。

【例 6.4】假设顾客按每小时 12 个的定率到来，服务机构按每小时 10 个的定率来完成对顾客的服务。在此情况下，由于输入的速度超过服务机构处理输入量的能力，因此，来被服务的顾客队伍按每小时两个的速度扩大，比如， 4小时以后，会有 8个人在排队等待服务。 如上所述，在到达率与服务时间保持不变的情况下，则很容易回答：任何时间以后，是否有排队现象，队长如何 ?然而在实际生活中，顾客到达率与服务时间都是变化的，即使服务机构的服务能力超过顾客到来的平均数，有时也因在某时刻内顾客到来较多而集中要求服务时，形成了暂时的排队现象。当然，也会由于某时间内顾客到来的人数减少，使服务机构有力量消除先前已经形成的排队现象。由于这方面的问题解决起来比较困难，借助概率论数理统计的知识较多，因此不能作全面的介绍。这里仅简单介绍单服务台排队服务系统的部分模型。

6.4.2 单服务台排队服务系统

单服务台排队服务系统是针对多服务台排队服务系统而言的。常见以下几种形式： （ 1 ）输入过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，即 M/M/1 等。 （ 2 ）输入过程服从泊松分布，服务时间服从一般分布，即 M/G/1 等。 （ 3 ）输入过程服从泊松分布，服务时间是确定的常数，即 M/D/1 等。 （ 4 ）输入过程服从泊松分布，服务时间服从爱尔朗分布。即 M/Ek/1 等。

6.4.2.1 标准的 M/M/1 模型（ M/M/1/∞/∞ ）

标准的 M/M/1 模型是指符合下列条件的排队系统： 输入过程：顾客源无限，顾客单个到达并相互独立，一定时间的到达数遵从泊松分布。 排队规则：单一队列且队长无限，按先到先服务的原则。 服务机构：单服务台，各顾客的服务时间是相互独立的且遵从负指数分布。 设 λ 为顾客平均到达率， μ 为系统的平均服务率。则有公式： 系统状态概率

1<ρ1≥nρ)ρn,-(1=Pn

ρ-1=P0

繁忙率（服务强度） ρ=λ/μ系统中的顾客数（队长期望值） Ls=λ/(μ-λ)

系统中排队等待服务的顾客数（排队长期望值）

λ-μ

ρλLq

顾客在系统中的停留时间（逗留时间期望值） Ws=1/(μ-λ)顾客在系统中排队等待的时间（等待时间期望值） Wq=ρ/(μ-λ)

它们的相互关系为：

qsqsqqss LLWWWLWL ,

1,,

6.4.2.2 系统容量有限的 M/M/1 模型（ M/M/1/N/∞ ） 系统容量有限制的排队服务系统是指泊松到达过程，服务时间服从负指数分布，一个服务台，系统内只允许有 N 个顾客（即正在接受服务的和排队等待的总人数不得超过 N 个），顾客源是无限的，先到先服务制。即排队服务系统的队长不允许超过 N ，则当该服务系统中有顾客 N 时，再来的顾客，比如第 N＋ 1 个顾客不能等待而离去。 设 λ 为顾客平均到达率， μ 为系统的平均服务率，则有公式： 系统状态概率（系统有 n 个顾客的概率）

1

1

1

1

1

1

10

NNn

N

P

P

繁忙率（服务强度） ρ=λ/μ 系统中的顾客数（队长期望值）

1

1

1

)1(

1

N

N

s

NL

系统中排队等待服务的顾客数（排队长期望值） Lq=Ls-(1-P0) 有效到达率 λe=λ(1-Pn)=μ(1-P0)

顾客在系统中的停留时间（逗留时间期望值） Ws=Ls/μ(1-P0) 顾客在系统中排队等待的时间（等待时间期望值） Wq=Ws-1/μ

6.4.2.3 顾客源有限的模型 M/M/1 模型（ M/M/1/∞/m ）

顾客源有限的排队系统是指负指数分布的服务时间，一个服务台，系统容纳的顾客数无限，顾客的总数有限，先到先服务的系统。模型的符号中第 4 项为∞，这表示对系统的容量没有限制，但实际上它永不会超过m ，所以和写成 M/M/1/ m/m的意义相同。 设 λ 为顾客平均到达率， μ 为系统的平均服务率。则有公式： 有效到达率 λe=λ(m-Ls) 系统状态概率（系统有 n 个顾客的概率）

)1(,)()!(

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0

0

0

mnPnm

mP

im

mP

nn

iM

I

繁忙率（服务强度） ρ=λ/μ 系统中的顾客数（队长期望值） Ls=m-(μ/λ) （ 1-P0 ） 系统中排队等待服务的顾客数（排队长期望值）

)1()1)((

00 PLP

mL sq

顾客在系统中的停留时间（逗留时间期望值）

1

)1( 0

P

mWs

顾客在系统中排队等待的时间（等待时间期望值） Wq=Ws-1/μ

6.4.2.4 一般服务时间 M/G/1 模型

所谓一般服务时间 M/G/1 模型是指服务时间 T 的分布是一般的，但要求期望值E［ T］和方差 D［ T］都存在，其他条件和标准的 M/M/1 型相同。为了达到稳态，ρ<1 这一条件还是必要的，其中 ρ=λE［ T］。 系统中的顾客数（队长期望值）

)1(2

][22

TDLs

这样，只要知道 λ ， E［ T］和 D［ T］，不管服务时间是什么分布，就可以求出系统中顾客数的期望值 Ls 。由公式可以看出， Ls不仅同顾客到达的速率 λ 和服务时间的期望值 E［ T］有关，而且和服务时间的方差 D［ T］有关。方差越大，Ls值就越大。所以，要想改进系统的运行指标 ,除考虑服务时间的期望值 E［ T］之外，还要考虑改变方差 D［ T］。 Ls 、 Ws 、 Wq 则可通过前面的公式求解，具体如下： 系统中排队等待服务的顾客数（排队长期望值） Lq=Ls-ρ=Ls-λE［ T］ 顾客在系统中的停留时间（逗留时间期望值） Ws=1/(μ-λ) 顾客在系统中排队等待的时间（等待时间期望值） Wq=ρ/(μ-λ)

6.4.2.5 定长服务时间 M/D/1 模型

定长服务时间 M/D/1 模型是指服务时间是确定的常数，由于有 T=1μ 和 D（ T ） =0 ，所以其公式为： 系统中的顾客数（队长期望值） Ls=ρ+ρ2/[2(1-ρ)] 系统中排队等待服务的顾客数（排队长期望值） Lq=Ls-ρ=Ls-λE［ T］ 顾客在系统中的停留时间（逗留时间期望值） Ws=Lsλ 顾客在系统中排队等待的时间（等待时间期望值） Wq=Lqλ

6.4.2.6 爱尔朗服务时间 M/Ek/1 模型

当服务时间为定长时，均方差 σ=0 ；当服务时间为负指数分布时，均方差 σ=1/μ ；而均方差介于这二者之间的一种理论分布称为爱尔朗分布。如果顾客必须经过 k个物流服务站的服务时间 Ti 相互独立，并服从相同的负指数分布，那么

服从 k 阶爱尔朗分布。 爱尔朗分布的数学期望和方差分别为 E(t)=1/μ 、 D(t)=1/kμ2 。这里有两个参数 μ和 k ，由于 k值的不同，可以得到不同的爱尔朗分布，当 k=1 时是负指数分布，当 k=+∞ 时是定长分布。其公式为： 系统中的顾客数（队长期望值）

k

iiTT

1

)1(2

)1( 2

k

kLs

系统中排队等待服务的顾客数（排队长期望值）

)1(2

)1( 2

k

kLq

顾客在系统中的停留时间（逗留时间期望值） Ws=Lsλ 顾客在系统中排队等待的时间（等待时间期望值） Wq=Lqλ

6.4.3 简单的多服务台排队服务系统

前面介绍的只是众多单服务台排队服务系统中较为简单的几种形式。对多服务台排队服务系统来说也是一样，它也包含了众多的形式，如单队、并列多服务台，多队、并列多服务台等。这里我们通过例题来介绍最简单的多服务台排队服务系统。

6.4.3.1 M/M/∞

在多个服务台的排队系统中，最简单的是服务台有足够多的情形，此时到达的每一个顾客都不需要等待立即接受服务，因此系统不会出现排队现象，如自服务系统、收听无线电广播系统、急诊救护车队系统、收看电视系统等都可近似看成这种系统。再假定顾客到达按泊松流，每个顾客所需的服务时间服从负指数分布，系统有无穷多（足够多）个服务台，每个服务台是并列独立进行服务的。

6.4.3.2 M/M/c/∞/∞

系统中有 c 个服务台独立并行服务，当顾客到达时，若有空闲服务台便立刻接受服务，若没有空闲的服务台，则排队等待，直到有空闲的服务台时再接受服务。假定顾客仍按泊松流到达，每个顾客所需的服务时间独立服从相同的负指数分布，系统容量为无穷大，而且到达与服务是彼此独立的。

6.4.3.3 M/M/c/N/m

系统中共有 N 个位置、 c 个服务台独立平行工作， c＜ N ，当 N 个位置已被顾客全部占用时，新到的顾客就自动离开，当系统中有空位置时，新到的顾客就进入系统排队等待服务，我们仍然假定顾客按泊松流到达，每个顾客所需的服务时间独立、服从负指数分布，且到达与服务是彼此独立的。

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知识归纳

1. 一个排队系统由描述顾客到达规律的输入过程、规定顾客服务次序的排队规则、说明服务情况的服务机构和输出四部分组成。主要研究各种排队系统中主要数量指标的随机规律性以及系统的最优化问题。 2. 排队系统模型为： X/Y/Z/A/B/C 其中， X处填写表示相继到达间隔时间的分布； Y处填写表示服务时间的分布；Z处填写并列的服务台的数目； A处填写系统容量限制 N； B处填写顾客源数 m； C处填写服务规则。后三项有时会部分略去或全部略去，如全部略去，即表示 M/M/c/∞/∞/FCFS 。 3. λ 表示顾客的平均到达率，单位时间来到系统的平均顾客数； μ 表示系统的平均服务率，单位时间可以服务完的顾客数； Ls 表示系统的队长，即系统中的顾客数量； Lq 表示系统的排队长，即系统中排队等待服务的顾客的数量； Ws 表示系统的顾客的逗留时间，即系统中顾客排队和接受服务的时间； Wq 表示系统的顾客的等待时间，即系统中顾客排队的时间； P0 和 Ps 表示系统状态概率。 4. 顾客到达间隔和服务时间的分布，可以分为经验分布与理论分布两类。其中，理论分布包括泊松分布、负指数分布和爱尔朗分布等。 5. 到达率与服务时间不变的基本排队服务系统包括三种状况： （ 1）没有排队，有闲置时间的情况。 wi＋ si － ti ＜ 0，其中 wi、 si 、 ti为常数。 （ 2）没有排队，没有闲置时间的情况。 wi＋ si － ti ＝ 0，其中 wi、 si 、 ti 为常数。 （ 3）有排队，没有闲置时间的情况。 wi＋ si － ti ＞ 0，其中 wi、 si 、 ti为常数。

6. 标准的 M/M/1 模型（ M/M/1/∞/∞）

1<ρ1≥nρ)ρn,-(1=Pn

ρ-1=P0

Ls=λ/(μ-λ) ； Lq=ρλ/(μ-λ) ； Ws=1/(μ-λ) ； Wq=ρ/(μ-λ) 。

7. 系统容量有限的 M/M/1 模型（ M/M/1/N/∞）

1

1

1

1

1

1

10

NNn

N

P

P

ρ=λ/μ ； λe=λ(1-PN)=μ （ 1-P0 ）；

Lq=Ls-(1-P0) ； Ws=Ls/[μ(1-P0)] ； Wq=Ws-1/μ 。

1

1

1

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N

N

s

NL

8. 顾客源有限的模型 M/M/1 模型（ M/M/1/∞/m ）

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mP

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sqs

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mLPmL

9. 一般服务时间 M/G/1 模型 ρ=λE ［ T ］；

)1(2

][22

TDLs

Lq=Ls-ρ=Ls-λE［ T］ ; Ws=1/(μ-λ); Wq=ρ/(μ-λ); Ws=1/(μ-λ) ； Wq=ρ/(μ-λ)

10. 定长服务时间 M/D/1 模型 T=1/μ ； D(T)=0 ；

)1(2

2

qL Lq=Ls-ρ=Ls-λE［ T］ ;Ws=Ls/λ ；

Wq=Lq/λ

11. 爱尔朗服务时间 M/Ek/1 模型 E(t)=1/μ ； D(t)=1/(kμ2);

)1(2

)1( 2

k

kLs )1(2

)1( 2

k

kLq

Ws=Ls/λ;Wq=Lq/λ

12. 简单的多服务台排队服务系统 （ 1） M/M/∞ （ 2） M/M/c/∞/∞ （ 3） M/M/c/N/m

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习题与思考题 6.1按照 Kendall分类法，为下列系统分类或叙述其含义： （ 1）泊松输入、定长服务、 3个并联服务台、系统容量为 r； （ 2）一般独立输入、指数服务、单服务台； （ 3） G/E3/1/1 ； （ 4） M/G/3/15/15 。 6.2 一个有两名服务员的排队系统，该系统最多容纳 4名顾客。当系统处于稳定状态时，系统中恰好有 n 名顾客的概率为： P0＝ 1/16 ， P1 ＝ 4/16 ， P2 ＝ 6/16 ，P3 ＝ 4/16 ， P4 ＝ 1/16 ，试求：（ a）系统中的平均顾客数 Ls；（ b）系统中平均排队的顾客数 Lq；（ c）某一时刻正在被服务的顾客的平均数；（ d）若顾客的平均到达率为 2人 /小时，求顾客在系统中的平均逗留时间 Ws；（ e）若两名服务员具有相同的服务效率，利用（ d）的结果求服务员服务一名顾客的平均时间 1/μ。 6.3 在工厂的一个工具检测部门，要求检测的工具来自该厂各车间，平均 25件 /小时，服从泊松分布。检测每件工具的时间为负指数分布，平均每件 2 分钟。试求： (1) 该检测部门空闲的概率； (2)一件送达的工具到检测完毕其停留时间超过 20分钟的概率； (3)等待检测的工具的平均数； (4)等待检测的工具在 8~10件间的概率； (5)分别找出在下列情况时等待检测的工具的平均数：①检测速度增快；②送达的检测工具数降低 20％；②送达的检测工具数和检测速度均增大 20％。

6.4 一个有一套洗车设备的洗车店，要求洗车的车辆平均每 4 分钟到达一辆，洗每辆车平均需 3 分钟，以上均服从负指数分布。该店现有 2个车位，当店内无车时，到达车辆全部进入，当有一辆车时，只有 80％进入，有两辆车时，到达车辆因无车位而全部离去。要求： ①求洗车设备平均利用率，及一辆进入该店的车辆在该洗车店的平均停留时间； ②为减少顾客流失，店里拟扩大租用第 3 个车位，这样当店内已有 2辆车时，到达车辆 60％进入，有 3辆车时，新到车辆仍全部离去。经计算当租用第 3车位时，该洗车店内有 n 辆车的概率 Pn分别为 P0=0.416 ， P1=0.312 ， P2=0.187 ， P3=0.085 。若该洗车店每天营业 12小时，新车位租金 100元 /天，洗一辆车的净盈利为 5元，问该车位是否值得租用 ? 6.5某车间有 5台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为 15分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次 12分钟。求该排队系统的数量指标 P0、 Ls 、 Lq 、 Ws 、 Wq 以及 P5。 6.6 有一汽车冲洗车，汽车按平均每小时 18辆的泊松流到达，冲洗时间 t的期望 E(T)＝ 0.05小时 /辆，方差 D(T)＝ 0.01小时 /辆，求系统的运行指标，并对系统进行评价。 6.7某种实验仪器每次使用时间为 3分钟，实验者按泊松分布平均每小时到达 18人。试求该系统的主要工作指标及实验者不必等待的概率。 6.8某私营服装裁缝店每周工作 6天，每天工作 8小时。该店只有一位西服裁缝，做一套西服要经过 4道不同工序，完成这 4道工序后才开始做另一套。每道工序的时间相互独立且为同一指数分布，平均时间为 2小时。订做西服按泊松分布平均每周送来 5.5套。问顾客做一套西服期望几天后可取回 ?

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