6. analiza sistema u prostoru stanja
TRANSCRIPT
6. ANALIZA SISTEMA U PROSTORU STANJA 6.1. OSNOVNE FORME MODELA SISTEMA U PROSTORU STANJA
Jedan poseban vid zapisivanja diferencijalnih jednačina dinamičkog sistema je normalna ili Košijeova forma sistema diferencijalnih jednačina prvog reda:
111 1 ( ), (( ), ,) ,),( )( n rx t f tx ux t t u tt
112 2 ( ), (( ), ,) ,),( )( n rx t f tx ux t t u tt
11 ( ), (( ( ), , () )), ,n rn nx t f tx ux t t u tt
gde su:
1( )u t , ... , ( )ru t ulazi sistema
1( )x t , ... , ( )nx t pomoćne promenljive koje nazivamo promenljive stanja
1f , ... , nf nelinearne funkcije od 1n r argumenata
Početni uslovi sistema definisani su sa: 1(0)x , ... , (0)nx .
Sistem diferencijalnih jednačina (1) predstavlja tzv. jednačine stanja sistema.
jednačine stanja sistema (1)
(model sistema)
Pretpostavimo da su uslovi egzistencije rešenja sistema diferencijalnih jednačina (1) zadovoljeni.
Tada:
- Vrednosti promenljivih stanja u nekom trenutku 1t određuju stanje
sistema u tom trenutku.
- Poznavanje stanja u trenutku 1t i poznavanje ulaza sistema biće dovoljno
da se na bazi prethodnog modela odredi stanje sistema u bilo kom budućem trenutku 2 1t t .
Na taj način, sistem diferencijalnih jednačina (1) u potpunosti karakteriše dinamičko ponašanje posmatranog sistema.
Jednačine stanja (1) predstavljaju:
- nelinearni model jer su funkcije if nelinearne
- nestacionarni model jer funkcije if eksplicitno zavise od vremena t .
Promenljive stanja mogu, ali u opštem slučaju, ne moraju biti istovremeno i izlazi sistema.
Izlazi sistema 1 1( )y y t , ... , ( )m my y t su najčešće neke funkcije promenljivih
stanja i ulaza:
11 11 , ( ),( ), , ( )) (( ,) rny tu ux xt g t tt t
12 12 , ( ),( ), , ( )) (( ,) rny tu ux xt g t tt t
1 1, ( ),(( ) ,(( ), , ) )m m n ry tu ux xt g t tt t
Sistem algebarskih jednačina (2) predstavlja tzv. jednačine izlaza sistema.
jednačine izlaza (2)
Sistemi jednačina (1) i (2) se mogu zapisati i u vektorskom obliku:
0( ) , , , (0) )
( ) (
( )
))
(
,( ,
x t f t x x
y t g t
u t
u
x
x t t
t
1( )
( )
( )n
x t
x t
x t
vektor promenljivih stanja, 1( )
( )
( )r
u t
u t
u t
vektor ulaza,
1( )
( )
( )m
y t
y t
y t
vektor izlaza, 1( )
( )
( )n
f t
f t
f t
, 1( )
( )
( )m
g t
g t
g t
vektori nelinearnih funkcija
Strukturni dijagram nelinearnog, nestacionarnog sistema opisanog pomoću (1) i (2):
KARAKTERISTIKE MODELA U PROSTORU STANJA
0( ) , , , (0) )
( ) (
( )
))
(
,( ,
x t f t x x
y t g t
u t
u
x
x t t
t
Može opisati linearne, nelinearne, stacionarne i nestacionarne sisteme.
Matematički zapis modela je jednostavan.
Model se jednostavno implementira na digitalnom računaru.
Promenljive stanja 1( )x t , ... , ( )nx t igraju dominantnu ulogu u modelu.
Promenljive stanja 1( )x t , ... , ( )nx t ne moraju imati značenje fizičkih promenljivih sistema.
Za koordinate vektora stanja se usvajaju neke pomoćne promenljive koje treba da omoguće svođenje modela sistema na željenu formu.
Ta forma mora biti takva da je što više pogodnija sa gledišta rešavanja dobijenog modela.
Izbor promenljivih stanja nije jednoznačno određen.
Uvođenjem koordinata stanja ne gubi se informacija o realnim promenljivim stanja.
Na bazi vektora stanja i vektora ulaza koristeći model moguće je izraziti fizičke promenljive sistema.
MODEL STACIONARNIH NELINEARNIH SISTEMA U PROSTORU STANJA
Ako funkcije if i ig ne sadrže eksplicitno vreme t kao svoj argument, dobija se
stacionarni nelinearni model u prostoru stanja.
Vektorski oblik stacionarnog modela u prostoru stanja glasi:
0
)
( ) , , (0)(
(
( )
) (( ) ,
)x t f x x
y t g
u tt
x tt u
x
6.2. MATRIČNI MODEL LINEARNIH SISTEMA
Kada je sistem linearan vektorske funkcije f i g su linearne po x(t) i u(t):
, , ( ) ( ) ( ) ( )
)
( )
(, (
( )
( ) ,) ) ( ) ( ) (
f t A t x t B t u t
g t C t x tt Dt
u
t
x t
x tu u
t
MODEL LINEARNOG NESTACIONARNOG SISTEMA
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (0)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t A t x t B t u t x x
y t C t x t D t u t
( )n nA t , ( )n rB t , ( )m nC t , ( )m rD t
nestacionarne matrice
Strukturni blok dijagram
MODEL LINEARNOG STACIONARNOG SISTEMA
0( ) ( ) ( ), (0)
( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu t x x
y t Cx t Du t
Strukturni blok dijagram linearnog stacionarnog sistema
n nA , n rB , m nC , m rD konstantne matrice
6.3. OSNOVNE FORME MODELA U PROSTORU STANJA
Najjednostavniji način formiranja modela u prostoru stanja se dobija na sledeći način:
Za elemente vektora stanja izabrati sve zavisne promenljive i sve njihove izvode osim najviših.
Primer. Mehanički sistem
( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
My t y t ky t u t
y t u t y t ky tM
Zavisna promenljiva: ( )y t
Usvojamo: 1x y , 2 2 1x y x x
Model u prostoru stanja:
1 2
2 1 2
( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
x t x t
kx t x t x t u t
M M M
Matrični oblik modela u prostoru stanja:
1 1
2 2
1
1
2
0 1 0( ) ( )
( )1( ) ( )
( )( ) ( ) 1 0 0 ( )
( )
x t x tu tk
x t x tM M M
x ty t x t u t
x t
0( ) ( ) ( ), (0)
( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu t x x
y t Cx t Du t
0 1 0
, ,1
1 0 , 0
A Bk
M M M
C D
OSTALE VRSTE MODELA U PROSTORU STANJA
U nastavku se prezentuju postupci formiranja nekih drugih (karakterističnih) vrsta modela u prostoru stanja.
Ovi modeli imaju specijalno značenje u teoriji sistema. Nazivamo ih kanonički modelima.
Ove karakteristične forme modela izvodimo iz funkcije prenosa sistema.
Koordinate stanja ovih modela nisu fizičke promenljive, već često neka njihova linearna kombinacija.
Kanoničke forme modela u prostoru stanja
- kontrolabilna kanonička forma
- opservabilna kanonička forma
- dijagonalna kanonička forma
6.3.1. KONTROLABILNA KANONIČNA FORMA
Postupak dobijanja kontrolabilne kanoničke forme opisaćemo na jednom primeru.
Pretpostavimo da je kontinualni sistem opisan funkcijom prenosa:
2
3 21
2 4 3( )
5 7 1
s sG s
s s s
Postupak formiranja modela:
1. Svođenje polinoma u imeniocu funkcije prenosa na monik polinom
Polinom je monik ukoliko je njegov koeficijent uz najveći stepen jednak 1.
2. Uvođenje pomoćnog signala ( )C s i određivanje 1( ) ( )c t L C s i ( )y t
2
3 2
( ) 2 4 3 ( )( )
( ) 5 7 1 ( )
Y s s s C sG s
U s s s s C s
2
3 2
( ) 2 4 3 ( )
( ) 5 7 1 ( )
Y s s s C s
U s s s s C s
( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( )
( ) 2 ( ) 4 ( ) 3 ( )
u t c t c t c t c t c t u t c t c t c t
y t c t c t c t
3. Crtanje simulacionog dijagrama
( ) ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( )c t u t c t c t c t , ( ) 2 ( ) 4 ( ) 3 ( )y t c t c t c t
4. Izbor elemenata (koordinata) vektora stanja
Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu.
1( ) ( )x t c t , 2 ( ) ( )x t c t , 3( ) ( )x t c t
5. Formiranje modela u prostoru stanja
Za izabrane elemente vektora stanja model sistema postaje:
1 2
2 3
3 1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 7 ( ) 5 ( ) ( )
x t c t x t
x t c t x t
x t c t x t x t x t u t
Matrična forma:
0 1 0 0
( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )
1 7 5 1
( ) 3 4 2 ( )
x t = x t u t
y t x t
Kontrolabilna kanonička forma
Pravila pri formiranju kontrolabilne kanonične forme:
0 1 0 0
( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )
1 7 5 1
( ) 3 4 2 ( )
x t = x t u t
y t x t
2
3 21
2 4 3( )
5 7 1
s sG s
s s s
( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t , ( ) ( )y Cx t Du t
„-“
Matrica A je kvadratna matrica dimenzije n. Sastoji se iz sastoji se iz tri bloka: - u poslednjoj vrsti se nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma sa promenjenim znakom i pisani u suprotnom smeru (preskačući prvi koeficijent koji mora biti jednak 1), - u gornjem desnom uglu nalazi se jedinična matrica dimenzija (n - 1) × (n - 1), dok se - u prvoj koloni osim poslednjeg elementa nalaze sve same nule.
U matrici B su svi elementi jednaki nuli osim poslednjeg koji je jednak 1. U matrici C smešteni su koeficijenti polinoma iz brojioca funkcije prenosa čitani u suprotnom smeru.
Napomena. 1. Matrica D će uvek biti jednaka nuli ukoliko je
polinom u brojiocu nižeg stepena od polinoma u imeniocu funkcije prenosa.
2. Kontrolabilna kanonična forma može da se formira samo za sisteme koji imaju JEDAN ULAZ.
6.3.2. OPSERVABILNA KANONIČNA FORMA
Postupak dobijanja opservabilne kanoničke forme opisaćemo na jednom primeru.
Pretpostavimo da je kontinualni sistem opisan funkcijom prenosa
2
3 21
2 4 3( )
5 7 1
s sG s
s s s
Postupak formiranja modela:
1. Svođenje polinoma u imeniocu na monik polinom.
2. Deljenje brojioca i imenioca najvišim stepenom polinoma u imeniocu:
2
3 2 3
3 2
2 33
2 4 3 2 4 3( )
( )5 7 15 7 1 ( )1
1
s sY ss s s sG s
s s s U s
s s ss
3. Unakrsno množenje:
2 3 2 3
5 7 1 2 4 3( ) 1 ( )Y s U s
s s s s s s
4. Rešavanje po ( )Y s :
2 3 2 3
5 7 1 2 4 3( ) ( ) ( )Y s Y s U s
s s s s s s
1 1 1
( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) 4 ( ) ( ) 3 ( )Y s Y s U s Y s U s Y s U ss s s
int
int
int
( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) (1 1
4 ( ) )1
3 ( )
I egrator
II egrator
III egrator
Y s Y s Y sU ss s s
UY s U s s
5. Crtanje simulacionog dijagrama.
int
int
int
( ) 5 ( ) 2 ( ) 7 ( ) 4 ( ) 3 (1
))1
(1
I egrator
II egrator
III egrator
Y s Y s U s Y s U s Us s s
Y s s
6. Izbor vektora stanja
Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu.
7. Formiranje jednačine u prostoru stanja
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
( ) 5 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( )
( ) 7 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 4 ( )
( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( )
x t x t x t x t u t
x t x t x t x t u t
x t x t x t x t u t
1 2 3( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t
Matrična forma
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
( ) 5 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( )
( ) 7 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 4 ( )
( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( )
x t x t x t x t u t
x t x t x t x t u t
x t x t x t x t u t
1 2 3( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t
5 1 0 2
( ) 7 0 1 ( ) 4 ( )
1 0 0 3
( ) 1 0 0 ( )
x t x t u t
y t x t
2
3 21
2 4 3( )
5 7 1
s sG s
s s s
„-“
Matrica A je kvadratna matrica dimenzije n. Sastoji se iz sastoji se iz tri bloka: - u prvoj koloni se nalaze koeficijenti karakterističnog polinoma sa promenjenim znakom i pisani u suprotnom smeru (preskačući prvi koeficijent koji mora biti jednak 1), - u gornjem desnom uglu nalazi se jedinična matrica dimenzija (n - 1) × (n - 1), dok se - u poslednjoj vrsti osim prvog elementa nalaze sve same nule.
U matrici B se nalaze koeficijenti polinoma u brojiocu funkcije prenosa čitani u suprotnom smeru.
Matrica C ima uvek istu formu, prvi element je 1 dok su svi ostali nule.
Napomena. Samo sistemi sa jednim izlazom mogu imati opservabilnu kanoničnu formu u prostoru stanja.
6.3.3. DIJAGONALNA KANONIČNA FORMA
Postupak dobijanja dijagonalne kanoničke forme opisaćemo na jednom primeru.
Postupak formiranja modela:
Slučaj prostih polova: kontinualni sistem opisan je funkcijom prenosa
3 2
4( )
6 11 6
sG s
s s s
1. Napisati funkciju prenosa u formi zbira parcijalnih sabiraka:
4 1.5 2 0.5( )
1 2 3 1 2 3
sG s
s s s s s s
2. Predstaviti izlaz sistema kao zbir parcijalnih signala
1 2 3
1.5 2 0.5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3Y s G s U s U s U s U s Y s Y s Y s
s s s
1 1 1 1 1 1 1
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1.5 ( ) 1.5 ( ) ( 1) ( ) ( ) , 1.51
Y s U s Y s s Y s U s y y u y ys
2 1 2 2 1 2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) ( ) 2 , 21
Y s U s Y s s Y s U s y y u y ys
3 3 3 3 3 3 3
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( 3) ( ) ( ) 3 , 0.51
Y s U s Y s s Y s U s y y u y ys
3. Formirati simulacioni dijagram
1 1 1 1ˆ ˆ ˆ, 1.5y y u y y
2 1 2 2ˆ ˆ ˆ2 , 2y y u y y
3 3 3 3ˆ ˆ ˆ3 , 0.5y y u y y
1 2 3y y y y
4. Izbor vektora stanja
Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ, ,x y x y x y
5. Formiranje jednačine u prostoru stanja
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( )
( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( )
1
2
3( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 1 ( )
x t x t x t x t u t
x t x t x t x t u t
x t x t x t x t u t
1 2 3( ) 1.5 ( ) 2 ( ) 0.5 ( ) 0 ( )y t x t x t x t u t
Vektorski oblik
0 0 1
( ) 0 0 ( ) 1 ( ), ( ) 1.5 2 0.5 ( )
0 0 1
1
2
3
x t x t u t y t x t
Matrica stanja A je dijagonalna matrica, i na njenoj dijagonali se nalaze polovi funkcije prenosa sistema (nule karakterističnog polinoma).
U matrici B se nalaze jedinice.
U matrici C nalaze koeficijenti uz odgovarajuće polove.
Slučaj višestrukih realnih polova: Funkcija prenosa sistema
1. Napisati funkciju prenosa u formi zbira parcijalnih sabiraka
3 2 2 3 2
1 ( )( )
( ) 2 5 62 5 6 2 2 6
s Y s a b c d e fG s
U s s s ss s s s s s
2. Predstaviti izlaz sistema kao zbir parcijalnih signala
2 3 2
1 2 3 1 2
1 1 1 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 62 2 6
a b c d e fY s G s U s U s U s U s U s U s U s
s s ss s s
Y Y Y Y Y Y
1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
ˆ( 2) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ2 ,
s Y s U s
y y u y ay
2 1
1 1
2 2 1 2 2
1 1 1 1 1
ˆ ˆ( 2)
ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,
s Y Y
y y y y by
3 2
1 1
3 3 2 3 3
1 1 1 1 1
ˆ ˆ( 2)
ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,
s Y Y
y y y y cy
11
21
31
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 12 2
3 3 3 3 3
1 1 1 1 13 3
3 1 2 2 3
1 1 1 1 1
ˆ
ˆ
ˆ
1 1ˆ ˆ ˆ,2 2
1 1ˆ ˆ ˆ,2 2
1 1ˆ ˆ ˆ,2 2
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 2 2 2 2
Y
Y
Y
Y a U aY U Y Y aYs s
Y b U bY U Y Y bYs s
Y c U cY U Y Y cYs s
U Y Y Y Y Ys s s s s
2 2 2 2 2 2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) 5 ,5
Y d U s dY s s Y s U s y y u y dys
13
23
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
3 3 3 3 32 2
2 1 2
3 3 3
ˆ
ˆ
1 1ˆ ˆ ˆ,6 6
1 1ˆ ˆ ˆ,6 6
1 1 1ˆ ˆ ˆ,6 6 6
Y
Y
Y a U aY U Y Y eYs s
Y b U bY U Y Y eYs s
U Y Y Ys s s
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ( 6) ( ) ( ) 2 ,s Y s U s y y u y ey
2 1 2 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 6) 2 ,s Y Y y y y y fy
3. Simulacioni dijagram 1 1 1 1
1 1 1 1ˆ ˆ ˆ2 ,y y u y ay
2 2 1 2 2
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,y y y y by
3 3 2 3 3
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,y y y y cy
2 2 2 2ˆ ˆ ˆ5 ,y y u y dy
1 1 1 1
3 3 3 3ˆ ˆ ˆ2 ,y y u y ey
2 2 1 2 2
3 3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,y y y y fy
1 2 3 1 2
1 1 1 2 3 3y y y y y y y
4. Izbor vektora stanja Za elemente vektora stanja biraju izlazi iz integratora na simulacionom dijagramu
1 1 2
2 2 3
3 3
2
2
2
x x x
x x x
x x u
4 4
5 5 6
6 6
5
6
6
x x u
x x x
x x u
1 2 3 4 5 6y cx bx ax dx fx ex
5. Model u prostoru stanja
1 1 2
2 2 3
3 3
2
2
2
x x x
x x x
x x u
4 4
5 5 6
6 6
5
6
6
x x u
x x x
x x u
1 2 3 4 5 6y cx bx ax dx fx ex
2 1 0 0 0 0 0
0 2 1 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0 1( ) ( ) ( )
0 0 0 5 0 0 1
0 0 0 0 6 1 0
0 0 0 0 0 6 1
( ) ( )
x t x t u t
y t c b a d f e x t
Matrice A, B, C i D su blokovske matrice.
Matrica A je blok dijagonalna matrica. Na glavnoj dijagonali svakog dijagonalnog bloka, čije dimenzije odgovaraju višestrukosti polova funkcije prenosa sistema, nalazi se po jedan pol funkcije prenosa. U svakom dijagonalnom bloku, na sporednoj dijagonali iznad glavne dijagonale, nalaze se „1“.
6.4. ODREĐIVANJE FUNKCIJE PRENOSA IZ MODELA PROSTORA STANJA
Model u prostoru stanja:
0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x
Primenom Laplasove transformacije, uz nulte početne uslove ( (0) 0x ), dobija se:
( ) ( ) ( )sX s AX s BU s
1
( ) ( )X s sI A BU s
( ) ( ) ( )Y s CX s DU s
1 1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
G s
Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s G s U s
Funkcija prenosa sistema
1( )
( )( )
Y sG s C sI A B D
U s
6.5. FUNDAMENTALNA MATRICA SISTEMA
Sistem: 0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x
Rešavanje matrične diferencijalne jednačine po promenljivim stanja:
( ) ( ) ( ) |x t Ax t Bu t L
0( ) ( ) ( )sX s x AX s BU s , 0x - vektor početnih stanja
0( ) ( )sI A X s x BU s
1 1
0( ) ( )X s sI A x sI A BU s
, 1
?sI A
Rezolventna matrica
1( )
det
adj sI As sI A
sI A
Karakteristični polinom sistema je imenilac rezolventne matrice
( ) detf s sI A
Fundamentalna matrica sistema ( )t je inverzna Laplasova transformacija rezolventne
matrice ( )s :
1( ) ( )t s L
111 1 1 1
2 3 2 31 1 1
2 3 4
2 32 2 3 3
0
( ) ( )
1 1 1 1
2! 3! 2! 3!
1
!
n
n
At
At s sI A s I
s
A A A I A A As I
s s s s s s s
I At A t A t I At At At
Atn
e
=
L L L
L L
Fundamentalna matrica sistema
( ) Att e
Napomena:
1 21 1x x x
0 !
n
n
x x
ne
6.6. JEDNAČINA KRETANJA SISTEMA U PROSTORU STANJA
Model u prostoru stanja:
0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x
Primenom Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu dobija se:
0
1 1( ) ( )X s x BU ssI A sI A
0(( ) ) ( )) (X s x ss s BU
Primenom inverzne Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu dobija se:
1 1 1
0
1 1
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
t
x t X s s x s BU s
s t tx s BU s x Bu d
L L L
L L
Pošto je ( ) Att e , za jednačinu kretanja u prostoru stanja dobijamo:
0
0
( ) ( )
tA tAtx t e x e Bu d
Kretanje sistema pod dejstvom početnih uslova: 0
Ate x
Kretanje sistema pod dejstvom spoljne pobude:
0
( )
tA t
e Bu d
Izlaz sistema
0
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
tA tAt
tA tAt
y t Cx t Du t
C e x e Bu d Du t
Ce x Ce Bu d Du t
0
0
( ) ( ) ( )
tA tAty t Ce x Ce Bu d Du t
Izlaz sistema pod dejstvom početnih uslova
0
AtCe x
Izlaz sistema pod dejstvom spoljne pobude
0
( ) ( )
tA t
Ce Bu d Du t
Grafički prikaz kretanja sistema u prostoru stanja
Ponašanje sistema možemo prikazati grafički na sledeći način:
- Promenljive stanja 1, , nx x se usvajaju za koordinate u n-dimenzionom prostoru.
- Ovako definisan n-dimenzioni prostor se naziva prostor stanja sistema.
- Za različite vrednosti vremena t , vrednosti 1( ), , ( )nx t x t predstavljaju tačke u
n-dimenzionom prostoru.
- Linija koja spaja tačke u n-dimenzionom prostoru naziva se trajektorija sistema.
Primer: Neka je sistem opisan vektorom stanja koji sadrži 3 komponente
1 2 3
Tx x x x . Promenljive 1 2 3, ,x x x
usvojimo kao koordinate u 3D prostoru.
Za različite vrednosti vremena t , vrednosti
1 2 3( ), ( ), ( )x t x t x t predstavljaju tačke u 3-
dimenzionom prostoru.
Linija koja spaja tačke u 3-dimenzionom prostoru predstavlja se trajektoriju sistema.
6.6. KONTROLABILNOST (UPRAVLJIVOST) STANJA KONTINUALNOG SISTEMA
Definicija. Stanja ( )x t kontinualnog sistema
0( ) ( ) ( ), (0)x t Ax t Bu t x x
su potpuno kontrolabilna (upravljiva) ako je za svako početno stanje (0)x i za bilo
koje željeno krajnje stanje x moguće naći upravljanje ( )u t na nekom konačnom
vremenskom intervalu 0,t tako da svaži uslov ( )x x .
Drugim rečima, stanja sistema su potpuno kontrolabilna ako
(0)x x ( ), 0,u t t , ( )x x
(0)x - početno stane
x - željeno krajnje stanje ( )u t - upravljanje
Koristeći definiciju kontrolabilnosti vrlo je teško proveriti kontrolabilnost stanja sistema.
Kako onda proveriti kontrolabilnost stanja ?
6.6.1. MATRIČNI TEST KONTROLABILNOSTI STANJA SISTEMA
Jedan od efikasnih načina za proveru kontrolabilnosti stanja sistema jeste tzv. matrični test
Definišimo sledeću matricu (koja se naziva matrica kontrolabilnosti)
2 1n
C n nrQ B AB A B A B
Teorema. Matrični test kontrolabilnosti
a) Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema budu potpuno kontrolabilna (upravljiva) je
Crang Q n
b) Ukoliko je
Crang Q n p
postoji p stanja koja nisu kontrolabilna (nisu upravljiva).
Podela stanja sistema prema kontrolabilnosti
Kontrolabilni (upravljivi) deo vektora stanja: (n-p) stanja su kontrolabilna
- Dejstvom upravljačkog vektora moguće je kontrolabilna stanja postaviti na unapred zadate vrednosti.
Nekontrolabilni (neupravljivi) deo vektora stanja: (p) stanja nisu kontrolabilna
- Nekontrolabilna stanja se ne mogu se postaviti na unapred zadate vrednosti.
- Nekontrolabilna stanja su linearna kombinacija preostalih n-p kontrolabilnih stanja i ona se ne mogu nezavisno menjati u odnosu na kontrolabilna stanja.
KONTROLABILNA STANJA (n-p)
NEKONTROLABILNA STANJA (p)
u(t)
6.7. KONTROLABILNOST (UPRAVLJIVOST) IZLAZA SISTEMA
Definicija. Izlazi ( )y t kontinualnog sistema
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ), (0)
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t y y
su potpuno kontrolabilni (upravljivi) ako je za svaku početnu vrednost izlaza (0)y i za
bilo koju željenu krajnju vrednost izlaza y moguće naći upravljanje ( )u t u nekom
konačnom vremenskom intervalu 0,t tako da važi uslov ( )y y .
Dakle, izlazi sistema su potpuno kontrolabilni ako važi
(0)y y ( ), 0,u t t , ( )y y
(0)y - početna vrednost izlaza
y - željena krajnja vrednost izlaza
( )u t - upravljanje
Koristeći definiciju kontrolabilnosti vrlo je teško proveriti kontrolabilnost stanja sistema. Kako onda proveriti kontrolabilnost izlaza ?
6.7.1. MATRIČNI TEST KONTROLABILNOSTI IZLAZA SISTEMA
Jedan od efikasnih načina za proveru kontrolabilnosti izlaza sistema jeste matrični test.
Definišimo sledeću matricu
2 1
( 1)
n
m n rCB CAB CA B CA B D
Teorema. Potreban i dovoljan uslov da izlazi sistema budu potpuno kontrolabilni je:
2 1nrang CB CAB CA B CA B D m
gde je m - broj izlaznih promenljivih
6.8. OPSERVABILNOST (osmotrivost) STANJA SISTEMA
Definicija. Stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema su potpuno opservabilna (osmotriva) ukoliko je na osnovu merenja vektora izlaza ( )y t u nekom
konačnom intervalu vremena 0,t moguće jednoznačno rekonstruisati sva
početna stanja sistema 0(0)x x .
Posledica. Stanja sistema su potpuno opservabilna ako se svaka njihova promena
odražava na svim izlaznim promenljivim.
6.8.1. MATRIČNI TEST POTPUNE OPSERVABILNOSTI
Jedan od efikasnih načina za proveru opservabilnosti sistema jeste tzv. matrični test. Definišimo sledeću matricu (koja se naziva matrica opservabilnosti)
0
1n
mn n
C
CAQ
CA
Teorema.
a) Potreban i dovoljan uslov da stanja kontinualnog linearnog stacionarnog sistema budu potpuno opservabilna jeste:
OrangQ n
b) Ukoliko je
OrangQ n p
tada postoje p stanja koja nisu opservabilna, i koja se, na osnovu izlaznog signala, ne mogu rekonstruisati. Drugim rečima, p neopservabilnih stanja sistema ne utiču na izlaz sistema.
Podela stanja sistema prema opservabilnosti
Opservabilni (osmotrivi) deo vektora stanja: (n-p) stanja su opservabilna
Na osnovu merenja izlaza sistema mogu se rekonstruisati samo opservabilna stanja sistema.
Neopservabilni (neosmotrivi) deo vektora stanja: (p) stanja nisu opservabilna
Na osnovu merenja izlaza sistema ne mogu se rekonstruisati neopservabilna stanja sistema.
OPSERVABILNA STANJA (n-p)
NEOPSERVABILNA STANJA (p)
y(t)
Podela vektora stanja sistema prema kontrolabilnosti i opservabilnosti
y(t)
KONTROLABILNI
OPSERVABILNI
KONTROLABILNI
NEOPSERVABILNI
NEKONTROLABILNI
OPSERVABILNI
NEKONTROLABILNI
NEOPSERVABILNI
u(t)
Na osnovu izlaza sistema mogu se rekonstruisati samo opservabilna stanja sistema Ulazi sistema
deluju samo na kontrolabilna stanja sistema
6.12. ZATVARANJE POVRATNE SPREGE PO STANJIMA I PODEŠAVANJE POLOVA SISTEMA
Posmatramo sistem sa povratnom spregom po stanjima sistema. Strukturni dijagram u prostoru stanja prikazan je na slici.
U povratnoj sprezi po stanjima postavljena je matrica K koju je potrebno odrediti tako da sistem poseduje zadato ponašanje.
Model sistema
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x t Ax t Bu t
y t Cx t
Povratna sprega po stanjima
( ) ( ) ( )u t v t Kx t , dim K r n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t vx t Ax t B Ku tt t x
Sistem sa povratnom spregom po stanjima:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t B v t Kx t A BK x t Bv t
Usvojimo matricu A A BK . Tada sistem sa povratnom spregom glasi:
( ) ( ) ( )x t Ax t Bv t
Karakteristični polinom sistema sa povratnom spregom glasi:
( ) det detf s sI A sI A BK
Funkcija prenosa sistema sa povratnom spregom:
1 1
( )G s C sI A B C sI A BK B
Zatvaranjem povratne sprege po stanjima i pogodnim izborom matrice pojačanja K u povratnoj sprezi, polovi sistema u zatvorenoj sprezi mogu se podešavati na zadate vrednosti.
Da li je podešavanje polova moguće postići uvođenjem povratne sprege po stanjima ?
Odgovor: Moguće je pod određenim uslovima.
SLUČAJ 1: sva stanja sistema su kontrolabilna
Primer. Model kontinualnog sistema u prostoru stanja je dat pomoću:
1 1 1
( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )2 0 1
x t x t u t y t x t
Cilj: Projektovati sistem sa povratnom spregom tako da on ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s
Rešenje. Proveravamo kontrolabilnost:
1 0
21 2
rang B AB rang n
(stanja su kontrolabilna)
Karakteristični polinom otvorenog sistema:
0 1 1 1 1
( ) det det det0 2 0 2
( 1) 2 ( 1)( 1)
s sf s sI A
s s
s sss
Pol +1 je nestabilan i pokušaćemo da ga, zatvaranjem povratne sprege po stanju, postavimo u levu poluravan s-ravni. -1 1
Karakteristični polinom zatvorenog sistema
1 2
1 2
1 2
2
1 2 1 2
( ) det
1 1 1det
2 1
1 1det
2
1 3 2
f s sI A BK
sk k
s
s k k
k s k
s k k s k k
Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema
2 2 2 2 2
12ˆ 2 2 0.5 2 2 2 4 1 3n nf s s s s s s s p j
Izjednačavanje polinoma: 2 2
1 2 1 21 3 2 2 4s k k s k k s s
1 2
1 2
1 2
3 2 4
k k
k k
1 2 2.25 1.25K k k
-1
-1 1
SLUČAJ 2: Neka stanja sistema nisu kontrolabilna
Primer 6.7. Posmatrajmo sistem koji se od sistema iz prethodnog primera razlikuje jedinio u matrici B
1 1
( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )0
1
12x t x t u t y t x t
Cilj: Projektovati sistem sa povratnom spregom tako da on ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s :
Rešenje:
Karakterističan polinom otvorenog sistema:
( 1
0 1 1 1 1( ) det det det
0 2 0 2
)( 1) 2 ( 1)s
s sf s sI A
s s
s s s
Polovi otvorenog sistema: 1,2 1p . Pol 1 1p je nestabilan!
-1 1
Provera kontrolabilnosti:
1 2
1 21 2
CrangQ rang B AB rang n
Jedno stanje modela je nekontrolabilno.
Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema:
2 2 2 2 2
12ˆ 2 2 0.5 2 2 2 4 1 3n nf s s s s s s s p j
Karakterističan polinom zatvorenog sistema:
1 2
1 2 2
1
1 2
2 1 2
1 2
1 2
1 1 1( ) det det
2 1
1 1det
( 1) ( 1)( 2) ( ),
1 22
2
sf s sI A BK k k
s
s k ks k k s k k
k s k
k k as ks sk s a
2 1 21( 2)( 1) ( 1 ( ), 2)( )f s k k as ss k k s a
Pol otorenog sistema 1 1p ostaje nepromenjen nakon zatvaranja povratne sprege.
Sistem sa zatvorenom povratnom spregom će takođe biti nestabilan za bilo koji izbor matrice pojačanja K.
Drugi pol otvorenog sistema, 2 1p , moguće je izborom matrice K izmestiti na
željenu lokaciju, ali samo na realnoj osi ( 2p a ):
1 2 1 22 2k k a k k a
Zaključak: Nakon zatvaranja povratne sprege po stanju, nije moguće izmestiti polove
otvorenog sistema 1,2 1p na pozicije 12 1 3p j pošto je jedno stanje
nekontrolabilno.
6.13. ZATVARANJE POVRATNE SPREGE PO IZLAZU
Sistem: ( ) ( ) ( ), ( ) ( )x t Ax t Bu t y t Cx t
Povratna sprega po izlazu: ( ) ( ) ( )u t v t Ky t dim K r m
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x t Ax t B v t Ky t Ax t Bv t BKCx t
A BKC x t Bv t Ax t Bv t
( ) ( ) ( )x t Ax t Bv t , A A BKC
Karakteristični polinom zatvorenog sistema: ( ) detf s sI A BKC
SLUČAJ 1: (broj ulaza r ) x (broj izlaza m) (broj stanja n) i sva stanja su kontrolabilna
Primer. )1
1
1 1( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 (
2 0x t x t u t y t x t
Cilj: Sistem u zatvorenoj sprezi treba da ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s .
Željeni karakteristični polinom zatvorenog sistema:
2 2 2
12ˆ 2 2 4 1 3n nf s s s s s p j
Karakteristični polinom zatvorenog sistema:
A BKC , dim 2 1, dim 1 2B C dim 1 1 1K r m
21 1
( ) det d2
1 2ets k
f s sI A BKC s ss
kk
k
Određivanje matrice K : 2 2 2 41 2s s k sk s
Kada su sva stanja kontrolabilna, od n polova sistema možemo da podesimo onoliko koliko imamo slobodnih koeficijenata u matrici K, tj. ( )r m polova.
Možemo podesiti samo jedan koeficijent, drugi je linearno zavistan.
broj ulaza 1r
broj izlaza 1m
broj stanja 2n
SLUČAJ 2: r m n i sva stanja su kontrolabilna
Primer: 1 0
1 1
1 1( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )
2 0x t x t u t y t x t
Cilj: Sistem u zatvorenoj sprezi treba da ima faktor relativnog prigušenja 0.5 i neprigušenu prirodnu učestanost 2 /n rad s .
Željeni karakteristični polinom:
2 2 2
12ˆ 2 2 4 1 3n nf s s s s s p j
Karakteristični polinom zatvorenog sistema:
A BKC , dim 2 2, dim 1 2B C 1dim 2K r m , 1
2
Kk
k
1 21
2( ) det 1 2kf s sI A BKC s s kk
Određivanje matrice K :
2 2
1 1 21 2 2 4s k s k k s s 1 21, 5k k
Kada su sva stanja kontrolabilna, možemo podesiti min ,r m n polova sistema u
zatvorenoj sprezi.
broj ulaza 2r
broj izlaza 1m
broj stanja 2n
SLUČAJ 3: r m n i p stanja nije kontrolabilno
Sistem: 1 1
( ) ( ) ( ), ( ) 1 0 ( )0
1
12x t x t u t y t x t
Polovi otvorenog sistema:
1 2( ) det ( 1)( 1) 0 1, 1f s sI A s ps p
Provera kontrolabilnosti:
1 2
1 21 2
CrangQ rang B AB rang p n
Karakteristični polinom zatvorenog sistema:
21 1
( ) det d
1
et 1 22
2
s kf s sI A BKC s k s k
k
s
s
s k
Pomoću k može se pomerati samo jedan pol dok je drugi pol, 2 1p nepokretan.
Zatvaranjem povratne sprege po izlazu, može se podesiti položaj min , -r m n p
polova sistema u zatvorenoj sprezi.
broj ulaza 1r
broj izlaza 1m
broj stanja 2n
1p stanje nije
kontrolabilno.
dim 1K
K k
6.14. UTICAJ POVRATNIH SPREGA PO STANJU I IZLAZU NA OSOBINE SISTEMA
Da li se osobina kontrolabilnosti odnosno opservabilnosti može promeniti zatvaranjem povratne sprege po
po stanju? po izlazu? kontrolabilnost NE NE opservabilnost DA NE
Ako je neko stanje upravljivo onda njegova upravljivost ne zavisi od načina na koji se kreira upravljački signal.
Ako se upravljački signal kreira zatvaranjem povratne sprege po stanju ili izlazu, onda se kontrolabilnost stanja neće promeniti.
Da li se mogu proizvoljno podešavati pozicije svih polova sistema ( )n zatvaranjem povratne sprege po
po stanju? po izlazu?
sva stanja ( )n su
kontrolabilna
DA svih n polova se može
proizvoljno podesiti
NE samo min ,r m n polova se
može proizvoljno podesiti
p stanja nije
kontrolabilno
NE samo n p polova se
može proizvoljno podesiti
NE samo min , -r m n p polova
se može proizvoljno podesiti
Povratna sprega po stanju predstavlja upravljanje sa potpunom informacijom.
Povratna sprega po izlazu predstavlja upravljanje sa nepotpunom informacijom.