6. zadaci za vježbu iz matematike1 - fsb online. zadaci za vježbu iz matematike1 trigonometrijske...
TRANSCRIPT
6. zadaci za vježbu iz Matematike1
Trigonometrijske i arcus funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
1. Poznavajuci graf funkcije y = sin x skicirati grafove funkcija:
a) y = 3 sinx2
b) y =32
sin 2x
c) y =12
sin (3x + π) d) y = 2 sin( x2−π
4
)
2. Naci najvecu i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu:
a) f (x) = x − sin x, x ∈ [0,π
2] b) f (x) = sin x − cos x, x ∈ [0, π]
3. Odrediti pomocu trigonometrijske kružnice:
a) arccos(cos
(−π
4
))b) arcsin
(sin
(3π4
))
4. Naci derivacije funkcija:
a) f (x) =√
arcsin x − (arc tg x)2 b) f (x) =√
arc tg x +1
arcsin x
5. Pod kojim kutem grafovi funkcija:
a) y =√
3 · sinx3
b) y = 3 · arcsinx3
sijeku x-os u ishodištu?
6. Izracunati integrale:
a)∫ √
2/2
0
1√
1 − x2dx b)
∫ 1
−1
11 + x2 dx
7. Izracunati neprave integrale:
a)∫ ∞
−∞
11 + x2 dx b)
∫ 1
0
1√
1 − x2dx
8. Poznavajuci grafove funkcija y = ex i y = ln x skicirati grafove funkcija:
a) y = ln(−x) b) y = −ex c) y = ex − 1
d) y = ln (x + 1) e) y = − ln(−
x3
)f) y = 3 − e2x
9. Ispitati tok i skicirati graf funkcije:
a) y = x2 ln x b) y = x2e−x
10. Primjenom prethodnog logaritmiranja derivirati funkciju:
a) y =
√x − 1
3√
(x + 2)2√
(x + 3)3b) y =
(x − 2)9√(x2 + 1)5 · (x − 3)3
c) y = xsin x d) y = (cos x)x
11. Vrijeme poluraspada radija je T = 1690 godina. Koliko ce ostati od 1 grama radija nakon 10000 godina?
12. 20% radioaktivnog elementa raspadne se u godinu dana. Koliko je vrijeme poluraspada tog elementa?
2
Rješenja
1.
a)
b)
c)
d)
2. a) Gm(0, 0), GM(π2,π
2− 1
)b) Gm(0,−1), GM
(3π4,√
2)
3. a)π
4b)
π
4
4. a) f ′(x) =1
2 ·√
arcsin x ·√
1 − x2−2
arc tg x1 + x2 b) f ′(x) =
12 ·√
arc tg x · (1 + x2)−
1
arcsin2 x ·√
1 − x2
3
5. a)π
6b)
π
4
6. a)π
4b)
π
2
7. a) π b)π
2
8.
a)
b)
4
c)
d)
e)
f)
5
9.
a) y = x2 ln x
• Podrucje definicije: D = 〈0,∞〉
• Nul-tocke: y(1) = 0
• Granicno ponašanje: limx→∞
y = ∞, limx→0−
y = 0
• Rast i pad: y↘ za x ∈⟨0,
1√
e
⟩, y↗ za x ∈
⟨ 1√
e,∞
⟩• Ekstremi: Lm
( 1√
e,−
12e
)• Konveksnost i konkavnost: y ∩ za x ∈
⟨0,
1√
e3
⟩, y ∪ za x ∈
⟨ 1√
e3,∞
⟩• Infleksije: Ti
( 1√
e,−
32e3
)• Graf:
b) y = x2e−x
• Podrucje definicije: D = 〈−∞,∞〉
• Nul-tocke: y(0) = 0
• Granicno ponašanje: limx→±∞
y = ∞
• Rast i pad: y↘ za x ∈ 〈−∞, 0〉 ∪ 〈2,∞〉, y↗ za x ∈ 〈0, 2〉
• Ekstremi: Lm(0, 0), LM(2,
4e2
)• Konveksnost i konkavnost: y ∪ za x ∈ 〈−∞, 2−
√2〉∪ 〈2+
√2,∞, 〉, y ∩ za x ∈ 〈2−
√2, 2+
√2〉
• Infleksije: T1(2 −√
2, (2 −√
2)2 · e−2+√
2), T2
(2 +√
2, (2 +√
2)2 · e−2−√
2)
• Graf:
6
10. a)dydx=
√x − 1
3√
(x + 2)2 ·√
(x + 3)3·
(1
2(x − 1)−
23(x + 2)
−3
2(x + 3)
)
b)dydx=
(x − 2)9√(x2 + 1)5 · (x − 3)3
·
(9
x − 2−
5xx2 + 1
−3
2(x − 3)
)c)
dydx= xsin x ·
(cos x ln x +
sin xx
)d)
dydx= (cos x)x ·
(ln cos x − x
sin xcos x
)
11. Q(10000) =(12
)10000/1690
� 0.017 g
12. t =ln 0.5ln 0.8
� 3.14 godina
7