6.3 不等式的证明⑶

⒈ 比较法证明不等式的依据：

复习

变形判断符号

判断商与 1的大小

作差作商

⒉ 比较法证明不等式的步骤：

a ＞ b a － b ＞ 0a ＝ b a － b ＝ 0a ＜ b a － b ＜ 0

作差法 作商法 (a ， b R∈ ＋ )

a ＞ b ＞ 1a ＝ b ＝ 1a ＜ b ＜ 1

ababab

新课讲解 例⒈已知 a ， b ， c 是不全相等的正数， 求证： a(b2 ＋ c2) ＋ b(c2 ＋ a2) ＋ c(a2 ＋ b2) ＞6abc 证明：∵ b2 ＋ c2 ≥2bc ， a ＞ 0

∴ a(b2 ＋ c2)≥2abc. ①同理 b(c2 ＋ a2)≥2abc. ②

c(a2 ＋ b2)≥2abc. ③ ∵ a ， b ， c 是不全相等的正数，∴b2 ＋ c2≥2bc ， c2 ＋ a2≥2ac ， a2 ＋ b2≥2ab三式不能全取“＝”号

∴ a(b2 ＋ c2) ＋ b(c2 ＋ a2) ＋ c(a2 ＋ b2) ＞ 6abc

从而①、②、③三式不能全取“＝”号。

例⒉已知 a ， b ， c 为正数，

证明： ∵a2b2 ＋ b2c2≥2ab2c ①

b2c2 ＋ c2a2≥2bc2a ②

a2b2 ＋ c2a2≥2ca2b ③

∴ 由①＋②＋③得

2(a2b2 ＋ b2c2 ＋ c2a2)≥2abc(a ＋ b ＋c)

∴ a2b2 ＋ b2c2 ＋ c2a2≥abc(a ＋ b ＋ c)

求证： a2b2 ＋ b2c2 ＋ c2a2≥abc(a ＋ b ＋ c)

例⒊已知： a ， b ， c 是不全相等的正数，求证： lg ＋ lg ＋ lg ＞ lga ＋ lgb ＋ lgc

a ＋ b2

b ＋ c2

a ＋ c2

证明：∵ a ， b ， c 是正数， ≥∴ aba ＋ b

2 ≥ bcb ＋ c

2

≥ aca ＋ c

2

又∵ a ， b ， c 是不全相等的正数，

∴ · · ＞ abca ＋ b

2b ＋ c

2a ＋ c

2

∴ lg ＋ lg ＋ lg ＞ lga ＋ lgb ＋ lgca ＋ b

2b ＋ c

2a ＋ c

2

课堂小结 在不等式的证明中，利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法。

课堂练习

若实数 x 与 y 满足 x ＋ y － 4 ＝ 0 ，求 x2 ＋ y2 的最小值 。

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课外作业