§7-6 对称结构的计算
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m. F. q. q. ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑. ↓↓↓↓↓↓↓↓↓. EI 1. F. F 1. F 1. EI. F 1. F 1. l/2. l/2. EI 2. 对称轴. EI. EI 2. 对称轴. EI 1. 对称轴. 对称轴. a/2. a/2. 反对称荷载. 对称轴. 对称轴. 对称荷载. §7-6 对称结构的计算. 对称结构是几何形状、. 支座、. 刚度. 1 、结构的对称性：. 都对称。. EI. EI. EI. 2 、荷载的对称性：. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
§7-6 对称结构的计算对称结构是几何形状、支座、刚度都对称。
EI
EI EI
1 、结构的对称性：
对称轴
对称轴l/2
l/2
a/2 a/2
EI1
EI1
EI2
EI2
2 、荷载的对称性： （正）对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。
反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。
对称轴对称轴
EI
EI
对称轴
↓↓↓↓↓↓↓↓↓q F
F1F1
对称荷载
对称轴
↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ q
F F1 F1
m
反对称荷载
2
任何荷载都可以分解成正对称荷载 + 反对称荷载。
F
F1F2
一般荷载
a F/2
P P
正对称荷载
a a F/2
W W
反对称荷载
F/2 a a F/2
F1=W+P ， F2=W—P
3
3 、利用对称性简化计算：1 ）取对称的基本体系 ( 荷载任意，仅用于力法 )
F
F2
一般荷载
X3
X2
X1
X2
X1=1
1M
X2=1 X2
2M
X3=1
3M
032233113
000
P3333
P2222121
P1212111
XXXXX
力法方程降阶 如果荷载对称， MP 对称，Δ3P=0 ， X3=0 ； 如果荷载反对称， MP 反对称， Δ1P=0 ， Δ2P=0 ， X1= X2 =0 。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
4
EI
EI EI
① 对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 a ）位于对称轴上的截面的位移 ， 内力
F F
C
uc=0 、 θc=0
F F
FSC=0
FSC
FC
等代结构
b ）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座。
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座。
对称： uc=0,θc=0中柱： vc=0
F F
C
C
F等代结构
F F
C
对称： uc=0, θc=0
中柱：vc=0
F F
C
对称： uc=0中柱： vc=0
F等代结构
c ）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。 c ）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
FNCFNC
MC
2 ）取等代结构计算 ( 对称或反对称荷载，适用于各种计算方法 )
5
F F
C
2EI
EI
EI EI
② 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a ）、位于对称轴上的截面的位移 ， 内力
F F
vc=0
F F
FNC=0 ， MC=0
FSC
F
C
等代结构F
等代结构F
等代结构
C
F F
C
2EI
F F
C
2EI
EI
EI
FNCFNC
MC
c ）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆b ）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆
7
198
103.5
81
135
kNm
例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑
↑
EI
EI
EI
6m
6m
23kN
/m
等代结构的计算
103.5
81
135
M
K kN·m
198198
103.5
81
135
kNm
396
207
等代结构
利用对称性计算要点：①选取等代结构；②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；④非对称荷载分成对称和反对称荷载。
EI
EI
2EI
EI
EI
6m 6m
6m
↑↑↑↑↑↑↑
46kN
/m
8
F
P
EI= 常数
l/2
l/2 l/2
F/2
F/2l/2
F/2
l/2
l/4
F/2
l/2
l/4
X1
基本体系
l/2
X1=1
F/2
l/2
4
Fl 1
MMp
解 : 11 x1+Δ1P=0
11=
Δ1P=
EI
lll
EI 4
311
41
21
1
EI
FlFl
lFll
EI 84/
41
821
1 2
X1= 6
Fl
先叠加等代结构的弯矩图
12
Fl
6
Fl
12
Fl
9
作图示刚架的弯矩图。EI= 常数。
FF
F F
F
F
A
BC
F
C B
Fl/8 Fl/8
Fl/8 Fl/8
FF
F F
l/2 l/2 l/2 l/2A
BC
l/2
l/2
10
例题：用力法计算图示结构并作 M 图。 EI= 常数。
2kN4kN.m
4m 4m 2m
4m4kN.m
4m 4m
4m
4kN.m
4kN.m
X1X1=1
4
M
MP
4kN.m4
解 : 11 x1+Δ1P=0
4
3
11
1
1
PX
64444
11
P
EIEI
3
256444
3
4244
2
1111
EIEI
1 3
3
4
1M 图 (kN.m)
2kN 2kN
11
无弯矩状态的判定：在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下
有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种：
1 ）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。－ F
M=0
2 ）一集中力沿 一柱轴作用，只有该柱有轴力。
－ F
M=0 M=0
3 ）无结点线位移的结构，受结点集中力作用，只有轴力。
MP=0MP=0 Δ1P=0 δ11>0
X1= Δ1P/δ11=0 M=M1X1+MP=0
F FF F
F
12
EI2
EI1 EI1
F
lh
F/2 F/2 F/2 F/2
例：求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。
M=0
－ F/2
F/2
等代结构
X1
基本体系
l/2
l/2
M
X1=1MP
F/2
Fh/2
EIlFh
EIlhFh
1
2
1
1P8222
1
EIl
EIhl
2
3
1
2
244
EIlll
EIlhl
21
11
13222
122
lIhIk
1
2l
Fhkk
2166X P
11
11
41626 Fh
kk
4166 Fhkk
13
416
26 Fh
k
k
416
6 Fh
k
k
419
18 Fh
4
Fh2
Fh
2
Fh
k 很小弱梁强柱
k 很大强梁弱柱
4
Fh
419
20 Fh
k=3
•荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关。•内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大。
•荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关。•内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大。
lI
hIk
1
2
14
例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。
EI=C
EA
P
P
a a
aa
EI=C
EA
P/2
P/2
P/2
P/2
EI=C
EA
P/2
P/2
P/2
P/2
解：将荷载分为正对承和反对称两组正对称结点荷载作用下各杆弯矩为零
反对称荷载作用取等代结构如下
1 、取基本结构；2 、力法方程：
= +EI=C
EA
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
等代结构
00
P/2
P/2
X1基本体系
0P1111 X
X1=1
1M
2
3Pa
X1
MP
2
Pa
3 、绘 求系数 自由项
PMM ,1
4 、解方程： 28
15
11
P11
PX
EI
Pa
EI
a
4
5
3
7 3
P1
3
11 5 、按 绘弯矩图。PMXMM 11
15
1
27
15
1
27
)28
(Pa
M 图
a
15
§7-7 超静定拱的计算方法
16m
3m
16
1X
X1
11
1FHP
cos N1F 1 yM
01111 X p
2
11 dsEI
ycos 2
dsEA
0
1 dsEI
yMP
2
N1dsEA
F2
111 ds
EI
MEI
11 ds
MM Pp
MP=M 0
X1=1
x
yX1=1
由于拱是曲杆 δ11Δ1P 不能用图乘法基本体系是曲梁，计算 Δ1P 时一般只考虑弯曲变形，计算 δ11 时，有时（在平拱中）还要考虑轴向变形 cossin0 FHFSFN
sin cos0 FHFSFS
0 FH yMM
求出 FH 后，内力的计算与三铰拱相同即： 三铰拱中： f
MF C
0
H
两铰拱中：
11
1FHP
17
MP=M 0
0 0＝
≠
E1A1
FH=1X1=111N MF
11
1FHP
MP=M 0
dsEIMM P
P1
1
dsEAFds
EIM 2
N121
11
落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构 如果 E1A1→∞，则 FH
*→FH ，因而两者的受力状态基本相同。 如果 E1A1→0，则 FH
*→0，这时，带拉杆的三铰拱实际一简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适当的加大拉杆的刚度。
FH*=1
11N MF
dsEA
Fds
EI
M 21N
21*
1111AE
l
1111
*11 AE
l
*11
*P1*
H F P1
1*P1 ds
EI
MM P*11
*P1*
H F
18
例： EI= 常数，求 FH 。拱轴线方程为 xlxl
fy
2
4
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
xBA
↓↓↓↓↓↓↓q
ql81
ql83
ql16
2
xlqlM 810 lxl
2
qxqlxM 221
830
fql
FHP
16
2
11
1
EI
lfdxxlx
lf
EI
l
15841 2
0
2
211
dx/EIyMdxyEI
l
p
l10
010
211
解 : 简化假定 : 只考虑弯曲变形 ; 近似地取ds=dx,cos=1( 平拱 ,f/l<0.2) 。
∴
(0<x<0.5l)
EI
qfldxxl
qly
EI
dxqxqlxyEI
l
l
l
308
1
2
1
8
31
3
0
2p1
2
2
ql 64
2
ql 64
2
M
x x
该例中，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。
M=M0 － FHyql16
2
M0
－ FHy
f
ql
f
M C
16
20
19
例：图示拱， EI= 常数，求其水平推力 FH 。拱轴线方程为
xlxl
fy
2
4
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
xBA
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
X1
对称荷载下，取三铰拱为基本体系，其 MP=0∴ Δ1P=0 ， X1=Δ1P/δ11=0 ，而 M= 011 PMXM
M 对称 =0
基本体系
＝
＋
在反对称荷载下，对称未知力 X1=0
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
X1
M 反对称 =M1X1+MP=MP = M0-FHy
而 F H 反 = f
M C0
=0
＝＝↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
ql 64
2
ql 64
2
M0
= M0
＝M 反对称
MP
f
qlFF
16
2
HH 正
20
对称无铰拱的计算
F1 F2
F1 F2C C1
O O1
F1 F2
X1
X2
X3
0
0
0
3333
2222121
1212111
P
P
P
X
XX
XX
X3
X2X2
X1X1
对称的基本体系
= o
y
x
cos2 FN2 yM
001 S11 FN1FM
N21S2S121
12 ds
EA
FFNdsGA
FFkds
EI
MM
X1=1 引起：X2=1 引起：
0
dsEI
adsEI
y 1
dsEI
y12
y‘ya
dsEI
ay
ds
EI
dsEIy
a1
δ12= δ21=0 →
x’
O 点的物理含义：0
0
0
p3333
p2222
p1111
X
X
X
sin3 FN3
xMX3=1 引起：
dsEA
dsEI
yds
EI
yM P
P
22
222
cos EIEI dsds
M P
P 111
1
dsx
dsxM P
2
EIEI
P 333
21
1/EI
a
ds
EI
dsEIy
a1
y‘
y‘
x‘
dsEI
1
弹性中心O
刚臂的端点 O 就是弹性面积的形心，叫弹性中心。
22
例 7-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
l =10m
Φ0 Φ0
R R
f=2.5m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
D
O
q=10kN/m
x’
X2X2
X1X1
Φ0 Φ0
R R
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
O
q=10kN/m
y‘
ya
y
x
解 : 求 R 和 φ0 R=6.25m
rad9273.0
6.0cos
8.0sin
0
0
0
x
φ
RdsMEI
RdsMEI
yayMM
027.0
855.1
1
32
222
2
111
21
mEIds
dsEIy
a
RayyRx
39.5
cossin
23
三铰拱的水平推力 505.28
1010
8
220
kNf
ql
f
MFH
C
350
507.51
FH
FHFH %
q
qRdsMMEI
qRdsMMEI
xM
PP
PP
P
0223.0
224.0
2
4
22
3
11
2
mkNRaXXMM
mkNaRXXM
kNXFH
BA .98.6)cos(
.76.2)(
7.51
021
21C
2
kNqRX
mkNqRX
P
P
7.51827.0
.1.47121.0
22
2
2
2
11
1
1
26
§7-8 温度改变、支座移动时超静定结构的内力
由于超静定结构有多余约束，所以在无荷载作用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力（自内力）。
27
1 、温度内力的计算（仅自由项计算不同）例 7-6 图示刚架施工时的温度为 15°C ，使用期间（冬季）温度 如图。求温度变化产生的内力。 EI= 常数。
－35
°
－ 35°
－35
°
+15°
+15
°
+15
°
40cm
60cm
8m
6m
X1
基本体系
X1=1
6 61N F
M
δ11X1+Δ1t=0
0
2
3515t
10 C
)35(15t
50 C
11
4322
3
62
2
66686
1
EIEI
6800 1 )81)(10()22/6686(
6.0
50t
1N1
11
XFFN
XMM
11
1
1 74.15432
6800EI
EIX t
94.2FN= － 15.74
M&FN×αEI
+15°
+15
°
+15
°
－35
°
－ 35°
－35
°
it±MN h
tt 0
温度改变时的力法计算特点：1）自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝 对值有关；2）系数计算同前；3）自由项计算
温度改变时的力法计算特点：1）自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝 对值有关；2）系数计算同前；3）自由项计算
it MN ht
t 0
28
2 、 支座移动时的计算
a
Δ1=δ11x1+Δ1c= － a Δ1=δ11x1+Δ1c= θ Δ1=δ11x1+Δ1c= 0
X1=1
l
1M X1=11
EI
l
3Δ1c=
l
a
l
EI 2
3
δ11=
X1=
l
a
l
a
l
EI 3X1=
1.5 1
1M
1Ml/3 2l/3
EI
l
3
3
Δ1c= － θlδ11=
a
1 ）
X1
EI
l
4
3δ11= Δ1c=
l
a
2
3
2
3
l
a
l
EI 2X1=
l
a
l
EI 3
M
EI l
a
X12)
a
X13)
X1=13)
1/l1.5/l
θ
a θ
a
cR
dxEI
M
C1
21
11
cR
dxEI
M
C1
21
11
2 ）系数计算同前；自由项 ΔiC= －∑ R·c c 是基本体系支座位移。 3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝对值有关2）系数计算同前；自由项 ΔiC= －∑ R·c c 是基本体系支座位移。 3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝对值有关
支座移动时的力法计算特点： 1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也不一样。基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。
支座移动时的力法计算特点： 1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也不一样。基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。
29
用力法求解单跨超静定梁
X1 X2
Δ
1/l
1/l
X2=1
1
2M
1M
X1=1
1
BC
AC
XX
XX
2222121
1212111
l
CC 21
EI
ll
EI 63
1
2
l12112
EI
l1
EI 33
2
2
l12211
llEI
X
llEI
X
AB
BA
64
64
2
1
lX
EI
lX
EI
ll
XEI
lX
EI
l
B
A
36
63
21
21
ΔθA θB
X2
X1
30
↑↑↑↑↑↑↑
q=23
kN/m
6m
6mEI
EI
EI
A B
198
103.5
81
135
M
kNm
q=23
kN/m
X1
基本体系
↑↑↑↑↑↑↑
X1
X2
X2
Δ1=0Δ2=0
当 {
原结构与基本体系受力和变形相同
=36= － 13.5
求原结构的位移就归结求基本体系的位移。求原结构的位移就归结求基本体系的位移。
X =1
6
M
C DD
D
求 ΔDH 1 6= — — （ 2×6×135 － 6×81 ） EI 6
1134= —— EI
虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，计算结果相同。
虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，计算结果相同。例： ΔGV
G
G1
3
M
1
1.5 6×1.5 81 729= － ——— · — = － —— 2EI 2 4EI EIEI 4
72936
2
13581)28138132(
6
31
§7-9 超静定结构位移计算
31
超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算
c1
c2
M FN FS M FN FS R
cRdsGA
FFkds
EA
FFds
EI
MM SSNN
F=1
M FN FS
t1 t2
M FN FS
F=1
dstFdsh
tMds
GA
FFkds
EA
FFds
EI
MM0N
SSNN
GA
kF
EA
F
EI
M SN
GAkFS
EAFN
EIM
ht t
0h
t t0
ht t
0h
t t0
32
dstFdsh
tM
dsGA
FFkds
EA
FFds
EI
MM
0N
SSNN
cR
综合影响下的位移计算公式
a
EI l
l
a
l
EI 3
M
例 7-7 求例 7-5 中超静定梁跨中挠度。
F=1
l/4
1/2
alal
a
l
EIl
l
EI 16
5
16
3
2
13
2
1
42
11
F=1l/2
l/2
all
l
a
l
EIll
EI 16
5
16
3
2
3
6
5
222
11
33
GA
F
EA
F
EI
M
RFFM*
S*
N*
**S
*N
*
、、
、、、
求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时，若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单。
c
EI, l,t0 ,Δt
F=1
①
②
GA
kFt
EA
F
h
t
EI
M
FFM
S0
N
NS
、、
、、
内外21
*21 1 WcRW
dsGA
kFFdst
EA
FFds
h
t
EI
MM S*
S0N*
N*
dsGA
kFFds
EA
FFds
EI
MM S*
SN*
N*
dsGA
FkFds
EA
FFds
EI
MM
*S
S
*N
N
*
而：
cRdstFdsh
tMct
*0
*N
*),(
cR *1 dstFdsh
tM
0
*N
*
内外1212 0 WW
34
Δc=
al
al
c 16
5
16
3
16
5
16
3
－∑ R*×c3Fl/16
F=1
a
EI l例：求超静定梁跨中挠度。
5F/16
例：求超静定结构，各杆 EI 为常数，截面为矩形， h=0.1l ，求 A 点水平位移。
l
l/2 l/2
15°15
°
15°
25°
A F=1
1/21/2
l/2l/2
F=1
*M
*NF
－1/2
＋1
－1
dstFdsh
tMAH
0
*N
*
oo 10,200 tt
lll
10)5.0(20)0(
1.0
10
35
例：超静定结构，各杆 EI 为常数 , 截面为矩形， h=0.1l ，求 C 点竖向位移。
l
l/2 l/2
15°
15°
15°
25°
CF=1
F=1
*M
*NF
dstFdsh
tMCH
0
*N
*
oo 10,200 tt
lll
ll
ll
ll
l
2440
32
2
120
42
1
40
32
40
3
2
1
1.0
10
40
3l
40
3l
－3/40
－1/2
－1/2
解：在原超静定结构上虚拟单位荷载，并用力法求得其弯矩图和轴力图。
36
1 ）重视校核工作，培养校核习惯。2 ）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；
或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。3 ）计算书要整洁易懂，层次分明。4 ）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。
力法解题校核1 ）阶段校核① 计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否
几何不变。② 求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。③ 解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。
§7-10 超静定结构计算的校核
37
2 ）最后内力图总校核
4m2m2m
4m
200kN 75
125
15
22.5
11.3
＋ ＋
＋
－ －
FS 图（ kN)
147.5 22.5
－
－＋
＋3.7
11.3
FN 图（ kN)
150
10060
20
30
15
40I=2 I=2
I=1 I=1M 图（ kN.m)
B
60
40
100∑M=0
200
3.775 15
147.5
11.3
22.5
∑X=3.7+11.3 － 15=0
∑Y=75+147.5 － 200 － 22.5 =0
38
δij=∫MjMi/EI×ds=δji
力法基本体系与原结构等价的条件是 n 个位移条件，Δ1=0 、 Δ2=0 、 …… Δn=0 将它们展开得到力法方程
Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i ， j=1 ， 2 ，…… n
其中： 解方程，求多余未知力；按 M=∑Mj·Xj+MP 叠加最后弯矩图。ΔiP=∫MPMi/EI×ds
这样，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件。 注意：这个结论对温度改变或支座移动引起的超静定结构计算是不成立的。
3) 变形条件校核
δii=∫MiMi/EI×ds>0
Pij
ji dxEI
MMdxX
EI
MM
Pjji dxMXM
EI
M
EI i dxMM
0 i 0 iPjij X 即：δij ΔiPδij ΔiPδij ΔiPδij ΔiP
39
M
4m2m2m
4m
200kN
150
10060
20
30
15
40I=2 I=2
I=1 I=1M 图（ kN.m)
B
A
XA=1
4
4
200
3
80 1 2
402044
3
42
2
4100
2
4
VA
2
4200
2
1
AX1=1
1 1
1
040
1
42
15301
14
2
6030
2
1
42
20401
1
dsI
M
dsEI
MM0 ds
EI
M
封闭框
结论 : 当结构只受荷载作用时 , 沿封闭框形的 M/EI 图形的 总面积应等于零。
结论 : 当结构只受荷载作用时 , 沿封闭框形的 M/EI 图形的 总面积应等于零。
40
X1=1
M1
1
1
1
↑↑↑↑↑↑↑
q=23
kN/m
6m
6m
EI
EI
EI
A B
X1
X1=1
6 6
M1
198
103.5
81
135
M
kNm
681135626
6
2
6
3
65.1032
3
62
2
198611
EI
0
1
2
681135
3
2
2
68111
EI
1
2
681135
3
2
2
68111
EI
41
静定结
构
超静定结
构
荷载作用 支座移动温度改变
内力
变形
位移
内力
变形
位 移
由平衡条件求 不产生内力
不产生变形
综合考虑平衡条件和变形连续条件来求
κ M=—— EI
＋αΔt —— h
……
静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表
dsh
tM
dsEI
MM
cR
dsEI
MM
dsEA
NN
dsEI
MM
dsEI
MM
dsh
tM cR
GA
kQ
EA
N
EI
M ,,
GA
kQ
EA
N
EI
M ,,
0, th
t
,,EA
N
EI
M
42
超静定结构的特性：
1 、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系； 2 、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，
还必须考虑变形条件； 3 、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产
生内力。 4 、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特
征有关，即与刚度有关。 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载
外因引起的内力与各杆的刚度绝对值有关。 5 、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较
高的防御能力。 6 、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小
局部的内力幅值和位移幅值。
l/2 l/2l/2 l/2
F
F
F
F
Fl/4Fl/4
43
例题：力法解图示刚架。
↑↑↑↑↑↑↑
q=23
kN/m
6m
6m
EI
EI
EI
A B
C D
q=23
kN/m ↑↑↑↑↑↑
↑
X1X1
基本体系
X2
X2
X1
X1=1
6 6
M1
X2
X2
=1
6
6
M2 q=23
kN/m ↑↑↑↑↑↑
↑
414MP
1 ）确定超静定次数，选取力法基本体系；2 ）按照位移条件，列出力法典型方程；
δ11X1 ＋ δ12X2 ＋ Δ1P ＝ 0
δ21X1 ＋ δ22X2 ＋ Δ2P ＝ 0
3 ）画单位弯矩图、荷载弯矩图，4 ）用（ A ）式求系数和自由项
5 ）解方程，求多余未知力144X1+108X2 － 3726=0108X1+288X2=0
X1=36 ，X2= － 13.5
6 ）按 M=∑Mi·Xi+MP 叠加最后弯矩图
198
103.5
81
135
M
kNm
14423
62
2
6611
2112 108
2
666
28863
62
2
66 322
3726
4
63
3
4146P1
0P2
44