第７章 自然対流熱伝達

伝熱工学の基礎： 伝熱の基本要素、フーリエの法則、ニュートンの冷却則

１次元定常熱伝導： 熱伝導率、熱通過率、熱伝導方程式

２次元定常熱伝導： ラプラスの方程式、数値解析の基礎

非定常熱伝導： 非定常熱伝導方程式、ラプラス変換、フーリエ数とビオ数

対流熱伝達の基礎： 熱伝達率、速度境界層と温度境界層、層流境界層と乱流境界層、境界層厚さ、混合平均温度

強制対流熱伝達： 管内乱流熱伝達、円柱および球の熱伝達、管群熱伝達

自然対流熱伝達： 垂直平板自然対流熱伝達、密閉層内自然対流、共存対流熱伝達

輻射伝熱： ステファン-ボルツマンの法則、黒体と灰色体、輻射率、形態係数

凝縮熱伝達： 鉛直平板膜状凝縮、凝縮数、水平円管膜状凝縮、滴状凝縮

沸騰熱伝達： 沸騰曲線、気泡力学、沸騰熱伝達率

加熱物体周りの等温度線を示す干渉写真（マッハツェンダー干渉計による計測結果）

垂直加熱平板周りの等温線

水平加熱円柱周りの等温線

水平加熱円柱群周りの等温線

自然対流熱伝達（Natural Convection）

熱伝達率の導出壁面近傍での流体速度＝０であるから、壁面から流体への熱移動は熱伝導のみによって伝えられる。

0

yy

Tkq

一方、ニュートンの冷却則により、 TThq w

0

y

w yTkTTh

だから

TTyTk

hw

0y

すなわち、熱伝達率hを求めるためには、壁面の温度勾配を知ればよい。

運動方程式

境界層内で運動方程式

2

2

yug

xP

yuv

xuu

境界層外の圧力勾配

gxP

上式より

2

2

yug

yuv

xuu

浮力

浮力の評価

体膨張係数：

TT

TTmmm

VTTVV

VTV

P

2

2

yugTT

yuv

xuu

温度変化→浮力

とすると、境界層内では、密度 は一定

運動方程式の変形

yuv

xuu

運動方程式の左辺 /

yuv

yv

xuu

xuu

yuv

yvu

xuu

2

xu 2

0v

連続の式

2

22

yuTTg

xu

運動方程式は

となる。

yuv

xuu

2

境界層内運動量積分方程式

dyyudyTTgdy

xu

0 2

2

00

2

2

22

yuTTg

xu

運動方程式

を境界層内で積分すると、

0

002

y

udyTTgdyudxd

0

002

yyudyTTgdyu

dxd

エネルギー式

2

2

yTk

yTv

xTuc p

2

2

yT

yTv

xTu

pck

左辺yTv

yv

xuT

xTu

yTv

xTu

xTu

よって、エネルギー式は、

2

2

yT

xTu

境界層内エネルギー積分方程式

dy

yTdy

xTu

0 2

2

0

0

0

y

TdyTTudxd

0

0

yy

TdyTTudxd

2

2

yT

xTu

以上のエネルギー式を積分すると、

温度分布の決定

2321 yCyCCyT

と仮定すると、境界条件が

0y wTT

y TT

y 0T

よって、

wTC 1

wTTC

22

23

wTTC

従って、

22

2 yTTyTTTyT www

221

yyTTTyT w

21

y

TTTyT

w

速度分布の決定

32 dycybyauu

と仮定すると、境界条件が

0yy

y

0y

0u0u0u

wTTgu

（∵ で 、 、 だから運動方程式より）0y 0u 0vよって

0a

2

TTgc w

uTTgb w

41

uTTgd w

41

2

14

yy

uTTg

uu 2

w

熱伝達率の導出壁面近傍での壁面から流体への熱移動は

0

yy

Tkq

一方、ニュートンの冷却則により、 TThq w

より

TTyTkh w

y 0

kTT

yTk

hw

y 20

であるから

21

y

TTTyT

w

TTyyT

w2

いま

0

002

yyudyTTgdyu

dxd

境界層内運動量積分方程式の変形

uTTguu w

x

4

2 21

yy

uu

x

21

y

TTTyT

w

13

)(105

2xwx uTTgu

dxd

：速度分布

温度分布：

境界層内運動量積分方程式

2

14

yy

uTTg

uu 2

w

境界層内エネルギー積分方程式の変形

uTTguu w

x

4

2 21

yy

uu

x

21

y

TTTyT

w

0

0

yy

TdyTTudxd

)(2

30)(

TTu

dxdTT w

xw

：速度分布

温度分布：

：境界層内エネルギー積分方程式

代表速度 と境界層厚さ の決定

2xu

uTTguu w

x

4

2

13

)(105

2xwx uTTgu

dxd

Cdx

d 5)(

4/1x'C

4/12

2/11

xC

xCux

xu

41

4

4

3

3

4

5

~

~4

5

5

5

5

)(

x

x

xC

dxCd

Cdxd

Cdxd

Cdx

d

未定係数 と の決定

4/12

2/11

xC

xCux

1C

)(2

30)(

TTu

dxdTT w

xw

13

)(105

2xwx uTTgu

dxd

2C

41

21

41

22 2120)(936.3

TTgC w

21

21

21 2120)(164.5

TTgC w

境界層厚さ の決定

41

21

41

2

3

2120)(936.3

xTTg

xw

41

21

41

Pr952.0Pr936.3

xGrx

プラントル数：

グラスホフ数：

2

3

Pr

xTTgGr wx

グラスフホフ数 の意味xGr

層流境界層から乱流境界層への遷移限界を与える

垂直平板の場合：

レノルズ数粘性力

浮力グラスホス数＝

98 1010 xGr

熱伝達率の導出壁面近傍での速流体速度＝０であるから、壁面から流体への熱移動は熱伝導のみによって伝えられる。

0

yy

Tkq

一方、ニュートンの冷却則により、 TThq w

0

y

w yTkTTh

だから

TTyTkh w

y 0

すなわち、熱伝達率hを求めるためには、壁面の温度勾配を知ればよい。

熱伝達率とヌッセルト数の導出

kTT

yTk

hw

y 20

ここで 2

1

y

TTTyT

w

TTyyT

w2より

であるから

TT

yTk

hw

y 0

熱伝達率とヌッセルト数の導出

41

21

41

Pr952.0Pr936.3

xGrx

kTT

yTk

hw

y 20

ここで

より

41

21

41

Pr952.0Pr936.32

xGrx

kh

よって

41

21

41

Pr952.0Pr508.0 xGrkhxNu

実際の自然対流における速度と温度勾配

自然対流における熱伝達率の実験式

mGrCNu Pr

レイリー数：

ヌッセルト数

PrGrRa

2

3

xTTgGr w

グラスホフ数：

Cとmは実験的に決定。ここで、

ヌッセルト数：

khxNu

プラントル数：

a

Pr

自然対流熱伝達率の実験式 mGrCNu Pr

自然対流熱伝達率の簡易予測式

94 10Pr10 Gr

水平円柱

表面形状

水平円板

垂直平板あるいは垂直円柱

加熱上向き平板または冷却下向き平板

41

42.1

LTh 3

195.0 Th

加熱下向き平板または冷却上向き平板

層流910Pr Gr

乱流

41

32.1

dTh

41

32.1

LTh

51

261.0

LTh

31

24.1 Th

31

43.1 Th

球 41

Pr43.02 GrNu )10Pr1( 5 Gr

問題7-1２５０℃、直径0.3048mの水平円管が、空気温度15℃の室内に置かれている。1m当たりの、自然対流による熱損失を、以下の関係式を用いて、求めなさい。ただし、膜温度132.5℃における以下の物性値を使用して良い。

)K/1(1047.25.405

1T1

687.0Pr)Km/W(03406.0k)s/m(1026.26

3

f

26

mGrCNu Pr(1) 実験式：(2) 簡易予測式

41

31

密閉層内自然対流熱伝達

khNu

2

3

TTgGr w

Pr

ベナール対流

自然対流熱伝達率

31

Pr046.0 GrNu

熱流束

74 10Pr10 Gr

30.0

012.041

PrPr42.0

LGrNu

000,20Pr1 4010 L

96 10Pr10 Gr 20Pr1 4010 L

みかけの熱伝導率（有効熱伝導率）

ヌッセルト数

2121 TTkNuTThAq

21 TTk

Aq

e

kkNu e

Aq

L

1T2T

m

nedLGrC

kk

Pr

密閉流体の自然対流熱伝達率の実験式

m

nedLGrC

kk

Pr

問題7-2二重ガラス窓がある。窓ガラスの大きさは0.5m四方で、ガラス同士の間隔は15mmである。二重ガラスの間は空気で満たされているとする。外気温が100℃のとき内部での温度を40℃に保つ時、両ガラス窓間の熱伝達量を求めなさい。ただし、物性値は、両ガラス窓間の平均温度70℃における以下の物性値を使用して良い。

)K/1(10915.23431

T1

7.0Pr)Km/W(0295.0k

)sm/kg(10062.2)m/kg(029.1

3

f

5

3

mne d/LPrGrkCk

9/1m,4/1n,197.0C

問題7-3

図に示すように、消費電力100 W の白熱電球を考える。周囲温度がT1 = 295 K で、点灯時の電球表面温度はT2 = 400 K であった。自然対流による平均熱伝達率が

= 7.1 [W/(m2･K)] のとき、対流による熱損失を推定せよ。ただし，電球を直径6 cmの球とする．h

自然対流と強制対流の共存対流（垂直管内の場合）

自然対流と強制対流の共存対流（水平管内の場合）

定期試験

日時： 平成２７年６月２６日（金）５・６時限

場所： ３Ｂ４０２

教科書・資料・ノート等： 持ち込み不可

電卓： 持込可

提出物： 回答用紙＋授業アンケート用紙