7 ideas clave el desarrollo de la competencia matemática - jesús m. goñi zabala
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32-2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemáticareflexiona sobre la diferencia entre dos maneras distintas de enfo
car la enseñanza de las matemáticas: las matemáticas como área
de conocimiento del currículo de la educación y/o las matemáticas
como competencia clave o básica para el aprendizaje. A la vez, se
dan pistas para entender qué se pretende con la aplicación de la
nueva propuesta de la Unión Europea del año 2006 que propone
la competencia matemática como una de las ocho competencias
clave para el aprendizaje a lo largo de toda la vida.De estructura clara, además de las ideas que propone para el
desarrollo de la competencia matemática, el libro incide en la
importancia de la innovación y el cambio para mejorar la capacitación docente. las ideas clave planteadas ayudan a responder a pre
guntas tales como:• ¿Cuál es la razón que justifica la presencia de las matemáticas en
el currículo?
• ¿Por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en eldesarrollo de la competencia matemática y qué debemos enten
der por competencia matemática?
• ¿Cuál es el cambio metodológico necesario para pasar de lasituación actual a otra en la que la finalidad sea el logro de
la competencia matemática?
• ¿Qué papel desempeñan los docentes y su formación en los cam
bios que hay que realizar, y en qué dirección debería caminar laformación de los docentes de matemáticas?
ISBN 978-84-7827-630-1
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Colección Ideas Clave
Director de la colección: Antoni Zabala
Serie Didáctica de las Matemáticas
© Jesús M.a Goñi Zabala
© de esta edición: Editorial GRAÓ, de IRIF,S.L.
C! Francesc Tarrega, 32-34. 08028 Barcelona
www.grao.com
1.a edición: julio 2008
ISBN: 84-7827-630-1
D.L.: B-3l.990-2008
Diseño: Maria Tortajada Carenys
Impresión: Imprimeix
Impreso en España
Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o a!,.,.,ace~"~ e":o total o
parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión dea ~ 5~" :::c' cualquier
medio, tanto si es eléctrico, como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia. s~ """ :c- zacón escrita
de los titulares del copyright.
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índice
Presentación 11
7 preguntas sobre el desarrollo de la competencia matemática y
7 ideas clave para responderlas 14
,. La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido asociada
a los currículos que propone y promueve 17
La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar 17
• El currículo escolar de matemáticas como propuesta social.
Un breve recorrido histórico 19
• El equilibrio se pierde y no se recupera. Una época de crisis
estructural en la enseñanza de las matemáticas 28
• La situación en España. El fracaso de la enseñanza
de las matemáticas en la educación obligatoria 33
• Un futuro incierto. La competencia matemática como una
nueva propuesta para organizar el currículo escolar 37
En resumen 38
En la práctica 40
:1. Los usos sociales de las matemáticas son los que deben definir los objetivos
de su enseñanza y no la epistemología de esta ciencia 41
El sabio, el profesional y el ciudadano 41
• Los matemáticos y la enseñanza de las matemáticas 42
• Los profesionales y la enseñanza de las matemáticas 51
• La enseñanza de las matemáticas y la ciudadanía 56
En resumen 67
En la práctica 68
3. El objetivo de la enseñanza de las matemáticas escolares es el desarrollo
de la competencia matemática 69
De área de conocimiento a competencia clave 69
• La Unión Europea y las competencias clave 70
• La competencia matemática como una propuesta para una
educación inclusiva 77
• La competencia matemática y el conocimiento de las matemáticas 81
• Los contextos de uso de las matemáticas y su relevancia para
el currículo de matemáticas por competencias 84
• Las competencias matemáticas y el uso de la tecnología.
Una última definición de competencia matemática 89
• Los ámbitos de uso de las matemáticas y su importancia relativa
a la hora de organizar el currículo de matemáticas según
las diversas etapas educativas 91
En resumen 103
En la práctica 104
4. La educación matemática se basa en la comunicación
y debe ir más allá de la mera instrucción transmisora 105
Instrucción versus educación 105
• Información, conocimiento y comunicación 106
• La comunicación como fundamento de la educación 111
• El análisis de las situaciones de enseñanza-aprendizaje
desde un enfoque comunicativo 115
• La instrucción en matemáticas y la educación matemática 119
En resumen 122
En la práctica 123
Las tareas a realizar son la clave para el desarrollo de los aprendizajes 125
El triángulo comunicativo y los procesos de enseñanza-aprendizaje 125
• Los criterios en los que hay que basarse para la selección de las tareas 128
• La tipología de tareas y su relación con los aprendizajes 132
• Ejercicios 134
• Experiencias 137
• Juegos , 143
• Problemas , 146
• Investigaciones 155
• Actividades de síntesis y elaboración de la información 158
En resumen 164
En la práctica 166
~ ~ La evaluación de las competencias determinará el currículo
de matemáticas 167
La sensación de déja vu cuando se habla de reforma en enseñanza.
El currículo evaluado 168
• La evaluación en matemáticas como motor del cambio 169
• La evaluación de la competencia matemática 173
En resumen 184
En la práctica 186
-:¡. ~ La competencia profesional de los docentes de matemáticas
es el factor más importante para la mejora de su enseñanza 187
El factor humano 187
• El enfoque comunicativo, la función docente y la competencia
de gestionar el currículo 189
• La formación inicial de los docentes de matemáticas 194
• Los nuevos marcos legales para la formación del profesorado de secundaria.
El postgrado de formación del profesorado de secundaria 203
• El paso de la formación inicial a la vida profesional 215
• La formación continua de los docentes de matemáticas 218
En resumen 226
En la práctica 229
Para saber más 230
Glosario 232
Referencias biblográficas 235
Presentación
La enseñanza de las matemáticas ha sido una de mis dedicaciones profesionales desde
hace ya más de 35 años. Mi preocupación didáctica empezó en los años setenta, cuando
me inicié como profesor de matemáticas de niños y niñas de unos diez u once años. La
cara de asombro e incomprensión que ponían cuando yo intentaba explicarles algo me
sorprendió y me hizo darme cuenta de que era posible que supiera algo de matemáti
cas, pero desde luego no las sabía enseñar. La situación me irritaba y me dolía porque
yo ponía todo mi interés, pero daba igual. Hablaba en un lenguaje que no era el suyo
y, a pesar de que ellos también lo intentaban, la cosa no iba bien. Entonces comprendí
que no sabía enseñar, aunque supiera y supiera explicar, no sabía cómo hacerla para
que ellos aprendieran, y esa socrática idea me hizo mucho bien. Verme y reconocerme
ignorante me situó en una nueva realidad: no sabía enseñar y necesitaba aprender a
hacerla.
Desde entonces he intentado aprender a enseñar por diversos caminos y de todos ellos
he aprendido algo, pero sobre todo he aprendido que en la enseñanza nunca nos en
contramos ante el último esfuerzo, siempre es el penúltimo. Siempre nos alienta la ilusión
de que el próximo esfuerzo será el definitivo, que alcanzaremos a atisbar la cima, que se
resolverán los problemas como el azucarcillo se deshace en el agua. Pero, por lo menos
en mi caso, no ha sido así. He descubierto que en la mayoría de los casos he errado en
la misma o mayor proporción con la que he acertado y que los problemas humanos -y la
enseñanza y el aprendizaje desde luego lo son- pueden cambiar de forma, pero no ter
minan nunca. Detrás de cada curva del camino siempre hay otra más. Ésa debe ser la con
dición humana: equivocarse para aprender, y de ese vino debemos destilar nuestra
convicción de no desfallecer.
Este libro contiene las que considero ideas clave para la enseñanza de las matemáticas
tal y como el título del libro y la colección sugiere. Es recomendable, pero no imprescin
dible, que estas ideas se lean en el orden en el que están escritas porque su alineamiento
guarda un cierto orden lógico que las hace más inteligibles si se leen en el orden expuesto.
Es una serie con su propia ley. Las siete ideas que se exponen en este texto pueden agru
parse en tres temáticas:
PRESENTACiÓN 11
1. El currículo de matemáticas (ideas clave 1, 2 Y 3).
2. El desarrollo del currículo (ideas clave 4, 5 Y 6).
3. La formación de los profesores de matemáticas (idea clave 7).
En mi opinión, son las temáticas más importantes que debe abordar cualquier escrito que
quiera reflexionar sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. El currículo,
porque sin él no hay enseñanza por mucho que se diga otra cosa, y creo poder defender
que no existe enseñanza de las matemáticas fuera de su concreción en los currículos es
colares, por lo menos una enseñanza de las matemáticas que nos interese socialmente. El
desarrollo del currículo, porque necesitamos nuevos diseños y espero poder aportar alguna
idea que ayude a concretar las ideas generales del currículo en líneas de trabajo que re
sulten operativas. La formación de profesores, porque sin docentes no hay enseñanza y
de su formación depende el famoso factor humano, factor que es insustituible en cual
quier cuestión educativa.
Al ir escribiendo este libro he descubierto que bastantes de las ideas que se exponen
en él no son de uso exclusivo para la enseñanza de las matemáticas y no sé si este descu
brimiento debe citarse como un mérito o un demérito de este texto, pero me ha resultado
inevitable un progresivo desplazamiento hasta ideas más generales porque, en el fondo,
pienso que la enseñanza de las matemáticas, fuera del halo que las rodea y de los intereses
de quienes se creen que tienen la exclusiva capacidad para hablar de ellas, no se dife
rencia tanto de otras áreas del conocimiento humano y que las diferencias, que existen,
no justifican la excesiva separación que suele ser habitual cuando se abordan estas cues
tiones. Las matemáticas son un producto de la cultura humana en el que se plantean una
serie de problemas relativos, fundamentalmente a la cuantificación, y en el que el inte
lecto humano utiliza todas sus capacidades sin que ello suponga, desde mi punto de vista,
la existencia de un pensamiento ni específico, ni especial. Los profesores de matemáticas,
vistos como profesionales de la educación, tienen la palabra «profesor» como sustantivo
(sustancia) y «de matemáticas» como circunstancia, y parece difícil hablar de algo dedi
cando más tiempo a la circunstancia que a la sustancia.
Temo que a ciertos profesores de matemáticas algunas de las ideas aquí escritas les re
sulten excesivamente generales. Lo siento, pero no veo la manera de evitarlas porque,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
como ya he dicho antes, a los profesores de matemáticas los veo ante todo como a pro
fesores. Que dichas ideas sean generales no quiere decir que no sean prácticas, pero sí
que abarcan un ámbito de experiencia profesional más amplio donde yo veo al docente.
Los profesores de matemáticas seguro que entienden la importancia de la perspectiva
para poder apreciar las cosas, mi ánimo ha sido Ilevarles a otra colina para que vean lo que
no ven habitualmente desde donde están.
No sé siquiera si leerán esta introducción asustados por el titulo de este libro que con
tiene la palabra letal: «matemáticas». Si lo hicieran, invitaría a los profesionales de la edu
cación que no sean profesores de matemáticas a no quedarse en esta introducción. Me
gustaría mucho que siguieran adelante, porque es necesario que todos los profesionales
de la educación, sobre todo los que no son especialistas en la enseñanza de las matemá
ticas, pierdan el miedo y, si se me permite, el respeto por las matemáticas, y piensen que
ellos también tienen algo que decir en esta cuestión, porque una de las falacias que pre
tendo combatir en este libro es que la enseñanza de las matemáticas sea cosa de los
matemáticos o, siendo muy generosos, de los de «ciencias». Esimprescindible para la mejora
de la enseñanza de las matemáticas y del aporte que ésta puede y debe hacer al desarro
llo social que se rompa ese aislamiento y que la enseñanza de las matemáticas, área que
junto con el lenguaje está considerada como un pilar de los currículos escolares en todas
la edades, deje de estar fuera del debate social y político para quedar en manos de los
guardianes de un saber arcano al que miramos con tanto respeto como indiferencia. Para
que las matemáticas sean un bien cultural para todos, como hoy en día es habitual escu
char, hace falta que comprendamos que todos estamos llamados a aprenderlas y a opinar
sobre su valor social como herramienta al servicio de una educación mejor. Mientras no
se entienda que el currículo de matemáticas es una cuestión que debe estar sometida al
debate social y político y se piense que dicho currículo es asunto de los expertos en ma
temáticas, no creo que podamos avanzar gran cosa.
Cada una de las ideas clave de este libro está acompañada de una metáfora que intenta
desarrollar la idea en cuestión de forma imaginativa. Soy un gran aficionado a este tipo de
narrativa, sé que no es valiosa como fundamentación epistemológica de lo que se afirma,
pero creo firmemente en el valor didáctico de este tipo de discurso. Conozco las limitacio
nes de esta manera de describir las cosas y los riesgos de exageración o manipulación que
PRESENTACION
lleva consigo este tipo de analogías cuando se usan de manera descuidada o desaforada. Sin
embargo, el pensamiento metafórico y la narrativa a él unida es una herramienta de valor
incalculable para acercar a la mayoría de las personas cuestiones que en su expresión abs
tracta y formal son inaccesibles. Creo con total seguridad que lo que se puede perder en pre
cisión conceptual se gana con creces en fuerza comunicativa. Me gustan las metáforas y las
imágenes que sugieren y pienso que narrar las cuestiones que no se pueden ver por medio
de lo que sí se puede percibir es el recurso didáctico por excelencia. De ahí mi esfuerzo.
La mayoría de los docentes son mujeres y éste es un hecho sociológico indiscutible. He
intentado compaginar un uso respetuoso del lenguaje que reconozca esta realidad con la
necesaria economía del texto que facilite una lectura más fluida. En este sentido utilizo
el término genérico «profesorado» habitualmente y los de «profesores» o «docentes»
para referirme sin distinción a los profesores y las profesoras.
Casi estoy tentado de decir, como dicen los autores de novelas, que este texto lo encon
tré ya escrito. Ya sabéis el hallazgo de un viejo manuscrito revolviendo en un arcón del des
ván en casa de los abuelos. Que ese manuscrito lo firmaban otros autores: los compañeros,
los profesores, profesoras, alumnos y alumnas con quienes he trabajado a lo largo de mi
vida profesional, y que lo único que he hecho ha sido pasarlo a limpio. Es un buen recurso
literario, aunque ya algo manido, que sirve para reconocer mi deuda con todos ellos.
Éste es un libro de divulgación y sólo citaré a aquellos autores cuyos textos, que no
ideas, aparecen expresamente citados en el texto. Me disculpo, por lo tanto, de no citar
al resto de autores y personas de los que soy deudo, y como compensación les ofrezco mi
agradecimiento.
7 preguntas sobre el desarrollo de la competenciamatemática y 7 ideas clave para responderlas
1. ¿Cuál es la razón que justifica la presencia de las matemáticas en el currículo?
Idea clave 1: enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido asociada a los currícu-
promueve.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
2. ¿Desde qué perspectiva deben definirse las finalidades que deben ser logradas por la
enseñanza de las matemáticas?
Idea clave 2: los usos sociales de las matemáticas son los que deben definir los
de su enseñanza y no la epistemología de esta ciencia.
3. ¿Por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de la com
petencia matemática? ¿Qué debemos entender por competencia matemática?
Idea clave 3: El objetivo de la enseñaza de las matemáticas escolares es el desarrollo de
la competencia matemática.
4. ¿Por qué hay que ir más allá de la instrucción en matemáticas, hacia una educación ma
temática?
Idea clave 4: la educación matemática se basa en la comunicación y debe ir más de
la mera instrucción transmisiva.
5. ¿Cuál es la clave en el cambio metodológico que hay que realizar para pasar de la si
tuación actual a otra en la que la finalidad sea el logro de la competencia matemática?
Idea clave 5: las tareas a realizar son la clave para el desarrollo de los
6. ¿Qué palanca de las que disponemos es la más eficaz para inducir con rapidez cambios
en los currículos de matemáticas?
Idea clave 6: la evaluación de las competencias determinará el currículo de matemáticas.
7. ¿Qué papel juegan los docentes y su formación en los cambios que deben llevarse a
cabo? ¿En qué dirección debería ir la formación de los docentes de matemáticas?
Idea clave 7: la competencia profesional de los docentes de matemáticas es el factor
importante para la mejora de su enseñanza.
PRESENTACION
La enseñanza de las matemáticas sólotiene sentido asociada a los currículos
que propone y promueve
Las dos caras de una moneda
El hombre de la naturaleza lo es todo para sí; él es la unidad numérica, el entero absoluto,
que no tiene relación más que consigo mismo o con sus semejantes. El hombre civilizado es
una unidad fraccionaria que determina el denominador y cuyo valor expresa su relación con el
entero que es el cuerpo social. (Rousseau, Emilio o de la educación)
La enseñanza de las matemáticas se concretaen el currículo escolar
La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar y éste no es otra cosa que la
selección histórica de los aprendizajes que se consideran socialmente relevantes en un determinado
momento como consecuencia del consenso entre los intereses sociales que pugnan por influir er
él. Es una afirmación que recoge lo esencial de lo que se quiere decir en esta primera idea clave
que, aunque sea la primera, es la que mejor recoge la tesis fundamental de este texto.
La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido social si sejustifican los aprendizajes que prc
mueve, y debe ser analizada y valorada desde el sentido social de dichos aprendizajes. Enseñanz::
y aprendizaje se funden, así, en el currículo. Por lo tanto, hablar de la enseñanza de las matemát-
IDEA CLAVE 1 17
cas implica situarse en el contexto del currículo escolar. Utilizaré el término «escolar» en este texto
para referirme a cualquier institución educativa de cualquier nivelo etapa. Desde este punto de
vista es tan escolar la enseñanza primaria como la universitaria. No podemos hacer abstracción de esta
realidad social para pasar a hablar en general de la enseñanza de las matemáticas, como si ésta fuera
un ente de razón no corpóreo y como si esa enseñanza no estuviera unida, constreñida y condi
cionada por la institución escolar en cuyo seno se desarrolla; como si los fines de una y otra se pu
dieran entender de manera separada. La enseñanza de las matemáticas se da en la escuela y es esta
institución social la encargada de organizar, promover, evaluar y concretar ese aprendizaje.
Esrealmente una imagen muy tópica y ha sido mil veces usada, pero comparar la situación que queremos
describir a una moneda puede resultar interesante y clarificador. Una moneda tiene dos caras, pues bien,
enseñanza y aprendizaje son las dos caras del currículo, que es la moneda, y nunca mejor dicho porque
el valor social de las matemáticas, su importancia en el sistema educativo, se deriva del hecho de ser una
propuesta de currículo altamente valorada y muy influyente en la selección social que hace la escuela. Es
decir, muy valiosa económicamente. Además, qué sentido tiene hablar de valor económico de algo
fuera del sistema monetario que regula esos valores. La escuela es la institución social que regula los
aprendizajes y especialmente el de las matemáticas, y lo hace por medio del currículo.
He comenzado este texto con una afirmación que puede parecer evidente, pero no lo es. Lleva
mos muchos años, ya demasiados, en los que la preocupación de los expertos en educación
matemática no ha sido la reforma del currículo escolar de matemáticas, tampoco ha sido la de los
docentes, por supuesto. A pesar de que la Administración sí que ha mareado al personal varias
veces con esta cuestión, lo ha hecho maquillando una y otra vez una propuesta obsoleta que se
ha mostrado ineficaz como palanca para producir los cambios que, paradójicamente, todo el
mundo reclama. La atención se ha centrado en otros ámbitos y la mejor prueba de ello es que
el currículo escolar de matemáticas apenas se ha modificado y, lo que es peor, no existen alter
nativas que hagan plausible su reforma en breve plazo. Lo más lejos a lo que hemos llegado es a
considerar como modelo para el debate, que no para la práctica, una propuesta norteamericana
de currículo que tiene las cuatro letras más citadas en los documentos que sobre currículo de ma
temáticas se han escrito en España: NCTM (National Council of Teachers of Mathematics).
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Ni siquiera un tsunami mediático de la intensidad y el impacto del informe PISAha conseguido
que, por ahora, se cuestione un currículo que se resiste a toda alternativa contra viento y marea.
Estetexto quiere construir un discurso sobre la necesidad de un replanteamiento del currículo es
colar desde una perspectiva social, y de ahí que haya comenzado con esta idea.
El currículo escolar de matemáticas
como propuesta social.Un breve recorrido históricoComo indica S. Kemmis en el prólogo al libro de Carr (1995), la inter
pretación de las cuestiones educativas conviene enfocarlas desde una vi
sión triple que combine los aspectos históricos, sociales y políticos. Es la
única manera de escapar del positivismo dogmático y su ahistoricismo.
Por esta razón creo necesario hacer una breve aproximación histórica
a los cambios que se han producido en los currículos que han guiado la
enseñanza de las matemáticas.
La enseñanza de las matemáticas ha ido evolucionando histórica
mente, en cada tiempo y lugar ha tomado una forma diferente que se
correspondía, en todos los casos, a las finalidades que socialmente se iban
estableciendo para dicha enseñanza. Dicho de otra manera, las mate
máticas que se han enseñado y se enseñan en el medio escolar no han
sido ni son las matemáticas que en un determinado momento forman el
corpus de esa ciencia, es decir las matemáticas de los matemáticos pro
fesionales del momento, sino que son la parte que se considera que
debe ser conocida debido a la relevancia que tienen socialmente los
aprendizajes asociados a las matemáticas.
La ruptura entre las «matemáticas» y las «matemáticas que se ense
ñan» se produce históricamente en la cultura griega. En el resto de cul
turas antiguas protoeuropeas (asirios, persas, egipcios ...) no existía una
gran diferencia entre las matemáticas que se conocían y las que se en
señaban, porque el colectivo que las «hacía» y el que las «enseñaba»
Las ma'terrláticasse han enSeñi¡doenseñan enescolardel
IDEA CLAVE 1 19
era el mismo: la casta de funcionarios-sacerdotes, y porque además la
enseñanza era endémica, es decir, se dirigía a perpetuar la posición so
cial y los privilegios de estas castas, de manera que era sistemáticamente
negada al resto de la población. Las matemáticas eran, en las culturas
antiguas anteriores a la cultura griega, un conocimiento práctico sin
fundamentación teórica y se enseñaba así, tal cual. No existía la con
ciencia de que lo que se enseñaba pertenecía al corpus de un saber es
tablecido o por establecer, se enseñaba como la transmisión de un
conocimiento práctico para resolver los problemas de la vida social.
Todavía hoy en día utilizamos el término «babilónica» para calificar
una manera intuitiva, pragmática y utilitarista del conocimiento ma
temático.
En la Grecia del periodo clásico esta unidad se rompe definitiva
mente, por una parte, las matemáticas se constituyen en una ciencia
teórica (Pitágoras) cultivada por los filósofos y, por otra, aparece la edu
cación «popular» en la polis, en la que se extiende y democratiza el
saber práctico que antes era propiedad de las castas sacerdotales. Mien
tras los filósofos griegos hacen de las matemáticas una ciencia que cul
minará en la síntesis deductiva de Euclides, los ciudadanos de las polis
griegas aprenden cálculo aritmético en las escuelas. A partir de este
momento las matemáticas de los matemáticos y las matemáticas esco
lares estarán separadas e irán manteniendo una relación de depen
dencia o independencia mutuas según los diferentes avatares sociales.
El colapso del antiguo mundo grecorromano y la supremacía
ideológica del cristianismo en la Edad Media frenan el desarrollo del co
nocimiento matemático y lo desvían de la educación en la cultura eu
ropea. Los reductos de cultura que son los conventos no destacan,
precisamente, por haber cultivado en exceso un saber, el matemático,
que se asociaba a una cultura terrenal y pagana, cultura que se consi
deraba precisamente el polo opuesto de lo que se debía promover
como ideal educativo. Si a este hecho añadimos la desaparición de la es-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
cuela popular, podemos afirmar que el desarrollo del conocimiento ma
temático se detiene y su enseñanza institucionalizada se estanca o re
trocede.
Como es bien sabido, será la eclosión del Islam en los pueblos árabes
(siglo VIII) y su expansión hacia Occidente lo que pondrá a éstos en con
tacto con los restos de la cultura helénica y permitirá, además de la ex
tensión del conocimiento matemático a nuevos campos, la recuperación
en Occidente de gran parte del saber matemático griego de la época
clásica.
Habrá que esperar al despertar de las culturas europeas que se aso
cia al Renacimiento para que esta situación cambie radicalmente. Las
matemáticas recuperan su puesto en la cultura europea y rápidamente
vuelven a tener un lugar privilegiado en ella. En este momento histó-
rico se produce un hecho capital para el futuro de las matemáticas y de
su enseñanza: la unión entre el desarrollo de la nueva ciencia experi
mental y las matemáticas. A este respecto se puede citar el ya conocido
texto de Galileo (1564-1642), en su obra 11Saggiatore. Este texto sitúa
las matemáticas en la base de la «nueva filosofía», ha sido mil veces ci
tado, pero es muy significativo para comprender por qué las matemá
ticas van a ocupar una relevancia social que hasta entonces no tenían:
La Filosofía está escrita en este vasto libro que siempre está abierto ante
nuestros ojos: me refiero al universo; pero no puede ser leído hasta que ha-
yamos aprendido el lenguaje y nos hayamos familiarizado con las letras en
que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son trián-
gulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente El desarr<ollo<mueva
imposible entender una sola palabra. (Galileo, 1623) (ciencia experirnental)relaciona las
ticas con
de poder (la militar,
producción de bienes,el desarrollo denuevos medios
de transporte,
El desarrollo de la «nueva filosofía» (ciencia experimental) se produce
paralelamente al éxito que tiene para mejorar los procesos producti
vos. Sirve de base al desarrollo de una nueva tecnología que permitirá
la aparición del maquinismo y del capitalismo de carácter industrial. Las
IDEA CLAVE 1
matemáticas, que en épocas anteriores no tenían un interés especial
para el desarrollo económico de la sociedad y se asociaban más a la fi
losofía, empiezan a verse, precisamente, como la base de ese desarro
llo por la relación que guardan con las ciencias experimentales -según
Galileo son su lenguaje- y por las aplicaciones que la nueva ciencia ex
perimental ofrece para el desarrollo de las máquinas y efectos de todo
tipo. Efectos que se relacionan con las esferas de poder como son la mi
litar, la producción de bienes, el desarrollo de nuevos medios de trans
porte, etc.
La relación entre la ciencia experimental y las matemáticas se esta
blece en esa época, aunque hoy, por falta de visión histórica, se consi
dere algo que pertenece a la manera de ser de ambas. Hay que señalar
que esta relación no existía en el mundo clásico y que es, sin lugar a
dudas, una de las características del pensamiento moderno. Ésta es una
cuestión muy importante para comprender la estructura del actual cu
rrículo de matemáticas, porque la asociación que hoy en día se hace, sin
que sea cuestionada crítica mente, de que el aprendizaje de las mate
máticas es socialmente importante porque es la base del desarrollo cien
tífico y tecnológico es una idea que nace en los siglos xv Y XVI, en el
contexto social de la Europa precapitalista. Es decir, es una idea mo
derna, donde las haya, porque nace como uno de los vectores fuerza
que sustenta el nuevo modelo social que se comienza a gestar en estos
años. Años en los que se data, precisamente, los inicios de la era mo
derna.
El movimiento ilustrado de los siglos XVII y XVIII comprenderá perfec
tamente esta relación y la teorizará aportando otra nueva idea: para
que la «nueva sociedad» que los ilustrados diseñan y anuncian, socie
dad que estará basada en la «razón y la ciencia», transforme el viejo
mundo, es necesario que las masas populares accedan a la educación y
que ésta, dejando de lado el adoctrinamiento religioso, les proporcione
conocimientos básicos de ciencia y de matemáticas.
parasocie
basada en la
¡<razón la ciencia»,
tralnsfllrITle el viejoes necesario
que las masaspO!lul¡lres accedan a la
educación él
c0I10cimiientos básicosde mate-
máticas, delado el adoctrina
miento religioso.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Las palabras de Jovellanos (1744-1811) al respecto son muy elo-
cuentes:
2. o Instruyendo a los labradores
El segundo medio de acercar las ciencias al interés consiste en la instrucción
de los labradores. Sería cosa ridícula quererlos sujetar a su estudio, pero no
lo será proporcionar/os a la percepción de sus resultados, y he aquí nuestro
deseo. La empresa es grande por su objeto, pero sencilla y fácil por sus me
dios. No se trata sino de disminuir la ignorancia de los labradores, ó por
mejor decir, de multiplicar y perfeccionar los órganos de su comprensión. La
Sociedad no desea Dara ellos sino el conocimiento de las Drimeras letras,
esto es que seDan leer. escribir v contar. iQué espacio tan inmenso no abre
este sublime pero sencillo conocimiento a las percepciones del hombre! Una
instrucción, Dues. tan necesaria a todo individuo Dara perfeccionar las fa
cultades de su razón v de su alma. tan Drovechosa a todo Dadre de familia
para conducir los negocios de la vida civil v doméstica v tan imDortante a
todo gobierno para mejorar el espíritu v el corazón de sus individuos, es la
que desea la Sociedad y la que bastará para habilitar al labrador, así como
a las demás clases laboriosas, no sólo para percibir más fácilmente las subli
mes verdades de la religión y la moral sino también las sencillas y palpables
de la física, que conducen a la perfección de sus artes. Bastará que los re
sultados, los descubrimientos de las ciencias más complicadas se desnuden
del aparato y jerga científica y se reduzcan a claras y simplicísimas propor
ciones, para que el hombre más rudo las comprenda cuando los medios de
su percepción se hayan perfeccionado. (Jovellanos, 1984-1994).
(El subrayado no está en el texto original.)
El texto es transparente. Pocas veces un autor habla de manera tan clara
y precisa sobre las intenciones que le mueven a la acción comunicativa
de escribir. El sentido de lo que dice es diáfano: el conocimiento cientí
fico y la alfabetización «<. .. que sepan leer, escribir y contar ... ») están
en la base del desarrollo de la razón individual (<< ••• perfeccionar las fa-
la extensión yrización del conoci
miento científico
servirá para liberar atodos los seres humanos de las oscurasfuerzas de la
ción y liberar las fuerzas de la naturaleza
para ponerlasal servicio deldesarrollo económico
y social.
IDEA CLAVE 1 23
los
XVIII Y XIX.
cultades de la razón y de su alma ...») y de la mejora de la producción
agrícola (<< ••. tan provechosa a todo padre de familia para conducir los
negocios de la vida civil y doméstica ...»).
El movimiento ilustrado piensa que la extensión y popularización
del conocimiento científico servirá a una doble finalidad: liberar a todos
los sereshumanos de las oscuras fuerzas de la superstición y liberar las
fuerzas de la naturaleza para ponerlas al servicio del desarrollo econó
mico y social. El liberalismo hará suyas estas ideas porque ya se sabe
que lo propio del liberalismo es liberar.
Esta doble finalidad estará asociada a la enseñanza y la populari
zación de las ciencias en todos los planteamientos educativos promo
vidos por el pensamiento ilustrado del XVII y XVIII, Y tendrá su
culminación en las constituciones liberales de los siglos XVIII Y XIX. La
educación de las masaspopulares es una prioridad estratégica para los
revolucionarios que derrocan el «antiguo régimen» y la ciencia y su
lenguaje, las matemáticas, son una parte fundamental dentro de esa
educación. Por lo tanto, la enseñanza de las matemáticas se convierte
en una necesidad social porque se anuncia que desarrollará en la po
blación los aprendizajes que le permitirán comprender los fundamen
tos de la nueva sociedad a la vez que le hará útil para el desarrollo
económico. Desarrollo que se anuncia como progreso económico y
moral y que se pretende que esté sostenido en el propio desarrollo de
la ciencia. Estasideas las oiremos miles de vecesen otros labios y otras
plumas: el desarrollo económico es la base del bienestar social, y el
desarrollo económico se basaen los avances de la ciencia. Ergo el bien
estar social se basa en los avances de la ciencia. Hay que aclarar que
para este momento histórico «ciencia» era ya sinónimo de ciencia ex
perimental.
Lasconstituciones políticas que dan cuerpo a los nuevos estados li
berales que van surgiendo en los últimos años del siglo XVIII y durante
el siglo XIX en el ancho del mundo recogen en susordenamientos estas
EL DESARROlLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
ideas. La primera constitución española, la que surgió de las cortes
de Cádiz (1812), recoge esta idea de manera explícita y dice:
Art. 366. En todos los pueblos de la Monarquía se establecerán escuelas de
primeras letras, en las que se enseñará a los niños a leer, escribir y contar, y
el catecismo de la religión católica, que comprenderá también una breve
exposición de las obligaciones civiles.
A nadie se le oculta que cuando en este texto se dice «contar» se hace
referencia a los rudimentos de la aritmética. Obsérvese que junto con
la alfabetización y la enseñanza de la religión este artículo de la cons
titución de Cádiz de 1812 sitúa las matemáticas en la base del currículo
escolar, lugar que ya no abandonará hasta nuestros días.
La historia posterior es bien conocida, las «cuatro reglas», es decir los
algoritmos de la suma, resta, multiplicación y división, se convertirán
en el eje de la enseñanza de las matemáticas en la escuela elemental.
No debe olvidarse que la prueba de ingreso en la enseñanza secunda
ria, anteriormente a la implantación de la LGE(Ley General de Educación,
1970), consistía, precisamente, en aplicar el algoritmo de la división.
Ésa, y no otra, era la prueba que superamos los escolares que en los
años sesenta accedíamos al bachillerato, que conviene recordar que se
comenzaba con diez años. Una cosa son las ideas, otra su plasmación en
leyes positivas y otra, bien distinta, su capacidad para ir transformado
la sociedad que pretenden regular. Normalmente, pasa bastante
tiempo desde que se enuncia una idea hasta que ésta es recogida en los
ordenamientos legales y otro período, no siempre menor, hasta que
esas normas logran modificar la realidad social. Las ideas de los ilustra
dos tardaron tiempo, más de un siglo, en convertirse en normas le
gales y éstas han tardado mucho tiempo en poder aplicarse en
su integridad. Puede decirse que el deseo de 1812 de alfabetizar, con su
componente de enseñanza de las matemáticas más elementales, a toda
la población sólo se hizo realidad, en España, en los años setenta del
normas
han
tiempo enen su
integridad.
IDEA CLAVE 1 25
setenta
50n claves para comcomo ullas
enunciadas en
los XVIII y XIX lle-gan a su des-
arrollo en sociedad
¡ñola, aunque enforma que no sedemasiado él la
siglo xx, Y no debe olvidarse que es precisamente en esos años, en los
que se produce la industrialización masiva, cuando surge la Ley Gene
ral de Educación, ley que viene a romper una inercia educativa de casi
120 años (Ley Moyano, 1857). La LGE y los años setenta del siglo xx son
claves para comprender cómo unas ideas enunciadas en los siglos XVIII
y XIX llegan a su pleno desarrollo en la sociedad española, en una forma,
todo hay que decirlo, que no se parece demasiado a lo que soñaron los
ilustrados visionarios y los revolucionarios que lucharon contra el «an
tiguo régimen» para instaurar una nueva sociedad basada en la «razón
y la ciencia».
Sin embargo, durante todos esos años, casi siglo y medio, fue conso
lidándose una manera de organizar la enseñanza de las matemáticas,
una versión del currículo, que con razón podemos llamar la versión mo
derna del currículo de matemáticas, que se adaptaba perfectamente a la
estructura social que la sostenía. Puede reducirse al siguiente esquema:
• Enseñanza primaria: rudimentos de aritmética, medida y geometría
(sobre todo métrica). Ésta es la matemática que se enseñaba a todos.
• Enseñanza secundaria: extensión del cálculo aritmético a nuevos
tipos de números (reales), álgebra y más geometría métrica y rudi
mentos de estadística y probabilidad. Ésta es la matemática que se
enseñaba y se enseña a los que aspiraban y aspiran a ir a la univer
sidad o a integrarse en estudios profesionales de grado medio o alto.
• El currículo se reducía a los contenidos y el aprendizaje era no com
prensivo, preponderando la aplicación mecánica de las reglas de cálculo.
• Durante todos estos años ha existido la creencia de que currículo era
igual al temario y que saber equivalía a saber enseñar. Por lo tanto,
bastaba con dominar los contenidos que venían en el temario para
poder ser docente.
Son ideas ingenuas propias de estadios poco evolucionados de las cien
cias de la educación, pero establecidas durante años y estables en las
26 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
mentes de algunos docentes aún hoy en día. Estasideas se consolidan
como parte de la cultura docente y se establecen como el marco a tra
vés del cual «ven» las cosas los colectivos que acceden a la enseñanza,
sobre todo, a la secundaria. Fraguarán y causarán una visión pétrea e
inmovilista de la enseñanza, que se une a los propios intereses corpo
rativos de los docentes para dar lugar a un muro rocoso, estable e ins
taurado.
Se argumenta que las matemáticas son importantes porque ense
ñan a razonar, aunque la práctica real de su enseñanza tenga poco que
ver realmente con el desarrollo de esta capacidad. Asentado el valor
de este principio y sin otra justificación que la declaración acrítica de su
relevancia, se promueve y defiende como necesaria la enseñanza de las
matemáticas; da igual que esa enseñanza promueva aprendizajes de
valor social o no lo haga, que esté en el origen del efecto excluyente
de las matemáticas y que sea la responsable de que muchos estudian
tes sean centrifugados por el sistema educativo, da igual, aquí lo impor
tante es aprender a pensar. Esta idea, retrógrada donde las haya,
porque nadie que yo sepa ha explicado con claridad qué eseso de pen
sar en genérico o abstracto, es defendida con prestancia por los mis
mos que reclaman para su trabajo un valor social que no se molestan
en justificar, bien porque nunca han pensado en estas claves, o bien
porque, en el fondo, lo desprecian. A lo mejor no lo saben, pero la Ley
de Calidad del 2002 puso en negro sobre blanco la siguiente «perla»:
«el objetivo de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo de la
abstracción». Pueseso es precisamente lo que hay que combatir, la ten
dencia idealista de pensar que algo es valioso porque lo encarnamos
«nosotros», el colectivo de los que sabemos, apelando eso sí a la cien
cia, esta vez con mayúsculas,como tótem tribal objeto del tabú que im
pide la crítica. Afirmar el valor de algo desde posturas corporativistas
con independencia del valor social que tiene es el lastre que arrastra
mos en la educación matemática, lastre que hay que dejar atrás para
que
son importantes
porquerazonar,
práctica deenseñanza
que ver realmente(011 el de~¡arlrollo
de esta (a~)a(ida,d.
que
tiene(on los
aprendizajes socialmente relevantes
27
todas las personasdominaran losrudimentos de
avanzar hacia una visión más social de la enseñanza. Superar esta fase
para comprender que el currículo tiene que ver con los aprendizajes so
cialmente relevantes es algo en camino y no logrado todavía si, para
emitir un juicio de valor, miramos al conjunto de los docentes que im
parten clases de matemáticas.
El equilibrio se pierde y no se recupera.Una época de crisis estructural en laenseñanza de las matemáticasEl currículo existente era socialmente estable porque conseguía que
todas las personas dominaran los rudimentos matemáticos necesarios
tanto para la vida diaria como la profesional, en trabajos en los que el
uso de las matemáticas se reducía a sencillos cálculos con números y
medidas. Por otra parte, la enseñanza secundaria, a la que ya no acce
día una parte importante del alumnado que había comenzado la edu
cación primaria, servía para «clasificar» a los estudiantes para los
posteriores estudios universitarios; los «mejores» estaban destinados a
los estudios de ciencias e ingenierías, que son los que siempre han sido
más atractivos para las clases medias, y a los menos «brillantes» se les
desviaba hacia otro tipo de estudios menos exigentes. Los grupos diri
gentes de la sociedad, aquellos que tienen más capacidad para influir
en las decisiones políticas, estaban de acuerdo con esta manera de or
ganizar la enseñanza de las matemáticas y parecía que, por fin, el equi
librio era perfecto. Nadie discutía el rol preponderante de las
matemáticas ni en el currículo ni en la selección social que se hacía por
medio del mismo.
Sin embargo, como sucede la mayoría de las veces, la estabilidad no
dura mucho tiempo. El éxito es efímero y la calma no es duradera en la
condición humana. Es precisamente en los años de la segunda mitad
del siglo xx cuando el modelo de producción industrial, que era la
base del desarrollo económico de las sociedades europeas del XIX y prin-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
cipios del xx, entra en crisis debido al propio desarrollo tecnológico y los
cambios que éste introduce en el sistema productivo. A partir de esa
época comenzamos a hablar de la era postindustrial y de la economía
postindustrial; un poco más tarde se acuñará el término «posmoder
nismo» para nombrar la crisis de la modernidad que estaba asociada al
modelo de producción industrial. La escuela elemental, que después de
casi dos siglos había conseguido materializar el sueño moderno, de re
pente se encuentra con que ese sueño era una pesadilla de la que con
venía despertar. Es bastante lógico, visto así, que la escuela, que es una
institución moderna creada para el desarrollo de la sociedad mo
derna, tenga muchas dificultades para adaptarse a una situación que al
tera las bases sobre las que se creó. Hasta tal punto que se puede llegar
a poner en duda en qué medida la escuela moderna va a poder dejar de
serio para ser otra cosa.
Si hay que poner datos y fechas que nos sirvan de referencia, pode
mos citar por lo menos dos: el primer vuelo tripulado de un satélite
ruso en 1961 y las revueltas en mayo del 1968 en París.
Una de las consecuencias del paseo por el espacio de los primeros as
tronautas soviéticos fue la aparición de la primera de las propuestas al
ternativas a la enseñanza de las cuatro reglas fundamentales en la
escuela elemental. De manera brusca se tomó conciencia del desfase
existente entre las matemáticas que se enseñaban en la escuela y las
que, según los «expertos», en aquellos momentos parecían necesa
rias para recuperar el retraso que supuestamente mantenían las socie
dades occidentales en cuestiones tecnológicas y científicas. Parece una
broma que, precisamente, la primera propuesta de cambio en el currí
culo de matemáticas que podemos calificar de posmoderna se deno
minara «matemáticas modernas». Paradojas de la vida y traiciones del
lenguaje.
Lo que se pretendía, con el fin de recuperar el retraso tecnológico
de las sociedades occidentales con relación a la entonces denominada
IDEA CLAVE 1 29
Unión Soviética, eran, no lo olvidemos, los años de la guerra fría, era al
fabetizar a toda la población en una manera lógico-estructural de en
tender las matemáticas. Todos sabemos que ese intento fracasó, pero
significó, sin duda, el inicio de una situación de desequilibrio que per
dura en la actualidad. El equilibrio que existía entre las necesidades de
la sociedad moderna y los aprendizajes matemáticos que promovía la
enseñanza de las matemáticas en la escuela moderna se rompió en
aquella época y no se ha vuelto a recuperar. Desde entonces, vivimos
en una situación de crisis crónica que se caracteriza por el divorcio entre
las propuestas sucesivas que los expertos hacen en nombre de las nue
vas necesidades sociales, por un lado, y las prácticas escolares, por otro,
que faltas de alternativas reales siguen el camino que conocen insis
tiendo una y otra vez, de manera pertinaz, en recorrerlo. Es como si
existieran dos realidades, dos planos paralelos, dos universos sin cone
xión, uno de papel en el que todo es liviano, posible y donde el exceso
es bendecido y la mesura aborrecida, y otro de ladrillo donde todo es
pesado e imposible de alterar y donde el más mínimo cambio es salu
dado con la advertencia de terribles calamidades.
Si la propuesta de los años setenta del siglo xx fracasó por basarse
en un análisis ingenuo e incorrecto de las funciones sociales de la en
señanza, por hacer demasiado caso a los «matemáticos» en cuestiones
de las que sabían muy poco y por desconocer las nociones más ele
mentales de la psicología del aprendizaje, su derrumbe supuso una
vuelta a lo básico (back to the basíc) y tuvo como resultado el fortale
cimiento y la inmunización de las posturas resistentes a los cambios.
Los años noventa trajeron la propuesta de resolución de problemas
como eje del currículo de matemáticas. Esta propuesta tampoco ha sido
capaz de convertir, con honrosas excepciones, el «papel» en «ladrillo».
Es decir, las propuestas sobre papel de los expertos pocas veces se han
convertido en cambios en los ladrillos que son las acciones en las aulas
de los centros. La realidad es que, después de más de quince años, la
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
práctica de la enseñanza de las matemáticas en el aula ha sufrido muy
pocas variaciones, y la descripción que hemos hecho de las matemáti
cas anteriores a los años setenta permanece escasamente alterada en la
secundaria y el bachillerato. Estamos en el año 2008 y hay que señalar
que la enseñanza actual de las matemáticas en la mayoría de las aulas
de secundaria sigue basándose en un modelo de enseñanza transmisor
que se centra en los contenidos, poniendo especial énfasis, como
siempre se ha hecho, en la aplicación mecánica de los algoritmos de
cálculo.
Pero si ya en los años setenta del siglo xx existía un desfase entre los
aprendizajes que promovían las matemáticas y las necesidades socia
les, la distancia entre esos dos polos no ha hecho otra cosa más que au
mentar. Hay que tener en cuenta que desde dichos años hasta nuestros
días los cambios tecnológicos y sociales han sido muy grandes: el
desarrollo de las tecnologías de la información, la globalización, los
movimientos migratorios, la aparición de nuevas formas de producción
social y un largo etc. Cambios de tal magnitud que han hecho evidente
que la sociedad industrial del XIX y primera mitad del siglo xx pertenece
al pasado de nuestro recorrido histórico y tiene poco que ver con la so
ciedad actual. Resumiendo, la enseñanza de las matemáticas, tal y como
la conocemos, está organizada para responder a las necesidades de la
sociedad moderna, pero ese tipo de sociedad pertenece al pasado.
Dicho de manera más sintética, la enseñanza de las matemáticas en la
actualidad responde a las necesidades de una sociedad que es ya anti
gua: la sociedad moderna.
Esta situación me trae a la mente la imagen de un barco que, atra
cado en la rivera de un río, descansa de noche esperando que se haga
la luz para continuar su viaje. En la mitad de la noche rompe las ama
rras y, debido a la oscuridad y a la suave corriente del río, el movimiento
que arrastra el barco se hace imperceptible para la tripulación y los pa
sajeros. Cuando se hace la luz el barco está ya lejos del lugar escogido
IDEA CLAVE 1 31
para descansar, navega lentamente por el centro de la corriente que
lo lleva río abajo. Podría ponerme trágico y decir que los que guían la
nave miran a popa y no observan que se encuentran a escasos metros
de una cascada que los desmenuzará; pero eso es seguramente un ex
ceso literario que no debe entenderse de manera muy literal.
En todas las épocas, pero fundamentalmente en la era moderna, las
matemáticas escolares se han enseñado por su valor social en el currí
culo y no por su valor epistemológico como ciencia. Son dos cuestiones
bien diferentes como nos hemos esforzado en diferenciar. Las mate
máticas no se enseñan, ni se han enseñado, por su valor como ciencia,
sino por su aportación a los aprendizajes que socialmente se han
considerado relevantes en cada momento histórico. Esta relevancia pro
viene del uso que en la sociedad se determina que se va a hacer del co
nocimiento matemático y, sobre todo, de la parte del mismo que se
desea socializar, diríamos socializar masivamente en el caso de las so
ciedades modernas. Por lo tanto, la primera ilusión que hay que des
echar es que las matemáticas están en el currículo de la enseñanza
obligatoria porque son importantes en sí mismas o porque sirven para
desarrollar la inteligencia o ciertas formas de razonamiento que se ad
jetivan de superiores. No están y nunca han estado por esa razón.
La educación está regida por intereses políticos que son el reflejo de
los equilibrios de poder que se establecen en la sociedad. La educación
no está regida por criterios científicos y en consecuencia las matemáti
cas no se enseñan por motivos científicos, sino sociales, es decir, políticos.
No existe forma de posicionarse con relación al currículo de matemáti
cas que se enseña en la escuela obligatoria sin asumir que tras esa po
sición hay una opción política. La escuela moderna organizó el currículo
de matemáticas de la escuela obligatoria desde los intereses que hemos
intentado describir, y las tensiones actuales provienen del desequilibrio
que se produce cuando los intereses sociales cambian, pero no lo hacen
las instituciones que se crearon para cumplirlos.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
la situación en España. El fracasode la enseñanza de las matemáticas
en la educación obligatoriaNo resulta nada fácil conocer cuál es la tasa de fracaso en matemáticas
en la educación obligatoria. No lo es, porque ni siquiera es fácil saber
cuál es la tasa de fracaso en la educación obligatoria. Existen diversos
informes, no siempre coincidentes, y las autoridades educativas (MEC y
consejerías de los gobiernos autónomos) lejos de ayudar a clarificar esta
cuestión utilizan subterfugios varios para no arrojar luz sobre la misma.
De todas maneras, decir que la tasa de fracaso en la educación obliga
toria en España en la actualidad (2008) está por encima del 25% es si
tuarse en una postura nada arriesgada y tal vez algo optimista.
A continuación he seleccionado algunos datos sobre el fracaso es
colar en España:
La tasa de fracaso escolar en España se sitúa en el 30%
En nuestro país, casi tres de cada diez alumnos repiten curso
12-09-2006 CADENASER.COM
Según un informe de la OCDE sobre los principales indicadores del sistema
educativo que se ha hecho público hoy, España registra una tasa de fracaso
escolar del 30%, una de las más altas de nuestro entorno. Además, casi tres
de cada diez alumnos españoles tienen que repetir curso.
Fuente: www.cadenaser.com/articulo/sociedad/tasa/fracaso/escolar/Espana/situalcsrcsrpor/20060912csrcsrsoc5/Tes/
Por lo que este dato si es cierto, ya que los datos sobre tasas de fra
caso no coinciden según las distintas fuentes, es demoledor.
El Ministerio de Educación ha actualizado los datos sobre el fracaso escolar
en España. Estaba estancado desde hace tres años -(28,9% en 2002; 28,7%
IDE~:_~. =- . 33
Fuente: Nota de prensa de Expansión y empleo.com, 23 de agosto de 2007.
En la misma nota de prensa puede verse el gráfico que muestra la fi
gura 1:
Figura 1
Da~.,.".iadín_,,1os.hI"'~"fft~liIi2Nt •• ~.elwadóI~~• 2t-24 •• ~."lIrili6I~ __ Ili_1IiW..2S-it._~.~~~lf2S-it•• ~.~"~~.--'ltlS-it._ ••••• t!lfIulOIlII!iIIML
~••~~
AvMI
••••bII
Fuente: www.expansionyempleo.com/edicion/expansionyempleo/formacion/ es/desarrolla/1 015691.html
Las matemáticas son en la actualidad el área del currículo que más con
tribuye al denominado fracaso escolar. La mayoría de los alumnos que
34 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
no logran el graduado en la educación primaria fracasan por no con
seguir dominar los aprendizajes exigidos en matemáticas.
Según Isabel Causo, secretaria general de educación y formación
profesional en septiembre del año 2000:
En el último informe delINeE del año 1998, en referencia a las materias bá
sicasde aprendizaje, un promedio del 25% de los alumnos de 14 años «se
sitúa en el límite de la distribución con resultados claramente insatisfacto
rios», y «el 33% de los alumnos de 16 se sitúa en el límite inferior de la dis
tribución, con resultados muy alejados de los mínimos aceptables».
(http://comun¡dad-escolar.cnice.mec.es/661/docum.html)
Como puede verse, no resulta nada fácil saber cuáles son los datos re
ales sobre las «tasas de fracaso en matemáticas», definido este fracaso
como el porcentaje de estudiantes que no logran alcanzar los objetivos
que, en el área de matemáticas, se señalan para la finalización de la
educación obligatoria (ESO) antes de los 18 años. Pero por los datos de
los que disponemos puede estimarse que este fracaso abarca a más de un
tercio de la población escolarizada.
Resulta hiriente observar que mientras este problema, que es, sin
lugar a dudas, el que mayor importancia tiene para el devenir social de
nuestra educación, se cronifica hasta convertirse en una lacra, la res
puesta del colectivo de personas e instituciones con responsabilidad en
la enseñanza de las matemáticas es tibia e indiferente. Por citar algu
nos ejemplos que avalan lo que considero una gran desidia, creo poder
decir que la gran mayoría de las investigaciones que sobre la ense
ñanza de las matemáticas se hacen en España obvian esta cuestión
adoptando un corte academicista de tendencia mayoritaria mente psi
cologicista, que poco o nada ayuda a remediar esta cuestión. La inves
tigación acerca de la enseñanza de las matemáticas opta por no mirar
hacia el mayor problema que tiene su enseñanza escolar queriendo
adoptar una actitud de falsa neutralidad, sin querer comprender que lo
No resulta nada fácilconocer cuál es la tasade fracaso en mate·máticas, definido éstecomo el porcentaje deestudiantes que lo·gran los objethlosdos para áreamatemáticas en
educación obligatoria
La investigaciónacerca dela enseñanzade las matemáticasopta por no querercomprender que lourgente no es descubrir los mecanismos
por medio de los cua·les se aprende, sinolas consecuencias
sociales que tieneenseñar matemáticastal y como se enseñanen la actualidad.
IDEA CLAVE' 35
urgente no es descubrir los mecanismos por medio de los cuales se
aprende (si es que existen en realidad), sino las consecuencias sociales
que tiene enseñar matemáticas tal y como se enseñan en la actualidad.
Algunos datos para avalar lo que afirmo:
• De los siete grupos de trabajo que tiene la SEIEM (Sociedad Espa
ñola de Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas), nin
guno de ellos aparece explícitamente como un grupo dedicado a
cuestiones de currículo o a los problemas de fracaso que estamos co
mentando .
• Si se lee el programa de su IX simposio celebrado en Universidad de
La Laguna, Tenerife, del 4 al 7 de septiembre de 2007, se puede com
probar que este tema no se trata y que no existen referencias ex
presas al currículo de matemáticas ni en las ponencias anunciadas
ni en los trabajos de los grupos de investigación. (www.uco.es/in
formacion/webs/seiem ).
• De los nueve epígrafes que organizan las comunicaciones que se han
presentado en las JAEM celebradas en Granada en el mes de julio de
2007, ni uno solo de ellos hace referencia explícita a cuestiones re
lativas al currículo de matemáticas ni al fracaso escolar en esta ma
teria. (http://thales.cica.es/jaem/).
Estamos mirando a otro lado mientras la nave se aleja cada vez más de
la orilla y, enfrascados como estamos en construir una «carrera uni
versitaria» que no depende de la utilidad social de lo que investigamos,
sino del valor académico de lo que indagamos, valor que, dicho sea de
paso, acreditan en una especie de espiral diabólica, los académicos de la
Academia no nos damos cuenta de que la distancia a la orilla aumenta
y de que la marea nos aleja de la sociedad a la que decimos servir.
Las únicas publicaciones sobre propuestas alternativas de currículo
de matemáticas que se han publicado, con cierta pretensión de totali
dad, en España en la última década son las traducciones del inglés de
El DESARROllO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
las propuestas de NCTM realizadas por el grupo Thales, versiones que
se pueden conseguir en: http://thales.cíca.es/documentos/estanda
res.pdf
Es cierto que la Administración ha promovido nuevos currículos en
estos años, pero los currículos oficiales son de una amplitud tal que sólo
enuncian líneas generales de actuación que deben ser completadas e in
terpretadas para llegar a ser propuestas de acción en clase, y de esa
interpretación se ocupan, mayoritariamente, se diga lo que se diga, las
editoriales. Los currículos que promueven las editoriales de uso mayo
ritario en el medio escolar responden a una visión tradicional del cu
rrículo, visión que ya hemos descrito. En esas estamos en medio de la
indiferencia de las personas e instituciones que deben tomar la inicia
tiva.
Tenemos que reaccionar y comprender que la enseñanza de las
matemáticas es una cuestión en la que los factores sociológicos y su
concreción en los currículos escolares son fundamentales. Si no nos en
frentamos con valentía y celeridad a esta cuestión, no actuaremos so
bre la raíz de los males que acucian a la enseñanza de las matemáticas
en el medio escolar.
Un futuro incierto. La competenciamatemática como una nueva propuestapara organizar el currículo escolarEn estos últimos años estamos asistiendo al nacimiento y rápida exten-
sión de una nueva idea que aparece en el horizonte con la pretensión
de ser una alternativa a este currículo que nosotros tildamos de des
gastado, agotado y anacrónico. Me refiero a la propuesta del desarro
llo de competencias como eje organizador del currículo y al lugar que
en esa propuesta tiene la competencia matemática. No podemos dejar
de citar entre los acontecimientos recientes el impacto que las prue
bas de evaluación internacionales, tipo PISA, están teniendo en el replan-
Los currkulos
que promueven laseditoriales de uso
mayoritario en elmedio escolar
responden a llnavisión tra!díl:ioI1al
Es preciso comprenderque la enseñanzade las matemáticas
escolares SOI1
IDEA CLAVE 1 37
teamiento de las estrategias de enseñanza de las matemáticas. A pesar
El tipo de competen- de que es razonable mantener una actitud recelosa y prudente frente
da matemática que se . d b ,- d" .erige como modelo a este tipO e prue as, que a veces parecen mas campanas me latlcas
en este tipo de pr~e- que otra cosa no puede negarse que el tipo de competencia matemá-bas contradICe '
radicalme?te tica que se erige como modelo en este tipo de pruebas contradice ralo que ha sido
habitual hasta ahora. dicalmente lo que ha sido habitual hasta ahora y que tanto he criticado
en esta idea clave.
¿Estamos frente a otra idea destinada a fracasar como lo hicieron
las anteriores y a perecer ante la terquedad e inercia de una institu
ción, la escolar, que parece indiferente a todo lo que se mueve a su al
rededor? ¿Será sólo papel, más papel y únicamente papel, o por el
contrario nos encontramos ante un vector fuerza que cambiará con
el tiempo las actuales propuestas curriculares? ¿Estamos a las puertas
de un cambio real y profundo en la enseñanza de las matemáticas?
Gran parte de este libro está destinado a responder a esta pregunta y
por esta razón me excuso de contestarla en este momento.
En resumen
Para terminar con esta idea clave quiero resumir lo que he intentado desarrollar en ella: no
podemos seguir insistiendo en enseñar matemáticas sin reflexionar acerca de los aprendiza
jes que promueven y el uso social que de los mismos debe hacerse. Dicho de otra manera, no
podemos obviar por más tiempo una reflexión acerca del sentido social que tienen en la ac
tualidad los aprendizajes que el currículo de matemáticas promueve en la educación, tanto
obligatoria como postobligatoria, para seguir pensando que las matemáticas tienen un valor
intrínseco indiscutible y que su enseñanza es algo no cuestionable por obvio y necesario. Es
una postura idealista, poco social y bastante esotérica afirmar que las matemáticas son im
portantes por sí mismas, como componente ineludible del currículo escolar obligatorio, re
servando para ellas el privilegio de desarrollar un tipo especial de pensamiento cuyo valor está
fuera de toda crítica y al que sólo tienen acceso unos cuantos iniciados.
38 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
La enseñanza de las matemáticas está en crisis porque no se corresponde con
los aprendizajes que la sociedad actual demanda. Perder de vista esta dualidad ense
ñanza-aprendizaje para situarse únicamente bajo el punto de vista de la enseñanza repi
tiendo una y otra vez que las matemáticas poseen valores educativos intrínsecos que
justifican su aprendizaje es perder de vista lo sustantivo en educación -los fines sociales
que se pretenden- para poner en su lugar lo accesorio -los medios que se invocan para
lograrlos-.
IDEA c~:=' 39
• La enseñanza de las matemáticas en el
medio escolar debería ser profun
damente renovada, sobre todo, en los
niveles de la enseñanza secundaria y
superiores .
• Esta renovación es responsabilidad de
las instituciones públicas, pero debería
ser reclamada por los profesionales de
la enseñanza. Es necesaria una mirada
que, superando el corto plazo y los in
tereses corporativistas, vuelva a situar
a los profesionales de la enseñanza en
un nuevo escenario.
• Es del interés de los docentes que im
parten matemáticas renovar el currículo
porque a la larga nos situará en una po
sición más ajustada a los nuevos roles
sociales. No adaptarse no es, desde
luego, la mejor forma de sobrevivir.
• Conviene que se fomente la investiga
ción sobre el currículo y que la reno-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
vación de las enseñanzas aparezca
como una de las preocupaciones clave
de los movimientos que agrupan a los
docentes motivados por la mejora de
la enseñanza de las matemáticas.
• Resulta interesante pensar que la época
en la que la preocupación mayor era la
didáctica de las matemáticas debe dar
paso a otro momento regido por una
dedicación al currículo de las matemá
ticas, entendiendo de esta manera no
sólo un cambio de nombre, sino una
apuesta por una visión más integral del
proceso de enseñanza en su conjunto.
• Las matemáticas y su enseñanza serán
parte de la escuela, de eso no creo que
haya dudas, pero lo que la escuela lle
gue a ser dependerá en parte de la ca
pacidad de adecuar la enseñanza de
las matemáticas a las necesidades de la
sociedad actual.
Los usos sociales de las matemáticas
son los que deben definirlos objetivos de su enseñanzay no la epistemología de esta ciencia
El cubismo
El hombre, dicen, es un animal racional. No sé por qué no se haya dicho que es un animal afec
tivo o sentimental. Yacaso lo que de los demás animales le diferencia sea más el sentimiento
que no la razón. Más veces he visto razonar a un gato que reir o llorar. Acaso llore o ría por den
tro, pero por dentro, acaso también el cangrejo resuelva ecuaciones de segundo grado.
(Unamuno, Del sentimiento trágico de la vida)
El sabio, el profesional y el ciudadano
La primera idea clave desarrollada afirma que la enseñanza de las matemáticas en la escuela obli
gatoria debe estar justificada desde el uso social que se hacen de los aprendizajes que se pro
mueven y que no se justifica de ninguna manera por el interés propio que las matemáticas pueden
tener como ciencia. En esta segunda idea clave quiero dar un nuevo paso: ¿cuál es el uso social
que se hace de las matemáticas y cuáles son los grupos humanos que se pueden asociar a esos
aprendizajes y beneficiarse de ellos?
IDEA CLAVE 2
Con este fin he identificado tres tipos de grupos humanos que en mi opinión hacen un uso muy
distinto del conocimiento matemático y que tienen, en consecuencia, visiones e intereses dife
rentes, aunque se refieran a lo mismo. Cuando se habla de «matemáticas» no todas las personas
que usan ese término tienen las mismas referencias ni asocian esa palabra a los mismos significa
dos. Si esto es cierto, ¿qué significado le damos a las matemáticas en el contexto escolar?, ¿sig
nifica lo mismo el término «enseñanza de las matemáticas» para un matemático o científico que
para un profesional o para el simple ciudadano?, ¿podrá tener un único significado o deberemos
comprender que la misma realidad puede y debe entenderse de manera distinta?, ¿qué se en
tiende por matemáticas cuando hablamos de enseñanza de las matemáticas, y quiénes entienden
qué? Estos interrogantes son tratados en esta idea clave.
El cubismo es una buena referencia para lo que quiero decir. El cubismo nos representa en un mismo
plano perspectivas que desde una visión «normal» no pueden verse a la vez. Esdecir, no se puede «ver»
a la vez un objeto desde diferentes puntos de vista, pero sí dibujarlo. Lo mismo sucede con los conceptos,
sobre todo si son complejos, como son las matemáticas y su enseñanza porque estamos convencidos de
que éste es un concepto polisémico, donde los haya, cuya asignación de significado depende mucho
de la perspectiva desde la que se mire. La visión que tienen unos colectivos y otros es radicalmente distinta
y por esta razón conviene que intentemos, como hace el cubismo, una composición que 105 integre a todos.
Los matemáticos y la enseñanzade las matemáticas
Las matemáticas son,
para los matemáticos,
una parte del saberhumano y tienen sentido en sí mismas, se
cultivan y desarrollanpara ampliar lo que
sabemos y para avanzar en el conocimiento
de lo que no sabemosde los objetosmatemáticos.
Preguntar a un matemático por el interés social de las matemáticas es un
sinsentido porque para él son un objeto de conocimiento en sí mismo,
cuya validez no se justifica por el uso social que se hace de dicho conoci
miento. Las matemáticas son, para los matemáticos, una parte del saber
humano y tienen sentido en sí mismas, se cultivan y desarrollan para am
pliar lo que sabemos y para avanzar en el conocimiento de lo que no sa
bemos de los objetos matemáticos. Tal vez los matemáticos profesionales
actuales sean, junto con los artistas, el colectivo que más se acerca al ideal
de filósofo que etimológicamente quiere decir 'amante del saber'.
42 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Pocas cosas representan mejor esa actitud que el sentimiento de ple
nitud intelectual que llega a conmover a los matemáticos cuando ob
servan la fórmula:
e pi i + 1 = O
Pensar que en una misma fórmula, y de manera tan sencilla, se rela
cionan los tres números clave de las matemáticas produce un cierto eri
zamiento en la piel a todos aquellos que tienen una sensibilidad
matemática. Seguro que habrá quienes citarán esta fórmula como una
prueba irrefutable de la existencia de un ser supremo. Lo que produce
esta emoción no es la utilidad de esa fórmula, ni la capacidad de la
misma para ser aplicada en la resolución de algún problema, sino su
propia sencillez y su capacidad de sintetizar tanto conocimiento en tan
poco espacio. El minimalismo ha estado siempre de moda entre los ma
temáticos.
A los matemáticos no les disgusta que los objetos que ellos manejan
sean usados socialmente, de hecho se muestran orgullosos de que asi
sea e invierten bastante tiempo en convencer a los no matemáticos de
la utilidad de sus descubrimientos, pero no encuentran en ese uso so
cialla razón que justifique su trabajo. El matemático es un sabio que se
dedica al desarrollo del conocimiento matemático, es un sabio que
trabaja para saber más acerca de los objetos matemáticos y sus pro
piedades con absoluta independencia del valor de uso de sus descubri
mientos. Su interés es ajeno a todo tipo de afán utilitarista, de manera
que el objetivo de su trabajo es hacer matemáticas dentro del modelo
de ciencia que está establecido por la Academia. Las reglas de la Aca
demia delimitan los criterios de verdad y estos criterios son la guía que
deben seguir los matemáticos en el trabajo. En las sociedades moder
nas, el matemático se convierte en un profesional (los matemáticos afi-
objetos quemanejan seansocialmente,encuentransocial la razón
justitir:¡ue su
IDEA CLAVE 2 43
cionados tipo Fermat hace mucho que han desaparecido) que en
cuentra su acomodo en la universidad, donde desarrollará, funda
mentalmente, un trabajo de investigación ligado al desarrollo del
conocimiento matemático, que será validado por la Academia de los
matemáticos desde criterios que no tienen nada que ver con el uso so
cial de sus descubrimientos. Algunos de esos descubrimientos tendrán
aplicación social y otros no, pero que la tengan o no la tengan no los
hace más valiosos desde el punto de vista de los matemáticos profesio
nales.
Toda esta reflexión es previa al planteamiento de una cuestión
que considero capital: ¿deben ser los matemáticos que trabajan en
las universidades a quienes les corresponda determinar la dirección
que ha de tomar el currículo de las matemáticas en la enseñanza?,
¿son estos sabios las personas más indicadas para hacerla? Detrás de
estas preguntas parece esconderse una afirmación no explicitada que
conviene justificar: los matemáticos profesionales de las universida
des son los que determinan en la actualidad los currículos de mate
máticas de la enseñanza no universitaria. ¿Es esto cierto? Creo poder
afirmar que, en un porcentaje muy elevado de casos, es así. Las tres
razones que puedo aducir para justificar esta afirmación son las si
guientes:
1. Los profesores que enseñan matemáticas en educación secundaria han
sido alumnos de los matemáticos universitarios y han aprendido de ellos
las matemáticas que enseñan. Esbien conocida la importancia que tiene
el modelado en la construcción del estilo de enseñanza de los docentes,
estilo que está impregnado de creencias valorativas acríticas y no explici
tadas sobre el valor de las matemáticas.
Como es bien sabido, la mayoría de los docentes enseñan como les han
enseñado a ellos y no como les han dicho que deben enseñar. Por lo que
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
resulta inútil pretender formar a los futuros docentes «después». Se
parando la parte de la formación en la que aprenden el área de cono
cimiento de la que trata de su didáctica.
Es decir, que la ecuación
Conocimiento del área + Metodología de enseñanza = competencia didáctica
Esradicalmente falsa. Puede afirmarse, en cambio, que la manera en
la que aprenden los contenidos del área condicionará totalmente la
forma en la que enseñarán a sus futuros estudiantes. Es un terrible cír
culo vicioso que se repite una y otra vez, en cada ocasión en la que los
estudiantes se convierten en docentes copiando a los maestros que les
enseñaron la materia que imparten.
Además, las influencias que reciben de los docentes universitarios
que les enseñan matemáticas no son complementadas ni contrastadas
por otras visiones diferentes, debido a la ausencia de una formación
inicial con la capacidad de construir un modelo de función docente dis
tinto del que habitualmente observan los futuros profesores en sus
maestros universitarios. Si a esto se le añade el escaso impacto que tie
nen las políticas de formación permanente, una vez que los docentes se
incorporan al sistema educativo, tenemos motivos más que suficientes
para comprender la escasa capacidad crítica de los profesores y las ra
zones que explican sus modos de actuación, modos en los que la imi
tación de los matemáticos universitarios es crucia!.
2. Laspruebas de selectividad para el ingreso en la universidad son sin duda
el referente curricular máximo para los profesores de bachillerato, y estas
pruebas suelen estar preparadas por los matemáticos universitarios. Es
muy recomendable revisar qué tipo de preguntas se hacen en la selectivi
dad para tener una idea de qué significa «currículo» en estas edades.
IDEA CLAVE 2
En la figura 2 pueden verse dos de los ítems (de un total de cuatro)
de las pruebas de selectividad aplicadas en la comunidad de Madrid
para la materia: matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, durante
las pruebas de acceso celebradas en junio de 2007. Sobra cualquier co
mentario acerca del valor de estos contenidos para aquellos estudian
tes que se vayan a dedicar al estudio de las ciencias sociales.
Figura 2
l1l
eiJ!.~Ot.:, •• , ••.•. ~
l1{·····l.J
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)
CU RSO 2006·2007
MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SOCIALES 11
OPCIÓN A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
{ x~2v + z '" o
3x + 2y - 2z '" 32x+ 2y +az '" 8
(a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.(b) Resolver el sistema para a '" 4.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dada la función real de variable real definida por:
(x~ 3)2
f(x)"'x+3
(a) Determinar las asíntotas de la función.
(b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento.
Alguien con sentido del humor y que guste del esperpento como ma
nera de reírse de lo que somos podría comparar estos ítems con los que
conocemos por estar liberados del proyecto PISA. En la figura 3 se mues
tra un ejemplo de ítem liberado de PISA obtenido de la publicación Pro
yecto PISA (2003).
46 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Figura 3
La juventud se hace más alta
La estatura media de los chicos y las chicas de Holanda en 1988 está representadaen el siguiente gráfico:
Altura (cm)
190
180
170
160
150
140
130
Estatura media de
los chicos en 1998
Estatura media de
las chicas en 1998
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Edad (al'\os)
Pregunta 4: Crecer M150Q01-0 19Desde 1980 la estatura media de las chicas de 20 años ha aumentado 2,3 cm, hasta
alcanzar los 170,6 cm. ¿Cuál era la estatura media de las chicas de 20 años en 19807
Respuesta: """" ""."""""""""."""". cm.
La diferencia de edad entre los que deben responder a una de esas
pruebas y los que lo deben hacer a la otra es de tres años. Además, de
bemos hacer constar que hay ítems en la prueba de PISA bastante más
elementales que el que hemos seleccionado.
Los que, en cambio, se lo tomen en serio podrían pensar que se trata
de dos áreas diferentes. Desde luego si una de esas pruebas mide la
competencia matemática, ¿qué es lo que mide la otra?, ¿y cuál de las
dos lo hace?, porque las dos miden cosas bastante diferentes.
Los otros dos ítems (véase la figura 4 en la página siguiente) son dos
problemas ad hoc que tienen que ver con conocimientos de probabilidad
y estadística. Conocimientos más cercanos a las necesidades de los estu-
IDEA CLAVE 2 47
diantes en susfuturos estudios, pero que curiosamente puntúan menos
que los ejercicios que nada o poco tienen que ver con la aplicación que
harán de los mismos en la universidad.
Figura 4
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Según cierto estudio, el 40% de los hogares europeos tiene contratado el acceso a internet, el 33%
tiene contratada la televisión por cable, y el 20% disponen de ambos servicios. Se selecciona un
hogar europeo al azar.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tenga contratada la televisión por cable?
(b) ¿Cual es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los servicios')
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es ua variable aleatoria que
se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y una desviación típica de 5
años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea X la media muestralde la edad de casamiento.
(a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X"
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra esté comprendidaentre 36 y 37 años?
Estaspruebas suelen estar diseñadas por los profesores universitarios de
los departamentos de matemáticas de la universidad y se convierten
para la mayoría de docentes de bachillerato y, de igual manera, para sus
estudiantes en el referente máximo en los dos años del bachillerato
LOGSE actual. La presión que reciben, de este modo, los profesores de
bachillerato es transmitida con escasa amortiguación a sus compañe
ros de secundaria. Esta presión deforma el currículo de la enseñanza
obligatoria de manera visible en el segundo ciclo de la ESOy de manera
más amortiguada en el primero. El golpe en el cristal no rompe sola
mente el lugar golpeado, sino que se transmite a través del cristal hasta
puntos bien lejanos de aquel que recibió el impacto. Esuna buena ima
gen del efecto que la selectividad tiene en el currículo no universitario.
Esrealmente sorprendente que no se haga nada para poner remedio
a esta situación y que, año tras año, se sigan repitiendo los mismos tipos
de pruebas. Esta situación se parece a la que producen las lluvias mon-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
zónicas en ciertos países, todo el mundo sabe que van a llegar, todo el
mundo dice que será un desastre, pero todo el mundo espera que sea
otro el que haga algo para remediarlo. Cuando llegan las lluvias sucede
el desastre, pero cuando baja la inundación todos se olvidan hasta el pró
ximo monzón. Es una desidia injustificable porque a poco que se piense
un momento, puede verse claramente que la reforma de las pruebas de
selectividad universitaria, si se hace en la dirección correcta, resultaría
mucho más eficaz para cambiar el currículo de matemáticas que todos los
intentos de reforma didácticos puestos en marcha en las últimas déca
das. Intentos que fracasan una y otra vez cuando armados con los marti
llos de cartón-piedra, que son las buenas razones educativas, se intentan
demoler las posiciones de poder adquiridas y consolidadas por la rutina.
El currículo más cercano al currículo real-el que concreta lo que apren
den los estudiantes- es el currículo evaluado. Pues bien, el currículo de
matemáticas, según esa lógica, se reduce al cálculo algebraico necesario
para responder a las dos primeras preguntas y a las fórmulas aplicables
para resolver esos pseudoproblemas. Eso es el currículo, aunque en los de
cretos del BOE y en los proyectos curriculares se diga otra cosa. En las cla
sesde matemáticas de bachillerato se dedican las mejores horas de estudio
a conseguir el necesario dominio de cálculo para aprobar este examen.
Lo más gracioso o triste, según se mire, es que mientras en los periódicos,
televisiones, radios, revistas, etc. se habla de PISA, en las clases se prepara
la selectividad. ¿Qué piensan los matemáticos que preparan las pruebas de
selectividad de los ítems de PISA? Me gustaría saberlo.
3. Lasadministraciones públicas y las editoriales confían a los matemáticos
con formación universitaria la redacción de las propuestas curriculares que
se hacen en la enseñanza obligatoria y postobligatoria, y no parece nece
sario argumentar mucho para que se reconozca el valor de las normas
legales y la influencia metodológica que se deriva de la utilización de los
IDEA CC , _
libros de texto en el medio escolar. Son, sin lugar a dudas, ambos, pero
más los segundos que los primeros los documentos que más condicionan
el currículo escolar. Piensoque son argumentos suficientes para mantener
que la capacidad de normativa y liderazgo de los matemáticos en lascues
tiones relacionadas con los currículos no universitarios es muy alta.
Me parece interesante, para terminar con este largo excurso sobre la re
levancia y posición de poder de los académicos universitarios con rela
ción al currículo, introducir en este texto la siguiente cita:
La investigación sobre la historia social de las disciplinas de la escuela secun
daria británica ha demostrado cómo se ha animado a los profesores a defi
nir su conocimiento curricular en términos abstractos, formales y académicos
a cambio de esta tus, recursos, territorialidad y acreditación. Una serie de in
centivos sutiles pero omnipresentes ha impulsado a los educadores, ávidos de
mejorar sus prerrogativas profesionales y sus credenciales, a rendirse solíci
tamente ante las definiciones de «conocimiento valioso» tal como fueron
formuladas por los académicos universitarios. (Goodson, 1995, p. 33)
Volvamos, una vez justificado el porqué concedemos tanta relevancia a
la visión de las matemáticas que tienen los matemáticos universitarios,
a las preguntas que hemos dejado sin respuesta. ¿Deben ser los mate
máticos que trabajan en las universidades quienes determinen la direc
ción que tiene que tomar el currículo de matemáticas en la enseñanza
no universitaria? ¿Es razonable que mantengan esta influencia?
Vaya utilizar para explicar mi manera de ver las cosas en esta cuestión
el conocido método de demostración denominado reductío ad absurdum.
Supongamos que opto por el «sí», por las respuestas afirmativas. En este
caso el modelo de matemáticas que tiene la Academia de los matemáti
cos deberá ser el polo al que dirigir nuestras brújulas y la dirección que
marcará por donde deben ir nuestros pasos. Pero esta opción, nos lleva a
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
una paradoja. Afirmamos, por una parte, que el objetivo básico de la edu
cación obligatoria es la formación de todos -los ciudadanos- y, por otra,
que esa educación debe estar dirigida por los que la miran desde la óptica
de unos pocos, óptica que tiene por objeto la formación precisamente de
esos pocos: los académicos. Éste, y no otro, fue concretamente el error
que se cometió cuando se intentó, por medio de lo que se denominaron
«matemáticas modernas», cambiar los currículos escolares siguiendo el
diagnóstico que hicieron los matemáticos sobre el atraso que suponía se
guir enseñando en la escuela las matemáticas que ya no eran las mate
máticas de los matemáticos del momento, perdón por el trabalenguas.
Pocas veces se ha actuado con menos sentido común influidos por el halo
cientifista que acompaña a los expertos universitarios, pero es que además
esta falta de sentido común vino acompañada por dosis de elitismo poco
compatible con una visión inclusiva y social de las matemáticas. Si la res
puesta afirmativa nos lleva a una situación inaceptable por paradójica, lo
más razonable será optar por la respuesta negativa.
Por lo tanto, debemos concluir que la decisión acerca de la dirección
hacia la que debe organizarse el currículo de matemáticas de la ense
ñanza no universitaria debe ser objeto de un debate social en el que los
matemáticos universitarios tendrían que participar, pero no disponer de
la última palabra ni de la posibilidad de utilizar la ley del embudo que
supone su control de la selectividad universitaria. El debate sobre los cu
rrículos de matemáticas en la educación obligatoria debe mantenerse
en la «arena» del debate político general al que estamos todos invita
dos, porque no es una cuestión académica la que se dilucida, sino una
cuestión social y, por ende, del interés de todos los ciudadanos.
Los profesionales y la enseñanzade las matemáticasSi dejamos a un lado a los matemáticos y a otro tipo de científicos que
se dedican al cultivo de las matemáticas como ciencia, cabe pregun-
IDEA CLAVE 2
tarse qué otros sectores profesionales o académicos, con formación uni
versitaria, utilizan las matemáticas. En primer lugar se sitúan, sin duda,
las carreras de ingeniería de diversos tipos y niveles y los estudios cien
tíficos; en segundo lugar, los estudios de ciencias sociales, y en último
lugar, los estudios humanistas y artísticos. ¿Cómo influye esta distribu
ción del uso posterior del conocimiento matemático en los currículos
de los estudiantes de secundaria y bachillerato? La respuesta es de
todos conocida: priorizando los conocimientos que tienen su aplicación
más directa en el mundo de las diversas ingenierías y estudios de cien
cias experimentales, dejando en segundo lugar los que se usan en los
estudios de ciencias sociales y haciendo con las humanidades y las artes
lo mismo que éstas hacen con las matemáticas: ignorarlas.
Si la aritmética es el lenguaje del comercio que se aprende en pri
maria, el álgebra es el de las ciencias que se aprenden en secundaria (el
álgebra, mejor dicho el cálculo algebraico, ocupa junto con el estudio
de los números reales la mayor parte del currículo de los dos últimos
años de la enseñanza secundaria obligatoria). Pero este lenguaje, con
independencia del valor matemático que tiene, se considera importante
porque es el lenguaje en el que se expresan las ciencias experimenta
les y las materias que se estudian en ingeniería. Podemos ver, de esta
manera, que la enseñanza de las matemáticas en secundaria está en
caminada prioritariamente a lograr que los estudiantes consigan unos
conocimientos que sólo aplicarán aquellos que estudien carreras cien
tíficas o técnicas. Es cierto que los currículos de secundaria también in
cluyen temas de estadística y probabilidad que son útiles para los
estudiantes que cursen estudios de ciencias sociales, fundamental
mente, y de ciencias humanas y artísticas, tangencialmente, pero la re
levancia de estos estudios, el tiempo que se dedica a ellos y la
importancia que tienen en la evaluación y selección de los estudiantes,
es mucho menor que la que tienen los que están relacionados con las
carreras técnicas.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Esta asociación de las matemáticas con la ciencia experimental que
he comentado en la primera idea clave como una de las características
de la sociedad industrial se muestra con toda su fuerza en este con
texto. El segundo ciclo de la enseñanza secundaria es el lugar en el que
se materializa esta ley no escrita, pero sutilmente implícita en la ma
yoría de los mecanismos de evaluación de los estudiantes: si dominas las
matemáticas de los científicos y los técnicos, puedes estudiar lo que
desees en la universidad; pero si no las dominas no puedes estudiar ca
rreras científicas o técnicas. Esdecir, que si sabes «matemáticas» puedes
estudiar lo que quieras, pero si no sabes «matemáticas» no. En conse
cuencia, esta visión de las matemáticas en la que se priman los conoci
mientos que se aplicarán en la formación universitaria de científicos y
técnicos, que ya no es una visión de los matemáticos porque no se in
siste en el rigor metodológico y las demostraciones brillan precisamente
por su ausencia, se adueña del currículo en el segmento de la ense
ñanza en el que se está decidiendo si un estudiante logra o no superar
la enseñanza obligatoria, es decir, en los últimos cursos de la misma.
Lo que quiero enfocar con nitidez y poner en duda para que sea ob
jeto de consideración y debate son las siguientes cuestiones: ¿está jus
tificada la prioridad que se da a esta manera de ver el conocimiento
matemático -lenguaje científico al servicio de los estudios de ingenie
ría y ciencia experimental- en la parte final de la enseñanza secun
daria obligatoria? ¿Se es realmente consciente de las consecuencias que
tiene esta manera de organizar el currículo en la selección de los estu
diantes? ¿Qué se piensa de la cuota de responsabilidad que tiene que
asumir esta forma de organizar el currículo en el fracaso escolar en la
educación secundaria obligatoria?
Decir que se quiere potenciar una escuela inclusiva, decir que hay
que promover unas matemáticas para «todos» y defender, en la ense
ñanza obligatoria, una visión del aprendizaje de las matemáticas que
sitúa a los técnicos y científicos como el referente ideal de ese currículo
IDEA CLAVE 2
es una contradicción a veces no percibida que confía a la didáctica lo
que ésta no puede resolver y que tiene como consecuencia real altas
tasas de fracaso. La didáctica de las matemáticas, entendida como la
metodología de su enseñanza, ha mejorado mucho en las últimas dé
cadas, pero se muestra incapaz de afrontar la situación que comenta
mos porque las bases psicologicistas en las que se basa son ineficaces
para resolver un problema que no tiene que ver con los procesos de
aprendizaje, sino con el desfase social del currículo. El fracaso en ma
temáticas es alto y los intentos que se han hecho para disminuirlo no
parecen haber tenido mucho éxito. Es un problema social importante
y no podemos acabar con él diciendo simplemente que a los adoles
centes de hoy no les interesa nada y que no están dispuestos a hacer el
mínimo esfuerzo. El fracaso escolar en matemáticas es una lacra de
nuestro sistema educativo, pero no parece preocupar demasiado a los
que dicen que «eso ha existido siempre», tratando este grave problema
social como si fuera una enfermedad crónica y maldita contra la que to
davía no se ha inventado la vacuna.
Además, podemos considerar como fracaso los aprobados de los que
terminan por odiarlas y consideran su experiencia como una pesadilla
que dejaron atrás. Los estudios de matemáticas dejan en un gran sec
tor de la población la sensación amarga de que las matemáticas no son
«para mí», u otras versiones menos negativas del mismo sentimiento:
las matemáticas son pesadas, aburridas, rutinarias, incomprensibles, etc.
¿Existen otros colectivos, más allá de los formados por los mate
máticos y los científicos e ingenieros, a los que el aprendizaje de las ma
temáticas les pueda aportar algo? Sí que existen. Para empezar está el
uso creciente, no siempre bien enfocado, de las matemáticas en otras
áreas de conocimiento que no son las estrictamente científicas: las cien
cias de la salud, las ciencias sociales y jurídicas, las humanidades, el arte,
etc. Todas ellas están ahí y de su desarrollo se ocupa una parte creciente
de los estudiantes universitarios, aunque una visión un tanto miope del
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
valor del conocimiento las sitúe en un segundo lugar con relación a lo
que, de manera directa y un tanto reduccionista, se denomina «cien
cias» sin adjetivos. Todas estas ciencias usan conocimiento matemático
y lo hacen de manera creciente, pero, a pesar de ello, las partes de las
matemáticas (estadística, probabilidad ...) relacionadas con estos temas son
en la mayoría de las propuestas curriculares algo menor que se supedita
a las matemáticas necesarias para las ciencias experimentales. Las ma
temáticas de los profesionales universitarios que no se dedican a las
ciencias experimentales están infravaloradas si se utiliza como criterio
de valor el uso social que se hace de ese conocimiento en el medio pro
fesional. La conclusión que podemos extraer de estos argumentos es
clara: el currículo de los últimos cursos de la enseñanza secundaria obli
gatoria debería destinar más tiempo y espacio a los conocimientos ma
temáticos que se utilizan en los estudios no científicos.
Las matemáticas no pueden ni deben ser un obstáculo, una barrera
que hay que salvar, algo que tengo que aprobar porque es condición
para poder avanzar. La escuela no puede ser una carrera de obstáculos
en la que sólo los mejores llegan al final, porque el conocimiento, es
pecialmente el matemático, debe ser una herramienta al servicio del
desarrollo personal y la integración social, y no un cedazo de malla es
trecha que sirve fundamentalmente para seleccionar. Las matemáticas
son, sin duda, una palanca de gran valor tanto para el desarrollo perso
nal como el social, y no sólo el económico. Por lo tanto, tenemos que
hacer un esfuerzo para que el conjunto de la ciudadanía pueda tomar
conciencia de esta realidad, pero para ello es necesario que las mate
máticas dejen de ser la espada de Damocles que pende sobre sus cabezas
o esa odiosa materia escolar que es la más difícil de aprobar. Las mate
máticas debieran estar en el «haber» de nuestro libro de contabilidad
personal, pero por desgracia muchas veces están en el «debe».
Las matemáticas han aceptado, no sé si a su pesar o no, la condición
de «mamporrero» de la selección social de los estudiantes en la educa-
IDEA CLAVE 2Fd
ción obligatoria, y lo pagan con el desprecio, el desinterés, cuando no
con el rechazo total, de todos aquellos que no salen bien parados en
esta selección.
La enseñanza de las matemáticas
y la ciudadaníaLa línea argumental seguida hasta el momento parece sugerir que la
enseñanza de las matemáticas en la escuela obligatoria tiene una fina
lidad propedéutica que se justifica por el valor de los conocimientos
que se adquieren en la escuela para los estudios posteriores, sean estos de
un tipo u otro. Sin embargo, como hemos visto en la primera idea clave,
ésta no era la principal motivación que tenían los ilustrados del XVIII
cuando promovieron que se incorporaran las matemáticas a los estudios
elementales y que se enseñaran a toda la población. Los ilustrados del
XVIII pensaban que el aprendizaje de la ciencia y de las matemáticas por
parte de las clases populares era no sólo conveniente, algo que había
que promover benéfica mente, sino la condición misma del desarrollo
moral y económico de toda la sociedad. La incorporación de las mate
máticas a los currículos de la escuela elemental en las sociedades mo
dernas ha estado justificada y promovida, entre otras razones, por esta
creencia. El razonamiento que se publicitaba era, más o menos, que
había que convertir a las masas populares dominadas por el fanatismo
religioso y la ignorancia en sociedades de ciudadanos libres. En esta
transformación social la enseñanza de las matemáticas y de la ciencia
juega un papel primordial. Escierto, por otra parte, que el interés que
suscitaba la educación de las masas populares era visto como una de
las condiciones que permitiría liberar la fuerza de trabajo de los agri
cultores analfabetos para convertirlos en trabajadores alfabetizados
que pondrían a funcionar la maquinaria del entramado industrial. No
servía para nada despojar a la Iglesia y a la aristocracia del control de
la producción de bienes económicos si a la vez no se conseguía que los
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que hacían funcionar el sistema antiguo pasaran a hacer lo propio con
el nuevo. La sociedad moderna nace con esta contradicción: los mismos
valores que se enuncian para liberar a la gran mayoría de la población
del peso del fanatismo, la intolerancia y la ignorancia a las que estaban
sometidos por las clases dirigentes del antiguo régimen, sirven para es
tablecer y robustecer los intereses económicos de las nuevas clases di
rigentes, que ven en el capitalismo y en el modo de producción
industrial el espacio de desarrollo social.
La conversión de las masas de agricultores analfabetos en trabajado
res alfabetizados fue la condición para el desarrollo de las sociedades
industriales y una de las razones clave para la creación de la escolaridad
obligatoria y para la inclusión de las matemáticas en los currículos de
manera universal.
Sin embargo, desde entonces ha llovido bastante y la sociedad actual
tiene poco que ver con la sociedad industrial que necesitaba masas
de trabajadores alfabetizados numéricamente. Nuestra sociedad es pos
tindustrial y el desarrollo de la tecnología ha convertido en banales los
aprendizajes de cálculo numérico escrito que eran el corazón de la pro
puesta curricular anterior, que como ya hemos indicado en este texto
se basaba en conocimientos que las actuales tecnologías de la infor
mación han convertido en obsoletos. La alfabetización numérica nece
saria para que el sistema económico actual funcione y para que las
masas populares sean parte activa del mismo no necesita depender de
una enseñanza escolar de las matemáticas o, en todo caso, no de una
versión cuya intensidad formativa y peso en el currículo se corresponda
con el que ha tenido y tiene actualmente. Defender los actuales currí
culos de matemáticas, fruto de las necesidades sociales del siglo XIX y
principios del XX, en la escuela obligatoria como condiciones necesarias
para el desarrollo económico y social en el siglo XXI es un anacronismo.
A pesar de ello, si bien las necesidades de formación de los trabaja
dores han cambiado porque el sistema productivo se ha transformado
IDEA CLAVE 2
radicalmente, la otra cara del prisma, la que enuncia las ideas sobre las
que se basa la participación política en la sociedad, es la misma: la ciu
dadanía. Nuestro modelo de organización social, que se puede sinteti
zar en el sistema democrático de participación delegada, es un modelo
que sigue viendo al individuo como un ciudadano cuyos derechos y de
beres individuales son reconocidos en normas legales positivas que se
resumen, en lo esencial, en las constituciones de los Estados de los que
forman parte dichos ciudadanos. El sistema de participación delegada
hace que los ciudadanos deleguen su capacidad legislativa en manos
de los parlamentos y gobiernos. ¿Cómo se vertebra la relación entre las
masas populares que delegan su poder y los parlamentos y gobiernos?
Por las votaciones periódicas que se convocan para elegirlos, y estas vo
taciones están condicionadas por la «opinión» que los ciudadanos tie
nen del uso que hacen los partidos políticos y sus dirigentes de la
delegación de poder que implica el voto. A su vez, y ya llegamos al
final de este laberinto, de la conformación de la opinión pública se ocu
pan primordialmente los medios de comunicación, que se convierten
en el elemento clave de la construcción de la opinión pública y, por ende,
de la intermediación entre el poder político delegado y los ciudadanos
que delegan ese poder. ¿Y qué tiene que ver todo esto con el currículo
de matemáticas de la enseñanza obligatoria? Pues, a poco que se re
flexione bastante; porque cabe afirmar con un grado alto de verosimi
litud que hoy en día no es posible concebir el pleno uso de la
ciudadanía sin una competencia matemática que permita actuar de ma
nera informada y responsable en el medio social. Hoy en día la alfabe
tización, condición necesaria para el uso pleno de la ciudadanía,
incluye también el uso de conocimientos matemáticos. Estos cono
cimientos deberían ser el núcleo del currículo de matemáticas si las
miramos desde el prisma social que coloca la formación de los ciuda
danos como el más importante de los objetivos de la enseñanza obli
gatoria. La alfabetización matemática y científica de todas las personas
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
se convierte de esta manera en una necesidad para la igualdad de opor
tunidades en el siglo XXI, como lo ha sido en los siglos anteriores.
A continuación, algunos ejemplos de lo que quiero decir. Si supo
nemos, lo que no parece una exageración, que hoy en día la lectura de
la prensa escrita es una forma básica de acceso a la información, vemos
algunos ejemplos de la necesidad de usar conocimiento matemático
para la correcta interpretación de las noticias:
Cada año hay en España 150.000 personas que cumplen 65 años. El grupo de
españoles con 85 y más años crecerá un 80% en las dos próximas décadas. Y
el de 20 a 34 años perderá casi un tercio de sus efectivos. Teniendo en cuenta
la implacable correlación entre edad y dependencia, la cifra de españoles
con derecho en el futuro a recibir las ayudas del SAAD se dispara cada día.
El 32% de las personas mayores de 65 años tiene algún tipo de discapaci
dad, frente al 5% del resto de la población.
Fuente: www.elpaís.es. 9 de julio de 2007.
580 trabajadores murieron en la primera mitad del año por accidentes la
borales
Un total de 580 trabajadores fallecieron en accidente laboral durante los
cinco primeros meses del año, según datos del Boletín de Estadísticas Labo
rales (BEL) que elabora el Ministerio de Trabajo y Asuntos Sociales.
De esta cantidad, 419 perdieron la vida en su puesto de trabajo, un 14,1% menos
que en igual periodo de 2006, en tanto que 161 fallecieron en el trayecto de su
casa al trabajo o viceversa (accidentes 'in itinere'), con un descenso del11 %.
En conjunto, de enero a junio se registraron 462.217 accidentes con baja en
jornada de trabajo y 48.085 siniestros 'in itinere'. Los primeros se redujeron
un 3,9% respecto a 2006, mientras que los segundos cayeron un 4,6%.
Fuente: www.elmundo.es. 18 de agosto de 2007.
IDEA CLAVE 2
Pero éstos no son más que un par de ejemplos entre los miles que se
pueden encontrar todos los días en la prensa escrita. Existe ya suficiente
literatura al respecto y son varios los autores que han puesto de mani
fiesto la importancia de la prensa para aprender matemáticas: Fernán
dez y Rico (1992), Corbalán (1991) e Irizo y López (1992) entre otros. De
todas maneras me gustaría hacer una observación a la mayoría de las
tentativas que se han hecho para relacionar la enseñanza de las mate
máticas y la prensa escrita. La mayoría de estos autores han intentado
buscar en la prensa contextos y, sobre todo¡ ejemplos para justificar la
enseñanza de las matemáticas, pero en mi opinión el camino que hay
que recorrer es el inverso al que señalan. Lo relevante para los ciuda
danos es la correcta interpretación de la información contenida en la
prensa y no las matemáticas como tales¡ es cierto que para comprender
la prensa deben usar conocimiento matemático¡ pero esto no avala que
se enseñen matemáticas¡ lo que garantiza es que se enseñen las mate
máticas que son útiles para la comprensión de esa información. Es una
cuestión de prioridad y orden de relevancia. Para el ciudadano lo im
portante es la información¡ y las matemáticas son útiles porque ayudan
a entender la información. Es decir que para la perspectiva del ciuda
dano las matemáticas son un medio y no un fin. Desde la perspectiva de
los matemáticos¡ en cambio, la información es útil porque ayuda apren
der matemáticas, porque funciona como un buen modelo que sirve
para referenciar el conocimiento matemático. La idea que me gustaría
sugerir y defender es precisamente la inversa: el conocimiento mate
mático es un medio y no un fin¡ el fin último es la integración y parti
cipación social, por lo tanto tenemos que aprender matemáticas para
poder ser ciudadanos de pleno derecho porque lo importante es el uso
activo y crítico de la ciudadanía y no las matemáticas. Como fácilmente
puede entenderse son visiones antagónicas de una misma cuestión.
Si la prensa es un medio de comunicación básico en la conformación
de la opinión pública, Internet es hoy en día otro canal fundamental
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
para obtener información. Anuncios similares al que muestra la figura
5 en la página siguiente pueden verse en cualquier periódico o página
web. La comprensión de la información que este anuncio exige obliga
a utilizar conocimiento matemático de diverso tipo, y esta compren
sión es necesaria para que la «propaganda» pueda convertirse en in
formación. Poder transformar propaganda en información es, sin lugar
a dudas, una de las necesidades sociales a las que más pueden contri
buir las matemáticas, porque muchos de los efectos nocivos, por mani
puladores de la propaganda, se basan la mayoría de las veces en la
incapacidad de comprender los mensajes de los anuncios. ¿Qué quiere
decir exactamente «descuento acompañante hasta 500/0»?
Poner más ejemplos es tan sencillo como innecesario. El uso de co
nocimiento matemático básico es hoy en día una necesidad universal
mente reconocida. A pesar de ello, existe un sector importante de la
población escolar que fracasa en el aprendizaje de las matemáticas en
la educación obligatoria. Estamos, sin lugar a dudas, en una situación
que podemos calificar de crisis en la enseñanza de las matemáticas y lo
peor de la cuestión es que comienza a ser una crisis que corre el riesgo
de convertirse en crónica, en endémica.
La crisis en la enseñanza de las matemáticas tiene su origen en Es
paña en la extensión de la enseñanza obligatoria a las clases populares
que se da, de manera decidida, en los años setenta del siglo xx con la
Ley General de Educación y, de manera explosiva y traumática, en los
años noventa del mismo siglo con la LOGSE. La tipología social de los
estudiantes que acceden a la secundaria en los años noventa no tiene
nada que ver con la de los estudiantes de bachillerato de los años an
teriores a 1970. En este cambio sociológico hay que situar el origen de
la mayoría de las disfunciones creadas en la enseñanza de las matemá
ticas en estos últimos años. ¿Qué tipo de aprendizajes matemáticos son
socialmente necesarios para estos adolescentes que llegan a las aulas en
oleadas sin ningún tipo de filtro selectivo? ¿Cómo hacer compatibles
IDEA CLAVE 2
Figura 5 o
B 5'" I D5*S I E 5*SESENCIAS DE EGIPTO 7n.
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
unos currículos que sirven a la vez para los estudiantes que se dirigen
hacia la universidad y para aquellos que no lo harán? ¿Qué hacer con
todos aquellos estudiantes que no se corresponden con el perfil ade
cuado?
No hemos sido capaces de responder a estas preguntas y seguimos
insistiendo en unos currículos que estaban pensados, sobre todo a par
tir de los catorce años, para una situación en la que los estudiantes si
tuados ya en una etapa postobligatoria de la enseñanza y previamente
seleccionados se preparaban para estudios científicos o técnicos en la
universidad. Esa realidad ya no existe, ese mundo ya no es el nuestro,
ese paisaje pertenece al pasado; pero seguimos aplicando los mismos
currículos, y la sensación de crisis se agudiza mientras la parálisis ate
naza al currículo.
La solución a esta crisis, en la medida en que sea posible salir del
atolladero en el que estamos, debería plantearse con una perspectiva
amplia que combinase en la proporción adecuada, y seguramente no en
la misma para todos los estudiantes, las tres miradas comentadas en el
desarrollo de esta idea clave.
Las matemáticas del ciudadano
Todos los estudiantes deben ser alfabetizados matemáticamente para
poder convertirse en ciudadanos activos en sociedades socialmente com
plejas y científica y tecnológicamente avanzadas, esto implica, por un
lado, extender la oblígatoriedad, que no la comprensividad, de la ense
ñanza hasta los dieciséis o los dieciocho años (actualmente ya se tiende
a considerar un ciclo de dos años posterior a la enseñanza secundaria
obligatoria como deseable para toda la población, el objetivo de dismi
nuir el fracaso escolar para el 2010 en Europa se cifra en esa edad yen
el 15%) y, por otro, avanzar esa alfabetización de los rudimentos de la
aritmética a contenidos más amplios, pero que no abarquen los que ac
tualmente se consideran propedéuticos en la secundaria obligatoria.
IDEA CLAVE 2
El Consejo Escolar del Estado también se ha fijado en las Enseñanzas Posto
bligatorias, destacando la necesidad de incrementar las tasas de titulación
en Bachillerato y Formación Profesional. En este sentido, las propuestas de
mejora van dirigidas a que el 85% de las personas de 18 a 24 años al
cance el nivel de educación secundaria superior, reduciendo el desequili
brio de los estudios profesionales y los estudios académicos, creando una
Red de Centros de Segunda Oportunidad para atraer a la población adulta
sin el nivel de educación secundaria superior. También se propone aumen
tar la flexibilidad del Bachillerato y de los sistemas de acceso y de la For
mación Profesional con el fin de ofrecer una Formación Profesional atractiva
para la juventud y adecuada a las características y necesidades del mundo
laboral. (Consejo Escolardel Estado, reunión del 28 de julio de 2007)
Para lograr estos objetivos es necesaria una reforma en profundidad
del currículo de matemáticas en la enseñanza secundaria y sobre todo
en el segundo ciclo de la misma. El actual currículo es fuente de exclu
sión. Es una ilusión, mil veces negada por la realidad, que la solución a
la actual crisis en esta cuestión pueda provenir de un refinamiento di
dáctico.
Las matemáticas del profesionalUna proporción elevada de los estudiantes completarán sus estudios con
grados universitarios o estudios profesionales de nivel medio y superior.
En las sociedades avanzadas este porcentaje puede suponer más de un
80% del total de la población. Las matemáticas que se estudian en la
profesionalización de los estudiantes deberían adecuarse mejor a los fu
turos perfiles profesionales y ajustar sus contenidos a un uso más amplio
de los mismos. No parece lógico que las matemáticas de los científicos e
ingenieros se conviertan en el metro con el que medir a todos los jóve
nes que aspiran a los estudios universitarios, y no lo es porque no es ése
el uso que harán de las matemáticas en sus futuras profesiones.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
El sector de la población que debe seguir formándose en matemáti
cas más allá de los años en los que termine la educación obligatoria re
sulta de esta manera ampliado hasta el punto que puede hablarse de la
necesidad de una segunda alfabetización masiva en matemáticas. El ob
jetivo de esta segunda alfabetización matemática ya no es el ciudadano,
sino el profesional. Esdecir, la persona que va a prepararse para ejercer
una profesión que necesita una formación de tipo medio o alto. La inmensa
mayoría de los profesionales de cualquier orden (economistas, médicos,
educadores, psicólogos, abogados, enfermeras, maestros, empresarios,
contables ... ) necesitan competencias matemáticas para desarrollar su
labor, y el número de estos profesionales es mayor que el de estudian
tes que se preparan para las carreras de orientación científico-técnica.
Hay que considerar seriamente la conveniencia de incorporar estudios
de matemáticas en los dos primeros años de todos los grados universita
rios, porque no es aceptable la escasa competencia, en algunos casos he
podido comprobar personalmente que esta competencia es incompatible
con un título universitario, que actualmente tienen los egresados uni
versitarios de los estudios «que no son de ciencias», ni es compatible con
una formación que les prepare para una sociedad en la que la compe
tencia matemática es clave para el aprendizaje a lo largo de toda la vida.
La enseñanza de las matemáticas ha desdeñado a estos colectivos y tiende
a considerar que les basta con «menos matemáticas» sin pensar que lo
que necesitan son «otras matemáticas», la mayoría de los profesionales
precisan más matemáticas que las que aprenden, pero necesitan otras
matemáticas distintas a las que se les proponen.
Dentro del amplio sector de estudiantes que se preparan para estu
dios de nivel medio y superior, existen intereses y necesidades diferen
tes con relación a la formación matemática que deben recibir. Por lo
tanto, no se trata de que algunos aprendan matemáticas (orientadas al
mundo científico-tecnológico) y otros no, sino que las matemáticas que
se aprenden deben diversificarse para atender a los intereses formati-
IDEA CLAVE 2
vos de los estudiantes según éstos se vayan orientando hacia las diver
sas ramas profesionales a las que aspiran a llegar. La flexibilidad de la
oferta educativa deberá ser, por lo tanto, un elemento clave que ha
bria que considerar en este segmento de edad y no debería mantenerse
la actual primacía que tienen las partes de las matemáticas que usan los
profesionales del ámbito científico-tecnológico. La enseñanza de las
matemáticas debe diversificarse para atender de manera más adecuada
a las necesidades de los estudiantes de todos los tipos de estudios, por
que es un error pensar que sólo necesitan saber matemáticas los estu
diantes que se dirigen hacia los estudios de ciencias e ingenierías. La
mayoría de los universitarios que cursan grados no científicos no dis
ponen de la competencia matemática necesaria para su desempeño
profesional en el contexto social actual.
Las matemáticas de los matemáticosSólo un reducido número de estudiantes se encamina hacia las mate
máticas como su destino de dedicación social. Un porcentaje muy bajo
de los estudiantes que entran en la universidad eligen estos estudios.
Además, es un colectivo cuya cuantía está disminuyendo de manera alar
mante en los últimos años. Ya he expresado mi idea sobre la conve
niencia de una reforma en la oferta universitaria en esta cuestión. Pienso
que debería estudiarse la posibilidad de ofertar un grado en ciencias que
fuera polivalente y que permitiera el acceso a un postgrado profesio
nalizador para dedicarse a la enseñanza tanto de matemáticas como de
ciencias en secundaria, y que a la vez fuera la puerta de estudios de pos
tgrado donde se especializaran los estudiantes que deseasen dedicarse
de manera más específica a las matemáticas. En consecuencia, la mate
mática de los matemáticos debe ser estudiada en el mundo universita
rio y por aquellos estudiantes que decidan embarcarse en esa aventura.
Sobre esta cuestión creo que son los matemáticos de la Academia los
que tienen que hablar y por esta razón no diré nada.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
En resumen
Las matemáticas están en el currículo de la enseñanza obligatoria de manera obligatoria.
Esta presencia e imposición sólo puede justificarse si se argumenta suficientemente el in
terés social de actuar de esta manera. Ese interés no puede ser, en la educación obliga
toria, formar matemáticos porque es algo que sólo afecta a una ínfima parte de esa
población, ni formar científicos e ingenieros, porque, aunque son más, tampoco consti
tuyen ni de lejos la mayoría de esa población. La razón está sin duda en el interés que las
matemáticas tienen para un desempeño completo de la ciudadanía en sociedades com
plejas y tecnológica y científicamente avanzadas. Pero si esto sirve para justificar la pre
sencia de las matemáticas en el currículo de la enseñanza obligatoria, no avala, desde
luego, la presencia de «cualquier tipo de matemáticas» en esos niveles educativos. Sola
mente, o de manera principal, aquellas matemáticas que sean útiles a este fin pueden
estar justificadas como parte del currículo de la enseñanza obligatoria. Estamos lejos de
esa situación y en la actualidad las matemáticas de los últimos cursos de la enseñanza obli
gatoria son más una barrera, un filtro selectivo, una dificultad que una herramienta al
servicio de los fines sociales más arriba establecidos. Si no se acomete una reforma deci
dida de los currículos de matemáticas de la secundaria, del bachillerato y los primeros
años de los grados universitarios, será muy difícil salir de esta situación.
IDEA CLAVE 2
• Sería interesante extender el debate
sobre el currículo de matemáticas dando
cabida en el mismo a otros profesionales
que no sean los académicos universita
rios, con el fin de recoger una visión más
social de lo que es importante aprender.
Matemáticas para todos supone necesa
riamente otras matemáticas.
• La enseñanza de las matemáticas en la
educación obligatoria debería cen
trarse en el desarrollo de la competen
cia necesaria para los ámbitos personal
y social. Esto marca un criterio claro a
la hora de dilucidar cuáles deberían ser
los objetivos que habría que lograr en
la educación obligatoria.
• La enseñanza de las matemáticas en la
educación postobligatoria preuniversi
taria debería centrarse en el desarrollo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de la competencia necesaria para el
ámbito profesional (o preprofesional)
y tendría que considerar la convenien
cia de ajustar el currículo de matemá
ticas a las ramas de los futuros grados
universitarios.
• Convendría un análisis sistemático de
los actuales currículos de enseñanza
de matemáticas desde los criterios in
dicados anteriormente porque no se
ajustan a los mismos. Ésta debería ser
una de las prioridades de la comuni
dad de expertos e investigadores en la
enseñanza de las matemáticas.
• Deberíamos proponer un cambio cul
tural entre los docentes de matemáti
cas para que las consideren una
herramienta al servicio del desarrollo
de los estudiantes.
El objetivo de la enseñanza de lasmatemáticas escolares es el desarrollo
de la competencia matemática
El viento y los veleros
A causa de su malformación y de la lentitud de su inteligencia, sacaron a Michael del colegio
tras un corto período de prueba, y lo entregaron a Huis Norenius en Faure, donde, a costa del
Estado, pasó el resto de su infancia en compañia de otros niños desafortunados y con proble
mas aprendiendo a leer, escribir, contar, barrer, frotar, hacer camas, fregar platos, tejer cestas,
carpintería y jardinería. (Coetzee, Vida y época de Michael K.)
De área de conocimiento a competencia clave
El aprendizaje de las matemáticas necesarias para la integración social y el desarrollo profesional
son un fin social que no debe verse supeditado a una utilización de las matemáticas que con fines
selectivos se convierta en un obstáculo para muchos jóvenes.
El estado actual de la enseñanza de las matemáticas, centrado en la adquisición de conte
nidos de dudosa utilidad para los fines sociales más arriba indicados, promueve que las ma
temáticas sean vistas como un filtro seleccionador, una especie de embudo que sólo succiona a
los «mejores», que actúa más como una barrera que como una oportunidad que hay que apro
vechar.
IDEA CLAVE 3 69
En estos últimos años estamos asistiendo a la aparición de un nuevo discurso sobre los fines
sociales de la educación, discurso que se concreta en los planes europeos para la educación que
parten de los acuerdos de la cumbre de Lisboa de la UEy de sucesivas propuestas que se han ido
haciendo para armonizar los currículos de enseñanza de los países de la UE. Entre los planes eu
ropeos destacan los pactos para la creación del EspacioEuropeo de Educación Superior y el acuerdo
sobre competencias del parlamento europeo. Esta idea clave la dedico a explicar este discurso y a
analizar sus luces y sombras.
Las matemáticas aparecen en el actual currículo de la LOEdos veces, una como área de cono
cimiento y otra como competencia clave. Tal vez pocas cosas reflejen mejor la situación actual que
esta duplicidad donde cambio e inmovilismo se cruzan sin que se sepa bien con qué carta quedarse.
Porque no es lo mismo proponer las matemáticas como un corpus de conocimiento que hay que
aprender, donde la lógica interna de la materia es la columna vertebral sobre la que debe girar el
currículo, que hacerlo como competencia, donde entran otras variables como son su uso o apli
cación y los contextos en los que se utiliza y donde el orden de organización del currículo puede
ser, por lo tanto, bien diferente. ¿Estamos en una encrucijada; tenemos ante nosotros un
cruce de caminos y deberemos optar por uno u otro? ¿O por el contrario daremos una de cal y
otra de arena, pondremos una vela a Dios y otra al diablo y evitaremos decantamos por una u otra
vía hasta que deje de llover, se despeje el paisaje y se vea claro por dónde ir?
Las matemáticas como área de conocimiento son algo bastante conocido, por esta razón, de
dico esta idea clave a presentar las matemáticas como una competencia clave, valga la repetición.
Espero que estas reflexiones ayuden a responder a las preguntas que he dejado sin respuesta en
el párrafo anterior.
La Unión Europeay las competencias clave
Desde la cumbre de Lisboa celebrada en el año 2000, la Unión Europea
viene promoviendo de manera activa políticas educativas con la finali
dad de ir construyendo un marco europeo común de referencia. En esa
fecha se pusieron en marcha una serie de comisiones que han ido tra-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
bajando, celebrando diferentes reuniones y elaborando sucesivas pro
puestas. Todos esos trabajos, que no vamos a detallar, culminan, por
ahora, el 26 de septiembre de 2006. En esa fecha el Parlamento Euro
peo y el Consejo de la Unión Europea aprobaron una «recomendación»
dirigida a todos los estados miembros, titulada Competencias clave para
el aprendizaje permanente, un marco de referencia europeo, para con
tribuir al desarrollo de una educación de calidad, orientada al futuro y
adaptada a las necesidades de la sociedad europea. Este marco de re
ferencia establece ocho competencias clave, que son las siguientes:
• Comunicación en la lengua materna.
• Comunicación en lenguas extranjeras.
• Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tec-
nología.
• Competencia digital.
• Aprender a aprender.
• Competencias sociales y cívicas.
• Sentido de la iniciativa y espíritu de empresa.
• Conciencia y expresión culturales.
Las competencias clave pretenden ser los ejes que deben estructurar
los currículos en las diversas etapas del sistema educativo dentro de lo
que tendría que ser el armazón del sistema educativo europeo. Se pro
ponen como competencias para desarrollar a lo largo de toda la vida.
A cada país miembro le corresponde desplegar estas competencias den
tro de su propio sistema educativo y así lo vienen haciendo diferentes
países europeos con fecha anterior y posterior a esta resolución.
En el anexo I del decreto de mínimos de la LOE (Decreto 1513/2006
del 7 de diciembre de 2006) se adecuan las competencias clave europeas
y se definen ocho competencias clave para el desarrollo de los currícu
los en las diferentes comunidades autónomas del estado español. Estas
competencias son las siguientes:
Las competenciasclave deben estructurar los currículos
las diversas etapassistema educativo se
proponen comocompetenciasque hay quellar a lo
toda la
IDEA CLAVE :;..,~I ;
la competenciamatemática apareceen los currículos de
todos los países europeos de manera independiente o asociada
a otra competencia.
1. Competencia en comunicación lingOística.
2. Competencia matemática.
3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.
4. Tratamiento de la información y competencia digital.
5. Competencia social y ciudadana.
6. Competencia cultural y artística.
7. Competencia para aprender a aprender.
8. Autonomía e iniciativa personal.
A su vez, cada una de las autonomías está recogiendo estas competen
cias en los decretos que regulan los nuevos currículos para sus respec
tivas comunidades.
El resto de países europeos está incluyendo en sus currículos estas
competencias clave, aunque la velocidad y la forma final de las mis
mas no son coincidentes en todos sus aspectos. De todas maneras, lo
que nos interesa señalar es que en todos los casos aparece la denomi
nada competencia matemática, ya sea de manera independiente o aso
ciada a otra (en general a la que se refiere al mundo científico y
tecnológico). De manera que queda bien establecido que lo que se de
nomina competencia matemática constituye uno de los ejes organiza
dores de los currículos europeos.
¿Qué hay detrás de esta iniciativa? ¿Qué motivos impulsan a las au
toridades políticas europeas a introducir estos cambios en la estructura
de los currículos y a situar lo que denominan competencia matemática
como uno de los ejes del currículo de la enseñanza obligatoria? ¿Tiene
esto algo que ver con la intención de resolver los problemas de orden
social que en la actualidad tienen los sistemas educativos europeos? Tal
vez lo más directo para contestar estos interrogantes sea incluir en estas
páginas el siguiente texto:
La presente Recomendación debe contribuir al desarrollo de una educación
y formación de calidad, orientada al futuro y adaptada a las necesidades de
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MA TEMATICA
la sociedad europea, apoyando y completando las acciones que los Estados
miembros emprendan con el fin de garantizar que sus sistemas de educación
y formación iniciales pongan a disposición de todos los ióvenes los medios
necesarios para desarrollar las comoetencias clave que los oreoaren oara la
vida adulta. v que constituvan una base para el aorendizaie comolementa
rio v la vida laboral. así como que los adultos puedan desarrollar y actuali
zar sus competencias clave mediante una oferta coherente y completa de
aprendizaje permanente. (Parlamento Europeo, 2006, p. 6)
(El subrayado no está en el texto originaL)
Queda claro que lo que se pretende es una alfabetización masiva que
sea la base del desarrollo social y económico europeo. Lo que se intenta
conseguir es que «todos los jóvenes» logren un nivel de competencia
que los «prepare para la vida adulta, y que constituya una base para el
aprendizaje complementario y la vida laboral», en consecuencia, según
mi interpretación, estamos frente a una visión del currículo que prima
los aspectos de inclusión social por encima de cualquier otra conside
ración. En definitiva, lo que se pretende es que los sistemas educativos
dejen de ser un obstáculo para el desarrollo social, anclados como están
en una obsesión academicista, y sirvan como base del nuevo orden eco
nómico. El propio informe muestra esta necesidad:
El estudio de Maastricht sobre educación y formación profesionales de 2004
pone de manifiesto un considerable desfase entre los niveles de formación
exigidos por los nuevos puestos de trabajo y los alcanzados por la mano de
obra europea. Dicho estudio muestra que más de una tercera parte de la
mano de obra europea (ochenta millones de personas) está poco cualifi
cada, mientras que las estimaciones indican que, de aquí a 2010, casi el 50%
de los nuevos puestos de trabajo exigirá cualificaciones de nivel superior,
algo menos del 40%, enseñanza secundaria superior y tan sólo el 15%, apro
ximadamente, será adecuado para trabajadores que dispongan de escola
rización básica. (Parlamento Europeo, 2006, p. 4)
IDEA CLAVE 3
Con la finalidad de adecuar el sistema educativo a las necesidades so
ciales, se promueve un cambio en la estructura del currículo que se con
creta, en lo que a nosotros atañe, en cambiar de paso para considerar
que las matemáticas deben dejar de ser un área de conocimiento para
pasar a ser una de las competencias clave que debe ser desarrollada por
todos, no sólo por algunos, a lo largo de todos los estudios. Estamos
donde estamos porque la conciencia del desajuste entre las necesidades
sociales y lo que el sistema educativo construye ha llegado al nivel de
las decisiones políticas. Esa toma de conciencia, si bien hay que decir
que algunos países se muestran mucho más dinámicos que otros en el
despertar de esta sensibilidad, ha impulsado la toma de decisiones
por parte de las instituciones políticas que se ocupan de la educación.
La aparición de las competencias como ejes organizadores del cu
rrículo ni es del todo novedosa ni neutral desde el punto de vista ide
ológico. Lo que se denomina «currículo por competencias» es algo que
ya viene utilizándose en España desde los años noventa en la enseñanza
profesional y ocupacional, y desde luego es una corriente que llega
a la enseñanza desde el mundo de la empresa, como ha sucedido con
otras propuestas de reforma. De hecho esta propuesta ha levantado
suspicacias, cuando no oposiciones declaradas, en ciertos sectores edu
cativos con la acusación manifiesta de poner el sistema educativo «al
servicio de los intereses económicos del mercado». Negar que el viento
que mueve las velas viene de esa dirección es negar una realidad, de
hecho casi todos los textos europeos que han precedido, justificado y
promovido esta propuesta nos hablan de la necesidad de acomodar el
sistema educativo a la nueva realidad económica y social. En mi opi
nión el quid de la cuestión está en distinguir entre mercado y sociedad,
porque nadie pretenderá que el sistema educativo viva de espaldas a las
necesidades sociales si éstas están determinadas por el libre juego de
las opiniones políticas expresadas por los cauces institucionales, es decir
por medio del debate político propio de las democracias europeas, aun-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que es legítimo¡ y me atrevería a decir necesario¡ que no se confundan
esas necesidades con los intereses del beneficio económico propio de la
lógica empresarial capitalista, porque la educación no puede organi
zarse según ese tipo de lógica. La educación debe servir a fines sociales
más generales que los que sustentan los fines del mercado económico.
Este matiz es importante y no debemos olvidarlo porque una transla
ción mecánica y poco cuidadosa de la manera de pensar que sirve para
organizar la producción de bienes según la manera de hacer del mer
cado no servirá para organizar una educación¡ a no ser que se tenga en
mente una caricatura de lo que este término representa en realidad.
En los años cincuenta del siglo xx ya hubo un intento algo similar a
esto por parte de los autores norteamericanos promotores de lo que
luego se denominó modelo tecnológico de organización del currículo.
La Ley General de Educación de 1970 se sirvió de este modelo para su
propia reforma curricular. Eran otros tiempos, el sistema productivo era
distinto y la industria era el sector emergente, pero el intento fue muy
similar: llevar a la educación lo que funcionaba en la producción in
dustrial. Todos sabemos que eso no funcionó, y creemos saber que no
lo hizo porque se confundió hacer coches en cadena con enseñar. Po
demos estar a las puertas de intentar resucitar esta manera de ver las
cosas y en vísperas, si no ya en el alba¡ de la reaparición de un modelo
neotecnológico. Lo que sucede es que ahora ni el sector industrial es el
emergente ni el modelo de producción en serie es el modelo que habría
que seguir, la producción de bienes es mucho más sofisticada y¡ en con
secuencia¡ también lo son los modelos de su organización. Pero cuando
el viento sopla en una dirección y a uno le toca pilotar un velero¡ no
se suele poder elegir la dirección en la que sopla el viento, pero sí se
puede, en cambio, decidir hacia dónde se quiere navegar y no es nece
sario que ambas direcciones coincidan ni que se opongan linealmente.
El piloto tiene a su disposición un abanico de direcciones que si se com
binan adecuadamente¡ pueden hacer que el barco navegue en la di-
IDEA CLAVE 3
rección que decida el piloto con independencia de cómo sople el viento.
En mi opinión, el mundo educativo se encuentra en una situación si
milar, porque la sociedad, en concreto la europea, está tomando con
ciencia de que el sistema educativo es una rémora para el desarrollo
social y económico, y desea introducir cambios en el mismo de cara a
conseguir una mayor adecuación entre ambos sistemas. El viento sopla
en esa dirección y debemos contar con ello para pilotar el velero que es
el sistema educativo. No podemos seguir pensando que el sistema edu
cativo es un sistema autorreferente, ni que es el sistema a cuyos inte
reses, muchas veces corporativos aunque se tilden de otra cosa, deben
inclinarse los demás. Nunca ha sido así, aunque se diga otra cosa, y di
fícilmente lo será en el futuro; pero eso no quiere decir que debamos
plegar las velas y renunciar a navegar, porque si lo hacemos, la corriente
arrastrará el barco; lo que quiere decir es que debemos elegir el rumbo
y organizar el velero para que navegue en esa dirección. La dirección
del viento no la podemos elegir, pero aquella en la que queremos na
vegar sí. Para ello necesitamos una revisión del concepto de competen
cia que, superando una visión que sólo mira al desempeño profesional
ligado a un perfil determinado, contemple a la persona en su conjunto
y contenga las competencias que son necesarias para su desarrollo per
sonal, social, cultural, etc. Necesitamos además una visión de las necesi
dades sociales que vaya más allá de la lógica economicista y que
defienda una visión social solidaria y equitativa. Necesitamos apropiar
nos del concepto de competencia para darle un sentido más amplio por
que la escuela necesita una reforma urgente, pero la dirección de esa
reforma no puede quedar en manos de los grupos que analizan la rea
lidad social desde la óptica del mercado. No es fácil saber cómo pilotar
ese velero que es el sistema educativo y por eso necesitamos marineros
con sensibilidad social y un sentido de los valores que debe priorizar la
educación. Intentaré no perder de vista estas ideas en la concreción de
la competencia matemática que trabajaré a continuación.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
La competencia matemática como unapropuesta para una educación inclusiva
Resulta evidente que desentrañar el significado del término «compe
tencia» de manera general excede los objetivos de este documento.
Existe literatura abundante al respecto' y puede ser consultada si así se
desea. Dejando de lado esa cuestión previa, vamos a intentar aden
trarnos en el descubrimiento de las claves que nos ayuden a comprender
qué es eso que denominamos competencia matemática.
El informe que hemos citado en el apartado 3.1 nos da una defini-
ción de lo que la UE considera competencia matemática:
La comDetencia matemática es la habilidad Dara desarrollar v aDlicar el ra
zonamiento matemático con el fin de resolver diversos Droblemas en situa
ciones cotidianas. Basándose en un buen dominio del cálculo, el énfasis se
sitúa en el proceso y la actividad, aunque también en los conocimientos. La
competencia matemática entraña -en distintos grados- la capacidad y la
voluntad de utilizar modos matemáticos de pensamiento (pensamiento ló
gico y espacial) y representación (fórmulas, modelos, construcciones, gráfi
cos y diagramas). (Parlamento Europeo, 2006)
(El subrayado no está en el texto original.)
El proyecto PISA de evaluación ya utilizaba en el año 2003 el término
de «competencia matemática» como base para su archiconocido estu
dio de evaluación. Este documento da una definición de competencia
matemática que es la siguiente:
Capacidad de un individuo para identificar y comprender el papel que las
matemáticas juegan en el mundo, realizar razonamientos bien fundados y
utilizar e involucrarse en las matemáticas de manera que satisfagan las ne-
1. En la dirección de Internet: http://cisne.sim.ucm.es/search*spi-S6/X?SEARCH=Com
petencias+educaci% C3%B3n de la Universidad Complutense puede consultarse una
completa bibliografía sobre las competencias en el ámbito educativo.
IDEA CLAVE 3
cesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo, compro
metido y reflexivo. (lNCE, 2004, p. 12)
Podemos añadir a esta escueta definición una explicación algo más ex
tensa para caracterizar el sentido que le se le da a este término:
El término «competencia matemática» se ha escogido para enfatizar el uso
funcional del conocimiento matemático en numerosas y diversas situaciones
y de manera variada, reflexiva y basada en una compresión profunda.
Por descontado, para que este uso sea posible se requiere una gran canti
dad de conocimientos y destrezas matemáticas básicas, y tales destrezas for
man parte de nuestra definición de competencia. (...)
(..,) Del mismo modo, la competencia matemática no debe limitarse al cono
cimiento de la terminologia, datos y procedimientos matemáticos, aunque, ló
gicamente, debe incluirlos, ni a las destrezas para realizar ciertas operaciones
y cumplir con determinados métodos. La competencia matemática comporta
la combinación creativa de estos elementos en respuesta a las condiciones
que imponga una situación exterior. (lNCE, 2004, p. 18)
Las preguntas que consideramos pertinentes una vez leídos estos tex
tos son las siguientes: ¿qué hay en común y qué existe de constitutivo
en estas definiciones?, ¿qué es lo esencial de estos textos? En mi opi
nión, las notas constitutivas de este término que se pretende definir
son los siguientes:
• El énfasis en la aplicación de las matemáticas: «desarrollar y aplicar
el razonamiento matemático» en la primera cita, «El término com
petencia matemática se ha escogido para enfatizar el uso funcional
del conocimiento matemático» en el último texto.
• La importancia de las situaciones o los contextos a los que las mate
máticas deben aplicarse: «con el fin de resolver diversos problemas
en situaciones cotidianas» en un documento, «que satisfagan las ne-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
cesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo» en el otro documento.
Por lo tanto, podemos concluir que la aplicación del conocimiento (ra
zonamiento, esquemas de pensamiento) a los contextos definidos por
las situaciones socialmente relevantes forma el núcleo común a estas
propuestas.
Existen algunas diferencias de matiz que pueden ser relevantes para
un estudio comparativo entre ambas propuestas, pero es algo que no
deseo destacar en este momento. Ahora mismo, lo que nos interesa es
buscar las señas de identidad comunes que nos ayuden a definir con
precisión qué podemos entender por competencia matemática. La «uti
lización del conocimiento matemático en contexto de uso social» parece
constituir una buena síntesisde los puntos comunes a ambas propuestas
y con esta síntesis nos quedamos por el momento.
Para avanzar un poco más e intentar una aproximación analítica más
precisa sobre este concepto (competencia matemática) ya acotado pre
viamente, lo mejor es ir directamente al certero análisis que hace el pro
yecto PISA. En la versión inglesa del documento titulado: Learning for
Tomorrow's world, p.25, puede leerse lo que se muestra en la figura 6:
Figura 6
Literacy in Pisa: what is measured
The assesssment areas covered by PISA are defined in terms of:
• the content os structure of knowledge that students need to acquiere in each assessment area
(e.g .. familiarity with mathematical concepts);
• the processes that need to be performed (e.g., pursuing a certain mathematical argument); and
• the situations in wich students encounter mathematical problems and relevat knowledge and
skills are applied (e.g., making decisions in relation to one's personallife, or unserdtanding
world affairs).
Una traducción de este texto puede ser la siguiente:
IDEA CLAVE 3
1. El contenido o estructura de conocimiento que el estudiante necesita ad
quirir en cada área evaluada.
2. Los procesos que necesitan ser puestos en acción.
3. Las situaciones en las que los estudiantes encuentran problemas mate
máticos y donde los conocimientos y destrezas relevantes son aplicados.
Si comparamos estos tres ejes con los elementos comunes de las defi
niciones anteriores, podremos ver que coinciden perfectamente:
• El contenido matemático es lo que en las definiciones anteriores se
llama «conocimiento matemático».
• Los procesos se concretan en las definiciones anteriormente dadas
como «desarrollar, aplicar, resolver, ... » y hacen claramente referen
cia a la utilización del conocimiento.
• Lo que aquí se llama contexto en las definiciones se hace como «si
tuaciones», «vida diaria».
Podemos adelantar ya una primera definición sintética del término
«competencia matemática». Siempre entendiendo que hacemos refe
rencia a la competencia matemática que debe formar parte del bagaje
escolar de todas las personas y no a la competencia matemática de los
matemáticos (cuestión que no tengo intención de dilucidar).
Competencia matemática = Uso de conocimiento matemático para resolver
problemas (situaciones) relevantes desde el punto de vista social.
Si comparamos estos tres ejes estructurales con lo que ha venido siendo
habitual a la hora de organizar los currículos, podemos ver que el pri
mero de ellos, el eje denominado «contenido matemático», no puede
considerarse novedoso. Tradicionalmente, los currículos de matemáti-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
cas se han organizado siguiendo los llamados «bloques de contenidos»:
aritmética, medida, geometría, álgebra, etc., aunque cabe señalar que
la distinción en bloques que se hace en el citado proyecto PISA está ale
jada de esta división tradicional.
Tampoco el segundo eje, que en el proyecto PISA se denomina «pro
ceso», es totalmente nuevo ya que desde hace algunas décadas se habla
en los currículos de matemáticas de lenguaje matemático y resolución
de problemas, es decir del uso que se hace de los contenidos matemá
ticos desde un punto de vista psicológico. Tal vez en nuestro medio sea
más habitual hablar de capacidades para referirse a esta cuestión, pero
en el fondo estamos hablando de lo mismo, de las operaciones menta
les que hay que realizar para el uso del conocimiento matemático.
Por esta razón pienso que el realmente novedoso en este caso es el
tercero de los ejes, el que hace referencia a las situaciones, que también
y de forma más general llamamos «contexto». Lo que realmente hace
especial y novedoso al concepto de competencia es la referencia que se
hace en él al contexto social. De manera que la diferencia entre un cu
rrículo que se basa en la transmisión del conocimiento matemático y
otro que intenta el desarrollo de las competencias matemáticas está en
la perspectiva del uso social de ese conocimiento y en relevancia del
mismo para la inclusión social de las personas.
La competencia matemáticay el conocimiento de las matemáticasEn muchas ocasiones no resulta suficiente intentar explicar en qué con
siste un determinado término, y es conveniente complementar una de
finición afirmativa con notas aclaratorias que intenten decir en qué se
diferencia tal término de otros que, de manera equivocada, podrían
considerarse como sinónimos. Por esta razón, considero conveniente
dedicar un espacio a determinar en qué se diferencian «competencia»
y «conocimiento». La razón última de elegir esta contraposición es
IDEA CLAVE 3
la convicción personal de que todavía se considera que la finalidad úl
tima del currículo es transmitir conocimiento, postura radicalmente
distinta al objetivo de desarrollar competencias. Conviene, por lo tanto,
explicar claramente qué no es competencia porque creo que, de esta
manera, nos podremos hacer oír por los que sólo entenderán cuando al
guien les diga que algo no es una competencia.
Se puede decir, de manera sencilla, que conocimiento es elabora
ción de la información y, como he dicho más arriba, competencia es el
uso de eseconocimiento en un contexto. Como puede verse esalgo to
talmente distinto.
Podemos, por lo tanto, afirmar que competencia matemática no
equivale a conocimiento matemático:
1. Las competencias no son en sí mismas conocimientos, habilidades o actitu
des, aunque movilizan, integran, orquestan tales recursos. (Perrenoud,2004)
Una gran parte del conocimiento matemático que aprenden los actua
lesestudiantes de la enseñanza obligatoria no es utilizado por ellos en
ningún contexto, ni en el momento del aprendizaje ni en momentos
posteriores al mismo. Si ésta es una afirmación que puede mantenerse
en lo relativo a la enseñanza de las matemáticas en general, cobra una
especial relevancia si tenemos en cuenta los contenidos de la enseñanza
secundaria obligatoria. Este conocimiento suele resultar bastante efí
mero y en contadas ocasiones dura másallá de lo exámenes ad hoc que
se utilizan para evaluarlo. Si algo ha puesto de manifiesto el programa
PISA,es la escasarelación entre el conocimiento matemático que se im
parte en el medio escolar y lascompetencias matemáticas que este pro
yecto evalúa.
Confundir conocimiento, que es el producto de la elaboración de la
información que se recibe, con competencia, que es el uso de ese co
nocimiento en un contexto, es el error sobre el que se funda uno de
los malentendidos más dañinos para la correcta comprensión y poste-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
rior aplicación de lo que significa situar las competencias como ejes ver
tebradores del currículo. Y lo que es aún peor significa evaluar y, pos
teriormente, clasificar a los estudiantes por el conocimiento matemático
que son capaces de aprender y no por la competencia matemática que
son capaces de desarrollar.
Existe una opinión muy extendida que defiende que es difícil que al
guien ponga en acción un conocimiento que no tiene y que, por lo
tanto, en todo caso el conocimiento es anterior a la competencia. De
esta afirmación innegable por evidente, se deduce que a nosotros (los
docentes) nos toca enseñar conocimiento y que después ya se encar
garán otros de pedir a los estudiantes que pongan en práctica lo que
les hemos enseñado (no se sabe quiénes son esos otros, aunque se in
tuye que se refiere al mundo profesional). Esta argumentación, que pa
rece pura lógica, tiene un punto débil porque no se aclara qué significa
«antes» y «después». Da la impresión de que los que defienden esta
tesis afirman que es necesario acumular «todo el conocimiento posi
ble» antes de ponerlo en práctica, cuando se sabe que:
• Es imposible saber todo lo que hace falta antes de actuar y que
pretenderlo es la mejor manera de no hacer nunca nada .
• Que conocimiento y práctica interactúan dialécticamente favore
ciéndose mutuamente.
Esdecir, que la puesta en práctica de los conocimientos refuerza la esta
bilidad cognitiva de los mismos y el conocimiento mejora el desempeño
competencia!. Por lo tanto, no existe un «antes» y un «después», sino
que conocimiento y competencia coexisten y se refuerzan de forma posi
tiva si se sabe combinarlos adecuadamente. Las teorías de la acción refle
xiva afirman taxativamente que la reflexión sobre la acción (competencia)
es fuente de conocimiento, que a su vez puede guiar la acción para hacer
que ésta sea más eficiente. Estamos en la situación que ejemplifica per
fectamente el cuento del huevo y la gallina. ¿Qué fue antes el huevo o la
IDEA CLAVE 3
gallina? ¿Qué es antes el conocimiento o la competencia? No tiene ningún
sentido plantear las cosas así. Lo que hay que hacer es reflexionar sobre
el conocimiento necesario para la práctica y sobre las prácticas que gene
ran conocimiento, utilizando una lógica dialéctica y no secuencial, por
que las cosas en esta cuestión no son lineales, sino circulares o más bien
similares a las espirales, que vuelven y avanzan a la vez.
Debemos dejar bien establecido que conocimiento y competencia
no son la misma cosa y que guardan entre sí una relación dialéctica y
circular y no de dependencia lineal jerárquica (primero el conocimiento
teórico y luego la práctica).
Así pues, situar las competencias como eje del currículo y no los conte
nidos (conocimiento) implica que deberán trabajarse (de manera dia
léctica y no secuencial) los conocimientos necesarios para el desarrollo
de las competencias elegidas, es decir que deberán justificarse los con
tenidos escogidos en base a las competencias que tengan que desarro
llarse. Y, aunque es cierto que no pueden existir el uno sin el otro, en
el caso del currículo por competencias a éstas les corresponde el papel
de dirección finalista, mientras que el conocimiento debe supeditarse
a lo necesario para llegar a los fines establecidos porque ha dejado de
ser un fin. El conocimiento es indispensable para el desarrollo de las
competencias, pero no, lógicamente, todo el conocimiento posible, sino
sólo aquel que sirve para el desarrollo de las competencias elegidas. Es
una cuestión de prioridad estratégica.
los contextos de uso de las matemáticas
y su relevancia para el currículode matemáticas por competenciasEl término «contexto» es un tanto confuso y puede entenderse desde
puntos de vista no coincidentes. Tal vez por esta razón convenga con
cretar, por medio de ejemplos, a qué me refiero cuando hablo de con
texto en estas ideas clave.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
El proyecto PISA cita cinco contextos de uso de las matemáticas:
1. Personal.
2. Educativ02•
3. Profesional.
4. Público.
5. Científico.
Introducir los contextos como eje organizador del currículo es la con
tribución más interesante, desde el punto de vista del diseño curricular,
que aporta el denominado «currículo por competencias». Esto quiere
decir que habrá que desarrollar las competencias matemáticas que sean
precisas para poder integrarse de manera plena y activa en estos con
textos. En consecuencia, deberán trabajarse los contenidos que sean
necesarios para este desarrollo y no otros. La dirección en la que con
vendría desarrollar el currículo no apunta, por lo tanto, a la epistemo
logía de las matemáticas, ni al desarrollo del pensamiento matemático,
ni a la abstracción, sino al uso social de esos conocimientos por parte de
las personas que se educan, entendiendo por «social» los ámbitos na
turales de desarrollo de las personas en nuestra sociedad.
Lo que sucede es que estos contextos no tienen la misma relevancia
ni el mismo significado para todas las edades ni para todas las personas.
Es decir, dicha relevancia es distinta a la edad de seis años, a la de ca
torce, a la de veinte o a la de 35, por citar algunas edades. Y tampoco
es lo mismo tener veinte años y trabajar de dependiente en unos gran
des almacenes que estar estudiando para «trabajador social» o «inge-
2. No me parece claro hablar de contexto educativo porque creo que si hablamos de
currículo escolar, lo educativo es precisamente el contexto que engloba a todos los
demás. Desde la escuela, y no desde la familia, ni las instituciones sociales, ni los cen
tros de trabajo, ni los centros de investigación, trabajaremos competencias que pue
den aplicarse en el resto de contextos: personal, profesional, público (social) y
científico (académico).
IDEA CLAVE 3
niero». Los contenidos matemáticos, lo que sabemos de las matemáti
cas,no son pues los que determinan el currículo, sino la necesidad que
tienen las diferentes personas en los distintos momentos de su vida de
usarlos en los contextos sociales en los que viven.
De todas maneras existen contextos que se aplican de manera ge
neral a todas las personasy otros que no. Por una parte, todos tenemos
que actuar en el contexto privado o familiar y en el público o social, y
desde este punto de vista podemos hablar de competencias de nivel
básico, que son precisamente aquéllas necesarias para desenvolverse
en estos contextos (no confundir el término «competencia de nivel
básico» con el de «competencia básica», usado a veces como sinónimo
de competencia clave). Por otra parte, está el mundo profesional
donde no todos hacemos el mismo uso de las matemáticas. Lasmate
máticas que forman parte de los conocimientos necesarios para el des
empeño profesional no deberían formar parte de las competencias
obligatorias para toda la población, porque no son utilizadas por
todos. Ésta es una distinción clave para encarar la resolución del fra
caso escolar, porque mientras es razonable que se exijan en la edu
cación que es para «todos» las competencias que «todos» debemos
utilizar (ámbito personal y público), es poco razonable que se exijan
las que no debemos utilizar todos (terreno educativo, profesional y
científico). Sigo en este instante la terminología que utiliza PISA,aun
que ya indicaré en su momento mi consideración de que sería bueno
reformular y definir con mayor precisión el significado de estos tér
minos.
Conviene recordar que el propio conocimiento matemático no es
neutro con relación a esta cuestión y que se pueden identificar con fa
cilidad partes del mismo que se usan en casi todos los contextos, así
como otras partes cuyo uso está mucho más extendido en unos con
textos que en otros. Por poner un ejemplo: el cálculo aritmético básico
se utiliza, prácticamente, en todos los contextos de uso de las mate-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
máticas, pero el álgebra, en cambio, está muy unida al uso que se
hace de las matemáticas en el contexto científico. Y esta distinción es
importante porque nos marca un criterio claro para poder decidir
qué competencias son relevantes para formar parte ineludible de los
currículos de la enseñanza obligatoria y cuáles no lo son. El problema
que tenemos en este momento es que sólo disponemos de unos
enunciados generales de qué son las competencias matemáticas, y
que todavía no han llegado a manos de los educadores mejores pro
puestas operativas que concreten esta generalidad en objetivos y
tampoco las tareas escolares que sustituyan a las actuales. A falta de
esta concreción, lo que sí tenemos es mucha retórica y bastante pa
labrería en los diferentes niveles y escalones del sistema educativo.
Además habrá que ir un poco más allá, porque no será suficiente con
ejemplificar qué queremos decir cuando hablamos de competencia
matemática (PISA puede ser un buen ejemplo), sino que tendremos
que indicar la manera de ordenar las competencias matemáticas por
niveles, como ya se ha hecho con las competencias linguísticas en el
marco de la Unión Europea, y señalar, posteriormente, cuál de esos
niveles consideramos «obligatorio» para todos los estudiantes en la
educación obligatoria. La evaluación y la consiguiente selección de
estudiantes no pueden depender sólo de decir que se desarrollen
competencias matemáticas, sino más bien de que seamos capaces de
determinar los ámbitos de su aplicación que son exigibles a todos los
estudiantes, y de identificar con claridad los niveles de logro que
deben ser capaces de conseguir en los mismos. En la actualidad dis
tamos mucho, por desgracia, de ser capaces de identificar esascom
petencias yesos niveles.
Proclamar que queremos una enseñanza de las matemáticas para
«todos los estudiantes» y proponer que el núcleo de esa enseñanza
lo constituyan conocimientos cuyo uso social es más bien escaso es
una contradicción irresoluble. Por más que nos empeñemos en
IDEA CLAVE 3
desarrollar didácticas muy elaboradas y sofisticadas, el problema del
fracaso en el aprendizaje de las matemáticas no se resolverá; porque
el problema no está, como se ha creído durante mucho tiempo, fun
damentalmente en «cómo se enseña», sino «en qué se enseña» y
sobre todo en «qué se aprende». Ésta es la razón que explica, en mi
opinión, el agotamiento de lo que podemos llamar la «vía didáctica»
para resolver los problemas del fracaso escolar en matemáticas. La
didáctica es fundamental para la buena enseñanza, pero es poco útil
cuando lo que se necesita es un cambio de rumbo de calado, porque
la didáctica no indica el rumbo, sino cómo colocar las velas una vez
que éste ha sido ya elegido. La didáctica se dedica a estudiar los me
dios y nunca los fines.
Aceptar que la «competencia matemática», entendida como el uso
del conocimiento matemático en los contextos relevantes para el
desarrollo de la persona y su integración en el medio social, es el eje del
currículo escolar en la educación obligatoria supone defender activa
mente una postura bien diferente de la que se deriva de considerar el
«conocimiento matemático», las «formas de pensar matemáticas», el
«razonamiento matemático» como los hitos en torno a los cuales debe
organizarse la enseñanza de las matemáticas. Esta aceptación también
supone entender que lo sustantivo no son las matemáticas, sino el uso
social que de ellas se hace y, en consecuencia, hay que poner el cono
cimiento al servicio de su uso social y no viceversa. Por lo tanto, no se
trata de buscar las matemáticas en el medio social o natural como si el
medio fuera un pretexto para aprender matemáticas, sino que de lo
que se trata es de interpretar, modificar, adecuar el medio para su buen
uso social y usar el conocimiento matemático que sea preciso para ese
fin. Así entendida, la competencia matemática es una competencia para
todos porque es condición de desarrollo personal e integración social y
no solamente una competencia para los científicos o los técnicos. No es
lo mismo definir el currículo considerando las matemáticas como un
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
«área de conocimiento» que hacerlo como una «competencia clave». La
diferencia fundamental hay que buscarla en el énfasis social que se
pone en la segunda opción, énfasis o acento que no existe en la pri
mera.
las competencias matemáticasy el uso de la tecnología. Una últimadefinición de competencia matemáticaEn mi opinión a las definiciones que sobre competencia matemática
hemos dado les falta un elemento estructural fundamental: la tecno
logía. Si aceptamos, como se propone en este texto, que competencia
es «uso de conocimiento en contexto», no podemos obviar que el uso
de algo se hace en la mayoría de los casos utilizando instrumentos,
es decir: tecnología; y mucho más en una sociedad que, como la nues
tra, se caracteriza por el uso de la tecnología para casi todas las accio
nes de relevancia social. Tal vez la manera de iluminar esta cuestión sea
poner un simple ejemplo. Supongamos que necesitamos calcular la
media de una serie de datos porque estamos haciendo un estudio es
tadístico, llegados a ese momento tenemos diversas opciones y cada
una de ellas exige la puesta en acción de competencias diferentes, por
que no es lo mismo calcular esa media con papel y lápiz que hacerlo
con calculadora no científica, hacerlo con calculadora científica o ha
cerlo usando el ordenador y una hoja de cálculo. Podría suceder que
fuésemos capaces de hacer ese cálculo utilizando un tipo de tecnolo
gía y no otra.
Esfácil que alguien considere esta cuestión un tanto obvia y en con
secuencia anecdótica, pero en mi opinión no lo es. Si estamos hablando
del uso de conocimiento en contextos de relevancia social, el uso de la
tecnología que en ese contexto social se considera más eficiente no es
una cuestión menor, porque precisamente del uso eficiente de la tec
nología adecuada depende en gran medida el valor social de esa com-
IDEA CLAVE 3
petencia. Esperfectamente imaginable que en el mundo profesional
la competencia de hacer estudios estadísticos utilizando el papel y el
lápiz como medio de cálculo no sea considerada como una competen
cia de alto valor.
Éstaes una cuestión de mucha importancia para el currículo escolar
de matemáticas porque el uso de la tecnología en el aprendizaje de las
matemáticas es un asunto sin resolver y que tiene mucho que ver con
los ámbitos sociales de uso de las matemáticas y, por lo tanto, con los
criterios de obligatoriedad de ciertos aprendizajes, criterios que deben
ayudamos a deslindar con claridad qué es eso que llamamos «mate
máticas para todos». No parece razonable que estemos proponiendo
como uno de los ejes del currículo la competencia digital (competencia
4 en la propuesta europea y parte de la competencia 4 en la propuesta
de la LOE),y luego no la tengamos en cuenta cuando nos planteamos
el desarrollo de la competencia matemática.
La competencia matemática es una competencia que se cruza con
otras, entre ellas la digital -entendida como el uso de lastecnologías de
la información-, y de ese cruce se derivan consecuencias importantes.
Así pues, la competencia matemática debería definirse como:
El uso de conocimiento matemático en contextos de relevancia so
cial utilizando en cada caso la tecnología más eficiente.
Enmuchas ocasiones la tecnología máseficiente será el lápiz y papel,
pero en otros muchos casos lo serán la calculadora o el ordenador. En
matemáticas existen contextos (el profesional y el científico) en los que
el uso eficiente del conocimiento exige la utilización de tecnología (cal
culadora, ordenador) y otros (personal) en que los modos más eficien
tes son meramente orales, esto es la excepción que confirma la regla.
Éstaes una cuestión que no deberemos olvidar a la hora de definir los
niveles básicos de las competencias exigibles para «todos»; porque el
logro de la competencia exigirá, en ocasiones, el uso de la tecnología
que sea apropiada al caso.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Losámbitos de uso de las matemáticas
y su importancia relativa a la horade organizar el currículo de matemáticassegún las diversas etapas educativas
El proyecto PISA cita cinco ámbitos de uso de las matemáticas: personal,
educativo, profesional, público y científico. Con la intención de anali
zar el significado de esta elección, simplificar en la medida de lo
posible y, sobre todo, clarificar qué se quiere decir cuando se citan estos
contextos, con la precaución de no deformar demasiado la propuesta
original y recogiendo todo lo sustantivo que hay en la misma, nos atre
vemos a proponer los siguientes ámbitos de uso de las matemáticas
para su consideración estructural en el currículo:
+ Personal - familiar
Con este ámbito pretendemos abarcar los espacios más cercanos a la
persona, los que ocupan su vida con los seres que forman su círculo más
próximo. Resulta evidente que, en lo que hace referencia a la compe
tencia matemática, este ámbito es muy importante en los primeros años
de escolaridad y que, aun siendo siempre importante, va perdiendo
peso según se aumenta la edad de los escolares.
La digitalización de la gran mayoría de los instrumentos tecnológi
cos que se usan en el hogar ha introducido en los hábitos de vida do
mésticos una serie de cambios que afectan a la competencia
matemática más elemental. Estos cambios se concretan en el uso habi
tual, ya desde edad muy temprana, de displays o pantallas que permiten
controlar y programar dichos aparatos. En todas esas pantallas se usan
números y medidas (las más habituales son las de tiempo) que nos per
miten elegir un programa de TV, saber qué hora es, controlar el tiempo
durante el que funciona el microondas o el horno, programar el vídeo
para guardar un programa, llamar por teléfono, programar la calefac-
IDEA CLAVE 3
ción, etc. Esta tendencia a sustituir elementos de control mecánicos por
otros basados tan sólo en la electrónica digital va a ir en aumento,
de manera que en las próximas décadas el uso de números y medidas
numéricas para el control de los aparatos domésticos se convertirá en
algo «normal» en las sociedades tecnológicamente avanzadas. Tal vez
el mando de la TV sea un caso que ejemplifica y resume perfectamente
lo que estamos diciendo.
Escierto que el desarrollo de la competencia matemática necesaria
para el uso de estos aparatos se suele conseguir de manera bastante
«natural», es decir sin que medie un entrenamiento dirigido intencio
nalmente, y que la mayoría de niñas y niños son capaces de hacer fun
cionar estos aparatos mejor, incluso, que sus propios padres y no
digamos abuelos. ¿Quiere esto decir que no debemos considerar las
competencias de este ámbito como algo que forma parte del currículo
escolar por obvio e innecesario, y que debemos centrarnos en otras
competencias que no se van a desarrollar si no media un aprendizaje in
tencional? Esun debate interesante porque la respuesta «no» es, desde
luego, obvia. Sin querer zanjar la cuestión, sí conviene añadir un ele
mento para la reflexión: el aprendizaje de este tipo de competencias se
desarrolla de manera «natural» si el medio familiar está dotado de este
tipo de tecnología, hecho que sucede actualmente en la mayoría de los
hogares de las sociedades tecnológicamente avanzadas, pero la mayo
ría no son todos y no debemos olvidar a los niños y niñas que, prove
nientes de sectores sociales con escasas rentas, no tienen acceso a este
tipo de tecnología. Por lo tanto, la función compensatoria que la es
cuela debe ejercer para que la igualdad de oportunidades no sea papel
mojado implica que se sea sensible a esta cuestión y que se asegure que
todos los niños y niñas tengan acceso a este tipo de tecnología, ya sea
en el hogar o en la escuela. Además, es anacrónico que se sigan man
teniendo contextos de aprendizaje tecnológicamente atrasados,
con tendencia a un bucolismo un tanto trasnochado, y que no se usen
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
los actuales a la hora de trabajar los aspectos más básicos y elementales
de las matemáticas.
Social
El uso social de las matemáticas, si entendemos por «social» el contexto
de vida también llamado «público», «comunitario» o «interpersonal»,
es, sin lugar a dudas, la razón más importante que puede aducirse para
considerar la inclusión obligatoria de las matemáticas en el currículo
de la enseñanza obligatoria. El uso del conocimiento matemático en
lo cotidiano está tan extendido y forma parte de nuestra cultura de
manera tan ubicua y estructural que en muchos casos, como sucede con
el aire cuando está quieto, pasa inadvertido. Queda fuera de lugar, de
nuevo por obvio e innecesario, pretender realizar un inventario ex
haustivo del uso que se hace del conocimiento matemático en el medio
social. Pero a modo de recordatorio sirvan estos ejemplos: uso de las
matemáticas en el deporte, en el consumo, en el tráfico y sus códigos
reguladores, en las tecnologías de la información, en los medios de co
municación, en la salud, en los transportes y en un inacabable etc.
La crisis en la enseñanza de las matemáticas en la edad obligatoria
proviene del hecho de que mientras el uso social de las matemáticas se
ha extendido hasta impregnar casi todas las actividades sociales y hasta
extremos inimaginables hace bien poco, la enseñanza escolar de las
mismas no ha variado, manteniéndose insensible a estos cambios so
ciales y a las consecuencias que los mismos tienen en la vida de las per
sonas que se están educando. En muchas de las tareas de matemáticas,
los contextos de aplicación brillan precisamente por su ausencia, pero
es que cuando aparece algún contexto, en muchos casos, resulta ana
crónico cuando no cómico. Las tecnologías de la información han cam
biado radicalmente el uso social que se hace del conocimiento, pero la
versión escolar de la enseñanza de las matemáticas parece no haber to
mado nota de este cambio cuando diseña el currículo de la enseñanza
IDEA CLAVE 3
obligatoria; no solamente porque ha cambiado el valor de los conoci
mientos matemáticos tradicionales, dejando algunos totalmente obso
letos, sino porque ha abierto nuevos contextos de aplicación de las
matemáticas en el mundo de la vida social que no se contemplan. Esen
este contexto donde se puede ejemplificar de manera paradigmática la
relación entre conocimiento y competencia, porque es donde se puede
entender la prioridad de aquellos contenidos cuyo peso en la vida
social es básico y necesario sobre aquellos en los que es accesorio y pres
cindible.
Como ya hemos dicho, aunque repetirlo no nos va a cansar, la com
petencia matemática para integrarse en el medio social y ser un agente
crítico y activo en el mismo es la razón de mayor peso que se puede
poner sobre la mesa a la hora de argumentar la necesidad de la pre
sencia de las matemáticas en los currículos de la enseñanza obligatoria.
La competencia matemática no es un eje estructural de los nuevos cu
rrículos porque sirva para desarrollar formas superiores de pensa
miento, ni porque ayude a razonar o porque sirva para desarrollar el
pensamiento abstracto (LOCE), ni por ninguna razón de tipo idealista
y psicologicista que se pudiera aducir. La competencia matemática está
en los currículos de la enseñanza obligatoria, como competencia y no
como conocimiento, porque es condición del desarrollo de la igualdad
de oportunidades en nuestro medio social. Y esto es algo que no de
beríamos olvidar cuando evaluamos a nuestros estudiantes al finalizar
la educación obligatoria.
Profesional
El contexto profesional es aquel que está relacionado con el trabajo de
las personas. En las sociedades actuales se considera que todas las per
sonas deben aspirar a tener una actividad laboral, por lo tanto este con
texto tiene, en principio, aspiraciones de ser universal con relación a la
población. Aspiramos a dejar atrás, en la historia, el tiempo en el que
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
las personas dependían de por vida de otras que sí desarrollaban una
función profesional. Hoy en día la aspiración social normal es «traba
jaD>, porque una persona que no consigue un trabajo adecuadamente
remunerado difícilmente la podremos considerar ciudadano activo de
plenos derechos. Esto lo sabemos todos y no es necesario insistir. Así pues,
el que denominamos contexto profesional o, si se prefiere, laboral es un
contexto muy importante a partir de la edad en la que terminada la edu
cación obligatoria las diferentes personas se van orientando hacia las sa
lidas profesionales que les permitirán integrarse en el medio laboral.
Según la siguiente resolución, citada anteriormente:
(.. .) casi el 50% de los nuevos puestos de trabajo exigirá cualificaciones de
nivel superior, algo menos del 40%, enseñanza secundaria superior y tan
sólo el 15%, aproximadamente, será adecuado para trabajadores que dis
pongan de escolarización básica. (Parlamento Europeo, 2005)
Por lo tanto, si nos atenemos a estos datos, podemos afirmar que casi
un 90% de la población necesitará para el desarrollo de su vida profe
sional estudios de nivel superior (50%) o de nivel de la secundaria su
perior (40%), en nuestro sistema educativo quiere decir como mínimo
un módulo profesional de grado medio. Así pues, un 90% de la pobla
ción necesita más competencia matemática de la que puede conse
guirse en la educación obligatoria. En mi opinión, así como en la
educación obligatoria el contexto más importante es el social, en la pos
tobligatoria lo es el profesional. Si en la etapa obligatoria de la ense
ñanza la finalidad de la educación matemática debiera ser el desarrollo
de las competencias que permitiesen la plena integración de una per
sona en el medio social general, en la etapa postobligatoria, dure ésta
lo que dure, la finalidad debiera ser desarrollar las competencias que
permitiesen la integración laboral de esas mismas personas. Y esta afir
mación vale tanto para aquellas personas que vayan a acceder a «pues
tos de trabajo que exigirán cualificaciones de nivel superior», como a
IDEA CLAVE 3
aquellas que lo hagan a «puestos que exigirán cualificaciones de ense
ñanza secundaria superior».
Las cualificaciones y las competencias a ellas asociadas, necesarias
para la incorporación al mundo del trabajo, son diversas no solamente
por los niveles que hemos distinguido hasta ahora -nivel superior o uni
versitario y nivel de secundaria superior-, sino porque incluso dentro de
cada uno de esos niveles existen profesiones que hacen un uso muy di
ferente del conocimiento matemático y precisan, por lo tanto, de for
mación diferenciada. Resulta evidente que las cosas deben hacerse paso
a paso y que nadie puede pretender que en los primeros años de la se
cundaria superior y, sobre todo, en el caso de los que estudian bachi
llerato se pueda ofertar un currículo a la carta, porque para empezar ni
siquiera los estudiantes de esas edades tienen una visión clara de hacia
qué profesión dirigen sus pasos. Una sugerencia que cabría considerar
podría ser estudiar la conveniencia de utilizar en el bachillerato las mis
mas ramas que se van a usar en los grados universitarios:
• Artes y humanidades.
e Ciencias.
e Ciencias de la salud.
e Ciencias sociales y jurídicas.
• Ingeniería y arquitectura.
o alguna otra agrupación de las mismas. La idea consiste concreta
mente en que o bien se oferten matemáticas para las diversas ramas,
o bien, en los centros más pequeños, se agrupen las más afines; pero
creo que debe defenderse que todos los estudiantes tienen que se
guir desarrollando la competencia matemática, aunque lo deben
hacer orientándola hacia los desempeños laborales a los que se diri
gen. Es decir que considero un error pensar que los estudiantes que
antes se llamaban de «letras» (artes y humanidades, ciencias sociales
y jurídicas en la clasificación de las ramas) dejen de aprender mate-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
máticas en sus estudios de bachillerato y grado universitario. Hoy en
día no existe desempeño profesional que no tenga que ver con la com
petencia matemática, y por esta razón ha sido elegida como una de las
competencias clave que debemos desarrollar a lo largo de toda la vida.
A este respecto hay que decir que las enseñanzas profesionales,
tanto las de grado medio como las de superior, son un ejemplo que hay
que tener en cuenta. En estas enseñanzas hace ya algunos años que se
ha abandonado la idea de enseñar matemáticas en general y se traba
jan solamente aquellas competencias que están relacionadas con los
perfiles profesionales para los que forman los correspondientes módu
los. Por supuesto, este modelo no vale para el bachillerato porque la es
pecialización profesional que existe en las enseñanzas denominadas
«profesionales», como si el resto no lo fueran, no existe en el bachille
rato, que tiene que tener una vocación de formación más general y po
Iivalente. Sin embargo, una cosa es que el bachillerato deba mantener
una posición más amplia con relación a las competencias matemáticas
y otra muy distinta es que su currículo, en su conjunto, se nutra de co
nocimientos que tienen un claro sesgo academicista y que en lo tocante
a lo profesional casi todo se oriente al ámbito científico-tecnológico.
La actual reforma de las universidades para adecuarse al Espacio Eu
ropeo de Educación Superior obligará a las titulaciones universitarias a
inscribirse en una de las siguientes ramas de conocimiento según lo in
dica el MEC (2006, apartado 26):
• Ciencias.
• Ciencias de la salud.
• Ciencias sociales y jurídicas.
• Ingeniería y arquitectura.
• Artes y humanidades.
Esta elección supondrá que, con independencia del título elegido den
tro de una rama, una cuarta parte (60 créditos ECTS) de los 240 crédi-
IDEA CLAVE 3
tos que pide el grado deberá ser común a todas esastitulaciones. Por
lo tanto, dicha elección marca ya un camino de diferenciación del cu
rrículo en el ámbito profesional que debería ser tenido en cuenta tanto
para la construcción de la oferta curricular del bachillerato como para
la organización de los exámenes de selectividad.
Si la gran reforma que hay que realizar en la enseñanza obligatoria
es asegurar que todos los ciudadanos puedan desarrollar las compe
tencias que permitan su plena integración social, amén del logro del
equilibrio personal, el gran esfuerzo que se debe realizar para llevar
el lenguaje de las competencias a la enseñanza secundaria postobliga
toria y a los grados universitarios consiste en considerar el contexto pro
fesional como el espacio de referencia natural. En esta dirección hay
que hacer más de una propuesta. He aquí un par de ellas.
• Los currículos de la secundaria postobligatoria deberían adecuarse
progresivamente a los ámbitos denominados «ramas de conoci
miento» definidos por la reforma universitaria.
• Todos los grados universitarios, no sólo los de los ámbitos de «cien
cias» y «arquitectura e ingeniería», deberían contener propuestas
de matemáticas en suscurrículos.
En los colfege norteamericanos (lo más parecido que existe a nivel
no europeo de lo que será el grado en nuestras universidades) tal y
como cuenta Rosovsky (1990) existe lo que se denomina core currí
culum, esta parte central o nuclear del currículo ocupa una cuarta
parte del total del currículo del grado (bachellor) y está formado por
materias entre las que se encuentran las matemáticas. En la página
web de la Universidad de Harvard y refiriéndose a esta cuestión
puede leerse:
The Care Curriculum far undergraduate educatian at Harvard is bath a re
quirement and a philasaphy. The requirement can be simply stated. Un
dergraduates must devate almast a quarter af their studies ta courses in
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
the following areas of the program: Foreign Cultures, Historical Study, Li
terature and Arts, Moral Reasoning, Quantitative Reasoning, Science, and
Social Analysis. (http://my.harvard.edu/icb/icb.do ?keyword=core)
El currículo central o nuclear para la educación de pregraduado es tanto un
requerimiento como una filosofía. El requerimiento puede ser sencillamente
especificado: los estudiantes de pregrado deben dedicar al menos una
cuarta parte de sus estudios a cursos en las siguientes áreas del pro
grama: culturas extranjeras, historia, literatura y arte, razonamiento moral,
razonamiento cuantitativo y análisis social.
Resulta evidente que lo que aquí se llama «razonamiento cuantitativo»
hace referencia a las matemáticas.
Dicho de otra manera hay que comprender que las competencias
matemáticas necesariaspara el buen desempeño profesional deben di
versificarse, pero a su vez extenderse, hacia las ramas de conocimiento
de las que suelen estar ausentes en los currículos universitarios. En la
universidad si «eres de letras» puedes ser un analfabeto matemático e
incluso tenerlo a gala, pero esta situación es un desatino porque no
existen en la actualidad profesiones de nivel superior que no hagan uso
de conocimiento matemático y que no necesiten para su correcto des
empeño competencias matemáticas.
El grado universitario se convertirá en el futuro cercano en la fina
lización de los estudios de la mayoría de la población. Recordemos que
los objetivos europeos son que para el 2010 el número de quienes lo
gren este nivel seasuperior al 50%. Y esto implica que no sepueda con
templar la reforma de los currículos preuniversitarios si no se hace a la
vez con los universitarios, que en esta nueva jerga llamaremos de
pregrado. La profesionalización de una gran parte de la población me
diante el logro del grado universitario implica que debe extenderse la
educación matemática a todas las ramas de conocimiento, porque
desde el punto de vista del contexto profesional ésta va a ser un refe-
IDEA CLAVE 3
rente esencial. ¿Qué significa, sino, que la competencia matemática
haya sido definida por la Unión Europea como una de lascompetencias
clave que debemos desarrollar a lo largo de toda la vida?
Científico-académ ico
Entendemos por contexto científico-académico el ámbito mayorita
riamente universitario -ya que existen instituciones no universitarias
que se dedican a la investigación- dedicado al cultivo y desarrollo del
conocimiento y la investigación con independencia de la aplicación
que se haga del mismo en el medio social. A veces a este ámbito se le
denomina ámbito de la investigación y se desea adjetivarlo de la «in
vestigación pura». Es evidente, y no creo que sea necesario insistir
mucho en ello, la importancia que tiene este contexto para el desarro
llo humano, social y económico. La investigación tanto pura como apli
cada es condición imprescindible para la innovación y para la
resolución de muchos de los problemas sociales actuales. Ésta es una
cuestión fuera de duda en mi opinión, pero en este texto hablamos,
fundamentalmente, de currículo y lo que no queda claro es qué rela
ción debe tener este contexto con el currículo en las distintas edades.
Como ya he dicho y justificado con anterioridad, la dependencia que
existe en los niveles preuniversitarios de las personas que trabajan en
este contexto o ámbito, o que han sido formadas en él de manera casi
exclusiva, es excesiva.
En la página web de la Organización de Estados Iberoamericanos
(www.oei.es/noticias/spip.php?article532) en la que se cita el informe
COTEC2007, puede leerse:
Al comparar el empleo en 1+0 con respecto al total de la población activa,
España ha mejorado este ratio al igual que Francia, Italia y Polonia, pero
todavía esta lejos de países como Alemania y Francia. También se observa
que el ratio de Españaes superior al de Italia desde el año 2000, situándose
en 2004 en el 8,8 por mil.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Es decir que según estos datos un 0,9% de la población se dedica pro
fesionalmente a la investigación en España, pero solamente un 62% de
ellos son investigadores, o sea un 0,5% del total de la población.
Tal como muestra la figura 7, según la Conferencia de Rectores de
las Universidades Españolas (CRUE), el número total de profesores uni
versitarios de las universidades públicas españolas ronda los 80.000
(aproximadamente un 0,2% de la población española).
Figura 7
~Información académica, productiva y financiera de las Universidades Públicas de España
3.8. RECURSOS HUMANOS
Personal docente e Investigador (P.D.!.) en Universidades Públicas presenciales
RAMA DE FUNCIONARIOCONTRATADOTOTALP.D.1.
ENSEÑANZAEfectivos%Efectivos%Efectivos%
Humanidades
7,4201S,923,42610,1710,84613,51
Sociales
13,33428,6010,88832,3224,22330,16
Experimentales
11,34724,344,44413,1915,78119,86
Salud
5,06210,867,97123,6613,03316,23
Técnicos
9,45920,296,95820,8516,41720,44
Total enseñanzas
49,235100,0034,933100,0084,168100,00
Fuente: www.ujaen.es/serv/gerencia/íma ges/webestud íocrue04/ímages/ 03%20nacional.PDF
Los datos se refieren al año 2002, pero en estos últimos años las variacio
nes en el número de profesores universitarios han sido casi inexistentes.
En España existen universidades privadas, pero disponen de mucha
menor presencia en el territorio y de menor número de profesores. Po
demos estimar su incidencia en algo menos del1 0% si se compara la pri
vada con la universidad pública. En pocas palabras, podemos estimar en
unas 100.000 las personas que se dedican a la profesión de profesor uni
versitario. Si las sumamos a las otras 100.000 que aproximadamente son
investigadores (aunque aquí estamos sumando dos veces a las mismas
IDEA CLAVE 3
personas p-orque una gran parte de los docentes universitarios son in
vestigadores profesionales) tendremos un total de 200.000, lo que su
pone un 0,5% de la población española. Por lo tanto, de 100, que son
todos los que comienzan a estudiar, 99,5 no pertenecerán nunca al
ámbito científico-académico. Pero lo más impactante no es eso, lo más
impresionante es que de los que llegarán a superar el nivel universita
rio (algo más de un 50% de la población según las estimaciones euro
peas ya citadas) un 99% no se dedicará ni a la docencia e investigación
universitaria ni a la investigación profesional. Las cifras están ahí para
cualquiera que desee comprobarlas.
Ahora es cuando creo que se puede comprender el sinsentido que
supone el academicismo del sistema educativo. ¿Qué sentido tiene or
denar el currículo desde un ámbito que no será nunca alcanzado por la
inmensa mayoría de la población a la que se destina la educación, a
la vez que decimos, voceamos y repetimos de manera machacona y un
tanto demagógica ese eslogan de «escuela para todos»? ¿Por qué de
bemos seguir criterios académicos para organizar el currículo si la in
mensa mayoría necesita otras competencias? ¿Qué sentido tiene
considerar tan importante una manera de ver las matemáticas que sólo
será utilizada por una ínfima parte de la población? Obsérvese que
los porcentajes anteriores son todavía muchísimo menores si los redu
cimos a los académicos del ámbito científico o matemático.
¿Quiere esto decir que este ámbito es irrelevante y que carece de valor
social porque a él se dedican, relativamente, pocas personas? Ya he dicho
que no es ésa mi opinión, porque la cantidad de personas que se dedican
a una labor no es criterio suficiente para determinar el valor social de la
misma. De hecho es un ámbito fundamental para el desarrollo social. Lo
que intento poner en cuestión no es eso, sino su función de polo atra
yente del currículo escolar, su valor para servir de norte al que dirigirse,
su pretensión de regular los contenidos que hay que aprender y su ten
tación de imponer su manera de ver las cosas sobre el resto de ámbitos.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
En resumen
Las matemáticas escolares están en el camino que va de ser un área de conocimiento tra
dicionalmente asentada en el currículo a una competencia clave que hay que desarrollar
a lo largo de toda la vida. Éste es un cambio de perspectiva radical porque desplaza el
lugar central que ocupaba el corpus de conocimiento matemático para situarlo en el uso
social que se hace de dicho conocimiento. De manera que lo relevante deja de ser la epis
temología del área para pasar a serio la importancia de esos conocimientos como herra
mienta para el desarrollo personal, social, profesional y académico de los ciudadanos.
Esta nueva visión nos obliga a justificar bien el concepto de competencia matemática,
a definirlo de manera cuidadosa y a ser cautos y responsables a la hora de señalar los fines
de la educación matemática que debe vehicularse en el currículo, tanto de la escuela
obligatoria como postobligatoria. He intentado recoger qué se dice en los documentos ofi
ciales sobre qué es la competencia matemática y creo poder concluir que se trata del uso
del conocimiento matemático necesario para el pleno desarrollo de la persona en el medio
social y profesional. También he añadido algún nuevo matiz a esas definiciones señalando
el papel que la tecnología debe jugar en esta cuestión.
He indicado que los contextos de uso del conocimiento son la mayor aportación que
se hace desde esta óptica de las competencias al diseño del currículo, y he señalado
que el contexto social es el más importante en lo que hace referencia a la escuela obli
gatoria y el profesional a la postobligatoria. También he intentado señalar que las mate
máticas como competencia necesaria para los distintos desempeños profesionales
deberían estar presentes en ámbitos de estudio de los que se las destierra con excesiva pre
mura, y que la cuestión no debe enfocarse en si se necesitan más o menos matemáticas,
sino en el tipo de matemáticas que se necesitan. He usado la metáfora del viento y los ve
leros para señalar la necesidad de situarse en el momento actual, pero no de manera acrí
tica y adocenada, sino sabiendo aprovechar lo positivo que tienen estas ideas para
continuar tras el ideal de una educación que mire hacia las necesidades sociales desde va
lores de solidaridad y equidad. No elegimos hacia dónde sopla el viento, pero sí adónde
queremos ir.
IDEA CLAVE 3
• Los currículos de matemáticas debe
rían organizarse teniendo en cuenta
los tres ejes que se marcan en el pro
yecto PISA: contenidos, procesos (ca
pacidades) y contextos (ámbitos). Las
nuevas propuestas de currículo no de
berían hacerse sin esta referencia.
• La enseñanza de las matemáticas de
bería dejar de centrarse en los con
tenidos matemáticos para organizarse,
desde el uso que se hace de la misma,
en los distintos contextos de aplicación
social. Lo que enseñamos es valioso
porque sirve para el desarrollo perso
nal, social. profesional y académico.
• Los contenidos de matemáticas que
hay que trabajar en los currículos
deben ser elegidos por su valor para
el desarrollo de la competencia mate
mática en todos susámbitos, teniendo
en cuenta que la importancia de los
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
mismos varía con las edades de los es
tudiantes y en función de que la edu
cación sea obligatoria o no lo sea.
• Convendría que los ámbitos de uso
fueran un organizador clave en el cu
rrículo, porque ésta es la idea nove
dosa que aportan las propuestas
curriculares basadasen competencias.
• Enseñar trabajando con un currículo
organizado desde la competencia ma
temática nos situará mejor frente a las
evaluaciones externas, es por lo tanto
una estrategia interesante.
• La competencia matemática hay que
trabajarla a lo largo de toda la vida
y, por lo tanto, debería pensarse en la
posibilidad de extender su enseñanza
a otros ámbitos y edades. No debe con
templarse como algo cuyo campo de
acción se reduce a la educación obli
gatoria.
daLa educación matemática se basa
en la comunicación y debe ir más alláde la mera instrucción transmisora
La inducción electromagnética
Todo empezó por un número equivocado, el teléfono sonó tres vecesen la mitad de la noche y
la voz al otro lado preguntó por alguien que no era él. Mucho más tarde, cuando pudo pensar
en las cosasque le sucedieron, llegaría a la conclusión de que nada era real excepto el azar.
(Auster, Ciudad de cristal)
Instrucción versus educación
Existe una institución internacional denominada ICMI (Internacional Comission for Mathematical
Instruction: www.mathunion.org/ICMII) una de cuyas actividades es organizar congresos cada cua
tro años llamados ICME (Internacional Congress on Mathematical Education). El octavo de estos
congresos se celebró en Sevilla en el año 1996 y fue organizado por la sociedad andaluza de pro
fesores de matemáticas, más conocida por Thales. Es por lo tanto, una institución bien conocida
entre los docentes de matemáticas. Lo que me interesa en estos momentos es resaltar las dos le
tras finales de esos acrósticos, es decir la «1»de instrucción y la «E» de educación. La instrucción
parece reducirse al aprendizaje de los contenidos de una materia, en este caso matemáticas, mien
tras que la educación hace referencia a un mundo más amplio donde valores, sentimientos, ética,
IDEA CLAVE 4
etc. parecen ecos inevitables. Mi pregunta es: ¿cuál de estas letras tenemos en mente cuando nos
referimos a la enseñanza de las matemáticas escolares, la «1»o la «E»? Esdecir, ¿qué finalidad tiene
la enseñanza de las matemáticas en el medio escolar, instructiva o educativa? ¿Qué diferencia
ambas posturas? ¿Qué consecuencias tiene mirar el currículo desde uno u otro de esos puntos
de vista?
Esta idea clave pretende responder a esas preguntas de manera inequívoca: la enseñanza de
las matemáticas tiene como finalidad el desarrollo de la educación matemática.
Información, conocimiento y comunicación
Para poder responder a las preguntas anteriores y establecer sólidamente
qué entendemos por educación matemática debemos desbrozar un ca
mino que, a menudo, se encuentra lleno de maleza. Usamos, la mayoría de
las veces, términos ambiguos para hablar de cuestiones relativas a la edu
cación. Así, es habitual leer en los textos pedagógicos términos como: «in
formación», «conocimiento», «competencias», «instrucción», «educación»,
etc. mezclados con un cierto desorden y con una tendencia una tanto laxa
con relación a su significado, a su generalidad, sinonimia o antinomia. Se
usan, pero no siempre se sabe qué se quiere decir cuando se escriben o se
dicen. Pienso que es necesario un cierto esfuerzo reflexivo para poder or
denar las ideas, y en consecuencia los términos, con la intención de ajus
tarlos a un uso más claro desde el punto de vista semántico.
Comenzaré por distinguir información y conocimiento por un lado
e información y comunicación por otro.
Llamaré información al conjunto de estímulos que recibe una per
sona (o máquina) y que pueden ser recogidos por su sistema sensorial
ya sea de manera natural o con ayuda de recursos tecnológicos. Lla
maré percepción al procesamiento humano de esa información que nos
permite acceder a la conciencia de su existencia. En muchos casos es la
segunda de estas acepciones la que es tomada como definición de in
formación.
usa-
estimulos
sensoriales que somos
capaces de recogeracepción
procesar y
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
La distinción entre información y percepción ha sido una cuestión
privativa de la psicología hasta que las máquinas que son capaces
de procesar la información se han hecho populares, con lo que esta dis
tinción se ha evidenciado más a la vez que ha adquirido mayor impor
tancia social. Los seres humanos, igual que no somos conscientes del
trasvase de oxígeno a la sangre en los pulmones, ni de las órdenes que
el cerebro envía al corazón para que se contraiga y relaje de manera cí
clica y rítmica, no distinguimos entre información y percepción porque
sólo somos conscientes de lo segundo.
Lo primero que imaginamos y nos preguntamos cuando vemos a un huma
noide es de qué manera captará la luz y el sonido. Porque es evidente que
sin sensoresno existe robot. Información, en el sentido más estricto y mate
rialista, es «eso» que incide en los sensores.
Cuando una cámara digital saca una instantánea, lo que se guarda en
la memoria de la cámara es información, es decir, un conjunto de datos,
en este caso numéricos. Para poder «ver» la fotografía que hemos sa
cado es necesario un doble procesamiento de la información, por una
parte el que tiene que hacer la propia cámara para convertir esos datos
numéricos en píxeles iluminados y el que tiene que hacer el cerebro
para interpretar esas señales y formar la imagen. Las cámaras digitales
crean en las personas poco habituadas a su uso una cierta ansiedad que
se traduce en esa expresión tan ingenua: «Sí, sí, muy moderno todo
eso, ¿pero la foto dónde está?». Para esas personas acostumbradas a
saber que las fotos se «guardan» en el carrete y luego se «ven» en
papel, la cámara digital es un objeto un tanto sospechoso porque nadie
sabe dónde «está» la foto. En lo seres humanos, casi me atrevería a decir
en los seres vivos, el procesamiento de la información que se recibe del
medio se hace de manera automática y natural. Por esta razón es im-
IDEA CLAVE 4
posible separar la información no procesada de la información proce
sada, solamente la aparición de máquinas que procesan información
nos permite entender esta distinción. De todas maneras para los fines
que nos proponemos, esta distinción es poco importante y no dife
renciaremos entre información en bruto e información ya procesada
(percepción), sino que utilizaremos de manera indistinta ambos tér
minos.
Debemos, pues, dejar establecido que llamaremos información a los
estímulos sensoriales que somos capacesde recoger (en su doble acep
conodlmientoY ción de dato sin procesar y dato percibido) y tecnologías de la infor
mación (TI) a los instrumentos que usamos para manipular la
información. Podemos avanzar ahora en dos direcciones: el conoci
miento y la comunicación.
Conocimiento es la elaboración que hacemos de la información que
recibimos y que nos permite construir esquemas cognitivos diversos.
Por lo tanto, el conocimiento es consecuencia del procesamiento de la
información que hace nuestro cerebro y, por ende, es algo intrínseco y
personal que no depende solamente de la información que recibimos,
sino que, aunque se basa en ella, depende también de las característi
cas del cerebro que la procesa: conocimientos previos, interés, estilo
cognitivo, edad, etc. Por lo tanto, cabe afirmar que conocimiento no
es información porque con la misma información diferentes personas
elaboran conocimiento diferente. Así como todos los seresvivos dispo
nen de un sistema de apropiación de la energía que proviene del medio
en el que viven y que llamamos metabolismo, existe un sistema de apro
piación de la información al que me atrevo a denominar metabolismo
cerebral. Lasfunciones del metabolismo son dos: convertir la materia
que ingerimos en tejidos vitales y transformar la energía que recibimos
en energía disponible para el funcionamiento de nuestro cuerpo. La
función del metabolismo cerebral es, en cambio, única: convertir la in
formación que recibimos en esquemas cognitivos. Por esta razón, con-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
sideramos ilusorio querer transmitir conocimiento entre seres huma
nos. Hacerlo supondría situarnos en el trasplante de tejidos, esdecir de
partes de la persona que ya han sido «elaboradas» por el metabolismo
humano. El conocimiento es algo propio e interno a cada persona y en
consecuencia intransferible, lo que se puede intercambiar entre seres
humanos de manera directa y no inducida (de esta distinción hablare
mos más adelante) es información.
Resulta imposible cuantificar la cantidad de información que recibe
una persona en un solo día, es decir el número de datos de todo tipo
que recibe su sistema sensorial.
Pensemossimplemente en la cantidad de información visual yaudi
tiva que contiene una película. ¿Qué queda de ella en el espectador?
Desde luego que la mayoría de las personas serían incapaces de descri
bir cada uno de los planos que «han visto» o cada una de lasnotas «que
han oído» en la banda sonora. Pero sí podrán hacer una sinopsis o re
sumen de la película cuando al salir del cine se encuentren con otra
persona que les pregunte acerca de su opinión. Lasinopsis, el resumen,
lo que «queda» esel conocimiento. Obsérveseque diferentes personas
harán sinopsis distintas de la misma película.
Aunque sin información no se pueda construir conocimiento, reci
bir mucha información no equivale a construir mucho conocimiento,
en primer lugar porque la cantidad de información que podemos pro
cesar es limitada, en segundo lugar porque podemos dejarnos atrave
sar de forma pasiva por la información -la expresión popular de «por
una oreja me entra y por la otra me sale» es muy i1ustrativa de lo que
queremos decir-, y en tercer lugar porque el procesamiento de la in
formación depende de lo que ya sabemos, como ya he indicado ante
riormente. Los ciudadanos de las sociedades actuales son los seres
humanos más«informados» de toda la historia de la humanidad, esdecir
los que más información han recibido si se les compara con los de
otros tiempos históricos, pero eso no hace, necesariamente, que ten-
IDEA CLAVE 4
gan más conocimiento o que sean más sabios. De hecho, se empieza a
hablar de «sobreinformación» como un mal de la sociedad actual que
dificulta más que ayuda a la construcción del conocimiento, porque la
opinión pública cree conocer lo que pasa solamente porque está in
formada de lo que ocurre. No existe relación conocida de causa-efecto
entre la cantidad de información que se recibe y el conocimiento que
se construye y si existe alguna correlación, no queda claro que sea po
sitiva en todos los casos. La información es cuantificable y hoy en día
tiende a invadirlo todo, pero el conocimiento todavía no lo es y en
todo caso es reducido. Cualquier joven de hoy que está en las aulas de
la ESOha recibido mucha más información que la que recibió Newton
en toda su vida, pero es evidente que, desde luego, con relación al
mundo físico sabe menos.
Hace unas décadas era impensable que se produjera un trasplante
de órganos entre seres humanos. Hoy en día esta técnica ha avan
zado mucho y se puede extraer un pulmón de un ser humano para po
nérselo a otro. Con el pulmón adquirido se recibe el sistema de
intercambio entre oxígeno y dióxido de carbono y todas sus caracte
rísticas ya sean buenas o malas. Pero el que recibe este órgano tiene
la conciencia de seguir siendo él mismo con el pulmón de otro. ¿Qué
pasaría si algún día se pudiera trasplantar un cerebro humano?
¿No sucedería lo contrario de lo que sucede ahora? Esdecir que el
cuerpo receptor sería el envase del cerebro trasplantado y no al
revés como sucede cuando se trasplantan «otros})}} órganos huma
nos. Éste no es un libro de ciencia ficción y si hemos hecho esta di
gresión, es para hacer comprender el sinsentido de mantener, si se es
preciso en el lenguaje, la idea de que es posible la transmisión di
recta, no inducida, del conocimiento. El conocimiento es un producto
del cerebro como la bilis lo es del hígado o la sangre de la médula es
pina!. Mientras no se puedan trasplantar cerebros no se podrá trans
mitir conocimiento, incluso en ese caso es problemático afirmarlo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
porque lo que en realidad se habrá producido es un trasplante de
«cuerpo» (menos cerebro), con lo que propiamente es imposible tras
plantar un cerebro a otro cuerpo y, por lo tanto, el conocimiento al
macenado en él. El personaje de Frankenstein ejemplifica el rechazo
al horror que supone imaginar siquiera que se cambie el cerebro de
un ser humano a otro.
Espero haber establecido con claridad que información y conoci
miento son conceptos diferentes. La información son los datos que
recibimos y el conocimiento son esquemas permanentes que guar
damos.
la comunicación como fundamentode la educaciónVeamos, ahora, qué entendemos por comunicación. La información es
algo direccional, es decir que camina en una dirección determinada,
tiene un origen y un destino. Al medio por el que camina se le suele lla
mar canal de comunicación, utilizando el símil del canal de agua que
lleva este líquido de un lugar a otro. Por esta razón suele ser clásico ha
blar de emisor, receptor y canal como los tres elementos básicos en el
flujo de la información. La comunicación humana es, en cambio, bidi
reccional o, como suele decirse a menudo, interpersonal; esdecir exige
que dos seres humanos intercambien información.
Éstaes la primera gran diferencia, pero no es suficiente ni la única.
Esnecesario, además, que seasigne un sentido a la información recibida
para que pueda hablarse de comunicación. Y más estrictamente, es im
prescindible que los sentidos o significados que atribuyan ambos in
terlocutores a la información recibida estén en sintonía. Sinsintonía de
significados no hay comunicación, al igual que tampoco la hay sin in
tención, que es previa. Esdecir que dos máquinas pueden intercambiar
información, pero eso no quiere decir que se comuniquen en el sen
tido más auténtico de este término.
IDEA CLAVE 4
Conviene leer con atención las siguientes líneas porque definen
con claridad a qué nos referimos cuando hablamos de comunicación.Son
palabras de Giddens en una cita que hace Habermas.
La generación de descripciones de actos por los actores cotidianos no es
algo accesorio a la vida social en tanto que práctica en curso, sino que es parte
absolutamente esencial de la producción de esa vida e inseparable de ella,
puesto que la caracterización que lo otros hacen de sus intenciones y de las
razones que tienen para hacerla es lo que posibilita la intersubjetvidad, por
medio de la cual tiene lugar la transmisión del propósito de comunicarse.
(Habermas, 1981, pp. 153-154)
Enesta cita queda bien claro: «la caracterización de susintenciones y de
las razones que tiene para hacerlo es lo que hace posible la intersubje
tividad, por medio de la cual tiene lugar la transmisión del propósito de
comunicarse».
Como puede leerse en este texto, la comunicación nace de la inten
ción de decir algo -emisor- a alguien -receptor-, esa intención nos lleva
a enviar información que es recibida por nuestro interlocutor. El re
ceptor de la misma la interpretará buscando la intención que supone
que contiene la información que le hemos enviado. En la mayoría de los
casossuelen ser necesarios varios intercambios recíprocos de informa
ción, tanto verbal como no verbal, para que se establezca la sintonía
entre las intenciones del emisor y la interpretación del receptor; que
normalmente insiste hasta asegurarse de que ha «comprendido» lo
que se le quiere decir. La diferencia entre lo «que se dice» y lo que
«se quiere decir» es la diferencia entre información y comunicación. Se
parece un poco al caso del dial de la radio que debemos ir moviendo
hasta que el receptor, en este caso de las ondas de la radio, sintoniza
con el emisor (cuando la frecuencia de las ondas coincide) y ese mo
lesto ruido que se produce cuando no hay sintonía se convierte en mú
sica o palabras con sentido.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
El propio Habermas dice:
Finalmente, el concepto de acción comunicativa se refiere a la interacción
de al menos dos sujetos capaces de lenguaje y acción que entablan (ya sea
con medios verbales o extra verbales) una relación interpersonal. Los acto
res buscan entenderse sobre una situación de acción para poder así coordi
nar de común acuerdo sus planes de acción y con el/o sus acciones. El
concepto aquí central, el de interpretación, se refiere primordialmente a la
negociación de definiciones de la situación susceptibles de consenso. En este
modelo de acción el lenguaje ocupa, como veremos, un puesto prominente.
(Habermas, 1981, p. 124)
Cuando una persona dice que no logra comunicarse con otra, no está
diciendo que no le habla o no le oye, se queja de que no consigue que
la intención que le anima a hablar o, incluso, a callar sea captada por
su interlocutor. En muchos casos esta sintonía no logra establecerse, y
el intercambio de información no consigue dar lugar a un nexo comu
nicativo entre las personas. Siguiendo el símil que hemos utilizado para
la radio, habría ruido pero no comunicación: las frecuencias de emisión
y recepción no coincidirían.
En una comparecencia pública del ministro de cultura, César Anto
nio Molina, el 29 de agosto del 2007, haciendo referencia a su disputa
con Rosa Regás sobre la dimisión de ésta al frente de la Biblioteca Na
cional, y según dice el corresponsal en Madrid del Diario Vasco, el mi
nistro dijo: «En ningún momento he dicho lo que ella dice que he
dicho». Como puede verse estamos en un laberinto comunicativo
donde la incomunicación parece evidente.
La comunicación humana contiene claves todavía no descubiertas que
nos obligan a aceptar que la realidad es bastante más compleja de /0
que los reduccionismos positivistas o tecnológicos pretenden. Por esta
razón el uso del término «tecnologías de la comunicación» es un abuso
del lenguaje. Si fuéramos precisos y usáramos estos términos con correc-
IDEA CLAVE 4
ción, debiéramos hablar de «tecnología de la información», porque es la
información la que se mide (en bytes y sus múltiplos), se guarda, se ma
nipula, se envía, se compra y vende, y no desde luego la comunicación.
No vendría mal un ejemplo para demostrar la importancia que tiene y
que le queremos dar al nexo comunicativo. Imaginemos la siguiente es
cena, por cierto bastante habitual: un profesor o profesora recibe a sus
estudiantes después de las vacaciones estivales: es el primer día de clase
del nuevo curso. Después de un breve saludo y de preguntarles por las va
caciones, pide silencio y les dice: «Bueno, para repasar las matemáticas del
curso pasado os voy a poner en la pizarra unas divisiones. Tenéis veinte
minutos para hacerlas». Según el esquema que voy siguiendo esas pala
bras son «información» para los estudiantes. Protestarán un poco, algu
nos dirán que les falta esto o aquello, pero tras resolver estas turbulencias
un silencio se apoderará de la clase, donde cada estudiante estará in
tentando recordar y aplicar el algoritmo de la división que le enseñaron
el curso anterior. Los esquemas de actuación que cada alumno pone en
marcha para intentar hacer la división son el conocimiento que tiene y
que intenta aplicar, los errores que cometa son fallos de ese esquema de
actuación que se supone que luego serán corregidos con la intención de
ir mejorándolo. Al finalizar la tarea el docente podrá comprobar si sus es
tudiantes «saben» o no hacer divisiones, es decir si poseen o no ese co
nocimiento. ¿Pero qué ha pasado con la comunicación? ¿Qué es lo que
han «entendido» los estudiantes? Lo que los estudiantes han entendido
no es desde luego el algoritmo de la división -se supone que lo sabían y
lo debían aplicar-, sino que «para repasar las matemáticas basta con
saber aplicar el algoritmo de la división», o dicho de otras manera «que
lo realmente importante en matemáticas es saber ejecutar los algoritmos
aritméticos». El docente no «ha dicho eso», pero todos lo «han enten
dido» porque es lo que «quiere decir» con lo «que dice». ¿Y cómo puede
ser que los alumnos entiendan lo que el docente no ha dicho? La razón
es bien sencilla, todos los seres humanos saben de manera intuitiva que
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
la comunicación es algo distinto a la información. Todos sabemos inter
pretar desde que nacemos «qué quiere decir» hasta el más mínimo gesto
que percibimos.
En la sociedad actual la información es ubicua, está en todas partes;
el conocimiento es ya más escaso porque no todo lo que se recibe se ela
bora; la comunicación es algo que falta si se hace caso a las quejas de
muchas personas. Se da, pues, la paradoja de que la sociedad de la in
formación puede llevar a la sociedad de la incomunicación, y que las
personas que vivían antiguamente en sociedades menos informadas
podían estar más comunicadas. Esta paradoja nos sirve para evitar la
ingenuidad de pensar que es suficiente con extender la información o
facilitar el acceso a la misma para que las personas estén mejor comu
nicadas.
El análisis de las situacionesde enseñanza-aprendizaje desdeun enfoque comunicativoNo me gustaría que los lectores empezaran a pensar que la deriva filo-
sófica de este texto les aleja demasiado de sus intereses educativos re
ales, y antes de que se sientan muy apartados de las cuestiones que les
preocupan quisiera mostrar el interés de este tipo de enfoque para la
propia práctica profesional.
El fenómeno llamado inducción electromagnética es una buena metáfora
para lo que queremos explicar (figura 8):
Figura 8. Una de las experiencias de Faraday
1"[Primario Júdeo_ ~
Secundario
IDEA CLAVE 4
El científico inglés Faraday (1791-1867) da nombre a un experimento que él
mismo realizó en 1831, por medio del cual se puede comprobar que: si
el flujo magnético que atraviesa un aro de material conductor varía, se pro
duce un flujo eléctrico en dicho aro. Ensu conocido experimento mostró que
al cerrar el interruptor de circuito primario, se producía un flujo eléctrico en
el secundario. Esteflujo cesaba al poco rato. Si se desconectaba el interrup
tor, volvía a aparecer el flujo eléctrico, pero en el sentido contrario. Lo cu
rioso e interesante es que se podía «inducir» corriente eléctrica desde un
circuito a otro sin que estuvieran físicamente unidos. Estametáfora nos sirve
para caracterizar la transmisión del conocimiento y señalar que en el casode
la comunicación humana sucede algo similar; es decir que si el conocimiento
no se puede transmitir directamente, síse puede inducir por medio de la co
municación. Podemos hablar, de esta manera, de transmisión inducida del
conocimiento porque losflujos de información (flujo magnético) inducen com
prensión de significados (corriente eléctrica). Con todas las prevenciones ne
cesarias, el paralelismo entre estos dos fenómenos es grande y muy
ilustrativo de lo que quiero decir al hablar de inducción del conocimiento.
Vayamos ahora a analizar una situación de enseñanza-aprendizaje uti
lizando estas ideas. Supongamos la siguiente situación en un aula e in
tentemos hacer el análisis comunicativo de lo que sucede en ella: un
docente propone a sus estudiantes que «hagan unas divisiones». Vea
mos de qué manera podemos analizar esta situación desde un enfoque
comunicativo de este proceso de inducción del conocimiento:
La situación que vamos a analizar comienza con las palabras del do
cente pidiendo a sus estudiantes que hagan las divisiones.
Si esas divisiones están escritas en la pizarra, sólo hay que copiarlas
antes de comenzar la actividad. Bien pudiera ser que los estudiantes
formularan algunas preguntas antes de comenzar: «¿con cuántos deci
males hay que calcular el resultado?, ¿hay que hacerlas todas o las co-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
rregiremos de una en una?»; pero es una situación muy simple y no pa
rece que se necesiten muchas más explicaciones para saber qué quiere
el docente que hagan.
Los estudiantes comienzan a realizar sus propias actividades.
• Algunos lo hacen rápidamente y en silencio. Éstos interactúan poco
con el profesor o profesora, ya «saben» y apenas aprenden. Utilizan
los esquemas de acción correctamente y avanzan en la tarea sin de
tenerse. Puede que se aburran, pero el éxito apacigua ese senti
miento con la mejora de la autoestima. La actividad ha sido poco
instructiva, pero resulta gratificante para el docente. La considera
un éxito para los estudiantes, aunque puede que no para todos. El
docente puede «entender» que esos estudiantes necesitan retos más
complejos y puede tenerlo en cuenta o no. Los estudiantes «entien
den» que para el docente ya es suficiente y, si no les propone otra
cosa, saben que con quedarse como están les irá bien. La comunica
ción establecida hace que compartan el significado de sus acciones
y que los sentimientos recíprocos resulten positivos, el docente se
sentirá satisfecho y sus estudiantes valorados .
• Otros dudan y resoplan pero trabajan, alguno pide ayuda al profe
sor porque se ha atascado. Este grupo aprende y el nexo comuni
cativo funciona, interpretan correctamente qué deben hacer y,
aunque se equivoquen, están dispuestos a modificar sus esquemas
de acción y a ajustarlos progresivamente. Lo intentan una y otra
vez y la inducción funciona. Este grupo ha convertido la tarea en
una actividad que les permite aprender. El docente «entiende» las
dificultades de los estudiantes y sentirá el deseo de prestarles
ayuda, se sentirá estimulado y gratificado. Los estudiantes «sien
ten» que el docente espera un poco más de ellos y saben que deben
esforzarse. Sienten que avanzan, que mejoran, se sienten motiva
dos y valorados. El nexo comunicativo está establecido y la induc
ción funciona, pero puede romperse o fortalecerse según actúen
IDEA CLAVE 4 117
ambas partes. Esun grupo en el que la labor didáctica del docente
es clave.
• Otros no hacen nada pero disimulan o copian de suscompañeros, lo
más probable esque no recuerden qué deben hacer y tampoco estén
dispuestos a «comunicarse» con el docente por razones varias: les
cuesta trabajar, les cuesta concentrarse, se sienten a disgusto en el
grupo ... La tarea no se ha convertido en actividad y lo que hacen
(copiar o poner algo para disimular) no les sirve para aprender. La
tarea se ha pervertido y la actividad resultante es puro activismo in
útil. Además, el estudiante pretende engañar al docente, es decir
que le envía información para que interprete, por la apariencia, lo
contrario de lo que realmente es. Puede conseguir el engaño y equi
vocar al docente sobre sus intenciones, pero en todo caso la perver
sión de la tarea hace que el trabajo sea inútil. La inducción
comunicativa no funciona. No se comparten los significados de las
acciones y, en consecuencia, los esquemas de actuación de los estu
diantes no se modifican. El docente, en cuanto descubra el engaño,
«entenderá» que el estudiante ni sabe ni quiere aprender y «sen
tirá» rabia y decepción, sentimientos que no favorecerán la comu
nicación. El estudiante, cuando sea descubierto, «entenderá» que
está actuando mal y sentirá «verguenza». No ha existido auténtica
comunicación y el flujo de sentimientos ha resultado negativo y desmotivador.
• Otros no hacen nada abiertamente y se dedican a molestar a sus
compañeros. Directamente se niegan a convertir la tarea en acti
vidad y no se preocupan en disimularlo. Los estudiantes de este
grupo no aprenden porque se niegan explícitamente a la comu
nicación cognitiva, aunque su actitud sí está enviando un mensaje
cargado de intenciones. Eldocente «entenderá» que no saben, que
no quieren aprender y que desafían su autoridad en clase, se sen
tirá cuestionado y agredido y si esta situación se prolonga, deses-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
peranzado y deprimido. Los estudiantes según sea la actitud del
docente sabrán si el desafío a la autoridad ha hecho mella en él. En
todo caso se sienten incomprendidos, marginados, olvidados y des
preciados.
Esrealmente interesante observar cuántas cosassuceden en una clase
en una de lassituaciones más sencillas que pueden darse. Como puede
verse en este análisis, la visión comunicativa nos permite observar y
analizar el sentido de los flujos de información que se producen en la
clase más allá de la mera visión que analiza las conductas y se centra
únicamente en los aspectos cognitivos. Creo que es una manera de
analizar el hecho educativo que permite abordar de manera más com
pleta y compleja la «realidad» y, además, lo hace desde una mirada
más profunda, abarcando aspectos sustanciales para comprender la
acción humana en su integridad y no solamente la conducta de los
sujetos.
Resulta interesante observar que las actitudes forman parte de la
comunicación de manera tan evidente que sin su presencia y signifi
cado resultaría imposible entender todo lo que está presente en el
hecho comunicativo, por lo que la pretensión de separar lo cognitivo
de lo emocional, la instrucción de la educación, resulta un intento
inútil.
La instrucción en matemáticas
y la educación matemáticaIndependientemente de la voluntad de las personas la interacción hu-
mana essiempre educativa porque escomunicativa, y querer separar los
aspectos meramente cognitivos de los emocionales, afectivos, ideoló
gicos, valorativos y éticos es imposible; porque sin esos acentos que
modulan y dan sentido a la información ésta no esentendible. A veces
lo más difícil de entender esel acento de la persona que habla, pero no
IDEA CLAVE 4
la supuesta asepsiade la instrucción
matemática es una
falacia que por seraceptada sin crítica
es doblemente
hay nadie que hable sin acento. Pretender separar la instrucción de la
educación es similar a pretender hablar sin acento y ya sabemos que
eso es una muestra de ingenuidad o de excesiva egolatría. Lo que se
pretendía como un hecho meramente instructivo, enseñar y aprender
a aplicar el algoritmo de la división, se ha convertido en un hecho edu
cativo, una compleja maraña de significados, sentimientos, normas, etc.
Si lo miramos desde la cronología de la educación de esos muchachos
y muchachas, el algoritmo de la división es una anécdota, mientras que
lo que han «entendido» y «sentido» irá formando progresiva y paula
tinamente su personalidad.
El análisis comunicativo de la acción es la mejor herramienta de la
que disponemos actualmente para el análisis certero de la «realidad»
educativa, digo actualmente porque siempre esperamos poder encon
trar modos mejores de estudiar y pongo realidad entre comillas por
que nuestro acercamiento a la misma es siempre algo relativo y
conviene ser prudente. Pero estas prevenciones no deben oscurecer la
idea clave que quiero presentar en estas líneas: la educación es un acto
comunicativo cargado de intenciones, significados y sentimientos.
La instrucción en matemáticas pretende ocuparse de la enseñanza
de las matemáticas considerando que éstas forman un conjunto de he
chos, conceptos, algoritmos, normas, etc. que está bien organizado y
que se puede transmitir y recoger directamente, igual que se da un ob
jeto a alguien. Pretende, además, que sea algo aséptico y neutral y que
no tenga ningún punto de tangencia con la esfera de los valores. Se se
para así del ámbito educativo que está sometido a controversia y justi
ficación ideológica para considerarse como algo válido en sí mismo e
inmune a la crítica. Pero esta supuesta asepsia de la instrucción mate
mática es una falacia que por ser aceptada sin crítica es doblemente
peligrosa.
Si estas apreciaciones son justas en su enunciado general, lo son en
mayor grado, si cabe, en lo que se refiere a la enseñanza de las mate-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
máticas, que son vistas primordialmente como un proceso instructivo
carente de olor y sabor como el agua destilada. Pero si insistimos, con
tra toda evidencia reflexiva, en seguir transitando por ese camino que
se empecina ciegamente en separar instrucción de educación, difícil
mente mejorará la enseñanza de las matemáticas porque, como ya
hemos intentado exponer y argumentar, separar la instrucción de la
educación, el conocimiento de la comunicación, lo que se entiende de
lo que se siente, lo que se dice de lo que se quiere decir, en definitiva
la ría del mar, es simplemente imposible. Los estudiantes que se sienten
mal en las clases de matemáticas nunca aprenderán matemáticas. Y la
experiencia nos dice, y los datos lo corroboran, que son demasiados los
estudiantes que se sienten mal en las clases de matemáticas, demasia
dos los que perciben que eso no es para ellos y demasiados los que ven
en las matemáticas una barrera.
No es mi intención decir, ni siquiera sugerir, que aprender matemá
ticas, incluso las más necesarias para los usos habituales, sea algo que
los estudiantes puedan lograr sin esfuerzo y tampoco digo que la única
de las razones para comprender el fracaso de la enseñanza de las ma
temáticas esté en el currículo o en la forma en la que se presenta. Es
decir, creo saber que los docentes ni son los únicos responsables de la
situación ni los protagonistas máximos de esta historia. En mi opinión,
existen otras personas e instituciones que tienen mucho que hacer y
que decir para que esta situación tenga solución. Creo saber que exis
ten otros muchos factores exógenos que condicionan e influyen decisi
vamente en la situación que padecemos. Es decir que estamos frente a
un problema con muchas ramificaciones en las que las posturas sim
plistas no llevan a ninguna parte. Pero éste es un documento para do
centes y nosotros tenemos que arreglar la parte que nos corresponde.
El desahogo que supone pensar que la responsabilidad de lo que pasa
es de otros casi nunca resuelve el problema, y el desahogo de hoy suele
convertirse en la pesadilla de mañana.
IDEA CLAVE 4
En resumen
La idea clave desarrollada es que la finalidad de la enseñanza de las matemáticas es la edu
cación matemática y no la mera transmisión de datos, reglas y algoritmos, eso que suele
llamarse instrucción matemática. La educación se basa en la comunicación que nos lleva,
cuando se establece, a compartir esquemas de acción, sentimientos y valores que forman
un conjunto indisociable y solidario. La educación forma parte del proceso comunicativo
y, por lo tanto, no es una mera transmisión de información; porque para la comunicación
humana lo relevante no es la información en sí, sino el sentido o significado que se pre
tende inducir por medio de la misma. Separar de manera artificial estos dos procesos y con
siderar que basta con asegurar el flujo informativo para conseguir que se dé un acto
educativo o pensar que el acto educativo es algo que se da en otros contextos es un error
que ha lastrado, tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas. Todo acto humano
es comunicativo, aunque se pretenda únicamente instructivo. Y es en la compleja maraña
de la comunicación humana donde todo encaja como un puzzle y cobra sentido. Debemos,
por lo tanto, defender activamente la primacía de la educación matemática, frente a la
mera instrucción, como la única forma de poder actuar en el medio escolar desde una
perspectiva general e integral que entienda al ser humano no como algo escindido en
partes, sino como una unidad de relaciones complejas que interactúan necesariamente.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
• Los currículos de matemáticas debe
rían organizarse desde una visión
educativa y no solamente instructiva,
de manera que se tengan en cuenta
los aspectos actitudinales, éticos y so
ciales.
• Es un esfuerzo inútil para el desarro
llo de la educación matemática la mera
transmisión de datos y procedimien
tos de cálculo, porque no solamente
es un conocimiento obsoleto que la
tecnología actual hace innecesario,
sino que produce alejamiento y re
chazo por parte de los estudiantes.
• Comprometerse en el diálogo comuni
cativo con los estudiantes e interpretar
desde claves educativas el sentido del
mismo es el camino más adecuado
para desarrollar una buena educación
matemática.
• Las relaciones que se establecen con
los estudiantes y el sentido que las mis
mas tienen para los que participan en
el diálogo comunicativo son la manera
que tenemos de enseñar matemáticas
si esta enseñanza se entiende como un
acto educativo.
• Proporcionar información es necesario,
facilitar la elaboración del conocimiento
es formativo y potenciar el desarrollo de
competencias eseducativo. Son tres pasos
distintos que implican funciones docen
tes bien diferenciadas. Los tres constitu
yen pautas que hay tener en cuenta a la
hora de planificar y llevar a cabo la ac
ción educativa en el aula.
IDEA CLAVE 4
Las tareas a realizar
son la clave para el desarrollode los aprendizajes
La dieta y el metabolismo
Empezó por las tiras de papel. Me dio una que tendria unos tres palmos y me dijo:
Coge unas tijeras y corta esta tira en tres partes ...
Me disponía ya a cortar, cuando mi hermano me detuvo:
Espera que aún no he terminado. Córtala en tres partes,
pero de un solo tajo. Ya. (Perelman, Problemas y
experimentos recreativos)
El triángulo comunicativo y los procesosde enseñanza-aprendizaje
Si consideramos bien establecido que la educación matemática exige la creación de un nexo co
municativo, a exponer y justificar esa idea hemos dedicado la idea clave anterior, las preguntas que
de manera natural nos asaltan son las siguientes: ¿cómo se crea un ambiente o situación que per
mita la creación del nexo comunicativo?, ¿cuáles son las condiciones y elementos constitutivos del
acto comunicativo capaces de inducir conocimiento matemático? Ésta es una cuestión muchas
veces planteada y a la que la didáctica responde en la actualidad proponiendo un esquema de ac
tuación que suele llamarse el triángulo didáctico.
IDEA CLAVE 5
El triángulo didáctico puede representarse gráficamente por medio del esquema que muestra
la figura 9:
Figura 9. Situación de enseñanza-aprendizaje
Enseñanza
CURRíCULUM
Este triángulo recoge tres componentes estructurales (los tres vértices), tres relaciones (los lados)
y está dibujado sobre un fondo en el que pueden leerse las palabras «contexto» y «currículum».
Los vértices o elementos estructurales son, sin orden preestablecido, el docente, el estudiante
y la tarea (en realidad el binomio tarea + actividad). Las relaciones que mantienen esos elementos
entre sí están representadas por los tres lados. Elcontexto es algo sobre lo que ya hemos hablado,
subrayando su importancia para el desarrollo de lascompetencias, y el «currículum» es el concepto
inclusivo que recoge el resto de cuestiones educativas. Bien, éste no es un libro sobre la teoría del
currículo y por esta razón no me voy a entretener en desarrollar con detalle el significado de los
elementos y relaciones citados, pero sí voy a recoger un elemento que considero decisivo para
desarrollar lo que propongo en esta idea clave: la importancia de la tarea como elemento
capaz de organizar el proceso comunicativo que está en la base de la educación en general y de
la educación matemática en particular.
Defender la necesidad de orientar el currículo hacia una estructura que lo organice en compe
tencias no significa cambiar solamente los fines de la educación matemática, ni termina al escri
bir los objetivos de otra manera, sino que implica, además de esos cambios, aceptar también otro
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
tipo de modificaciones en la manera de organizar la enseñanza. El cambio fundamental que hay
que realizar es comprender que la tarea es el elemento que permite construir el nexo comunica
tivo entre los docentes y los estudiantes, es decir que el binomio tarea + actividad es el elemento
por medio del cual se puede realizar la inducción del conocimiento. La tarea es el circuito prima
rio y la actividad el secundario si volvemos, por un momento, a la metáfora de la inducción elec
tromagnética. No se trata, por lo tanto, de transmitir información solamente, sino que hay que
inducir conocimiento, lo que implica acción por parte de los actores de la acción comunicativa: do
centes y estudiantes. Esasacciones son las que denominamos tarea y actividad.
Si los fines educativos se concretan en la transmisión del conocimiento -fin ilusorio donde los
haya-, la metodología de enseñanza se basa en la exposición oral del docente (ayudada o no de
soporte escrito), una explicación que se suele completar con ejercicios ad hoc para comprobar
hasta qué punto el estudiante ha asimilado la información que se le ha dado. Los libros de texto
que se utilizan, sobre todo en secundaria, siguen este esquema, por esa razón primero se da una
explicación de un tema y luego aparecen ejercicios para «comprobar» si los estudiantes han asi
milado lo que se les ha explicado. Se trata de transmitir información ya elaborada y sintetizada al
máximo con la creencia de que esa información ya es conocimiento preparado para ser almace
nado en la memoria de los estudiantes.
Una didáctica para el desarrollo de la competencia matemática, o sea una didáctica que con
sidere la comunicación como el eje de su organización, debe pivotar sobre el doble concepto de
tarea-actividad porque es a través de este espejo de dos caras como se puede establecer el nexo
comunicativo que estamos proponiendo como fundamento y explicación de la educación mate
mática. Lo que el docente propone hacer al estudiante y los motivos que tiene para hacerlo son
el inicio del acto comunicativo, lo que el estudiante entiende que debe hacer y luego, en el mejor
de los casos, hace es el motor de su aprendizaje. Lo que el docente entiende que está haciendo
el estudiante es lo que le permitirá en todo caso reforzar el nexo comunicativo y variar sus propios
esquemas de acción para mejorar la enseñanza, lo que el estudiante entiende que quiere decir lo
que el docente hace después de ver lo que él ha hecho ... ; este trabalenguas sirve para señalar el
carácter interactivo del hecho comunicativo que siempre se basa en el análisis de lo que «hace»
el «otro» (hablar es una forma de hacer). Sin embargo, toda esa interacción informativa cargada
de sentido y que es interpretada de manera automática por los actores de la comunicación es la
que realmente puede inducir conocimiento. La conversación, relación dialógica que se establece
IDEA CLAVE 5
entre docente y estudiante al hilo de la tarea (enseñanza) propuesta, es lo que el estudiante trans
forma en actividad (aprendizaje) y lo que asegura el nexo comunicativo. También el docente
aprende de esta comunicación y si está atento a lasseñales que le envía el estudiante, puede apren
der mucho tanto de su propia manera de actuar como de la necesidad o conveniencia de ir modi
ficando sus propias estrategias con el fin de asegurar que la comunicación que tenga que establecer
sea más productiva desde el punto de vista educativo.
La relación entre tarea y actividad es similar a la imagen de Alicia y el espejo, situación en la que
un personaje se puede imaginar situado a ambos lados del cristal a la vez. ¿Qué es lo real y qué su
imagen? De cada lado del espejo se ve lo mismo, pero de manera distinta. Parael docente que pro
mueve la tarea, eso es lo real; él ve lo que sucede al otro lado del espejo que es el estudiante, para
él la actividad está en el espejo. Pero para el estudiante todo sucede exactamente al revés, lo real
para él es la actividad y la tarea está en el espejo. Objeto e imagen forman así para cada uno de los
observadores dos realidades complementarias, aunque cada uno de ellos las vea desde perspecti
vas diferentes. La relación entre tarea y actividad es de este tipo, son dos partes de una misma re
alidad vistas desde puntos diferentes. Lo que para el estudiante es trabajo que debe realizar y fuente
de aprendizaje, para el docente es trabajo que debe proponer y proyecto de enseñanza.
Los criterios en los que hay que basarsepara la selección de las tareas
La tarea es la propuesta de trabajo que le hace, normalmente, un do
cente a un estudiante, un maestro a un aprendiz, un educador a un
educando, un tutor a un tutorizado, etc. La actividad es lo que hace el
estudiante, aprendiz, educando, tutorizado, etc. para responder a lo
que él entiende que se le pide que haga. La tarea es el haz y la activi
dad es el envés de la misma hoja que es el proceso de enseñanza-apren
dizaje. Por medio de la tarea-actividad se transmiten los significados y
en su desarrollo es donde tiene lugar la inducción del conocimiento.
Esto no es otra cosa que la repetición de lo que ya habíamos ade
lantado en el punto anterior de esta idea clave, pero conviene recor-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
darlo porque es básico para lo que sigue. La pregunta que nos hacemos
a continuación es la siguiente: ¿si como sugiere el triángulo comunica
tivo la selección de las tareas es una de las funciones básicas de los do
centes, según qué criterios debe hacerse esta selección?
Antes de contestar a esta pregunta me gustaría presentar una me
táfora que en mi opinión refleja fielmente la función de un docente a
la hora de seleccionar tareas. La metáfora es la del cocinero o si se
quiere la de un cocinero con alma de dietista. Metáfora que quiero
oponer a la visión habitual del profesor sermoneador, orador infatiga
ble, retórico consumado y espadachín de la palabra.
El cocinero debe, en primer lugar, pensar qué comida va a preparar. Loscri
terios que puede seguir son gastronómicos o dietéticos, sobre esta cuestión
volveremos más adelante. En segundo lugar, debe prepararla y presentarla
al comensal de la manera más atractiva posible. En el momento en el que el
plato está en la mesa esal comensal a quien le corresponde degustar esaco
mida. Si lo miramos desde el punto de vista dietético, se supone que podrá
extraer de la misma la energía y los nutrientes necesarios para asegurar su
salud, es decir que esperamos que le siente bien en el sentido de que sea
nutritiva. Si lo miramos desde el punto de vista gastronómico, esperamos
que sesienta bien y disfrute. Como seve que «le siente bien» y que «sesienta
bien}} son cosasdistintas, pero complementarias. Seguramente, es difícil se
parar esos dos aspectos, aunque sean claramente diferenciables desde un
punto de vista teórico. La labor de un docente con relación a la propuesta
de tareas es muy similar, debe elegir entre el amplio abanico de posibles tra
bajos aquellos que en su opinión sean, si se me permite la expresión, «die
téticamente adecuados al metabolismo intelectual de sus estudiantes» y
luego debe presentarlos de la manera lo más atractiva posible, es decir, si
guiendo con este juego de palabras, con un toque de «gastronomía intelec
tual».
IDEA CLAVE 5
Pero, lo que resulta evidente en todo caso es que la relación entre cocinero
y comensal se produce por medio de la comida que prepara el primero y de
gusta el segundo. El cocinero se relaciona con el comensal por medio de la
comida, en muchos casos los cocineros y comensales no llegan a conocerse,
pero existe una relación dietético-gastronómica del tipo que hemos rela
tado.
Entre el docente y el estudiante se produce una relación similar si sus
tituimos comida preparada por tarea y comida digerida por actividad.
Por medio de la tarea-actividad se relacionan docente y estudiante y a
través de ella se construye el nexo comunicativo. Siguiendo esta metá
fora dos de lasprincipales tareas a lasque un docente debe hacer frente
son:
• La selección cuidadosa de las tareas que va a proponer.
• Una adecuada presentación a susestudiantes.
Selección y presentación de tareas constituyen, por lo tanto, el inicio
del acto comunicativo y el sustituto natural de la verborrea explicativa
que acompaña a la función docente en muchos casos.
Ha quedado bien establecido, eso espero, que el binomio tarea +
actividad es el medio para el desarrollo del proceso comunicativo, por
ende educativo, entre el estudiante y el docente. Bien. Sin embargo, si
la finalidad del proceso comunicativo es inducir conocimiento y des
arrollar competencias, ¿qué criterios podemos seguir para proponer ta
reas y organizar la enseñanza?
En este punto se me permitirá que vuelva a contestar con otra me
táfora: la de las semillas y la planta. La semilla contiene, en principio,
la información necesaria para desarrollar la planta, es, por decirlo así,
una planta en potencia. Pero para que esta posibilidad se concrete
en una planta sana es necesario que se den unas condiciones ambien-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
tales que permitan su desarrollo, porque en ausencia de unas condi
ciones mínimas de supervivencia la semilla no se desarrollará. Además,
y esto es importante para el símil que estamos desarrollando, cada se
milla puede «llegar a ser» un cierto tipo de planta y no otro.
Con las tareas sucede algo similar. Las tareas contienen el germen
que permite inducir conocimiento y desarrollar competencias si se trans
forman en actividades con sentido, todo depende de las condiciones
en las que «crezca» el binomio tarea + actividad. Si la tierra es la ade
cuada, si la humedad es la debida, si la temperatura, la insolación y el
viento son apropiados, es de esperar que la planta se desarrolle. Si los
conocimientos previos son los adecuados, si la motivación es la debida,
si la ayuda, los medios materiales, las condiciones ambientales son
apropiadas, es de esperar que el aprendizaje se produzca y se induzca
el conocimiento. En ausencia de esas condiciones ni las plantas se des
arrollan ni los aprendizajes se producen. Por eso decimos que las semi
llas son plantas en potencia y las tareas germen del aprendizaje. Son
algo necesario e imprescindible, pero no suficiente.
Siguiendo con el símil, hay que destacar que cada semilla produce
una clase de planta y lo mismo sucede con las tareas, cada tipo de tarea
es capaz de activar un tipo de aprendizaje. Porque, así como no existe
alimento que contenga todos los nutrientes necesarios para una buena
dieta ni hay semillas universales que según se rieguen den una u otra
planta, den perejil o albahaca, tampoco existen tareas universales ca
paces de contener en potencia la variedad entera de aprendizajes ne
cesarios para el desarrollo armónico de la persona. Por eso conviene
que estudiemos los diferentes tipos de tareas que existen y la relación que
tiene cada una de ellas con los aprendizajes que consideramos necesa
rios para un desarrollo armónico de la educación matemática.
Por lo tanto, antes de seguir adelante conviene que dejemos esta
blecidas algunas ideas básicas. Estas ideas las podemos exponer en la si
guiente lista:
IDEA CLAVE 5
• El binomio tarea + actividad es el medio a través del cual se esta
blece el nexo comunicativo entre los estudiantes y el docente.
• La correcta comprensión de las intenciones mutuas y la consecuente
transformación de la tarea en actividad permiten la inducción del
conocimiento.
• La tarea es la realidad que vive el docente y la actividad la que vive
el estudiante.
• Con la misma propuesta de tareas, diferentes estudiantes desarro
llarán distintas actividades y activarán diferentes aprendizajes de
bido a los factores propios de cada uno de los sujetos que aprende.
• La tarea contiene el germen de los aprendizajes posibles. Que este
germen se desarrolle y fructifique, o no lo haga, depende de las con
diciones metodológicas en las que se concrete.
• No existe una tarea capaz de contener todos los aprendizajes nece
sarios para una educación armónica como no existe una comida que
contenga todos los nutrientes ni una semilla universal. Por eso es
importante estudiar los tipos de tareas que hay que realizar y su re
lación con los tipos de aprendizajes que pueden suscitar.
La tipología de tareas y su relacióncon los aprendizajesComo hemos indicado en el punto anterior, la clasificación de las tareas
es una labor importante porque es la manera que tenemos de relacio
nar los medios que vamos a utilizar -propuesta de tareas/realización de
actividades- con los aprendizajes que deseamos suscitar. En consecuen
cia, no nos interesa una clasificación cualquiera, sino aquella que nos
permita agrupar las tareas que vamos a proponer bajo el criterio de ser
vir para el desarrollo de aprendizajes del mismo tipo.
El proyecto PISA, OCDE (2004, pp. 40 Y 41), clasifica los tipos de
aprendizajes de las matemáticas en tres niveles que ordena de menor
a mayor dificultad:
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
• Nivel de reproducción.
• Nivel de conexión (relación).
• Nivel de reflexión.
implicade pensamiento creativo aolícado funda
la
En el denominado «nivel de reproducción» consideran aquellas tareas
cuya resolución implica la utilización de procedimientos y algoritmos
rutinarios, la manipulación de expresiones y fórmulas y la realización de
cálculos. Creo que son tareas que en nuestro medio podrían ser descri
tas por el término «ejercicios» y que por desgracia constituyen la mayor
parte de la alimentación escolar en matemáticas, el tipo de catering
matemático más servido en nuestros centros educativos.
El denominado «nivel de conexión» implica la interpretación de la
información, la identificación de los elementos matemáticos pertinen
tes y la utilización de relaciones entre los diversos conceptos matemá
ticos. Supone una superación del nivel anterior porque los estudiantes
deben actuar con mayor autonomía y mostrar una comprensión de su
propia acción superior al nivel anterior.
El denominado «nivel de reflexión» (producción) implica la utilización
de pensamiento creativo aplicado fundamentalmente a la resolución de
problemas. Supone además la capacidad de justificar y argumentar co
rrectamente los caminos seguidos en la resolución de las tareas.
Cualquier clasificación sobre el grado de dificultad de los aprendi
zajes y sobre la relación entre este grado de dificultad y las tareas aso
ciadas es problemática, ya que los factores que inciden en estas
clasificaciones son muchos, y es muy difícil hacer una disección clara de
los mismos, pero estimo que la propuesta del proyecto PISA que he des
crito es sencilla y práctica y por esta razón, además de por estar ajustada
a lo que entiendo es un buen análisis de las operaciones cognitivas, con
sidero interesante recogerla y utilizarla.
Por otra parte vaya intentar hacer un pequeño resumen de aque
llas tareas que creo que tienen más tradición escolar ya tratar de rela-
IDEA CLAVE 5
cionar este tipo de tareas con los niveles ya citados del proyecto PISA,
con la intención manifiesta de mostrar la relación que pueden guardar
entre ellos.
• Ejercicios .
• Experiencias.
• Juegos.
• Problemas.
• Investigaciones .
• Actividades de síntesis y elaboración de la información.
EjerciciosLos ejercicios entendidos como aquellas tareas en las que los estudian
tes deben aplicar lo que se les ha enseñado recientemente y que están
también descritas en el nivel de reproducción de PISA (utilización de
procedimientos y algoritmos rutinarios, la manipulación de expresio
nes y fórmulas y la realización de cálculos) son bien conocidos por los
docentes y los estudiantes de matemáticas. Podemos decir sin miedo a
equivocarnos que constituyen la mayor parte de la alimentación esco
lar. En algunos casos son casi el único tipo de tarea que se hace, porque
muchas de las tareas denominadas problemas no lo son en realidad,
sino que son ejercicios disfrazados de problemas.
La red está inundada de worksheets en los que se puede aplicar cual
quier tipo de algoritmo. La dirección de Internet: www.rhlschool.com/
worksheet.php4?option=add1 no es más que una de las miles que se pue
den encontrar en cualquier buscador de Internet.
Aunque, la verdad sea dicha, para ese viaje no es necesario ni orde
nador ni conexión de banda ancha. La pizarra se ha utilizado toda la
vida para poner ejercicios, y han existido versiones muy conocidas de
este tipo de tareas que se han convertido en best seller escolares hasta
el punto de inundar las estanterías de las grandes superficies donde se
pueden conseguir a la vez que se hace la compra o se contrata un viaje.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Ejercitarse en matemáticas es necesario y no creo que debiéramos
centrar el debate sobre esta cuestión, porque resulta evidente que sin
construir de manera adecuada las habilidades (competencias de nivel
bajo) que son necesarias como recurso en cualquier momento no re
sultará fácil dominar competencias de rango superior. El problema de
la correcta aplicación de los ejercicios en la educación matemática como
tarea de enseñanza no essencillo y ha dado lugar a muchas discusiones
y a bastantes desencuentros. En la dirección de Internet: http://en
sino.univates.br/-chaet/Materiais/Manifiesto.pdf puede leerse un sim
pático manifiesto escrito por el claustro de profesores y profesoras de
colegio público Aguamansa de la Orotava (Tenerife) contra el abuso
que supone centrar el currículo escolar en la enseñanza de los apren
dizajes de los algoritmos de cálculo escrito. Esun documento intere
sante porque dice cosasmuy sensatascon bastante gracia.
Sin embargo, hay que señalar que se abusa de la utilización de los
ejercicios hasta convertirlos, siguiendo la metáfora que hemos usado,
casi en un plato de uso diario y, lo que es peor, único: «como el pan
nuestro de cada día dánoslo hoy». Estamos frente a una dieta pobre
que abusa de un nutriente, pero que nos deja hambrientos de otros que
son igualmente necesarios. Elcurrículo escolar esalgo finito y limitado,
además la tendencia a introducir nuevos contenidos curriculares, unida
a la disminución del tiempo que los estudiantes pasan en las escuelas,
ha llevado a agrias disputas sobre el tiempo que debe dedicarse a cada
área en el horario escolar. Si el tiempo es limitado y dedicamos mucho
a un tipo de tarea, es evidente que quedará poco tiempo para el resto,
por lo tanto en esta cuestión lo relevante no es solamente el tiempo
que se emplea para hacer ejercicios, sino el tiempo o peso relativo que
se les da dentro del currículo; porque este porcentaje no nos dirá so
lamente qué se hace (ejercicios), sino qué no se podrá hacer por falta
de tiempo. Estautilización abusiva de ejercicios hace del aprendizaje de
las matemáticas una actividad rutinaria y tediosa, y esto es uno de los
La utilización abusiva
de ejercicios hace del
IDEA CLAVE 5
factores que explica el rechazo que algunos estudiantes, y no siempre
los menos dotados para esta área, sienten por las matemáticas. Esta
utilización masiva de ejercicios en los que prima la aplicación mecá
nica de reglas y algoritmos memorizados sin comprensión es la res
ponsable de la imagen que para muchos estudiantes tienen las
matemáticas y está en el origen de muchas de las actitudes negativas
suscitadas.
Debe comprenderse, además, que la tecnología actual ha conver
tido en obsoletas muchas, por no decir casi todas, las competencias aso
ciadas a estos aprendizajes porque ya no se usan ni en el contexto
personal, ni en el social y, mucho menos, en el profesional. Si existe un
ejemplo claro del tipo de conocimiento matemático que ha dejado de
ser útil como base para el desarrollo de competencias de cualquier tipo,
es el asociado al cálculo escrito. Obsérvese con atención, para evitar
malentendidos, que digo expresamente cálculo escrito y más precisa
mente cálculo escrito con cantidades grandes. Es decir que no me re
fiero al cálculo oral o estimativo que sigue siendo necesario como base
del desarrollo de competencias básicas en los diferentes contextos antes
citados.
Conviene señalar que el dominio del cálculo escrito se hace, funda
mentalmente, por medio de ejercicios y que el tiempo que se dedica
a este tipo de tarea consume la mayoría del tiempo escolar destinado a
aprender matemáticas. Hay que comprender la importancia de esta cues
tión y tomar decisiones que limiten el uso indiscriminado de este tipo
de tareas. Esuna cuestión importante, por no decir trascendental, y por
ello deben ser decisiones consensuadas y colegiadas que tengan en
cuenta que los aprendizajes que se promueven dependen de las tareas
que se hacen y que abusar de los ejercicios impedirá, lógicamente, des
tinar el tiempo suficiente a otro tipo de tareas y en consecuencia al
logro de otros tipos de aprendizajes más necesarios. Para muchos ex
pertos estas son cuestiones menores que no reclaman mucha atención,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
en mi opinión es una cuestión capital que mientras no se aborde en
profundidad bloqueará cualquier intento de mejora en la enseñanza de
las matemáticas.
ExperienciasLa palabra «experiencia» sugiere, inmediatamente, experimento y se
asocia al aprendizaje basado en la observación de fenómenos. Se ha
discutido mucho sobre si las matemáticas son o no una ciencia experi
mental. Diversas escuelas han mantenido posiciones distintas, pero a
nosotros lo que nos interesa no es«qué son las matemáticas», sino «qué
es lo que los estudiantes deben aprender de las matemáticas», por esta
razón obviaremos ese interesante debate.
Existe un gran consenso sobre la relevancia de la experimentación
como vía de aprendizaje, sobre todo en la infancia, entre los psicólo
gos que han estudiado el aprendizaje. Por lo tanto, parece conveniente
que nos planteemos la necesidad de estudiar qué se puede aprender
en matemáticas por medio de la experimentación. Además no esta
mos planteando algo que no tenga una cierta tradición en la historia
de la enseñanza de las matemáticas, porque desde los inicios del siglo
xx casi todas las renovaciones en los métodos de enseñanza en gene
ral y de las matemáticas en particular han estado asociadas a pro
puestas en las que la experimentación ha ocupado un lugar muy
importante.
Por otra parte, en los años setenta y ochenta existió una corriente
que impulsó decididamente la utilización de material didáctico para la
enseñanza de las matemáticas y, aunque se puedan mostrar ciertas re
ticencias con relación a una utilización abusiva y universal de estos
denominados «materiales didácticos» (regletas, ábacos, material mul
ti base...), no podemos desdeñar absolutamente su utilización ni debe
ríamos concluir que la experimentación no debe ocupar ningún lugaren la enseñanza de las matemáticas.
IDEA CLAVE 5
Según Piaget:
En el caso de las nociones lógico-matemáticas, suponen un juego de ope
raciones que son abstraídas, no de los objetos percibidos, sino de las accio
nes ejercidas sobre los objetos. (Piaget, 1969)
Las matemáticas, sobre todo las relacionadas con los conceptos más bá
sicos de cantidad y operación, se aprenden por interiorización de las
acciones que se hacen sobre los objetos. Por lo tanto, los objetos y su
manipulación ocupan un lugar nuclear, pero no por las propiedades
observables en ellos (ciencia experimental), sino por las acciones que
pueden hacerse sobre los mismos: juntarlos, separarlos, añadir o quitar
otros, etc. De esta manera se piensa que para que la acción sea inte
riorizada y convertida en operación (representación mental de la ac
ción) es necesario que se actúe sobre los objetos. Hay que tener en
cuenta, de todas maneras, que sin operación no hay matemáticas y, por
lo tanto, la mera manipulación no es suficiente, la manipulación está en
el origen de la construcción de la operación, es pues el origen y no el
final de la construcción. Hay que tener en cuenta, además, que no todos
los sujetos necesitan el mismo tiempo para poder «imaginar» esas ac
ciones y sublimar su uso, es decir para poder sustituir las acciones por
operaciones. Entendiendo que matemáticas es operación y no acción
aunque en su construcción las personas necesiten actuar como paso
previo a operar- puede entenderse la importancia que para el apren
dizaje de las matemáticas tiene la experimentación. La experimenta
ción en matemáticas sirve para conectar los objetos matemáticos con los
objetos reales y las acciones que sobre ellos hacemos, de manera que
desarrolla y fortalece la intuición y facilita la comprensión. Sirve para es
tablecer conexiones con la realidad y facilita que se establezcan rela
ciones con otros objetos matemáticos y es, sin duda, un tipo de tarea
fundamental para que las matemáticas pierdan ese halo de abstracción
que las hace tan inaccesibles para ciertas personas. Muchas personas se
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
sorprenden cuando se les habla de taller o laboratorio de matemáticas
porque ese tipo de lugar y las tareas que se asocian al mismo parecen
naturales para trabajar las ciencias experimentales, pero no las mate
máticas. Se suele decir que para hacer matemáticas basta con tiza y pi
zarra o papel y lápiz, y es cierto, pero eso no quiere decir que se puedan
hacer matemáticas solamente con esos recursos, también los objetos y
las manipulaciones que podemos hacer con ellos nos pueden y deben
enseñar muchas matemáticas. Pero, las experiencias son importantes
para desarrollar otro aspecto capital de la educación matemática: la
imaginación. Utilizo la palabra «imaginación» de una manera un tanto
peculiar en este contexto, me refiero a la capacidad de representar por
medio de imágenes, o dibujos, los objetos sobre los que trabajamos. En
este sentido la imaginación es una capacidad fundamental para apren
der matemáticas, porque los conceptos que se usan en ellas tienen un
nivel de abstracción muy elevado y si no se es capaz de establecer me
táforas o de representarlos imaginativamente, resulta muy complicado
para muchas personas acceder a su comprensión.
La imaginación, como forma de representación visual, es una capaci
dad que se desarrolla por medio de tareas en las que la observación y ma
nipulación de objetos materiales y su representación por medio de dibujos,
diagramas o croquis ocupan el lugar central. Escrucial que desarrollemos
esta vía de acceso imaginativa a las matemáticas si las queremos hacer ac
cesibles a las personas, que son la mayoría, que se desenvuelven mucho
mejor en este mundo que en el de las ideas platónicas, que como sabemos
utilizaban los conceptos matemáticos como ejemplo de los niveles más
altos de abstracción, es decir los menos contaminados por la experiencia.
Vaya intentar poner un ejemplo de lo que quiero decir:
Todos sabemos que el concepto de número primo es básico dentro de la te
oría elemental de los números y forma parte de los currículos de matemáti-
IDEA CLAVE 5
casde la enseñanza elemental. Lo más habitual es que ese concepto se en
señe por medio de una definición abstracta y muy repetida en los libros de
texto: «Número primo es el que tiene sólo dos divisores: el mismo y la uni
dad». Bien, si un muchacho o muchacha tiene que «comprender» esta de
finición -descartamos que el aprendizaje se reduzca a una repetición
mecánica de la definición-, deberá relacionar el nuevo concepto número
primo con el concepto de divisor, pero éste es otro concepto abstracto que
a su vez le remite a los conceptos de división, multiplicación, resto ... Lo más
seguro es que se pierda en esa maraña, no sea capaz de establecer esasre
laciones y se refugie en la memorización de esa definición. Si preguntamos
a una persona adulta y con un nivel de cultura media qué le sugiere el con
cepto de número primo, veremos que o dice que ya no se acuerda o inten
tará buscar en su memoria la definición que aprendió en su día. Eserecuerdo
suele estar ya borrado o en todo caso muy difuminado, en la inmensa ma
yoría de los casospodemos afirmar que ese concepto no está activo. La de
finición que memorizaron se ha ido olvidando y en la memoria sólo queda
la conciencia de que se estudió.
Sin embargo, es posible y bastante fácil asociar este concepto a una
experiencia ya una imagen. Para ello podemos recurrir a una tradición
que se remonta a las matemáticas griegas y que consiste en representar
los números como conjuntos de puntos agrupados según diferentes for
mas geométricas (esta manera de estudiar los números se atribuye a la es
cuela pitagórica) y extraer de esasformas geométricas las correspondientes
propiedades para esos números: son los denominados números figurados.
Además basta con disponer de unos montoncitos de alubias o garbanzos
para poder «manipular los números».
Los números rectangulares son aquellos que pueden formarse juntando
filas (o columnas) del mismo número de unidades (garbanzos, alubias).
Cuando decimos filas (columnas) queremos decir más de una. Ejemplos de
números rectangulares son los siguientes:
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
------ -------- ------------Los números 6, 8 Y 12 son números rectangulares porque pueden formarse
juntando filas (columnas) de cantidades iguales. Latarea que podemos pro
poner es la siguiente: coger 7 garbanzos y mirar si se puede formar con ellos
un «rectángulo». Bien, la persona a la que le encargamos la tarea puede
pasar un rato intentándolo, pero pronto podrá observar que es imposible. 7
garbanzos sólo se pueden poner como «una fila» de 7 garbanzos, si se in
tenta completar con esta cantidad más de una fila siempre sobra o falta al
guna unidad. Le podemos decir entonces a esa persona que los números se
clasifican en dos tipos: rectangulares -los que están formados por más de
una fila de cantidades iguales- y los que no lo son. Parecefácil comprender
que toda cantidad será, pues, c1asificablecomo rectangular o no rectangu
lar. Puesbien, tradicionalmente a los números no rectangulares se les ha lla
mado primos o primeros (que es lo mismo) porque no puede formarse más
de una fila con ellos, pero, aunque esto seaya un poco más difícil de enten
der, juntando filas o columnas de números primos se pueden ir generando
todos los demás y por esta razón se les llama primeros o primos, porque son
los que se encuentran en la primera (luego repetidos también en las otras)
fila o columna.
En esta tarea estamos relacionando conceptos: rectángulo, fila, co
lumna y primo y además nos hemos servido de material manipulativo
o imágenes (rectángulo) que los representan. Igualmente, hemos utili
zado expresiones lingOísticas: «tiene más de una fila de cantidades igua
les», «si es rectángulo no es primo», «12 no es primo porque es
IDEA CLAVE 5
rectángulo»; «7 es primo porque no es rectángulo», etc. por medio de
las cuales se van estableciendo las conexiones entre los conceptos (entes
abstractos), los objetos (mundo real) y sus representaciones icónicas.
Este trabajo de conexión entre el mundo real, su representación (vi
sual) y los conceptos abstractos de las matemáticas es lo que llamamos
«experiencia».
Otro ejemplo de lo que queremos decir cuando hablamos de expe
riencia en matemáticas es el siguiente:
¿Cuánto vale la suma de los tres ángulos de un triángulo? La respuesta es
bien conocida y existe una elegante demostración matemática que lo
prueba. Pero es también, si así se desea, una cuestión experimental. Basta
con dibujar un triángulo cualquiera sobre una cartulina, recortar los ángu
los de las tres esquinas y colocarlos uno aliado del otro (haciendo coincidir
los lados) para ver que en todos los casosse forma un ángulo llano. Resulta
claro que esta experiencia no «prueba» nada, pero es extraordinariamente
didáctica y ayudará a fijar esta propiedad de los triángulos en los esquemas
cognitivos de los estudiantes. Es«matemáticamente» débil pero «didáctica
mente» poderosa porque nos permite imaginar, es decir utilizar imágenes
para construir, los nexos de relación que hay entre los objetos abstractos que
manejamos. Lasimágenes guardadas nos permitirán recordar los nexos exis
tentes entre los objetos que han sido utilizados, con lo que la estabilidad de
los mismos en la memoria es mucho mayor. Debemos recordar que la me
moria a largo plazo se organiza por relaciones con sentido entre los con
ceptos y que desde esta perspectiva este tipo de nexos establecidos son más
efectivos si se les puede dotar de un soporte «imaginativo».
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Tal vez el exponente más ejemplar de la relevancia de este tipo de ta
reas para la enseñanza de las matemáticas sea la escuela holandesa y su
apuesta por lo que se ha denominado Realistic Mathematics Education
(RME), www.fi.uu.nl/fisme/en. Tras la estela de Hans Freudenthal (1905
1990), el instituto que lleva su nombre está situado en la ciudad ho
landesa de Utrecht y está dirigido actualmente por Jan De Lange.
Conviene recordar que este profesor es uno de los máximos responsa
bles del diseño del ya varias veces citado proyecto PISA. La llamada es
cuela holandesa de enseñanza de las matemáticas es un referente
fundamental para cualquier propuesta de enseñanza de las mismas que
no quiera olvidar la relevancia de la cuestión que estamos planteando.
No quiero sugerir que esta escuela holandesa reduzca toda su pro
puesta de aprendizaje de las matemáticas a una cuestión experimental,
la propuesta que hace es mucho más holistica e integral. Merecería, en
todo caso, un comentario más amplio y pormenorizado, pero no dis
pongo del espacio suficiente para hacerla y si la cito ahora, no es por
que la aportación de esa escuela se reduzca, ni mucho menos, a esta
cuestión, sino porque es una de las escuelas que con mayor ahínco ha
trabajado este aspecto, entre otros.
Para finalizar con este apartado, quería simplemente indicar que
este tipo de tareas es básico en la enseñanza de las matemáticas y cru
cial para el desarrollo de lo que hemos llamado «competencias de nivel
medio» según la clasificación que de las mismas hace PISA.
JuegosTambién los juegos son un tipo de tarea con tradición en la enseñanza
de las matemáticas. Aunque éste es un término un tanto confuso por
que se le asignan rápidamente connotaciones lúdicas que, siendo como
son tan subjetivas, son difíciles de determinar. Hay niños y niñas que
dicen que les encanta «hacer sumas» y esa tarea no es desde luego un
juego. Me gustaría precisar un poco más qué entiendo por «juego»
IDEA CLAVE 5
cuando uso este término en el contexto de la enseñanza de las mate
máticas.
Los juegos, en mi opinión, tienen dos características básicas:
• Están sujetos a una serie de reglas o normas que hay que respetar.
• Tienen por finalidad «ganar».
Por esta razón el parchís es un juego como lo es el Tetris, y en cambio
«ver la tele» no lo es, aunque sea muy divertido. Hay personas a las que
jugar no les divierte nada, por desgracia cada día más. No es éste el lugar
para señalar las ventajas educativas de los juegos, por lo que me ceñiré
a las ventajas que tienen para la educación matemática. Los juegos,
como buscan ganar, obligan al jugador a elegir de las acciones posibles
la «mejor», esta elección no es siempre ni segura ni sencilla y es por esta
razón que se habla de estrategia cuando se habla de juegos. Los juegos
permiten poner en acción operaciones cognitivas de grado medio y
superior y obligan a los aprendices a tomar decisiones de manera autó
noma promoviendo de esta manera la creatividad y la iniciativa.
Un sencillo ejemplo de juego matemático en el sentido que aquí le
queremos dar es el siguiente. (Damos una versión simplificada del juego
para no extendernos demasiado):
Dos jugadores lanzan alternativamente un dado y deben colocar la cifra re
sultante en uno de los siguientes huecos, gana el jugador que consigue es
cribir más cifras.
......... = múltiplo de 2
................................... = múltiplo de 3
................................... = múltiplo de 5
Supongamos que los valores que dan los dados son: 2, 3, 1,2, 5,6,2,4 Y3.
Supongamos que me sitúo en el lugar del primer jugador. El primer 2 lo
puedo escribir en cualquier lugar porque todos los espacios están huecos.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Pero, si lo escribo en la posición de las unidades del número que debe ser
igual a múltiplo de 2 ya me aseguro que cualesquiera que sean los valores
que salgan posteriormente los podré poner en lasdecenas y centenas de ese
número, con lo que me aseguro que podré escribir dos cifras en las siguien
tes dos jugadas. Bien, pero eso también sirve para mi compañero de juego.
¿Qué haré, escribiré esacifra para asegurarme la siguiente tirada o me arries
garé a colocarla en otro lugar para forzar a no poner a mi compañero?
Supongamos que me decido por lo primero. El segundo jugador tiene que
poner un 3 y puede hacerlo donde quiera, aunque no debiera pensar, por
que es erróneo, que ponerlo en el lugar de las cifras del número que debe
ser múltiplo de 3 asegura que ese número sea múltiplo de 3, etc.
No nos podemos entretener en este texto a estudiar con detenimiento
las posibles jugadas y su valor estratégico, pero todo el razonamiento que
existe detrás de cada jugada tiene un alto valor formativo en matemá
ticas si se «juega bien», Si se compara el tipo de operaciones mentales
que debe poner en acción una persona que se enfrenta a esta situación
con el de aquella que «hace sumas» de manera mecánica, resultan evi
dentes la diferencia de complejidad entre ambos tipos de operaciones y
las consecuencias que esas diferencias tienen para los aprendizajes que
activan un tipo y otro de tarea.
Por esta razón proponer juegos para trabajar matemáticas no es una
cuestión optativa, es algo que puede hacerse, algo que se hace para re
lajar la tensión que crea hacer muchos ejercicios, algo que se les pro
pone a los estudiantes que ya han terminado las tareas obligatorias.
No es algo que se haga para que se diviertan los alumnos al finalizar el
resto de tareas «importantes» (concepto inútil e infantil donde los haya),
no es un añadido deseable, pero sí imprescindible. Los juegos son un
tipo de tarea que debe realizarse por su valor formativo y porque no
existe otro tipo de tarea capaz de activar este tipo de aprendizajes. Es
IDEA CLAVE 5
una parte no prescindible de la dieta, un nutriente necesario, porque
una dieta no será nunca una dieta equilibrada si le falta un nutriente.
y todos sabemos que la falta de nutrientes básicos en la dieta es el ori
gen de ciertas enfermedades.
Si los clasificamos considerando los niveles que indica PISA para se
ñalar el grado de dificultad de los procesos cognitivos puestos en juego,
lo más atinado sería colocarlos entre los niveles 2.0 y 3.0, porque en al
gunos casos la realización de juegos implica la utilización de pensa
miento productivo y creativo, lo que es seguro es que en todos los casos
supera el nivel de la mera reproducción.
ProblemasLa competencia matemática, descrita en las líneas anteriores siguiendo
la definición que se da de la misma en el proyecto PISA, puede defi
nirse como «la capacidad de utilizar el conocimiento matemático en un
contexto».
Por otra parte, si se consulta el diccionario de la Real Academia Es
pañola vvww.rae.es, pueden obtenerse las siguientes acepciones a la
hora de dar con una definición de problema:
problema.
(Dellat. problema, y éste del gr. TTPóBAf)Q).
1. m. Cuestión que se trata de aclarar.
2. m. Proposición o dificultad de solución dudosa.
3. m. Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de
algún fin.
4. m. Disgusto, preocupación. U. m. en pl. Mi hijo sólo da problemas.
5. m. Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe ob
tenerse a través de métodos científicos.
De todas esas acepciones la 5.a es la que mejor se adapta a la defini
ción que solemos dar de «problema» en matemáticas, aunque la 1.a y
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
la 2.a están también cerca. Conviene observar que en la S.a acepción se
cita expresamente la palabra «situación», la podemos considerar sinó
nimo del término «contexto» que hemos utilizado para definir la com
petencia. Si combinamos ambas definiciones y consideramos el
problema como una tarea, podemos llegar a la conclusión de que
competencia matemática equivale a la capacidad de resolver proble
mas de matemáticas. Es una conclusión exigente, pero lógica por otra
parte, que sitúa la tarea denominada «problema» en el corazón de la
actividad matemática.
Tal vez el mejor modo de explicar el papel que juegan los problemas
entendidos como tareas realizables en la enseñanza de las matemáti
cas sea utilizar una parábola, pero no una parábola matemática, sino
narrativa.
Imaginemos a un atleta que se prepara para competir en una prueba atlé
tica de medio fondo. Pareceobvio afirmar que su objetivo es lograr el má
ximo rendimiento posible el día en que deba correr la prueba. ¿Cómo se
entrena? La mayoría de los atletas, desde hace ya algunos años, utiliza lo
que se denomina entrenamiento fraccionado; éste consiste en entrenar di
versos factores que influyen en el rendimiento final de manera separada.
Un atleta de medio fondo debe ser resistente, rápido, flexible, potente y
buen estratega. Por eso un día sededicará a hacer carrera continua para me
jorar su resistencia aeróbica, otro a hacer series de longitud media para
mejorar su resistencia muscular, otro a hacer series cortas para mejorar la
rapidez y deberá entrenar en el gimnasio para mejorar su elasticidad y po
tencia. Como puede verse tiene bastante trabajo, el tipo de tareas que debe
realizar esvariado y abundante. Elentrenador de eseatleta es la persona en
cargada de organizar la carga de trabajo que debe realizar y dosificarla de
manera adecuada para que el desarrollo de todos esos factores se haga
de manera armónica. Si insiste mucho en la resistencia, el atleta puede per-
IDEA CLAVE 5
der velocidad, pero si insiste mucho en la velocidad, puede perder resisten
cia. La potencia puede estar reñida con la elasticidad si se insiste demasiado
en trabajar la fuerza, y asísucesivamente. Por ello, todo eso debe hacerseen
un tiempo determinado porque la capacidad de asimilación de la carga de
trabajo es limitada y el atleta necesita descansary recuperarse antes de vol
ver a entrenar.
Sin embargo, todo se hace para que el día de la prueba su rendimiento
sea óptimo. Por esta razón los atletas compiten varias vecesantes de parti
cipar en lo que consideran su prueba más importante y lo hacen porque,
además de tener los factores citados en altos niveles de logro, es necesario
ser un buen estratega para conseguir el máximo rendimiento. Hay que saber
situarse, hay que saber vigilar a tus rivales, hay que controlar el miedo a per
der y conseguir que no te paralice, hay que saber dónde y cuándo atacar, hay
que controlar la ansiedad, etc.
¿Qué tiene que ver todo eso con la enseñanza de las matemáticas y la
resolución de problemas? El paralelismo es evidente. La prueba la podemos
asimilar a los problemas, porque si el objetivo de todo el entrena
miento es lograr el máximo rendimiento en la prueba atlética, el obje
tivo de la enseñanza de las matemáticas es lograr el máximo rendimiento
en la resolución de problemas. Dicho de otra manera, la performance a
la que se dirige todo el entrenamiento en matemáticas es conseguir el
máximo rendimiento posible en la resolución de problemas.
¿Qué deben hacer los estudiantes para desarrollar su competencia
matemática? La respuesta ya la hemos dado con anterioridad: realizar
tareas en las que usen conocimiento matemático. ¿Cuál es la tarea más
importante que mejor sintetiza todas las demás y pone en juego la com
petencia matemática en su sentido más general? Los problemas. ¿Esto
quiere decir que hay que estar todos los días haciendo problemas de
matemáticas en clase? No. ¿Esto quiere decir que hay que combinar di-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
ferentes tipos de tareas para conseguir desarrollar los factores básicos
necesarios para la performance final? Sí. ¿Esto quiere decir que hay que
hacer problemas como tarea para desarrollar además de los factores
básicos la estrategia? Sí. ¿Cómo debe hacerse esta combinación? Ésta
es precisamente la pregunta a la que debe responder el currículo. Por
esta razón he empezado este libro diciendo que la enseñanza de las
matemáticas se concreta en el currículo escolar, porque el currículo es
precisamente eso, la determinación de la carga de trabajo que hay que
realizar y la propuesta de la combinación de las tareas que llevan al es
tudiante a mejorar su forma de manera armónica y organizada. Por
eso, mientras no redefinamos el currículo y no determinemos con cla
ridad la carga de trabajo que deben realizar los estudiantes, difícil
mente mejoraremos en la educación matemática. Llevamos muchos
años considerando el tema del currículo escolar y su reforma como algo
menor, despreciando esta cuestión y acusando a las editoriales, pero la
verdad es que la investigación sobre el currículo es escasa, por no decir
nula, y las propuestas alternativas a las creadas por las editoriales bri
llan por su ausencia.
Por supuesto que ésta es una pregunta que no tiene una respuesta
única y en la que la intuición del docente y su experiencia pedagógica
juegan un papel fundamental, ya que los estudiantes son distintos,
como lo son los atletas, y hay que adaptar el entrenamiento a las ca
racterísticas personales. Pero en todo caso necesitamos, con urgencia,
propuestas de currículo que supongan una respuesta enunciada al nivel
de la carga de trabajo que deben realizar los estudiantes.
Existe una amplia bibliografía, muchas monografías y artículos en
diversas revistas sobre la metodología que hay que seguir en la resolu
ción de problemas. Éste no es un libro para profundizar en esta cues
tión y los interesados pueden consultar la abundante bibliografía
disponible al efecto en cualquiera de las publicaciones que sobre esto
han abundado en las últimas décadas. De todas maneras voy a intentar
IDEA CLAVE 5
proponer algunos consejos que creo que pueden ser de ayuda en esta
cuestión.
En primer lugar, hay que decir que es imposible que se aprenda a re
solver problemas si no se plantean en clase, es decir, si no se dispone de
una colección de problemas y si no se dedica el suficiente tiempo a ha
cerlos. Porque, aunque parezca una broma, para aprender a resolver
problemas lo primero es hacer problemas en clase. Y estimo que puede
afirmarse de manera responsable que no está muy claro qué tipo de tarea
es un problema y qué tipo no lo es.
En los años noventa del pasado siglo, cuando la marea de la «ma
temática moderna» aflojaba, apareció como alternativa a la enseñanza
tradicional de las matemáticas un movimiento que se reconocía bajo
el epígrafe de problem solving y que pretendía no solamente que se
propusieran y resolvieran problemas como corazón del currículo de
matemáticas, sino que además se enseñaran de manera explícita las
estrategias de resolución que los acompañan, es decir los procedi
mientos heurísticos de los que nos servimos para enfrentarnos a esas
situaciones. Pienso que esta manera de enfocar el currículo es actual
mente válida, pero como casi siempre sucede en las cuestiones escola
res es aconsejable que esté matizada y alejada de extremismos
sectarios. Me explicaré. Si entendemos que un problema es una situa
ción en la que debemos tomar alguna decisión no evidente, resulta
que el abanico de posibilidades a las que debemos hacer frente puede
variar mucho de unas situaciones a otras, en algunos casos las posibi
lidades de elección pueden estar muy limitadas y en otros casos pue
den resultar muy amplias. Además, en el momento en el que vamos a
tomar esa decisión podemos saber si los caminos que hay que escoger
están bien delimitados o no lo están. Todo esto hace que el problema
como tarea capaz de desarrollar competencias tenga un valor didáctico
muy dispar de unos casos a otros. Voy a poner ejemplos de lo que
quiero decir.
1:lU EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
Supongamos que unos estudiantes están en clase y su profesor les ha
explicado «la regla de tres» como procedimiento aplicable a ciertas si
tuaciones de proporcionalidad en las que se conocen tres elementos de
una proporción y se desea encontrar el cuarto. Imaginemos que en ese
contexto se les propone un problema y que además el docente dice ex
plícitamente que debe resolverse aplicando lo explicado. En este caso re
sulta evidente que el margen de elección del estudiante es nulo, está
bien claro lo que tiene que hacer y la dificultad consiste únicamente en
recordar qué debe hacer y en hacerlo. Si el docente no dice expresamente
que debe aplicarse ese procedimiento, pero lo dice el libro que utilizan
-clasificando los problemas y poniéndolos a continuación del procedi
miento explicado-, la situación es casi la misma. Nos encontramos frente
a lo que podemos denominar problemas-ejercicio o problemas ad hoc, es
decir problemas preparados para aplicar un procedimiento, una fórmula,
utilizar un determinado concepto, etc. o lo que es lo mismo frente a si
tuaciones cerradas en las que la posibilidad de tomar decisiones autóno
mas es casi nula. Si nos guiamos por la utilización que hacen la mayoría
de los libros de texto de los problemas como tareas, hay que señalar
que la gran mayoría de las tareas identificadas como problemas son de
este tipo. Esta clase de problemas marca el nivel más elemental que
puede asociarse a la resolución de situaciones y es tangencial a los ejer
cicios en los que se refiera al nivel de complejidad de las operaciones
mentales que hay que poner en juego. Si utilizáramos una imagen de
orden vertical ascendente para representar la dificultad, estaríamos
frente a las tareas situadas en el nivel inferior de esa escala.
Existen, en cambio, otras situaciones donde las posibilidades de elec
ción son mayores y donde el camino que hay que seguir no está pau
tado. Los problemas, en este sentido, son como los ángulos, pueden
tener mayor o menor apertura, por eso se atribuye a los problemas el
calificativo de «abiertos» o «cerrados», aunque sería más correcto decir
«más abiertos» o «más cerrados». Por ejemplo, si proponemos a un
IDEA CLAVE 5 151
grupo de estudiantes que calculen la altura de una torre que es accesi
ble en su parte superior, les estamos proponiendo un problema bas
tante abierto porque podrán:
• Estimar su altura descomponiéndola en los elementos de los que
esté hecha y midiendo o estimando el valor de dichos elementos
(piedras, losas,vigas, pisos, etc.).
• Estimar esa altura comparándola con edificios cercanos cuya altura
sea más fácil de estimar o medir.
• Utilizar la sombra de la torre para obtener su altura por proporcio
nalidad.
• Utilizar los casosde resolución de triángulos.
• Lanzar un objeto desde la torre, medir el tiempo que tarda en llegar
al suelo y luego obtener la altura.
• Usar un altímetro.
· [...]
Incluso podrían utilizar varios de estos caminos y luego promediar los
resultados. Podrían ... ¿Qué harán? En esa indeterminación reside pre
cisamente el interés de este problema, en la necesidad de tomar deci
sionesy de comprender las limitaciones y errores que seasumen cuando
se toman.
Entre estos dos extremos: «problemas ángulo cero» (en los que no
hay posibilidad de elección) y «problemas ángulo lleno» (donde el
rumbo estotalmente incierto) existe todo un abanico de aperturas. La
idea que deberíamos recoger es que es necesario que los estudiantes
trabajen problemas de diferente grado de apertura como parte de esa
dieta sana que les queremos proponer. Esdecir que la propuesta curri
cular que se les haga debe contener problemas de diverso grado de
apertura entendiendo que hacer solamente problemas ad hoc no res
ponde a lo que entendemos como una adecuada propuesta de proble
mas como tareas.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
El proyecto PISA, que ya hemos comentado en diferentes partes de
este documento, ha generado alguna pequeña confusión con relación
a qué debemos entender como problema en matemáticas dentro del
currículo escolar. La mayoría de los ítems que conocemos de PISA son
situaciones problemáticas en las que es necesario usar conocimiento
matemático; bien, eso es lo que hemos definido como problema, hasta
ahí todo va bien. Sin embargo, existe una cuestión, no menor, que tiene
que ver con el tipo de conocimiento matemático que es necesario uti
lizar para resolverlos, porque en muchos casos es muy elemental y tiene
poco que ver con los currículos de matemáticas en las edades en las que
se pasa la prueba: quince años. Algunos docentes consideran que re
solver problemas es plantear tareas de este tipo, mientras siguen ex
plicando los temas tradicionales en los currículos de esa edad. Con lo
que se genera la falsa idea de que los problemas son un tipo de tarea
ocurrente tipo acertijo, donde no es necesario utilizar lo que estamos
aprendiendo y que, visto así, tienen poco que ver con las matemáticas
escolares. Una de dos, o los currículos escolares tratan temas cuya apli
cación a situaciones contextuales no se pueda abordar en las edades
en las que se trabajan, o los problemas, que me atrevería a llamar «tipo
PISA», generan el espejismo de que «problema» es algo que no tiene
que ver con lo que se trata en clase. Hay que intentar acercar estos dos
polos que se encuentran bastante alejados en la realidad del trabajo
en las aulas. Según lo veo, en la elección de problemas que hay que tra
bajar en las aulas como parte del currículo de matemáticas habrá que
acercarse lo máximo a los contenidos matemáticos habituales, por
que en caso contrario habrá que preguntarse seriamente por la conve
niencia de que tales temas sigan formando parte del currículo en esas
mismas edades. Lo que no tiene mucho sentido es disociar en exceso un
polo del otro y hacer pensar a los estudiantes que los problemas tratan
de otras cosas distintas de las que forman parte de los contenidos que
aprenden.
IDEA CLAVE 5
de problemas no tie-nen que ver con lo
cognitivo y sí, muchasveces, con lo emocional (ansiedad, miedo,
ideas negativas,frustración, etc.).
Hay que tener encuenta que la capaci-
dad de resolver
problemas es directa
mente proporcional ala angustia que se es
capaz de soportarhasta que se resuelve.
Por lo tanto, lo primero es disponer de una colección de tareas tipo
problema en las que el grado de apertura sea variable y la temática
aplicable esté relacionada con los contenidos curriculares que se tra
bajan habitualmente. En segundo lugar, habrá que elegir algunas de
ellas para Ilevarlas a clase, aquí es importante una clasificación de los
problemas que nos permita proponer tareas de un orden de dificultad
diverso e incluso una construcción de la propia tarea que permita, par
tiendo de una situación determinada, niveles de resolución diferentes
en cuanto a la dificultad y complejidad de las soluciones que hay que
buscar. Hay que reservar, también, en el horario escolar un hueco fijo
para esta tarea y actuar de manera sistemática en el uso de ese tiempo.
Los procedimientos heurísticos que hay que seguir y los protocolos
que hay que utilizar son cuestiones importantes y constituyen la parte
visible del iceberg que es el flujo de información que se debe ordenar,
expresar y coordinar durante la resolución del problema. Esun tema ex
tenso, importante y muy trabajado en la literatura pedagógica de la en
señanza de las matemáticas y por esta razón no incidiremos más en él.
En cambio, sí creo que hay que decir algo sobre un tema menos tra
tado, pero no menos importante: la gestión de la emoción en la reso
lución de problemas (ansiedad, miedo, ideas negativas, frustración,
etc.). Muchos de los bloqueos que se producen en matemáticas y espe
cialmente en la resolución de problemas no tienen que ver con lo cog
nitivo y sí, muchas veces, con lo emocional. Es una cuestión poco
trabajada, pero muy importante porque como pude leer en la intro
ducción de un libro sobre resolución de problemas, que no cito tex
tualmente por no recordar exactamente cuál es, la capacidad de
resolver problemas es directamente proporcional a la angustia que se
es capaz de soportar hasta que se resuelven. Sólo el que no se desanima
a la primera puede resolver problemas, sólo el que resiste a la frustra
ción y hace de los fracasos acicates puede resolver problemas. Porque
lo normal es equivocarse y lo anormal acertar. Hay que enseñar a los es-
154 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
tudiantes a gestionar y controlar esos sentimientos y a dominar el pá
nico que se apodera de uno cuando debe enfrentarse a lo desconocido
y el riesgo de equivocarse es muy alto. Tenemos que hacerles ver que
ese hueco que se abre ante ellos es una oportunidad, que el riesgo
se puede convertir en satisfacción, que lo más normal es equivocarse y
que de sus errores aprenderán más que de sus aciertos, que las máqui
nas no se equivocan y por eso no aprenden, que indagar es aventurarse
y que nosotros no estamos esperando a que se equivoquen para reñir
les, sino que los esperamos para prestarles nuestra ayuda.
Mientras en la dieta habitual de los estudiantes los problemas no
constituyan una tarea habitual, el desarrollo de la competencia mate
mática será escaso. Mientras el grado de apertura de los problemas que
se plantean sea bajo, el desarrollo de la competencia matemática será
escaso. Mientras los conocimientos que hay que aplicar a los proble
mas estén muy alejados de los que se trabajan habitualmente en el cu
rrículo, el desarrollo de la competencia matemática será escaso.
Mientras docentes y estudiantes no pierdan el miedo a adentrarse en
lugares desconocidos en busca de soluciones creativas, el desarrollo de
la competencia matemática será escaso.
Los problemas son tareas capaces de desarrollar competencias que
hemos clasificado como competencias del 3.er nivel. No hay muchas ta
reas que lo sean y de ahí el interés añadido que tiene proponerlas como
tareas habituales en nuestros currículos escolares.
InvestigacionesEs habitual hablar de «investigación» como un tipo de tarea en mate
máticas. En su parte enunciativa no es fácil distinguir una investigación
de un problema porque en la mayoría de los casos ambos se enuncian
como preguntas. De hecho podríamos considerarlos tareas equivalen
tes. Existe, a pesar de lo dicho, una diferencia de matiz relevante para
su aplicación didáctica y es la siguiente: el problema hace o debe hacer
hemos clasificado
como competenciasdel tercer nivel.
IDEA CLAVE 5 1
referencia a una situación contextual «real», mientras que la investi
gación prescinde en principio de esa situación. Por ejemplo, si alguien
pregunta: «¿Qué es mejor cuando nos van a hacer un descuento en una
compra, que nos lo hagan antes de cargar ellVA o que primero nos car
guen el IVA y luego nos hagan el descuento sobre el total? Estamos
frente a un «problema» porque se supone que es una situación que
puede darse en un contexto real. Pero si alguien pregunta: «¿Es cierto
que todos los números capicúas de cuatro cifras son múltiplos de 11?»,
estamos, si seguimos la distinción que propongo, frente a una investi
gación porque en este caso el contexto se ha esfumado, aunque la pre
gunta persista. Es como la sonrisa del gato de Cheshire que perdura
cuando el gato se esfuma. Sin embargo, las estrategias o procedimien
tos heurísticos y los tipos de esquemas que hay que poner en juego para
buscar la manera de resolver esas cuestiones son bastante similares.
A pesar de ello, hay personas que consideran que las investigaciones
son menos prácticas y sólo están destinadas a aquellos estudiantes a
quienes les gusten las matemáticas. Sus argumentos se pueden resumir
de la siguiente manera: resolver problemas es importante por la ver
tiente de aplicación social que tienen, porque los descuentos e im
puestos nos interesan a todos; los números capicúas y los múltiplos de
11 son cosas de los matemáticos y, en principio, sólo les interesa a ellos.
No soy de esa opinión por varias razones. La primera es de tipo práctico,
las investigaciones permiten desarrollar competencias de tipo estraté
gico que luego se pueden aplicar a los problemas de manera más di
recta, y en esto reside una parte, no desdeñable, de su valor didáctico.
Porque lo que los problemas tienen de riqueza, en cuanto que nos si
túan frente al valor real de lo que aprendemos, lo tienen de ruido con
textual en cuanto ocultan o contaminan la estructura matemática que
hay o puede haber tras ellos. Las investigaciones son, desde este punto
de vista, más pobres pero a la vez más «limpias» yeso permite trabajar
con mayor rapidez. Teniendo en cuenta que el tiempo es una variable
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
fundamental en el currículo escolar, este argumento no es una cues
tión menor desde el punto de vista de la gestión del currículo, donde
la variable tiempo es fundamental. La segunda razón por la que dis
crepo esde otro tipo y no sécómo calificarla porque decir «humanista»
me parece un poco excesivo. La podría expresar diciendo que a todos
los estudiantes se les debe ofrecer la oportunidad de explorar, en la
medida de sus posibilidades, las propiedades de los elementos mate
máticos y las de las estructuras que forman. Ofrecer caminos y abrir
puertas es bastante diferente de considerar algo como condición y ba
rrera; por esta razón hay que dar cauce, también en la educación obli
gatoria, al talento matemático, porque tratar la diferencia no se reduce
a ocuparse de los que no pueden seguir el ritmo de la mayoría, sino
más bien a poner al alcance de todos aquello que mejor se adapta a
susnecesidades,también a lasde aquellos que quieren y pueden apren
der más matemáticas. Las investigaciones nos permiten vislumbrar el
apasionante mundo de la matemática de los matemáticos y es,salvando
la diferencia, como la poesía en los cursos de lengua. No parece razo
nable eliminar la poesía de los cursos de lengua argumentando que
para la comunicación social no es imprescindible. Existen testimonios
de muchos matemáticos que encontraron en este tipo de cuestiones
planteadas en el medio escolar el origen de su deseo de aprender ma
temáticas, y cuando hablamos de matemáticas para todos, debemos
hacerlo también para aquellos que tienen un gran talento o disposi
ción para las matemáticas como ciencia. Singh (1997) pone en boca de
Andrew Wiles, matemático inglés que ha demostrado el teorema de Fer
mat, lassiguientes palabras (el problema al que se refiere Andrew Wiles
es la conjetura de Fermat, que siguiendo la clasificación que aquí hemos
hecho lo catalogaríamos como una investigación):
Me encantaba resolver los problemas en la escuela. Me los llevaba a casae
inventaba otros por mi cuenta. Pero el mejor problema lo descubri en la bi
blioteca municipal. (QCDE, MEC, 2004)
IDEA CLAVE 5
El descubrimiento y cultivo del talento matemático no es algo
menor desde una perspectiva social e inclusiva de la enseñanza de
las matemáticas, es una de las funciones de esa enseñanza, aunque
no sea, desde luego, el ideal educativo para proponer a todos los
estudiantes.
Desde el punto de vista de las operaciones mentales que se ponen
en juego, investigaciones y problemas son tareas similares. Desde la
aplicación social que puede hacerse de las competencias que se des
arrollan por medio de las mismas, son diferentes. En todo caso estamos
trabajando con «estándares de procesos» o capacidades del 3.·r nivel si
tomamos como referencia la clasificación del proyecto PISA que esta
mos utilizando.
Actividades de síntesis y elaboraciónde la informaciónLa educación matemática no puede considerarse completa si no existe
una comprensión significativa de los conceptos matemáticos básicos y
de las relaciones que guardan entre sí. La competencia matemática, el
uso del conocimiento matemático, no excluye la comprensión de los
procedimientos y conceptos que se deben utilizar, sino que los incluye
de manera necesaria. La propia definición de competencia matemática
que viene en el proyecto PISA así lo indica.
(...) Del mismo modo, la competencia matemática no debe limitarse al co
nocimiento de la terminología, datos y procedimientos matemáticos, aun
que, lógicamente, debe incluir/os, ni a las destrezas para realizar ciertas
operaciones y cumplir con determinados métodos. (QCDE, MEC, 2004, p. 18)
Es cierto que las matemáticas son un área de conocimiento que, si se
compara con otras como son las ciencias sociales o naturales, maneja
menos cantidad de términos y utiliza y produce mucha menos informa
ción textual. Además dispone, al igual que la música, de un código ex-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
presivo propio que denominamos lenguaje formal y que sirve de modo
de expresión de las relaciones tanto matemáticas como científicas.
Representación formal mediante la escala musical:
~ ~I':JOorJOOI':J
Representación formal de la circunferencia cuyo centro está en las coorde
nadas (a, b) y tiene de radio el valor «r»: (x-a)2+ (y-b)2= r2
Representación formal de la conocida fórmula de Einstein sobre la relación
entre masa destruida (m) y energía (E) liberada:
E = m c2
Es tan grande el valor de simplificación, concisión y precisión de este
tipo de lenguaje que llega a no utilizarse otra forma expresiva más que
la formal, hasta el punto de casi eliminar el resto de modos expresivos
en matemáticas. Pero resulta que lo que es bueno para quien ya sabe
y encuentra así una manera ideal para la expresión de su pensamiento
es negativo para quien aprende y no puede acceder al significado de lo
que se quiere decir. Es una cuestión de incomunicación por la dificultad
de comprensión del código utilizado. Este tipo de expresión formal
elimina, casi del todo, los términos y conceptos que suelen expresarse
de manera escrita, y lo que debía ser una ventaja -disponer de varios
modos expresivos diferentes y complementarios: verbal, escrito, formal,
icónico, etc.- se convierte en una dificultad por el predominio casi ex
clusivo del lenguaje formal sobre los demás. Lo que es un avance, la
posibilidad de expresar de manera rápida y sintética las ideas matemá
ticas, se puede convertir en una barrera si se produce un abuso en el uso
exclusivo de este tipo de lenguaje.
IDEA CLAVE 5
A largo plazo, este predominio del lenguaje formal resulta muy
perjudicial para la enseñanza de las matemáticas y no ayuda, en ab
soluto, a que se trabajen otras competencias relacionadas con los pro
cesos generales de aprendizaje. En concreto podemos citar el daño
que produce en la comprensión lectora de los textos matemáticos y de
los textos usados en otros contextos. Si alguien desea un ejemplo claro
y contundente de lo que quiero decir, sirva de ejemplo el texto que
hay que leer y comprender para poder realizar con éxito la prueba de
selectividad que hemos recogido en la idea clave 2 de este mismo libro
(p. 46).
Sabemos, por experiencia y por los resultados de las evaluaciones
que se realizan, que la comprensión lectora es una competencia en la que
las prestaciones de los estudiantes son bajas, por lo tanto deberiamos
aplicamos más en esta dirección aumentando la carga de trabajo que
se destina tanto a la interpretación de textos que contengan informa
ción relacionada con las matemáticas como a la comprensión de los con
ceptos básicos que se utilizan para «hablar y escribir» en matemáticas.
Los docentes que «eliminan» los libros para no perder tiempo leyendo
textos e ir directamente a los ejercicios, los docentes que nunca escriben
en la pizarra otra cosa que fórmulas, los docentes que no trabajan las
relaciones entre los conceptos para ir derechos «al grano» (los algorit
mos de cálculo), los docentes que «no pierden el tiempo» enseñando a
sus estudiantes a hacer esquemas, croquis o mapas conceptuales cola
boran, aunque no lo quieran, en sacar de la carga de trabajo del estu
diante las tareas que le permitirían mejorar la comprensión de las
matemáticas y la comprensión lectora en general. Por estas razones
creo que conviene considerar la necesidad de introducir este tipo de
tareas en la dieta habitual de los estudiantes.
Supongamos que queremos trabajar la relación existente entre los
siguientes términos que se utilizan habitualmente en geometría: «su
perficie», «plano», «figura», «polígono», «cuadrilátero», «rectán-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
gula», «rombo» y «cuadrado». Podemos relacionar cada uno de estos
términos con una imagen, pero además, y esto es lo relevante en este
caso, podemos preguntarnos por las relaciones lógicas que guardan
estos términos entre sí. En este tipo de tareas, lo que nos interesa tra
bajar es la relación lógica entre estos conceptos más que la imaginación.
La relación lógica entre los conceptos se basa en su extensión, es decir
en la mayor o menor generalidad de los términos que se comparan y
relacionan. En realidad, la lista de términos que he dado ya está or
denada de mayor a menor grado de generalidad, aunque no en todos
los casos porque rectángulo no es más general que rombo ni vice
versa. Podríamos suponer, no lo voy a hacer para no alargar más este
punto, que los términos no estuvieran ordenados según este criterio.
Para empezar debemos preguntarnos lo siguiente: ¿cuál de esos tér
minos es el más general, cuál es el que incluye a todos los demás? La res
puesta es el concepto de superficie. Los demás indican tipos o partes de
una superficie, las figuras son parte de una superficie, así como el resto
de los términos de la lista. El término más general de una lista no se
puede definir porque hacerlo supone ponerlo en relación con otro
menos general, o más particular, pero que no existe por lo menos en
esa lista. Por esta razón, deberemos limitarnos a apelar a la intuición y
a considerar que es un término que no necesita definición (en realidad
una superficie es el límite entre el interior y el exterior de un cuerpo ge
ométrico, pero nosotros no hemos puesto en la lista ese término). A
partir de esta aceptación intuitiva de un término al que sí podemos dar
apoyo imaginativo para reforzar su carácter intuitivo (podemos apelar
a la imagen del mar en calma, a la de una sábana ...), puede empezar a
funcionar la máquina lógica. Podemos definir «figura» como una por
ción de una superficie limitada por una línea. Podemos definir «figura
plana» como una porción de plano limitada por una línea o como aque
lla figura contenida en un plano ... Las relaciones así definidas las po
demos mostrar en un diagrama que representa la mayor o menor
IDEA CLAVE 5
extensión de los conceptos ordenándolos de arriba hacia abajo, como
puede verse en el cuadro 1.
Cuadro 1
FIGURA PLANA
!Polígono
!""Cuadrilátero
Rectángulo
L Cuadrado
Rombo
J
Cada flecha indica una relación entre conceptos y establece un nexo
comunicativo entre ellos. No podemos detenemos a estudiarlos todos,
pero sí cabe señalar que su estabilidad significativa depende de que
estén bien establecidos, es decir del número y el valor semántico de los
nexos que seamos capaces de establecer entre los conceptos aquí reu
nidos. Las relaciones semánticas entre los conceptos se asemejan a la
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
red eléctrica de una ciudad, red invisible, pero que se adivina en las
miles de bombillas que se pueden ver cuando se aterriza en una ciu
dad por la noche. Estas relaciones son de un gran valor cuando alguien
debe leer y comprender un texto que las contiene; porque la com
prensión del mismo se acelera en la medida en la que los términos se
asocian rápidamente a un significado y se ralentiza hasta hacerse im
posible cuando se no se asocian o se hace muy débilmente.
Siguiendo con el ejemplo que estamos desarrollando, veamos el sig
nificado de las relaciones 7, 8, 9,10 Y 11:
7. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y cuatro ángulos.
8. Un rectángulo es un cuadrilátero con lados iguales dos a dos y los cuatro
ángulos rectos.
9. Un rombo es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y los ángulos
opuestos iguales.
10. Un cuadrado es un cuadrilátero con los cuatro lados y los cuatro ángulos
iguales.
11. Un cuadrado es un rectángulo con los cuatro lados iguales.
12. Un cuadrado es un rombo con los cuatro ángulos iguales.
El establecimiento de estas relaciones no se produce si no se hace un
trabajo específico de síntesis y elaboración de la información. No se
produce sin este esfuerzo reflexivo que puede y debe estar acompa
ñado de un refuerzo visual, pero que no puede reducirse al mismo so
pena de menoscabar la comprensión del significado de estos conceptos.
La intuición es la puerta, pero la lógica es el almacén, la memoria a
largo plazo sólo contiene, de manera estable y sin deterioro, aquellos
conceptos cuyos nexos de significado están sólidamente establecidos.
Los demás se deterioran rápidamente dejando un vago recuerdo de
haber «oído» alguna vez hablar de ellos.
IDEA CLAVE 5
Por otra parte, la comprensión lógica de los conceptos es condición
necesaria para una correcta expresión de los mismos y es la manera más
eficaz de evitar el balbuceo habitual entre los estudiantes cada vez que
tienen que explicar algo que tenga que ver con los conceptos mate
máticos. La estrategia habitual en estos casos, y no solamente entre
los estudiantes, es la perífrasis, el rodeo y el circunloquio. Cuando los
nexos establecidos no son firmes ni estables, el lenguaje que se utiliza
pierde precisión y capacidad comunicativa y puede convertirse en un
galimatías. La comprensión significativa de los conceptos matemáticos
no es solamente condición de su estabilidad en la memoria, sino que es,
además, condición de una buena expresión de los mismos. Son dos ám
bitos clave en la educación de cualquier persona y creo poder decir que
la carga de trabajo de los estudiantes en este ámbito es más bien escasa.
Parece razonable pedir que se aumente la proporción de este tipo de
tareas en la dieta de los estudiantes. La realización de tareas de sínte
sis y elaboración cumple de esta manera una labor fundamental para
el desarrollo de la competencia matemática y no debe olvidarse con el
pretexto del carácter práctico de esta materia.
Si clasificamos las tareas de síntesis y elaboración en función de los
niveles de dificultad que estamos utilizando (los tres niveles de PISA),
deberíamos decir que lo más lógico sería situarlas entre los niveles 2.°
y 3.° de esa clasificación. Lejos desde luego de los niveles meramente re
productivos.
En resumen
El logro de un aprendizaje está unido a la realización de las tareas relacionadas con él. Espor
lo tanto una ilusión pasar el tiempo haciendo un tipo de tareas y esperar que se logren apren
dizajes no relacionados con ellas. Las tareas contienen los gérmenes de los aprendizajes y
dan lugar a éstos si encuentran las condiciones necesarias para germinar y crecer. El triángulo
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
didáctico nos explica de qué manera una tarea se convierte en actividad y cómo de manera
inductiva se puede generar conocimiento en otra persona. Por lo tanto, organizar la dieta de
los estudiantes, entendida como la carga de trabajo que deben realizar, carga que está com
puesta por las tareas que hay que convertir en actividades y por los tiempos que se deben uti
lizar en cada uno de los tipos en los que las podemos clasificar, es la única manera de inducir
de forma intencional los aprendizajes que deseamos que nuestros estudiantes construyan. En
pocas palabras y una vez más, la clave en esta cuestión es el currículo entendido como pro
puesta de tareas que hay que realizar y como concreción de la carga de trabajo de los estu
diantes.
Disponemos en la actualidad de una buena tipología de niveles de aprendizaje (PISA)
en matemáticas y de una variada tipología de tareas. Tenemos además suficiente infor
mación sobre cómo se cruzan estos dos elementos básicos del currículo, es decir cómo se
relacionan e interactúan. Lo que no tenemos son propuestas de currículo alternativas que
ofrezcan al sistema educativo una carga de trabajo bien estructurada con relación a estos
parámetros y que sea aceptada socialmente como pauta general para la evaluación en ma
temáticas. Falta, para empezar, la conciencia de la importancia de esta situación. Sin enun
ciarlo explícitamente como problema nadie propondrá soluciones, y es por esta razón que
lo señalo una y otra vez, con el peligro de resultar reiterativo pero con la voluntad de si
tuarlo como el problema más importante para la mejora de la enseñanza de las matemá
ticas. En mi opinión, mientras no se aborde de manera decisiva la cuestión del currículo de
matemáticas, seguiremos como el coche que una vez que ha hundido las ruedas tractoras
en la arena blanda cuanto más acelera más se hunde. Pasará el tiempo, el nivel de frustra
ción de docentes y estudiantes aumentará, pero no mejorarán los resultados de los apren
dizajes en matemáticas.
IDEA CLAVE 5
• Decir que se desarrollan los aprendiza
jes relacionados con las tareas que se
realizan esexpresar algo obvio, pero a
vecesolvidado. No podemos decir que
el objetivo fundamental para el des
arrollo de la competencia matemática
es la capacidad para resolver proble
mas y luego no dedicar a este tipo de
tarea el tiempo necesario.
• Disminuir el tiempo destinado a reali
zar ejercicios y problemas ad hoc para
aumentar el tiempo que sedestina a la
realización de otros tipos de tareas
debe ser uno de los objetivos de todo
plan de reforma de la enseñanza de las
matemáticas.
• Las experiencias, entendidas como la
lectura y la observación de la realidad,
deben ocupar en la enseñanza de las
matemáticas un lugar más importante
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
que el que ocupan en la actualidad. La
experimentación es una buena vía para
el inicio del estudio de lasmatemáticas.
• Lo mismo debemos decir de juegos, in
vestigaciones, simulaciones con orde
nador, etc. No es posible trabajar todo
el amplio abanico de competencias
matemáticas haciendo solamente o
mayoritaria mente ejercicios.
• La enseñanza de las matemáticas
debe contener una propuesta para la
elaboración de la información mate
mática, realizando esquemas, mapas
conceptuales, carteles, etc. La com
prensión de los conceptos escondición
de una buena educación matemática
y paso imprescindible para mejorar la
escasa capacidad de nuestros estu
diantes de utilizarla de manera co
municativa.
La evaluación de las competenciasdeterminaráel currículo de matemáticas
Los injertos en los árboles
Pensó en buscar alguna recomendación; no quería decirle nada a su padre, y se fue a casa
de su tío Iturrioz a explicarle lo que pasaba. Iturrioz le preguntó:
- ¿Sabesalgo de química?
-Muy poco.
-¿No has estudiado?
- Sí,pero se me olvida todo enseguida.
- Esque hay que saber estudiar. Salir bien en los exámenes es cuestión nemotécnica, que con-
siste en aprender y repetir el mínimum de datos hasta dominarlos ...; pero en fin, ya no es
tiempo de eso, te recomendaré, vete con esta carta a casadel profesor.
Andrés fue a ver al catedrático que le trató como a un recluta.
El examen que hizo unos días más tarde le asombró por lo detestable; se levantó de la silla
confuso, lleno de verguenza. Esperó, teniendo la seguridad de que saldría mal; pero se encon
tró con gran sorpresa, que le habían aprobado. (Baraja, El árbol de la ciencia)
IDEA CLAVE 6
La sensación de déja vu cuando se habla dereforma en enseñanza. El currículo evaluado
Si existe alguna idea que se repita en los diversos foros profesionales que se ocupan de la ense
ñanza de las matemáticas, ésa es la dificultad, por no decir imposibilidad, de conseguir cambios
de calado en las propuestas curriculares que se desarrollan en los centros educativos. Las sucesi
vas reformas y propuestas de cambio se asemejan a las olas que chocan contra un rompeolas, lle
gan furiosas pero tras chocar con el muro quedan amortiguadas y, lo que es peor, suelen provocar
que las siguientes pierdan fuerza, los habitantes de las zonas costeras las llamamos «las contrao
las». Escasi seguro que algún día se caerá ese muro, pero a la marcha que vamos no parece que
vayamos a estar para contarlo. Por eso las preguntas del millón entre los que promocionan estos
cambios son las siguientes: ¿qué se debería hacer para suscitar cambios estructurales en las prác
ticas educativas de las matemáticas?, ¿qué hay que hacer para innovar en la enseñanza de las ma
temáticas y que esa innovación sea aceptada como nueva pauta social?
Podemos analizar lo que se ha hecho para ver qué ha funcionado y qué no. Una estrategia
que hemos seguido hasta la extenuación ha sido intentar convencer, con argumentos casi irreba
tibles, de la conveniencia, de la necesidad, de la urgencia y del carácter benefactor de los cambios
que se proponían. Quienes nos dedicamos a estos menesteres hemos depositado una confianza
excesiva en el valor de los argumentos racionales como factor de cambio en el comportamiento
de las personas y hemos llegado a pensar, de manera un tanto ingenua, que nos rebaten porque
no tienen razones para hacerla y que faltos de razones se avendrán a aceptar las nuestras como
base de sus propias acciones. Se han escrito miles y miles de páginas con argumentos favorables
a los cambios educativos, se han organizado innumerables cursos de formación para docentes, se
han celebrado cientos y cientos de conferencias, simposios y congresos en los que se ha repetido
machaconamente esta idea, pero el muro sigue en pie. Estimo que esta estrategia está agotada y
que, si bien es necesario informar a los docentes y explicar suficientemente los cambios que se pro
ponen y las razones que existen para ello, esperar que estas explicaciones supongan cambios de
calado en el comportamiento de docentes e instituciones educativas es un brindis al sol. Esun camino
prácticamente agotado como motor principal para la innovación en la enseñanza de las matemáticas.
Se ha dicho, con razón, que es necesario mejorar la formación inicial de los docentes -hablaré
de esta cuestión de manera específica en otro apartado-, pero la verdad es que no se ha hecho
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
mucho en los últimos años. Se ha dicho, también con razón, que habría que mejorar los materia
les de los que disponen los docentes. Sin embargo, esa mejora se ha concretado en que los libros
de texto tienen más fotos y se imprimen ahora a todo color, provistos de toda clase de alardes ti
pográficos e ilustraciones de lujo. Se ha dicho, una vez más con razón, que hay que investigar más
acerca de los procesos de aprendizaje y que de esa investigación obtendremos ideas renovadoras
para construir propuestas de enseñanza innovadoras, pero pocas de las consecuencias de dichas
investigaciones se han incorporado a la práctica educativa en el aula. Casi todo se ha dicho y se
ha hecho, pero el muro sigue en pie y sólo se observan unas cuantas grietas superficiales donde
nacen unas hierbas que huelen muy bien, pero que no parece que pongan en peligro la estabili
dad del muro.
La evaluación en matemáticas como motordel cambio
En este panorama en el que los expertos predican en el desierto y los do
centes preparan la selectividad, llega PISA y produce un terremoto me
diático mayor que si se hubiera derrumbado la torre de la ciudad italiana
cuyo nombre coincide con el del proyecto de evaluación promocionado
por la OCDE. Hay que decir que el terremoto es más mediático que otra
cosa, pero ha conseguido, por lo menos, que el muro tiemble un poco.
Los políticos temen, odian y aman los titulares de prensa de los periódi
cos de mucha tirada, porque saben que son uno de los factores clave en
la conformación de la opinión pública. Los resultados de PISA se han pu
blicado, casi publicitado, en todos los medios de comunicación. Si el pri
mero de los informes PISA llamó la atención de muchos medios, el
segundo, publicado a finales del año pasado (4 de diciembre de 2007),
ha abierto cabeceras de muchos medios de comunicación de primera
fila. Hoy en día, PISA ha dejado de ser una referencia para los expertos
en educación y se está convirtiendo en un referente social que los res
ponsables políticos ya no pueden obviar. Hasta el punto de que las ad
ministraciones autonómicas han organizado sus propias muestras con
IDEA CLAVE 6 1
la esperanza, no siempre cumplida por razones estadísticas evidentes,
de salir algo mejor parados que los demás.
El mensaje que han transmitido los medios de comunicación y que ha
ido calando en la opinión pública es que «vamos mal», que «estamos a
la cola» y que algo habrá que hacer para salir de esta situación. Como su
cede con las elecciones siempre hay algún dato que demuestra que todos
tienen razón, quienes critican y quienes defienden las políticas educati
vas, pero la sensación generalizada es la de que no vamos por el mejor
camino. Lo que no había conseguido la bonhomía de los argumentos re
novadores, lo que no había logrado la denuncia expresa de la falta de
preparación profesional de los docentes, lo que no habían removido las
altas tasas de fracaso en la educación obligatoria lo consigue un titular
del periódico informando de que en una determinada evaluación «vamos
mal». Consigue que los políticos responsables del sistema educativo pien
sen que algo habrá que hacer para no seguir saliendo mal en los perió
dicos. Bienvenida sea esa reacción si al final sirve para que pongan en
marcha planes eficaces con el fin de cuartear el muro y, sobre todo, para
mostrar de manera eficiente la idea clave de este apartado: la evalua
ción es la palanca más poderosa para promover cambios curriculares, es
el punto de apoyo que pedía Arquímedes para mover el mundo.
De lo dicho en las líneas anteriores parece deducirse que lo que no
logran otras acciones puede conseguirse cambiando las formas de
evaluación. Al igual que los girasoles miran al sol y se mueven a su com
pás, las acciones educativas miran a la evaluación y se adecuan a los
fines que ésta valora. Pero bien mirado esto no es nada extraño, por
que la evaluación es la parte del currículo que mayores consecuencias
sociales tiene y, como venimos repitiendo una y otra vez en este texto,
ya es hora de que despertemos de la ilusión psicologicista de que la me
todología de enseñanza es la llave para el cambio curricular y de que
aceptemos que el sistema sólo se moverá cuando las fuerzas sociales
que lo mantienen lleguen a la conclusión de que no se adecua a los in-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
tereses que defienden. La evaluación es la clave para la selección social
que el sistema promueve y, por lo tanto, la palanca para cambiar las
prácticas educativas. Ésta es, en mi opinión, la conclusión, nada novedosa
por otra parte, a la que puede llegarse después de ver las peregrina
ciones a Finlandia3 de los responsables educativos españoles en los úl
timos años.
Estamos de estreno en lo que se refiere a nuevos currículos porque
este curso 2007-2008 es el primero en el que se ha puesto en marcha la
LOE. Como sabemos esta ley incluye un anexo donde se desarrollan una
serie de competencias clave, y una de ellas es la competencia matemá
tica. Bien, las autoridades del ministerio de educación y los responsables
de las consejerias autonómicas ya han anunciado que se van realizar
«evaluaciones de diagnóstico» en varios de los niveles de la enseñanza
obligatoria, comenzando por cuarto curso de educación primaria y el
segundo curso de educación secundaria. Se llamarán «evaluaciones de
diagnóstico» porque no contarán como nota para los estudiantes, ya
que su objetivo declarado es mostrar los puntos débiles y fuertes en el
logro de la citada competencia. Estamos, sin duda, frente a una gran
oportunidad para inducir cambios de calado en la educación matemá
tica, pero una oportunidad es eso, una oportunidad, y dependiendo de
cómo se actúe los resultados serán positivos o negativos. Una oportu
nidad es un riesgo o un riesgo puede ser una oportunidad, es decir algo
ambivalente. Si las evaluaciones de diagnóstico responden a propues
tas de competencias matemáticas en las que se tenga en cuenta su apli
cación en los diferentes contextos de uso y se prime la comprensión y
aplicación autónoma frente al memorismo y la utilización mecánica de
los contenidos, resultarán un buen ariete para derribar el muro, en caso
contrario estaremos reforzándolo para las próxima décadas. Debere-
3. Finlandia es el país que mejores resultados ha obtenido en las pruebas PISA en las
distintas ediciones celebradas.
IDEA CLAVE 6
La universidad estáinmersa en un
reforma debido a
requerimientos deincorporación ai
Espacio Europeo de
mos estar muy atentos a la propuesta por medio de la cual se materia
licen estas pruebas, porque de su concreción va a depender en gran
medida en qué dirección se va a mover el currículo de matemáticas en
los próximos años.
La otra gran cuestión pendiente es el examen de selectividad para
el ingreso en la universidad. Ya he argumentado con anterioridad la
función directiva que cumple la universidad y su influencia en los ni
veles inferiores a la hora de condicionar, casi determinar, el currículo
de matemáticas. Ya me he posicionado acerca de la importancia social de
esta prueba y de la conveniencia de su reforma. Siguiendo con la
analogía desarrollada en el párrafo anterior, sólo queda volver a decir
que si no se reforma la selectividad, será muy difícil arañar siquiera el
muro de las malas prácticas establecidas. La universidad está inmersa
en un proceso de reforma debido a los requerimientos para su incor
poración al Espacio Europeo de Educación Superior, proceso que tiene
en el año 2010 su fecha clave. En este contexto de reforma es nece
sario que se replantee la función de la selectividad empezando por
cambiar su nombre, que es poco social, para pasar a convertirla en
unas pruebas de ingreso que deberían marcar con claridad las com
petencias que la universidad considera que los estudiantes deben
tener para su incorporación a estos estudios.
Como resumen de este epígrafe me gustaría contar la metáfora del injerto.
El fruto que da un árbol depende de la rama final en la que se desarrolla y
no de las anteriores. Hoy en día casi todos los árboles frutales están injer
tados y comparten un tronco de un tipo de árbol con ramas de otro tipo. El
fruto que dan depende de la rama injertada y no de las anteriores. Así, con
un tronco común un árbol puede dar frutos diferentes. Con la evaluación
sucede algo parecido, por mucho que los objetivos apunten a las compe
tencias, por mucho que se escojan los contenidos adecuados y se desarro-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Ilen las tareas pertinentes, si se evalúa otra cosa al final, en esa lucha entre
fuerzas contrapuestas, siempre gana la evaluación porque es la que social
mente tiene más relevancia.
A la larga se impone ese dicho que afirma: «lo que no se evalúa se de
valúa». Además los aprendizajes evaluados son útiles socialmente por
que sirven para aprobar y continuar en el sistema y los no evaluados son
inútiles desde este punto de vista. Las consecuencias de todo esto
son evidentes: por decantación en el tiempo las tareas relacionadas con
los aprendizajes que sirven para seleccionar socialmente se imponen,
cristalizan y quedan; no así el resto de tareas, que son las que no sirven
para avanzar en el sistema educativo. Porque los docentes, y en conse
cuencia los estudiantes, rápidamente clasifican las tareas en dos clases:
las que sirven para la selección social que hace el sistema y las que no
sirven. Enseguida el docente dedica la mayor parte del tiempo y la
mejor parte de éste a las tareas «importantes», es decir a las que sirven
para la evaluación, y deja en un segundo y último lugar las «prescindi
bles», aquellas que no se usan con este fin. Estas últimas se realizan si
queda tiempo. Lo que sucede es que a medida que pasan los cursos
cada vez queda menos tiempo y esas tareas se convierten en un pasa
tiempo para los tiempos muertos.
La evaluación es el componente del currículo que más fuerza tiene
para orientar la dirección en la que debe ir éste. En consecuencia, no se
conseguirá reorientar el currículo si no se reforma la evaluación.
La evaluación de la competenciamatemáticaEn estos últimos años se ha hablado mucho de las evaluaciones ex
ternas. Su impacto mediático ha conseguido que centremos nuestra
atención en este escenario elegantemente iluminado y nos olvidemos
IDEA CLAVE 6
de que la evaluación más importante es la que sucede en las aulas,
es decir la evaluación que está ligada al propio proceso de enseñanza
aprendizaje. Hay que señalar que el futuro es incierto e imprevisible,
pero también que, por el momento, los cambios que se han producido
en el diseño de las pruebas de evaluación externa realizadas no han
logrado que se alteren muchas de las prácticas de evaluación que se
siguen en las aulas. Conviene, por lo tanto, que no nos dejemos en
gañar por las apariencias que nos pueden inducir a pensar que los
modos habituales de evaluación utilizados por los docentes en las
aulas se corresponden en su forma y objetivos con los de las evalua
ciones externas cuidadosamente diseñados por expertos. La ola me
diática que está acompañando a la difusión de los resultados de las
evaluaciones internacionales, tipo PISA, está haciendo olvidar la eva
luación que se realiza en las aulas, al hacer de la comparación entre
los puntajes obtenidos la noticia, para convertirla además en el único
foco de atención.
No deberíamos olvidar, sin embargo, que la selección social que las
matemáticas hacen no depende del resultado de ese tipo de evalua
ciones, sino de las calificaciones escolares, que se atienen a una lógica
no siempre coincidente y en muchos casos claramente contrapuesta. Es
tamos, en mi opinión, pasando mucho tiempo hablando de esas eva
luaciones que salen en la prensa y agobian a los políticos y poco, en
cambio, de la que se lleva a cabo en el aula, la que es eficazmente pre
cisa, selecciona y orienta a los estudiantes. Este tipo de evaluación
selectiva en unos casos y orientadora en otros se realiza en las aulas día
a día fuera de los focos de los medios de comunicación, pero el silencio
y la invisibilidad con los que efectúa su trabajo es precisamente lo que
la hace más determinante y más relevante socialmente.
Veamos la manera de describir algunas de las ideas básicas que hay
que tener en cuenta en la evaluación escolar de la competencia mate
mática.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Para empezar conviene decir que evaluar competencias implica
aportar evidencias. Los anglosajones (Ascher, 1990) lo llaman perfor
mance based assessment por oposición a test based assessment, es decir
evaluación basada en evidencias (actuaciones) por oposición a evalua
ción basada en test. Las evidencias deben mostrar, lógicamente, que se
es capaz de «hacer» lo que la competencia en cuestión enuncia. Para
ello es necesario actuar correctamente en el contexto correspondiente,
es decir demostrar que se es capaz de aplicar lo que se sabe para resol
ver una situación problemática en un contexto determinado. Dicho sea
de paso un buen ejemplo de lo que quiero decir son los ítems que co
nocemos de PISA, donde frente a otro tipo de tareas priman las que
piden que los estudiantes apliquen las matemáticas a diversas situacio
nes que se consideran problemáticas. Dicho así parece sencillo, pero lo
sencillo no es casi nunca simple.
En primer lugar, no se trata solamente de probar que se conoce
algo, sino que se debe demostrar, además, que se sabe aplicar en un
determinado contexto. Resulta relevante poder comprobar que los es
tudiantes son capaces de «hacer cosas» con lo que saben y que esas
acciones deben llevarse a cabo en el contexto solicitado. Esta consta
tación obliga a elegir con cuidado las tareas que se vayan a usar para
evaluar.
En la actualidad se utilizan, en exceso, los ejercicios descontextuali
zados y los problemas ad hoc como tareas para la evaluación de los
aprendizajes matemáticos, un buen ejemplo de este tipo de pruebas
de evaluación es el examen de selectividad ya citado en la segunda idea
clave de este libro. Enunciado en positivo, la consecuencia directa de
estas ideas es que hay que aumentar el peso relativo de todas aquellas
tareas (problemas, investigaciones, experiencias ... ) que guardan una
relación más clara con los contextos de uso del conocimiento matemá
tico y con los niveles superiores de capacidades que hay que poner en
juego, al mismo tiempo que se debe disminuir el peso que se concede
IDEA CLAVE 6
a los ejercicios. Una correcta selección de tareas a la hora de calificar a
los estudiantes es una de las palancas más eficaces para reorientar el cu
rrículo en la dirección de enseñar y evaluar el uso de las matemáticas y
no el mero conocimiento mecánico de algoritmos, por complejos y so
fisticados que éstos sean. Habrá quienes al leer estas líneas esbocen una
sonrisa y piensen: «pero si la gran mayoría de los estudiantes no son
capaces de hacer los ejercicios que les proponemos y, según aquí se
dice, eso es lo más elemental, si nos atreviéramos a proponer para la
evaluación tareas de nivel superior, el fracaso sería mayor; no lo en
tiendo». Es una buena objeción. Lo que sucede es que los ejercicios
que se proponen son sencillos considerando el tipo de pensamiento que
se debe utilizar (aplicación mecánica y rutinaria de reglas, ejecución de
algoritmos ... ), pero sumamente laboriosos, es decir que para resolver
los hay que aplicar, en la mayoría de las ocasiones, decenas de pasos
en los que hay que utilizar esas reglas. Basta con cometer un error en uno
de esos pasos para que todo el ejercicio se desmorone como un casti
llo de naipes. Además desde el lugar de la cadena en el que se comete
el error en adelante todos los pasos «bien hechos» no sirven para nada.
¿Cuántos pasos hay que dar y cuántas reglas hay que aplicar para hacer
un cálculo entre fracciones algebraicas de los que suelen ser habituales
en los currículos de 4.° de la ESO? Los ejercicios son difíciles por ser muy
laboriosos y porque un fallo en cualquier eslabón de la cadena invalida
el resultado, no porque supongan la utilización de pensamiento com
plejo. La mejor muestra de lo que digo, la mejor prueba de la inutilidad
de estos aprendizajes y del sinsentido de basar en ellos la evaluación en
matemáticas es que todo ese tipo de tareas las pueden ejecutar hoy los
ordenadores, y querer competir con los ordenadores en lo único que
éstos hacen bien, en calcular rápido y sin errores, es una tontería. Todos
los docentes saben que si se disminuyera la laboriosidad de estos cál
culos, los resultados, entendidos como número de respuestas correctas,
aumentarían; pero en la mayoría de los casos eso queda para las prue-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
bas de recuperación. Confiar la evaluación en matemáticas al grado de
sofisticación suficiente de los ejercicios para que no todos los estu
diantes puedan con ellas parece la divisa de algunos currículos, es una
estrategia útil para seleccionar, pero estéril para desarrollar la compe
tencia en matemáticas. Confundir lo complejo con lo laborioso es el ma
lentendido en el que se basa esta incorrecta selección de tareas para la
evaluación. Si se aceptaran estos cambios y se alterara el tipo de tareas
que se proponen como forma de evaluación, no solamente se produci
ría un cambio positivo en los resultados de los estudiantes, sino que ade
más en el caso de que fuera necesaria una discriminación orientadora
con relación al talento matemático, éste sería mucho más detectado y
valorado.
Basta con observar las pruebas de evaluación, por no decir exáme
nes, que hoy son habituales en la gran mayoría de los centros educati
vos de secundaria para observar que se siguen estas líneas de actuación
más bien selectivas. Los ejercicios «difíciles» de mera aplicación ruti
naria de reglas y algoritmos siguen constituyendo el núcleo de los exá
menes que realizan los estudiantes. Se seleccionan, especialmente, por
su laboriosidad, por el número de pasos que incluyen, que en el fondo
son siempre los mismos, ya que las reglas que hay que aplicar para el
cálculo numérico o algebraico son pocas. Lo que cuenta es poder
aplicarlas una y otra vez sin cometer errores y hacerlo además en un
tiempo determinado. Corrección y rapidez se convierten, de esta forma,
en los únicos criterios de evaluación utilizados, pero como ya he seña
lado con anterioridad en corrección y rapidez es imposible competir
con el cálculo que hacen las máquinas. ¿Qué tipo de competencia ma
temática buscamos actuando de esta manera?
En segundo lugar, la evaluación de una competencia supone la emi
sión de un juicio valorativo sobre la pertinencia y calidad de la eviden
cia aportada. Pertinencia quiere decir que la evidencia esté bien
relacionada con la acción solicitada, es decir que sea una acción exitosa
IDEA CLAVE 6
con relación a la cuestión planteada. Pero esto no es suficiente porque
la pertinencia de las respuestas puede y debe estar matizada por el
grado de calidad de éstas, y lo complejo proviene de que en muchos
casos pertinencia y calidad interactúan hasta tal punto que una de ellas
condiciona a la otra.
Pongamos un ejemplo:
Si alguien escucha que dentro de nueve días es el cumpleaños de un amigo
y estamos a 22 de febrero de 2008, viernes, podrá intentar calcular que 22 y
9 son 31, pero que como febrero tiene 28 días le sobran 3; podría, por lo
tanto, concluir que el cumpleaños de su amigo será el 3 de marzo. La verdad
es que se ha equivocado porque se le ha olvidado que el año 2008 es bisiesto
y que febrero no tiene 28 días, sino 29. Es decir que la respuesta no es co
rrecta, pero de ahí no podemos deducir que su competencia matemática
deba ser calificada con un cero. Para interpretar esa respuesta, hace falta in
troducir algunos matices y aplicar criterios algo más complejos. En primer
lugar, ha sido capaz de hacerse cargo de la situación planteada y, en se
gundo lugar, de relacionar la situación en cuestión con la operación perti
nente, es decir, ha sido capaz de pasar de la expresión linguística «dentro de
nueve días» a la operación matemática «sumar 9». Ha demostrado compe
tencia en cálculo porque las operaciones las ha realizado bien, pero ha co
metido un error. ¿El error invalida totalmente el resto de operaciones bien
realizadas? Es evidente que no y que, por lo tanto, podemos y debemos ir
más allá de la mera constatación de la incorrección de ia respuesta si quere
mos evaluar adecuadamente la competencia matemática.
La respuesta a cualquier cuestión matemática por sencilla que sea su
pone la realización de bastantes operaciones y basta con que se falle en
una para que la respuesta sea incorrecta; pero resulta fácil compren
der que no es lo mismo fallar en varias de las partes que suponen la
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
compleja tarea de buscar la solución a una cuestión matemática, por
sencilla que parezca, que hacerla en una y que tampoco es igual que el
fallo se cometa en algo que se considere básico que en algo que no lo
sea. Dicho de otra manera, no hay que evaluar mirando solamente
qué se hizo mal, sino que es necesario mirar tanto lo que se ha hecho
mal como lo que se ha hecho bien. En una palabra evaluar competen
ciasdebe ir másallá de constatar la corrección o incorrección de una res
puesta y exige su interpretación desde parámetros que denominamos
«criterios de evaluación». No debemos olvidar que evaluar viene de
valor y que el valor es normalmente cuestión de grado, es decir que se
puede decir que algo vale más o menos, pero pocasvecesque sívale o
que no vale nada de manera radical y absoluta. En definitiva, el valor
es una variable continua y no discreta.
Evaluar competencias implica la elaboración de criterios de evalua
ción. Loscriterios de evaluación hacen referencia a lascompetencias de
manera individualizada, es decir que cada competencia tiene sus pro
pios criterios de evaluación. En mi opinión, uno de los fallos en los
diseños curriculares tanto de la LOGSEcomo de la LOEes que las com
petencias y los criterios de evaluación se enuncian como dos listas sin
que en ningún momento se articule la relación que existe entre los ele
mentos de un listado y los del otro. Esta presentación parece sugerir
que la relación entre las competencias y los criterios de evaluación es
algo no establecido, con lo que no se sabe muy bien a qué atenerse a
la hora de utilizarlos. Además, este tipo de presentación también pa
rece insinuar que los criterios de evaluación son una concreción de ob
jetivos más generales, es decir otro tipo de objetivos más concretos,
haciendo de esta manera confusa una relación que debiera ser clara.
Según Sanmartí (2007), los criterios de evaluación son «normas de
actuación que permiten la valoración de la misma». No son por lo tanto,
en la opinión de esta autora, otro tipo de objetivos, sino las normas
que permiten su calificación. Me parece una definición excelente que
IDEA CLAVE 6
sirve para deslindar con claridad la diferencia entre objetivos de apren
dizaje, competencias en su caso, y criterios de evaluación.
En mi opinión, cada competencia debe disponer de sus propios cri
terios de evaluación, que permitirán calificarla interpretando hasta qué
grado se ajusta la actuación del evaluado al desempeño esperado. Lo
que sucede es que, normalmente, para evaluar una competencia hay
que proponer una tarea, lo que lleva a asociar la tarea con el criterio de
evaluación. Es una tendencia fácil de comprender porque nos inclina
mos a evaluar lo que podemos observar, pero lo realmente observable
no es la competencia, sino la tarea que se solicita que se realice con la
intención de valorar la competencia. Voy a intentar clarificar estas cues
tiones.
Supongamos que queremos evaluar una competencia y que podemos
proponer o bien una tarea en la que sólo intervenga esa competencia,
o bien una tarea en la que, aunque puedan intervenir otras, podamos
aislar o identificar con suficiente claridad la competencia que vamos a
evaluar. En este caso, que es el más sencillo, los criterios de evaluación
que corresponden a la competencia se pueden considerar como crite
rios de evaluación de la tarea. Voy a poner un ejemplo. Imaginemos
que proponemos la tarea que muestra la figura 104 como forma de eva
luación.
Supongamos también que la competencia que queremos valorar es:
«la correcta interpretación de la información estadística contenida en
tablas». En este caso los criterios de evaluación pueden hacer referen
cia a:
• El número de preguntas acertadas.
4. Esta tarea ha sido obtenida de la pagina www.eustat.es/eskola/tareas.asp?
idioma=c&ud=l &tipobus=l. Página que forma parte de una propuesta de tareas basadas
en los datos que el Instituto Vasco de Estadística pone a disposición de aquellas personas
que deseen usarlas.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Figura 10
La Población en la C.A. de Euskadi
2004 2.128.8011.040.7461.088.0552003
2.120.3841.036.7151.083.6692002
2.116.2401.034.7031.081.5372001
2.111.0781.032.2311.078.8472000
2.079.2101.015.9701.063.240
• Para comenzar vamos a coger un trozo de toda latabla de población y vamos a ver cómo se leen losdatos.
• Observa, con atención, la siguiente tabla y responde a las preguntas.:
• ¿Cuántos habitantes hay en la C.A.de Euskadi enel año 2004? ¿Cuántos de ellos son mujeres ycuántos hombres?
• ¿Qué ha sucedido con la población en la C.A. deEuskadi: ha aumentado o disminuido entre losaños 2000 y 2004?
• ¿Qué hay, según los datos del año 2004, máshombres o mujeres en la C.A. de Euskadi?
• ¿La tendencia al crecimiento de la población hasido constante o ha habido años en los que la población ha descendido?
• ¿En todos los años que muestra la tabla el número de mujeres ha sido superior al de hombres?
• Si desde el año 2004 la población ha seguido creciendo de manera similar, ¿qué puedes decir demanera estimativa sobre la población actual? ¿Estará ya sobre los dos millones y medio de personas o todavía no?
• La importancia de los errores cometidos en la interpretación de los
datos.
La combinación de ambos criterios nos permitiría, si así lo deseáramos,
crear una escala de calificación de la tarea y por ende de la competen
cia. Estamos en el caso de una tarea sencilla en la que la competencia
fundamental que se debe utilizar es la interpretación de la informa
ción, lo que nos permite definir unos criterios claros y sencillos para
calificar la tarea y la competencia.
Sin embargo, las cosas no son siempre tan sencillas y muchas veces
es difícil, o no muy interesante, proponer tareas en las que se evalúe
una única competencia. En estos casos la evaluación es algo más com
pleja. Primero habrá que identificar las competencias que considere
mos que interactúan en la tarea y a continuación indicar los criterios de
evaluación de cada una de esascompetencias. Pongamos un ejemplo de lo
que quiero decir.
Imaginemos que elegimos como tarea de evaluación la siguiente:
IDEA CLAVE 6
Tenemos una diana.
Hemos lanzado ya dos dardos y hemos logrado las puntuaciones de 7 y 17
puntos. ¿A partir de qué valor conseguiremos pasar de 30 puntos al lanzar
el dardo por tercera vez?
Ésta es una tarea bastante más compleja que la anterior, aunque los
conocimientos que hay que utilizar se reduzcan a la aritmética básica.
En primer lugar, se debe interpretar de manera correcta la información
y entender lo que se pregunta, ¿qué se quiere decir cuando se dice
«pasar de 30»?, ¿qué quiere decir «a partir de qué valor»? Podríamos
poner más ejemplos para señalar que la correcta interpretación de la in
formación no es una cuestión menor. En segundo lugar, hay que ela
borar un plan. Aquí hay diferentes posibilidades y todas las que nos
lleven a la solución correcta, sea por un camino u otro, deben ser bien
venidas. Explicaré un par de ellas, las que a mí se me ocurren, aunque
seguro que puede haber otras, son:
• Dividir el problema en dos partes, la primera destinada a calcular la
puntuación que tenemos y la segunda a calcular la diferencia hasta
30, para los valores mayores que el obtenido la puntuación final será
superior a 30.
• Descontar de 30 primero uno de los valores (cualquiera de ellos) y
luego el otro, para los valores mayores que el obtenido la puntua
ción será superior a 30. Además, hay que poner en marcha el plan es
tablecido e ir escribiendo correctamente los dibujos, textos y
fórmulas que lo desarrollan. No nos olvidemos de que habrá que re
alizar una serie de cálculos y de que este trabajo deberá realizarse
sin cometer errores. Por último, se tendrá que escribir el resultado y
comprobar que es el adecuado. En esta tarea se ponen en juego mu
chas competencias y cada una de ellas debe ser evaluada de manera
separada utilizando sus propios criterios de evaluación, así:
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
• La interpretación de la información debe ser pertinente y debe lle
var a la correcta comprensión de la situación y de las operaciones
necesarias suma y/o resta en cada caso.
• La expresión del camino de resolución debe utilizar de manera co
rrecta la notación y debe informar, con claridad, de los pasos segui
dos en la resolución del problema.
• Los cálculos deben hacerse sin cometer errores.
• La respuesta debe estar correctamente escrita, debe responder a lo
que se pregunta.
Por medio de estos criterios de evaluación podemos calificar las dife
rentes partes de este problema y ajustar mejor la calificación que damos.
En estos casos es necesario identificar las diversas competencias que
se desea evaluar, y enunciar criterios de evaluación para cada una de las
competencias que se vayan a poner en juego en la tarea. De esta ma
nera la tarea recibirá tantas calificaciones como competencias se tengan
que desarrollar, cada una de esas calificaciones se obtendrá valorando
la parte de la tarea en la que se supone que interviene la correspon
diente competencia. La valoración de la tarea, como tal, no puede de
ducirse directamente de la media aritmética de los valores asociados a
las competencias y exige tomar decisiones con relación a, por lo menos,
dos cosas:
• El peso relativo o porcentual que debe darse a cada una de esas
competencias en la calificación final.
• La conveniencia de exigir un valor mínimo en cada una de las com
petencias implicadas en una tarea para que calificaciones inferiores
a este valor mínimo no supongan que el mínimo exigido no sea cu
bierto.
los criterios deevaluación se asocian
a una competenciay no a una tarea,aunque ésta sea
para
Por lo tanto, los criterios de evaluación se asocian a una competencia y la cornpetencia,
no a una tarea, aunque la tarea sea imprescindible para evaluar la com-
IDEA CLAVE 6
petencia porque sin actuación no existe modo de valorarla. De una
tarea se pueden obtener tantas calificaciones como competencias po
damos identificar en su realización. Hay quien puede argumentar que
son subcompetencias de otra competencia más general, que es la
que está asociada a la tarea, y seguramente tendrá razón. En ese caso
sólo nos quedaría decidir, tal y como ya he explicado en líneas ante
riores, de qué manera combinaremos las calificaciones de cada sub
competencia para obtener la calificación global. Pero eso son cuestiones
excesivamente técnicas para ser resueltas de manera pormenorizada
en un texto de estas características.
En resumen
La evaluación es la palanca más poderosa de la que disponemos para inducir cambios en
el currículo, es el punto de apoyo que pedía Arquímedes para mover el mundo. Lo de
muestran la influencia social de las evaluaciones internacionales tipo PISA y el gran peso
modelador del currículo que tiene la prueba de selectividad. Por lo tanto, si realmente se
desea innovar en el currículo, hay que mejorar los procesos de evaluación. El árbol injer
tado da el fruto que corresponde al injerto, que es la evaluación. Se pierde mucha credi
bilidad cuando pudiendo hacerlo no se toman las medidas necesarias para introducir
cambios en las evaluaciones oficiales. Tenemos en el horizonte próximo las evaluaciones
de diagnóstico que van a marcar, seguramente, las líneas que van a seguir los nuevos cu
rrículos. Habrá que estar atento para ver cómo se desarrollan.
Sin embargo, si bien las evaluaciones externas son importantes como referencias a las
que se ajusta el currículo, como los seres vivos se ajustan al nicho ecológico en el que
viven, la evaluación es algo que se da en las aulas todos los días y que, desde este punto
de vista, forma parte del proceso de enseñanza-aprendizaje. Desarrollar lo que hoy en
día se llama «un currículo por competencias» implica adoptar ciertas medidas a la hora de
evaluar. Para evaluar la competencia matemática es necesario que los estudiantes apor
ten evidencias de lo que saben hacer (performance based assessment por oposición a test
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
based assessment). Una vez aportada la evidencia hay que valorarla y calificarla, para ello
es necesario disponer de lo que denominamos criterios de evaluación, es decir normas
que nos sirvan para indicar la calidad de la respuesta obtenida. De esta manera, compe
tencia, tarea y evaluación, con los criterios de evaluación correspondientes, se convierten
en una tríada inseparable para el desarrollo del currículo y en el esquema más simple y sig
nificativo que podemos encontrar para su desarrollo.
IDEA CLAVE 6
• La evaluación es la palanca más ade
cuada para la innovación curricular y,
por lo tanto, no hay nada más práctico
que innovar en evaluación para inno
var en el currículo.
• Conviene seleccionar con cuidado las
tareas que se van a destinar a la eva
luación y es recomendable que los res
ponsables de la gestión del currículo
en el centro dispongan de esta infor
mación. No hay labor más práctica
para gestionar el currículo de un cen
tro educativo que gestionar la evalua
ción.
• Hay que construir pruebas de evalua
ción que vayan más allá de los ejerci
cios de aplicación y de los problemas
ad hoc.
• Convendría consensuar pruebas mo
delo en el ciclo (primaria) y en el de
partamento del área (secundaria) de
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
manera que éstas se organizaran
según un modelo previo y conocido en
el que se intercalasen diferentes tipos
de tareas de manera equilibrada.
• Es muy práctico que los docentes de
matemáticas discutan y acuerden los
criterios que van a seguir a la hora de
calificar a los estudiantes, y estambién
muy interesante que se lo transmitan
a su alumnado.
• La evaluación en matemáticas debe
calificar el proceso seguido y no sola
mente el resultado obtenido. Debe va
lorar las competencias que se
muestran y no solamente los fallos que
se realizan.
• Hay que abrir paso a nuevas formas de
evaluación tipo portafolio no sola
mente en la enseñanza primaria, sino
también en la secundaria y postobli
gatoría.
La competencia profesionalde los docentes de matemáticas
es el factor más importante parala mejora de su enseñanza
Los fractales y las escalas
¿ Cuánto mide /a costa de Bretaña? (Mandelbrot, Los objetos fracta/es)
El factor humano
La calidad de la enseñanza, entendida como la adecuación de ésta a los fines sociales que deter
minan las instituciones legitimadas para hacerla, depende de muchos factores. Algunos de ellos
ya los he citado: buenos currículos, buenos materiales, sistemas de evaluación coherentes, etc.;
pero si hay un factor que, en mi opinión, es especialmente decisivo, éste es la competencia pro
fesional de los docentes.
La educación se basa en la comunicación humana y se construye sobre la relación que esta
blecen entre sí los seres humanos, por lo tanto el resto de cuestiones que acompañan esa relación,
siendo importantes, son siempre secundarias porque son medios que se pueden sustituir por otros.
El «factor humano» es, por lo tanto, la clave sobre la que descansa el proceso comunicativo y por
ende la educación. El factor humano es lo sustantivo en la comunicación, el resto de cuestiones
IDEA CLAVE 7
son circunstancias necesarias y facilitadoras, pero circunstancias al fin y al cabo. Todos los inten
tos que se hagan para debilitar la función nuclear de los docentes en el proceso comunicativo sólo
servirán para disminuir la calidad de la educación y la capacidad de ésta para suscitar valores en
los educandos. En el ámbito que nos ocupa, la educación matemática, la persona encargada de
diseñar, liderar, mantener, sostener, promover, animar y desarrollar esta comunicación es el do
cente. Resulta evidente que la comunicación es cosa de dos o más y que sin la disposición del
«otro» sería imposible, pero estimo que en un proceso como el de la enseñanza de las matemá
ticas esperar que esta relación sea horizontal, si se entiende por horizontalidad que tanto el do
cente como el estudiante compartan exactamente las mismas funciones de manera recíproca, es
una ilusión y una base falsa. Por esta razón, creo poder afirmar que la responsabilidad del docente
en cuanto a los fines de la comunicación, a la forma de organizarla y desarrollarla es mayor que
la que tiene, que también la tiene, el estudiante. El mayor peso, responsabilidad y autoridad para
establecer y llevar a buen fin el proceso comunicativo es del docente. En consecuencia, disponer
de «buenos» docentes de matemáticas es imprescindible para poder esperar un futuro mejor en
esta cuestión. Para poco valdrán los esfuerzos que se hagan por mejorar el resto de los factores
que influyen en la calidad de la enseñanza si no van acompañados de políticas eficaces para me
jorar las competencias tanto humanas, de las que últimamente se habla poco, como profesiona
les de los docentes que se tienen que encargar de la educación matemática de los estudiantes.
En estos últimos años, en los que la tecnología de la información lo invade todo, estamos asis
tiendo al intento de sustituir la relación entre humanos por la relación entre personas y máquinas;
es un intento peligroso porque es goloso para las administraciones que gestionan el sistema edu
cativo. Formar a los docentes en activo es muy caro, da unos resultados poco previsibles y, ade
más, en muchos casos resulta decepcionante: lo que se consigue no se parece mucho a lo que se
programa. La tentación de invertir en sistemas «inteligentes» que podamos gestionar directa
mente sín tener que estar mediados por unas personas que no controlamos y de cuya pericia e in
terés dudamos es muy grande. Además, son sistemas muy limpios porque no están contaminados
por los intereses personales, la manías de cada uno, la manera de hacer de fulano, la visión del cu
rrículo de zutano, el corporativismo de todos ellos, etc. Pero es un camino equivocado que no nos
llevará a una mayor calidad educativa porque la educación dependerá siempre de intenciones, va
lores, creencias, sentimientos, manías, hábitos, es decir de lo que es propio de la comunicación hu
mana. Se mire por donde se mire, se haga lo que se haga, al final el factor humano es el que más
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
condiciona la educación. No sé si es una maldición o una bendición que esto sea así, pero sí creo
saber que es parte de nuestra condición como seres humanos.
El enfoque comunicativo, la funcióndocente y la competencia de gestionarel currículo
En este texto, tal y como he expuesto en la idea clave 4, he defendido
lo que he denominado enfoque comunicativo como base para una co
rrecta comprensión de lo que es la educación matemática. De los ar
gumentos expuestos se deduce que de la capacidad que un docente
tenga para establecer nexos de comunicación significativa con un es
tudiante depende fundamentalmente la calidad del proceso de ense
ñanza y, por ende, de la educación matemática que se propone y
construye. Es lo que en el punto anterior de este mismo capítulo he lla
mado «factor humano».
Si esto es así, y a fundamentarlo he dedicado ya bastantes páginas,
la derivación lógica de esa afirmación me lleva a concluir que la calidad
de la enseñanza de las matemáticas depende, fundamentalmente, de
la capacidad de un docente para planificar, buscar y proponer tareas
adecuadas; interpretar el significado de los mensajes que recibe de los
estudiantes; ayudarlas y estimularlos en la realización de las tareas; va
lorar, regular, evaluar su trabajo y proponer caminos de mejora; esti
mular la comunicación entre los estudiantes, en pocas palabras la
calidad de la enseñanza depende de la capacidad para alimentar el
nexo comunicativo. Por lo tanto, un docente debe ser capaz de realizar
con éxito esas labores y por pura coherencia hay que afirmar que debe
ser una persona capaz «de hacer», porque lo que constitutivo de su tra
bajo es: hacer hacer. Los alumnos aprenden cuando hacen y los docen
tes enseñan cuando hacen hacer a los estudiantes. Los dos hacen, sólo
IDEA CLAVE 7
que cosas distintas. A las personas cuya función social es saber hacer las
llamamos profesionales ya su pericia competencia, por eso podemos y
debemos enfocar la formación de los docentes como una formación de
profesionales que deben adquirir competencias. Por esta razón, la for
mación de docentes es una formación destinada a profesionales que
deben saber «qué hacer» y no a sabios que dominen solamente las
materias de enseñanza y las teorías generales de las ciencias de la edu
cación. Porque, aunque algunos piensen lo contrario, la suma de co
nocimiento epistemológico y conocimiento pedagógico no produce
competencia docente. La competencia docente está unida a la resolución
de los problemas que la práctica presenta y no se produce por acumu
lación yuxtapuesta de conocimiento. Esta distinción es clave y si falla
mos en su comprensión, nos resultará imposible comprender qué
camino deberemos tomar para formar adecuadamente a los docentes.
Resulta innecesario, por evidente, reconocer que la competencia do
cente, es decir, la posibilidad de gestionar con éxito el proceso de en
señanza, es imposible si se desconocen los contenidos que hay que
enseñar, por lo tanto ese conocimiento es necesario, pero también hay
que señalar que como saben los matemáticos una condición necesaria
no es siempre una condición suficiente. Esta evidencia tampoco debe
servir de coartada para posponer ni minusvalorar el resto de compe
tencias que hay que trabajar en la formación del profesorado, porque
como ya he dicho, y no me cansaré de repetir, un docente es un profe
sional de la enseñanza y no un sabio de la correspondiente área de co
nocimiento. Si de mí dependiera, esta competencia profesional que
deben tener los docentes para garantizar que el nexo comunicativo
funcione adecuadamente la denominaría competencia para la gestión
del currículo, porque creo que es una competencia algo más amplia que
la que tradicionalmente hemos llamado competencia didáctica.
La mejora de la competencia para la gestión del currículo de mate
máticas por parte de los docentes es, en mi opinión, el factor clave en
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
cualquier proceso que quiera atender a la mejora de la enseñanza, pero
debe quedar claro que no es el único. Un docente es una persona y un
profesional que trabaja en una institución social, que es la escuela, y su
trabajo no puede reducirse a una labor únicamente didáctica, es decir
de adecuación metodológica de contenidos que responden a fines edu
cativos de los que el docente es una mera correa de transmisión. El
hecho de que en esta idea clave deje de lado otros tipos de competen
cias para centrarme en la que he denominado como competencia de
gestión del currículo, no quiere decir que no las considere necesarias,
sino que éste no es el lugar más apropiado para desarrollarlas con el de
talle que merecens.
Debe entenderse con claridad que cuando hablo de competencia
para la gestión del currículo, me estoy refiriendo a una competen
cia que hay que desarrollar en la práctica, como sucede por otra parte
con cualquier competencia, y no a un saber abstracto que pueda es
tudiarse solamente de manera teórica. Ésta es una afirmación bas
tante radical porque pone en evidencia la dificultad de organizar la
formación inicial de los docentes como una formación profesional,
dado que se desarrolla en instituciones que, por lo menos hasta el
momento, han estado, ya veces han tenido a gala estar, alejadas de
la práctica educativa y refugiadas en la especulación teórica. En lo
que hace referencia a la formación del profesorado, no venimos de
una tradición que haya primado estos aspectos de la competencia y la
práctica como ejes de la formación. Venimos, más bien, de una tradi
ción retórica y especulativa que ha dejado los problemas de la prác
tica para después.
5. La propuesta de competencias docentes del SBL (Stichting Beroepskwaliteit Leraren)
holandés (www./erarenweb.nf) contiene los siguientes tipos de competencias: interper
sonales, pedagógicas, del área y su enseñanza, de colaboración con los compañeros, de
colaboración con entidades sociales y de autorreflexión y formación permanente.
IDEA CLAVE 7
Los fractales son una maravilla de la geometría, iba a decir de la naturaleza,
que reproducen las mismas formas a diferentes escalas. Es una imagen que
nos puede venir muy bien en este contexto para mostrar la incoherencia
que supone pedir que se organice el currículo para los estudiantes por com
petencias, cuando ni la formación de los docentes que deben gestionar ese
currículo ni la de sus profesores universitarios encargados de esa formación
siguen esas pautas. La mínima coherencia exige que las distintas escalas o
niveles que organizan el currículo y la formación de las personas que deben
gestionarlo se organicen según una lógica similar. Esdecir que lo que se pre
pare a un nivel de la escala se reproduzca en los demás. Lo que quiero decir
es que lo que se pretende que se produzca a una escala debe estar presente en
las que la sustentan, so pena de errar en la estructura y debilitar todo el edi
ficio formativo.
Esta manera fractal de ver los problemas resulta de especial interés en
esta cuestión. Es decir que necesitamos estudiantes que puedan con
vertir en competencia lo que aprenden, y para ello precisamos docentes
competentes para promover la competencia en los estudiantes. Y para
darle otra vuelta a la espiral necesitamos programas universitarios ca
paces de promover competencias en los formadores de los futuros do
centes para que éstos a su vez sean competentes a la hora de desarrollar
la gestión del currículo y puedan afrontar la tarea profesional de ge
nerar aprendizajes y competencias en sus estudiantes.
Mientras sigamos pensando que es posible formar docentes com
petentes profesional mente con cursos teóricos impartidos desde las
cátedras universitarias, no habremos entendido el significado profundo
de la reforma que se plantea y perderemos la oportunidad de construir
un nuevo enfoque en la formación de los docentes.
Es necesario incorporar de manera decidida a los procesos formati
vos estas ideas. No son tan nuevas (Schbn, 1998; Carr, 1995 y otros) y tal
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
vez vestidas con un nuevo ropaje terminológico vuelvan a la plaza como
innovaciones de última hora, que suelen ser tan poco rebatidas
como escasamente incorporadas a los planes formativos de las institu
ciones encargadas de ponerlas en marcha, por simples y coherentes
y por subversivas de los intereses corporativistas de quienes las deben
poner en práctica.
No es pensar en fractal organizar la formación de los docentes
pensado únicamente en la lógica interna de las temáticas que hay
que tratar, en la de los bloques de contenidos que las desarrollarán
y en los créditos que corresponden a cada departamento universita
rio. No es pensar en fractal dejar el prácticum para «luego», una vez
que, guiados «antes» por teóricos que desconocen la práctica edu
cativa, se haya aprendido qué es lo que se debe aplicar. Pensar en
fractal es organizar la formación de los docentes desde procesos que
puedan asegurar la correcta relación entre la práctica profesional y
la teoría que la debe sustentar, pensar en fractal es crear contextos
formativos donde docentes con experiencia en el área y la etapa co
rrespondiente, estudiantes en el inicio de su formación profesional,
profesorado novel en activo y profesores universitarios trabajen de
manera conjunta contrastando de manera reflexiva los problemas
que la práctica diaria contempla a la luz de las teorías educativas que
se compartan.
Pensaren fractal es aplicar en todos los niveles formativos la misma
lógica de priorizar, para el desarrollo profesional, la práctica reflexiva
como eje organizador de todo el entramado educativo y no solamente
en algunos de ellos.
Hay una última cuestión que no podemos dejar pasar por alto al re
ferimos a las competencias docentes para la enseñanza, se trata del
carácter cooperativo de esafunción y de la importancia que éste tiene
tanto para la gestión del currículo como para la definición de los pro
cesos de formación que se quieran poner en marcha. Si miramos el
IDEA CLAVE 7
currículo, como lógicamente debe hacerse, desde la perspectiva del
estudiante, no puede concebirse como un agregado de propuestas in
conexas realizadas por distintos docentes, porque el alumno sólo
podrá construir algo con sentido si el conjunto de los estímulos que
recibe lo tiene y ese conjunto es, desde la óptica del estudiante, la
unión de las propuestas que le hacen, por una parte, el resto (anterior
y posterior) de docentes de la misma área (matemáticas) a lo largo de
susaños de escolarización y, por otra, los docentes de otras áreas que
comparten el curso en el que se encuentra el estudiante en un deter
minado momento. Este carácter incompleto que tiene la acción de
cada docente vista de manera aislada obliga a reflexionar sobre la im
portancia que, para el desarrollo de la educación y de la preparación
de losdocentes, tiene la toma de conciencia de estacuestión por parte de
los profesores. Obliga, así mismo, a considerar la importancia de la co
municación entre los docentes no solamente de la misma área, lo que
ya resulta dificultoso muchas veces, sino también de diferentes áreas;
porque el currículo visto de manera sincrónica es la suma de los estí
mulos que recibe el alumno desde las diversas áreas que conforman la
propuesta del plan de estudios. Esta consideración debe tenerse en
cuenta a la hora de plantear la formación de los docentes porque
esta comunicación intra y extra departamental sólo será posible si
se comienza a vivir como práctica desde los inicios de la formación, que
es donde se construyen el lenguaje que permite esa colaboración y los
hábitos de trabajo que la facilitan.
La formación inicial de los docentesde matemáticasLa formación inicial del profesorado está necesitada de una reforma
urgente y profunda, pero la de los docentes de ciencias y de matemá
ticas aún más. El diagnóstico más extendido, dicho de una manera un
tanto simple, es:«Losdocentes de primaria no saben matemáticas y los
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
de secundaria6 no saben enseñarlas». La solución parecería obvia si no
fuera porque en educación casi ninguna cuestión lo es: «enseñemos
más matemáticas a los que aspiran a ser docentes de primaria y cómoenseñarlas a los de secundaria».
Sin embargo, los problemas son mucho más complejos y requieren
de un replanteamiento más radical y estructural. Por lo que hace refe
rencia al proceso de formación inicial de los futuros maestros y maes
tras y enfocándolo únicamente desde la vertiente de los contenidos de
matemáticas que hay que dominar, cabe decir que, aceptando las críti
cas que se puedan realizar sobre las deficiencias que se dan en el co
nocimiento de los objetos matemáticos por parte de los que aspiran a
ser maestros y maestras, parece muy poco realista pensar que en la for
mación inicial de un docente de primaria, que en principio debe tra
bajar contenidos epistemológicos de diferentes áreas, se exija un nivel
en su formación equivalente al de un profesor que se prepara para im
partir solamente una o varias áreas normalmente relacionadas entre sí.
Mucho más todavía cuando las nuevas propuestas en competencias
clave tienden a difuminar las diferencias entre las áreas, consideración
a la que hay que añadir que la importancia de los contenidos en el pro
ceso formativo es menor en primaria que en secundaria. Por lo tanto,
la clave hay que buscarla en el buen aprovechamiento de los estudios
de bachillerato y en el refuerzo que pueda hacerse de éstos en los pri
meros cursos de la formación en los grados de educación. Pretender
que los futuros docentes de primaria consoliden sus conocimientos de
las áreas tomando parte en los grados de otras disciplinas es irrealiza
ble de momento. El dominio de los contenidos matemáticos puede y
debe mejorarse, pero en todo casoexiste tiempo destinado a realizarlo
6. Utilizaré en el desarrollo de esta idea clave el término «secundaria» para referirme
a los estudios comprendidos entre la finalización de la enseñanza primaria y el iniciode los estudios universitarios.
IDEA CLAVE 7
y no es, desde luego, el mayor de los déficits que se pueden constatar.
Otra cosa es la preparación, de quienes aspiran a ser docentes en se
cundaria, en el dominio de los contenidos de las disciplinas que deben
enseñar. Aquí sí que parece necesario, como viene siendo habitual, que
los aspirantes a docentes en estos niveles dispongan de formación uni
versitaria en el corpus de las disciplinas correspondientes, en este caso
matemáticas. Lo que no parece tan evidente es el tipo de formación
universitaria que deben recibiry, en consecuencia, el tipo de grado que
deben cursar. Lo más inmediato, aunque como veremos no creo que sea
lo mejor, sería pensar que deberían cursar un grado equivalente a la actual
licenciatura en matemáticas. ¿Por qué digo que no es lo mejor? Por
varias razones:
• El sistema educativo, en general, y la educación secundaria, en par
ticular, funcionan mejor con un profesorado polivalente que pueda
impartir más de una materia, por lo que la excesiva especialización
en un área de conocimiento para ser docente en estos niveles es un
inconveniente y no una ventaja, porque no facilita la comunicación,
sino más bien todo lo contrario.
• En la actualidad, y así parece que será en el futuro, no se puede ya
abastecer de profesores de matemáticas a una secundaria a la que
accede la casi totalidad de la población con personas que hayan es
tudiado un grado en matemáticas, porque quienes se matriculan en
estos estudios son pocos; por lo tanto, si van a dar clase de mate
máticas los que no las han estudiado exclusivamente, es mejor que
no las impartan quienes sólo han estudiado física o química o bio
logía o ingeniería u otra materia afín.
• Hay que hacer más atractivos los estudios de ciencias a los jóvenes
que aspiran a ingresar en la universidad porque el número que se
matricula en este tipo de estudios está disminuyendo progresiva
mente, éste es un problema grave en la mayoría de los países euro
peos. En general, los estudios muy especializados, costosos en
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
esfuerzo y sin una salida profesional clara, son menos solicitados que
aquellos que son más polivalentes y tienen dibujada una salida pro
fesional más nítida.
Todas estas razones me llevan a proponer que se estudie la posibilidad
de construir un grado en ciencias que fuera equivalente al Bachelor of
Sciences, tan normal en el mundo anglosajón. Para aspirar al postgrado
de formación de profesor de secundaria este tipo de grado polivalente
sería más adecuado que la repetición de la actual licenciatura en ma
temáticas al nivel de grado. La tendencia instalada en nuestras univer
sidades de considerar el nuevo grado como un trasunto, sin más, de la
antigua licenciatura es un error que pone en riesgo las potencialidades
de la actual reforma universitaria para resolver ciertos problemas como
el que el que cito.
Pero, la formación inicial de los docentes no puede reducirse a la for
mación en el área de conocimiento y debe abarcar más ámbitos, esto ya
lo sabemos. Entonces, ¿dónde reside la dificultad, dónde nos equivo
camos cuando, suponiendo que los aspirantes a docentes conocen los
contenidos de las materias que deben impartir, nos enfrentamos al pro
blema de su formación en el resto de competencias profesionales uni
das a su futura labor docente? Todos somos conscientes de que la actual
formación inicial de los docentes dista mucho de ser una formación que
prepare para el ejercicio de esa profesión.
En mi opinión, lo que no va bien en la formación inicial de los do
centes de primaria, y muchísimo menos en secundaria, es el proceso de
preprofesionalización, es decir el proceso formativo por el que una per
sona comienza, la mayoría de las veces a una edad muy temprana, entre
los dieciocho y los veinte años, el camino de la progresiva asunción de
su destino profesional: ser enseñante o docente. En la formación ini
cial de los docentes se hace excesivo hincapié, y no me estoy refiriendo
a los contenidos de matemáticas, sino al resto de las materias del cu-
IDEA CLAVE 7 1
rrículo formativo (psicología, sociología, pedagogía, didáctica, etc.), en
la preparación teórica como si almacenar toda esta información fuera
previamente necesario al desembarco en la playa que es la práctica real
en el aula: una mochila que hay que llenar con todos los recursos
que se estiman necesarios para cuando haga falta. Lo que sucede es que
cuando llega el desembarco en la playa, además de estar mareado por
el oleaje que son los procesos por los que un aspirante llega a un cen
tro, esa mochila pesa tanto y es tan incómoda que la mayoría de los
docentes noveles se la quita de encima, la abandona rápidamente, para
poder moverse con agilidad en un ambiente que percibe complicado.
La mochila pesa, es una rémora y no una ayuda.
Esta relación de prelación entre teoría y práctica es un obstáculo,
una rémora, un peso que deteriora el desarrollo de ese proceso que he
denominado de preprofesionalízación y lo hiere mortalmente. Marca el
inicio y crea una cultura que se repetirá mecánicamente en todos los
procesos formativos posteriores, porque se transmite, de manera im
plícita, la idea de que existe algo previo a la acción que es la teoría y,
por desgracia, a la adquisición de esa teoría se asocia el concepto de for
mación. Posteriormente los profesores actuarán en el medio educativo
y muchas veces lo harán dando la espalda, ignorando o soslayando esas
teorías, pero eso no parece tener importancia. Esdecir, crearán sus pro
pias teorías para la acción, pero lo harán fuera del circuito formativo, mu
chas veces sólo las contrastarán con sus compañeros o compañeras de
manera informal y estarán fuertemente condicionadas por las culturas do
minantes en los centros, que no son otra cosa que las pautas de conducta
que de manera histórica y por medio de un proceso de sedimentación se
han ido instaurando como forma de hacer frente a los problemas de la
profesión. ¿Pero qué es al fin y al cabo una teoría sino esas pautas orga
nizadas en corpus que se pueden sintetizar y generalizar?
Los profesionales de la educación, en este caso los docentes de ma
temáticas, son profesionales de la educación antes que otra cosa, son
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
expertos de alto nivel y no pueden ejercer correctamente su profesión
sin formación teórica. Esto no se puede poner en duda. Lo que debe
cuestionarse es de qué manera se apropian de ella y qué sentido tiene
la teoría en su función profesional; es decir cómo construyen las pau
tas de actuación que regirán su vida profesional y qué peso tiene en
esta construcción la relación dialéctica que debe darse entre teoría y
práctica. Todas las personas, y más los profesionales, actuamos utili
zando esquemas o pautas de comportamiento que hemos aprendido,
y esta manera de actuar la podemos llamar teórica porque en principio
es generalizable, es decir que frente a situaciones similares tenderemos
a actuar de manera similar. Esaspautas las podemos denominar la teo
ría que guía nuestra práctica. Visto así toda actuación profesional está
mediada, condicionada, por las teorías explícitas o implícitas de las que
dispone el docente. El problema consiste en observar de qué manera,
cuándo y por medio de qué mecanismos se construyen esas teorías para
la acción. La respuesta ya la hemos sugerido en líneas anteriores. Las te
orías aprendidas en los años de formación universitaria no llegan nunca
a convertirse en pautas de actuación, se dejan de lado y son abando
nadas por ineficaces, y su lugar es ocupado por las pautas que son
dominantes en las culturas de los centros en los que los docentes deben
integrarse: los comentarios de los compañeros sobre las actuaciones de
otros miembros de la comunidad escolar, las rutinas establecidas a la
hora de organizar el currículo, la manera de encarar los conflictos, los
trucos para tratar con la dirección, los padres o los estudiantes, la elec
ción de los materiales, los tipos de pruebas de evaluación, el modo en
el que se organiza el poder de decisión en un centro y cómo resistirse
a éste, las maneras que se siguen en las relaciones con los estudiantes,
los modos de vestir y un largo etc. Todas estas pautas conforman esa
cultura que constituye la fragua donde se moldean las competencias
profesionales, y no debemos olvidar que no son otra cosa que los pa
trones que hay que seguir a la hora de encarar los conflictos que la ac-
IDEA CLAVE 7
ción diaria nos trae como el pan nuestro de cada día. La cultura profe
sional de los centros se convierte de esta manera en la forja donde se
modelan las competencias docentes.
Por otra parte, una de las características de una actuación profesio
nal es precisamente el no ser intuitiva o espontánea, sino el estar me
diada por el saber profesional que es de tipo general, es decir teórico.
El análisis que puede hacer un profesional de la enseñanza de las ma
temáticas de la respuesta que un estudiante da a una tarea de mate
máticas resulta radicalmente distinto e infinitamente más rico en matices
e información que el que pueda hacer una persona que no sea profe
sional en esta cuestión y que aplique su inteligencia de manera intui
tiva y espontánea, y lo que decimos para los profesionales de la
enseñanza de las matemáticas lo podríamos repetir para cualquier otro
tipo de profesional de la enseñanza. La actuación profesional es, pues,
una actuación mediada por modelos y esquemas teóricos, si no, no sería
profesional.
Conocemos estas ideas desde hace tiempo, pero somos incapaces de
utilizarlas de manera coherente en la formación de los docentes. En los
modelos de formación actuales en nuestro país, incluso en los mejor in
tencionados, lo que se hace es dar a los estudiantes una visión enciclo
pédica de las materias que se consideran fundamentales: psicología,
pedagogía (su historia y métodos), didáctica general y específica del
área, sociología, etc. Una vez que ya «saben» todo eso se supone que les
toca, en el mejor de los casos de manera bien tutorizada, aplicarlo a la
realidad como si realmente la relación entre teoría y práctica fuera de
tipo lineal y deductivo. Además, para señalar bien esa diferencia, las ins
tituciones que se ocupan de una y otra cosa son diferentes: la teoría
corre a cargo de la universidad y la práctica de las escuelas, aunque en
este segundo caso exista una intervención de la universidad. La cons
trucción de las teorías ligadas a la acción educativa y la de la práctica
iluminada por esas teorías no se realizan según esta lógica de un «antes»
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
y un «después», sino que si fuera necesario utilizar una metáfora geo
métrica para describir esa relación, la más cercana sería la de una espi
ral que pone de manifiesto el carácter dialéctico de esta relación.
Voy a poner algunos ejemplos. No es razonable suponer que se
deben dominar todas las teorías sociológicas para actuar responsable
mente en un aula en la que conviven estudiantes de diferentes es
tamentos sociales, culturales, idiomáticos, etc. Esprecisamente al revés,
porque en las aulas existen este tipo de cuestiones y muchas veces son
origen de dificultades, necesitaremos reflexionar sobre ellas y ver la
manera en la que las teorías sociológicas nos pueden ayudar a tomar
decisiones adecuadas, porque los docentes no son estudiosos de la so
ciología, sino profesionales de la educación y ésta tiene una vertiente
de acción que no se lleva bien con la dilación de las respuestas que hay
que dar. Ya sabemos que los estudiosos dudan, y deben dudar, pero
los profesionales han de actuar y la acción tiene unos tiempos que la
contemplación no tiene. No es razonable pensar que hay que ser un
experto en planificación curricular para actuar de manera adecuada a
la hora de programar una secuencia de enseñanza-aprendizaje. Seguiré
con el ejemplo: no es razonable pensar que un docente debe ser un ex
perto en planificación curricular antes de comenzar a planificar una se
sión de enseñanza-aprendizaje y que para ello necesita un módulo
entero en el que se le explique cómo se hace esa planificación. Es pre
cisamente al revés, porque solamente cuando comience su trabajo va a
saber realmente el nivel de autonomía que le dará la institución en la
que trabaja para planificar, y tendrá que adecuar su manera de actuar
en esta cuestión a esa situación, es en ese momento cuando podrá com
prender qué es planificación y qué debe saber para Ilevarla a cabo co
rrectamente, es entonces y no antes cuando puede sentir el valor de la
reflexión teórica. No es razonable estudiar todas las dificultades de
aprendizaje que históricamente se han catalogado antes de actuar
de manera sensata en una situación que implique adaptar las pro-
IDEA CLAVE 7
Esta formación debe
ría organizarse pensando en los intereses
de quienes la recibeny no sólo de quienes
la imparten.
puestas educativas generales a casos particulares, cuando surja ese pro
blema en la práctica deberá resolverse y para ello deberá recurrirse a la
iluminación teórica correspondiente. Llenar la cabeza de un joven es
tudiante con teorías sociológicas, pedagógicas, didácticas y psicológicas
no le hará estar más armado frente a las dificultades de la práctica, pero
sí le inducirá a pensar, erróneamente, que esas teorías no tienen ningún
valor para ayudarle a resolver los problemas que se le plantean.
La formación inicial de los docentes está, así, atrapada en una con
tradicción que no somos capaces de resolver: no sabemos cómo supe
rar una tradición academicista atomizada en áreas de conocimiento
que a su vez se subdividen en materias aisladas, porque fuera de ese
árbol no somos capaces de identificar dónde nos situamos nosotros, me
refiero a los docentes universitarios, y es, además, una formación pro
fesional que se imparte fuera de los contextos reales en los que debe
ejercerse. y ya hemos repetido, una y otra vez, que el desarrollo de
competencias fuera de los contextos de su aplicación es una cosa ex
traña por ser complicada. Es por esta razón que me he atrevido a ha
blar de preprofesionalización para referirme a los estudios de
formación inicial de los docentes. Es decir que deberíamos enfocarla
como una formación que va preparando a los jóvenes que llegan a estos
estudios para iniciarse en su labor de docentes, que es ante todo una
profesión. Ellos y ellas no son todavía profesionales, pero deben ir ad
quiriendo hábitos, pautas de conducta, actitudes y estrategias de ac
ción que les vayan preparando progresivamente para esa labor a la que
aspiran. Y sobre todo, aunque suene algo ingenuo, deberíamos pensar
que esa formación hay que organizarla desde los intereses de quienes
la reciben y no sólo desde los de quienes las imparten.
Cifrar en esta formación inicial la esperanza de una mejora radical
de las competencias profesionales de los docentes es una ilusión vana,
la formación inicial no puede ser otra cosa que, como su nombre in
dica, el inicio de un camino de profesionalización que debe ser com-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
pletado con otras fases. Esperar que un muchacho o muchacha que in
gresa en la universidad con dieciocho, diecinueve o veinte años, en mu
chos casos, pueda convertirse en un profesional de la educación con
cuatro o cinco años de estudios universitarios es algo que cualquier aná
lisis mínimamente serio debe cuestionar.
Los nuevos marcos legales para laformación del profesorado de secundaria.El postgrado de formacióndel profesorado de secundaria
Disponemos ya, en estos momentos, de los decretos que regularán los
currículos de formación de los grados para los docentes de primaria y
del postgrado para los profesores de secundaria. Se publicaron en el
BOE el pasado 29 de diciembre de 2007. ¿Qué podemos decir de ellos?
Lo primero que llama la atención en la actual reforma universitaria es
el alto grado de autonomía que se concede a las distintas universida
des a la hora de organizar planes de estudios propios y, por lo tanto, la
generalidad de los textos obligatorios. Estos documentos son de un
grado de generalidad tan amplio que es difícil posicionarse, porque la
lectura que puede hacerse de éstos no es unívoca y el análisis no podrá
realizarse hasta que alguien no redacte una propuesta concreta de for
mación. Mientras tanto habrá que aplazar la opinión.
Por lo que hace referencia al postgrado de formación de profeso
rado de secundaria, que tiene una relación más directa con la formación
de lo que podemos entender como profesores de área y en conse
cuencia de matemáticas, sabemos que éste será de sesenta créditos
ECTSque, para los no expertos en el currículo universitario, hay que in
dicar que suponen un año o su equivalente de dos semestres de pre
paración universitaria. De los sesenta créditos, aproximadamente un
tercio, entre dieciséis y veinticuatro deben destinarse a prácticas, es
IDEA CLAVE 7
decir entre cuatrocientas y seiscientas horas de prácticas de las 1.500
horas que supone el postgrado.
Las condiciones de acceso al postgrado son las siguientes:
4.2. Condiciones de accesoal Máster
Para el ingreso en el Máster se establece como requisito de acceso la acre
ditación del dominio de las competencias relativas a la especialización que
se desee cursar, mediante la realización de una prueba diseñada al efecto
por las Universidades, de la que quedarán exentos quienes estén en pose
sión de alguna de las titulaciones universitarias que se correspondan con la
especialización elegida.
Asimismo, habrá de acreditarse el dominio de una lengua extranjera equi
valente al nivel B1 del Marco Común Europeo de Referencia para las Len
guas, de acuerdo con la Recomendación N° R (98)6 del Comité de Ministros
de Estados Miembros de 17 de octubre de 2000. (MEC, 2007)
Al ministerio le gusta el misterio, ¿qué será eso de «las competencias re
lativas a la especialización que se desee cursar»? Se supone, aunque no
lo dice, seguramente por obvio, que un postgrado viene después de un
grado. Lo que despista es que no cita de manera específica ningún tipo
de grado, por lo que alguien podría concluir que cualquier grado ha
bilita para este postgrado siempre y cuando alguien demuestre que se
dominan las competencias relativas a la especialización que se desee
cursar. Los responsables universitarios que deban descubrir «cuáles son
esas competencias» o determinar, en su caso, «la prueba diseñada a tal
efecto» ya tienen un nuevo rompecabezas. Se habla de especializacio
nes, pero no se citan en este borrador ni en la norma publicada en el
BOE. ¿Serán las universidades las que deberán definir esas especialida
des? ¿Podrán ser diferentes de unas universidades a otras? ¿Podrán ser
muy generales abarcando varias áreas, tipo «profesor/a de matemáti
cas, ciencias y tecnología», o deberán ser específicas, tipo «profesor de
matemáticas para la secundaria superior»?
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
En toda la reforma universitaria actual hay muchos de estos enig
mas que la harían muy divertida si no fuera porque jugar con cosas im
portantes es poco serio. Da la impresión de que la política educativa
actual huye de los conflictos como los gatos de las duchas frías, y qué
mejor manera de evitar los conflictos que traspasar las decisiones con
flictivas a otros. Con el pretexto de la autonomía, el ministerio se saca
de encima muchas patatas calientes que se las endosa a las universidades.
Puede que así haya menos conflictos, pero no es seguro que las cosas
vayan mejor. También disponemos de unos objetivos generales de esa
formación o competencias que hay que lograr, son los siguientes:
1. Conocer los contenidos curriculares de las materias relativas a la espe
cialización docente correspondiente, así como el cuerpo de conoci
mientos didácticos en torno a los procesos de enseñanza y aprendizaje
respectivos. Para la formación profesional se incluirá el conocimiento
de las respectivas profesiones.
2. Planificar, desarrollar y evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje
potenciando procesos educativos que faciliten la adquisición de las
competencias propias de las respectivas enseñanzas, atendiendo al
nivel y formación previa de los estudiantes así como la orientación de
los mismos, tanto individualmente como en colaboración con otros do
centes y profesionales del centro.
3. Buscar, obtener, procesar y comunicar información (oral, impresa, au
dio visual, digital o multimedia), transformarla en conocimiento yapli
car/a en los procesos de enseñanza y aprendizaje en las materias
propias de la especialización cursada.
4. Concretar el currículo que se vaya a implantar en un centro docente
participando en la planificación colectiva del mismo; desarrollar y apli
car metodologías didácticas tanto grupa les como personalizadas, adap
tadas a la diversidad del alumna do.
5. Diseñar y desarrollar espacios de aprendizaje con especial atención a
la equidad, la educación emocional y en valores, la igualdad de de-
IDEA CLAVE 7
rechos y oportunidades entre hombres y mujeres, la formación ciu
dadana y el respeto de los derechos humanos que faciliten la vida en
sociedad, la toma de decisiones y la construcción de un futuro soste
nible.
6. Adquirir estrategias para estimular el esfuerzo del alumno y promover
su capacidad para aprender por sí mismo y con otros, y desarrollar ha
bilidades de pensamiento y de decisión que faciliten la autonomía, la
confianza e iníciativa personales.
7. Conocer los procesos de interacción y comunicación en el aula, domi
nar destrezas y habilidades sociales necesariaspara fomentar el apren
dizaje y la convivencia en el aula, y abordar problemas de disciplina y
resolución de conflictos.
8. Diseñar y realizar actividades formales y no formales que contribuyan
a hacer del centro un lugar de participación y cultura en el entorno
donde esté ubicado; desarrollar las funciones de tutoría y de orienta
ción de los alumnos de manera colaborativa y coordinada; participar en
la evaluación, investigación y la innovación de los procesos de ense
ñanza y aprendizaje.
9. Conocer la normativa y organización institucional del sistema educativo
y modelos de mejora de la calidad con aplicación a los centros de en
señanza.
10. Conocery analizar las características históricas de la profesión docente,
su situación actual, perspectivas e interrelación con la realidad social de
cada época.
11. Informar y asesorar a las familias acerca del proceso de enseñanza y
aprendizaje y sobre la orientación personal, académica y profesional
de sushijos. (MEC, 2007)
Estos fines generales se desarrollan siguiendo una serie de módulos a
los que se asocian, a su vez, una serie de objetivos que son los que mues
tra el cuadro 3.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Cuadro 3
12-16
24-30
Conocer las características de los alumnos, sus contextos
sociales y motivaciones. Comprender el desarrollo de lapersonalidad de estos alumnos y las posibles disfuncionesque afectan al aprendizaje. Elaborar propuestas basadas enla adquisición de conocimientos, destrezas y aptitudes intelectuales y emocionales. Identificar y planificar la resolución de situaciones educativas que afectan a alumnos condiferentes capacidades y diferentes ritmos de aprendizaje.
Conocer los procesos de interacción y comunicación en elaula y en el centro, abordar y resolver posibles problemas.Conocer la evolución histórica del sistema educativo en
nuestro país. Conocer y aplicar recursos y estrategias de información, tutoría y orientación académica y profesional.Promover acciones de educación emocional, en valores y formación ciudadana. Participar en la definición del proyectoeducativo y en las actividades generales del centro atendiendo a criterios de mejora de la calidad, atención a la diversidad, prevención de problemas de aprendizaje yconvivencia.
Relacionar la educación con el medio y comprender la función educadora de la familia y la comunidad, tanto en la adquisición de competencias y aprendizajes como en laeducación en el respeto de los derechos y libertades, en laigualdad de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres y en la igualdad de trato y no discriminación de las personas con discapacidad. Conocer la evolución histórica de lafamilia, sus diferentes tipos y la incidencia del contexto famiHaren la educación. Adquirir habilidades sociales en la relación y orientación familiar.
Conocer el valor formativo y cultural de las materias correspondientes a la especialización y los contenidos que se cursan en las respectivas enseñanzas. Conocer la historia y losdesarrollos recientes de las materias y sus perspectivas parapoder transmitir una visión dinámica de las mismas. Conocercontextos y situaciones en que se usan o aplican los diversos contenidos curriculares. En formación profesional, conocer la evolución del mundo laboral, la interacción entre
IDEA CLAVE 7
16-24
sociedad, trabajo y calidad de vida, así como la necesidad deadquirir la formación adecuada para la adaptación a loscambios y transformaciones que puedan requerir las profesiones. En el caso de la orientación psicopedagógica y profesional. conocer los procesos y recursos para la prevenciónde problemas de aprendizaje y convivencia, los procesos deevaluación y de orientación académica y profesional.
Conocer los desarrollos teórico-prácticos de la enseñanza yel aprendizaje de las materias correspondientes. Transformar los currículos en programas de actividades y de trabajo.Adquirir criterios de selección y elaboración de materialeseducativos. Fomentar un clima que facilite el aprendizaje yponga en valor las aportaciones de los alumnos. Integrar laformación en comunicación audiovisual y multimedia en elproceso de enseñanza-aprendizaje. Conocer estrategias ytécnicas de evaluación y entender la evaluación como uninstrumento de regulación y estimulo al esfuerzo.
Conocer y aplicar propuestas docentes innovadoras en elámbito de la especialización cursada. Analizar críticamenteel desempeño de la docencia, de las buenas prácticas y de laorientación utilizando indicadores de calidad. Identificar los
problemas relativos a la enseñanza y aprendizaje de las materias de la especialización y plantear alternativas y soluciones. Conocer y aplicar metodologias y técnicas básicas deinvestigación y evaluación educativas y ser capaz de diseñary desarrollar proyectos de investigación, innovación y evaluación.
Adquirir experiencia en la planificación, la docencia y laevaluación de las materias correspondientes a la especialización. Acreditar un buen dominio de la expresión oral yescrita en la práctica docente. Dominar las destrezas y habilidades sociales necesarias para fomentar un clima que faciliteetaprendizaje y la convivencia. Participar en las propuestasde mejora en los distintos ámbitos de actuación a partir dela reflexión basada en la práctica. Para la formación profesional, conocer la tipologia empresarial correspondiente alos sectores productivos y comprender los sistemas organizativos más comunes en las empresas. Respecto a la orienta-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
ción, ejercitarse en la evaluación psicopedagógica, el asesoramiento a otros profesionales de la educación, al alumnadoya las familias. Estascompetencias, junto con las propias delresto de materias, quedarán reflejadas en el Trabajo fin deMáster que compendia la formación adquirida a lo largo detodas las enseñanzas descritas.
Fuente: www.safil.infoldocumentoslmasterprof.pdf
Con estos mimbres se pueden hacer muchas cestas diferentes. Todo pa
rece indicar que en esto, como en casi toda esta reforma universitaria,
va a haber un amplio cauce para la autonomía y que, en consecuencia, van
a coexistir diversos modos de acceso a este postgrado. Es decir que
puede haber muchas propuestas distintas que se organicen respetando
estas bases. En mi opinión la política universitaria camina dando ban
dazos y ahora estamos en la banda de la autonomía extrema, como en
otras épocas hemos estado en la de la banda de su absoluta ausencia.
Porque, y esto es relevante, esos títulos van a tener validez por lo menos
en el territorio español (deberíamos esperar que también en otros pa
íses de la Unión Europea) y corremos el riesgo de que la competición
entre universidades no se centre en ver quién lo hace mejor, sino en
ver quién atrae a más estudiantes y para ello pone condiciones menos
exigentes. Si la administración pública no toma cartas en el asunto ni
abandona la desidia y pasividad actual para pasar a ser un agente ac
tivo que ponga controles y garantías en el acceso a la función docente,
podemos estar ante un nuevo fraude.
La autonomía universitaria a partir de estos previos es muy grande
y puede dar lugar a planes formativos muy diferenciados, y esto es una
realidad que debemos empezar a encarar con todas sus consecuencias.
Pensar que la autonomía, con la hipotética competitividad que conlleva
entre instituciones formativas, va a ser beneficiosa con independen
cia de las condiciones objetivas en las que ésta puede desarrollarse es
IDEA CLAVE 7
una falacia. La autonomía para construir currículos sirve para poco si
no se dan otras condiciones que confluyan de manera sinérgica con la
libertad de acción, porque como todos sabemos el sistema educativo
es precisamente un sistema, y en una estructura de este tipo no se
puede alterar el valor de una variable y esperar que no cambie el con
junto del sistema.
Entiendo que esta norma no prohíbe que las universidades pro
muevan convenios con los centros educativos, ni con la Administración
que los gestiona, de cara a ir ensayando nuevas formas de forma
ción más centradas en la práctica profesional, pero desde luego no lo
promueve explícitamente y mucho me temo que no va a ser esa la
mayor preocupación de las instituciones universitarias cuando haya que
concretar este postgrado en cada una de las universidades. Sospecho
que la preocupación más extendida será saber qué facultad o escuela
se «quedará» con esetítulo y a quién le tocará impartir cada uno de los
módulos que ese proyecto de norma enuncia. Y lasque actúen asíy no
establezcan el marco formativo que hemos pergeñado en líneas ante
riores van a poder dar el mismo título que las que se preocupen en or
ganizarlo.
Simiramos la ausencia de prohibición, podemos estar contentos por
que lo que no está prohibido se puede hacer. Depende ahora de que
seamos capacesde hacerlo. Si miramos, en cambio, la ausencia de pro
puestas actualizadas, podemos estar preocupados porque lo que no es
obligatorio no hay por qué hacerlo y muchos no lo harán. El fallo bá
sico que observo en esta norma es que sólo se habla en ella de una de
las tres patas fundamentales en la formación inicial de los docentes: la
universidad, pero la norma se olvida de manera flagrante de las otras
dos: los centros educativos y la Administración. Loscentros educativos
y la Administración no son solamente importantes en la formación con
tinua de los docentes, sino que también lo son en la inicial y en el pe
ríodo de inducción. Formación inicial, período de inducción y formación
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
continua son tres elementos que no pueden ir separados ni estar diri
gidos por instituciones diferentes que no mantienen entre sí relaciones
estructurales con respecto a estas responsabilidades; porque la carrera pro
fesional debe entenderse como un continuo que comienza en la formación
inicial y se extiende a las posteriores, y porque desde dicha formación hay
que poner los cimientos de ese camino, cimientos que no pueden ser es
tablecidos solamente por una de las tres instituciones implicadas.
Para que la autonomía promueva buenos planes de formación y la di
versidad de propuestas sea enriquecedora, hace falta que alguien ex
terno al propio proceso formativo garantice que quienes mejor lo hagan
se vean premiados. Lo que quiero decir es fácil de entender: si la Admi
nistración, que es la empresa que emplea a la mayoría de los docentes,
y el resto de instituciones que incorporan profesores a sus plantillas exi
gen de éstos niveles de formación garantizados por pruebas de acceso
bien estructuradas, la autonomía generará una espiral competitiva po
sitiva y todos tenderemos a hacerlo lo mejor posible. Esdecir si tener un
título extendido por una universidad no es suficiente para ejercer y los
empleadores se esfuerzan en garantizar que el acceso a la función do
cente implique ciertas condiciones, y si éstas son razonablemente exi
gentes, todo irá por buen camino. Pero si en cambio poseer una
acreditación universitaria permite el acceso directo a la función docente
sin ninguna garantía externa al proceso, como de lo que se tratará es de
tener un título y no necesariamente las competencias asociadas a él, que
por cierto nadie evaluará, la espiral competitiva será negativa y las uni
versidades competirán a ver quién da el mismo título en menos tiempo
y con menos exigencias. Esta espiral negativa ya se produce en la ac
tualidad en el caso del CAP; las universidades compiten, y lo estudiantes
lo exigen, a ver quién da más por menos. Las que procuran el título con
menos exigencias tendrán más éxito que las que lo dan con más reque
rimientos, es decir, a quienes trabajan se les castiga y las consecuencias
de esta política son nefastas para la calidad de la formación.
IDEA CLAVE 7
Al estudiar qué sucede con esta cuestión en otros países europeos?,
puede verse que, a pesar de que la situación es diversa, en muchos casos
(como Francia y Alemania) la titulación universitaria no habilita direc
tamente para la función docente y que es el propio Estado el que se
ocupa de garantizar las competencias con las que las personas que em
plea se incorporan al sistema educativo, instituyendo para ello los me
canismos de formación y acreditación necesarios. También en Inglaterra
existen formas de garantizar estas competencias, aunque el sistema de
control se realiza sobre la institución que acredita o por medio de sis
temas más abiertos que los citados de Francia y Alemania, pero que
igualmente garantizan las competencias requeridas. No se atisba nada
similar en el panorama de la contratación de los futuros docentes en Es
paña y éste es el momento de introducir cambios, cuando se está en
carando un proceso de reforma de la formación de los docentes. Si no
se lleva a cabo ahora, será difícil poder hacerlo en un futuro cercano.
La conclusión que yo saco de estas reflexiones es que el futuro es in
cierto y que todo va a depender de la visión que sobre éste tengan los
agentes promotores en estos procesos. De todas maneras y si se me per
mite un desahogo, quisiera decir que los bandazos que se están dando
en la política educativa de este país son de traca valenciana. Podemos
pasar de una política a su opuesta con un cambio de ministra sin que
cambie no ya el régimen político, sino ni tan siquiera el propio go
bierno, que sigue funcionando como si fuera igual gestionar el sistema
educativo desde un férreo centralismo de tipo jacobino que hacerlo
desde un autonomismo hiperliberal tipo Friedman, y todo eso en unos
días y sin explicarlo. Groucho Marx se encontraría a gusto en este club
porque no lo aceptarían.
7. Estos datos forman parte de un estudio que, bajo la dirección de la doctora Irene
López Goñi, estamos realizando para estudiar de manera comparada las estrategias de
formación de los docentes de secundaria en Europa.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Bien, siendo positivo que no optimista, me parece más interesante
apuntarme a la idea de que esta norma no prohíbe que las universida
des establezcan convenios con la Administración y los centros con el fin
de invertir la lógica que se ha seguido hasta ahora en la formación ini
cial. Dictar teoría pedagógica, psicológica y sociológica en la universi
dad para a continuación hacer unas prácticas descafeinadas en las que
supuestamente, y digo supuestamente porque todos sabemos que no
suele ser así, se apliquen estos conocimientos «en el aula» es volver a
aplicar un modelo formativo ya fracasado además de obsoleto por lo
que sabemos actualmente sobre la formación del profesorado. Es vol
ver a la estrategia que ya ha fracasado en el CAP. Las competencias pro
fesionales se desarrollan resolviendo problemas y éstos no están en la
universidad, sino en los centros; en consecuencia, la práctica profesio
nal que se desarrolla en los centros debe ser el núcleo de la formación
y no las teorías. Esto no quiere decir que se pueda ejercer la función do
cente sin preparación teórica, lo que quiere decir es que esa prepara
ción debe surgir de la dialéctica que nace cuando se debe reflexionar,
buscar pautas e indagar soluciones a los problemas que la vida profe
sional plantea. Es decir que el camino de la construcción reflexiva del
saber profesional hay que comenzar a desarrollarlo desde la formación
inicial, porque en caso contrario lo más probable es que no se desarro
lle nunca. Los planteamientos formativos que deben regir la formación
inicial y la continua deben ser los mismos, es una ilusión pensar que
puedan ser diferentes sin entrar en oposición.
Tal vez la nueva estructura de los créditos universitarios (créditos
ECTS), un poco de imaginación y la colaboración de las instituciones
que deben liderar estos procesos lleguen a confluir y nos podamos valer
de la falta de concreción de la norma para plantear un tipo de forma
ción más profesionalizadora. Veamos, los sesenta créditos que compo
nen el postgrado suponen una carga de 60 x 25 = 1.500 horas de trabajo
para los estudiantes, esta horas incluyen tanto la parte presencial (asis-
IDEA CLAVE 7
tencia a clases, seminarios, reuniones en la universidad ... ) como la no
presencial, aquí podrían estar las horas que deberían pasar los estu
diantes en los centros. No existe ninguna norma legal que diga cómo
deben repartirse esas horas entre esas dos modalidades formativas y, por
lo tanto, existe si así lo desean los que diseñen estos planes formativos un
amplio cauce a la discrecionalidad, de manera que se dispone de sufi
ciente tiempo como para que los diseños formativos que quieran cen
trarse en la reflexión sobre la práctica basada en la experiencia escolar
sean posibles. La idea básica sería la siguiente: juntar todas las horas no
presenciales con las horas del módulo de prácticum para convertirlas en
horas de prácticum real, y promover desde los módulos que hay que im
partir un tipo de formación centrada en la práctica en centros con con
venio, de manera que el prácticum no fuera algo que se hiciera
separadamente de los módulos, sino como parte de ellos. Unos sencillos
cálculos nos permiten obtener, siguiendo esta propuesta y suponiendo
que se destinan veinte créditos al prácticum, el número de horas que de
esta manera se podrían destinar a la parte práctica de la formación:
Prácticum 20 créditos: 20 x 25 = 500 horas.
Tiempo no presencial del resto de créditos: 40 x 15 = 600 horas (lo más ha
bitual es pensar que del tiempo total del estudiante 1/3 debe ser presencial
y 2/3 no presencial).
Si restamos de esas600 horas, 100 horas para entregas de trabajos, exáme
nes, redacción de informes, etc., nos quedarían 500 horas que sumadas a las
otras 500 de las que dispone el prácticum harían un total de 1.000 horas de
trabajo, que en jornadas de 8 horas son 125 días.
No está mal si se organiza bien. Es absolutamente necesario que desti
nemos mucha imaginación y tengamos una actitud de horizontalidad
entre los formadores universitarios y los tutores de la práctica en los cen-
4 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
tros. Imaginación para crear nuevas propuestas de formación en las que
la práctica y la reflexión guiada acerca de ésta constituyan el eje del pro
ceso de formación, y horizontalidad para construir una relación que
anime a los formadores tanto de la universidad como de las escuelas a
construir un ambiente de colaboración que sirva para el conocimiento y
enriquecimiento mutuos. Esfundamental crear un clima de colaboración
y beneficio recíproco que permita una cooperación fructífera entre los
docentes universitarios encargados de la formación inicial y los tutores
que acogerán a los estudiantes, colaboración que debe permitir que
todos los que participan en ella obtengan beneficios para sus propias ca
rreras docentes a la vez que deberían ser encargos recompensados.
La administración pública tiene la llave de la despensa y es crucial su
participación en esta cuestión. Volvemos al triángulo universidad, Ad
ministración y escuelas como el lugar geométrico en el que tiene que
darse la formación de los docentes.
El paso de la formación inicial a la vidaprofesionalLa diferencia entre un egresado universitario, incluyendo su postgrado
de formación como docente en el caso de los docentes de secundaria,
y la misma persona cinco años después de iniciar su labor docente es,
desde el punto de vista de las competencias profesionales, abismal. En
ese período se va forjando la personalidad profesional del docente
según se acomoda y respira la cultura profesional a la que debe adap
tarse. Este proceso está absolutamente descuidado y dejado al albur de
circunstancias desfavorables en la mayoría de los casos. Este proceso se
realiza de manera totalmente autodidacta y en él el factor más influ
yente resulta la cultura escolar del centro o centros en los que se pro
duce el citado proceso de profesionalización. Si estas culturas son
favorables al cambio y a la innovación, lo que no sucede en la mayoría
de los casos, el docente novel podrá «aprender» su profesión de manera
IDEA CLAVE 7 ¿"15
totalmente diferente, hecho que no sucederá si la cultura escolar que
lo recibe es reacia a esta manera de hacer.
Éstasson cosas conocidas desde hace años, Marcelo (1994) y otros au
tores han señalado esta realidad con un gran aporte de pruebas y con
una argumentación difícil de rebatir. Los primeros pasos en la función
docente son decisivos para determinar la dirección en la que trabajarán
los futuros profesores. Por lo tanto, la puesta en marcha de programas
que diseñen, desarrollen y evalúen los denominados procesos de induc
ción profesional, es decir los procesos por medio de los cuales un titulado
universitario se integra en un medio educativo y va construyendo sus
competencias profesionales según se enfrenta y «resuelve» los proble
mas que la práctica le plantea, es el único camino realista y eficiente
para mejorar las competencias de los docentes que deben enseñar ma
temáticas. Cabe señalar, además, la urgencia de poner en marcha este
tipo de programas por la masiva afluencia de nuevos docentes que van
a incorporarse en los próximos años al sistema educativo.
La puesta en marcha de estos programas exige que el triángulo for
mado por escuela, Administración y universidad funcione al unísono, bien
coordinado y con objetivos compartidos y comunes. Por desgracia esta re
lación y coordinación es más un deseo que una realidad. La realidad es
que estas tres instituciones trabajan, en esta cuestión, de manera desla
vazada, sin nexos institucionales claros y sin objetivos compartidos. Y, en
comunes. estas circunstancias es muy difícil avanzar hacia los tipos de programas
formativos que estamos proponiendo. Esel triángulo en el que se debe
ría basar la estructura formativa. Desde luego lo mejor es que el triángulo
fuera equilátero y no escaleno, que según acabo de leer, significa cojo.
La incorporación de un egresado al sistema educativo no se realiza
en la mayoría de los casos mediante un programa de iniciación a la vida
profesional. Lo más habitual es que los aspirantes a docentes se apun
ten a las listas que habilita la Administración sin otra condición que
aportar los títulos universitarios prescritos, en algunos casos que per-
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
sonalmente he podido comprobar se llega a no exigir el CAP para apun
tarse a estas listas de sustitución. Cuando hay una vacante son requeri
dos y comienzan a dar clases sin otro requisito. La Administración, que
es el principal, por no decir único, empleador, no impone ningún re
quisito que no sea el aval de las citadas titulaciones universitarias para
entrar en un aula y comenzar a enseñar. Sólo bastantes años después
es cuando la Administración se ocupa de «examinarlos», es decir
cuando se presentan a la oposición. No podemos dejar de señalar que:
• La superación de la oposición poco tiene que ver con el logro de las
competencias necesarias para desempeñar la función docente.
• Llega ya muy tarde porque puede darse el caso, y de hecho se da, de
profesores que pasen muchos años ejerciendo la labor docente antes
de presentarse a una oposición.
Por lo tanto, puede afirmarse responsablemente que la incorporación
de los egresados universitarios al sistema educativo se asemeja a un
aterrizaje de emergencia sin tren de aterrizaje. Llegan, los saludan, les
dan el peor horario, los grupos más difíciles y adelante.
Lo peor de todo es que este tipo de fallo estructural en la forma
ción de los docentes ya está denunciado hace tiempo y hay que indicar
al respecto que diversos autores, como Marcelo (1994), han señalado
con gran acierto la importancia de este período como determinante
para la formación profesional de los nuevos docentes. También sabe
mos que en muchos países se trata de manera especial a los «nuevos»
o «noveles» y que existen planes especiales para su incorporación al sis
tema educativo -año o años de prácticas con horario especial y tutori
zación (Francia y Alemania), o programas para lo que los anglosajones
denominan induction period-. Lo sabemos, pero en nuestro medio edu
cativo apenas hay iniciativas en este sentido. La universidad y la Admi
nistración, que son las instituciones llamadas a tomar el liderazgo en
esta cuestión, están ocupadas en asuntos más importantes y siempre
En muchos paísesse trata de manera
especial a los<<nuevos}) profesoresy existen planes
IDEA CLAVE 7
dejan para mañana las cuestiones menores. Pasa el tiempo y todo sigue
igual, los gobiernos y los equipos rectorales cambian y cuando llegan los
nuevos siempre hay problemas más acuciantes que resolver.
Además, existe una clara dejación de responsabilidades por parte
de la Administración al no realizar ningún tipo de control sobre los do
centes que incorpora al sistema educativo. ¿Se imagina alguien que una
empresa incorporase a profesionales de nivel medio o alto en el orden
en el que se apuntasen a la lista de empleo, simplemente por traer un
título? Pues siempre hay un lugar para la sorpresa en el mundo, porque
eso es precisamente lo que hace la Administración con los docentes. Lo
de profesionales de grado medio o alto no lo digo yo, lo dicen todas las
proclamas oficiales que aseguran de manera rimbombante que el fu
turo del país está en la educación y luego la dejan en las manos de quie
nes emplean sin ningún filtro ni control propio.
El paso de la formación inicial al desempeño de la vida profesional
como docentes está totalmente descuidado. Esta carencia es una de las
causas de muchos de los problemas que se dan en el sistema educativo.
Por una parte, la incorporación se hace sin las debidas garantías por
parte de la Administración, que emplea a personas cuya idoneidad no
garantiza y, por otra parte, el aterrizaje en el puesto de trabajo es pe
noso. Penoso es, desde luego, una manera delicada para adjetivar un
inicio de vida profesional que se hace sin ayuda y, normalmente, en
malas condiciones «ambientales», es decir de manera precaria (contra
tos de sustitución) y con los horarios y grupos que quienes ya llevan
tiempo y conocen las triquiñuelas del sistema no quieren. Verlo, lo
vemos todos, lo que falta es voluntad para cambiarlo.
la formación continua de los docentesde matemáticasCuando hablamos de formación continua nos referimos a la formación
destinada a los docentes que ya están en ejercicio. En esta misma co-
8 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
lección se ha publicado recientemente un libro que versa sobre la for
mación permanente del profesorado y esto me excusa de extenderme
en esta cuestión (Imbernón, 2007).
Me limitaré, por lo tanto, a cuestiones que atañen más específica
mente a los docentes de matemáticas y, sobre todo, a los de secundaria.
En las últimas décadas las administraciones públicas han destinado
mucho dinero y recursos a este tipo de formación. De hecho, en bas
tantes comunidades autónomas existe una red de formación que toma
diversos nombres según la comunidad autónoma correspondiente (CAP,
CEP... ) y que está separada y, la mayoría de las veces, incomunicada de
la universidad, una de cuyas funciones más importantes es la forma
ción continua de los docentes. La LOGSE y los años noventa marcaron,
sin duda, un hito en esta cuestión con planes masivos de formación ge
neralista (pedagógica) en los que se invirtió mucho dinero y recursos
humanos de todo tipo. Si analizamos este esfuerzo relacionando
los cambios de las prácticas educativas con los recursos invertidos en
formación, el resultado es más bien decepcionante. En el libro de Im
bernón (2007) que he citado existe un capítulo que se titula «Mucha
formación, poco cambio». Creo que es un título que sintetiza perfec
tamente lo que quiero decir sobre esta cuestión.
Con relación a la formación continua de los profesores de matemá
ticas creo que existen, seguramente entre otros, cuatro fallos estructu
rales que me gustaría comentar. El primero proviene de querer corregir
por medio de la formación continua los fallos de la formación inicial.
Muchos de los cursos que se programan para los docentes en ejercicio
tienden a desarrollar competencias que deberían haber sido asegura
das básicamente en la formación inicial, por ejemplo, aquellos desti
nados a mejorar competencias linguísticas, de uso de la tecnología, de
la programación, etc. Espreferible dedicar más tiempo en la formación
inicial a trabajar lo que podríamos denominar competencias instru
mentales que hacerlo en el momento en que lo que se exige es entre-
IDEA CLAVE 7 9
namiento en la práctica (formación continua). Estetipo de competen
cias deberían estar aseguradas básicamente en la formación inicial y
tendrían que dejar de ocupar un lugar central en la formación continua
de los docentes; porque hacerlo en la etapa inicial asegura la existen
cia de lenguajes y pautas comunes para todos los docentes, algo que es
muy difícil de conseguir en el período de la formación continua, que
siempre es por su propia estructura más fraccionada. Siempre será ne
cesario completar la formación inicial en estas competencias básicas,
pero lo fundamental debería estar asegurado por la formación inicial
porque en caso contrario se tiene una sensación de estar comenzando
siempre y de no salir jamás de los previos imprescindibles para poder
empezar a desempeñar la función docente de manera responsable y
profesional. Esmuy difícil, costoso y desafortunado querer corregir los
fallos de la formación inicial en la formación continua.
El segundo fallo estructural es que existe un despiste muy grande
con relación a la función de los docentes y, en consecuencia, con la for
mación que necesitan para la gestión del currículo del área. No sabemos
si realmente esperamosque los docentes sean agentes activos en la con
creción final del currículo, ni qué quiere decir exactamente esto en tér
minos de formación y tiempo destinado a estas tareas, o si nos
conformamos con que sean consumidores inteligentes de propuestas
curriculares ya construidas o si aceptamos que sigan de manera acrítica
y lineal/os libros de texto. Éstaes una cuestión capital en la formación
de los docentes de matemáticas y me esforzaré en decir por qué no es
lo mismo capacitar a un docente para que desarrolle una competencia
didáctica que hacerlo para que desarrolle una competencia curricular.
En el primero de los casosel docente no tiene responsabilidad directa
ni sobre los fines de la enseñanza ni sobre los contenidos que hay que
impartir, su responsabilidad profesional se limita a saber enseñar lo
que otros han decidido que enseñe. En el segundo caso sí la tiene, de
eso se trata precisamente la competencia para gestionar el currículo,
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
es decir debe estar preparado para tomar decisiones sobre todos los
componentes del currículo y, como esto no puede hacerse sin constric
ciones previas, debe saber cuáles son éstas y qué nivel de decisión y pre
paración ha de asumir. ¿Pueden los docentes de secundaria, por poner
un ejemplo, cuestionar el programa que imparten? Si escuchamos a los
profesores de estos niveles, dirán que no. Si leemos los textos oficiales
que definen el currículo, hay que decir que sí, no solamente se permi
ten esas variaciones, sino que además se aconsejan. ¿Por qué se dan
estas contradicciones?
La LOGSE, en teoría, liberó a los docentes de la obligación de seguir
un programa cerrado y definido por la Administración. Sin embargo, el
control social, como ya hemos explicado hasta la saciedad en este libro,
y la inercia les impiden actuar con esa libertad. Porque al final todos se
enfrentan al mismo embudo que es la evaluación de la selectividad y,
si se une esa realidad a la comodidad de seguir haciendo lo que hacía
mos porque nadie nos empuja decididamente a hacer otra cosa, la si
tuación es la que tenemos hoy en día: libertad de currículo en teoría y
programas prácticamente iguales en todos los centros. Ésta es una de
las paradojas más curiosas de la enseñanza de las matemáticas en los ni
veles de secundaria y bachillerato y donde mejor se ve la ley de hierro
que supone el control social.
Por lo tanto, si prácticamente en todos los centros se dan los mis
mos temas y los fines a los que se encamina la enseñanza son idénticos,
¿para qué queremos formar docentes en la compleja tarea de gestionar
el currículo, tal y como se ha dicho y repetido desde las directrices ofi
ciales? Si ésa es la realidad y no somos capaces de cambiarla o no lo son
quienes tienen la llave de la puerta, ¿para qué invertir tiempo en en
señar a construir currículo a quienes nunca van a hacerlo? ¿Debemos
volver a la tradición didáctica y centrar la formación de los docentes en
la metodología de enseñanza tal y como se ha hecho durante décadas
o debemos insistir en considerar al docente como un profesional con un
IDEA CLAVE 7
nivel de autonomía suficiente como para tomar decisiones curricula
res? No lo sé, pero lo que sí creo saber es que no han servido de mucho
las respuestas excesivamente optimistas que han obviado la dedicación
disponible en tiempos, las motivaciones y las competencias de partida
de los docentes que en teoría deberían dedicarse a estas cuestiones,
pero que en la práctica no lo hacían porque no podían, no querían o no
sabían hacerlo. Muchas de esas respuestas no han tenido en cuenta las
condiciones reales en las que trabajan los docentes, así como tampoco
su preparación previa y su disposición a ocuparse de estas cuestiones.
No es suficiente con decir que algo sería deseable si no se dan ni se pro
porcionan las condiciones para que el desarrollo de lo que deseamos
sea posible. Ésta es una cuestión no resuelta que está lastrando, en mi
opinión, muchos de los esfuerzos destinados a la formación de los do
centes, porque al no tener claros los fines formativos o al apuntar en va
rias direcciones a la vez se dispersan los esfuerzos, se va y se viene y
todo esto genera confusión en un cuerpo docente ya cansado y un poco
mareado. Sin aclarar cuál es la función de los docentes en la gestión
del currículo, es muy difícil organizar bien su formación.
El tercero de los errores proviene de no unir formación y práctica de
una manera clara y efectiva, y de considerar la formación como algo
previo a la acción con la idea, intencionada o no, de diferirla. Ya sé que
se han elaborado programas de formación en los centros, pero no me
refiero a eso, sino a que la mayor parte de la formación no está vincu
lada a proyectos de acción, sino que se considera como una cuestión
previa que se estira en el tiempo de manera indefinida, con lo que te
nemos sectores del profesorado en formación continuada o perma
nente a la vez que sus prácticas permanecen inalteradas. Hace poco
tiempo, a la salida de una charla informativa sobre las competencias
clave de la LOE, una profesora con la que me encontré me dijo: «iAh,
muy interesante!, ahora nos tendrán que formar sobre esto de las com
petencias». Esa mentalidad es la que hemos fomentado y ahora nos
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATlCA
vuelve a golpear como un bumerán. Ya tenemos por delante unos años
de formación en «eso de las competencias» porque «¿cómo quieren
que hagamos cosas para las que nos estamos formados?». La forma
ción es algo previo y desligado de la acción de mejora o cambio, algo
que nos «tienen que dar» y no «algo que vamos a lograr» ni algo ne
cesario para ese proceso de mejora o cambio. Creo que se despilfarran
los recursos en formación y, si juzgamos la bondad de este esfuerzo por
las mejoras que se dan y los cambios que se inducen, el resultado no
despierta muchas ilusiones.
Habría que distinguir con nitidez los esfuerzos informativos de los
formativos. Es evidente que hay que informar a los docentes de las si
tuaciones y contextos en los que deben moverse y de las normas lega
les y consejos pedagógicos en los que deben situarse. Pero pensar que
a base de sesiones informativas vamos a inducir mejoras y cambios en
la práctica educativa es un espejismo. La formación debe incidir en la
mejora y cambio de las prácticas escolares, de lo que «se hace en el
aula», y no puede quedarse siempre a las puertas de ese recinto. La for
mación de los docentes, la que puede permitir la mejora de sus com
petencias profesionales, no puede estar separada de los proyectos que
en esa dirección se organicen. La formación es parte de la acción y no
algo externo a ella. Llevamos ya demasiado tiempo con las cuestiones
previas necesarias para la acción y esta actitud de dejar para mañana lo
que podemos hacer hoy hace inútil por recurrentes los esfuerzos. De
bemos potenciar toda la formación que sea necesaria para la mejora
de la acción, pero sólo la que esté unida a dicha mejora. Ya sé que ese
nivel es difícil de equilibrar y que es solamente una forma de decirlo,
pero lo que sí está claro es que desligar la formación de la acción y no
supeditarla es la mejor forma de convertir a los docentes en personas
dependientes de los expertos que dan cursos y en profesionales no au
tónomos, es decir en docentes que no desarrollarían su trabajo de ma
nera independiente y tampoco mejorarían ni aprenderían según fuesen
IDEA CLAVE 7
desempeñando su labor. Formación y acción educativa deberían ser el
haz y el envés de la misma hoja.
Elcuarto de los errores es,en mi opinión, no distinguir con claridad
procesos de mejora (calidad) y procesos de cambio (innovación). No es
lo mismo formar para hacer mejor lo que ya hacemos que formar para
cambiar lo que hacemos. Durante esta última década los centros edu
cativos han hecho un esfuerzo real y estimable, en muchos casos,para
mejorar los procesos que aseguran su funcionamiento diario. La cali
dad como horizonte ha estado en el punto de mira de las administra
ciones públicas, que han invertido abundantes recursos económicos
para potenciar esta estrategia de mejora de los centros. Muchos de
estos esfuerzos han estado liderados por personas e instituciones rela
tivamente ajenas, en su desempeño profesional, al mundo de la edu
cación, y esto se nota en una cierta preponderancia de las cuestiones
relacionadas con la gestión de los centros, en oposición a las pedagó
gicas. De todas maneras, no es mi intención en este momento hacer
una crítica de los presupuestos tecnocráticos en los que se ha basado
este movimiento, sino mostrar que, a veces sin damos cuenta, esta vi
sión que prima hacer bien las cosas,propósito que en principio nadie
puede despreciar, nos impide ver que la situación actual pide cambios
e innovación y no solamente calidad.
La calidad se basa en el uso de procedimientos, porque la mayoría
de las estrategias para la mejora de los procesos se basa en la utiliza
ción de protocolos de actuación que los organizan, ordenan y estruc
turan en pasosque se pueden seguir, controlar y verificar. Por lo tanto,
en este tipo de estrategia la formación debe centrarse, fundamental
mente, en el desarrollo de herramientas de tipo procedimental y en el
entrenamiento para su uso. No es una cuestión menor porque la in
existencia de protocolos bien establecidos y comunes a los docentes
que colaboran en la misma institución dificulta mucho la comunicación
y la posterior toma de decisiones que son las que pueden promover
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
mejoras. Porque, aunque en sí no sea innovador, resulta evidente que
es mejor hacer bien lo que se realiza que hacerlo de cualquier manera
perdiendo inútilmente fuerzas y energías en cuestiones que deberían
funcionar como un mecanismo bien engrasado. No se puede dejar de
lado esta cuestión despreciándola como parte de un pasado tecnocrá
tico ya superado, si los profesionales de la educación nos retiramos de
este campo, enseguida será rellenado. De hecho ya sucede así y gran
parte de los procesos de formación unidos a procesos de calidad están
en manos de profesionales que no provienen del mundo de la educa
ción. Pero si sólo hacemos «calidad», si sólo nos dedicamos a hacer bien
lo que se supone que hacíamos regular, no solamente no estaremos in
novando, sino que probablemente reforzaremos formas de hacer que
desearíamos cambiar. Por esta razón, calidad es una cosa e innovación
otra y las condiciones para que se pueda desarrollar una u otra estra
tegia son bien diferentes.
La innovación busca cambiar lo que hacemos proponiendo nuevas
maneras de hacerlo. Tanto su desarrollo como la formación de las per
sonas que deben llevar a cabo este proceso es distinta y se basa en prin
cipios diferentes; porque la innovación implica identificar situaciones
que se consideran problemáticas, pero no con la intención de mejorar
las, sino con la de sustituirlas por otras. Los cambios tecnológicos son
claros ejemplos de lo que quiero decir: la fotografía digital no es una
mejora de la fotografía del carrete, es una innovación radical porque es
un modo diferente que cambia todo el proceso de obtención de las
imágenes y la industria que está a su servicio. La innovación exige otro
tipo de formación más basada en las estrategias de resolución de pro
blemas y en la búsqueda de alternativas a la situación tal y como se
contempla en el momento previo a la innovación.
Pero, en todo caso, la formación no puede ni debe ser algo previo a
la acción, sino más bien una parte de ella. Debemos partir de la idea de
que todos podemos mejorar lo que tenemos o innovar hacia otras for-
IDEA CLAVE 7
mas de hacer las cosas con lo que ya sabemos, porque para comenzar
disponemos de los previos necesarios. Una vez que hemos identificado
qué queremos mejorar o cambiar, si necesitamos formación, ésta será
la que sea necesaria en el propio proceso de mejora o cambio y no algo
previo a su inicio. No tiene mucho sentido dar formación generalista a
profesionales con independencia de los proyectos de mejora o cambio
en los que estén inmersos; porque la capacidad para innovar se fragua
resolviendo problemas. Esta pericia sólo se logra tratando con los pro
blemas y actuando en las vías que nos llevan a su solución. En la actua
lidad pasamos tanto tiempo preparándonos para la acción que cuando
nos disponemos a actuar la situación se ha modificado de tal manera
que hay que comenzar de nuevo a preparamos para la nueva situación.
La formación continua de los docentes de matemáticas debería huir
de cursos generalistas en los que docentes que no comparten situacio
nes reales que pueden mejorar o cambiar trabajan sobre cuestiones ge
nerales de la educación, para centrarse en atender a aquellos grupos de
docentes que de manera cooperativa se decanten por procesos de me
jora o innovación. Los recursos tanto materiales como personales de los
que disponen las instituciones encargadas de la formación de los do
centes deberían dar prioridad a este tipo de formación relegando las
restantes. Téngase en cuenta que el trabajo en equipo de los docentes
para hacer frente a los problemas educativos es una característica de la
manera de ser de éstos, forma de ser que invalida los esfuerzos indivi
duales por muy intensos y meritorios que parezcan ser.
En resumen
El factor humano es clave en cualquier situación y mucho más cuando se trata de proce
sos educativos. Resultará inútil cualquier intento de mejora que no se base en un pro
fesorado bien formado y motivado. La educación es una cuestión entre humanos y las
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
personas responsables de liderar este proceso son los docentes. Pretender mejorar la en
señanza de las matemáticas sin analizar los procesos que llevan a un joven, recién aca
bado el grado universitario, a convertirse en docente es un sinsentido condenado al
fracaso.
Bien, pero estas consideraciones que parecen ser puro sentido común chocan con tra
diciones, rutinas, inercias e intereses que retrasan sine díe y obstaculizan la realización de
las reformas necesarias en la formación del profesorado. En estos momentos de reforma
universitaria se están abordando nuevos planes de formación para los docentes de las dis
tintas etapas educativas, y entre esas reformas la que más atañe a los próximos docentes
de matemáticas es la que se corresponde con el futuro postgrado de formación del pro
fesorado de secundaria, bachillerato y formación profesional. Estos planes intentan for
mular los objetivos que hay conseguir en el citado postgrado a la vez que regulan las
condiciones de ingreso y dan algunas indicaciones de cómo debe ser el curriculo. Existen
dos cuestiones que en mi opinión no están bien resueltas y que provienen de la escasa co
ordinación y cooperación existente entre la universidad y las administraciones públicas. Por
un lado, la escasa regulación que se observa en la propuesta comentada abre un campo
a la iniciativa de las universidades que debería ser complementado con una postura más
garantizadora por parte del Estado, que al fin y al cabo es el responsable de la compe
tencia docente de las personas que contrata y paga para que cumplan su labor como pro
fesionales en el sistema educativo. Esasgarantías no han aparecido por el momento y no
hay visos de que así vaya a ser, aunque sorpresas más grandes ya ha habido.
Por otra parte, el desarrollo de un currículo por competencias exige unos profesiona
les que estén capacitados para suscitar su desarrollo, y pone a su vez en la palestra el
asunto de las competencias docentes y su adquisición. He utilizado la metáfora de los frac
tales para dar cuenta de esta situación y de los desajustes que se producen cuando no se
entiende la formación de los docentes como algo unido a la propia práctica de su des
arrollo profesional. La formación como algo previo lleva a la larga a la formación para la
formación y a entrar en una espiral de cursos que aplaza la acción y el compromiso de me
jora sin horizonte conocido. Defiendo en el texto la necesidad de unir formación y acción
distinguiendo las acciones que buscan la calidad de las que buscan la innovación, para re
vindicar que ambas se hagan desde parámetros educativos, aunque los fines de unas y
IDEA CLAVE 7
otras sean distintos. En todo caso necesitamos la formación necesaria para la acción y que
esté supeditada a la lógica de ésta.
Ésta es la última idea y constituye las últimas líneas de este libro. Quisiera acabar di
ciendo que el futuro de la enseñanza de las matemáticas, como no puede ser de otra ma
nera, está unido al futuro del desarrollo de nuestra sociedad y que la enseñanza de las
matemáticas es una actividad digna, porque bien ejercida es una palanca poderosa para
trabajar por una sociedad más justa, equitativa, solidaria, libre y abierta. La enseñanza de
las matemáticas, como toda actividad humana y bastante más que algunas otras, es una
actividad política en el sentido más profundo de este término, el de la preocupación por
la relación entre el bienestar individual y el colectivo. Bien, estamos en un momento de
cambio y debemos avanzar sin miedo hacia los nuevos tiempos, porque enseñar mate
máticas sigue siendo una necesidad social y la condición del bienestar social de la gran ma
yoría de nuestros conciudadanos.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
• La mejor inversión y la más eficaz es
la que puede hacerse para mejorar la
competencia docente del profesorado
de matemáticas. Conviene que nos ale
jemos de la posición distante e inaccesi
ble del profesor que tiene un saber
extraño e indescifrable para acercar
nos a las posturas de un docente más
próximo que hace crecer a sus estu
diantes proponiéndoles tareas y ayu
dándoles en su desarrollo.
• La carrera docente es una carrera pro
fesional que hay que desarrollar a
lo largo de toda la vida. Todas sus
fases, la inicial preprofesional, el inicio
a la labor docente y la carrera profe
sional propiamente dicha, son impor
tantes y deberían estar bien enlazadas.
• La formación continua de los profeso
res de matemáticas debe estar unida a
los proyectos de mejora e innovación
y debe complementarse con compe
tencias profesionales docentes.
• Los profesores de matemáticas pueden
incidir mucho en la educación de sus
estudiantes porque las matemáticas
son una de las creaciones más impor
tantes de la cultura humana.
IDEA CLAVE 7
BOLADO, G. (2001): «Del Ministerio de Instrucción Pública y Bellas Artes a la Cartera
de Educación, Cultura y Deporte: 100 Ministros para un centenario». Revista de
educación, 324, pp. 113-142. (Ejemplar dedicado a: «la sociología de la educación.
Balance y perspectivas»).
Esun documento editado por el Ministerio de Educación y Ciencia con motivo de
la conmemoración de los 100 años de dicho ministerio. Resulta interesante su en
foque porque ayuda a conocer y comprender los avatares por los que el sistema
educativo español ha pasado a lo largo de todo el siglo xx.
BOYER.C.B. (1986): Historia de la matemática. Madrid. Alianza Editorial.
Esun libro clásico de historia de las matemáticas, en el cual se repasa toda la his
toria de dicha disciplina desde sus orígenes babilónicos, griegos y romanos.
Considero que para los no especialistas es más bien un libro de consulta que no de
lectura, dada la extensión y profundidad de sus explicaciones.
GALllEO, G. (1623): 1/Saggiatore. (Trad. cast.: El ensayador. Madrid. Sarpe, 1984.)
Esun texto clásico en el que Galileo expone sus teorías sobre la cinemática, que
como se sabe fue el gran aporte de Galileo a la ciencia. Esun texto clásico y famo
so, entre otras cosas,por contener la archiconocida cita sobre la relación entre la Iciencia experimental y las matemáticas. Esun libro para especialistas en ciencias o I
estudiosos de la filosofía de las ciencias.
IFRAH,G. (1997): Historia universal de las cifras. Madrid. Espasa.
Esun libro muy interesante, en el cual el autor repasa la historia de los sistemas de
numeración utilizados en las diversas culturas a lo largo de toda la historia de la
humanidad. Es un libro que conviene consultar cuando se desee información de
este tipo porque la que contiene es abundante, clara y acompañada de muchas
ilustraciones muy interesantes.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
NEGROPONTE, N. (1999): El mundo digital. Barcelona. Ediciones B.
En este libro, el autor reflexiona sobre las consecuencias que para el orden social
tienen los cambios producidos por la digitalización de la información. Es un libro
claro y directo donde el autor explica con rotundidad las transformaciones que
previsiblemente se producirán en la sociedad debido a los cambios tecnológicos
derivados de la digitalización de la información.
PARA SABER MAs
ACADEMIClSMO
ACTIVIDAD
COMPETENCIA
COMPETENCIA CLAVE
O BÁSICA
COMPETENCIA
MATEMÁTICA
COMUNICACiÓN
CONOCIMIENTO
CONTEXTO
Visión del currículo que prima los contenidos de las áreas cu
rriculares sobre cualquier otra referencia a la hora de organi
zar el currículo.
Trabajo que realiza el estudiante, normalmente a petición de
un docente, como parte del proceso de aprendizaje.
Capacidad de usar conocimiento en un contexto para hacer
frente a situaciones problemáticas utilizando la tecnología más
adecuada en cada caso.
Competencia que hay que desarrollar como parte de cualquier
estudio que se realice en los diferentes currículos que cursa
una persona en su formación a lo largo de toda su vida.
Capacidad de usar el conocimiento matemático en loscontextos
apropiados para hacer frente a situaciones problemáticas uti
lizando la tecnología más adecuada en cada caso
Intercambio de información entre interlocutores que asignan
sentido a las interacciones que forman parte de dicha comu
nicación.
Elaboración de la información que se concreta normalmente
en pautas o esquemas de acción.
Lugar o ámbito de aplicación del conocimiento, así podemos
hablar de un contexto familiar, social, profesional. etc.
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA
CRÉDITOS ECTS
CRITERIO
DE EVALUACiÓN
EVIDENCIA
GRADO UNIVERSITARIO
INFORMACiÓN
PISA
PSICOLOGICISMO
Sistema de medición de créditos para la homologación de los
estudios universitarios en el Espacio Europeo de Educación Su
perior. El crédito ECTSsupone entre veinticinco y treinta horas
de carga de trabajo para los estudiantes.
Norma que se aplica para valorar la calidad de la producción
de una respuesta en una tarea.
Aporte material del logro de algo. En el caso de evidencias aso
ciadas a los procesos de aprendizaje, aporte material que
prueba el logro de ese aprendizaje.
Primer ciclo de los estudios universitarios en el marco del Es
pacio Europeo de Educación Superior.
En España la mayoría de los grados suponen superar 240 cré
ditos ECTS,subdivididos en cuatro años de estudios.
Inputs de todo tipo que recibe el sistema nervioso y que sirven
de base para la elaboración del conocimiento.
Programme for International Student Assessment (PISA). Pro
grama de evaluación internacionalliderado por la OCDE que
busca evaluar las competencias en diversas áreas temáticas
(lengua, matemáticas, ciencias ... ) a la edad de quince años en
los países de la OCDE.
Exceso que se produce al observar el proceso de enseñanza
aprendizaje casi exclusivamente desde una óptica psicológica,
dejando de lado otras consideraciones (científicas, pedagógicas,
sociológicas ... ) que son necesarias para una visión equilibrada.
GLOSARIO
COMUNICATIVO
Labor que propone, normalmente un docente a un estudiante,
dentro del contexto de un proceso de enseñanza.
Esquema de tres componentes (docente, estudiante, tarea/
actividad) que se utiliza para analizar las propuestas de ense
ñanza-aprendizaje.
234 EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
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