75711985-dinamika-konstrukcija

5/24/2018 75711985-dinamika-konstrukcija

1/19

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko Salati 1

DINAMIKA KONSTRUKCIJA

1. UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA1.1. Osnovni pojmovi i stavovi

2.

SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE2.1. Slobodne nepriguene oscilacije2.2. Slobodne priguene oscilacije2.3. Prinudne priguene oscilacije2.4. Pomeranje oslonaca2.5. Naglo optereenje2.6. Impulsno optereenje2.7. Dejstvo proizvoljno promenljive sile2.8. Spektri odgovora

3. NUMERIKA INTEGRACIJA DUHAMEL-OVOG INTEGRALA3.1. Metod konanih razlika3.2. Newmark-ov postupak sa konstantnim ubrzanjem3.3. Newmark-ov postupak sa linearnim ubrzanjem

4. SISTEMI SA VIE STEPENI SLOBODE4.1. Uvod4.2. Slobodne nepriguene oscilacije4.3. Iterativni postupak odreivanja krunih frekvencija4.4. Prinudne priguene oscilacije4.5. Modalna analiza

5. UVOD U ZEMLJOTRESNO INENJERSTVO5.1. Osnovni pojmovi5.2. Karakteristike zemljotresa5.3. Inenjerska analiza zemljotresa5.4. Proraun ortogonalnih ramova na dejstvo zemljotresa

5.4.1. Odreivanje krutosti prostornog ramovskog sistema5.4.2. Odreivanje matrice masa rama5.4.3. Odreivanje seizmikih sila prema pravilniku

5.5. Projektovanje seizmiki otpornih objekata

6. METOD KONANIH ELEMENATA U ANALIZI LINIJSKIH NOSAA6.1. Uvod


2/19

2 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko Salati1. UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA

Dinamika konstrukcija (structural dynamics) Izuava uticaj dinamikog optereenja nakonstrukcije.

Dinamiko optereenje (dynamic load) Optereenje koje se odlikuje promenom intenziteta utoku vremena (optereenje je u funkciji vremena) i pri kojem se uticaj nastalih inercijalnih sila ne

moe zanemariti.

Oblici dinamikog optereenja

Dinamika sila periodina- ponavljaju se u jednakim vremenskim intervalima (a), odnosno , oscilatorna- specijalan sluaj periodinog optereenja kada je srednja vrednost ovog

optereenja jednaka nuli (b), udarna- naglo se nanose na konstrukciju i ostaju na njoj due ili krae vreme:

- naglo optereenje (c),- impulsno optereenje (impuls (d), serija impulsa (e)),

sluajna, stihijna(stohastika) - promena intenziteta kroz vreme je sasvim nepravilna (f),

Temperaturna Usled promene temperature nastaju inercijalne sile Pomeranje oslonaca Dejstvo zemljotresa se prenosi na konstrukciju preko oslonaca (temelja).

Slika 1.1: Vrste dinamikog optereenja

Karakteristinost dinamikog optereenjaPri dejstvu dinamikog optereenja uticaji u sistemu ne moraju biti direktno proporcionalni intenzitetuoptereenja. Na primer, neka sistem ima sopstvenu krunu frekvencu , i neka na taj sistem zasebnodeluju tri optereenja F1t, F2 t, F3 t: sin : 2 sin : sin Optereenje F2 izaziva dva puta vee uticaje nego optereenje F1 dok optereenje F3moe izazivatii vie puta vee uticaje od optereenja F2 (pojava rezonancije).


3/19


Moe se konstatovati da na odgovor sistema pri dejstvu dinamikog optereenja znaajnije utiufrekventne karakteristike dinamikog optereenja nego intenzitet optereenja.

1.1 Osnovni pojmovi i stavovi

Inercija (inertia) Inercija je svojstvo svih tela da se odupiru promeni kretanja. (Mirovanje setakoe moe smatrati specijalnim sluajem kretanja kada je brzina kretanja jednaka nuli. Razliitatela se razliito, u veoj ili manjoj meri, opiru promeni stanja kretanja u kome se nalaze. Znai dapostoji mera za inerciju raznih tela.

Masa (mass)je fizika veliina koja predstavlja kvantitativnu meru za inerciju tela. Masa je jednood osnovnih svojstava tela.

Koliina kretanja predstavlja proizvod mase i brzine tela. Sila (force) je vektorska fizika veliina koja predstavlja meru za interakciju, odnosno uzajamno

dejstvo tela.

I Newton-ov zakon (Newton's first law) Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikogpravolinijskog kretanja sve dok dejstvom spoljnih sila nije prinueno da to stanje promeni.

II Newton-ov zakon (Newton's law of motion) Brzina promene koliine kretanja jednaka je silikoja dejstvuje i ima istu orijentaciju kao sila. U klasinoj fizici , pa sledi da je sila jednaka proizvodu mase i ubrzanja koje ta silaizaziva:

Zakon o odranju energije (Energy method) Za jedan izolovan, konzervativan sistem ukupnaenergija sistema je nepromenljiva u vremenu.

D'Alembert-ov princip (DAlamberts priciple)Dinamika ravnotea sila moe se posmatrati kaostatika, ako se dodaju odgovarajue inercijalne sile.

Podela sistema prema rasporedu masa

sistemi sa kontinualno rasporeenom masom (distributed mass) Sistemi imajubeskonaan broj stepeni slobode.

sistemi sa diskretno rasporeenom masom(lumped mass) Sistemi imaju konaan brojstepeni slobode.

Oscilacije Kretanje koje se ponavlja u odreenim vremenskim intervalima i vri se uvek po istoj

putanji.

Podela oscilacija Podela se moe izvriti prema tome da li su amplitude konstantne u tokuvremena:

nepriguene(undumped vibration) priguene (dumped vibration)

ili prema tome da li za vreme oscilovanja deluje spoljna dinamika sila: slobodne (free vibration) prinudne (forced vibration)


4/19

4 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko Salati2. SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Sistem sa jednim stepenom slobode (Single Degree Of Freedom SDOF) Geometrijski poloajmasa sistema u prostoru u svakom trenutku vremena moe se opisati samo jednim parametrom,odnosno jednom nezavisnom koordinatom.

Primena na graevinske konstrukcije Bez obzira na to to su graevinske konstrukcije ustvarnosti sistemi sa kontinualno rasporeenom masom, odreen broj problema u dinamikomproraunu konstrukcija moe se svesti na analizu odgovarajueg sistema sa jednim stepenomslobode. Na taj nain se znaajno pojednostavljuje analiza.

Slika 2.1: Primeri konstrukcija koji se mogu razmatrati kao sistemi SDOF

2.1 Slobodne nepriguene ocilacije

Pod slobodnim oscilacijama podrazumeva se sluaj kada sistem samostalno osciluje i pri tome nijeizloen dejstvu nekog spoljanjeg optereenja, odnosno poremeaja.

Ove oscilacije nastaju tako to se dogodi neki poremeaj (poetno pomeranje, poetna brzina), kojizatim nestaje, a sistem poinje da samostalno osciluje oko ravnotenog poloaja. Otpori pri kretanju

uvek postoje, i uvek troe energiju sistema. U sluajevima kad su vrednosti otpora male (procesamortizacije tee sporo), ili se razmatra relativno kratak vremenski interval, otpori se moguzanemariti. Pri slobodnim nepriguenim oscilacijama na sistem mogu delovati samo: restituciona sila,inercijalna sila i teina.

Kod slobodnih nepriguenih oscilacija frekvencija zavisi od fizikih karakteristika sistema (krutost imasa), a amplituda i fazni ugao od poetnih uslova.

Slika 2.2: Nepriguen sistem sa jednim stepenom slobode

Dinamika ravnotea: 0Diferencijalna jednaina: 0 Reenje: cos sinPoetni uslovi:

0 0 Uvoenje novih konstanti:

sin cos


5/19


Elongacija: sin tan

Slika 2.3: Odgovor sistema pri slobodnim nepriguenim oscilacijama

Dejstvo teine tela

Ako se uzme u obzir i dejstvo teine tela , jednainadinamike ravnotee je:

0smenom promenlje , i diferenciranjem po vremenu: sledi: 0

0

Dobijena je ista diferencijalna jednaina izvedena, kao u sluaju horizontalnihoscilacija.

Elongacija (elongation) Udaljenje mase od ravnotenog poloaja u nekom trenutku vremena.Aplituda (amplitude) Maksimalno udaljenje mase od ravnotenog poloaja. Restituciona sila (restoring force) Sila koja tei da telo vrati u ravnoteni poloaj. Uvek je

orijentisana ka ravnotenom poloaju tela, a njen intenzitet je proporcionalan elongaciji(pretpostavka linearne opruge).

Fazni ugao (phase difference)Ugao koji je telo napravilo pri oscilacijama od trenutka kada jebilo u nultom (ravnotenom poloaju), do trenutka kada poinje raunanje vremena.

Kruna frekvencija slobodnih nepriguenih oscilacija (natural circular frequency) Brzinavrenja slobodnih nepriguenih oscilacija.

Period slobodnih nepriguenih oscilacija (natural period) Vreme potrebno da se izvri jedna

puna oscilacija pri slobodnom nepriguenom oscilovanju.

2


6/19

6 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko Salati Sopstvena frekvencija oscilovanja (natural frequency) Broj punih oscilacija u jednom

sekundu.

1 2 Tehnika frekvencija oscilovanja Broj punih oscilacija u jednom minutu.

60

Krutost dinamikog sistema (dynamic stiffness) Predstavlja silu koja je potrebna da deluje nasistem da bi se masa pomerila za jedininu vrednost u pravcu oscilovanja.

Slika 2.4: Odreivanje krutosti dinamikog sistema

Krutost konzole: Horizontalna krutost rama: Krutost ice:

Slika 2.5: Krutost dinamikog sistema

Odreivanje krutosti dinamikog sistema

Krutost dinamikog sistema se veoma esto odreuje preko fleksibilnosti sistema, s obzirom dapostoji reciprona veza izmeu krutosti i fleksibilnosti sistema:

1Za jedininu vrednost sile koja deluje u u pravcu oscilovanja mase odreuje se pomeranje(fleksibilnost), a inverzna vrednost tako odreenog pomeranja predstavlja krutost. U optem sluaju

pomeranja kod linijskih nosaa odreuju se iz izraza:

Odnosno ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila na deformaciju, pomeranje usledjedinine generalisane sile je:


7/19


Primer 1

Odrediti krutost dinamikog sistema statiki neodreenog nosaa za 10 . 1.378 10

1 725.69

Prosto harmonijsko kretanje (simple harmonic motion) Oscilacije imaju najprostiji oblik kadase vre po pravoj putanji i kada je restituciona sila proporcionalna rastojanju od ravnotenogpoloaja, odnosno kada je restituciona sila proporcionalna elongaciji. Ovakvo kretanje se naziva

prosto harmonijsko kretanje. Ono se moe prikazati jednostavnim sinusnim zakonom, pa senazivaju i sinusne oscilacije.

Svako periodino kretanje moe se razloiti kao kao konaan skup prostih harmonijskih oscilacijarazliitih amplituda i frekvencija.

2.2 Slobodne priguene ocilacije

Oscilacije su priguene, amortizovane, ako njene amplitude opadaju sa vremenom. Uzrok priguenjasu sile otpora koje troe energiju sistema. Priroda priguenja je komplikovana, a najjednostavnije zasprovoenje analize kretanja je pretpostavka viskoznog otpora, otpor proporcionalan brzini kretanja.Kao i kod slobodnih nepriguenih oscilacija frekvencija zavisi od fizikih karakteristika sistema (masa ikrutost), samo sada treba uzeti u obzir i priguenje, a amplituda i fazni ugao zavise od poetnihuslova. Amortizacioni lan amlitude je et.

Slika 2.6: Priguen sistem sa jednim stepenom slobode

Dinamika ravnotea: 0Diferencijalna jednaina: 2 0 2 Reenje:

/

1 1 1 Poetni uslovi:

0 0

Uvoenje novih konstanti: sin cos


8/19

8 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko SalatiElongacija:

Priguenje Kretanje

1 Nadkritino priguenje(overdamped system)Aperidino amortizovano kretanje sa opadanjemaplitude prema eksponencijalnoj krivoj

2 Kritino priguenje(critically damped system)Aperidino amortizovano kretanje sa opadanjemaplitude prema eksponencijalnoj krivoj

3 Malo priguenje (underdamped system)Periodino amortizovano kretanje sa opadajuomamplitudom

Slika 2.7: Odgovor sistema Periodino amortizovano kretanje

Slika 2.8: Odgovor sistema Aperiodino amortizovano kretanje

Viskozno priguenje (viscous damping) Priguenje proporcionalno brzini. Koeficijent viskoznog priguenja (viskoznosti) Jednak je sili priguenja pri jedininoj

brzini.

Koeficijent priguenja Definisan je izrazom:


9/19


Relativno priguenje(damping ratio) Definisan je odnosom koeficijenta priguenja i krunomfrekvencijom slobodnih nepriguenih oscilacija. Bezdimenzionalna veliina koja je mera priguenja ipredstavlja karakteristiku dinamikog sistema.

Vrednosti relativnog priguenja zavise od vrste konstrukcije i nivoa optereenja.

Nivonaprezanja

Vrsta konstrukcije /2

Cevovodi i mainska oprema 0.01 0.02Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton obostrano armiranbeton

0.02 0.03

Armirani beton sa dosta prslina 0.03 0.05eline konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.05 0.07

Cevovodi i mainska oprema 0.02 0.03Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton obostrano armiranbeton

0.05 0.07

Armirani beton sa dosta prslina 0.07 0.10eline konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.10 0.15Drvene konstrukcije sa ljebovima 0.15 0.20

Kritino priguenje (critical damping) Priguenje koje je jednako krunoj frekvenciji slobodnihnepriguenih oscilacija.

Kruna frekvencija slobodnih priguenih oscilacija (natural damped circular frequency) Brzina vrenja slobodnih priguenih oscilacija.

1 Period slobodnih priguenih oscilacija Vreme potrebno da se izvri jedna puna oscilacija pri

slobodnom priguenom oscilovanju.

2 1 Sopstvena frekvencija priguenih oscilacija Broj punih oscilacija u jednom minutu.

1 1 Logaritamski dekrement oscilacija Logaritam kolinika dve uzastopne amplitude istog znaka.

ln 2.3 Prinudne priguene ocilacije

Kada spoljanja sila deluje na sistem za vreme oscilatornog kretanja, takve oscilacije nazivaju seprinudne oscilacije (forced vibrations). Pri prinudnim oscilacijama sistem tei da osciluje svojomsopstvenom frekvencijom, isto kao to tei da prati frekvenciju prinudne sile. U prisustvu priguenja(trenja), deo kretanja sa sopstvenom frekvencijom e nestati pod dejstvom sinusnog optereenja.Kao rezultat, sistem e oscilovati frekvencijom prinudne sile, bez obzira na poetne uslove i sopstvenufrekvenciju sistema. Tako dobijeno kretanje naziva se ustaljenim oscilacijama ili odgovor sistema.

Dinamika ravnotea: sinDiferencijalna jednaina: 2 sin 2


10/19

10 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko SalatiPartikularno reenje se usvaja tako da bude sinhrono poremeajnoj sili, a pomou faznog ugla odreuje se kanjenje odgovora sistema na dejstvo poremeajne sile. Deo kretanja opisan optimintegralom homogene diferencijalne jednaine brzo se amortizuje veposle nekoliko ciklusa oscilacija,pa tako preostaje samo ustaljeno harmonijsko kretanje definisano partikularnim reenjem.

Slika 2.9: Priguen sistem sa prinudnom silom

Elongacija: sin Amplituda: Fazni ugao: tan

Dinamiki faktor (magnification factor) Odnos dinamikog i statikog ugiba usled dinamikeporemeajne sile.

11 4 Rezonancija (resonance) Poklapanje sopstvene i prinudne frekvencije, pri kojem amplitude

progresivno rastu i ograniene su samo veliinom priguenja.

Slika 2.10: Dinamiki faktor

2.3.1 Stacionarno i prelazno stanje prinudnih oscilacija

Za nepriguene prinudne oscilacije sistema sa jednim stepenom slobode dobija dobija se diferencijalnajednaina oblika:

sina njeno reenje je:

cos sin sin


11/19


Slika 2.11:

Slika 2.12: Podrhtavanje

Slika 2.11: Prinudne oscilacije (prelazno i ustaljeno stanje)

U ovom izrazu prva dva lana predstavljaju slobodne oscilacije, a trei prinudne oscilacije sistema. Ako se neuzimaju u obzir slobodne oscilacije dobija se stacionarno, ustaljeno stanje, (steady state) prinudnihoscilacija, koje je definisano jednainom:

sinU sluaju da se uzimaju u obzir svilanovi u jednaini koja predstavlja

pomeranje usled harmonijske pore-meajne sile, stvarno kretanje jesuperpozicija dvaju jednostavnih harmo-nijskih kretanja, koja u optem sluajuimaju razliite amplitude, razliite frek-vencije i razliite faze.

Kretanje koje rezultira vrlo je sloeno, alizbog otpora koji nije bio uzet u obzirprilikom izvoenja jednaine, slobodneoscilacije brzo nestaju, pa ostaju samoprinudne oscilacije koje se stalnoodravaju uticajem poremeajne sile.Isprekidanom krivom predstavljene su

prinudne oscilacije sa krunom frek-vencijom dodaju se slobodne oscilacijesa krunom frekvencom i amplitudomkoja se postepeno smanjuje usledotpora. Rezultujue kretanje prikazano jepunom linijom koja se postepenopribliava isprekidanoj krivoj, kao sta-cionarnom stanju kretanja. Poetni deokretanja, tj. prvih nekoliko ciklusa ukojima se jos oseaju slobodne oscilacijeobino se smatra za prelazno stanje(transient state).

Amplituda slobodnih oscilacija moe se nai iz opteg resenja i poetnih uslova. Pretpostavie se da su u

poetnom trenutku pomeranje i brzina tela jednaki nuli. Integracione konstante su tada:

0 pa je tada:

1 sin sinKretanje sistema sainjavaju dva dela: slobodne oscilacije proporcionalne sin i prinudne oscilacijeproporcionalne sin.


12/19

12 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko SalatiPosmatra se sluaj kada je frekvencija poremeajne sile vrlo bliska frekvenciji slobodnih oscilacija sistema, tj.kada je je blisko .Koristeci oznaku: 2, gde je mali broj, i zanemarujui mali lan sa mnoiocem 2 , moe sepredstaviti pomeranje sistema u obliku:

1 sin sin 2 cos 2 sin 2 2 sincos 2 sin2cos sin cos

Kako je mali broj, funkcija sinmenja se sporo i njena perioda je velika. U tom sluaju pomeranje imakarakter oscilacije sa periodom 2 i promenljivom amplitudom jednakom Ova vrsta oscilacije nazivase podrhtavanje(beating) i prikazana je na slici. Za granini uslov iz izvedenih jednaina dobija se:

Slika 2.13: Rezonancija sistema bez priguenja i sistema sa priguenjem

2 cosAmplituda ovakvih oscilacija beskonano raste sa vremenom, kao sto je prikazano na slici. Odavde se vidi da se,iako teorijski u odsustvu otpora dobija beskonanu amplitudu za prinudne oscilacije pri rezonaciji, potrebno je

opet izvesno vreme da bi se velike amplitude ostvarile.Na taj nain kod maina koje treba da rade sa brojem obrtanja veim od onog koji odgovara rezonaciji ne

javljaju se potekoe pri prelazu preko brzine koja odgovara rezonaciji, ako se taj prelaz vri dovoljno brzo.Medutim, eksperimenti pokazuju da, ako se stvori stacionarno stanje kretanja ba ispod rezonacije, onda jetesko prei preko tog stanja. Naknadna sila koja se dovodi u tom cilju mesto poveanja brzine maine

jednostavno poveava amplitudu oscilacija.

Rezonantni odgovor u sluaju priguenih oscilacija i homogenih poetnih uslova:

12 1 sin coscospretpostavljajui da je priguenje malo, moe se zanemariti lan uz sinus, , pa je odgovor sistema dat

jednainom:

12 1 A amplituda pri rezonanciji je ograniena nivoom priguenja sistema: Primer 2

Zanemarujui masu grede prema masi motora, odrediti dinamiki faktor inajvei ugib ispod motora, koji deluje na gredu silom sin .Podaci: 40 ; 15 ; 250 ; 0.03; 9450


13/19


Reenje:

48 548 2.604 , 40 2.6049450 0.01102 1.102

, 9811.102 29.836 250 260 26.180 26.18029.836 0.877 11 4 11 0.877 4 0.03 0.877 4.223 , , 1.102 4.223 15 2.6049450100 2.848

2.4 Pomeranje oslonaca

Pretpostavlja se da je pomeranje oslonaca definisano harmonijskim kretanjem, , sin.

Slika 2.14: Dinamiko pomeranje oslonaca

Dinamika ravnotea: 0 Smena promenljivih: , sinAnalogija sa prinudnom harmonijskom silom: ~ 2,Reenje: sin Amplituda: , Fazni ugao: tan 2.5 Naglo optereenje

Naglo optereenje(step force) U jednom trenutku vremena optereenje dobija puni intenzitet.Moe se predstaviti pomou Hevisajdove funkcije .

Slika 2.15: Naglo optrereenje i Hevisajdova funkcija


14/19

14 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko SalatiHevisajdova funkcija(step function) Funkcija pomou koje se moe prikazati naglo optereenje,u obliku , gde je:

0.0 0.01.0 0.0

Nepriguene oscilacije, Homogeni poetni uslovi

Dinamika ravnotea: Diferencijalna jednaina: Reenje: cos sin Poetni uslovi:

0 00 0 0 Pomeranje: 1 cosDinamiki faktor:

1 cos 2.0

Nepriguene oscilacije, nehomogeni poetni uslovi

cos sin 0 0 cos sin 1 cosUticaj promene brzine porasta sile

Razmatra se dejstvo sile ija je se puna vrednost ostvari u proizvoljnom trenutku vremena

Diferencijalna jednaina oscilacija je: ije je reenje za prvu fazu:

cos sin Pri homogenim konturnim uslovima:

sin Poto je odreeno pomeranje za fazu I, mogu se odrediti i poetni uslovi za fazu II:

1 sin

1cosMoe se primeniti na reenje za naglo optereenje: cos sin 1 cosReenje se moe izraziti u obliku: 1 sin sinKada : lim lim 1 Odnosno 0 : lim lim cos 1cos


15/19


Primer 3

Nacrtati dijagram oscilacija usled naglog optereenja.

0 1 cos

1 cos

1 cos 1 cos 1 cos 2

1 cos 1 cos 2 1 cos 3 cos

2.6 Impulsno optereenje

Impulsno optereenje(pulse force) Kratkotrajno optereenje velikog intenziteta koje ne menjasmer dejstva i ija je brojna vrednost integrala po vremenu konana veliina.

Slika 2.16: Impulsno optereenje

Impuls (impulse) Vremenski integral sile.

vreme trajanje impulsnog optereenja forma impulsnog optereenja vremenski integral sile

Dirac-ova (delta) funkcija Funkcija kojom se predstavlja jedinini impuls. 0 1 0 0

Kratkotrajno impulsno optereenje Impulsno optereenje za koje izazvani uticaji bitno nezavise od vremena trajanja impulsnog optereenja. Za kratkotrajni impuls vai da je 0.1


16/19

16 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko SalatiDiferencijalna jednaina: 2 0Reenje: sin Poetni uslovi:

0 00 0

Priguene oscilacije:

sin

Nepriguene oscilacije: sin Funkcija g Funkcija koja definie odgovor sistema usled jedininog impulsa.

sin priguen sistem sin nepriguen sistem

Primer 4

Nacrtati dijagram oscilacija za zadato optereenje.

0 sin sin sin 2 sin sin 2 sin

sin 2

sin 4 2 sin sin 2 sin

2.7 Dejstvo proizvoljno promenljive sile

Ako se razmatra linearno ponaanje sistema mogue je primeniti princip superpozicije optereenja.Poznavajui reagovanje sistema usled jedininog impulsa:

jednaina kretanja sistema usled proizvoljno promenljive sile dobija se sabiranjem dejstava svihimpulsa kojima je aproksimirana ta sila:


17/19


Slika 2.17: Dejstvo proizvoljnog dinamikog opetereenja

Ovaj integral se naziva integral konvolucije ili integral superpozicijeili Duhamel-ov integral.

Nehomogeni poetni uslovi

Ako poetni uslovi nisu homogeni, ve 0 i 0 :

cos sin

1 sin

ili ako se uzme u obzir i priguenje sistema:

cos sin 1 sin

Princip superpozicije

Kod linearnih diferencijalnih jednaina kretanja postoji jedinstvenost reenja, to ima za posledicumogunost primene principa superpozicije uticaja. Tako pri traenju reenja pri dejstvu proizvoljneporemeajne sile, mogue je primeniti integral superpozicije dejstava jedninih impulsa. Takoeveliine masa , priguenje i krutost koje se nalaze u diferencijalnoj jednaini kretanja tretiranesu kao konstante, pa se kretanje moe opisati obinim diferencijalnim jednainama drugog reda sa

konstantnim koeficijentima.

Kod zadataka gde se zahteva vee iskoritenje napona u materijalu, kao i kad se ispituje sigurnost prilomu, ne moe se usvojiti pretpostavka materijalne linearnosti sistema.

2.8 Spektri odgovora

Za dimenzionisanje konstrukcije potrebne su ekstremnevrednosti odgovora konstrukcije na dejstvo dinamikogoptereenja, a ne celokupan vremenski tok odgovorakonstrukcije. Zato se formiraju dijagrami iz kojih jemogue jednostavno oitati maksimalne vrednostiodgovora sistema.

Svi spektri su funkcije sopstvenih frekvencija ipriguenja.

Slika 2.18: Spektri odgovora


18/19

18 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inenjerstvo dr Ratko Salati Spektar odgovora (response spectra) Dijagram koji odreuje ekstremne vrednosti odgovora

konstrukcije u zavisnosti od dinamikih karakteristika sistema.

Na apcisu dijagrama nanosi se frekvencija ili period oscilovanja konstrukcije, a na ordinatuodgovarajue maksimalne vrednosti uticaja za koji je odreen taj dijagram. Ako se uzmu u obzirrazliite vrednosti priguenja dobijaju se familije krivih.

U spektrima odgovora nema podataka o tome u kojim trenucima vremena se javljaju maksimalnevrednosti odgovora.

Veliki nedostatak je to se spektri odgovora odnose samo na sistem sa jednim stepenom slobode.

Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca

Ako je pomeranje oslonaca,a , , relativno pomeranje, relativna brzina i relativno ubrzanje,diferencijalna jednaina kretanja je:

2 1 sin 1 vrednost Duhamel-ovog integral

Diferenciranjem izraza za pomeranje dobija se izraz za brzinu:

cos Apsolutno ubrzanje sistema odreuje se prema izrazu:

2 Spektri odgovora predstavljaju maksimalne vrednosti odgovora:

| | spektar relativnih pomeranja | | spektar relativnih brzina | | spektar apsolutnih ubrzanjaMogu se definisati i spektri:

spektar pseudobrzina spektar pseudoubrzanja

Kod vitkih konstrukcija sa velikim periodima oscilovanja postoji znaajna razlika izmeu relativnihbrzina i pseudobrzina. Kod takvih konstrukcija, masa skoro miruje, vrednosti spektra relativnihpomeranja priblino su jednaka maksimalnom pomeranju oslonaca, dok su vrednosti spektraapsolutnih ubrzanja veoma blizu nule, a vrednosti spektra pesudobrzina pribliavaju se nuli 0.

Primer 5


19/19


Literatura

1. oriB., RankoviS. i SalatiR., Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu, Beograd 1998.2. Timoshenko S. and Young D.H., Teorija osilacija, Graevinska knjiga, Beograd 1966.3. BriS., Dinamika diskretnih sistema, Studenstski kulturni centar, Beograd 1998.

75711985-dinamika-konstrukcija

Documents