79 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 6)

การกระจายสมบรณ 1

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (การกระจายสมบรณ 1) หมวด เนอหา ตอนท 6 (6/14) หวขอยอย 1. การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ 2. พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) 3. สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) 4. สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ) จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจในความหมายของการกระจายของขอมล 2. มความเขาใจในความแตกตางระหวางการกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ 3. สามารถวดการกระจายสมบรณไดทงแบบพสย สวนเบยงเบนควอไทล และสวนเบยงเบน

เฉลยเมอก าหนดขอมลแบบไมแจกแจงความถมาให 4. มความเขาใจในแผนภาพกลองและน าไปใชในการอธบายการกระจายของขอมลได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายและระบความส าคญของการกระจายของขอมลได 2. อธบายความแตกตางระหวางการกระจายสมบรณ และการกระจายสมพทธได 3. อธบายวธการวดการกระจายของขอมลแบบสมบรณ ทงพสย สวนเบยงเบนควอไทล และ

สวนเบยงเบนเฉลย ส าหรบขอมลทไมแจกแจงความถได 4. ค านวณพสย สวนเบยงเบนควอไทล สวนเบยงเบนเฉลย ของขอมลทไมแจกแจงความถได 5. อธบายความสมพนธระหวางแผนภาพกลองและการกระจายของขอมลและสามารถน าไปใชได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6

1. การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ


7

1. การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ

ในสอตอนนเราจะศกษาการกระจายของขอมล ทเรยกวาการกระจายสมบรณ ซงประกอบดวย พสย สวนเบยงเบนควอไทล และสวนเบยงเบนเฉลย ของขอมลทไมแจกแจงความถ

ผสอนควรอธบายใหผเรยน เหนความแตกตางระหวางการกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ และเนนย านกเรยนวา พสย สวนเบยงเบนควอไทล สวนเบยงเบนเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐาน นนคอประเภทของการกระจายสมบรณ


8

ผสอนแสดงการเปรยบเทยบการกระจายทง 2 ประเภท พรอมย าถงการกระจายสมบรณ คอการวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยว แตการกระจายสมพทธ คอการหาคาเปรยบเทยบการกระจายระหวางขอมลมากกวา 1 ชด


9

2. พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ)


10

2. พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

ในหวขอน เราจะศกษาการกระจายสมบรณ ทเรยกวา พสย ในกรณทขอมลไมแจกแจงความถ

ผสอนควรยกตวอยางเพมเตม เพอใหผเรยนสามารถหาคาของขอมลทไมทราบคาโดยทมการก าหนดคากลางและพสย ตวอยาง คาเฉลยเลขคณตและพสยของ ,10,a b คอ 15 และ 21 ตามล าดบ ถา 10a b แลว a และ b มคาเทากบเทาไร

วธท า เนองจากคาเฉลยเลขคณตคอ 15 ดงนน

1015

3

a b

35 ............... 1a b เพราะวาพสยคอ 21 ดงนน


11

21 ............... 2b a 1 2 2 56b

28b และ 7a ดงนน 7a และ 28b #

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปน เพอใหผเรยนเหนวาเมอขอมลคาใดคาหนงผดปกต การพจารณาการ

กระจายโดยพสย อาจไมสอถงขอเทจจรงมากนก

ตวอยาง จงหาพสยของขอมลตอไปน 1. 10, 12, 15, 17, 18, 19, 20 2. 10, 12, 15, 17, 18, 19, 200

วธท า 1. พสย max min 20 10 10X X 2. พสย max min 200 10 190X X #

หลงจากตวอยางแลว ผสอนอาจใหผเรยนอภปราย เพอใหไดขอสรปวา สาเหตทพสยในขอ 2 มคา

มากเพราะขอมลตวสดทายมคามากผดปกต จนท าใหคาพสยทไดไมสะทอนความจรงเทาทควร


12

3. สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ)


13

3. สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ)

ขอสงเกต จากตวอยางทผานมา การหาต าแหนงของ 1Q และ 3Q นน ไมล าบาก เนองจากคอต าแหนงขอมลท 3 และ 9 ตามล าดบ แตในกรณท 1Q หรอ 3Q เปนขอมลต าแหนงทมทศนยม เชนต าแหนงท 2.75 การค านวณหาคาควอไทลอาจจะยงยากขน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จากการส ารวจเงนเดอนของคนในหมบาน 10 คน พบวาแตละคนมเงนเดอนดงตอไปน 8000, 10000, 7000, 12000, 15000, 7500, 11000, 14000, 10000, 13000 บาท จงหาสวนเบยงเบนควอไทลของเงนเดอน วธท า เมอเรยงขอมลจากนอยไปมากจะไดดงน

7000, 7500, 8000, 10000, 10000, 11000, 12000, 13000, 14000, 15000 ในการหาสวนเบยงเบนควอไทลนน เราตองหา 1Q และ 3Q กอน ดงตอไปน เนองจากขอมลมทงหมด 10 ตว จะไดวา

1Q คอขอมลต าแหนงท 10 1

4

ซงกคอต าแหนง 2.75

การหาขอมลต าแหนง 2.75 ขอมลต าแหนงท 2 คอ 7500 บาท และขอมลต าแหนงท 3 คอ 8000 บาท ขอมลหางกน 1 ต าแหนง คาของขอมลหางกน 8000 7500 500 บาท

ขอมลหางกน 0.75 ต าแหนง คาของขอมลหางกน 5000.75 375

1 บาท

ดงนนขอมลต าแหนงท 2.75 คอ7500 375 7875 บาท


14

ในท านองเดยวกน


4

ซงคอต าแหนงท 8.25

ขอมลต าแหนงท 8 คอ 13000 บาท และขอมลต าแหนงท 9 คอ 14000 บาท ขอมลหางกน 1 ต าแหนง คาของขอมลหางกน 14000 13000 1000 บาท

ขอมลหางกน 0.25 ต าแหนง คาของขอมลหางกน 10000.25 250

1 บาท

ดงนน 3Q ขอมลต าแหนงท 8.25

13000 250 13250 บาท

ดงนน 3 1 13250 7875 5375. . 2687.50

2 2 2

Q QQ D

บาท #

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปน เพอใหผเรยนฝกเลอกการใชพสยและสวนเบยงเบนควอไทล

7500 375

1 7500 375 7875Q

8000

ต าแหนงท 2 ต าแหนงท 3


15

ตวอยาง จากการส ารวจเงนเดอนของคนในหมบาน 10 คน พบวาแตละคนมเงนเดอนดงตอไปน 8000, 10000, 7000, 12000, 15000, 7500, 11000, 14000, 10000, 13000 บาท จงพจารณาวาเราควรเลอกใชการกระจายแบบไหนระหวางพสยกบสวนเบยงเบนควอไทล วธท า จากการเรยงขอมล จะไดวา

7000, 7500, 8000, 10000, 10000, 11000, 12000, 13000, 14000, 15000 ดงนน พสย max minX X

15000 7000 8000 บาท

ในขณะทสวนเบยงเบนควอไทล . . 2687.50Q D บาท (จากตวอยางทแลว) เมอพจารณาขอมลแลว ถาเราเลอกขอมลอยางสมมา 2 ขอมลนาจะหางกนในชวงของ . .Q D มากกวา ดงนนเราจงเลอกทจะใชการกระจายขอมลแบบสวนเบยงเบนควอไทล #

ตอไปจะเปนการศกษาเรองแผนภาพกลอง ซงเปนเครองมออกประเภทหนงทชวยในการดการกระจายของขอมล


16

ผสอนอาจสงเกตพฤตกรรมของผเรยน ถาผเรยนยงไมเขาใจอาจตองยกตวอยางเพมเตม เพอฝกฝนความเขาใจยงขน

ตวอยาง จากขอมลปรมาณน าฝน 19 จงหวด จงพจารณาวา ถาแบงขอมลเปน 4 สวน (จากนอยไปมาก) ขอมลสวนไหนทมการกระจายมากทสด 500, 300, 450, 600, 1000, 900, 450, 1200, 1300, 1500, 2000, 700, 2100, 1150, 600, 400, 1200, 1350, 1900 วธท า เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก จะไดดงตอไปน 300, 400, 450, 450, 500, 600, 600, 700, 900, 1000,

1150, 1200, 1200, 1300, 1350, 1500, 1900, 2000, 2100 จากขอมล 19 จ านวน จะไดวา

1Q ขอมลต าแหนงท 19 1

4

= ขอมลต าแหนงท 5 500


4



4



17

จากแผนภาพ จะเหนไดวา ถาเราแบงขอมลเปน 4 สวน (จากนอยไปมาก) ขอมลสวนท 4 จะมการกระจายมากทสด #

500 1000

200 500 350 750

1350

1Q 2Q 3Q

1Q 2Q 3Q

300 2100


18

4. สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)


19

4. สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

ในหวขอน เราจะศกษาการหาการกระจายสมบรณ ทเรยกวา สวนเบยงเบนเฉลย

ผสอนอาจจะใหตวอยางเพมเตมดงตอไปน เพอใหนกเรยนเกดความคนเคยกบการค านวนหาคาสวนเบยงเบนเฉลย

ตวอยาง ขอมลของอายของสมาชกในครอบครว 6 คน คอ 50, 40, 17, 15, 12,10 1. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของอายของสมาชกในครอบครว 2. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของอายของสมาชกในครอบครวในอก 4 ป ขางหนา

วธท า 50 40 17 15 12 1024

6

ป

1. สวนเบยงเบนเฉลย


20

จรงหรอไม

50 24 40 24 17 24 15 24 12 24 10 24. .

6M D

14 ป #

2. อก 4 ปขางหนา อายของสมาชกในครอบครว คอ 50 4, 40 4, 17 4, 15 4, 12 4, 10 4 และคาเฉลยเลขคณต คอ 24 4 ดงนน

50 4 24 4 40 4 24 4 17 4 24 4. .

6M D

15 4 24 4 12 4 24 4 10 4 24 4

6

50 24 40 24 17 24 15 24 12 24 10 24

6

14 ป # ผสอนอาจใหขอสงเกตกบนกเรยนโดยการตงค าถามหลงจากตวอยางขางตนดงน

ถาน า c มาบวกขอมลทกตว แลวสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดใหมจะเทากบขอมลเดม

จากขอมลแจกแจงความถ นกเรยนกสามารถใชวธทศกษามาในสอการสอนตอนนไดดงตวอยาง ตวอยาง จากการสมพนกงาน 10 คน พบวาแตละคนมเงนเดอน (หนวยเปน บาท) ดงตารางตอไปน

เงนเดอน 10000 15000 30000 จ านวนพนกงาน 3 5 2


21

1. จงหาพสยของเงนเดอนของพนกงาน 2. จงหาสวนเบยงเบนควอไทลของเงนเดอนของพนกงาน 3. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของเงนเดอนของพนกงาน

วธท า มขอมลทงหมด 10 จ านวน ดงตอไปน 10000, 10000, 10000, 15000, 15000, 15000, 15000, 15000, 30000, 30000

1. พสย max minX X

30000 10000 20000 บาท

2. 1Q คอขอมลต าแหนงท 10 1

4

ซงคอต าแหนงท 2.75 มคาเทากบ 10000 บาท


4

ซงคอต าแหนงท 8.25 มคาเทากบ

15000 0.25 30000 15000 18750 บาท

ดงนน 3 1 18750 10000. . 4375

2 2

Q QQ D

บาท

3. 10000 10000 10000 15000 15000 15000 15000 15000 30000 30000

10

16500 บาท ดงนน

3 10000 16500 5 15000 16500 2 30000 16500. .

10

19500 7500 27000

10

M D

5400 บาท # ผสอนควรใหตวอยางการค านวณหาคาขอมลทไมทราบคา โดยทราบคาการกระจายของขอมลแบบตางๆ ดงเชนตวอยางทใหไวในสอการสอนตอนน


22


23

แบบฝกหดเพมเตม

1. จงหาพสย ของประชากรทประกอบดวย 10, 11, 15, 18, 19 2. จงหาพสย ของตวอยางทประกอบดวย 10, 11, 15, 18, 19 3. จงหาสวนเบยงเบนควอไทล ของประชากรทประกอบดวย 5, 7, 12, 15, 18, 30, 12, 19, 20, 30, 11 4. จงหาสวนเบยงเบนควอไทล ของขอมลทประกอบดวย 5, 7, 12, 15, 18, 30, 12, 19, 20 5. จงหาสวนเบยงเบนควอไทล ของคาใชจายประจ าวนของตวอยาง 20 คน ดงตอไปน

60 80 100 110 200 80 50 60 120 150 50 130 180 190 90 70 140 160 200 100

6. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของคาใชจายประจ าวน ในขอ 5 7. จากขอมลในขอ 5 ถาเราแบงขอมลเปน 4 สวน (จากนอยไปมาก) ขอมลสวนไหนทมการกระจายมาก

ทสด 8-11 การส ารวจจ านวนวนลาระหวางพนกงานชาย และพนกงานหญง พบขอมลดงตอไปน

เดอน จ านวนวนทลา

ชาย หญง มกราคม 5 10 กมภาพนธ 0 15 มนาคม 8 12 เมษายน 10 10 พฤษภาคม 12 3

8. จงหาคาเฉลยเลขคณตของวนลาในแตละเดอนของพนกงานชาย, พนกงานหญง และของพนกงานทง

บรษท 9. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของจ านวนวนลาในแตละเดอนของพนกงานชาย 10. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของจ านวนวนลาในแตละเดอนของพนกงานหญง 11. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของจ านวนวนลาในแตละเดอนของพนกงานทงบรษท


24

สรปสาระส าคญประจ าตอน


25

ขอสงเกต

สรปสาระส าคญประจ าตอน

ก าหนดให พสย สวนเบยงเบนควอไทล สวนเบยงเบนเฉลย ของ 1 2, ,..., NX X X มคาเปน

,a b และ c ตามล าดบ จะไดวา พสย สวนเบยงเบนควอไทล และสวนเบยงเบนเฉลย ของ

1 2, ,..., NX c X c X c คอ ,a b และc ตามล าดบ

พสจน จากขอมลจะไดวา 3 1 1max min , ,

2

N

i X

i

XQ Q

a X X b cN

โดยท 1

N

i

iX

X

N

และ 1 3,Q Q คอควอไทลท 1 และควอไทลท 3

ของ 1 2, ,..., NX X X ตามล าดบ ให i iY X c ทก 1,2,...,i N จะไดวา Y X c โดยทควอไทลท 1

และควอไทลท 3 ของขอมลชดใหมคอ 1Q c และ 3Q c ตามล าดบ ดงนน พสย max minY Y

max min

max min

X c X c

X X

a

3 1

3 1

. .2

2

Q c Q cQ D

Q Q

b


26

ปญหาชวนคด

1

1

1

. .

N

i Y

i

N

i X

i

N

i X

i

Y

M DN

X c c

N

X

N

c # ให 1 2, ,..., NX X X เปนขอมลทมพสย สวนเบยงเบนควอไทล สวนเบยงเบนเฉลย เปน ,a b และ c ตามล าดบ ให k เปนคาคงตว และ i iY kX ทก 1,2,...,i N พจารณาวาขอความตอไปนจรงหรอไม

ก. พสยของ 1 2, ,..., NY Y Y คอ k a ข. สวนเบยงเบนควอไทล คอ k b ค. สวนเบยงเบนเฉลย คอ k c


27

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


28

แบบฝกหดระคน

1. ขอมลชดหนงมสวนเบยงเบนควอไทลเทากบ 5 และในบรรดาขอมลทมคาสงสด 25% ของขอมลทงหมด ขอมลทมคาต าสดของกลมขอมลนมคาเทากบ 50 แลวควอไทลท 1 ของขอมลชดนมคาเทาไร 1. 10 2. 40 3. 50 4. 60

2. ในการสอบวชาหนง สวนเบยงเบนควอไทลมคาเทากบ 50 และควอไทลท 1 มคาเทากบ 30 ควอไทลท 3 ของขอมลชดนมคาเทาไร 1. 80 2. 100 3. 120 4. 130

3. ถา 2 3 720, , ,...,x x x เปนขอมลทเรยงกนเปนล าดบเลขคณต ( จากนอยไปมาก) และสวนเบยงเบนควอไทลมคาเทากบ 10 จงหาพสยของขอมลชดน 1. 10 2. 15 3. 30 4. 45

4. จากขอมลในขอ 3 สวนเบยงเบนเฉลยมคาเทากบขอใด

1. 10 2. 15 3. 35

7 4. 60

7

5. ขอมลชดหนง เรยงจากนอยไปมาก คอ ,5,6,7,a b โดยท 6X และ . . 2M D แลวพสยมคาเทากบเทาใด 1. 2 2. 6 3. 8 4. 10

6. ขอมลชดหนงประกอบดวย 3,6,7,10,15,7,a โดยทคาเฉลยเลขคณตมคาเทากบ 7 แลวพสยของขอมลชดนมคาเทากบขอใด 1. 10 2. 14 3. 21 4. ขอมลไมเพยงพอ

7. จากขอมลในขอ 6 สวนเบยงเบนเฉลยมคาเทากบขอใด

1. 1 2. 7 3. 22

7 4. ขอมลไมเพยงพอ

8. ขอมล 5 จ านวน คอ ,6, 2,5,3a ถาขอมลชดนมพสยเทากบคาเฉลยเลขคณต โดยท 2a หรอ 6a แลวคา a ทเปนไปไดคอขอใด

1. 7

3 2. 13

2 3. 7 13

,3 2

4. 131,

2

9. ขอมล 4 จ านวน ประกอบดวย 1, , , 4a b โดยท 1 a b ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตและพสยเทากบ 3 และ 5 ตามล าดบ แลวสวนเบยงเบนเฉลยของขอมล 4 จ านวนน จะมคาเทากบขอใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


29

10. ในการค านวณคาเฉลยเลขคณตของขอมล 3 จ านวน พบวา 30X ตอมาภายหลงพบวาอาน

คะแนนผดไป 2 จ านวน คออาน 30 เปน 35 และอาน 25 เปน 22 พสยของขอมลทถกตองคอขอใด 1. 8 2. 12 3. 15 4. 20


30

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


31

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

1. 9 2. 9 3. 4.5 4. 5

5. 42.50 บาท 6. 42.60 บาท 7. สวนท 3 8. 7, 10, 17 วน

9. 3.6 วน 10. 2.8 วน 11. 2.4 วน

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 2 2. 4 3. 3 4. 4 5. 3

6. 2 7. 3 8. 2 9. 2 10. 1


32

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


34


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


35


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล




การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

79 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

Documents