75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 2)

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (แนวโนมเขาสสวนกลาง 1) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/14) หวขอยอย 1. คาเฉลยเลขคณต (ขอมลไมแจกแจงความถ) 2. ฐานนยม (ขอมลไมแจกแจงความถ) จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. สามารถหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมแจกแจงความถได 2. สามารถหาฐานนยมของขอมลทไมแจกแจงความถได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายและค านวณคาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมแจกแจงความถได 2. อธบายความหมายและค านวณของฐานนยมของขอมลทไมแจกแจงความถได 3. อธบายสมบตของคาเฉลยเลขคณตและน าไปใชได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6

1. คาเฉลยเลขคณต


7

1. คาเฉลยเลขคณต

ส าหรบสอตอนนจะกลาวถงขอมลทยงไมไดแจกแจงความถเทานน ในชวงแรกไดใหค าอธบายเกยวกบคากลางของขอมล ประเภทของคากลางทนยมใช กอนหนานครอาจทบทวนกบนกเรยนวาการวเคราะหขอมลนน บางครงอาจวเคราะหจากขอมลระดบประชากร หรอบางครงอาจสมตวอยางมากลมหนงจากประชากรทสนใจกได จากนนสอในชวงนไดเนนไปทคากลางตวแรก คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมลประชากร และขอมลตวอยาง บางต าราอาจใชค าวา คากลางเลขคณต หรอมชฌมเลขคณต แทนค าวา คาเฉลยเลขคณต

มาถงตอนนครควรย ากบนกเรยนสงเกตวาขอมลทจะน ามาหาคาเฉลยเลขคณตนนตองเปนขอมลเชงปรมาณ และใหนกเรยนชวยกนอภปรายวาหากตองการพยายามใชคาเฉลยเลขคณตไปวเคราะหขอมลเชงคณภาพ นกเรยนนาจะมวธการอยางไร


8

เมอมาถงตอนน ครควรย าเรองสญลกษณทนยมใชในการแยกแยะวาสงทก าลงค านวณนนเกยวกบประชากรหรอตวอยาง เชน (มว) ใชแทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร ในขณะท x (เอกซ บาร) ใชแทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง ส าหรบการพดนนบางครงอาจใชค าวา “mean” (มน) แทนการพดวา คาเฉลยเลขคณตได นอกจากนหากไมไดระบไวในค าถามจะถอวาขอมลทก าหนดมาใหเปนขอมลประชากร

เมอนกเรยนเขาใจตวอยางในสอแลวครอาจเนนย าอกครงวา จ านวนจรงทเปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดหนง อาจไมใชจ านวนจรงทเปนขอมลตวใดตวหนงในชดนนเลยกได นอกจากนอาจมขอมลในชดนนบางตวทนอยกวา หรอมากกวาคาเฉลยเลขคณตไดเสมอ ครอาจชวนนกเรยนใหชวยกนอภปรายวาขอมลแบบใดทจะรบประกนวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน จะเทากบขอมลตวใดตวหนงในชดนนเสมอ อยางไรกตามสตรส าหรบค านวณคาเฉลยเลขคณต สะทอนความเปนคากลางของขอมลทน ามาเฉลย กลาวคอ ส าหรบ

ขอมลทประกอบดวยจ านวนจรง a และ b เมอ a b จะไดวา 2

a ba b นนคอคาเฉลยเลขคณต

เปนจ านวนจรงทอยระหวาง a และ b


9

พสจน ให a และ b เปนจ านวนจรงใดๆ สมมตวา a b

จะไดวา a a a b b b

2 2 2

a a a b b b

2

a ba b

ในตอนนไดอธบายสมบตทส าคญของสญลกษณ 1

N

ii

x ซงใชแทนผลบวก 1 2 3

...N

x x x x


10

เมอมาถงตอนนไดอธบายสมบตทส าคญของคาเฉลยเลขคณตทนกเรยนอาจน ามาใชในการชวยค านวณ หรอแกปญหาตางๆ ได นอกจากนยงไดยกตวอยางเกยวกบการใชสมบตดงกลาวเพอสรางความคนเคยใหกบนกเรยน

กอนทจะยกตวอยางเพมเตม ครควรชวนใหนกเรยนชวยกนอภปรายเหตผล เพอสนบสนนวาสมบตตางๆ ทไดอธบายไปในสอนนเปนจรง ในทนจะแสดงการพสจนเฉพาะขอมลประชากรเทานน เนองจากขอมลตวอยางมสมบตเหมอนกน แตใชสญลกษณแตกตางกนเทานน

1. 1

N

ii

x N

พสจน เนองจาก 1

N

ii

x

N จงไดวา

1

N

ii

x N

2. 1

( ) 0N

ii

x

พสจน จากสมบตของ (ซกมา) และสมบตขอ 1 ของคาเฉลยเลขคณตจะไดวา


11

1 1 1

( )

0

N N N

i ii i i

x x

N N

3. 2

1

( )N

ii

x m มคานอยทสดเมอ m

พสจน เนองจาก

2 2 2 2 2

1 1 1 122

1 21

1

2

12 2

1

( ) ( 2 ) 2

( )

N N N N

i i i i ii i i i

NN

i Niii

ii

N

iNi

ii

x m x x m m x m x m N

xxN m x

N N

x

N m xN

ซงเปนสมการพาราโบลาหงายในตวแปร m ซงมคาต าสดเมอ m นนเอง

4. max minx x

พสจน การพสจนคลายกบการพสจนวาส าหรบจ านวนจรง a และ b ใดๆ

ถา a b แลว 2

a ba b ทไดแสดงไวใหแลว

ดงนนจงใหนกเรยนชวยกนพสจนเปนแบบฝกหด

5. ส าหรบจ านวนจรง a และ b ใดๆ ถา i iy ax b ทก i แลว y ax b

พสจน ให a และ b เปนจ านวนจรงใดๆ และ i iy ax b ทก i

จะไดวา 1 1 1 1

( )N N N N

i i ii i i i

y ax b y by a ax b

N N N N

เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม

ตวอยาง 1 ก าหนดใหขอมลชดหนงม 20 ตวโดยท 20

2

1

( 5) 500i

i

x และ 20

2

1

( )i

i

x b มคานอยสด

เมอ 8b จงหาคาของ 20

2

1i

i

x

วธท า จากโจทยจะไดวา 8 และ


12

20 20 20 202 2

1 1 1 120 20

2 2

1 1

500 ( 5) 10 25

10(20 ) 25(20) 1100

i i ii i i i

i ii i

x x x

x x

ดงนน 20

2

1

1600i

i

x

ตวอยาง 2 ก าหนดใหขอมล 1 2 3 7, , , ...,x x x x ซงเรยงจากนอยไปมากแลวมคาเปน 2, 3, 3, , 4, , 7x y

ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเปน 4 และ 7

2

1

( ) 16i

i

x จงหาคาของ xy

วธท า จากโจทยจะไดวา 4

2 3 3 4 7 19

7 7

x y x y

นนคอ 9y x และ

72

12 2 2 2 2 2 2

2 2

16 ( )

(2 4) (3 4) (3 4) ( 4) (4 4) ( 4) (7 4)

( 4) (9 4) 15

ii

x

x y

x x

นนคอ 2 21 ( 4) (5 )x x

22 18 41x x

จะไดวา 20 2 18 40x x 22( 9 20) 2( 4)( 5)x x x x

แต 4x ดงนน 4x

ท าใหไดวา 5y และ 4

5

x

y

ตวอยาง 3 ส าหรบจ านวนจรง a และ d และ จ านวนนบ N

ก าหนดให ( 1)1 2 3 ...

2

N NN

จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมล , , 2 , ..., ( 1)a a d a d a N d

วธท า จากโจทยจะไดวามขอมลอย N ตว ดงนน


13

( ) ( 2 ) ... ( ( 1) )

(1 2 3 ... ( 1))

( 1)

2

1

2

a a d a d a N d

NaN d N

NN N

aN d

NN

a d

หมายเหต ขอมลในรปแบบทก าหนดใหในตวอยาง 3 เรยกวา ล าดบเลขคณต นกเรยนจะสงเกตไดวา ถา N เปนจ านวนคแลว จะเปนขอมลทอยต าแหนงตรงกลางของขอมลทงหมดพอด ในขณะทถา N เปน

จ านวนคแลว จะเปนขอมลทอย “ตรงกลาง” ระหวางขอมลตวท 2

N กบขอมลตวท 12

N ส าหรบเรอง

ล าดบเลขคณตนน นกเรยนจะไดศกษารายละเอยดในสอเรองล าดบและอนกรม โดยอาจารยศนสนย และอาจารยไพโรจน


14

ในตอนนไดอธบายเกยวกบคาเฉลยเลขคณตแบบถวงน าหนก ซงจะน ามาใชเมอขอมลแตละตวมความส าคญ หรอน าหนกแตกตางกน เชนในการค านวณระดบคะแนน (เกรด) เฉลยของนกเรยนทวชาตางๆ มจ านวนหนวยกตแตกตางกนนนเอง

ในสอนนไดกลาวถงคาเฉลยเลขคณตแบบถวงน าหนกของขอมลตวอยาง อยางไรกดหากเปนขอมลประชากร ยงสามารถค านวณไดในลกษณะเดยวกน แตใชสญลกษณแตกตางกนกลาวคอ ถาให

1 2 3, , , ...,

Nw w w w เปน

น าหนกของขอมล 1 2 3, , , ...,

Nx x x x ตามล าดบ แลวจะไดวา

คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก แทนดวย เทากบ 1

1

N

i iiN

ii

w x

w


15

มาถงตอนนไดใชสมบตทวา 1

N

ii

x N มาชวยค านวณคาเฉลยเลขคณตรวมของขอมลทถกแยกออกเปน

ขอมลยอยหลายๆ ชด ซงในแตละชดไดค านวณคาเฉลยเลขคณตของชดยอยๆ นนมาแลว

ในสอนนไดกลาวถงคาเฉลยเลขคณตรวมของขอมลตวอยาง อยางไรกดหากเปนขอมลประชากร ยงสามารถค านวณไดในลกษณะเดยวกน แตใชสญลกษณแตกตางกนกลาวคอ ถาให

1 2 3, , , ...,

k เปนคาเฉลยเลข

คณตของขอมลชดท 1, 2, 3, ..., k ตามล าดบและ 1 2 3, , , ...,

kN N N N เปนจ านวนขอมลชดท 1, 2, 3, ..., k

ตามล าดบ แลวจะไดวา

คาเฉลยเลขคณตรวม แทนดวย เทากบ 1

1

k

i iik

ii

N

N

เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางนใหนกเรยนเพอเสรมประสบการณ

ตวอยาง 5 นกเรยนชนหนงจ านวน 500 คนมคาเฉลยเลขคณตของรายจายตอวนเปน 70 บาท ในจ านวนนกเรยนทงชนนมผชายอย 300 คน และมผหญงอย 200 คน ถากลมนกเรยนหญงมคาเฉลยเลขคณตของรายจายตอวนมากกวากลมผชายอย 5 บาท แลวจงหาคาเฉลยเลขคณตของรายจายตอวนของนกเรยนทงสองกลมน

วธท า ก าหนดให แทนคาเฉลยเลขคณตของรายไดตอวนของนกเรยนทงชน

1 และ

2 แทนคาเฉลยเลขคณตของรายไดตอวนของกลมนกเรยนชายและกลมนกเรยนตามล าดบ

ดงนน 2 1

5 และ 1 2 1 1300 200 300 200( 5)

70500 500

นนคอ 1

35000 500 1000 ท าให

168 บาท และ

273 บาท


16

แบบฝกหดเพมเตมเรองคาเฉลยเลขคณต

1. ขอมลชดหนงเรยกจากนอยไปมากเปนดงน 98, 100, 101, 104, , 109, 110, 111,a b ถาคาเฉลยเลข

คณตของขอมลชดนเทากบ 106 และผลตางระหวางขอมลทมคามากทสดกบขอมลทมคานอยทสดเปน 14 แลวจงหา a b

2. ให 2.60x เปนคาเฉลยเลขคณตของเกรดเฉลยสะสมทงสามปของนกเรยนสามคน โดยทงสามปคนแรกลงทะเบยนไปทงหมด 124 หนวยกต และไดเกรดเฉลยสะสมของตนเองเปน 3.00 คนทสองลงทะเบยนไปทงหมด 121 หนวยกต และไดเกรดเฉลยสะสมของตนเองเปน 2.50 สดทายนกเรยนคนทสาม ลงทะเบยนไปทงหมด 125 หนวยกต จงหาเกรดเฉลยสะสมของนกเรยนคนทสาม

3. ก าหนดให 1 2 3 4, , ,x x x x มคาเปน , 3, 7,a b โดยท 1 a b ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตเปน

4 และ 4

2

1

( ) 20i

i

x แลวจงหา b a

4. นกเรยนหองหนงมทงหมด 100 คน โดยสวนสงเฉลยของนกเรยนชายเปน 165 เซนตเมตร และ สวนสงเฉลยของนกเรยนหญงเปน 150 เซนตเมตร ถาสวนสงเฉลยของนกเรยนทงหองเปน159 เซนตเมตร จงหาผลตางของจ านวนนกเรยนชายและจ านวนนกเรยนหญงของหองน 5. คาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกเรยนชนหนงเทากบ 50 กโลกรม ถานกเรยนชนนเปนนกเรยนชาย 57 คนและนกเรยนหญง 43 คน และคาเฉลยเลขคณตของน าหนกกลมนกเรยนหญงเทากบ 45 กโลกรมแลว จงหาน าหนกรวมของกลมนกเรยนชายทกคน

6. บรษทแหงหนงมพนกงาน 379 คน โดยมคาเฉลยเลขคณตของอายของพนกงานกลมนเปน 32 ป ถามพนกงานลาออกจากบรษท 4 คน ซงมอาย 34, 35, 35 และ 37 ป ตามล าดบ และมการรบพนกงานเพม

อก 5 คน ซงมคาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานทรบเพมนเปน 27 ป แลวจงหาอายเฉลยของพนกงานบรษทนหลงจากบรรจพนกงานใหม 7. คาเฉลยเลขคณตของอายคนกลมหนงเทากบ 48 ป ถาคาเฉลยเลขคณตของอายผหญงในกลมนเทากบ 52 ป และคาเฉลยเลขคณตของอายผชายในกลมนเทากบ 42 แลวจงหาอตราสวนระหวางจ านวนผหญงตอจ านวนผชายของคนกลมน 8. ถาในป พ.ศ. 2553 คาเฉลยเลขคณตของรายรบของครในโรงเรยนแหงหนงเทากบ 20, 000 บาท ในปตอมาโรงเรยนนรบครเพมอก 20 ทาน ท าใหคาเฉลยเลขคณตของรายรบของครโรงเรยนนในป พ.ศ. 2554 เทากบ 22, 000 บาท และผลรวมของรายรบของครเพมขนจากป พ.ศ. 2553 อก 648, 000 บาท เมอสนป พ.ศ. 2554 โรงเรยนแหงนมครทงหมดจ านวนเทาใด


17

9. ผลการสอบรายวชาในภาคการศกษาทหนงของนสตคนหนงเปนดงน

วชา แคลคลส ปฏบตการฟสกส ชววทยา พละศกษา จ านวนหนวยกต 4 1 3 2

เกรด 3.5 2.5 2.0 4

จงหาคาเฉลยเลขคณตของผลการเรยน (เกรดเฉลย) ในภาคการศกษาแรกของนสตคนน

10. ก าหนดขอมล 1 2 3 15, , , ...,x x x x ถา

152

1

( 8) 105i

i

x และ 15

2

1

( 9) 60i

i

x แลวจงหา

คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน


18

2. ฐานนยม


19

2. ฐานนยม

เมอมาถงตอนนไดอธบายบทนยามของฐานนยมและใหตวอยางในการหาฐานนยมจากขอมลทก าหนดมาให ทงนในบางครงอาจใชสญลกษณ , .Mo Mo หรอ Mode เพอแทนฐานนยม

สงทครควรย ากบนกเรยนคอ การจ าแนกใหออกวาขอมลทสนใจคอสงใด และสงใดคอความถหรอจ านวนครงทขอมลนนปรากฏ ดงเชนตวอยางในการหาฐานนยมของจ านวนประตททมฟตบอลของทงสโรงเรยนท าไดทยกใหเปนอนสตไวในสอชดนแลว


20

นอกจากนขอสงเกตเกยวกบฐานนยมทไดใหไวในสอนน เปนขอสงเกตทอาจมความแตกตางกนไปในต าราทตางกน อกทงไมไดเปนกฎเกณฑทตายตว เชน บางต าราอาจกลาววาหากมฐานนยมเกนกวา 2 ตวขนไปจะถอวาขอมลนนไมมฐานนยม อยางไรกดในการน าฐานนยมไปใชตดสนใจหรอส ารวจความนยมของขอมลบางอยาง อาจตองการขอมลทผคนนยมกนมากกวา 2 ตวกเปนไปได

เมอมาถงตรงนครอาจยกตวอยางนเพมเตม

ตวอยาง 4 ก าหนดใหขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 1 2 4 5, , 16, ,x x x x มคาเฉลยเลข

คณตเปน 17 มฐานนยมเปน 15 และ ผลตางระหวางขอมลทมคามากทสดกบขอมลทมคานอยทสดเปน 5 แลวจงหาขอมลชดน

วธท า จากโจทยจะไดวา 1 2 4 516

175

x x x x

1 2 4 116 5

5

x x x x

นอกจากนจากการทขอมลเรยงล าดบจากนอยไปมาก โดยขอมลต าแหนงตรงกลางเปน 16 และฐานนยมเปน 15 ท าใหไดวา

1 215x x และสดทาย

5 1 55 15x x x

นนคอ 520x ดงนน 4

15 15 16 2017

5

x

ท าใหไดวา 419x สรปวาขอมลชดนคอ 15, 15, 16, 19, 20


21

แบบฝกหดเพมเตมเรองฐานนยม

1. ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 100, 120, 150, 130 และ 100 แลวขอความตอไปนเปนจรงหรอไม

ก. ฐานนยมนอยกวาคาเฉลยเลขคณต ข. มขอมลบางตวทมคานอยกวาฐานนยม 2. ขอมลชดหนงประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 จงหา | |Mo เมอ Mo คอฐานนยมของ

ขอมลชดน 3. จากการสอบถามพนกงานบรษทแหงหนงวาปนเคยไปเทยวทะเลมาแลวทงหมดจ านวนกครงปรากฏผลดงน

จ านวนครงทเคยไปเทยวทะเล

จ านวนพนกงาน

1 0 2 2

3 5

4 3

5 1 6 1

จงหาฐานนยมของขอมลชดน 4. จากการส ารวจนกเรยนกลมหนงจ านวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนสวมรองเทาขนาดตางๆ กนดงน

เบอรรองเทา จ านวนนกเรยน

5 3 6 12 7 35 8 27

9 16 10 7

มนกเรยนกเปอรเซนตทสวมรองเทาขนาดทแตกตางจากฐานนยม

5. ถาคาโดยสารรถประจ าทางตอวน (บาท) ของนกเรยน 10 คนเปนดงน 11, 15, 22, 36, 11, 18, 22, 22, 16, 28 มนกเรยนทตองจายเงนคาโดยสารรถประจ าทางต ากวาฐานนยม

มากกวานกเรยนทตองจายเงนคาโดยสารรถประจ าทางสงกวาฐานนยมอยกเปอรเซนต


22

สรปสาระส าคญประจ าตอน


23

สรปสาระประจ าตอน


24

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


25

แบบฝกหดระคน 1. คาแรงงานตอวนของคนงานกลมหนงจ านวน 8 คน เปน 150, 152, 158, 168, 170, 177, 180, 185

บาท จงหาวามคนงานกคนทไดคาแรงตอวนต ากวาคาเฉลยเลขคณตของคาแรงตอวนของคนงานกลมน 2. ก าหนดให

1 2 3 10, , , ...,x x x x มคาเปน 5, 6, , 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9a โดยท 15a ถาผลตาง

ระหวางขอมลทมคามากทสดกบขอมลทมคานอยทสดเปน 12 และ b เปนจ านวนจรงทท าให 10

2

1

( )i

i

x b มคานอยทสด แลวจงหาคา a b

3. เลอกนกเรยนอนบาลมาสคนมอายเปน 1 2 3 4, , ,x x x x ป โดยมคาเฉลยเลขคณตของอายเปน 5.5 ป

ตอมาเลอกนกเรยนทมอาย 3 ป ขนมาอกหนงคน จงหาคาเฉลยเลขคณตของนกเรยนกลมใหมทมหาคนน 4. ในการชงน าหนกกระเปาเดนทางสใบ ไดน าหนกเปน 15.5, 14.8, 14.5, 15.2 กโลกรม เมอน ากระเปา

ทงสใบนไปรวมกบกระเปาเดนทางอกใบหนงแลวค านวณคาเฉลยเลขคณตของกระเปาทงหาใบนไดเปน 16 กโลกรม จงหาน าหนกของกระเปาอกใบหนงทเพมขนมา 5. ก าหนดใหขอมลชดหนงทเรยงจากนอยไปมากแลวคอ

1 2 3 4 5, , , ,x x x x x มคาเปน , 4, 5, 6,a b ซงม

คาเฉลยเลขคณตเปน 6 และ 4

1

| | 12i

i

x จงหาขอมลชดน

6. คะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนชนหนงซงมอยสองหอง มคาเฉลยเลขคณตรวมเปน 54 คะแนน โดยทหองท 1 และ หองท 2 มนกเรยน 30 และ 20 คนตามล าดบ ถาคาเฉลยเลขคณตของนกเรยนหองท 1 เทากบ 50 คะแนน จงหาคาเฉลยเลขคณตของนกเรยนหอง 2

7. ถา 2 3 25

20, , , ...,x x x เปนขอมลชดหนงทเรยกจากนอยไปมาก และเปนล าดบเลขคณตโดยทผลตาง

ระหวางขอมลทมคามากทสดกบขอมลทมคานอยทสดเปน 48 แลวจงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน 8. ก าหนดให

1 2 3 4 5, , , ,x x x x x เปนขอมลชดหนงทมคาเฉลยเลขคณตเปน 6 ถา

52

1

( 4) 30i

i

x จงหาคาของ 5

2

1

( )i

i

x

9. ขอมลชดหนงประกอบดวย 1 2 3 13, , , ...,x x x x โดยท | 6 |

nx n เมอ {1, 2, 3, ..., 13}n จง

หาคาของ a ทท าให 13

2

1

( )i

i

x a มคานอยทสด

10. ขอมลชดหนงเมอเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 10, 20, 30, 30, , 50, 60, 60, 90, 120a

ถาฐานนยมของขอมลชดนเปน 30 แลวขอมลชดตอไปนคอ 9, 18, 27, 26, 5, 44, 53, 52, 81, 110a

มคาเฉลยเลขคณตเปนเทาใด


26

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


27

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองคาเฉลยเลขคณต 1. 221 2. 2.30 3. 4 4. 20 คน 5. 3, 065 กโลกรม 6. 31.9 ป 7. 3 : 2 8. 124 ทาน 9. 3.05 10. 10

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองฐานนยม 1. ขอ ก ถก 2. 1 3. 3 ครง 4. 65% 5. 30% ขอ ข ผด

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 3 คน 2. 11 3. 5 ป 4. 20 กโลกรม 5. 3, 4, 5, 6, 12

6. 60 คะแนน 7. 44 8. 10 9. 43 3.3113

10. 44.5


28

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


29

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


30


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


31


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา




การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

Documents