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이민형 교수, 세종대

8장 분석과 실험의 복합적 해석

- 유체와 고체의 경계면에는 마찰이 작용하고 있기 때문에 표면 가까운 곳에

경계층 (boundary layer) 이라고 하는 특별한 유체층이 발달된다. 이러한 경계

층의 영향은 유체유동의 역학에서 결정적인 역할을 하며 실제 응용에서 나타나

는 여러 가지 복잡성에 대한 중요한 원인이 된다.

- (a) 뭉툭한 물체 주위를 흐르는 외부유동 (external flow),

(b) 수로나 파이프를 흐르는 내부유동 (internal flow) 각각에 대해

--> 층류유동과 난류유동 흐르는 모든 경우에 대해 상세히 검토한다.

- 수치해석은 더 빠르고 더 큰 컴퓨터의 출현으로 현저한 발전이 있었기 때문에,

이론적으로는 어려웠던 여러 가지 복잡한 문제가 이제는 수치적으로 해석되고

있다.

[내부 유동] [외부 유동]


Flow Classification

(two-dimensional) ( ) ( )


8.1 경계층의 개념

유체영역에 따른 초기 유체역학 이론의 한계

- 고체표면에서 멀리 떨어진 곳 : 비교적 정확한 유체유동을 예측 가능

- 고체표면에서 가까운 곳 + 뭉툭한 물체의 후면 : 와류유동과 같은 일반적으로 관

찰되는 현상에 대한 예측을 하지 못함. 실험자들이 그 결과를 설명할 만한 충분한

이론적인 개념을 알지 못하였다.

한계 극복 : 경계층 이론 (독일의 유체역학자 Ludwig Prandtl)

- 경계층 이론은 고체표면 부근의 얇은 유체층에 집중된 것으로, 이 층에 작용하는

점성효과는 이론과 실제의 모두가 안고 있던 결점으로 인해 그 동안 설명되지 못

했던 부분을 연결시켜주고 있다. 경계층 이론은 유체역학에서 가장 중요한 개념

중의 하나로, 유체역학분야를 형성하는 데 중추적인 역할을 하였다.

- 내부영역 (고체표면을 지나는 유동은 고체표면에 인접한 얇은 층)

+ 외부 영역 (고체표면에서 멀리 떨어진)

- 예) 평행평판을 지나 흐르는 균일한 공기유동에서,

속도= 10 m/s인 경우에 평판의 선단에서 0.5 m 떨어진 곳에서의 경계층두께는

0.5 cm 정도이다. 이러한 얇은 층 내에서, 속도는 고체표면에서 영 (점착조건) 으

로부터 자유유동속도 u = U까지 변한다. 이러한 큰 속도구배 때문에, 유체 변형과

그에 따른 점성력은 큰 값을 가지고 따라서 무시할 수 없다.

유동가시화 영상 시청


8.1.1 경계층 이론

평판을 지나는 균일유동

- 점성의 작용에 의하여 얇은 층이 형성

- 유체의 속도는

벽면에서, u = 0 (점착조건)

경계층 가장자리에서, u = U (균일유동속도, 자유흐름, free stream velocity)

- 경계층의 두께는 유동방향 (주 유동방향, x방향) 으로 갈수록 증가한다.

- 층류 → 천이(transition) → 난류 로 변화

Re = 3~5x105 Re = 1x106

Re = ρVL/µ, (L = 평판 선단으로부터의 거리)

- 경계층방정식 (boundary layer equation) : 경계층의 두께는 유선방향으로의 거리

에 비하여 매우 작기 때문에 지배방정식 (운동량방정식과 질량보존식) 은 원래의

형태에서 단순화된 형태.

- 경계층 방정식 유도

스케일링 변수 : 속도 (=자유유동속도 U)와 길이 (평판의 길이 L)로 층류 운동방정

식을 무차원화한 후, 차수계산해석을 통하여 유도.

경계층이 얇다는 사실에서 출발 (가장 중요한 핵심) 그러므로

경계층의 무차원 두께 d는 작으므로 d << 1이다.

무차원화된 유선방향 속도 u와 평판 선단으로부터의 무차원화된 거리 x :

u ~ 1, x ~ 1. 도함수 du/dx ~ 1의 차수.


8.2 층류 경계층유동

8.2.1 층류 경계층유동의 상사해 : Blasius Solution

엄밀해 없음 : 경계층방정식 (8.1) - (8.2) 는 비선형 포물선 편미분방정식.

수치 해 : 13.5.1절에서 설명하는 2차원, 층류, 경계층방정식의 유한차분해 참조.

이 해는 경계층방정식에 있는 변수들에 대한 특수 변환 이용

변환 무차원 변수상사변수 (similarity variable)

+ 무차원 유동 함수

→ 상사 해 (Similarity Solution)

2차원 경계층 방정식 → 1차원 문제로 변환

- 비선형 상미분방정식 유도

- 4차 Runge-Kutta 적분방법을 사용하여 구함

- 실제로 평판을 지나가는 경계층유동의 엄밀해로 간주할 수 있다.


예제 8.1

문제 그림 8.7과 같이 2 m/s로 날고 있는 글라이더의 수직꼬리날개 표면에서의 최대

경계층두께를 구하라. 꼬리날개는 평평하고 유동방향으로의 길이가 0.5 m, 높이가 1

m라고 가정한다. 글라이더는 고도 1500 m 상공을 날고 있으며, 여기서의 평균온도는

68C이다. 주어진 조건에 대해 최대 경계층두께 위치에서 유동으로 인한 벽면응력을

구하라.

예제 8.2

문제 예제 8.1의 글라이더에서 표면마찰력 Fv의 변화를 속도의 함수로 구하라. 속도

는 2 m/s에서 4 m/s 범위 안에 있다고 생각하라.


8.2.2 층류 경계층유동의 근사해

- Blasius의 엄밀해는

- 여러 가지 간단한 함수들을 사용하여 근사적으로 표현할 수 있다.

예, (a) 2차함수, (b) 사인함수 (c) 그 외의 적절한 함수 가능

경우 I : 2차 함수 경계층내부 속도분포 가정

경우 II : 사인 함수 경계층내부 속도분포 가정

표 8.2는 평판을 지나는 층류유동에 대한 결과를 요약


8.1.2 운동량 적분이론

경계층은 지배방정식을 경계층의 두께방향으로 적분하는 적분해석에 의해

근사적으로 해석할 수 있다

이러한 적분으로부터 얻어지는 식은 간단하고, 유동방향인 x방향으로의 적분

만 수행하면 되는 상미분방정식으로 된다.

출발 : 경계층의 발달을 설명하고 경계층의 두께가 적분구간 내에 포함되도록 하기 위

해 상한구간 ξ를 예상되는 경계층두께보다 크게 선정

x-운동량식을 적분식으로 표현하면,

0

ξ

u ∂u∂x+ v ∂u

∂ydy =

0

ξ

−1ρ∂P∂x

dy+0

ξ ∂τ∂y1ρ

dy (1)

연속방정식에서,

v =−0

y ∂u∂x

dy (2)

정상유동에 대한 압력구배는,

1ρ

dPdx

=− U dUdx

(3)

그러므로, (2), (3) --> (1)


예제 8.4

문제 경계층 내의 속도분포를 2차함수와 사인함수로 근사한 식을 사용하여, 예제 8.1

- 8.3의 수직꼬리날개에 작용하는 총 표면마찰력을 계산하라. 또, Blasius 엄밀해로부

터 구한 결과와 비교하라.


8.3 난류 경계층유동

- 난류유동은 층류유동보다 상당히 더 복잡하며, 기하학적 형상과 표면거칠기 등과

같은 요인에 의해서도 영향을 받는다.

- 다행히 난류 경계층유동의 해석에 있어서는 실험데이터들이 도움이 된다.

실험 관측:

- 점성저층 (viscous sublayer) : 고체표면 근처에는, 여기서는 유동이 점성의 영향을

지배적으로 받는다. - 완전난류유동 : 표면에서 먼 곳에서 유동

- 중복층 (overlap region) 또는 천이층 (transition layer) : 유동이 점성과 난류의 영향

을 모두 받는다.

- 점성저층이 있는 데도 불구하고 유동은 표면거칠기에도 영향을 받는다. 매끈한 벽

면의 경우는 표면의 울퉁불퉁함이 모두 점성저층 안에 있으며, 그 영향이 최소화

되는 경우이다. 그러나 거친 표면에서는, 거칠기가 점성저층을 뚫고 주 유동과 간

섭을 일으킨다.


벽볍칙 (law of the wall)

- 점성저층 내에서 u는 y에 따라 선형적으로 변한다.

실험결과로부터 전단응력 τw는 점성저층을 가로질러 일정하다. 그러므로,

τw = µ ∂u∂y

→ τw

ρυ△u△y

= υ uy

τw/ρ 는 속도제곱의 (m2/s2) 단위이므로,

U* =

√τw

ρ : 마찰속도 (friction velocity)

따라서 점성저층 안에서의 속도는

uU*

= U* yυ

: 벽볍칙 (yU*ν< 3)

실험에서,

점성저층의 두께, 중복측 두께는


(yU*ν> 3) 인 영역에서는,

표면의 거칠기 영향

(a) 매끈한 파이프유동영역 : eU*ν< 5

(b) 마찰의 천이유동영역 : 5 <eU*ν< 70

(c) 거친 파이프유동영역 : eU*ν> 70

매끈한 표면 :

uU*

= αln yU*υ

+ , α = 2.5, = 5.0 (대수법칙이 적용 가능)

벽에서 먼 곳에서는,

uU*

=

y1n , (n=6~10) : 7승법칙 (seventh-root law)

Blasius 제시, (Re < 3x106 경우)

τw=0.0233ρU2

yU

14

거친표면 :

천이영역은

uU*

= αlnyU*υ

+ (e ), α = 2.5, = 8.5 (8-21)

β(e) 는 그림 8.17

완전히 거친 영역에서는

uU*

= αlnye+ , α = 2.5, = 8.5 (8-22)


예제 8.4

속도 100 m/s의 균일한 공기유동에 의해, 각 변의 길이가 0.5m인 정사각형 평판에

작용하는 마찰력은? (밀도 ρ = 1.165 kg/m3, 동점성계수 ν = 1.60 x 10-5 m2/s).

가정 -정상유동이며 평판끝단의 영향은 무시된다고 가정한다.

-또한, 천이유동에 대해 완전난류유동의 식을 사용할 수 있다고 가정한다.


8.4 외부유동 (External Flow)

8.4.1 유동박리 (flow separation)

- 고체표면 근방의 경계층유동과 비점성유동으로 간주되는 외부유동 영역 고찰.- 경계층 내의 유동은 비점성유동 + 외부의 압력구배에 의해 결정

- 지금까지는 외부유동이 항상 고체표면을 따라서 매끄럽게 흐르는 것으로 간주

- 그러나 경우에 따라서는 유체가 고체표면으로부터 떨어져 나갈 경우도 있다. 이러

한 현상을 일반적으로 유동박리 (flow separation) 라고 부른다. - 유동박리가 나타나기 위해서는 표면에서 전단응력의 부호가 바뀌어야만 한다.

τ = µ dudy│y = 0

순방향유동일 때 : τ = µdudy│y = 0 > 0

역방향유동일 때 : τ = µdudy│y = 0 < 0

박리 시작 조건 : τ = µdudy│y = 0 = 0

역류

박리는 변곡점을 가지는 속도분포일 때 일어난다.

결론적으로 박리는 오직 감속되는 유동에서만 발생할 수 있다.

요약

가속되는 경우 또는 “순압력구배” 유동은 표면에 부착되어 흐른다.

유동이 감속 → “역압력구배” → 역류를 발생 → 박리가 발생


8.4.2 후류역학

- 와도(vortex) 형성 : 경계층에 의해 나타나는 또 다른 현상은 흐르는 유체와 벽면

과의 상호작용에의해 와도 (경계 내의 유체입자들이 회전하려는 경향)가 생성

- 압력구배가 양이면 유동은 박리될 수 있으며 와도를 주 유동 안으로 방출한다. 와

도는 또한 날카로운 모퉁이나 형상의 갑작스러운 변화가 있는 곳과 같이 유동이

고체면을 따라 매끄럽게 흐를 수 없는 곳에서 방출

-이 와류가 어떤 임계크기에 도달하게 되면 물체로부터 유출되고 주 유동과 함께

하류로 떠내려가 후류 (wake)를 형성.- 이와 같은 와류유출 (vortex shedding) 을 독일의 유명한 공기역학자 Theodore von

Karman의 이름을 따서 Karman 와열 (von Karman vortex street) 이라 부른다.


8.4.3 항력과 양력

- 비대칭적인 와류유출 → 불안정한 압력장과 속도장이 형성

→ 비정상 힘을 받는다.

- F의 변동으로 인한 주기와 크기는 유출되는 와류의 주기와 강도에 직접적인 영향

- 그러므로 후류역학과 유발되는 힘에 대한 역학은 서로 밀접한 관련

유동방향 성분 : 항력 (drag force), FD (t)유동에 수직방향 성분 : 양력 (lift force), FL(t)

- 박리유동해석의 주된 목적은 횡단류를 받는 물체에 작용하는 양력과 항력을 구함

→ 당연히 물체 표면을 따라 정확한 압력과 힘의 분포를 알아야 함

→ 그러나 유동구조가 복잡하고, 대부분의 실제 응용분야에서 유동은 난류이기

때문에 이러한 힘들은 보통 실험적으로 구해 실험식이나 표의 형태로 제시

- 예, 실린더 (혹은 다른 뭉툭한 물체) 위에 작용하는 힘은, 무차원 해석을 통해

F

ρU 2D2= f ( )ReD, e

- 힘은 일반적으로,

CD =FD

1/2ρU 2AD

= f ( )Re, e

CL =FL

1/2ρU 2AL

= f ( )Re, e


8.4.4 원형실린더를 지나는 유동

고전적인 사진은 후류의 성장과정을 분명하게 보여주고 있다 (Prandtl)


원형실린더를 지나는 유동의 영역별 유동 특성


8.4.5 임의의 형상을 가진 물체를 지나는 유동

- 임의의 형상을 가진 물체를 지나는 유동에 있어서의 유체역학은 원형실린더를 지

나는 유동에서 설명하였던 유동현상과 천이영역들과 유사하다.

- 그러나 형상이 다르기 때문에 유동박리, 후류의 성장, 와류유출 주기, 발생되는 힘

의 크기와 주기의 변화 등이 실린더를 지나가는 유동과는 정량적으로 다르다.

- 이들 유동은 대부분 실험적으로 구해진다.

- 그림 8.27 - 8.29에는 선정된 몇 가지 형상에 대한 항력계수와 양력계수


예제 8.10

문제 스카이다이빙에서 다이버들은 점프 후 가속되다가 일정한 도착속도 (terminal

velocity) 에 이르게 된다. 다이버와 장비의 총 질량이 80 kg일 때 도착속도를 구하라.

낙하산이 완전히 펴졌을 때 지름은 4 m이다.


8.5 내부유동

8.5.1 파이프유동에서의 에너지보존

[ 핵심 ] 파이프나 수로 등을 통하는 내부유동에서는 유동저항을 극복할 만한 충분한

압력이 가해질 때 유동이 발생하고 유지된다.

입구 역

- 균일유동이 원형파이프로 들어가고 있다.

- 경계층의 향으로, 내부벽면을 따라 속도구배가 발생하지만 중심쪽에서의 속도는

균일하다.

- 경계층의 두께는 하류로 갈수록 증가하여, 유동이 완전히 발달되는 임계거리 Le에

이를 때까지 증가한다.

- 원형파이프에서, 층류에서 난류로 변한다.

2500 < ReD < 3000

유동이 완전히 발달하기까지의 입구 역 (entrance region) 은 층류유동일 경우에는

난류유동일 경우에는


[ 핵심 ] 내부유동에서의 주요한 목표는 압력구배 dP/dx와 이에 따른 유량 Q와의 관

계를 알아내는 것이다.

Newton 유체의 완전발달된 층류 파이프유동에서의 체적유량은 (7 장 내용)

그러나 일반적인 유동조건에서는 이러한 관계가 그리 간단하지 않다.

why ? - 유로의 기하학적 형태,

- 유동의 특징,

- 표면의 거칠기와 같은 요소들에 의해 복잡해진다.

따라서, 일반적으로

V = 파이프를 흐르는 평균속도

ρ와 µ = 유체의 도와 점성

L과 D = 파이프의 길이와 지름,

e = 표면의 거칠기

변수들을 무차원 변수들로 바꾸면, 무차원 압력은 다음과 같이 주어진다.

(8.33)

내부유동에 대한 해

- 엄 해는 몇 가지 특별한 경우에만 가능하다.

- 수치해는 모든 층류유동과 제한된 수의 난류유동에 대해서만 가능하다.

- 따라서, 실제로 응용되는 대부분의 유동은 난류이므로, 외부유동에서와 마찬가

지로 내부유동에 대해서도 실험데이터를 이용하여 표현한다.


[ 핵심 ] 내부유동에 대한 복잡성을 모두 고려하기 위해, 유한제어체적의 관점에서 에

너지방정식을 이용하여 문제에 접근한다.

에너지보존 방정식,

(8.34)

여기서 V는 파이프 내의 평균속도이며,

정상유동인 경우에, 식 (8.34) 는

입구와 출구에서 균일하다는 가정을 하고, 다시 정리하면

결론적으로,

- 가능한 모든 손실을 실험으로부터 구해지는 손실에 포함시킨다.

- 이와 같은 총괄적인 해석은 속도와 에너지손실과 같이 유동에 대한 평균값에 대

한 결과만을 얻을 수 있다.

- 손실이 없는 경우의 에너지방정식은 잘 알고 있는 Bernoulli 식으로 된다.

- 손실은 단위질량유량당 에너지로 표현되는 것임에도 불구하고, 역사적으로 수두손

실 (head loss) 로 불린다.

- 순손실 = 직관손실 (major loss) + 부차적손실 (minor loss)


8.5.2 직관손실

직관손실은 유체/고체의 경계면에서 발생하는 점성소산에 의한 손실이다.

수평의 파이프를 흐르는 정상유동에 대한 에너지방정식에 의하면, 이 손실은 입구와

출구 사이의 압력손실의 결과로 나타난다.

(P1 - P2)/ρg = hmajor

유동변수를 무차원화하여

e = 표편거칠기

실제로,

(8.37)

f = Darcy 마찰계수

매끄러운 (e = 0) 원형파이프의 완전발달된 층류유동에 대해서는 앞에서

직관손실에 대한 정의식에 대입하고 다시 정리하면,

이 결과와 f에 대한 정의를 비교하면, 층류유동에서의 마찰계수는


Moody 선도

파이프 내의 유동에 대한 마찰계수 정리

난류식

비원형파이프와 도관

원형의 파이프나 도관에 대해 얻은 결과는 다음과 같이 정의되는 등가지름을 사용하여

계산하면 비원형단면에서의 유동에 대해서도 적용할 수 있다.

반지름이 r인 원형단면에 적용하면 ?

각 변의 길이가 h인 정사각형 단면의 경우는 ?


예제 8.15

지름이 0.05 m이고 수평으로 놓인 매끈한 파이프에 20oC의 물이 0.02 m/s의 속도로 일

정하게 흐를 때, 길이 1.2 m에서의 직관손실과 압력강하를 구하라.

여기서 ρ = 998.2 kg/m3이고, ν = 1.004 X 10-6 m2/s이다.

지배방정식 1과 2라고 표시된 파이프의 양끝 사이에 정상에너지방정식을 적용하면

직관손실의 정의

가정 정상유동이고 완전발달유동이라 가정하고, 물성치는 일정하다고 한다.

풀이주어진 조건에서

--> 층류

유동이 완전발달하 기 때문에 f는 매끈한 파이프의 해석결과로부터 얻어진다.

직관손실은,

z1 = z2 (파이프가 수평이므로)

V1 = V2 (지름이 일정, 질량보존법칙)


그러므로, 에너지방정식은

그리고 압력강하는 다음과 같다.


예제 8.16

지름이 0.1 m이고 수평으로 놓인 매끈한 파이프 (e/D = 0) 에 20oC의 물이 0.0633

m/s에서 2.48 m/s까지의 속도범위에서 일정하게 흐를 때, 길이 2.0 m의 부분에 대한

수두손실을 구하라. 여기서 ρ = 998.2 kg/m3이고, ν = 1.004 X 10-6 m2/s이다.

지배방정식 수두손실은

여기서 마찰계수 f = f (e/d, Re) 는 Moody 선도를 사용하여 찾는다.

가정 정상유동이고 완전발달유동이라 가정하고, 물성치는 일정하다고 한다.

풀이

최소속도에 대한 Re는

Re < 105일 경우의 매끈한 파이프 (e/D = 0) 에 대해 Blasius의 실험결과

--> f = 0.0355

직관손실은

동력의 단위로는,


최대속도에 대해서는

Re > 105이기 때문에 Moody 선도를 사용한다.

e/D = 0에 대해 선도 (또는 Colebrook식) 로부터 마찰계수 f = 0.015.

따라서 직관손실은

동력의 단위로는 다음과 같다.


예제 8.17

지름이 0.2 m이고 길이가 50 m인 파이프에서 속도가 1.5 m/s로 일정한 정상유동을 유

지하기 위해 필요한 수조에서의 물의 높이를 구하라.

파이프 표면의 상대거칠기는 .

지배방정식 수면과 파이프 출구 사이에 에너지방정식을 적용하면

수두손실,

가정 물은 208C이고 정상유동이라 가정하고, 물성치는 일정하다고 한다.

풀이

수면에서 V1 ~ 0이고,

P1 = P2 = Patm이다. 여기서 Patm은 대기압이다.

파이프의 높이를 기준고도로 선택하면, z2 = 0이다.

이와 같은 조건에 의해 에너지방정식은

다시 정리하면,

주어진 유동조건에 대해


Re와 e/D = 0.0004를 Colebrook식 (또는 Moody 선도) 에 대입하면

f = 0.0176

따라서 수조에서의 물의 높이는 다음과 같이 얻어진다.


8.5.3 부차적손실

- 유로의 급격한 확대나 축소,

- 유동방향의 변환,

- 여러 가지 이음부품,

- 또는 입구와 출구의 향 등에 의해 발생되는 손실

등과 같이 유동의 기하학적 형상과 관련된 모든 손실

부차적손실은 실험적으로 결정되는 손실계수 (loss coefficient) K를 사용

에너지손실에 대한 입구의 향

예상한 대로, 입구가 직각모서리인 경우 유동은 박리되고, 상당한 양의 에너지손실이

발생한다 (K = 0.5). 따라서 입구형상을 주의깊게 설계하면 손실을 최소화시킬 수 있

다. 예를 들어, 입구를 약간 둥 게 만들면 K = 0.2가 된다. 둥 게 잘 만들어진 입구

의 경우에는 손실계수가 K = 0.04로 줄어든다!


유동이 급격한 확대, 축소 또는 회전되는 부분을 지날 때,

단면이 급격하게 변하는 경우에 대한 손실계수


요약하면, 일반적인 파이프유동 문제는 다음과 같은 에너지방정식을 사용하여 해석

(8.39)

여기서 E는 파이프 양쪽 끝에서의 에너지 플럭스

∑hmajor losses = 파이프길이 전체에서 일어나는 점성손실의 합

∑hminor losses = 배관계에서 발생하는 모든 부차적손실의 합

△htot =V 2

2g

fLd+ ΣK


예제 8.18

예제 8.17의 수조와 같은 유동조건 (V = 1.5 m/s, L = 50 m, D = 0.2m 그리고 e/D =

0.0004) 에서, 부차적손실을 고려하여 수조에서의 물의 높이를 구하라.

지배방정식 자유수면과 파이프 출구 사이에 에너지방정식을 적용하면,

직관손실은

∑hminor losses = 배관계에서의 여러 가지 부차적손실의 합

가정 208C의 물이 정상유동으로 흐른다고 가정하고 물성치는 일정하다고 한다.

풀이

예제 8.17과 똑같은 조건이므로 W = 0, V1 ~ 0, P1 = P2 = Patm, z2 = 0

정상유동이므로 , 에너지방정식은

,

다시 정리하면, 에너지방정식은

주어진 유동조건으로부터

Re와 e/D= 0.0004를 Colebrook식 (또는 Moody 선도) 에 대입하면 f = 0.0176


부차적손실은 파이프로 들어가는 입구 및 출구에서,

직각모서리 입구: K = 0.5 (그림 8.44)

모든 출구에서 : K = 1.0

⇨ ΣK = 1.5 (?)

따라서 수조의 높이는 다음과 같이 된다.

배관계에 부차적손실이 추가됨으로 인해 필요한 수조의 수위가 37% 더 높아졌다. 이

것은 배관계에 있는 모든 손실의 요인을 찾아서 고려해야 된다는 것이 중요하다는 점

을 나타낸다.


예제 8.19

그림 8.47과 같이 상업용 강철로 만들어진 지름 0.2 m의 파이프를 통해 0.06 m3/s 유량

의 물을 송수하기 위해 필요한 동력을 구하라. 펌프의 효율은 87%라고 가정하라.

지배방정식 정상유동에서 임의의 두 점 1과 2 사이에 적용된 에너지방정식은

손실 = 점성소산에 의한 것 (직관손실) + 배관계에서 (부차적손실)

가정 20oC 물이 정상유동, 대기압상태로 물이 펌프에 유입되고 방출된다고 가정.

풀이

m = ρQ

펌프효율 η =Wtheo˙

Wactu˙< 1 =0.87 (이론동력/실제동력)

펌프에서 생기는 손실 때문에, 실제로 필요한 동력은 손실이 없는 이상적

인 조건에서 요구되는 동력보다 크다.

P1 = P3

입구: z2 = 0, 출구: z3 = 50 m

V2 = V3 (질량보존법칙)

--> 지배방정식에서 손실만 찾으면 계산 가능 !!


총 손실 = 직관손실 hmajor (300 m의 긴 파이프에서 발생되는) + 부차적손실 hminor

직관손실

Re를 구하면,

이상업용 강철 파이프의 경우에 상대거칠기는 = 0.0002이므로,

Moody 선도 (또는 Colebrook식) 로부터

f = 0.0158

따라서 직관손실은,

부차적손실 : 두 개의 표준 90o 밴드에서 발생

표준 90o 엘보에 대한 손실은 동일한 파이프의 등가길이 Le로 주어지고,

각 엘보에 대해

대입하면,

압력강하는

펌프에 공급되는 동력은


8.5.4 단일파이프 문제의 풀이과정

- 파이프나 도관을 흐르는 유동의 속도

V = f(ρ, ν, ∆P, D, L, e, 배관계의 형상)

유동은 흔히 체적유량 Q로 나타낸다. 이런 경우의 풀이과정은 V를 Q/A로 바꾸

면 된다. 여기서 A는 단면적이다.

- 배관계 (파이프의 형상이 주어짐)가 정해지고 유체 (ρ와 ν가 주어짐) 가 결정된

경우에 수력학적 설계에서 필요한 것은, 남아 있는 유동변수 중의 하나를 결정하

는 것이다. 예를 들어, 주어진 펌프 (∆P) 를 사용하여 고정된 유량 (Q) 을 송수

할 때, 설계 고려사항으로는 손실을 최소화하는 파이프의 지름 D를 알아야 한다.

변수들은 서로 비선형적으로 연관되어 있으므로, 이러한 문제를 풀이하는 과정에

서 흔히 반복계산과정 (Iteration)이 필요하게 된다.

유형 I : V, D, L이 주어지고 ∆P를 구할 때 : 직접 풀이 가능

V, D, L이 주어져 있으므로, 그림 8.40 또는 기타 자료로부터 를 얻고,

Moody 선도 (또는 Colebrook식) 를 사용하면, 배관계의 모든 부분에 대한 직관손

실을 계산할 수 있다. 마찬가지로 부차적손실도 적절한 표로부터 얻는다.

유형 II : ∆P, V, D가 주어지고 L을 구할 때 : 직접 풀이 가능

직관손실은 배관의 일부가 될 수 있는 부분적인 파이프에서의 손실을 모두 포함.

와 함께 알고자 하는 파이프에 대한 마찰계수 는 Moody 선도 (또는 Colebrook

식) 를 사용하여 구한다. 부차적손실은 주어진 표로부터 구함.


유형 III : ∆P, L, D가 주어지고 V 또는 Q를 구할 때

속도 V는 직관손실과 부차적손실이 속도 자체의 함수이기 때문에 앞의 경우와 같이

직접적으로 구할 수 없다. 반드시 반복계산에 의해 풀어야 된다.

대표적인 방법은 다음과 같다.

1. V의 값을 가정한다 (또는 Q = VA).

2. 직관손실과 부차적손실 (가능한 경우에) 을 f로 표현한다.

3. 가정된 V (또는 Q) 로부터 에너지방정식을 풀어 마찰계수 f를 구한다.

4. 의 계산결과와 에 의해 Moody 선도로부터 f를 구한다.

5. 에너지방정식으로부터 계산한 f와 Moody 선도로부터 얻은 f가 같다면 계산은 끝

이 난다. 그렇지 않으면, 새로 구한 마찰계수를 사용하여 새로운 V를 얻고 (2) -

(5) 단계를 다시 되풀이한다.

최종적인 해로 더 빨리 수렴작업

- 예를 들면, 속도를 가정할 때 상한값을 직관손실을 무시한 에너지방정식으로부

터 얻는다.

- 또한 Colebrook식을 사용하여 전체의 반복과정을 컴퓨터 프로그램으로 만듦.


예제 8.20

그림 8.48과 같은 간단한 분수를 생각해 보자. 펌프로 공급되는 동력이 0.483 kW일 때,

그림에서와 같이 물이 3 m 높이까지 올라갈 수 있는 최소속도와 최소체적유량을 구하

라. 파이프는 지름이 0.25 m이고 상업용 강철 재질이며, 상대거칠기가 e/D = 0.0001이

다. 파이프 출구에서의 축소노즐은 유동면적을 50% 감소시킨다. 노즐의 각도는 60o로

생각하라 (K = 0.06).

지배방정식 제어체적을 그림과 같이 선택하면, 에너지방정식은 다음과 같다.

손실은

가정 균일유동이고 정상유동으로 가정하고 유동조건은 일정하다고 한다.

풀이

펌프 입구: z1 = 0, P = Patm, V = V1이다.

제트의 가장 높은 위치 (점 2) : z2 = 3 m, P = Patm, V2 = 0이다.

정상유동이고, 일정한 유동조건이라 하 으므로, 에너지방정식은

Q = V1A이고 m = ρQ = ρV1A, A =

직관손실은,


부차적손실은 90o 밴드와 60°의 축소노즐에서 생기게 된다. 표 8.3에 따르면, 밴드에 의

한 부차적손실을 등가길이로 나타내면 Le/D = 30이다.

노즐에서의 손실은 K = 0.06을 사용,

따라서, 에너지방정식은 다음과 같이 되고

간단히 정리하면,

와 같이 된다. 여기에 주어진 수치값을 대입하면 다음과 같다.

--> f = f (Re, e/D) 이기 때문에 이 방정식은 반복적인 계산을 필요.

V1에 대한 초기의 예측값으로 가장 알맞은 것은 점성손실 (직관손실) 을 무시했을 때

( f = 0) 의 속도이다.

--> V1max = 8.52 m/s

그러나 직관손실이 고려된다면 최종속도는 반드시 V1max보다 작아진다.

초기 예측값 추정치: V1guess = 0.78 V1max = 6.67 m/s.

f를 구하면,

(8.41)

가정된 속도에 대해,


주어진 파이프 e/D = 0.0001에 대해 Moody 선도를 찾아보면 festim = 0.0129

그러나 fguess와 festim이 같지 않으므로 풀이과정을 다시 되풀이해야 한다.

속도에 대한 합리적인 새로운 예상값은 현재의 festim을 사용하여 식 (8.41) 로부터 구

한다. 즉,

이 경우, 속도에 대한 새로운 예측값은 V1 = 6.35 m/s이다.

따라서 Reynolds수는 다음과 같다.

마찰계수에 대한 새로운 예측값은 festim = 0.01297이다. 이 값은 fguess와 거의 같다.

한 번 더 반복계산을 하면 약 V1 5 6.3 m/s의 최종적인 속도를 얻는다. 체적유량은 다

음과 같다.


유형 IV : ∆P, L, V가 주어지고 D를 구할 때

유형 IV의 문제도 유형 III 문제에서 설명한 것과 비슷하게 반복계산과정이 필요하다.

그러나 여기서는 D에 대한 반복계산이 수행된다. 이전 과정과는 달리 에너지방정식에

D가 없기 때문에 초기 예측값을 단순화된 에너지방정식으로부터 얻을 수 없다.

D는 Re와 표면의 상대거칠기 모두에 의해 향을 주고 있으므로, 반복계산과정을 시

작하기 위해 유동이, f가 표면의 상대거칠기만의 함수로 되는, 완전난류 역에 있다고

가정하는 것이 좋다. 이와 같은 가정으로 Re와 상대거칠기를 잠시 동안 독립적으로 취

급할 수 있다. 한 번 또는 두 번의 반복계산을 해보면, 최종적인 해가 어느 역에 위

치할 것인가를 분명하게 알 수 있다.


예제 8.21 그림 8.49와 같은 배관계에서, 밸브를 완전히 열었을 때 파이프를 통해

4.24 3 1024 m3/s의 체적유량의 물을 송수할 수 있는 파이프의 지름을 구하라. 완전히

열린 밸브에 대한 손실계수 Kv = 3이다. 또한 파이프가 매끄럽다고 가정하라.

지배방정식 제어체적을 그림과 같이 잡으면 에너지방정식은 다음과 같다.

손실은

가정 정상이고 균일한 유동으로 가정.

정상유동, 유동조건이 일정,

검사체적에 대해, 에너지방정식을 자유표면과 파이프의 출구 사이에 적용,

자유표면: V1 = 0, P = Patm, z1 = 0.7 m

파이프 출구에: z2 = 0, P2 = Patm.

따라서, 에너지방정식은 다음과 같이 된다.

직관손실은,


부차적손실

둥근 입구부, Ki = 0.3,

90o 엘보 Le/D = 30,

밸브 Kv = 3

Q와 D로 나타내면

이를 대입하면 에너지방정식은

f가 D의 함수이므로, 위의 비선형방정식은 반드시 반복계산을 하여야만 D를 구함.

즉, D를 가정하면 다음 식으로부터 f를 구함.

계산된 f값을 매끈한 파이프에 대한 식과 비교

만약 두 값이 같다면 현재의 D는 최종적인 해가 된다. 그렇지 않으면 풀이과정이 되풀

이된다.


8.5.5 파이프망 유동

앞 절에서 단일 파이프시스템 또는 직렬로 연결된 다수의 파이프들을 다루었다.

실제의 배관은 매우 복잡하다. 예를 들어, 건물에서 물의 배관시스템은 여러 가지 지름

의 파이프들이 복잡한 망으로 연결되어 있다. 이러한 복잡한 시스템에 대한 해도 단일

파이프시스템과 동일한 풀이과정을 따라 구해지지만, 직렬뿐만 아니라 병렬로 연결된

파이프도 해석할 수 있도록 보완되어야 한다.

그림 8.50과 같이 연결된 배관계를 고려해 보자.

- 각 파이프에서의 유동은 각 파이프의 입구와 출구에 적용된 에너지방정식의 지배

를 받는다.

- 그러면 공통의 연결점 (junction) 을 가지고 있는 파이프들은 명백히 압력강하

(즉, 같은 수두손실) 가 같아야 된다.

- 또한 질량보존법칙에 따라 각 연결부에 들어오는 유량과 나가는 유량의 합이

이라는 것에 주목하여야 한다.

분관 1 : dP = PA - PB ; 분관 2

연결부 A : Q1 = QA1+QA2 = QB1+QB2 = Q2 ; 연결부 B

분관 1

분관 2

파이프망 문제는 반복계산과정을 필요로 하기 때문에 계산이 매우 길어질 수 있다. 따

라서 이런 문제들은 일반적으로 전문적인 컴퓨터 프로그램을 사용하여 풀게 된다.


예제 8.22

그림 8.51에 있는 단순한 유동망을 고려해 보자. 체적유량 2.2 m3/s의 물이 두 개의 파

이프로 나뉘어졌다가 다시 공통의 연결점에서 합쳐진다. 첫 번째 파이프는 지름이 0.3

m, 길이가 20 m이고, 주철 (e = 0.2159 x 1024 m) 로 만들어졌다. 두 번째 파이프는

지름이 0.18 m, 길이가 15 m이고, 스테인레스철 (e = 0.0381 x 1024 m) 로 만들어졌

다. 이 시스템에서 두 파이프에 의해 일어나는 압력강하와 각 파이프에서의 체적유량

을 계산하라.

지배방정식 파이프망에 대하여 다음의 내용이 성립한다.

- 각 연결점에서 들어오고 나가는 유량의 합은 이다. 이것은 연결점에서 질량의

축적이 없다는 것을 뜻이다.

- 파이프나 도관이 같은 끝점을 가지면 압력차이가 같다.

연결점 A에서 질량이 보존되려면

연결점 A와 B 사이에서의 압력강하는 두 파이프 모두에서 같다 (즉, 두 파이프에서의

직관손실이 같다).

가정 두 연결점과 시스템의 어느 부분에서도 부차적손실은 없다고 가정한다.


풀이

질량보존법칙,

체적유량을 이용하여 표현된 에너지방정식은,

주어진 수치값들을 대입하면

각 파이프에서의 f가 미지수 Q에 의존하기 때문에 아래와 같은 반복계산과정을

통해 해를 구해야 한다.

1. 각 파이프에 대해 적절한 상대거칠기를 구한다. 여기서는 다음과 같다.

2. Q1의 값을 가정하고, Q2를 다음의 식으로,

3. 각 파이프에서의 Re를 다음 식으로,

4. 가정된 Q1, Q2에 의해 Moody 선도 (또는 Colebrook식) 를 사용하여, 각 파이프의

마찰계수 f1, f2를 구한다.

5. 만약 각 파이프에 대한 마찰계수가

(8.42)

을 만족하면 풀이는 끝난다. 만약 그렇지 않다면 (2-5) 의 과정을 되풀이하여야 한다.


이 문제에서, 두 파이프의 마찰계수가 같다고 가정하고 Q1에 대한 초기의 예측값을 구

한다.

0.104 Q12 = Q22

질량보존법칙 연립 --> Q1 = 0.21 m3/s, Q2 = 1.99 m3/s (1차 가정)

이 값을 가지고 Re를 계산하면,

Moody 선도에 따르면, f1 = 0.01315, f2 = 0.00952

식 (8.42) 를 검사하면,

이 예측값은 계산된 f2값과 일치하지 않는다.

(2차 가정) Q1 = 1.2 m3/s로 새로이 가정하면,

--> 아직도 f2값과 일치하지 않는다.

(3차 가정) 궁극적으로 Q1 = 1.65 m3/s, Q2 = 0.55 m3/s일 때

Re1 = 6,974,918, Re2 = 3,874,954이고,

Moody 선도로부터 f1 = 0.01157, f2 = 0.0104가 구해진다.

방정식 (8.42) 를 마지막으로 검사하면,

--> 이 값은 계산된 f2값과 충분히 가깝다.

파이프를 통해 나타나는 압력강하 DP는 다음과 같이 계산된다.

8장 분석과 실험의 복합적 해석dasan.sejong.ac.kr/~mlee/lecture/turbo/ch8.pdf · ·...

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