LWR 模型

1

8

LWR 模型

在前面几章里，我们暂时离开了交通流，转而关注于守恒定律（第五章）、波及其

解（第六章）、和冲击波（第七章）。上述这些章节的目的在于让读者尽快熟悉相关的数

学背景，好在本章中有效地解决交通动态模拟问题，以及揭开车流演化的神秘面纱。

8.1 LWR 模型

在第五章末尾，基于守恒定律，我们建立了一个动态交通模型：

)(

0

kVv

kvq

qk xt

其中 ),( xtqq 是流量， ),( xtkk 是密度， ),( xtvv 是平均流速。如果将第二和第三个方

程合并以消除v，我们就得到一个流-密关系式 )(kQq ，上述动态模型就变为：

)(

0

kQq

qk xt

再进一步，

0)(' xt kkQk

其中，dk

kdQkQ

)()(' 。

LWR 模型

2

这就是所谓的 LWR 模型，这个名称是为了纪念提出这个模型的三个交通领域的先驱：

Lighthill、Whitham、和 Richards [1] [2]。请注意，LWR 模型其实是一个一阶齐次拟线性偏

微分方程。

应用之前章节的结果，求解具有初始条件 )(),0( 0 xkxk 的 LWR 模型的步骤如下：

1. 建立一个时-空 t-x 平面，在 x轴旁边标明初始条件 )(0 xk 。

2. 从 x 轴上的任意一个点 ),0( *x 出发，找到这个点处的 k 的值 )( *

0 xk ，以及 c 的值

))(()( *

0

'* xkQxc 。

3. 从 ),0( *x 点处发出一条斜率为 )( *xc 的直线 s ，直线的方程为 **)( xtxcxs ，它

就是一条特征线，其上的 k 值恒定为 )(),( *

0 xkxtk s 。

4. 将上述的步骤应用于 x轴上不同的点，构建相应的特征线和确定相应的 k 值。

5. 如果两条特征线相交，则各特征线终止于交点处，将交点标注为冲击路径上的

一点。当一条特征线有多个交点时，应用 Rankine-Hugonoit 跃变条件来判断哪

一个点是正确的。重复该步骤去寻找下一个交点，连接这些交点，形成冲击路

径。在冲击路径的两侧的解应该是分片光滑的，只是沿着冲击路径有一个跳变，

因而形成了冲击波。

6. 如果两族特征线渐行渐远，中间会形成一个空白的楔形区域。用一族呈扇形的

特征线填满这个空白区域，并为该区域构建一个稀疏波解。

7. 如果一个区域有多重稀疏波解，应用熵条件来选择那个最具物理意义的解。

8. 在完成上述的步骤之后，解空间应该填满了特征线。解空间中任意一个点都将

有一条且仅有一条特征线通过。

9. 最后，如果要求任意一点 ),( xt 的解，我们只需沿着它的特征线一直倒推到与 x

轴相交，读出此处的初始条件 )(0 xk 。它就是点 ),( xt 处的解 ),( xtk 。由此，我们

可以确定相应的 )),((),( txkQtxq 和),(

),(),(

xtk

xtqxtv 。因此，任意时-空点 ),( xt 处

的交通状态（即 ),(),(),,( xtvxtqxtk 和 的值）都确定了。

含 Greenshields 模型的 LWR 模型

3

我们注意到守恒定律（及后续的 LWR 模型）包含了三个因变量：流量 q、密度 k 、

和流速 v，可是我们求解 LWR 模型时，却只关注于 k 。读者不禁要问：这是为什么？从数

学上来讲， q 、 k 、和 v 都可以作为求解中的目标变量，只是微分方程的形式会发生变化。

但是从实际上来讲，这三个交通流特征的意义是不一样的。在第二章的末尾，我们谈了理

想的交通流特征，并指出基于空间的交通流特征，例如空均流速 v和密度 k 是理想的。然

后在第四章均衡交通流模型中，我们知道，流量 q是个含义不清的交通流特征。例如，当

流量为 q =1000 vph 时，可以有两种交通状况，一种是堵塞流，而另一种则是非堵塞流。

空均流速 v虽然不至于像流量 q那样含义不清，但流-速关系告诉我们，从自由流开始，在

相当大的一段流量范围内，流速几乎保持不变。例如，假设已经知道流速是 v =100 kph, 我

们很难区分对应的流量是 q =300 vph 呢还是 500 vph？所以，剩下的只有密度 k 。幸运的

是密度 k 不仅含义清晰而且流量 q和流速 v随它的变化显著，这一点可以很容易地从速-密

关系和流-密关系图中看出来。因此，在求解 LWR 模型时，我们以密度 k 为目标变量。求

出密度 k 之后，在利用均衡模型去计算流量 q和流速 v。

接下来要提醒读者的是利用均衡模型去计算流量 q和流速 v。在此，我们似乎把均衡

模型当作确定性的函数关系来使用了。在第四章结尾处，我们指出，所谓的速-密、流-速、

和流-密关系实质上仅具有统计上的意义，例如当密度达到 k = 12 vpk 时，流速并非为一个

定值，例如 v = 96 kph，而是在一个范围内变化，并形成一定的分布。因此，利用均衡模

型的函数关系去确定其他交通流特征的这种做法忽略了均衡模型仅具有统计意义这样一个

事实。那么读者不禁又要问：我们还有别的办法吗？遗憾的是没有了，至少目前是这样。

现实总是不完美的。一方面我们没有别的选择；另一方面唯一的选择又不合理。

8.2 含 Greenshields 模型的 LWR 模型

Greenshields 模型 [3] 假设速-密之间存在以下线性关系：

)1(j

fk

kvv

在这里， fv 是自由流速， jk 是堵塞密度。由这个模型可以推导出以下流-密关系：

)()(2

j

fk

kkvkQq

含 Greenshields 模型的 LWR 模型

4

因此，

kk

vvkQkc

j

f

f 2)(')(

如果参数值给定如下：自由流速度 fv = 100 公里每小时 (kph)，堵塞密度 jk = 200 辆

车每公里 (vpk)。LWR 模型则变成：

𝑘𝑡 + (100 − 𝑘)𝑘𝑥 = 0

现在，已知初始条件：

𝑘(0, 𝑥) = 𝑘0(𝑥) = {40 𝑣𝑝𝑘, 如果 0 < 𝑥 ≤ 20 公里

20 𝑣𝑝𝑘, 如果 𝑥 > 20 公里

求在 (𝑡 = 1/2 小时，𝑥 = 45 公里) 和 (𝑡 = 1 小时，𝑥 = 105 公里) 两个时-空点处的解.

图 8-1 求解含 Greenshields 模型的 LWR模型：快车在前，慢车在后

按照之前所说的步骤，先构建一个时-空图，在图旁边标出初始条件，接着在图中找

出要求的那两个点，如图 8-1 所示。然后，我们画特征线。由初始条件可知，所有在

x

t

k0

40

20

20

1/2 1

(1/2, 45)

(1, 105)

80

60

LWR 模型的冲击波解

5

0 < 𝑥 ≤ 20 公里范围内发出的特征线都有着同样的 k 值 𝑘 = 40 vpk。于是，这些特征线的

斜率为 𝑐 = 100 − 𝑘 = 60 kph。点(𝑡 = 1/2 , 𝑥 = 45) 在这个区域内，经过这个点的特征线

和 x轴相交于(0,15)。因此，𝑘(1/2, 45) = 𝑘(0,15) = 40 vpk。同样的，在𝑥 > 20 公里范围

内发出的特征线的斜率为𝑐 = 100 − 20 = 80 kph，点(𝑡 = 1, 𝑥 = 105) 位于这个区域内，

经过这个点的特征线和 x轴相交于点(0,25)。因此，𝑘(1, 105) = 𝑘(0,25) = 20 vpk。

8.3 LWR 模型的冲击波解

上例中实际上有两队车辆：较快的一队在前，而较慢的一队在后。每一队车都有相

应一族特征线，叫作运动波。较快那一队车的特征线的斜率为 80 kph，这就是运动波的

速度。同样，较慢的那队车运动波的速度是 60 kph。请注意，从 (0,10) 开始，两族特征线

之间有一个楔形区域，这意味着在这两个车队之间有一个不断增大的“真空区”或间隙。

如果这两队车颠倒过来，即较慢的那一队在前，而较快的那一队在后，则较快的车

队迟早要追上较慢车队。当这种情况发生时，较快那一队的第一辆车将不得不减慢速度，

以适应较慢那一队的最后一辆车的速度。不久之后，较快那一队的第二辆车也需要减速，

然后是第三辆，第四辆，等等，依次减速。这个减速效应将沿着较快的那一队车一直往后

传播。这种交通状态突变（例如本例中的减速效应）的传播就形成了冲击波，它分隔了

交通状况不同（例如本例中的快车队和慢车队）的区域。冲击波的轨迹在 tx 平面上的

投影就叫作冲击路径。

在之前的特征线法中，我们知道一个条特征线上的 k 值（即密度）时恒定的，那么，

两条特征线的交点处将不可避免地会有两个 k 值。这意味着在这点处有两个交通状态共存，

之后沿着各自的特征线两队车恢复原先的状态。这种情形实际上没有意义。为了找出有意

义的解，我们必须使这个解分段平滑。这就要求一条特征线有且仅有一个交通状态（即一

个 k 值）。当两条特征线相交时，两条特征线都终止，且在交点处有一个跳变。

为了解释这个观点，我们回顾前面的例子，但这一次较将快的那一队车辆放在后面。

在图 8-2 的 x-t 平面中，所有在 0 < 𝑥 ≤ 20 公里范围内发出的特征线都有着同样的 k 值

𝑘 = 20 vpk。于是，这些特征线的斜率为 𝑐 = 100 − 𝑘 = 80 kph。点(𝑡 = 1/2 , 𝑥 = 45) 在这

个区域内，经过这个点的特征线和 x 轴相交于(0,5)。因此，𝑘(1/2, 45) = 𝑘(0,5) = 20 vpk。

同样的，在𝑥 > 20 公里范围内发出的特征线的斜率为𝑐 = 100 − 40 = 60 kph，点

(𝑡 = 1, 𝑥 = 105) 位于这个区域内，经过这个点的特征线和 x轴相交于点(0,45)。因此，

𝑘(1, 105) = 𝑘(0,45) = 40 vpk。

黎曼 (Riemann) 问题

6

请注意，在这种情形下，从 0 < 𝑥 ≤ 20 公里内发出的特征线斜率为 𝑐 = 80 kph, 而

从 𝑥 > 20 公里内发出的特征线的斜率为𝑐 = 60 kph。因为快速的运动波在后，它迟早会

赶上较速的运动波，即这两族特征线会相交。当两条特征线相交时，它们都中止在交点处。

连接这些交点的曲线就得到冲击路径。该路径将两个区域分隔开来：一个属于慢车队（即

该区域内所有的点都具有慢车队的状态）；另一个属于快车队（即该区域内所有的点都具

有快车队的状态）当一辆车越过这个冲击路径时，它的状态将要发生突变，即经历一次冲

击，这就是冲击波这个名字的由来。因此从图中我们可以很方便的读出：𝑘(1/2, 45) = 20

vpk，𝑘(1, 105) = 40 vpk。

图 8-2求解含 Greenshields 模型的 LWR模型：慢车在前，快车在后

8.4 黎曼 (Riemann) 问题

在上述的例子中，有两点特性值得我们注意：

这两个运动波中的任意一个都由一组平行的特征直线组成

冲击路径是一条直线

x

t

k0

40

20 20

1/2 1

(1/2, 45)

(1, 105)

80

60

shock path

具有一般流-密关系的 LWR 模型

7

在第六章中我们讨论过，如果c是一个常数或者依赖于 k 但不显式依赖于𝑡 或𝑥，所

得到的特征线是一条直线，就像上述例子中所示 kk

vvkQc

j

f

f 2)(' 。另外，特征线法

规定一条特征线的斜率为 cdt

dx ，它取决于初始条件。如果初始条件𝑘0由分段常数给出，

则问题的解 𝑘 和 𝑞 在冲击路径的两边都是分片恒定的。这样，根据 Rankine-Hugonoit 跃变

条件，冲击路径的斜率将为常数，即它是一条直线，上述例子就是这样的情况。

因此，我们认识到，只要初始条件是分段常数，LWR 模型的解将都具有上述两个特

性。一般来说，我们称初始条件为分段常数的守恒定律问题为黎曼问题，以此来纪念德

国数学家伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann)。

8.5 具有一般流-密关系的 LWR 模型

在上述的例子中，流-密 (𝑞-𝑘) 关系都是显式给出的，例如 Greenshields 模型。因此，

通过给出的初始条件，我们可以很容易的得到运动波的速度（就是一组平行的特征直线的

斜率）。然而，Greenshields 模型在准确性上一直被诟病，所以我们所用的𝑞-𝑘关系常常

是通过拟合经验数据得到的曲线图。在这种情况下，具有一般𝑞-𝑘关系的 LWR 模型通常用

图解法来求解。

考虑下述具有一般𝑞-𝑘关系的 LWR 模型：

{

𝑘𝑡 + 𝑞𝑥 = 0

𝑞 = 𝑄(𝑘)

𝑘(𝑡, 0) = 𝑘0(𝑥) = {𝐴 如果 𝑥 ≤ 0

𝐵 如果 𝑥 > 0

其中，𝑞-𝑘关系在图 8-3 中给出，图中的点 A 表示一种交通状况：流量 Aq 、速度 Av 、和密

度 Ak 。B 点有着同样的意义。在𝑞-𝑘关系图下，我们构建一个时-空图，并在旁边标出初始

条件。既然这是一个黎曼问题，每个运动波的斜率都是常数，冲击路径将是一条直线。由

初始条件可知，有两个运动波：从 0x 发出的波 A和从 0x 发出的波 B 。因为波 A的速

度是：

具有一般流-密关系的 LWR 模型

8

图 8-3求解具有一般𝑞-𝑘关系的 LWR模型

AkkA kQdk

dQ )('

即在 A点处的𝑞-𝑘关系的导数，即 𝑞-𝑘曲线上 A点处的切线。因此，我们现在可以在 0x

范围内发出一组平行的、斜率为 A 的特征直线。同样，波 B 的速度 B 是𝑞-𝑘曲线在 B 点

的切线，则波 B 特征线也可照样画出。因为波 B 代表的是一队行驶在前的慢车，而波 A是

一队行驶在后的快车。波 A会赶上 B 波，从而形成冲击波。因为这是一个黎曼问题，冲击

路径是一条直线，冲击波的速度由 Rankine-Hugonoit 跃变条件所决定：

AB

ABAB

kk

qqU

这个值恰巧是连接 𝑞-𝑘 曲线上点 A和点 B 的弦的斜率。另外，根据初始条件我们已知冲击

路径从时-空图的原点处开始，因此冲击路径就是从原点作的一条斜率为 ABU 的直线。组

k

q

O

A

B

wA

wB

kB k

A

qA

UA

qB

x

k0

t

kA

kB

vA

vB

A

B

wB

wA

UA

冲击路径和队尾

9

成两个运动波的特征线都终止于冲击路径。这样，我们就用图解的方法画出了问题的冲击

波解。该解包含两个分片光滑的解：在冲击路径之上的区域都具有交通状况 ),,( BBB ukqB ，

之下区域都具有交通状况 ),,( AAA ukqA 。

8.6 冲击路径和队尾

在图 8.3 中，冲击路径代表的其实是一个随着时间变化的快车队和慢车队的分界线，

即一个移动队列的队尾轨迹。随着快车队的头一辆车追上慢车队的队尾，这辆车就加入慢

车队并成为新的队尾。因为慢车队还在不断地行进，其队尾也在动态的变化着，变化的情

况取决于快车队来的有多快。图 8.4 显示了这种动态变化的几个瞬间。

图 8-4 冲击路径和队尾的动态变化

读者现在也许意识到了，尽管特征线是用来说明如何确定冲击路径的，其实上我们

并不需要它们。只要知道了冲击路径上的一个点和冲击波的速度，我们不需要特征线的帮

助就可以直接画出冲击路径。在上例中，我们可以直接从原点以斜率 ABU 画出冲击路径，

这条线同时也是划分 BA和 两个交通状态的分界线。

x

k0

t

kA

kB

UAB

流-密关系的属性

10

8.7 流-密关系的属性

从上例可以看到，流-密𝑞-𝑘关系可以很方便地图示各种速度，如图 8.5 给出了详细的

解释。

图 8-5流-密𝑞-𝑘关系中的各种速度

8.7.1 流-密关系以及速度

流度v： 如果 A 点的交通状况已知：流量 Aq 和密度 Ak ，那么根据定义，A 点相应的流速

为：

A

AA

k

qv

在图中，这个流速可以用连接原点和 A 点的弦的斜率来表示。

密度, k

流量

, q

O

A

B

wa

wb

kb k

a

Uab

vf

qA

qB

vA

vB

流-密关系的属性

11

自由流速 fv ： 如果 Ak 变小，那么 A 点将向着原点移动。在极限情况下，即 0Ak ，OA

就变成了𝑞-𝑘关系曲线在原点处的切线。其斜率表示密度为 0 时的流速。根据定义该流速

即为自由流速：

A

A

kA

Af

k

qvv

A 00limlim

运动波速： 如果我们在𝑞-𝑘关系曲线上 A 点处画一条切线，这条切线的斜率就携带交通

状况 A 的运动波的波速：

AkkA kQ )('

冲击波速 U： 如果 A和 B 代表了两种不同的交通状态，如上所述，弦 AB 的斜率则是当具

有状态 A 的车队追上具有状态 B 的车队时所产生的冲击波的速度：

AB

ABAB

kk

qqU

8.7.2 运动中的观察者观察到的流-密关系

上述讨论是基于一个静止的观察者的角度看问题，即所有的一切都相对于这个站在

路边的静止的观察者。如果这个观察者在移动，那么情况会怎样呢？例如，这个观察者若

是骑在携带交通状态 A 的运动波上会怎样呢？与之前静止不动的情形相比，这个运动中

的观察者观将察到较小的流量，这个相对流量 �̃�𝐴 计算如下：

�̃�𝐴 = 𝑞𝐴 − 𝜔𝐴𝑘𝐴

如图 8-6 所示，这相当于从原点发出一条斜率为 A 的直线。然后在 A 点画一条铅垂

线，与那条斜率为 A 的直线相交于 A”，与水平轴相交于 A’。AA’的长度就是Aq ，线段 A’A”

是 AAk ，线段 AA”则是那个相对的流量 �̃�𝐴。再例如，如果现在的交通状态是流-密关系堵

塞区的点 B，此处对应的运动波速 B 是负值。同样地，我们得到：

�̃�𝐵 = 𝑞𝐵 − 𝜔𝐵𝑘𝐵

LWR 模型例题

12

这相当于从原点发出一条斜率为B 的直线，注意，因为

B 是负值，所以该直线向

下倾斜。然后在 B 点画一条铅垂线，跟那条斜率为B 的直线相交于 B”，跟水平轴相交于

B’。在这种情况下，相对流量 �̃�𝐵 的绝对值（即线段 BB”的长度）是 BB’和 B’B”的和。

图 8-6 一个运动中的观察者所观察到的交通流

8.8 LWR 模型例题

在前面，我们集中讨论了 LWR 模型及其特征线解法和冲击波解。现在我们应用这些

方法来解决一些具体的交通流问题。

密度, k

流量

, q

O

A

B

wa

wb

qb

kb

wbk

b

ka

wak

a

qa

A’ B’

B”

A”

Uab

LWR 模型例题

13

8.8.1 LWR 模型例一：交通需求处于变化中的瓶颈

有一条公路，其上游到达的车流最初处于交通状态 A，如表 8-1 所示。在早上 9:00

钟，到达车流的交通状态变成 B。在 1 小时之后，到达车流的交通状态又变回 A。这条公

路的流-密关系如图 8-7 所示。上方那条曲线是这条公路的流-密关系，底下那条曲线是瓶

颈处的流-密关系。在瓶颈处的通行能力是 1400 vph，求排队蔓延了多长，持续了多久。

表 8-2 LWR 模型例一的数据

交通状态 q (vph) K (vpk) V (kph)

A 600 8.57 70

B 2000 40 50

D 1400 21.5 65

D’ 1400 130 10.8

图 8-7 LWR 模型例一的流-密关系图及数据

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Density

流量

2400

2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

A

D

O

通行能力

需求

A

B

A

D

’

9:00 10:0

0

B

密度

LWR 模型例题

14

解答：

作图如图 8-8 所示。排队的增长速率是：

67.640130

20001400

'

''

BD

BD

BD kk

qqU kph

队尾以这个速度向后延伸持续了 1 个小时，所以队尾向上游蔓延最远到达距瓶颈 6.67 公

里处。同样，排队消散的速率是：

60.657.8130

6001400

'

''

AD

AD

AD kk

qqU kph

所以排队消散需要的时间为 6.67/6.60 = 1.01 小时。排队持续了 1+1.01 = 2.01 小时。

LWR 模型例题

15

图 8-8 LWR 模型例一的图解

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Density

流量

2400

2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

A

D

O

通行能力

需求

时间, t

空间

, x

a

A

B

A

D

’

B

A

UBD’

UAD’

UDD’

9:00 10:0

0

O

A

B

UBA

D

’

D U

DA

密度

瓶颈

LWR 模型例题

16

8.8.2 LWR 模型例二：移动的瓶颈问题

一条高速公路最初在交通状态 A 下运行，如表 8.2 所示。在下午 2:30 的时候，一辆

缓慢行驶的卡车以 13.3 kph 的速度由匝道驶入这条高速路。这辆卡车在距此 6.67 公里处

的下一个出口处离开这条高速路。这条公路的流-密关系如图 8-9 所示。问这辆卡车带来

的影响会在什么时候消失。

表 8-3 LWR 模型例二的数据

交通状态 q (vph) K (vpk) V (kph)

A 700 10 70

B 1600 120 13.3

C 2200 60 36.7

O 1400 130 75

图 8-9 LWR 模型例二的流-密关系图及数据

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 密度

流量

2400

2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

A

C

O

B

LWR 模型例题

17

解答

由已知条件作图解如图 8-10 所示，我们可以做如下的运算：

hraf

bcaf

afbc

afafUdfUaf

df

bcbcUcdUbc

cd

hrU

beaeU

ae

be

hrkmkk

qqU

hrkmkk

qqU

hrkmkk

qqU

ABAB

CBCB

OB

OB

CB

CBCB

AB

ABAB

OB

OBOB

64.0

5.0

67.618.810

18.8

10

5.03.13

67.6

/00.1060120

22001600

/18.810120

7001600

/30.130120

01600

所以这辆大卡车带来的影响要持续 0.64 个小时。

LWR 模型例题

18

图 8-10 LWR 模型例二的图解

2:30pm

空间

时间

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 密度

流量

2400

2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

A

C

O

B

A

B

UOB

UAB

UAO

O UCB

C

UAC

6.6

7 k

m

a

b c

d

e f

练习题

19

练习题

1. 下图显示了一个假想的流-密关系，请回答下列问题，如果有需要可以在图中标出结果：

a) 自由流速 𝑣𝑓

b) 堵塞密度 𝑘𝑗

c) 通行能力及位置 (𝑞𝑚, 𝑘𝑚, 𝑣𝑚)

d) A 点的交通状态 (𝑞𝐴, 𝑘𝐴, 𝑣𝐴)

e) B 点的交通状态 (𝑞𝐵, 𝑘𝐵, 𝑣𝐵)

f) 运动波的速度：

i. 当密度为 0 时

ii. 当达到堵塞密度时

iii. 当达到通行能力时

iv. 在状态 A

v. 在状态 B

g) 当处于状态 A 的一队车追赶上处于状态 B 的另一队车

A

B

练习题

20

2. 假设在一段高速公路上，交通流遵循上述流-密关系。在某个时间，这段路上的交通

流处于状态 A。

a) 假设一个观察者以 25 kph 的速度跟随车流移动，求这个观察者观察到的相对流量。

假设观察者和交通流之间没有任何相互作用，就像观察者“飞”在交通流上一样)。

b) 同样地，假设现在的交通状态为 B，而观察者随着该状态的运动波移动，求该观

察者观察到的相对流量。

3. 在州际公路 I-90 上一段长度为 16 km 的道路上，交通状态最初为 B，如第 1 题中所示。

从 7:00 pm 开始在这段公路中点的上游，交通需求开始变小，并且交通状态切换为 A。

假设图中的流量-密度关系成立， 回答下列问题：

a) 确定距离路段中点下游 2 km 处在 7:30 pm 的交通状态。

b) 确定距离路段中点上游 2 km 处在 7:30 pm 的交通状态。

c) 排队的队尾会在什么时候蔓延到该路段的上游边界？

4. 在州际公路 I-90 上一段长度为 16 km 的道路上，交通状态最初为 A，如第 1 题中所示。

从 7:00 am 开始在这段公路中点的上游，交通需求开始变大，并且交通状态切换为 B。

假设图中的流量-密度关系成立， 回答下列问题：

a) 确定距离路段中点下游 2 km 处在 7:30 am 的交通状态。

b) 确定距离路段中点上游 2 km 处在 7:30 am 的交通状态。

5. 在一个交通需求量恒定的信号交叉口，车流到达其中一个路口的速率是 800 vph。所有

的条件和流-密关系都在下面的表和图中给出。这个交叉口由一个定时信号灯控制，信

号灯的周期为 90 秒，有效绿灯/红灯比为 0.5/0.5，请确定排队最远到何处。

交通状态 q (veh/hr) k (veh/km) v (km/hr)

A 800 25 32

C 1600 80 20

D 0 180 0

O 0 0 40

练习题

21

6. 这是一个关于智能交通的问题。星期三的早上 9:00，在州际公路 I-91 的北行方向上发

生了一起交通事故，交通运行中心需要作出如行清理现场的决策。在收集各方信息并

与高速巡警及救援队进行沟通之后，交通运行中心得出如下两个备选方案：

a) 完全关闭这条公路 10 分钟，全力清理事故，完成后重新开放公路，使交通恢复

正常运行，或

b) 部分开放这条公路进行限流运行，但是现场清理工作将需要 30 分钟，之后才能

恢复正常运行。

交通运行中心主要考虑的一个主要问题是车辆排队会蔓延多远，因为排队的车辆可能

逆着匝道溢出到城市街道，进一步堵塞地面交通。知道你是一个学过交通流理论的学

生，交通运行中心请你帮忙作出评估，决定哪一个被选方案更好。更多的详情见下面

的图和表。

交通状态 描述 q (veh/hr) k (veh/km) v (km/hr)

A 到达车流 2000 40 50

D 堵塞车流 0 200 0

C 通行能力下的车流 2200 60 36.7

E 部分通行能力下的车流 1100 50 22

20 40 60 80 100 120 140 160 180 密度 vpk

流量

vph

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

A

O

C

D

练习题

22

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 密度 vpk

流量

vph

2400

2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

A

B

C

D

O

E