８．スペクトルの平滑化（smoothing）

• 実際のデータには様々なノイズ• 単純なノイズを除去したい• スペクトルの平滑化• 画像処理などにも応用（より鮮明に）• Several kinds of noises in data

• Reducing the noises by smooting the data

• Cutting high frequency component; smoothing the spectrum

• Application to Image Data Processing

合積のフーリエ変換Convolution of Fourier Transform

関数の積Product of functions

関数の合積Convolution of functions

　　　　　　　　　　　　と書く場合もある

合積のフーリエ変換をつくる

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€

f (t) = x(t)y(t)

€

f (t) = x(τ )y(t − τ )dτ−∞

∞

∫

€

= x(t) * y(t)

€

F(ω) = f (t)e− iωtdt−∞

∞

∫ = x(τ)y(t − τ)dτ−∞

∞

∫[ ]e−iωtdt−∞

∞

∫

= x(τ) y(t − τ)e−iωtdt−∞

∞

∫[ ]d−∞

∞

∫ τ

導く

t-τ=zとおくと，dt=dz, t=z+τになり，最終的には，

合積のフーリエ変換は，それぞれの関数のフーリエ変換の積

Fourier transform of convolution is product of Fouriertransform of functions

€

F(ω) = x(τ )Y (ω)e− iωtdτ−∞

∞

∫ = X(ω)Y (ω)

€

x(t)⇔ X(ω)y(t)⇔Y (ω)

€

x(t) * y(t)⇔ X(ω) ⋅Y (ω)のとき

データ・ウインドウData window

地震動の記象つまりデータそのもののギザギザを取り除いて,できるだけなめらかなものにする

移動平均

Moving average

例えば, example€

f b (t) =1b

f (τ)dτt− b2

t +b2∫

€

f b (t) = f (τ )w t − τ( )dτ−∞

∞

∫

€

w(t) =

1b

t ≤ b2

0 t >b2

データ・ウインドウのフーリエ変換Fourier transform of data windows

• 先に説明したように,　合積のフーリエ変換はフーリエ変換の積に等しいからウインドウ幅b（秒）の移動平均を行うことはf(t)のフーリエ変換F(w)に周波数領域でw(f)の関数を乗ずることに等しい。

€

W ( f ) = w(t)e− i2πftdt−∞

∞

∫ =1b

e−i2πftdtt− b2

t+ b2∫

= −1

i2πbfe−i2πft[ ]

−b / 2

b / 2=

1i2πbf

ei2bf − e− i2bf[ ]

=sin πbf( )πbf描こう

スペクトラル・ウインドウSpectral window

• スペクトル地震を周波数領域で平滑化する。• 例えば,　パワースペクトルG(f)をW(f)で平滑化するということは

• このような関数W(f)をスペクトラル・ウインドウ（spectral window）という。

• パワーをゆがめては良くないので,　• 面積不変性と対称性• Smoothing of spectrum

• Conservation of spectrum

€

G f( ) = G(g)W ( f − g)dg−∞

∞

∫

€

W ( f )df−∞

∞

∫ =1

€

W ( f ) =W (− f )

種々のウインドウ　windows function

1. 長方形パルス

Rectagular pulse

2. 長方形ウインドウ

Rectangular window€

w(t) =

1b

t ≤ b2

0 t >b2

3. Bartlet window

4. Parzen window

€

W ( f ) = 2u sin2πuf2πuf

€

W ( f ) = u sinπufπuf

2

€

W ( f ) =34usin πuf

2πuf2

2€

sinπufπuf という形を回折関数(diffraction function)と呼ぶ

€

σ 2 = W 2 f( )−∞

∞

∫ df =1b

2

−b / 2

b / 2∫ df =

1b

€

σ 2 = W 2 f( )−∞

∞

∫ df = 4u2 sin2πuf2πuf

−∞

∞

∫2

df = 4u2 12u

= 2u

力積応答関数Impulse response function

• １質点系の減衰(c)のある自由振動(k)• Free oscillation with damping, C

• X=Ceλtとおく

• 解は

• 　　　　　　なる衝撃力を与えると

€

m˙ ̇ x + c˙ x + kx = 0˙ ̇ x + 2hω˙ x +ω 2x = 0, c /m ≡ 2hω,k /m ≡ω 2

€

λ2 + 2hωλ +ω 2 = 0, λ1,2 = −hω ± h2 −1

€

x =˙ x 0ωd

e−hωt sinωd t

€

x(0) = 0˙ x (0) = I /m

€

x =I

mωd

e−hωt sinωd t

力積応答関数Impulse response function

• システム応答関数と畳み込み積分による入出力関係式

• Duhamel積分「過渡現象を自由振動の重ね合わせによって表している。」

• Duhamel integration

€

x(t) =F(τ )mωd

0

t∫ e−hω( t−τ )sinωd (t − τ)dτ

€

ς(t) =e−hωt

mωd

sinωd t

€

x(t) = F(τ)ς(t − τ)0

t∫ dτ

€

ς(t) =e−hω(t−τ )

mωd

sinωd t t ≥ 0

0 t < 0

合積

原因より前に結果は起こらないことを意味し,　因果律と言う。

t<0で０になる関数を因果性時間関数という。

T<0 means the laws of causality

ここで,力積応答関数 　　　　　　とおくと

地震動に対する応答Response of earthquake

• 地動加速度y(t)を受けた１質点減衰系の変位応答・速度応答・加速度応答を考える

• まず，運動の式は

• 1質点減衰系の地震動に対する相対変位応答は

€

m(˙ ̇ x + ˙ ̇ y ) + c˙ x + kx = 0m˙ ̇ x + c˙ x + kx = −m˙ ̇ y = F(t)

€

x(t) =1ωd

˙ ̇ y (τ)0

t∫ e−hω( t−τ )sinωd (t − τ )dτ€

−m˙ ̇ y = F(t) としているので

€

x(t) = ˙ ̇ y (τ)ς(t − τ)0

t∫ dτ

˙ x (t) = ˙ ̇ y (τ) ˙ ς (t − τ)0

t∫ dτ

˙ ̇ x (t) + ˙ ̇ y (t) = ˙ ̇ y (τ )˙ ̇ ς (t − τ )0

t∫ dτ

€

ς(t) = −e−hωt

ωd

sinωd tここで

フーリエ変換を用いた応答計算Response analyisis by using Fourier

transform（１） 合積計算法 Convolution method

• 　時間刻みΔtのN個の離散値を与えられるとき,　も同様なΔtごとの数列として与えられれば,　自己相関・相互相関と同様の要領で

• ただし,この計算は因果性時間関数であることに注意！関数の値を循環的に用いてはならない。⇒この計算は非常に多くの乗算を必要とし,　計算時間が多くかかる。

（２） フーリエ変換法 Fourier transform method

• 　フーリエ変換の対があるとき,　合積のフーリエ変換はおのおののフーリエ変換の積となる．

合積計算法Convolution method

• y(t)が時間刻みΔtのN個の離散値を与えられるとき，ζ(t), ζ(t)も同様なΔtごとの数列として与えれれば，自己相関，相互相関と同様の要領で，

• によって求められる．因果性時間関数である．• この計算は非常に多くの乗算を必要とし，計算時間が多くかかる．

€

x(t) = ˙ ̇ y (t) *ς(t)˙ x (t) = ˙ ̇ y (t) * ˙ ς (t)

€

x(mΔt) = ˙ ̇ y ( jΔt)j= 0

m

∑ ς (m − j)Δt[ ]Δt

˙ x (mΔt) = ˙ ̇ y ( jΔt)j= 0

m

∑ ˙ ς (m − j)Δt[ ]Δt

フーリエ変換法 Fourier transform method

• のフーリエ変換の対があるとき• 合積のフーリエ変換はおのおののフーリエ変換の積であるので

• ここで

€

x(t)⇔ X(ω), ˙ x (t)⇔ ˙ X (ω)y(t)⇔Yς (t)⇔ Z(ω), ˙ ς (t)⇔ ˙ Z (ω)

€

X(ω) = ˙ ̇ Y (ω) ⋅ Z(ω)˙ X (ω) = ˙ ̇ Y (ω) ⋅ ˙ Z (ω)

€

Z(ω) = −1

ω02 −ω 2 + i2hωω0

˙ Z (ω) = −iω

ω02 −ω 2 + i2hωω0

リンク効果に注意する