2 Оглавление ————————————————————————————— УДК 620 (075.8) ББК 38.112

К89

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра «Двигатели летательных аппаратов» Московского государственного технического университета гражданской авиации

(зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.В. Никонов); чл.-кор. РАН Н.А. Махутов

Кузьмин М. А.

К89 Прочность, жесткость, устойчивость элементов кон-струкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность эле-ментов многослойных композитных конструкций : учеб. по-собие / М. А. Кузьмин, Д. Л. Лебедев, Б. Г. Попов ; под ред. В. Л. Данилова. # М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. # 2012. # 341, [3] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3570-8 Книга входит в серию учебных пособий «Прочность, жест-

кость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум» и содержит описание методов расчета на прочность стержневых конструкций, пластин и оболочек с использованием метода конеч-ных элементов. Рассмотрены формулировки задач статики, дина-мики, устойчивости и теплопроводности. Для решения этих задач предложены алгоритмы: численного интегрирования, решения за-дач на собственные значения, решения нестационарных задач. Представлено множество примеров решения практических задач.

Учебное пособие предназначено для студентов высших учеб-ных заведений, а также аспирантов, преподавателей и проектиров-щиков.

УДК 620 (075.8) ББК 38.112

© Лебедев Д.Л., 2012 © Оформление. Издательство ISBN 978-5-7038-3570-8 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 3 —————————————————————————————

Оглавление

Предисловие ................................................................................................... 5 От авторов ...................................................................................................... 6 1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ..................................... 7

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня .......... 7 1.2. Расчет свободных колец ................................................................. 19 1.3. Кручение стержня ........................................................................... 28

2. РАСЧЕТ ПЛАСТИН .............................................................................. 44 2.1. Задача о плоском напряженном состоянии композитных пластин ............................................................................................. 44 2.2. Изгиб шарнирно опертой прямоугольной пластины ................... 62 2.3. Треугольный шестиузловой конечный элемент прямоуголь- ной пластины ................................................................................... 73 2.4. Четырехугольный девятиузловой конечный элемент пластины .......................................................................................... 85

3. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК .......................................................................... 102 3.1. Изгиб шарнирно опертой цилиндрической оболочки ............... 102 3.2. Устойчивость шарнирно опертой цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия и внешнего давления ................ 115 3.3. Расчет оболочек вращения ........................................................... 121

3.3.1. Геометрия КЭ конической оболочки ................................ 121 3.3.2. Кинематика деформирования ............................................ 122 3.3.3. Деформационные соотношения ......................................... 123 3.3.4. Соотношения упругости ..................................................... 125 3.3.5. Вариационная формулировка задачи статики для КЭ ..... 127 3.3.6. Формирование матрицы жесткости КЭ и вектора приведенных узловых сил .................................................. 128 3.3.7. Обработка результатов расчета ......................................... 132 3.3.8. Учет температурных деформаций ..................................... 134 3.3.9. Учет упругого основания ................................................... 135 3.3.10. Исходные геометрические данные .................................. 136 3.3.11. Постановка шпангоутов ................................................... 138 3.3.12. Граничные условия для решения задачи МКЭ .............. 140 3.3.13. Описание исходных данных ............................................ 141

3.4. Расчет баллона высокого давления ............................................. 145 3.5. Расчет корпуса ракетного двигателя ........................................... 158 3.6. Конечный элемент пологой оболочки ......................................... 182

3.6.1. Геометрические характеристики гладкой пологой поверхности ......................................................................... 182 3.6.2. Деформационные соотношения ......................................... 184 3.6.3. Смешанный треугольный шестиузловой конечный элемент пологой оболочки ................................................. 190

3.7. Расчет толстостенных оболочек .................................................. 194

4 Оглавление ————————————————————————————— 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ................................... 198

4.1. Формулировки задач статики ...................................................... 198 4.2. Формулировки задач динамики ................................................... 217 4.3. Формулировки задач устойчивости ............................................ 221 4.4. Формулировки нелинейной задачи статики ............................... 225

4.4.1. Деформационные соотношения ......................................... 225 4.4.2. Напряжения ......................................................................... 226 4.4.3. Принцип возможных перемещений .................................. 226 4.4.4. Алгоритм МКЭ .................................................................... 228 4.4.5. КЭ для расчета конической оболочки ............................... 230

4.5. Формулировки задач теплопроводности .................................... 235 4.5.1. Стационарная задача теплопроводности .......................... 235 4.5.2. Нестационарная задача теплопроводности ...................... 241 4.5.3. Решение задач теплопроводности МКЭ ........................... 242

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ............................................. 250 5.1. Аппроксимации решений на конечные элементы ..................... 250

5.1.1. Одномерный случай ........................................................... 250 5.1.2. Интерполяция на четырехугольных плоских элементах 257 5.1.3. Интерполяция на треугольных плоских элементах ......... 264 5.1.4. Интерполяция для трехмерных КЭ ................................... 273

5.2. Алгоритмы численного интегрирования .................................... 279 5.2.1. Квадратурные формулы для одномерного случая ........... 279 5.2.2. Численное интегрирование на двумерной области ......... 288 5.2.3. Численное интегрирование на трехмерной области ........ 292

5.3. Алгоритмы решения задач на собственные значения ............... 293 5.3.1. Обзор типовых задач .......................................................... 293 5.3.2. Приведение обобщенной задачи на собственные значе- ния к стандартной форме ................................................... 294 5.3.3. Степенные итерации. Отношение Рэлея ........................... 298 5.3.4. Ортогональные преобразования матрицы ........................ 303 5.3.5. Алгоритм Якоби .................................................................. 304 5.3.6. Метод итераций в подпространстве .................................. 306

5.4. Алгоритмы решения нестационарных задач .............................. 307 5.4.1. Постановка задачи нестационарной диффузии ................ 307 5.4.2. Согласованность и устойчивость разностных схем ......... 310 5.4.3. Варианты дискретных операторов дифференцирования по времени ........................................................................... 312 5.4.4. Метод модальной суперпозиции ....................................... 319 5.4.5. Анализ дискретных операторов, определяющих вторую производную по времени ................................................... 322 5.4.6. Свободные колебания систем ............................................ 333 5.4.7. Вынужденные колебания при силовом гармоническом возбуждении ........................................................................ 334 5.4.8. Вынужденные колебания при кинематическом гармони- ческом возбуждении ........................................................... 335 5.4.9. Уравнения динамики незакрепленных дискретных систем ................................................................................... 336

Список литературы .................................................................................... 342

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 5 —————————————————————————————

ПРЕДИСЛОВИЕ

Создание высокоэффективных конструкций современной тех-ники требует разработки и использования новых материалов со сложной структурой и более точного анализа поведения конструк-ции в условиях эксплуатации. В связи с этим существенно повы-шаются требования к теоретической и практической подготовке инженеров-конструкторов, расчетчиков и технологов.

Комплект учебных пособий «Прочность, жесткость, устойчи-вость элементов конструкций. Теория и практикум» подготовлен на основе дисциплин «Сопротивление материалов», «Прочность элементов конструкций», «Строительная механика», однако не дублирует их, а дополняет новыми разделами, тематика которых становится все более актуальной. Основное внимание в этих посо-биях уделяется практической реализации расчетных моделей.

Ранее вышли в свет три учебных пособия: «Решение задач ме-ханики методом конечных элементов», «Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность», «Упругопла-стические решения и предельные состояния». В настоящем посо-бии приведены расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций (однородные изотропные и ортотроп-ные конструкции рассматриваются как частные случаи); освещены вопросы изготовления элементов многослойных конструкций (стержней, пластин, оболочек); даны математические формули-ровки задач статики и динамики конструкций и основные алго-ритмы их решения с помощью метода конечных элементов, а так-же аналитические решения. Авторы стремились представить мате-риал достаточно корректно в математическом изложении, но в то же время доступно для широкого круга студентов, аспирантов, преподавателей и специалистов. Основное содержание пособия представляет собой расширенный курс лекций, прочитанных про-фессором Б.Г. Поповым для студентов машиностроительных спе-циальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Познакомившись с содержанием книги, читатель, без сомне-ния, сможет более глубоко понять задачи механики, узнать, что положено в основу современных вычислительных программных комплексов и, главное, научиться правильно ставить и решать но-вые научные и технические задачи.

Доктор технических наук, профессор В.Л. Данилов

6 1. Расчет стержневых конструкций —————————————————————————————

ОТ АВТОРОВ

В современных силовых конструкциях находят широкое при-менение волокнистые композитные (композиционные) материалы (КМ), представляющие собой твердое полимерное связующее, ар-мированное высокопрочными и высокожесткими волокнами (например, стеклопластики, углепластики, органопластики и др.). Методами непрерывной намотки или укладки волокнистой основы со связующим и последующей полимеризацией связующего созда-ют типичные элементы силовых конструкций: многослойные стержни, пластины и оболочки, которые имеют требуемые меха-нические свойства, малую материалоемкость при высокой удель-ной прочности и жесткости. Такие элементы конструкций из КМ применяются в ракетно-космической технике, авиационной, судо-строительной промышленности, химическом машиностроении, автомобилестроении и в других отраслях.

В настоящее время в нашей стране и за рубежом увеличивается количество публикаций, посвященных вопросам механики КМ и расчетам конструкций из них. Однако в них обычно рассматрива-ются узкоспециализированные темы и ориентироваться в этом оби-лии информации неподготовленному читателю довольно трудно.

В данном пособии изложены основные начальные сведения, необходимые для понимания прочностного расчета конструкций из КМ. Приведены сведения о волокнистых композитах, их струк-туре и типовых механизмах разрушения. Представлены основные данные из механики КМ. Рассмотрены алгоритмы определения приведенных жесткостных характеристик многослойных КМ па-кетов, которые необходимы для расчета тонкостенных конструк-ций. Отдельные разделы посвящены расчетам КМ стержней, плас-тин и оболочек. Даны аналитические решения, а также алгоритмы решения задач с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Обсуждены вопросы, связанные с оценками жесткости, прочности, устойчивости и динамики конструкций.

Особенностью этого выпуска является большое число приме-ров с аналитическими решениями и изложение основ расчета МКЭ.

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 7 —————————————————————————————

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. ТРЕХУЗЛОВОЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

Кинематика деформирования. Для описания деформирова-ния плоского криволинейного стержня воспользуемся гипотезой плоских сечений (гипотезой С.П. Тимошенко), т. е. будем считать, что нормальное сечение стержня остается плоским, смещается в плоскости кривизны стержня и поворачивается на некоторый угол θ, в общем случае отличный от угла поворота нормали сече-ния (рис. 1.1). В результате деформирования слой, имеющий коор-динату z, перемещается по касательной на u и за счет поворота се-чения на угол θ добавляется θ.z Таким образом, z-е сечение имеет смещение по касательной

( ) ,zu u z= + θ где индекс z означает принадлежность к z-му слою.

Рис. 1.1. К определению кинематики деформирования криволи-

нейного стержня: а # исходное положение; б # деформированное положение

44 2. Расчет пластин —————————————————————————————

РАСЧЕТ ПЛАСТИН

2.1. ЗАДАЧА О ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН

Расмотрим основные соотношения и формулировки задачи. В качестве примеров элементов конструкций, находящихся в плоском напряженном состоянии (ПНС), можно привести плоские многослойные панели перегородок, стенок, плит, которые распо-ложены, как правило, в силовых окантовочных каркасах и нагру-жены в основном в своей плоскости.

При формулировке задачи о ПНС (рис. 2.1) делается допуще-ние о том, что компоненты тензора напряжений σ имеют вид

11 12 13

12 22 23

13 23 33

σ τ 0σ σ σσ σ σ τ σ 0 ,σ σ σ 0 0 0

x xy

xy y

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

σ

т. е. 3σ 0i = ( 1,2,3).i =

Рис. 2.1. К формулировке задачи о ПНС

102 3. Расчет оболочек —————————————————————————————

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК

3.1. ИЗГИБ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, состоящую из n ортогональных слоев. Оболочка нагружена внутренним рав-номерным давлением zp и сосредоточенными силами и момента-ми, направления и значения которых симметричны относительно оси y = 0 (рис. 3.1). По торцам оболочка имеет граничные условия свободного опирания.

Рис. 3.1. Схема свободно опертой оболочки

В качестве гипотез деформирования примем гипотезы С.П. Тимошенко для многослойного пакета стенки в целом. Кине-матика деформирования поясняется на рис. 3.2, где u, v, w # про-екции полного перемещения точки на оси x, y, z; θ , θx y # углы поворотов сечений;

198 4. Математические формулировки —————————————————————————————

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ

4.1. ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ СТАТИКИ В современных расчетах вариационные формулировки позво-

ляют получать разрешающие уравнения, строго соответствующие исходным гипотезам, и служат основой для решения задач МКЭ и Рэлея#Ритца. Рассмотрим механическую систему, состоящую из произвольного твердого деформируемого тела и приложенных к нему распределенных объемных и поверхностных сил (рис. 4.1), которые представим компонентами вектор-столбцов

T1 2 3[ , , ]g g g=g и T

1 2 3[ , , ] .p p p=p Поверхность uS тела за-креплена в пространстве с помощью некоторых идеальных связей, исключающих перемещение тела как жесткого целого. На осталь-ной части поверхности, которую обозначим ,pS действуют задан-ные поверхностные силы p1, p2, p3. (Если часть незакрепленной поверхности свободна от поверхностных нагрузок, она тоже при-надлежит ,pS но на ней 0.=p )

Рис. 4.1. К формулировке задачи статики твердого деформи-

руемого тела

250 5. Математические алгоритмы —————————————————————————————

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ

5.1. АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ НА КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 5.1.1. Одномерный случай Рассмотрим интерполирующие функции для одномерных КЭ

на нормированном отрезке, на котором переменная α (безразмер-ная координата) меняется от –1 до 1. Любой размерный отрезок с координатами ix и 1ix + будем отображать на нормированный от-резок координаты α (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Линейное отображение одномерного КЭ

Каждой координате α в пределах нормированного отрезка бу-дет соответствовать точка с координатой x в пределах КЭ:

11 1(α) (1 α) (1 α),2 2i ix x x += − + + (5.1)

и, наоборот,

1

1

2α( ) .2

i i

i i

x xx xx x

+

+

+⎛ ⎞= −⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (5.2)

Получить функции формы линейной интерполяции на норми-рованном отрезке достаточно просто (рис. 5.2):

(1)1

1 (1 α);2

φ = −

(1)2

1 (1 α).2

φ = + (5.3)

342 Список литературы —————————————————————————————

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих си-стем. # М.: Машиностроение, 1991. # 333 с.

2. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. # М.: Машиностроение, 1988. # 272 с.

3. Зарубин В.С. Прикладные задачи термопрочностных элемен-тов конструкций. # М.: Машиностроение, 1985. # 293 с.

4. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослой-ных пластин и оболочек из композиционных материалов. # М.: Машиностроение, 1984. # 264 с.

5. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для вузов / Под ред. В.Г. Зарубина, А.П. Крищенко. # М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. # 495 с. (Вып. XXI).

6. Махутов Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техно-генная безопасность: В 2 ч. / Отв. ред. К.В. Фролов, В.В. Москви-чев. Ч. 1: Критерии прочности и ресурса # 493 с. Ч. 2: Обоснова-ние ресурса и безопасности. # 610 с. # Новосибирск: Наука, 2005.

7. Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами. # М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. # 293 с.

8. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. # Л.: Машиностроение, 1980. # 247 с.

9. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. # М.: Физматлит, 2002. # 240 с.

10. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. # М.: Машиностроение, 1990. # 512 с.

11. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Пер. с англ. # М.: Мир, 1984. # 428 с.

5.4. Алгоритмы решения нестационарных задач 343 —————————————————————————————

Учебное издание

Кузьмин Михаил Александрович Лебедев Дмитрий Леонидович

Попов Борис Глебович

Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций Теория и практикум

Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций

Редактор Н.Г. Ковалевская

Технический редактор Э.А. Кулакова Художник Н.Г. Столярова Корректор О.В. Калашникова

Компьютерная графика О.В. Левашовой Компьютерная верстка Н.Ф. Бердавцевой

Оригинал-макет подготовлен

в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.003961.04.08 от 22.04.2008 г.

Подписано в печать 20.12.11. Формат 60×90 1/16.

Усл. печ. л. 21,5. Тираж 300 экз. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5, стр. 1.

http://www.press.bmstu.ru E-mail: press@bmstu.ru

Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5, стр. 1.

E-mail: baumanprint@gmail.com