9. Diszkrét wavelet transzformáció, szűrők,

sokskálás felbontás, operátor tömörítés

Speciálkurzus 2009 tavasz

2

CWT és DWT kapcsolata• Folytonos wavelet transzformáció (CWT)

– Történetileg korábbi mint a DWT– Jel analízishez hasznos

• Diszkrét wavelet transzformáció (DWT)– Szűrőcsoportok, tükörszűrők– Sokskálás analízis (MRA)– Jel feldolgozáshoz (rekonstrukció, szintézis)

hasznos

• Sokskálás felbontás (MRA, multiresolution analysis)

3

Ortogonális diszkrétizáció

Mikor lehet az f jelet tökéletesen visszaállítani a mintavételezett folytonos wavelet spektrumból? Legyen a mintavételezés diadikus:

CWT: számítjuk az f(t) függvény ψab(t) leány waveletekkel (b: eltolás, a: skála) vett konvolúcióját:

4

Diszkrét wavelet felbontás

esetében Coifman és Meyer (1986) szerint létezik olyan teljes ortonormált ψmn(t) bázis, melyre

Az f(t) függvény ψmn(t) bázisfüggvényekkel (n: eltolás, m: skála) történő felbontása,

5

Hogyan konstruálhatók alkalmas ψmn bázisfüggvények?

A választ a sokskálás felbontás (MRA) adja meg:

Ha a ψ (t) wavelet függvény beilleszthető egy MRA-ba, akkor a diadikus diszkretizációja (a = 2-j, b = 2-j k) elvezet a diszkrét wavelet transzformációhoz (DWT)

Ha viszont nincsen ilyen MRA az adott ψ (t) wavelethez, akkor ez a diszkretizáció nem ad lehetőséget egyszerű rekonstrukcióra.

Az MRA szoros kapcsolatban van a szűrőcsoportokkal

6

Kettős tükörszűrők (QMF)

Croisier, Esteban és Galand (1976): Lehetséges egy kettős szűrővel szétosztott és lemintavételezett jelet tökéletesen visszaállítani még akkor is, ha a szűrők nem ideálisak.

analízis szintézis

Quadrature Mirror Filters

7

Kettős tükörszűrő példakonvolúciós szűrők

a legegyszerűbb szűrő:

a konvolúció mátrixa:

8

A konvolúció mátrixa

A szűrt jelből az eredetit nem lehet visszaállítani

Mi szükséges ahhoz, hogy a szűrés megfordítható legyen?

9

A szűrés megfordításaAz egymás melletti számok átlaga mellett a különbségükre is szükség van a megfordításhoz

A különbség képzés az alábbi konvolúciós szűrést jelenti:

Most már valóban megfordítható a szűrés. Ha

akkor

10

A szűrőpár viselkedése

A H és G szűrők alul- és felüláteresztők:

H G

11

A szűrés és megfordítása

A H és G szűrőkkel végzett szűrés megfordítható.

12

A szűrés megfordítása

Az inverzió redundáns – nem kell az összes yn, zn érték xn visszaállításához!

y2, z2 pl. elhagyható:

Sőt, H és G minden második sora fölösleges – alulmintavételezünk

13

A transzformáló mátrixHa

akkor az eredmény az alábbi mátrix:

14

A transzformáló mátrix inverzeA mátrix inverze egyszerű, mert

15

OrtogonalizációA transzformáló mátrix már majdnem ortogonális:

Ha -et -vel szorozzuk, ortogonális lesz.

16

Diszkrét Haar wavelet transzformáció

A WN elnevezése: Diszkrét Haar wavelet transzformáció

A Haar szűrő:

A h és g kettős tükör szűrő, mert xn torzítás nélkül visszaállítható, a szűrés tökéletesen megfordítható.

xn xn

17

Szűrőcsoport, FTWA szűrés és lemintavételezés ciklikusan ismételhető.

Ez a gyors wavelet transzformáció (FWT)

18

Sokskálás felbontás, MRAEgy L2(R)-ben adott jelet egymásba ágyazott Vj alterekben fokozatosan közelítünk. Ezeket az altereket egyetlen φ(t) skálázó függvény eltolt és átskálázott változatai generálják.

Ha V0 a szakaszonként konstans függvények lineáris tere, Z-ben ugrásokkal, a φ(t) = χ[0,1)(t) karakterisztikus függvény és eltolt változatai V0 ortonormális bázisa.

19

Nyújtási egyenlet

Ha V1 a szakaszonként konstans függvények lineáris tere, ½ Z-ben ugrásokkal, akkor V0 V1 és a √2 φ(2t – k) függvények V1 ortonormális bázisa.

skálázó függvény nyújtási egyenlete:

Ortogonális komplementer tér

20

Wavelet

A wavelet olyan ψ(t) függvény, amely a Wj ortogonális komplementer terek bázisát adja, például V0 ortogonális komplementer terét V1 -ben.

Haar wavelet esetében:

wavelet függvény nyújtási egyenlete:

21

2D Wavelet transzformációVan egy N x N-es méretű A mátrixunk (N páros)Mi lesz A wavelet transzformáltja?

Ha WNA-t számítjuk, a DHWT-t A oszlopaira alkalmazzuk

22

2D Wavelet transzformációMit kell tennünk, hogy A sorait is transzformáljuk?

Válasz: WNAWNT-t számítjuk

23

2D Wavelet transzformációBlokkonként:

B: átlagolás soronként és oszloponkéntV: átlagolás oszloponként és különbség soronkéntH: átlagolás soronként és és különbség oszloponként D: különbség soronként és oszloponként

24

IterációElső iteráció:A(200x200)

Kumulatív jel energia A: piros, transzformált: barna

25

További iterációk

Ha N páros, az iteráció folytatható

Kumulatív jel energiák:

tömörítés...

26

Közelítés, tömörítésEgy tipikus jel esetében a szomszédos minták erősen korreláltak

Ez esetben a felüláteresztő G szűrő eredményeként előálló wavelet együtthatók kicsik lesznek és nagy részük sok esetben el is hagyható.

Kézenfekvő alkalmazás teljesen kitöltött mátrixú egyenletrendszerek megoldása wavelet prekondicionálással, vagy integrál operátorok közelítése.

27

Lineáris egyenletrendszerekTeljesen kitöltött mátrixú rendszer

A wavelet transzformáció mátrixa:

28

Transzformált együttható mátrixA transzformáció:

A transzformált mátrix:(8 transzform. szint,10-4 küszöbérték)

29

A permutált mátrixÁtrendezés után:

átlósan domináns alakra történő átrendezés

30

Operátor tömörítésIntegrál egyenlet:

Megoldás Galerkin-módszerrel: f közelítő fn megoldását nem a H, hanem a közelítő Hn alterében keressük meg:

31

Galerkin-módszerA közelítő megoldás maradéka,

ortogonális Hn-re:

A Galerkin-egyenleteket kell megoldani αi-re.

32

Galerkin-módszerA közelítő megoldás maradéka,

ortogonális Hn-re:

A Galerkin-egyenleteket kell megoldani αi-re.

33

Konjugált gradiens módszerA CG módszer konvergencia sebessége a μ max. és λ min. sajátértékektől függ:

Ha ez közel van 1-hez, a konvergencia igen lassú

Wavelet bázissal a megoldás javítható.

34

PéldaAz alábbi integrál egyenletet oldjuk meg:

35

PéldaAz alábbi integrál egyenletet oldjuk meg:

36

Wavelet prekondicionálás

37

Konvergencia