จ ำนวนเชิงซ้อน complex number€¦ · การคูณจ...

www.krusukhum88.wordpress.com

1

จ ำนวนเชิงซอ้น (Complex number)

ปัญหาที่เกิดขึ้นในระบบจ านวนจริง จากสมการพหุนาม 012 x ซึ่งไม่มีจ านวนจริง x ใด ๆ สอดคล้องกับสมการนั่น คือ ไม่มีค าตอบเป็นจ านวนจริง นักคณิตศาสตร์จึงสร้างระบบจ านวนเชิงซ้อนเพื่อให้สมการพหุนามทั้งหมดที่มีดีกรีสูงสุดต่างกันมีค าตอบอยู่ในเซตของจ านวนเชิงซ้อนที่สร้างขึ้นและได้มีการก าหนดจ านวน ซึ่งมีสมบัติว่าก าลังสองของจ านวนนั้น เป็นจ านวนลบ เรียกว่า จ านวนจินตภาพ จากสมการ 0 1 x 2 จะได้ 1- x 2 ซึ่งไม่มีจ านวนจริงใดท่ีจะท าให้ 1- x 2 จะได้ 1- x ' นักคณิตศาสตร์จึงก าหนด I แทน 1- แล้ว 1- i2 บทนิยาม ถ้า a เป็นจ านวนจริงบวก แล้ว iaa-

ตัวอย่างท่ี 1จงหาค่าของ 1. 97 2. 53 3. 49


2

1. ค่าของ ni เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก พิจารณา 1i = i 2i = 21- = -1 3i = 2i (i) = (-1)i = -i 4i = ( 2i )( 2i ) = (-1)(-1) = 1 ในท านองเดียวกัน ถ้ายกก าลังไปเรื่อย ๆ ค่าของ I จะมีลักษณะ ดังนี้

1i = 5i = 9i = 13i = 2i = 6i = 10i = 14i = 3i = 7i = 11i = 15i = 4i = 8i = 12i = 16i =

ดังนั้น สรุปได้ว่า เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก 4ni = 14ni = 24ni = 34ni = และ 4ni + 14ni + 24ni + 34ni = 4ni . 14ni . 24ni . 34ni = พิจารณา (- ni ) เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก ( -) =

(- 2i ) = (- 3i ) = (- 4i ) =

ดังนั้น สรุปได้ว่าเมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก 4ni- =

14ni-

= 24n

i- =

34ni-

=


3

แบบทดสอบความเข้าใจ

จงหาค่าของ 1. 23i 2. 56i 3. 106i 4. 5877195 iii 5. 1094109310921091 iiii 6. 2014201320122011 iiii 7. 25103 i-i-i- 8. 1982432

i...ii-i-i-


4

9.

201

1n

2ni 10.

244

1

1211

n

nni-

2. จ านวนเชิงซ้อน

บทนิยาม ก าหนด z เป็นจ านวนเชิงซ้อนใด ๆ เขียนจ านวนเชิงซ้อน z ได้ 2 แบบ คือ 1. z = (a,b) 2. z = a + bi เมื่อ i = 1- เรียก a ว่าเป็น ส่วนจริงของจ านวนเชิงซ้อน z หรือ Re(z) เรียก b ว่าเป็น ส่วนจินตภาพของจ านวนเชิงซ้อน z หรือ Im(z) เรียก bi ว่าเป็น จ านวนจินตภาพ

จ านวเชิงซ้อน

จ านวนจริง

จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ

จ านวนจินตภาพ


5


เขียน ว่าเป็นจ านวนชนิดใด (ตอบได้มากกว่า 1 ชนิด) ข้อ จ านวน จ านวนเชิงซ้อน จ านวน

จริง จ านวนจินตภาพ จ านวนจินตภาพแท้

1 3 2 -4 3

8

7

4 5 5 12i 6 -7i 7 i2 8 3 – 7i 9 πi 10 i 11 -i 12 1 13 (0,-3) 14 1.7 15 i

10

1

5

7

16 -i + 8i 17 1 - i 18 0.8 – 2i

จากบทนิยาม พอสรุปได้ว่า ถ้า z = a + bi ค่าของ a หรือ b หรือ ทั้ง a และ b อาจเท่ากับศูนย์ก็ได้ 1. จ านวนเชิงซ้อน a + bi เมื่อ b 0 ถูกเรียกว่า จ านวนจินตภาพ 2. ถ้า b = 0 แล้ว z = a เรียกว่า จ านวนจริง 3. ถ้า a = 0 แล้ว z = bi เรียกว่า จ านวนจินตภาพแท้ 4. ถ้า a = 0, b = 0 แล้ว z =0 เป็นจ านวนจริง


6


จงหาค่า x และ y ในเงื่อนไขต่อไปนี้ 1. x + 3i = 7 + 3i 2. 5 + 9i - 5 + yi 3. x + 8i = 7 + 4i 4. X + y + i = 3 + ( x -y)i 5. x – y + (x + y)I = 2 + 6i 6. y + xi = y – x

3. การเท่ากันของจ านวนเชิงซ้อน บทนิยาม จ านวนเชิงซ้อน 2 จ านวนจะเท่ากันได้ ก็ต่อเมื่อส่วนจริงเท่ากันหรือส่วน จินตภาพเท่ากัน นั่นคือ (a,b) = (c,d) ก็ต่อเมื่อ a =c และ b = d หรือ a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d โดย a, b, c, d เป็นจ านวนจริง ใด ๆ


7

7. x – y + iy2 = 1 + 4i 8. (x + 2y) + (4x – 3y)i = (2x -1) + (y - 6)i


1. (3,1) + (-2, 3) 2. (-4 + 3i) – (-2 + i)

4. การบวกลบจ านวนเชิงซ้อน นิยาม ก าหนด 1z = (a, b) = a + bi, 2z = (c, d) = c + di จะได้ 1z + 2z = (a + c, b + d) หรือ (a + c) + (b + d)i 1z - 2z = (a - c, b - d) หรือ (a - c) + (b - d)i ข้อสังเกต จับประเด็นการบวกการลบจ านวนเชิงซ้อนได้ว่า ผลบวกจ านวนเชิงซ้อน ท าโดย ส่วนจริงบวกกัน ส่วนจินตภาพบวกกัน ผลต่างจ านวนเชิงซ้อน ท าโดย ส่วนจริงลบกัน ส่วนจินตภาพลบกัน


8

3. (-2 + i) + (4 + 2i) 4. (1 + i) + (2i) + (2 + 7i)

5. (6 – 3i) + (-3 + 2i) + (1 + 6i) 6. (5 + 7i) – (3 + 4i)

7. (4 – 3i) - (-2 + i) 8. (5 + i) + (2 - i) - (6 – 3i)

9. ( 33 + 5i) - (- 3 - 2i) 10. 1 + 25- + 36 - 2


9


จงหาอินเวอร์สการบวกของจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1. z = 3 + 4i 2. z = 5 – 7i 3. z = -2 + 9i 4. Z = 5 + 0i

5. สมบัติของจ านวนเชิงซ้อนเกี่ยวกับการบวก ถ้าให้ c เป็นเซตของจ านวนเชิงซ้อน ซึ่งมีการกระท า คือ การบวก ให้ 1z , 2z , 3z เป็นสมาชิกใน C 1. C มีสมบัติปิดการบวก นั่นคือ ถ้า 1z C และ 2z C จะได้ 1z + 2z C 2. C มีสมบัติการสลับที่การบวก นั่นคือ 1z + 2z = 2z + 1z 3. C มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการบวก นั่นคือ( 1z + 2z ) + 3z = 1z + ( 2z + 3z ) 4. การมีเอกลักษณ์การบวก 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกของจ านวนเชิงซ้อน โดยที่ 0 + 1z = 1z + 0 = 1z 5. การอินเวอร์สการบวก ถ้ามีจ านวนเชิงซ้อน 1z อินเวอร์สการบวกของ 1z คือ - 1z โดยที่ 1z + (- 1z ) = (- 1z ) + 1z = 0 6. ถ้า 1z = 2z แล้ว 1z + 3z = 2z + 3z 7. ถ้า 1z + 3z = 2z + 3z แล้ว 1z = 2z


10


1. จงหาผลคูณของจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1. – 2i 3i 2. (15 + 4i)(-i) 3. (3 + i)(3 + 7i) 4. (-2 - 3i)(5 – 2i) 5. (5 + 6i)(6i - 5) 6. (2, 0) ( 2 , 0)

6. การคูณจ านวนเชิงซ้อนด้วยจ านวนเชิงซ้อน การคูณจ านวนเชิงซ้อนกับจ านวนเชิงซ้อนด้วยกัน ใช้หลักการคูณพหุนามปกติ แต่ต้องพิจารณาเทอม 1i2 เสมอ 1z = a + bi, 2z = c + di 1z . 2z = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd 2i = ac + adi + bci – dd = (ac – bd) + (ad + bc)i = (ac – bd, ad + bc)


11

7. (0, 4) (0, -1) 8. ( 3 - i) ( 3 + i) 9. (3 + i) 2 + (3 – 4i) 10. 2i1427

2

- 2. จงหาผลลัพธ์ของจ านวนเชิงซ้อนที่ก าหนดให้ 1. (4 + 3i) + (-1 + 2i) 2. (4 + 3i)(-1 + 2i) 3. (4 + 3i)(-1 + 2i) + (5 – 7i) 4. (4 + 3i)(-1 + 2i)(1 + 3i)


12

5. (2 + i)(3 – 2i)(2 - i)(3 + 2i) 6. (3 + 4i) – (6 – 2i)(1 - i) 3. จงหาจ านวนจริง x และ y ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ 1. (x, y) + (7, -3) = (5, 2) 2. (2x, y) = 1 + (3, 5) 3. (x , y) = (6, -8) + (4, 2) 4. (x, 2y) = (0, 1)(-2, 7)


13


1. ก าหนดจ านวนเชิงซ้อน 1z = (2, 5) และ 2z = (1, 3) จงหา 1z + 2z และ 1z x 2z

7. สมบัติของจ านวนเชิงซ้อนเกี่ยวกับการคูณ ถ้าให้ C เป็นเซตของจ านวนเชิงซ้อน ซึ่งมีการกระท า คือ การคูณ และให้ 1z , 2z , 3z

เป็นสมาชิกใน C 1. C มีสมบัติปิดการคูณ นั่นคือ ถ้า 1z , 2z เป็นสมาชิกใน C แล้ว 1z 2z C 2. มีสมบัติการสลับที่การคูณ 1z 2z = 2z 1z 3. มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ ( 1z 2z ) 3z = 1z ( 2z 3z ) 4. การมีเอกลักษณ์ของการคูณ 1.เป็นเอกลักษณ์การคูณของจ านวนเชิงซ้อน 1 + 0i หรือ (1, 0) เป็นเอกลักษณ์ของการคูณของจ านวนเชิงซ้อน โดยที่ (1, 0) 1z = 1z (1,0) = 1z 5. การมีอินเวอร์สของการคูณ ถ้าให้ 1z C โดยที่ 1z 0อินเวอร์สการคูณของ 1z แล้วได้เอกลักษณ์การคูณ (1) 6. มีสมบัติการกระจาย 1z ( 2z + 3z ) = 1z 2z + 1z 3z 7. ถ้า 1z = 2z แล้ว 1z 3z = 2z 3z 8. ถ้า 1z 3z = 2z 3z แล้ว 1z 0 แล้ว 2z = 3z 9. ถ้า 1z 2z = 0 แล้ว 1z = 0 หรือ 2z = 0


14

2. ก าหนดจ านวนเชิงซ้อน 1z = (a, b), 2z = (4, 2), 3z = (7,5) 4z = (1, 2) ถ้า 1z + 2z = 3z แล้ว จงหาจ านวนเชิงซ้อน 1z x 4z

8. การหารจ านวนเชิงซ้อน โดยปกติจะไม่มีการเอาจ านวนเชิงซ้อนไปหารกับจ านวนเชิงซ้อนโดยตรง แต่ถ้ามีจ านวนเชิงซ้อน 2 จ านวนหารกัน สามารถท าให้อยู่ในรูปจ านวนเชิงซ้อนเพียงจ านวนเดียวได้ โดยการเอาคอนจูเกตของจ านวนเชิงซ้อนที่เป็นตัวส่วน คูณทั้งเศษและส่วน ผลที่ได้จะเป็นจ านวนเชิงซ้อนจ านวนเดียว เช่น

dic

bia

= dic

bia

dic

dic

= 22 dc

iadbcbdac

จะเห็นว่า จ านวนที่ได้เป็นจ านวนเชิงซ้อนจ านวนเดียว


15

แบบทดสอบความเข้าใจ จงหาค่าของ

1. i3

4i2

2. i21

i3

3. 2i-1

2i1 4.

i2

12,

5. 5i 3

5i

6. 3i

i1

7.

i1

21

21


16

บรรณานุกรม

คณิต อ.เอ๋. ระบบจ านวนเชิงซ้อน. https://www.mathmasteraey.com. ค้นเมื่อ 29 พฤศจิกายน 2559 ณรงค์ ปั้นนิ่ม และคณะ. หนังสือเสริมสร้างศักยภาพและทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6.

กรุงเทพฯ: บริษัทอักษรเจริญทัศน์ อจท. จ ากัด. ธนวัฒน์ สนทราพรพล. หนังสือแบบฝึกทักษะและวิธีคิดเร็วคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4-6 เล่ม 4 . กรุงเทพฯ:

scirnce center.

https://www.mathmasteraey.com/

จ ำนวนเชิงซ้อน complex number€¦ · การคูณจ...

Documents