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8/17/2019 A Coes Decont

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Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP

AÇÕES DE CONTROLEAÇÕES DE CONTROLE

■ Ações de Controle■ Relação Controlador/Planta■ Controlador proporcional■ Efeito integral■ Efeito derivativo■ Controlador PID


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Ações comuns de controleAções comuns de controle

Ações mais comuns:• tipo liga-desliga (duas posições)• proporcional• proporcional-integral• proporcional-derivativo• proporcional-integral-derivativo

K(s) P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

■ Ação de controle: o tipo de processamento que o controladorrealiza sobre o sinal de erro para gerar o sinal aplicado à planta


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Controle em malha fechadaControle em malha fechada

■ Cálculo da função de transferência de malha fechada

G(s)

R(s) E(s) Y(s)

-)()()())(1(

)()()()()(

)()()()()()(

s RsGsY sGsY sGs RsGsY

sY s Rs E

s E sGsY

=+−=

−==

)()(1

)()( s RsG

sGsY

+=


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Achando a FT de malha fechadaAchando a FT de malha fechada

■ Considerando o numerador e o denominador da FT

G(s)R(s) E(s) Y(s)

-

)(1)(

)()(

sGsG

s RsY

+=

)()(

)(

)(

)(

s N s D

s N

s R

sY

+=

)()(

1

)()(

)()(

s D

s N s Ds N

s RsY

+

=


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Possui duasposições fixas

Elementoatuante

Geralmente sãosolenóides

• Intervalo de tempoentre ligado e desligad<

>=0 )(desligadoM

0 (ligado)M2

1

E

E U

• Faz com que a saída controlador mantenhaseu valor atual até quesinal erro atuante tenhatingido um certo valo

Ação de duas posições (liga-desliga)Ação de duas posições (liga-desliga)

P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

histerese diferencial

Obs: É um métodoprimitivo de controle


6/47Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP

Exemplo: Sistema de controle de nível de líquidoExemplo: Sistema de controle de nível de líquido

Quanto menor ointervalo diferencial

Maior é a freqüência demovimentos Liga-Desliga



■ A ação de controle é proporcional ao erro

Ação ProporcionalAção Proporcional

Kp

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-

)()( t eK t u p=

pK s E sU =)( )(



■ A ação de controle é proporcional à integral do erro■ É sempre usada em conjunto com a ação proporcional

( ) ( )∫ = t

I dt t eK t u 0

( )( ) s

K s E sU I =

Ação IntegralAção Integral

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-s

K I


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■ A ação de controle é proporcional ao erro e à sua integral

( )( ) s

K sK s E sU I P +=

Ação Proporcional IntegralAção Proporcional Integral

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-s

K K I P +


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■ Ação de controle é proporcional à derivada do erro■ É sempre usada em conjunto com a ação proporcional(obs: notar que é uma FT imprópria)

( ) ( )dt

t deK t u D=

( )( )

sK s E sU

D=

Ação DerivativaAção Derivativa

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-

sK D


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■ Ação de controle é proporcional ao erro e à derivada

do erro (também imprópria)

( )( ) sK K s E sU

D p +=

Ação Proporcional DerivativaAção Proporcional Derivativa

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-

sK K DP

+


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■ Ação de controle é proporcional ao erro, à integral e à

derivada do erro (controlador PID)(também imprópria)

( )( ) s

K sK sK s E sU I P D ++=

2

Ação Proporcional Integral DerivativaAção Proporcional Integral Derivativa

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-s

K sK K

I DP ++


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Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malhafechada com realimentação unitária para controladoresproporcional (P) e proporcional derivativo (PD) para uma plantaque representa uma inérciaJ .

( ) 21)( )( JssU sY sP ==

Exemplo: Controle de posição de uma inérciaExemplo: Controle de posição de uma inércia

θ= J T


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■ O DB abaixo representa o controlador proporcional comrealimentação unitária negativa

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-PK 2

1 Js

Exemplo: Diagrama de blocos controlador PExemplo: Diagrama de blocos controlador P


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■ Fechando a malha do DB anterior encontra-se aseguinte FT

■ Observa-se que houve uma variação• no ganho estático

• um deslocamento do pólo

Exemplo: FT de malha fechadaExemplo: FT de malha fechada

1)0( ==s RY

J

K j p±=λ

∞== )0(sU Y

0=λ

p

p

K Js

K

s RsY

+= 2)(

)(


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■ Considerando a TL do degrau (1/s ), a resposta seráportanto

■ Encontrando a TIL, obtém-se

Exemplo: Resposta ao degrau unitárioExemplo: Resposta ao degrau unitário

0p/ cos1 ≥

t t J

K -

p

)()()(

2 p

p

K Jss

K

s RsY

+=


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■ A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para dois valores da

constante proporcional (Kp=2 e Kp=20), considerandoJ = 1 .

A resposta oscila com freqüência

maior quanto maior é o Kp e o sobressinal é grande

Exemplo: Traçando as respostasExemplo: Traçando as respostas


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R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

sK K DP + 21

Js

Exemplo: Diagrama de blocos controlador PDExemplo: Diagrama de blocos controlador PD


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Exemplo: FT de malha fechada com controlador PDExemplo: FT de malha fechada com controlador PD

1)0( ==s R

Y

J

JK K K p D D

2

42 −±−=λ

∞== )0(sU

Y

0=λ

p D

p D

K sK Js

K sK

s RsY

+++= 2)(

)(


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■ A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para Kp=20 e dois

valores da constante derivativa (Kd=2 e Kp=10), considerandoJ = 1 .

A oscilação da resposta diminui

com Kd

Exemplo 9.1: Traçando as respostasExemplo 9.1: Traçando as respostas


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Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malhafechada com realimentação unitária e controlador proporcionalpara a planta de primeira ordem com ganho estáticok econstante de tempo τ . Repetir para um controlador PI e PD.

( )1)(

)(+τ== s

k sU sY

sP

Exemplo 9.1: Planta de primeira ordemExemplo 9.1: Planta de primeira ordem


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R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

PK

1+s

k

τ

Exemplo 9.1: Diagrama de blocosExemplo 9.1: Diagrama de blocos


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( )( ) 1

p

p

K k Y s R s s K k τ

= + +

Exemplo 9.1: FT de malha fechadaExemplo 9.1: FT de malha fechada

k K

k K s

RY

p

p

+== 1)0(

τ λ

k K p+−=1

k sU Y == )0(

τ−=λ1


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■ Considerando a TL do degrau (1/s ), a resposta seráportanto

■ Encontrando a TIL, obtém-se

• notar que (TVF)

)1()(

k K ss

k K sY

p

p

++= τ

Exemplo 9.1: Resposta ao degrau unitárioExemplo 9.1: Resposta ao degrau unitário

( )( )

0p/ 11

1

≥

−+

=+

−t e

k K

k K t y

t k K

p

p p

τ

)(em aequivale)(em0 t yt ssY s ∞→→


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■ As curvas do gráfico abaixo apresentam a resposta ao degrau para dois

valores da constante proporcional (2 e 20), considerandok = 1 e τ = 2 .

A resposta é tanto mais rápida quanto

maior é o Kp.O erro estacionário também diminui com o aumento do Kp.

Exemplo 9.1: Traçando as respostasExemplo 9.1: Traçando as respostas


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■ Os diagramas abaixo são também p/ os mesmos valores de Kp

Observar que o pólo para o Kp = 20 é de freqüência bem maior que a do primeiro caso (10.5>1.5)

Exemplo 9.1: Diagramas de BodeExemplo 9.1: Diagramas de Bode


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Exemplo 9.1: Programa no MATLABExemplo 9.1: Programa no MATLAB

■ tau=2;■ k=1;

■ Kp=2;■ nmf=[Kp*k];■ dmf=[tau 1+Kp*k];■ t=0:0.05:5;w=logspace(-1,2,400);

■ smf=tf(nmf,dmf);■ y=step(smf,t);■ figure(1), subplot(211),

plot(t,y)■ title( ’Efeito do controlador

proporcional Kp=2’ )■ figure(2), subplot(211),

bode(smf,w), xlabel( ’’ )

■ Kp=20;■ nmf=[Kp*k];■ dmf=[tau 1+Kp*k];■ t=0:0.05:5;■ smf=tf(nmf,dmf);■ y=step(smf,t);

■ figure(1), subplot(212),plot(t,y)

■ title( ’Efeito do controladorproporcional Kp=20’ )

■

xlabel( ’Tempo (s)’ )■ figure(2), subplot(212),

bode(smf,w)


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■ Diagrama de blocos

Exemplo 9.2: Controlador PIExemplo 9.2: Controlador PI

R(s)E(s)

U(s) Y(s)

-

PK

1+s

k

τ

s

K I


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■ Fechando a malha, obtém-se

– Observe que •• aumentou a ordem do sistema em malha fechada aumentou a ordem do sistema em malha fechada •• surgiu um zero surgiu um zero

( )( ) k K sk K s

k K ksK s RsY

I P

I P

++++=

)1(2τ



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■ Considerando:

Observar o efeito da integral do

erro ao longo do tempo no erro estacionário

5,0 / 0;2;1;2 ==== I P K K k τ

Exemplo 9.2: Controlador PIExemplo 9.2: Controlador PI


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■ Os diagramas abaixo p/ valores de Ki=0/0.5

Raízes Ki=0 -1.50

Raízes Ki=0.5 -1.3090 -0.1910 Zero em -0.250



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Exemplo 9.2: Programa MATLABExemplo 9.2: Programa MATLAB

■ tau=2;■ k=1;■ Kp=2;■ Ki=0;■ nmf=[Kp*k ];■ dmf=[tau 1+Kp*k];■ t=0:0.05:6;

■ smf=tf(nmf,dmf);■ figure(1)■ y=step(smf,t);■ subplot(211), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■ title( ’ resposta ao degrau

ki=0 ’ )■ figure(2), subplot(211),

bode(smf,w), xlabel( ’’ )

■ Ki=0.5;■ nmf=[Kp*k Ki*k];■ dmf=[tau 1+Kp*k Ki*k];■ smf=tf(nmf,dmf);■ figure(1)■ y=step(smf,t);

■ subplot(212), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■ title( ’ resposta ao degrau

ki=0.5 ’ )

■ figure(2), subplot(212),bode(smf,w), xlabel( ’’ )


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■ Diagrama de blocos

Exemplo 9.3: Controlador PDExemplo 9.3: Controlador PD

R(s)

E(s)U(s)

-

PK

1+sk

τ

sK D


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■ Fechando a malha, obtém-se (FTMF)

Observe que

– surgiu um zero

– variou a posição do pólo


( ) k K sk K k K sK

s RsY

p D

p D

++++=

1)(

)()(

τ

D

P

K K

z −=

k K

k K

D

p

++−=

τ λ

1


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■ Considerando:

Observar o efeito de Kd No tempo de subida

5,0 / 0;2;1;2 ==== DP K K k τ

Exemplo 9.3: Resposta ao degrau unitárioExemplo 9.3: Resposta ao degrau unitário


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■ Considerando:

Observar o efeito nos diagramas de Bode do novo zero

5,0 / 0;2;1;2 ==== DP K K k τ


P h a s e

( d e g

) ; M a g n i

t u d e

( d B ) Efeito da ação derivativa Kd=0

-20

-10

10-1

100

101

-80-60-40-20

Frequency (rad/sec)

P h a s e

( d e g

) ; M a g n i

t u d e

( d B ) Efeito da ação derivativa Kd=0,5

-14-12-10-8-6-4

10-1 100 101 102-30-20-10


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Exemplo 9.3: Programa MATLABExemplo 9.3: Programa MATLAB

■ tau=2;■ k=1;■

Kp=2;■ Kd=0;■ nmf=[Kd*k Kp*k];■ dmf=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];■ t=0:0.05:6;■ smf=tf(nmf,dmf);■ y=step(smf,t);■ subplot(211), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■

title(’resposta ao degraukd=0’)■ figure(2), subplot(211),

bode(smf,w), xlabel(’’)■ title(’Efeito do controlador

PI Kp=2 Kd=0’)

■ Kd=0.5;■ nmf=[Kd*k Kp*k];■ dmf=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];■ smf=tf(nmf,dmf);■ t=0:0.05:6;■ figure(1)

■ y=step(smf,t);■ subplot(212), plot(t,y)■ axis([0 6 0 1])■ title( ’ resposta ao degrau

ki=0.5 ’ )■ figure(2), subplot(211),

bode(smf,w), xlabel(’’)■ title(’Efeito do controlador

PI Kp=2 Kd=0.5’)


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Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malha fechada

com realimentação unitária e controlador PD para a planta descrita pelaequação abaixo. Considerar um fator de amortecimento de 0,1 e umafreqüência natural de 2 rad/s. A FTMF deve apresentar um fator deamortecimento de 0,5 e uma frequência natural de 5 rad/s.

222

2)(

nn

n

sssP

ω+ζω+ω=

Exemplo 9.4: Planta de segunda ordemExemplo 9.4: Planta de segunda ordem

Y(s)R(s)E(s)

U(s)

-

PK

( )P s

sK D


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■ Diagrama de Blocos

■ FT de malha fechada

Exemplo 9.4:Exemplo 9.4:ControladorControlador PDPD

( )

( ) )1()2(

)(222

2

pnn Dn

nP D

K sK s

K sK

s R

sY

++++

+=ω ω ζω

ω

R(s) E(s) Y(s)

-22

2

2)(

nn

nP D

ss

K sK

ω ζω ω

+++


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■ Considerando a FT

■ e os valores desejados, obtém-se o seguinte sistema:


( )( ) )1()2(

)( 2222

Pnn Dn

nP D

K sK sK sK

s RsY

+ω+ω+ζω+ω+=

55.022*2

5)1(*

2

222

=ω××=ωζ=ω+ζω

=ω=+ω

ef ef ef n Dn

ef Pn

K

K

15,1

25,5

=

= D

P

K

K


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■ Resposta ao degrau■ wn=2; zeta=0.1;■ Kp=5.25; Kd=0;■ b0=wn^2; a0=b0; a1=2*zeta*wn;■ np=[b0]; dp=[1 a1 a0];■ t=0:0.05:5;■ pl=tf(np,dp);y=step(pl,t);■ nmf=[Kd Kp]*b0;

■ dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0];■ smf=tf(nmf,dmf); yp=step(smf,t);■ Kd=1.15; nmf=[Kd Kp]*b0;■ dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0];■ smf=tf(nmf,dmf); ypd=step(smf,t);

■ figure(1), plot(t,y,t,yp,t,ypd)■ legend(‘y’,’yp’,’ypd’)

Observar que:- K P aumenta a freq. natural

- K D aumenta o amortecimento



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0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

■ Considerando o erro e suaderivada, desenhados na

figura ao lado, além dassaídas controladasanteriores, observa-se que:

- O pico do erro

coincide com osobressinal quandoKD = 0

- o sinal da derivada

do erro antecipa o pico, permitindoassim a suaatenuação


Derivada do erro

Resposta p

Resposta pd

erro p


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Para a planta abaixo, projetar um controlador PD de modo que o fator

de amortecimento e a freqüência natural de malha fechada sejamrespectivamente 0,707 e 10 rad/s.

Exercício 9.1: Projeto de controlador PDExercício 9.1: Projeto de controlador PD

Y(s)R(s)

E(s)U(s)

-

PK

sK D

)1(1+ss


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■ Diagrama de Blocos

■ Fechando a malha, obtém-se (FTMF)


( )2

( )( ) 1

D p

D p

K s K Y s R s s K s K

+=

+ + +

R(s) E(s) Y(s)

-

( )( )

1 D P

K s K

s s

+

+


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■ Considerando a FT

■ e os valores desejados, obtém-se o seguinte sistema:


2 100

1 2 2 0.707 10 14.14

P ef

d ef ef

K

K

ω

ζ ω

= =

+ = = × × =100

13,14

P

d

K

K

=

=

( )2( )( ) 1 D p

D p

K s K Y s R s s K s K += + + +


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■ Resposta ao degrau■ Kp=100; Kd=13.14;■ np=[1]; dp=[1 1 0];■ sys=tf(np,dp);■ nmf=[Kd Kp];■ dmf=[1 1+Kd Kp];■ t=0:0.05:2; yp=step(sys,t);■

smf=tf(nmf,dmf); yf=step(smf,t);■ figure(1), plot(t,yp,t,yf)


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