a fokker-planck-based numerical method for modelling non

30

Upload: phungbao

Post on 04-Jan-2017

220 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

� ������������� �� ������� ������ ���

�������� ����������� ��� �� ������

��������� ������ �

������ ������ �� �� ��� �� ���� �

��� � ��� � ����� ��� ���������� ���������� �� ��������� �� ����

��������� ���� ������!

�������� ����

"�#�� ���$%���&$�� ��� ���������� ���������� �� ��������� �� ����

��������� ���� ������

��������

�� �������� ��� ��� ����������� ��� � ��� ���� ���� � ��������������� ��� �� ������� ��� � �������� ������ ��� �� ������������� ���� ������� � �����! "��� � �������� ��� ��� ���� ��� ���� ��� � #���� �� � ����� ��� �� �� ��� �� �� � �� ����� ��� �������� ��� ���� ������ � � ��� ��� ������ � � ����� �$� ��� ���� ��� ���#� �#� �� � �� �� #�������% � ��������� ���� ��� �� � �� ����� ��� �������� ��� �������� � ���� �� ������� !�������� ���� � ��� � �� ��� ������ �������� ��� �� �� ���� ���� � � �#����� �� � ��� �� � � ����� �� ������ ��� ���% ��� ��������� �#�� �� �������� % �� ���� ��� &�' ����#! (��� ���� ���� � ��� � ��� ���� � ������� ���� ���������� ����� ���� �� #���� ��������� ��� ������$ ��������� � ��� )����� �������� � *���� ��� +����� ,�! -! *���� ��� "! +�����%&��! ���! &�����!% ./ 012345 ./6�.3.7!

'�� ����( ������������ ��� ���% ������������� ����% ��� ��� � ����

� ���� ������8 &���� �9���� � "����� ��� ���:�����% ;�� � � �9���� � &����� "��� ����% ���� ��� ������ �:�:��� � <������% &) 1=14 <�������% "�� $�����!� �� ��� � ���� ����������� ������ � �������! �����8������������� ���

�������� ������� �� ������� ������� �� ������� ����

Page 2: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

� �����������

������ �� ����� ����� ��� ����� �� � ��� � ����� ��� ������� �� ���� ��� � ��� ������ ��� ������ ����� � � �������� � � ����� �� ����� ��� � � ����� � �� � ������������ ���� ����� ��� �� ��� �������� �� � �� ��� ������� �� ����� �������� ��� ��� ������ �� � ����� � �� ������� �� ���������� � ����� ���� �� ��� � ���� �� �� �����! "��� �� � �������� � "� ������ ��� �� ������� ����� � � ���� ������ ����� �� ���� ��# �� �� ������� � $%#&#'&#()* +� ������ ����� � ��� ������ � �� �� ��� ���������� ��� � ��� � ��� ����� ��� ���� ��� � ����� �� �� ������� �� �������� �� �� ��� ��� ������ ��� ������ � ����� �� ������# ��������� �� �� � ����� �� � �������� �� ����� ��� � ����� �� � ���� ��� ����� ����"�� ��� �� ,� $%#&* ��� ������ ���� � ������� ����� �� ����� �� ��� ����� �-.- �������� � � � ���� ����� �� ��� ���� �� ���� ���������� ������� /�0 ��� ��� ���� ����� �� ��� 1�� ��� ������� ������� � ���� ����� �� ��� 2��� �� �������� �� ����� ����� $'%#(3* ,� $'&* 4�1 ��� ���/���� 5�� �������� �� ��� ��� ���� � ���� ����� ����� ���� � ���� �������� ���� �� �� ��� ��� � ��� �������� �� ���� ��� �� � ��� �� �������� ��� ��� � /�0 � � ���� �� �� �������� � ������ 6��� � �� ������������ ���� ��� ��� ��� �������� � ������ ����� ���� �� ��� ���� �� � ����� ������ ����� �� ����� ��� �� ������ �� 4�1 ��� �� �� $()* � ())7#���� � ���� ��� ��� ���� �� �� � ���� ��� �� 89�� ��� $'3#(:* �� ����������� ���������� "��� �� ���� �� "�� ���� � ������� ��� ���

+ � ����� �� �� ��� � ��� �� ;��� $7(* ��� ��� $'(<':* �� �� ��� ������� �� �� ������� �����# ����� �� � ����� � "���# �� �� ����� � ��� ��������� �������� �� $%* ��� $()* ���� �� �������# ��� �,6���� $'#(=#7)* ��� ������ ��� �� ����� �� �� ��� ������� ����� ��� ���>� ���� �� ������� � � �� � ������� �� ������ �� �� � � ����� �����?���� � ����� � ���� ��� ����� ��� � >������ �� ������� ��� � � ��������� �� ����� ? ��� ��� ����� � ���� ����� 1�� ������� �� ��� ��� � ��������� ��� �!���� ���� "��� �� ��������� �� � ��� �� �������� �� �� �������� �� ��� �� � ��� �� ���� ��� �������

+�� ��� ����� � ��� ����� ���� � ���� ������� ��� "������ ��� �� ��������� �� ��� �� ��� ����� �������� ��� ��� ��� ����� �� ��� ������� �����������# ��� �� � � �� ������ � ��� ������� �� ��� � ��� �� �� � ����� ��� ����� � ��� �� ����� ��� 6���# ��� �� ����� ��� ���� � ����� ������� �� �� ������ � �� ���� ��������� � � ����� �� ���������� "��� ����#�� �!����# $:#(%*� 6�� � �� ������ �� � ��� �� ��� � ���� ��� ����� �������� ��� �� ��� ��� � � � ��� � ������ ��� ��� ������@ ���������� �� -��A��� ��� 4��� � $''* +������� �� ������� ��������� �� ��� ������� ������ ��� � ��� �� ��� � ����� ��� �� ����� �� "��� � ��� �� �� �������� � � 1� ���� ������ �� ������� ������ ������ � �� �� �� �� ���� ����

(

Page 3: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

��� � � �� � ����� �� � ��� �������� �� ����� ����� �� B��� �� ( '�#��� � ��� �� �� � ���� ��� �������� � ��� ���� ��� ������� �� � � 1� �� ���"�� ��� � � �������� �� ��� ������� � 1� 6�� ������ ����# ����# ��� ������ �� ��� ��� ��� ��� ����� �� �� �� ����� ��� ���������������� ����� �� �� ��������� ��� ����� � ����� �� � �-.- ������� "� � � ����� �������������� "�� ;� ��� ��� ����� ������ �� �� ��� � ��� �� ������ ����� ���� ����� �� ��� �� �� ��� � ��������� 2��� ������ ��� ��� ������� �� ���� ��� �� �� ��� /����� ����� C�����# �������� �� �� �������� �# � ��� �������� ����������� "��� � ���� ������ ������ ����� �� � ����� ������� ������ ������� ���# � ���

6�� ������� �� � � ��� �� �� � ���� ��� ����� �� �� ��� ���� �� ��� ����� �� �� �� ���� ��� ������� ���� � ��� �� ��� ���# �� �� � ��� ��� � �� ���� �� �� ��� ��������@ �������� ��� �� � ����� �� ��� �� ��� "� � ������ ��2 ��� ��� ������ ��� $D* �� ���� �� ��� � ������ �� �� ����� ����� �� ������ �� �� ���� "�! ,� ��� ������ ���� �� ���� ���� �� ����� ��� ���� "������ ��� ��# �� � �� � ��# ��� �������� �� � � � ��� "�� ����� +��������� � ������ �� ������ �� �������� ���� �� ���� ��� ������# �� ���� ������ � � ��� ���� "��# �� �����# � ���� � ������ ��� �� ������� ������� ������ ���� ������ �� ��� ������� ������ �� �� ������ ����� ��������� �� ����� � ������ �� �� ����� ��� ���� �� � ��� � ������ ��� ���� �������� $&* 9� ������ �� �� �!������ � ����� ����� � ����� ����������� ����� ������� ���� ����� �� � ��� � ��� ���

+��� ���� ������ ��� �� �������������� "��� �� ����� ����� ��� ���� � �� ��� ���������� ���� ��� ���� � �� 89�� ��� $(D*# ��� ����"� �C� ���� �� ���� �� ������1�� ��� 2� � $'#('* ��� ��� � ��� � ����� ��2���� �� �� $=* ���� ��� ���� ������� ������� ��� �!������ ���� �� /��� �� ��� 2 � $')* 6�� ����� �� 2���� �� �� ����� �� ��� �� ����� ���� C������ �������� 6���# � ���� �� ����! �� ��� �� ���� �� ���� ������ ��� �� ����� ��� �� ��� ����� ���� ���� �� ��� ��� ����� ����� ,��� ��� ��� �� ���� ��� �� �� '&&=# 2� � ��� ������1�� $7* ������� ���� ��� ���� ��� �� ��� ���� ��������� ��� ���� ����� +������� ������������� ���� ��� ���� � �� 89�� ��� $(D* ��� ��� ����"� � C� ����� �� ���� �� ������1�� ��� 2� � $'#('* ��� ���� ��� ��� ����� �� ����� ����� ���� ���� ��# ��� � ��� � ����� �� 2���� �� �� $=* ��� �� ������ � �� �� �� �!�� �� � �� � ����� �� 2� � ��� ������1�� ���� ������ � ����� � �� ��� ������� �� 2���� �� �� �� �� �� ��� �� ��� ����� ������ �� ��� � ��� ��� � � 6���� �� �� �!���� �� �� ��� ��� � ��� �!����� �� �� ��� ����� ���� �� ��������� �� 6�� ���� �� ������������ ���� � ����� ����� ����! �� �� ����� �� ��� ��� �� ��� � �� ��� ��� "�!����� �� �� �� ��� ���� ������� ����� �� ��� �� �� �� � 6���� �!���� ���� ��� ��� �� �� ��� ����� �� ���������� ��� 6�� ����� �� ����� �� ����� ����� ���� ���� �� ��� ��� ��� ��� �� � ��� �������� �� 89�� ������ ������1�� ��� 2� � .������ �� ������ ��� � ������� ��� � ���

7

Page 4: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

����� �� ��� ��� ����� �� ����� �� ���� �� ��� ��� ����� ������ �� ����� ������ ��� ���� ������ ��� .��� ���� �� �!�� � � ����� �� �� ��� ��������� ���� �� � ��� �� � �� � ���� � ��� �� ��� ��������� � �� ������ � 6�� ����� ���� ���� �� �� �� ����������# ������# �� ��� � ��� ������ �� � ��� �������� �� ����� ���� �':��

6�� ���� � ���� 1�� �� ��������

,� B��� �� ( �� ����� ��� �������������� �� ����� �� �� � ������� ������� � ����� ��� ������� ���� � ��� ���� � �� �� ���� ��� �� ��� ��� � ��������� -!�� � � ������ �� ��� � ����� ���� ��� ��� �� ��� /����� ���������� �� ���� �����# ���� ���� ������� � ����� �� ��� ������� �� ���� ��������� �� ,� B��� ��� ( ' � ( 7 ���� ��� �� ��� �� ����� �� �� ������ ����#��� ����� ��������� � �!��� ��� ��� �� � ����� ��� � ���� 1�� �� �� ��� ��������� ��������

,� B��� �� 7 �� �������� ��� ���� ��� �� �� ��� ����� �� ��� ��� ��� ����� �� �� ��� ������� �������� �������������� "�� ���� �! ���� ������� �������������� ����� �� ��� ��� "�� E������ �� �������� �� � �-.- "� � ��� ����� ������ �� ��� �� � �� ������� ��� ������� � "�� ������ ������ ,������� 1�� �� �� �� ��� � ����� �� 2��� ��� ? ��� $3* �� C������ ���������# �� ���� ���� ��� ��� � � � ����� ���� � �� ����� �# ��� ��� ��������� � ������ ������ �� �� ��������� �� ��������� ��� "�� ��� � ,�B��� �� 7 ( ��� � ���� 1�� ����� ��� � � � ��� ���� ���� ��� ��� ��������� �� ����� �� ��������� � ���� � ��� ��� ������� ��� ��� ����� ������� ����� � ��� ������� �� ��� ������� ��� ,� ��� ��� �� ����� �� ������ ������ �� ��� �� ��� ����� ���� � ��� � � � �� �� ��� ��� ����� ,� ���������# ������� ��� �� ����� �� �� � �!������� ����� ��� �� ������� � ��� 2��� �� ���� �� � ���� �� /������� ������ �� ������� ������� ������ ��������� ��������� � ��� ���� � �� �� ����� � ����� ���� ��������� � ����� �� ��� ������������������ ����� ������� ��� 6�� � � "��������� �� ���� ��� ���� ��� ��� �� ����� ���� �� 2��� ��� ? ��� $3* ��������� ��� ��� 2 ��� $(&* �� ��� ���� �� ����� �� �������� ��� �� C��������� ������ ����� ��� �� �� ����� ����� ��� �� ������ ��� ������������# ����� �� ��� ����� ������� ����� � ��� � � � �� �� ��� ������� �������� "����� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ��� ������ ��

;� �������� ��� ���� � �� ��� ������ �� ��� ��� �� � �� �� ���� ��� �� ���� ��� � � ���� ��� ����� ������� � ������ �� � ��� � ������� 6���� � ���� ��� ��# ������# ������ �� � ���� ����

=

Page 5: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

� � ������������ ������� ��� ��������������� ����

,� �� � ���� �� � �� ���� �� ��� �������������� "�� �� � � ���� ����� ���� �-.- �������� � � .����� �� ������� ;� ������ ��� ��� � �� �������� ��� ��� ����� � � ������� ���� �� �� ��� �!�� � � � �� �� ��� ��# ���� F �� � �� ��� �� F �

���� G ��� ������� ������# ������ ����# � �������

���������� ����� ��� ��� ��� � �� ����� �� ��� �������@� ����� �� ���

4�� ��� ������ ��� ���������� �� �� ����# ���� �� F '� (� ��� ������������ ��� � ������������ ����� �� �� ��� ��� � �� �� ��� ��� ������� ������� � � � �� �� ���� ��� 6��� ��� �������������� �� ����� �� �� ������ � F ����� ��� �� �� �� � ����

��

��F� �

���������� � '

� ��� � ����

� �

���������� � '

� ��� � ����

�G��

���

����G��

���

����� �'�

,� ��� �� ��� ���������� �� ����� �� ��� � ��� �� ����� �� �'� �� ���� ���� ��

���

��F

����

(��

���

��G

( �����

�G ���� ��(�� ��� G �(����

G�

�������

(�

���

���� ���� ��(� G ��� G �(��

(��

�� �(�

���� �� ����� �������� �� F ������(� ��G�(� �� ;� ���� � ���� �� ������� ����� ���������� "�� ������ �� �� �������� � �������� ������ ����� � �� �����(����� G�(� F ������� ��� �� ����� ��� �! �������� � ����� �� � ���������� �� �� 6��� ���� ��� ��� �� ��� ��� � �� �� ��� �������� � �� �� �(� ����� � ��� ���������� "�� �� ����� �� � �� �� ����������� ����� ��

,� ��� �� ������ ��� ���� �� ������� �� � ����� ��� � �(� �� �������� ������� �� � ������� � ������ ����� ��� � ������� �� � "�� ����� � 6��� � ��� ������ �� ����� ��# ��� #

�# �� �� �� �������� �� ��������

�� F ���� ��� F ���

� F �� �� F ��� �� �7�

���� �� F��� � ��� �!������ ��� ���� �� ��� �������� �� ��� ����

������ ����� �� � C������ ������� �� ��� � � � ;� ���� ����� � ����� ��� ���� �! � ������� �!���� � � ��

�� ��

�� F ��

��� ��� � �������� �� � ���!�� �� � � � ��� ����� ��� �� � F �= 6�� � ��� ������

D

Page 6: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

����� ���� ���� �� ������ ��� ������ ���� �!������ �� � �� �� �� ���>����� ���� �� ��� ��� �H����� ���� �� 6���� �� ������ � ��������� �����!� ��

�� F ��� �� F (����� �=�

6�� �H����� ���� ������ ��� ������� �� ������� �� "�!�� �� � ��� ��"�!�� � ��� ����� � �������� ; �� ��� � ��� ������ �� ����� ��� ����� �������� �����# -�� �(� �� �� � ���� ��

���

��F

����

'

(��

���

��G

'

(�� ����� G ���� ��(�� ��� G �(����

G'

��

����

����� �D�

����# �� ������ ����# �� ���� ������ ��� ���� ��� �� ��� ����� ��� ���� 1���� ����� ��� �

��������� ��� ��� �� �� ��� ��

��F

��G

���� ��(� G ��� G �(��

(� �

���� �:�

0��� ��� ����� ��� ���� 1�� �� ���� ��� ����� ��� ���������� �� ������ � � ����

��� F�

'� ��

� �3�

;� ���� �� �D� ���� ��� � ��� �� �� � ��� ����� ��� � ���� ��� (���� F����=�� � �� ��� ��� ���� �� ���� �� ��� � ��� �� �� � �������� ������� 6�� �� � ���� ��� ���� �������� �� 2���� �� �� $=* �� �������� �� ��� �� � �� � � ��� �� ������ ����� �� � ������� �� � ������ ����� ����� ������� � "�� 6� � �� � � ������� ��� ���� � ��� ����� ���������')��� �� ��')��� ���� � ' � $=*� 6�� � �� ��� � ������ ������������ ��� ���� ���� �� ��� �� ��� ����� �� ��� ����� �� �� �D� ��� ������ � �� �� ��� ����� ���������� "�� �-.- ���� �� ���� �� �� ���� � �� � ������� ����� 6� � � ����� � �� � ��� � � ��� ���� ��� ���� ���� ������ �� ���� � ������� � ��� ���� � ��� �������� ��� ���� � ������� ��� ��� ����� ���������� "�� ������ �� � ��� ��� �� ���� �� �� � ������� 6�� ����� �-.- ���� �� ���� �� ��������� �� ��� ����� "���#���� ������� � ������ ������ �� ��� ����� ���� ��� ��� ��� �������������

;� ����� ���� -��A��� ��� 4��� $''* �!������ ��� ���� ���� ��� ����� ���� � ��� �� � ��� ����� ����� ������ ��� ���� � �� �� ��� ��� ������#������ ���� ��� � ��� � �� ���� ��� ��� C�����# ��� ��� �!�� ����$7'* ����� ���� �� ����� �� ���� � 1�� �� ��� ���� � ��� � �� ���� �������� ����� ��� ���� �� ��� � ��� � ����� �� ��� ��

:

Page 7: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

��� ������ ����� ���� ��� ���� ������ � � ����

;� ������ �� ��� �� ��� "�� ��� � �� I ��� ����� ���� ��� �������J F �I � �� ��������� ���� ������ �� 2 ��� ��� ������ ��� $D#(&*# � ��"�! ���� � �� � K�� � � � F ) �� J � �� ���� ����� � � ���� �� �� ���������� ���� ����� �� � K�� � �� F '� (� +��� �� ���� ���� � � F ) ��J# ��� ����� �������� ������� ���� ������� ����� ��� �� ��� ������� ��������� �� �

����

���G ��� � ����

�� � F ) �� �� � J� �%�

��� �� � �� �� ���!������ � ��� ������ �� �������

��� (

����

��G

'

�� �����

��� � F )� �� �� �

(� J� �&�

���� ��� �� �(� ��������� �� � ���� ����� �� �� F ��������# ������ �� ������ ������������ ���� ���� �� �( � I ��� �� �� ������ �� �� ���� ��������� �� �����# �� �������

�����

���

���� ����� G

���

�����

���� G �(�� ��� ��(�� � ���

���������

F���

�����

��(��

���

��G

(

� �����

�� ���

������

����

�����

�(��

���

��G

(

� �����

�� ��

�������

G��

(�

���

�����

����

����� ������ �')�

���� J����� �� ��� ���� �� ��� ������� ��

����� F � � ��� � ������� � �� �( � I��

�� �� �� ���( � J ��� �� ���� ���� ��� �������� �� ������� ���� � ���� F �� F ) �� ��� F ���� +����� �� �� ��� ������� ���� � �� �&� �� ������� ��� ���� �� �')� �� �� ����� �!������ ��

���

�����

���

���� ����� G

���

�����

���� G �(�� ��� ��(�� � ���

���������

F���

�����

� ��

���

���� ���

������

����

�����

�(��

���

��G

(

� �����

�� ��

�������

G��

(�

���

�����

����

����� ������ �''�

3

Page 8: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

;� ����� ���� �� ���� �� ��� � ���� 1�� �� �� ��� ���� �� �''� � B��� ��( 7

��� � ��� ����

6�� �� �� �� ��� � �� � ��� ������ ��� ����� ������� ����� �� �� ����� �� ��� ���� ��� �� �� ��� ����� � ����� ����� �� � �� �� � � �� ��� � ������� � ��� �� ��� ��� �� �� ���� �� � �������� ������ �� ��� � �� �� ���� ��� ������� � ����� ������ ����� �� ����� ���� �� ������ ���� �� �� � 6���# ����� �� ��� ����� /����� ����� ����� �� � �� � � � ������ �� �� �������� � ��� ��� ��

� F �� G �

� G �� �'(�

���� �� ������� ��� ������� ���� ��� ��# �� ��� �� �� ���� �� ���� ��� ����� �

��� ���� �� �� ���� ��� �� -!���� ��� �� ����� ���� ��� ��� ���� ���� �� �������������� "��� ���� ��� ���� �� 2 � �� �� $:*� ��

�� F ��� G � ��� �'7�

����� �� F

��

� �

��� �������G ��� '(����� �� �� ��� �'=�

����

��� �� F �(���� ���� �� �'D�

�������� �� F

������ G �(��� �� ��� �':�

� ��� ����� ���� ���� �� ,� � � �� ��� ������� ����� �� � �'=� ���

������

������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������

����

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

n

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

1

1 2

2R

r+R/2

r−R/2

r

s=1

s=0

���! 1! &���� � ��� �� �� !

�':� �� ����� ���� �� � ��� �� 1�� �� L��� ����M �������� ��� � # �����

%

Page 9: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

���� ��� ���� � ���� ������ ��� "�� ��� � 6�� ������ �� � �� �������� � ��� �� ���� ������ ��� ��� ����� �� ��

,� �'7� � � � ������ ���� ��� �� �� ��� �������# � � ��� ������� � ���� ����� �� � ��� ���������� � ����� � G �� �':� ����� ��� ������� �������� �� ���� ��� ��� � ����������� �� ��� ����� �� ��� �������� �'=� � �� ����� � ����� �� ��� ��� ������ ����� �� 2 � �� �� ���� -� �'7 7�D��� $:*� ��� ����� ������� �� ��� ���� ���� �� ������� ���� �� +� ����� � � � '# �� ��� ������ � �� �� �� ) �� ' ��� �������� ��� �� ���������� ������ ��� ������ �� ��� � �� �� ��� �� �� � �� ��� � �� ����� � �� ������������ �� ����� � �� ���� L(M ��� �� ��� � �� ����� � �� F )� �� ����� � ������ L'M �� �� �� ��� � �� �� F '� ,� � � � �� � ���� ����� �� ��� � ������ � � ����� G �� � '(����� ���� � ��� �!������ ���� �� ��������� �� ���������� ����� � ����� ������ �� ��� � � � � ���������� �� �� �������# �� �� ��� � � ��� ��� ������� �� � � ������ �� � '(�� � � �� ���� ��

+� � $:* ��� ���� �� �� ���� ��� �� � � ��� �� �� �� �!�� ������ ������ ��� � ��� �� � ����� ����� ��� ���� ������ � ��� �� ��� �� ���'D� .���# ��� �� � $:*# ������# ���� ��� ���� ���� �� � � ���# � ������#��������

��� ����� ��� ��� �� ������� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ����� ��

E��� �� ��� �� ��� ������ ������ �� ��� �������� � �� �� �''� ��� ��� ������� � ��� ��� ��� $&#'&*# ������� �� �� ��� �� ������ �� ��� ������ �� �� ��� ���� �� ��� �������� �� ����� ������� � F

�� ���� � � � �� �

��� "�� ��� � �� �� ��� �� ��� ���� �� ������ �� � ����� 1�� �� �� � ����� ��

�������� �� F ����������� ��� �'3�

���� ���� F�'� ��

�����

��� ��� � � '# ��� �� � �� ��� ����� �''�

� ��� �� ��� ��� �� ���� � 6� � ������� ��� ���� ����� $&#'&* �� ����� �� ����� �� ���� � ��� ���� �� � ����� �� 1�� �� ��� ������� ���������� �� �����

�� � ����� ��� ���� ����� ��� ��� ��� �� ������ 1� �� ���� � ��� ������ � �� � ���� 1� ��� ���� ����� �''� �� �������� �� � ���� ��� ����� �������� �� � ?���� � ������� ����� � �������� �� ����� ;��� � ���� � �� � ���� � ������ ��� ������ �� ������ �� � ���� ����� ��

�� F ��� F ��� �� ��

�� ����� ���� �'%�

���� Æ � � ����� ����� ��# �� � ��� ��� � �� ����� �� ��� ��� ���� �� �� � ����������� �� � � ���� �� ��� ��� � ���� ��� "�� ��� � ��� �� �� ��� ����

&

Page 10: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

�� ��� ����� �� ����� ������ � ���� � ,� ���� ���� �# � �� ����� ��������� N� �� 4����� �� ���������� �� � ?�����4�������4������ �?44� � �������� �� ���� � � �� �� ���� �� ��� ���� ��� � �� ����� ��� � �������� �������

+���� �� O� �� ������ � � � ���� ��� ��� � N� �� ����! �� �� �� ���� ��� �O��#

���� � ��� ���� �������� � �'3�# �� �� ��� �� -��� ����� �� �''�� �� �� �� � � ������� �� ��� ������� � �������� �� ����� ��� ���!�� � � ������� �� ����� � ���� ��� ������

������

������ � ��

O�

��� ��

G������

���� �� � �

��

���

����

� ���� ��

���

G������

�(��

��

���

����

�G

(

� �����

����

�� �

��

���� ��

���

F������

�� ��

���

���

��

�� ���

���

G������

���

(�

����

����

��

��

'

(���� ��(� G ��� G �(�� � ��

���

��

��� ���

G������

����� ��� ��� G �(� G ��� ��(�� � �

�����

�� �

���� ��

���

��� � N� ��'&�

���� ����� ������� � �� ����� ����! �� �� �� ��� ����� �� � ���������� ��� F �O� ��� � F �� .��� ���� ��� ����� �� � ������ ��� G�(�� ��� ��(� � ����! ���� � ��� �� � � ������� �� ������� � �������� ������� �� ���� �� 6� � ������ �� �� ��� ��� ���� ����� �� ��� �� ����� �� �������� � $'&* 6�� �� ���� ��� �� �� � ����! �� �� � ������������ ��� �� � �� ����� ������ G�(�G��� ��(�� � ��� �!�� � � ����� �'&� 6�� ���� �� � ������� ��� ���� ����� � ������ ��� ����� ���� ����� ������ ���� � �� �� ��� ����� + ?�����4������ �������� ����� ��� �� ���� � �� � ���� �� ��� ������� �� �� ��� ������� ��� ���� � 6��������� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� � � ���� ��� ����� ����� �� �� ��� �������� � �� �� �'&� � ������ ������ �� ��� �� � �� ����� �� ������ ��� ����� ������ �� � 6������ � ������ �� � �� ��� �������� ������ ��� � ������ ������ ��� �� �� ��� ���� ��� �� ��� ��� � � ������ ������ ��� �� ����� �� ����� ���� ���� �� � ��� ������ �� ���� ����� � �� ������ � ��� �� �������� � ����� ����� ��

�� ����� �� � �� � ���������� �� � �������� �� ����� �� �� � ���� �� ������ .� ���� � ����� ����������� �� � ���� 1�� ��� ���� ��� ��� � ������ �� �� ���������� ���� ����������� "��� � ��� �� ����� � �� � ���� �������� �� ����� �# �������� ��# ��� ��� �� ��� ���� ��� �� ���

')

Page 11: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

>��� �� �� ��� ����� � ���� 1�� ��� ��� ����� �� ���� �� � ��� ���� �� �� ��� ���� ����� �� ��� ��� � ��� ��!� ���� ��

� � ��!��" #������! ��������������� !����� �������� ���$

;� ��� � �� �� ����� ��� ����� ���� ��� � ��� ����� �� ���� �� �� �������������� ������� ����� �� ��� ��� "�� �� � �-.- "� � 6�� "�� ������� � ����� � � � (��� ��� ���� ��� �� ��� ������ � F � ������� �� �� �� ���� ����� ����� �� "��� ���� � �������� ������ ��� ��� ;� � �� ������� � ����� �� �� ��� �� �� F ������� ��# F ������ ��� )�# � F �� GP���� ������ � � ��� ����� �� ����� ����� �� ������ ��� ��� 6�� ����� ���� �������� �� �� ����� ��� �� � ���� ���� ��

!�����

F� G ��������

G���

��

��� �()�

�P�

��F���

��

��G��

��

��� �('�

���� ! � ��� "� � ���� �� 6�� ���� ����� �� ��� �� �������� �� � �� ������� �� �� ��� ������ � F �� G ��

�� G ��� G "#���

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

�������� y=−d

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

y=d

������

������

������

������

��������

��������

��������

����

��������

��������

��������

����

��������

��������

��������

��������

����

������

������

��������

����

����

��������

��������

����

��������

������������

������������

����

����

����

����

��������

��������

��������

����

����

����

��������

��������

��������

��������

����

����

��������

��������

��������

������������

����

����

���

������

���

��������

������

��������������

����

��������

������

������

���

���

����

����

����������������

������

������

��������

������������

������������

���

���

������

������������������

������������������������

���

���

������

������

��������

����

���

���

������

������

��������

����

����

��������

������

������

���

���

����

��������

��������

����

��������

������

������

��������

��������

��������

���! >! 0�5 ���� � �� �� ������� ����� ��� +���� ������� ��� ����% 0�5 ��������� ��� ����� �0�5 ��� �� ����� #���� �� �� � �� � �������� +�����<��� ������

��� ��� � ���� ��� � �� �������������� "�� ����� ���� ������� ������ �� � ����"� � C� ���� �� $('* � ����� ��� ��� �� ����� � � �� � �������������� ��� ������� ����� ������� $(7* ��� �� ����� ��� ���� ������ ���� �� ������ � ��� � �������� � 6�����/������ ����� $'* E��� � ��� ����"��� �� C������ �������� ���� ���� ���� �� ��# ������ �����# 2���� ��

''

Page 12: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

�� $=* �� �� � �� �� � ������ ����� 2 ��� ��� ������ ��� $D* ���� � 2���� �� ���� �� � ���� �� �� � ��� ���� "�� �� �������� ��� �� ���� �C������ �� �� ���� ��� ��� � � ��� ���� ��� �� ���� �� �� �� � �������# ���� ��� �� ��� �-.- �� �� ���� ��� �� ���� ������ �� ��������!���� �� � 6�� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ������ �� ����� ���� �������������� �������� ��� "��� �� ��� ��� ������� ����� ��� $(&* 6�������� ��� ���� �� � ��� ����� ���� B��� ��� ( ' ��� ( 7� �� ��� ������� ��� ��� "�� �� �������� ��� �� � �-.- ���� ��� � ����� ��� ��� ���� �� �� �� ��� ��� ���� �� ��� �!���� �� � 6�� ������ ������� ������ 1����� ��� ���� ����� ,� ��� � ��# �� ��� � � � ������ � B��� �� 7 ' ����� �-.- "� � ������ 1� ��� � ������ �� 2��� ��� ? ��� $3* �� C�������������� ,� ��� ����# �� ���� ������ ����� ���� ��� ����� ���� �� ��� � �� � � �� ����� � � �� ��� ��� ���� ����� � ������ ������ ��������� ��

��� ����������� ���� �� ���

,� �� � ������� �� �� ��� 1� ��� ��� ������ �� ��� � ��� � ����� �� ��-.- ������� ����� �� ���� ��� � � � ���� � ��� � ��� ������� ����� � � � (��� 6�� ������ �������� ��� ������ 1� ����� �� 2��� ��� ? ���$3* ��� ���� ���� C������ �������� � ��� � � �

; � �� ��� �� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ��� � � � ����� ����� �� ����

� �� �� ����� ���� +����� ! +� ����

������� � ��

����� F �������������

������������

��� �������

������ �� � )� �((�

����

����� F $

�'� ����

�����

����

� �(7�

� ��� ��� � � � ��� �� ��� �����������"�� �-.- ���� ��� $ � ����� 1 �� �������� 6�� ������ �� � -�� �((� � �� �� ��� ��� ��� ��������� �� C���� ��� ��� � � � ����� ���� � �� ����� �# �� ������� ��2��� ��� ? ��� $3* �� C������ ��������

6���� �� �� �� �� ����� � ����� ���� �� ��� � � � �� ����� �� ��� � ���#���� � � ���� �� ����� ������ ������� �� � ��� ��� � � � ���� � ��� � ���

� ���

��� G �

��

�F %� �(=�

6� � ����� � �� ��� � +����� ! +

'(

Page 13: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

��� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ����� ��

����� ���� ��� ��� �! ���"� �"�� �� ������� �����

�� ��� � ��� ���� �� � ����� ��� ���� "�� � � ������� ��������� � � � (��� � � ���� 1�� �� �� �� ���� ���� ���� ��� �� ��� �� ����� B ��� ������ ������ �� �������� �� ��� ��� ������ �� � F �# �� ������ ����������� �� �� ��� �� �� ��� ?�����4������ �?4� �� ��� �� �� F '� � � � � %������ ��� ��� �� �� ��� ������ %��� ����� ���� ��� ������ ���� �� .������� �� � ��� �� �������� �� �� ��� ���� ��� ������ ��� ��� �� ��� � � ��� ������ ������� �� ��� �� ��� �� �� � �� �� �� ��� ������� ��������� �� �������� 1�� ����� ��� ���� ����� ����� � � (��� ��������� ��� �������� �������� ���� �� ��� � ����� ��� ��� �� �

;� ��� ���� ����! �� ��� ��� �� ������� �� �� � ����� � �� �� F �O� ���

� ����� ���� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ����� �'&�# �� ���� � �� ����� ��

������ � ��

O�� ��

�����

G &������� � ���

F ���

���

���

��

��

� ��

����

G��

(�

�����

���

��

� ��

�����

G

������� � ��(�� ����� G ��(� G

�������

����

��

������

��� � ���

��

�����

��� � N���(D�

���� N� ������� ��� � ���� 1�� �� ����� � �������� �� �����# ��� ������ ���� ��� ������ ��� �����# �� F ������ ���

&���� �� F

�(��

������ G

(

� ������

��

���� �

������

G�����

����

���

������� � ���

�����

� �(:�

0� �� � ������� ����! �� �� �� ��� �� ��� �� ����

� ��� ������� ����

'7

Page 14: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

���# �� ���� ������� � ��

O�� ��

�����

G &������� � ���

F��

������ � ��

'��� ��

����

G��

(�

�����

���

��

� ��

�����

G

������� � ��(�� ����� G ��(� G

�������

����

��

������

��� � ���

��

�����

��� � N���(3�

���� ( � ���� �� ���� ���� � ������� ����� ��� '�� F ����� � ��� ,� ����������� ����� '�� � �� ������ ��� ���� � 1� ����� � ���

-���� �� �(3� � ��� ����� �� ����� ��� �� �� � ���� ��� �������

���

�� �� �����

�� �� ���� ��� 6� � � ����� ������ � ���� ��� ����� ������� ���� ����� �� �� �������� �� ����� ���� � � ���� �� ,�����# � ���� � ������ ���� � �������# ���� �� ��� ��� ��� ������� ������ � ������ ����! �� ����

���

���

��

��� F(

'�� G '��

���������� ��

����

'��G��������� ��

����

'��

��

9���� ��# �������� � ��� ������ ��� �� �������� ������ � ������� ���

��! �� �� �� ������

������ ��� �� �� ��� ������� ���� � �� �%�

#���� � +������� ���� ������� � ���� 1�� ��� � ���� ��� ����� �� ����� ��� ����� ���� ���� ���� �� ��� ��� ��� ������ �� �� �������� �B��� ��� 7 7 ( ��� 7 7 7 �� � � �� ��� ���� �� ������� �� ��� � �� � �� ���� -!���� �� �� ������� ��� � ������� ����! �� ��� �� ��� ��� ��� �������� ��� ��� �� � � �� ������ �� � �� ��� ��� ��� ��������

����� ����� ��� ��� �� ���$��� ��� �����

�� ���� �� ��� �������� �� �������� �� ����� � ��� ������� �� �� ��� � ��� �

�� ��� ��� �������� ���� ��� � ��������� ����� ��� ���� �� F (���

����� ;� ������� � �� � �������� ��� ?44 �� ��� ������ � ����

� �# � F '� � � � � %�� #

( F '� � � � � %�� # ��� ���� �!���� � � ��� �� � ����� 1�� ��� � ���� �� ��

�� 4������ �������� �� ������ ��� ����� ���� ����� �� ��� 6��� �# ��� ��

������ F

���

���

���

���

������

�� ���� �

� ����� �(%�

���� ��� ���� ���� ������ �� ��� �� 1�� �� ������ ��� �������� �� �� � �

�� ��� ���� �� ��� � ��# � ���� ���� ������ �� G �����

� �� � � ,� ���� ����# ���

'=

Page 15: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

� ����� ����� N� �� �� �� ���� � �� ��� ���� ����� ��� � �������� �� �����������# � ������ �� ���� �� �� ������ ��� �

� ���� �� ���� � �� �� ( ���� ����

������ �� G �����

� �� � � �� ��� ������ �������� � B��� �� 7 7 �� ���� �������� � �� � �� ��� ���� �� �� ��� %�

� ��� %�� � ��� ��� � ��� ��� ����� ��

��� �������� %��� �����# ���������� �� �

;� ����� ���� ��� ������ � ��� ��� ����� �� ( � $&#'&* ��� ���� � ��� ������� �� �� �� ������� �� � F

�� � ����� ����� C�����# � ��� ������

������� � ����! ���� �� �(%� � ������ ����! ����� 1�� �� � F��

�� ���� ��� ������ � �� �� ��� ����� �� �� �� ���

6�� �������� �� ���� �� � � ��� � F �� �� �� ������ �� ����� ������ ���� � ����� �� $'&* �� �� �!������ �� �� ��� � � ���� �������

����� %���� � ��� �! �� ����� ����� � ��� ���� �� � ��� ��

> ��� ������� �� �� �� �� � � ����� �� ��� �� �'=� ����� ������ ��� �������� ��� �� � ������� � ����� �������� �� ������ ����� ;� ����� ����� �� ���� ����� ������� ��� ���� � �� ����� �� ��� ���� �� �� ������� ����� �� ������� �� �� �� ���� ���� ��� ������ ���� �������� ���

,������ �� �'=� �� ��� �� ���� ���

� �

���

���� �� �����

F� �

��

��

� �

��� ������� G ��� '(������ �� ��� ������

F� �

��

��� ���������� ��

�� �

�� �� � ��� '(������

����� �(&�

��� ���� ����� �� ��� ��� �� �� ��� �� ) ���� �� ��� ������ ���� �� ;� ������ ��� ����� �� ��� ���� �������� �� 4����� �� ������ �� '���� ����� ����� ���� ��� �������� �� �� ��� ��� �'����� F ��� ��� �������� ��� ������ �

���� �� �� �� �� ��� ?�����4������ �������� ��� � �� �� ���� )�����

��� ;� ���� ���� � �� ����! �� �� �� �� �� ��� � � �� ���

������ ��� F

������

)�

)�

�����

� ����������

� �

�� ��� � ��� '(���� �����

�7)�6�� ��� ��� ��� �� ���� �� �� ��� ������� �� �� ��� ���� ���� ���

����� ��� F������

)�

)�

�����

������� ��� � ��(� ��� �7'�

'D

Page 16: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

��� &������� ���� �

6�� ��� ��� ������ � �� � ���� �� � �� �� �������� � ��� �� ��� � ���� ������ �� ���� �� + � ��� ������ ����� �� ����� �� ��� ��������� ���� �� �� �� ������ �� ������ ��� ���� # ������ ����# ������� � ��� ������ ����� ���� ���� �� +���� ����# ��� ������ �� � ��������� ��� ������ � ��� �� # ��� �� ��� � ���� �� ��� ��� ;� ������ ��������� �� ������ ����

�� F 7# � F )�(��� ��� 6�� � ��� ������ ������

��� ��� � � F ����� �� � � ��� ����� �� ( � ') 6�� ���� %�� �� ?4�������� �� �� ��� � ��� ����� ��� ��� ���� %��� �� ?44 �� ��� � ����� ��� �� � �������� �� ����� ��� ������� ': ��� 7) 6�� � � ���� O� ���� ����� �� )�)'� �� � � F ( ��� �� )�))(D� �� � � F ') ;� ���� �� ����1�� E������� ���� "��

+��� ������ �� � �� ������ �� �# ��� ��� ����� ����� ����� �� �()�������

������

F ��� � ���� G *� �7(�

����# � ������# * � �� ������� �������� ��������� ����� �� 1�� ������ � ����� �� ������ ��� ;� ����! ��� ��� ����� �� �� �� �� �� ���� � ���� �� �� �� �������� �� ������ ��� ����� �� � ?44 � � �� %�� G '�� ��� 6�� � ����� ����� �� ���� � �� ��� ����! �� �� �� ��� ����� ���� ���� �� ���� ��� �� �������� �� �7(� �� ��� �� ��� ���# � F '� � � � � %��#��� ���� �� �� �� 1�� �� � F � ;� ���� ���� %�� G ( ����� ��� �� ������������ �� �� ��� *

,� ��� �������� �� �� ��� ������ �� ����� ��� ������� ������� �� ��������� �� �

���

F'

���

� �77�

�� �� ������ � ������� �� � ��� � � � ������ ����� �� ��� ������� ����� �� �� ��� ���� ������ �� � ������ 6���# ��� ����� ��� ����� �� ��� �������� ��� �"����� �� ��� ����� �� ��� "�� ������� ���# �!���� �� �� ������ ���� �� � ������� ���� ,�����# �� ��� F ) ��� ����� �-.- ����� ���� ����� �� ��� ��� "�� � �������� +� ������� �� ��� �� � �� �� ��� �

� �� ��� ������ ���

%���� ���� ��� >����� ���� �� ��� �H��������� �� ���� ���� �������� ������ � B��� �� (

����� ����������

,� � � 7 �� ��� �� ��� ��� ������ �� � ��� ���� ��� F )�' ���� ����� � � � ��

�� � ����� ����� ���� � ����� �� ���� ��������� ��� ���

������� ��� ������ � F � ,� � � = �� ���� ���� �� ��� � � � �� ������ ��

':

Page 17: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

Str

ess

/nav

gkT

-1 -0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xx

yy

σσ

C

C

���! .! ������ ������� � �� �� � ����������? ���� @ =�1% ��� @ >A% ���� @ >=!

y/d

Str

ess

/nav

gkT

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2

σCyy

σCyy + σK

yy

���! A! ���� ��� ���� B ��� � ����������? ��� @ >A% ���� @ >=!

��� F )�)D# )�( ��� ' +������� ���� �� �� ������� � �� � � ��� �������

����� ��� ���� ���� ����� ���� ���� G �

�� � � ��������# � ������ �� ���+ '3�

'3

Page 18: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

v x/(

d/

)

-1 -0.5 0 0.5 10

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2

λ

���! 4! C���� � ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!

����� '���� � � (�� ���(����������� '��������� )��� �*�� �! "���� ���

,� � �� D�: ��� ������ �� ��� ������������ � ��� ������ ����� �� �� ��� �� �������� ���� ���� �� �# ���������� � �� �� ���� �� ����� �� � ��� ������������ ��� ��� � � F ( �� ����� �� � ����� ������ �� ��� �� ��� F) ���� ������ �� ��� ���������� "�� �-.- ����� ��� ����� �������� �� � � �������� C�����# �� ������ ���� �� ��� ������� �� ) �� ' ������� ������ ����� ������ ��� ����� ����� �� ��� ������� ����� � F� ������ ��� ����� �� ��� ������� +� � ����������� ��� ����� �� ��� ����������� ��� ��� ����� � ��� �� � ��� � ��� ����� ���� ����� ��� �������� "������ ��� ��� ������� ����� � ��� ��� ����� � ���� �� ������� ���� 6���� ������ �� ���� �� ���� �� �� ������ ��� ���� �� ������ ��� ��� � �

�� ( �� ') �� ��� �! �� ��� F )�' +� ���� �� ��� ��� ��� ������ � ���"�� ��� ���� � � 3� �� ��� ���� �� � � � �� ���� �� ��� ����� ������ �� ��� �! � ����� ���� � � %� ��� ������� ������ �� ��� ��� �� ����� �� ������� � ��� ���� ���� � � ������� �� �� "� �# ��� ����� "����� �� ��� ��������� �� �� ��� � ��� ������ ��� ��� �� -�� �'=� � ������ �� �������� ��� �� �� ���� �� ���� ��� �� �

� �� ��� ����� /����� ����� ��� ������ ��� ������ �� � F � � ��� �������� ���� ����� �� ��� �� � � �� ����������� �� � �� �� � ����� ��� ���� ����� �� ����� 1��Q� �� � �������� ��� �� �� �� � �� �

� ��� �� 1�� �� � ��� � ���� � ��� �� ����������� ������� �� � ������� 6���# �� ��� + ) ������� ����� �� �� �� ����

'%

Page 19: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

n/n av

g

-1 -0.5 0 0.5 10.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2

���! /! ��� �� ����� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!

� � �� &�'' +� ��� ������� �� ) �� ' ��� ���� ���� �� �� ������ ���� ���� "�� ���� ������� ��� ����� �� �� ������ � ��� ��� ���� �� �������� ���� ���� �� �� ��� ���������� "�� ��������� �� ����

����� '���� � � (�� ���(����������� '��������� )��� ��������� �� ����

�� ������ �� ��� � ����� �� ������ ����

,� � �� '( ��� '7 �� ���� ��� ������ �� ���� �� ��� ���������� �� ������� � �� ��� ������� ��� ����� �� ������ � �� ����� ���� ���� �� �������� � � ���� ��� �� �!��� ��� � $D#(&* �� ��� �������� � � ����� ��� �� �������� �� -��� ����� � �� �� �� � � ������� �� ����� �� ���� �� �� �� , ����������� ��� 1�� ��� ��� �� ��� ������ � � � ���� �� � �� %! �� ��� +�� ��� � ���� ��� ��� ������ ��� ��� � � ������ �)� :�� � �� ��� � � ���� O� F )�)'� +�� ��� ������ �� �������� �� ���� ��� ��� ������� ��� �=�� :��

+� ��� �� ���� �� � �� '(�'7# �!������� ���������� � ��� ���� �� ������� � �� � ����� � �� ��� � � %�� F %��� F () ��� ��� �������� ������ � �� , F ( � ') ��� %! F D) �� ��� F )�'# ���� �� �� �� ��� �

'&

Page 20: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

v x/(

d/

)

-1 -0.5 0 0.5 10

5

10

P* = 2P* = 10

λ

���! 6! C���� ��� � � @ > ��� � � @ 1=? ��� @ ���� @ .=!

y/d

v x/V

max

-1 -0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

P* = 2P* = 10

���! 3! �������$� #���� ��� � � @ > ��� � � @ 1=? ��� @ ���� @ .=!

()

Page 21: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

C xx/n

avgkT

-1 -0.5 0 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2

σ

���! 2! " ��� ������� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!

��� � ������ ������� ��� ������ �� �� ��� � ������� � �� � ��� ����� � � '7 ����� ��� ������� �� � �� ����� �� �� � ��� ������ �� ��� ������ ���� ���� �� �� ��� �������� � � ���� ��� � �� ��� ����� ���� ������������� ��� 1�� ��� , F (� ')� 6�� ��� ������� �� �� �� �� ������� ��� �� ��� �������� � ������� ��� �� ��� ����� ����� ���������#�������� ����� ������ �� ��� ����� ��� C�����# ��� �������� � ������ �� , F ( � ')� ��� �� /�0 � �� ���� ���� ����� ������ �� ��� ����� � �� � � ���� ��� � �� %�� F %��� F ':# �� �� ������ ������������� ������� ,� �� ����� ��� �������� � � ��� ������� ��� ����� ���#��� ������ ���� ��������� �� ��� ���� � �� � ����� ��� ��� �������� ������ � �� ����

����+ '���� � � (�� ���(����������� '��������� )��� �*�� �! "���� �

,� ��� �� ������ ��� ���� �� ��� "�� ���� �� ��� �� ��� � ��� �������! � ������� �!���� � � �� �� ���� �!�� � � F (# ��� F )�( ��� ������� F & ��� '� ') .�� ��� �!�� ���� �� ��� ������ ����� ���� �� ������ ���� �� ������ �� � � '� ') �� � � ��� ������ � ��� "�� ���� �������� ��� ���������� �� �� �� ���� �� ���� ���� �� �� C������ ���� ���

('

Page 22: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

C yy/n

avgkT

-1 -0.5 0 0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2

σ

���! 1=! " ��� ������� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!

���� ���� ���� �� �� 9����� 2 "� �� 6�� ������ ��� ���� ��� �� �� ���������� � � ���� �� ����� � �� , F ' � ')� ����������� ��� 1�� ����� �� ��� ������ � � � ���� �� ��� �� %! F ')' �� ��� ��� � � � ����O� F )�))(D� 6�� ���� ��������� � � �� '= ��� 'D ��� �������� �� ���� �� ��� � ���� ��� ��� � � � ������ $)� D)�* ��� ����� �� ��� ����� ����� ����� ������ ��� � � $=D�� D)�*

,� � � '= � �� �� ���� ���� ���� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� "����� �� ��� �-.- "� � � � ��� ���� �� ��� 9����� 2 "� �# ��� �� ������� �� �� ������ 6�� ��������� �!���� � � �� �� ��� C������ ������������ ��� �� ��� 9����� 2 ���� ������ � ����� � ������� ���� �� � ��� ������ ��� �� ���� �!���� ��� ���� ��� �� � � �� ������ � � � 'D

& '���������

,� �� � ���� �� ���� �������� � ��� �������� �� �� � � ������ ���� ��� ����� ����� �� ��� ������������ ����� �� �� �������������� "����� � ���� ����� ����� ��� E������ ���� ���� �������� �� ��� �-.- ����#

((

Page 23: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

C xy/n

avgkT

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1 l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2

σ

���! 11! " ��� ������� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!

���� � �������������� ������� ����� �� ��� ��� "�� ��� ���� ��� � �� � ���� � ��� �� ��� ��� ������� ������ ;� ���� ����� ������ ����� � ��� ���� �� ��� � � � ���� ��� ����� ���� � �� ����� � ��� � ����������� 6�� ��� � � � ������ ���� ������ 1� ����� �� ��� ��� � ��� ��2��� ��� ? ��� $3* �� C������ �������� .�� ��� ������ ���� ����� �� ������ ��� ��� �� ��� �� ��� ����� ���� ���� ��� � � � ���� � ��� 6�� ������ �� �� ��� ��� "�� �� � ��� ����� ����� ��� �� ������� � ��� 2��� �� ���� �� � ���� �� ���# �� �������� ������ �� �������# ���� ���� /�0 �!���� �� B������ �� �� ��� ������� ���������� �� ���!���� � � �� � ��� �-.- ���� ���� ���� �����# �� � � ��� ������ ���#�� ����� � � ��� "�� ���� ��� ����� ����� � ������� ���� � ��� C���������� 9� ������ �� � ���� ���� ��� �� ������� � �� ��� � ���� ��� �������� ��� ��� 2 ��� $(&* �� ������� �������������� "�� ��� � ���� ���� ��������� ����� ��� �� �� ��� ������� ����� ���� �� �������� �� ����� ��� ��� ���������� �� ����� ����� �� ��� ����� ���������� ���� �� ��� ������ �� E������ �������� �� ����� �� ��� ����� ����������� "�� �-.- ���� �� ����� � ��� ��� ��� ����� ���� �������� ��� ������� ���� ������ �� � ������

� �����# ������ �� �� � ���� � ����� �� ��� ���� �� � �������� ���

(7

Page 24: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

v x/(

d/

)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

λ

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

1.4

1.5

���! 1>! C���� ����� � �� � � ����� � ����% ���� @ =�1? ����� ������ D � ����� �� �� � � @ > � 1=�% �! @ 4= 0&�' �� 1/ ��5% ����� ������� D � ����� �� �� � � @ > � 1= % �! @ 4= 0&�' �� 1/1A ��5% ����� ������ D � ������ �� �� � ��� @ ���� @ 1/ 0&�' �� / ��5% ����� ���� ���D� ������ �� �� � ��� @ ���� @ >= 0&�' �� >3 ��5!

�� �� �� � �� �� ��� � �� ���� �-.- ��� �� � �� � � ������� �� ��� ������ ������ �� � ��� � �������# ��� ������ ������ ������ ����������� ������ ���� �� ���� ���� ��� �� ����� ���� ��� � � ���� ��� �� ������ �� ���������� ����

( ����������������

6�� ��� �� ��� ��� ����� ��� ���� �������� �� ��� B� �� .�� ���� B� ����������� ��# ���� ���� ('))�DDD=7 6�� ������ � �� �� ����� ��� �� ��������� �� � ���� �� �� ������ ���� �� �� ���� ���� ����� �� ��� ����� ��������� �� �� ��� ���� ��� � �� ������ �� ���� ��� ���� �������� � �� � ����

(=

Page 25: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

y/d

n/n av

g

-1 -0.5 0 0.5 1

0.6

0.8

1

���! 1.! ��� �� ����� ���� ����� � �� � � ����� � ����% ���� @ =�1? � ������ �� � ���#� �� � ��� �� �� ���! 1>! (� �� ���� ���� 0��� � ����� ����� � ������ �� � ���� �� � ��� ����� ����5 �� ����� ��������!

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

b = 9 Hookean

Vx / (d/λ)

y/d

���! 1A! &��������� �� #���� ������ � ��� ���� ���� 0 @ 25 ��� -���� �* ���� 0 @ 1 � 1= 5 ����� � ����� � � ����� �� � ��� �� � � @ 1 � 1=�%�! @ 1=1% ���� @ =�>% � � @ >!

(D

Page 26: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00

1

2

3

4

5

6

7

b = 9 Hookean

σc xx / navgkT

y/d

���! 14! &��������� �� ������ � ��� ������ ���� ��� ���� ���� 0 @ 25 ��� -���� �* ���� 0 @ 1 � 1= 5 ����� � ����� � � ����� �� � ��� �� � � @ 1 � 1=�%�! @ 1=1% ���� @ =�>% � � @ >!

� �������!) �� ��� ������ *��� � ����+���

2�� �� �� � �� �')� � � ���"�� � ���� ��# �� ��� ���� ��� ��� ���� ��� ����

) F���

�����

��(��

�����

��G

(

� �����

��

�� ���

������

����

�����

�(��

�����

��G

(

� �����

��

�� ��

�������

G��

(�

���

�����

������

����� ������ �+ '�

6� � ��� ����� ��

���������� F

����������� � �� �( � I F ������� $��� �*�

)� ����� ����+ (�

����

����� F $

�'� ����

�����

����

� �+ 7�

� ��� ��� � � � ��� �� ��� �����������"�� �-.- ����

�� �'=� ��� �+ (� �� �� � �� ��� �� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ��� �� � � ����� ����� ��

(:

Page 27: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

������� F

���������

� "�����

������� ��������� �� ���

F���������

�-��� ���� ���� ���� ��������� ��� �+ =�

���� � F � � ��� ��� � �� � ��� - �� � ���� ���� ������ �� ����� ����� G �� � '(�� � I# � �� G ��� '(���� � � ,� � ��� �������� �� ��������

-��� ���� ���� ��� F �

�'�

��� �������

��� �+ D�

-�� �+ =� �� �� �� ���� ��

���� F ���

���������

�-��� ���� ���� �����������

����� �+ :�

���# �� �� ������ �� �� ����#

���� F ��

���������

����-��� ���� ���� �������������� �+ 3�

C����#

���������� F ��

���������

���

��-��� ���� ���� ������������ ���

F �����������

�-��� ���� ���� ��������� ��� �+ %�

���

���������� F ��

���������

�����-��� ���� ���� ������������ ��� �+ &�

.��� ����

�����-��� ���� ���� ������� F

��������

���F '# � �� � � �+� �� �

����

����������

��

�F )# � �� � � ��� �� �

C����# �� �+ &�

���������� F ��

�����������

������������

����� ��� �+ ')�

��� �� �+ %� ��� �+ ')� �� ��� ����

������� � ��

����� F �������������

������������

��� �������

������ �� � )� �+ ''�

(3

Page 28: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

�� ������ � -�� �((�

+� ������� � B��� �� 7 ' ���� � �� ������ �� �� ������� �� ������ � �������� ���� ��� ��� � � � ���� � ���# � ���

� ���

��� G �

��

�F %� �+ '(�

6�� �������� �� �� �� � ����� � � ��� ������ � ��# ��� ���� ��� �����#

���������� F ��

���������

�����-��� ���� ���� ������������ �� F )�

�+ '7�B�������# ��� ����������� �� ��� ����� ��� � � � /����� ����� � ����������� �� � 6� ��� �� �# �� ������� ��� �������

.� F���������

����� ��� �+ '=�

���

.� F�����������

������������

����� ��� �+ 'D�

6���# �� ���� ���� ��� ������� � �':� � ����1�� ���� �� � ���� ����� G � � I# � � G �� � ���� �� C����# �� ���� � � ��� ���� � + )# ���!����# ����

������ F �(������ F �(��

�����������

��������

����� ��� �+ ':�

�# �� ��� ����� �� �����#

������ F �(�� �.� � .�(��

6���# �� ��� ��� �+ ')� �� ���� �

���� G �

�� F �� �.� � .��� (�� �.� � .�(�

F���.�� �+ '3�

��� �� � � ���������� �� �

����������

,17 E! C! ���� ������% C! +! E�#��� $�� ��� �! �! *���% " ��� ������ ������������ ��� �� � �� � (� ����&�� ��� �� � ���� ��� �� ���� ���% F!������ ����� ����� E��!% 1=> 0>==>5 A=2�AA4!

(%

Page 29: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

,>7 G! &! ���� ����% G! �� ��% ;! +���� ��� G! �! *����% (� �� �� ��� �� ��� ��� ������ ��� ���� ����� �� � ���� ��� �� ����� ���� �� #������� ���������% ;� ������)� * ��� �+�� ������������ ��)���� � %���)�% <�#��'��#��� % H�:��% ���! 13�>.% 122/% �� � � �IJ �K���% �!% F! E! L�� % L!�! F��� ��� E! &! M�������!

,.7 �! �! *��� ��� C! +! E�#��� $��% -� � ����� ����� � �� #����������������� ���������� ��� � ����� �� ��� ��� ��� �� ���� ��� ������ ����% F! G���!% .3 0122A5 1>.4�1>4=!

,A7 �! C! *��#% G! &! ���� ���� ��� G! �! *����% K�� �� ��� ��� ������ �� ���� % ������������ ��� �� ���� ����% F! &��! �� �!% 24 012215 >233�.===!

,47 �! *���� ��� �! � �������% (� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� �� ��������� ���8 � ������ � �������� ��������% F! ������ ����� ����� E��!%>4 012365 .A6�./A!

,/7 G! *! *���% &! �! &�� ���% G! &! ���� ���� ��� -! )������% L ������ ����� ���� <������% C��! >% 0F��� M�� N "���% �� O���% 12365!

,67 �! -! *���� ��� "! +�����% K�� �� ��� �� � ���� ��� �� ���� ��� �� ������ ������8 ���������� ���� �% &��! ���! &�����!% ./ 012345 ./6�.3.!

,37 &! &���#�P�% F! ����% �! <�$����� ��� G! +! -���% -� � �������������� ��� �� ���� �� ��� �� ���� ���� ����� ��������� � ���� ���� ������ � ������������ ��� ���% ;� ! F! E��! �� �! *% 16 0>==.5 2�1A!

,27 &! &���#�P� ��� �! <�$�����% "����� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� ����� ������������� ��� ���% &���� �� ��� ������% .. 0>==.5 /36�/2/!

,1=7 &! �! &�� ��� ��� G! *! *���% L��������� ��� ��� ���� �� ��� �� �� ���% F!&��! �� �!% 111 012225 1=./>�1=.6=!

,117 �! M! ���K��� ��� <! +! <��% ��� �� �� ���� ���� ��� ��� L����� ��������� � ������ ����� ���� ������ � ������ ��������% F! ������ ���������� E��!% .. 012325 >46�>36!

,1>7 Q! ���% E������� ���� ��� ��� ������� ���8 ;! (� �������� ���� ���� ���� �������� ����� �� ��������� ����% �� � E��! "��!% 4 012325 A2�42!

,1.7 Q! ���% E������� ����� ��� ��� ������� ����8 ;;! "����� ��� �� � �� ���������% �� � E��! "��!% 4 012325 >1/�>>/!

,1A7 Q!�F! ���% C������ % ��� �������� ��� ����� % ��� �������� � � ����� ������ ��� �� ���� ����% F! ������ ����� ����� E��!% 16 012345 1>4�1AA!

,147 Q!�F! ���% C������ % ��� �������� ��� ����� � ��� �������� � � ����� ������� �� � ���� ���� ��� �� �% F! ������ ����� ����� E��!% 16 012345>41�>/4!

,1/7 Q!�F! ���% � �������� ��#� ��� ��� �� � � ���� ����� �� ��� ��� ���)����� ������� ���������� �� � �� � � ���� ���% F! &��! �� �!% 34012345 />.6�/>.3!

(&

Page 30: A Fokker-Planck-based numerical method for modelling non

,167 F! ����% E! K�I��� ��� )! &! I- ����% � ����� �������� ����������� � ��� ���� ��� ��� ���� �� � ����� ��� ���! ;;! E��� ����� ���� ������� ��� ������� ����% F! G���!% AA 0>===5 1>2.D1.16!

,137 E! �! )����% �! �! +! #�� )� ��� *! )! �! �! #�� �� *���% "����� ��� ��#������� �� ���� ����� *������� �������� ��� ����% F! ������ ����� �����E��!% 6= 012265 62�1=1!

,127 �! <�$����� ��� &! &���#�P�% � ��� ���#� ��� ������������ ��� ��� ������ � #������� �� ���� ������� ����8 >L ���� ����% F! &���! �� �!% 132 0>==.5/=6�/>4!

,>=7 �! <�$�����% &! &���#�P�% F! ���� ��� G! +! -���% ������������ ������ ������ ��� ���� �� �� � ��� ����� �� � ��� �� ���� ���� �� ����� ��� ���%F! G���!% A6 0>==.5 4.4�4/1!

,>17 C! +! E�#��� $�� ��� �! �! *���% E������ � ������ ��� ��������������� �� ��� ������ �� ��� �� ���� ����% �� �! G#! < !% /2 0122>5 >6.�>6/? 6= 0122.5 >/42!

,>>7 C! +! E�#��� $�� ��� �! �! *���% (��� ���� � �� �� ���� �� � �� ������� �� ���� ��� �� ���� ����% F! G���!% ./ 0122>5 164�>1.!

,>.7 C! +! E�#��� $��% �! "��#���� �� ��� �! �! *���% ��������� ��� ������� ������ � ���������� ����� �� ��� ������ �� #����� ��� ���� �� ��� ������ ����% (���! &���! ����� L ���! 4 0122.5 .�.1!

,>A7 G! �� ��% E������� ������ ��� �� ������ �� � �� ��� �� ���8 � ��#� ���� ��� ���� ���% ��L ����% E;(% &�������% E�! 012235!

,>47 )! &! I- ����% ;�������� ��� �� ��� �� ������#� ��� ����� ��� �� ����� � � �# ��� ����% G���! �� �% .1 0122>5 1A�>1!

,>/7 )! &! I- ����% � ����� �������� ��������� �� � ��� ���� ��� ��� ������ � ����� ��� ���% F! G���!% A. 012225 1A/1�1A2.!

,>67 )! &! I- ����% *! )! �! �! #�� �� *��� ��� E! �! )����% *��������������� ��� ���� ��� #������ ����� &-�����"";(% F! ������ ���������� E��!% 6= 012265 >44�>/1!

,>37 G! +! -��� ��� (! �! ��������% &���� � ����� G����� % ;������ &���������M���� "��� ���% <�����% >==>!

,>27 �! � ������� ��� �! *����% � ������ � �������� ���� ��� �� � �� ����� ���� ��� �� ���� ����% F! G���!% .> 012335 1�>1!

,.=7 F! K! &! "��% O! <! F�� ��� G! &! ���� ����% E������� ���� � ��� �� � ��#������� ��� % ����! G#! ����� E��!% .A 0>==>5 A16�AAA!

,.17 G! "��������� ��� �! �! *���% ��� �� �� ������ � ��� ������#� �� �� ����� �� �������� ������� ���� ��� � ��� � ������ �� �������� #������� �� ����% F! ������ ����� ����� E��!% /= 012245 4.D3=!

,.>7 )! G! M����% K�� �� ��� ��� ������ �� ���� ���������� �� ��� � ����� ��������% ;��! ���! &��! ������!% 11 0126>5 .62�.36!

7)