a fokker-planck-based numerical method for modelling non
TRANSCRIPT
� ������������� �� ������� ������ ���
�������� ����������� ��� �� ������
��������� ������ �
������ ������ �� �� ��� �� ���� �
��� � ��� � ����� ��� ���������� ���������� �� ��������� �� ����
��������� ���� ������!
�������� ����
"�#�� ���$%���&$�� ��� ���������� ���������� �� ��������� �� ����
��������� ���� ������
��������
�� �������� ��� ��� ����������� ��� � ��� ���� ���� � ��������������� ��� �� ������� ��� � �������� ������ ��� �� ������������� ���� ������� � �����! "��� � �������� ��� ��� ���� ��� ���� ��� � #���� �� � ����� ��� �� �� ��� �� �� � �� ����� ��� �������� ��� ���� ������ � � ��� ��� ������ � � ����� �$� ��� ���� ��� ���#� �#� �� � �� �� #�������% � ��������� ���� ��� �� � �� ����� ��� �������� ��� �������� � ���� �� ������� !�������� ���� � ��� � �� ��� ������ �������� ��� �� �� ���� ���� � � �#����� �� � ��� �� � � ����� �� ������ ��� ���% ��� ��������� �#�� �� �������� % �� ���� ��� &�' ����#! (��� ���� ���� � ��� � ��� ���� � ������� ���� ���������� ����� ���� �� #���� ��������� ��� ������$ ��������� � ��� )����� �������� � *���� ��� +����� ,�! -! *���� ��� "! +�����%&��! ���! &�����!% ./ 012345 ./6�.3.7!
'�� ����( ������������ ��� ���% ������������� ����% ��� ��� � ����
� ���� ������8 &���� �9���� � "����� ��� ���:�����% ;�� � � �9���� � &����� "��� ����% ���� ��� ������ �:�:��� � <������% &) 1=14 <�������% "�� $�����!� �� ��� � ���� ����������� ������ � �������! �����8������������� ���
�������� ������� �� ������� ������� �� ������� ����
� �����������
������ �� ����� ����� ��� ����� �� � ��� � ����� ��� ������� �� ���� ��� � ��� ������ ��� ������ ����� � � �������� � � ����� �� ����� ��� � � ����� � �� � ������������ ���� ����� ��� �� ��� �������� �� � �� ��� ������� �� ����� �������� ��� ��� ������ �� � ����� � �� ������� �� ���������� � ����� ���� �� ��� � ���� �� �� �����! "��� �� � �������� � "� ������ ��� �� ������� ����� � � ���� ������ ����� �� ���� ��# �� �� ������� � $%#&#'&#()* +� ������ ����� � ��� ������ � �� �� ��� ���������� ��� � ��� � ��� ����� ��� ���� ��� � ����� �� �� ������� �� �������� �� �� ��� ��� ������ ��� ������ � ����� �� ������# ��������� �� �� � ����� �� � �������� �� ����� ��� � ����� �� � ���� ��� ����� ����"�� ��� �� ,� $%#&* ��� ������ ���� � ������� ����� �� ����� �� ��� ����� �-.- �������� � � � ���� ����� �� ��� ���� �� ���� ���������� ������� /�0 ��� ��� ���� ����� �� ��� 1�� ��� ������� ������� � ���� ����� �� ��� 2��� �� �������� �� ����� ����� $'%#(3* ,� $'&* 4�1 ��� ���/���� 5�� �������� �� ��� ��� ���� � ���� ����� ����� ���� � ���� �������� ���� �� �� ��� ��� � ��� �������� �� ���� ��� �� � ��� �� �������� ��� ��� � /�0 � � ���� �� �� �������� � ������ 6��� � �� ������������ ���� ��� ��� ��� �������� � ������ ����� ���� �� ��� ���� �� � ����� ������ ����� �� ����� ��� �� ������ �� 4�1 ��� �� �� $()* � ())7#���� � ���� ��� ��� ���� �� �� � ���� ��� �� 89�� ��� $'3#(:* �� ����������� ���������� "��� �� ���� �� "�� ���� � ������� ��� ���
+ � ����� �� �� ��� � ��� �� ;��� $7(* ��� ��� $'(<':* �� �� ��� ������� �� �� ������� �����# ����� �� � ����� � "���# �� �� ����� � ��� ��������� �������� �� $%* ��� $()* ���� �� �������# ��� �,6���� $'#(=#7)* ��� ������ ��� �� ����� �� �� ��� ������� ����� ��� ���>� ���� �� ������� � � �� � ������� �� ������ �� �� � � ����� �����?���� � ����� � ���� ��� ����� ��� � >������ �� ������� ��� � � ��������� �� ����� ? ��� ��� ����� � ���� ����� 1�� ������� �� ��� ��� � ��������� ��� �!���� ���� "��� �� ��������� �� � ��� �� �������� �� �� �������� �� ��� �� � ��� �� ���� ��� �������
+�� ��� ����� � ��� ����� ���� � ���� ������� ��� "������ ��� �� ��������� �� ��� �� ��� ����� �������� ��� ��� ��� ����� �� ��� ������� �����������# ��� �� � � �� ������ � ��� ������� �� ��� � ��� �� �� � ����� ��� ����� � ��� �� ����� ��� 6���# ��� �� ����� ��� ���� � ����� ������� �� �� ������ � �� ���� ��������� � � ����� �� ���������� "��� ����#�� �!����# $:#(%*� 6�� � �� ������ �� � ��� �� ��� � ���� ��� ����� �������� ��� �� ��� ��� � � � ��� � ������ ��� ��� ������@ ���������� �� -��A��� ��� 4��� � $''* +������� �� ������� ��������� �� ��� ������� ������ ��� � ��� �� ��� � ����� ��� �� ����� �� "��� � ��� �� �� �������� � � 1� ���� ������ �� ������� ������ ������ � �� �� �� �� ���� ����
(
��� � � �� � ����� �� � ��� �������� �� ����� ����� �� B��� �� ( '�#��� � ��� �� �� � ���� ��� �������� � ��� ���� ��� ������� �� � � 1� �� ���"�� ��� � � �������� �� ��� ������� � 1� 6�� ������ ����# ����# ��� ������ �� ��� ��� ��� ��� ����� �� �� �� ����� ��� ���������������� ����� �� �� ��������� ��� ����� � ����� �� � �-.- ������� "� � � ����� �������������� "�� ;� ��� ��� ����� ������ �� �� ��� � ��� �� ������ ����� ���� ����� �� ��� �� �� ��� � ��������� 2��� ������ ��� ��� ������� �� ���� ��� �� �� ��� /����� ����� C�����# �������� �� �� �������� �# � ��� �������� ����������� "��� � ���� ������ ������ ����� �� � ����� ������� ������ ������� ���# � ���
6�� ������� �� � � ��� �� �� � ���� ��� ����� �� �� ��� ���� �� ��� ����� �� �� �� ���� ��� ������� ���� � ��� �� ��� ���# �� �� � ��� ��� � �� ���� �� �� ��� ��������@ �������� ��� �� � ����� �� ��� �� ��� "� � ������ ��2 ��� ��� ������ ��� $D* �� ���� �� ��� � ������ �� �� ����� ����� �� ������ �� �� ���� "�! ,� ��� ������ ���� �� ���� ���� �� ����� ��� ���� "������ ��� ��# �� � �� � ��# ��� �������� �� � � � ��� "�� ����� +��������� � ������ �� ������ �� �������� ���� �� ���� ��� ������# �� ���� ������ � � ��� ���� "��# �� �����# � ���� � ������ ��� �� ������� ������� ������ ���� ������ �� ��� ������� ������ �� �� ������ ����� ��������� �� ����� � ������ �� �� ����� ��� ���� �� � ��� � ������ ��� ���� �������� $&* 9� ������ �� �� �!������ � ����� ����� � ����� ����������� ����� ������� ���� ����� �� � ��� � ��� ���
+��� ���� ������ ��� �� �������������� "��� �� ����� ����� ��� ���� � �� ��� ���������� ���� ��� ���� � �� 89�� ��� $(D*# ��� ����"� �C� ���� �� ���� �� ������1�� ��� 2� � $'#('* ��� ��� � ��� � ����� ��2���� �� �� $=* ���� ��� ���� ������� ������� ��� �!������ ���� �� /��� �� ��� 2 � $')* 6�� ����� �� 2���� �� �� ����� �� ��� �� ����� ���� C������ �������� 6���# � ���� �� ����! �� ��� �� ���� �� ���� ������ ��� �� ����� ��� �� ��� ����� ���� ���� �� ��� ��� ����� ����� ,��� ��� ��� �� ���� ��� �� �� '&&=# 2� � ��� ������1�� $7* ������� ���� ��� ���� ��� �� ��� ���� ��������� ��� ���� ����� +������� ������������� ���� ��� ���� � �� 89�� ��� $(D* ��� ��� ����"� � C� ����� �� ���� �� ������1�� ��� 2� � $'#('* ��� ���� ��� ��� ����� �� ����� ����� ���� ���� ��# ��� � ��� � ����� �� 2���� �� �� $=* ��� �� ������ � �� �� �� �!�� �� � �� � ����� �� 2� � ��� ������1�� ���� ������ � ����� � �� ��� ������� �� 2���� �� �� �� �� �� ��� �� ��� ����� ������ �� ��� � ��� ��� � � 6���� �� �� �!���� �� �� ��� ��� � ��� �!����� �� �� ��� ����� ���� �� ��������� �� 6�� ���� �� ������������ ���� � ����� ����� ����! �� �� ����� �� ��� ��� �� ��� � �� ��� ��� "�!����� �� �� �� ��� ���� ������� ����� �� ��� �� �� �� � 6���� �!���� ���� ��� ��� �� �� ��� ����� �� ���������� ��� 6�� ����� �� ����� �� ����� ����� ���� ���� �� ��� ��� ��� ��� �� � ��� �������� �� 89�� ������ ������1�� ��� 2� � .������ �� ������ ��� � ������� ��� � ���
7
����� �� ��� ��� ����� �� ����� �� ���� �� ��� ��� ����� ������ �� ����� ������ ��� ���� ������ ��� .��� ���� �� �!�� � � ����� �� �� ��� ��������� ���� �� � ��� �� � �� � ���� � ��� �� ��� ��������� � �� ������ � 6�� ����� ���� ���� �� �� �� ����������# ������# �� ��� � ��� ������ �� � ��� �������� �� ����� ���� �':��
6�� ���� � ���� 1�� �� ��������
,� B��� �� ( �� ����� ��� �������������� �� ����� �� �� � ������� ������� � ����� ��� ������� ���� � ��� ���� � �� �� ���� ��� �� ��� ��� � ��������� -!�� � � ������ �� ��� � ����� ���� ��� ��� �� ��� /����� ���������� �� ���� �����# ���� ���� ������� � ����� �� ��� ������� �� ���� ��������� �� ,� B��� ��� ( ' � ( 7 ���� ��� �� ��� �� ����� �� �� ������ ����#��� ����� ��������� � �!��� ��� ��� �� � ����� ��� � ���� 1�� �� �� ��� ��������� ��������
,� B��� �� 7 �� �������� ��� ���� ��� �� �� ��� ����� �� ��� ��� ��� ����� �� �� ��� ������� �������� �������������� "�� ���� �! ���� ������� �������������� ����� �� ��� ��� "�� E������ �� �������� �� � �-.- "� � ��� ����� ������ �� ��� �� � �� ������� ��� ������� � "�� ������ ������ ,������� 1�� �� �� �� ��� � ����� �� 2��� ��� ? ��� $3* �� C������ ���������# �� ���� ���� ��� ��� � � � ����� ���� � �� ����� �# ��� ��� ��������� � ������ ������ �� �� ��������� �� ��������� ��� "�� ��� � ,�B��� �� 7 ( ��� � ���� 1�� ����� ��� � � � ��� ���� ���� ��� ��� ��������� �� ����� �� ��������� � ���� � ��� ��� ������� ��� ��� ����� ������� ����� � ��� ������� �� ��� ������� ��� ,� ��� ��� �� ����� �� ������ ������ �� ��� �� ��� ����� ���� � ��� � � � �� �� ��� ��� ����� ,� ���������# ������� ��� �� ����� �� �� � �!������� ����� ��� �� ������� � ��� 2��� �� ���� �� � ���� �� /������� ������ �� ������� ������� ������ ��������� ��������� � ��� ���� � �� �� ����� � ����� ���� ��������� � ����� �� ��� ������������������ ����� ������� ��� 6�� � � "��������� �� ���� ��� ���� ��� ��� �� ����� ���� �� 2��� ��� ? ��� $3* ��������� ��� ��� 2 ��� $(&* �� ��� ���� �� ����� �� �������� ��� �� C��������� ������ ����� ��� �� �� ����� ����� ��� �� ������ ��� ������������# ����� �� ��� ����� ������� ����� � ��� � � � �� �� ��� ������� �������� "����� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ��� ������ ��
;� �������� ��� ���� � �� ��� ������ �� ��� ��� �� � �� �� ���� ��� �� ���� ��� � � ���� ��� ����� ������� � ������ �� � ��� � ������� 6���� � ���� ��� ��# ������# ������ �� � ���� ����
=
� � ������������ ������� ��� ��������������� ����
,� �� � ���� �� � �� ���� �� ��� �������������� "�� �� � � ���� ����� ���� �-.- �������� � � .����� �� ������� ;� ������ ��� ��� � �� �������� ��� ��� ����� � � ������� ���� �� �� ��� �!�� � � � �� �� ��� ��# ���� F �� � �� ��� �� F �
���� G ��� ������� ������# ������ ����# � �������
���������� ����� ��� ��� ��� � �� ����� �� ��� �������@� ����� �� ���
4�� ��� ������ ��� ���������� �� �� ����# ���� �� F '� (� ��� ������������ ��� � ������������ ����� �� �� ��� ��� � �� �� ��� ��� ������� ������� � � � �� �� ���� ��� 6��� ��� �������������� �� ����� �� �� ������ � F ����� ��� �� �� �� � ����
��
��F� �
���������� � '
� ��� � ����
�
� �
���������� � '
� ��� � ����
�G��
�
���
����G��
�
���
����� �'�
,� ��� �� ��� ���������� �� ����� �� ��� � ��� �� ����� �� �'� �� ���� ���� ��
���
��F
�
����
(��
�
���
��G
( �����
�G ���� ��(�� ��� G �(����
�
G�
�������
(�
���
���� ���� ��(� G ��� G �(��
(��
�� �(�
���� �� ����� �������� �� F ������(� ��G�(� �� ;� ���� � ���� �� ������� ����� ���������� "�� ������ �� �� �������� � �������� ������ ����� � �� �����(����� G�(� F ������� ��� �� ����� ��� �! �������� � ����� �� � ���������� �� �� 6��� ���� ��� ��� �� ��� ��� � �� �� ��� �������� � �� �� �(� ����� � ��� ���������� "�� �� ����� �� � �� �� ����������� ����� ��
,� ��� �� ������ ��� ���� �� ������� �� � ����� ��� � �(� �� �������� ������� �� � ������� � ������ ����� ��� � ������� �� � "�� ����� � 6��� � ��� ������ �� ����� ��# ��� #
�# �� �� �� �������� �� ��������
�� F ���� ��� F ���
� F �� �� F ��� �� �7�
���� �� F��� � ��� �!������ ��� ���� �� ��� �������� �� ��� ����
������ ����� �� � C������ ������� �� ��� � � � ;� ���� ����� � ����� ��� ���� �! � ������� �!���� � � ��
�� ��
�� F ��
��� ��� � �������� �� � ���!�� �� � � � ��� ����� ��� �� � F �= 6�� � ��� ������
D
����� ���� ���� �� ������ ��� ������ ���� �!������ �� � �� �� �� ���>����� ���� �� ��� ��� �H����� ���� �� 6���� �� ������ � ��������� �����!� ��
�� F ��� �� F (����� �=�
6�� �H����� ���� ������ ��� ������� �� ������� �� "�!�� �� � ��� ��"�!�� � ��� ����� � �������� ; �� ��� � ��� ������ �� ����� ��� ����� �������� �����# -�� �(� �� �� � ���� ��
���
��F
�
����
'
(��
���
��G
'
(�� ����� G ���� ��(�� ��� G �(����
�
G'
��
����
����� �D�
����# �� ������ ����# �� ���� ������ ��� ���� ��� �� ��� ����� ��� ���� 1���� ����� ��� �
��������� ��� ��� �� �� ��� ��
�
��F
�
��G
���� ��(� G ��� G �(��
(� �
���� �:�
0��� ��� ����� ��� ���� 1�� �� ���� ��� ����� ��� ���������� �� ������ � � ����
��� F�
'� ��
�
� �3�
;� ���� �� �D� ���� ��� � ��� �� �� � ��� ����� ��� � ���� ��� (���� F����=�� � �� ��� ��� ���� �� ���� �� ��� � ��� �� �� � �������� ������� 6�� �� � ���� ��� ���� �������� �� 2���� �� �� $=* �� �������� �� ��� �� � �� � � ��� �� ������ ����� �� � ������� �� � ������ ����� ����� ������� � "�� 6� � �� � � ������� ��� ���� � ��� ����� ���������')��� �� ��')��� ���� � ' � $=*� 6�� � �� ��� � ������ ������������ ��� ���� ���� �� ��� �� ��� ����� �� ��� ����� �� �� �D� ��� ������ � �� �� ��� ����� ���������� "�� �-.- ���� �� ���� �� �� ���� � �� � ������� ����� 6� � � ����� � �� � ��� � � ��� ���� ��� ���� ���� ������ �� ���� � ������� � ��� ���� � ��� �������� ��� ���� � ������� ��� ��� ����� ���������� "�� ������ �� � ��� ��� �� ���� �� �� � ������� 6�� ����� �-.- ���� �� ���� �� ��������� �� ��� ����� "���#���� ������� � ������ ������ �� ��� ����� ���� ��� ��� ��� �������������
;� ����� ���� -��A��� ��� 4��� $''* �!������ ��� ���� ���� ��� ����� ���� � ��� �� � ��� ����� ����� ������ ��� ���� � �� �� ��� ��� ������#������ ���� ��� � ��� � �� ���� ��� ��� C�����# ��� ��� �!�� ����$7'* ����� ���� �� ����� �� ���� � 1�� �� ��� ���� � ��� � �� ���� �������� ����� ��� ���� �� ��� � ��� � ����� �� ��� ��
:
��� ������ ����� ���� ��� ���� ������ � � ����
;� ������ �� ��� �� ��� "�� ��� � �� I ��� ����� ���� ��� �������J F �I � �� ��������� ���� ������ �� 2 ��� ��� ������ ��� $D#(&*# � ��"�! ���� � �� � K�� � � � F ) �� J � �� ���� ����� � � ���� �� �� ���������� ���� ����� �� � K�� � �� F '� (� +��� �� ���� ���� � � F ) ��J# ��� ����� �������� ������� ���� ������� ����� ��� �� ��� ������� ��������� �� �
����
���G ��� � ����
�� � F ) �� �� � J� �%�
��� �� � �� �� ���!������ � ��� ������ �� �������
��� (
����
��G
'
�� �����
��� � F )� �� �� �
(� J� �&�
���� ��� �� �(� ��������� �� � ���� ����� �� �� F ��������# ������ �� ������ ������������ ���� ���� �� �( � I ��� �� �� ������ �� �� ���� ��������� �� �����# �� �������
�����
���
���� ����� G
���
�����
���� G �(�� ��� ��(�� � ���
���������
F���
�����
��(��
�
���
��G
(
� �����
�� ���
������
����
�����
�(��
�
���
��G
(
� �����
�� ��
�
�������
G��
(�
���
�����
����
����� ������ �')�
���� J����� �� ��� ���� �� ��� ������� ��
����� F � � ��� � ������� � �� �( � I��
�� �� �� ���( � J ��� �� ���� ���� ��� �������� �� ������� ���� � ���� F �� F ) �� ��� F ���� +����� �� �� ��� ������� ���� � �� �&� �� ������� ��� ���� �� �')� �� �� ����� �!������ ��
���
�����
���
���� ����� G
���
�����
���� G �(�� ��� ��(�� � ���
���������
F���
�����
� ��
�
���
���� ���
������
����
�����
�(��
�
���
��G
(
� �����
�� ��
�
�������
G��
(�
���
�����
����
����� ������ �''�
3
;� ����� ���� �� ���� �� ��� � ���� 1�� �� �� ��� ���� �� �''� � B��� ��( 7
��� � ��� ����
6�� �� �� �� ��� � �� � ��� ������ ��� ����� ������� ����� �� �� ����� �� ��� ���� ��� �� �� ��� ����� � ����� ����� �� � �� �� � � �� ��� � ������� � ��� �� ��� ��� �� �� ���� �� � �������� ������ �� ��� � �� �� ���� ��� ������� � ����� ������ ����� �� ����� ���� �� ������ ���� �� �� � 6���# ����� �� ��� ����� /����� ����� ����� �� � �� � � � ������ �� �� �������� � ��� ��� ��
� F �� G �
� G �� �'(�
���� �� ������� ��� ������� ���� ��� ��# �� ��� �� �� ���� �� ���� ��� ����� �
��� ���� �� �� ���� ��� �� -!���� ��� �� ����� ���� ��� ��� ���� ���� �� �������������� "��� ���� ��� ���� �� 2 � �� �� $:*� ��
�� F ��� G � ��� �'7�
����� �� F
��
� �
��� �������G ��� '(����� �� �� ��� �'=�
����
��� �� F �(���� ���� �� �'D�
�������� �� F
������ G �(��� �� ��� �':�
� ��� ����� ���� ���� �� ,� � � �� ��� ������� ����� �� � �'=� ���
������
������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������
����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
n
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
1
1 2
2R
r+R/2
r−R/2
r
s=1
s=0
���! 1! &���� � ��� �� �� !
�':� �� ����� ���� �� � ��� �� 1�� �� L��� ����M �������� ��� � # �����
%
���� ��� ���� � ���� ������ ��� "�� ��� � 6�� ������ �� � �� �������� � ��� �� ���� ������ ��� ��� ����� �� ��
,� �'7� � � � ������ ���� ��� �� �� ��� �������# � � ��� ������� � ���� ����� �� � ��� ���������� � ����� � G �� �':� ����� ��� ������� �������� �� ���� ��� ��� � ����������� �� ��� ����� �� ��� �������� �'=� � �� ����� � ����� �� ��� ��� ������ ����� �� 2 � �� �� ���� -� �'7 7�D��� $:*� ��� ����� ������� �� ��� ���� ���� �� ������� ���� �� +� ����� � � � '# �� ��� ������ � �� �� �� ) �� ' ��� �������� ��� �� ���������� ������ ��� ������ �� ��� � �� �� ��� �� �� � �� ��� � �� ����� � �� ������������ �� ����� � �� ���� L(M ��� �� ��� � �� ����� � �� F )� �� ����� � ������ L'M �� �� �� ��� � �� �� F '� ,� � � � �� � ���� ����� �� ��� � ������ � � ����� G �� � '(����� ���� � ��� �!������ ���� �� ��������� �� ���������� ����� � ����� ������ �� ��� � � � � ���������� �� �� �������# �� �� ��� � � ��� ��� ������� �� � � ������ �� � '(�� � � �� ���� ��
+� � $:* ��� ���� �� �� ���� ��� �� � � ��� �� �� �� �!�� ������ ������ ��� � ��� �� � ����� ����� ��� ���� ������ � ��� �� ��� �� ���'D� .���# ��� �� � $:*# ������# ���� ��� ���� ���� �� � � ���# � ������#��������
��� ����� ��� ��� �� ������� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ����� ��
E��� �� ��� �� ��� ������ ������ �� ��� �������� � �� �� �''� ��� ��� ������� � ��� ��� ��� $&#'&*# ������� �� �� ��� �� ������ �� ��� ������ �� �� ��� ���� �� ��� �������� �� ����� ������� � F
�� ���� � � � �� �
��� "�� ��� � �� �� ��� �� ��� ���� �� ������ �� � ����� 1�� �� �� � ����� ��
�������� �� F ����������� ��� �'3�
���� ���� F�'� ��
�����
��� ��� � � '# ��� �� � �� ��� ����� �''�
� ��� �� ��� ��� �� ���� � 6� � ������� ��� ���� ����� $&#'&* �� ����� �� ����� �� ���� � ��� ���� �� � ����� �� 1�� �� ��� ������� ���������� �� �����
�� � ����� ��� ���� ����� ��� ��� ��� �� ������ 1� �� ���� � ��� ������ � �� � ���� 1� ��� ���� ����� �''� �� �������� �� � ���� ��� ����� �������� �� � ?���� � ������� ����� � �������� �� ����� ;��� � ���� � �� � ���� � ������ ��� ������ �� ������ �� � ���� ����� ��
�� F ��� F ��� �� ��
�� ����� ���� �'%�
���� Æ � � ����� ����� ��# �� � ��� ��� � �� ����� �� ��� ��� ���� �� �� � ����������� �� � � ���� �� ��� ��� � ���� ��� "�� ��� � ��� �� �� ��� ����
&
�� ��� ����� �� ����� ������ � ���� � ,� ���� ���� �# � �� ����� ��������� N� �� 4����� �� ���������� �� � ?�����4�������4������ �?44� � �������� �� ���� � � �� �� ���� �� ��� ���� ��� � �� ����� ��� � �������� �������
+���� �� O� �� ������ � � � ���� ��� ��� � N� �� ����! �� �� �� ���� ��� �O��#
���� � ��� ���� �������� � �'3�# �� �� ��� �� -��� ����� �� �''�� �� �� �� � � ������� �� ��� ������� � �������� �� ����� ��� ���!�� � � ������� �� ����� � ���� ��� ������
������
������ � ��
�
O�
��� ��
G������
���� �� � �
��
���
����
� ���� ��
���
G������
�(��
�
�
��
���
����
�G
(
� �����
����
�� �
��
���� ��
���
F������
�� ��
�
���
���
��
�
�� ���
���
G������
���
(�
����
����
��
�
��
'
(���� ��(� G ��� G �(�� � ��
���
��
�
��� ���
G������
����� ��� ��� G �(� G ��� ��(�� � �
�����
�� �
���� ��
���
��� � N� ��'&�
���� ����� ������� � �� ����� ����! �� �� �� ��� ����� �� � ���������� ��� F �O� ��� � F �� .��� ���� ��� ����� �� � ������ ��� G�(�� ��� ��(� � ����! ���� � ��� �� � � ������� �� ������� � �������� ������� �� ���� �� 6� � ������ �� �� ��� ��� ���� ����� �� ��� �� ����� �� �������� � $'&* 6�� �� ���� ��� �� �� � ����! �� �� � ������������ ��� �� � �� ����� ������ G�(�G��� ��(�� � ��� �!�� � � ����� �'&� 6�� ���� �� � ������� ��� ���� ����� � ������ ��� ����� ���� ����� ������ ���� � �� �� ��� ����� + ?�����4������ �������� ����� ��� �� ���� � �� � ���� �� ��� ������� �� �� ��� ������� ��� ���� � 6��������� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� � � ���� ��� ����� ����� �� �� ��� �������� � �� �� �'&� � ������ ������ �� ��� �� � �� ����� �� ������ ��� ����� ������ �� � 6������ � ������ �� � �� ��� �������� ������ ��� � ������ ������ ��� �� �� ��� ���� ��� �� ��� ��� � � ������ ������ ��� �� ����� �� ����� ���� ���� �� � ��� ������ �� ���� ����� � �� ������ � ��� �� �������� � ����� ����� ��
�� ����� �� � �� � ���������� �� � �������� �� ����� �� �� � ���� �� ������ .� ���� � ����� ����������� �� � ���� 1�� ��� ���� ��� ��� � ������ �� �� ���������� ���� ����������� "��� � ��� �� ����� � �� � ���� �������� �� ����� �# �������� ��# ��� ��� �� ��� ���� ��� �� ���
')
>��� �� �� ��� ����� � ���� 1�� ��� ��� ����� �� ���� �� � ��� ���� �� �� ��� ���� ����� �� ��� ��� � ��� ��!� ���� ��
� � ��!��" #������! ��������������� !����� �������� ���$
;� ��� � �� �� ����� ��� ����� ���� ��� � ��� ����� �� ���� �� �� �������������� ������� ����� �� ��� ��� "�� �� � �-.- "� � 6�� "�� ������� � ����� � � � (��� ��� ���� ��� �� ��� ������ � F � ������� �� �� �� ���� ����� ����� �� "��� ���� � �������� ������ ��� ��� ;� � �� ������� � ����� �� �� ��� �� �� F ������� ��# F ������ ��� )�# � F �� GP���� ������ � � ��� ����� �� ����� ����� �� ������ ��� ��� 6�� ����� ���� �������� �� �� ����� ��� �� � ���� ���� ��
!�����
F� G ��������
G���
��
��� �()�
�P�
��F���
��
��G��
��
��� �('�
���� ! � ��� "� � ���� �� 6�� ���� ����� �� ��� �� �������� �� � �� ������� �� �� ��� ������ � F �� G ��
�� G ��� G "#���
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
�������� y=−d
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
y=d
������
������
������
������
��������
��������
��������
����
��������
��������
��������
����
��������
��������
��������
��������
����
������
������
��������
����
����
��������
��������
����
��������
������������
������������
����
����
����
����
��������
��������
��������
����
����
����
��������
��������
��������
��������
����
����
��������
��������
��������
������������
����
����
���
������
���
��������
������
��������������
����
��������
������
������
���
���
����
����
����������������
������
������
��������
������������
������������
���
���
������
������������������
������������������������
���
���
������
������
��������
����
���
���
������
������
��������
����
����
��������
������
������
���
���
����
��������
��������
����
��������
������
������
��������
��������
��������
���! >! 0�5 ���� � �� �� ������� ����� ��� +���� ������� ��� ����% 0�5 ��������� ��� ����� �0�5 ��� �� ����� #���� �� �� � �� � �������� +�����<��� ������
��� ��� � ���� ��� � �� �������������� "�� ����� ���� ������� ������ �� � ����"� � C� ���� �� $('* � ����� ��� ��� �� ����� � � �� � �������������� ��� ������� ����� ������� $(7* ��� �� ����� ��� ���� ������ ���� �� ������ � ��� � �������� � 6�����/������ ����� $'* E��� � ��� ����"��� �� C������ �������� ���� ���� ���� �� ��# ������ �����# 2���� ��
''
�� $=* �� �� � �� �� � ������ ����� 2 ��� ��� ������ ��� $D* ���� � 2���� �� ���� �� � ���� �� �� � ��� ���� "�� �� �������� ��� �� ���� �C������ �� �� ���� ��� ��� � � ��� ���� ��� �� ���� �� �� �� � �������# ���� ��� �� ��� �-.- �� �� ���� ��� �� ���� ������ �� ��������!���� �� � 6�� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ������ �� ����� ���� �������������� �������� ��� "��� �� ��� ��� ������� ����� ��� $(&* 6�������� ��� ���� �� � ��� ����� ���� B��� ��� ( ' ��� ( 7� �� ��� ������� ��� ��� "�� �� �������� ��� �� � �-.- ���� ��� � ����� ��� ��� ���� �� �� �� ��� ��� ���� �� ��� �!���� �� � 6�� ������ ������� ������ 1����� ��� ���� ����� ,� ��� � ��# �� ��� � � � ������ � B��� �� 7 ' ����� �-.- "� � ������ 1� ��� � ������ �� 2��� ��� ? ��� $3* �� C�������������� ,� ��� ����# �� ���� ������ ����� ���� ��� ����� ���� �� ��� � �� � � �� ����� � � �� ��� ��� ���� ����� � ������ ������ ��������� ��
��� ����������� ���� �� ���
,� �� � ������� �� �� ��� 1� ��� ��� ������ �� ��� � ��� � ����� �� ��-.- ������� ����� �� ���� ��� � � � ���� � ��� � ��� ������� ����� � � � (��� 6�� ������ �������� ��� ������ 1� ����� �� 2��� ��� ? ���$3* ��� ���� ���� C������ �������� � ��� � � �
; � �� ��� �� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ��� � � � ����� ����� �� ����
� �� �� ����� ���� +����� ! +� ����
������� � ��
����� F �������������
������������
��� �������
������ �� � )� �((�
����
����� F $
�'� ����
�����
����
� �(7�
� ��� ��� � � � ��� �� ��� �����������"�� �-.- ���� ��� $ � ����� 1 �� �������� 6�� ������ �� � -�� �((� � �� �� ��� ��� ��� ��������� �� C���� ��� ��� � � � ����� ���� � �� ����� �# �� ������� ��2��� ��� ? ��� $3* �� C������ ��������
6���� �� �� �� �� ����� � ����� ���� �� ��� � � � �� ����� �� ��� � ���#���� � � ���� �� ����� ������ ������� �� � ��� ��� � � � ���� � ��� � ���
� ���
��� G �
��
�F %� �(=�
6� � ����� � �� ��� � +����� ! +
'(
��� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ����� ��
����� ���� ��� ��� �! ���"� �"�� �� ������� �����
�� ��� � ��� ���� �� � ����� ��� ���� "�� � � ������� ��������� � � � (��� � � ���� 1�� �� �� �� ���� ���� ���� ��� �� ��� �� ����� B ��� ������ ������ �� �������� �� ��� ��� ������ �� � F �# �� ������ ����������� �� �� ��� �� �� ��� ?�����4������ �?4� �� ��� �� �� F '� � � � � %������ ��� ��� �� �� ��� ������ %��� ����� ���� ��� ������ ���� �� .������� �� � ��� �� �������� �� �� ��� ���� ��� ������ ��� ��� �� ��� � � ��� ������ ������� �� ��� �� ��� �� �� � �� �� �� ��� ������� ��������� �� �������� 1�� ����� ��� ���� ����� ����� � � (��� ��������� ��� �������� �������� ���� �� ��� � ����� ��� ��� �� �
;� ��� ���� ����! �� ��� ��� �� ������� �� �� � ����� � �� �� F �O� ���
� ����� ���� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ����� �'&�# �� ���� � �� ����� ��
������ � ��
�
O�� ��
�����
G &������� � ���
F ���
�
���
���
��
��
�
� ��
����
G��
(�
�����
���
��
�
� ��
�����
G
������� � ��(�� ����� G ��(� G
�������
����
��
������
��� � ���
��
�����
�
��� � N���(D�
���� N� ������� ��� � ���� 1�� �� ����� � �������� �� �����# ��� ������ ���� ��� ������ ��� �����# �� F ������ ���
&���� �� F
�(��
�
�
������ G
(
� ������
�
��
���� �
������
G�����
����
���
�
������� � ���
�
�����
� �(:�
0� �� � ������� ����! �� �� �� ��� �� ��� �� ����
� ��� ������� ����
'7
���# �� ���� ������� � ��
�
O�� ��
�����
G &������� � ���
F��
�
������ � ��
�
'��� ��
����
G��
(�
�����
���
��
�
� ��
�����
G
������� � ��(�� ����� G ��(� G
�������
����
��
������
��� � ���
��
�����
�
��� � N���(3�
���� ( � ���� �� ���� ���� � ������� ����� ��� '�� F ����� � ��� ,� ����������� ����� '�� � �� ������ ��� ���� � 1� ����� � ���
-���� �� �(3� � ��� ����� �� ����� ��� �� �� � ���� ��� �������
���
�� �� �����
�� �� ���� ��� 6� � � ����� ������ � ���� ��� ����� ������� ���� ����� �� �� �������� �� ����� ���� � � ���� �� ,�����# � ���� � ������ ���� � �������# ���� �� ��� ��� ��� ������� ������ � ������ ����! �� ����
���
���
��
�
��� F(
'�� G '��
���������� ��
����
'��G��������� ��
����
'��
��
9���� ��# �������� � ��� ������ ��� �� �������� ������ � ������� ���
��! �� �� �� ������
������ ��� �� �� ��� ������� ���� � �� �%�
#���� � +������� ���� ������� � ���� 1�� ��� � ���� ��� ����� �� ����� ��� ����� ���� ���� ���� �� ��� ��� ��� ������ �� �� �������� �B��� ��� 7 7 ( ��� 7 7 7 �� � � �� ��� ���� �� ������� �� ��� � �� � �� ���� -!���� �� �� ������� ��� � ������� ����! �� ��� �� ��� ��� ��� �������� ��� ��� �� � � �� ������ �� � �� ��� ��� ��� ��������
����� ����� ��� ��� �� ���$��� ��� �����
�� ���� �� ��� �������� �� �������� �� ����� � ��� ������� �� �� ��� � ��� �
�� ��� ��� �������� ���� ��� � ��������� ����� ��� ���� �� F (���
����� ;� ������� � �� � �������� ��� ?44 �� ��� ������ � ����
� �# � F '� � � � � %�� #
( F '� � � � � %�� # ��� ���� �!���� � � ��� �� � ����� 1�� ��� � ���� �� ��
�� 4������ �������� �� ������ ��� ����� ���� ����� �� ��� 6��� �# ��� ��
������ F
���
���
���
���
������
�� ���� �
� ����� �(%�
���� ��� ���� ���� ������ �� ��� �� 1�� �� ������ ��� �������� �� �� � �
�� ��� ���� �� ��� � ��# � ���� ���� ������ �� G �����
� �� � � ,� ���� ����# ���
'=
� ����� ����� N� �� �� �� ���� � �� ��� ���� ����� ��� � �������� �� �����������# � ������ �� ���� �� �� ������ ��� �
� ���� �� ���� � �� �� ( ���� ����
������ �� G �����
� �� � � �� ��� ������ �������� � B��� �� 7 7 �� ���� �������� � �� � �� ��� ���� �� �� ��� %�
� ��� %�� � ��� ��� � ��� ��� ����� ��
��� �������� %��� �����# ���������� �� �
;� ����� ���� ��� ������ � ��� ��� ����� �� ( � $&#'&* ��� ���� � ��� ������� �� �� �� ������� �� � F
�� � ����� ����� C�����# � ��� ������
������� � ����! ���� �� �(%� � ������ ����! ����� 1�� �� � F��
�� ���� ��� ������ � �� �� ��� ����� �� �� �� ���
6�� �������� �� ���� �� � � ��� � F �� �� �� ������ �� ����� ������ ���� � ����� �� $'&* �� �� �!������ �� �� ��� � � ���� �������
����� %���� � ��� �! �� ����� ����� � ��� ���� �� � ��� ��
> ��� ������� �� �� �� �� � � ����� �� ��� �� �'=� ����� ������ ��� �������� ��� �� � ������� � ����� �������� �� ������ ����� ;� ����� ����� �� ���� ����� ������� ��� ���� � �� ����� �� ��� ���� �� �� ������� ����� �� ������� �� �� �� ���� ���� ��� ������ ���� �������� ���
,������ �� �'=� �� ��� �� ���� ���
� �
���
���� �� �����
F� �
��
��
� �
��� ������� G ��� '(������ �� ��� ������
F� �
��
��� ���������� ��
�� �
�� �� � ��� '(������
����� �(&�
��� ���� ����� �� ��� ��� �� �� ��� �� ) ���� �� ��� ������ ���� �� ;� ������ ��� ����� �� ��� ���� �������� �� 4����� �� ������ �� '���� ����� ����� ���� ��� �������� �� �� ��� ��� �'����� F ��� ��� �������� ��� ������ �
���� �� �� �� �� ��� ?�����4������ �������� ��� � �� �� ���� )�����
��� ;� ���� ���� � �� ����! �� �� �� �� �� ��� � � �� ���
������ ��� F
������
)�
)�
�����
� ����������
� �
�� ��� � ��� '(���� �����
�7)�6�� ��� ��� ��� �� ���� �� �� ��� ������� �� �� ��� ���� ���� ���
����� ��� F������
)�
)�
�����
������� ��� � ��(� ��� �7'�
'D
��� &������� ���� �
6�� ��� ��� ������ � �� � ���� �� � �� �� �������� � ��� �� ��� � ���� ������ �� ���� �� + � ��� ������ ����� �� ����� �� ��� ��������� ���� �� �� �� ������ �� ������ ��� ���� # ������ ����# ������� � ��� ������ ����� ���� ���� �� +���� ����# ��� ������ �� � ��������� ��� ������ � ��� �� # ��� �� ��� � ���� �� ��� ��� ;� ������ ��������� �� ������ ����
�� F 7# � F )�(��� ��� 6�� � ��� ������ ������
��� ��� � � F ����� �� � � ��� ����� �� ( � ') 6�� ���� %�� �� ?4�������� �� �� ��� � ��� ����� ��� ��� ���� %��� �� ?44 �� ��� � ����� ��� �� � �������� �� ����� ��� ������� ': ��� 7) 6�� � � ���� O� ���� ����� �� )�)'� �� � � F ( ��� �� )�))(D� �� � � F ') ;� ���� �� ����1�� E������� ���� "��
+��� ������ �� � �� ������ �� �# ��� ��� ����� ����� ����� �� �()�������
������
F ��� � ���� G *� �7(�
����# � ������# * � �� ������� �������� ��������� ����� �� 1�� ������ � ����� �� ������ ��� ;� ����! ��� ��� ����� �� �� �� �� �� ���� � ���� �� �� �� �������� �� ������ ��� ����� �� � ?44 � � �� %�� G '�� ��� 6�� � ����� ����� �� ���� � �� ��� ����! �� �� �� ��� ����� ���� ���� �� ���� ��� �� �������� �� �7(� �� ��� �� ��� ���# � F '� � � � � %��#��� ���� �� �� �� 1�� �� � F � ;� ���� ���� %�� G ( ����� ��� �� ������������ �� �� ��� *
,� ��� �������� �� �� ��� ������ �� ����� ��� ������� ������� �� ��������� �� �
���
F'
�
���
� �77�
�� �� ������ � ������� �� � ��� � � � ������ ����� �� ��� ������� ����� �� �� ��� ���� ������ �� � ������ 6���# ��� ����� ��� ����� �� ��� �������� ��� �"����� �� ��� ����� �� ��� "�� ������� ���# �!���� �� �� ������ ���� �� � ������� ���� ,�����# �� ��� F ) ��� ����� �-.- ����� ���� ����� �� ��� ��� "�� � �������� +� ������� �� ��� �� � �� �� ��� �
� �� ��� ������ ���
%���� ���� ��� >����� ���� �� ��� �H��������� �� ���� ���� �������� ������ � B��� �� (
����� ����������
,� � � 7 �� ��� �� ��� ��� ������ �� � ��� ���� ��� F )�' ���� ����� � � � ��
�� � ����� ����� ���� � ����� �� ���� ��������� ��� ���
������� ��� ������ � F � ,� � � = �� ���� ���� �� ��� � � � �� ������ ��
':
y/d
Str
ess
/nav
gkT
-1 -0.5 0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xx
yy
σσ
C
C
���! .! ������ ������� � �� �� � ����������? ���� @ =�1% ��� @ >A% ���� @ >=!
y/d
Str
ess
/nav
gkT
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2
σCyy
σCyy + σK
yy
���! A! ���� ��� ���� B ��� � ����������? ��� @ >A% ���� @ >=!
��� F )�)D# )�( ��� ' +������� ���� �� �� ������� � �� � � ��� �������
����� ��� ���� ���� ����� ���� ���� G �
�� � � ��������# � ������ �� ���+ '3�
'3
y/d
v x/(
d/
)
-1 -0.5 0 0.5 10
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2
λ
���! 4! C���� � ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!
����� '���� � � (�� ���(����������� '��������� )��� �*�� �! "���� ���
,� � �� D�: ��� ������ �� ��� ������������ � ��� ������ ����� �� �� ��� �� �������� ���� ���� �� �# ���������� � �� �� ���� �� ����� �� � ��� ������������ ��� ��� � � F ( �� ����� �� � ����� ������ �� ��� �� ��� F) ���� ������ �� ��� ���������� "�� �-.- ����� ��� ����� �������� �� � � �������� C�����# �� ������ ���� �� ��� ������� �� ) �� ' ������� ������ ����� ������ ��� ����� ����� �� ��� ������� ����� � F� ������ ��� ����� �� ��� ������� +� � ����������� ��� ����� �� ��� ����������� ��� ��� ����� � ��� �� � ��� � ��� ����� ���� ����� ��� �������� "������ ��� ��� ������� ����� � ��� ��� ����� � ���� �� ������� ���� 6���� ������ �� ���� �� ���� �� �� ������ ��� ���� �� ������ ��� ��� � �
�� ( �� ') �� ��� �! �� ��� F )�' +� ���� �� ��� ��� ��� ������ � ���"�� ��� ���� � � 3� �� ��� ���� �� � � � �� ���� �� ��� ����� ������ �� ��� �! � ����� ���� � � %� ��� ������� ������ �� ��� ��� �� ����� �� ������� � ��� ���� ���� � � ������� �� �� "� �# ��� ����� "����� �� ��� ��������� �� �� ��� � ��� ������ ��� ��� �� -�� �'=� � ������ �� �������� ��� �� �� ���� �� ���� ��� �� �
� �� ��� ����� /����� ����� ��� ������ ��� ������ �� � F � � ��� �������� ���� ����� �� ��� �� � � �� ����������� �� � �� �� � ����� ��� ���� ����� �� ����� 1��Q� �� � �������� ��� �� �� �� � �� �
� ��� �� 1�� �� � ��� � ���� � ��� �� ����������� ������� �� � ������� 6���# �� ��� + ) ������� ����� �� �� �� ����
'%
y/d
n/n av
g
-1 -0.5 0 0.5 10.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2
���! /! ��� �� ����� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!
� � �� &�'' +� ��� ������� �� ) �� ' ��� ���� ���� �� �� ������ ���� ���� "�� ���� ������� ��� ����� �� �� ������ � ��� ��� ���� �� �������� ���� ���� �� �� ��� ���������� "�� ��������� �� ����
����� '���� � � (�� ���(����������� '��������� )��� ��������� �� ����
�� ������ �� ��� � ����� �� ������ ����
,� � �� '( ��� '7 �� ���� ��� ������ �� ���� �� ��� ���������� �� ������� � �� ��� ������� ��� ����� �� ������ � �� ����� ���� ���� �� �������� � � ���� ��� �� �!��� ��� � $D#(&* �� ��� �������� � � ����� ��� �� �������� �� -��� ����� � �� �� �� � � ������� �� ����� �� ���� �� �� �� , ����������� ��� 1�� ��� ��� �� ��� ������ � � � ���� �� � �� %! �� ��� +�� ��� � ���� ��� ��� ������ ��� ��� � � ������ �)� :�� � �� ��� � � ���� O� F )�)'� +�� ��� ������ �� �������� �� ���� ��� ��� ������� ��� �=�� :��
+� ��� �� ���� �� � �� '(�'7# �!������� ���������� � ��� ���� �� ������� � �� � ����� � �� ��� � � %�� F %��� F () ��� ��� �������� ������ � �� , F ( � ') ��� %! F D) �� ��� F )�'# ���� �� �� �� ��� �
'&
y/d
v x/(
d/
)
-1 -0.5 0 0.5 10
5
10
P* = 2P* = 10
λ
���! 6! C���� ��� � � @ > ��� � � @ 1=? ��� @ ���� @ .=!
y/d
v x/V
max
-1 -0.5 0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P* = 2P* = 10
���! 3! �������$� #���� ��� � � @ > ��� � � @ 1=? ��� @ ���� @ .=!
()
y/d
C xx/n
avgkT
-1 -0.5 0 0.5 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2
σ
���! 2! " ��� ������� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!
��� � ������ ������� ��� ������ �� �� ��� � ������� � �� � ��� ����� � � '7 ����� ��� ������� �� � �� ����� �� �� � ��� ������ �� ��� ������ ���� ���� �� �� ��� �������� � � ���� ��� � �� ��� ����� ���� ������������� ��� 1�� ��� , F (� ')� 6�� ��� ������� �� �� �� �� ������� ��� �� ��� �������� � ������� ��� �� ��� ����� ����� ���������#�������� ����� ������ �� ��� ����� ��� C�����# ��� �������� � ������ �� , F ( � ')� ��� �� /�0 � �� ���� ���� ����� ������ �� ��� ����� � �� � � ���� ��� � �� %�� F %��� F ':# �� �� ������ ������������� ������� ,� �� ����� ��� �������� � � ��� ������� ��� ����� ���#��� ������ ���� ��������� �� ��� ���� � �� � ����� ��� ��� �������� ������ � �� ����
����+ '���� � � (�� ���(����������� '��������� )��� �*�� �! "���� �
,� ��� �� ������ ��� ���� �� ��� "�� ���� �� ��� �� ��� � ��� �������! � ������� �!���� � � �� �� ���� �!�� � � F (# ��� F )�( ��� ������� F & ��� '� ') .�� ��� �!�� ���� �� ��� ������ ����� ���� �� ������ ���� �� ������ �� � � '� ') �� � � ��� ������ � ��� "�� ���� �������� ��� ���������� �� �� �� ���� �� ���� ���� �� �� C������ ���� ���
('
y/d
C yy/n
avgkT
-1 -0.5 0 0.5 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2
σ
���! 1=! " ��� ������� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!
���� ���� ���� �� �� 9����� 2 "� �� 6�� ������ ��� ���� ��� �� �� ���������� � � ���� �� ����� � �� , F ' � ')� ����������� ��� 1�� ����� �� ��� ������ � � � ���� �� ��� �� %! F ')' �� ��� ��� � � � ����O� F )�))(D� 6�� ���� ��������� � � �� '= ��� 'D ��� �������� �� ���� �� ��� � ���� ��� ��� � � � ������ $)� D)�* ��� ����� �� ��� ����� ����� ����� ������ ��� � � $=D�� D)�*
,� � � '= � �� �� ���� ���� ���� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� "����� �� ��� �-.- "� � � � ��� ���� �� ��� 9����� 2 "� �# ��� �� ������� �� �� ������ 6�� ��������� �!���� � � �� �� ��� C������ ������������ ��� �� ��� 9����� 2 ���� ������ � ����� � ������� ���� �� � ��� ������ ��� �� ���� �!���� ��� ���� ��� �� � � �� ������ � � � 'D
& '���������
,� �� � ���� �� ���� �������� � ��� �������� �� �� � � ������ ���� ��� ����� ����� �� ��� ������������ ����� �� �� �������������� "����� � ���� ����� ����� ��� E������ ���� ���� �������� �� ��� �-.- ����#
((
y/d
C xy/n
avgkT
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1 l0 / d = 0l0 / d = 0.05l0 / d = 0.1l0 / d = 0.2
σ
���! 11! " ��� ������� ���� ��� ����� �� ��� ����? ��� @ ���� @ >A!
���� � �������������� ������� ����� �� ��� ��� "�� ��� ���� ��� � �� � ���� � ��� �� ��� ��� ������� ������ ;� ���� ����� ������ ����� � ��� ���� �� ��� � � � ���� ��� ����� ���� � �� ����� � ��� � ����������� 6�� ��� � � � ������ ���� ������ 1� ����� �� ��� ��� � ��� ��2��� ��� ? ��� $3* �� C������ �������� .�� ��� ������ ���� ����� �� ������ ��� ��� �� ��� �� ��� ����� ���� ���� ��� � � � ���� � ��� 6�� ������ �� �� ��� ��� "�� �� � ��� ����� ����� ��� �� ������� � ��� 2��� �� ���� �� � ���� �� ���# �� �������� ������ �� �������# ���� ���� /�0 �!���� �� B������ �� �� ��� ������� ���������� �� ���!���� � � �� � ��� �-.- ���� ���� ���� �����# �� � � ��� ������ ���#�� ����� � � ��� "�� ���� ��� ����� ����� � ������� ���� � ��� C���������� 9� ������ �� � ���� ���� ��� �� ������� � �� ��� � ���� ��� �������� ��� ��� 2 ��� $(&* �� ������� �������������� "�� ��� � ���� ���� ��������� ����� ��� �� �� ��� ������� ����� ���� �� �������� �� ����� ��� ��� ���������� �� ����� ����� �� ��� ����� ���������� ���� �� ��� ������ �� E������ �������� �� ����� �� ��� ����� ����������� "�� �-.- ���� �� ����� � ��� ��� ��� ����� ���� �������� ��� ������� ���� ������ �� � ������
� �����# ������ �� �� � ���� � ����� �� ��� ���� �� � �������� ���
(7
y/d
v x/(
d/
)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
λ
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
1.4
1.5
���! 1>! C���� ����� � �� � � ����� � ����% ���� @ =�1? ����� ������ D � ����� �� �� � � @ > � 1=�% �! @ 4= 0&�' �� 1/ ��5% ����� ������� D � ����� �� �� � � @ > � 1= % �! @ 4= 0&�' �� 1/1A ��5% ����� ������ D � ������ �� �� � ��� @ ���� @ 1/ 0&�' �� / ��5% ����� ���� ���D� ������ �� �� � ��� @ ���� @ >= 0&�' �� >3 ��5!
�� �� �� � �� �� ��� � �� ���� �-.- ��� �� � �� � � ������� �� ��� ������ ������ �� � ��� � �������# ��� ������ ������ ������ ����������� ������ ���� �� ���� ���� ��� �� ����� ���� ��� � � ���� ��� �� ������ �� ���������� ����
( ����������������
6�� ��� �� ��� ��� ����� ��� ���� �������� �� ��� B� �� .�� ���� B� ����������� ��# ���� ���� ('))�DDD=7 6�� ������ � �� �� ����� ��� �� ��������� �� � ���� �� �� ������ ���� �� �� ���� ���� ����� �� ��� ����� ��������� �� �� ��� ���� ��� � �� ������ �� ���� ��� ���� �������� � �� � ����
(=
y/d
n/n av
g
-1 -0.5 0 0.5 1
0.6
0.8
1
���! 1.! ��� �� ����� ���� ����� � �� � � ����� � ����% ���� @ =�1? � ������ �� � ���#� �� � ��� �� �� ���! 1>! (� �� ���� ���� 0��� � ����� ����� � ������ �� � ���� �� � ��� ����� ����5 �� ����� ��������!
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
b = 9 Hookean
Vx / (d/λ)
y/d
���! 1A! &��������� �� #���� ������ � ��� ���� ���� 0 @ 25 ��� -���� �* ���� 0 @ 1 � 1= 5 ����� � ����� � � ����� �� � ��� �� � � @ 1 � 1=�%�! @ 1=1% ���� @ =�>% � � @ >!
(D
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00
1
2
3
4
5
6
7
b = 9 Hookean
σc xx / navgkT
y/d
���! 14! &��������� �� ������ � ��� ������ ���� ��� ���� ���� 0 @ 25 ��� -���� �* ���� 0 @ 1 � 1= 5 ����� � ����� � � ����� �� � ��� �� � � @ 1 � 1=�%�! @ 1=1% ���� @ =�>% � � @ >!
� �������!) �� ��� ������ *��� � ����+���
2�� �� �� � �� �')� � � ���"�� � ���� ��# �� ��� ���� ��� ��� ���� ��� ����
) F���
�����
��(��
�
�����
��G
(
� �����
��
�� ���
������
����
�����
�(��
�
�����
��G
(
� �����
��
�� ��
�
�������
G��
(�
���
�����
������
����� ������ �+ '�
6� � ��� ����� ��
���������� F
����������� � �� �( � I F ������� $��� �*�
)� ����� ����+ (�
����
����� F $
�'� ����
�����
����
� �+ 7�
� ��� ��� � � � ��� �� ��� �����������"�� �-.- ����
�� �'=� ��� �+ (� �� �� � �� ��� �� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ��� �� � � ����� ����� ��
(:
������� F
���������
� "�����
������� ��������� �� ���
F���������
�-��� ���� ���� ���� ��������� ��� �+ =�
���� � F � � ��� ��� � �� � ��� - �� � ���� ���� ������ �� ����� ����� G �� � '(�� � I# � �� G ��� '(���� � � ,� � ��� �������� �� ��������
-��� ���� ���� ��� F �
�'�
��� �������
��� �+ D�
-�� �+ =� �� �� �� ���� ��
���� F ���
���������
�-��� ���� ���� �����������
����� �+ :�
���# �� �� ������ �� �� ����#
���� F ��
���������
�
����-��� ���� ���� �������������� �+ 3�
C����#
���������� F ��
���������
�
���
��-��� ���� ���� ������������ ���
F �����������
�-��� ���� ���� ��������� ��� �+ %�
���
���������� F ��
���������
�
�����-��� ���� ���� ������������ ��� �+ &�
.��� ����
�
�����-��� ���� ���� ������� F
��������
���F '# � �� � � �+� �� �
����
����������
��
�F )# � �� � � ��� �� �
C����# �� �+ &�
���������� F ��
�����������
������������
����� ��� �+ ')�
��� �� �+ %� ��� �+ ')� �� ��� ����
������� � ��
����� F �������������
������������
��� �������
������ �� � )� �+ ''�
(3
�� ������ � -�� �((�
+� ������� � B��� �� 7 ' ���� � �� ������ �� �� ������� �� ������ � �������� ���� ��� ��� � � � ���� � ���# � ���
� ���
��� G �
��
�F %� �+ '(�
6�� �������� �� �� �� � ����� � � ��� ������ � ��# ��� ���� ��� �����#
���������� F ��
���������
�
�����-��� ���� ���� ������������ �� F )�
�+ '7�B�������# ��� ����������� �� ��� ����� ��� � � � /����� ����� � ����������� �� � 6� ��� �� �# �� ������� ��� �������
.� F���������
����� ��� �+ '=�
���
.� F�����������
������������
����� ��� �+ 'D�
6���# �� ���� ���� ��� ������� � �':� � ����1�� ���� �� � ���� ����� G � � I# � � G �� � ���� �� C����# �� ���� � � ��� ���� � + )# ���!����# ����
������ F �(������ F �(��
�����������
��������
����� ��� �+ ':�
�# �� ��� ����� �� �����#
������ F �(�� �.� � .�(��
6���# �� ��� ��� �+ ')� �� ���� �
���� G �
�� F �� �.� � .��� (�� �.� � .�(�
F���.�� �+ '3�
��� �� � � ���������� �� �
����������
,17 E! C! ���� ������% C! +! E�#��� $�� ��� �! �! *���% " ��� ������ ������������ ��� �� � �� � (� ����&�� ��� �� � ���� ��� �� ���� ���% F!������ ����� ����� E��!% 1=> 0>==>5 A=2�AA4!
(%
,>7 G! &! ���� ����% G! �� ��% ;! +���� ��� G! �! *����% (� �� �� ��� �� ��� ��� ������ ��� ���� ����� �� � ���� ��� �� ����� ���� �� #������� ���������% ;� ������)� * ��� �+�� ������������ ��)���� � %���)�% <�#��'��#��� % H�:��% ���! 13�>.% 122/% �� � � �IJ �K���% �!% F! E! L�� % L!�! F��� ��� E! &! M�������!
,.7 �! �! *��� ��� C! +! E�#��� $��% -� � ����� ����� � �� #����������������� ���������� ��� � ����� �� ��� ��� ��� �� ���� ��� ������ ����% F! G���!% .3 0122A5 1>.4�1>4=!
,A7 �! C! *��#% G! &! ���� ���� ��� G! �! *����% K�� �� ��� ��� ������ �� ���� % ������������ ��� �� ���� ����% F! &��! �� �!% 24 012215 >233�.===!
,47 �! *���� ��� �! � �������% (� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� �� ��������� ���8 � ������ � �������� ��������% F! ������ ����� ����� E��!%>4 012365 .A6�./A!
,/7 G! *! *���% &! �! &�� ���% G! &! ���� ���� ��� -! )������% L ������ ����� ���� <������% C��! >% 0F��� M�� N "���% �� O���% 12365!
,67 �! -! *���� ��� "! +�����% K�� �� ��� �� � ���� ��� �� ���� ��� �� ������ ������8 ���������� ���� �% &��! ���! &�����!% ./ 012345 ./6�.3.!
,37 &! &���#�P�% F! ����% �! <�$����� ��� G! +! -���% -� � �������������� ��� �� ���� �� ��� �� ���� ���� ����� ��������� � ���� ���� ������ � ������������ ��� ���% ;� ! F! E��! �� �! *% 16 0>==.5 2�1A!
,27 &! &���#�P� ��� �! <�$�����% "����� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� ����� ������������� ��� ���% &���� �� ��� ������% .. 0>==.5 /36�/2/!
,1=7 &! �! &�� ��� ��� G! *! *���% L��������� ��� ��� ���� �� ��� �� �� ���% F!&��! �� �!% 111 012225 1=./>�1=.6=!
,117 �! M! ���K��� ��� <! +! <��% ��� �� �� ���� ���� ��� ��� L����� ��������� � ������ ����� ���� ������ � ������ ��������% F! ������ ���������� E��!% .. 012325 >46�>36!
,1>7 Q! ���% E������� ���� ��� ��� ������� ���8 ;! (� �������� ���� ���� ���� �������� ����� �� ��������� ����% �� � E��! "��!% 4 012325 A2�42!
,1.7 Q! ���% E������� ����� ��� ��� ������� ����8 ;;! "����� ��� �� � �� ���������% �� � E��! "��!% 4 012325 >1/�>>/!
,1A7 Q!�F! ���% C������ % ��� �������� ��� ����� % ��� �������� � � ����� ������ ��� �� ���� ����% F! ������ ����� ����� E��!% 16 012345 1>4�1AA!
,147 Q!�F! ���% C������ % ��� �������� ��� ����� � ��� �������� � � ����� ������� �� � ���� ���� ��� �� �% F! ������ ����� ����� E��!% 16 012345>41�>/4!
,1/7 Q!�F! ���% � �������� ��#� ��� ��� �� � � ���� ����� �� ��� ��� ���)����� ������� ���������� �� � �� � � ���� ���% F! &��! �� �!% 34012345 />.6�/>.3!
(&
,167 F! ����% E! K�I��� ��� )! &! I- ����% � ����� �������� ����������� � ��� ���� ��� ��� ���� �� � ����� ��� ���! ;;! E��� ����� ���� ������� ��� ������� ����% F! G���!% AA 0>===5 1>2.D1.16!
,137 E! �! )����% �! �! +! #�� )� ��� *! )! �! �! #�� �� *���% "����� ��� ��#������� �� ���� ����� *������� �������� ��� ����% F! ������ ����� �����E��!% 6= 012265 62�1=1!
,127 �! <�$����� ��� &! &���#�P�% � ��� ���#� ��� ������������ ��� ��� ������ � #������� �� ���� ������� ����8 >L ���� ����% F! &���! �� �!% 132 0>==.5/=6�/>4!
,>=7 �! <�$�����% &! &���#�P�% F! ���� ��� G! +! -���% ������������ ������ ������ ��� ���� �� �� � ��� ����� �� � ��� �� ���� ���� �� ����� ��� ���%F! G���!% A6 0>==.5 4.4�4/1!
,>17 C! +! E�#��� $�� ��� �! �! *���% E������ � ������ ��� ��������������� �� ��� ������ �� ��� �� ���� ����% �� �! G#! < !% /2 0122>5 >6.�>6/? 6= 0122.5 >/42!
,>>7 C! +! E�#��� $�� ��� �! �! *���% (��� ���� � �� �� ���� �� � �� ������� �� ���� ��� �� ���� ����% F! G���!% ./ 0122>5 164�>1.!
,>.7 C! +! E�#��� $��% �! "��#���� �� ��� �! �! *���% ��������� ��� ������� ������ � ���������� ����� �� ��� ������ �� #����� ��� ���� �� ��� ������ ����% (���! &���! ����� L ���! 4 0122.5 .�.1!
,>A7 G! �� ��% E������� ������ ��� �� ������ �� � �� ��� �� ���8 � ��#� ���� ��� ���� ���% ��L ����% E;(% &�������% E�! 012235!
,>47 )! &! I- ����% ;�������� ��� �� ��� �� ������#� ��� ����� ��� �� ����� � � �# ��� ����% G���! �� �% .1 0122>5 1A�>1!
,>/7 )! &! I- ����% � ����� �������� ��������� �� � ��� ���� ��� ��� ������ � ����� ��� ���% F! G���!% A. 012225 1A/1�1A2.!
,>67 )! &! I- ����% *! )! �! �! #�� �� *��� ��� E! �! )����% *��������������� ��� ���� ��� #������ ����� &-�����"";(% F! ������ ���������� E��!% 6= 012265 >44�>/1!
,>37 G! +! -��� ��� (! �! ��������% &���� � ����� G����� % ;������ &���������M���� "��� ���% <�����% >==>!
,>27 �! � ������� ��� �! *����% � ������ � �������� ���� ��� �� � �� ����� ���� ��� �� ���� ����% F! G���!% .> 012335 1�>1!
,.=7 F! K! &! "��% O! <! F�� ��� G! &! ���� ����% E������� ���� � ��� �� � ��#������� ��� % ����! G#! ����� E��!% .A 0>==>5 A16�AAA!
,.17 G! "��������� ��� �! �! *���% ��� �� �� ������ � ��� ������#� �� �� ����� �� �������� ������� ���� ��� � ��� � ������ �� �������� #������� �� ����% F! ������ ����� ����� E��!% /= 012245 4.D3=!
,.>7 )! G! M����% K�� �� ��� ��� ������ �� ���� ���������� �� ��� � ����� ��������% ;��! ���! &��! ������!% 11 0126>5 .62�.36!
7)