65

חפיפת משולשים – גיאומטריה

)חזרה( משולשים תחפיפ .1

ומציאת מקומות גיאומטריים מאפשרת לקבוע )או להפריך( הנייהבשיטות היכרות עם

באופן מוחשי יותר מהסתמכות על משפטים פורמליים.צורות של החפיפעובדת האת

אפשרות זאת מתבססת על הטענה הבאה:

אחד ויחיד, אזי שני אחר לבנות משולש אפשרפי נתוני משולש אחד -אם על טענה

. המשולשים חופפים

דוגמאות:

(צ.ז.צ) משפט חפיפה ראשון 1.1

במשולש אחד אם שתי צלעות וזווית הכלואה ביניהן

שוות בהתאמה לשתי צלעות וזווית הכלואה ביניהן

.במשולש שני אז המשולשים חופפים

. a ,b ,נתונים: במשולש המחשה

.Oנשרטט ישר ונסמן עליו נקודה .א

. OA = aנקצה על הישר קטע .ב

הנתונה. השווה לזווית AOBנבנה זווית .ג

.OB = bאת הקטע OBנקצה על קרן הזווית .ד

ונקבל משולש החופף B-ו Aאת הנקודות נחבר .ה

למשולש הנתון.

תקבל הוא מדרך הבנייה מוכיחה שהמשולש ה .ו

היחיד בעל הנתונים המוגדרים.

מ.ש.ל. .לכן שני המשולשים חופפים

a

b

m

a

b

c

a

b

m

a

b

c

O A

B

a

b

m

a

b

c

O A

B

a

b

m

a

b

c

O A

B

65

חפיפת משולשים – גיאומטריה

(משפט חפיפה ראשון) תרגילים

.BOA COEהוכיחו כי .AO = OC ,BO = OEבשרטוט א נתון: .655

.BD = DE ,BDA = EDAבשרטוט ב נתון: .655

.ABCחוצה זווית במשולש ADב. הוכיחו כי .ADB ADEא. הוכיחו כי

.HOP KOMהוכיחו כי .OH = OK ,OP = OMבשרטוט ג נתון: . 651

.PM = PE ,EPH = MPHנתון: דבשרטוט .651

.KMHחוצה זווית במשולש HPב. הוכיחו כי .PEH PMHא. הוכיחו כי

ב א

.MN = DE ,M = D :)שרטוט ה( נתון CDE -ו MNPבמשולשים .611

.MP = CD, אם E = Nהוכיחו כי

.AK = 10.7 cm. נתון: ABCבמשולש BF -ו AEבשרטוט ו מתוארים תיכונים .616

.KBמצאו את אורך הקטע

ו ה ד

ח ז

61

חפיפת משולשים – גיאומטריה

. ABC -ו EFMבשרטוט ז מתוארים משולשים .611

.M = Cהוכיחו כי . FM = BC -ו F = B ,FE = ABנתון:

.BCO = 37. נתון: ABCבשרטוט ח מתוארים חוצי זווית במשולש .611

.OCAמצאו את גודל הזווית

. ABCהם גבהים במשולש CF -ו BEבשרטוט ט נתון: .611

במשולש זה. AXבנו באמצעות סרגל בלבד את הגובה

.AC = 17 cm -ו AX = BE ,CX = CEכי ידוע , אם BCמצאו את אורך הקטע

. KMLהם גבהים במשולש KP -ו MFבשרטוט י נתון: .616

במשולש זה. LXבנו באמצעות סרגל בלבד את הגובה

.BCO = 27 -ו KP = LX ,MP = MXאם ידוע כי XLMמצאו את גודל הזווית

י ט

61

חפיפת משולשים – גיאומטריה

(ז.צ.ז) שני משפט חפיפה 1.1

אם צלע ושתי זוויות שלידה במשולש אחד שוות

אז שניבהתאמה לצלע ושתי זוויות במשולש

.חופפים המשולשים

. a , ,נתונים: במשולש המחשה

.Aנשרטט ישר ונסמן עליו נקודה .א

. AB = aנקצה על הישר קטע .ב

הנתונה. השווה לזווית BACנבנה זווית .ג

הנתונה. השווה לזווית ABDנבנה זווית .ד

AC של שתי הקרניים Oהחיתוך נחבר את נקודת .ה

למשולש הנתון.החופף AOBונקבל משולש BD-ו

תקבל הוא שהדרך הבנייה מוכיחה שהמשולש .ו

היחידי בעל הנתונים המוגדרים.

מ.ש.ל. לכן שני המשולשים חופפים.

משמעית -האם הבנייה היא אפשרית וחדבדקו, משימת חקר

עבור כל הערכים של נתונים?

נשארת : התבוננו בשרטוטים הבאים בהם הזווית רמז

משתנה. קבועה ואילו הזווית

? האם הבנייה אפשרית עבור כל זוויות

aA B

C

a

A B

CD

a

A B

CD

a

A B

CD

O

a

A B

C

D

O

a

A B

CDO

a

A B

CDO

?

a

A B

CD

O

51

חפיפת משולשים – גיאומטריה

משפט תאלס 1.1

ברים ישרים מקבילים וודרך קצותיהם עקטעים שווים כמה קצים ומ ישר אחד על אם

.שווים על הישר השני גם מוקצים ה הקטעיםאזי , השני ישרשחותכים את ה

הוכחה

נבדוק שני מקרים:

ב( הישרים אינם מקבילים. -א( הישרים מקבילים ו

שדרך ,aשווים המוקצים על הישר קטעים A3= A 3A2= A 2A1A 4,…=יהיו

.B2, B1B ,3…,בנקודות bקצותיהם עוברים ישרים מקבילים שחותכים את הישר

.3B2= B 2B1B -נוכיח לדוגמה, ש הם שווים. 4B3, B3B2, B2B1B…צ"ל שקטעים

כצלעות 3B2= B 3A2A -ו 2B1= B 2A1A. אז a||b (א

.3A3B2B2A -ו 2A2B1B1Aמקביליות מנוגדות של ה

.3B2= B 2B1Bאז גם 3A2= A 2A1A -מכיוון ש

אינם מקבילים, נעביר דרך נקודה b -ו aאם ב(

1B ישרd המקביל ל- a הוא יחתוך את הישרים .

2B2A 3 -וB3A בנקודותC ו- D .

, אזי כפי שהוכחנו 3A2= A 2A1A -מכיוון ש

.E||CD2Bנעביר קטע . C = CD1Bקודם,

.E=CD2Bמקבילית, לכן הוא ED 2CBהמרובע

יעפ" חופפים 3B2EB -ו 2B1CB המשולשים

מ.ש.ל. .3B2= B 2B1B. לכן (E2BC = 1B ,2B=1B ,EC = משפט חפיפה שני )

וכך הלאה. 4B3= B 3B2Bבאופן דומה אפשר להוכיח כי

56

חפיפת משולשים – גיאומטריה

חלקים שווים n -לקטע תקולח 1.1

, ללא שימוש בסרגל מדידה)קטעים שווים n -ל יש לחלק אותו. AB קטע נתון

(.באמצעות סרגל ומחוגה בלבד

ונקצה עליו קטעים , ABשאינו מכיל את הקטע a ישר Aנעביר דרך קצה הקטע פתרון

.nA1-n= … = A 3A2= A 2A1= A 1AA (:באורך כלשהו)שווים

ישרים המקבילים לישר 1A ,2A ,... ,1-nA נעביר דרך הנקודות. B -ו nAנחבר נקודות

BnA. הם יחתכו את הקטעAB 1בנקודותB ,2B ,... ,1-nB פי משפט תאלס-עלאשר

.קטעים שווים n -ל, ABיחלקו את הקטע

ביחס נתון קטע תקולח 1.1

שני קטעים ל יש לחלק אותו. AB נתון קטע

באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. בעלי יחס נתון

פתרון

חלקים שווים לפי m+n -את הקטע לנחלק

השיטה המתוארת בסעיף הקודם.

אורכו של כל קטע יהיה .

קטעים כאלה, mיכלול ACהקטע הנדרש

קטעים: CB – n -ו

מ.ש.ל.

51

חפיפת משולשים – גיאומטריה

(צ.צ.צ) משפט חפיפה שלישי 1.1

אם שלוש הצלעות במשולש אחד שוות בהתאמה

לשלוש הצלעות במשולש שני אז המשולשים חופפים.

.a ,b ,cנתונים: במשולש המחשה

.Aנשרטט ישר ונסמן עליו נקודה .א

. AB = aנקצה על הישר קטע .ב

.b –ורדיוסו A-נשרטט מעגל שמרכזו ב .ג

.c –ורדיוסו B-נשרטט מעגל שמרכזו ב .ד

של C נקודת החיתוך של שני המעגלים היא קדקוד .ה

החופף למשולש הנתון. ABC המשולש

: לשני המעגלים שבנינו קיימת עוד נקודת שימו לב .ו

.1ABCשהיא קדקוד של משולש אחר 1C –חיתוך

גם הוא חופף למשולש המקורי, מכיוון משולש זה

ABCהמשולש שיקוףידי -שהוא יכול להתקבל על

.ABיחסית לישר

בדקו, האם ניתן לבנות משולש עבור כל משימת חקר

מהן התנאים שאותם צריכים ?a ,b ,cערכים של ה

מנת שבנייה תצליח? -על c -ו a ,bלקיים

טים הבאים.ו: התבוננו בשרטרמז

a

A B

CDO

?b

c

aA B

CDO

?b

c

aA B

CDO

?

bc

aA B

C

DO

?

bc

aA B

C

DO

?

bc

C1

aA B

C

DO

?

bc

C1

aA B

C

DO

?

b

c

C1

51

חפיפת משולשים – גיאומטריה

משפט פיתגורס הפוך 1.1

משפט

,שווה לסכום ריבועים של שתי צלעות אחרות אם ריבוע של צלע אחת במשולש

זווית, שבו הזווית הישרה היא זו שמול הצלע הגדולה.-אז המשולש הוא ישר

הוכחה

. c 2+ b 2a =2שבו מתקיים: ABCמשולש נתון

משולש ישר זווית שבו - 1C1B1Aיהיה

.dויתר b -ו aהניצבים הם

, כלומר c 2+ b 2= a 2d =2פי משפט פיתגורס, -על

d = c.

שני המשולשים, איפו, חופפים עפ"י משפט

. C = 90= 1C(, לכן צצצהשלישי )החפיפה

מ.ש.ל.

51

חפיפת משולשים – גיאומטריה

תרגילים

(חפיפה שני ושלישי ימשפט)

.BC = AC. הוכיחו כי 1 = 2 ,DC = CEנתון: 16בשרטוט .615

.BDC. מצאו את הזווית AB = CD ,BC = AD ,ABD = 27נתון: 15בשרטוט .615

.FE = KLהוכיחו כי .FO = OL ,EFO = OLKנתון: 15בשרטוט .611

. AB = AD ,BC = CD ,ACD = 19נתון: 11בשרטוט .611

.ACBמצאו את הזווית

.1מצאו את .NP = MK ,MN = PK ,NMK = 137נתון: 11בשרטוט .611

.ACשוקיים בעל בסיס -זווית במשולש שווה הם חוצי CE -ו ADנתון: .616

.AEC CDAהוכיחו כי

.1. מצאו את הזווית AB = AD ,BC = CD ,ACB = 121נתון: 61בשרטוט .611

.AKבו בסיס שה APK שוקיים-הם חוצי זווית במשולש שווה KM -ו AEנתון: .611

.הם חופפיםKPM -ו APE המשולשים הוכיחו כי

56

חפיפת משולשים – גיאומטריה

.DAB = ABC ,AK = KBנתון: 66בשרטוט .611

.ADB = BCAהוכיחו כי

.AD = AC ,BD = DC, כך שמתקיים: ABנמצאות משני צדי הישר D -ו Cנקודות .616

.DACחוצה זווית ABהוכיחו כי

.HKN = MNK ,KO = ONנתון: 61בשרטוט .615

.KMN= KHNהוכיחו כי

.OM = PE ,MP = OE, כך שמתקיים: OPנמצאות משני צדי הישר E -ו Mנקודות .615

.MPO = EOP -ו MOP = EPO הוכיחו כי

-ו C –, ועל שוק אחרת B -ו Dמסומנות נקודות Aעל שוק אחת של זווית שקדקודו .611

E :כך שמתקיים ,AD = AC = 3 cm ,AB = AE = 4 cm.

, KB = KAב. BC = EDהוכיחו כי: א.

.ED -ו BCהיא נקודת חיתוך הקטעים Kכאשר

1C1A -ו ACשוקיים שבסיסיהם -הם משולשים שווי 1C1B1A -ו ABCנתון: .116

בהתאם; 1C1B -ו BCהינן נקודות אמצעיות של הצלעות 1M -ו Mנקודות בהתאמה;

1B1AB = A ,1M1AM = A. 1הוכיחו כיC1B1A ABC.

K –, ועל שוק אחרת M -ו Oמסומנות נקודות Bעל שוק אחת של זווית שקדקודו .111

. BM = BP ,BO < BM ,BK < BP ,OPB = KMB, כך שמתקיים: P -ו

MK = OPהוכיחו כי: א.

.OP -ו MKנקודת חיתוך הקטעים T, כאשר TM = TPב.

55

חפיפת משולשים – גיאומטריה

;1C1A -ו ACשוקיים שבסיסיהם -הם משולשים שווי 1C1B1A -ו ABCנתון: .116

בהתאם; 1C1B -ו BCנקודות האמצע של הצלעות - 1M -ו Mנקודות

1B1AB = A ,1C1= A CA . 1הוכיחו כיM1B1A ABM.

שוקיים שווים.-המשולש שווההוכיחו כי גבהים מקדקודים של בסיס .111

זווית חופפים אם צלע ושני הגבהים מקדקודים הצמודים -הוכיחו כי שני משולשים חדי . 111

לצלע זו במשולש אחד שווים בהתאמה לצלע ושני הגבהים מקדקודים הצמודים לצלע

זו במשולש שני.

ניצב וזווית ממול. פי-ניסחו והוכיחו משפט חפיפה של משולשים ישרי זווית על .111

.Aבתוך הזווית נתונה נקודה .116

ומקצה על שוקי הזווית קטעים שווים. Aבנו ישר העובר דרך הנקודה

, 1H1BH = Bוגם 1A= A ,1B= B, אם 1C1B1A ABCהוכיחו כי .151

.1C1B1A -ו ABCהם גבהים של המשולשים 1H1B -ו BHכאשר

, כמו גם את כמפשט חפיפה נוסףאת הטענה שבשאלה הקודמת אפשר להגדיר הערה . 151

ועוד מספר רב של טענות על חפיפת משולשים. 61הטענה שבשאלה

, וכמה מהם מתבססים על טענות אז כמה משפטי חפיפה של משולשים יש באמת

?אחרות וכמה מהם "בסיסיות"

נות אחרות, אלא על "הגיון בריא" שאינן מתבססות על טע –הטענות ה"בסיסיות"

ניסח ורשם באופן מסודר את האקסיומות הגיאומטריות . אקסיומותבלבד מכונות

כרכים בכל נושאי 61)המכיל בספר "היסודות"לפנה"ס( III)מאה אוקלידס לראשונה

אקסיומות של גיאומטריה. 6אוקלידס מנה .המתמטיקה(

. דוד הילברט XIXאת רשימת האקסיומות הרחיב וסידר מחדש במאה

אקסיומות, מתוכן שתיים הן משפטי החפיפה של משולשים 11הילברט מכילה רשימת

והשני(. כלומר, משפטים אלא אינו ניתנים להוכחה )ולכן נכון יותר לקראו )הראשון

הוכחת משפטי חפיפה (, אלא הם בעצמם מהווים בסיס לסימני חפיפת משולשיםלהם

. (ראו סעיף הבא –אחרים )כגון אלה שבתרגילים הנ"ל או "משפט חפיפה רביעי"

הצורך בהרחבת הרשימה של אקסיומות החפיפה של אוקלידס נובע מכך שהוא מתחיל

לומר הוא משתמש את ההוכחות שלו במילים: "נניח משולש אחד על האחר כך ש...". כ

וחפיפה ללא הסבר וללא ביסוס. הזזהשל בפעולות

55

חפיפת משולשים – גיאומטריה

ז(.צ.)צ משפט חפיפה רביעי 1.1

אם שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים במשולש אחד שוות

בהתאמה לשתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים במשולש שני אז

.חופפים המשולשים

הוכחה

-ש כאלה 1C1B1A -ו ABCנשרטט שני משולשים

1B1AB = A ,1C1AC = A 1 -וBB = .

, ונצמיד ACיחסית לישר ABCנשקף את המשולש

כך, 1C1B1Aאת המשולש שיתקבל למשולש השני

, 1C -ו C -ו 1A -ו Aשיתלכדו בהתאמה הקדקודים

.ACיחסית לישר 1Bיהיה מול הקדקוד Bוקדקוד

משולשלחופף הוא המשולש שיתקבל לאחר השיקוף

ABC פי ההגדרה של צורות חופפות.-על

:1ABBונתבונן במשולש 1B -ו Bנחבר את הקדקודים

; מכיוון B1B1ABB = 1A, לכן שוקיים-שווההוא

.1BC1B= 1C1BB -, מסיקים ש1BB =שנתון

.1C1BC = B -שוקיים, ו-הוא שווה 1C1BBמשולש לכן

פי משפט חפיפה -על חופפים 1C1B1A -ו ABCלבסוף מסיקים כי משולשים

מ.ש.ל. שלישי.

ירהקח

ההוכחה נחשבת למלאה אם היא מכסה את כל מגוון

ההוכחה הנ"ל הסתמכה על צורה אפשרי של נתונים.

מסוימת של משולשים. יש צורות אחרות של משולשים

שעבורם המשפט אינו נכון.

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

a

A

BC

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

a

A

BC

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

51

חפיפת משולשים – גיאומטריה

שבשרטוט CBO -ו ABOלדוגמה, שני משולשים

: אינם חופפים, למרות שעבורם מתקיים התנאי הנדרש

זווית!-כהה –זווית ושני -הרי אחד מהם הוא חד

-לבנות משולש עלכדי לבדוק מתי המשפט מתקיים ננסה

הצלע הגדולה שמול וזווית b -ו aפי שתי צלעותיו

a אחד המקיים , או לפחות להוכיח שבנייה כזאת אפשרית ושאפשר לבנות רק משולש

.את התנאים

ונשרטט מעגל שמרכזו בקצה aפי צלעותיו: נקצה צלע -ניעזר בשיטה לבניית משולש על

. bהצלע ורדיוסו שווה לצלע השנייה

, שקדקודה על המעגל, או להוכיח שזווית aהנשענת על הקטע כעת עלינו לבנות זווית

כזאת קיימת והיא יחידה.

aאוחר יותר. כעת נוודא שעבור כל הערכים האפשריים של את שיטת הבנייה נדגים מ

הזווית קיימת. , וכל ערך נתון של a > b -, כאשר נתון שb -ו

. °080 -עד ל 0 -שונות מ נתבונן בסדרת השרטוטים המתאימים לזוויות

-ו a, bפי -מקבלת כל ערך רק פעם אחת, כלומר, על מהשרטוטים רואים שזווית

נתונים אפשר לבנות רק משולש אחד ויחיד החופף למשולש הנתון.

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

3

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

2

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

1

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

4

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

5

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6

51

חפיפת משולשים – גיאומטריה

מקרה נתבונן בסדרת השרטוטים המתאימים ל

:(a < b) שהזווית היא מול הצלע הקטן

(, ולאחר מכן הולכת °63 -עד לערך מסוים )כ 0 -הולכת וגֵדלה מ רואים שהזווית

כך שכל ערך )למעט הערך המרבי( היא עוברת פעמיים., 0 -עד לוקֵטנה

שני משולשים ניתן לבנות היא מול הצע הקטנה, כי במקרה הזווית אנו מסיקים איפו

, כלומר הטענה של חפיפת המשולשים אינה -ו a, bבעלי אותם הערכים של שונים

נכונה במקרה זה.

,על קטע נתוןתונה הנשענת השווה לזווית נת זווית ייבנ 1.1

על המעגל שמרכזו בקצה הקטע? הנמצ כאשר קדקוד הזווית

זווית קיימת.ה b < aקודם הוכחנו שבמקרה

כעת נתאר כיצד לבנות אותה.

נחלק את המשימה לשתיים:

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6

a

A

B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6

51

חפיפת משולשים – גיאומטריה

.קדקודי זווית נתונה הנשענת על קטע נתוןצא מקום גיאומטרי של נמ .א

.a , נתון: פתרון

זווית היקפית הנשענת - -הוא מיתר ו aנבנה מעגל שבו

עליו.

למחצית זווית שווה פי תכונות מעגל, הזווית -על

: . מרכזית הנשענת על אותו מיתר

. Aנעביר משיק למעגל בנקודה

פי תכונות המשיק, הזווית בינו לבין המיתר שווה גם -על

הנשענת על המיתר:היא למחצית הזווית המרכזית

למשיק למעגל שווה ABזווית בין המיתר :כלומר

.הנתונה לזווית

ODנמצא על האנך האמצעי Oמכיוון שמרכז המעגל

המעגל המבוקש הינה:ת יילבנ , הדרךABלמיתר

ומעבירים AB = aמקצה המיתר בונים זווית .א

;AEמשיק

;Aמשיק בנקודה בונים אנך ל .ב

;ABלקטע ODבונים אנך אמצעי .ג

האנכים; שלמרכז המעגל הנדרש הוא נקודת חיתוך .ד

.OAרדיוס המעגל הוא הקטע .ה

לאחר שמצאנו מקום גיאומטרי של קדקודי זווית

, אפשר להשלים את הבנייה של aהנשענת על קטע

אחת מהן:פי שתי הצלעות והזווית שמול -משולש על

ורדיוסו שווה Aמשרטטים מעגל שבמרכזו בנקודה

של המשולש המבוקש נמצא Cלצלע שנייה. הקדקוד

בנקודת חיתוך של שני המעגלים.

a

A B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6m

n

a

A B

C

D

O

?

b

c

C

1

A

B

C

1

1 1

6m

n

E

A B

a

D

O

E

ד ג ב א

56

חפיפת משולשים – גיאומטריה

נמצאת מול הצלע כאשר זווית

, המעגלים נחתכים (b>a)הקטנה

:aבשתי נקודות מעל צלע

C 1 -וC; קיימים שני לכן

1ABC -ו ABC משולשים,

.α -ו a ,bבעלי אותם הערכים של

זווית ה) a < b: כאשר סקנהמ

לא מול הצלע הקטנה(, נמצאת

ניתן לבנות משולש באופן חד

מתקיים.משמעי, והמשפט אינו

משימת חקר

α -ו a ,bמצאו תחומי הערכים

שעבורם:

אפשר לבנות רק משולש אחד; .א

אפשר לבנות שני משולשים; .ב

אפשר לבנות א, משולש.-אי .ג

A B

a

D

O

E

ה

A BaD

O

E

ה

b

a

C

b

A BaD

O

E

ה

b

a

C

b C1

b

b

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

דמיון משולשים . 2

מצולעים דומים 2.1

אם צריכים לתכנן מגרש כדורגל, לא משרטטים אותו על דף נייר בגודל המגרש.

. בקנה מידהגבי דף בגודל רגיל, ומשרטטים מגרש בהקטנה, -עושים זאת על

כלומר, משרטטים אותה צורה, רק בגודל מתאים.

כאשר רוצים לראות גופים קטנים, משתמשים

בזכוכית מגדלת או במיקרוסקופ; גם במקרה זה

צורת גופים נשמרת, משתנה רק גודל הצורה.

צורות שתי צורות, שיש להן אותה צורה מכונות

. דומות

שני מצולעים הם דומים אם אפשר להתאים לכל

קדקוד של מצולע אחד קדקוד של מצולע אחר

כך, שהזוויות המתאימות לקדקודים אלה הן

שוות וגם שווים יחסי הצלעות המתאימות.

המתאימים. חשוב גם סדר הקדקודיםבמצולעים,

1F1D1C1B1A -ו FABCDלדוגמה: המצולעים

אינם 2F2D2C2B2A -ו FABCDהם דומים, ואילו

דומים, למרות שיש להם אותן הזוויות!

2.1.1 משימת חקר

ABCDFמדדו את זוויות המחומשים

ואת אורכי הצלעות, וודאו כי: 1F1D1C1B1A -ו

1CC = , 1BB = , 1AA = , .א

1FF = , 1DD = (1)

( 2) .ב

.יחס הדמיוןיחס הצלעות המתאימות במצולעים דומים מכונה הגדרה

?1F1D1C1B1A -ו FABCDמה יחס הדמיון של המצולעים .ג

A A BB

CC

D

DF

F

1

1

1

1

1

A A BB

C

C

D

DF

F1

12

2

33

4

4

5 5

2

2 2

2

2

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

2.1.2משימת חקר

ABCDFמדדו את זוויות המחומשים

ואת אורכי הצלעות, וודאו כי: 2F2D2C2B2A -ו

2BF = , 2DD = , 2CC = , 2FB = , 2AA = .א

.אינם שוויםמדדו את יחסי הצלעות וודאו כי הם .ב

F2D2C2B2A 2ולהביאו לחפיפה עם המחומש ABCDFנסו להגדיל את המחומש .ג

. סדר קדקודיו שונה, אולם ABCDFלאלה של שזוויותיו שוות

האם המחומשים הם דומים?

חייבים להתקיים שני תנאים:מנת ששני מצולעים יהיו דומים -על המסקנה

זוויות מתאימות שוות (א

יחסי הצלעות המתאימות שווים. (ב

קיומו של רק אחד משני התאנים אינו מספיק בדרך הכלל, להוכחת דמיון

המצולעים.

ואומנם, יש צורות, וביניהן מצולעים, שדומות תמיד, לדוגמה:

כל מעגלים; .א

כל הריבועים. .ב

2.1.2משימת חקר

כי המעגלים שבשרטוט הם דומים.בדקו וודאו

: המעגלים הם לא מצולעים, לכן בדיקת הערה

הדמיון לא יכולה להתבסס על בדיקת התנאים

הצלעות(. ( )מדידת זוויות ואורכי7) -( ו1)

יש לבדוק, האם ניתן להביא את אחת מהצורות לחפיפה עם השנייה באמצעות ההגדלה

או ההקטנה.

מה במקרה זה יכול להשתמש כיחס דמיון? :חשבו

2.1.2משימת חקר

כי הריבועים שבשרטוט הם דומים.בדקו וודאו

מה יחס הדמיון במקרה זה?

O1 O

2

ab

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

תרגילים

שבשרטוט הם דומים?האם המלבנים .702 1מס.

אם כן, מה יחס הדמיון?

נמקו, מדוע. –אם לא

שרטטו שני משושים שצלעותיהם שוות בהתאמה, ושבוודאות אינם דומים. .702

שרטטו שני משושים שזוויותיהם שוות בהתאמה, ושבוודאות אינם דומים. .710

. זהבהמלבן המלבן הגדול שבשרטוט מכונה .711

שכאשר חותכים ממנו ריבוע המלבן הכוונה היא

שנשאר דומה למלבן המקורי.

מה רוחבו של המלבן המקורי? .א

. רשמו את יחס הזהב יחס הזהבהיחס של אורך לרוחב במלבן הזהב מכונה .ב

באמצעות שורשים, ולאחר מכן מצאו את ערכו המקורב באמצעות מחשבון.

המרובעים שבשרטוט הם דומים. .717

המידה של המרובע א. מצאו את קנה

הקטן ביחס למרובע הגדול: .

ב. מצאו את:

__?___, z = __?__, y = __?x = __

הגדרת משולשים דומים 2.2

כל משולשים דומים. ברור, שלא

1C1B1A -ו ABCנתבונן בשני משולשים

כאלה, שזוויותיהם שוות בהתאמה:

1AA = ,1BB = ,1CC = .

, הנמצאות ממול לזוויות שוות, 1A1C -ו 1C1B,CA -ו 1B1A ,BC -ו ABהצלעות

. מתאימותמכונות צלעות

A A

B

B

CC 11

1

ב))א

x

x

6

6

8

01

z9

81

xy

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

הגדרה

משולשים דומים אם זוויותיהם שוות שני בדומה להגדרה כללית של מצולעים דומים,

בהתאמה וצלעותיהם של משולש אחד פרופורציוניות לצלעות המתאימות של המשולש

דומים אם מתקיים: 1C1B1A -ו ABCהשני. במילים אחרות, שני משולשים

1CC = , 1BB = ,1AA = (1)

(2)

.יחס הדמיוןתאימות במשולשים דומים מכונה מ , השווה ליחס צלעותkמספר

.1C1B1A ABC", לדוגמה, את הדמיון מסמנים באמצעות הסימן "

( עבור מצולעים בעלי ארבע 7) -( ו1מסתבר, שלהבדיל מחובת הבדיקה של שני התנאים )

צלעות ויותר, אפשר לקבוע אם שני משולשים דומים באמצעות שיטות פשוטות יותר,

הבאים. משפטי הדמיוןפי -על

)ז.ז.( משפט דמיון ראשון 2.2

אם שתי זוויות של משולש אחד שוות בהתאמה לשתי זוויות של משפט

השני, אזי המשולשים דומים.

1C1B1A -ו ABC משולשים נתבונן בשני הוכחה

.1BB = , 1AA = שעבורם מתקיים:

עבור המשפט של סכום זוויות במשולש נקבל עפ"י

הזווית השלישית:

C = 180° - A - B,

C1 = 180° - A1 - B1 = C

שוות בהתאמה לזוויות ABC לכן, זוויות המשולשים

.1C1B1Aהמשולש

:במשפט עזרניעזר (2)כדי להוכיח את שוויון יחסי הצלעות

A A BB

C

C

11

1

A A BB

C

C

11

1

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

משפט

ליחס מכפלות לשני משולשים יש זווית אחת שווה, אז יחס השטחים שלהם שווה אם

הצלעות המכילות את הזוויות השוות.

הוכחה

, אשר 1C1B1A -ו ABC שטחי המשולשים – 1S -ו Sיהיו

.1AA = בהם

:נוכיח שמתקיים

כך שיתלכדו ABCעל המשולש 1C1B1Aמשולש את הנניח

.1A -ו Aושוקי הזוויות 1A -ו Aהקדקודים

, CHגובה משותף C1AB -ו ABCלמשולשים

:1AB -ו ABיחס שטחיהם שווה ליחס הבסיסים ןלכ

, 1H1B -גובה משותף C1AB -ו 1C1ABגם למשולשים

:AC -ו 1СAלכן יחס שטחיהם שווה ליחס הבסיסים

, את שני השוויונות ונקבל: נכפיל

.מ.ש.ל. כלומר

נקבל בהתאם: 1B -ו B שוות גם זוויות 1C1B1A -ו ABCבשני המשולשים כאשר

את אגפי ימין של שני השוויונות:נשווה

ונקבל: -שוויון האחרון בשני האגפים של הנחלק את

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

. :נקבל, 1B= B, 1AA = -ניעזר בעובדה ש באופן דומה

פרופורציוניות לצלעות מתאימות של המשולש ABCצלעות המשולשובכן,

1C1B1A.מ.ש.ל. , ואפשר להסיק שהמשולשים דומים

יחס גבהים מתאימים במשולשים דומים 2.2

בכלל, ומשולשים בפרט, בכך שניתן להגדיל )או של שתי צורותדמיון משמעות ה

להקטין( כל אחת מהן כך ששתי הצורות תהינה חופפות.

ברור ששינוי גודל הצורה משמעו הגדלה )או הקטנה( של כל מרכיביה )צלעות, קשתות

קווים מיוחדים במשולש: גובה, תיכון וחוצה זווית. –וכ"ד(, ביניהם

י גבהים במשולשים דומים.נוכיח כעת את ההשארה הזאת לגב

2.2.1משימת חקר

טוט משמאל שני משולשים דומים: בשר

ABC 1 -וC1B1A.

מדדו את צלעותיו של שני המשולשים .א

ומצאו את יחס הדמיון.

מדדו את אורך הגבהים לצלעות .ב

.1C1B -ו BCהמתאימות

. ִחשבו את היחס , ווודאו שהוא שווה ליחס הדמיון: .ג

במשולשים דומים, יחס גבהים מתאימים שווה ליחס דמיון. משפט

.1C1B1A ABC יהיו הוכחה

.1AA = אז

שתי זוויות 1H1B1A -ו ABHבמשולשים

(, = 90 1HH = -שוות )מכיוון ש

, ולכן יחס 1C1H1A HABלכן עפ"י משפט דמיון ראשון גם הם דומים:

)הגבהים( שווה ליחס דמיון: . 1H1B -ו BHהצלעות המתאימות

בדומה לכך אפשר להוכיח דמיון של שני הגבהים האחרים.

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A A

B

B

CC

h

h

1

1

1

1

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

AA

B

B

C CH H

1

1 1 1

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

יחס חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים 2.2

, 1C1B1A ABCיהיו

AZ - חוצה זוויתBAC ,

1Z1A - 1חוצה זוויתC1A1B.

מכיוון שהמשולשים דומים, הזווית

A 1 -וA שוות, לכן שוות גם חציי

. 1C1A1ZZAC = הזווית:

שוות בהתאמה שתי זווית: 1C1Z1A -ו AZCלכך, במשולשים -אי

1CC = 1 -וC1A1ZZAC = .והמשולשים דומים לפי משפט דמיון ראשון ,

מהווה יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים, 1Z1A -ו AZלכן יחס חוצי זוויות

מ.ש.ל. והוא שווה ליחס הדמיון: .

יחס היקפים של משולשים דומים 2.2

.kליחס הדמיון של משולשים דומים שווה ים היקפיחס משפט

.kמשולשים דומים בעלי יחס הדמיון 1C1B1A -ו ABCיהיו הוכחה

את היקפי המשולשים: 1P -ו P -בנסמן

P = AB + BC + CA, P1 = A1B1 + B1C1 + C1A1

פי תכונת הדמיון, יחסי כל הצלעות המתאימות שווים, כלומר:-על

CA= k 1A1BC, C= k 1C1AB, B= k 1B1A

לכן יחס ההיקפים של שני המשולשים הוא:

מכיוון שהיקף של כל מצולע שווה לסכום אורכי כל הצלעות: הערה

P = a + b + c + ….

, כלומר כל kועבור שתי צורות דומות יחסי הצלעות המתאימות שווים ליחס הדמיון

מצורה שנייה, נקבל עבור היקף הצורה השנייה: k -צלע של צורה אחת גדולה פי

P1 = ka + kb + kc + …. = kP

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

AA

B

B

C C

H

H

1

1

1

1

Z

Z

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

יחס -יחס ההיקפים של שני מצולעים דומים )ולאו דווקא משולשים( שווה לכלומר:

הדמיון.

1דוגמה

יחס ההיקפים של שתי הצורות:מצאו

:נחשב את יחס הדמיון

לכן, זה יהיה גם יחס ההיקפים:

:P = 1.51P

יחס שטחים של משולשים דומים 2.2

, אז יחס 2a –, ושל השני a -צלע של ריבוע אחד שווה לאם

, a2= 4a 2:a2(2a):2 4 = השטחים של שני הריבועים הוא:

של יחס הדמיון. ריבועכלומר,

אפשר להסיק לגבי יחס שטחים של משולשים דומים:מסקנה דומה

. k הדמיוןשל משולשים דומים שווה לריבוע של יחס יחס שטחים משפט

.kנתבונן בשני משולשים דומים בעלי יחס הדמיון הוכחה

את שטחי המשולשים. 1S -ו S -בנסמן

מכיוון שבצורות דומות, יחסי כל הקטעים

מתאימים שווים )צלעות, גבהים, תיכונים וכ"ד(,

יחס הגבהים של שני המשולשים גם הוא שווה

, נסיק לגבי יחס h= k 1hליחס הדמיון:

השטחים:

2דוגמה

יחס השטחים של שתי הצורות:מצאו

:נחשב את יחס הדמיון

לכן, יחס השטחים הוא:

= 2.25 2:S = 1.51S

6

8

01

z9

81

xy

a 2a

14

6

8

01

z9

81

xy

a 2a

14

a

b

ch

ka

kb

kckh

S Sk2

20

דמיון משולשים –גיאומטריה

2דוגמה

הוא טרפז. ABCDנתון:

.AOB -ו CODמצאו את יחס השטחים של המשולשים .א

.DOA -ו CODמצאו את יחס השטחים של המשולשים .ב

.אAOB COD ).עפ"י משפט הדמיון ז.ז(.

k = 3:5 = 0.6יחס הדמיון הוא:

-לכן יחס השטחים של המשולשים שווה ל

, לכן לא דומיםהם AOD -ו CODהמשולשים ב.

אפשר להשתמש במשפט של יחס השטחים. -אי

במקום זאת, נתבונן במשולשים אלה ונגלה שיש

, אשר OC -ו AOובסיסים DHלהם גובה משותף

AOBמהווים צלעות מתאימות במשולשים דומים

. DOC -ו

לכן אפשר לרשום:

חוצה זווית משפט 2.8

משפט

מחלק את הצלע הנגדית לקטעים הפרופורציוניים לצלעות במשולש חוצה זווית

המכילות את הזווית.

הוכחה

.ABCחוצה זווית במשולש – ADיהיה

, לכן AHגובה משותף ACD -ו ABDלמשולשים

-יחס שטחיהם שווה ל

שני, למשולשים אלה יש זוויות שוות מצד

(1 = 2), :לכן

מ.ש.ל. . השוויונות הנ"ל מקבלים:משני

6

8

01

z9

81

y

a 2a

14

a

b

ch

ka

kb

kckh

S Sk2

A B

CD

O

3

5

6

8

01

z9

81

y

a 2a

14

a

b

ch

ka

kb

kckh

S Sk2

A B

CD

O

3

5

6

8

01

z9

81

y

a 2a

14

a

b

ch

ka

kb

kckh

S Sk2

AB

CD

O3

5

H

21

דמיון משולשים –גיאומטריה

, ADCחוצה זווית – BDנתון: ADCשולש במ 2דוגמה

AD = 21 ,DC = 14 ,AC = 25 מצאו את .AB.

נסמןAB = x :אז ,BC = AC – x = 25 – x.

תרגילים

לכל שרטוט רשמו פרופורציה מתאימה: .717

ב א

השלימו את החסר: .717

?_____ = AC = 60, CD = 30, AD = 50, BC. א

?_____ = AB = 27, BC = x, , AD = x, AC. ב

AB = 2x - 12, BC = x, CD = x + 5, AD = 2x – 4, AC = _____? 00. ג

; BC = 12, CA = 13, AD = 14הינן: ABCצלעות המשולש . 717

M היא נקודה אמצעית שלCAו ,- P היא הנקודה שבה הצלעCA ידי חוצה -נחתך על

. MP. מצאו את Bזווית

של משולש וגם תיכון לצלע ממול הזווית, אז הוכיחו שאם הישר הוא חוצה זווית . 717

שוקיים.-המשולש הוא שווה

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

הוכיחו שלא קיים משולש שבו שני ישרים שמחלקים את אחת . 712

מזווית לשלוש זוויות שוות וגם את הצלע שמול הזווית

לשלושה קטעים שווים.

הינן צלעות מתאימות של משולשים 1B1A -ו ABנתון: .271 77.1.1

. 1C1B1A , ,= 4 cm 1C1A,= 47.3° B -ו ABCדומים

ויחס שטחי המשולשים האלה. 1B ,СAמצאו את

7.5ס"מ, וחוצה זווית מחלק את הצלע הנגדית לקטעים של 25 -היקף המשולש שווה ל .712 77.1.7

ס"מ. מצאו את צלעות המשולש. 2.5 -ו

ABCהינן צלעות מתאימות של משולשים דומים 1C1B -ו BC -ו, 1B1A-ו ABנתון: .707 77.7.1

ויחס שטחי המשולשים, אם ידוע ש: ABהצלע , 1C. מצאו את הזווית 1C1B1A -ו

,= 5 cm 1B1A,C = 15.5° .

. מצאו את הקטעים להם חוצה זווית המשולש מחלק ס"מ 35 -היקף המשולש שווה ל .771 77.7.7

ס"מ. 16 -ו 12 -את הצלע הנגדית אם ידוע ששתי הצלעות האחרות שוות ל

-ו MHKהינן צלעות מתאימות של משולשים דומים CT -ו CP ,MK-ו MHנתון: .777 7.1. 7

CPT. מצאו אתTP זווית ,H , :ויחס שטחי המשולשים אם ידוע ש

HK =11 ,ס"מP = 31° .

הינן שוות; A -ו ABD, זוויות ABCהוא חוצה זווית במשולש BDקטע נתון: ה .777 77.77

AB = 28 cm, BC = 36 cm, DC = 27 cm מצאו את .BD.

צלעות מתאימות, – CT -ו CO ,KP -ו KEדומים, COT -ו KEPנתון: משולשים .777 .77.7

,EP =2.2 ,ס"מT = 42.5° מצאו את הזווית .P את ,OT ואת יחס שטחי

.COT -ו KEPהמשולשים

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

שוות, A -ו ACDזוויות ;ABCהוא חוצה זווית במשולש СD קטע נתון: ה .777 7.7. 7

AC = 15 cm ,CD = 10 cm ,BC = 12 cm מצאו את .BD.

.1C1B1A -ו ABCצלעות מתאימות במשולשים דומים – 1B1A -ו ABנתון: .777 77.7

, אם ידוע ש:1C1B1A -ו ABCויחס שטחי המשולשים A, זווית 1C1Bמצאו את

= 5:2 1C1BC:A ,AC = 7 cm ,= 17° 1B.

מחלקת את K, ונקודה ACהיא אמצע הבסיס E, הנקודה ABC צלעות-שווה במשולש .772 77.7.7

. Cמקדקוד 2:5ביחס BCהצלע

.BEעל ידי הישר AKמצאו את יחס הקטעים המוקצים על הקטע

הן צלעות מתאימות במשולשים דומים 1B1A -ו 1A1C ,BC -ו ABנתון: .277 77.7.1

ABC 1 -וB1A1C1 3:4 = -. גם נתון שB1BC:A ,AC =6 ,1 15° =ס"מA .

.ABC -ו 1C1B1Aויחס שטחי המושלשים B, זווית 1C1Bמצאו את

נמצאת O, ונקודה MPהיא אמצע הקטע K, נקודה MH = HPנתון: MHP במשולש .772 77.7.7

. Oמהנקודה 3:4ביחס MOמחלק את הקטע HK. הישר HPעל הישר

.HO:OPמצאו את היחס

גובה. – BD -הוא יתר ו ABC ,ACזווית -שוקיים ישר-שווה במשולש .770 77.2.1

, BDC -ו ABCרשמו את שוויון היחסים של צלעות מתאימות במשולשים

אם ידוע שהם דומים.

הם חוצי זווית. 1BB -ו AB = BC ,1AAנתון: ABC במשולש .717 77.2.7

צלעות. -, אז המושלש הוא שווהAB 1BA =1הוכיחו שאם

גובה. – BD -הוא היתר ו AC, שוקיים-איננו שווה ABCזווית -ישר משולשנתון: .777 77.2.1

, BCD -ו ABDרשמו את שוויון היחסים של צלעות מתאימות במשולשים

אם ידוע שהם דומים.

הוכיחו שאם גובה ותיכון מאותו קדקוד של משולש מחלקים את הזווית לשלוש זוויות .777 77.2.7

זווית.-שוות, אזי המשולש הוא ישר

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

נימשפט דמיון ש 2.9

פרופורציוניות לשתי צלעות של של משולש אחד צלעותאם שתי משפט

אזי המשולשים דומים. זוויות הכלואות ביניהן שוות,המשולש שני, ו

1C1B1A -ו ABC משולשים נתבונן בשני הוכחה

. -ו 1AA = שעבורם מתקיים

משפט הדמיון הראשון, מספיק להוכיחעפ"י

.1B= B -ש

, אשר בו: 2ABCנשרטט משולש עזר

1B2 = , 1A1 =

פי משפט -דומים על 1C1B1A -ו 2ABCהמשולשים

לכן )שתי זוויות שוות באופן הדדי(, דמיון ראשון

:עבורם מתקיים

מצד שני, עפ"י הנתון:

2AC = ACמכאן מסיקים:

חופפים עפ"י משפט 2ABC -ו ABCהמשולשים

– AB -, מכיוון ש)צזצ(ראשון של חפיפת משולשים

.1A = ,2AC = ACצלע משותפת,

, 1B2 = -, ובגלל ש2B = -מזה נובע ש

מ.ש.ל. . 1BB = -מסיקים סופית ש

A A BB

C

C

11

1

A A BB

C

C

11

1

A A BB

C

C

11

1

C2

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

יחס תיכונים מתאימים במשולשים דומים .2.1

, 1C1B1A ABCיהיו

BM 1 -וM1B – תיכונים לצלעות

. 1C1A -ו ACמתאימות

:1M1B1A -ו ABMנתבונן במשולשים

)זוויות מתאימות 1A= Aבהם

. -(, ו1C1B1A -ו ABCבמשולשים דומים

. 1M1A -ו AMנחשב את יחס הצלעות

הם תיכונים, אשפר לרשום: 1M1B –ו BM -מכיוון ש

היחס הנדרש הוא:לכן

יחסי שתי הצלעות המתאימות שווים ושווה 1M1B1A -ו ABMכלומר, במשולשים

1M1B1A MABהזווית ביניהן. לכן עפ"י משפט דמיון שני המשולשים דומים:

)שהן תיכונים במשולשים הגדולים( שווה ליחס דמיון: 1M1B -ו BMהצלעות ויחס

מ.ש.ל.

תרגילים

ושני( ן)משפט דמיון ראשו

משמאל הם דומים.א המתוארים בשרטוטהוכיחו שמשולשים .777 77.1.1

. O)ראו שרטוט ב( נפגשים בנקודה ABCDהמשכי השוקיים של הטרפז .777 77.1.7

אם נתון: AOD -ו BOCויחס שטחי המשולשים BOמצאו את

AD = 5 cm, BC = 2 cm, AO = 25 cm .

משמאל הם דומים. גהוכיחו שמשולשים המתוארים בשרטוט .777 77.7.1

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

AA

B

B

C C

H

H

1

1

1

1

Z

Z

MM1

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

ג שרטוט שרטוט ב אשרטוט

)שרטוט ד(. Oם בנקודה חתכינ CD -ו ABהקטעים .772 77.7.7

.AO = 12 cm, BO = 4 cm, CO = 30 cm, DO = 10 cm נתון:

, DBO = 61°, אם ידועה זווית CAOהזווית מצאו את

.BOD -ו AOCויחס שטחי המשולשים ואת

הם דומים. 'הוכיחו שמשולשים המתוארים בשרטוט ה .772 77.7.1

-ו Mבנקודות BC -ו ABחותך את הצלעות ABC של המשולש ACישר המקביל לצלע .772 77.7.7

H .מצאו את בהתאמהAC ויחס שטחי המשולשיםABC ו- BMH ,

.MB = 14 cm, AB = 16 cm, MH = 28 cmאם נתון:

המתוארים בשרטוט ו הם דומים. CBA -ו MBHהוכיחו שמשולשים .770 77.7.1

.AB = 15 m, AC = 20 m, BC = 32 mנתון: ABCבמשולש .771 77.7.7

.AE = 12 mקטע – AC, ועל הצלע AD = 9 mמוקצה קטע ABעל הצלע

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

.ADE -ו ABCואת ויחס שטחי המשולשים DEמצאו את

.1 = 2 ,AD = 4, AC = 9בשרטוט ז נתון: .777 77.7.1

.ABC -ו ABDויחס שטחי המשולשים ואת ABמצאו את

.Oנחתכים בנקודה ABCDאלכסוני המרובע .777 77.7.7

שווים. ABD -ו ACD. הוכיחו ששטחי המשולשים AOBO = CODOנתון:

.BCAC ,MHBC ,2MC = BC ,MH = 0.5ACבשרטוט ח נתון: .777 77.7.1

.MCH -ו ABCשטחי המשולשים יחס ומצאו את AB||CHהוכיחו כי

77.7.7 777. AD ו- BC הם בסיסי הטרפזABCD ובנקודה ,O .נחתכים אלכסוני הטרפז

.ACD -ו ABCשטחי המשולשים . מצאו את יחס AO:OC = 3:2נתון:

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

לישימשפט דמיון ש 2.11

אם שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציוניות לשלש הצלעות משפט

במשולש שני, אזי המשולשים דומים.

1C1B1A -ו ABC משולשים נתבונן בשני הוכחה

שצלעותיהם פרופורציוניות:

(1)

מספיק 1C1B1A ABC -מנת להוכיח ש-על

)אז המשולשים יהיו דומים 1AA = -להוכיח ש

, 2ABCפי משפט דמיון שני(. נתבונן במשולש עזר -על

.1B2 = , 1A1 = אשר בו:

דומים לפי משפט דמיון 1C1B1A -ו 2ABCהמשולשים

. ראשון, לכן

.2BC = BC ,A2CA = C( ונסיק ש: 1נשווה שוויונות אלה עם השוויונות )

פי שלוש צלעות. -חופפים על 2ABC -ו ABCהמשולשים

. מ.ש.ל.1AA = -מסיקים ש 1A1 = -, ומכיוון ש1A = לכן:

תרגילים

:y -ו xמצאו את יםפי נתוני השרטוט-על .777 .770

. Eמסומנת נקודה ABCDשל המקבילית CDעל צלע .772 .771

. מצאו את:Fנחתכים בנקודה BC -ו AEהישרים

;DE = 8 cm ,EC = 4 cm ,BC = 7 cm, AE = 10 cmאם נתון: FC -ו EF .א

.AB = 8 cm ,AD = 5 cm ,CF = 2 cmאם נתון: EC -ו DE .ב

A A BB

C

C

11

1

C2

A A BB

C

C

11

1

C2

8

12 6

x

A A BB

C

C

11

1

C2

8

12 6

x

y

20

01

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

מצאו את:. Oנחתכים בנקודה CD -ו ABשבסיסיו ABCDאלכסוני הטרפז .772 .777

;OB = 4 cm ,OD = 10 cm ,DC = 25 cm, אם נתון: AB .א

;AB = a ,DC = bאם נתון: -ו .ב

.AB = 96 cm ,DC = 24 cm ,AC = 15 cm, אם נתון: AO .ג

שוקיים שיש להם:-דומים משולשים שוויהאם .772 .777

א. זווית חדה שווה;

זווית כהה שווה; ב.

ג. זווית ישרה? נמקו את התשובה.

ס"מ. 2 -ס"מ ו 7בסיסי הטרפז הם .770 .777

.Mס"מ האריכו עד למפגש בנקודה 7.2 -ס"מ ו 7.7את השוקיים שאורכם

לקצות הבסיס הקטן. Mמצאו את המרחקים מנקודה

, ABCשל המשולש CA-ו AB,BCעל הצלעות בהתאמה נמצאות P -ו M,Nנקודות .771 .777

אם נתון: AMNP. מצאו את צלעות המרובע MN||AC ,NP||ABכאשר

;AB = 10 cm ,AC = 15 cm ,PN:MN = 2:3א.

. AM = AP ,AB = a ,AC = bב.

ידי ישרים מקבילים -נחתכות על Oצלעות הזווית .777 .777

AB ו- CD .

פרופורציוניים AC-ו OAהוכיחו שקטעים

.BD -ו OBלקטעים

פתרון

היא נקודת החיתוך C1)נק' BDהמקביל לישר 1ACאת הישר Aנעביר דרך נקודה

פי משפט הדמיון הראשון -על 1ACC OAB (. אז, CDעם הישר 1ACשל הישר

(COAB = , 1CACO = לכן ,) .

.מ.ש.ל . -)נמקו, מדוע?( מסיקים ש BD 1AC = -מכיוון ש

O

A

B

C

C

D

1

20

דמיון משולשים –גיאומטריה

B, כאשר הנקודות DE -ו BCידי ישרים מקבילים-נחתכות על Aשוקי הזווית .777 .772

מצאו את: .שנייהעל ה – E -ו C -נמצאות על שוק אחת, ו D -ו

;CE = 10 cm ,AD = 22 cm ,BD = 8 cm, אם נתון: AC .א

;AB = 10 cm ,AC = 8 cm ,BC = 4 cm ,CE = 4 cm, אם נתון: DE -ו BD .ב

. AB:BD = 2:1 ,DE = 12 cmאם נתון: BC .ג

, כאשר הנקודות 1CC -ו 1AA ,1BBידי ישרים מקבילים -נחתכים על b -ו aהישרים .777 .772

1A ,1B 1 -וC נמצאות על הישרb . :הוכיחו שמתקיים .

.AC = 16 cm -ו AB = 5 cmמוקצים קטעים Aעל שוק אחת של זווית נתונה .777 .772

.AF = 10 cm -ו AВ = 8 cm על שוק שנייה של אותה הזווית הוקצו קטעים

.תכםדומים? נמקו את תשוב AFB-ו ACDהאם המשולשים

אם ידוע ש: 1C1B1A -ו ABCהאם דומים המשולשים .777 .770

, cm 3AB = ,cm 5C = B ,cm 7= CA ,cm .5= 4 1B1A ,= 7.5 cm 1C1Bא.

= 10.5 cm 1A1C;

, cm 1.7AB = ,cm 3BC = ,cm 4.2CA = ,cm 340= 1B1A, 600 cm= 1C1Bב.

cm 840= 1A1C?

צלעות דומים.-הוכיחו ששני משולשים שווי .772 .771

. h -שווה ל CHוגובה a -שווה ל ABאורך הצלע ABCבמשולש .772 .777

כך, ששניים מקדקודיו הסמוכים ABCמצאו את אורך צלע הריבוע החסום במשולש

בהתאם. BC-ו ACעל הצלעות –ושניים האחרים ABהצלע נמצאים על

. ABCשל המשולש ADנמצאת על תיכון Mנקודה .772 .777

. Kבנקודה ACהעבירו ישר, שחותך את הצלע Bוקדקוד המשולש Mדרך הנקודה

אם נתון ש: מצאו את היחס

;ADנקודה אמצעית של הקטע – M .א

. .ב

21

דמיון משולשים –גיאומטריה

.AD||BC -כך ש O נחתכים בנקודה CD -ו ABקטעים .770 .77.1.7

. -הוכיחו ש

שוקיים אם ידוע ששוק ובסיס של שחד מהם -דומים שני משולשים שוויהאם .771 77.7.1

פרופורציוניים לשוק ובסיס של השני?

בהתאמה. H-ו Mבנקודות ABCשל המשולש BC -ו AB ישר חותך את הצלעות .777 77.7.7

. , BA = 3MBנתון:

.MH||AC -הוכיחו ש

. ABCDבמקבילית BCהיא אמצע הצלע Eנקודהנתון: .777 .77.7.7

.1:2ביחס של BD מחלק את האלכסון AE הוכיחו שהישר

בעלי צלעות שונות. ממקלות עץ בנו שלושה משולשים דומים .777 .77.7.1

בכחול. -בכל משולש את הצלע הארוך צבעו באדום, ואת הצלע הקצר

למשולש המורכב מכחולים? האם המשולש המורכב ממקלות אדומים יהיה דומה

,O , ABCD , DBO = 25°נחתכים בנקודה CD-ו ABנתון: הקטעים .777 77.7.7

OD = 3CO, .

.OCAמצאו את הזווית

נתון: 1C1B1A -ו ABCבמשולשים .777 .77.7.1

= 5.25 1C1= 9, A 1C1= 4.5, B 1B1AB = 7, BC = 6, AC = 12, A

.B -ו Cבאמצעות הזוויות 1Cבטאו את הזווית

ס"מ. 11 -ס"מ, וגובה שווה ל 6 -ס"מ ו 9 -בסיסי הטרפז שווים ל .772 77.7.7

מצאו את המרחקים מנקודת מפגש האלכסונים לבסיסי הטרפז.

וצלע של פרופורציוניים ליתר הם זווית אחד -הוכיחו שאם יתר וצלע של משולש ישר .772 77.7.1

זווית אחר, אזי המשולשים דומים.-משולש ישר

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

, M ,Hמסומנות בהתאמה נקודות ABC של המשולש CA-ו AB,BCעל הצלעות .772 77.7.7

K ,4שמתקיים: כךAM = AB, 3HC = BH.

?BKאת הקטע MHבאיזה יחס מחלק הישר

מקבילית, – ABCDהתבוננו בשרטוט. בו נתון: .720 77.2.1

הוא טרפז. MKTP הוכיחו שמרובע

שוק ותיכון לשוק זאת במשולש אחד שוקיים דומים אם-הוכיחו ששני משולשים שווי .721 77.2.7

לשוק ותיכון אליה במשולש השני. בהתאמה פרופורציוניים הם

בשרטוט נתון:ש DTH-ו BMEבמשולשים .727 77.2.1

.מקבילית – ABCD הוכיחו כי

הוכיחו שקטע המחבר את בסיסי הגבהים במשולש .727 77.2.7

זווית מקצה מממנו משולש דומה.-חד

O

A

B

C

C

D1

K

P

T

O A

B

C

C

D

1

K

P T

M

E

H

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

הוכחות משפטיםבשימוש בדמיון משולשים בפתרון בעיות ו

פרופורציוניים קטעים 2.12

. יחס הקטעיםמכונה בפשטות CD -ו AB אורכי הקטעיםיחס

פרופורציוניים לקטעים CD-ו AB אומרים שקטעים

1B1A 1 -וD1C . אם שווים היחסים

ס"מ, ואורכי 1 -ס"מ ו 7 -שווים בהתאמה ל CD -ו ABלדוגמה, אם אורכי הקטעים

CD -ו ABס"מ בהתאמה, אז הקטעים 1.7 -ס"מ ו 7הם 1D1C -ו 1B1Aהקטעים

, מכיוון שמתקיים:1D1C -ו 1B1Aפרופורציוניים לקטעים

יכולים להיות פרופורציוניים גם יותר משני זוגות הקטעים; לדוגמה, שלושת הקטעים

AB ,CD ו- EF 1פרופורציוניים לשלושת הקטעים האחריםB1A ,1D1C 1 -וF1E אם

מתקיים השוויון:

זווית-ישרקטעים פרופורציוניים במשולש 2.12

מחלק את ליתר גובה זווית -ישר במשולש 1 משפט

זווית, שכל -המשולש לשני משולשים דומים ישרי

.אחד מהם דומה למשולש הנתון

. ABגובה ליתר – CDזווית, -משולש ישר – ABCיהיה הוכחה

-משותפת, ו Aדומים עפ"י משפט דמיון ראשון )זווית ACD -ו ABCהמשולשים

ADC = 90° ACB = .)

משותפת, B)זווית CBD-ו ABCמאותם השיקולים דומים המשולשים

.A = BCD(, לכן = BDC = 90° ACB -ו

O

A B

C

C

D

1

K

P T

M

E

H

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

עפ"י משפט דמיון ראשון )במשולשים CBD -ו ACD לבסוף, דומים גם המשולשים

מ.ש.ל. (. A = BCD -ישרות, ו D-אלה, הזוויות שקדקודן ב

,CD -ו ABשל שני הקטעים ממוצע גיאומטרימכונה XYקטע הגדרה

. אם אורכו מקיים:

של שני הקטעים גובה ליתר הוא ממוצע גיאומטרי ,זווית-במשולש ישר 2 משפט

שאותם מקצה גובה זה על היתר.

. , לכן CBD ADC פי המשפט הקודם,-על הוכחה

, DB= AD 2CD בהתבסס על תכונת הפרופורציה מכאן מקבלים:

. מ.ש.ל. ולבסוף

גיאומטרי הוא ממוצע זווית-במשולש יש ניצב 2 משפט

לבין הגובה ליתר.הזה של היתר וקטע היתר בין הניצב

אפשר לרשום: CDA C BA -מכיוון ש הוכחה

., ולבסוף: AD= AB 2ACלכן,

מ.ש.ל. . , BD = AB 2BC בדומה לכך,

משפט פיתגורס 2משפט

.ניצבים ינריבועים של שהלסכום שווה ישר זוויתבמשולש יתרריבוע של

הוכחה

פי המשפט הקודם אפשר לרשום:-על

AC2 + BC2 = ABAD + ABBD = AB(AD + DB) = ABAB = AB2

מ.ש.ל.

תרגילים

.c = 4 ca ,1 =נתון: ABCישר זווית במשולש .277 72.1.1

.hca, b, b ,מצאו את:

.c = 4 ca ,6 =נתון: ABCבמשולש ישר זווית .277 72.7.1

.hca, b, b ,מצאו את:

O

A B

C

C

D

1

K

P T

M

E

H

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

. 11 -ואחד מהניצבים שווה ל 11במשולש ישר זווית אורך היתר הוא .727 72.7.1

מצאו את הניצב השני, את הגובה ליתר ואת הקטעים שאותם מקצה גובה על היתר.

. 11 -ואחד מהניצבים שווה ל 1 -ליתר שווה לבמשולש ישר זווית נתון: גובה .722 72.7.1

הקטעים שאותם מקצה גובה על היתר.מצאו את היתר, את הניצב השני ואת

. 2 -וגובה ליתר שווה ל 1 -ישר זווית היתר שווה ל במשולש .722 72.7.1

על היתר. הקטעים שאותם מקצה גובההשני ואת יםמצאו את הניצב

ס"מ, AC ,BC =2הוא גובה ליתר BDנתון: ABCזווית ישר במשולש .722 72.7.1

AD =1 ס"מ. מצא אתDC ,BD ו- AB.

וחותכת ADCחוצה זווית חדה DMקרן , A = 90°נתון: ABCDזווית -טרפז ישרב .720 1..72

;СDלצלע Mהוא אנך מנקודה M; MKבנקודה אמצעית ABאת הקטע

KC = 4 cm, KD = 9 cm מצאו את .MK.

מאונכים באופן הדדי. זווית -טרפז ישראלכסוני .721 1..72

2 -מצאו את הבסיס הקטן של הטרפז אם ידוע כי גובה הטרפז שווה ל

.1 -והבסיס הגדול ל

;h, a, b. מצאו: c= 25, a cb 16 =נתון: ABCזווית -א. במשולש ישר .277 . 72

;h, a, b. מצאו: c= 36, a cb 64 =ב. נתון:

;ca, c, a. מצאו: b = 12 cb ,6 =. נתון: ג

;cb, c, b. מצאו: ca = 8, a 4 =ד. נתון:

.ch, b, a, b. מצאו: c = 9, a = 6ה. נתון:

.c -ו a ,bבאמצעות cb -ו caבטאו את .277 .727

ב. הוכיחו ש: א. .727. 727

מ"מ. 11 -, והיתר שווה ל3:4זווית הוא -יחס הניצבים במשולש ישר .727 .727

מצאו את הקטעים שאותם מקצה גובה מקדקוד של זווית ישרה על היתר.

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

BC

H

a

bc

h

bc

ac

27

דמיון משולשים –גיאומטריה

זווית, גובה מקדקוד של זווית ישרה מקצה על היתר קטעים, שאחד -במשולש ישר .727 .727

.6:5ס"מ. מצאו את היתר אם ידוע שיחס הניצבים הוא 11 -מהם גדול מהשני ב

ס"מ. 11 -ס"מ ו 12ס"מ, 1 -צלעות המשולש שוות ל . 722 .722

מצאו את הקטעים שאותם מקצה על הצלע הגדול גובה לצלע זה.

במשולש םקטע אמצעי 2.12

םאת אמצעי שתי הצלעות של משולש מכונה קטע אמצעיהמחבר קטע הגדרה

של המשולש.

השלישית ושווה למחציתה.במשולש מקביל לצלע םקטע אמצעי 2 משפט

. ABCקטע אמצעי של משולש – MN יהיה הוכחה

דומים עפ"י משפט הדמיון ABC -ו BMNמשולשים

משותפת,זווית – Bהשני )

יחסי הצלעות שווים: (.ו

. -ו 1 = 2 לכן

)הסבריו, מדוע?(, MN||ACנובע: 1 = 2משוויון הזוויות

מ.ש.ל.. -ש –ומהשוויון השני

מפגש תיכונים במשולש 2.12

אשר מחלקת כל תיכון ,שלושת תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת 2 משפט

.החל מקדקוד המשולש 2:1ביחס

. ABCנתבונן במשולש איזשהו הוכחה

-ו 1AAאת נקודת המפגש של שני תיכונים O-נסמן ב

1BB 1ונעביר קו אמצעיB1A .של המשולש

שוות כזוויות 7 -ו 7וגם 7 -ו 1, לכן הזוויות ABמקביל לצלע 1B1Aקטע אמצעי

מתחלפות.

דומים, לכן יחסי צלעותיהם 1OB1A -ו AOBפי משפט דמיון שני, המשולשים -על

שווים:

A B

C

M NAB

1

2

1

1

C

O

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

.O1BO = 2B -ו O1AO = 2A, לכן 1B1AB = 2Aאולם,

מחלקת את כל אחד מהם ביחס 1BB -ו 1AAשבה נפגשים התיכונים Oובכן, נקודה

החל מהקדקוד. 2:1

מחלקת את כל אחד 1CC -ו 1BBבאופן דומה מוכיחים שנקודת המפגש של התיכונים

. Oהחל מהקדקוד, ולכן היא מתלכדת עם הנקודה 2:1מהם ביחס

ידיה באותו יחס.-ובכן, כל שלושת התיכונים נפגשים באותה נקודה ומתחלקים על

הוכחה של ארכימדס

הוכחות רבות של משפט התיכונים במשולש; אחת מהן המבוססת על שיקולים ישנן

717-722ארכימדס ) –מכניים שייכת לאחד מגדולי המתמטיקאים מכל הזמנים

לפנה"ס(.

ארכימדס התייחס למשולש כמו לגוף ממשי, שאותו ניתן לתלות במרכז הכובד שלו

P .כך שהוא יישאר בשיווי משקל

המשולש ה"ממשי" הפשוט ביותר מכיל שלושה מוטות

)צלעות( קלות שבקצותיהם )קדקודים( מחוברות

. Mמשקולות בעלות מסות שוות

נקודה –כת כזאת במרכז הכובד אם לתלות מער

מסוימת בתוך המשולש, אז היא תישאר בשווי משקל

)"אדיש לסיבובים"( במצב כלשהו .

כעת, נעביר שתי מסות מהקדקודים לאמצע המוט

כלשהו. ברור ששינוי כזה לא יפר את שווי המשקל:

הרי אמצע המוט הוא מרכז הכובד שלו, ובגלל שבמצב

שתי המסות, השפעתו על כל החדש יהיו מרוכזות בו

המערכת לא תשתנה.

במצב החדש המשולש "יצטמק" למשקולת שבקצה

.2Mמסה –, ובשני Mאחד נמצאת מסה

על הקו המחבר את מרכז הכובד של משקולת זאת נמצא

לשתי המסות 7 -המסות, ובמרחק קרוב יותר פי

A B

C

M NAB

1

2

1

1

C

O

M

M

M

P

A B

C

M NAB

1

2

1

1

C

O

M

M

M

P

A B

C

M NAB

1

2

1

1

C

O

M

M

M

P

1

2

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

פי "חוק המנוף" שאותו ניסח ארכימדס והשתמש -)על

במערכות מכניות רבות שהוא המציא(. בו

:כימכיוון שבנייה כזאת אפשר לבצע עבור כל מוט )צלע(, מסיקים

-מרכז הכובד נמצא בנקודה שבה נפגשים שלושת התיכונים של המשולש, ו (א

החל מהקדקוד. 2:1נקודת המפגש של התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס (ב

תרגילים

72.1.1 722. M ו- K נן נקודות אמצעיות של הצלעות יהAB ו- BC במשולש בהתאמהABC .

. מצאו את היקף המשולש.MB = 6 cm, MK = 5 cm, BC = 14 cmנתון:

לצלע ABCשוקיים -מצאו את המרחק מנקודת מפגש התיכונים של משולש שווה .722 72.1.7

BC :אם נתון ,AB = AC = 10 cm, BC = 16 cm.

72.7.1 720. K ו- P הינן נקודות אמצעיות של הצלעותAB ו- BC בהתאמה במשולשABC.

. מצאו את היקף המשולש.AC = 8 cm, CP = 6 cm, AB = 14 cmנתון:

.AB = AC = 13 cm ,BC = 10 cmנתון: ABCשוקיים -במשולש שווה .721 72.7.7

של המשולש. Aמנקודת מפגש התיכונים לקדקוד מצאו את המרחק

ס"מ. 6והניצב הקטן הוא 30° -זווית אחת מזוויות חדות שווה ל-במשולש ישר . 727 72.7.1

יד קטעי אמצעים של המשולש הנתון.-מצאו את היקף המשולש הנוצר על

ס"מ. 11 -ו 21, 21 -צלעות המשולש שוות ל .727 7..72

מנקודת מפגש התיכונים לקדקודי המשולש.מצאו את המרחקים

.45° -אחת הזוויות החדות שווה לזווית -במשולש ישר .727 1..72

יד קטעי אמצעים של משולש זה.-מצאו את היקף המשולש הנוצר על

מנקודת מפגש התיכונים לקדקודי המשולש שווים שוקיים המרחקים -שווהבמשולש .727 727.7

מצאו את צלעות המשולש. ס"מ. 21 -ו 11, 21 -ל

22

דמיון משולשים –גיאומטריה

. Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1AA ,1BB, התיכונים ABC במשולש .772 7.7.1

בהתאמה. 1OC -ו 1OA ,1OBהינן אמצעי הקטעים 2C -ו 2A ,2Bנקודות

דומים. 2C2B2A -ו ABCהוכיחו שמשולשים

ס"מ. 21 -ו 11, 11 -שוות למשולש צלעות ה .722 72.7

המשולש.מנקודת מפגש התיכונים לצלעות מצאו את המרחקים

. Oנפגשים בנקודה 1CC -ו 1AA ,1BBהתיכונים ABCבמשולש .272 7.1. 7

בהתאמה. CO -ו AO ,BOהינן אמצעי הקטעים 2C -ו 2A ,2Bנקודות

חופפים. 2C2B2A -ו 1C1B1Aהוכיחו שמשולשים

שוקיים לצלעות המשולש -מנקודת מפגש התיכונים במשולש שווההמרחקים .722 72.7.7

ס"מ. 5 -ו 8, 8 -שווים ל

מצאו את צלעות המשולש.

ס"מ. מצאו את היקף המשולש 7 -ס"מ ו 1ס"מ, 8נתון משולש שצלעותיו הם .700 .7 7

שקדקודיו הם נקודות אמצעיות של צלעות המשולש הנתון.

המרחק מנקודת מפגש האלכסונים של המלבן לישר המכיל את צלעו הגדול של .701 .77

ס"מ. מצאו את הצלע הקטן. 2.1 -המלבן שווה ל

. ABCבמשולש AC-ו AB הינן אמצעי הצלעות Q-ו Pנקודות .707 .77

ס"מ. 21 –שווה ל APQאם נתון שהקיף המשולש ABCמצאו את היקף המשולש

שאמצעי הצלעות של מרובע כלשהו מהוות קדקודי מקבילית. הוכיחו .707 .77

הוא מעוין אם קדקודיו הם אמצעי הצלעות של: שהמרובעהוכיחו .707 772

שוקיים.-ב. טרפז שווה א. מלבן

הוכיחו שהקטע המחבר את אמצעי האלכסונים של טרפז הוא מקביל לבסיסו ושווה .707 772

לחצי הפרש של בסיסיו.

100

דמיון משולשים –גיאומטריה

ס"מ. 18 -שווה ל ABCDשל המקבילית ACהאלכסון .707 720

. Dמחוברת לקדקוד ABשל הצלע Mנקודת האמצע

.ACעל האלכסון DM שאותם מקצה קטע מצאו את הקטעים

. Oנחתכים בנקודה 1BB -ו 1AA, התיכונים ABCבמשולש .270 721

.S -שווה ל ABOאם ידוע ששטח המשולש ABC מצאו את שטח המשולש

יום-גיאומטריה ובחיי יוםדמיון משולשים ביישומי 2.12

בגיאומטריה בעיות בנייה

. בשיטת הדמיוןבפתרון בעיות בניית משולשים רבות משתמשים

-פי חלק מנתוני הבעיה בונים משולש שדומה למבוקש, אחר-עקרון השיטה: תחילה על

הנדרש.פי נתונים אחרים בונים את המשולש -כך, על

פי שתי זוויות וחוצה זווית -בנו משולש על דוגמה

שלישית.

ים הנתונים: שתי זוויות וקטע בשרטוט מתואר פתרון

)חוצה זווית(.

משולש איזשהו הדומה למבוקש. בנהתחילה נ

C1B1Aונבנה משולש 1B1Aלצורך כך נשרטט קטע

שוות בהתאמה לזוויות הנתונות. 1B -ו 1Aשזוויותיו

ונקצה בו את הקטע Cלאחר מכן נבנה את חוצה זווית

CD .השווה לקטע נתון

.1B1A -נעביר ישר המקביל ל Dדרך הנקודה

. B -ו Aבנקודות C הוא יחתוך את שוקי הזווית

הוא המבוקש. ABCהמשולש

, כלומר, שתי זוויות 1BB = ,1AA = , אז: 1B1AB||A -שמכיוון הוכחה

שווה לקטע הנתון. CDחוצה זווית שוות בהתאמה לזוויות הנתונות. ABCהמשולש

מ.ש.ל. . עונה לכל הדרישות ABCהמשולשלכן

O

A B

C

C

D

1

K

P T

M

E

H

O

A B

C

C

D

1

K

P T

M

E

H

A B1

101

דמיון משולשים –גיאומטריה

תרגילים

בנו משולש עפ"י שתי זוויות וחוצה הזווית הקטנה. .702 .727

בנו משולש עפ"י שתי זוויות וגובה מקדקוד הזווית השלישית. .702 .722

.AB:AC = 2:3 -, אם ידוע שAMותיכון A עפ"י הזווית ABCבנו משולש .710 .722

.AB:AC = 2:1 -, אם ידוע שBCוצלע A עפ"י הזווית ABCבנו משולש .711 .722

עפ"י היתר ויחס הניצבים. זווית-בנו משולש ישר .717 .720

כך, MHPשוקיים -זווית ושווה-נתון יש לחסום משולש ישר ABCבמשולש .717 72.2

תהיה MHPבהתאמה, וזווית AC -ו AB ,BCיהיו על הצלעות P -ו M ,Hשהנקודות

זווית ישרה.

במשולש נתון יש לחסום מלבן בעל יחס צלעות נתון, כך ששניים מקדקודיו יהיו על .717 72.2

ם יהיו על הצלע השלישית. צלעות שונות של המשולש, ושניים אחרי

מדידות בשטח

תכונות משולשים דומים יכולות לעזור בביצוע עבודות מדידה בשטח.

נסקור שתי משימות: מדידת גובה העצם ומרחק לנקודה שאינה נגישה.

מדידת גובה העצם

שצריך לקבוע את גובה העצם, לדוגמה, עמוד נניח

נעמיד במרחק מסוים מהעמוד כך לצורך . 1C1Aחשמל

שבקצהו לייזר שניתן לכוונו בזווית כלשהי ACמקל

למקל.

, נסובב 1Aנכוון את הלייזר לנקודה עליונה של העמוד

שבה Bונסמן על פני הקרקע נקודה 180° -אותו ל

( פוגעת בה.1AA)שהיא המשך הישר הקרן

107

דמיון משולשים –גיאומטריה

משפט דמיון ראשון פי -על הם דומים ACB -ו B1C1Aזווית -משולשים ישריה

(C = 90° = 1C ,B – זווית .) משותפת

. לכן: , ומכאן מקבלים:

, ACלעמוד ולמקל, ואת גובה המקל BC -ו 1BCכלומר, אם נמדוד את המרחקים

נוכל לחשב את גובה העמוד.

, אז נציב בנוסחה ונקבל:m 1BC ,BC = 2.1 m ,AC = 1.7 m 6.3 =אם למשל,

מרחק לנקודה בלתי נגישהמדידת

. Bלנקודה בלתי נגישה Aנניח שצריך למצוא מרחק מנקודה

שאליה יש גישה, ומודדים Cלצורך כך, בוחרים בשטח נקודה

טנ ט ס ק ס . לאחר מכן מודדים באמצעות ACאת המרחק

. C -ו Aאת הזוויות (זווית שטח-מד)

שזוויותיו C1B1Aמשרטטים על דף נייר משולש כלשהו

C = 1CA, = 1A ומודדים את אורכי הצלעות ,

1B1A 1 -וC1A .במשולש זה

פי משפט -על)הם דומים 1C1B1A -ו CABהמשולשים מכיוון ש

. :מתקיים , אז(דמיון ראשון

. הנדרש:המרחק מחלצים את

AC ,1C1Aבאמצעות המרחקים הידועים ABנוסחה זו מאפשרת למצוא את המרחק

.1B1A -ו

, כלומר 1:1000בקנה מידה 1C1B1Aכדי לפשט את החישובים מקובל לשרטט משולש

יהיה שווה 1C1Aמ', אז 170 -שווה ל ACאם לדוגמה, . AC = 1:10001C1A:שיהיה

ס"מ(. 11מ"מ )כלומר, 111 -ל

107

דמיון משולשים –גיאומטריה

במקרה זה נקבל:

במטרים. ABבמילימטרים, נקבל מיד את המרחק 1B1Aלכן, אם נמדוד את המרחק

. AC = 130 m, A = 73° ,C = 58°נניח דוגמה

ומודדים , 1A ,= 58° 1C ,m= 130 mAC 73° = -כך ש 1C1B1Aמשרטטים משולש

מ'. 177 -מ"מ, לכן המרחק המבוקש שווה ל 153 -אורכו . 1B1Aקטע

תרגילים

השתמשו בלייזרשל עמוד חשמל 1C1Aמנת למדוד גובה -על .177 .722

.ACהמותקן על קצה החצובה

מה גובה העמוד, אם נתוני המדידות הם:

1.7 m = 6.3 m, BC = 3.4 m, AC = 1BC ?

מ'. 2.1 –מ' 1.7מ', ומהתלמיד שגובהו 11.2אורך הצל מהעץ הוא .717 720

מצאו את גובה העץ.

מנת למדוד גובה של עץ אפשר להשתמש במראה, -על .712 .721

מוחזרת FDכמתואר בשרטוט: קרן אור מהשמש

.Bונקלטת בעין הצופה בנקודה Dמהמראה בנקודה

מצאו את גובה העץ אם נתונים:

AC = 165 cm, BC = 12 cm, AD = 120 cm, DE = 4.8 m, 1 =2

ומדדו Cבחרו נקודה בשטח, Bלנקודה בלתי נגישה Aכדי למדוד מרחק מנקודה .712 .727

דומה 1C1B1A. לאחר מכן שרטטו על הנייר משולש ACB -ו BAC, זוויות ACמרחק

. ABCלמשולש

.cm 1B1= 6.3 cm, A 1C1AC = 42 m, A 7.2 =אם נתון: ABמצאו את

107

דמיון משולשים –גיאומטריה

1BB כיצד למדוד את רוחב הנהר ,בשרטוט מתואר .271 .727

.1C1AB -ו ABCבאמצעות שני משולשים דומים,

אם נתון: 1BBמצאו את

= 34 m 1= 32 m, AB 1AC = 100 m, AC.

501

יםמשולש דמיון

תשובות

ב( לא א( לא .802

618.1ב( 8.702א( . 85515

2

12,15,12 ב( 3:2 א( .858 zyx

א( .858x

x

103

2ב(

g

n

b

a

AC=78ג( AC=63ב( BC=37.5א( .852

851. MP=0.5

852. 3.471 B ,10AC 5.81, יחס השטחים הוא

852. 8.71 ,55.81 ,50

880. 5.151 C ,22AB 52.85, יחס השטחים הוא

ס"מ 2ס"מ , 8 .885

888. 31H ,33TP 5:2, יחס השטחים הוא

888. BD=21

882. 5.42P ,11OT 5:81, יחס השטחים הוא

881. BD=8

885. 17A ,8.211 CB 5.81, יחס השטחים הוא

887. 7:5

882. 15B ,811 CB 55:2, יחס השטחים הוא

882. 8:5

880. DC

BC

BC

AC

BD

AB

888. CD

BD

BD

AD

BC

AB

881. BO=10 2:81, יחס השטחים הוא

505

יםמשולש דמיון

887. 61CAO 2, יחס השטחים הוא

882. AC=32 52:22, יחס השטחים הוא

825. DE=19.2 81:2, יחס השטחים הוא

828. AB=6 2:2, יחס השטחים הוא

2יחס השטחים הוא .822

8:8יחס השטחים הוא .821

825. 21,9 yx

ב( 5EF ,5.3FC א( .8277

22EC ,

7

55DE

ב( 10AB א( .822b

a

OD

BO

OC

AO )12 גAO

ג( כן ב( כן א( כן .822

810. 6 ,3

16

815. 5.7 APMN ,5 NPAM

5,6ב( 5.17ACא( .818 BDDE )8גBC

כן, לפי משפט דמיון שני .811

כן ב( א( כן .815

852. ha

ah

ב( א( .852

DLישר Dדרך הנקודה ועבירה הדרכה

BK. שני הישרים המקבילים BK -ל המקביל

-ו ACBחותכים את שוקי זוויות DL -ו

DAC. 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

A

B

C

M

D

K L

507

יםמשולש דמיון

ורשמו את יחסי הקטעים 5.2שמשפט היעזרו

המוקצים בשוקי הזוויות.

לא .855

כן .852

851. 65OCA

855. CBC 1801

ס"מ 5ס"מ , 2 .857

852. 8:2

872. 32,2,3,3 babh c

871.

875.

877.

872. 52;5;1;4

872. 1,3,32 DCBDAB

820. 6MK

825. 3

11

61.25,01.32,20א( .828 abh )80,60,48 ב abh

18,78.20,24ג( caac )12,86.13,16 ד cbbc

4,5,71.6,47.4ה( cc abbh

828. c

baca

c

abcb cc

2,

2

222222

821. 86.24,14.25

825. 61

827. 923.1,077.11

12

12;12;

12

55;

12

114

502

יםמשולש דמיון

822. 36

822. 2

820. 34

825. 8

828. 196.14

828. 43.14,43.14,16

822. x707.1 (x- )אורך הניצב

821. 89.31,89.31,48

827. 55.29,55.29,54

822. 677.10,677.10,2.15

800. 10

805. 5

808. 42

805. 12,6

807. S3

מ' 8.51 .851

מ' 5.285 .855

מ' 5.58 .857

מ' 22 .852

מ' 78.81 .852