סדרות

?סדרהמהי § 10

סדר את ם ומ לציין את מקוכדי, שוניםעצמים רּפֵ ְס ַמ נוהגים לְ אנויום - בחיי יום

לקופת את התור , כיסאות בתאטרון, בתים ברחובים ִר ּפְ ְס ַמ ְמ , לדוגמה. הופעתם

.'תעודות זיהוי וכד, חולים

. בון זהחשבון אפשר לאתר ולבדוק כמה כסף נמצא בחשהפי מספר -על, בבנק

וכך , a2₪ נמצא סך של 2. בחשבון מס, a1₪ נמצא סך של 1. נניח שבחשבון מס

:סדרת מספריםונקבל , נרשום את הסכומים. הלאה

,a1, a2, a3, …, aN

מתאים N עד 1 - מnכאן לכל מספר . בבנק מספר כל החשבונותהוא Nכאשר

.י מתחילת הסדרה-nהנמצא במקום ,naמספר

מספר , האיבר השני - a2מספר , של הסדרה האיבר הראשוןמכונה a1מספר

a3 - וכך הלאההאיבר השלישי .

מספר – nוהמספר הטבעי , של הסדרה האיבר הכללי מכונה - naהמספר

.האיבר

בסדרת הריבועים של מספרים טבעיים , לדוגמה

1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2, …

האיבר , ..., a3 = 9 –שלישי , a2 = 4 –האיבר השני , a1 = 1האיבר הראשון הוא

. an+1 = (n + 1)2 - הוא n + 1והאיבר שמספרו , an = n2 הואהכללי

.(n) שווה למספרו בסדרה,לאו דווקא (an), ערכו של איבר ! שימו לב

, הלדוגמ, … ,a1, a2, a3, …, an: בסדרות אינסופיותבמתמטיקה נתקלים גם

.סדרת מספרים שלמים

כלומר , כל איברי הסדרהאת אפשר לחשב , נוסחת האיבר הכלליאם ידועה

.להגדיר את הסדרה

הנוסחה מגדירה את הסדרה, לדוגמה

an = 1

n (n = 1, 2, 3, ...)

1, 1

2,

1

3,

1

4, ...,

1

n, ...

111

סדרה חשבונית

: סדרת מספרים מוגדרת באמצעות נוסחת האיבר הכללי 1דוגמה

an = n(n – 2)

. של הסדרה100צאו את האיבר מספר ִמ

:n = 100 נציב בנוסחת האיבר הכללי

= 100⋅98 = 9800 a100 = 100(100 – 2)

:סדרת מספרים מוגדרת באמצעות נוסחת האיבר הכללי 2דוגמה

xn = 2n + 3

:מספר האיבר של הסדרה השווה לאת מצאו

50) ב 43) א

. n :40= n 2 ,20= nמכאן נחלץ , n 2 = nx +3 = 43: פי הנתון-על) א

. n :47= n 2 ,.523= nמכאן נחלץ , n 2 = nx +3 = 50: פי הנתון- על) ב

בסדרה הנתונה , לכך- אי. חייב להיות שלםא הוולכן , הוא מספר האיברnאולם

.50 -לא נמצא איבר השווה ל

לפעמים מגדירים סדרה באמצעות נוסחה המאפשרת לחשב את האיבר הכללי

האיברים הקודמים את במקרה זה מגדירים . באמצעות כמה איברים קודמים

).כלל נסיגה(לפיו מחשבים את האיבר הכללי שואת הכלל

:נסיגההסדרת מספרים מוגדרת באמצעות כלל 3דוגמה

bn+1 = bn + bn-1

. b1 = 1 ,b2 = 3והאיברים

.צאו את האיבר החמישי של הסדרהִמ

:האלהונחשב את האיברים העוקבים , נתוני הבעיה בכלל הנסיגהאת נציב

b3 = b2 + b1 = 3 + 1 = 4

b4 = b3 + b2 = 4 + 3 = 7

b5 = b4 + b3 = 7 + 4 = 11

b5 = 11

112

סדרה חשבונית

תרגילים

:נתונה סדרת ריבועים של מספרים טבעיים .1

1, 4, 9, 16, 25, …, n2, (n + 1)2, …

; של הסדרה) nאיבר מספר (השישי והאיבר הכללי , מנו את האיברים השלישי) א

.n2 ,(n + 1)2 ,25, 4: השווה ל, מספר איבר הסדרהאת מנו ) ב

:ידי הנוסחה לאיבר הכללי-על, שלושת האיברים הראשונים של הסדרהאתשבו חַ .2

an = 100 - 10n2) ג an = 1 + 3n) ב an = 2n + 3) א

a) ו ) ה )ד

סדרה חשבונית

n = - n3

. xn = n2 פי הנוסחה- נתונה סדרה המוגדרת על .3

:מה מספר האיבר השווה ל

? 225) ג 144 )ב 100 )א

?169; 49; 48 ים בין איברי הסדרה המספריםהאם נמצא

. an = n2 -2n – 6פי הנוסחה - נתונה סדרה המוגדרת על .4

:האם נמצא בין איברי הסדרה המספר

?9) ד 3) ג 2) ב -3) א

י יד-ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת עלאת מצאו .5

:נסיגהה וכלל a1 = 2האיבר הראשון

an+1 = 5 - 2an) ב an+1 = 3an + 1) א

. an = (n – 1)(n + 4) : ידי נוסחת האיבר הכללי- סדרת מספרים מוגדרת על .6

: ש אם ידועn אתצאוִמ

an = 104) ב an = 150 )א

נסיגה הידי כלל -גדרת עלארבעת האיברים הראשונים של הסדרה המואת צאו ִמ .7

.a1 = 256: והאיבר הראשון

an = n - 2

3 an =

1

n

an+1 = an

113

ידי האיבר הראשון -שמו את ששת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת עלִר .8

a1 = 1וכלל הנסיגה :

an+1 = cos(180°⋅an)) ב an+1 = sin(90°⋅an)) א

an+2 = an נסיגהידי כלל -הסדרה מוגדרת על .92 – an+1 והאיבריםa1 = 2 ,a2 = 3 .

.צאו את האיבר החמישי בסדרהִמ

בסדרה פרםמסשהאיברים שמו את ִר . נוסחת האיבר הכללי ידי-הסדרה מוגדרת על .10

:(n + 5) - ו(n – 1), (n + 1) הוא

an = 2(n – 10)) ב an = -5n + 4) א

)*an = 7 ) ד an = 23n+1) ג 1

2 )n+2

סדרה חשבונית §11

4כל בלכן , הערך המדויק יותר הוא ימים. ימים365 -שנה קרוב ליש ב . יממה אחתבת שנים מצטברת שגיאה

651

43

והשנה המוארכת , לכל שנה רביעית יום אחדמוסיפים, את השגיאהתקןכדי ל

.מעוברת שנהמכונה

יהיו שנים ... 2020, 2016, 2012, 2008, 2004באלף השלישי השנים , לדוגמה

.מעוברות

האיבר הקודם מ גדול, החל מהאיבר השני, כל איבר זאת ת מספריםבסדר

.סדרה חשבוניתסדרה מסוג זה מכונה . 4 מספרּבַ

אם ,סדרה חשבונית מכונה na, …, 3a, 2a, 1a ,…סדרת מספרים :הגדרה

.בסדרההאיבר הוא מספר nאשר כ, d+ n a = 1+naאיבריה מתקיים השוויון בכל

an+1 - an = d -מהנוסחה נובע ש

. הפרש בין האיברים הסמוכים בסדרה הוא מספר קבועה, כלומר

.dובדרך כלל מסמנים אותו באות , הפרש הסדרה החשבוניתמספר זה מכונה

114

סדרה חשבונית

דוגמאות

. היא סדרה חשבונית… ,n ,… ,4 ,3 ,2 ,1: טבעייםסדרת מספרים ) א

.d = 1 -הפרש הסדרה שווה ל

היא סדרה … ,n- ,… ,4- ,3- ,2- ,1-: שלמים שלילייםסדרת מספרים )ב

.d = -1 -הפרש הסדרה שווה ל . חשבונית

.d = 0הפרש הסדרה ; גם היא סדרה חשבונית … ,3 ,… ,3 ,3 ,3: הסדרה ) ג

n3+ .5 1 = na: שסדרה המוגדרת באמצעות הנוסחה וראה 1דוגמה

.היא סדרה חשבונית

כלומר הוא אינו ( הוא קבוע עבור כל האיברים an+1 - anעלינו להוכיח שההפרש

).n -תלוי ב

:(n + 1)נרשום איבר שמספרו

an+1 = 1.5 + 3(n + 1)

:בין שני איברים עוקביםש נחשב את ההפרש

an+1 - an = 1.5 + 3(n + 1) – (1.5 + 3n) = 1.5 + 3n + 3 – 1.5 – 3n = 3

. n - אינו תלוי בdההפרש , כלומר

:לרשוםאפשר פי הגדרת הסדרה החשבונית - על

an+1 = an + d

an-1 = an – d

:נחבר את שני השוויונים

an+1 + an-1 = 2an

:מכאן נקבל

an = an+1 + an-1

2, n > 1

של שני לממוצע החשבוניהשני שווה החל מהאיבר כל איבר , בסדרה חשבונית

.האיברים הסמוכים לו

.)"חשבונית"( נובע שם הסדרה זהִמ

115

סדרה חשבונית

אפשר לחשב את כל האיברים של , ידועיםd וההפרש a1כאשר האיבר הראשון

. an+1 = an + d :נסיגההפי כלל -הסדרה על

, אולם, יברים ראשונים של הסדרהאה מספראת לא קשה לחשב בדרך זו

: עלול לקחת זמן רבa100חישוב האיבר , וגמהלד

a2 = a1 + d,

a3 = a2 + d = a1 + 2d,

a4 = a3 + d = a1 + 3d,

.וכך הלאה

: חישוב זה מראה כיצד לחשב כל איבר ללא חישובי ביניים

:d פעמים ההפרש (n – 1) - שווה לסכום האיבר הראשון וnהאיבר שמספרו

an = a1 + (n – 1)d (1)

.ל סדרה חשבונית שי-n -הנוסחה לאיברנוסחה זאת מכונה

. d =4 -ו, 1a = -6שבה , בסדרה חשבונית100 -צאו את איבר הִמ 2דוגמה

:ונקבל, n = 100עבור ) 1(נשתמש בנוסחה

390= 4 ⋅99+ 6 -= d ⋅) 1–100 + (1a = 100a

. 3 ,5 ,7 ,9 ,…א בין איברי הסדרה החשבונית נמצ 99מספר 3ה דוגמ

.צאו את מספר האיבר הזהִמ

.d : d = a2 – a1 = 5 – 3 = 2נמצא את הפרש הסדרה ) א

: הכלליונרשום עבורו את נוסחת האיבר, n -נסמן את מספר האיבר הרצוי ב) ב

an = a1 + (n – 1)d 99 = 3 + (n – 1)⋅2 99 = 3 + 2n – 2

98 = 2n n = 49

n = 49

. 12a = 166 - ו8a = 130:בסדרה חשבונית נתון 4דוגמה

.צאו את נוסחת האיבר הכלליִמ

:ונרשום עבור שני האיברים הנתונים, )1(נשתמש בנוסחה

116

סדרה חשבונית

a8 = a1 + 7d,

a12 = a1 + 11d.

:d - ו a1נציב את הנתונים ונקבל מערכת משוואות לגבי

a1 + 7d = 130,

a1 + 11d = 166. :נחסיר משוואה ראשונה מהשנייה

4d = 36 d = 9.

.a1 = 130 - 7d = 130 – 63 = 67 :לכן

:נוסחת האיבר הכללי

n9+ 58 = 9 –n 9+ 67 ) = 1–n (9+ 67 = d ) 1–n + (1a = na

an = 9n + 58

. החל מהקודקוד, קרן הזווית מחולקת לקטעים שווים 5דוגמה

. דרך קצות הקטעים מעבירים קווים מקבילים

.שערכי אורך הקטעים מהווים סדרה חשבונית, וראהָ

הקו האמצעי an+1 - וan-1בטרפז שבסיסיו הם

מכיוון שהוא חוצה את השוקיים של (anהוא

). הטרפז

סדרה חשבונית

:פי הגדרת קו אמצעי-על, לכן

, 2an = an-1 + an+1 :מכאן מקבלים

an = an+1 + an-1

2

an+1 – an = an – an-1 או מה שמתקיים רק אם סדרת , הפרש בין כל איבר וקודמו הוא קבוע: כלומר

.האיברים היא סדרה חשבונית

תרגילים

:הפרש בסדרה חשבוניתה האיבר הראשון וצאו אתִמ . 1

… ,11 ,9 ,7) ב … ,10 ,8 ,6) א

… ,6- ,9- ,12-) ד … ,17 ,21 ,25) ג

117

: שאם ידוע, ל סדרה חשבונית חמשת האיברים הראשונים שאתשמו ִר .2

a1 = -3, d = 2) ב a1 = 2, d = 5) א

:פי נוסחת האיבר הכללי היא סדרה חשבונית- הוכיחו שהסדרה המוגדרת על .3

an = -5 + 2n) ב an = 3 – 4n) א

an = 2(3 – n)) ד an = 3(n + 1)) ג

:את בסדרה חשבוניתצאו ִמ . 4

a1 = 3, d = 4: אם ידועיםa20) ב a1 = 2, d = 3 : אם ידועיםa15) א

a1 = -2, d = -4: אם ידועיםa11) דa1 = -3, d = -2: אם ידועיםa18) ג

: נוסחת האיבר הכללי של הסדרה החשבונית אתשמוִר .5

… ,13 ,17 ,21 ,25) ב … ,16 ,11 ,6 ,1) א

… ,14- ,9- ,4- ,1) ד … ,10- ,8- ,6- ,4-) ג

. … ,32 ,38 ,44 איבר של סדרה חשבונית א הו(22-)מספר .6

.מספר האיבראת צאו ִמ

? … ,12- ,15- ,18- נמצא בין איברי הסדרה החשבונית 12מספר ההאם .7

. … ,5- ,1 הינו איבר הסדרה החשבונית 59המספר .8

?סדרה נמצא בין איברי ה(46-)האם המספר . צאו את מספרוִמ

:אם ידועים, צאו את הפרש הסדרה החשבוניתִמ .9

a1 = -4, a9 = 0) ב a1 = 7, a16 = 67) א

: ש אם ידועa1 אתמצאו . 1.5 - הפרש הסדרה החשבונית שווה ל .10

a7 = -4) ב a9 = 12) א : שכאשר ידוע, מצאו את האיבר הראשון של סדרה חשבונית .11

a21 = -10, a22 = -5.5) ב d = -3, a11 = 20) א : שכאשר ידוע, נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבוניתאת מצאו .12

a2 = -7, a7 = 18) ב a3 = 13, a6 = 22) א

118

סדרה חשבונית

?שלילייםהם … ,11 ,13 ,15 איברי הסדרה החשבונית nעבור אילו ערכים של .13

. a1 = -10, d = 0.5: בסדרה חשבונית ידוע ש .14

?an < 27השוויון - מתקיים איnעבור אילו ערכים של

: שאם ידוע, מצאו את האיבר התשיעי ואת ההפרש של הסדרה החשבונית .15

a8 = -64, a10 = -50) ב a8 = 126, a10 = 146) א

a8 = 0.5, a10 = -2.5) ד a8 = -7, a10 = 3) ג

יותר ' מ9.8 -ובכל שנייה הבאה ב', מ4.9נה גוף הנופל חופשי עובר בשנייה הראשו .16

?איזו דרך יעבור הגוף הנופל בשנייה החמישית. מאשר בקודמת

, דקות ביום הראשון15 -לילדים מתחילים משחייה אימוני .17

. נוסף דקות בכל אימון 10 - ומאריכים אותם ב

? דקות45 - לאחר כמה אימונים הם יגיעו לזמן מקסימלי של שעה ו

:שבכל סדרה חשבונית מתקיים השוויון, הוכיחו .18

an + ak = an-m + ak+m

.a7 + a8 = 30: ש אם נתון a10 + a5 אתמצאו

:שבכל סדרה חשבונית מתקיים השוויון, הוכיחו .19

an = an+k + an-k

2

.a10 + a30 = 120 : שאם נתון, a10 אתמצאו

איברים ראשונים של סדרה חשבוניתnשל כום ס §12

.100 עד 1 - סכום כל המספרים הטבעיים מ אתצאו ִמ 1 בעיה

:נרשום את הסכום המבוקש בשתי צורות אפשריות

S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1

שהאיבר הראשון , סדר באגף ימין כךאת הונשנה , שני השוויוניםאת נחבר

:וכך הלאה, ן של השוויון התחתוןהעליון יתחבר לאיבר הראשו בשוויון

119

סדרה חשבונית

101 101 101 101 101

= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + …+ (99 + 2) + (100 + 1)

100 סוגריים

:נקבל, 100ומספר הסוגריים הוא , 101 -סוגריים שווה לסכום בכל ההמכיוון ש

2S = 100 ⋅ 101 = 10100

S =5050 - והסכום המבוקש שווה ל

בבית ספר יסודי בכפר ' בשיטה זו השתמש תלמיד כיתה ג

מורה נתן הבשיעור חשבון . שנה200 -גרמני קטן לפני כ

עד 1 - מ סכום כל המספריםאתלחשב : לתלמידים משימה

יספיק לנוח , המורה היה בטוח שעד שהתלמידים יסיימו. 100

.ולקרוא עיתון

הכריז אחד הילדים את התשובה תוך , להפתעתו הרבה

ילד פלא בן , קארל פרידריך גאוס, אותו תלמיד. שניות ספורות

גאּוסַקְרל פרידריך , מורה אותו של בעידודו , והיה גדל , למשפחת איכרים ענייה

)1777 – 1855( .לאחד מגאוני המתמטיקה בכל הדורות

:נתבונן כעת בסדרה חשבונית כללית

a1, a2, a3, …, an, …

: nS - של הסדרה ב האיברים הראשוניםnלסכום של נקרא

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an

:נרשום את הסכום בסדר הפוך

Sn = an + an-1 + … + a3 + a2 + a1

אפשר לרשום את שני השוויונים , פי הנוסחה לאיבר הכללי בסדרה חשבונית- על

:בדרך זו

1 2 3 99 100

2S = + + + + + .... + + + =

100 99 98 2 1

120

סדרה חשבונית

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d)

Sn = an + (an – d) + (an – 2d) + … + (an – (n – 1)d) :כמו בדוגמה הקודמת, שני השוויוניםאתנחבר

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an),

.nכאשר מספר זוגות הסוגיים הוא

,2Sn = (a1 + an)⋅n : לכן

- האיברים הראשונים שווה לnוסכום

(1)

. המספרים הזוגיים הראשונים 60 סכום שלאת הצאו ִמ 1 דוגמה

ייםסדרת המספרים הטבעיים הזוג

2, 4, 6, 8, …, 2n, …

. d = 2היא סדרה חשבונית בעלת ההפרש

. a1 = 2 ,a60 = 120אזי , an = 2n -מכיוון ש

: נמצא את הסכום המבוקש(1)פי הנוסחה - על

אם ידוע שהמחוברים הם , 38 + 35 + …) +-7(צאו את הסכום ִמ 2דוגמה

. איבריה העוקבים של סדרה חשבונית

.a1 = 38 ,d = 35 – 38 = -3 ,an = -7 : הנתוניםפי- על

:ונציב בה את הנתונים, an = a1 + (n – 1)dנשתמש בנוסחת האיבר הכללי

-7 = 38 + (n – 1)⋅(-3)

: nנפתח סוגריים ונחלץ

-7 = 38 -3n + 3 3n = 38 + 7 + 3 3n = 48 n = 16

:ונקבל, (1)נציב בנוסחה

248= S

Sn = a1 + an

2*n

S60 = 2 + 120

2*60 = 3660

S16 = 38 - 7

2*16 = 248

121

סדרה חשבונית

כדי שסכומם , צריך לחבר1 - ה מספרים טבעיים עוקבים החל ממכ 3דוגמה

? 153יהיה

. d = 1סדרת מספרים טבעיים היא סדרה חשבונית בעלת הפרש

. a1 = 1 ,Sn = 153 :פי הנתון- על

: איברים ראשונים נרשום בצורה אחרתnאת נוסחת הסכום של

) 2(

:nנציב את הנתונים ונקבל משוואה לגבי הנעלם

:נפתח סוגריים ונקבל משוואה ריבועית, 2 -נכפיל את שני האגפים ב

306 = 2n + (n – 1)n n2 + n – 306 = 0 :נפתור אותה

,

n1 = -18, n2 = 17. :תשובההאת מקבלים , מכיוון שמספר האיברים אינו שלילי

17= n

בדיחה של גאוס

רצה המורה להעסיק את תלמידיו , למד גאוסבשיעור חשבון בכיתה שבּה

הוא שאל את . שגם גאוס הגאון לא יוכל לסיימה במהרה, זמן כזו- במשימה ארוכת

Sn = a1 + an

3*n =

a1 + a1 + (n - 1)d

2*n =

2a1 + (n - 1)d

2*n

153 = 2*1 + (n - 1)n

2

n1,2 = -1 Û 1 + 1224

2=

-1 Û 35

2

Sn = 2a1 + (n - 1)d

2*n

122

סדרה חשבונית

לא תצטרך , על הראשונהאם תענה נכון. אשאל אתך שתי שאלות, קרל": התלמיד

"?אשוח שבפינהעץ הכמה מחטים על , תגיד לי, ובכן.לענות על השנייה

"!שישים ושבע אלף חמש מאות שלושים וארבע ": קרל ענה מיד

. המורהתהה – "?כך מהר-איך ספרת כל"

... השיב התלמיד בחיוך- , "המורה, זאת כבר שאלה שנייה"

תרגילים

: שאם נתון, חשבוניתראשונים של סדרה האיברים ה nסכום של את הצאו ִמ . 1

a1 = 1, an = 200, n = 100) ב a1 = 1, an = 20, n = 50) א

a1 = 2, an = 100, n = 50) ד a1 = -1, an = -40, n = 20) ג

.98 - עד ל2 - סכום כל המספרים הטבעיים מאתצאו ִמ .2

.133 - עד1 - זוגיים מ- סכום כל המספרים האיאתצאו ִמ . 3

:אם נתון, האיברים הראשונים של סדרה חשבונית12סכום של את הצאו ִמ .4

) ב a1 = -5, d = 0.5) א

: איברים ראשונים של הסדרה החשבוניתnסכום של את הצאו ִמ .5

n = 11 אם … ;17 ;13 ;9) א

n = 12 אם … ;4- ;10- ;16-) ב

חוברים הם איברים עוקבים של סדרה אם ידוע שכל המ, הסדרהצאו את סכום ִמ .6

:חשבונית

(60-) + … + 70 + 80 + 90) ב 273 + … + 9 + 6 + 3) א

: סכום שלאת הצאו ִמ .7

.ספרתיים-כל המספרים תלת) ב ספרתיים -כל המספרים דו) א

. פי נוסחת האיבר הכללי-הסדרה החשבונית מוגדרת על .8

:אם נתון , S50 מצאו את

an = 7 + 2n) ב an = 3n + 5) א

.a1 = 7: והאיבר הראשוןan+1 = an – 3ידי כלל הנסיגה -הסדרה מוגדרת על .9

.סכום של תשעת האיברים הראשונים של הסדרהאת המצאו

a1 = 1

2, d = -3

123

סדרה חשבונית

?75 שסכומם יהיה כדי, יש לחבר3 - כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ .10

:אם נתון, החשבונית של הסדרהd - וan אתמצאו .11

) ב a1 = 10, n = 14, S14 = 1050) א

סדרה חשבונית

:אם נתון, של הסדרה החשבוניתd - וa1 את מצאו .12

.a11 = 92, S11 = 22) ב a7 = 21, S7 = 205) א

. כפי שנראה בציור, כבה על גבי שכבהש, במחסן עצים מסדרים את הקורות בִמְרָבד .13

? קורות12אם בבסיסו נמצאות , כמה קורות במרבד אחד

. S11 אתמצאו. a3 + a9 = 8 : שבסדרה חשבונית נתון .14

:כאשר נתון, צאו את האיבר הראשון וההפרש של הסדרה החשבוניתִמ .15

S5 = 65ו - S10 = 230 .

:רה חשבונית מתקיים השוויוןהוכיחו שבסד .16

S12 = 3(S8 – S4)

a1 = 21

3, n = 10, S10 = 90

5

6

124

הנדסית סדרה §13

.ס" לפנהV -בהודו במאה ה המציאו מט- שחה משחק את, האגדה פי- לע

. ֵסָטא המתמטיקאי, ולממציא העניק פרסל והחליט המשחקמ לעהתפ ֶשָרם המלך

.לקבל רוצה היה פרס איזה , את המדעןשאל המלךשעל פניו נראה את מה וביקש, קצת חשב סטא

ראשונה משבצת לע חדא חיטה גרעין: ילמדי" צנוע"

. מט-שחהשל לוח לך להעניקוביכולתי עשיר אני: "ונעלב נדהם המלך

: סטאהמשיך ואז, –!" הולם פרס

– חמישית, 8 – רביעית, 4 – שלישיתה לע, גרעינים שימו שני השנייה המשבצת לע -

כפול מספר משבצת כל עבור ,לבקשתך, תקבל. המלך צעק! די... 32 – שישית, 16

. הקודמת המשבצת לעומת גרעינים לש

. מהאולם ויצא חייך סטא .חיטה של שק לך יביאו משרתיי, סטא, לך -

.שביקש הפרס את משוגעה למדען הביאו האם משרתיו את המלך שאל למחרת

. הגרעינים ספירת את השלימו טרם החצר של המתמטיקאים, ואולם קרא הוא, פגה המלך של סבלנותו .הספירה את השלימו לאמחרתהביום גם

כמות: המלך את הדהימה התשובה. הספירה נשלמה טרם מדוע ושאל אותם להם

בנמצא התייה לא התבל ארצות בכל יםחסנהמ שבכל, הגדול כה היתהי הגרעינים

לחשב את יךצר, כדי לחשב את מספר הגרעינים הנדרש. גרעינים כמות כזו של

: המשבצות64מספרי הגרעינים על כל

2, …, ·1, 2, 2·2, 2·2 (1)

:S -ונסמן את סכום כל האיברים ב, ניעזר ברישום המכפלות באמצעות חזקות

S = 1+2+22+23+…+264

S = 18,446,744,073,709,551,615 -בקרוב נוכיח שמספר זה שווה ל

10×8 זרעים במחסן ששטח בסיסו שלזוככמות כדי לאחסן : מספר עצוםזה

מכדור הארץ מרחק ה שהוא - מ" ק150,000,000 גובה של ל היא תגיע, ר"מ

!לשמש

. 2 כל איבר שווה לאיבר הקודם כפול (1)בסדרה

125

יתדססדרה חנ

.סדרה הנדסיתסדרה כזאת מכונה

סדרת מספרים : הגדרה

b1, b2, b3, …, bn,…

כלל נסיגה מתקיים nי אם עבור כל מספר טבע, מכונה סדרה הנדסית

bn+1 = bn·q (2)

. מספר איזשהו שאינו שווה לאפס– q -ו, bn ≠ 0כאשר

מנת כל שני איברים עוקבים בסדרה הנדסית היא מספרש, מהגדרה זו נובע

:q הסדרהמנתלמנה זו קוראים . קבוע

(3) bn+1

1דוגמה

.q = 4 היא סדרה הנדסית שבּה …,128 ,32 ,8 ,2הסדרה ) א

: בדיקה

.q = 3 היא סדרה הנדסית שבּה …,81 ,27 ,9 ,3הסדרה ) ב

: בדיקה

.q = 2 היא סדרה הנדסית שבּה …,24- ,12- ,6- ,3- הסדרה ) ג

:בדיקה

איברים הסמוכים הם הבמקרה זה . שלילימנת הסדרה יכולה להיות גם מספר

.בעלי סימנים נגדיים

2דוגמה

.q = -3 היא סדרה הנדסית בעלת המנה …,54- ,18 ,6- ,2הסדרה

:בדיקה

, בר הראשון חיוביאם האי, במקרה זה. q < 1 ברשמנת הסדרה יכולה להיות גם

.יורדתהיא הסדרה , כלומר, bn+1 = bn·q < bn: בר קטן מקודמויכל א

: לסדרה הנדסית יורדתדוגמה

bn

= q

82

= 328

= 12832

= 4

93

=279

=8127

=3

-6-3

=-12-6

=-24-12

=2

-62

=12-6

=-5412

= -3

126

יתדססדרה חנ

. מ" ס4בעל צלע של , צלעות-נתבונן במשולש שווה

נשרטט משולש שקודקודיו הם אמצע הצלעות של

צלעותיו של המשולש החדש הם . המשולש הנתון

לכן אורך ו, מקוריקטעים אמצעיים של המשולש ה

. מ" ס2הצלע של המשולש הקטן הוא

בעלי משולשים ונקבל , זה מסוג בניות נמשיך

.מ וכך הלאה"ס צלעות של

. :אורכי הצלעות של המשולשים מהווים סדרה, כלומר

:איברים סמוכים נבדוק את המנות של

.בעלת מנה של יורדת סית הסדרה היא סדרה הנד, כןל

.לא עולה ולא יורדתסדרה הנדסית יכולה להיות

3דוגמה

.q = 1המנה , היא הנדסית.…,7 ,7 ,7 ,7 ,7הסדרה )א .הסדרה לא עולה ולא יורדת

. q = -12 המנה, הסדרה היא סדרה הנדסית )ב

.ולה ולא יורדתהסדרה לא עצריך לבדוק את קיומו של , כדי לבדוק אם סדרה נתונה היא סדרה הנדסית

. כלומר אם מנת כל שני איברים עוקבים היא מספר קבוע, (3)התנאי

לפי סדר עולה החל , אפשר לחשב את כל איבריה, אם ידוע כלל נסיגה של הסדרה

.n = 1 - מ

: ידי כלל הנסיגה- עלטבעי nסדרה מוגדרת לכל 4דוגמה .הראשונים רשמו את ארבעת האיברים ) א

.q = 3מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה היא . האיבר הראשון נתון

, n = 1: b1+1 = b1·3 = 4·3 = 12נציב בכלל הנסיגה . נמצא את האיבר השני

14

,12

,1

, 2, 1, 412

, 14

, ...

24

= 12

=

12

1=

14

12

= 12

= q

= 12

q

112

- , 1, -12, 144, ...

b1 = 4

bn+1 = bn*3

127

יתדססדרה חנ

n = 2: b2+1 = b2·3 = 12·3 = 36נציב . b2 = 12 ,כלומר

.b4 = 108 ,כלומר, n = 3: b3+1 = b3·3 = 36·3 = 108נציב . b3 = 36 ,כןל

108 ,36 ,12 ,4 :תשובה

?יורדת/ קבוע/האם סדרה הנדסית זאת עולה )ב

והמנה היא חיובית (b1 = 4)מכיוון שהאיבר הראשון של הסדרה הוא חיובי

. עולההסדרה , 1 -וגדולה מ

: ידי כלל הנסיגה- על טבעיnסדרה מוגדרת לכל 5דוגמה .רשמו את ארבעת האיברים הראשונים) א

b1 = 4

bn+1 = -2*bn

. q = -2מכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה היא . האיבר הראשון נתון

:n = 1נציב בכלל הנסיגה . נמצא את האיבר השני

b1+1 = b1·(-2) = 4·(-2) = -8,

n = 2: b2+1 = b2·(-2) = -8·(-2) = 16ב נצי. b2 = -8 ,כלומר

. b4 = -32 ,כלומר, n = 3 :b3+1 = b3·(-2) = 16·(-2) = -32נציב . b3 = 16 ,כןל

32- ,16 ,8- ,4 :תשובה

? יורדת/ קבוע/האם סדרה הנדסית זאת עולה )ג

, הסדרה אינה עולה, מכיוון שסימני האיברים הסמוכים של הסדרה מתחלפים

. ואינה קבועה, אינה יורדת

1b = 108 : ידי כלל הנסיגה- על טבעיnסדרה מוגדרת לכל 6דוגמה .רשמו את ארבעת האיברים הראשונים) א bn+1 =

bn

3 . האיבר הראשון נתון

. - שווה למכלל הנסיגה מסיקים שמנת הסדרה

: n = 1נציב בכלל הנסיגה

:האלה ומקבלים את האיברים n = 3 - וn = 2ים מציב לכךדומהב

. 4 ,12 ,36 ,108: איברי הסדרה הראשונים הם

. יורדתהסדרה היא , מכיוון שמנת הסדרה חיובית וקטנה מאחת

= 1

q3

b2 = b1*13

= 108

3= 36

b3 = b2*13

= 363

= 12, b4 = b3*13

= 12*13

= 4

128

יתדססדרה חנ

נוסחת האיבר הכללי

, באמצעות כלל נסיגה אפשר לחשב בקלות את האיברים הראשונים של סדרה

. גדול מחייב לחשב את כל האיברים שלפניוnידורי אולם חישוב איבר בעל מספר ס

. האיבר הראשון ומנת הסדרהידועיםאם , יש דרך לחשב כל איבר

.q היא סדרה הנדסית בעלת המנה …,b1, b2, b3, …, bnנניח שהסדרה

: נקבל עבור כמה איברים ראשונים של הסדרה(2) כלל נסיגהבאמצעות , אז

n = 1: b2 = b1·q n = 2: b3 = b2·q = b1·q·q = b1·q2 n = 3: b4 = b3·q = b1·q2·q = b1·q3

n = 4: b5 = b4·q = b1·q3·q = b1·q4

:קרה הכללי מתקייםמלהסיק שבל אפשר "מהביטויים הנ

bn = b1·qn-1 (4)

אם ידועים האיבר , של סדרה הנדסית י- nאיבר סחה זאת מאפשרת לחשב נו

.הראשון ומנת הסדרה

. 1 ,3 ,9 ,27 ,…: נתונה סדרה הנדסית 7דוגמה

.רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה )א

של qואת המנה b1צריך לדעת את האיבר הראשון , (4)לרשום את הנוסחה כדי

יחס שני - שווה לqנת הסדרה מ. b1 = 1 - סדרה ומיד נגלה שנסתכל ב. הסדרה

.: למשל שני וראשון, איברים סמוכים כלשהם :לכן נוסחת האיבר הכללי של הסדרה היא

bn = 1·3n-1 = 3n-1

.צאו את האיבר השישי של הסדרהִמ ) ב

. n : 243 = 53= 1-63= 6b =6נציב בנוסחת האיבר הכללי

: נתונה סדרה הנדסית 8דוגמה

;רשמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה )א

. מצאו את האיבר העשירי של הסדרה ) ב

= b2

b1

q = 31

= 3

3, 32

, 34

, 38

, 316

,...

129

יתדססדרה חנ

: מנת הסדרה. b1 = 3 -רואים שמהסתכלות על הסדרה ) א

:נוסחת האיבר הכללי

:n = 10נציב בביטוי שקיבלנו )ב

q - וb1 ,bn פי-על nמציאת , פי גודלו-לאיבר הכללי מאפשרת למצוא את מספר האיבר בסדרה עלהנוסחה

.האיבר הראשון ומנת הסדרה

.nמצאו את . 1b ,2= q ,1536 = nb = 3: נתונים 9דוגמה

: את הנתונים(4)נציב בנוסחה

1536 = 3·2n-1 512 = 2n-1

.2n-1 = 29 ,n - 1 = 9 ,n = 10: רושמים 29 = 512 -מכיוון ש

bn -ו b1 פי-על qמציאת

פי האיבר הראשון והאיבר - מאפשרת גם למצוא את מנת הסדרה על(4)הנוסחא

.י - n -ה

.qמצאו את . , 1b = 41: נתונים 10דוגמה

:נציב בנוסחת האיבר הכללי את הנתונים

b7 = b1·q6 או

bm -ו bkפי - על bn מציאת

למצוא כל איבר אחר אפשר , תאם ידועים שני איברים כלשהם של סדרה הנדסי

, מציבים בנוסחת האיבר הכללי את נתוני שני האיברים הידועים: של הסדרה

.q - וb1ומקבלים מערכת של שתי משוואות לגבי

אם ידועים האיברים , של סדרה הנדסיתהשמיני מצאו את האיבר 11דוגמה

.b1 = 162 ,b3 = 18: הראשון והשלישי

: יבר הכללי את הנתוניםנציב בנוסחת הא

b3 = b1·q2

= b2

b1

q = 32

: 3 = 12

bn = 3*( 12 )

n-1

= 3

2n-1

10 = 3

210-1

b = 3

29=

3512

b7 = 732

732

= 14*q6 q6 = 164

= 12

q = -1

q2

2 = b3

qb1

= 18162

= 19

, q1 = 13

, q2 = -13

130

יתדססדרה חנ

:יש שתי סדרות המקיימות את תנאי הבעיה, כלומר

)*b8 = b1*q7 = 162 : מקבלים, כאשר 13 )

7

= 2*34

37=

2

33=

227

:כאשר

,24 הוארביעיה האיבר ,בסדרה הנדסית עולה 12 דוגמה

.צאו את האיבר הראשון של הסדרה ִמ .96 הוא יהשישוהאיבר

. b4 = 24, b6 = 96: נרשום את נתוני הבעיה

:נציב נתונים בנוסחאות האיבר הכללי עבור שני האיברים

(1) b4 = b1·q3 = 24

(2) b6 = b1·q5 = 96

:(1) - ב(2)נחלק

ואולם , ברים הרביעי והשישי מתאימים לנוניםשבהן האיקיימות שתי סדרות

: b1 ונמצא את (1) - נציב ב. q = 2: עולהרק אחת מהן היא

. b1 = 3: תשובה

, , q = -2 בסדרה השנייה :הערה

. רדתלא עולה ולא יו סדרהה . ...,96 ,48- ,24 ,12- ,6 ,3- :הסדרה היא

כדי לבדוק אם סדרה נתונה היא סדרה הנדסית צריך לוודא את קיומו של

.כלומר לבדוק אם מנת כל שני איברים סמוכים היא מספר קבוע, (3)התנאי

היא סדרה n27 = nbשלה הוא סדרה שהאיבר החופשי הוכיחו ש 13דוגמה

.הנדסית

ניעזר בתכונות .n - וע שאינו תלוי בצריך להוכיח שהמנה היא מספר קב

:החזקה ונחשב אותה

. לכן הסדרה היא הנדסית, n - המנה אינה תלויה ב

= 1

q3

b8 = b1*q7 = 162*(- 13 )

7

= -2*34

37= -

2

33= -

227

= -1

q3

9624

= b1q5

b1q3= q2 , q2 = 4, q1 = 2, q2 = -2

b1 = 24

q3=

24

23=

248

= 3

1 = 24

(-2)3

b = -3

bn+1

bn

bn+1

bn

= 7

2(n+1)

72n

= 7

2n+2

72n

= 72= 49

131

יתדססדרה חנ

י הקשרים בין איבריה"מציאת הסדרה עפ

ההפרש בין האיברים השביעי והחמישי של סדרה הנדסית : נתונים 41דוגמה

צאו את ִמ .48 - וה להסכום של האיברים החמישי והשישי גם הוא שו, 48 -שווה ל

. של הסדרה12 -האיבר ה

:רישום הנתונים ושימוש בנוסחת האיבר הכללי. שלב א

b7 – b5 = 48, b7 = b1·q6, b5 = b1·q4 b1·q6 - b1·q4 = 48

b5 + b6 = 48, b5 = b1·q4, b6 = b1·q5 b1·q4 + b1·q5 = 48

ונקבל מערכת משתי משוואות עם שני , ותפים מהסוגרייםנוציא גורמים מש

q: b1·q4 (q2 – 1) = 48 - וb1נעלמים

b1·q4 (q + 1) = 48

:נשווה את אגפי שמאל. פתרון המערכת . שלב ב

b1·q4 (q2 – 1) = b1·q4 (q + 1)

:ונקבל משוואה ריבועית, )אשר אינו שווה לאפס( b1·q4 -נחלק את שני האגפים ב

q2 – 1 = q + 1, q2 - q – 2 = 0, q1 = 2, q2 = -1.

: במשוואה השנייה ונקבלq = 2נציב

b1·24 (2 + 1) = 48 ,b1·16·3 = 48, b1 = 1 .

: במשוואה השנייה ונקבלq = -1נציב

b1·14 (-1 + 1) = 48 , b1· 0 = 48 (?) .רוןפְת למשוואה זו אין

. b1 = 1 ,q = 2: לכן

: נשתמש בנוסחת האיבר הכלליb12 כדי למצוא את . שלב ג

b12 = b1·q11 = 1·211 = 2048 מתחומים שונים הנדסית בדוגמאות סדרה

,לאחר כל מהלך של משאבת אוויר המיועדת להוצאת אוויר ממיכל 51דוגמה

מ" מ760 הלחץ ההתחלתי של האוויר היה . מהאוויר הנמצא בו20% ההיא מוציא

?מה יהיה לחץ האוויר במיכל לאחר שישה מהלכים של השאיבה. כספית

132

יתדססדרה חנ

.מהאוויר 80%נשארים במיכל , מהאוויר20% מכיוון שלאחר כל מהלך מוציאים

, p2 = 0.8·p1אז לאחר מהלך ראשון יהיה לחץ , p1 - אם נסמן את הלחץ ההתחלתי ב

.וכך הלאה, p3 = 0.8·p2 -לאחר המהלך השני הלחץ יהיה שווה ל

p1 = 760 - האיבר הראשון שווה לבה אשר , יורדת לפנינו סדרה הנדסית, כלומר

:הוא האיבר השביעי של הסדרה) שאיבות6לאחר (הלחץ הנדרש .q = 0.8והמנה

p7 = p1·(0.8)6 ≈ 200 (mm Hg)

א ומט ה-ראשונה של לוח שחה משבצתהחיטה המונח על הגרעין שקלמ 61דוגמה

משבצת ביקש המתמטיקאי להניח כמות חיטה הכפולה מזו שבמשבצתבכל . גרם1

?21 -הובמשבצת ?11 - הבצתמשמה כמות חיטה שתהיה ב. הסמוכה

כמויות החיטה בכל ערוגה מהוות סדרה הנדסית שבה

.q = 2 והמנהb1 = 1 -האיבר הראשון שווה ל - שווה לעשרה-אחתהאיבר ה

= 1024 g b11 = b1·q10 = 1·210,

! אחדכלומר יותר מקילוגרם

: מות החיטה תהיה כ21במשבצת

b21 = b1·q20 = 1·220 = 1,048,576 g ≈ 1000 kg = 1 ton רך נצט11ת על משבצ אז, אם על המשבצת הראשונה נניח גרעין אחד, כלומר

משקל של מכונית ( שק של טון 21ובמשבצת , שקית של קילוגרם אחדלהניח

)!ממוצעת

תרגילים

:אם נתונים, (bn)שמו את חמשת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית ִר . 1

= b1 = -16, q )ב b1 = 6, q = 2) א

) ד b1 = -24, q = -1.5) ג

.q והמנה c1 - היא סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון שווה ל(cn)הסדרה . 2

: אתq - וc1 בטאו באמצעות

c2k) ו ck+3) ה ck) ד c125) ג c20) ב c6) א

?

12345678

.............. ..........

........

?

12

b1 = 0.4, q = 2

יתדססדרה חנ

133

:מצאו. דסית היא סדרה הנ(xn)סדרה . 3

x) ב אם , x7) א

יתדססדרה חנ

אם , 8

x) ד אם , x8) ג x1 = 125, q = 0.2אם , 6

:מצאו את. היא סדרה הנדסית(bn)סדרה . 4

b) ב אם , b5) א אם , 4

:מצאו את האיבר השביעי והאיבר הכללי של סדרה הנדסית. 5

… ,20- ,40-) ב … ,6- ,2) א

… ,10 ,10-) ד … ,0.25 ,0.125-) ג

:מצאו את האיבר השישי והאיבר הכללי של סדרה הנדסית . 6

)ב … ,12 ,48) א

… ,10 ,100-) ד … ,0.01- ,0.001-) ג

. A1C1 אמצעי טע העבירו קABCבמשולש .7

, A2C2אמצעי טע העבירו קA1BC1במשולש

אמצעי טעהעבירו ק A2BC2במשולש החדש שנוצר

A3C3 וכך הלאה.

אם ידוע ששטח , A9BC9צאו את שטח המשולש ִמ

. ר" סמ768 - שווה לABCהמשולש

: אם ידועים(bn)מצאו את האיבר הראשון של סדרה הנדסית . 8

) ב b6 = 3, q = 3) א

: אם ידועים(cn)מצאו את מנת הסדרה ההנדסית . 9

c6 = 26, c8 = 9) ב c5 = -6, c7 = -54) א

:מצאו. היא סדרה הנדסית(xn)סדרה . 10

.x3 = -162, x5 = -18אם , q) ב x6 = 0.32, q = 0.2 אם ,x1) א

שיחד עם המספרים , שלושה מספרים כאלהרשמו 162 - ו2בין המספרים . 11

מהם שלשת המספרים .דסיתסדרה הנייצרו הנתונים הם

x1 = 16, q = 12

x1 = -810, q = 13

1 = x 2 , q = - 2

bb1 = 1.8, q = 2

3 1 = 34

, q = 23

649

, -323

, ...

A

B

C

A

AA

C

CC

11

2 2

3 3

b5 = 1712

, q = -212

134

. b - וaמצאו את . : מורכבת מארבעה איברים(xn)סדרה הנדסית .12

. b2 = 6 ,b4 = 24 -אם ידוע ש, (bn)מצאו את האיבר השישי של סדרה הנדסית .13

. מ" ס8בעל צלע של , צלעות-נתון משולש שווה .14

מצלעותיו של השני בנו עוד . מצלעותיו בנו משולש שני

הוכיחו שהיקפי המשולים מהווים . משולש וכך הלאה

.ומצאו את ההיקף של המשולש השישי, סדרה הנדסית

. מ" ס4 - נתון ריבוע שאורך צלעו שווה ל.15

נן קודקודים של ריבוע נקודות האמצע של צלעותיו ִה

נן קודקודים נקודות האמצע של הריבוע השני ִה . שני

ים של חהוכיחו ששט. ריבוע שלישי וכך הלאהשל

ומצאו את השטח , הריבועים מהווים סדרה הנדסית

. של הריבוע השביעי

סדרה הנדסית איברים ראשונים שלn סכום של §14

?ביקש המתמטיקאי סטאשמט - שחהכיצד לחשב את מספר הגרעינים על לוח

והמנה b1 = 1שבה האיבר הראשון מכיוון שמספרי הגרעינים מהווים סדרה הנדסית

q = 2 ,יודעים אנחנו לחשב את מספר הגרעינים בכל משבצת :bn = b1·qn-1 = 2n-1 .

: המשבצות64 מספרי הגרעינים על כל רוצים לחשב את סכוםאנחנו

S = 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 263

:(2)נכפיל את שני האגפים של השוויון הזה במנת הסדרה

2S = 2·1 + 2·2 + 2·22 + 2·23 +…+ 2·263 =

= 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 264

:נחסיר ביטוי ראשון מהשני

…) =632+ …+3 2+ 2 2+ 2 + 1 (–) 462+ …+4 2+ 3 2 + 22+ 2 = ( S –S 2

.(1-)ומהשני רק , 264רואים שמהביטוי בסוגריים שמאליים תישאר רק החזקה

S = 264 – 1 : התוצאה היא, לכן

, a, b, 14

2

135

יתדססדרה חנ

הוא גדול בהרבה מכמות החיטה שגדלה עד כה על פני כדור : צוםזה מספר ע

...הארץ

. איברים ראשונים של סדרה הנדסית כלשהיnח כעת נוסחה לסכום של נפֵת

:Sהסכום ניעזר באותה השיטה שבעזרתה מצאונו את

:(bn)סית איברים ראשונים של סדרה הנדn את הסכום של Sn - נסמן ב

Sn = b1 + b2 + b3 + …+ bn

:q -נכפיל את שני האגפים ב

Snq = b1q + b2q + b3q + …+ bnq

b1q = b2, b2q = b3, b3q = b4, …,bn-1q = bn -מכיוון ש

Snq = b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq : נקבל

:Snנחסיר מהביטוי האחרון את הביטוי עבור

Snq - Sn =

(b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq) – (b1 + b2 + b3 + …+ bn) =

= bnq – b1

Sn : Sn(q – 1) = bnq – b1נחלץ

Sn = bnq - b1

q - 1(1)

איברים ראשונים של סדרה הנדסית שבה המנה nפיתחנו נוסחה לסכום של

.Sn = n·b1 -ו, שווים לאיבר הראשון אז כל האיבריםq = 1 אם . 1 -אינה שווה ל

נוח יותר להשתמש בצורה אחרת של נוסחת , ) לא ידועq) bn - וb1אם נתונים

:(bn = b1qn-1) את הביטוי לאיבר הכללי (1) -נציב ב: הסכום

Sn =

b1*qn-1*q - b1

q - 1=

b1*qn - b1

q - 1=

b1(qn - 1)q - 1

(2) : לכן

Sn = b1(qn - 1)

q - 1, q × 1

136

יתדססדרה חנ

,)nb(סכום של עשרת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית צאו ִמ 1דוגמה

q .- וb1 = 3 שבה

.(2)אפשר להשתמש בנוסחה , q - וb1מכיוון שנתונים

:נציב נתונים בנוסחה ונקבל

נתונים מנה בסדרה הנדסית 2דוגמה

= 12

S10 = b1(q10 - 1)

q - 1=

3*(( 12 )

10

- 1)12

- 1=

3*( 11024

-1)-12

= 6 - 3

512= 5

509512

. S6 = 252 :וסכום של שישה איברים ראשונים

.מצאו את האיבר הראשון

:ב בה את הנתוניםונצי, (2)ניעזר בנוסחה

:b1מכאן נחלץ את

. )-93( - שווה לבסדרה הנדסית איברים ראשונים nשל סכום 3דוגמה

.nמצאו את . q = 2 -והמנה שווה ל, (3-) -האיבר הראשון של הסדרה שווה ל

: (2)נציב נתונים בנוסחה

:מכאן מקבלים

-31 = 1 – 2n, 2n = 32, 2n = 25, n = 5

. היא סדרה הנדסית5 ,15 ,45 ,… ,1215 ,…הסדרה 4דוגמה

.1215 +… + 45 + 15 + 5 מצאו את הסכום

אולם לא , bn = 1215נתון גם . q = 3 - מסיקים שb2 = 15 - וb1 = 5 - מכיוון ש

:(1)נוסחה לכן נוח יותר להיעזר ב. של האיבר האחרוןnנתון מספר סידורי

= 1

q2

252 =

b1(1 - 1

26 )1 -

12

252 =2b1(1-164 ), 252 =

b1*63

32, b1 = 128

-93 = -3*(1 - 2n)

1 - 2

Sn = bn*q - b1

q - 1 =

1215*3 - 53 - 1

= 3645 - 5

2= 1820

137

יתדססדרה חנ

תרגילים

: איברים ראשונים של סדרה הנדסית אם נתוןnמצאו סכום של . 1

- = b1 = 1, q ) ב ) א13

, n = 4

)ד )ג

b1 = -4, q = 1, n = 100) ו b1 = 6, q = 1, n = 200 ) ה

:מצאו סכום של שבעת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית . 2

… ,18 ,6 ,2) ב … ,20 ,10 ,5) א

:בסדרה הנדסיתצאו ִמ . 3

q = 2 ,S7 = 635 :אם נתונים, b7 - וb1) א

q = -2 ,S8 = 85 :אם נתונים, b8 - וb1) ב

:אם נתונים, מצאו את מספר האיברים בסדרה הנדסית . 4

Sn = 635, b1 = 5, q = 2) ב Sn = 189, b1 = 3, q = 2) א

S) ד ) ג n = -99, b1 = -9, q = -2

:בסדרה הנדסיתמצאו . 5

b1 = 7, q = 3, Sn = 847: אם נתונים, bn - וn) א

b1 = 8, q = 2, Sn = 4088: אם נתונים, bn - וn) ב

b1 = 2, bn = 1458, Sn = 2186: אם נתונים, q - וn) ג

b1 = 1, bn = 2401, Sn = 2801: אם נתונים, q - וn) ד

אם ידוע שכולם הינם איברים עוקבים של סדרה , מצאו את סכום המספרים . 6

: הנדסית

243 + … + 9 + 3 + 1) ב 128 + … + 4 + 2 + 1) א

405 + … - 45 + 15 -5) ד 128 + … + 4 – 2 + 1-) ג

-אם ידוע ש, S4 - וb5בסדרה הנדסית את מצאו . 7

b2 = 14, b4 = 686, q > 0) ב b2 = 15, b3 = 25) א

1 = 12

b , q = 2, n = 6

b1 = -2, q = 12

b1 = -5, q = -23

, n = 5 , n = 5

Sn = 170, b1 = 256, q = -12

138

יתדססדרה חנ

:בסדרה הנדסית נתונה נוסחת האיבר הכללי . 8

Sמצאו את ; )ב S5את מצאו ; bn = 3·2n-1) א

יתדססדרה חנ

6.

: פי הנתונים-על, בסדרה הנדסיתמצאו . 9

q - ו b1:מצאו; S3 =195 ,b3 = 135) א

q - ו b3:מצאו; S3 = 372 ,b1 = 12) ב

:בסדרה הנדסיתמצאו . 10

;b3 + b5 = 90 - וb1 = 1: אם נתונים , q) א

;b4 + b6 = 60 - וb2 = 3: אם נתונים , q) ב

;b2 - b4 = 30 - וb1 – b3 = 15: אם נתונים , S10) ג

.b5 - b1 = 624 - וb3 – b1 = 24: אם נתונים , S5) ד

, איבריה הראשוניםnומצאו סכום של , היא סדרה הנדסית(bn)הוכיחו שהסדרה .11

:אם נתונה נוסחת האיבר הכללי

bn = 31+n) ג bn = 3·2n-1) ב bn = 0.2·5n) א

: איברים ראשונים של סדרה הנדסיתnמצאו סכום של .12

…,23 ,22 ,2) ב … ,32 ,3 ,1) א

x, x2, …, x ≠ 1- ,1) ד ) ג

x3, x6, …, x ≠ ±1- ,1 )ו x2, x4, …, x ≠ ±1 ,1 )המצאו סכום של ששת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית שבה האיבר .13

בעלי אם ידוע שאיברי הסדרה,162 - והאיבר החמישי שווה ל, 2 -הראשון שווה ל

. זוגי הם שליליים– nעם ואלה , זוגי הם חיוביים-אי nמספר סידורי

,(bn)מצאו סכום של שבעת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית .14

.אם ידוע שכל איבריה חיוביים , b4 = 54 - וb2 = 6שבה

"אלף לילה ולילה"חידה מ . 15

כדי לצאת מהגן צריך לעבור . חיםאישה צעירה נכנסה לגן של מלך וקטפה סל תפו

האישה חצי נתנה לשומר הראשון . שומרמוצבשליד כל אחד , שעריםארבעה דרך

כך עשתה גם עם השומר השלישי . חצי ממה שנשאר–לשני , פהקטשהתפוחים מ

?כמה תפוחים היא קטפה בגן. תפוחיםעשרה נשארו לה , לבסוף. והרביעי

n = -2( 12 )

n

b

12

, -14

, 18

, ...

139

גדילה ודעיכה §15

, )גֵדל או קֵטן (משתנה בזמןה של גודל מסוים הערכים הסדרה הם כאשר איברי

. דעיכה או גידולשל אנו מדברים על תופעות

הבנק מבטיח להחזיר את הסכום . לשנה אחתכסף מפקידים בבנק ,משלל

. ריביתשהפקדנו בתוספת

אז לאחר שנה אחת נקבל , αהוא ושיעור הריבית, ₪ M0אם הפקדנו סך של

M1 = M0 + M0·α = M0(1 + α) (1) סך של

. בתום התקופהתוספתההיא M0·α - והתחלתיתהכמות ה היא M0, בנוסחה זו

. %10שיעור הריבית הוא . לשנה אחת ₪ 0001, מפקידים 1דוגמה

?כמה כסף נקבל בתום השנה

:(1)תמש בנוסחה נש. α = 10% = 0.1 M0 ,1000 =: נרשום נתונים

) ₪ (M1 = M0(1 + α) = 1000·(1 + 0.1) = 1000·1.1 = 1100

שתחושב , באותה ריבית שנתית, שהכסף יופקד לשנתייםאם סיכמנו עם הבנק

-אז נקבל סך של , בתום כל התקופה

)₪(M2 = M0(1 + 2α) = 1000·(1 + 2·0.1) = 1000·1.2 = 1200

. ריבית פשוטהמכונה , המחושבת בסוף כל תקופת הפיקדון, מסוג זהריבית

, שנה, למשל( לפרק זמן נתון α שיעור הריביתאת צריך לדעת , כדי לחשב אותה

. נכללים בכל התקופה - n - וכמה פרקי זמן אלה, )'חודש וכד, חצי שנה

: של ריבית פשוטההנוסחהפי -כמות הכסף בתום כל התקופה אפשר לחשב אז עלאת

(2) Mn = M0(1 + nα)

שנים עבור פיקדון של חמשבנק בתום תקופה של הכסף יחזיר כמה 2וגמה ד

? 8%י ריבית שנתית פשוטה של בתנֵא ושהופקד₪ 1000

:(2)נשתמש בנוסחה . α = 8% = 0.08, n = 5 M0 ,1000 =: נרשום נתונים

)₪ ( M1 = M0(1 + 5α) = 1000·(1 + 5·0.08) = 1000·1.4 = 1400

, בתום כל התקופה, מחושבת פעם אחתריבית פשוטה: סיכום

. מכל התקופהרגם אם שיעור הריבית נתון לפי פרק הזמן הקצ

140

יתדססדרה חנ

ריביתריבית דֶ

נשווה שני . האם הפקדה בריבית פשוטה מניבה רווח מקסימלי, נבדוק

שנים בריבית שנתית פשוטה של חמש -ל ₪ 1000נפקיד בבנק , באחד: תרחישים

. המחושבת בתום כל התקופה, 8%

, M = 1000⋅(1 + 5⋅0.08) = 1,400₪הבנק יחזיר לנו

. 400 = 1000 – ₪1400 כלומר הרווח שלנו יהיה

. לשנה אחת8%בריבית שנתית של ₪ 1000של סכום אותודיפקנ ,תרחיש אחרב

, M1 = M0(1 +0.08) = 1000·1.08 = 1080 ₪ שלסכום בתום השנה נוציא

. באותה הריבית לעוד שנה אחתנפקיד אותו שובו

, M2 = M1(1 + α) = 1080·1.08 = 1166.4₪של סכום בתום השנה השנייה נקבל

:ש פעמיםונחזור על פעולה זו עוד של

, M3 = M2(1 + α) = 1166.4·1.08 = 1259.7₪ בתום שנה שלישית נקבל

, M4 = M3(1 + α) = 1259.7·1.08 = 1360.5₪ בתום שנה רביעית נקבל

. M5 = M4(1 + α) = 1360.5·1.08 = 1469.3₪ ית נקבלחמישבתום שנה ו

י ריבית שהיינו מקבלים בתנֵא ₪ 1400 לעומת יותר ₪ 369.נקבל , יכוםלס

.פשוטה

נקבעה ריבית מחושבת בתום כל פרק הזמן שעבורו ה שבה, שיטת חישוב זו

מכונה , עבור התקופה הבאה(M0) כקרן התחלתיתהחדש ישמש והסכום , הריבית

. ריבית דריבית

.ח נוסחה לחישוב ריבית דריביתנפֵת

כל פרק αל בשיעור הריבית והוא גדֵ , M0 -נניח שהערך ההתחלתי היה שווה ל

? פרקי זמןn לאחר Mnך הסופי מה יהיה הער. שאזמן שמוגדר מר

- בתום פרק הזמן הראשון הערך יהיה שווה ל

M1 = M0(1 + α) : לכן, הערך הזה יהפוך להתחלתי, פרק הזמן השניעבור

M2 = M1(1 + α) = M0(1 + α)·(1 + α) = M0(1 + α)2

141

יתדססדרה חנ

:בדומה לכך נקבל עבור פרקי הזמן הבאים

M3 = M2(1 + α) = M0(1 + α)3

M4 = M3(1 + α) = M0(1 + α)4

.................................................

(3) Mn = M0(1 + α)n

גודל , פיקדון כספי(ערך מסוג כלשהו באמצעות נוסחה זו אפשר לחשב

נמצא α ששיעור הגידול שלו, )מספר החיידקים שמתרבים ועוד, אוכלוסייה

. ביחס ישר לגודל התחלתי

כאשר האיבר , הנדסית עולהסדרה יוצרים Mnעוקבים של הערכים הש, איםרו

, 1 -המנה גדולה מ, α > 0כאשר .q = (1 + α)והמנה היא M0הראשון הוא

. גדילהוהתהליך מכונה, להגדֵ הכמות ההתחלתית , כלומר, והסדרה עולה

, n - וMn, M0, α רואים שאם ידועים שלושה מארבעת הערכים (3)מהנוסחה

. הרביעיהערך אפשר למצוא את

α מציאת שיעור הגדילה 3דוגמה

. עצים22,000היום יש בחלקה . עצים15,000שנים עשרחלקת יער הכילה לפני

. העצים נשאר קבועמספרשיעור גדילת

? מה שיעור הגדילה השנתי )א

? = M0 = 15000 ,n = 10 ,M10 = 22000 .α: את הנתוניםנרשום

:αונחלץ ממנה , Mn = M0(1 + α)n: (3)נשתמש בנוסחה

(1+¹)

n =

Mn

M0

, 1+¹ = Mn

M0

n

, ¹ = Mn

M0

n

- 1

:נציב נתונים ונקבל תשובה

¹ = 2200015000

10

- 1 = 1.039 - 1 = 0.039 = 3.9%

י אפשר להשתמש במחשבון או בתוכנת מחשב -nכדי לחשב שורש : הערה

.מתאימה

142

יתדססדרה חנ

Mn הכמות הסופיתמציאת

?שניםעשר כמה עצים יהיו בחלקה בעוד )ב

: שמצאנוα את (3)נציב בנוסחה

M20 = M10(1 + α)10 = 22000·(1 + 0.039)10 ≈ 32267

:n = 20 - וM0 = 15000אפשר להציב בנוסחה את הכמות ההתחלתית :הערה

M20 = M0(1 + α)20 = 15000·(1 + 0.039)20 ≈ 32267

: בנק מציע שתי תכניות חיסכון 4דוגמה

,8%בריבית שנתית של , 'תכנית א

. פעם בשנתייםולמתאולם היא מש, 16%שבה הריבית היא , 'ותכנית ב

?שניםארבע -באיזו תכנית כדאי יותר להשקיע כסף ל

,n = 4 ,α1 = 0.08 ,)אינה ידועה( M0: 'נרשום את הנתונים עבור תכנית א

Ma )מצב חשבון בתום התקופה( .

ריבית משולמת מכיוון ש (n = 2, )'השווה לזו שבתכנית א( M0: 'עבור תכנית ב

.)מצב חשבון בתום התקופה (α2 = 0.16, Mb ,)ם בשנתייםפע

= M0 = 1.084·M0 Ma = M0(1 + α1)4·1.36 : (3)נציב נתונים בנוסחה

1.345·M0 = 1.162·M0 Mb = M0(1 + α2)2 =

. דאית יותר כָ 'תכנית א, כלומר, Ma > Mb -ש, רואים

M0 הכמות ההתחלתיתמציאת

נערך 2010.11. - ב .51.% -אוכלוסייה במדינה מסוימת גדלה כל שנה ב 5ה דוגמ

. מיליון13.5והתברר כי מספר תושבי המדינה הוא , מפקד אוכלוסין

? שנים קודם20מה היה מספר התושבים במדינה

. ? = M20 = 12.5 ,n = 20 ,α = 0.015 ,M0)מיליון: (את הנתוניםנרשום

: M0ונחלץ ממנה , Mn = M0(1 + α)n :(3) נשתמש בנוסחה

M0 = Mn

(1 + ¹)n

143

יתדססדרה חנ

)מיליון: (נציב נתונים

nמציאת

. בשמורת טבע סופרים את העופות הדורסים מדי שנה באותו תאריך 6דוגמה

. עופות1,093לפני שנה נספרו

. עופות1,507בספירה השנה נספרו

. אוכלוסיית העופות גדלה בשיעור קבוע

? עופות דורסים3,950בור כמה שנים יהיו בשמורה כע

? = M0 = 1093 ,n = 1 ,M1 = 1507 ,Mn = 3950 ,n:נתוניםנרשום

:n(α + 1) ונחלץ ממנה , Mn = M0(1 + α)n :(3)נשתמש בנוסחה

:M0 - M1 ניעזר בקשר בין αכדי למצוא את . α - וn: שיש שני נעלמים, רואים

M1 = M0(1 + α) :נציב בביטוי הקודם

. הוא מעריך החזקה(n)קיבלנו משוואה שבה הנעלם

. משוואה מעריכיתלכן משוואה מסוג זה מכונה

: אולם לעתים ארוכה, שתמש בדרך הקלהאנחנו נ; יש כמה דרכים לפתור אותה

.וטעייהניסוי

:איזה מהם מתאים, ונראה, nנציב במשוואה כמה ערכים הגיוניים של

,n = 2 :1.3792 = 1.902 ,n = 3 :1.3793 = 2.622ננסה . n > 1 -ברור ש

n = 4 :1.3794 = 3.612 ,כלומר ,n = 4מקיים את המשוואה .

. n =4: תשובה

M0 = 13.5

(1+0.015)20

= 10

(1 + ¹)n = Mn

M0

1+ ¹ =M1

M0

, ¹ =M1

M0

-1=15071093

-1= 0.379

(1+0.379)n =

39501093

Ó 3.61, 1.379n = 3.61

144

יתדססדרה חנ

דעיכה

. ישנן תופעות רבות שבהן כמות התחלתית הולכת וקטנה עם הזמן

כמו , חומר רדיואקטיבי; כל שנה שיעור מסוים מערכורכב חדש מאבד : לדוגמה

מים הנמצאים בכלי ; מאבד כל פרק זמן מסוים חלק ממשקלוו, מתפרק, אורניום

. פתוח מתאדים ומאבדים חלק ממשקלם

, α < 0, שלילישיעור הגדילה הופך ל, כאשר כמות התחלתית הולכת וקֵטנה

סדרה תהיה וסדרת ערכי הכמות , q = (1+ α) < 1 :1 - אפוא תהיה קטנה מהמנה

.דעיכהמכונה כזה תהליך .יורדתהנדסית

במקרה של (3)הנוסחה אז , כמספר חיוביαאם לרשום את שיעור הדעיכה

:דעיכה תקבל צורה

(4) Mn = M0(1 - α)n

אחד מהפרמטרים באמצעות נוסחה זו אפשר לחשב כל , כמו במקרים של גדילה

Mn, M0, αו - n ,ידועים ים האחריםהפרמטר תאם שלוש.

- ידוע שערך המכונית יורד כל שנה ב. 000125₪, - קניתי מכונית ב 7דוגמה

? שנים5המכונית בבידוק בעוד של כהמה יהיה ער. 15%

ונציב אותם ,? = M0 = 125000 , α = 0.15 ,n = 5 .M5: את הנתוניםנרשום

:(4)בנוסחה

)₪(M5 = 125000·(1 – 0.15)5 = 125000·(0.85)5 = 55,463

. שעות בשיעור מסויםחמש נה כל כמות חומר רדיואקטיבי קֵט 8דוגמה

. 6:00שעות החל מהשעה חמשי מדֵ שקל את החומר מדען

. גרם50 - בשקילה הראשונה הייתה מסת החומר שווה ל

. גרם40 -הייתה המסה שווה ל 11:00בשעה

. גרם25.6 -ספת הייתה מסת החומר שווה לבשקילה נו

?באיזו שעה נערכה המדידה

.M0 = 50, t = 5: נרשום את הנתונים

145

יתדססדרה חנ

ואפשר, n = 1לכן , 5 = 6 – 11 - פרק הזמן בין שתי השקילות הראשונות שווה ל

שעות 5 פרקי זמן בני nשקילה נוספת נערכה כעבור . M1 = 40: לרשום נתון נוסף

.? = n :nצריך למצוא . Mn = 25.6: צאה הייתהוהתו, כל אחד

: עבור המדידה השנייה(4)נשתמש בנוסחה

M1 = 40 = 50·(1 – α)1

α: 1 – α = 0.8, α = 0.2מכאן נמצא את שיעור הדעיכה

: פרקי זמן תוצאת השקילה הייתהnכעבור

Mn = 25.6 = 50·(1 – α)n = 50·0.8n

: ננסה לפתור אותה בשיטת ניסוי והטעיה.nו משוואה מעריכית לגבי קיבלנ

.8n = 25.650

= 0.512 0

n = 2: 0.82 = 0.64 ) ייגדול מד: לא מתאים(

n = 4: 0.84 = 0.41 ) ייקטן מד: לא מתאים(

n = 3: 0.82 = 0.512)מתאים בדיוק (!

המדידה השלישית נערכה , כלומר, שעות חמשפרקי זמן של שלושהעברו , ובכן

- בשעה

6 + 3·5 = 21

. 21:00: תשובה

)?מתי מתו דינוזאורים או (זמן מחצית החיים

כמות : וכתוצאה מכך מתפרקים, פולטים תמיד קרינהיסודות שכמה בטבע יש

תהליך כזה מכונה פריקה . וחלק ממנו הופך ליסוד אחר, נהחומר המקורי קֵט ה

.והחומרים נקראים רדיואקטיביים, רדיואקטיבית

הנדסה ב, רפואהב, ארכאולוגיהשימושים רבים לחומרים רדיואקטיביים ב

.ובתחומים אחרים

- פיפי פרק הזמן שבו כמות החומר פוחתת -נוח למיין חומרים רדיואקטיביים על

. של החומרזמן מחצית החייםק זמן זה נקרא פרשתיים

את או , כמות החומר בכל רגעאת אפשר לחשב , אם ידוע זמן מחצית החיים

. פרק הזמן שעבר מתחילת התהליךאת או , כמות החומר שהייתה לפני זמן מה

146

יתדססדרה חנ

כמות החומר בתום פרק , רהדפי ההג-על. T1/2 -נסמן את זמן מחצית החיים ב

:(4)נציב בנוסחה . שווה למחצית הכמות ההתחלתיתזמן זה

MT1/2 = M0·(1 - α) = 0.5M0

:מכאן מקבלים

1 - α = 0.5,

:nנחשב , מתחילת התהליךtכדי לדעת את כמות החומר כעבור זמן

:כמות החומר ברגע זה תהיה

:חוק הפירוק הרדיואקטיביאת לנו קיב

(5) או

– 14-פחמןמדידת הריכוז של משתמשים במאובנים כדי לגלות גיל 9דוגמה

. שנים5,717אשר זמן מחצית החיים שלו הוא , יציב של היסוד פחמן-הסוג הלא

1,000 –פי קטן במאובנים של דינוזאורים הוא 14-נמצא שהריכוז של פחמן ? מה גיל הדינוזאורים. מהריכוז ביצורים חיים

מספר פרקי מחצית החיים בכל הזמן שעבר מאז תקופת- נסמן

. הדינוזאורים

: .נתון. מבטא את ריכוז החומרM (5)בנוסחאות

: מקבלים)5(מהנוסחה

.n מעריכית לגבי קיבלנו משוואה

,n = 10, כלומר, 1024 = 210: מצאנ) יהעיוטבשיטה ניסוי (באמצעות מחשבון

. t = 5717·10 ≈ 60,000) שנים: ( פרקי זמן של מחצית החיים10 - שווה לt -ו

. שנים 60,000הדינוזאורים מתו לפני : תשובה

¹ = 0.5 = 12

n = t

T1/2

Mt = M0*(1 - ¹)n = M0*(1 - 12 )

n

= M0*1

2n= M0*2-n = M0*2

-t

T1/2

Mt = M0*2

-t

T1/2

Mt = M0

2

t

T1/2

= t

T1/2

n

Mt

M0

= 1

1000

Mt

M0

= 1

1000 =

1

2n

, 2n = 1000

147

יתדססדרה חנ

הייצוג הגרפי של גדילה ודעיכה

זמן בצורה מוחשית יותר מאשר ות את השתנות הכמות בַ גרפי מאפשר לראייצוג

.טבלאיייצוג או ) באמצעות נוסחה(ייצוג אלגברי

כמה . %10 של פשוטהבריבית שנתית ₪ 000,1 דוד הפקיד בבנק 10דוגמה

שרטטו גרף של מצב החשבון ? חמש שנים? שנתיים? כסף יקבל דוד בתום שנה אחת

.כפונקציה של זמן פיקדון

ונציב בה את נתוני , Mn = M0(1 + nα): (2)בנוסחה של ריבית פשוטה תמש נש

M = 1000·(1 + 0.1n) = 1000 + 100n :נקבל. M0 = 1000 ,α = 0.1: הבעיה

; n = 1 ,M = 1100: הסכום כעבור שנה יהיה

,n = 2 ,M = 1200: כעבור שנתיים

. n = 5 ,M = 1500: שנים5כעבור

. הוא קו ישרnונקציה של כפMהגרף של

, nאם להמשיך ישר לערכים גדולים יותר של

. אפשר לדעת את הסכום גם ללא חישוב

ניתן לקבל את ערכי הגרפי מהייצוג , באופן דומה

גדילה או מורכב יותר של הפרמטרים של תהליך

.דעיכה

משמאל מתאר את ההתפרקות של שהגרף 11דוגמה

. שנים עשר יסוד רדיואקטיבי במשך

ידי פונקציה -ידוע שתהליך ההתפרקות מתואר על

.Mn = M0(1 - α)n מעריכית

?Aמה משמעות הנקודה )א

?αמה שיעור הדעיכה השנתית )ב

בעכמה חומר יישאר כעבור ש )ג ?שנים

.Bצאו את שיעורי הנקודה ִמ )ד

148

יתדססדרה חנ

A הנקודה ,כלומר. n = 0שבו , נמצאת על הציר האנכיAרואים שהנקודה ) א

. (M0, n = 0)מסמנת מצב התחלתי

n - וM0 , Mn צריך לדעתαשכדי למצוא , נובע Mn = M0(1 - α)n מהנוסחה ) ב, שאפשר להשתמש בנתוני שני המצבים, מהגרף רואים. כלשהםעבור שני מצבים

. n = 5 - וn = 2 -המתאימים ל

בין שני שתיים מספר (M0 = 512 ,M = 262.14 ,n = 3 :נרשום את הנתונים

:נציב בנוסחה). המצבים

262.14 = 512·(1 - α)3

. α : ,α = 0.2מכאן נחלץ את

. n - וM0 ,αצריך לדעת , דידותשנים מתחילת המ שבעכדי לחשב כמות החומר )ג

, M0עה הכמות ההתחלתית ונגלה שלא יד, )Aהנקודה (אם ניקח מצב התחלתי

ניקח את המצב . ידועM0שעבורו , לכן בתור המצב ההתחלתי ניקח מצב אחר

מהמצב הזה ועד . M0 = 262.14:ונסמן אותו כהתחלתי, המתאים לשנה החמישית

. שניםn = 2עברו שנים מתחילת המדידות שבע -ל

:נציב את כל המספרים בנוסחה ונמצא

M = M0(1 - α)n = 262.14·0.82 ≈ 167.8) גרם (

- ונמצא ש, נוריד ממנה אנך על ציר אופקי, Bכדי לדעת את שיעורי הנקודה )ד

n = 8 .נציב בנוסחה הקודמת , כדי למצוא את השיעור האנכיn = 3) בין המצבים

: ונקבל, )שנים שלושד פרק זמן של מפרי

MB = M0(1 - α)n = 262.14·0.83 ≈ 134.2) גרם(

???היריבית דריבית כל שני

. בנק מחשב ריבית ומצרף אותה לקרן פעם בשנה, בדרך כלל

שנתית -בריבית חצי(האם תשתנה התוצאה אם לעשות את החישוב כל חצי שנה

? )כמובן, השווה לחצי הריבית השנתית

בתום השנה נקבל . 100%לריבית שנתית פשוטה של ₪ 1000נניח שהפקדנו

(1- ¹)3=

262.144512

= 0.512

- ¹ = 1 0.5123

= 0.8

149

יתדססדרה חנ

)₪(M = 1000·(1 + 1) = 2000

לשתי תקופות של חצי שנה בריבית של M0 = 1,000אם נפקיד את אותה הקרן

:נקבל בתום שנה, 50%

)₪(M2 = 1000·(1 + 0.5)2 = 2250

עם זאת נקטין באותה מידה ויחד (אם נחלק שנה ליותר תקופות לחישוב הריבית

:נקבל בהתאמה, )את הריבית התקופתית

)₪(M3 = 1000·(1 + 0.33)3 = 2368.6

)₪(

……………………………………….. )₪(M100 = 1000·(1 + 0.01)100 = 2704.8

……………………………………….... )₪(M1000 = 1000·(1 + 0.001)1000 = 2716.9

) ח"ש 2,000(ם רואים שההפרש בין הסכום שהתקבל מריבית פשוטה מהחישובי

היה משמעותי מאוד עבור ,שהתקבלו מחישובי ריבית דריביתהסכומים לבין

). ₪ 613(חודש , ) 368.6₪(שלושה חודשים , ) 250₪( חצי שנה :תקופות של

רווחה את האלף לא הגדיל- מאה או אפילו פי-אולם הקטנת תקופת הריבית פי

אומנם (ומאפשר לגלות מהר , ות את התוצאגיצמשלהלן הגרף . תדרסטיצורה ב

.הפקדה עבור תקופות חישוב ריבית שונותהאת הרווח מ) בקירוב

M12 = 1000*(1 +112 )

12

= 2613

¹ = 1

M = 1000*(1+¹n )

n

150

יתדססדרה חנ

מכפיל את הקרן 100%פי ריבית שנתית פשוטה של -מהגרף רואים שחישוב על

, לערך2.5 -קרן פי מגדיל את ה(n = 6)חודשי -חישוב דו; ) על הגרףAנקודה (

.2.71 - לא תגרום להגדלת הקרן ביותר מפי1,000 -אולם גם חלוקת התקופה ל

של פרקי תקופת " אינסופית"במתמטיקה מתקדמת מוכיחים שבהקטנה

מתקרב למספר השווה אלא , הפיקדון הרווח היחסי המצטבר אינו גדל עד אינסוף

.ימושיו במתמטיקה רבים מאודוש, e –מספר זה מכונה מספר . 2.7183 - בערך ל

תרגילים

אם שיעור , תום תקופת פיקדון של שנה אחת ביםלמשקיעכמה כסף יחזיר בנק . 1

:הינם) בשקלים(הריבית השנתית והפיקדון

α = 7% M0 ,2500 =) ב α = 8% M0 ,3000 =) א

α = 6.2% M0 ,550 =) ד α = 9.5% M0 ,12000 =) ג

. עולים במהלך השנה בשיעור מסוים") סל הקניות("מחירי מוצרים בסיסיים .2

בתחילת ידוע ) בשקלים(צאו את שיעור ההתייקרות השנתית של הסל אם מחירו ִמ

:השנה ובסֹופה

M = 390.4 M0 ,370 =) ב M = 360.5 M0 ,350 =) א

M = 337 M0 ,315 =) ד M = 327.8 M0 ,285 =) ג

י בתנֵא ₪ 45,000לצורך רכישת מכונית חדשה הבנק נתן ללקוח הלוואה על סך .3

?שניםשלוש כמה כסף יצטרך להחזיר הלקוח בתום . 8%ריבית שנתית פשוטה של

שבה הם מתרבים כל , במעבדה סופרים את מספר החיידקים במושבה ניסיונית .4

12:00בשעה , 320,000ם היה מספר החיידקי8:00בשעה . שעה בשיעור קבוע

?מה שיעור הגדילה של מספר החיידקים בשעה. 663,680מספרם היה

לה ְד גַ , אוכלוסייה נשאר קבועהשבה שיעור הגדילה השנתי של , במדינה מסוימת .5

מה שיעור הגדילה השנתי של . שנים עשרשתיים בתקופה של - האוכלוסייה פי

?האוכלוסייה באתה המדינה

151

יתדססדרה חנ

שנים חמש שכעבור ידוע אם , מהבנק ההלוואה נלקחה שנתית ריבית באיזו .6

? מהקרן50% - הלקוח להחזיר סכום הגדול בחּויב

שלוש כעבור 15%מציעה ריבית שנתית פשוטה בשיעור של ' תכנית חיסכון בבנק א .7

4.9%בשיעור של שנתית מציעים תכנית לפיה ריבית ' בבנק ב; שנים של חיסכון

באיזה . שנים6למשך ₪ 10,000 רוצה להשקיע סך של הלקוח. תחושב פעם בשנה

?ובכמה, היה גבוה יותרי ההלקוחשל רווח הבנק

גדלה בשיעור שנתי והיא , מיליון תושבים12.5מהווה אוכלוסיית מדינה מסוימת .8

?שנים שמונהגדל אוכלוסיית המדינה כעבור תבכמה תושבים .2.3%של

. 5.5%של בשיעור שנתי , שנים חמש - לפועל לקח מבנק הלוואה ת מכונית לרכיש .9

מה הלוואהכ. 196,044₪ -שלסכום בתום התקופה גילה הפועל שהוא חייב לבנק

?לקח מהבנק

, יותריםלחדששברשותם ים לשדרג מכשירותחברת טלפונים מציעה ללקוח . 10

שיעור הריבית . וש שניםשלבהתחייבות ל₪ 90בתשלומים חודשיים קבועים של

. 6.5%הוא , למעשה, מציעההחברה ששל ההלוואה השנתית

?כל התקופהלאורך לחברה ות הלקוחוכמה כסף יחזיר. א

? בעת הרכישהיםמה היה מחיר המכשיר. ב

. 5% - יורד כל שנה בשרכשתי ערך הדירה .11

. ₪ 980,000מחיר הדירה היה

?ים שנ15מה יהיה ערך הדירה בעוד

. 9.1%בנק נותן הלוואה בריבית שנתית של . 12

?כעבור כמה שנים החוב לבנק יהיה כפול מגובה ההלוואה

152

יתדססדרה חנ

תשובות10§

n, n+1 ,5 ,2) ב .1

,0 ,1/3-) ד 10 ,60 ,90) ג 10 ,7 ,4) ב 9 ,7 ,5) א .2

27- ,8- ,1-) ו 1/3 ,½ ,1) ה

15) ג 12) ב 10) א .3 כן) ד לא) ג כן) ב כן) א .4

1- ,3 ,1 ,2) ב 67 ,22 ,7 ,2) א .5

9) ב 11) א .6

7. 256, 16, 4, 2

1- ,1- ,1- ,1- ,1- ,1) ב 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1) א .8

9. a5 = -7

2n – 18, 2n – 22, 2n – 10) ב 5n – 5, -5n + 9, -5n – 21-) א .10

) ד 23n+4, 23n-2, 23n+16 )ג n+7

7*( 12

)n+3

, 7*( 12

)n+1

, 7*( 12

)11§

אם ההפרש אינו תלוי . (an+1 – an)ולהפרש an+1שמו ביטוי לאיבר ִר :הדרכה .3

.אז הסדרה היא חשבונית, n -ב

.שבו את הפרש הסדרה ומצאו את האיבר הראשוןחַ : הדרכה .5

6. n = 12.

.n = 11. כן .7

8. n = 11 .לא.

0.5) ב 5) א .9

13-) ב 0) א .10

a1 = -100) ב a1 = 50) א .11

an = 5n – 17) ב an = 3n +4 )א .12

13. n ≥ 9

153

יתדססדרה חנ

14. n < 75

a9 = -57, d = 7) ב a9 = 136, d = 10) א .15

a9 = -1, d = -1.5) ד a9 = -2, d = 5) ג

.' מ44.1. 16

17 .10

, )באותיות(הציבו בנוסחאות לאיבר כללי את מספרי האיברים : הדרכה .19 - 18

.ותקבלו את המבוקש, שיתקבלו פשטו את הביטויים

12§

2,550) ד 10,050) ב .1

2. 4,850

3. 4,489

192-) ב .4

204 )ב .5

240) ב .6

494,550) ב 4905) א .7

2900) ב .8

9. -45

10. 10

a10 = 15 ) ב .1156

, d = 32

12. a1 = -88, d = 18

13. 78

14. 44

15. a1 = 5, d = 4 פשטו את הביטוי , הציבו בנוסחאות הסכום את מספרי האיברים: הדרכה

.ותקבלו את המבוקש, שיתקבל

13§

0.4 ,0.4 )ד 1- ,2- ,4- ,8- ,16-) ב .1 2 , 0.8, 0.8 2 , 1.6

154

יתדססדרה חנ

ck+3 = c1qk+2) ה c125 = c1q124) ג .2

) ד 32-) ג ) ב ) א .3

) ב ) א .4

)ד ) ב .5

) ד ) ב .6

ר" סמ .7

)ב )א .8

0.6- או 0.6) ב 3- או 3 ) א .9

או ) ב 1000 )א .10

11. 6, 18, 54

12.

13. 96

את השרטוט ו העתיק: הדרכה .14

שבו את הצלע של המשולש חַ ; למחברת

צאו את הקשר בין הצלעות של וִמ ,השני

.משולשים סמוכים

.ר" סמ0.25 .1514§

400-) ו ) ד )ג . 1

2186) ב . 2

b1 = -1, b8 = 128) ב .3

n = 5) ד n = 7) ב .4

n = 4, q = 7) ד n = 9, b9 = 2048) ב .5

305) ד 364) ב .6

14

-101

25 273

5427

7 = -58

b , bn = -40*1

b7 = -10, bn = 10*(-1)n

2n-1

b6 = 1

1000, bn =

(-1)n

10n-3 b6 = -54, bn =

649

*(- 3 )n-1

23

102456125

181

1-13 3

a = 1, b = 12

8

4 4

8b

1bb 11

b2

b1

-31

-27581 8

155

יתדססדרה חנ

b5 = 4802, S4 = 800) ב ) א .7

)ב S5 = 93) א .8

או q = 3, b1 = 15) א . 9

.q = -6, b3 = 432 או q = 5, b3 = 300) ב

q = -2 או q = 2) ב q = -3 או q = 3) א . 10

S5 = 521 או S5 = 781) ד S10 = -5115) ג

;שבו את המנה וחַ , (n + 1) רשמו ביטוי לאיבר שמספרו :הדרכה .11

.אז הסדרה היא סדרה הנדסית, n -אם הביטוי שיתקבל אינו תלוי ב

) ו ) ג . 12

13. -364

14. 2186

15 . 160

15§

M = 2675 )₪() ב M = 3240 )₪() א. 1

M = 584 )₪( ) ד M = 13140 )₪() ג

α = 7%) ד α = 15%) ג α = 5.5%) בα = 3%) א. 2

3 .55,800 ₪

4 .α = 20%

5 .α = 7.2%

6 .α = 8.5%

. 100₪ - ב', בבנק ב. 7

. מיליון תושבים2.49 -ב. 8

9 .150,000 ₪

. 3,240₪. ב ₪ 2,682. א. 10

11 .471,397 ₪

12 .n = 8

1 = 9, q = 5

b3

S6 = -13132

q = -34

, b1 = 240

bn+1

bn

Sn = 13

*(-1)

n- 2

n

2n

Sn = 1 - (-1)

nx

3n

x3+ 1

156

יתדססדרה חנ