1

טכניקה אלגברית

יתאלגבר. טכיקה 1 (חזרה) הוצאת גורם משותף מסוגריים 1.1

אותיות של מספרים, המכפלהם ש xy 73a-, 23)bc-(3x ,2b25a,2 :מהסוג יםביטוי

ים קרא. גם מספר, משתה או חזקה בודדים חד איבר קראים(משתים) וחזקות,

. רב איבר קרא יםחד איברסכום של א. ביטוי שהוחד איבר

.רב איברהוא 5xy + 3x –y 24x– 1: וגמהלד

.איברים דומיםכאשר האיברים בדלים רק במקדם מספרי, הם קראים

הם איברים דומים. y2y, 5x22x-y, 2x: לדוגמה

קראת רב איברפעולת החיבור של איברים דומים בוס איברים דומיםכי.

.b 23a – 22 + 4abb + 25a– 7 רב איבר: כסו איברים דומים בדוגמה

בביטוי זה שלושה סוגים של איברים דומים; סמן אותם בקווים: פתרון

7 – b23a – 2+ 2 + 4ab b25a

וחיסור: חיבור בסוגריים, ובצע בייהם פעולות את האיברים הדומיםקבץ

5a2b + 2 + 4ab2 – 3a2b – 7 = (5a2b – 3a2b) + 4ab2 + (2 – 7) =

5. – 2b + 4ab2= 2a

רב איברלהחליף לעתים קרובות כדאי משוואותשל ומערכות משוואות בפתרון

חד יהם יכולים להיות גם (שביפשוטים יותר ביטויים אלגבריים מכפלה של כמה ב

. לגורמים רב איברפירוק קראתים). פעולה זאת איבר

.7לק משותף מחמקדמי האיברים יש ל 221y – 228x דו איברב 1 דוגמה

)2y3 –2 x(4= 7 2y3∙7 - 2x4∙7= 2 21y – 228xוציא אותו מהסוגריים:

. 2y3 –2 x4 -ו 7: גורמיםלשי דו איבראת הפירקו

בין מ המעריך הקטן ביותר בעלתאת החזקה יש לאתר , חזקותכאשר האיברים הם

זהה.חזקות האיברים בעלי בסיס

.2y3x– 4y2x רב איברהלגורמים את פרקו 2דוגמה

2 דו איברבy3x– 4y2x 2החזקותx 2 - וy ןים בעלותהחזקות היהמעריכים הקט

. וציא אותו מהסוגריים:2y2xביותר, לכן הגורם המשותף הוא

x2y4 –x3y2 = x2y2∙y2 - x2y2∙x = x2y2 (y2 –x)

2

טכניקה אלגברית

x∙2y2x - ו 2y∙2y2xקבלו לאחר חילוק האיברים האיברים שבסוגריים הת

2y2x. בגורם המשותף

.להוציאם מהסוגריים יחדים יש כמה גורמים משותפים, אפשר חד איברלכאשר

. 2b + 15b26a רב איברתבון ב 3דוגמה

:3b הואכל אחד מאיבריו כמכפלת שי גורמים, שאחד מהם אפשר להציג

6a2b + 15b2 = 3b∙2a2 + 3b∙5b

. וציא אותו מהסוגריים:3bהוא הגורם המשותף

+ 5b) 2a∙(25b = 3b∙+ 3b 2a∙23b = 2b + 15b26a

המכילים יותר אלגברייםביטויים גם ב מהסוגריים פיםם משותמיא גוריהוצל אפשר

.משי איברים

ad –ab + ac :תלת איבראת הפרקו לגורמים 4 דוגמה

ab + ac – ad = a(b + c – d) לכן קבל: ,aלכל האיברים גורם משותף כאן

.-y4+ 45x2 y330x – 3y215x (טריום) תלת איברה את לגורמים פרקו 5דוגמה

ים: רב איברהאיבריהזה מכילים גורמים משותפים שוx ,y ,3xy ,25x- .ועוד

.)45 -ו 30, 15( םקדמיתחילה מצא את הגורם המשותף למ

. 15 הואהמחלק הגדול ביותר שלהם

, 4 - ו 3, 2מופיע בחזקות x, כאשר y -ו xכל האיברים מכילים את המשתים

. 2xאת לכן אפשר להוציא מהסוגריים

.yאת . לכן אפשר להוציא מהסוגריים 1 - ו 2, 3מופיע בחזקות yהמשתה

. -y2x15או y215x חד איברהאת גם אפשר להוציא מהסוגריים

, קבל: -y2x15אם וציא, לדוגמה, את

-15x2y3 – 30x3y2 + 45x4y = -15x2y(y2 + 2xy - 3x2)

למשל:דו איבריכול להיות גם גורם משותף ,

a(2b + 3) + b(2b + 3) = (2b + 3)(a + b)

3

טכניקה אלגברית

.2c) –2c) + 7(b –(b 23a פרקו לגורמים את הביטוי 6דוגמה

חובר מכיל גורם מ זה כל ביטויב(b – 2c) . :וציא אותו מהסוגריים

3a2(b – 2c) + 7(b – 2c) = (b – 2c)(3a2 + 7)

.)x – y(b) + y – xa( סכוםאת ה הפכו למכפלה 7דוגמה

הגורמים(x – y) ו- (y – x) .ים זה מזה בסימן בלבדשו

, וקבל:(1-)א מהסוגריים השיים את וצי

a(x – y) + b(y – x) = a(x – y) + b(-1)( x - y) =

= a(x – y) - b( x - y) = (x – y)(a – b)

: הקצרבאפשר לכתוב

a(x – y) + b(y – x) = a(x – y) - b( x - y) = (x – y)(a – b)

במקרים מסוימים אפשר להשתמש בשוויון:

(a – b) = - (b – a)

גורם משותף מאפשר במקרים מסוימים לפתור הוצאת לגורמים באמצעות פירוק

ות ממעלות גבוהות.משווא

.3x = 0 22x + :פתרו את המשוואה 8 דוגמה

וציא מהסוגריים את הגורם המשותף באגף שמאלx:

2x2 + 3x = x(2x + 3)

x(2x + 3) = 0 קיבלו משוואה:

כדי לפתור אותה שתמש בטעה הבאה:

שווה םגורמיאחד מהאם לפחות ,מכפלה של כמה גורמים שווה לאפס

.אפסגם הוא ל

ובע: x(2x + 3) = 0 כלומר, מהשוויון

x = 0 2אוx + 3 = 0 י הגורמים יחדשווים לאפס (או ש(

ר את המשוואה השייה:פתו

2x + 3 = 0 x = -1.5

x 1x ,0 =2 =-1.5: תשובה

4

טכניקה אלגברית

x8 – 3x2 0 =: פתרו את המשוואה 9דוגמה

וציא מהסוגריים את הגור 2(פים ם המשותמיבאגף שמאלx(:

2x3 – 8x = 2x(x2 – 4) = 0

.2x – 0 = 4 -ו x2 0 =קיבלו שתי משוואות:

x = 0 2x = 0פתור אותן:

x2 – 4 = 0, x2 = 4, x1 = 2, x2 = -2

3x2, -= 2x= 2, 1x 0 =: שלושה פתרוות: למשוואה תשובה

:= 0 315t – 43tעלם)המשתה ההוא tפתרו את המשוואה ( 10דוגמה

וציא מהסוגריים את הגור 33(פים ותם המשמיבאגף שמאלt(:

3t4 – 15t3 = 3t3(t – 5)

.t – 5 0 = -ו 33t 0 =קיבלו שתי משוואות:

= 0 t = 0 33tפתור אותן:

t – 5= 0, t = 5

2t, 0= 1t =5: פתרוות יש: למשוואה תשובה

במקרים מיוחדים פירוק לגורמים 1.2

לפרקו לגורמים אם קודם אפשרמים לכל איברי הביטוי אין גורם משותף, אולם לפע

קבץ את האיברים בזוגות כך שייווצר גורם משותף.לכך

.2a + bc + 2b + ac רב איברלגורמים את הרקו פִ 11דוגמה

קבץ האיברים:את

2a + bc + 2b + ac = (2a + 2b) + (bc + ac) =

= 2(a + b) + c(b + a) = (a + b)(2 + c).

. ny –my + 3nx –3mx רב איברלגורמים את הרקו פִ 12דוגמה

3mx – my + 3nx – ny = (3mx – my) + (3nx - ny) =

= m(3x – y) + n(3x - y) = (3x - y)(m + n)

5

טכניקה אלגברית

)םוריטתלת איבר (פירוק

החזקה הגבוהה על פייום ריבועי (טר קרא , a 0, שבו bx + c 2ax +מהסוג ביטוי

.bx + c = 0 2ax +, הביטוי הופך למשוואה ריבועית 0 -כאשר משווים אותו ל). xשל

אילו יכולו לפרק טריום ריבועי לגורמים, הייו יכולים לפתור את המשוואה

הריבועית המתאימה ללא צורך בשימוש בוסחאות מיוחדות.

:(x + 3) -ו (x + 2)פרק לגורמים מת 5x 2x +6 +לדוגמה: הטריום

+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 2x

) 5x + 6 2+ 2x + 3x + 6 = x 2(x + 2)(x + 3) = x +(בדיקה:

שי פתרוות: 5x + 6 = 0 2x +ריבועית הלמשוואה לכן

(x + 2)(x + 3) = 0 x + 2 = 0 x1 = -2, x + 3 = 0 x2 = -3

) פירוק כזה אפשרי.c -ו a ,bמיד (לא עבור כל ערכי המקדמים אולם, לא ת

לפעמים הפירוק בלתי אפשרי בכלל.

. ראה פשוט אולם בלתי אפשרי!x + 2x +1 לדוגמה, סו לפרק לגורמים טריום

קשה לפרק, אולם המקדמים לא יהיו מספרים שלמים, ואפשר במקרים אחרים

ורשים של משוואה ריבועית.למצוא אותם ללא שימוש בוסחת הש

לדוגמה:

פירקו טריוםלפרק טריום ריבועי, יח ש רלדעת באלו מקרים אפש כדי

+ ax + b 2x :י גורמיםלש(x + m) ו- (x + n)כלומר ,:

(1) x2 + ax + b = (x + m)(x + n)

ומים:פתח סוגריים וכס איברים ד

x2 + ax + b = (x + m)(x + n) = x2 + mx + nx + mn = x2 + (m + n)x + mn

בחזקות זהות, וקבל: xשווה את המקדמים ליד

a = m + n, b = mn (2)

הטריום כמפלת שי מספרים, ל ש cלהציג את האיבר החופשי אפשרכלומר: אם

.)1( על פילפרק אותו אפשר, אז כסכום של אותם המספרים xואת המקדם ליד

7x + 12 = (x + ?)(x + ?) 2x +. א דוגמאות

12 = 34, 7 = 3+4 x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

x2- 2x - 2 = (x - 1+ 3)(x - 1 - 3 )

6

טכניקה אלגברית

x 2x + - (? + x)(? + x) = 12 ב.

-12 = (-3)4, 1 = (-3)+4 x2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)

, (-4)(3+) = 12- : (4-) - ו (3+) -מתפרק גם ל (12-) שימו לב:

.1 יהיה , ולאx :3 – 4 = -1אולם אז סכום הגורמים לא יהיה שווה למקדם ליד

. לגורמים את הטריום פרקו ג.

בדוק את שתי אפשרויות הפירוק של1 ה3, כאשר אחד מגורמים הוא שבר עם מכ

מכה זה): בעל(שהסכום יהיה שבר

מבין השתיים, מתאימה רק האפשרות השייה:

לכן הפירוק הוא:

מקוצרהכפל הבאמצעות וסחאות פירוק

הפרש ריבועים .א

רשם:כפיל סכום שי מספרים בהפ

(a + b)(a - b) = a2 –ab + ba –b2 = a2 – b2

b) -= (a + b)(a 2b – 2a (3)רשום הפוך:

שי מספרים אפשר לפרק לשי גורמים: של םריבועיההפרש את : כלומר

סכום המספרים והפרשם.

:לדוגמהיכולים להיות גם מספרים וגם ביטויים, b -ו aבביטויים אלה ,שימו לב

x = 29a – 2x)– (x + 3a)(3a א)

25 = (2x – 24x- (2x + 5)(5 ב)

x + 3a – 2(x + 3a))(x + 3a + 4) = 16- (4 ג)

:שימו לב

ביטויים:של שי לפרק לגורמים סכום או הפרש של שי מספרים או אפשר יא .א

a + b = ??, a - b = ??

x2+

83

x - 1

-1 = 13

*(-3), -1 = -13

*3

x2 + 83

x - 1 = (x - 13 )(x + 3)

13

+ (-3) = -83

, -13

+ 3 = +83

7

טכניקה אלגברית

והפרש של 3 בעלות מעריך סכום או הפרש של חזקותאפשר לפרק לגורמים .ב

זוגי. בעלות מעריך חזקות

הפרששל של סכום או ריבוע .ב

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

= (a + b)(a + b) 2= (a + b) 2+ 2ab + b 2a (4)רשום הפוך:

קבל עבור ריבוע ההפרש:באופן דומה

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2

b) -b)(a -= (a 2b) -= (a 22ab + b - 2a (5)רשום הפוך:

.לגורמים במקרים מסוימים לפרק טריום אפשר) 5( –) 4באמצעות הוסחאות (

דוגמאות

2x + 55+ 2 2+ 10x + 25 = x 2x (x + 5) =2 א)

34a – 2= (x 2)34a+ ( 34a2x2 - 2)2= (x 6+ 16a 3a28x - 4x(2 ב)

תרגילים

:משותף מחוץ לסוגרייםהגורם את ההוציאו

21a – 7b + 42) ב 9a + 12b + 6) א .1

9x – 3y + 15z) ד 10x + 15y – 75z-) ג

2y3x – 3y2x ד) ab 2b4a +3 ג) 33a - 4a ב) 22a + 4a) א .2

3y3+ 6x 2y42x - 4y22x ב) 6ab 3b2+ 36a 2b24a +4 א) .3

xz 2x –xy + ב) 2ac + a –ab א) .4

b212a –+ 8ab 24b ד) 3a + 12ba – 26a ג)

לגורמים: ופרק

3b (x + y) +2a(x + y) ב) b -(x 2a + (x 2y)- (y א) .5

y(a2+ 2b 2x(a + (2b 2 +2( ד) x)y 2b(x –) 2+ y 2a +2( ג)

a(2 – a) + (a – 2)6 ב) a(3 – y) – (y – 3)7א) .6

b(2 2 -(m 2a + (– (m ד) a 2b)– c(1 - 1)– (a ג)

8

טכניקה אלגברית

x(x – y) + y(y – x) – 3(x – y) ב) a(b – c) + d(b – c) – 7(c – b) א) . 7

a(b – 3) + (3 – b) – b(3 – b) ד) x(a – 2) + y(2 – a) + (2 – a) ג)

:פרקו לגורמים

5(a– (b – 2b)(a + b)– (a ב) y (x -y) -3(x + y)(x +(2 א) .8

a(a– (b – 2b)– (3a ד) 2x(x + y) – 3(x + y) ג)

2(2 + a) + a3a(a + 2)2 ב) x(x – 3) –(x 2x– (23 א) .9

25p(p + q) –(p + q) 215p ד) 3m(n– (m 29m – 2m)– (n ג)

ות:משוואהאת פתרו

x3+ 2x5 0 = ג) 2t+ t3 0 = ב) 2x = 0 – 2x א) . 01

y(y2– 2) – y(2y – (22 0 =) ה x7 – 2x4 0 = ד)

0t –(1 2t – 2)t –(1 t3 = () ו

ריבועי:הטריום את הים פרקו לגורמ

5x - 2x 6 + ב) x+ 3 2x 2 + )א .11

9x+ 2x - 10ד) 7x - 2x – 8ג)

ב) א) .12

7x 22x +- 4ה) 5x 26x +- 6ד)

, ופרקו את הטריום שבסוגריים).2xהוציאו מהסוגריים את המקדם ליד הדרכה:

לכפל מקוצר:פרקו לגורמים באמצעות הוסחאות .13

3x)- (24y – 2yב) 2c – 2(x + b)א)

2(x + 3b) - (3x + b)2ד) 2(x + b) - (b + c)2ג)

מקוצר: כפלוסחאות לה אמצעותב ותמשוואאת הפתרו . 14

x -(x = (x + 1)(x – 21)2- (3א)

2 2x –3(x + 5)) =- (2 + x)(xב)

4(x - 1)(x + 1) = 49 – (2x + 3)(2x + 3)ג)

17 = (2 + 3x)(3x - 2) – (3x + 1)(3x + 1)ד)

x2+

56

x - 1 x2 + 312

x - 2

9

טכניקה אלגברית

זוגי.-זוגיים עוקבים הוא מספר אי-ריבועים של שני מספרים איההוכיחו כי הפרש .15

מספר טבעי. – 2n + 1 ,n: הזזוגי אפשר לרשום באופן ה-מספר אי: מזר

הוכיחו כי: .16

)- 2b) -a (a + b) =2ב2a) -b = ( 2b) -(a )א(

)- a + b)(b -a ( =-(a + b)2 ג(

2ab + 2ac + 2bc 2+ c 2+ b 2= a 2(a + b + c) + ד(*

:ופתרו משוואהאו בשיטות פירוק אחרות נוסחאות לכפל מקוצרב והיעזר . 17

y)- (y + 3)(y –2)- (22 5 =ב( 3x)- (3x - 21)- (22 0 =א(

y – 2(y + 8))(y + 9)- 117 = (5ד( (x + 7)(x + 3)– (x + 4)2 0 =ג(

3x)(3x + 2)- (3x –2)- (24 28 =ה(

טיבייםקאתרגילים אינטר

3.1

3.3

4.3

5.3

6.3

7.3

8.3

10

טכניקה אלגברית

9.3

11.3

11.3

12.3

13.3

14.3

15.3

16.3

17.3

18.3

11

טכניקה אלגברית

תשובות

א( .1 2433 ba )ב 637 ba

ג( zyx 25325 )ד zyx 533

א( .2 222 aa )ב 33 aa

ג( baab 32 )ד xyyx 22

א( .3 22 31822 babaab )ב xyxyyx 32 2222

א( .4 acba )ב zxyx

ג( baa 4123 )ד 2324 aabb

א( .5 22 bayx )ב 32 bayx

ג( bayx ד( 22 22 2bayx

א( .6 ay ב( 73 aa 62

ג( cba ד( 21 bam 22

א( .7 7 dacb )ב 3 yxyx

ג( 12 yxa )ד bab 13

א( .8 yxyx 22 )ב baba 232

ג( 2yxy )ד baba 22

א( .9 33 xx )ב 122 2 aaa

ג( nmmnm ד( 23 qpqpp 25

2,0א( .11 21 xx )3,0ב 21 tt )6.0,0ג 21 xx

75.1,0ד( 21 xx )2,0ה 3,21 yy )ו3

4,1,0 321 ttt

א( .11 12 xx )ב 32 xx

ג( 18 xx )ד 110 xx

12

טכניקה אלגברית

א( .12 23326

1 xx )ב 412

2

1 xx

ג( 2332 xx )ד 412 xx

א( .13 cbxcbx )ב yxyx 33

ג( cxcbx ד( 2 xbxb 8

ב( 5.3xא( .173

11x )3גx )ד

3

2y )2הx

13

חזקותחוקי

מעריך שלילי בעלותחזקות 1.3

מעריך שלם שלילי בעלתחזקה ההגדרת

:10בסדרת חזקות של תבון

,…n+1, 10n, …,103, 102, 10110 (1)

מהמספר שמשמאלו: 10 -בסדרה זו כל מספר גדול פי

102 = 101∙10, 103=102∙10, …, 10n+1 = 10n∙10

מהמספר שמימיו: 10פי וכל מספר קטן

:10n+1= 10 n:10, 103= 10 2:10, 102= 10 110

, = 1 0:10 = 10110קבל 110 - שמאלה ל (1)רה סדמשיך את האם

, משמאלו , :1 -ומשמאל ל

וכך הלאה.

:הזו סדרהאת הלבסוף קבל

(2)

שלפיו. המעריךמ 1 -חזקה קטן בשל כל מעריך 010 -למשמאל סדרה זוב

בצורה של 010 - כדי לשמור על אחידות, מקובל לרשום את המספרים משמאלו מ

:שלילימעריך בעלתחזקה

תיראה כך: (2)כל הסדרה

, …3, 102, 101, 100, 101-, 102-, 103-10

:ימספר שלם שלילי, אז הוא n -ו a ≠ 0במקרה הכללי, אם

דוגמאות

110

:10 = 1

100=

1

1021:10 =

110

= 1

101

1

102:10 =

1

103

... ,1

103 ,

1

102 ,

1

101 , 100 ,101 , 102 , 103 , ...

...1

1000= 10-3 ,

1100

= 10-2 ,110

= 10-1

an =1

a-n

5-2

= 1

52=

125

, (-3)-4

= 1

(-3)4

= 1

81

(- 12 )

-3

= 1

(- 12 )

3=

1

-18

= -8

14

חזקותחוקי

:אפשרויות לושש ש, י(a = 0)הוא אפס a: כאשר בסיס החזקה הערה

;n0 = 0 י, אז(n > 0)חיובי nכאשר המעריך )א

.אין משמעות n0לביטוי , (n < 0)שלילי nכאשר )ב

. אז m >0, כאשר :n = -mסמן הוכחה

. 00אין משמעות גם למספר ג)

תרגילים

שלילי בצורת שבר:המעריך ה בעלותרשמו את החזקות .24

.(a+b)-4ו) (ab)-3ה) x-20ד) a-1ג) 2-9ב) 6-10א)

מעריך שלילי: בעלתרשמו את השבר בצורה של חזקה .25

ה) ג) ד) ב) א)

:2חזקה של כרשמו את המספר . 26

ז) ו) ה) 1ד) 2ג) 4ב) 8א)

:5חזקה של כרשמו את המספר . 27

125ז) 25 ו) 5ה) 1ד) ג) ב) א)

:3חזקה של כרשמו את המספר . 28

81ט) 27ח) 9ז) 3 ו) 1ה) ד) ג) ב) א)

:10חזקה של כרשמו את המספר . 29

0.0001ז) 0.001 ו) 0.01ה) 0.1ד) 1ג) 10ב) 100א)

מעריך שלם בעלותכללי חזקות 1.4

בעלותים גם עבור חזקות פתק(שלם וחיובי) מעריך טבעי בעלותכללי החזקות

החזקה איו אפס). מעריך שלם (יש רק לוודא שבסיס

מתקיים: n - ו mומספרים שלמים a ≠ 0עבור כל

m+n= a na∙ma n-m= a n:ama

mn= a n)m(a

0n = 0-m

= 1

0m

= 10

1

102

1

671

x7

1

y10

17

12

14

18

1125

125

15

181

127

19

13

15

חזקותחוקי

מתקיים: n ומספר שלם a ≠ 0 ,b ≠ 0עבור כל

nbn= a n(ab)

אפשר להוכיח את התכוות האלה ואת התכוות של חזקות בעלות מעריך טבעי

יך השלילי. באמצעות הגדרת החזקה בעלת המער

: לדוגמה

ך שלילי מתבצעות על פי אותם הכללים לפיהם מערילכן פעולות בחזקות בעלות

פועלים בחזקות בעלות מעריך טבעי.

a17-a∙21פשטו את הביטוי: .1דוגמה

בסיסים זהים, משאירים את הבסיס ומחברים את בעלותכאשר כופלים חזקות

המעריכים:

4= a 17+21-= a 21∙a17-a

b 2b :5: מהפשטו את ה 2דוגמה

בסיסים זהים, משאירים את הבסיס ומחסרים את בעלותכאשר מחלקים חזקות

המעריכים:

3-= b 5-2= b5 : b2 b

עריכים טבעיים השתמשו בכלל לחילוק חזקות עבור חזקות בעלות מ תזכורת

בעלות בסיסים זהים כאשר המעריך המחולק איו קטן מהמעריך המחלק.

מגבלה זו איה קיימת, ושי המעריכים יכולים עבור חזקות בעלות מעריך שלם

להיות מספרים שלמים כלשהם.

. b3(2a-5(-2פשטו את הביטוי 3דוגמה

בחזקה, מעלים בחזקה כל כופל ולבסוף כופלים את התוצאותמעלים מכפלה כאשר:

a-7

*a-8

= 1

a7

*1

a8

= 1

a7*a

8=

1

a7+8

= 1

a15

= a-15

= a-7+(-8)

(2a3b-5)-2

= 2-2*(a3)-2

(b-5)-2

= 14

a-6b10

( ab )

n

= an

bn

16

חזקותחוקי

. a 2)(a4-a – 2-(a6a +3(-1פשטו את הביטוי 4דוגמה

תרגילים

שבו:ִח . 18

ה) )-1(-20ד) )-1(-9ג) )-(3-3ב) 2-4א)

1-1.125י) 2-0.01ט) ח) ז) ו)

ערך הביטוי:את צאו ִמ . 19

-)-(2-3ו) -)-(3-2ה) )-(5-0.5ד) )-(2-0.8ג) -3-0.2ב) -4-10א)

, אם תון:n-x - ו nxערך הביטויים את מצאו . 02

x = -1.5, n = 3ב) א)

הציגו את הביטוי בצורת שבר שאיו מכיל חזקה עם מעריך שלילי: . 21

(ab)7-5ד) 7-5abג) y4-x ב) 5-3xא)

x 1-10x)– (y-3ח) (x + y)4-2ז) -8-9yzו) c1-x-3ה)

הציגו שבר בצורת המכפלה: . 22

ד) ג) ב) א)

ח) ז) ו) ה)

שבר:של הרשמו בצור . 23

x1-2y -(x)(-1 (2y +ד) a + b)-a1)(-1 - (bג) xy 1-xy +-2ב) b 2-a +-2א)

x = 23

, n = -2

3

b2

xy

2a8

c5

a5

7b3

1

x2y3

(a + b)2

b4c4

2a

(a - 2)2

(c + b)5

2(a - b)4

a6(a-2- a

-4 )*(a2 + a3)-1

= a6*( 1

a2-

1

a4 )*1

a2 + a3=

= a6*a2 - 1

a4*

1

a2(1 + a)=

a6*(a + 1)(a - 1)

a4*a2*(1 + a) = a - 1

( 17 )

-2

(-2 25 )

-2

(1 12 )

-5

(- 23 )

-3

17

חזקותחוקי

שורש ריבועי 1.5

ריבוע שלו ה אשר b מספרהוא (a (0שאיו שלילי a מספרשל ריבועי שורש הגדרה

.a: = a 2b הוא

. )-(b -ו b, ישם שי מספרים המקיימים שוויון זה: )-(b 2b =2 - כיוון ש

, a 2b ,0 b = :רש ריבועי"מקובל לקרוא לערך החיובי "שו

. על פי ההגדרה אפשר לרשום: לכן ולסמן אותו כך: .

. 0 -מהגדרת השורש ובע שהוא קיים רק עבור מספרים חיוביים ו

דוגמאות:

. כאשר השורש איו מספר שלם, אפשר לחשב אותו באופן מקורב

, שפותחו עוד בַבֶבל העתיקה.לחישוב ידי של שורש ריבועי שיטות ישן מספר

היום לחישוב של שורשים משתמשים במחשבון או בתוכה מתאימה.

אפשר שבייהם מתבצעות פעולות אלגבריות, כאשר בביטוי מופיעים כמה שורשים

: באמצעות הכללים הבאיםלפשט את הביטוי

מכפלת השורשים, ל שווהשורש של מכפלה .א

:מת השורשיםשווה לשורש של מה .ב

(1)

כדי להוכיח זאת, שתמש בכללי החזקה:

)b 0 כאשרוגם (

3ה דוגמ

4= 2 , 1= 1 , 0 = 0

1,000,000 = 1,000 , 10,000 = 100 , 100 = 10

( a* b)2

= ( a)2

*( b)2

= ab

1625

= 16

25=

45

0.49 = 49*0.01 = 49* 0.01= 7*0.1 = 0.7

a*b = a* b , ab

= a

b

1600 = 16*100 = 16* 100 = 4*10 = 40

b = a ( a)2

= a

( a

b )2

= ( a)

2

( b)2

= ab

18

חזקותחוקי

וגם עבור השורשים משברים עשרויים:

כשאי אפשר ערך הביטוי המכיל שורשים גם את ) מאפשר לחשב 1וש בכללים (שימ

לחשב כל שורש בפרד.

4דוגמה

הערה

לסכום או הפרש של שורשים! איו שווהסכום או הפרש שורש של

5דוגמה

הוצאת גורם מתוך השורשושורש אל תוך ההכסת גורם

(מספרים או ביטויים אלגבריים), בתוך שורש יש מכפלה של מספר גורמיםכאשר

ובייהם ריבוע או חזקה זוגית של מספר או ביטוי, אפשר לפשט את הביטוי באמצעות

.שורשההוצאת גורם מתוך

אותדוגמ

אפשר להיעזר זוגית, -ואי 2 - אם חזקה של אחד מהגורמים בתוך השורש גדולה מ

את ה"חלק הזוגי" של הגורם:מכפלת החזקות ולהוציא מתוך השורש של בכלל

אותדוגמ

מסוימים כדאי "להכיס גורם לתוך השורש'", שזו למעשה פעולה הפוכה במקרים

גורם מהשורש.של ה הוצאהפעולת הל

0.0001 = 1

10000=

1100

= 0.01, 0.01 = 1

100=

110

= 0.1

2* 5* 10 = 2*5*10 = 100 = 10, 242

2=

2422

= 121 = 11

16 + 9 = 25 = 5

16 + 9 = 4 + 3 = 7

16 + 9 × 16 + 9 !!!

15 + 10 = 25 = 5 × 15 + 10 !!!

25(x+y) = 25* x + y = 5 x+y , a2*c = a2 * c= a* c ,

b4a6c8x = (b2)2*(a3)

2*(c4)

2x = b

2a

3c

4x

a3 = a2*a= a* a , x5 = x4*x = (x2)2

*x = x2* x,

32a7b3x2 = 2*16*a6*a*b2*b*x2 = 4a3bx* 2ab

19

חזקותחוקי

אותדוגמ

תרגילים

:הואמצאו את צלע הריבוע אם ידוע ששטחו . 30

.ד) ממ"ר קמ"ר 0.64ג) סמ"ר 100ב) מ"ר 16א)

מצאו את השורש הריבועי של המספרים: . 31

81, 64, 100, 0.16, 0.09, 0.25, 1.44, 4900, 6400

שבו:ִח .32

ד) ג) ב) א)

ז) ו) ה)

י) ט) ח)

:הוא השורש של מכפלתם b -ו aמספרים השל שי G מטריהממוצע הגיאו .33

ממוצע לשבו את הממוצע הגיאומטרי של זוגות המספרים, והשוו אותו ִח

):: (מחצית הסכום Aהחשבוי

a = 5, b = 20ג) a = 2, b = 8ב) a = 4, b = 9א)

a = 8, b = 50ו) a = 4, b = 49ה) a = 8, b = 18ד)

a = 12, b = 0ט) a = 7, b = 7ח) a = 9, b = 9ז)

השורשים: השתמשו בתכוות השורשים ובחוק הקיבוץ בכפל כדי לחשב את ערכי .34

ב) א)

ד) ג)

בתכוות השורשים בכיוון ההפוך כדי לחשב את ערכי השורשים:השתמשו .35

ד) ג) ב) א)

a*xa

= a2 * xa

= a2*xa

= a*x,

(a + b)*3x

a2 - b2 =

3x*(a + b)2

a2- b

2 =

3x*(a + b)2

(a + b)(a - b) =

3x(a + b)a - b

3649

3 + 4 7 - 254* 0.01

13

* 0.810.25* 0.2523 + 5* 16

3* 121 - 2* 144 32 + 42172 - 152

G = a*b

A = a + b

2

0.04*81*25 0.09*16*0.04

179

*425

121144

*214

2* 8 27* 328* 72* 32

16 + 9

40

חזקותחוקי

ח( ז( ו( ה(

הוציאו גורם מהשורש: .12

ג( ב( א(

ו( ה( ד(

: הציגו ביטוי כשורש בלבד ללא גורם מחוץ לשורש .12

ג( ב( א(

ה( ד(

קטיבייםארטתרגילים אינ

3.3

3.2

3.1

3.4

3.5

3.1

3.1

43

חזקותחוקי

3.1

3.33

3.32

3.31

תשובות

א( .8116

1ב(

27

1 )1ג )ו( 49ה( 1ד

8

27 )ז

243

32ח(

144

25י( 000,10ט(

9

8

ו( 125.0ה( 32ד( 5625.1ג( 125ב( 0001.0א( .819

1

, 25.2nxא( .029

4nx )375.3בnx ,

27

8nx

א( .085

3

xב(

4x

yג(

7

5

b

aד(

75

abה(

3

1

xcו(

8

9

z

y )ז

42

yx ח(

310

yxx

23א( .00 b )1בxy )582ג ca )3517ד ba

32ה( yx )ו 42 bcba )ז 2

22

aa )ח 4512 babc

א( .0222

11

ba )ב

2y

x

y

x )ג

b

aba

11ד(

y

xyx 2

12

א( .02610

1ב(

29

1ג(

a

1ד(

20

1

xה(

31

abו(

41

ba

44

חזקותחוקי

17ה( 10yד( 7xג( 76ב( 210א( .02

32ז( 22ו( 12ה( 02ד( 12ג( 22ב( 32א( .02

35ז( 25ו( 15ה( 05ד( 15ג( 25ב( 35א( .02

43ט( 33ח( 23ז( 13ו( 03ה( 13ד( 23ג( 33ב( 43א( .01

410ז( 310ו( 210ה( 110ד( 010ג( 110ב( 210א( .01

ד( 2.1ג( 82ב( 2א( .227

6

28. 12 ,22 ,8.0 ,2.2 ,2.2 ,2.2 ,82 ,1 ,1

1י( 2ט( 1ח( 01ז( 2.802ו( 2.2ה( 2.2ד( 82ג( 0ב( 2א( .20

G=10, A=12.5ג( G=4, A=5 ב( G=6, A=6.5א( .22

G=20, A=29ו( G=14, A=26.5ה( G=12, A=13ד(

G=0, A=6ט( G=7, A=7ח( G=9, A=9ז(

ג( 2.22ב( 1א( .2215

8ד(

8

31

0ח( 82ז( 08ו( 02ה( 1ד( 82ג( 1ב( 2א( .22

62ד( bb5ג( x32ב( x3א( .22 3c )הxx 215 yyו( 5 29 2

2223( ה 22bד( 2ג( 75ב( 18א( .22 xbax