A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról – 1. rész Bevezetés Az idő múlik, a kívánalmak és a lehetőségek változnak. Tegnap még logarléccel számoltunk, ma már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk mellett folyamatosan követni kell(ene) a haladást, még ha némi késéssel is. Ehhez, persze, jó állapotú és hozzáférhető szakirodalom szükséges. Szétnézve az interneten – a címbeli témában is – elég sok leíró jellegű segédanyagot találtunk, melyek azonban nem ritkán mellőzik a számításokat, legfeljebb csak a végeredményeket adják meg. Ez a helyzet [ 1 ] - nél is, ahol mérnöki kézikönyvből vett képleteket közölnek, azok levezetése nélkül. Ilyenkor könnyű téveszteni, akár csak sajtóhibák miatt is. Továbbá a számító -gépi programok alkalmazásával mintegy kiment a divatból az elvégzendő számítások részletes ismertetése. Az pedig már a vég kezdete, amikor azt mondják / gondolják, hogy ezt mindenki úgyis ismeri. De durva…! Na, ez a helyzet a torokgerendás / fogópáros tetőszerkezetek statikai számításaival is. Persze, van magyar nyelvű szakirodalom, többféle is. Az ismert [ 2 ] - ben mintapéldán keresztül mutatják meg a teendőket, az akkori idők kívánalmainak megfelelően. Minthogy ez egy igen régi munka, azóta többszöri szakmai irányváltás is történhetett. Hogy ez követhető legyen, ahhoz szakirodalom is kell – már másodszor hozom ezt elő. Nagyon vártuk [ 3 ] - at, de ebben is éppen csak említést tesznek a hagyományos fedél -székek méretezéséről, majd a szakirodalomra utalnak. Ez azonban akkor is eléggé nehe -zen volt elérhető, így ott voltunk és vagyunk, ahol a part szakad. Nem sokkal jobb a helyzet a mai, korszerűnek mondott szakkönyvek esetében sem. Egy példa: [ 4 ] - ben a torokgerendás fedélhez nem adnak meg képleteket; amihez ad -nak, annál is egy szinte hozzáférhetetlen bécsi diplomamunkára hivatkoznak. Hát szabad ilyet tenni? De jöjjön már a felmentő sereg! Nahát, hogy ez egy ősz szakállas könyv alakját öltötte fel – [ 5 ]! Elképesztő, hogy egy 62 évvel ezelőtt kiadott, ma már antikváriumban is csak ritkán fel -lelhető munkáról van szó. Nem győzöm hangsúlyozni, hogy azóta nálunk szinte semmi nem változott, a mondott értelemben. Ez lenne a haladás és a szakmai fejlődés…? Persze – szinte hallom azokat, akiknek ez inge – , hogy ez már másik világ, másfajta követelményekkel, bla - bla. De akkor miért nincsenek meg már régen a rendes szak -könyvek? Generációk jöttek és mentek korszerű, szakszerű, érthető, tanulható, elérhető, magyar nyelvű faszerkezetes szakirodalom nélkül. Miért beszélek erről ennyit? Mert akárhányszor egy kicsit is „spéci” anyag után kutakodom, mindig ugyanaz van: ez! Szóval: ha a torokgerendás / fogópáros fedélszék statikai kérdéseiben ma itt el kívánunk mélyedni, akkor tanácsos az [ 5 ] munkát alaposabban tanulmányozni. Igaz, megkísérel -hetjük levezetni saját képleteinket. Ez azonban nélkülözni fogja az értő szakmai közön -ség kontrollját és jóváhagyását; ami ugyan oly gyakran nem tántorít el minket, de még -sem igazán szerencsés. Így aztán olyat teszünk, ami talán furcsának tűnhet: elővesszük és közzétesszük a nehezen hozzáférhető, viszont elég jól érthető [ 5 ] - beli tudásanyagot. Azoknak, akik szeretnének elmélyedni a szerkezet vizsgálatának részleteiben, gyalog is.

2

Tárgyalás Az 1. és a 2. ábrán a torokgerendás tető szemlélhető.

1. ábra – forrása: http://baubid.hu/baubid/portal/iodisp?nev=a_teto_a_haz_koronaja

2. ábra – forrása: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/c/c7/Kehlbalkendach.jpg Itt nincs minden szerkezeti elem feltüntetve, csak a kötőgerendás megoldást mutatja.

Részei: 1 Ellenléc 2 Alátéthéjazat (alátétfólia) 3 Ereszdeszkázat szellőző nyílásokkal 4 Talpszelemen 5 Talpszelement lekötő csavar 6 Szarufa 7 Torokgerenda 8 Taréjszelemen 9 Kakasüllő 10 Padlásfödém 11 Ereszcsatorna

3

3. ábra – forrása: http://www.s-jarosch.de/media/Dachtragwerke.pdf

4. ábra – forrása: http://www.s-jarosch.de/media/Dachtragwerke.pdf

A 3. ábrán egy üres szarufafedél és hosszirányú merevítése látható. A 4. ábrán egy to -rokgerendás tetőszerkezet merevítése látható, a szokásos – a 3. ábrán is feltüntetett – vihardeszkázat ábrázolása nélkül. A torokgerendák síkjában kialakított andráskereszt - merevítés jelentősen csökkenti a torokgerendák külső terhek hatására történő elmozdu -lását, miáltal a torokgerendák a szarufákat közel fixen támasztják meg. Az andrásolás ( Kehlverband ) helyett síkjában viszonylag merev falemezzel – tárcsával – való borítás, illetve erősítés ( Kehlscheibe ) is szóba jöhet, mint korszerű szerkezeti megoldás.

4

Ezeket szemlélteti az 5. ábra is.

5. ábra – forrása: http://www.holzbau.tu-darmstadt.de/Lehre/vertieferfach/tragwerke-der-hausdaecher- b1.pdf Látjuk, hogy ezek a megoldások arra irányulnak, hogy a szerkezet általános merevségét növeljék, amivel egyúttal az erőtani modellezést és - számítást is megkönnyítik. Kétségtelen, hogy ha jogos a torokgerenda mint fix támasz feltevése, akkor a szarufa méretezése fix támaszokon nyugvó folytatólagos tartóként jóval egyszerűbb lehet. A ha -zai gyakorlatban nem nagyon látni e megoldásokat, így akár a régi tetők felújítása, akár újak építése során is leginkább a hagyományos, azaz elmozduló torokgerendás szerkezet sajátosságaira kell figyelnünk. Ennek közelítő vizsgálata [ 5 ] szerint az alábbi. Az általában egyforma torokgerendás szaruállások úgy tekinthetők, mint egy három -csuklós tartó, melyet a torokgerenda merevít. Mivel a háromcsuklós tartó külsőleg és belsőleg is statikailag határozott, a torokgerendával történő kimerevítés hatására belső -leg egyszeresen határozatlanná válik. A statikailag határozatlan mennyiségnek a torok -gerendában működő X rúderő - nagyságot választjuk. A tárgyalás alapjául az általános vonalozású alakot vesszük, mert a gyakorlatban ez is előfordulhat – 6./ d ábra. Megjegyezzük, hogy az alábbiakban a torokgerendában működő rúderő X értékére levezetendő eredmények minden esetben csakis a bal oldali terhelésből származó rúderőt adják. Eszerint: ha a szerkezet jobb oldala is terhelve van, akkor az ebből származó rúd -erőt a bal oldali terhelésből származó rúderővel algebrailag összegezni kell. A folytatólagos szarufák alsó részei és a torokgerenda egy négycsuklós rúdláncot képez - nek – 7. ábra. Itt csak a szarufák tengelyére merőleges elmozdulásokkal foglalkozunk, ezért a 4 és 5 csuklók elmozdulására merőleges egyenesek metszéspontja – a pólus – a 2 csuklópontban van.

5

6. ábra – forrása: [ 5 ]

7. ábra A 7. ábra alapján:

1 2

2 2

f a ,f b ;

( 1 )

6

innen:

1 2

2 2

f a .f b

( 2 )

Az erősen nagyított 7. ábrán a bal oldali terhekből származó bal oldali behajlást pozitív, a jobb oldali felhajlást negatív előjellel vettük számításba. Minthogy a szerkezet belsőleg egyszeresen határozatlan, a X rúderő - nagyság megha -tározására további feltételi egyenleteket kell felírni; az ( 1 ) egyenlet már az egyik ilyen. Ezek az alakváltozásokkal kapcsolatosak. Ha X már ismert, akkor a további számítás úgy folytatódik, mintha a statikailag határozott háromcsuklós tartót a többi külső erő mellett még az X erők is terhelnék. Az fi behajlások meghatározásához szükségünk lesz az adott terheléshez tartozó rugal -mas vonal egyenletére. Ezt a Szilárdságtan tankönyveiből vehetjük ki – ld. pl.: [ 6 ]!

A ) terhelési eset: a P erő az 12 rúd alsó darabját terheli: a2 < x2 – 6. / a ábra. Ehhez tekintsük a 8. ábrát is! Itt az [ 5 ] és [ 6 ] szerinti jelöléseket alkalmaztuk, hogy a [ 6 ] - ban levezetett egyenlet - alakból előálljon az [ 5 ] szerinti.

8. ábra Kiindulunk a behajlásra felírt [ 6 ] szerinti egyenlet - alakból:

2 2 2F a xy(x) l a x ,6 E I l

0 x b .

( 3 )

[ 6 ] szerint [ 5 ] szerint

7

A behajlás az x = x* helyen, ahol y( x* ) = y*:

2 2 2F a x *y* l a x * .6 E I l

( 4 )

Most elvégezzük az alábbi betűcseréket:

1 2

10

F P , a x , x* a ,l a , y* f .

( 5 )

Majd ( 4 ) és ( 5 ) szerint:

2 2 21 210 1 2

P x af a x a .6 E I a

( 6 )

Ezután azonos átalakítással:

2 21 1 1a x a x a x ; ( 7 )

figyelembe véve, hogy

2 1x a x , ( 8 ) ( 7 ) és ( 8 ) - cal: 2 2

1 2 1a x x a x ; ( 9 ) most ( 6 ) és ( 9 ) - cel:

22 110 2 1 2

P a xf x a x a .6 E I a ( 10 )

A ( 10 ) képlet adja az 12 rúd behajlását a kötőgerenda becsatlakozási keresztmetszeté -ben, a P erő hatására. Ez megegyezik az [ 5 ] - ben – levezetés nélkül közölt – megfelelő képlettel. ( A nyomtatásban közölt képletek ellenőrizendők. Van olyan, hogy sajtóhiba. ) Most tekintsük a 9. ábrát! Itt azt az esetet vettük, hogy a torokgerendában X = 1 nagysá –gú húzóerő működik. Ekkor a szarufákat a 4 és 5 csuklókon keresztül 1 sin és 1 sin nagyságú erők hajlítják, és az általuk előidézett behajlás nagysága f ’1 és f ’2. Most állapítsuk meg ezek nagyságát! Ez a ( 10 ) képlet kis átalakításával történhet. Ekkor az ábrák szerint:

1 1 2 2

1 2

x a , x a ,P ' 1 sin , P ' 1 sin ;

( 11 )

8

9. ábra Most ( 10 ) és ( 11 ) szerint:

2 21 2 1 2 11 2 1 2 2 1 2

P ' a a sin a af ' a a a a a a a a ;6 E I a 6 E I a

1

( 12 )

most átalakításokkal:

2 22 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1

1 2

a a a a a a a a a a a a a a a a a a2 a a ,

tehát: 2

2 1 2 1 2a a a a 2 a a . ( 13 ) Majd ( 12 ) és ( 13 ) - mal:

2 22 1 1 2

1 1 2sin a a sin a af ' 2 a a ,6 E I a 3 E I a

1 1

tehát:

2 21 2

1sin a af ' .

3 E I a

1 ( 14 )

Most index és betűcserével, ( 14 ) - ből:

9

2 21 2

2sin b bf ' .3 E I b

1

( 15 )

A 4 és 5 pontok tényleges behajlása a P erő és az X rúderő hatására:

1 10 1f f X f ' , ( 16 ) és

2 2f X f ' . ( 17 ) Most ( 10 ), ( 14 ), ( 16 ) - tal:

2 2

22 1 1 21 2 1 2

P a x X sin a af x a x a , 6 E I a 3 E I a ( 18 )

majd ( 15 ) és ( 17 ) - tel:

2 21 2

2X sin b bf .

3 E I b

( 19 )

Ezután ( 2 ), ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

2 2

22 1 1 22 1 2

22 2

1 2 2

P a x X sin a ax a x a a6 E I a 3 E I a ;X sin b b b

3 E I b

a rendezést részletezve:

2 2 2 222 1 1 2 2 1 2

2 1 22

2 2 222 1 1 2 2 2 1

2 1 2

22 12 1 2

P a x X sin a a a X sin b bx a x a ;6 E I a 3 E I a b 3 E I b

P a x sin a a sin a b bx a x a X X ;6 E I a 3 E I a 3 E I bP a x Xx a x a6 E I a 3 E

2 2 21 2 2 2 1

2 2 222 1 1 2 2 2 1

2 1 2

2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 1

1 2 1

sin a a sin a b b ;I a b

P a x sin a a sin a b bx a x a 2 X ;a a b

P a b x x a x a 2 X sin b a a sin a a b b ;

P b x x a x

2 2 2

2 1 2 2 1a 2 X sin b a a sin a b b ;

10

folytatva:

2 21 2 1 2 1 2 1 2 2

2 22 21 2 1 21 2 1 2

b x x a x a b x a x x x aPX P ,2 a a b sin b b a sin2 a a b sin b b a sin

tehát:

21 2 1 2 2

A 2 21 2 1 2

b x a x x x aPX .2 a a b sin b b a sin

( 20 )

A ( 20 ) képlet adja meg az általános vonalozású kimerevített háromcsuklós tartó mere -vítő rúdjában működő X rúderő nagyságát, az A ) terhelési esetre. Most nézzünk néhány speciális esetet! A / S1.) A torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával – 10. ábra

10. ábra Ekkor:

22 2

2

a a aa b .b b b

( 21 )

11

2 2 2 2

21 2 1 2 2

A1 A a a2 2a b a b1 2 1 2b b

2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2

2 22 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2

b x a x x x aPX X2 a a b sin b b a sin

b x a x x x a b x a x x x aP P a2 2 a b a sin b b a sina b b sin b b a sinb

xP b 2 a b

21 2 1 2 2

2 21 1

a x x x a ,

a sin b sin

21 2 1 2 2

A1 2 22 1 1

x a x x x aP bX .2 a b a sin b sin

( 22 )

A / S2.) A torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felében van – 11. ábra

11. ábra Ekkor:

1 2

1 2

aa a ,2bb b , .2

h a sin b sin

( 23 )

Most ( 20 ) és ( 23 ) - mal:

12

1 2 1 2

1 2 1 2

21 2 1 2 2

A2 A a a2 2a a , a a ,1 2 1 22 2

b bb b , b b ,2 2

h a sin b sin h a sin b sin

2

1 2 1 2

2 2

b x a x x x aPX X2 a a b sin b b a sin

ab x a x x x4P 4 P

a a b b2 b sin a sin4 2 4 2

2

1 2 1 2

2 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2

2

1 2 1 2

ax a x x x4

a a sin b a sin

a ax a x x x x a x x x4 44 P 4 P

a a sin a b b sin a a a sin b b sin

ax a x x x44 P

a

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

ax a x x x44 P

a h b h a a b h

ax a x x x4

4 P ,a h a b

tehát:

2

1 2 1 2

A2

ax a x x x4

X 4 P .a h a b

( 24 )

A / S3.) A tető szimmetrikus és a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával – 12. ábra Ekkor:

1 1

2 2

,a b ,a b ,a b .

( 25 )

13

12. ábra Most ( 20 ), ( 23 / 3 ), ( 25 ) szerint:

1 1 1 12 2 2 2

21 2 1 2 2

A3 A , ,2 2a b , a b ,1 2 1 2a b , a b ,a b a b

2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1

b x a x x x aPX X2 a a b sin b b a sin

a x a x x x a x a x x x aP P 2 a a a sin a a a sin 2 a a sin a

2

2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2

2 21 2 1 2

21 2 1 2 2

21 2

a sin

x a x x x a x a x x x aP P 2 2 a a sin 4 a a sin

a x a x x x aP ,4 h a a

tehát:

21 2 1 2 2

A3 21 2

a x a x x x aPX .4 h a a

( 26 )

14

A / S4.) A tető szimmetrikus, a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felezőjében van – 13. ábra

13. ábra Ekkor fennáll, hogy

1 1

2 2

,a b ,

a ba b = ,2 2a ba b = . 2 2

( 27 )

Most ( 20 ) és ( 27 ) - tel:

1 1

2 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

A4 A , 2 2a b ,

a ba b = ,2 2a ba b = 2 2

2

1 2 1 2 1 2

2

a aa x a x x x a x a x x x4 4PX X 2P

a a2 a a a sin2 a sin4 2

ax a x x x x a x4

2P 2Pa a sin

2

1 2

2

ax x4

,h a

tehát:

15

2

1 2 1 2

A4 2

ax a x x x4

X 2 P .h a

( 30 )

A / S5.) A tető szimmetrikus, a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felezőjében van, a P erő pedig éppen a torokgerenda végén terhel – 14. ábra

14. ábra Ekkor:

1 1

2 2

1 2

,a b ,

a ba b = ,2 2a ba b = ,2 2

a x x .2

( 31 )

Most ( 20 ) és ( 31 ) - gyel:

16

1 2

1 1

2 2

1 2

2

1 2 1 2

A5 A , a2 x xa b , 2a ba b = ,2 2a ba b = ,2 2

a x x 2

2

2 2

ax a x x x4

X X 2Ph a

a a a a a a aa a2 2 2 2 4 P a P2 2 2P 2P ,h a h a 2 h 2 sin

tehát:

A5PX .

2 sin

( 32 )

A ( 32 ) képlet értelmezéséhez tekintsük a 15. ábrát is!

15. ábra

A ( 32 ) képlet azt jelenti, hogy ekkor a torokgerenda rúderőjének a szarufára merőleges komponense egyenlő a szelemenre ható erő felével. A 15. ábra kapcsán jól elmagyaráz -ható a torokgerenda szerepe: együttdolgoztatja a szarufákat, azáltal, hogy a terhelt szarufa terhének egy részét – itt: a felét – áthárítja a terheletlen szarufára.

17

Ha pedig a szarufára merőleges P erő helyett egy függőleges P’ erő működik, akkor ennek a tetőre merőleges P P' cos ( 33 ) komponense hatására ( 32 ) így alakul:

A5P' cos P 'X .2 sin 2 tg

( 34 )

Az utóbbi eset azért is érdekelhet bennünket, mert szelemenes tetőnél a torokgerendát, illetve a fogópárt célszerű a magasság felében elhelyezni, a középszelement ( Mittel -pfette ) pedig a torokgerenda / fogópár ( Zange ) végére helyezzük – 16. ábra.

16. ábra Bár a dolgozat címében csak torokgerendás tetőkről van szó, látjuk, hogy az összetettebb szelemenes tetőknél is hasznát vehetjük az itt talált némely összefüggésnek. Ezzel végeztünk az A ) terhelési eset bemutatásával. További terhelési eseteket a 2. részben vizsgálunk, szintén [ 5 ] alapján.

18

Megjegyzések: M1. A 4. és 5. ábrán szemléltetett merevítési megoldások nem új keletűek: a már 6 - 7 évtizede forgalomban lévő [ 7 ] munka is tárgyalja ezeket. M2. Különös, de az itteni – a torokgerendában általában ébredő erőre vonatkozó – leve -zetések nem szerepelnek [ 7 ] - ben. M3. A torokgerenda / fogópár rúderőjére korlátozás, hogy nagysága legyen kisebb a rúdra megengedett nyomóerőnél, tekintettel a kihajlásra, illetve a nyomás + hajlításra is. M4. A számítások során feltettük, hogy a normálerők és a nyíróerők okozta alakváltozá - sok elhanyagolhatóan kicsinyek a hajlításból származóakhoz képest. M5. A ( 20 ) képletre vezető számítás során feltettük, hogy a két szarufa egyforma anya -gú és keresztmetszetű. M6. Az ( 1 ) képletet úgy is értelmezhetjük, hogy a torokgerenda t hossza állandó. E kijelentés belátásához tekintsük az alábbi 7. / 1 ábrát is!

7. / 1 ábra Az f1 elmozdulás rúdirányú összetevője:

1,r 1 1f f cos 90 f sin ; ( a )

majd ( 1 / 1 ) - gyel is:

1,r 2f a sin ; ( b )

19

hasonlóan az f2 elmozdulás rúdirányú összetevője:

2,r 2 2f f cos 90 f sin ; ( c )

majd ( 1 / 2 ) - vel is, az előjeltől eltekintve:

2,r 2f b sin . ( d ) Ha fennáll az

1,r 2,rf f ( e ) összefüggés, az azt jelenti, hogy a 45 rúd elejének és végének rúdirányú elmozdulása ugyanaz, vagyis a torokgerenda elmozdulása merevtestszerű. Valóban: a rúd igen kis elmozdulású síkmozgását felfoghatjuk egy rf m nagyságú rúdtengely - irányú haladó, valamint egy szögelfordulású forgó mozgás kombinációjának – 7. / 2 ábra.

7. / 2 ábra Ezt könnyű áttekinteni, ha pl. úgy képzeljük, hogy a rúd a T talppontban mereven hozzá lett erősítve a rúdra merőleges 2T karhoz, majd azt δφ - vel elforgatjuk a 2 pólus körül. Ennek során a T pont fr elmozdulással T’- be kerül, a 4’5’ rúd pedig T’ körül elfordul δφ szöggel. Ekkor természetesen a rúd megnyúlása zérus. Ha ( e ) fennáll, akkor ( b ) és ( d ) miatt fennáll az is, hogy

2 2a sin b sin , azaz

2 2a sin b sin . ( f ) De ( f ) valóban fennáll, mert a ( 7 / 1 ) ábra szerint

2 2m a sin b sin . ( g )

20

Most már mondhatjuk – visszafelé haladva – , hogy ( g ) miatt igaz ( e ), emiatt pedig fennáll, hogy t konst . ( h ) Minthogy az egész vizsgálat során eltekintünk a rúdtengely - irányú deformációktól, ezért a ( h ) feltételnek teljesülnie kell. Mivel a 7. ábra szerinti modell ezt teljesíti, így annak választása megengedett e közelítő számítás során. Ezzel megválaszoltuk azt az eddig ki nem mondott kérdést is, hogy vajon jogos - e az X - re vonatkozó, az ( 1 ) kép -leten alapuló számítás. A 7. / 1 , 7. / 2 ábrával kapcsolatban mondottakra nézve ld. a [ 8 ] művet is! Irodalom: [ 1 ] – http://www.epito.bme.hu/hsz/oktatas/feltoltesek/BMEEOHSAT19/ffk_fedelszek_bsc_jav.pdf [ 2 ] – Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956. [ 3 ] – Rónai Ferenc ~ Somfalvi György: Fa tartószerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982. [ 4 ] – Anton Pech ~ Karlheinz Hollinsky: Dachstühle Springer Verlag, Wien - New York, 2005. [ 5 ] – Szerk.: Palotás László: A fa mint építőanyag Benne: Tobiás László: Faszerkezetek a magasépítésben A Budapesti Építőmesterek Ipartestülete, Budapest, 1949. [ 6 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ 7 ] – Anton Gattnar ~ Franz Trysna: Hölzerne Dach - und Hallenbauten ( korábban: Gesteschi, Hölzerne Dachkonstruktionen )

6. Auflage, Verlag von Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 1954. [ 8 ] – Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. augusztus 18.