a térábrázolás néhány módszertani, matematikai és ...4 számítógépes tervezési feladatok...

1

HABILITÁCIÓS ÉRTEKEZÉS

A térábrázolás néhány módszertani, matematikai és építészeti vonatkozásáról

pályázat tudományos tézisekkel

Dr. Bölcskei Attila PhD

2016

Pécsi Tudományegyetem, Műszaki és Informatikai Kar

Breuer Marcell Doktori Iskola

2

Tartalomjegyzék Habilitációs tézisek ............................................................................................................................................ 3

Bevezetés – mely egyúttal indoklás is ........................................................................................................... 3

A térlátás fejlesztéséhez kapcsolódó vizsgálatok és eredményeik ................................................................ 5

Térlátás mérése MCT teszt segítségével.................................................................................................... 5

Térlátás mérése MRT teszt segítségével.................................................................................................. 21

A mérnökképzés és műszaki tehetséggondozás viszonya a középiskolai oktatáshoz – körkép, centrumban a geometriával ...................................................................................................................... 30

Geometriai módszerek és kutatások az építészet szolgálatában .................................................................. 39

A perspektív ábrázolásról ........................................................................................................................ 39

Diszkrét transzformációcsoportok és alkalmazásaik ............................................................................... 49

Egy nem-Euklideszi világról ................................................................................................................... 71

Hivatkozások ................................................................................................................................................... 80

3

Habilitációs tézisek

Bevezetés – mely egyúttal indoklás is

Amint az az életrajzomból könnyen kideríthető nem vagyok építész. Matematika – kémia szakosként kezdtem tanulmányaimat az ELTE-n, majd harmadévesként megismerkedtem az ábrázoló geometriával, azzal a tudományterülettel, mely annyira közel állt hozzám, hogy harmadik szakként fel is vettem. A felsőoktatásban (a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geometria tanszékén) immár több mint 20 évvel ezelőtt elhelyezkedve emiatt kézenfekvő volt, hogy mérnökök geometriai majd később matematikai oktatásával foglalkozzam. Miközben diszkrét és differenciálgeometriai kutatásaimat végeztem, melyek eredményeképpen 2002-ben PhD fokozatot szereztem a BME-n Matematika és számítástudomány tudományterületen, sosem vesztettem szem elől azt a célt, hogy tanárként hallgatóim térszemléletét a lehető legnagyobb mértékben fejlesszem. Hiszem, hogy a minket körülvevő épített környezet minősége elsősorban azon múlik, hogy a folyamatban résztvevő tervezők miként tájékozódnak a térben, azt hogyan alakítják illetve a döntéshozók, vagy akár maguk a felhasználók milyen téri képességekkel rendelkeznek. Tudományos eredményeim elérésében, illetve közérthetővé tételében is mindvégig segítségemre volt a térben való tájékozódás képessége és a vizualitással való szoros kapcsolatom.

A mérnökoktatással kapcsolatos egykori elképzeléseimet a „Geometriai ismeretek fejlesztése a műszaki felsőoktatásban” című pályázatban foglaltam össze, melyet az NKTH Öveges József Programja 2006-2007 támogatásra méltónak ítélt. Ennek nyomán, külföldi tapasztalataimat is beintegrálva sikerült megújítani az ábrázoló geometria oktatását, immár a Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi karán. Ezt követően újabb tananyag fejlesztési projektbe kezdtünk, melynek eredményeként született meg az Ábrázoló geometria példákon keresztül c. két részes, multimédia tartalmú digitális jegyzet, melyet két külön pályázat (Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban, TÁMOP-4.1.2.-08/2/A/KMR-2009-0027, 2010-2011 illetve TÁMOP-4.1.2.A/1-11/0064. Matematikai és fizikai képzés a természettudományos, a műszaki és az informatikai felsőoktatásban, 2012-13) támogatásával sikerült Katona János kollégám segítségével kivitelezni.

Mindemellett a 2010-es évek elejétől szakcsoportom munkatársaival több felmérést is végeztünk építő és építészmérnök hallgatóink térlátás fejlesztésével kapcsolatban. Kutatásainkból több cikk is született, melyeket a következő részben mutatok be. Eredményeink egyik elismerése, hogy a 16th Scientific-Professional Colloquium on Geometry and Graphics c. nemzetközi konferencián meghívott előadóként (invited lecture) mutathattam be azokat. Vizsgálatainkat a Ljubljanai Egyetemmel együttműködve tovább folytattuk, eredményeinkre hivatkozva számos hazai cikk is megjelent.

Fontosnak tartom kiemelni azt a publikációt is, amely középiskolai tanárok számára elemzi az építészhallgatók számára nélkülözhetetlen geometriai ismereteket, főleg az ábrázoló geometriai és

4

számítógépes tervezési feladatok szempontjából. Ezt a munkát a BME-vel együttműködve készítettük el.

Ami az általam művelt geometria mérnöki-építészeti vonatkozásait illeti, több kapcsolódási pontról is beszélhetünk. Elsőnek a tér hagyományos perspektív ábrázolásából kinőtt úgynevezett görbült perspektívákkal kapcsolatos kutatásaimat említem meg, melyek a hat iránypontos perspektíva típusait osztályozzák és jellemzik. Foglalkoztam a görbült perspektívák építészeti vonatkozásával is. Egy másik fontos alkalmazás a diszkrét transzformációcsoportok térburkolatok tervezésében játszott szerepére utal. A fekete-fehér csoportok és a fonott minták közötti kapcsolatot egy másik publikációban dolgoztam fel, a rozettamintákkal kapcsolatos eredmények egyikét jelen dolgozatban publikálom először. Végezetül egy absztrakt matematikai módon definiált nem-euklideszi térben, a SOL-ban mutatjuk meg néhány elemi objektum képét, demonstrálva ezzel egyrészt a vizualizációban rejlő óriási lehetőséget, másrészt utalunk röviden arra, hogy a fizikai tér modern megismerése (és annak matematikai leírása) az építészetre elméleti szinten inspirálólag hathat – például a bemutatandó felületeken keresztül.

A folytatásban, a habilitációs dolgozat első részében a térszemlélettel kapcsolatos kutatásaimról adok számot – ezek egy része matematikai statisztikai fegyvertárat vonultat fel, míg mások jobbára kvalitatív megállapítások. Az ezt követő második részben a geometriai vizsgálataim alkalmazásait mutatom be a fent említett néhány példán keresztül. Eredményeimet minden fejezet végén összefoglalom. A szereplő infomációk áttekinthetőségét 13 táblázat, a szemléltetést 47 ábra segíti.

Az elmondottak reményeim szerint elégséges módon indokolják, hogy miért éppen építészmérnöki tudományokban kívánom benyújtani habilitációs dolgozatomat.

5

A térlátás fejlesztéséhez kapcsolódó vizsgálatok és eredményeik

Térlátás mérése MCT teszt segítségével

Arra nézve nincsen konszenzus, hogy pszichológiai-módszertani szempontból mit értünk pontosan a térszemlélet (téri intelligencia, térbeli képességek, térlátás, stb.) kifejezés alatt. Jelen munkában Séra László és szerzőtársai (Séra, Kárpáti, Gulyás, 2002) definícióját fogadjuk el, mely szerint „vizuális-téri képességnek a két- és háromdimenziós alakzatok észlelésének és az észlelt információknak tárgyak és viszonylatok megértésére és problémák megoldására való felhasználásának képességét nevezzük”. A térszemlélet közvetlenül nem mérhető, csak egyes feladat megoldási képességeken keresztül lehet rá következtetni. Ugyancsak ismert tény, hogy a térszemlélet nem az ember vele született képessége, hanem hosszan tartó tanulási folyamat eredménye. Ez ad reményt számunkra, mérnökképzésben résztvevő oktatók számára, hogy hallgatóink térérzékelését a gyakorlat és a szaktanszékek támasztotta követelmények szintjére emelhessük. A térbeli intelligencia faktorait több kutató is igyekezett számba venni. A legelterjedtebb nézet szerint ezek a következők (McGee, 1979)

• térérzékelés (spatial perception)

• térbeli vizualizáció (spatial visualization)

• forgatás elképzelése (mental rotation)

• kapcsolatok elképzelése (mental relations)

• térbeli orientáció (spatial orientation).

A elsőnek bemutatandó felmérést a nagy nemzetközi ismertségnek örvendő, klasszikus Mental Cutting Test (MCT) segítségével végeztük el vezetésemmel, a Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Karán, 2010 őszén első éves építő- és építészmérnök hallgatók körében (Bölcskei, Kállay-Gál, Kovács, Sörös, 2012), (Bölcskei, Kovács, 2012).

A tesztet eredetileg az USA-ban fejlesztették ki 1939-ben felvételi alkalmassági vizsgálatok céljára (MCT, 1939). 1990-ben Suzuki újra felfedezte és térbeli képességek mérésére alkalmazta (Suzuki, Wakita, Nagano, 1990). Az MCT ezután jelentős karriert futott be és igen sok nemzetközi kutatásban, projectben használták fel Európában és Ázsiában; a vonatkozó irodalom igen bőséges. A teszt a fent említett faktorok közül a síkmetszés mentális képének helyességét vizsgálja és méri. Minthogy a Mental Cutting Test több mint 75 éves karrierje alatt változatlan maradt, lehetőség van a különböző helyen és időben felvett minták összehasonlítására. A teszt az elmúlt években a reneszánszát éli. A nemzetközi vizsgálatok számos megállapítása közül itt kettőt emelünk ki:

• Tsutsumi és szerzőtársai (Tsutsumi, Shiina, Suzaki, Yamanouchi, Takaaki, Suzuki 1999) mondták ki először, hogy statisztikailag alátámasztható szignifikáns különbség mutatkozik az MCT eredmények vonatkozásában a nemek között, a férfiak javára. Ezt az eredményt sok publikáció azóta megerősítette.

6

• Egy osztrák-német MCT felmérés (Tsutsumi, Schröcker, Stachel, Weiss, 2005) bebizonyította, hogy az ábrázoló geometriai tanulmányok pozitívan hatnak a teszt eredmények alakulására, azaz magára a térszemlélet fejlődésére.

A klasszikus Mental Cutting Test felépítését tekintve 25 problémát tartalmaz. Ezek mindegyikében egy test és egy sík perspektív ábrája látható. A feladat a síkmetszet alakjának meghatározása. Az öt előre megadott lehetséges alternatíva között mindig csak egy helyes található. Az MCT-ben ábrázolt testek többsége viszonylag összetett és szokatlan formájú, némely ezekből csonkolt kocka, de akadnak görbe felületek is.

1. ábra A Mental Cutting Test egyik feladata

A kísérlethez a fentebb, egy feladatával illusztrált Mental Cutting Testet használtuk, melyet a félév során kétszer, a szemeszter első és utolsó óráján töltettünk ki. A felmérésben 167 építő- és 168 építészhallgató vett részt, azaz töltött ki szeptemberben tesztet. A minta felvételekor a hallgatók NEPTUN kódjukkal kerültek azonosításra, és válaszoltak a szakjukat és nemüket érintő, valamint jobb- vagy balkezességükre illetve előtanulmányaikra vonatkozó kérdéseinkre is. A teszt megírására 20-20 percet biztosítottunk.

A vizsgálat folytatásaként, immár csak építész hallgatók körében 2011 tavaszán a teszt harmadszori kitöltésére is sor került, a második féléves ábrázoló geometria oktatás végeztével. A májusi felmérésen 124 építészhallgató vett részt és töltött ki tesztet.

Mind az építő, mind az építész hallgatók ábrázoló geometria oktatásban részesülnek a közösen vizsgált szemeszterben. A két képzés mindegyikén hetente egy előadás és két gyakorlati óra kap helyet, mindkettőn folyamatos számonkéréssel, 10 házi feladat és két zárthelyi dolgozat eredményes megoldásával szereznek aláírást a hallgatók; végül, a félév végén írásbeli és esetenként szóbeli vizsgát tesznek. Mindazonáltal a képzések között alapvető különbségek is vannak: építőmérnök hallgatóink mindössze egy, míg építészeink három féléven keresztül hallgatnak ábrázoló geometriát. Az építőmérnöki képzés tartalma vázlatosan az alábbi: Monge-féle (kétképsíkos) ábrázolás bevezetése, térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedési feladatok. Döféspont szerkesztése és síkidomok metszésvonala Monge rendszerben. Síklapú testek síkmetszése és áthatása kétképsíkos ábrázolásban. A kör vetületeinek ábrázolása. Forgásfelületek ábrázolása, síkmetszése és áthatása Monge-rendszerben. A ferde és merőleges axonometria bevezetése: síklapú testek és forgásfelületek ábrázolása. A mérőszámos (kótás) ábrázolás alapjai. Az építészmérnöki képzésben ettől a tematikától jelentősen eltérünk: a körrel, forgásfelületekkel kapcsolatos anyagrészek és a mérőszámos ábrázolás csak a későbbi félévekben szerepelnek, viszont a hallgatók már első félévben megismerkednek a perspektív képalkotással és síklapú testek árnyékszerkesztése minden rendszerben ábrázolásra kerül. A tempó itt fokozottabb, a feladatok összetettsége és színvonala az építőmérnökökéhez képest magasabb. A tavaszi félévben oktatott Ábrázoló geometria II c. tantárgy

7

oktatási anyaga címszavakban az alábbi. Másodrendű görbék ábrázolása. A kör vetületei Monge-ban, axonometriákban és perspektívában. A forgásfelületek ábrázolása a különféle rendszerekben. Henger és kúp palástjának kiterítése. A forgásfelületek síkmetszetei, áthatásai. Építészeti alkalmazások. Görbe felületek árnyékainak szerkesztése építészeti alkalmazásokkal a két-képsíkos ábrázolásban, axonometriában és perspektívában. A benapozás geometriája.

A Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Karán tanuló nappali tagozatos építész- ill. építőmérnök BSc hallgatók eredményeit a felvételi pontszámok és a tananyagok, szakmai elvárások különbözősége okán egymástól elkülönítve vizsgáltuk és – ahol erre alkalom kínálkozott – össze is hasonlítottuk. Másfelől igyekeztünk fényt deríteni a felméréskor rögzített további adatok – a hallgató neme, bal- ill. jobbkezesség, korábbi ábrázoló geometriai tanulmányok megléte ill. nem léte, félév végén elért érdemjegy – és a tesztre vonatkozó eredményesség közötti kapcsolatra. Vizsgálatainkban statisztikai módszerekkel, megoszlási viszonyszámokkal, indexekkel dolgoztunk; az adatok kiértékeléséből kiolvasható tendenciákból következtetéseket vontunk le, mely feltevéseinket hipotézisvizsgálatnak vetettük alá.

A következőkben – minden megállapítás és eredmény esetében – először a statisztikai módszereket és azok eredményeit ismertetjük, majd kísérletet teszünk a jelenségek magyarázatára.

Eljárásunk szerint az elérhető 0, 1, 2, ...25 pontot elért alanyok számát, osztályaikat kettesével egyesítve, 13 klaszterbe soroltuk, mely ezáltal a statisztikai feldolgozáshoz alkalmasabbá vált. Az elért pontokat minden egyes klaszterben (szomszédos) végpontjainak átlagára változtattuk.

Építész és építőmérnök hallgatók eredményei eloszlásának vizsgálata

Először arról kívántunk megbizonyosodni, hogy a felmérés során kapott eloszlás adott szignifikancia szint mellett becsülhető-e normális eloszlással? A statisztikai szakirodalomból ismert, hogy a becsült normális eloszlás paramétereire – a maximum-likelihood módszer szerinti –legvalószínűbb értékek: m ≈ mintaátlag illetve, σ ≈ minta korrigálatlan szórása. Ezekkel az értékekkel becsülve normális eloszlásunk paramétereit, becsléses illeszkedésvizsgálattal és a problémát diszkretizálva kiszámítható lett az alábbi statisztika:

( )2132

1

i i

i

g b

b

−χ =∑

,

ahol gi a gyakoriságot, bi a számított normális eloszlásból kapott becsült gyakoriságot jelöli. Tekintetbe véve a klaszterek és a becsült paraméterek számát, jelen esetben ez egy 10 szabadsági

fokú, 2χ -eloszlású valószínűségi változó lesz.

Választ kerestünk tehát az alábbi nullhipotézisre:

H0: valamely empirikusan nyert eloszlás eloszlásfüggvénye = normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

8

A szeptemberi felméréseket figyelembe véve, megállapítottuk, hogy 95%-os szignifikancia szint mellett nem fogadható el a fenti nullhipotézis, ha a teljes építőmérnök vagy a teljes építészmérnök mintát tekintettük.

Az eloszlások vizsgálata nemek szerint

Az MCT teszttel végzett vizsgálatokból – amint azt a bevezetőben már érintettük – ismert, hogy jelentős eltérés mutatható ki a fiúk és a lányok teljesítménye között, ezért azt vártuk, hogy az ő eredményeiket külön-külön tekintve a hipotézis megtartható.

A szeptemberi adatokat, és 95%-os szignifikancia szintet alapul véve azt találtuk, hogy akár az építész férfiakat, akár a nőket tekintjük, a fenti képlettel kapott mennyiség az eloszlás táblázatából

kiolvasható érték alatt marad, azaz a hipotézis megtartható. (2 10.30χ = illetve

2 16.98χ = , ami a 18.31-es érték alatt marad).

Ha azonban az építős fiúkat vagy lányokat vizsgáltuk, a hipotézist el kellett vetni.

2. ábra Építészmérnök férfiak eloszlása az illesztett haranggörbével

Tovább finomítva az építőmérnökök szűrésein, megállapítottuk, hogy a félévet sikeresen (azaz legalább elégségesre) teljesítő fiúk vagy lányok külön-külön már normális eloszlást követnek, ugyancsak a félévet sikertelenül teljesítő fiúk ill. külön a lányok.

A decemberi mintavételkor kapott adatsorokból annyi változás derült ki, hogy az építős nők eredményességtől függetlenül egyetlen haranggörbével jellemezhetők, míg a férfiaknál a félévet sikertelenül zárók normális eloszlást követnek, de a legalább elégségesre teljesítők esetében a hipotézis nem tartható.

A kiszámított várható értékeket és szórásokat nézve szembeötlő, hogy építőmérnök női hallgatók milyen alacsony eredményeket érnek el az építész hölgyekhez illetve általában a férfiakhoz képest.

9

Ugyancsak figyelmet érdemel, hogy az építős férfiak eredményeiből kaptuk a legnagyobb szórás értékeket, míg az építős nők szolgáltatták a legkisebb szórást.

szeptember december

várható érték szórás várható érték szórás

Építész férfi 13,94 4,56 16,12 4,18

Építész nő 12,26 3,98 13,92 4,50

Építős férfi 12,11 5,05 14,41 5,78

Építős férfi, sikeres 13,73 4,81 15,68 5,32

Építős férfi, sikertelen 10,53 4,82 10,83 5,67

Építős nő 8,15 3,03 10,70 3,35

Építős nő, sikeres 8,36 3,36 10,91 3,56

Építős nő, sikertelen 7,89 2,65 10,13 2,80

1. Táblázat Várható érték és szórás egyes hallgatói csoportoknál

Az érzékelt jelenségek magyarázatát abban látjuk, hogy az építőmérnök hallgatók matematikai illetve geometriai kompetenciái – a felvételi pontszámukkal összhangban, de az abból kiolvasható mértéknél fokozottabban – az építészekéitől messze elmaradnak. Ez olyannyira így van, hogy megállapíthatjuk, az építőmérnökök legalább egy félév lemaradásban vannak: decemberi eredményeik feleltethetők meg a szeptemberi építésznek. Az építő hallgatók között is – a bizonyított nemi különbségek miatt – fokozottan hátrányos helyzetűek a nők, az ő lemaradásuk több is, mint egy félév.

Az építőmérnök férfiak csoportján belül jelen vannak egyrészt a jobb és a gyengébb képességű hallgatók, másrészt az igyekvők, és kevésbé igyekvők, mégpedig bármilyen párosításban. Ez azt eredményezi, hogy a tárgyat sikerrel elvégzők között találni jó térlátású szorgalmas és lusta hallgatókat ugyanúgy, mint kevéssé jó térlátású szorgalmasabbakat. A tárgyat el nem végzők csoportja szintén tartalmaz jó képességű, de lusta illetve gyengébb térlátású hallgatókat. Ez a magyarázata a nagyobb szórás értéknek is.

Ehhez tartozik még, hogy az építőmérnök férfiak 60%-a végzi el sikeresen az ábrázoló geometriát, míg ez az arány a hölgyek esetében 75% - a nők szorgalmasabbak, eltökéltebbek, homogénebbek, viszont a férfiak jobb kezdeti eredményeik dacára könnyebben lemorzsolódnak – valóban heterogénebbnek mutatkoznak.

Még visszautalva az 1. Táblázatra, látható az is, hogy az építészmérnök hallgatók között is fennáll a férfiak nőkhöz viszonyított előnye az MCT teszt vonatkozásában, de sokkal kevésbé, mint az

10

építőmérnököknél. A tárgyat elvégzők aránya férfiaknál (69%) és nőknél (67%) sem mutat különbséget.

Az alábbi táblázatban az építészhallgatók által elért eredmények átlagait gyűjtöttük ki, nemek szerinti illetve időrendi bontásban. Az első oszlop az első szemeszter végén kibukott hallgatók szeptemberi eredményeit tartalmazza, a további oszlopok a félévet sikeresen teljesítők adatait tartalmazzák.

sikertelen hallgatók (szeptember)

sikeres hallgatók (szeptember)

sikeres hallgatók (december)

sikeres hallgatók (május)

összesen 12.24 13.80 15.53 16.13

nők 11.83 12.67 14.33 14.68

férfiak 12.68 14.79 16.58 17.55

2. Táblázat MCT teszteredmények átlagai az építészhallgatók körében

A táblázatból rögtön kiolvasható, hogy minden csoportban töretlen a javulás. Ugyanakkor megjegyzésre érdemes, hogy a fejlődés mértéke az első félévben sokkal nagyobb, a második félévben csekélyebb. Ennek magyarázata az lehet, hogy a poliéderek síkmetszése szerkesztésének módszerével a hallgatók már első féléves ábrázoló geometriai tanulmányaikban találkoznak, s ez alkotja az MCT feladatainak zömét. A forgásfelületek második félévben tanult esetei a teszt feladatai között elenyésző számban szerepelnek csak.

A másik említésre érdemes tény az, hogy a lányok elmaradása a fiúkhoz képest itt is igazolást nyert. Sőt, a számok alapján úgy fogalmazhatunk, hogy a hölgyek két félév ábrázoló geometria tanulás után jutnak arra a szintre (14.68), ahonnan a fiúk szeptemberben indulnak (14.79).

Az építészek körében végzett normalitás-vizsgálat decemberi felmérés eredményei pontosan

összecsengtek a szeptemberi eredményekkel: 2 19.46 18.31χ = > illetve

2 10.99χ = és 2 10.31χ = ;

vagyis a normális eloszlás 95%-on csak nemenként mondható el.

Érdekes azonban, hogy az utolsó, májusi felmérés tapasztalata ettől eltérő. Ekkor mind a teljes évfolyam, mind a nemek szerinti bontás eredménye alátámasztja a nullhipotézist: az eloszlás

normális. A teljes évfolyamra ugyanis 2 11.26χ = , a férfiakra

2 16.36χ = , a nőkre 2 5.11χ = .

A számok azt is mutatják, hogy ameddig a nők halmaza egyre inkább követi a normális eloszlást, a férfiaké annál kevésbé, s mindez együttesen, globálisan nézve az évfolyam normális eloszlását eredményezi. Ha szemügyre vesszük a férfiak májusi eredményeiről készült grafikont (3. ábra), akkor feltűnő, hogy azon két csúcsot lehet megkülönböztetni. Úgy sejtjük, hogy voltaképpen két normális eloszlás szuperpozíciójáról van szó.

11

3. ábra Építészmérnök férfiak májusi teszteredményei

Ez azt jelenti, hogy a férfiak halmazát valószínűleg két részre lehet bontani, egyrészt a magas eredményeket elérő, kiemelkedő hallgatók, másrészt a szerényebb képességű hallgatók csoportjára. Minthogy a jelenség májusra érik be, azt is hozzátehetjük, hogy a magasabb eredményt elérők jobban fejleszthetőnek mutatkoztak, ami a mentális metszést illeti. A fejlődés és fejleszthetőség témáját ezért is vizsgáltuk fokozottabban.

Homogenitás vizsgálat nemek szerint

Fenti megállapításainkat támasztják alá az ugyancsak 2χ -próbára épülő homogenitás vizsgálatok

eredményei.

Az alábbi hipotézist vizsgáltuk:

H0: X és Y valószínűségi változó eloszlása azonos,

ahol X és Y a mintaelemekből nyert valószínűségi változók, melyek gyakoriságait jelölje fi és gi, a sokaságok elemszáma legyen rendre n és m. A 13 klaszterre vonatkozóan kiszámítottuk a

2

132

1

i i

i i

f g

n mnm

f g

− χ =

+∑

értéket, mely – figyelembe véve az osztályok számát – egy 12 szabadsági fokú 2χ -eloszlást követ.

Megállapítottuk, hogy a tárgyat sikerrel elvégzők körében, 95%-os szignifikancia szinten vizsgálódva, sem a szeptemberi, sem a decemberi eredmények alapján nem tartható az a hipotézis, hogy az építős nők és férfiak azonos eloszlást követnének. Ugyanakkor a sikeres hallgatókat tekintve, az építész férfiak és nők, akár 80%-os szint mellett is összekeverhetők, sőt decemberre a

12

különbségek olyannyira lecsökkennek, hogy akár 20%-os szignifikancia szinten sem találunk ellentmondást a hipotézissel!

Ha csak építész hallgatókat vizsgálunk, akkor megállapítható, hogy a tárgyat sikeresen elvégző építész férfiak és nők eloszlása szeptemberben akár 73%-os szignifikancia szinten is azonos, decemberre a különbségek lecsökkennek, és már akár 14%, míg májusban ismét csak 70%-os megbízhatósági szinten fogadható el a nullhipotézis. A számok alakulása azt jelzi, hogy a homogenitás mértéke decemberben a legnagyobb, egy félév ábrázoló tanulmány összerázza a mezőnyt, ami azután a második félév végére ismét visszaáll a kiindulási szintre. Itt ismét úgy véljük, hogy a Mental Cutting Test megoldásához szükséges, főleg első féléves síkmetszési tapasztalatok pozitív hatását érzékeljük.

Ugyancsak tarthatatlan – még 99%-on is – a hipotézis, ha az építész és az építőmérnök hölgyeket hasonlítjuk össze – a két minta eloszlása különböző, nem keverhető a két csoport egymással. Ez akkor is érvényes marad, ha csak a tárgyat elvégzőket vetjük össze egymással. A férfiak esetében azonban ez a statisztika nem jelez ellenmondást, vagyis az építész és építős férfiak a homogenitás vizsgálat alapján nem mutatnak lényeges különbséget.

A férfiak/n ők félév eleji és félév végi eredményeinek összehasonlítása

Ugyancsak választ kerestünk arra a kérdésre is, hogy a térbeli tájékozódás, Mental Cutting Test-tel mérhető faktoraiban milyen mértékű előrehaladást értünk el a hallgatóknál?

A mintaátlagok 1. Táblázat feltüntetett táblázatbeli értékei bizonyítják, hogy minden szegmensben javultak a mutatók. Ennek a javulásnak a mértékét, milyenségét több szempontból is körüljártuk.

Ugyancsak homogenitás vizsgálattal tekintettük azt a hipotézist, miszerint a tárgyat sikerrel teljesítők szeptemberi és decemberi eredményei azonos eloszlást követnek az egyes hallgatói csoportoknál.

Megállapítottuk, hogy az építész fiúk vagy építész lányok eredményei akár 12%-os szint mellett is azonos eloszlást követnek, míg az építős férfiaknál 65%-nál, a hölgyek esetében viszont 93%-os szintnél el kell vetni ezt a hipotézist. A fejlődés tehát leginkább az építős hölgyeknél érhető tetten.

Ugyanakkor szemmel látható, hogy a többi csoport is fejlődést mutat, amelyet a százalékos fejlődés indexével is jellemezhetünk. Ennek alapján kijelenthető, hogy (nem klaszterekkel, hanem az elért valóságos eredmények alapján) az építész férfiak 125%-ot értek el decemberben a szeptemberi bázisra viszonyítva, az építész nők 115%-ot, az építős férfiak 121%-ot, míg a nők 136%-ot.

A százalékos javulás, mint mérőszám azonban sok esetben félrevezető, hiszen egy nagyon gyenge, pl. 2 pontot teljesítő hallgató esetében óriási, 200%-os eredményt jelent egy szintén gyenge 4 pontos eredmény, jóllehet ennek elérése sem különösebben nagy fegyvertény.

Ez teszi indokolttá, hogy a teszteket kitöltő hallgatók rontását/javítását jellemző megoszlási viszonyszámokkal is jellemezzük a fejlődést. Minthogy könnyen hihető, hogy egyazon kísérleti alany pillanatnyi állapotának megfelelően akár rövid időn belül is különböző eredményeket ér el

13

egyazon teszt megírásakor, nem tekintettük javításnak, illetve rontásnak, ha egy hallgató szeptemberi illetve decemberi eredménye között csak 1 pont eltérés volt. Ilyen aspektusból értékelve a teljesítményeket szintén szembeötlő, hogy minden csoportban javultak a eredmények. Az építős hölgyek teljesítettek a legjobban: 65% javított, mindössze 3% rontott, míg az építős férfiak 57%-a javított, de 20%-a rontott. Az építészek teljesítménye ismét kiegyenlítettebb: az építész férfiak 50%-a, a hölgyek 48%-a javított, míg 17 illetve 14%-uk ért el legalább 1 ponttal rosszabb eredményt a második felméréskor. Mindezek megerősítik korábbi tapasztalatainkat: az építős hölgyek indulnak a legmélyebb tudásszintről, de ők fejleszthetők a legjobban. Az ábrázoló geometriai tanulmányok minden csoport térlátását fejlesztik és a kezdeti különbségek csökkentése irányában hatnak.

3. ábra Építészmérnök nők illetve férfiak eredményessége

4. ábra Építőmérnök nők illetve férfiak eredményessége

A fejlődés mértékének jellemzése telítettség vizsgálattal

Az eredmények javulása azonban véleményünk szerint összetettebb probléma annál, hogy a fenti mérőszámokkal kielégítően jellemezni lehessen. Itt arra gondolunk, hogy mivel az elérhető pontszám maximálva van, bizonyos tudásszint felett nehezebb előre lépni. Az a hallgató például, aki 10 pontról 12-re fejlődött, 120%-os eredményt ért el és a javított kategóriába került a második eljárás szerint, míg aki 24 pont után 25-öt ért el, csak 104 %-os javulást könyvelhetett el, illetve a második kiértékelési elv szerint nem is javított, jóllehet a maximális eredményt érte el. Ezért jónak láttuk a fejlődést egy újabb módon, a telítettségre jellemző a mennyiséggel jellemezni:

2h

am

= .

14

A képletben h a tesztek pontszámában mérhető változás, m pedig az alany részéről még

megszerezhető pontszám. Előző példánkban a 10 pontról 12-re javító alanyra vonatkoztatva 2h =

és 15m = , hiszen a 25 pontos maximális eredményhez még ennyi pontra volna szüksége. Így az ő

esetében

22

0,0215

a = ≈ , míg a második alanynál

21

11

a = = . Érzésünk szerint ez a mérőszám a

hallgatók fejlődését, a már birtokolt tudást is figyelembe véve, alkalmasan jellemzi.

Amint azt az alábbi 5. és 6. ábra mutatja, a diagramok természetesen jelentős eltolódást mutatnak a pozitív tartományba. Közelebbről szemlélve a képet elmondható, hogy az építős nők eredményei leginkább stagnálást mutatnak (51%), mind a javítók, mind a rontók aránya náluk a legkisebb a többi csoporthoz viszonyítva. Az építős férfiak eredményeiben itt is tetten érhető a csoport heterogén volta: relatív nagy hányaduk, 24%-uk rontott, ugyanakkor a fejlődésben is ők vezetnek, s a legnagyobb fejlődést is náluk találjuk. A vizsgált négy csoport vonatkozásában itt a legnagyobb a javulás várható értéke (11,11%), ugyanakkor a szórás is itt a legnagyobb (23,33%). Az építész nők és férfiak eredményeit nézve a várható értékek (6,35% ill. 9,22%) és még inkább a szórások (13,96% ill. 15,84%) egymáshoz közeli volta tűnik szembe. Kicsit finomabban szemlélve a képet viszont látható, hogy az építész nők inkább a kirívó rontásban jeleskednek, semmint a javításban; ugyanakkor az építész férfiakra nem jellemző a rontás, viszont a javulásban jó eredményeket produkálnak, hiszen 48%-uk jobb eredményt ért el, és 25%-uk jelentős, minimum 15%-os javulást könyvelhetett el. Azt mondhatjuk, hogy ők jelentik a legmegbízhatóbban, megfelelő szinten fejleszthető részcsoportot.

5. ábra Sikeresen végző férfi hallgatók fejlődésének eloszlása

15

6. ábra Sikeresen végző női hallgatók fejlődésének eloszlása

Ugyanezen vizsgálatot csak építészek esetében, két elvégzett félévet tekintve is elvégeztük. A következő ábrán ebből a szempontból ábrázoltuk az építész nők és férfiak csoportjait. A fejleszthetőség ilyen megközelítése alapján elmondható, hogy a férfiaknak igen kis hányada ront jelentősen, a stagnálók (±2,5%) aránya mintegy 50%, de összességében a grafikon a pozitív tartomány felé eltolódott. A nők esetében extrém rontások is megfigyelhetők, ugyanakkor sokan közülük intenzíven fejleszthetők, hiszen a min.+20%-ot javítók aránya mindenütt eléri és meg is haladja a férfiakét. Az összkép az ő esetükben is – a korábbi eredményekkel összhangban, természetesen – a pozitív tartomány felé eltolódott.

16

7. ábra A fejlődés mértéke az „a” mérőszámmal

Az előtanulmányok fejlődésre gyakorolt hatása

A javulást befolyásoló tényezők közül még egy újabb érdekes jelenséget sikerült azonosítani. Azok körében vizsgálódtunk, akik sikerrel végezték el a tárgyat. Az építészmérnök szakon azok, akik korábban nem tanultak ábrázoló geometriát, nagyobb mértékben fejlődtek azoknál, akik korábban már tanultak, ugyanakkor építőmérnököknél éppen fordítva áll a dolog. Azon építészek esetében, akik nem rendelkeztek előtanulmánnyal, átlagban 2,4 ponttal javultak az eredmények, míg az előismerettel rendelkezők magasabb szintről indulva is alacsonyabbra jutottak csak; javulásuk átlagos mértéke mindössze 1,1 pont. Akik nem tanultak, 57%-ban javítottak eredményükön, míg akik tanultak zömében nem javítottak és nem is rontottak (51%). Építőmérnök szakon az előtanulmánnyal nem rendelkezők 48%-a javított, átlagosan 1,9 pontot, 13,5 pontra, míg azok, akik már hallgattak ábrázoló geometriát 61%-ban javítottak, átlagosan 3,2 pontot, 15,7 pontra.

Volt előtanulmánya Nem volt előtanulmánya

Szeptemberi

átlagpont

Decem-beri

átlagpont

Átlagos javulás

Szeptem-beri

átlagpont

Decemberi

átlagpont

Átlagos javulás

Építészmérnök 14,1 15,2 1,1 13,5 15,9 2,4

Építőmérnök 12,5 15,7 3,2 11,6 13,5 1,9

3. Táblázat Az egyes hallgatói csoportok átlagpontszáma előtanulmányok szerint bontva

Ennek magyarázatát a szakok tananyagának és a feldolgozás szintjének különbözőségében látjuk: építőmérnöki szakon, ahol mindössze 1 félév az ábrázoló geometria és csak az alapok lefektetésére nyílik lehetőség, óhatatlanul előnyösebb helyzetben vannak azok, akik korábbról már hoztak ismereteket. Építészmérnököknél, ahol több idő jut az ismeretek elsajátítására, nem elégedhetünk meg pusztán az alapok átadásával. Ugyanakkor a bevezető anyagrészek ismertsége elkényelmesíti azokat, akik nem nulláról indulnak. Ők aztán nehezen veszik fel a fonalat, amikor a feladatok nehézsége fokozódik, s fejlődésük lassabb lesz azokhoz képest, akik számára minden ismeret új, és feldolgozásukon az első pillanattól igyekeznek.

Érdekességképpen megjegyezzük, hogy az előképzettség a nőknek könnyíti meg a tárgy sikerrel való elvégzését: építős és építész hölgyek körében egyaránt 83% a végzettek aránya. A legkisebb, mindössze 51%-os sikerességi mutatóval az előképzett építős fiúk rendelkeznek – ők szintén elbízták magukat a tárgy teljesítése kapcsán.

Fejlődés az Ábrázoló geometria tárgyból elért érdemjegyek tükrében

Ugyancsak a fejlődést jellemzi, ha az egyes osztályzatokat elérők körében vizsgáljuk az MCT eredmények változását. Megállapítható, hogy minden érdemjegy-osztályban egyre magasabb

17

szintről indulnak a pontszámok, és minden esetben fejlődést mutatnak. Meglepő módon azonban az elégségest szerző hallgatók átlagban alacsonyabb szintről indulnak, mint a bukottak. Ennek okát abban látjuk, hogy egyfelől jó néhány közepes vagy jó képességű hallgató morzsolódik le a szorgalmat is igénylő ábrázoló geometriai stúdiumok alatt, másfelől pedig, éppen a szorgalom és kitartás eredményezheti a tárgy sikeres teljesítését is – igaz, tipikusan csak elégséges szinten. Ugyancsak rá kell mutatni, hogy a jelest elérők kimagaslanak a mezőnyből – már az első teszt megírásakor is. Az elmondottak mind építész, mind építő szakon megfigyelhetők, de az építészen a szintek mindenhol magasabbak.

8. ábra Pontátlagok változása osztályzatok szerint az építész hallgatók körében

18

9. ábra Pontátlagok változása osztályzatok szerint az építőmérnök hallgatók körében

A kettest elérők és a bukottak szeptemberi eredményei vonatkozásában végzett homogenitás vizsgálat is azt támasztotta alá, hogy ezek a csoportok összekeverhetők: építőmérnököknél 33%-os, építészmérnököknél 76%-os szignifikancia szinten megtartható az a nullhipotézis, miszerint az említett két csoport eloszlása azonos.

Ugyancsak vizsgáltuk az elégségest elérő, illetve legalább közepest elérő hallgatók eloszlása azonosságának hipotézisét. Ez a feltevés építőmérnököknél 81%-on tartható volt, azonban építészeknél még 99%-os szinten is szignifikáns különbség mutatkozott.

Függetlenség vizsgálat a különböző ismérvek és a sikeresség viszonylatában

A tesztek eredményeit megvizsgáltuk abból a szempontból is, hogy a felvett adatok – szak, nem, jobb- ill. balkezesség, előtanulmányok – közül melyek befolyásolják a tantárgy sikeres teljesítését.

Ennek tesztelésére szintén 2χ -próbára vezető, becsléses függetlenség vizsgálatokat végeztünk.

Kiszámítandó volt a

2( )

2( )

1 1

ji

ijr s

ji j i

fn

n= =

ϕ ϕ− χ =

ϕ ϕ∑∑

statisztika, ahol n a minta elemszáma, fij a gyakoriság, míg φi és φ(j) az ismérvek szerint kumulált

gyakoriságok. A kiszámított értéket az ( ) ( )1 1r s− − szabadsági fokú

2χ -eloszlás táblázatával összevetve lehet a függetlenség hipotézisének megtartása vagy elvetése mellett dönteni.

19

Megállapítottuk, hogy a tárgy elvégzésének sikeressége nem múlik a szakon, és nem múlik a nemen sem, ezeknél az ismérveknél csekély megbízhatósági szinten sem volt a hipotézisnek ellentmondó a

számított érték (2 0.36χ = ). Az előképzettség az építőmérnök hallgatók esetében szintén nem volt

releváns, ám építészmérnököknél 99%-os szignifikancia szinten sem tartható az előképzettség és

sikeres félévzárás függetlenségének hipotézise (2 8.74χ = )!

Emellé sorakoztatjuk még az MCT teszt során elért pontszám és a félév végén szerzett érdemjegy közötti függetlenség vizsgálatának eredményét is: építőmérnöki szakon az érdemjegyek és a szerzett pontszámok értéke függetlenséget mutat (akár 48%-on!), míg építészeknél a jegy és a pontok 98%-os szinten sem függetlenek, a hipotézis nem tartható!

Ezeket a megfigyeléseket szintén érdemes alaposan körüljárni! Úgy véljük, hogy a jelenség a korábbiakban már említett tantárgyi különbözőséggel részben magyarázható. Az építészek alaposabb, elmélyültebb tudást igénylő képzése együtt jár azzal, hogy azok, akik a tárggyal korábban már valamilyen szinten megismerkedtek, előnyt élveznek. Az építészeknél a számonkérésekben szinte maradéktalanul érvényesülni tudtak a tudásbeli különbségek, a jobban teljesítő jobb osztályzatot, a kevésbé meggyőzően teljesítő rosszabbat kapott. Építőmérnökök esetében ez az elv nem juthatott egészen érvényre: a jobb térlátású gyakran lustaságával elrontotta a jegyét, a szorgalmasabb, de szerényebb tudású magasabbra juthatott.

Összefoglalóan azt mondhatjuk, hogy az építőmérnök képzés egy féléves volta csak az alapok megtanítását teszi lehetővé, s az osztályzatok gyakran kevéssé tükrözik vissza a térbeli tájékozódással kapcsolatos valóságos kompetenciákat – nem kevés hallgató elvégzi ugyan a tárgyat, de a térszemlélete nem alakul ki kielégítő mértékben.

Az építészmérnökök esetében a képzési idő hosszabb volta megadja a lehetőséget arra, hogy a hallgatók térlátásában jelentkező valóságos különbségek az osztályzatokban is tükröződjenek.

A fejezetben megfogalmazott tézisek

A Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Karán végzett MCT felmérés eredményeinek statisztikai feldolgozása alapján az alábbi következtetések tehetők:

1. Az ábrázoló geometria tanulása minden csoportban fejleszti a térszemléletet az MCT által mért faktor(ok)ban.

2. Sem az építőmérnök, sem az építészmérnök hallgatók empirikus eloszlás függvénye nem követte a normális eloszlást. A nemeket külön vizsgálva az építészek esetében a normális eloszlásra vonatkozó hipotézis tartható volt. Az építőmérnök esetében a nemen kívül a félév teljesítése további kritérium kellett legyen a normális eloszláshoz.

3. A nők MCT eredményei elmaradnak a férfiakétól. Az építészeknél két félévnyi ábrázoló geometria tanulás után érik csak utol a férfiak kezdeti szintjét.

4. Az eredmények alapján kijelenthető, hogy az építőmérnök hallgatók legalább egy félévnyi lemaradásban vannak az építészekhez képest a térszemlélet MCT által mért faktoraiban.

20

5. Az építész férfiak csoportján belül nagy valószínűséggel megkülönböztethető egy magasan teljesítő, eredményesebben képezhető részcsoport.

6. Az MCT eredményességére döntően az első féléves ábrázoló geometria tanulmányok hatnak pozitívan. Ennek oka abban található, hogy az MCT döntően síklapú testek síkmetszeteit tartalmazza, mely témakörrel ebben a félévben ismertetjük meg a hallgatókat.

7. Az MCT eredményeinek feldolgozását a szokásost jóval meghaladó statisztikai apparátust használtunk fel, melyből külön kiemelendő a telítettséget jellemző � = �ℎ �⁄ �� mennyiség bevezetése és az ebből származó következtetés: az építőmérnök férfiak alkotják a legheterogénebb csoportot, míg a leginkább fejleszthetőnek az építész férfiak tűnnek.

8. Az ábrázoló geometria tárgy korábbi hallgatása a nők esetében nagy valószínűséggel a tárgy sikeres teljesítéséhez vezet. Építészeknél bizonyítható volt az összefüggés a tárgy sikeres teljesítése és az előképzettség megléte között. Az építészeknél sikeresen teljesített két félév végeztével az előképzettséggel nem rendelkezők utolérik az előképzetteket.

Nyitott kérdések és további kutatási célok

A tesztek kiértékelése kapcsán vizsgáltuk a jobb- illetve balkezesség hatásait is. A kezesség és a sikeresség közötti függetlenség hipotézise 78%-os szignifikancia szinten cáfolható volt. Mindamellett ez a viszonylag magas érték azt sejteti, hogy mintha mégis lenne valamilyen kapcsolat a két ismérv között. Az építőmérnökök körében azt tapasztaltuk, hogy a balkezes nők eredménye csak 14%-ot javult, míg a jobbkezeseké 37%-ot; ugyanakkor a jobbkezes férfiak csak 19%-os javulást mutattak, míg a balkezesek javulásának mértéke 42%. A balkezes építész férfiaknál pedig 134%-os a javulás, míg a jobbkezeseknél, illetve bármilyen kezes nőknél mindössze 15-17%! Mintáink méretei miatt óvakodunk messzemenő következtetéseket levonni ezekből a megfigyelésekből, de sejtésként talán érdemes megfogalmazni, hogy a balkezes férfiak térlátása mintha jobban fejleszthető volna. Ez a sejtés még – nagyobb elemű mintákon végzett – további vizsgálatokat tesz majd indokolttá.

21

Térlátás mérése MRT teszt segítségével

A másodiknak bemutatandó felmérést egy másik ismert és széles körben használt standardizált teszt segítségével végeztük el párhuzamosan a Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Karán és a Ljubljanai Egyetemen (Bölcskei, Kovács, Kusar, 2013). Utóbbi helyszínen 1999 óta rendszeresen elvégzik a felmérést az építészhallgatók körében (Kusar, 2010).

A Mental Rotation Test (MRT), melyet 1978-ban fejlesztett ki Vandenberg és Kuse (Vandenberg, Kuse, 1978) a McGee-féle faktorok közül a harmadikat, a forgatás elképzelésének képességét méri. Maga a teszt 20 feladatot tartalmaz, mindegyikében adott egy kockákból tekervényesen összeállított alakzat majd négy ehhez hasonló alakzat képe, melyekről azt kell eldönteni, hogy azonosak-e a megadott test egy másik nézetével azaz elforgatottjával? Két válasz minden esetben helyes, kettő pedig helytelen.

10. ábra Az MRT teszt egyik feladata (két változat helyes, kettő hibás)

A teszthez csatolt pontozási instrukciók szerint két pont jár, ha a kitöltő mind a két helyes választ eltalálja; egy pontot ér, ha csak egy választ ad és az helyes; ha azonban nem ad helyes választ, vagy egy helyes és egy helytelen választ ad, akkor ezért nem jár pont. Ez a pontozási rendszer azt hivatott elérni, hogy eltántorítson a tippelgetéssel adott válaszoktól, jóllehet a pontozás mikéntjét a vizsgálati alanyokkal nem közöljük. Az elérhető összpontszám a teszten tehát 40. A teszt kitöltésére 6 perc áll rendelkezésre.

A 2011/12-es tanévben párhuzamos vizsgálatot végeztünk építészhallgatók körében a Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Karán és a Ljubljanai Egyetemen. A két helyen folyó oktatás mind tematikájában mind módszertanában nagyon hasonló, így az eredménylisták összevetésére jó lehetőség kínálkozott. Az adatgyűjtésben annyi különbség mutatkozott, hogy míg Ljubljanában két alkalommal (csak a tanulmányok első és utolsó óráján), addig Budapesten háromszor (első szemeszter elején, illetve az első szemeszter és a második végén) készült felmérés. A minta felvételekor a hallgatók NEPTUN kódjukkal kerültek azonosításra, és válaszoltak a szakjukat és nemüket érintő, valamint jobb- vagy balkezességükre vonatkozó kérdéseinkre is. A vizsgálatban résztvevők száma 231 volt szlovén részről, míg 204 Budapesten.

A két egyetemen végzett vizsgálatok összehasonlítása

22

Az alábbi táblázat az MRT eredmények átlagát jeleníti meg nemek szerinti bontásban.

hallgatói csoport Szeptember December Május

University of Ljubljana (UL)

Összes 20.78 - 24.30

Nők 17.88 - 22.37

Férfiak 24.65 - 29.61

SzIE YMÉK (Ybl)

Összes 20.13 23.95 26.71

Nők 17.32 21.13 23.81

Férfiak 22.31 26.15 29.03

4. táblázat MRT eredmények átlagai

Megállapítható, hogy az eredmények minden hallgatói csoportban javultak. Úgy véljük, hogy már pusztán ez a tény is aláhúzza az ábrázoló geometriai stúdiumok szerepét a hallgatók térszemlélet formálásában. A korábban már többször említett nemek szerint eltérő eredményesség ebben a vizsgálatban is megfigyelhető volt: a nők teljesítménye mindkét országban elmaradt a férfiaké mögött.

A térlátás MRT által mért faktorában a Ljubljanai Egyetem a bemeneti oldalon magasabb szintről indul. Úgy véljük, hogy ennek oka az lehet, hogy míg Szlovéniában az építészképzés az UL-ben koncentrálódik, addig Magyarországon számos képzőhely működik, se ezek közül valószínűleg a BME iskolázza be a legjobbakat. Másrészt a Ljubljanai Egyetemre felvételivel kerülnek be a hallgatók, melynek egyik része a téri intelligenciára kérdez rá. Egy korábbi felmérés rámutatott, hogy a jobb térlátással rendelkező felvételizők összességében is jobb eredményeket érnek el (Kusar, 2004).

Májusra a kezdeti különbség a két képzőhely vonatkozásában elenyészik. Ebben a jelenségben ismét az ábrázoló geometria szerepét látjuk, mely ezek szerint nagyban hozzájárul ahhoz, hogy a hiányok, elmaradások eltűnjenek. A legnagyobb javulást a magyar férfi hallgatóknál látjuk, mely több mint 6 pont!

Megemlítjük, hogy az eredményekre hatással van az a tény, hogy míg Budapesten a hallgatók körében a nemek aránya nagyjából 1:1, addig Ljubljanában ez erősen 3: 1 arányban el van tolódva a nők javára. Ez indokolja azt, hogy az összesített eredmények miért közelítik a nőkét az UL vonatkozásában és miért inkább az átlaghoz közeliek az Ybl-ben.

A teszteket kitöltő hallgatók rontását/javítását megoszlási viszonyszámokkal is jellemeztük. Minthogy könnyen hihető, hogy egyazon kísérleti alany pillanatnyi állapotának megfelelően akár

23

rövid időn belül is különböző eredményeket ér el egyazon teszt megírásakor, továbbá figyelembe véve hogy egy hiba alkalmasint két pont különbséget eredményez, ezért nem tekintettük javításnak, illetve rontásnak, ha egy hallgató szeptemberi és májusi eredménye között csak 2 pont eltérés volt. A következő ábrák a javítást (improve), rontást (worsen) és változatlan eredményeket elérő (stay) hallgatókat mutatják a két helyszínen.

11. ábra Az összes hallgatóra vetített rontás és javítás (Budapest: bal oldal, Ljubljana: jobb oldal)

12. ábra A férfiakra vonatkozó rontás és javítás (Budapest: bal oldal, Ljubljana: jobb oldal)

)

13. ábra A nőkre vonatkozó rontás és javítás (Budapest: bal oldal, Ljubljana: jobb oldal)

Az eredményeket ilyetén módon vizsgálva is egyértelmű, hogy a teljesítmény minden hallgatói csoportban látványosan javult. A legnagyobb mérvű javulást a magyar férfiak mutatják a maguk 74%-val, míg a legrosszabb eredmény a magyar lányokhoz kötődik: alig több mint 64%, miközben

24

16% még rontott is. A teljesítményükben stagnálók viszonylatában a szlovén nők érik el a legnagyobb eredményt 23%-kal.

Azt is láthatjuk, hogy a két országban a tendenciák nagyon hasonlóak, még a nemek eredményeiben is nagyfokú a hasonlóság. Ehhez kapcsolódóan két megjegyzés: a magyar fiúk csaknem utolérik szlovén társaikat a tanulmányok végére és ez nagyban felhúzza a magyar átlagot. A magyar lányok viszont nagyobb részben rontanak és kisebb részben stagnálnak, ez szintén befolyásolja a teljes minta eredményét.

A következő kis táblázatban az eredmények és a jobb/balkezesség összefüggését vizsgájuk, zárójelben megadva a bal kezesekre nézve a vizsgálati alanyok számát (a jobb kezesek száma statisztikai szempontból kielégítően magas).

Hallgatói csoport Szeptember Május


bal kezes férfi 26.18 (11 alany) 16 (1 alany)

jobb kezes férfi 24.45 30.23

bal kezes nő 13.89 (9 alany) 18 (3 alany)

jobb kezes nő 18.17 22.58

SzIE YMÉK (Ybl)

bal kezes férfi 21.91 (23 alany) 27.64 (11 alany)

jobb kezes férfi 21.30 29.57

bal kezes nő 12.67 (9 alany) 34 (1 alany)

jobb kezes nő 16.74 23.47

5. táblázat MRT eredmények nem és kezesség szerinti bontásban

A szeptemberi adatfelvételt illetően a táblázat szerint a legjobb eredmények a ljubljanai bal kezes férfiak nevéhez fűződnek, akik több mint egy ponttal felülmúlják a rákövetkező jobb kezes szlovén férfiakat. A nők esetében azonban éppen a jobb kezesek a jobbak, mégpedig mindkét országban legalább négy ponttal! A májusi eredmények a minta mérete miatt végképp nem használhatók, talán az egyetlen Ybl-ben felvett bal kezes férfi mintától eltekintve. Itt azt látjuk, hogy a bal kezesek fejlődése (5,73 pont) messze elmarad a jobb kezesekétől (8,27). A vizsgálatokat érdemes lenne ebben az irányban tovább folytatni!

A normális eloszlás vizsgálata és ennek eredménye: javaslat az MRT új pontozására

25

Vizsgálatunk célja annak eldöntése, hogy a felvett minta 95%-os megbízhatósági szinten normális eloszlást követ-e? Itt jegyezzük meg, hogy a szakirodalomban nem leltük nyomát annak, hogy a normál eloszlást valamikor is verifikálták volna – a cikkek kész tényként kezelik, hogy a minta eloszlása normális, így pl. t-próbát és más teszteket alkalmaznak.

A statisztikai szakirodalomból ismert, hogy a becsült normális eloszlás paramétereire – a maximum-likelihood módszer szerinti –legvalószínűbb értékek: m ≈ mintaátlag illetve, σ ≈ minta korrigálatlan szórása. Ezekkel az értékekkel becsülve normális eloszlásunk paramétereit, becsléses illeszkedésvizsgálattal és a problémát diszkretizálva kiszámítható lett az alábbi statisztika:

( )2402

1

i i

i

g b

b

−χ =∑

,

ahol gi a gyakoriságot, bi a számított normális eloszlásból kapott becsült gyakoriságot jelöli. Tekintetbe véve a létező pontszám szerinti 40 klasztert és a becsült paraméterek számát, jelen

esetben ez egy 37 szabadsági fokú, 2χ -eloszlású valószínűségi változó lesz.

Választ kerestünk tehát az alábbi nullhipotézisre:

H0: valamely empirikusan nyert eloszlás eloszlásfüggvénye = normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

Meglehetősen érdekes, hogy 95%-os szignifikancia szinten ez a hipotézis nagyon kevés kivételtől eltekintve nem tartható egyik országban és semelyik csoportban sem. Az alábbi táblázatban áttekintést adunk eredményeinkről

Hallgatói csoport (2011/12) számított2χ statisztika válasz H0 hipotézisre

( )at 95% 52.192χ ≈


teljes évfolyam – Szeptember 74.61 NEM

férfiak – Szeptember 55.48 NEM

nők - Szeptember 68.99 NEM

teljes évfolyam – Május 54.11 NEM

férfiak – Május 40.36 IGEN

26

nők - Május 44.66 IGEN

SzIE YMÉK (Ybl)



nők - Szeptember 35.81 IGEN

teljes évfolyam – December 92.71 NEM

férfiak – December 67.11 NEM

nők - December 77.50 NEM


férfiak – Május 114.23 NEM

nők - Május 54.38 NEM

6. táblázat Normalitás vizsgálat a khi-négyzet elosztás alapján

Önmagában az a tény, hogy a teljes évfolyam nem követ normális eloszlást még nem meglepő (az MCT eredmények is mutatták a nagy fokú inhomogenitást), de az elgondolkodtató, hogy a nemek szerinti bontásban is alig fordul elő pozitív válasz a hipotézisre. Mindezekre tekintettel további vizsgálatokba kezdtünk. Abból kell kiindulnunk, hogy a minta nagy elemszámú és reprezentatív, tehát a normális eloszlás hipotézisének teljesülnie kellene. Véleményünk szerint a hibát a pontozási rendszerben kell keresnünk!

Egy adekvát pontozási rendszerhez akkor tudunk eljutni, ha a hallgatók által kitöltött pontozó lapok rendelkezésre állnak. Ez az UL vonatkozásában a fenti akadémiai évre nem állt rendelkezésre, azonban a 2012/13-as eredményeket kollégánk már eltárolta. Ebben az évben 168 hallgató töltötte ki a tesztet. Az erre az évre vonatkozó hipotézis vizsgálat – korábbiakkal összecsengő – eredménye az alábbi:

Hallgatói csoport (2012 ősz) számított2χ statisztika válasz H0 hipotézisre

( )at 95% 52.192χ ≈





27

7. táblázat Normalitás vizsgálat a khi-négyzet elosztás alapján 2012 szeptemberében az UL-n

A pontozási rendszer megváltoztatásához először is a különböző típusú válaszok arányát mértük fel. A 2011 őszi Ybl-ös és 2012 őszi szlovén minták egyesítésében ez a következőképpen alakult: 44%-a az összes válasznak 2 pontot ért, mivel mindkét alakzatot helyesen ismerték fel. 25%-ban egy jó és egy rossz választ adtak; 3% két rossz választ adott. 4%-ra terjed az egyetlen, de helyes választ adók aránya, míg 1% egy választ adott, ami hibás volt. A fennmaradó 23% egyáltalán nem adott választ – nem tudni, hogy időhiány miatt vagy ötlet/érdeklődés híján.

Ha egy véletlenszerűen kitöltött szelvényből indulunk ki – minden kérdésre két választ adva, akkor elemi számítással adódik, hogy ekkor 17% a két jó, 67% a vegyes és ismét 17% a két helytelen válasz aránya. Ehhez képest a valóságos minta nyilván nagyban eltér: a helyes válaszok aránya a véletlenszerűnek több mint kétszerese, míg a kevert válaszok aránya a számítottnak jóval a fele alatt marad. Ugyanezen vegyes válaszok aránya nyolcszorosa a teljesen helytelennek, míg ez az arány elméletileg csak 4:1.

Mindezek alapján úgy látjuk, hogy a vegyes válasz mögött szellemi erőfeszítés van és nem puszta találgatás, és ennek a pontozási rendszerben is meg kellene jelennie!

Az általunk javasolt pontozási rendszer az alábbi:

• 2 pontot érjen, ha két helyes válasz érkezik;

• 3/4 pontot érjen az egy helyes – egy helytelen kombináció;

• 5/4 pontot érjen, ha valaki csak egy választ ad, és az helyes;

• a többi esetben ne adjunk pontot.

Úgy véljük ugyanis, hogy aki csak egy választ ad, az azt bizonyítja ezzel, hogy ismeri tudása határait és nem próbálgat – ennek a pontozásban is meg kell jelennie. Ez az attitűd meglátásunk szerint többet kell érjen, mint az egy válaszért adandó 1 pont.

Hasonló okokból, ha valaki találgat, azzal tudása szerényebb voltát jelzi, és emiatt – no meg a szimmetria kedvéért – számukra csak ¾ pontot javasolunk.

Természetesen pontozási rendszerünket kipróbáltuk az elérhető mintákon és az alábbi táblázat tanúsága szerint valóban sikerül ily módon kiküszöbölni a legtöbb anomáliát.

Hallgatói csoport (2011/12) számított2χ statisztika válasz H0 hipotézisre

( )at 95% 52.192χ ≈

SzIE YMÉK (Ybl)

teljes évfolyam – Szeptember 35.50 IGEN

28



teljes évfolyam – December 45.82 IGEN

férfiak – December 43.90 IGEN

nők - December 39.96 IGEN


férfiak – Május 161.76 NEM

nők - Május 37.28 IGEN

8. táblázat Normalitás vizsgálat a khi-négyzet elosztás alapján az Ybl-ben az új pontozási rendszerrel

Hallgatói csoport (2012 ősz) számított2χ statisztika válasz H0 hipotézisre

( )at 95% 52.192χ ≈


teljes évfolyam – Szeptember 46.50 IGEN

férfiak – Szeptember 47.99 IGEN


9. táblázat Normalitás vizsgálat a khi-négyzet elosztás alapján az UL-n az új pontozási rendszerrel

Egy pillantásra méltassuk még az eltérően viselkedő budapesti férfi hallgatókat.

29

14. ábra Empirikus és számított eloszlás az Ybl-ben (férfiak)

Az a sejtésünk, hogy a gyakoriságok ábrája két Gauss-görbe szuperpozíciójára utal. Az egyik a nagyon jól teljesítő, 37 pont várható érték körüli hallgatóé, míg a másik a valamivel gyengébb, 31 pont várható érték körüli hallgatóké lehet.


A két országban párhuzamosan, MRT teszt segítségével végzett kutatásaink eredményeit az alábbiakban foglalhatjuk össze.

1. A szlovén és magyar közép- és felsőfokú oktatás rendszerének (és gondjainak) hasonlósága miatt az eredmények között nincsen jelentős eltérés.

2. Az ábrázoló geometriai tanulmányok az MRT teszt által mérhető módon erőteljesen javítják a hallgatók térszemléletét, hiszen mind az átlageredmény, mind a javulást mutató hallgatók aránya nagyban növekszik.

3. A nemek teljesítménye között látványok különbség mutatkozik.

4. Sejtésünk szerint a bal kezes lányok rosszabbul teljesítenek a teszten, mint a jobb kezesek, a férfiak esetében a helyzet azonban éppen fordított. Ugyanakkor valószínűleg a bal kezes férfiak nem fejleszthetők annyira intenzíven. A sejtéseket nagy mintákon kellene tesztelni.

5. A normális eloszlással kapcsolatos hipotézisvizsgálat egy új pontozási rendszer javaslatát vetette fel, mely a tudást jobban, a próbálgatást pedig kevéssé jutalmazza. Az újrapontozott eredménylista már megfelel a várakozásoknak és normális eloszlást mutat.

30

A mérnökképzés és műszaki tehetséggondozás viszonya a középiskolai oktatáshoz – körkép, centrumban a geometriával

A harmadik felmérésben a BME Építészeti ábrázolás tanszékével működtem együtt. Az alábbiakban nem pusztán a mérések eredményeit ismertetjük, hanem ennek fényében a mérnökképzés és műszaki tehetséggondozás viszonyát boncolgatjuk a középiskolai oktatáshoz viszonyítva, a geometriai ismeretek vonatkozásában.

Mindennapjainkban az információs és kommunikációs technológiáknak (IKT) mind komolyabb szerep jut. Fokozottan észlelhető ez a jelenség a mérnökképzésben és mérnöki gyakorlatban, ahol az oktatási- illetve munkafolyamatok mind jelentősebb részét támogatják és felügyelik intelligens környezetek és e-technológiák, a hozzájuk kötődő szoftverek illetve komplex rendszerek. Ami speciálisan az építő- és építészmérnöki gyakorlatot illeti, a szoftvereszközök használatának és az Internet elérésének szélesedése a tervezés területén jelentős tervezés-technológiai változást hozott, melynek egyik, de nem kizárólagos velejárója a CAD/CAAD programok fokozottabb elterjedése. Ugyancsak új alkalmazási kérdéseket vet fel a prezentációs eszközök használata, a 3-dimenziós világ megjelenítésének sztereo-képes lehetősége.

Éppen ez a mindenütt jelenlevő számítástechnika általában véve is felértékeli a térbeli tájékozódás képességét, amely fokozottan érvényes az építő- és építészmérnöki gondolkodásra. A tervező, modellező szoftverek ismerete önmagában nem garancia arra, hogy színvonalas, ötletgazdag, egyedi megoldásokat tartalmazó terveket hozunk létre, hiszen a kreatív alkotó munkának csupán eszközét jelentik. Alá kívánjuk húzni, hogy a számítógép használata ilyenformán semmiképpen sem helyettesíti a térben való gondolkodás képességét. Tudnunk kell, hogy alakzatok, akár épületmodellek képernyőn való megjelenítésével és a látvány passzív befogadásával legfeljebb a megértésig lehet eljutni, de az alkotó, problémamegoldó, valódi térbeli gondolkodás csak a térgeometria, és a műszaki felsőoktatásban ezt kiválóan szolgáló ábrázoló geometria művelésével érhető el. Tapasztalataink szerint éppen ezt a – mérnökké válás felé vezető úton elengedhetetlenül fontos, első és lényeges – lépést veszik legnehezebben elsőéves hallgatóink. Márpedig a térbeli tájékozódás megfelelő szintű birtoklásának hiányában a mérnöki munka puszta másolássá, technikai rabszolgamunkává degradálódik.

A felsőoktatási gyakorlatban szerzett tapasztalatok

Mint az jól ismert, 2005-ben bevezetésre került az új, ún. kétszintű érettségi rendszer, amely a felsőoktatás eddigi felvételi rendjében is alapvető változásokat eredményezett. A változtatás akceptálható szempontjai (az egységes és nyilvános követelmények szerint letett érettségin nyújtott teljesítményt egyformán értékeljék az ország bármelyik pontján, szűnjön meg a felvételi és ezzel együtt a költséges felvételi előkészítések rendszere, stb.) mellett előtérbe került a kompetenciák fejlesztése, melyet a korábbi, lexikai ismereteket erőltető szemlélettel állítottak szembe. Ennek az elvnek a lecsapódása a középiskolai matematika oktatásban is tetten érhetővé vált. A korábbi átfogóbb, de elméletibb, tételek és bizonyításaik ismeretét igénylő, esetleg néha valóban öncélú matematikai feladatokat és megközelítéseket olyanok váltották, melyek megfogalmazásaikban a

31

hétköznapokhoz jobban kötődnek. Az elsajátítandó ismeretek mélysége a középszintű érettségit figyelembe véve azonban vitathatatlanul elsekélyesedett; s a témakörök vonatkozásában is átstrukturálódásnak lehettünk tanúi (itt elegendő talán a statisztika és valószínűségszámítás térnyerésére utalni). Az átalakítás egyik vesztese kétségtelenül a geometria lett, mely mind mennyiségében, mind tartalmában visszaszorult a megelőző időszak szintjéhez képest.

Mindezek után nem meglepő, hogy a hallgatóinkkal folytatott konzultációk, vizsgák során mind gyakrabban találkozunk olyan jelenségekkel, amelyek korábban nem fordultak elő. Példaként álljon itt azon elsőéves építész hallgatónk esete, aki a háromszögbe írható kör kétképsíkos ábrázolása során követhetetlen módon szerkesztette meg a kérdéses kör középpontját. A szerkesztés mikéntjét firtató kérdésre az oktató kolléga meglepetésére az derült ki, hogy azt a hallgató próbálgatással oldotta meg. Talán túlzás ebből az egy esetből messzemenő következtetést levonni, ugyanakkor talán nem járunk messze az igazságtól, ha – tekintve, hogy hallgatóink igen magas felvételi pontszámmal jutnak csak be erre a képzésre – feltételezzük, hogy a háromszög beírt körére vonatkozó, korábban teljesen közismert szerkesztést nem csak az említett hallgató, hanem vele együtt az érettségit tevők jelentős része sem ismeri.

A leírt jelenség azt is szimbolizálja, hogy a célul kitűzött lexikai ismereteket leváltó készségfejlesztés milyen zsákutcákat tartogat: mivel a diák nem tanulja meg az összefüggést (erre már nincsen rászorítva), rájönni pedig nem tud magától (még ha igénye lenne rá, akkor sem), marad a próbálgatás „jól bevált” módszere. Úgy tűnik, hogy ezek a „trial and error” típusú megközelítések az érettségi reformjának velejárói lesznek.

A tanszékünkön oktató kollégák által jelzett más, hasonló esetek miatt, és a szubjektíven érzékelt visszaesés kimutatására, valamint a további változások dokumentálásra több felmérést is végeztünk, melyeket az alábbiakban röviden be is mutatunk.

A középiskolából hozott (tér)geometriai tudást felmérő teszt és tanulságai

Az első bemutatott tesztet a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem elsőéves építészhallgatóinak körében végeztük 2011-ben, közvetlenül a beiratkozást követően. A tesztszerűen előkészített, az igényelt geometriai alapokat mind a hallgatók, mind a tanárok számára kommunikálni hivatott felmérő és a felmérés eredményei az (epab) honlapcímen érhetők el. A válaszok kiértékelésével és az eredmények vizsgálatával kimutathatók azok a pontok, melyek hasznos visszajelzésül szolgálhatnak minden érintett számára.

A 20 feladatot tartalmazó teszt két a hasonlóság arányszámának a térfogat és a felszín kapcsolatával, illetve a vetített alakzat és eredetije területének viszonyával, azaz lényegében olyan kvalitatív térgeometriai minőségekkel foglalkozott, melyekhez nem szükséges az imagináció. Három feladat síkgeometriai volt, míg a többi térgeometriai jellegű feladat kvantitatív, kombinatorikus, illetve összetett jellegű volt. A tesztet összesen 253 hallgató töltötte ki. Mivel minden feladatban öt választ adtunk meg, statisztikusan nyilvánvaló, hogy találomra válaszolgató hallgatók esetén is 50-51 helyes válasz érkezett volna kérdéseinkre. Ezzel szemben 8 olyan kérdés is volt, ahol a helyesen válaszolók aránya nem érte el a fenti küszöböt, míg egy további esetben

32

éppen 51 helyes válasz érkezett csak. A fentieken túl megállapítható, hogy összesen 13 olyan kérdés akadt, ahol a válaszadók nem a helyes választ jelölték meg a legnagyobb számban.

A parabola definícióját és a téglalap tulajdonságait firtató síkgeometriai kérdéseink azon kevesek közé tartoztak, ahol a leggyakoribb a helyes válasz volt ugyan, de a 76 illetve 61%-os találati aránnyal nem lehetünk elégedettek. A középpontos tükrözés tulajdonságaira irányuló kérdésben is a helyes válaszok aránya volt a legnagyobb, de mindössze 48%. Ezt esetleg annak számlájára írhatjuk, hogy egyesek a térbeli középpontos tükrözésre gondoltak – mi azonban inkább arra gyanakszunk, hogy az irányítástartó transzformáció fogalma okozta a gondot. A térbeli imaginációt nem igénylő 4. és 19. feladatban, ahol pusztán számítgatni kellett, a helyes eredmények relatív gyakorisága csupán 30% körül mozgott. A térbeli gondolkodást valóban igénylő 15 további feladatból pusztán három akadt, amelyben a helyes válaszok voltak túlsúlyban. Ezek a feladatok „mental cutting” illetve „mental rotation” típusúak voltak, és gyaníthatóan a számítógépes játékokban szerzett készségek segítettek a helyes megoldáshoz. A többi, kombinatorikus, illetve komplex metszési, vagy áthatási és számítási feladatban a hallgatók eredményei nagyon szerények voltak. Ez annál is inkább elgondolkodtató, mivel ezek között a feladatok között számos típus néhány évvel ezelőtt nem okozott volna ekkora gondot – itt elsősorban az alkalmas síkmetszet segítségével megoldható kvalitatív térgeometriai feladatokra gondolunk. Feltűnő, hogy a hallgatók milyen eszköztelennek tűnnek mindazon feladatok megoldása során, ahol a kezdeti lépést a megfelelő nézőpont, metszet kiválasztása jelenti, amikor egy jó ábrával a feladat áttekinthetővé vált volna. Különösen fájó, hogy olyan elemi kérdésre, hogy milyen adatok határoznak meg egy síkot, csak a válaszadók 26%-a tud helyes választ adni. Ez ugyanis azt mutatja, hogy a problémák nem a komplex feladatok megoldása közbeni esetleges elszámolásból származnak, hanem a fundamentumokat érintik. Erre utal a 12. kérdésre adott, szinte hajszálra ugyanennyi helyes válasz is: a hallgatók nincsenek birtokában a szakaszfelező merőleges sík fogalmának. A korábban szintén közismert kocka hatszög metszete két kérdésben is kulcsszerepet kapott, az 5. feladatban 2% (!!!), a 10.-ben pedig 20% tudott helyes választ adni a vele kapcsolatos kérdésre.

Az igazsághoz tartozik, hogy némely kérdésünk nehézségében a középszintű érettségi standardját meghaladónak mutatkozott. Ilyen a henger palástjának kiterítésére vagy a tetraéder lapsíkjai által meghatározott térrészek számára vonatkozó feladat. Ezek esetében inkább az optimizmus és a kíváncsiság vezetett bennünket. Az eredmények azonban sajnos itt összecsengenek a találomra válaszolás várható értékével (17 illetve 19 százaléknyi helyes válasz).

A középiskolai és felsőfokú geometria oktatás egymásra épülésével kapcsolatos megállapítások

Az előzőekben részletesen ismertetett eredmények nyomán célul tűztük ki, hogy megtaláljuk és kijelöljük a középiskolai oktatás azon pontjait, amelyek a felsőfokú tanulmányaikat építő- vagy építészmérnök képző helyen folytatni kívánó hallgatók számára geometriai stúdiumainkban nélkülözhetetlenek.

Mindenek előtt le kell szögezi, hogy biztos térgeometriai tudás csakis a síkgeometria kellő szintű ismeretére épülhet. Éppen ezért elengedhetetlenül fontos, hogy a mérnökképzésre készülő

33

középiskolás diák a síkgeometriai anyagrészeket a lehető legalaposabban elsajátítsa, a tételeket meg is tanulja, és sok feladat megoldása során azok alkalmazását be is gyakorolja. Mindez több szempontból is fontos.

Elsőnek a szemléletformálást említenénk, azt a fajta gondolkodást, amely – az eredetileg tisztán iskolás matematikai, majd a későbbiekben a gyakorlat által kikényszerített – problémákat szemléltetni, geometrizálni képes, majd ezt azután a tanult ismeretek alapján meg is oldja. A mérnöki gondolkodás egyik sajátsága ugyanis a természettudományos modellalkotás, mely építészek esetében nagyrészt a képekben való gondolkodást jelenti.

Másodiknak arra utalunk, hogy a tér szerkezetének megértése felé vezető egyik út az analógiás gondolkodásé: a síkban megismert összefüggések, tételek, érvelések sok esetben közvetlenül átvihetők a térre, vagy akár magasabb dimenzióba is.

Harmadszor, a térbeli tájékozódást megerősíteni hivatott, a felsőfokú tanulmányokban a tér geometriájával szorosan összefüggő ábrázoló geometria oktatásmódszertanában ismertnek feltételezi, és lépten-nyomon használja is a szokásos, síkbeli körző-vonalzós szerkesztéseket. Arra nézve, hogy a hallgatók mennyit és milyen minőségben szerkesztenek a középiskolák nagy részében, szintén lesújtó tapasztalataink vannak. A nemegyszer – még akár tanár kollégák szájából is – „inkvizíciós eszközöknek” aposztrofált körző és vonalzó kiszorulóban van a középiskola eszköztárából. Ez általánosabban is rávilágít a mai középiskolai geometria oktatás egyik nagy hiányosságára, nevezetesen arra, hogy az a diákok pszichomotoros képességeit nem, vagy alig fejleszti. Manualitást igénylő, klasszikus körző-vonalzós szerkesztések mindössze a kilencedik (és kis mértékben a tízedik) osztályban kerülnek elő, és akkor sem a jó pár évvel korábban tanított szinten. Ezek a hiányosságok – az életkori sajátosságokat is figyelembe véve – nem, vagy csak igen nehezen kompenzálhatók az egyetemi képzésben, ahol ráadásul a megtanítandó tananyag hatalmas mérete miatt, az elvileg ismert szerkesztési rutinokat idő hiányában nem ismételjük át (tanítjuk meg). Arra az első tanítási héten feltett kérdésre, hogy „kinek a kezében volt az elmúlt négy évben egyszerre két vonalzó?” általában csak a hallgatók harmada teszi fel a kezét – ők vagy szakközépiskolából, vagy azon ritka gimnáziumok valamelyikéből jöttek, ahol a geometriát még komolyan oktatják.

Megmosolyogtató az a küszködés, amellyel hallgatóink két háromszögvonalzó segítségével adott pontból adott egyenesre merőlegest igyekeznek szerkeszteni – gyakran tétova és felesleges mozdulatokkal, alkalmatlan eszközhasználattal fűszerezve. Már egyáltalán nem mulatságos, mégis igaz, hogy diákjaink egy része azért teljesít képességeinél gyengébben, mert kellő automatizáció híján nem képes feladatait adott idő alatt megfelelő szinten elkészíteni. Mindezt elkerülendő javasoljuk jövendő hallgatóinknak, hogy a síkbeli szerkesztéseket lehetőség szerint fokozott hangsúllyal gyakorolják. Kiemeljük, hogy mindennek nem csak a későbbi mérnöki tanulmányokban látják hasznát, hanem az esztétikai nevelés egy, a fentinél általánosabb célját is szolgálják. Ha már itt tartunk: a megszerzett gyakorlat az elkészített rajz áttekinthetőségére, strukturáltságára és külalakjára is kihat, és az oktató (vagy később a megrendelő) azonos tartalmú megoldások esetén természetszerűleg az esztétikusabb megjelenésűt részesíti előnyben. A felsőbb, 11-12. osztályokban hasznos lehet geometriai feladatok vázlatainak körző-vonalzóval való elkészítése is. A térélmény kifejezésre juttatásával, vázlatrajzok, vagy akár modellek elkészítésével is gyakorolhatjuk a

34

rajzeszközök használatát. Megjegyezzük, hogy mindez nem csak rutinszerűvé teszi az eszközhasználatot, hanem a konstrukció alapjainak megértésével az analizáló gondolkodást is fejleszti. A tapasztalatok szerint a konstrukció szabatos, körző-vonalzós kivitelezésére fordított idő alatt az agy tevékenysége nem szakad el a konstruálandó objektumtól, a manualitás fókuszálja a figyelmet, lelassít és ezzel éppenhogy időt ad a szükséges logikai műveletek alapos átgondolására, az elmélyülésre. A szerkesztési rutin annál is inkább kell, mivel a felsőfokú tanulmányokban hosszabb lélegzetű, összetett szerkesztések szükségesek, melyek hierarchikusan egymásra épülő szubrutinokból állnak.

Visszatérve a síkgeometriai ismeretekre, külön kiemeljük azokat a területeket, amelyek különös jelentőséget kapnak a felsőfokú tanulmányok szempontjából. A kilencedik osztályos tananyagban ilyen lényeges anyagrész a kör és a vele kapcsolatos szerkesztések témaköre, illetve a már említett geometriai szerkesztések. A tízedikes törzsanyagban kiemelendő a párhuzamos szelők tétele és alkalmazása szakaszok felosztásában; ennek ugyanis a Monge-féle (kétképsíkos) ábrázolás profil helyzetű egyeneseire való pont illesztésekor jut szerep. A tizenegyedikes tananyagból a parabolával kapcsolatos ismeretek fontosságára figyelmeztetünk – ez az egyetlen kúpszelet, melyet a törzsanyag geometriai szempontból is megfelelő módon vezet be.

Mindezeken túl, az építő- és építészmérnök képzésben - a korábban részletesen is ismertetett okoknál fogva – természetesen különös jelentősége van a térben való tájékozódás és gondolkodás fejlesztésének is, mely feladatot a felsőoktatás csak akkor tudja sikerrel ellátni, ha a középiskolából hozott tudás e téren is kellően megalapozott.

A szűken vett térgeometriáról szólva, az ismereteknek egy csoportja közvetlenül használható fel a felsőfokú tanulmányokban. Ide tartoznak az általános iskolában megtanult és középfokon is újra átismételt testek, azok elnevezései és elemi tulajdonságai. Nem ritka ugyanis, hogy egyetemistáink a kúpot például a gúlával összekeverik. Itt megragadjuk az alkalmat, hogy kitérjünk a szaknyelvi szóhasználat kérdésére. Konzultációkon és szóbeli vizsgákon nyilvánvalóvá válik, hogy a hallgatók jelentős része nincsen hozzászokva ahhoz, hogy matematikai, geometriai gondolatait szabatos módon közölje. A szinte kizárólagos írásbeli számonkérések középiskolai gyakorlatát mindenképpen fel kéne lazítani a szóbeli megnyilvánulások erőltetésével. Ezzel elkerülhető lenne például az a gyakori, hibás fordulat, amikor a hallgató egy egyenest egy másikRA párhuzamosan szerkeszt vagy éppen merőlegest egy másikKAL. Az természetesen mind igaz, hogy a célunk a vizualitásnak mint kommunikációs csatornának, sajátságos nyelvnek a magas szintre fejlesztése, ám ezt nem elszigetelten, hanem például a szóbeli kommunikációval integráns egységben kívánjuk megvalósítani.

Alapozó és éppen ezért rendkívül fontos a térbeli ponthalmazok és mértani helyek alapos elsajátítása, melyre a kilencedikes anyagban van lehetőség. A fenti, szintetikus geometriai ismeretek mellett a középiskola nagy súlyt helyez a geometriai feladatok számítással való összekötésére. Ennek a – néha túlzásba vitt – törekvésnek írható a számlájára, hogy testekkel kapcsolatban a diákok többségének ismerete mindössze azok felszínének és térfogatának kiszámítási módjára szorítkozik. Emellett azonban nagyon fontos lenne az alakzatok síkkal való metszeteinek vizsgálata is. A tízedik osztályban tanult, gyakorlati életből származó, és emiatt szükségképpen három-dimenziós távolság és szög feladatok megoldásaiban már előjönnek a triviális, vetítősíkos

35

metszetek, alkalmas nézetek, mint nyilvánvaló alapábrák. A térgeometriában való elmélyülést kétségtelenül a tizenkettedik évfolyamban kellene elvárnunk, amely időszak azonban bizonyos értelemben nem a legkedvezőbb: egyfelől, a tapasztalatok szerint a tanárok az utolsó évben (akár a térgeometriára szánt időt megkurtítva) korábbi elmaradásaikat pótolják, másrészt a diákoknak egyidejűleg sok tárgy megemelt elvárásainak kell megfelelniük, az érettségi lázában kezdenek égni. Ezeket a kedvezőtlen hatásokat kompenzálja viszont az a tény, hogy közvetlenül a pályaorientáció és a felsőoktatási jelentkezések előtt időszakban már eldől, hogy ki választ mérnöki pályát és ezzel együtt az is, hogy szüksége lesz-e ezekre a meghatározó térgeometriai ismeretekre? A tárgyalt témakörök és anyagrészek mindegyike – a térelemek kölcsönös helyzeteinek vizsgálatától kezdve, a távolság és szög térbeli értelmezésén át, a síkra merőleges egyenes tételén keresztül egészen a felületek behatóbb vizsgálatáig – kivétel nélkül alapvető jelentőségű lesz a felsőfokú tanulmányokban. Különösen hasznosaknak véljük a poliéderek és forgásfelületek be- ill. körülírt gömbjeivel kapcsolatos feladatokat, mivel azok olyan összetett térbeli gondolkodást igényelnek, amely a nézetek alkalmas megválasztása folytán, esetlegesen több nézőpont alkalmazásán keresztül, a térbeli tájékozódás fejlesztéséhez kiemelten járulnak hozzá.

A középiskolai oktatásról a CAD/CAAD programok elvárásainak szempontjából

Amint azt a bevezetőben említettük, az információs technológiák egyre komolyabb szerepet kapnak a tervező munka során, és fejlődésükkel párhuzamosan mindjobban segítik azon konstruktőrök munkáját, akik a bennük rejlő lehetőségeket ki tudják aknázni. Ennek egyik előfeltétele az, hogy a tervező belső látással, a tér imaginációjával, érzékelésével rendelkezzék, azaz birtokában legyen azon készségeknek és kompetenciáknak, amelyeket leghasznosabban a felsőoktatásban (és némely középiskolában) tanított ábrázoló geometria tud nyújtani. Gondoljunk csak arra, hogy milyen gyakran van szükség új nézőpont választására, a vetületek közti kapcsolatok felismerésére, az axonometrikus vagy perspektív vetületek kiválasztására. Ennek megfelelően nyilvánvaló, hogy mindazok a középiskolai ismeretek, melyeket fentebb részletesen kielemeztünk szükségképpen bázisát adják a sikeres informatikai képzésnek is.

Emellett azonban fellépnek olyan speciális, a számítógéppel segített tervezéshez szükséges, modellező programok által igényelt ismeretek is, amelyek gyökerei közvetlenül a középiskolai geometria oktatásig nyúlnak vissza.

Ezen ismeretek sorát a geometriai transzformációkkal, mint egyik leglényegesebbel kezdjük. A CAD rendszerekben a struktúra komponálásának egyik alap eszköze a transzformációs szemlélet, azaz az alapelemekből transzformációkkal megvalósított újabb példány létrehozása vagy éppen megsokszorozása. Ezt a célt sokféle beépített transzformációval érhetjük el, melyeket csak akkor tudunk megfelelően használni, ha tisztában vagyunk vele, melyik milyen hatással van objektumunkra. A síkbeli egybevágósági transzformációkat kilencedik osztályban rendszerezzük, a térbeliekre esetleg tizenkettedikben térhetünk ki a térgeometriai alapvetések kapcsán – ezzel is fejlesztve az analógiás gondolkodást. A szintén alapvető középpontos nagyítás/kicsinyítés a tízedik osztály tananyaga. Ezeken kívül szükség lenne még az affinitás és a vetítés tulajdonságainak ismeretére is, hiszen ezek is alapvető geometriai transzformációk. Speciálisan a merőleges tengelyes affinitás ténylegesen előkerül (nem ezzel a szóhasználattal) kilencedik osztályban a

36

függvények transzformálásával kapcsolatban. Magának a transzformációnak a tulajdonságai ugyan nem képezik a tananyag részét, de az alakzatokra gyakorolt hatása jól érzékelhető.

A CAD rendszerek használhatóságának egyik alapfeltétele – s ennek alapjait középiskolában kell lerakni – a sík és a tér analitikus kezelésében való jártasság. A koordináta-rendszerben való elemi tájékozódásra támaszkodva ez a vektorokkal és azok koordináta-rendszerbeli jellemzésével veszi kezdetét a középiskola tízedik osztályában, majd a következő évfolyamban a sík analitikus geometriája (a koordinátageometria) segítségével egyszerű alakzatok analitikus jellemzésére is további lehetőség nyílik. Mindezen ismeretek biztos használata teremti meg az alapot ahhoz, hogy az analógiákat felhasználva a felsőfokú tanulmányokban a felületek kezelése ne csak konstruktív-szintetikus úton történjék.

A szoftverek használata során, objektumok definiálásakor tudatában kell lenniük annak, hogy mely adatok megadása vezet eredményre. Például hogyan adható meg egyértelműen egy sík, vagy akár két-dimenzióban egy kör? Az ilyen jellegű problémák gyakran túl is mutatnak a középiskolai szinten, hiszen a tér analitikus geometriájának ismeretét igénylik.

Modellezéskor a halmazműveletek alkalmazására szintén sor kerül, így ezen műveletek hatását a diákoknak nem egyszerűen ismerniük kell, de ábrázoló geometriai élményeikre alapozva el is kell tudniuk képzelni, hogy melyik művelet vezet a kívánt eredményre (lásd kolostorboltozat/római keresztboltozat példáját).

Minthogy sok esetben a modellező rendszerek a szokásos geometriai terminológiától eltérő elnevezésekkel élnek, ugyancsak fontos, hogy azok mögött a hallgató lássa visszaköszönni a geometriai tartalmakat. Erre csak akkor nyílik lehetőség, ha a középiskolai és a rá épülő ábrázoló geometriai ismeretek szilárd alapokon állnak.

Hangsúlyozni kívánjuk, hogy a geometriai ismeretek szükségessége független attól, hogy digitális bennszülöttről vagy digitális bevándorlóról van-e szó. Az informatikai eszközök kezelésében való fokozottabb jártassággal ugyanis csak az azok kezelésének elsajátítására fordított idő rövidül le. Pontos, mérnökileg egzakt terveket csak a geometria eszköztárának biztos ismeretével lehet alkotni, és semmiképpen sem próbálgatásos, „trial and error” elven.

Tehetséggondozás és javaslat további témakörökre

Meglátásaink szerint néhány témakör megemlítésével, vagy akár csak fogalmak középiskolai bevezetésével a felsőoktatásban jelenleg megoldandó oktatási-nevelési feladatok egy részét a középiskola könnyedén át tudná vállalni. Hasznos lehetne ez abból a célból is, hogy a tehetséges és kutatáshoz kedvet érző legjobbak például TDK munkákba kapcsolódva minél könnyebben érhessenek el sikereket. A tehetséggondozás hosszú évtizedekre nyúló középiskolai tradíciója ugyanis (éppen az új érettségi rendszer miatt megváltozott képzési prioritások miatt is) mintha gyengülni látszana – felsőoktatásban dolgozóként sokszor az a benyomásunk támad, hogy a tehetségek felismerése és felkarolása ránk marad.

37

Általánosan véve, a gondolkodási műveletek oldaláról közelítve a kérdést: a problémaérzékenység és az ismeretek komplex alkalmazni tudása elengedhetetlen. Ezt középiskolai szinten is fejleszthetjük, akár azzal, hogy nem elégszünk meg a középszint követelményeivel és egylépéses feladatival; akár azzal, hogy a geometriai problémákat –a trendnek megfelelően – a valóságos kihívások oldaláról próbáljuk megismertetni – de az egyszerűsítés kevésbé lecsupaszító szintjén.

Ami konkrét témakörök esetleges bevonását illeti: mindenképpen javasolható a parabola mellett az ellipszis és a hiperbola fogalmának és elemi tulajdonságainak tanítása – meghaladva az y=1/x függvény kapcsán eleve is tanított ismereteket. Ez annál is inkább indokolt, minthogy a három görbe egyazon test, nevezetesen a kúp síkmetszeteként is előállítható. Erre a tényre ábrázoló geometriában és modellezéskor is egyaránt szükség lenne. Ugyancsak hasznos lenne az érintő fogalmának legalább intuitív bevezetése és a kör és parabola mellett, hiperbolára és ellipszisre való definiálása. Erre építhetne az ábrázoló geometria is, de haszna még inkább a CAD szoftverek alkalmazásakor lenne, amikor objektumok definiálásához van szükség azok érintőire.

Ide tartozhat még, hogy a térben is érdemes lehet kiterjeszteni az ismert objektumok körét – alkalmazásainak fontossága miatt legalábbis a tórusszal.

A tér szintetikus geometriájából – mint ahogyan röviden már utaltunk erre – a vetítés (mind párhuzamos, mind centrális) vizsgálata, és a térbeli mozgások illetve egybevágósági transzformációk ismerete szintén hasznos lenne, hiszen a 3D modellezés során erre szintén szükség lesz. A csavarmozgás kapcsán azután szó eshetne a csavargörbéről és esetleg a csavarfelületekről is.

A CAD rendszerekben könnyebben boldogul, aki térbeli koordináta-rendszerben már dolgozott, abban objektumokat helyezett el, illetve mozgatott. Ekkor hasznos lehet az egyenes és a sík analitikus leírásának ismerete is.

Ha már erről a témáról szó esik: modellezéskor fontos lenne a különböző koordináta-rendszerek közötti kapcsolatokat, átszámításokat is legalább érinteni. Ugyancsak hasznos volna, ha a polár koordináta-rendszerről már középiskolában szó eshetne – ez is gazdagítaná a számítógépes háttérismereteket.

Összegző megállapítások

A középiskola mai helyzetében egyszerre kell megfeleljen olyan politikai, társadalmi és gazdasági kihívásoknak, melyek egy része a korábbi időszakokban nem merült fel. Felsőoktatásban dolgozóként a rendszer működéséről – erősségeiről és gyengéiről – csak a kimeneti oldalon, az érettségizett és egyetemi tanulmányaikat frissen kezdő hallgatókon keresztül kapunk információt. Ennek alapján azokat jobbító szándékkal gimnáziumi és szakközépiskolai tanártársainknak adresszálva, az alábbiakban felsorolt képzési célokat véljük súlypontinak.

Első és legfontosabb alapelvként és elérendő célként az önállóságra nevelést jelölhetjük meg. Itt nem csak arról van szó, hogy a jövendő hallgató konkrét problémákat önállóan tudjon megoldani, hanem arról is, hogy önállóan képes legyen anyagrészeket feldolgozni. Erre a képességére a felsőoktatásban lépten-nyomon szüksége lesz. Különösen fontos szakterületünk szempontjából az a

38

követelmény, hogy az érettségizett diák járatos legyen matematikai szakszövegek értő olvasásában, értve ezalatt a hagyományos nyomtatott illetve Internet alapú források feldolgozásának képességét is. Ez a képesség a felsőoktatás egészében fontos, mégis különösen kiemelendő a matematikában, geometriában, ahol a közlendő ismeretek pontos megfogalmazásának igénye sokszor szül a hétköznapi nyelvhasználattól nagyon különböző nyelvi megoldásokat. Tapasztalatunk szerint hallgatóinknál egy geometria jegyzet szaknyelvének megértése – melyre pedig az ismeretek elmélyítése vagy esetleges hiányzás pótlása miatt szükség van – nagyon próbára teszi a figyelmet és a koncentráló képességet. Az elmondottak egyúttal kapcsolódnak a kitartó és pontos munkára való nevelés pedagógiai célkitűzéshez is.

A jövendő (építész)mérnökök képzése szempontjából ugyancsak fontos célja a középiskolai matematikának (is) az esztétikára nevelés. Ennek egyik eszköze lehet – egyúttal a pszichomotoros képességek fejlesztését is szolgálja – a geometriai szerkesztések kézzel, körző-vonalzóval való, tetszetős kivitelezésének követelménye.

Ehhez kötődő cél az algoritmikus gondolkodás fejlesztése, mely egyfelől a komplex geometriai szerkesztések elkészítésekor, annak elemi szerkesztési lépésekből való felépítésekor nélkülözhetetlen, másrészt az informatikai sémák megértéséhez is szükséges.

Ha erre lehetőség kínálkozik, fontos cél lehet annak ismertetése, hogy a matematika számos területen, így a mérnöki tudományokban is alkalmazható. Ennek kibontása már az egyetem feladata lesz.


A fejezetben, mely (Bölcskei, Szoboszlai 2012) publikációt dolgozza fel részletesebben az alábbi megállapítások és tézisek szerepelnek:

1. A tervező, modellező szoftverek és általában a számítógép használata semmiképpen sem helyettesíti a térben való gondolkodás képességét. A számítógép nyújtotta könnyű megjelenítés és a látvány passzív befogadása pusztán a megértést szolgálja. A kreatív térbeli gondolkodást el kell sajátítani, melynek egyik eszköze a matematika és ezen belül is az ábrázoló geometria.

2. A BME Építész karán történt felmérés tanúsága szerint a kombinatorikus, illetve komplex metszési, vagy áthatási és számítási feladatban a hallgatók eredményei nagyon szerények voltak, különösen akkor, ha a megfelelő nézőpont kiválasztása lett volna a kulcs.

3. Ajánlásokat fogalmaztunk meg a középiskolai oktatók számára melyek közül a legfontosabb, hogy a mérnök számára elengedhetetlen biztos térgeometriai tudás csakis a síkgeometria kellő szintű ismeretére épülhet. Szükséges, hogy a mérnökképzésre készülő középiskolás diák a síkgeometriai anyagrészeket a lehető legalaposabban elsajátítsa, a tételeket meg is tanulja, és sok feladat megoldása során azok alkalmazását be is gyakorolja.

39

Geometriai módszerek és kutatások az építészet szolgálatában

A perspektív ábrázolásról

A mérnöki gyakorlat az olyan vetítéseket részesíti előnyben, melyek a mérnöki kommunikációban nem okoznak félreértést, azaz melyek az egyértelmű rekonstruálhatóságot biztosítani képesek. Ezek a vetítések legalábbis párhuzamosság-tartók, osztóviszonytartók kell legyenek, tehát szükséges, hogy párhuzamos vetítéssel keletkezzenek. A leghasználhatóbb a vetület akkor, ha merőleges vetítéssel keletkezik, mert ilyenkor a tárgy és a képsík alkalmas elhelyezése mellett arról valódi méretek és szögek is leolvashatók.

Az egy pontból kiinduló vetítősugarakkal keletkező kép, az úgynevezett centrális vetület nem ilyen. Létrejöttében kiemelkedő szerepe volt a reneszánsz mestereinek (Alberti, Brunelleschi, Dürer, Leonardo, stb.), akik a látást lehetőleg minél tökéletesebben megközelítő ábrázolási módszert igyekeztek megalkotni – a rekonstruálhatóság igényének mellőzésével. A képek konstrukciója a párhuzamos vetítéssel a végtelen távoli pontból szemlélő transzcendencia helyére a valódi, hús-vér szemlélőt állítják, ehhez pedig a centrális ábrázolást hívják segítségül. A módszer az ábrázolandó világ üveglapra való átrajzolását geometriai törvényszerűségekkel adja meg (item perspectiva (lat.) = átlátni). Eleinte (és még sokáig) a perspektíva a legnagyobb sikereit építészeti belső terek kivételesen plasztikus ábrázolásával aratta. Amint arra azonban már Leonardo is felhívja a figyelmet, a vetítés a főpont környékére szorítkozva tekinthető hihetőnek, a szélek felé egyre komolyabb torzulások lépnek fel. Az építészetben ezt a torzulást számos módon ki is lehet használni: a „forced perspective” (a.m. kikényszerített látásmód) éppen azáltal téveszti meg a szemlélőt, hogy ráerősít ezekre a torzulásokra s így a valóságosnál magasabb, hosszabb, stb. tereket érzékelünk. Ugyanezt a jelenséget lovagolják meg színházi díszletek tervezésekor. Ugyancsak a perspektíva illúziókeltő sajátságához tartozik a „trompe l’oeil” technika, mely egy adott belső tér egyetlen pontjából olyan illúziót ad, mintha a valóságosan csak festett elemek a létező épületelemek folytatásai lennének.

A perspektív ábrázolás tehát valósághű képet pontosan akkor szolgáltat, ha az ábrázolandó objeketum az úgynevezett látókúp belsejében található. A gyakorlati tapasztalatok, a kapott vetületek tökéletlensége miatt igény támadt olyan, a szem leképezését jobban követő ábrázolási módszerekre, melyek a tér nagyobb részét képezik le a síkra oly módon, hogy bizonyos, egymással szemköztes irányoknak megfelelő iránypontokat egyszerre jelenítenek meg. A négy-iránypontosnak nevezett perspektíva a két-iránypontosnak felel meg, míg az öt-iránypontosnak nevezett perspektíva, mely az iránypontokat egy kör középpontjában és ekvidisztánsan a körön helyezi el, az egy-iránypontos perspektíva görbült ekvivalense. A hatodik iránypont elhelyezésére, és a kibővített térélmény átélésére több megoldás is kínálkozik. Mindezekről a (Bölcskei 2014) publikáció nyomán az alábbiakban számolunk be.

Felfogásunkban a perspektíva rendszere a valós három-dimenziós teret két dimenzióra képezi le egy kitüntetett pontból, a szempontból nézve. Ha a képet síkon fogjuk fel, akkor lineáris, ha görbe felületen, akkor görbült perspektíváról beszélünk.

40

A lineáris perspektívának hagyományosan három csoportját különböztetik meg, a képsík és egy ábrázolandó tégla (hasábszerű épület) kölcsönös elhelyezkedése alapján. Az egy-iránypontos perspektívában a téglatest három típusú éle közül csak egy konvergens, a többiek továbbra is párhuzamosak maradnak, ugyanis a képsík a tégla valamely lapjával párhuzamos. Ezt a rendszert megjelenésének idejére utalva Reneszánsz perspektívának is nevezik. Leginkább akkor használják, ha egy helyiség belsejének megjelenítése a cél. Ha az épületet kívülről kívánjuk valósághűen ábrázolni, akkor földön állva, viszonylag nem magas épület esetén a két-iránypontos, magas épület vagy magasból való ábrázolás esetében három-iránypontos perspektíva lehet célravezető. Két-iránypontos esetben a képsík a tégla egyik élcsaládjával párhuzamos csak, ezek az élek párhuzamosak maradnak vetületben is, míg a többi típusú él 2 irányponthoz fog tartani. A három-iránypontos esetben már nincsen olyan éle a téglatestnek, mely a képsíkkal párhuzamos lenne, mind az élek, mind a lapok általános helyzetűek.

A lineáris perspektíva ábrázolási módszerei viszonylag egyszerűek és könnyen követhetők, ugyanakkor egy komoly megszorítás, hogy az ábrázolni kívánt alakzatnak a helyzete a szemlélőhöz és képsíkhoz képest nem lehet tetszőleges. Bele kell, hogy essék, a már futólag említett, úgynevezett látókúpba, melyről a kognitív pszichológia megállapította, hogy nem azonos az egyszerűség kedvéért oktatott 15 fok félnyílásszögű forgáskúppal. Pontosabb, ha azt mondjuk, hogy a legélesebb kép egy függőlegesen 28 fok, vízszintesen 37 fok kiterjedésű tartományban van, mégpedig oly módon, hogy a 28 fok nem szimmetrikusan értendő a horizontsíkhoz képest, hanem lefelé el van tolódva. A nem látókúpban levő alakzatok torzulni fognak. Másképp is előfordulhat azonban zavar. Vegyünk például azonos hosszúságú függőleges szakaszokat egy képen: ezek ábrázolhatnak a térben is azonos méretű szakaszokat, de az is lehet, hogy a valóságos méret teljesen eltérő, csak a képsíktól mért távolságuk ezt elfedi – ez az anomália merőleges vetítéskor nem lép fel.

A torzulások és eltérések nyomán a perspektíva törvényeit érdemes átfogalmazni. Amint (Slahova, 2003) közli: „az intraparallel egyenesek képei, melyek a képsíkkal párhuzamosak a képsíkkal csak akkor nem rendelkeznek irányponttal, ha azok a látókúp belsejében vannak. A látókúpon túlnyúlva perspektív képeik konvergálni kezdenek és végülis a képsíkon iránypontban metsződnek”.

(Panofsky 1927) alapján meg kell állpítanunk, hogy ez az észrevétel több alkalommal is megjelent már a modern tudomány történetében: Wilhelm Schickhardt 1623-ban írja le a párhuzamos egyenesek görbével való valósághű ábrázolási lehetőségét, míg Helmholz fasor kísérlete a XX.század elején mutatja meg, hogy amit a szem két párhuzamos egyenesnek érzékel, az valóságban görbe.

Érthető ezek után az a törekvés, hogy a szem retinájának formájához jobban igazodó, de azért még matematikailag könnyen kezelhető módon általánosítsuk a fenti lineáris perspektívákat.

Az un. négy-iránypontos perspektívában a képsíkot egy egyenes körhengerrel helyettesítjük oly módon, hogy a henger tengelye tartalmazza a szempontot. A henger maga állhat vízszintesen és függőlegesen is – ez utóbbi esetben panorámaképet, azaz teljes körpanorámát készíthetünk. Ha a valóságos szemlélődéshez hasonlóan nem kívánjuk leképezni a mögöttünk levő, azaz nem látható félteret, akkor a hengert egy függőleges π képsíkkal megfelezhetjük. A hengerpalástra vetített képet a papírlap (tábla, képernyő, stb.) síkjára végül újabb, π-re való, de immár merőleges vetítéssel

41

vihetjük át, de akár úgy is, hogy a henger palástját kiterítjük. Ha mármost a π sík a tégla egyik típusú éleivel párhuzamosan van elhelyezve, akkor négy irányponthoz jutunk: a másik két éltípus egy-egy iránypontba fut, míg a párhuzamos élekhez két iránypont is tartozik: egy felfelé, egy pedig lefelé! Ez a fajta ábrázolás, amint látszik, egybeesik a pszichológiai megfigyelésekkel.

15. ábra Egy téglatest négy-iránypontos perspektív képe

Öt-iránypontos perspektív képhez úgy juthatunk el, hogy az előző félhengert egy félgömbbel helyettesítjük, ez lesz az a felület, ahová vetíteni fogunk. A szempont legyen a gömb középpontjában! Minthogy a gömb nem síkba fejthető, ezért a képet egy π-re való merőleges vetítéssel fogjuk szolgáltatni. Ez a leképezés sorozat az előttünk levő nyílt félteret egy körlemez belsejére transzformálja. Ha egy téglatest úgy helyezünk el a rendszerben, hogy a gömböt felező sík egy lappárral párhuzamos legyen, és a test éleinek képeit vizsgáljuk, akkor öt iránypontot kapunk: a képsíkra merőleges egyenesek képei egyenesek, melyek a középpontba tartanak, a másik két élcsalád azonban 2-2 iránypontot határoz meg: fent és lent, illetve jobbra és balra!

16. ábra Egy téglatest öt-iránypontos perspektív képe

Ugyancsak (Panofsky 1927) fejtegeti egy helyütt, hogy az antik korban a szférikus perspektíva itt tárgyalt esete kézenfekvő volt, melynek építészeti vonatkozásai is vannak: „Az optika és a művészetelmélet antik szakértőinél (és metaforikus értelemben az antik filozófusoknál) egyre-másra olyasféle megfigyelésekre bukkanunk, mint hogy egyeneseket görbének, görbéket egyenesnek

42

látunk, hogy az oszlopoknak – éppen nehogy görbének lássuk őket – (a klasszikus korban viszonylag enyhe) entázist [kihasasodás] kell kapniuk, s hogy az episztüliont [gerendapárkányt] és a sztülobatészt [oszloplábazat], a görbültség látszatának elkerülésére, éppen hogy görbültnek kell építeni; s a híressé vált görbületek – kiváltképpen a dór templomokon – jól mutatják az effajta felismerések gyakorlati következményeit”.

A kor, amelyben élünk mindig meghatározza azt, hogy a látáshoz hogyan viszonyulunk és, hogy mely ábrázolási rendszert tekintjük adekvátnak. A mai, vizuális kor, mely a legkülönbözőbb képalkotó és manipuláló eszközöket teljesen elérhetővé teszi, azt eredményezi, hogy a négy- és öt-iránypontos képek megszokottá, hétköznapivá kezdenek válni (halszemoptikák, hengeres és gömbi panoráma képek, stb.).

Ha továbbgondolva az eddigieket célként most azt tűzzük ki, hogy a körülvevő TELJES teret leképezzük, akkor az így keletkeztetendő hat-iránypontos perspektívához nincsen egyértelmű recept. Az egyik, széles körben ismert próbálkozás Dick Thermes nevéhez fűződik (Termes 2008). Ez az ismert festő 1969 óta végez ilyen irányú kísérleteket. Az általa kínált megoldás nem más, mint az, hogy a teret egy nagy méretű gömbre vetíti annak középpontjából, de a képet nem a felület belsejére, hanem éppen ellenkezőleg, annak külsejére festi. Az így létrehozott, nagy méretű gömböket (un. Termespheres) azután felakasztja és egy motor segítségével lassan forgatja. Ez állítólag azzal az illúzióval jár, mintha a teljes, minket körülvevő teret egyszerre be tudnák fogadni.

Matematikus szemmel nézve a problémát megállapíthatjuk, hogy annak megoldására például a jól ismert sztereografikus projekció is alkalmas. Ez ugyanis a hat főirányt egyszerre meg képes jeleníteni a síkon. Ha a szempont köré gömböt rajzolunk, erre a gömbre az éleket rávetítjük, majd a gömb egyik felszíni pontjából elvégezzük a sztereografikus projekciót, akkor a szemköztes élek mindegyike 2-2 ponton is áthalad. A lapok közül ötnek a képe véges marad, míg egy lap a képsík fennmaradó, végtelen részére képeződik le. Megjegyezzük, hogy a Termesphere-ek is leképezhetők a síkra ezzel a módszerrel.

17. ábra Egy téglatest végtelen hat-iránypontos perspektív képe sztereografikus projekcióval

Ha a teljes teret a sík egy véges részére, például egy körlemezbe szeretnénk leképezni, akkor (Urbin, Szilágyi, 2015) nyomán az alábbi eljárást is követhetjük. (Megjegyzendő, hogy említett szerzők már korábban is megfogalmazták ezt az ötletet, melyről több konferencián is előadtak 2010-től kezdve.) Paraméterezzük a tér irányait, azaz az egymástól csak hosszban különböző

43

helyvektorokat, két forgásszög értékkel. Ehhez rögzítsük egy térbeli koordinátarendszer kezdőpontját a szempontban, és a tengelyek pedig legyenek a következő állásúak: mutasson a z tengely pozitív fele egyenesen előre, az x tengely pedig legyen a vízszintes (jobbra mutatóan a pozitív fele), az y a függőleges irány (felfelé mutatóan a pozitív félegyenes). A helyvektorhoz rendelt két szög közül legyen β ennek a z tengellyel bezárt irányított szöge, míg jelentse α a helyvektor [x,y] síkre eső merőleges vetülete és az x tengely pozitív fele által bezárt irányított szöget.

18. ábra A P pont helyvektorához tartozó α és β szög magyarázata

Az irányhoz, azaz a P pont helyvektorához, így magához P-hez egy síkbeli pontot kívánunk rendelni mégpedig síkbeli polár koordinátarendszer felhasználásával. Szilágyi Brigitta és Urbin Ágnes magukat az α és β paramétereket használták forgásszögként és távolságként.

Javaslatom ennek a módszernek általánosítása, mely sok ismert leképezést is magában tud foglalni:

44

19. ábra A P pont irányának leképezése egy körlemezre

Az irányhoz rendeljük hozzá az (α,f(β)) polár koordinátákat, ahol α∈ �0,2��, β ∈ �0, ��, és f szigorúan monoton növekedő, folytonos függvény a �0, �� intervallumon és teljesüljön még f(0)=0. Ha a függvény a fenti intervallumon még korlátos is, akkor a leképezés valóban nem a teljes síkra, hanem csak egy körlemezre fog megtörténni. A módszer csupán egyetlen irány leképezésére alkalmatlan, ez pedig a z tengely negatív iránya – a hátunk mögé mutató irány. Ennek az iránynak nem felel meg egyetlen képpont, hanem az f(π) sugarú kör minden pontját alkalmas képpontnak kell kezelni.

A 19. ábrán tehát a kisebb kör belseje felel meg az előttünk levő féltérnek, maga a kisebb kör vonala a homloksíknak, míg a külső körgyűrű a hátunk mögött levő félteret ábrázolja.

Ebben a rendszerben az eredeti, (Urbin, Szilágyi, 2015) féle ötletnek az f(x)=x lineáris függvény felel meg, mint speciális eset. A halszemoptikák kapcsán több gyakorlati jelentőségű leképezés is ismert, úgymint r=f·β, : r = f·sin(β), r = 2f·sin(β/2), r = 2f·tan(β/2), r = f·(exp(β)-1) , stb. ahol r a képpont távolságát jelöli a kép középpontjától, f a fókusztávolság és β az optikai tengellyel bezárt szög.

Ezen leképezések közül azonban nem mind alkalmas hat-iránypontos perspektívához, mivel a függvény a fenti kritériumokat nem teljesíti.

Néhány alkalmatlan, de fontos speciális esetet említünk:

- f(β)= sin(β) – a leképezés egy egységgömböt vertikálisan annak felező síkjára vetít merőleges vetítéssel, azaz itt az öt-iránypontos perspektíva fent részletezett modelljének leírását látjuk;

- f(β)= tan(β), – ez a leképezés a lineáris perspektívát írja le, ha a szempont és képsík távolsága egységnyi. A függvény csak a félteret képezi le helyesen, a képpontok nem helyezkednek el korlátosan a képsíkon;

- f(β)= 2tan(β/2), nem más, mint a sztereografikus vetítés függvényleírása. A függvény sajnos nem korlátos, a hatodik iránypont a végtelenben van.

A teljesség kedvéért megadjuk a hengerre történő vetítés (négy-iránypontos perspektíva) szabályát is. Mivel a kép nem forgásszimmetrikus, ezért a képlet mind α, mind β szöget tartalmazza:

( )βαβ

ββα222 cossinsin

sin,

+=f

Ha összehasonlítjuk a lineáris esetet (f(β)=β) a szinusz családdal, azaz azokkal a leképezésekkel, melyek formája f(β)= t·sin(β/t), ahol t ≥2, akkor nyilvánvaló, hogy utóbbiakban a belső kör területe nagyobb, vagyis az előttünk levő féltér jobban reprezentált. Ha a mögöttünk levő féltérre akarjuk a hangsúlyt helyezni, akkor inkább javasolható a tangens család (f(β)= t·tan(β/t) (t ≥3)), vagy még inkább az exponenciális: f(β)= t·(exp(β/t)-1), ahol t ≥0!

45

Egyszerűen igazolhatók az elemi analízis eszköztárával, de fontos megemlíteni az alábbi összefüggéseket:

β = lim�→� t · sin �βt� , β = lim�→� t · tan �βt� , β = lim�→� t · �exp �βt� − 1� Az egyenletek azt mutatják, hogy a lineáris eset különleges jelentőséggel bír, hiszen az említett függvénycsaládok mindegyike határértékben ehhez tart.

A következő ábra segítségével megpróbáljuk közelebb hozni a hat-iránypontos perspektívát az Olvasóhoz. Ezen ugyanis bemutatjuk egy a térben elhelyezett egyenes minden lehetséges képét a lineáris rendszerben. Szembetűnő a képek változatossága, mely arra utal, hogy egy adott, hat-iránypontos kép információtartalmának dekódolása komplex feladat.

20. ábra Az egyenes lehetséges képei hat-iránypontos lineáris rendszerben

A bemutatott képek rendre a következőket mutatják: a) a z tengely képe, b) z tengellyel párhuzamos egyenes képe, c) origón áthaladó egyenes képe, d) a z tengely pozitív felét metsző egyenes képe, e) a z tengely negatív felét metsző egyenes képe, f) és g) általános egyenesek képei, aszerint, hogy az egyenes és az origó által meghatározott síkban az origó az egyenes „előtt” vagy „mögött” van-e?

A fenti ábrázolási elvek, melyek a vetítő rendszer és a vetítést leíró függvénykapcsolat alkalmas megválasztásán múltak, szorosan kapcsolatba hozhatók azokkal a rendszerekkel ahol a kép nem vetítéssel, hanem valamely felületen történő tükröződéssel keletkezik. Ebben az esetben főként a hátunk mögött elhelyezkedő térrész iránt érdeklődünk. Ennek legegyszerűbb esete az, amikor a hagyományos lineáris perspektívában a képsíkot síktükörre cseréljük. Ekkor a képalkotás törvénye könnyen adódik: ha a szempontot a síktükörre tükrözzük és innen a szokásos centrális vetítést alkalmazzuk, akkor a kép máris kialakul, csakhogy a síktükör „másik oldalán”.

Az elmondottak analógiájára a görbült perspektívákhoz is kereshetünk olyan felületet, amelyre való tükrözés ezekkel ekvivalens képet szolgáltat. Kereshetjük például a választ a következő kérdésre:

46

meghatározandó annak a forgásfelületnek a profilja, amelyen való tükrözés után, a visszavert, párhuzamosan érkező fénysugarak egy erre merőlegesen elhelyezett vásznon, valamely előre megadott hat-iránypontos leképezésnél keletkező képet szolgáltat.

Vizsgáljuk például a sokat említett és fontos f(β)=β esetet!

Az általánosítás megszorítása nélkül tekinthetjük a felület [y,z] síkba eső metszetét.

21. ábra A profilgörbe meghatározása a hat-iránypontos esetben lineáris függvénykapcsolatnál

Keresendő az az y=y(t) függvény, amely egy adott, β beesési szögben érkező fénysugarat úgy tükröz vissza vízszintesen, hogy az éppen β magasságban levőnek látsszék. Ez az előírás a görbe érintőjére, mint a beesési és visszaverődési szögben érintett objektumra vonatkozóan egy összefüggést határoz meg, mely az ábrán látható differenciálegyenlet formáját ölti. Könnyen kiszámítható, hogy a differenciálegyenlet megoldása

% = 2&' ()*+ ,�( + ).

A kapott forgásfelület modelljét mutatja be az alábbi, MAPLE matematikai programmal készített ábra.

47

22. ábra A lineáris függvénykapcsolatot mutató hat-iránypontos perspektívát tükrözésként adó felület modellje

E helyt megemlítjük, hogy más esetekre nézve a differenciálegyenlet felállítása kivitelezhető, de annak megoldása nem mindig kecsegtet sikerrel. Például a tangens család t = 3 elemű tagjára vonatkozó differenciálegyenlet

./ =. 0.� + 27 − 9.39 + .�.� 4

.539 + .�.� + 54 − 18.39 + .�.�

megoldása reménytelen, míg a t = 4 esetben:

./ = −cot ;2 tan<= .4>

megoldható:

4&'|16 − .�| = % + ).

A c = 0 esethez tartozó profilgörbe alakja pedig:

23. ábra A tangens család t=4 tagjához tartozó felület profilgörbéje

48


1. A lineáris perspektíva akkor szolgáltat valósághű képet, ha az ábrázolandó objektum a látókúp belsejében található. A gyakorlati tapasztalatok, a kapott vetületek tökéletlensége miatt igény támadt a szem leképezését jobban követő ábrázolási módszerekre, melyek a vetítési rendszert változtatják meg a képsíkot alkalmas felültre cserélve. Manapság a képalkotó és manipuláló eszközök elterjedésével a négy- és öt-iránypontos képek megszokottá, hétköznapivá kezdenek válni.

2. Új módszert adtunk a teljes tér véges tartományra való leképezésére, mely módszer segítségével lehetőség nyílik a lineáris perspektíva, illetve az öt-iránypontos perspektíva és a sztereografikus vetítés eseteinek egységes kezelésére is az f(β) függvény alkalmas megválasztásával.

3. Az A�B� = B eset különös jelentőséggel bír, mivel a javasolt sinus, tangens és exponenciális függvénycsaládok mindegyike határértékben ehhez tart.

4. A hat iránypontos képek megértése nehéz feladat, amint azt az egyenesek ábrázolásának sokfélesége szépen illusztrálja.

5. Minden hat-iránypontos perspektívához kereshető olyan felület, amelyen keletkező tükörkép a szóban forgó eredményt szolgáltatja. Ennek megtalálása egy kapcsolódó differenciálegyenlet segítségével történik, mely sokszor nehéz feladat. Két egyszerűbb eset megoldását a dolgozatban bemutattuk.

49

Diszkrét transzformációcsoportok és alkalmazásaik

Minták ritmikus ismétlődése a korai kezdetektől fogva része a művészeteknek is – akár vizuális, akár auditív művészetekre gondolunk. A periodikusan ismételt mintákat az őket összekapcsoló, leíró szimmetriák segítségével jellemezhetjük. A szimmetria, mint természeti törvény és formaalkotó elv a XIX.sz természettudományos felfogásának egyik alapköve volt és a leíró tudományosság a botanikától a kristálytanig felhasználta a tipizálásban. Az építészettörténetben Owe Jones volt az első, aki The Grammar of Ornament c. munkájában a dekorációkat és díszítéseket az építészet szemszögéből vizsgálta és gyűjtötte össze, aminek alapja a bennük levő struktúra (szimmetria) azonossága volt. Könyve nyomán az absztrakt-geometrikus jelleg kiemelésével az ornamentika irodalmának geometrizáló formatani irányzata indult meg, melyhez több, alább ismertetett (és több korábbi) publikációm is kötődik.

Az egybevágósági transzformációk (és a hasonlóságok) olyan geometriai eszközök, melyeket az építészek – túl a díszítéseken, maguknak a tereknek a formálására – gyakran alkalmaznak legfőképpen az esztétikai rend érzetének kiemelésére.

A következőekben az egybevágóságok absztrakt matematikai modelljével foglalkozunk. Lehetőség van egy általános tárgyalásra, mely magasabb dimenziós terekben is analóg módon történhet, így nem kell ragaszkodnunk az euklideszi síkhoz.

Tekintsük az Ed d-dimenziós euklideszi térnek egy egybevágóságaiból (izometriáiból) álló G csoportját. Csoporton most azt az algebrai struktúrát értjük, melynek művelete asszociatív és invertálható, s amely művelet jelen esetben az egybevágóságok (szimmetriák) egymás utáni végrehajtása. Tekintsünk a térben egy P pontot és definiáljuk a pont pályáját a pont és az egybevágóságoknál származó képeinek halmazaként, vagyis az alábbiak szerint:

.

Ha bármely P pont esetén az így nyert ponthalmaz diszkrét (azaz szám, melyre teljesül, hogy

azon r sugarú gömböket véve, melyek középpontjai a pálya pontjaiban vannak, elmondható, hogy diszjunktak), úgy a G csoportot diszkrét transzformációcsoportnak nevezzük.

A tér pontjai ekvivalencia-osztályokba sorolhatók annak alapján, hogy ugyanahhoz a pályához tartoznak-e; azaz van-e a G csoportnak olyan eleme, amely őket egymásra képezi. Az összes különböző ekvivalencia-osztályokból most válasszunk ki egy-egy reprezentáns elemet.

Az ponthalmaz fundamentális vagy alaphalmaza a G diszkrét csoportnak, ha teljesülnek az alábbiak:

• ívszerűen egyszeresen összefüggő ponthalmaz Ed -ben,

• nem tartalmaz ekvivalens pontokat,

{ }GgEPP dgG ∈∈= ::

0>∃rGP

GF

GF

GF

50

• Ed minden pontjának van ekvivalense -ben.

Az alaphalmaz helyett most tekintsük lezárását, -t, melyet fundamentális vagy alaptartománynak nevezünk, ha:

• egyszeresen összefüggő, zárt ponthalmaz (tartomány) Ed -ben,

• bármely esetén (vagyis a kövek és képeiknek belsejei diszjunktak),

• (vagyis a tartomány és összes képe együtt a teret adja),

• vagy az üres halmaz, vagy egy d-nél kisebb dimenziós poliéderrel homeomorf

(topologikusan ekvivalens) bármely esetén.

Az lappárosításai alatt a következőt értjük: legyen egy (d-1)-dimenziós hiperlap,

és legyen -nek a -nél származó képe . Jelölje a megfelelő (d-1)-lapot

. A -t az lappárosításának nevezzük, ha γγ

γ ff =−1 és 1

1

−

−

= γγ

γ ff.

A határán fellépő lappárosításokkal együtt tekintett alaptartomány szoros kapcsolatban van a G csoporttal, minthogy G egy szabad csoport faktorcsoportjaként éppen a következőképpen áll elő:

lappárosításainak halmaza alkotja a generátorrendszert (a lappárosítások tehát a betűk, a szavak

pedig ezek kompozíciói); az k dimenziós lapjainak G-ekvivalenciaosztályaihoz tartozó relációk pedig a faktorcsoportot definiáló relációk.

Ha -ről még az is elmondható, hogy kompakt, akkor a G csoportot kristálytani vagy tércsoportnak nevezzük. A d = 2 esetben használjuk a síkcsoport elnevezést is.

A síkcsoportok osztályozásának kérdését 1891-ben oldotta meg E.S.Fjodorov. Ennek értelmében 17 különböző kétdimenziós kristálytani csoport létezik, melyek felsorolását az alábbi táblázatban közöljük. A táblázatból a síkbeli szimmetriák elképzelhető típusai is kiolvashatók (a hatfogású szimmetria kivételével).

Síkcsoport száma és jele Generátorok

1. p1 két nem kollineáris eltolás

2. p2 három félfordulat (nem kollineárisak)

3. pm két párhuzamos tükrözés és egy velük párhuzamos eltolás *

GF

GF GF~

GF~

0)~

()~

( =∩ γGG FIntFInt { }1\G∈γ

dGG EF =∪ ∈

~γ

γGG FF

~~ ∩

{ }1\G∈γ

GF~ γ

γ GG FFf~~

: ∩=

GF~ 1−γ

1~ −γGF

1

1

~~:

−

− ∩= γγ GG FFf

γ GF~

GF~

GF~

GF~

51

4. pg két párhuzamos csúsztatva tükrözés

5. cm egy tükrözés és egy vele párhuzamos csúsztatva tükrözés

6. pmm 4 db páronként merőleges tükrözés *

7. pmg egy tükrözés és vele párhuzamos egyenesen elhelyezett két félfordulat

8. pgg két merőleges csúsztatva tükrözés

9. cmm két merőleges tükrözés és egy rájuk nem illeszkedő félfordulat

10. p4 egy félfordulat és egy negyedfordulat

11. p4m két merőleges tükrözés és egy velük 45 fokot bezáró újabb tükrözés *

12. p4g egy tükrözés és egy negyedfordulat

13. p3 két harmadfordulat

14. p3m1 három, egymással páronként 60 fokot bezáró tükrözés *

15. p31m egy tükrözés és egy harmadfordulat

16. p6 egy félfordulat és egy harmadfordulat

17. p6m két merőleges tengelyű tükrözés tovább egy harmadik, mely velük 30 ill. 60

fokot zár be *

10. táblázat A tapéta csoportok jelei és generátorai

Amely esetekben nem választható más generátorrendszer, ott azt * feltüntetésével jeleztük; a többi esetben lehetőség van további generátorrendszer(ek) választására.

Más szavakkal ez azt jelenti, hogy a fenti 17 síkcsoport (nevezik tapétacsoportnak is) olyan síkbeli szimmetriákkal rendelekezik, melyek szükségszerűen két független eltolást is tartalmaznak. Ez azért van így, mivel a felsorolt generátorok egymás utáni alkalmazásával az említett eltolások előállnak.

Ha a d =2 esetet tekintjük, és eltekintünk attól, hogy kompakt legyen, akkor két további lehetőség áll előttünk: a szimmetriacsoport vagy egyáltalán nem tartalmaz eltolást, vagy csak egy irányú eltolást tartalmaz.

Az első esetben a síkon adott egy pont, amely a transzformációk során helyben marad. Az így kialakuló un. rozettacsoportoknak két típusa van: ha a transzformációk (szimmetriák) csak elforgatásokat tartalmaznak, akkor a Cn-nel jelölt ciklikus csoportról van szó, ahol n az előforduló legkisebb szögű elforgatás rendje; ha tükörtengelyek is előfordulnak, akkor a Dn diédercsoportról van szó, ahol n a diédercsoportbeli ciklikus részcsoport rendjével azonos.

GF~

52

Mivel a Dn diédercsoport felfogható az n oldalú szabályos sokszöget önmagára képező szimmetriák csoportjának is, így nyilvánvaló, hogy minden olyan építészeti megoldásnál (különösen alaprajzok esetén), mely szabályos sokszög formát ölt, számolni lehet vele.

24. ábra Claude-Nicolas Ledoux terve (St. Marceau kocsma) a D3 csoport szerint (Forrás: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Guinguette_Faubourg_Saint-Marceau_-_plan.jpg)

A második esetben, amikor egyféle eltolás lehetséges csak, az úgynevezett frízcsoportokról (vagy szalagcsoportokról) van szó, s ekkor a lehetőségek száma 7. Az építészetben ez a megoldás pl. lakótelepek tervezésénél merül fel, ahol azonos elemeket rendeznek el házsorokká ill. tömbökké.

25. ábra Halen telep, Bern - csak egyirányú eltolási szimmetriát mutat (Forrás: Albert Winkler - Hubert Hoffmann: Urban Low-Rise Group Housing, Terrace Houses, Patio Houses, Linked Houses, Verlag Gerd Hatje,

Stuttgard, 1961)

53

A következőekben (Bölcskei 2006) publikáció nyomán összefüggést mutatunk a síkcsoportok és bizonyos mérnöki alkalmazások között. Ehhez először szükséges tisztázni a parkettázás illetve kövezés fogalmát.

Zárt halmazok egy { }K,, 21 TT=T készletét kövezésnek (csempézésnek, d = 2 esetén

parkettázásnak, mozaiknak) nevezzük, ha igaz, hogy egyrészt a kövek uniója az egész d-dimenziós tér, másrészt a kövek belsejei páronként diszjunktak. A későbbiekben csak periodikus kövezéseket vizsgálunk, azaz feltételezzük, hogy létezik d darab olyan független eltolás, mely a T kövezést önmagára képezi. Általában: a kövezés szimmetriáján olyan izometriát értünk, amely a kövezést önmagára képezi le. Ezen egybevágóságok csoportot alkotnak, melyet Γ jelöl. A következőkben tehát kövek egy halmaza és a rajtuk ható egybevágóság-csoport együttesen ír le egy kövezést, melyet (T, Γ)-val jelölünk.

Számunkra a továbbiakban Γ mindig egy síkcsoportot fog jelölni.

Ti és Tj kövek akkor ekvivalensek, ha található a szimmetriacsoportnak olyan γ eleme, melyre

teljesül, azaz ha létezik szimmetria, mely őket egymásra képezi. Ilyen módon a köveket Γ-ekvivalenciaosztályokba sorolhatjuk. Egy kövezést (kő)tranzitívnek (izoéderesnek)} nevezünk, ha a csempék egy osztályba sorolódnak. Kétdimenziós, kőtranzitív (=laptranzitív}) mozaik esetében a sokszög köveket planigonnak nevezzük. A Γ csoport azon egybevágóságai, amelyek egy adott T követ önmagára képeznek le, szintén részcsoportot alkotnak, melyet a T stabilizátorának nevezünk.

Kövezéseket akkor tekintünk lényegében azonosnak, homeomernek, ha topologikusan ekvivariánsak. Pontosabban: T és T' kövezések a hozzájuk tartozó Γ és Γ’ szimmetriacsoportokkal akkor tekinthetők homeomernek, ha létezik olyan ψ – a kövek, lapok, élek, csúcsok illeszkedését megörző – homeomorfizmus, amely T-t úgy képezi T' -re, hogy közben a csoporthatás megmarad,

azaz teljesül.

Tekintsünk egy kétdimenziós laptranzitív parkettázást és minden csúcshoz rendeljünk hozzá egy pozitív egész számot, mely megmutatja, hogy adott csúcsnál hány sokszög találkozik. Nevezzük el ezt a csúcs fokának és jegyezzük fel rendre egy adott kő csúcsainak fokszámait. A tranzitivitás miatt ez a számciklus az egész kövezést jellemzi. A következő tétel szerint ezek jól meghatározottak.

Šubnikov-Laves tétele (forrás: (Grünbaum, Shepard 1987)) Laptranzitív síkparkettázásban előforduló planigonok típusai és a csúcsai által meghatározott ciklusok a következők lehetnek.

Sokszög típusa Lehetséges ciklusok

Hatszög 3,3,3,3,3,3

Ötszög 4,4,3,3,3 3,3,4,3,4 6,3,3,3,3

Négyszög 4,4,4,4 6,4,3,4 6,3,6,3

Háromszög 6,6,6 8,8,4 12,12,3 12,6,4

iT

ji TT =γ

Γ=Γ− ψψ 1

54

11. táblázat Laptranzitív síkparkettázások ciklusai

Ezek után már a laptranzitív síkparkettázások élhálózatát – homeomorfizmus erejéig -- ismerjük. Ugyanígy ismertté váltak a kövek topologikus típusai is. Vizsgáljuk most azt, hogy milyen szimmetriacsoport szerint lehet adott kövekkel parkettázni és, hogy a kövek milyen torzításai megengedettek.

Képzeljünk el egy adott, a fenti tételnek megfelelő élhálózatot. Szemeljünk ki egyet a csempék közül és tekintsük automorfizmuscsoportját (a követ önmagára képező szimmetriák csoportját) és annak részcsoportjait. Rajzoljunk a lehetséges különböző szimmetriacsoportoknak megfelelően mintákat a csempére. Célunk most annak vizsgálata, hogy a különböző motívumokkal ellátott kövek milyen mozaikokat engednek meg, azaz fel kívánjuk tárni az oldalpárosításokat. Evégből kívánjuk meg, hogy a kövezés feltételezett szimmetriacsoportjának az adott kőhöz tartozó stabilizátora éppen a mintához tartozó szimmetriacsoport legyen. A laptranzitivítás miatt ez minden csempére ugyanígy áll. Az egyes kövek oldaléleit irányítottnak képzelve képezzünk belőlük ekvivalencia-osztályokat a csoportnak megfelelően. Az egyes osztályokat jelöljük betűvel. Azon élek, melyek ellentétes irányítással rendelődtek önmagukhoz irányítatlannak tekintendők. Mármost képezzünk két betűsorozatot a következőképpen. Járjuk körbe egy tetszőlegesen kiválasztott csempe éleit pozitív irányban és jegyezzük fel, hogy mely éleken haladtunk végig, feltüntetve annak irányítását is; illetve jegyezzük fel, hogy a felvett élek a szomszédos köveknek mely éleivel szomszédosak (az irányítás feltüntetésével). A kapott, oldalpárosításokat leíró betűsorozatok és a megfelelő Šubnikov-Laves ciklusok ismeretében egy kövezés egyértelműen visszaállítható. Ezért az összes lehetőséget oly módon tárhatjuk fel, hogy képezzük az összes elképzelhető betűkombinációt és vizsgáljuk, hogy ezek közül melyek realizálhatók illetve melyek határoznak meg különböző mozaikokat. Figyelni kell például továbbá arra is, hogy a párosított oldalak hossza megegyezik-e. A megfelelő betűsorozatok még nem feltétlenül vezetnek el mozaikhoz, előfordulhat, hogy a csempézés során ellentmondáshoz jutunk, azaz bizonyos kövek nem követik a szabályt (a laptranzitivításnak teljesülnie kell!). Megkonstruálható kövezésekhez végül is egy – a szimmetriaelemeket és párosításokat magában foglaló – illeszkedési szimbólumot rendelhetünk, mely azonos kövezésekre ugyanaz, különbözőekre viszont eltérő. Végeredményként megfogalmazható a következő, ismert

Tétel (Grünbaum, Shepard, 1987) :Az euklideszi síkon pontosan 93 különböző, jelölt kövekkel kivitelezett laptranzitív kövezés létezik. ٱ

A fenti kövezések nem feltétlenül csak poligonokkal képzelhetők el, hiszen a szimmetriáik az oldalak deformálását is lehetővé teszik. Pl. olyan éleket, melyeket a Γ szimmetriacsoport középpontos tükrözése önmagába visz, helyettesíthetünk bármilyen centrálszimmetrikus görbével, vagy pl. ha két oldalt eltolás visz egymásba, akkor az oldalak alakítására nézve teljes szabadságunk van.

Az említett 93 planigon közül csak azok tekinthetők a megfelelő Γ szimmetriacsoport alaptartományának, amelyek belsejükben nem tartalmaznak Γ-ekvivalens pontokat, azaz amelyek stabilizátora a triviális csoport. Az ilyen típusú planigonokat fundamentális planigonnak nevezzük. Belőlük 46 darab található.

55

A planigonok (és fundamentális planigonok) síkcsoportok szerinti felsorolását, a megfelelő oldalpárosításokat és kapcsolódó ciklusokat (Grünbaum, Shepard 1987) felhasználásával az alábbi táblázat tartalmazza.

Síkcsoport A planigon

jele

Fundamentális-

e?

Oldalszám Illeszkedési szimbólum Laves

ciklus

1. p1 IH1 + 6 a+b+c+d+e+f+ ; d+e+f+a+b+c+ 333333

IH41 + 4 a+b+c+d+ ; c+d+a+b+ 4444

2. p2 IH4 + 6 a+b+c+d+e+f+ ; a+e+c+d+b+f+ 333333

IH8 - 6 a+b+c+a+b+c+ ;

a+b+c+a+b+c+

333333

IH23 + 5 a+b+c+d+e+ ; a+e+c+d+b+ 33344

IH46 + 4 a+b+c+d+ ; a+b+c+d+ 4444

IH47 + 4 a+b+c+d+ ; c+b+a+d+ 4444

IH57 - 4 a+b+a+b+ ; a+b+a+b+ 4444

IH84 + 3 a+b+c+ ; a+b+c+ 666

3. pm IH42 + 4 a+b+c+d+ ; c+b-a+d- 4444

IH64 - 4 ab+cb- ; cb-ab+ 4444

4. pg IH2 + 6 a+b+c+d+e+f+ ; b-a-f+e-d-c+ 333333

IH3 + 6 a+b+c+d+e+f+ ; c-e+a-f-b+d- 333333

IH43 + 4 a+b+c+d+ ; c-d+a-b+ 4444

IH44 + 4 a+b+c+d+ ; b-a-d-c- 4444

5. cm IH12 - 6 ab+c+dc-b- ; dc-b-ab+c+ 333333

IH14 - 6 a+b+c+c-b-a-; c-b-a-a+b+c+ 333333

IH22 + 5 a+b+c+d+e+ ; a-e+d-c-b+ 33344

IH45 + 4 a+b+c+d+ ; c-b-a-d- 4444

IH68 - 4 a+b+b-a- ; b-a-a+b+ 4444

56

IH83 + 3 a+b+c+ ; b-a-c- 666

6. pmm IH48 + 4 a+b+c+d+ ; a-b-c-d- 4444

IH65 - 4 ab+cb- ; ab-cb+ 4444

IH72 - 4 abab , abab 4444

7. pmg IH13 - 6 ab+c+dc-b- ; db+c+ac-b- 333333

IH15 - 6 a+b+c+c-b-a- ; a+b-c+c-b-a- 333333

IH24 + 5 a+b+c+d+e+ ; a-e+c+d+b+ 33344

IH49 + 4 a+b+c+d+ ; a-b+c-d+ 4444

IH50 + 4 a+b+c+d+ ; c+b-a+d+ 4444

IH58 - 4 a+b+a+b+ ; a-b+a-b+ 4444

IH66 - 4 ab+cb- ; cb+ab- 4444

IH69 - 4 a+b+b-a-; a+b+b-a- 4444

IH85 + 3 a+b+c+ ; a-b+c+ 666

8. pgg IH5 + 6 a+b+c+d+e+f+ ; a+e+d-c-b-f+ 333333

IH6 + 6 a+b+c+d+e+f+ ; a+e-c+f-b-d- 333333

IH9 - 6 a+b+c+a+b+c+ ; a+c-b-a+c-b- 333333

IH25 + 5 a+b+c+d+e+ ; a+e+d-c-b+ 33344

IH27 + 5 a+b+c+d+e+ ; a+d-e-b-c- 33434

IH51 + 4 a+b+c+d+ ; c-b+a-d+ 4444

IH52 + 4 a+b+c+d+ ; c-d-a-b- 4444

IH53 + 4 a+b+c+d+ ; b-a-c+d+ 4444

IH59 - 4 a+b+a+b+ ; b-a-b-a- 4444

IH86 + 3 a+b+c+ ; b-a-c+ 666

9. cmm IH17 - 6 ab+b-ab+b- ; ab+b-ab+b- 333333

IH26 - 5 ab+c+c-b- ; ab-c+c-b+ 33344

57

IH54 + 4 a+b+c+d+ ; a-b-c-d+ 4444

IH60 - 4 a+b+a+b+ ; a-b-a-b- 4444

IH67 - 4 ab+cb- ; ab+cb- 4444

IH74 - 4 a+a-a+a- ; a+a-a+a- 4444

IH78 + 3 a+b+c+ ; a+b-c- 488

IH91 - 3 ab+b- ; ab+b- 666

10. p4 IH28 + 5 a+b+c+d+e+ ; a+c+b+e+d+ 33434

IH55 + 4 a+b+c+d+ ; b+a+d+c+ 4444

IH61 - 4 a+b+a+b+ ; b+a+b+a+ 4444

IH62 - 4 a+a+a+a+ ; a+a+a+a+ 4444

IH79 + 3 a+b+c+ ; a+c+b+ 488

11. p4m IH70 - 4 a+b+b-a- ; a-b-b+a+ 4444

IH75 - 4 a+a-a+a- ; a-a+a-a+ 4444

IH76 - 4 aaaa ; aaaa 4444

IH80 + 3 a+b+c+ ; a-b-c- 488

IH82 - 3 ab+b- ; ab-b+ 488

12. p4g IH29 - 5 ab+c+c-b- ; ac+b+b-c- 33434

IH56 + 4 a+b+c+d+ ; b+a+c-d- 4444

IH63 - 4 a+a+a+a+ ; a-a-a-a- 4444

IH71 - 4 a+b+b-a- ; b+a+a-b- 4444

IH73 - 4 abab , baba 4444

IH81 + 3 a+b+c+ ; a-c+b+ 488

13. p3 IH7 + 6 a+b+c+d+e+f+ ; b+a+d+c+f+e+ 333333

IH10 - 6 a+b+a+b+a+b+ ;

b+a+b+a+b+a+

333333

58

IH33 + 4 a+b+c+d+ ; d+c+b+a+ 3636

14. p3m1 IH19 - 6 a+a-a+a-a+a- ; a-a+a-a+a-a+ 333333

IH35 - 4 a+b+b-a- ; a-b-b+a+ 3636

IH87 + 3 a+b+c+ ; a-b-c- 666

15. p31m IH16 - 6 a+b+c+c-b-a- ; a-c+b+b-c-a+ 333333

IH18 - 6 ababab ; bababa 333333

IH30 + 4 a+b+c+d+ ; a-b-d+c+ 3464

IH36 - 4 a+a-b+b-; b-b+a-a+ 3636

IH38 + 3 a+b+c+ ; a-c+b+ 3,12,12

IH89 - 3 a+a+a+ ; a-a-a- 666

16. p6 IH11 - 6 a+a+a+a+a+a+ ;

a+a+a+a+a+a+

333333

IH21 + 5 a+b+c+d+e+ ; e+c+b+d+a+ 33336

IH31 + 4 a+b+c+d+ ; b+a+d+c+ 3464

IH34 - 4 a+b+a+b+ ; b+a+b+a+ 3636

IH39 + 3 a+b+c+ ; a+c+b+ 3,12,12

IH88 + 3 a+b+c+ ; b+a+c+ 666

IH90 - 3 a+a+a+ ; a+a+a+ 666

17. p6m IH20 - 6 aaaaaa , aaaaaa 333333

IH32 - 4 a+a-b+b-; a-a+b-b+ 3464

IH37 - 4 a+a-a+a- ; a-a+a-a+ 3636

IH40 - 3 ab+b- ; ab-b+ 3,12,12

IH77 + 3 a+b+c+ ; a-b-c- 4,6,12

IH92 - 3 ab+b- ; ab-b+ 666

IH93 - 3 aaa , aaa 666

12. táblázat A planigonok és lappárosításaik

59

Az elmondottak lehetőséget teremtenek rá, hogy hidat verjünk az alkalmazott mérnöki tudományok és az alapkutatások között egy konkrét téma, a térburkolatok kapcsán. Amit a mérnök térburkolatnak nevez, – azt a matematikus periodikus kövezésnek, s mint az remélhetőleg az elkövetkezőkből kiviláglik, a geometria, közelebbről a diszkrét transzformáció csoportok elmélete nyer itt alkalmazást. Célunk ezen kapcsolat bemutatása különös tekintettel arra, hogy a matematikus miként segítheti a mérnök munkáját:a továbbiakban a mérnöki gyakorlat során előforduló gyakran használt, konkrét térburkolatok segítségével illusztráljuk a planigonokról fentiekben elmondottakat.

Legelőször is megjegyezzük, hogy a mérnöki zsargonban használt „burkolási terv” kifejezés éppen a matematikus által kövezésnek nevezett fogalmat takarja a következő értelemben:

(T, Γ) rendezett párból T halmazt nyilván a felhasznált kövek adják, míg a Γ egybevágóságcsoportot a terv csak implicite tartalmazza; a séma ugyanis megmutatja, hogy egyes köveket miként vesznek körül szomszédai, azaz az oldalpárosításokat adjuk meg ily módon.

Az alábbi ábrák a téglalap alakú csempékkel végzett tipikus burkolási terveket mutatják:

futósoros parkettmintás

könyökös

26. ábra Néhány burkolási terv

Megjegyezzük, hogy a könyökös terv 45 fokkal elforgatottját szokás halszálkásnak hívni.

Illusztrációképpen vizsgáljuk most a futósoros elrendezést az ismertetett geometriai eszközökkel.

Az alábbi ábrában feltüntettük a kövezést önmagába vivő szimmetriákat olyan módon, ahogyan az a geometriai kristálytanban szokásos: folytonos vonalak tükörtengelyeknek, szaggatott vonalak csúsztatva tükrözés tengelyeinek felelnek meg, az ellipszisek félfordulati centrumokat jelölnek. A kapott Γ kristálytani csoport a 9.cmm jelű. Az ábrában ABCDEF-ként jelölt téglalappá torzult hatszög szolgáltatja a laptranzitív kövezés planigonját, mely topologikusan az IH17-tel jelölt

60

tartománnyal azonos. A téglalapot önmagára képező tükrözések folytán az ’a’ oldal nem irányított, míg ’b’ oldal irányított, ám a tükrözések már előírják a többi oldal elnevezését. A szomszédok megfelelő oldalain végighaladva követhetjük az (ab+b-ab+b- ; ab+b-ab+b-) illeszkedési szimbólum teljesülését.

Megemlítendő még, hogy minekutána téglalapjaink jelen esetben nincsenek motívumokkal díszítve, így a kövek ugyanazon élhálózatához eljuthatunk más csoport ill. más planigon segítségével is: pl. az 1.p1 csoport IH1 planigonja az oldalak megfelelő kiosztásával ugyanehhez a burkolási sémához vezet.

27. ábra A futósoros elrendezésnek megfelelő szimmetriák és planigon

Megemlítendő, hogy manapság egyre szélesebb körben terjednek el azon burkolások, ahol a térburkoló kő oldalai nem egyenes szakaszok. Az esztétikum mellett ebben az is szerepet játszik, hogy a hajlított oldalak mentén találkozó kövek egymást jobban rögzítik elejét véve az egyes elemek kifordulásának, kibillenésének. Az egymásba kapaszkodó csempék a fizikai hatásoknak is jobban ellenállnak, fékezéskor, gyorsuláskor az egyes kövekre ható erők jobban eloszlanak.

A következőkben tekintsünk néhány manapság széles körben alkalmazott burkoló követ. Amennyiben ezek oldalainak párosításait minden lehetséges módon tekintjük, vagyis őket minden módon planigonná deformáljuk, úgy előállíthatjuk a jelölt kövekkel kivitelezhető összes csempézést. Illusztrációképpen vázoljuk annak bizonyítását, hogy a RÓNA néven ismert térburkolattal csak egyféle kövezési séma valósul meg.

61

28. ábra A RÓNA térburkolat

Tekintsük a középső kő szempontjából „bal felső” helyzetű, az alábbi ábrában AB-vel jelölt élet és próbáljuk meg a nyolcszög valamely élével párosítani. A lehetséges transzformációk közül azonnal kizárható a harmadrendű és a hatodrendű forgás. A tükrözés szintúgy, mivel átlapolást okozna. Az ábra mutatja, hogy milyen elrendezéshez vezetne, ha csúsztatva tükrözéssel feleltetnénk meg AB élet. A szóba jövő t1 tengely menti transzformáció eredménye az 1 jelű csempe, ám jól láthatóan a jelölt szög kisebb lenne a tekintett kő összes szögénél, ami ellentmondás. Ugyanígy a t2 tengelyű eltolástükrözés a 2 számú szomszédot eredményezné. Félfordulattal az AB nem feleltethető meg önmagának, hiszen ez a 3 jelű szomszédhoz vezetne, ahol ismét túl kicsi szög lépne fel. Hasonló megokolással zárható ki a másik félfordulat lehetősége is.

29. ábra A lehetséges kövezések vizsgálata

Már csak a negyedfordulat ill. eltolás lehetősége maradt meg, mint oldalpárosító transzformáció. Megmutatható, hogy mindkettővel kivitelezhető az egyetlen megvalósuló kövezés (az élhálózat azonos, jelölt kövekkel a két parkettázás különböznék). Az ábrán látható negyedfordulatokkal

62

történő oldalpárosítás a tabellánkban IH55 sorszám alatt szereplő, 10. p4 síkcsoport topologikus négyszögének felel meg.

30. ábra A RÓNA kő lappárosításai

Az alábbiakban néhány itthon elterjedt kő és tipikus burkolási sémája látható. Megjegyzendő, hogy BEHATON térburkoló ill. FODORKŐ alkalmazása esetén szintén csak egyféle lehetőség adódik a kövek elrendezésére, míg a HULLÁMKŐ esetén csak egy példát mutatunk.

31. ábra HULLÁMKŐ - A kövezés planigonja a 2. p2 csoport IH8 topologikus hatszöge.

32. ábra BEHATON - A kövezés planigonja a 9. cmm csoport IH17 topologikus hatszöge.

63

32. ábra FORODKŐ - A kövezés planigonja a 17. p6m csoport IH20 topologikus hatszöge.

A matematika a lehetséges burkolási tervek előállításán túl esetlegesen felhasználható lehet még maguknak a térburkoló köveknek a megtervezésében is. Amint a fentiekből kiderült, a planigonok már ismertek. Mérnöki szempontból a csempéket úgy érdemes megrajzolni, hogy azok kevéssé legyenek sérülékenyek, azaz hegyes csúcsokat ne tartalmazzanak; a szomszédos kövek a görbe oldalak mentén jól tartsák egymást; technikailag könnyen lehessen a burkolatot lerakni, vagyis például kerüljük, hogy a szomszédokat úgy kelljen egymásba csúsztatni. Kívánalom lehet még az esztétikum és az, hogy az egyazon típussal megvalósítható különböző burkolási sémák száma minél nagyobb legyen.

Utalni szeretnék itt arra, hogy a térburkolatok és a geometria között számos kapcsolat található még. Nem vizsgáltuk például az egyazon típusú, de különböző színű kövekkel való burkolások osztályait; a mintázott felületű vagy éppenséggel többféle kővel kivitelezett csempézések problémáját.

A fejezet hátralevő részében az ornamentikákkal kapcsolatban egy másik publikációban (Bölcskei 2010) található eredményekről számolnék be. Ez a téma a fonott mintákkal kapcsolatos, mely díszítések kétségkívül megejtőbbek, mint az egyszerű síkbeli formációk. A fonás ugyanis az eredetileg síkbeli ornamentikákat plasztikussá tesz, kiemeli a térbe és egy „fél” dimenziót ad még hozzá. A (például kelta művészetben gyakran előforduló) fonott mintákkal kapcsolatban újabban számos publikáció látott napvilágot, melyek közül kiemeljük Rosenthal és Schreiber munkáját (Rosenthal, Schreiber 2004). Ebben a szerzők azt a célt tűzik ki, hogy az úgynevezett szalag ornamentikákat osztályozzák, ahol a szalagot három-dimenziósnak, végtelen hosszúnak és téglalap keresztmetszetűnek tételezik fel. Módszerük abban áll, hogy tekintik a fenti szalag összes automorfizmusainak csoportját és kiválasztják a lehetséges részcsoportokat. Eredményük szerint összesen 31 díszítés típus létezik, melyeket cikkükben kerítésszerű ábrákkal illusztrálnak is. Publikációjuk végén számos (egyáltalán nem kerítésszerű!) fonott alakzatot ábrázoló fényképet (pl. az Alhambráról) közölnek a vélt típus megjelölésével. Éppen ez, tudniillik, hogy az általuk bemutatott módszer nem eléggé érzékeny és alkalmas a nem kerítésszerű fonott minták jellemzésére, indított további vizsgálatokra. A klasszifikáláshoz vezető helyes utat a színezett csoportokban találtam meg. Durván szólva a korábban részletesen bemutatott diszkrét

64

transzformáció csoportoknál származó minták színezhetők és a színek és szimmetriák együttes vizsgálatával újabb osztályozás válik lehetővé. Pontosabban megfogalmazva:

Legyen G és H két csoport. A két csoport direkt szorzata C × E szintén csoporttá tehető, amennyiben a szorzást az alábbiak szerint értelmezzük: �F, ℎ��F/, ℎ′� ∶= �FF/, ℎℎ′�, ahol F, F/ ∈ C és ℎ, ℎ′ ∈ E.

Tekintsünk most egy diszkrét mintát és minden motívumhoz rendeljünk hozzá, egy a színét leíró i egész számot I ∈ J1, … , 'L. Legyen mármost G a mintához tartozó szimmetriacsoport és H pedig legyen izomorf a permutációk Sn csoportjával. Tételezzük fel, hogy bármelyik π permutációra érvényes, hogy az kompatibilis a szimmetriákkal, azaz bármikor, ha egy szimmetria egy j színű elemet egy k színűre képez, akkor ezt minden j színű motívumra megteszi és ráadásul ez pontosan akkor következik be, ha a π permutáció a j-t k-ra cseréli. Ebben az esetben a C × E csoportot a minta színezett csoportjának fogjuk nevezni.

Jelen dolgozatban a G szimmetriacsoport vagy rozetta csoport vagy szalagcsoport lehet csupán, továbbá csak két színnel fogunk dolgozni, azaz E ≅ N�. Az egyszerűség kedvéért a két szín lehet a fehér és a fekete, amint ezt a szakirodalom is gyakran felteszi. Legyen E = JO, PL, ahol ε az identikus elem és δ a színek felcserélének művelete. Jelölje a G csoport egységelemét e és a további elemeket pedig g. E jelöli a H csoport triviális részcsoportját. Továbbá a G egy részcsoportja legyen J, K pedig egy 2 indexű részcsoport J-ben, és jelöljön h egy J-beli, de nem K-beli elemet.

A csoportelmélet felhasználásával elmondható, hogy a C × N� részcsoportjai csak az alábbiak lehetnek:

• a részcsoport alakja Q × R ≅ Q. Ebben az esetben csak egy szín van, és a csoport monokróm, vagyis a korábban tárgyalt (szín nélküli) eseteket kapjuk meg. Nyilván ez a megoldás számunkra érdektelen.

• ha a részcsoport tartalmazza az �S, P� elemet, akkor a szorzás miatt a �F, P� elemet is, ugyanis �F, O��S, P� = �F, P�. Ekkor a csoport alakja: Q × N�. Ekkor un. szürke csoportról beszélünk, ami azt jelenti, hogy az elemek egyszerre kapják a fehér és a fekete színt is.

• ha a részcsoport nem tartalmazza az �S, P� elemet, de tartalmazza �F, P�elemet, akkor előállítható az alábbi formában: T × R + �ℎ, P�T × R ≅ T + �ℎ, P�T. Ezek a mi szempontunkból érdekes un. fekete-fehér csoportok.

Mindez a felosztás jól ismert a színezett csoportok elméletében és sokféle néven ismertek az említett csoportok, aszerint, hogy milyen szempontokat helyezünk előtérbe a vizsgálat során. Említik például a csoportokat antiszimmetrikus csoport néven, metakrisztallográfiai csoportként, nem-mágneses csoportként, stb. A fekete-fehér csoportok például jól beválnak minden olyan esetben, amikor valamely fizikai tulajdonság két értéket tud felvenni, úgy mint a pozitív és negatív elektromos töltés vagy a mágneses pólusok. A mi vizsgálatainkban a fekete és a fehér jelentése nem más, mint annak szimbóluma, hogy egy adott referencia sík alatt vagyunk-e vagy fölötte? A szürke csoportok tehát ebben az értelemben olyan motívumokra jellemzőek, ahol egyszerre jelenik meg a motívum a sík alatt és fölött.

65

33. ábra Illusztráció egy szürke csoporthoz, a D3xS2-höz.

Az elmondottak alapján (Rosenthal, Schreiber 2004) eredménye nyilvánvaló és csak legalább negyedszeri újrafelismerése annak, hogy a fonott frízcsoportok száma 31. Itt ugyanis arról az osztályozási eredményről van szó, amikor C × N� részcsoportjait vesszük számba, ahol G frízcsoport. Ekkor ugyanis a 31 variáció így áll elő: van a 7 szín nélküli (monokrómnak is tekinthető) frízcsoport, nyilván ugyanennyi szürke csoport van és régóta (Weber diagram néven is) ismert a 17 fekete-fehér megoldás (lásd pl. (Subnikov 1962)).

Az is nyilvánvaló, hogy G helyére rozetta csoport vagy éppen síkcsoport is helyettesíthető, mely esetek Rosenthal és Schreiber cikkében nem szerepelnek, s emiatt nem kerítésszerű fonott mintapéldáik jellemzése helytelen.

Analóg módon bizonyítható az alábbi következmény.

A fonott rozettacsoportok száma hét, melyből 2 monokróm, 2 szürke és 3 fekete-fehér.

Bizonyítás: a 2 monokróm megoldás nyilván a Cn és a Dn (valójában ezek családok), ezek kétoldalúvá is tehetők, ekkor kapjuk a szürke megoldásokat. Mivel UV ≤ XV, UV ≤ U�V, XV ≤ X�V és ezek az előforduló összes kettő indexű részcsoportot megadják, ezért a fekete-fehér csoportok száma 3. Az alábbi ábrán illusztáljuk is ezen eseteket. A kék gyűrű a referencia síkot érzékelteti. Az élénk színű motívum a sík fölött, a halvány pedig a sík alatt helyezkedik el.

66

34. ábra A három fekete-fehér eset illusztrációja

Fenti eredmény lehetővé teszi például a kelta fonott motívumok osztályozását is.

35. ábra Rozetta típusú kelta ornamentika (forrás: https://hu.pinterest.com/StudioNicol/celtic-patterns/)

Ez a típusú fonott minta nem jellemezhető jól (Rosenthal, Schreiber 2004) alapján, viszont a fentiek szerint kategorizálható: a színezetlen, azaz hurkolásoktól mentes alakzat szimmetriacsoportja G=D4=J , a színezést (vagyis itt az alul-felül relációt) megőrző részcsoport a K=C4. A szín (alul-felül) váltó transzformáció a D4\C4-ből egy tükrözés: m. Ezzel a kapcsolódó fekete-fehér csoport jele az alábbi: UY + ��, P�UY.

A tapéta csoportokat általánosító két színű csoportokra is vonatkozik egy tétel, mely így szól:

A kétoldalú sík fonott csoportjainak száma 80, mely 17 monokróm, 17 szürke és 46 fekete-fehér csoportból tevődik össze. A tétel alapjai megtalálhatók (Grünbaum, Shepard, 1987)-ban is.

Megjegyzendő, hogy fekete-fehér csoportokat három dimenzióban is kereshetünk, ekkor az un. Heesh- Šubnikov csoportokról van szó.

Alkalmazásként néhány épülethez kötődő fonott ornamentikára határozzuk meg a hozzájuk kapcsolódó csoportot.

67

36. ábra A Baptisterium (Pisa) padlója forrás: http://jenfunkweber.com/pisa.php

A fonott mintát egyrétegűvé téve a tapétacsoportra G=p6m adódik, míg K=p6. A h „szín” váltó transzformáció megint egy tükrözés lesz: m.

További példák felsorolás helyett megjegyezzük, hogy míg a színezetlen síkcsoportokra vonatkozóan az az elterjedt nézet, hogy mind a 17 típusuk megtalálható az Alhambra épületegyüttesében, addig hasonló magyar példákról, gyűjteményről nem tudunk. Izgalmas feladat lenne ilyenek illetve színezett csoportokhoz kapcsolódó hazai motívumok keresése is!

A fejezet végén olyan (Cromwell, 2008) cikk nyomán született, korábban nem publikált eredményeket közlünk, amelyek a fonott motívumok osztályozásához köthetők. Említett munkájában Cromwell a két-oldalú sík mintáit osztályozza, mégpedig olyan feltétellel, hogy a minták összefüggőek, de nem feltétlenül korlátosak legyenek; a minta P szimmetriacsoportja diszkrét transzformációcsoport legyen. Az osztályozás alapja az úgynevezett henoméria: két minta akkor esek ugyanabba az osztályba, ha megegyeznek a színezett csoportban, a minták stabilizátorában (azaz azon �F, P� szimmetriákban, melyek a színezett motívumot önmagába viszik) és a színezés elhagyásával keletkezett minták is azonosak.

(Cromwell, 2008) kimutatja, hogy a fonott rozettákat illetően 17 végtelen henomerikus osztály létezik, melyekből 12 egy- és 5 kétparaméteres, a kétoldalú szalagmintáknak 68, míg a kétoldalú sík mintáknak 264 henomerikus osztálya van.

Megkíséreltem ennek nyomán a téglalap keresztmetszetű szalagokkal (akár áthurkolásokat igen, de átmetszéseket nem megengedve) történő henomerikus osztályozást. Vagyis minden henoméria osztályban keressük azt a Z: ��, \� × �), ]� × �S, A� → ^ homeomorfizmust, amely a ��, \� ×�), ]� × �S, A� halmazon injenktíven hat, minden _ ∈ �S, A� esetén a JZ�%, ., _�: �%, .� ∈ ��, \� ×�), ]�L halmaz téglalap és Z�%, ., S� = Z�%, ., A� teljesül minden �%, .� ∈ ��, \� × �), ]� esetén.

Az általam tekintett minták tehát összeragadva egy szalagot alkotnak, tehát nem diszkrétek.

A konstrukció során a színezett csoport egy alaptartományát tekintettem, annak határán pedig egymásra szimmetriával képezhető téglalapokat. Az ezek összekötésével kapott „elemi szalagokat” a stabilizátor szimmetriáira tekintettel alkottam meg, végül az elemi szalagokat a �F, P�

68

szimmetriákkal összeragasztottam. Érdekes példákat találni, ha a minta szimmetriacsoportja Cn ciklikus csoport, vagy az S2n csoport. Ekkor ugyanis az n-hez relatív prím k számokra többszörösen hurkoló megoldások is születhetnek. Ez nem lehetséges akkor, ha a szimmetriacsoport tükörsíkot vagy tükörtengelyt tartalmaz.

Bizonyítás nélkül közlöm a rozettákkal kapcsolatos eredményemet, mely az alábbi:

A kétoldalú rozettaminták henomerikus osztályainak 5 végtelen családja alkotható meg egyetlen összeragasztott szalaggal. Minden ilyen végtelen család egy paraméteres. Négy a fenti ötből többszörösen áthurkoló módon is megalkotható.

Fentiek illusztrálására álljon itt néhány ábra.

37. ábra A rozetta szimmetriacsoportja az n-edrendű forgatás, a motívumé C1 – két megoldás, az első egyszeres, a második többszörös hurkolással

38. ábra A rozetta szimmetriacsoportja 3 síktükrözéssel adott, a motívumé Cs

69

39. ábra A rozetta szimmetriacsoportja tükörsíkokból és szögfelelző helyzetben levő egyenestükrözésekból áll, a motívum síkra szimmetrikus

40. ábra A rozetta szimmetriacsoportja egyenestükrözésekből áll, a motívumé egy egyenestükrözést tartalmaz

41. ábra A rozetta szimmetriacsoportja n-edtendű forgatásokat és erre merőleges síkra való tükrözést tartalmaz, a motívumé C1 – többszörös hurkolással

70


1. A burokási tervek kialakításánál a kövezések és diszkrét transzformációcsoportok geometriai apparátusa nagy haszonnal felhasználható.

2. Igazoltuk, hogy az un. Róna burkoló kővel csak egyféle kövezési séma valósítható meg; több másik esetre magyarázó ábrával tértünk ki.

3. Bemutattuk, hogy fonott minták vizsgálatára és jellemzésére, a lehetséges esetek teljes klasszifikálására a két színnel színezett diszkrét transzformációcsoportok a legalkalmasabbak.

4. Több építészeti ornamentika jellemzésére sikerrel alkalmaztuk a fenti módszert, ezzel hozzájárulva az ornamentika irodalmának geometrizáló formatani irányzatához.

5. A dolgozatban először került publikálásra az a tétel, mely szerint a kétoldalú rozettaminták henomerikus osztályainak 5 végtelen családja alkotható meg egyetlen összeragasztott szalaggal. Minden ilyen végtelen család egy paraméteres. Négy a fenti ötből többszörösen áthurkoló módon is megalkotható. Az eseteket ábrákkal is illusztráltam.

71

Egy nem-Euklideszi világról

Értekezésem utolsó részében (Bölcskei, Szilágyi, 2006) és (Bölcskei, Szilágyi, 2007) nyomán azon matematikai kutatásainkról adok röviden számot, melyek a leginkább formálisak, a legkomplexebb apparátust mozgatják meg és a hétköznapi szemlélettől a leginkább távol állnak. Be kívánom mutatni, hogy még ezek a nehezen emészthető formulák is tartalmaznak olyan geometriai tartalmat, mely akár az építészetben is megtermékenyítő hatású lehet.

Amint ez a (Klein, 2014) publikációból részletesen kiderül, a modern kozmológia tér-idő felfogásának gyökerei messzire nyúlnak vissza a filozófiai megismerésben és Einstein valamint Minkowski tér-idejének és a négydimenziós tér koncepciójának modern építészeti hatásai is vannak. A Minkowski által javasolt értelmezés szerint minden jelenség négy koordinátával van jellemezve, melyekből három annak térbeli pozícióját írja le, egy pedig a hozzá kapcsolódó időt. Ez az un. eseménytér tehát jellegénél fogva négy-dimenziós lesz. Az építészeti megfelelés és felhasználás már nagyon korán megjelent az Adolf Loos által javasolt Raumplan ideájában. Az alapkoncepció szerint az építészet feladata elsősorban a tér alakítása (és csak mellékes a hozzá tartozó terv, az egyes építészeti jellegzetességek megvalósításának mikéntje). A tér nála nem űr és üresség, hanem kézzelfogható és funkcionális, a benne zajló események hatására nyeri el formáját. A különböző méretűre tervezett helyiségek áttekintése csak a bennük való mozgás által vált lehetségessé, ami szintén a tér és idő (mozgás) egymástól való el nem különíthetőségét fogalmazta meg az építészet nyelvén. Fontos megemlíteni S. Gidion: Space, Time, Architecture c. könyvét, melyben olyan gondolatokat fogalmaz meg, mely jelen értekezés több része szempontjából is érdekesek. Elveti a perspektíva hagyományos, reneszánsz formáját – ez a törekvés a korábbi fejezet továbbgondolt görbült perspektíváinak, mint újszerű megközelítésnek ad létjogosultságot; ugyanakkor azt is kifejti, hogy a tér lényege nem az optikai végtelenségében van, hanem abban, hogy megismeréséhez mozogni kell benne, tehát aláhúzza a modern négy-dimenziós fizikai megközelítés fontosságát. Az építészeti tér fogalmától és gazdag irodalmától most elszakadunk és jobbára a matematikai megközelítést követjük.

A matematika topológiának nevezett területe foglalkozik többek között azzal a problémával is, hogy az általunk tapasztalt tér hogyan lehet beágyazva a négy-dimenziós térben. Mint ahogyan két, elképzelt két-dimenzióban élő lény is világaikat sok szempontból azonosnak ítélné, ha valóságosan egyikük gömbön, másikuk tóruszon élne, nekünk, mint három-dimenziós lényeknek is több lehetőségünk van. A Világegyetem lehetséges alakjait háromdimenziós sokaságoknak nevezzük, mely a kétdimenziós sokaságoknak, vagyis a felületeknek az általánosításai. Mint ahogyan a két-dimenziós felületek is alapvetően három-dimenzióban láthatók könnyen, ugyanígy a három-dimenziós sokaságok a négy-dimenziós térbe vannak beágyazva. Ha megköveteljük, hogy a sokaság homogén legyen, azaz lokálisan minden pont környezetében hasonlóan viselkedjen (két dimenzióban például egy végtelen kúp csúcsa körül más környezetet és geometriát tapasztalunk, mint a palást más pontjában), akkor a zárt háromsokaságok típusai nyolcra redukálódnak, s ezek a következők: a szokásos euklideszi geometria (E3), az elliptikus geometria (S3), a hiperbolikus geometria (H3), az N� × R, a E� × R szorzatgeometriák, a Nil-nek nevezett („csavart euklideszi”) geometria, az SL2R „csavart hiperbolikus” geometria és a dolgozatban vizsgált SOL (vagy solv, vagy SOL3) geometria. Ez utóbbinak az adja a pikantériát, hogy a többivel ellentétben sokáig nem létezett hozzá szemléltetés vagy könnyen érthető modell. Az elmúlt évtizedek egyik legnagyobb

72

visszhangot kiváltott matematikai eredménye, mely Grigorij Perelman nevéhez fűződik, éppen annak bizonyítása volt, hogy minden elképzelhető sokaság oly módon vágható szét, hogy a fenti nyolc geometria valamelyike legyen rajta érvényes. (A sajtóvisszhangot csak növelte, hogy a Perelman több, számára megítélt matematikai díjat visszautasított a velük járó nagyon komoly pénzdíjakkal együtt.) A geometria egyik centrális problémájáról van szó, így érthető, hogy ezen terület rendkívül intenzíven kutatott mind külföldön, mind Magyarországon. Szilágyi Brigittával közösen célul tűztük ki a SOL geometria jobb megértését és lehetőség szerinti szemléltetését. Ehhez az alapot Molnár Emil volt doktori témavezetőm (Molnár, 1997) publikációja nyújtotta, mely a fenti nyolc geometriának projektív modellt szolgáltatott.

Először röviden felidézzük a projektív interpretációt. Tekintsünk egy polaritást (szimmetrikus

lineáris leképezést), →

4

*:V V4, =:*uu a u és az általa indukált skalárszorzást

Rvuuvvu ∈== ,:** . V4 jelöli a projektív pontok négy-dimenziós vektorait, melyek irányokat

jelentenek, míg V4 ennek duálisát. Alkalmas koordinátarendszer (bázispár) választása mellett minden polaritás diagonális mátrix formát ölt, ahol a diagonális elemek 0, 1 vagy -1 lehetnek. Ez az úgynevezett skalárszorzat-szignatúra a SOL esetében �0 − + +�, mely tehát az {f i}, { f j} bázispárra

vonatkozik, ahol f i f j= jiδ (az un. Kronecker szimbólum), ha 4,...,1, =ji . A polaritást az alábbi

egyenletek adják meg: =0*f 0, =1

*f f2, =2*f f1, =3

*f f3.

Tekintsük most a kollineációknak egy olyan csoportját, mely a megadott polaritást fixen hagyja:

( ) ( )

−−−

−

−

1000

000

000

1

: 32103210

z

z

zz

e

e

zyexe

ffffffff aα

és a fenti mátrix inverze, azaz

−

1000

000

000

1

z

z

e

e

zyx

hat a pontokon. A teljes egybevágóságcsoportot

megkapjuk, ha még a következő két generátort is tekintjük:

−

3

2

1

0

3

2

1

0

1000

0100

0010

0001

f

f

f

f

f

f

f

f

a és

−

3

2

1

0

3

2

1

0

1000

0010

0100

0001

f

f

f

f

f

f

f

f

a . A modell Minkowski síkok z tengely menti fibrumaiból áll. A z

tengely szerepe kitüntetett, a SOL geometria nem izotróp.

73

A (Bölcskei, Szilágyi, 2007) publikációban a SOL tér görbéit vizsgáltuk. Egy görbe minden pontjában lokális koordinátarendszer értelmezhető, mely a deriválással és skaláris szorzással származtatható érintő, normális és binormális egységvektorból áll, melyekre teljesülnek az un. Frenet-Serret formulák:

)()()(

)()()()()(

)()()(

sss

sssss

sss

nb

btn

nt

ττκ

κ

−=′+−=′

=′

A formulákban s az ívhosszparamétert jelenti, míg κ a görbület és τ a torzió értékei. A számítás

menetét mellőzve közöljük az ( ))(),(),(,1)( tztytxt =r görbe görbületére kapott elegáns formulát

(ívhossz paraméterezés mellett):

)(),()(),(

)(),()(),()(),()(

ssss

sssssss

rrrr

rrrrnt

′′′′′′′′′′′′

=′=κ .

A torzió értékére hasonló elegáns formula adódott:

)(),()(),()(),(

)(),()(),()(),(

)(),()(),()(),(

)(),()(),(

)(),()(),()(

ssssss

ssssss

ssssss

ssss

sssss

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrr

rrrr

′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′

⋅′′′′′′′′′′′′

⋅Θ=τ ,

ahol Θ a

)()()(

)()()(

)()()(

tztytx

tztytx

tztytx

&&&&&&&&&

&&&&&&

&&&

determináns előjelét jelenti.

A homogén geometriákban az egyenesek szerepét az úgynevezett geodetikus vonalak veszik át, ezek azok a görbék, amelyek két pontot a lehető legrövidebb úton kötnek össze. A továbbiakban ennek egyenletét keressük.

A SOL geometria metrikája a ( )

= −

100

00

002

2

z

z

ij e

e

g tenzorral adott. A geodetikus meghatározása

egy jól ismert számolással történik: a tenzorból kiszámítható Christoffel szimbólumok felhasználásával differenciálegyenletek adódnak, s ezek rendszerét kell megoldani.

Jelen esetben keressük az ( ) ( ) ( )( )tztytx ,, görbét, azaz a

( ) ( ) 0

02

02

2222 =+−

=−=+

− yexez

zyy

zxx

zz&&&&

&&&&

&&&&

differenciálegyenlet-rendszer megoldását.

74

Tételezzük fel, hogy

0)0(

0)0(

0)0(

===

z

y

x

és

wz

vy

ux

===

)0(

)0(

)0(

&

&

&

teljesülnek, tehát az origóban kezdődő és (u,v,w)

(egység)vektor irányában induló geodetikus vonal koordináta függvényeit keressük. Amint azt (Bölcskei, Szilágyi, 2007)-ben kimutatjuk, öt eset lehetséges az u, v és w paraméterek függvényében. Az eseteket és a hozzájuk tartozó megoldásokat (koordinátafüggvényeket) illetve a görbület és torzió megfelelő formuláit az alábbi táblázatban foglaljuk össze, mely a hosszadalmas és komplikált számolásokat nem tartalmazza.

` ≠ 0, b ≠ 0, 0 < |d| < 1 ( )

∫−=

tz deutx

0

2)( σσ

( )∫=t

z devty0

2)( σσ

és a _�e�függvény a

zz eveu

dzdt22221 −−± −

= differenciál-

egyenlet explicit alakban meg nem kapható megoldása.

( ) ( ) ( )( )22222 4110 vuww −+−=κ

( )( )( )( )( )( )2222222

2222

222

2423

41

116)0(

vuvuvu

vuw

wvu

++−−+

⋅−+

⋅−⋅⊗=τ

ahol ⊗ jelöli az alábbi algebrai mennyiség előjelét:

)42

442(424444

222222

wvvuu

wvuvuwuv

+−+++++−−

` ≠ 0, b ≠ 0,d = 0 %�e� = `e, .�e� = be, d = 0 0)()( ≡= tt τκ ` ≠ 0, b = 0, 0 < |d| < 1 %�e� = ` sinh�e�cosh�e� + d ∙ sinh�e� .�e� = 0 _�e� = &'�cosh�e� + d∙ sinh�e�� ( ) 22 11)0( ww −+=κ

0)( ≡tτ

` = 0, b ≠ 0, 0 < |d| < 1 %�e� = 0

.�e� = b sinh�e�cosh�e� − d ∙ sinh�e� _�e� = −&'�cosh�e� − d∙ sinh�e�� ( ) 22 11)0( ww −+=κ

0)( ≡tτ

` = 0, b = 0, |d| = 1 %�e� = 0, .�e� = 0,d = ±e 0)()( ≡= tt τκ 13. táblázat A SOL geodetikusainak lehetséges egyenletei

Amint az jól látszik, két esetben egyenes lesz a megoldás, két, speciális esetben hasonló megoldások várhatók, melyek síkgörbéket eredményeznek, míg a legáltalánosabb esetben a differenciálegyenlet csak numerikus (közelítő) megoldásokkal kecsegtet.

Az eddig elmondottakból a projektív modell alapján jobban megismertük a SOL geometria görbéit és azok közül is leginkább a geodetikus vonalakat. Hogy mindezeket a görbéket hogyan kell elképzelni, illetve az egyik legegyszerűbb és legfontosabb felületet, a gömböt hogyan lehet vizualizálni – nos, ezekre a kérdésekre kerestük a választ a (Bölcskei, Szilágyi, 2006) publikációban. (Megjegyezzük, hogy az újságok eltérő lektorálási ideje miatt jelent meg korábban ez az előbbivel szorosan összefüggő cikk.)

Először is megmutatjuk egy általános geodetikus görbe (paraméterei: u=0,9, v=0,25) alakját! A

SOL térben a fent elmondottak szerint az ( ) ( )wuvwvu −↔ ,,,, szimmetria teljesül, így a bemutatott

75

görbéből ezzel az egybevágósággal újabb is készíthető. A SOL tér további furcsasága, hogy a képletekben szereplő exponenciális tényező hosszabb paraméter tartományokon jobban érvényesül, így a görbék alakja kicsiben és nagyban egymástól eltér. A hosszabb paramétertartomány képeiben a rövidebbek mindig felismerhetők.

Lássunk először egy rövid (e ∈ �0; 0,1�� görbe általános vetületét, majd rendre az x, y és végül z koordinátatengely felöli nézetét. A tengelyeken a skálázás nem egyforma, amit jelöltünk is. A görbe minden ábrán pirossal van rajzolva.

42. ábra Kicsi geodetikus nézetei

A hosszú geodetikus( e ∈ �0; 2�� ettől lényegesen eltér:

76

43. ábra Nagy geodetikus nézetei

Az ábrázolt görbéket a differenciálegyenlet numerikus megoldásaként kaptuk. Ha most nagy mennyiségű (példánkban mintegy 1500) ilyen geodetikus vonalat tekintünk és végpontjaikat ábrázoljuk, akkor szemléletes képet kaphatunk a SOL-beli origo középpontú geodetikus gömbök alakjáról. A geodetikus gömb tehát nyilván nem fejezhető ki explicit alakban, csak közelítéssel, ugyanakkor arra azért lehetőség van, az u, v és w paraméterek segítségével hogy rajta a szokásos szélességi és hosszúsági köröket ábrázoljuk. (Fontos megjegyezni, hogy az általunk használt kifejezésnek nincsen közvetlen köze az építész körökben ismert, Buckminster Fuller után „geodesic dome”-nak ill. „geodesic sphere”-nek nevezett konstrukciókhoz.)

Az alábbiakban három különböző méretű geodetikus gömböt mutatunk be, melyek jól demonstrálják a tér fokozatos torzulását és szemléletessé teszik magát a teret is. A vetületek sorrendje: általános, majd sorban x, y és végül z tengely irányú.

77

44. ábra r=0,1 sugarú geodetikus gömb

45. ábra r=1 sugarú geodetikus gömb

78

46. ábra r=2 sugarú geodetikus gömb

Különösebb indoklás nélkül közöljük továbbá az ún. transzlációs gömbnek nevezett, zárt alakban is megadható felület általános nézetből készített képét. A példaként bemutatott három gömb sugara fokozatosan növekedik.

47. ábra Három transzlációs gömb, melyek sugarai sorban r=0,1; r=1; r=2

A gömbök nem pusztán az egyik legegyszerűbben értelmezhető felülettípust jelentik életünkben: tökéletességük, szimmetriájuk az építészetben is inspiráló. Érdekes megfigyelnünk, hogy ez a tökéletes forma miként viselkedik egy szokatlan (de értelmezhető és létező) absztrakt térben. A fenti és a hozzájuk hasonló geometriai kutatások minden bizonnyal előbb-utóbb felkeltik az érdekes formák iránt vonzódó laikusok és szakemberek érdeklődését is.

79


1. A SOL geometria egyike a nyolc homogén Thurston-geometriának. Interpretációja Molnár Emil munkássága nyomán vált lehetővé a projektív térben. A fejezetben ennek felhasználásával közöljük azt a differenciálgeometriai apparátussal igazolható eredményt, hogy miként számítható tetszőleges görbe görbülete és torziója.

2. A SOL geometriában meghatározásra kerültek az origón áthaladó, adott érintőjű geodetikus vonalak egyenletei és a hozzájuk tartozó görbület és torzió mennyiségek.

3. Illusztrációképpen bemutattuk a SOL általános geodetikus görbéinek numerikus közelítéseit, továbbá a szélességi és hosszúsági köreivel szemléltetett un. geodetikus gömböt. A sugár növelésével a geodetikus gömbök alakja fokozatosan torzul, akárcsak a transzlációs gömböké.

Hivatkozások

(Bölcskei, Kállay-Gál, Kovács, Sörös, 2012) Bölcskei, A. – Kállay-Gál, SZ. – Kovács, A. Zs. – Sörös, Cs.: Development of Spatial Abilities of Architect and Civil Engineer Students in the Light of the Mental Cutting Test, Journal for Geometry and Graphics, Volume 16 (2012), No 1, 97–109.

(Bölcskei, Kovács, 2012) Bölcskei, A. – Kovács, A. Zs.: Az Ybl Miklós Kar építész hallgatóinak térszemlélet mérése MCT segítségével Debreceni Műszaki Közlemények 2012:(2), 35-44.

(MCT, 1939) CEEB Special Aptitude Test in Spatial Relations, Developed by the College Entrance Examination Board, USA 1939.

(Suzuki, Wakita, Nagano, 1990) Suzuki K., Wakita S., Nagano S.: Improvement of Spatial Ability through Descriptive Geometry Education [Japanese]. J. Graphic Science of Japan 49, March, 21,28 (1990).

(Tsutsumi, 2004) Tsutsumi, E., A Mental Cutting Test using drawings of intersections, Journal for Geometry and Graphics, 8 (2004), 117-126.

(Séra, Kárpáti, Gulyás, 2002) Séra, L., Kárpáti, A., Gulyás, J., A térszemlélet, Comenius, Pécs, 2002

(McGee, 1979) McGee, M.G., Human Spatial Abilities: Psychometric studies and environmental,genetic, hormonal and neurological influences, Psychological Bulletin, 86 (1979), 899–918.

(Tsutsumi, Shiina, Suzaki, Yamanouchi, Takaaki, Suzuki 1999) Tsutsumi, E., Shiina, K., Suzaki, A., Yamanouchi, K., Takaaki, S., Suzuki, K., A Mental Cutting Test on female students using a stereographic system. Journal for Geometry and Graphics, 3 (1999), 111-119.

(Tsutsumi, Schröcker, Stachel, Weiss, 2005) Tsutsumi, E., Schröcker, H.-P., Stachel, H., Weiss, G., Evaluation of Students’Spatial Abilities in Austria and Germany. Journal for Geometry and Graphics, 9/1 (2005), 107–117.

(Bölcskei, Kovács, Kusar, 2013) Bölcskei, A., Kovács, A. Zs., Kušar, D.: New Ideas in Scoring the Mental Rotation Test, Ybl Journal of Built Environment Volume 1 Issue 1, (2013), 59-69.

(Vandenberg, Kuse, 1978) Vandenberg, S. G., Kuse, A. R.: Mental Rotations, a group test of three dimensional spatial visualization, Perceptual and Motor Skills, 47, 599–604. (1978).

(Kusar, 2010) Kušar, D., Oscillating conceptions of space of architecture students (in Slovene). AR, Arhitektura raziskave, Architecture Research 1, (2010), 46-51.

(Kusar, 2004) Kušar, D., Spatial ability of students from the Faculty of architecture in Ljubljana (in Slovene). AR, Arhitektura raziskave, Architecture Research 1, (2004), 66-69.

(epab) http://www.epab.bme.hu/oktatas/2011-2012-1/a-AbrGeo1/felmero_2011_eredmenyek.pdf

(Bölcskei, Szoboszlai, 2012) Bölcskei, A. – Szoboszlai M.: A középiskolai geometria oktatásról a mérnök képzés és tehetséggondozás szemüvegén keresztül, A matematika tanítása, 2012/2, 36-38.

(Bölcskei 2014) Bölcskei, A.: Beyond the cone of vision - Nonlinear projections and reflections. Int. Sci. Conf. moNGeometrija 2014, Proceedings Vol. 2, Ed.: Krasic, Sonja and Pejic, Petar, 20 - 22. 06. 2014, Vlasina, Serbia, pp. 77- 86, ISBN 978-86-88601-14-6

(Slahova, 2003) Šlahova A., Problems in the Perception of Linear Perspective, in Generative Art International Conference Proceedings, http://www.generativeart.com/on/cic/papersGA2003/b02.htm, 2003.

(Panofsky 1927) Panofsky, E.: A perspektíva mint „szimbolikus forma” in A jelentés a vizuális művészetekben Tanulmányok ELTE BTK Művészettörténeti Intézet Budapest, 2011

(Termes 2008) Termes D., Painting the Total Picture, In Bridges 2008 Proceedings, pp. 363-368., 2008

(Urbin, Szilágyi, 2015) Urbin Á., Szilágyi B.: Perspective with Six Vanishing Points - an Alternative Method, PERIODICA POLYTECHNICA-CIVIL ENGINEERING 59:(4) pp. 591-601. (2015)

(Bölcskei 2006) Bölcskei, A.: Térburkolatok és geometria, Tudományos Közlemények Szent István Egyetem Ybl Miklós Műszaki Főiskolai Kar, III/1 (2006), 113-121.

(Grünbaum, Shepard 1987) Grünbaum, B. - Shepard, G.C. : Tilings and Patterns, W.H.Freeman, 1987

(Bölcskei 2010) Bölcskei, A.: Woven ornaments and color groups, Studies of the University of Žilina, Mathematical Series, Vol. 24 (2010), 9-14.

(Rosenthal, Schreiber 2004) Rosenthal, P. – Schreiber P.: Woven strip ornaments, Journal for Geometry and Graphics 8, (2004), 91-96.

(Subnikov 1962) Šubnikov A.V.: Black-white groups of infinite ribbons, Kristallografija 7, (1962), 186-191.

(Cromwell, 2008) Cromwell, P.R.: The henomeric types of 2-sided patterns in the plane, Geom. Dedicata 137, (2008), 63-84.

(Bölcskei, Szilágyi, 2006) Bölcskei, A., Szilágyi B.: Visualization of curves and spheres in Sol geometry, KoG, Scientific and Professional Information Journal of the Croatian Society for Constructive Geometry and Computer Graphic, 10 (2006), 27-32.

(Bölcskei, Szilágyi, 2007) Bölcskei, A., Szilágyi B.: Frenet formulas and Geodesics in Sol geometry, Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), Volume 48 (2007), No.2, 411–421.

(Klein, 2014) Klein, R.: Some cosmological roots of modern architecture, Ybl Journal of Built Environment, Volume 2 Issue 1, (2014), 5-17.

(Molnár, 1997) Molnár, E.: The projective interpretation of the eight 3-dimensional homogeneous geometries, Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), Volume 38 (1997), 261-288.

a térábrázolás néhány módszertani, matematikai és ...4 számítógépes tervezési feladatok...

Documents