John D. Barrow

A vgtelen knyve

AKKORD KIAD

Az eredeti m cme:John D. BarrowThe Book of InfinityJonathan Cape, London, 2005

Fordtotta: Erdes Zsuzsanna

Lektor: Pataki Jnos

Copyright John D. Barrow, 2005Hungarian translation Erdes Zsuzsa, 2008Hungarian edition Akkord Kiad, 2008

Minden jog fenntartva. A knyv brmely rszletecsak a kiad elzetes engedlyvel hasznlhat fel.

ISBN 978 963 252 019 3ISSN 1586-8419

Kiadja az Akkord Kiad Kft.Felels kiad: Fldes TamsFelels szerkeszt: Vrlaki TiborSzerkesztette: Olh JuditBortterv: Kllai Nagy KrisztinaTrdels, tipogrfia: Simon Attila

Kszlt a Borsodi Nyomda Kft.-benFelels vezet: Ducsai Gyrgy

Luca Ronconinakkorltlan fantzijrt

Sok angol r knytelen a camdenbeli botrnyokrl1 rni,mert a nagy tmk mshol vannak.

Damon Galgut1

1 Utals B. E. Ellis: Rules of Attraction (A vonzs szablyai; Eurpa Knyvkiad, 2002. Ford.: M. Nagy Mikls) cm knyvre. (A szerk.)

Tartalom

Elsz 8

1. Sok hh mindenrtA vgtelen els megkzeltse 12A vgtelen utnzatai 14Znn paradoxonjai 28

2. A vgtelen, a taln s valban, a ltszlag s tnylegesenSttsg dlben 31Egy tisztn arisztotelszi kapcsolat 34A vgtelensg s az Isten 37Egy csipetnyi Kant 44

3. dvzljk a Hotel Vgtelenben!Szllodk 46lmnyek a Hotel Vgtelenben 48A Hotel Vgtelen knyvelse 53

4. A vgtelen nem egy nagy szmFogalomzavar 55Albert von Sachsen paradoxona 55Galilei paradoxona 58Kadmosz s Harmonia 64Termintor 0, 1/2 s 1 66Megszmllhat vgtelenek 69Megszmllhatatlan vgtelenek 70Az gig r torony 73

5. Georg Cantor rltsgeCantor s fia 77Kronecker krnikja 78Cantor, Isten s vgtelen vonz szenthromsg 84Minden rossz, ha rossz a vge 87

6. A vgtelen hrom arcaHrmas cscs 89Kezdjk a fizikval 90Meztelen vgtelenek 99A nagy kksg 103Vgtelensg htramenetben 106

7. Vgtelen-e a Vilgegyetem?Minden, ami ltez 107A kozmolgia illegalitsba vonul 112Grblt vilgegyetemek 118A topolgia problematikja 123Az egysgessg problematikja 127A gyorsuls problematikja 132Hol is vagyunk? 134A ragyogs 135

8. Az rk visszatrsEgy vilgegyetem, ahol semmi nem eredeti 140A nagy menekls 143Az idbeli vltozat egyszer mr megtrtnt 145A vgtelen trtnet 148A vgtelen etikja 151

9. Vg nlkli vilgokMsfajta trtnelmek 157Nem e vilgbl 162Felfvds mindentt 170Tudatos beavatkozsok stt zsaruk 175Szimullt vilgegyetemek 179Akkor teht hogyan ljnk? 183

10. Vgtelen gpekSzuperfeladatok 186Megdrzsljk Thomson lmpjt 189Egy kis Norse-kd 193A vgjtkproblma 195A relativits s a csodlatos zsugorod ember 197Idzts krdse 200Newtoni szuperfeladatok 201Relativisztikus szuperfeladatok 204srobbansok s nagy sszeomlsok 208

11. rkk lniA gyermekkor vge 213Az rkkvalsg szociolgija 215Mi a gond a vgtelen jvvel? 218A furcsa, az ismers s az elfelejtett 220Vrfertz idutazs 223A nagymama-paradoxon 225Konzisztens trtnelmek 226Turistk a jvbl 227A pnzvilg idutazi: vgtelen pnznyer gpek 229Mirt nem vltoztathatjuk meg a mltat 231Vgtelen hol r vget? 233

Jegyzetek 236

Nv- s trgymutat 265

ElszA vgtelent festem

Vincent van Gogh2

E knyv tmja a lehet legnagyobb dolog. A kedves Olvas a lehet legbvebb tiknyvet tartja a kezben, amelynek segtsgvel eljuthat brhov, induljon akr autsztrdn, vagy ejtsen tba minden kis falut.

A vgtelen fogalma az embert mr tbb ezer ve foglalkoztatja. A teolgusok s a tudsok is meg akartk rteni, mretre akartk szabni, ki akartk derteni, alakja s mrete mindig egyfle-e, s el akartk dnteni, ki kell-e tasztanunk, vagy belefr-e a Vilgegyetemrl alkotott emberi lersokba. Vajon a problma egyik rsze vagy a megolds?

A krds ma nagyon is l. A fizikusok azrt keresnek egyre intenzvebben egy mindenelmletet, mert megvltozott a vgtelenhez val viszonyuk. Lehet, hogy a vgtelen eltrbe kerlst figyelmeztetsknt kell rtelmeznnk: az igazsg keressnek tja zskutcba torkollott. A szuperhrelmleteket taln ppen azrt fogadtk olyan lelkesen, mert segtsgkkel gyesen el lehetett kerlni a korbbi elmletekben felmerl vgtelensgproblmkat.

Az izgalmas j elmletek alapjn nem dnthet el, hogy az anyag a vgtelensgig oszthat-e. Lehet, hogy a meglv rszecskkben mindig jabb, kisebb, mg elemibb egysgeket tallunk majd, mint egy vgtelen Matrjoska-baba kszletben? Vagy van egy hatr, egy legkisebb trgy, egy legkisebb mret vagy egy legrvidebb idtartam, ami tovbb mr nem oszthat? Vagy esetleg a vilgot alkot alapvet entitsok nem is kis rszecskk?

A kozmolgusoknak is meggylik a baja a vgtelennel. vtizedeken keresztl megelgedtek azzal az elkpzelssel, hogy a trid Vilgegyetem egy szingularitssal kezddtt, ahol a hmrsklet, a srsg s szinte minden ms vgtelen volt. De ha figyelembe vesszk, amit a gravitcirl s a kvantumelmletrl tudunk, vajon tnyleg lehetsgesek valdi vgtelenek? Ha megjelennek, az siker vagy kudarc? A vgtelenek meglte csak azt jelenti, hogy a kiraks jtknak

mg nem talltuk meg elg darabjt, vagy esetleg elengedhetetlen a vgs problmk megoldshoz, pldul a Vilgegyetem kezdete s vge, vagyis az srobbans (Big Bang) s a vgs sszeomls (Nagy Reccs) idpontjnak meghatrozshoz?

A kozmolgusok ms, klns vgtelensgen is tprengenek: lehet, hogy a jv vgtelen? Lehet, hogy a Vilgegyetem rkk fennmarad? Egyltaln: mit jelent, hogy rkk? Elkpzelhet egy rkk fennmarad letforma? Vagy, az ember fel kzeledve, mit jelentene trsadalmi, szemlyes, szellemi, jogi, anyagi vagy pszicholgiai szempontbl, ha rkk lnnk?

A matematikusoknak is szembeslnik kellett a vgtelensg lehetsgvel. Nehz krds ez, taln a legnehezebb, amivel matematikus tallkozhat. Hetven vvel ezeltt a matematikusok kztt szinte polgrhbor dlt a vgtelensgek jelentsge krl. Az eredmny sok sebeslt s sok kesersg volt. Volt, aki a vgtelent egyszeren szmzte volna a matematikbl, illetve a tudomny hatrait gy hzta volna meg, hogy a vgteleneket ne kelljen valban ltez dolgokknt kezelni. Matematikai szaklapok szntek meg s matematikusok kzsttettek ki, mert megprbltk a vgtelent kikszblni a matematikbl.

A zrzavart egyetlen ember okozta. A zsenilis Georg Cantor bebizonytotta, hogy Galilei hromszz ve felfedezett vgtelenparadoxonjai mgis rtelmezhetek. Milyen a vgtelen halmazok termszete? Hogyan lehetsges, hogy egyes elemeit eltvoltva belle tovbbra is vgtelenek maradnak? Az egyik vgtelen lehet nagyobb a msiknl? Elkpzelhet egy vgs, legnagyobb vgtelen, aminl nagyobb nem pthet fel, s nem kpzelhet el, vagy minden vgtelennl van mg vgtelen sok nagyobb? Cantor sajnos nem lte meg, hogy elmlete hatsra kialakult egy elismert matematikuscsoport. A vgtelen matematika befolysos ellenzi mellztk s szakmailag tnkretettk, ezrt nha hosszabb idkre fel is adta a matematika mvelst. Mskor, amikor egyes katolikus teolgusok lelkesen tmogattk elgondolsait, ismt munkba fogott. Kzben viszont hossz depresszis szakaszoktl s ms betegsgektl szenvedett. Vgl magnyosan halt meg egy szanatriumban. A matematika egy mellztt hse volt, tehetsges zene- s festmvszknt s lngelmeknt egyarnt. Az egyik fejezetben lertam meghat trtnett.

Mind a rgebbi, mind a mai teolgusok sokat kzdttek a hitkben s elmleteikben megbv vgtelenekkel. Isten vgtelen? Bizonyra

nagyobb, mint a kznsgesebb vgtelenek, amilyen pldul a pozitv szmok vgtelen listja. A klnfle vallsok hogyan kezelik a vgteleneket? Fenyegetsnek tartjk ket, vagy valami emberfeletti megnyilvnulsnak? Cantor erre teljesen meglep vlaszt adott.

Az kori gondolkodkat Znn ta foglalkoztattk a tbbfle terleten jelentkez vgtelenparadoxonok. Hogyan llnak ezzel a mai filozfusok? ket mifle problmk aggasztjk? A knyvben felsorolunk nhny ma vitatott krdst, amelyek a termszettudomnyok s a filozfia hatrterletein addnak azzal kapcsolatban, hogy vajon el lehet-e vgezni vgtelen szm feladatot vges id alatt. Ltezhet-e olyan szmtgp, ami effle szuperfeladatra kpes? Ha lenne ilyen, az milyen kvetkezmnyekkel jrna? A krds egyszeren hangzik, de a filozfusoknak mg a benne szerepl fogalmakat is tisztzniuk kell: pontosan mit rtnk a lehetsges, feladat, vgtelen, szm, vges s nem utolssorban az id fogalmn.

Ha tvolabbra tekintnk a modern tudomnyok terletn, furcsa problmkba tkznk a vgtelennel kapcsolatban: a Vilgegyetem vges vagy vgtelen? rkk fennmarad? A mlt vgtelen? Trtnhet-e vajon brmi egy vgtelen vilgegyetemben? Ltezik olyan feladat, amelyet egy szmtgp csak vgtelen id alatt oldana meg? Milyen lehet egy ilyen feladat?

A legtbben gy gondoljk, a vgtelensg s a hatrtalansg ugyanazt jelenti. Pedig nem. Vannak vges dolgok, amilyen pldul egy goly fellete, amelyek teljesen hatrtalanok. Egy lgy akrmeddig stlhatna rajta krbe anlkl, hogy brmifle korltba tkzne. A nem sk felletek ilyenek de mi trtnik, ha vgtelenl grblnek? Hiszen Einstein mr bebizonytotta, hogy az r grblt akkor milyen lehet a Vilgegyetem?

Meglep, de az id is tbbflekppen kpes arra, hogy egyszerre legyen vges s vg nlkli. Az idt ltalban gy kpzeljk el, mint egy elttnk ll egyenes utat. Az id igazn egyrtelmnek tnik. Minden egyes esemnyrl megllapthat, hogy egy msikhoz kpest a jvben vagy a mltban helyezkedik-e el. A Vilgegyetem azonban sajnos nem ilyen egyszer. Gondoljunk az egy sorban menetel katonkra: mindegyikk meg tudja mondani, hogy ki megy eltte, s ki utna. Ha viszont krben haladnak s az els utolri az utolst, mindenki egyszerre lesz mindenki eltt s mindenki utn! A sorrend megsznik. Ha az id ehhez hasonl mdon krbezrul, akkor lehetsges lesz az idutazs, s sokfle furcsa paradoxont agyalhatunk

ki. Pldul, az Olvas figyelmesen elolvassa ezt a knyvet, majd visszautazik az idben, s szrl szra elmondja nekem, hogy mit fogok benne megrni. Akkor vajon ki lenne a knyv szerzje? Az Olvas ltalam ismeri, n pedig ltala. A semmibl teremtdtt egy kicsit gy, mint maga a Vilgegyetem.

Knyvem elkszltnek klnfle szakaszaiban sok segtsget s hasznos tletet kaptam a kvetkezktl, akiknek most szeretnk ksznetet mondani: Luca Ronconi, Sergio Escobar, Pino Donghi, Bruna Tortorella, Serafino Amato, Guilio Giorello, Paul Davies, Michael Brooks, Jrg Hensgen, Will Sulkin, Gary Gibbons, Joseph Dauben, Janna Levin, Stephen Clark s Steven Brams. Luca Ronconinak ajnlottam klns hlval lelkes, tletes munkjrt, amelynek eredmnyekppen a Vgtelenek ilyen sikeres lehetett az olasz sznhzakban. Szeretnm megksznni Elizabeth vgtelen trelmt is, amelyet a munkm sorn mutatott, s a gyermekeinkt is, akik, br mr nem gyerekek, mg mindig ktelkednek abban, hogy tovbbi knyvek megrsra van szksg, s elre fltek tle, hogy ez a szoksosnl is hosszabbra sikeredik.

1. Sok hh mindenrtTiszta idben brmeddig elltni.

Alan Lerner1

A vgtelen els megkzeltseHa ltezik egyetemes s felsbbrend tudat, n annak egy gondolata vagyok. Amikor meghaltam, Isten tovbbra is emlkezik rm. Isten tudatban maradni, vagyis tudatom felsbbrend tudat ltali fenntartsa vajon mr nem maga a halhatatlansg?

Miguel de Unamuno2

A vgtelen s a knyvek bizonyos rtelemben sszetartoznak. Gondolok itt a vgtelen trtnetekre, az sszes lehetsges knyvet tartalmaz knyvtrakra, a valaha megtrtnt s soha meg nem trtnt esemnyeket maradktalanul ler knyvekre, az nmagukat r s az nmagukrl szl knyvekre, azokra a knyvekre, amelyekbl megtudhatjuk, hogy knyvek pedig nem lteznek, s azokra, amelyeknek vge lesz, mieltt elkezddnnek. Krem a kedves Olvast, ne csodlkozzk jobban azon, hogy knyvet olvas a vgtelenrl, mint amennyire n csodlkozom, hogy rok rla. A vgtelen, ahhoz kpest, hogy nem rendelhet interneten, meglepen jelen van mindentt. Elbukkan a szentbeszdekben, a legjobb egyetemek matematika eladsain, Az let, a vilgegyetem s minden ms tpus tudomnyos ismeretterjeszt mvekben, s a vilg sszes misztikus tanban, br a trtnszek figyelmeztetnek, hogy mr tbben leltk hallukat mglyn a fogalom puszta emltse miatt. Egyszerre kpezi a valsgrl szl misztikus elmlkedsek tengelyt (- Make me one with everything mondta a misztikus a hamburgerrusnak.1) s a tudomnyos-fantasztikus trtnetek ismers helysznt. Ezek mind sszekthetek lennnek? A vgtelen tnyleg ilyen nagy?

A vgtelen gondolata a nyugati vilgban vezredeken t a legnagyobb lzadsnak szmtott. Az, hogy a dolgok esetleg rkk folytatdnak, hogy nem szksgkppen van mindennek eleje vagy

1 Szjtk: egyik lehetsges fordtsa: tgy eggy a mindensggel, a msik: krek egyet mustrral s ketchuppal. (A ford.)

vge, kzppontja vagy hatra, ellentmondott a nyugati filozfinak. Fltek, hogy Isten elveszti kitntetett helyzett, amely szerint csak lenne vgtelen, a Fld is kikerlne a Vilgmindensg kzppontjbl, a teremts egyes mozzanatai pedig elvesztenk egyedi, klnleges jelentsgket. A valaha csak lehetsgknt felmerlt esemnyek elkerlhetetlenek lennnek.

A csbts, hogy ilyen elkpzelseket ddelgessenek, mgis ers s egyszer volt. Ha valaki valamit egyms utn tbbszr megismtel, nem tl nehz elkpzelni, milyen lenne, ha abba se hagyn. A vgtelen nem ms, mint az egymst kvet dolgok sorozata. Az egyszersg s okoskods ezen csbt keverke ma is velnk van. A vgtelen titokzatos gondolatt nehz pontosan megfogni, de knny az brndozs nagy kosarba dobni; az utca embere kevsb lepdik meg tle, s gyorsabban megrti, mint a tbbi elvont fogalmat. Bonyolult rszleteit nem fogjuk fel azonnal. A vallsi hagyomnyok klnskppen ismerss teszik szmunkra, de akr az is elg, ha este kinznk az ablakon a csillagos gboltra, vagy ha belegondolunk, hogy a szmlls mdszere gy van kitallva, hogy kizrja a legnagyobb szm ltezst. Aki nem hiszi, adjon hozz mg egyet. Ugye, hogy lehet?

A vgtelen mgiscsak lebilincsel tma. Ott talljuk mindenfle alapvet emberi krds gykernl. Lehetsges az rk let? A Vilgegyetem egyszer majd megsznik? Volt valaha kezdete? Van szle a Vilgegyetemnek vagy hatrtalan mret? Br knnyen el tudunk kpzelni vgtelen szmsorokat vagy szntelen raketyegst, vannak msfle, rdekesebb vgtelenek is. Milyen lehet a vgtelen hmrsklet vagy fnyessg az effle fizikai jelensgek is lehetnek vgtelenek? Vagy a vgtelen csak egy sz, amit a vges, de borzaszt nagy kifejezs helyett hasznlunk nha? Az ilyen vgtelenekkel kapcsolatban tbb gond merl fel, mint a legtbb hagyomnyos valls grte vgtelen jvvel. Az rklthez nem kell, hogy itt s most brmi vgtelen trtnjen. Csak annyit jelent, hogy valami mindig fog trtnni: mindig lesz ott s akkor.

Van egy msik, a vallshoz ktd vgtelensg, amely nagyjbl arra vonatkozik, hogy Isten hatalma s tudsa vgtelen ez tbb valls egyik kulcspontja. Ismt valami, aminek segtsgvel a legtbben knnyen meg tudjk ragadni a vgtelen fogalmt. Nem kell matematikusnak lenni ahhoz, hogy ismersnek rezzk az ilyen transzcendens vgtelensget, ugye?

Ahhoz mr inkbb, hogy megrtsnk egy msik vgtelenfogalmat. A szmokat a vgtelensgig sorolhatjuk. Ha innen kzeltjk meg a krdst, a vgtelen az, ahov eljutnnk, ha nem hagynnk abba a szmolst. Ide termszetesen soha nem rkeznk el; ebbl a szempontbl a matematikai vgtelen leginkbb egy soha be nem tartott grethez hasonlt. Egy aritmetikai Pn Pter, egy soha el nem rt cl, egy be nem teljesl lehetsg; az sszes szmnl nagyobb szm. Valban errl van sz?

Az Olvas taln mr kezdi rezni, hogy a vgtelen sokfle lehet, s lehet hinni az egyikben, s tagadni a msikat. A knyvben a klnfle vgteleneket tbb irnybl kzeltjk meg. Megvizsgljuk, hogyan trtnhetett, hogy az ember elszr elfogadta a vgtelen gondolatt, majd visszariadt ennek kvetkezmnyeitl. Ltni fogjuk a heves vitt arrl, hogy vajon ltezhetett-e valaha valdi, aktulis vgtelensg vges Vilgegyetemnkben, s hogy a vgtelen csak egy mestersges fogalom az esemnyek nem kielgt lersra, belthatatlan messzi idre kitolhat a jvbe, vagy nem is kpezheti a valsg rszt egy eddig mg fel nem fedezett alapigazsg miatt, amely azonban elengedhetetlen Vilgegyetemnk logikai konzisztencijhoz. Ltni fogjuk, hogy a matematikusok a vgteleneket vgl mr valdi ltezkknt kezeltk; sszeadsokat s kivonsokat vgeztek velk, lajstromba vettk ket, s amikor mretket is megprbltk meghatrozni, rjttek, hogy kzlk egyesek nagyobbak vgtelenl nagyobbak mint msok. Trtnetnkbe olyan mesket is szttnk, amelyek sokkal letszerbb teszik a vgtelen-paradoxonokat.

A vgtelen utnzataiGondolkodj globlisan, cselekedj helyben

Falragasz3

Tudjuk, hogy honnan szrmazik a vgtelen jele, a hres fekv nyolcas (). John Wallis oxfordi matematikus, akit elssorban az angol polgrhbor prtatlan krniksaknt ismernk, rta le elszr 1655-ben. Az ezret (teht nagy szmot) jelent rmai M helyett nha hasznlt | jelsorozatbl alaktotta ki a fenti jel eldjt. Ha valaki ezt gyorsan rta le, kialakult az azta is megmaradt alakzat. Az 1.1 brn lthat a jel nhny formja, illetve annak ms megjelensei.

1.1. bra Nhny plda a fekv nyolcas jelre. John Wallis a matematikai vgtelent fejezte ki vele 1655-ben. Jacob Bernoulli a lemniszktt4 1696-ban rajzolta. Szent Bonifc jellegzetes keresztje 700 krl jelent meg, mg az ouroborosz (az nmaga farkba harap kgy vagy srkny) els felfedezett si jele Kr. e. 1600-bl szrmazik.

Honnan ered a vgtelen fogalma? Vajon hordozott-e valamifle sajtos, a tllshez nlklzhetetlen rtket kitli szmra? Az evolucionista pszicholgusok bizonyra olyan gondolkodsi mintkat vagy magatartsformkat keresnnek, amelyek egymilli vvel ezeltt megknnytettk a tllst az afrikai szavannkon, s ezek mellktermknek tulajdontank a korltlan ltalnostsi kszsg kialakulst. De semmi nem ilyen egyrtelm. A primitv letformk lte rvid s egyszer. Reaglni kellett, mert a hosszas elmlkeds katasztroflis kvetkezmnyekkel jrt volna. Az ember hajlama a vgtelenrl val tprengsre sokkal ksbb alakult ki, a krlttnk lv Vilgegyetem megtapasztalsnak egyik kvetkezmnyeknt. Felmerlt a krds, vajon mifle utak vezetnek a vgtelenbe?

Van egy vilgos helyzet, amelyben az emberi elme szembekerl a vgtelennel. Tudatunk rvn kpesek vagyunk arra, hogy elre tekintsnk, s felismerjnk egyes trvnyszersgeket. Tapasztalatainkat szimblumokba s formulkba srthetjk, amelyek termszetesen tmrebbek, mint maguk a tapasztalt esemnyek. Kpesek vagyunk trtnetrsra. A vilg ilyen tmrthetsge s rendszerezhetsge teszi a matematikt olyan hasznoss: ki tudjuk vlasztani a nyilvnval ismtldseket, s le tudjuk rni azokat szm-

vagy jelsorozatok formjban. Az ilyen sorozatok nem kell, hogy egyszer csak vget rjenek. A lista folytathat. gy vlik hihetv, hogy az brzolt esemnyek is vg nlkl folytatdhatnak, mg ha erre nincsenek is kzvetlen bizonytkaink.

A vgtelen id gondolataAz rkkvalsg rmt gondolat. Elvgre is, mikor lesz vge?

Tom Stoppard5

Azt mondjk, a halhatatlansg az emberisg legbtrabb gesztusa az ismeretlen fel6 egyltaln nem magtl rtetd vlasz a htkznapok realitsra. Az ember, mint minden llny, haland. Csak a filozfusok tesznek klnbsget az id s az ember idrzkelse kztt. Azzal is tisztban vagyunk, hogy az id akkor is telik, ha valaki meghal. Az vszakok vltakoznak, de a nvekeds, pusztuls s jranvekeds ciklusa lland. A vilgnak erre az llapotra pszicholgiai szempontbl tbbflekppen reaglhatunk. Van, aki a halandsgot illzinak tekinti, egy hatrtalan, teljesebb ltezs elszobjnak. A felttelezett magasabb ltforma teljessgt ppen soha vget nem r termszete adja. Msok szerint az emberi letciklus nem klnbzik a tbbi llnytl, s velk egytt jjszletnk a folytonos vltozsok rszeknt. Mindkt gondolat a ltezs vgtelensgt gri. Egy megnyugtat, a megtapasztalt vilgunkhoz hasonlatos Vilgegyetem kpt vetti elre, amelyben megvan a vilgos helynk. Az ilyen gondolatokkal kapcsolatos nzetek csoportokba rendeztk a hasonl elveket vallkat, akik a mskppen gondolkodkkal szemben, akr letk rn is vdtk egymst.

Azt, hogy az id egyszer vget r, legalbb olyan nehz elkpzelni, mint tagadni. Mit is jelentene az id vge? Milyen lenne? Leginkbb valamifle hatalmas katasztrfaknt tudjuk elkpzelni, amelynek sorn minden elpusztulna, de mg azokban a mtoszokban is, ahol ilyen bekvetkezett, mindig trtnt valami ezutn is. Ha az idnek vge szakad, nem lesz, aki cselekedjen, nem lesznek a vilg sorst felgyel istenek. Klns, hogy a vilg keresztny rsze gy n fel, hogy termszetesnek tekinti a vilg kezdett s vgt, s nem aggasztjk azok a problmk, amelyeket egy kezdet s vg nlkli, llandan ltez vilg jelentene. Mgis egy vges vilg a klnsebb. Felttelez ugyanis egy kls hatst vagy szemlyt, ami vagy aki ltrehozza

rtelmt, okt adva. Mg vallsi hagyomnyainktl eltekintve is termszetesebb lett volna felttelezni, hogy a fldi dolgok soha nem rnek vget. Furcsa mdon keresztny hagyomny tpllja azt a kpet, hogy a dolgok rkkvalk, velnk vagy nlklnk

Mindrkkn rkk.men.

CiklusokMint a kr egy spirlisbanMint kerkben a kerkNincsen vge, se eleje,rkk forg kerkHa megltsz nha egy kpetMagt a krt ltod megElmd szlkerekben.

Alan Bergman s Michel Jean Legrand,Windmills of Your Mind7

Sok civilizci hisz a vltozsok krkrssgben. Nem is csoda. A mindennapi let szmos pldt mutat erre. A szlets, let s hall elvezet az jjszlets eszmjhez, az jszaka kveti a nappalt, ahogyan a nappal is kveti az jszakt, s az vszakok is megbzhat rendszeressggel ismtldnek. Alszunk s felbrednk; mindennapjainknak folyamatosan ismtld ciklusa van. Ilyen kicsiben is rzkelhet a Vilgegyetem nagy lktetse?

Egyes vallsok szerint a ciklikussg ennl tfogbban van jelen vilgunkban; a Fld minden llnye ms teremtmnyek alakjban tr vissza az letbe. Ms vallsok azt tantjk, hogy j testben s llekben szletnk jj. Ezek a feltmadsi s jjszletsi elkpzelsek alapjban vve azt sugalljk, hogy a jv vgtelen, de mindig vltozik. Olyan, mint a meglls nlkl pattog labda: nem lesz vge, s egy olyan mltban kezdte el mozgst, aminek nem volt kezdete. Az embernek minden elkpzels szerint szerepe van a ltezs vgtelen krforgsban. Egy idre megjelennk az let folyamatban, majd helynket ms llnyek veszik t. A kezdet vagy a vg szingularitsa megzavarn a ltezs termszetes rendjt. Folytonossgi hiny keletkezne, ami termszetellenes, s nem is magyarzhat, hacsak a

Vilgegyetem ms eri egy ltalunk ismeretlen szerepet nem jtszanak benne. A hv viszont megtallja helyt a dolgok vgtelen rendjben, megli, hogy neki meghatrozott szerepe van, s rkk megjul szemlyes plyja sorn kzssget tall a tbbi llnnyel.

A legfelsbb lnyIstent knnyebb elkpzelni, mint kifejezni, de sokkal inkbb ltezik, mint ahogyan elkpzeljk.

Szent goston8

A legtbb civilizci szerint a Vilgegyetemet egy felsbb lny irnytja. Mitolgik egy rszben ez a lny az els volt tbb trsa kztt, affle fisten. Ms elkpzelsek szerint ez az Isten tbb szempontbl is egyedlll, mindenhat s mindentud. Ha egy ilyen istensg irnyt mindent, idertve a teret s az idt is, akkor ezek t nem korltozhatjk, teht az id korltai fltt ll. me, mris eljutottunk a vgtelen eszmjhez. A vgtelen ennek az istensgnek szksgszer attribtuma.

A vgtelennek ez a megkzeltse az ember transzcendens irnti vgyhoz ktdik. A vgyhoz olyasmi utn, ami szemmel nem lthat, s kzvetlenl nem tapasztalhat. Van, aki szerint ennek egyszer oka az, hogy valami tnyleg tlmutat fizikai tapasztalsunkon. Ez a nagy vilgvallsok alapja. Msok szerint az emberi elme egy sajtos, az evolci sorn kialakult mdosulsa keresteti velnk a ltezn tlmutatt. Elmnk a fejlds egy pontjn kpess vlt az nmagrl val gondolkodsra, arra, hogy el tudjuk kpzelni, mi trtnne, ha ezt vagy azt tennnk. Ez klnleges adottsg. Ms llny ilyesmire nem kpes. Azok a kzvetlen tapasztalatbl tanulnak, nem az elkpzeltbl. Az emberi tudatnak sok velejrja van. Flelmek s lelki problmk jelennek meg, amelyektl egyszerbb elmk soha nem szenvednnek. Vajon azrt akarunk az ismert tnyek alapjn az ismeretlenekre s a megismerhetetlenekre kvetkeztetni, mert elmnk szntelenl rendezni prblja ismereteinket?

Vgtelen trA vgtelen terek rk csendje megrmt

Blaise Pascal, Gondolatok (Penses)

Az emberisg trtnelmnek legnagyobb kzs lmnye az jszakai gbolt ltvnya lehetett.9 A fnyes gitestekkel pttyztt stt g mr az els emberek felett is ott volt. Trtnetekbe foglaltk, s esetenknt imdatuk trgyv tettk, de a tjkozdsban is segtett. Az embernek szksge volt arra, hogy meghatrozza sajt szerny helyt a Vilgegyetemben. Jelentktelen pontok lehettnk az jszaka fnyei kztt. A sttsg vgelthatatlan; taln hatrtalan? Hogyan rhetne vget? Nehezebb elkpzelni a kozmosz hatrait, mint azt, hogy nincsenek. Mifle vilg lehetne egy ilyen hatron tl, s egyltaln hol rejtzhetne? Lehet, hogy az gbolt azrt stt jszaka, mert valamifle hatalmas stt hjba, mennyei barlangba vagyunk zrva, amelynek van mennyezeti vilgtsa. Aki szigeten vagy a szrazfld szln l, tapasztalja, ahogy a krnyezet drasztikusan, lesen megvltozik. Lehet, hogy az rnek is partja van, akr a tengernek? Ami ezen tl van, az nem szksgkppen a semmi, inkbb csak valami ms, ami mr nem az r.

A Teremts knyve lerja az egyik legnagyszerbb trtnetet: az emberek hsi erfesztst, hogy elrjk az eget, s hasonlv vljanak az istenekhez. A Teremts knyvben a bbeli torony10 trtnete a sokfle emberi nyelv eredetnek magyarzata. De az pti nem ezt akartk: gy terveztk, lpcss templomuk teteje az gig r.11 A Bbel kifejezst azta is a remnytelen kzdelem szinonimjaknt hasznljuk, a szlmalomharcokra, hiszen ez volt az kor Millenium Dome1-ja.

A vgtelen, csillagos g lmnye azrt felemel, mert az embert a sajt korltain tl valami magasabb rend fel vonzza. Ezek a kozmikus gondolatok ugyanakkor flelmet s tiszteletet is keltenek. A szakasz elejn Blaise Pascal XVII. szzadi termszettuds filozfus flelmt idztk, amelyet a minket krlvev r esetleges vgtelensge s az rk idhz kpest elrppen tiszavirg-letnk bresztett benne. Ugyanakkor Vaszilij Kandinszkij orosz fest a nagy csendrl beszl,

1 Az ezredfordul adta az alkalmat az angliai Grenwich-flszigeten felptett s 1999. dec. 31-n megnyitott Millenium Dome ltrehozsra. Jelenleg ez Fldnk leghatalmasabb plete. (A szerk.)

amely olyan, mint egy vgtelenbe vezet, hideg, elpusztthatatlan fal.12

Ma mr tbbet tudunk a tr kiterjedsrl, s arrl, hogy egyltaln milyen termszet az a bizonyos odakint. Az ismeretlen mg mindig vonz, de ma mr msrl is sz van. Mi vagyunk az els nemzedk, akik a Fldet az rbl szemllhettk.

Az rben lebeg Fld ltvnya fontos szerepet jtszott az 1960-as vek krnyezetvd mozgalmainak gyors npszersdsben. Nagyon is vgesek vagyunk itt a vgtelensgben; ez dbbentette r az embert, hogy t kellene gondolnia, hov vezetnek az j technolgik, s milyen veszlyt jelentenek a Fld lakhatsgra, arra a finom egyenslyra, amely fenntartja ezt a trkeny szpsget.

SzmllsEgy,Megrett a meggy

Npi mondka

Az si szmllsi s szmolsi rendszereket tanulmnyozva sokat megtudhatunk arrl, hogy mit szmlltak, s arrl is, hogy hogyan.13 A legegyszerbb rendszerekben volt egy-egy sz az 1 s 2 szmokra, amelyek egyszer sszekapcsolsval nagyobb mennyisgeket is ki lehetett fejezni. A kis szmokat jelent szavak tbbnyire azokhoz a trgyakhoz fzdtek, amelyek szmllsra hasznltk ket. Ms sz vonatkozott a kt kre, mint a kt kzre. Az angol nyelvben ennek fennmaradt nhny pr-t jelent pldja: brace (pl. fogszablyzra, nadrgtartra vagy kt, egy fajhoz tartoz madrra), duet (duett, du), pair (tbbnyire kt azonos vagy szimmetrikus dolog alkotta pr), double (ketts, ktszer), twosome (ktszemlyes krtya stb. jtk), couple (valamilyen szempontbl sszetartoz pr), doublet (valaminek a prja, ismtlds) s gy tovbb. Nem sok rgi civilizci foglalkozott a nagyobb szmokkal; a fejletlenebbek megelgedtek azzal, hogy brmire, ami egy kicsit tbb volt a szoksosnl, egy sok-at jelent szt vagy kpet hasznltak. Ilyen volt pldul a haj (amelybl sok van a fejnkn) vagy a tengerparti homok.

Ha valamit kvn, agyagtbln vagy papron szeretnnk sszeszmllni, jellsekre van szksg. A ma hasznlatos rendszer az

kori Indibl szrmazik s lenygzen egyszer. Segtsgvel brmely vges mennyisget kifejezhetnk kizrlag a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 s 9 jelek segtsgvel. A dolog azon mlik, hogy a jelek egymshoz kpest val elhelyezkedse rtelmezi a jelentsket. Egy rmai szzados az III jelsorban a 3-at ltta, mi pedig a 111-et (100 + 10 + 1).Az indiai tzes szmrendszerrel brmilyen hossz jelsorozat elllthat.

Szmokat azonban a felrsukra kidolgozott rendszer nlkl is hasznlhatunk. A legegyszerbb mvelet, ha egyet elvesznk vagy hozztesznk az adott mennyisghez. Ha pldul reggel, amikor a juhok a legelre rnek, a psztor egy-egy kvet tesz a fldre, majd napnyugtakor, amikor az llatok hazatrnek, egyenknt visszaveszi ket, akkor a nyj megszmllsa nlkl megllapthatja, hogy mind megvannak-e. Ha gy tartunk szmon valamilyen mennyisget, htkznapi tapasztalatt vlik, hogy jabb kavics hozzvtelnek nincs elvi akadlya. Persze, ha a szmllst vg nlkl szeretnnk folytatni, soha ki nem merl kszletre van szksgnk. Tulajdonkppen azt kell meggondolni, vajon folytathatjuk-e a szmllst vg nlkl? Ha ragaszkodunk a valsgos segdeszkzkhz, ezek elfogynak, hacsak a vilg, amelyben lnk, nem tartalmaz ilyeneket korltlan bsgben. Ez az utbbi gondolat mris elvezet a vgtelen fogalmhoz. Ha viszont nem tartjuk elengedhetetlennek, hogy a szmlleszkznk fizikailag is ltezzen, akkor semmi nem korltozza, hogy jra meg jra hozzadjunk mg egyet a mr meglv mennyisghez. Olyan ez, mint amikor a gyerekek abban versenyeznek, ki tud nagyobb szmot mondani. A jtk termszetesen brmeddig folytathat, hiszen csak eggyel kell nagyobbat mondani az elznl. Itt felvetdik kt gyakorlati problma: a nagyobb szmot ki kell tudni mondani, s biztosnak kell lenni abban, hogy ez valban nagyobb. Tzes szmrendszernkben brmikor elllthatunk egy adottnl tzszer nagyobb szmot, ha a szm jobb vgre egy nullt runk; gy lesz pldul a 34-bl 340.

A szmok vget nem r listja bizonytja, hogy milyen dnt szerepe van a mennyisgek kifejezsre kidolgozott jellseknek s jeleknek. Az ltalunk is hasznlt indiai-arab szmrendszer csodlatosan gazdasgos s kifejez. Brmekkora szm lerhat benne, ha elg nagy paprt tallunk hozz. Nincs hatr, amelyen tl a rendszer cserben hagyna bennnket. Nem ignyli j jel bevezetst. Ezek a tulajdonsgok ersen utalnak annak lehetsgre, hogy a szmok sora

a vgtelensgig folytathat. De, mint ltni fogjuk, ez mg nem maga a vgtelen.

Rszekre osztsSokig figyelte a lnyt, s a lny tudta, hogy figyeli, s tudta, hogy a lny tudja, hogy figyeli; olyan volt, mint amikor kt tkrt egymssal szemben helyeznk el, s a kpek egyre folytatdnak s folytatdnak; ez mr majdnem a vgtelensg.

Robert Pirsing, Lila14

Amikor a vgtelen szt halljuk, nkntelenl valami nagyot kpzelnk el: csillagokat, galaxisokat, a vgtelen r felfoghatatlan kiterjedst. Pedig mr a markunkban is ott a vgtelensg. Ha valamit folyamatosan feleznk, a kapott rszek egyre kisebbek lesznek. Meddig mehetnk el? rkk felezhetek, vagy van egy vgs, legkisebb rsz, egy oszthatatlan ptk a dolgok legmlyn? Az kori grgk sokkal szvesebben foglalkoztak a tr s az id vgtelen sok rszre osztsval, mint azzal, hogy megksreljk elkpezni a vgtelen nagysgot. Valban gy ltszik, hogy a vgtelen sok rszre oszts hozzfrhetbb s ismersebb, mint a hatrtalan vilgegyetem, vagy egyltaln, a tr gondolatnak elfogadsa. A dolgok felezsnek vannak gyakorlati nehzsgei egyre lesebb ksre vagy egyre rvidebb hullmhossz lzersugrra lenne szksg mgis knnyebb elkpzelni. Az is egyszeren lthat, hogy ismtelt felezssel soha nem jutunk el egy nullpont szingularitshoz. A vgtelen nagy vilgegyetem aktulisan vgtelen, a vgtelenl kicsit pedig mint potencilis vgkifejletet tudjuk elkpzelni felosztsok sorozataknt, amelynek soha nincs vge. William Blake-kel egytt remljk:

Egy porszem vilgot jelent,S egy szl vadvirg az eget,Fogd fl tenyeredben a vgtelentS egy percben lj vezredet.15

A rszekre oszts azrt klnleges, mert gyakorlati vonatkozsa is van. Nha hasznos kis trgyakat s vkony felleteket ltrehozni, pldul miniatrket s les pengket. Ennek sorn vratlanul hamar rjvnk, hogy a kicsinyts a gyakorlatban vg nlkl nem

folytathat. Vegynk pldul el egy A4-es paprlapot, s prbljuk meg htnl tbbszr flbehajtani. Nem fog sikerlni. A felezs gyors folyamat, s az sszehajtogatott paprlap hamarosan ugyanolyan vastag lesz, mint a kapott tglalap tlja. Prblkozzunk meg a hajtogats helyett a flbevgssal! Krlbell huszonkt vgs utn igencsak nehz dolgunk lesz. Itt a vgeszkz mrete korltozza a folyamatot. Hasonl a helyzet, amikor kvet vagy ft darabolnak. A rszekre oszts mindig gyakorlati akadlyokba tkzik, pedig nem nehz elkpzelnnk, hogy akr a vgtelensgig folytatdhatna.

1.2. bra Nhny kori iszlm trkitlts16

Ismtld mintkA hvott szm komplex. Krem, fordtsa el telefonjt kilencven fokkal, s prblkozzon jra.

Egy telefon-zenetrgztrl

Vges emberi vilgunkban a mvszet az, amely jra meg jra igyekszik megjelenteni a vgtelent. A kpzmvszet s a zene mindig is hozz tartozott az emberi civilizcihoz. Az res tr arra csbt, hogy mintkkal, dsztelemekkel tltsk be, gondolatokra ihlet, tanulsgos s a megvilgosods remnyt ad kpekkel. Egyes civilizcikban tilos az llnyek brzolsa, ami arra kszteti a mvszeket, hogy a vgtelent vges alakban prbljk megragadni

(1.2. bra). A leglenygzbb pldkat az iszlm mvszetben lthatjuk, ahol a sk s dombor felleteket bort mozaikokkal megvalstottk a ma ismert sszes matematikai szimmetrit.

A mintk a vgtelent ktflekppen brzoljk. Az egyik md, ha kzvetlenl ugyanaz a rszlet ismtldik. Ha egy mintt jra s jra az addigiakhoz illesztnk, akkor ez az eljrs a vgtelenbe vezet. Nem gy kszl, hogy egy hatrhoz r. Rgebben gy gondoltk, hogy egy sk felletet csak periodikus, ismtld mdon lehet egy- vagy ktfle csempvel kitlteni. A legegyszerbb plda valsznleg megtallhat az Olvas laksnak egyik faln vagy padljn, ha az ngyzet alak csempvel van kirakva. Ennl vllalkozbbak is lehetnk; hasznlhatunk szablyos hrom- vagy hatszgeket (1.3. bra).

1.3. bra Sk fellet periodikus kitltse hatszgekk sszell tszgekkel.

De nem minden szablyos sokszg alkalmas erre. A frdszobnk padlja nem csempzhet pldul szablyos tszgekkel. Akrhogyan is rakosgatjuk ket, maradnak kitltetlen terletek.

1974-ben Roger Penrose felfedezte, hogy vannak olyan csempeprok, amelyekkel a teljes sk kitlthet anlkl, hogy a minta periodikus lenne. Penrose egyik ilyen prja a nyl s a srkny (1.4. bra).

1.4. bra Roger Penrose vgtelen, de nem periodikus skkitltse nyilakkal s srknyokkal.17

A vgtelennek trkitltssel val brzolsa bonyolultabb, ha a csempk mrete vltozik az ismtld lpsek sorn. Az ilyen mintzatokat fraktlnak hvjk, s a termszetben nagyon gyakran megtallhatk pldul a fk s egyb nvnyek nvekedsekor vagy a felhkben. St tulajdonkppen minden olyan helyzetben, ahol egy adott trfogatnak nagy felletet kell magba zrnia. Ha a fellet rcsks, csipkzett, a mrete n, s az llny vagy trgy a trfogat s gy a tmeg nvelse nlkl is knnyebben hl le, vesz fel tpanyagokat s lp klcsnhatsba a krnyezetvel. A termszet fraktlokat ltrehoz ismtld folyamata nem folytatdik vg nlkl,

mgis olyan mintakpzsi eljrst hoz ltre, amely a vgtelen fel mutat. Gondoljuk meg, mi trtnik, ha egy egyenl oldal hromszg oldalainak kzps harmadra jabb szablyos hromszgeket szerkesztnk, s ezt vg nlkl folytatjuk. Az egyre cikcakkosabb vonal mindig vges mret terletet hatrol, de a vonalhossza brmilyen nagyra nhet. Megint egy vgtelen lpssorozatot ltunk, amelynek vgeredmnye azonban knnyen elkpzelhet.

A vgtelen mintasorozatok a 2500 ve lt kori embereket ugyangy mulatba ejtettk, mint minket. Gondoljunk egy paprlap ktdimenzis vilgra. Vajon hnyfle szablyos (egyenl hossz, egymssal egyenl szgeket bezr oldal) sokszget rajzolhatunk r? A hromoldal a szablyos hromszg, a ngyoldal a ngyzet, aztn jn a szablyos tszg, s gy tovbb, vg nlkl. Nhnyat bemutatunk az 1.5. brn. Vegyk szre, hogy ahogyan nvekszik az oldalak szma, gy kzeltenek az brk egyre inkbb egy krhz.18

1.5. bra Nhny szablyos sokszg. Vgtelenl sokfle van, oldalaik szma pedig lehet akrmelyik, kettnl nagyobb egsz szm.

A kpek alapjn vilgos, hogy a szablyos sokszgek oldalszma korltlanul nvelhet. Prblkozzunk most azonban a trben. Hny olyan test van, amelyet egybevg szablyos sokszgek hatrolnak? A legegyszerbb szablyos polider a ngy szablyos hromszgbl ll tetrader. A kvetkez a hatlap kocka. A meglep folytatst mr az kori grgk is ismertk: ezeken kvl mr csak hrom szablyos test ltezik: az oktader (nyolclap), a dodekader (tizenktlap) s az ikozader (hszlap). Grg nevk a lapok szmra utal (1.6. bra).

1.6. bra Csak t szablyos test van; ezeket platni testeknek is szoktk nevezni.

Az t szablyos testet platni testeknek is nevezik. Meglep, hogy amint a skbl a trbe lpnk, ahol elvileg tbb hely van, a lehetsgek szma drmaian cskken. A kt dimenziban mg vgtelen lista hrom dimenziban vges lesz s rvid.

LehetsgekAz akarat vgtelen, de a keresztlvitele akadlyokba tkzik. A vgy hatrtalan, de a cselekedetnek korltja van.

Shakespeare, Troilus and Cressida (Fejes Istvn fordtsa)

Ha rendelkeznk a tudatos gondolkods kpessgvel, teht a jvt el is gondolhatjuk, mieltt megtrtnne velnk, ms formban is tallkozhatunk a vgtelennel. A szabad akarat furcsa dolog. Meggyzdsnk, hogy rendelkeznk ilyesmivel. Azt hisszk, esznkbe juthat brmi. Gondolatainknak s kpzeletnknek nincsen rzkelhet korltja. Lehet, hogy nem tprengnk nagy dolgokon, lehet, hogy semmi hasznos nem jut az esznkbe, de ami az elmnkben van, egy kicsit mindig ms. Az j tapasztalatok, sszefggsek s klcsnhatsok eredmnyekppen agyunkban folyamatosan vltoznak a benyomsok s a vilgrl alkotott kpnk. Mindez azt sugallja, hogy hatrtalan, vgtelen szm lehetsget gondolhatunk el. Ennek ellenre gondolataink szma mgis vges, de hatalmas. Valsznleg ez a legnagyobb szm, amelyre vonatkozan tapasztalataink lehetnek, de

akkor is vges. Megszmoltk, hogy az emberi agyban hnyfle idegi kapcsolat jhet ltre, s ennek alapjn mondhatjuk, hogy krlbell 1070 000 000 000 000 fle gondolatunk lehet. sszehasonltskppen: az egsz lthat Vilgegyetem krlbell 1080 atomot tartalmaz.19 Az agy kicsi, sszesen mintegy 1027 atom alkotja, de nem ez a hatalmas szm az oka, hogy gy rezzk, gondolatainknak semmi nem szab hatrt, hanem az a tny, hogy az egyes atomcsoportok kztt ennl sokkal tbb kapcsolat lehetsges. Ennek a bonyolultsgnak, elmnk sszetett mivoltnak kvetkeztben rezzk magunkat egy hatrtalan vgtelensg kzepn. Fogadjuk el ezt az rzst. Ha agyunk egyszerbb lenne, akkor nem is tudnnk arrl, hogy korltai vannak.20

Znn paradoxonjaiEgy ids hlgy lenyelt egy legyet

Gyermekvers

A vgtelen ott tkrzdik htkznapi cselekedeteinkben s igen gyorsan paradoxonokba tkznk vele kapcsolatban. A legrgebbiek ma is a legtalnyosabbak. A hres eleai Znntl szrmaznak, krlbell Kr. e. 450-bl. Znn a szintn eleai Parmenidsz tantvnya volt, aki szerint a Vilgegyetem egyetlen s oszthatatlan, idtlen s vltozatlan. Ebbl arra kvetkeztetett, hogy valjban semmi nem mozog, hiszen ehhez tbb dolognak (llapotnak) kellene lteznie: a mozgs elttinek s a mozgs utninak. Parmenidsz szerint az ltalunk szlelt mozgs csak illzi. Lnyege szerint a Vilgegyetem vltozatlan.

Parmenidszt kezdetben nem vettk nagyon komolyan. Nzetei nyilvnvalan ellentmondtak a mindennapi tapasztalatoknak. Amit a mozgsrl gondolt, egyszeren hibs volt, mgpedig nyilvnvalan az.

Znn ezen a ponton sietett mestere segtsgre. Ktsgtelenl Parmenidsz hatsra nekiltott kimutatni: az, hogy a mozgs egyltaln lehetsges, messze nem nyilvnval. Ngy rvet hozott fel a mozgs lehetetlensgnek bizonytsra. Ezeket a znni paradoxonknt ismert rveket az korban nem tudtk cfolni, s mg ma is nagyon hatsosak. Az els kett21 gy kzelti meg a rejtlyes vgtelent, hogy egy ltszlag rtatlan tnybl hihetetlen kvetkeztetsre jut.

Znn els paradoxonja a mozgs lehetetlensgt a kvetkezkppen mutatja ki. Ha egy helyrl el akarunk jutni egy msikra, elszr el kell jutnunk az t felig, majd a maradk tvolsg felig, majd annak a felig, s gy tovbb (1.7. bra). Ha a kt pont pldul egy kilomterre van egymstl, elszr eljutunk 1/2 km-ig, majd 3/4 km-ig, majd 7/8 km-ig. N lps megttele utn 1-1/2N km-nl jrunk. Znn azzal rvel, hogy brmilyen nagy is N rtke, ez a tvolsg mindig kisebb lesz 1 km-nl, teht soha nem jutunk el a clunkig! Ugyanez igaz brmilyen tvolsg megttelre is, legyen az mgoly kicsi. Utunk csak vgtelen szm lps utn rhet vget. Znn tagadta a vgtelen ltezst, ezzel pedig tagadta a mozgs lehetsgt is.

1.7. bra Znn els paradoxonja: minden lps feleakkora, mint az elz. Ha egy mter tvolsgra szeretnnk eljutni, akkor elszr fl mtert kell haladnunk, majd negyed mtert, majd nyolcad mtert, tizenhatod mtert s gy tovbb a vgtelensgig, vagyis a teljes t megttele vgtelen hossz idt vesz ignybe. Znn szerint teht soha nem rkezhetnk meg.

Znn msodik paradoxonja a hres fut, Akhilleusz s egy lomha versenytrsa kzdelmt mutatja be (az utbbi a hagyomny szerint teknsbka volt). Akhilleusz a startvonalrl indul, de a tekns, aki csak fele olyan gyorsan fut, mint a grg hs, egy kilomter elnyt kap.

Azt hihetnnk, hogy Akhilleusz, aki ktszer olyan gyorsan fut, 2 kilomternl beri a teknst. Viszont amikor 1 kilomternl jr, a tekns mr 1 1/2-nl, s gy tovbb. Amikor N lps utn Akhilleusz 2-1/2N km-t tett meg a startvonaltl, mg mindig a tekns vezet, mert mr 2-1/2N+1 km-nl jr. Lehet N (ahny szakaszra osztjuk a versenyt) brmekkora, Akhilleusz soha nem ri utol a teknst!

A pldk alapjn knnyen gondolhatnnk, hogy a vgtelen csupn egy jelentssel nem br kpzavar, s egy vges vilgban

mindannyiunk lete egyszerbb lehet. De sajnos a vgesnek is megvannak a maga paradoxonjai, amelyek nem kerltk el mr az kor embernek figyelmt sem. A vges vilgegyetemnek nyilvn van hatra; mi trtnik, ha valaki egy kvet hajt t rajta? Vajon semmiv lesz, amikor tlpi a hatrt? s mi van a hatron kvl? s ha az id nem vgtelen, hogyan lehet eleje s vge? Ltni fogjuk, hogy a modern kozmolgia jl kezeli a vgtelennel kapcsolatos krdseket, s a vges paradoxonokkal is tud mit kezdeni.

2. A vgtelen, a taln s valban, a ltszlag s tnylegesen

Tudjuk, hogy a vgtelen ltezik, de nem tudjuk, milyen, hiszen azt is tudjuk, hogy a szmokbl vgtelen sok van. Teht igaz, hogy ltezik vgtelen szm, de nem ismerjk.

Blaise Pascal, Gondolatok (Penses)1

Sttsg dlbenA matematika a vgtelen tudomnya

Hermann Weyl2

A vgtelenre eddig bemutatott pldk taln illusztrljk, mirt vonzzk az embert a vg nlkli dolgok. Elmnk kpes az ismtldsek felismersnek kamatoztatsra; gy tudjuk elre elkpzelni a jvt ahelyett, hogy egyszeren csak meglnnk. Ezt a kpessgnket szabadjra engedve tudunk vg nlkli sorozatokat elkpzelni. s ehhez nem is kell minden egyes lpst vgiggondolnunk. Kezdhetjk akr a kzepn, s elmlkedhetnk arrl, mi jhet mg ksbb.

Ugyanilyen fontos, hogy intuitv mdon rzkeljk a transzcendencit; hogy ltezik valami, ami nlunk vagy taln minden msnl tbb. A kpzelet szrnyalst itt segtheti a minket krlvev kozmikus krnyezet.

Ha az jszaka nagy fnyt kibocst vrosoktl j messze letborozunk, a stt jszakai gboltra nzve rrezhetnk, milyen lehetett seinknek lni a Fld nev bolygn. A stt jszakai gbolt, amelyet a tvoli csillagokrl s bolygkrl rkez fnygyngyk pttyznek, biztos, hogy mr az sembert is csodlattal tlttte el. Amikor jobban megismertk a csillagok mozgsnak szablyait, elkezdhettk szmon tartani az idt: a napokat s hnapokat. De mirt ilyen stt az g? Az els, kzenfekv vlasz, hogy a Nap lenyugszik. De ez nem teljesen magyarzza meg, amit ltunk. Ha krlnznk a Vilgegyetemben, brmerre tekintnk, szemnknek elbb-utbb egy

csillagba kellene tkznie, mint amikor egy sr erdben minden irnyban krlnzve elbb-utbb egy fatrzset ltunk. Ha ez gy lenne, az jszakai gboltnak is olyannak kellene lennie, mint egy fnyes csillag felletnek. Vajon mirt nem gy van? A krdst a modern csillagszat vlaszolta meg. Az g azrt stt, mert a Vilgegyetem olyan reg s hatalmas, hogy ezek miatt meglehetsen res is. A csillagoknak tbb millird v kell ahhoz, hogy kialakuljanak, s bennk ltrejjjenek azok a ltfontossg elemek, amelyek szksgesek az atom alap let kialakulshoz s fennmaradshoz. A Vilgegyetem tgul; mr tbb millird fnyv nagysg, anyagsrsge pedig igen alacsony (egy kbmternyi tr a Vilgegyetemben tlagosan egy atomot tartalmaz). Ha az sszes anyag sugrzss alakulna, szinte szre se vennnk. Ez teht nem elg az jszakai gbolt megvilgtshoz.

Az eddigiekben szokatlan sszefggsekrl beszltnk. A Vilgegyetemnek sregnek s hatalmasnak kell lennie, hogy let alakulhasson ki benne. Ha egy bolyg felletn tudatos let alakul ki, az llny olyan kozmikus krnyezetben tallja magt, amely elgondolkodtatja az t krlvev r nagysgrl s transzcendens mivoltrl. Vajon a stt s majdnem res tr rkk ilyen lesz?

Az kori filozfusok sokat birkztak ezzel a krdssel, s szmos lehetsges vlaszt talltak. Ezek persze nem a Vilgegyetem brmifle tudomnyos megfigyelsn alapultak ez nem is volt lehetsges, hiszen tvcsvk sem volt hanem inkbb olyan, a krnyezettel sszhangban lev, ellentmondsmentes elmleteket dolgoztak ki, amelyek magyarzatot adhattak a krlttk tapasztaltakra, s amelyekben mindennek megvolt a maga helye s jelentsge. A lehetsgnek s a vletlenszersgnek nem lehetett szerepe az ilyen magyarzatokban. Ezeket az esemnyeket isteni kzbeavatkozsknt rtelmeztk.3 Az viszont kultrnknt vltozott, hogy mit tartottak elgsges magyarzatnak. Arisztotelsz, a legtekintlyesebb korai nyugati gondolkod gy vlte, az anyagi Vilg(egyetem) vges, s vgtelen r veszi krl. Tarthatnnk ezt egyszeren a sok lehetsges vlemny egyiknek is, de e mgtt klnleges filozfiai ok rejlett. A Fldnek kellett a mindensg kzept elfoglalnia, s csak vges rendszerben rtelmezhet az egyetlen kzppont ltezse. Arisztotelsznek mg ms nagy hats mondanivalja is volt a vgtelensg ltalnos fogalmrl.

A vgtelenekkel kapcsolatos egyik legels s legfontosabb az arisztotelszi aktulis vgtelen megklnbztetse volt a potencilis vgtelentl. A grgk ltalban ugyangy fltek a vgtelent beengedni matematikai rendszerkbe, mint a nullt.4 A nulla fogalmnak elfogadsa azt jelentette volna, hogy a semmit valaminek tekintik, s ezzel mint trjai falovat egy ellentmondst csempsznek be logikai rendszerkbe. A vgtelen is valami hasonl dolognak tnt. Nem tud a szoksos mdon kapcsoldni a tbbi szmhoz ha egyet adunk hozz, mg mindig vgtelen marad s felbukkanshoz zavarba ejten ktdik a semmi fogalma. Ha egy szmot a nullval osztjuk, az eredmny: vgtelen. Brahmagupta indiai matematikus 628-ban gy rhatott le az albbihoz hasonl egyenlsgeket, miutn tzes szmrendszerbe bevezette a nullt:

vgtelen = 1/0, illetve: 0 = 1/vgtelen,

s nem foglalkozott a nulla vagy a vgtelen nagyobb filozfiai kvetkezmnyeivel.

Annak lehetsge, hogy a mret folyamatos cskkentsvel vagy nvelsvel vgteleneket lehet ltrehozni, nagyon rgi gondolat. A preszkratikus filozfusok kzl Anaxagrsz (Kr. e. 500-428) ezt nagyon elegnsan fejti ki:

A kicsik kztt nincsen legkisebb, a nagyok kztt pedig nincsen legnagyobb, de mindig van, ami mg kisebb vagy mg nagyobb.

A grgk nagyon kzel jrtak hozz, hogy a vgtelent beillesszk matematikai rendszerkbe, de az ehhez szksges vgs lpsig nem jutottak el. Szvesen gondolkodtak vgtelen folyamatokon, de nem tudtk figyelmen kvl hagyni Znn nevezetes paradoxonjait, amelyek jeleztk a veszlyt a vgtelen fel vezet ton. gy amikor a vgtelen tmja elkerlt, rgtn tudtk, hogy megjelennek a zavarba ejt paradoxonok. Egy btor filozfus kellett ahhoz, hogy a vgtelennel kapcsolatos problmkhoz hozz merjen nylni.

Egy tisztn arisztotelszi kapcsolatMagtl rtetdnek tartjuk azokat az igazsgokat

Az Amerikai Egyeslt llamok npnek Fggetlensgi Nyilatkozata1

Arisztotelsz soha nem riadt vissza krdsek vizsglattl csak azrt, mert az problematikus volt. Platn mlt tantvnyaknt s Nagy Sndor tantmestereknt mindig volt mondanivalja, brmirl is volt sz. A vgtelensgekrl vallott nzetei velsek s vilgosak:

A vgtelennek potencilis ltezse van nem vlik aktulis vgtelenn5

Mit rtett ezen? Ismernk vg nlkl folytathat sorozatokat. Itt vannak pldul a termszetes szmok: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Nincs legnagyobb szm (ha gy gondoljuk, van, adjunk hozz egyet), s mris itt a plda egy lehetsges (potencilis) vgtelenre. Arisztotelsz ezt egy folyamat tpusaknt rtelmezte: olyan vgtelenknt, amelyet soha senki nem fog elrni, egy olyan lista, amely mindig vges marad, pedig biztos gret van arra, hogy a vgtelennek egyszer el kell rkeznie. Soha nem lehet teljes egszben megfogni vagy ttekinteni. Sok ms pldt is hozhatnnk vget nem r sorozatokra. Nem mind vezet a jvbe; szrmazhatnak a mltbl is, teht lehet kezdetk, avagy okuk. Gondoljunk pldul az sszes negatv szmra. Ennek a vgtelen sorozatnak a vge: -6, -5, -4, -3, -2, -1. A vgtelensg most balra tallhat, de ismt csak potencilis, hiszen nem ltjuk az egsz sorozatot, s nem kereshetjk el a kezdett, hiszen ilyen ennek nincs.

Arisztotelsz szerint nem ltezhet vgtelen kiterjeds trgy. Az idben vgtelen sorozatok lehetsgt viszont nem akarta kizrni, mert klnben az idnek lenne kezdete s vge, s a pozitv, illetve a negatv szmok sorozatainak lenne els s utols tagja. Ez azt is jelenten, hogy ltezik valamifle legkisebb anyagi rszecske, amelyet mr nem lehet felezni, s ez szmra ppen olyan klns lett volna, mint egy legnagyobb szm ltezse. Rszletesen is elmagyarzta:

Egy dolog lehet vgtelen vagy potencilisan, vagy aktulisan, vagy vgtelen akr sszeadssal, akr osztssal. Eddig azt mondtuk, hogy nincsen aktulisan nagy mret, de a mretek oszts ltal vgtelenek (mivel a feltevst, hogy vannak oszthatatlan egyenesek, knny

1 Fordtotta: Vecsekly Jzsef, Rzsavlgyi s Trsa Kiad, Bp.

cfolni), s gy ezek potencilisan vgtelenek. De az, hogy potencilisan vgtelenek, nem azt jelenti, hogy valamikor aktulisan is vgtelenek lesznek ugyangy, ahogyan valami, ami potencilisan egy szobor, az valamikor szobor lesz. Mert a ltezsnek sokfle rtelme van, s az az rtelmezs, amely szerint egy dolog vgtelen, olyan, minthogy van egy nap vagy egy verseny, teht az egyik dolog ltezni fog a msik utn. Mert valban, ezekben az esetekben is klnbsget tehetnk a potencilis s az aktulis vgtelen kztt: az olimpiai jtkok lteznek mind abban az rtelemben, hogy megrendezhetk, mind abban, hogy meg is rendezik ket.6

rdekes, ahogyan Arisztotelsz megklnbzteti a potencilis s az aktulis vgtelent. Amikor pldul a miniszterelnk-jelltrl s egy valsgos miniszterelnkrl beszlnk, ezzel azt lltjuk, hogy lehet, hogy a jelltbl logikailag s fizikailag miniszterelnk lesz; Arisztotelsz olimpiapldja ehhez hasonlt. Lehetsges, hogy az olimpit Athnban rendezik, azt jelenti: megtrtnhet, hogy ott lesz. Ettl az egyetlen kivteltl eltekintve, Arisztotelsz a vgtelenrl nem gy gondolkodik, hiszen az ltala lehetsgesnek minstett vgtelenek soha nem lehetnek valsgosak. Ha egy fadarab korltlanul sok darabra vgst tzi ki clul, az lehetsges, de soha nem fog megvalsulni. Ezen azt rti, hogy a folyamat vges idn bell soha nem fejezdhet be. Knyvnk egy ksbbi fejezetben ltni fogjuk, hogy a modern fizika mutat olyan szokatlan lehetsgeket, amikor kt klnbz megfigyel azt lthatja, hogy ugyanahhoz a folyamathoz nem ugyanannyi idre van szksg. Arisztotelsz szerint viszont meghatrozott feladatok vgtelen sorozatt nem lehet vges id alatt befejezni.

Ezzel a nzetvel Arisztotelsz nagyban klnbzik a korbbi filozfiai iskolktl, amelyek a vgtelent valamifle homlyos minden-nek tekintettk, ami tartalmazott minden elkpzelhett. Arisztotelsz szerint ez tveds, s valjban ppen az ellenkezje az igaz:

A vgtelenrl kiderl, hogy ppen ellentte annak, amit mondanak. A vgtelen nem az, amibl semmi nincsen kvl, hanem az, amelybl mindig van valami kvl. Amibl semmi nincsen kvl, az befejezett egsz. Ennek ellentte, hogy az, amibl valami, legyen az brmi, hinyzik, nem rkkval.7

gy gondolja, a vgtelen tkletlen s befejezetlen.8 Szmra a vgtelen nem valamifle mindent magba foglal transzcendens fogalom. ppen fordtva: az anyag korltlanul darabolhat, ezrt a vgtelen benne rejlik a vilg minden egyes rszecskjben. Teht a vgtelen az anyag lnyegi termszetnek rsze fggetlenl az ltala felvett alaktl vagy formtl mint trgytl. gy ezt a vgs termszett nem foghatjuk fel, s a vgtelen szksgszeren tl van azon az tlphetetlen hatron, amelyen tl az ismeretlen helyezkedik el; azok a fogalmak, amelyekhez az emberi elme nem rhet fel, s nem is fog soha a hatron bellre kerlni.

Arisztotelsz gondolatmenett jobban megrthetjk, ha kicsit mlyebben felidzzk a vilgrl alkotott fogalmt. Mindennek cljnak vagy vgnek kell lennie, mert csak ekkor van rtelme s jelentsge. Ez a cl, vagy Arisztotelsz szavaival vgs ok olyan, mint egy, a jvben elhelyezett mgnes. gy a potencilisan vgtelen lncok nem elfogadhatk, mert hinyzik az a vgs lps vagy cl, amely kiteljesten ket, s ezzel valdi rtelmet s jelentsget adna nekik. Nem ismerhetjk semminek a magyarzatt sem, ami vgtelen. A vilg vges, s csak olyan dolgokat tartalmaz, amelyek szintn vgesek ez teszi lehetv az ember szmra a vilg termszetnek megismerst. Jonathan Lear filozfus ezt gy fogalmazza:

Megismerhetjk egy adott dolog okt, gy annak vgesnek kell lennie. Ha a lnyegt vgtelen szm tulajdonsg alkotn, akkor ez a szubsztancia megismerhetetlen lenne. Mivel megtudhatjuk, hogy mi maga a szubsztancia, ezrt meghatrozsban csak vges szm tulajdonsg fordulhat el.9

Arisztotelsz teht gy gondolkodott a trrl s az anyagrl. Az idrl viszont ms volt a vlemnye. Nem lltja, hogy az egyes idszakaszok hatrtalanul darabolhatak lvn, a vgtelen kis darabki lennnek. rtelmezse szerint az id folyamatt a soha be nem vgzdse teszi potencilisan vgtelenn. A vgtelen jvt soha nem rjk el; az nem tartozik bele a vges vilgba. Arisztotelsz gy gondolta, hogy a vilg s az gitestek mozgsa rk s nem teremtett, br az anyag mennyisge s a tr kiterjedtsge vges. Arisztotelsz az idt inkbb a vltozs, a trtnsek mrtknek tekintette. Ms ez, mint Platnnl, akinl az esemnyek egy adott helysznen zajlanak vagy nem zajlanak le. Az id nem ltezhet, ha semmi nem trtnik, vagy ha nincsen olyan elme, amely szleln a mlst. Arisztotelsz itt

nem azt lltja, hogy megfigyelk vagy mshol lk hozzk ltre vagy indtjk el az idt, hanem, hogy jelenltk hjn, ha nincs, aki mrhetn vagy tapasztalhatn a vltozst, nem lehetne fogalmat alkotni az idrl.10 gy, ha a vilg mindig is ltezett, vgtelen kora nem mrhet. Ez a gondolatmenet azonban nem teljesen kielgt. Arisztotelsz szemmel lthatan megelgszik a felttelezssel, hogy a vilg vgtelen kor. E mellett gy rvel, hogy ha felttelezzk egy els pillanat ltezst, azt megfelezhetjk, s kapunk egy korbbi pillanatot.

A mai olvas mr sokat tud a tudomnyos, megfigyelsen alapul mdszerekrl, amelyekkel a vilg kora megbecslhet. Arisztotelsz elkpzelsei furcsnak hatnak, de akkoriban nem volt tvcs, nem voltak smaradvnyok, s semmit nem tudtunk a Naprendszer mretrl s korrl. Arisztotelsz kvetkezetes filozfiai rendszert akart fellltani, amelyben mindennek megvan a maga rtelme. A vgtelensg gondolata nagy kihvst jelentett, s Znn ppen elg hatrozottan megmutatta, hogy ha rosszul kezeljk, akkor az idrl s a vltozsrl alkotott minden elkpzels felborulhat. Arisztotelsz btran fellltotta a problma els nagy horderej megoldsi ksrlett. Az aktulis s a potencilis vgtelen megklnbztetse vilgos s egyszer. Fenn is maradt mg tbb ezer ven t, s a legnagyobb matematikusok nmelyike is meg volt gyzdve annak megalapozottsgrl.

A vgtelensg s az IstenAmikor mr szzezer veRagyogtunk, mint a Nap,Ugyanannyi napunk volt Isten dicsretre,Mint a legels nap.

Ismeretlen szerz betoldsa John NewtonAmazing Grace cm himnuszhoz11

Azt gondolhatnnk, hogy mivel az emberben folyamatos feszltsget jelentett a vgtelen megrtse, ez azt is jelenthette, hogy az, aki a vgtelent megragadja, ignyt tarthat Isten helyre. Ez mgis kisebb problma volt, mint az aggodalom, hogy esetleg mg Isten sem foglalja magba a vgtelen fogalmt. Mr a legegyszerbb plda (a termszetes szmok vgtelen sorozata: 1, 2, 3, 4, ) is ppen elg fejtrst jelent. A krds olyan komoly gondot okozott, hogy Szent goston, aki az

els egyhzatyk egyik legmrtkadbbika volt, rsainak tekintlyes rszben foglalkozik vele. A Vlasz az lltsra, hogy mg Isten tudsa sem terjed ki vgtelen szm dologra cm fejezetben gy rvel:

Van egy olyan llts, hogy mg Isten elre tudsa sem foglalhatja magban a vgtelen dolgokat. Akik ezt mondjk, azok szmra csak az marad, hogy mlyre sllyedjenek az istenkromlsba, mert azt lltjk, hogy Isten nem ismeri az sszes szmot. Valban igaz, hogy a szmok vgtelen sokan vannak Ez azt jelenti, hogy Isten nem ismeri az sszes szmot, mert vgtelen sok van? Isten tudsa kiterjed egy bizonyos sszegre, s ott megll? Senki nem lehet olyan rlt, hogy ezt lltsa.s a prfta azt mondja Istenrl: hozza ltre a vilgot szm szerint; s a Megvlt azt mondja az evangliumban: Hajszlaid meg vannak szmllva.Soha ne ktelkedjnk akkor hogy minden szmot ismer , akinek a tudsa nem megszmllhat. s gy, ha amit tudunk, az tudsa szerinti korltok szerint val, teht vges, ebbl kvetkezik, hogy minden vgtelensg valami ltalunk kifejezhetetlen mdon Isten szempontjbl vges, mert nem lehet semmi, amit ne tudna. 12

rdekes, hogy Szent goston gy gondolja, az ember szmra vgtelennek tn dolgok Isten elmjben vgesek. A modern matematika ezt a trkkt gyakran veti be a vgtelen tartomnyok vgess ttelre, hogy azokat knnyebben lehessen elkpzelni, illetve brzolni. Vannak olyan matematikai transzformcik (a transzformcit olyan mveletknt kpzeljk el, amilyen pldul egy nyelv msik nyelvre fordtsa), amelyek a vgtelent vges pontt tudjk alaktani.13 Ez persze nem valami csodarecept, amivel a vgtelent ezentl kihagyhatjuk a szmtsbl, hiszen vannak olyan transzformcik is, amelyek vges pontokat alaktanak vgtelenekk.

Isten vgtelen ltali fenyegetettsge ksbb mg bonyolultabb mdon jelent meg. A renesznsz korban Isten kt f tulajdonsga a lt s a vgtelensg volt. Ha a vgtelent gy megzabolzzk a matematikusok s a filozfusok, hogy az egyszeren paprra vethet lesz, akkor mi marad Istenbl? Ilyen krlmnyek kztt fontoss vlt, hogy a teolgusok ne azonostsk alapveten Istent a vgtelennel. Ez mg nem azt jelenti, hogy Isten vges lenne az csak slyosbtan a krdst , hanem csak annak tagadst, hogy csak azrt, mert Isten egy tulajdonsgt valamennyire megrtjk, attl Isten jelentsge csorbul.

Nem minden filozfus tekintette a vgtelent teolgiai krdsnek. Nicolaus Cusanus a vgtelent olyan helynek tekinti, ahol az ellenttek sszhangba hozhatk. Paradox tulajdonsgainak egyik iskolapldjt ltja az olyan magyarzatokban, amelyekre az igazsg s valsg megrtshez van szksg; a gyarl ember fogalmai ezeket legfeljebb csak megkzelthetik. Szvesen hasznlt matematikai hasonlatokat a teolgiai problmk magyarzatra. gy pldul, amikor vges vonalakrl van sz, vilgosan el lehet klnteni az egyeneseket a grbktl, amint azt le is rajzoltuk a 2.1. brn.

2.1. bra Egy egyenes s egy kr. Ha a kr tmrje nvekszik, egy-egy krv egyre jobban hasonlt egy egyenes szakaszhoz.

De ha a krt vgtelen tmrjre nvelnnk, krvt nem lehetne megklnbztetni egy vgtelen egyenestl.

Blaise Pascal XVII. szzadi francia filozfus, matematikus s termszettuds (2.2. bra) jellegzetesen eredeti nzeteket vallott a vgtelen teolgijval kapcsolatban. Azt a tnyt hasznlta ki, hogy ha egy brmennyire kicsi vges mennyisget megszorzunk a vgtelennel, az eredmny vgtelen lesz.

Pascal buzg hvknt is olyan gyakorlati bizonytst akart kidolgozni, amellyel egy nem hv meggyzhet lenne az istenhit szksgessgrl. Pascal volt a modern valsznsgelmlet egyik ttrje, s szvesen foglalkozott a bizonytalansg s a vletlen gyakorlati szerepvel. Kijelentette: Isten akr ltezik, akr nem, vgtelen szakadk vlaszt el minket Tle. Mit lehet tenni? Hihetnk Istenben hitbl fakadan, ahogyan azt Pascal tette, de szerinte is ltezik ms megkzelts. Tegyk fel, hogy egy fogadsrl van sz. Hogyan jtsszunk? Pascal szerint kt lehetsg van: vagy hisznk Isten ltezsben, vagy nem.14 A valsg ktfle lehet: Isten ltezik, illetve Isten nem ltezik. Mik lehetnek vlasztsunk kvetkezmnyei?

2.2. bra Blaise Pascal (1623-62).15

Pascal szerint azrt jobb hinni Istenben, mert ha ltezik, az olyan vgtelen nyeresg, amely mindig meghaladja a vges idvesztesget, amely akkor addna, ha mgsem ltezne (2.3. bra). Ehhez hasonlan, ha az ateista llspontra tesszk a ttet, kisebb a vrhat nyeresg, mert ha Isten ltezik, a vesztesg vgtelen, de ha nem, az emberi nyeresg csak vges lehet.

Isten ltezik Isten nem ltezikistenhit vgtelen nyeresg vges vesztesg

istentagads vgtelen vesztesg vges nyeresg2.3. bra A vrhat nyeresg attl fggen, hogy mi az igazsg Isten ltezst illeten.

Pascal szembekerlt a ketts vgtelenknt ismert problmval is. Azt lltotta, hogy a vgtelen mindentt jelen van a vilgban, de az emberi elme nem kpes annak teljes felfogsra. A ktfle vgtelen egyiknek a potencilis vgtelent tekintette, azt, hogy a mennyisgeket hatrtalanul nvelhetjk, legyen sz a termszetes szmok felsorolsrl, vagy fizikai mennyisgekrl, mint a (mozgsi) sebessg, amely szerinte (ma mr tudjuk, hogy ez nem igaz16) szintn korltlanul

nvelhet. A msik vgtelen: a mindenben jelenlv vgtelen kicsinysg, amely a korltlan oszthatsg lehetsge miatt ltezik, s a mozgs esetben a sebessg rtknek folyamatos felezse egy vget nem r lpssorozat:

Teht vannak olyan tulajdonsgok, amelyek kzsek minden dologban, s ismeretk megnyitja az elmt a termszet legnagyobb csodinak befogadsra. A legfontosabba tartozik a kt vgtelen, amely benne van minden dologban: a vgtelen nagysg s a vgtelen kicsinysg.17

Ezt a megkzeltst alkalmazza a tr s az id termszetre is:

Akrmilyen nagy is egy tr, el tudunk kpzelni egy nagyobbat, s ennl is nagyobbat, s gy tovbb a vgtelensgig, s soha nem jutunk el egy akkorig, amit mr nem lehetne nvelni. s fordtva: akrmilyen kicsi legyen egy adott tr, gondolhatunk nla kisebbre, s gy, a vgtelensgig, s soha nem rnk el egy oszthatatlanig, amelynek mr ne lenne kiterjedse.Ugyanez vonatkozik az idre is.18

Ebbl arra kvetkeztet, hogy mivel a ketts vgtelensg, a tetszlegesen nagy s tetszlegesen kicsi jellemzi a teret, az idt s a mozgst, ez potencilisan mindenben jelen van. St, a termszet egyik legfbb jellemzje, mint rja:

Mivel a termszet sajt kpe szerint formlt mindent, s minden dolognak szerzje, majdnem mindenben megtallni a ketts vgtelent.19

Mai szemmel Pascal rvei igen kevss meggyzek. A tr vgtelensge puszta ltezsnek felttelezshez szksges. Ha a Vilgegyetem vges kiterjeds lenne, a tr korltlan nvelhetsgre vonatkoz rvels megdlne. Hasonlan jrna a mozgs is; ma mr tudjuk, hogy a termszetben minden, informcit kzvett mozgs sebessgnek vges korltja van: a fny sebessge vkuumban. A harmadik rvels a tr s az id vgtelenl oszthatsgra vonatkozik, de ma mr ez sem biztos, hogy megllja a helyt. Valszn, hogy vannak olyan, a termszeti llandk ltal meghatrozott idszakaszok vagy hosszak, amelyeknl kisebbek nem ltezhetnek.20 Pascal termszetesen nem ismerhette ezt a kt kszbt. Arisztotelsz ezeket

mr a potencilis vgtelenek kz sorolta volna. A kett kztt vagyunk, de elmnk egyiket sem foghatja fel. Az egyiket, a vgtelenl nagyot, termszetes, hogy nem kpzelhetjk el, de ne higgyk, hogy a vgtelen kicsi rthetbb csak azrt, mert nagyobbak vagyunk nla:

Vegyk szre korltainkat. Valamik vagyunk, s nem mindenek. A hozznk hasonl lnyek nem ismerhetik az els alapelveket, amelyek a semmibl keletkeznek, s lnynk kicsisge elrejti szemnk ell a vgtelent.21

Ebben az rtelemben Pascal Galileit kveti, aki hozz hasonlan ezt rta:

Ne feledjk, hogy vgtelensgek s oszthatatlansgok kztt vagyunk; az elst nem rthetjk, mert tl nagyok, a msodikat, mert tl kicsik. Mgis azt ltjuk, hogy az ember nem akar megszdlni tlk.22

Pascal gondolatai a termszetes szmok halmaznak vgtelensgrl azonban ma is meglljk a helyket. Ezt a tagadhatatlan vgtelensget hasznlja fel rvknt ahhoz, hogy anlkl is tudhatjuk a vgtelen egy formjnak ltezst, hogy ismernnk ennek valsgos termszett. Elmlkedhetnk rla, de teljesen nem rthetjk meg. Tekinthetjk ezt kifinomult apologetiknak is: ezek szerint kvetkeztetseket vonhatunk le egy vgtelen Isten ltezsrl pusztn vges tapasztalatok alapjn, csakgy, ahogyan a vges szmokbl kiindulva kvetkeztetseket vonhatunk le a matematikai vgtelenrl.

A vilgot tszv, titokzatos ketts vgtelen hatja t Descartes vilgt is, de ms megkzeltsbl. Egy kis szmgival j kifejezst vezet be azokra a helyzetekre, amikor valami szemmel lthatan korltlanul nvekedhet. Az kifejezse: hatrozatlan. Mivel elkerli a vgtelen kifejezs hasznlatt a potencilis vgtelenek lersra: a vilg kiterjedse, a rszecskk felosztsa, a csillagok szma, s gy tovbb, gy gondolja, hogy soha nem fogunk a vgtelennel kapcsolatos kimert vitkba bocstkozni.23 Amikor mr helyre tette a potencilis vgtelenekkel kapcsolatos sszes krdst, amelyek megfigyelhet, vges mennyisgek alapjn trgyalhatk, az aktulis vgtelenekre vonatkoz minden ms krdst azzal akar elintzni, hogy ez mind oktalan spekulci. Emberi korltaink nem teszik lehetv a vgtelen minden mlysgnek feltrst. s elveszi ppen azokat a pldkat, amelyek ksbb majd kulcsszerepet jtszanak annak pontos

megfogalmazsban, hogy a matematikban melyek az aktulis vgtelenek, s azt lltja, hogy ezek nem fontosak.

Mivel vgesek vagyunk, abszurd lenne meghatroznunk brmit is a vgtelennel kapcsolatban, hiszen ez azt jelenten, hogy megksrelnnk azt hatrok kz szortani s gy megragadni. Teht nem is vlaszolunk azoknak, akik megkrdezik, hogy egy vgtelen egyenes fele vgtelen-e, vagy hogy egy vgtelen szm pratlan-e vagy pros, s gy tovbb. gy ltszik, senkinek nem kellene ezekrl a dolgokrl gondolkodnia, hacsak nem tekinti elmjt vgtelennek.24

A csattan, amivel megindokolja, hogy mirt riaszt a vgtelen tanulmnyozsa:

a vgtelen kifejezst csak Istenre alkalmazzuk. Mert csak az esetben nem tallunk semmifle hatrt, s tudjuk, hogy ilyen nincs is.25

A problma jellege miatt fontos volt, hogy az t kvet filozfusok, de nem utolssorban a francik, megklnbztessk a metafizikai s a matematikai vgtelent, mert klnben a Descartes-fle megktsek miatt nem tanulmnyozhattk volna nyugodtan a geometrit s a vgtelen sorokat. Meg is tettk.

Az eurpai filozfusok a grgk ta ltalban elfogadtk, hogy Isten vgtelen a legtbb, de lehet, hogy minden tekintetben. A szemlletmd a keresztny Szentrstl eltren egyszer vltozott jelentsen: a panteistk, mint Spinoza s Hegel, esetben. k gy gondoltk, nincsen klnbsg Isten s a fizikai Vilgegyetem kztt; a Vilgegyetem minden ltez sszessge. Spinoza ennek alapjn azt lltotta, hogy mivel ez az sszessg vgtelen, Isten is vgtelen kell, hogy legyen, hiszen klnben korltozn valami a vgtelen Vilgegyetemben. A msik eltrs a panenteizmus volt, amit mg ma is sok teolgus vall. E szerint Isten teljesen meghaladja a fizikai Vilgegyetemet, legyen az vges vagy vgtelen. Teht a fizikai Vilgegyetem Isten valdi rszhalmaza. A teizmus egy harmadik lehetsg, amely mg egy lpssel tovbb megy, s Istent a fizikai Vilgegyetemtl teljesen msnak tekinti.26 Nyilvnval, hogy ha a fizikai Vilgegyetem vges s ez a kozmolgia mai llsa szerint egyltaln nem lehetetlen akkor ez Isten vgtelen termszete miatt megersti az emltett eltrst, de nem ez itt a legfontosabb. Isten fenti rtelemben vett mssga akkor is igaz, ha a Vilgegyetem vgtelen.27

Egy csipetnyi KantAz rtelem olyan az igazsghoz kpest, mint egy bert sokszg a bert krhz kpest. Minl tbb szg a sokszg, annl jobban hasonlt a krhz. De mg ha a szgek szmt vgtelenl nveljk is, a sokszg soha nem lesz kr, hacsak nem vlik krr.28

Nicolaus Cusanus

Immanuel Kant egyik tudomnytrtneti rdeme, hogy vilgosan megklnbztette az igazi valsgot az szlelt valsgtl. Amikor elmnket s rtelmnket az igazi valsg termszetnek megismersre hasznljuk, annak termszete megvltozik (de mg ha nem is, nem tudhatjuk, hogy nem vltozott-e meg29). Szvesen kpzeljk magunkrl, hogy egy tkletes madrlesrl figyeljk a termszetet, ahonnan mindent lthatunk s tanulmnyozhatunk, s az gy mkdik, mintha ott sem lennnk. Kant (1724-1804) azt lltja, hogy ez elmletileg lehetetlen. Elmnkben megvannak a megfelel fikok a dolgok megrtsre, s a vilgrl szerzett tudsunk elkerlhetetlenl ezekbe rendezdik. Ez pedig mindenkppen megakadlyozza, hogy megismerjk a dolgok vgs termszett, illetve, hogy megvlaszoljuk az Isten ltezsvel s az let rtelmvel kapcsolatos mly filozfiai krdseket. Az, hogy a Vilgegyetem nagyjbl trtn megismerst gondolati kategrikba rendezzk, lehet, hogy nem sokat ront a dolgokon, de lehet, hogy mgis.30

Kant szerint a Vilgegyetem mind kiterjedsben, mind a benne elfordulhat lehetsgek tekintetben vgtelen. Ilyen rtelemben Isten tkrzdik benne. De az ezzel kapcsolatos hit nem ugyanaz, mint a tuds. Kant az ilyen vgtelensgeket az igazi valsgok kz sorolja, de emberi korltaink miatt ezeket szksgkppen csak vges mdon rzkelhetjk, illetve rthetjk. gy Kantnl ltezik aktulis vgtelen, de csak vges szlelssel, jelensgknt (vagy ahogyan Kant nevezte: phenomena) rtelmezhet.

Kant bizonyos szempontbl sszevethet Nicolaus Cusanusszal (1401-64), aki szintn klnbsget tett az szlelt valsg s az igazi valsg kztt, s gy gondolta, hogy a Vilgegyetem mind kiterjedsben, mind vltozatossgban vgtelen. Ezen tulajdonsgaiban Isten kimerthetetlen jellegt tkrzi, de ezek szerint

Isten vges alakban felfoghatatlan s brzolhatatlan ez a gondolat megjelenik az iszlm s a zsid gondolkodsban is.

Kant jelentsge az eurpai, de fknt a nmet gondolkodsban azt is jelentette, hogy befolysa tlterjedt a filozfusok krn. Nzetei ers hatssal voltak a XIX. szzadi termszettudsokra s matematikusokra. A valdi vgtelenrl a nagy Gauss is ugyangy rt 1831-ben, mint ahogyan tbb szz vvel eltte rtak volna:

Tiltakozom az ellen, hogy egy vgtelen mennyisget valdi ltezknt kezeljnk; ez a matematikban soha nem tehet meg. A vgtelen csak egy szfordulat, amelyet akkor hasznlunk, ha azokrl a hatrrtkekrl esik sz, amelyeket egyes arnyok tetszlegesen megkzelthetnek, mikzben ms arnyok hatrtalanul nvekedhetnek.31

De a forradalom mr nem sokig vratott magra.

3. dvzljka Hotel Vgtelenben!

Visszakldm nnek ezt az amgy kivl minsg rgppaprt, mert valaki zagyvasgokkal rta tele, s a tetejre az n nevt rta.

Az Ohio Egyetem egyik angolprofesszora

SzllodkHrom fick bejelentkezik egy szllodba. Mindegyikknek 10 dollrja van. Kivesznek egy szobt, ami 30 dollrba kerl egy jszakra. Nem sokkal ksbb a szlloda kzpontjbl fax rkezik, amely szerint a szobrt mostantl csak 25 dollrt krhetnek. A ports 5 dollrt ad a boynak, hogy adja vissza a hrom ficknak. Mivel a vendgek nem adtak neki borravalt, s az 5 dollrt gysem lehet igazsgosan elosztani, gy dnt, zsebre vg 2 dollrt, s fejenknt csak 1-1 dollrt ad vissza. Teht a vendgek egyenknt 9 dollrt kltttek, a fi pedig 2 dollrt kapott. Ez sszesen 29 dollr. Hol a hinyz dollr?

Frank Morgan1

A szllodk emlkezetes helyek. rdekes, de annl jobban emlksznk rjuk, minl rosszabbak. A Vacak Szllhoz, a BBC klasszikus vgjtksorozathoz az adta az tletet, amikor John Cleese a tengerparti Torquay egy furcsa szllodjban lakott. A szllodnl csak a tulajdonosa volt furcsbb. A sorozat legrdekesebb szereplje, az rnagy, aki persze egsz id alatt ott szllt meg.

Nem Torquayban van az egyetlen rettenetes panzi. Nhny ve olvastam a London Timesban egy zletemberrl, aki tl korn prblta meg elfoglalni a szobjt egy New York-i szllodban, s dbbenten vette szre, hogy a szoba elz lakja lmban meghalt, s mg mindig az gyban fekszik. Llekszakadva rohant a portra, hogy kzlje: a 123-as szobban egy holttest van. A ports fel sem nzett, a hta mg nylt, s odaadta a 124-es kulcst: Akkor menjen ebbe.

3.1. bra A szerz Vgtelensgek cm darabjnak nyitjelenete, ami a Hotel Vgtelenben kezddik. Rendez: Luca Ronconi, a trsulat: Teatro Piccolo, Miln. Eladsok: 2002 s 2003.2

Sajt rossz szllodalmnyeim mlypontja egy olyan hely volt, amelynek az ajtajn egy lbfej alak nyls ktelenkedett, hatalmas frdszobjnak (amelyben nem volt kd) faajtaja rothadt, s egy helyisgben volt a zuhanyz, a WC s az sszes vilgttestek s elektromos felszerels. Minden csuromvz lett, amint kinyitottam a zuhany csapjt, s krlbell egy rba telt, amg az sszes vz elszivrgott nekem egy kicsit tovbb tartott. A szllodkban szinte senki nem ismeri egymst, s idegesten keveset tudunk a vendgek szmrl s mivoltrl. Teljes a nvtelensg, s szinte mindent szmmal jellnek: van szobaszm, emeletszm, telefonkd, hatridk, ameddig illik megreggelizni vagy a szllodt elhagyni, idre jn a taxi

is, az internetes bejelentkezshez is szmkombincit kapunk, hitelkrtyaszmok be- s kijelentkezskor, a minibrbl kivett svnyvizes vegek szma, valutarfolyamok, s tvozskor csillagszati mret a szmla erre biztosan szmthatunk.

Mindemellett a hely tele van tkrkkel, amelyek vgtelen tkrkpeket hoznak ltre. ppen a megfelel hely a vgtelen szabadjra engedshez.

lmnyek a Hotel VgtelenbenA szlloda barbr dszletei kztt rendkvli felfedezseket tehetnk. Minden hlszobban van French widow1 s a franciaablakokbl pomps a kilts.

Gerard Hoffnung3

Gynyren ragadja meg a vgtelensg lnyegt a nagy nmet matematikusnak, David Hilbertnek4 tulajdontott Hotel Vgtelen trtnete. Hilbert meglehetsen klnc ember volt. Mr lete sorn hatalmasra ntt a vele kapcsolatos, szjhagyomny tjn terjed anekdotk sora. Az egyik trtnet szerint Hilbert egyik tantvnya ngyilkos lett, miutn nem tudott megoldani egy klnsen nehz matematikai problmt. A dik csaldja felkrte Hilbertet, hogy mondjon gyszbeszdet a temetsen. Hilbert a sr mellett llva eladta, hogy a fiatalember hallt okoz matematikai krds valjban nem is volt olyan bonyolult. A dik, folytatta, egyszeren csak rossz ton kereste a megoldst.5

Ezek utn nem csodlkozunk, hogy Hilbert elkpzelt szllodi nem teljesen szokvnyosak. Az ltalunk ismert szllodkban vges szm egygyas szoba van (lsd a 3.1. brt). Ha mind foglalt, egy j vendg nem tud megszllni, hacsak az egyik rgit ki nem lakoltatjk. A szlloda, ha egyszer megtelt, megtelt.

A Hotel Vgtelenben ez nem gy mkdik. Tegyk fel, hogy az Olvas j vendgknt rkezik a Vgtelen Szlloda portjra, s kiderl, hogy a vgtelen szm szobban (az 1-esben, a 2-esben, a 3-asban, a 4-esben, s gy tovbb, a vgtelensgig) mr mind laknak. A ports a homlokt rncolja elvgre a szlloda megtelt , de az igazgat megrzi a hidegvrt. Semmi gond: kltztessk az l-es szoba

1 A French widow Marcel Duchamp szjtka, amivel a vg zvegy-re utal. (A szerk.)

lakjt a 2-esbe, a 2-es vendget a 3-asba, s gy tovbb, a vgtelensgig. gy az Olvas elfoglalhatja az 1-es szobt, s mg mindig mindenkinek lesz hol aludnia!

Az Olvasnak annyira megtetszik a hely, hogy legkzelebb, amikor a vrosban jr, ismt a Hotel Vgtelent vlasztja. Csakhogy most vgtelen szm bartjval egytt rkezik egy hatalmas osztlytallkozra. A szlloda kzben divatba jtt, s megint telt hz van, de az igazgat fel van kszlve az ilyen helyzetekre is.

Nem gond elszllsolni egy vgtelen trsasgot magyarzza az ideges portsnak. Meg is teszi: az 1-es szoba lakjt thelyezi a 2-esbe, az ott lakt a 4-esbe, a 3-as vendget a 6-osba, s gy tovbb, a vgtelensgig. Az sszes pratlan szm szoba res marad. Vgtelen sok ilyen van, gy az Olvas ismt szobhoz jutott, vgtelen szm volt osztlytrsval egytt. A szobaszervizre azonban sajnos egy kicsit sokat kell vrni a magasabb szm szobkban.

A vgtelen szm j vendg teht mind jl aludt, a pros szm szobk lakinak viszont nem tetszik, hogy az rlt igazgat msodszor is elkltztette ket, s mindenre egyre tbbet kell vrni, ezrt msnap reggel mind tvoznak.

Az igazgatt nyugtalantja, hogy a szllodai szobk fele res (a pros szmak). llandan jelentseket kell kldenie a felsbb vezetsgnek, s a mostani statisztika rosszul fog festeni, hiszen a szlloda csak flig van tele vendgekkel. Ki kell tallnia valamit, nehogy be kelljen zrnia. Az Olvas viszont kezdi magt tapasztalt szllvendgnek rezni, s sajnln is, ha egy ilyen j kis hely bezrna, ezrt egy tlettel segt az igazgatnak. gy szabaduljunk meg az res szobktl, hogy az itt maradt vendgeket kltztessk egy kicsit kzelebb egymshoz. Az l-es szoba vendge maradjon a helyn1, a 3-as vendg menjen t a 2-es szobba, az 5-s a 3-asba, a 7-es a 4-esbe, s gy tovbb. Mi lesz az eredmny? Minden szoba foglalt, pedig egy j vendg se rkezett. Az igazgat megnyugodhat.

Msnap viszont ismt gondok gytrik. A szlloda egy vgtelen szllodalnc egy tagja; van egy ilyen intzmny a vgtelen Vilgegyetem minden egyes naprendszerben. De most bajok vannak az intergalaktikus hoteltzsdn, s nagy leptsek (a PR szerint: tszervezsek) vrhatk.

Elmagyarzza, hogy ez egyszerre j is, s rossz is. A j hr, hogy a nagyfnkknek annyira tetszettek az igazgat megoldsai a ksn

1 Ennyi elnye hadd legyen! Az elzekbl ugyanis kitnik, hogy ez ppen a kedves Olvas. (A ford.)

rkez vendgek elhelyezsre, hogy gy dntttek, kirgjk az sszes tbbi szllodaigazgatt (s ezzel vgtelen brkltsget takartanak meg), s bezrjk a szllodalnc sszes tbbi tagjt. A rossz hr: a lnc bezrt, vgtelen szm tagjban eddig lak vgtelen szm vendg is ebbe a szllodba kltzik. Teht vgtelen sok szlloda mindegyikbl vgtelen sok vendg rkezik egy mr amgy is megtelt szllodba.

Az igazgat eddig gyes volt. Teli szllodjban elszr egy vendgnek tallt egy szabad szobt, majd vgtelen szm szobt szabadtott fel a vgtelen szm vratlan vendgnek, s most szoba kellene vgtelen szm, vgtelen tagbl ll trsasgnak. Mit tehet? Mindjrt megrkeznek.

A szllodban mindenki ezen tri a fejt. Sok rlt, semmire nem vezet tlet hangzik el, de azutn valaki eljn egy hasznlhatval.6

Prbljuk meg gy. Hagyjuk a helyn az l-es szoba lakjt, kltztessk a 2-es lakt az 1001-es szobba, a 3-ast a 2001-esbe, a 4-est a 3001-esbe, s gy tovbb. Utna tegyk a 2-es szlloda lakit az 1002-es, 2002-es, 3002-es stb. szobkba, a 3-as szllodbl rkezket pedig az 1003-asba, 2003-asba, 3003-asba stb. Els rnzsre ez j megoldsnak tnik, mintha lenne egy j mdszernk arra, hogy mindenki szobhoz jusson. De akkor a ports krdez valamit az igazgattl, aki ettl majdnem szvrohamot kap. Mi legyen az 1001-es szlloda eddigi lakival? Nincs hov mennik, mert a szllodalnc els 1000 szllodjbl rkez vendgek mr elfoglaltk az sszes szobt. Ellrl kell kezdennk7, az rhajk pedig mr kzeljrnak.

Valaki ms felveti, hogy tegyk az 1. szlloda vendgeit a 2-es, 4-es, 8-as, 16-os stb. szobkba, teht szorozzuk a szobaszmot mindig 2-vel. A 3-as szlloda eddigi laki a 3-as, 9-es, 27-es, 81-es stb. szobkba kerlnnek (mindig 3-mal szorzunk) s gy tovbb, a vgtelensgig. De az igazgat rjn, hogy ekkor sok olyan szoba lenne, ahov egyszerre tbb vendg is rkezne: a 16-os szobba pldul az l-es szlloda 4. vendge s a 3-as szlloda msodik vendge is. s csak olyan thelyezsi mdszer fogadhat el, amely biztostja, hogy egy szobba csak egy ember jusson. A kt szmhoz (a szlloda szmhoz s az eredeti szobaszmhoz, a ford.) olyan szobaszmot kell hozzrendelni, ami egyetlen ms szmprhoz sem tartozik.

Ekkor egy kukta, aki mellkesen most fejezte be az els vet matematika szakon, felveti, hogy hasznljunk prmszmokat8 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 tudjuk, hogy ezekbl is vgtelen sok van), mert minden egsz szmot csak egyflekppen lehet prmszmok szorzataknt ellltani. Pldul: 8 = 2 x 2 x 2, 21 = 3 x 7 s 35 = 5 x 7.

Az igazgat felkapja a fejt. Lassan eszbe jutnak a rgi matekrk. Trelmesen vgighallgatja a fit, alaposan vgiggondolja a dolgot, s ismerteti a szemlyzettel az j tervet. Tegyk az 1. szlloda vgtelen szm lakjt a 2-es, 4-es, 8-as, 16-os, 32-es szobkba, az eddig a 2-es szllodban lakkat a 3-asba, a 9-esbe, a 27-esbe, a 3-asbl rkezk az 5-s, 25-s, 125-s, 625-s szobkat kapjk, a 4-es szlloda vendgei pedig a 7-est, a 49-est, a 343-ast, s gy tovbb. Biztos, hogy egy szobt sem adnak ki tbb vendgnek, mert ha p s q klnbz prmszmok, m s n pedig egszek, akkor pm soha nem egyenl qn-nel.

Az emberek tartanak egy prbt, s rjnnek, hogy a dolgok egy kicsit egyszersthetk, s az asztali szmolgp segtsgvel egy pillanat alatt meg tudjk mondani, ki hov kerljn. Az n-edik szlloda m-edik szobjbl rkez vendg szobaszma az 1-es szllodban 2m x 3n lesz, teht pldul a 4. szlloda 6. vendge a 26 x 34 = 64 x 81 =5184-es szobt kapja. s egy szobba se kerl kt vendg.

De az igazgatnak mg ez sem tetszik elgg. A legjabb mdszer szerint ugyanis rengeteg res szoba marad. A kukta eredeti terve szerint pldul a 6-os, a 10-es, a 12-es stb., hiszen ezek nem prmszm-hatvnyok. A kplettel lert mdszer szerint azok a szobk maradnak resen, amelyek nem rhatk fel 2m x 3n alakban. Az igazgat utols menttlete: felhvja egy rgi iskolatrst, aki most egy olyan gynksget vezet, amelyik cgeknek ad zleti tancsokat. A konzultci vgtelen djnak kifizetse utn az gynksg javasol egy j, sokkal hatkonyabb mdszert.

Rajzoljunk egy tblzatot. Minden mezjbe egy (vendget jelent) szmpr kerl, amelynek az els tagja az elszllsoland rgi szobaszma, a msodik tagja pedig a rgi szlloda szma. gy pldul az 5. sor 4. oszlopa azt a vendget jelli, aki eddig a 4. szlloda 5. szobjban lakott (3.2. bra).

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,n)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,n)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,n)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,n)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,n) (m,1) (m,2) (m,3) (m,4) (m,n)

A tblzat alapjn knny elhelyezni az jonnan rkezket. Az (1,1)-gyel jellt vendg kerl az 1-es szobba, az (1,2) jel a 2-esbe, a (2,2)-es a 3-asba, a (2,1) pedig a 4-esbe. Ezzel elintztk a tblzatunk bal fels, 2 x 2-es rszt.

(1,1)az 1-esbe

(1,2)a 2-esbe (1,3) (1,4) (1,n)

(2,1)a 4-esbe

(2,2)a 3-asba (2,3) (2,4) (2,n)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,n)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,n)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,n) (m,1) (m,2) (m,3) (m,4) (m,n)

3.2. bra A Vgtelensgek els jelenetben alakul az algoritmus.

Most prblkozzunk meg a bal fels sarok 3 x 3-as rszvel. Az (1,3)-as vendg az 5-s szobba kerl, a (2,3)-as a 6-osba, a (3,3)-as a 7-esbe, a (3,2)-es a 8-asba, a (3,1)-es a 9-esbe. Kszen is vagyunk.

(1,1) az 1-esbe (1,2) a 2-esbe (1,3) az 5-sbe (1,4) (1,n)(2,1) a 4-esbe (2,2) a 3-asba (2,3) a 6-osba (2,4) (2,n)(3,1) a 9-esbe (3,2) a 8-asba (3,3) a 7-esbe (3,4) (3,n)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,n)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,n)

Az igazgatnak tetszik a dolog, de megkrdezi, hogy vajon lesz-e elg szoba. Igen.9 A matematikushallgat kukta ismt megjelenik, s bebizonytja neki, hogy nemcsak, hogy minden j vendgnek sajt szobja lesz, de egyetlen szoba sem marad resen. Lehet kldeni a 100%-os statisztikkat!

A Hotel Vgtelen knyvelseMinden panzi ugyanaz a panzi. Egygyas szoba pedig az, amelyiknek nincsenek rszei s mrete.Ha mr minden ms szoba foglalt, az egygyast kinevezik ktgyasnak.

Stephen Leacock10

A Hotel Vgtelenben mg soha nem volt ilyen nagy a forgalom. A bevtel vgtelen, a kltsgek vgtelenek, viszont a haszon is vgtelen ez a knyvel legfontosabb mondanivalja, ami zene az igazgat flnek. Egszen addig, amg el nem rkezik az adbevalls ideje. A szlloda knyvelje elrte, hogy a lehet legalacsonyabb adkulcsot alkalmazhassk kihasznlt sok-sok intergalaktikus kiskaput s minden lehetsges adparadicsomot , de az adkulcs nem lehet olyan alacsony, hogy a vgtelen profitra alkalmazva vges sszeg jjjn ki.11 Az igazgat magnkvl van.

Hogyan lehetsges? ordtja. Tnkrementnk. Adtartozsunk vgtelen csakgy, mint a profitunk.

A knyvel lelteti az igazgatt a legknyelmesebb karosszkbe, s fz neki egy j kvt.

Hadd magyarzzam el mondja. Nyugodtan utalja t a vgtelen adt. Meg fogja ltni, hogy a profit ugyanannyi marad: vgtelen.

De nem minden j, ha a vge j. A Hotel Vgtelen trelmes tulajdonosai teljesen kimerlnek; nem is csoda: vgtelenl sok vendget kell elhelyezni vgtelen sok ms galaxisbl val vgtelenl

sok szllodbl. Intergalaktikus lptk recesszi van. Vgtelenl sok millird vig fog tartani, amg behozzk. gy dntenek, hogy csak egy radiklis zleti stratgiavltoztats segthet rajtuk, mghozz egy vgtelenl radiklis. tnevezik a szllodalncot, termkeiknek is j nevet adnak s j piacot keresnek maguknak. Nagyon is trendi, amit kitalltak: a minimalista szlloda. k lesznek a Hotel Zr szlloda. Az let ezzel sokat egyszersdik. Nincsenek szobk, vendgek, szemlyzet, mkdsi kltsgek (a szobk hmrsklett az abszolt nullponton tartjk) nincsenek vesztesgek, nincsenek problmk. A brban folyamatos gpzene megy: John Cage 4 perc 33 msodperce12, az elcsarnokot modern festmnyek (res, bekeretezett vsznak) dsztik, s az r A semmi knyve13 cm mvt ingyen megkapja minden vendg, aki szobt szeretne, de nem kap mrpedig ilyen vgtelen sok van. A falon pedig egy idzet lg:

Ha az emberek nem hiszik, hogy a matematika egyszer, az csak azrt lehet, mert nem hiszik el, milyen bonyolult az let.

4. A vgtelen nem egy nagy szm

Az a vgtelen, ez a vgtelen, a vgtelenbl vgtelen tmad, ha a vgtelenbl vgtelent vesznk el, vgtelen marad.

Szanszkrit mantra1

FogalomzavarAz r szinte vgtelen. Valjban gy gondoljuk, hogy tnyleg az.

Dan Quayle2

rthet, ha a vgtelenre gy gondolunk, mint egy nagyon nagy szmra, amelyik mg egy kicsit nagyobb, mint amekkorra eddig gondolni tudtunk. Ezt a szmot soha nem rjk el; olyan, mint a szivrvny msik vge. De a vgtelen vgtelenl bonyolult termszetnek megrtshez tudnunk kell, hogy az nem egyszeren egy nagyon nagy szm. Minsgben (s nem csak mennyisgileg) klnbzik minden vges szmtl (pldul 124 453 567 000 000 000 00 000 000 000 001-tl), akrmekkora legyen is az. A vgtelen egyszeren egy nagyon nagy szm legtbben gy tartjk. Kzenfekv lenne gy gondolni r, mint egy soha meg nem ll szmllra, s gy krlbell olyan, mint a legnagyobb szm, amire csak gondolhatunk, csak egy kicsit nagyobb.

Albert von Sachsen paradoxonaAkkor fogta az t kenyeret s a kt halat, fltekintett az gre, s hlt adott. Megtrte a kenyeret, s odaadta a tantvnyoknak, hogy osszk szt. A kt halat is sztosztotta. Mindenki evett s jl is lakott. A maradk kenyrbl s halbl tizenkt kosarat szedtek tele. A kenyrbl csak frfiak tezren ettek.

Szent Mrk 6: 41-44

Albert Richmerstop a nyugat-szszorszgi Helmstedtben szletett 1316-ban. volt a kzpkor egyik legnagyobb hats logikatudsa.

Prgban s Prizsban tanult, lett a prizsi egyetem els rektora, majd 1365-ben a genfi egyetem. Nagyon sok logikai s filozfiai mvet rt, s emellett fontos szerepe volt az llam s az egyhz kztt megkezddtt politikai egyeztetsekben; kzvettett a ppa s Ausztria hercege kztt. Nem csoda, hogy egy vvel bcsi megbzatsa utn kineveztk Halberstadt pspknek. Ebben a hivatalban halt meg 1390-ben. Az utkor mint Albert von Sachsen, vagy Albertuciusknt emlegeti (az utbbi jelentse: kis Albert), megkl