บทน ำ เซตเซตของจ านวนเต มต งแต 1 ถ ง 3 ค...

สรปเขมคณตศาสตร เลม 1 http://www.pec9.com บทน ำ เซต

1

บทน ำ เซต

0.1 เซต 0.1.1. การเขยนแทนเซต

ในวชาคณตศาสตร ใชค าวา “เซต” ในการกลาวถงกลมของสงตางๆ และเมอกลาวถงกลม ของสงใดแลว จะสามารถบอกไดแนนอนวาสงใดอยในกลมและสงใดไมอยในกลม เชน

เซตของจ านวนเตมตงแต 1 ถง 3 คอจ านวน 1 , 2 , 3 เปนตน การเขยนแสดงเซตอาจเขยนได 2 แบบดงน 1. แบบแจกแจงสมาชก เปนการเขยนแสดงสมาชกของเซตใหเหนจรง เชน

A = { 5 , 6 , 789 } สงทอยในเซต และม , คนไว เรยกวาเปนสมาชกของเซต 1 ตว จากตวอยางนจะไดวา

5 เปนสมาชกของเซต A เขยนเปนสญลกษณแทนดวย 5 A ( อานวา เปนสมาชก ) และ 6 A 789 A

แต 1 ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนเปนสญลกษณแทนดวย 1 A ( อานวา ไมเปนสมาชก ) 2. แบบบอกเงอนไขของสมาชก เปนการเขยนโดยใชตวแปรแทนสมาชกแลวบรรยายสมบตของสมาชกทอยในรปของตวแปรนน เชน B = { x | x เปนจ านวนเตมบวกทนอยกวา 4 } อานวา B เปนเซตของ x โดยท x เปนจ านวนเตมบวกทนอยกวา 4

1. ตอไปน ขอทถกไดแกขอใดบาง

a. 1 { 1 , 2 , {3} , {4,5,6} } b. 2 { 1 , 2 , {3} , {4,5,6} } c. 3 { 1 , 2 , {3} , {4,5,6} } d. {4} { 1 , 2 , {3} , {4,5,6} } e. {4,5} { 1 , 2 , {3} , {4,5,6} } f. {4,5,6} { 1 , 2 , {3} , {4,5,6} }

1. a , b , c 2. a , b , d 3. a , b , e 4. a , b , f


2

0.1.2. เซตทควรรจก 1) เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชกเลย เชน

D = {x | x เปนจ านวนเตมทอยระหวาง 0 กบ 1} สญลกษณแทนเซตวาง คอ { } หรอ ( อานวา พ )

2) เซตจ ากด คอ เซตทสามารถบอกจ านวนสมาชกไดวามกตว เชน A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } มสมาชก 5 ตว B = { 1 , 2 , 3 , …. , 95 } มสมาชก 95 ตว

ควรทราบวา เซตวางเปนเซตจ ากด เพราะบอกจ านวนสมาชกไดแนนอน คอ ม 0 ตว 3) เซตอนนต คอ เซตทมจ านวนสมาชกมากมายจนนบจ านวนไมได

เชน C = { 5 , 6 , 7 , 8 , … } 4) เซตทเทากน หมายถง เซต 2 เซต ซงมสมาชกเหมอนกนโดยตลอด

เชน ถา A = { a , b , c , d } และ B = { b , c , a , d } จะไดวา A = B ถา C = { 1 , 2 , 3 } และ D = { 2 , 6 , 7 } จะไดวา C D

2(แนว O–Net) เซตตอไปน เซตใดเปนเซตจ ำกด 1. { x | x เปนจ ำนวนเตมบวกคทนอยกวำ 0 } 2. { x | x = n1 โดยท n เปนจ ำนวนนบ } 3. { x | x = n1 โดยท n เปนจ ำนวนเตมทนอยกวำ 10 } 4. { x | x เปนจ ำนวนเตมทหำรดวย 3 ลงตว }


3

0.2 สบเซต และเพาเวอรเซต บทนยาม เซต A จะเปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของเซต A เปน

สมาชกของเซต B เขยนเปนสญลกษณแทนดวย A B ( อานวา เปนสบเซต ) ตวอยาง ถา A = { 2 , 3 } และ B = { 2 , 3 , 4 , 5 } จะเหนวา 1) A เปนเซต

2) สมาชกของเซต A ทกตวลวนเปนสมาชกของเซต B สรป A B

ตวอยาง ถา A = 6 , 8 และ B = { 2 , 4 , 6 , 8 } จะเหนวา 1) A ไมเปนเซต

สรป A B ( อานวา ไมเปนสบเซต ) ตวอยาง ถา A = { 6 , 8 } และ B = { 3 , 4 , 5 , 6 } จะเหนวา 1) A เปนเซต

2) สมาชกของเซต A บางตวไมเปนสมาชกของเซต B สรป A B

ควรทราบเพมเตมเกยวกบสบเซต 1) เซตวางเปนสบเซตของทกเซต 2) เซตทกเซตเปนสบเซตของตวมนเองเสมอ 3) จ านวนสบเซต = 2n เมอ n = จ านวนสมาชกของเซตนนๆ

ตวอยาง ให A = {2 , 4 , 6} จะไดวา จ านวนสบเซตของ A = 23 = 8 สบเซต

ไดแก {2} {4} {6} {2, 4} {2, 6} {4, 6} {2, 4, 6} 4) สบเซตทงหมดทไมใชเซตของตวมนเอง เรยกวา สบเซตแท

และ จ านวนสบเซตแท = 2n – 1 ตวอยาง ให A = { 2 , 4 , 6 }

สบเซตแทของ A ไดแก {2} {4} {6} {2, 4} {2, 6} {4, 6} จะเหนวา จ านวนสบเซตแทของ A = 23 – 1 = 7 สบเซต


4

5) เพาเวอรเซต ( P(A) ) คอ เซตของสบเซต และ จ านวนสมาชก P(A) = จ านวนสบเซตของเซต A = 2n

ตวอยาง ให A = { 2 , 4 , 6 } P(A) = {2} , {4} , {6} , {2, 4} , {2, 6} , {4, 6} , {2, 4, 6} ,

3. ตอไปน ขอทถกไดแกขอใดบาง

a. { 1 } { 1 , 2 , {3} , {4,5} } b. { 1 , 2 } { 1 , 2 , {3} , {4,5} } c. { 3 } { 1 , 2 , {3} , {4,5} } d. { 4 , 5 } { 1 , 2 , {3} , {4,5} } e. {{4,5}} { 1 , 2 , {3} , {4,5} } f. 1 , 2 { 1 , 2 , {3} , {4,5} } g { 1 , 2 , {3} , {4,5} } 1. a , b , c , g 2. a , b , e , f 3. a , b , e , g 4. a , b , f , g

4(แนว Pat1) ให A = { 1 , 2 , {1,2} , {1,2,3} } ขอใดตอไปนผด

1. {1 , 2} A 2. {1 , 2 , 3} A 3. {1 , 2} A 4. {1 , 2 , 3} A

5(แนว Pat1) ให A = { , 1 , {1}} ขอใดตอไปนผด

1. A 2. { {1} , { 1 , {1}} } A

3. {1 , {1}} A 4. { } A


5

ฝกท า ก าหนดให A = 1 , 2 , {2} จงหา P(A)

6. ก าหนดให A = x จงหาจ านวนสมาชกของ P(A)

7. ก าหนดให A = จงหาจ านวนสมาชกของ P(A)

8. ให A = { 1 , 2 , {3} , {4,5,6}} ตอไปนขอทถกมกขอ

a. { 1 } P(A) b. { 1,2 } P(A) c. {{1,2}} P(A)

d. {{1,2}} P(A) e. { 1 } P(A) f. { 1,2 } P(A)

g. P(A) f. P(A) 1. 3 ขอ 2. 4 ขอ 3. 5 ขอ 4. 6 ขอ


6

9. ก าหนดให A = แลว ขอใดตอไปนผด 1. P(A) 2. P(A) 3. P(A) 4. P(A)

0.3 เอกภพสมพทธ และ แผนภาพของเวนน-ออยเลอร เอกภพสมพทธ (U ) คอเซตซงตกลงเอาไววาใหเปนเซตทใหญทสดในโจทยนนๆ และ

เราจะไมกลาวถงสงอนใดนอกเหนอจากสมาชกในเอกภพสมพทธ เชน ถาก าหนดให U = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ( เอกภพสมพทธ )

และ A = { 2 , 4 , 6 } ดงนน จ านวนซงไมเปนสมาชกของ A คอ 1 , 3 , 5 เทานน สงเกตวาเราจะไมกลาวถง 7 , 8 , 9 , ...... เพราะจ านวนเหลานไมอยใน U

การเขยนแสดงเซตนน เราอาจเขยนแสดงเปนแผนภาพซง เวนน กบ ออยเลอร เปนผคดคนไว ดงตวอยางตอไปน

ก าหนดให U = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } A = { 2 , 4 , 6 }

และ B = { 1 , 2 , 3 }

0.4 อนเตอรเซกชน , ยเนยน , ผลตาง และคอมพลเมนตของเซต

0.4.1) อนเตอรเซกชน ( Intersection , ) บทนยาม อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชกซงเปน สมาชกของทงเซต A และเซต B หรอ คอเซต ของสมาชกเซต A และเซต B ทซ ากน

ใชสญลกษณ A B เชน ให A = { 1 , 2 , 3 }

และ B = { 3 , 4 , 5 } ดงนน A B = { 3 }

B A

4 , 6 , 2 , 1 , 3

5 , 7 U

A B

U

A B

1 , 2 3 4, 5


7

0.4.2) ยเนยน ( Union , ) บทนยาม ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของเซต A หรอเซต B หรอ ของทงสองเซต

ใชสญลกษณ A B เชน ให A = { 1 , 2 , 3 }

B = { 3 , 4 , 5 } ดงนน A B = { 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 }

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 0.4.3) ผลตางระหวางเซต ( Difference , – ) บทนยาม ผลตางของเซต A กบเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเซตทเปนสมาชกของเซต A แตไมเปนสมาชกของ เซต B ใชสญลกษณ A – B

เชน ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 5 , 6 }

จะได A – B = { 1 , 2 } และ B – A = { 5 , 6 }

0.4.4) คอมพลเมนต ( Complement , / ) บทนยาม คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทไมใชสมาชกเซต A แตเปนสมาชกของ U ใชสญลกษณ A/ ( อานวา A ไพรม ) เชน ให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } และ A = { 1 , 2 } ดงนน A/ = { 3 , 4 , 5 }

ขอควรรเกยวกบอนเตอรเซกชน ยเนยน ผลตางระหวางเซต และคอมพลเมนต

1) A A = A 6) A A = A 2) A B = B A 7) A B = B A 3) (A B) C = A ( B C) 8) (A B) C = A ( B C)

1 2 3 4 5

A B

U

A B

A B

U

B – A

A B

U

A – B

A

U

A


8

4) A = 9) A = A 5) A U = A 10) A U = U 11) A ( BC) = (AB) (AC) 12) A(BC) = (AB) (AB) 13) (A/)/ = A 14) U / = และ / = U 15) (A B) / = A/ B/ (A B) / = A/ B/ 16) A A/ = A A/ = U 17) A – B = A B/

10(แนว O–Net) ถา A – B = { 0 , 1 , 3 } , B – A = { 2 , 4 , 6 } และ A B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } แลว A B เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. { 0 , 1 , 4 , 5 , 6 } 2. { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } 3. { 0 , 1 , 3 , 5 , 7 } 4. { 0 , 2 , 4 , 5 , 6 }

11(แนว En) ถา A = { 1 , 2 , 3 , 4 , ….} และ B = {1,2} , {3,4,5 } , 6 , 7 , 8 , …. แลว (A – B) (B – A) มสมาชกกตว

A A


9

12(แนว En) ให A , B , C , D เปนเซตใดๆ (A C) – (B D) เทากบเซตในขอใดตอไปน 1. (A – B) (D – C) 2. (A – B) (C – D) 3. (A – B) (D – C) 4. (A – B) (C – D)

0.5 จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

ตวอยาง ก าหนด จ านวนสมาชก U = 20 สมาชก จ านวนสมาชก A = 7 สมาชก จ านวนสมาชก B = 8 สมาชก จ านวนสมาชก (A B) = 3 สมาชก จงหา จ านวนสมาชกของ A B แนวคด ขน 1 ใหเขยนแผนภาพของเซตทงหมด ขน 2 ใหระบจ านวนสมาชกของพนทดานในสด กอนและจงระบจ านวนสมาชกในพนทถดออกมา ดงรป ขน 3 จากรปจะไดวา จ านวนสมาชกของ A B = 4 + 3 + 5 = 12 หมายเหต การค านวณเกยวกบสมาชกเซตจ ากดใดๆ อาจใชสมการตอไปนค านวณได n (A B) = n(A) + n(B) – n(A B) และ n(ABC) = n(A) +n(B) +n(C) –n(AB) –n(BC) –n(AC) + n(ABC) เมอ n คอจ านวนสมาชกของเซตนน

A B

U 20 – (4+3+5) = 8

7–3 =4 8–3 =5 3


10

13. ก าหนด n(U) = 150 , n(A) = 40 , n(B) = 30 , n (AB) = 10 จงหา n (AB)

14(แนว Pat1) มนกเรยนกลมหนงจ านวน 46 คน แตละคนเลนกฬาหรอเลนดนตรอยางนอย หนงอยาง ถานกเรยน 39 คน เลนกฬา และ 19 คน เลนดนตร แลวนกเรยนกลมนทเลน ทงกฬา และดนตรมจ านวนเทากบขอใดตอไปน 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 15(แนว O–Net) ในการสอบถามนกเรยนจ านวน 300 คน พบวา มคนทไมดมทงชาเขยวและนม 100 คน มคนทดมชาเขยว 100 คน

และ มคนทดมนมสด 150 คน นกเรยนทดมทงชาเขยวและนมสดมจ านวนเทาใด


11

16(แนว O–Net) ในการส ารวจความชอบในการดมน าขงและกาแฟของกลมตวอยาง 32 คน พบวาผชอบดมน าขงม 18 คน ผชอบดมกาแฟม 16 คน ผไมชอบดมน าขงและไมชอบดม กาแฟม 8 คน จ านวนคนทชอบดมน าขงอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน

1. 6 คน 2. 8 คน 3. 10 คน 4. 12 คน

17(แนว En) จากการส ารวจผเลนกฬา 180 คน พบวา มผชอบเลนฟตบอล 95 คน ชอบเลนบาสเกตบอล 92 คน ชอบเลนปงปอง 125 คน ชอบเลนฟตบอลและบาสเกตบอล 52 คน ชอบเลนฟตบอลและปงปอง 43 คน ชอบเลนบาสเกตบอลและปงปอง 57 คน และทง 180 คน จะชอบเลนกฬาอยางนอยหนงประเภทในสามประเภท ดงกลาวขางตน จ านวนคนทชอบเลนกฬาทงสามชนดเทากบขอใดตอไปน 1. 20 2. 25 3. 30 4. 35


12

18(แนว O–Net) นกเรยนกลมหนงจ านวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนฟตบอล และไมชอบ รอง เพลง ถาม 6 คน ชอบรองเพลง แตไมชอบเลนฟตบอล และม 1 คน ชอบเลนฟตบอลแตไมชอบรองเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนฟตบอลและชอบรองเพลงมจ านวนเทากบขอใด

1. 11 คน 2. 12 คน 3. 17 คน 4. 18 คน

19(แนว En) ในการส ารวจผทไปเทยวสวนสตว 100 คน พบวาม 50 คนชอบชาง 35 คนชอบ ลง 25 คนชอบหม 32 คนชอบชางอยางเดยว 20 คน ชอบหมแตไมชอบลง 10 คนชอบ ชางและลงแตไมชอบหม จงหาจ านวนคนทไมชอบสตวสามชนดนเลย


13

เฉลยบทน ำ เซต

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบขอ 1. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบ 2 7. ตอบ 1 8. ตอบขอ 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 3. 11. ตอบ 7 ตว 12. ตอบขอ 13. ตอบ 60 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบ 50 คน 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบ 13.


14

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย เรองเซต ชดท 1

0.1 เซต 0.2 สบเซต และเพาเวอรเซต

1(แนว Pat 1) ก าหนดให A = { , a , { a }} ขอใดตอไปนผด 1. A 2. { } A 3. { a , { a }} A 4. {{ a } , { a , { a }}} A

2(แนว Pat 1) ก าหนดให A = { 1 , 2 , {1 , 2} , {1 , 2 , 3} } ขอใดตอไปนผด 1. {1 , 2} A 2. {1 , 2 , 3} A 3. {1 , 2} A 4. {1 , 2 , 3} A 3(แนว Pat 1) ก าหนดให A = { x x เปนจ านวนคบวก และ x 100 }

และ B = { x x A และ 3 หาร x ลงตว } จ านวนสมาชกของเซต P(B) เทากบขอใดตอน 1. 216 2. 217 3. 218 4. 219

4(En47 ต.ค.) ถำ A = {1 , 2 , 3 ,…, 9} , S = { B B A และ (1 B หรอ 9 B)} แลวจ ำนวนสมำชกของ S เทำกบเทำใด

0.3 เอกภพสมพทธ และ แผนภาพของเวนน-ออยเลอร 0.4 อนเตอรเซกชน , ยเนยน , ผลตาง และคอมพลเมนตของเซต

5(En42 ม.ค.) ถา A = { 1 , 2 , 3 , 4 , … } และ B = {{1 , 2} , {3 , 4 , 5} , 6 , 7 , 8 ,…}

แลว (A – B) (B – A) มสมาชกกตว


15

6(En 40) ก าหนดให A = a , {a} , {b} , {b , c} ขอใดถก 1. A – {b , c} b = a , b , {a} , {b} , {b , c} 2. A – {b , c} b = a , {a} , {b} 3. A – a , {b} – a = {b , c} 4. A – a , {b} – a = b , c

7(En41 เม.ย.) ถา A = { x x = 1 – n2 และ n เปนจ านวนนบ } B = { 0 , 1 , 2

1 , 31 , 4

1 , … } และ C = { –1 , 0 , 2

1 , { 31 , 4

2 , 53 ,…} }

แลว (A C) – B เปนจรงตามขอใดตอไปน 1. เปนเซตอนนต 2. เปนเซตจ ากดทมสมาชกมากกวาหนงตว 3. เปนเซตทมสมาชกตวเดยว 4. เปนเซตวาง

8(En43 ต.ค.) ถา A = { , 0 , 1 , {0 , 1}}

และ B = { , {} , {0 , {0 , 1}} , {0 , {1}}} แลวเซต P (A) – B มจ านวนสมาชกเทาใด

9(En41 ต.ค.) ถา A = { , 0 , 1 , {0} , {0 ,1}} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลวเซต

P(A) – A มสมาชกกตว

10(En 36) ถา A = { , {} , 0 , {0} , {1} , {0 , 1}} และ P(A) คอเพาเวอรเซตของ A แลวเซต ( P(A) – A ) ( A – P(A) ) มจ านวนสมาชกกตว

11(แนว Pat 1) ก าหนดให A = 0 , 1 , 2 , {0 , 1 , 2} และ P(A) แทนเซตก าลงของ A พจารณาขอความตอไปน ก. A P (A) = { 0 , 1 , 2 } ข. n (A – P(A)) < n (P (A) – A)

ขอใดตอไปนเปนจรง


16

1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

12(En 38) ถา A = 0 , 1 และ B = 0 , {1} , {0 , 1} แลวขอใดตอไปนเปนจรง 1. A P(B) 2. 1 P(A) P(B) 3. จ านวนสมาชกของ P(A B) = 2 4. จ านวนสมาชกของ P(A B) = 8

0.5 จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

13(แนว Pat 1) ในการส ารวจความเหนของนกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลายจ านวน 880 คน เพอสอบถาม ขอมลเกยวกบการศกษาตอปรากฏผลดงน มผตองการศกษาตอ 725 คน มผตองการท างาน 160 คน มผตองการศกษาตอหรอท างาน 813 คน ผทตองการศกษาตอและท างานดวย มจ านวนเทากบขอใดตอไปน 1. 67 คน 2. 72 คน 3. 85 คน 4. 90 คน 14(En 38) จากการส ารวจผฟงเพลงจ านวน 180 คน พบวา มผชอบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทยเดม 92 คน เพลงลกทง 125 คน เพลงไทยสากลและเพลงไทยเดม 52 คน เพลงไทยสากลและเพลงลกทง 43 คน เพลงไทยเดมและเพลงลกทง 57 คน และทง 180 คน จะชอบฟงเพลงอยางนอยหนง ประเภทในสามประเภท ดงกลาวขางตน จ านวนคนทชอบฟงเพลงไทยสากลเพยงอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน 1. 20 2. 25 3. 30 4. 35


17

15(En41 เม.ย.) โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 80 คน และมชมรมกฬา 3 ชมรม คอฟตบอล กรฑา และวายน า นกเรยนทกคนตองเปนสมาชกอยางนอย 1 ชมรม ถามนกเรยน 30 คน ทไมเปนสมาชกชมรมวายน า มนกเรยน 20 คน ทเปนสมาชกชมรมวายน าแตไมเปน สมาชกชมรมฟตบอล และมนกเรยน 18 คน ทเปนสมาชกทงชมรมฟตบอลและชมรมวาย น าแตไมเปนสมาชกชมรมกรฑา แลวจ านวนสมาชกทเปนสมาชกทง 3 ชมรมเทากบขอใด ตอไปน 1. 8 2. 12 3. 14 4. 15

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย

เรองเซต ชดท 1

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบ 384 5. ตอบ 7. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบ 13 9. ตอบ 29 10. ตอบ 64 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 3 . 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 2.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 1 www.pec9.com บทท 1 ตรรกศาสตร

1

บทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน

1.1 ประพจน

ประพจน คอขอความทอยในรปของประโยคบอกเลา หรอประโยคปฏเสธ ซงจะเปนจรงหรอเทจอยางหนงอยางใดเทานน

เชน หนงสปดาหม 7 วน เปนจรง ถอวาเปนประพจน หนงเดอนม 45 วน เปนเทจ ถอวาเปนประพจน หนงปม 15 เดอน เปนเทจ ถอวาเปนประพจน ขอใหโชคด บอกจรงเทจไมได ไมถอวาเปนประพจน จะไปไหนกน บอกจรงเทจไมได ไมถอวาเปนประพจน

1.2 การเชอมประพจน หากเรามประพจนยอยหลายๆ ประพจน เราสามารถน าประพจนยอยเหลานนมารวมกน ใหประพจนเดยวไดโดยใสตวเชอมประพจนเขาไประหวางประพจนยอยเหลานน

ตวเชอมประพจนม 4 ตว ไดแก 1) และ () 2) หรอ () 3) ถา.......แลว....... ( ) 4) กตอเมอ ( ) เชน ไกม 2 ขา และ ชางมงวง

เมอประพจนถกเชอมดวยตวเชอมประพจนตางๆ ประพจนรวมทไดจะเปนจรงหรอเทจ ใหพจารณาตามตารางตอไปน

p q p q p q p q p q ~p T T T T T T F T F F T F F F F T F T T F T F F F F T T T

หมายเหต ; นเสธของประพจนใด คอประพจนทมคาความจรงตรงกนขามกบประพจนเดมนน


2

ฝกท า. จงสรางตารางตอไปนใหสมบรณ p q p q p q p q p q ~p

T T T F F T F F

1.3 การหาคาความจรงของประพจน

1(แนว En) ก าหนดให p , q , r เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง เทจ และเทจ ตามล าดบ ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเหมอนกบประพจน (p q) (r p) 1. ( r p ) (q r) 2. (q r) (p q) 3. (p r ) (q r) 4. (p q) (r q)

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางตอไปนใหถกตองและสมบรณ 1. F = …………… 2. F = …………… 3. F ก = …………… 4. ก F = …………… 5. F ก = …………… 6. F ก = ……………

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางตอไปนใหถกตองและสมบรณ

1. T = …………… 2. T = …………… 3. T ก = …………… 4. ก T = …………… 5. T ก = …………… 6. T ก = …………… 7. F ก = …………… 8. F ก = ……………


3

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางตอไปนใหถกตองและสมบรณ 1. F T = …………… 2. F = …………… 3. T = …………… 4. F ก = …………… 5. T ก = …………… 6. ( F ) = …………

2. จงหาคาความจรงของประพจนทก าหนดใหตอไปน ก. (q r) (s p) ถา q เปน จรง ข. (q r) (s p) ถา q เปนเทจ

1. ก. จรง ข. จรง 2. ก. จรง ข. เทจ 3. ก. เทจ ข. จรง 4. ก. เทจ ข. เทจ 3. จงหาคาความจรงของประพจนทก าหนดใหตอไปน

ก. (q r) (s p) ถา q เปนเทจ และ s เปนจรง ข. ( s r) (q p) ถา p เปนจรง ค. ( ~p r) (q p) ถา p เปนจรง

1. ก. จรง ข. จรง ค. จรง 2. ก. จรง ข. จรง ค. เทจ 3. ก. เทจ ข. เทจ ค. เทจ 4. ก. เทจ ข. จรง ค. เทจ 4. ก าหนดให ( p q ) r มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ p , q , r คอขอใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F 5(แนว En) ให p , q และ r เปนประพจน ถา (p q) (q r) มคาความจรงเปนเทจ แลวประพจนในขอใดตอไปน มคาความจรงเปนจรง 1. p q 2. p r 3. p q 4. q r


4

6. ถา (p q) และ [ p(q)(pq) ] [ (pq) (pq) ] มคาความจรงเปนเทจ และจรง ตามล าดบ จงหาคาความจรงของ p และ q 1. p = T , q = T 2. p = T , q = F 3. p = F , q = T 4. P = F , q = F

7(แนว En) ให p , q , r , s เปนประพจน ถา [ p (q r) ] ( s r ) มคาความ จรงเปนจรง และ p s มคาความจรงเปนเทจ แลวขอใดตอไปนถก

1. p q มคาความจรง เปน จรง 2. q r มคาความจรง เปน จรง 3. r s มคาความจรง เปน เทจ 4. s p มคาความจรง เปน เทจ

8(แนว En) ให p , q , r เปนประพจน ถาประพจน p (q r) มคาความจรงเปนเทจ และ (p q) r มคาความจรงเปนจรง แลว พจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน

ก. ( p q ) r ข. p ( q r) ขอใดตอไปนถก 1. ก. จรง และ ข จรง 2. ก จรง และ ข เทจ 3. ก เทจ และ ข จรง 4. ก เทจ และ ข เทจ


5

1.4 การสรางตารางคาความจรง

การสรางตารางคาความจรงเปนวธการหาคาความจรงของประพจนในทกกรณทเปนไปได

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ (p q) (p q) วธท า รปแบบของประพจน (p q) (p q) ประกอบดวยประพจนยอยสอง

ประพจนคอ p , q จงมกรณเกยวกบคาความจรงทอาจเกดขนไดทงหมด 4 กรณ

p q p q p q p q (p q) (p q) T T F F

T F T F

T F T T

F F T T

F T F T

F F F T

F T F T

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ ( p q ) r วธท า รปแบบของประพจน ( p q ) r ประกอบดวยประพจนยอยสามประพจนคอ p , q และ r จงมกรณเกยวกบคาความจรงทอาจเกดขนไดทงหมด 8 กรณ

p q r p q (p q ) r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T T F F F F F F

T F

T T T T T T


6

1.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน

ประพจน 2 ประพจน จะสมมลกนไดกตอเมอคาความจรงของ 2 ประพจนนน มคาตรงกนทกกรณ

ประพจนแตละคตอไปนสมมลกนเสมอ

1) p q q p 2) p q q p 3) p ( q r) ( p q ) r 4) p ( q r) ( p q ) r 5) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 6) p ( q r) ( p q ) ( p r) 7) ( p q ) p q 8) ( p q ) p q 9) p q p q ตวอยาง A B A B K L K L 10) ( p q ) ( p q ) p q 11) p q q p 12) p q ( p q ) ( q p) 13) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 14) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 15) ( q r ) p ( q p ) ( r p ) 16) ( q r ) p ( q p ) ( r p ) 17) p p p 18) p p p 19) p ~p F 20) p ~ p T


7

21) p F F 22) p T T 23) p T p 24) p F p

ฝกท า. จงพสจนวาประพจนตอไปนสมมลกน 1. ( P Q ) ( R S ) กบ ( R S ) ( P Q ) 2. p q กบ ( q p ) ( q p) 3. p ( q p) กบ p ( p q ) 4. p ( qr ) กบ ( p q ) r 9(แนว Pat1) ก าหนดให p , q , r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p (p (qr)) สมมลกบประพจน p (q r ) ข. ประพจน p (q r) สมมลกบประพจน (q p) ~ (p ~r)

ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด

3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด


8

10(แนว En) ก าหนดให p , q และ r เปนประพจน ประพจน ~[(p q) (q r)] สมมลกบ ประพจนในขอใดตอไปน 1. p ~ (q r) 2. ~ q ( ~ p r) 3. ~( p q) (q r) 4. ~(p q ) (q ~ r )

1.6 สจนรนดร สจนรนดร คอประพจนกมคาความจรงเปนจรงทกกรณ

วธการตรวจสอบวาประพจนใดเปนสจนรนดร ( ส าหรบโจทยทวไป ) ขนท 1 ใหสมมตคาความจรงของประพจนรวม เปนเทจ

ขนท 2 หาคาความจรงของประพจนยอย ๆ ขนท 3 พจารณาคาความจรงของประพจนยอย

หากมความขดแยงทกกรณ จะสรปวาประพจนรวมนนเปนสจนรนดร หากไมขดแยงแมกรณเดยว จะสรปวาประพจนรวมนนไมเปนสจนรนดร

วธการตรวจสอบวาประพจนใดเปนสจนรนดร ( ส าหรบหรบประพจนทมตวเชอม ) ขนท 1 พจารณาวาประพจนดานซายและขวาของ สมมลกนหรอไม ขนท 2 หากประพจนดานซายและขวาของ สมมลกน ประพจนรวมจะเปนสจนรนดร

หากประพจนดานซายและขวาของ ไมสมมลกน ประพจนรวมจะไมเปนสจนรนดร

11. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. [ (p q) p] p ข. ( p q ) ( p q)

1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน


9

12. ประพจนนเปนสจนรนดรหรอไม ก. [ ( q p ) q ] p ข. ( p q ) ( p q) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน 13. ประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม ก. ( p q ) ( p q ) ข. ( p q ) ( p q ) 1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. เปน ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน ข. เปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน

1.7 การอางเหตผล

การอางเหตผล คอการใชเหตการณซงสมมตวาจะเกดขนจรง มาอางถงผลทเกดตามมา ขนตอนการตรวจสอบวา การอางเหตผลนน ๆ สมเหตสมผลหรอไม ขนท 1 สมมตใหเหตทกเหตเปนจรง และผลเปนเทจ ขนท 2 หาคาความจรงของประพจนยอยๆ ขนท 3 พจารณาคาความจรงของประพจนยอย

หากมความขดแยงทกกรณ จะสรปวาเปนการอางแบบสมเหตสมผล หากไมขดแยงแมกรณเดยว จะสรปวาเปนการอางแบบไมสมเหตสมผล

14. จงตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตผลหรอไม เหต 1. p q 2. p r 3. s r 4. q ผล s


10

15(แนว En) พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p (q r ) ข. เหต 1. ( p q ) r

2. q 2. ( r s ) 3. r 3. p ผล p ผล q ขอใดตอไปนถก 1. ก. และ ข. สมเหตสมผล 2. ก. สมเหตสมผล ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก.ไมสมเหตสมผล ข. สมเหตสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล 16. จงตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตผลหรอไม

เหต 1. สมชายไปวายน า หรอ สมหญงไปเลนเทนนส 2. สมหญงไมเลนเทนนส

ผล สมชายไปวายน าหรอไปตลาด

1.8 ประโยคเปด

ประโยคเปด คอประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปร และเมอแทนตวแปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวไดประพจน เชน x + 5 > 0 เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนเตม


11

1.9 ตวบงปรมาณ

โดยล าพงประโยคเปดอยางเดยวจะบอกคาความจรง ( บอกวาเปนจรงหรอเปนเทจ ) ไมได แตถามวลบงปรมาณอยดวย อาจสามารถบอกคาความจรงของประโยคเปดนนได

วลบงปรมาณม 2 ตว คอ 1) x อานวา ส าหรบ x บางตว 2) x อานวา ส าหรบ x ทกตว

ตวอยาง x ( x + 5 = 9) อานวา “ ส าหรบ x บางตว x + 5 = 9 ” ประโยคนเปนจรง

x ( x + 5 = 9) อานวา “ ส าหรบ x ทกตว x + 5 = 9 ” ประโยคนเปนเทจ

1.10 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว

การพจารณาคาความจรงของประโยคเปดใดๆ ตองพจารณา 3 สวนตอไปน 1. พจารณาตวประโยคเปด 2. พจารณาวลบงปรมาณ 3. พจารณาเอกภพสมพทธ

ควรทราบวา x [ P (x) ] 1) จะเปนจรง กตอเมอแทนคา x ทกคาใน U แลวท าใหประโยค P(x) เปนจรง

2) จะเปนเทจ เมอม x ใน U แมแตเพยง 1 ตว ทท าใหประโยค P(x) เปนเทจ ตวอยาง. x ( x + 1 x2 ) ก าหนด U = { 2 , 3 , 4 , ……}

อานวา “ ส าหรบ x ทกตวในเซต { 2 , 3 , 4 , …. } จะไดวา x + 1 x2 ” ประโยคนเปนจรง เพราะไมวาใชเลขใดใน U มาแทน x สมการ x + 1 x2 จะเปนจรง

2. x ( x + 1 x2 ) ก าหนด U = { 1 , 2 , 3 , 4 , ……} อานวา “ ส าหรบ x ทกตวในเซต { 1 , 2 , 3 , 4 , …… } จะไดวา x + 1 x2 ”

ประโยคนเปนเทจ เพราะหากแทนคา x เปน 1 สมการ x + 1 x2 จะเปนเทจ


12

ควรทราบวา x [ P (x) ] 1) จะเปนจรง เมอมคา x ใน U อยางนอย 1 ตว ทท าใหประโยค P (x) จรง

2) จะเปนเทจ เมอไมม x ใดๆ ใน U ทท าใหประโยค P(x) เปนจรง ตวอยาง 1. x (x2 > 2x) ก าหนด U = { 1 , 2 , 3 }

อานวา “ ม x บางตวในเซต {1 , 2 , 3 } ทท าให x2 > 2x ” ประโยคนเปนจรง เพราะหากแทนคา x เปน 3 สมการ x2 > 2x จะเปนจรง 2. x (x2 > 2x) ก าหนด U = { 0 , 1 , 2 }

อานวา “ ม x บางตวในเซต {0 , 1 , 2 } ทท าให x2 > 2x ” ประโยคนเปนเทจ เพราะไมมเลขใดใน U ทท าใหสมการ x2 > 2x จะเปนจรง 17. ถาเอกภพสมพทธเปน { –1 , 0 , 1 , 2 } ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1. x x2 – 1 0 2. x x2 – 1 0 3. x x2 – 1 < 0 4. x x2 + 1 0 18(แนว En) ก าหนดเอกภพสมพทธ คอชวงเปด (–2 , 2) พจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน x [x + x2 x+ x2 และ x x2 ] มคาความจรงเปนจรง ข. ประพจน x [ x2 – x – 6 0 ] มความจรงเปนจรง ขอความตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด


13

1.11 สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ

นเสธของฟงกชนทควรทราบมดงตารางตอไปน นเสธคอ

x P(x) =

x ~ P(x)

19(แนว En) นเสธของขอความ x [P(x) Q(x)] คอขอความในขอใดตอไปน 1. x [ P(x) Q(x) ] 2. x [ P(x) Q(x) ] 3. x [ P(x) Q(x) ] 4. x [ Q(x) P(x) ] 20(แนว มช) ก าหนดเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรงบวก นเสธของ z m x x m x1 z คอประพจนในขอใด 1. z m x x m x1 z 2. z m x x m x1 z 3. z m x x m x1 z 4. z m x x m x1 z


14

21(แนว En) นเสธของประโยคสญลกษณ x y xy x + y 0 คอขอใด 1. x y x + y 0 xy 2. x y xy x + y 0 3. x y xy x + y 0 4. x y xy x + y 0

22(แนว En) พจารณาขอความตอไปน ก. ถาใหประพจน p เปนจรง q เปนเทจ แลว

(p q) q p มคาความจรงเปนจรง ข. นเสธของประพจน x P(x) Q (x) x R(x) คอ x P(x) Q (x) x R(x)

ขอใดถก 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

1.12 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณสองตว

ประโยคทมตวบงปรมาณสองตว สามารถเขยนได 8 รปแบบ ไดแก xy [P(x, y)] xy[P(x , y)] xy[P(x, y)] xy[P(x , y)] yx [P(x, y)] yx[P(x , y)] yx[P(x, y)] yx[P(x , y)]


15

การหาคาความจรงของประโยคเหลาน เราจะอาศยบทนยามตอไปน

บทนยาม ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวท าให P(a , b) เปนจรงเสมอ

ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวในเอกภพสมพทธ แลวท าให P(a , b) เปนเทจเสมอ

บทนยาม ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวในเอกภพสมพทธ แลว P(a , b) เปนจรง

ประโยค xy [P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวในเอกภพสมพทธ แลว P(a , b) เปนเทจ

บทนยาม ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวท าใหประโยค y [P(a , y)] เปนจรง

ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลวท าใหประโยค y [P(a , y)] เปนเทจ

บทนยาม ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนจรงกตอเมอแทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลวประโยค y [P(a , y)] เปนจรง

ประโยค xy [P(x , y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวประโยค y [P(a , y)] เปนเทจ

23(มช 56) ขอใดมคาความจรง เมอเอกภพสมพทธคอเซตของจ านวนจรง 1. xy [ y2 = x ] 2. xy [ x + y = y ] 3. xy [ x + y = 0 ] 4. xy [ x < y x2 < y2 ]


16

เฉลยบทท 1 ตรรกศาสตรเบองตน

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบ ไมสมเหตผล 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบ สมเหตผล 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 2.


17

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 1 ตรรกศาสตร เบองตน ชดท1

1.1 ประพจน

1.2 การเชอมประพจน

1.3 การหาคาความจรงของประพจน

1(แนว En) ก าหนดให p , q , r เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง เทจ และเทจ ตามล าดบ ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเหมอนกบประพจน (p q) (r p) 1. ( r p ) (q r) 2. (q r) (p q) 3. (p r ) (q r) 4. (p q) (r q)

2(En 38) ให p , q และ r เปนประพจน ถา (p q) (q r) มคาความจรงเปนเทจ แลวประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปน จรง 1. p q 2. p r 3. p q 4. q r

3(En48 ม.ค.) ให p , q , r , s เปนประพจน ถา [ (p q ) r] (q s) มคาความจรงเปนจรง และ (p s) r มคาความจรงเปนเทจแลว ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปน เทจ

1. p q 2. q r 3. r s 4. s p

4(En45 ม.ค.) ให p , q , r , s เปนประพจน ถา [ p (q r) ] s r มคาความจรง เปนจรง และ p s มคาความจรงเปนเทจ แลวขอใดตอไปนถก 1. p q มคาความจรง เปนจรง 2. q r มคาความจรง เปนจรง 2. r s มคาความจรง เปนเทจ 4. s p มคาความจรง เปนเทจ

5(แนว มช) ถาประพจน [ p (q r) ] (q r) มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรง ของประพจน p , q , r ตามล าดบคอ.......... ( ตอบตามล าดบ ) 1. T , T , F 2. T , F , F 3. T , F , T 4. F , F , F


18

6(En43 ต.ค.) ให p , q , r และ t เปนประพจน ถาประพจน (p q) (r s) มคาความ จรงเปนเทจแลว ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1. (p r) (s t) 2. (p s) (q t) 3. (p s) (r t) 4. (r p) (s t)

7(En46 ม.ค.) ให p , q และ r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน ก. ถา [(p ~r) q] ~(p q) เปนเทจ แลว (p q) r เปนจรง ข. ถา q ~r เปนเทจแลว [p (q r) ] ~q เปนเทจ

ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด


8(En44 ม.ค.) ก าหนดให p , q , r เปนประพจน ถาประพจน p (q r) มคาความจรงเปนเทจ และ ( p q ) r มคาความจรงเปนจรง แลว พจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน ก. (p q) ~r ข. p ( q ~r) ขอใดตอไปนถก

1. ก จรง และ ข จรง 2. ก จรง และ ข เทจ 3. ก เทจ และ ข จรง 4. ก เทจ และ ข เทจ

9(แนว Pat1) ก าหนดให p , q , r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน ก. ถา p r มคาความจรงเปนจรง แลว p และ p [ (q r) p] มคาความจรง เหมอนกน ข. ถา p มคาความจรงเปนเทจ แลว r และ (p q) r มคาความจรงเหมอนกน

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด



19

10(แนว PAT1) ให p , q และ r เปนประพจนใดๆ โดยท ~p q มคาความจรงเปนเทจ พจารณาขอความตอไปน ก. (p r ) (~q p) มคาความจรงเปนจรง ข. (p r) [ (p r) q ] มคาความจรงเปนเทจ ขอสรปใดถกตอง 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก . ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

1.4 การสรางตารางคาความจรง

1.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน

11(En 35) ประพจนทสมมลกบประพจน p q คอประพจนในขอใดตอไปน 1. (p q ) (q ~p ) 2. (~q ~p) (~q p )

3. (p ~q ) (q ~p ) 4. (p ~q) (~p ~q )

12(En 37) ประพจนใดตอไปนสมมลกบประพจน (p r) (q r) 1. (p q) r 2. (p q) r 3. (p q) r 4. (p q) r

13(En41 ต.ค.) ประพจน ~p (q (r p)) สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน 1. (~p) q r 2. p (~q) r 3. p q (~r) 4. p (~q) (~r)

14(En42 ม.ค.) ก าหนดให p , q และ r เปนประพจน ประพจน ~ [ (p q) (q r ) ] สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน 1. p ~ (q r) 2. ~q ( ~ p r) 3. ~ ( p q) (q r) 4. ~(p q) (q ~ r )

15(แนว PAT1) ก าหนดให p , q , r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p ( p (q r) ) สมมลกบประพจน p (q r ) ข. ประพจน p (q r) สมมลกบประพจน (q p) ~ (p ~ r)

ขอใดตอไปนถก


20


16(En41 เม.ย.) ถา p , q , r เปนประพจนโดยท ~p q และ (p q) r มคาความ จรงเปนจรงทงคพจารณา

ก. p (~r q) มคาความจรงเปนจรง ข. (q ~r) p มคาความจรงเปนจรง ขอใดตอไปนถกตอง


1.6 สจนรนดร

17(แนว PAT1) ก าหนดให p และ q เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร 1. [(p ~q ) ] ~p] (p q) 2. [(p q ) ~q] (p q) 2. ( p q ) (q p) 4. (~p ~q ) (p q)

1.7 การอางเหตผล

18(En41 ต.ค.) พจารณาการอางเหตผลตอไปน เมอ p , q และ r เปนประพจน ก. เหต 1. p ( p q ) ข. เหต 1. p r 2. p q 2. r s ผล q 3. s ผล p ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก สมเหตสมผล ข สมเหตสมผล 2. ก สมเหตสมผล ข ไมสมเหตสมผล 3. ก ไมสมเหตสมผล ข สมเหตสมผล 4. ก ไมสมเหตสมผล ข ไมสมเหตสมผล


21

19(En42 ม.ค.) พจารณาการใหเหตผลตอไปน ก. เหต : 1. p (q r) ข. เหต : 1. p (q ~ s) 2. p 2. p s 3. ~ t q ผล : q ผล : r t ขอใดตอไปนถก 1. ก และ ข สมเหตสมผล 2. ก สมเหตสมผล แต ข. ไมสมเหตสมผล 3. ก ไมสมเหตสมผล แต ข สมเหตสมผล 4. ก และ ข ไมสมเหตสมผล

20(En 40) พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต : 1. p q ข. เหต : 1. p q 2. q r 2. q r 3. r 3. r s

ผล : p ผล : s ขอใดตอไปนถก 1. ก และ ข สมเหตสมผล 2. ก สมเหตสมผล แต ข ไมสมเหตสมผล 3. ก ไมสมเหตสมผล แต ข สมเหตสมผล 4. ก และ ข ไมสมเหตสมผล

21(En 39) พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก) เหต 1. p q ข) เหต p (r s) 2. q s ผล p (r s) 3. s ผล p s ขอความใดตอไปนถก 1. ก และ ข สมเหตสมผลทงค 2. ก และ ข ไมสมเหตสมผลทงค 3. ก สมเหตสมผล แต ข ไมสมเหตสมผล 4. ก ไมสมเหตสมผล แต ข สมเหตสมผล


22

22(En42 ต.ค.) พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. p (q r) ข. เหต 1. (p q) r 2. q 2. (r s) 3. r 3. p

ผล p ผล q ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข สมเหตสมผล 2. ก สมเหตสมผล แต ข ไมสมเหตสมผล 3. ก ไมสมเหตสมผล แต ข สมเหตสมผล 4. ก และ ข ไมสมเหตสมผล

23(En46 ต.ค.) พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต ข. เหต 1. p q 1. P(x) ~Q(x) 2. (q r) (s p) 2. Q(x) R(x) 3. p ~r

ผล s ~ r ผล P(x) R(x) ขอใดตอไปนถก 1. ก และ ข สมเหตสมผลทงค

2. ก สมเหตสมผล แต ข ไมสมเหตสมผล 3. ก ไมสมเหตสมผล แต ข สมเหตสมผล

4. ก และ ข ไมสมเหตสมผลทงค

24(En43 ม.ค.) ก าหนดให เหต 1. p q 2. p (r s) 3. q t 4. t ผลในขอใดตอไปนท าใหการอางเหตผลนสมเหตสมผล 1. s r 2. s r 3. r s 4. r s


23

1.8 ประโยคเปด

1.9 ตวบงปรมาณ

1.10 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว

25(En47 ต.ค.) ก าหนดเอกภพสมพทธ คอชวงเปด (–2 , 2) พจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน x [x + x2 x+ x2 และ x x2 ] มคาความจรงเปนจรง ข. ประพจน x [ x2 – x – 6 0 ] มความจรงเปนจรง ขอความตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

26(En45 ม.ค.) พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาเอกภพสมพทธ คอเซต U = (0 , 1) (2 , ) แลวประพจน x x – 2

1 2 41 หรอ x – 12 1

มคาความจรงเปนจรง ข. ถา p , q , r เปนประพจนแลว p (q r) สมมลกบ (p q) (p r) ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

27(En44 ม.ค.) เอกภพสมพทธในขอใดทท าใหขอความ ( x [x2 2x + 3] ) (y [y2 – 4 > 0] ) มคาความจรงเปนจรง 1. [–3 , 0] 2. [–1.5 , 1.5] 3. [–1 , 2] 4. [–0.5 , 2.5]

1.11 สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ

28(En43 ม.ค.) นเสธของขอความ x [ P(x) Q(x) ] คอขอความในขอใดตอไปน 1. x [ P(x) Q(x) ] 2. x [ P(x) Q(x) ] 3. x [ P(x) Q(x) ] 4. x [ Q(x) P(x) ]


24

29(En 40) นเสธของขอความ x y (xy = 0 x 0) (y = 0) สมมลกบขอความในขอใดตอไปน 1. x y (xy = 0 x = 0) y 0 2. x y (xy 0 x = 0) y = 0 3. x y xy = 0 x 0 y 0 4. x y xy 0 x = 0 y = 0 30(En 39) นเสธของขอความ x y xy 0 (x 0 y 0) คอขอความในขอใดตอไปน 1. x y (xy 0) (x 0 y 0) 2. x y (xy 0) (x 0 y 0) 3. x y (xy 0) (x 0 y 0) 4. x y (xy 0) (x 0 y 0)

31(En41 เม.ย.) ขอความขางลางนขอใด ไมใชนเสธของขอความ x [P(x) ~Q(x)] 1. x [~P(x) Q(x)] 2. x [P(x) Q(x)] 3. x [~Q(x) ~Px)] 4. x [P(x) ~Q(x)] 32(แนว Pat1) ก าหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด ประโยค x [ P(x) ] x [ ~ Q(x) ] สมมลกบประโยคในขอใดตอไปน

1. x[~P(x)] x [ Q(x)] 2. x[Q(x)] x [~ P(x)] 3. x[P(x)] x[Q(x)] 4. x [~ Q(x)] x[ P(x)]

33(En47 ต.ค.) พจารณาขอความตอไปน ก. ถาประพจน [ p (q r) ] (r s) มคาความจรงเปนเทจแลว p q s มคา ความจรงเปนเทจ ข. นเสธของขอความ x y [ (x y) (x2 y) ] คอ xy [(x y) (y x2)] ขอความใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด


25

34(En45 ม.ค.) พจารณาขอความตอไปน ก. ถา p , q เปนประพจน โดยท p มคาความจรงเปนจรง และ q (p q) เปนสจนรนดรแลว q มคาความจรงเปนจรง ข. นเสธของขอความ x [(P(x)) Q(x) (R(x))] คอขอความ x [Q(x) (P(x) (R(x))] ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

1.12 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณสองตว

35(En48 ม.ค.) พจารณาขอความตอไปน ก. ถาเอกภพสมพทธคอ เซตของจ านวนเตม แลว ขอความ m n [5m + 7n = 1] มคาความจรงเปนจรง

ข. นเสธของขอความ x y [(x2 – 2x y – 2) (y sin x)] คอ x y [(x2 – 2x < y – 2 ) (y < sin x)] ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

36(แนว Pat1) พจารณาขอความตอไปน ก. ใหเอกภพสมพทธ คอเซตของจ านวนเฉพาะบวก

ขอความ x y [ x2 + x + 1 = y ] มคาความจรงเปนจรง ข. นเสธของขอความ x [ P(x) [Q(x) R(x)] ] คอ x [ P(x) ~Q(x) ~R(x) ] ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด


26

37(แนว Pat1) ก าหนดใหเอกภพสมพทธคอเซต { –2 , –1 , 1 , 2 } ประโยคในขอใดตอไปนม คาความจรงเปนเทจ 1. xy x 0 x= y + 1 2. xy x y – (x + y) 0 3. xy x + y = 0 x – y = 0 4. xy x<y x>y

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 1 ตรรกศาสตร เบองตน ชดท1

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 2. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 4. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 1. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบขอ 4. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 2. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 3. 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 2.33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 1. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบขอ 4.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 1 www.pec9.com บทท 2 ระบบจ านวนจรง

1

บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

2.1 จ ำนวนจรง

จ ำนวนทเรำใชในวชำคณตศำสตรมหลำยประเภท ซงสำมำรถจ ำแนกแยกประเภทไดดงน

จ ำนวนจรง ( R ) คอจ ำนวนทสำมำรถเขยนแสดงบนบนเสนจ ำนวนได เชน –3 , – 35 , 0

, 0.5 , 3 , o33. เปนตน

จ ำนวนตรรกยะ ( Q ) คอจ ำนวนจรงทสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมโดยทสวนไมเปนศนย ไดแกจ ำนวนเตม เศษสวน จ ำนวนอยในรปทศนยมธรรมดำและทศนยมซ ำ

เชน 8 , –6 , 0 , 43 , 4.3 ,

o33. เปนตน จ ำนวนเหลำนสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของ

จ ำนวนเตมไดเสมอจงเปนจ ำนวนตรรกยะ เชน

8 = 18 , –6 = – 1

6 , 0 = 10 , 4.3 = 10

43 , o33. = 9

33

จ ำนวนตรรกยะ ( Q/ ) คอจ ำนวนจรงทไมสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมได เชน 3 , 5 +2 , p เปนตน 3 = 1.7320508…… มคำเปนจ ำนวนทศนยมไมซ ำและไมรจบ จงเขยนเปนเศษสวนไมได

p = นยกลางเสนผานศ

ลมเสนรอบวงก ปจจบนยงหำคำทแนนอนไมได จงเขยนเปนเศษสวนไมได

จ ำนวนเชงซอน ( C

จ ำนวนจรง ( R )

จ ำนวนตรรกยะ ( Q จ ำนวนอตรรกยะ ( Q)

จ ำนวนเตม ( I ) จ ำนวนไมเตม ( I)

จ ำนวนเตมบวก ( I+ ) หรอจ ำนวนนบ ( N )

จ ำนวนเตมลบ ( I– ) จ ำนวนเตมศนย ( 0 )

จ ำนวนจนตภำพ

–3 –2 –1 0 1 2 3 –3 – 35 0 0.5 3

o33.


2

จ ำนวนตรรกยะ ( Q ) ยงแบงไดเปนจ ำนวนเตม ( I ) และจ ำนวนทไมใชจ ำนวนเตม ( I/ ) จ ำนวนเตม ( I ) ยงแบงเปนจ ำนวนเตมบวก (I) , จ ำนวนเตมลบ (I/) และจ ำนวนเตมศนย (0) จ ำนวนเตมศนย (0) ไมใชจ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนเตมลบ จ ำนวนเตมบวก เรยกอกอยำงวำจ ำนวนนบ ( N ) เพรำะเปนจ ำนวนทใชในกำรนบจ ำนวนคน สตว สงของใดๆ

1. จ ำนวนทก ำหนดใหตอไปน มกจ ำนวนทเปนจ ำนวนตรรกยะ 8 , 0 , –2 , 3

4 , 1.2693 , 95. , 3 , 1+ 3 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

2.2 สมบตของระบบจ ำนวนจรง สมบตของจ ำนวนจรงเกยวกบกำรบวก

สมบต ควำมหมำย ตวอยำง 1. ปด ถำ a , b R แลว a + b R 1 , 2 R ดงนน 1 + 2 R 2. กำรสลบท a + b = b + a 1 + 2 = 2 + 1 3. กำรเปลยนหม a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 4. กำรมเอกลกษณ มจ ำนวนจรง 0 ซง 0 + a = a = a + 0 0 + 5 = 5 = 5 + 0 5. กำรมอนเวอรส ส ำหรบจ ำนวนจรง a จะมจ ำนวนจรง –a

ท (–a) + a = 0 = a + (–a) (–3) + 3 = 0 = 3 + (–3)

สมบตจ ำนวนจรงเกยวกบกำรคณ สมบต ควำมหมำย ตวอยำง

1. ปด ถำ a , b R แลว a .b R 1 , 2 R ดงนน 1 x 2 R 2. กำรสลบท a . b = b . a 1 x 2 = 2 x 1 3. กำรเปลยนหม a ( b . c ) = ( a . b ) . c 1 x ( 2 x 3 ) = ( 1 x 2 ) x 3 4. กำรมเอกลกษณ มจ ำนวนจรง 1 ซง 1 . a = a = a . 1 1 x 5 = 5 = 5 x 1 5. กำรมอนเวอรส ส ำหรบจ ำนวนจรง a ท a ≠ 0 จะมจ ำนวน

จรง a–1 ท (a–1) a = 1 = a ( a–1 ) ( 3

1 ) x 3 = 1 = 3 x ( 31 )

นอกจำกนยงมสมบตทเกยวกบทงกำรบวกและกำรคณ ซงไดแกคณสมบตกำรแจกแจง กลำวคอ a (b + c ) = ab + ac เชน 3 ( 2 + 5 ) = 3 (2) + 3 (5)


3

2.3 ทฤษฏบทเศษเหลอ และกำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

2.3.1 ทฤษฏบทเศษเหลอ ทฤษฏบทเศษเหลอ “ เมอ p(x) เปนพหนำมใดๆ ถำหำร p(x) ดวยพหนำม x – c แลวเศษจำกกำรหำรจะเทำกบ p(c) เมอ c เปนจ ำนวนจรง ” เรำใชทฤษฏบทเศษเหลอหำเศษเหลอจำกกำรหำรพหนำมไดดงตวอยำงตอไปน

2. จงหำเศษทเหลอจำกกำรหำร p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ดวย x – 1 1. –5 2. 3 3. 5 4. 7 3(แนว มช) ถำ x3 + a x2 + b หำรดวย x2 + 2x มเศษเปน 1 แลว a + b คอขอใด 1. –1 2. –3 3. 1 4. 3

2.3.2 กำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว สมกำรพหนำมตวแปรเดยว คอสมกำรทเขยนอยในรป an xn + an–1 xn + an+2 xn+2 + …… + a1 x + a0 = 0 เมอ n เปนจ ำนวนเตมบวก กำรแกสมกำรพหนำมทมดกรสง (ตงแตดกร 3 ขนไป ) สำมำรถท ำไดดงตวอยำงตอไปน


4

4. ค ำตอบของสมกำร 6 – 13x + 4x3 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 < x < 0 2. –3 < x < 2 3. 0 < x < 3 4. 2 < x < 10

5. ค ำตอบของสมกำร x4 – 2x3 – 13x2 + 14x + 24 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. –5 < x < 0 2. –5 < x < 3 3. –5 < x < 5 4. 0 < x < 10

6. ผลบวกของค ำตอบของสมกำร x3 – 5x2 – 16x + 80 = 0 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –5 2. –4 3. 4 4. 5


5

2.4 สมบตของกำรไมเทำกน สมบตบำงประกำรของกำรไมเทำกน

ให a , b , c เปนจ ำนวนจรงใดๆ 1) สมบตกำรถำยทอด ถำ a > b และ b > c แลว a > c

เชน 10 > 8 และ 8 > 7 จะไดวำ 10 > 7 2) สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a > b แลว a + c > b + c เชน 2 > 1 จะได 2 + 4 > 1 + 4

นนคอ 6 > 5 3) สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน

3.1) ถำ a > b แลว a c > b c เมอ c > 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x 4 > 1 x 4

นนคอ 8 > 4 3.2) ถำ a > b แลว a c < b c เมอ c < 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x (–5) < 1 x (–5)

นนคอ – 10 < – 5 3.3) ถำ a > b แลว a c = b c เมอ c = 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x 0 = 1 x 0

นนคอ 0 = 0 4) ถำ a < b และ c < d แลว a + c < b + d

5) ถำ a < b และ c < d แลว a – d < b – c 6) ถำ 0 < a < b และ 0 < c > d แลว ac < bd

7) ถำ 0 < a < b และ 0 < c > d แลว da < cb

8) ถำ 0 < a < b แลว a1 < b1


6

2.5 ชวงและกำรแกอสมกำร 2.5.1 ชวง

บทนยำม เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ ำนวนจรง และ a < b ชวงเปด ชวงปด

ชวงครงเปด ชวงครงเปด

ชวง ชวง ชวง ชวง ชวง

(a , b) [a , b]

(a , b] [a , b)

(a , ) [a , )

(– , a) (– , a] (– , )

หมำยถง

หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง หมำยถง

{ x a < x < b } { x a x b } { x a < x b } { x a x < b } { x x > a} { x x a} { x x < a } { x x a } เซตของจ ำนวนจรง R

2.5.2 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกร 1 กำรแกอสมกำรพหนำมดกรหนงตวแปรเดยว สำมำรถท ำไดโดยใชวธคณไขวยำยขำงคลำยกำรแกสมกำร แตตองระวงวำหำกมกำรคณตลอดดวยจ ำนวนทมคำเปนลบ ตองเปลยนเครองหมำยอสมกำรดวยเสมอ ดงแสดงในโจทยตวอยำงตอไปน

7. ชวงค ำตอบของอสมกำร 8x – 5 3x + 15 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. [4 , ) 2. [5 , ) 3. [6 , ) 4. [7 , )

8. จงแกอสมกำร m – 3 4 (m – 3) แสดงค ำตอบโดยใชชวง 1. (– , 3 ] 2. (– , 6] 3. (– , 7] 4. (– , 8]

a b

a b

a b

a b

a a

a

a


7

2.5.3 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกรสง วธกำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกรสง ใหศกษำจำกตวอยำงตอไปน 9. จงแกอสมกำรตอไปน x2 – 7x + 12 < 0 1. (3 , 3) 2. (3 , 4) 3. (3 , 5) 4. (3 , 6)

10. จงแกอสมกำรตอไปน x2 + 2x 3 1. ( –, –3 ] [ 4 , ) 2. ( – , –3 ] [ 3 , ) 3. ( –, –3 ] [ 2 , ) 4. ( – , –3 ] [ 1 , )

สงตองทรำบเพมเตมเกยวกบกำรแกอสมกำรโดยใชเสนจ ำนวน 1) อสมกำรพหนำมทจะแกโดยวธนได ตองเรยงล ำดบตวแปรจำกตวแปรทมก ำลงสงไปหำตวแปรทมก ำลงนอย และตวแปรทอยหนำสดตองมคำสมประสทธเปนบวกเทำนน 2) กรณทโจทยอยในรปเศษสวน ตองระวงวำค ำตอบทไดตองไมท ำใหสวนเปน 0 3) ตวแปรทไมทรำบคำวำเปนบวกหรอเปนลบหำมคณไขว 4) ตวแปรซงยกก ำลงจ ำนวนเตมคใหคดเปนตวแปรยกก ำลง 1 ตวแปรรปยกก ำลงดวยจ ำนวนเตมค ชวงทอยตดกบจดวกฤตทเกดจำกตวแปรยกก ำลงคนนใหใชเครองหมำยบวกหรอลบเหมอนกนทงชวงทตดดำนซำยและดำนขวำ และทจดวกฤตนนใหเตมจดดวยเสมอ

11. เซตค ำตอบของอสมกำร 9 – x2 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –3] 2. (– , –3] [3 , ) 3. [3 , ) 4. [–3 , 3]


8

12. จงแกอสมกำรตอไปน 3) (x 2) (x 1) (x

0

1. (– , 0 ) [1 , 2 ) 2. (– , –1 ) [1 , 2 ) 3. (– , –2 ) [1 , 2 ) 4. (– , –3 ) [1 , 2 )

13. เซตค ำตอบของอสมกำร 2 x 1 3 2x 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1. (– , –2) (– 23 , 5) 2. (–2 , – 23 ) [5, ∞) 3. (–2 , – 23 ) 4. (–2 , 5)

14. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)6 (x + 1)5 < 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–∞ , –1) 2. (–∞ , ∞) 3. (–∞ , –2) (–2 , –1) 4. (–2 , ∞)

15. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)6 (x + 1)5 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. (– , –1 ] 2. (– , 0 ] 3. [–2 , ) 4. [ 0 , )


9

16. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)6 (x + 1)5 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. {–2} [ –1 , ) 2. (– , –2 ) (–2 , –1 ) 3. [ –1 , ) 4. (– , –2 ) (–2 , –1 ]

17. เซตค ำตอบของอสมกำร (x + 2)6 (x + 1)5 > 0 คอเซตในขอใดตอไปน 1. {–2} ( –1 , ) 2. (– , –2 ) (–2 , –1 ) 3. ( –1 , ) 4. (– , –2 ) (–2 , –1 ]

2.6 คำสมบรณ

คำสมบรณของจ ำนวนจรง a ใดๆ หมำยถงระยะหำงจำกจด 0 ถงจ ำนวนจรง a นน บนเสนจ ำนวน เชน 2 = 2 –3 = 3 –1 = 1 0 = 0

สมบตบำงประกำรของคำสมบรณ

1. x =

บ เปนจ านวนลx เมอx

ย วกหรอศนเปนจ านวนบx เมอx

2. x 0 3. x x 4. x = –x 5. x . y = x y 6. yx = y

x

–3 –2 –1 0 1 2 3


10

7. x – y = y – x 8. x 2 = x2 = x2

9. ถำ x a จะไดวำ –a x a ถำ x a จะไดวำ –a x a ถำ x a จะไดวำ x –a x a ถำ x a จะไดวำ x –a x a

2.7 กำรแกสมกำรและอสมกำรในรปคำสมบรณ

2.7.1 กำรแกสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ วธกำรแกสมกำรพหนำมซงอยในรปคำสมบรณใหศกษำจำกโจทยตวอยำงตอไปน

18. เซตค ำตอบของ x – 12 = 2 x มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. { 4 } 2. { – 12 } 3. { – 12 , 4 } 4. ไมมขอทถก 2.7.2 กำรแกอสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ วธกำรแกอสมกำรคำสมบรณใหศกษำจำกโจทยตวอยำงตอไปน

19. เซตค ำตอบของอสมกำร 2x + 3 7 คอขอใดตอไปน 1. [ – , –5] 2. [ – , 0] 3. [–5 , 2] 4. [2 , ]


11

20. เซตค ำตอบของอสมกำร x – 9 5 คอขอใดตอไปน 1. (– , 4 ] [ 10 , ) 2. (– , 4 ] [ 14 , ) 3. (– , 6 ] [ 10 , ) 4. (– , 6 ] [ 14 , )

21(แนว En) เซตค ำตอบของ 2 x 1 x

> 2 คอเซตหรอชวงในขอใดตอไปน

1. 2. (2 , 3) 3. (–1 , 2) (2 , 7) 4. ( 35 , 2) (2 , 3)

22. ในชวงค ำตอบของอสมกำร x + 2 3 + x – 3 มจ ำนวนเตมบวกอยกจ ำนวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


12

เฉลยบทท 2 ระบบจ ำนวนจรง

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 3.


13

ตะลยขอสอบเขำมหำวทยำล ย บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง ชดท 1

2.1 จ ำนวนจรง

2.2 สมบตของระบบจ ำนวนจรง

2.3 ทฤษฏบทเศษเหลอ และกำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว

2.3.1 ทฤษฏบทเศษเหลอ 1(แนว 9 สำมญ) ให P(x) = ax2 + 9x – 5 โดยท a เปนจ ำนวนจรง ถำ x – 1 หำร P(x) เหลอ เศษ 6 รำกจ ำนวนจรงบวกทท ำให P(x) = 0 มคำเทำใด

2(En44 ต.ค.) ก าหนดให P(x) = x3 + ax2 + bx + 2 โดยท a และ b เปนจ านวนจรง ถา x – 1 และ x + 3 ตางหาร P(x) แลวเหลอเศษ 5 ดงนน a + 2b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –11 2. –1 3. 1 4. 9

3(En46 ต.ค.) ก าหนดให f (x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมอ k และ m เปนคาคงตว ถา x – 2 เปนตวประกอบหนงของ f (x) และเมอน า x + 1 ไปหาร f(x) ไดเศษเหลอ 3 แลว k + m เทากบเทาใด

4(En 41) ให p(x) = x6 + ax3 – x + b โดยท a และ b เปนจ ำนวนจรง ถำ x – 1 หำร p(x) เหลอเศษ –1 และ x + 1 หำร p(x) เหลอเศษ 1 แลว x หำร p(x) จะเหลอเศษเทำกบขอใด ตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

5(En44 ม.ค.) ให x + 1 และ x – 1 เปนตวประกอบของพหนาม P(x) = 3x3 + x2 – ax + b เมอ a , b เปนคาคงตว เศษเหลอทไดจากการหาร P(x) ดวย x – a – b เทากบขอใดตอไปน 1. 15 2. 17 3. 19 4. 21

2.3.2 กำรแกสมกำรพหนำมตวแปรเดยว 6(แนว 9 สำมญ) ถา X1 , X2 , X3 เปนรากของสมการ 8x3 + 6x2 – 5x – 3 = 0 โดยท X1 < X2 < X3 แลว X1. X3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 4

3 2. 41 3. 4

1 4. 21 5. 4

3


14

7(มช 37) จงหำจ ำนวนเตม t ทท ำให 21 t เปนค ำตอบของสมกำร

4x3 + 13x2 + t x – 11 = 0 8(แนว Pat 1) ก าหนดให S เปนเซตค าตอบของสมการ 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 ผลบวกของ สมาชกทงหมดของ S เทากบขอใดตอไปน 1. 2.1 2. 2.2 3. 3.3 4. 3.5

9(แนว En) เซตในขอใดตอไปนเปนเซตค าตอบของสมการ 9x3 + 12x2 + x – 2 = 0 1. { – 2 , 3

1 , 23 } 2. { – 1 , – 3

1 , 21 }

3. { – 1 , 31 , 3

2 } 4. { – 1 , – 32 , 3

1 }

10(En 38) ให a เปนจ ำนวนเตม ถำ x – a หำร x3 + 2x2 – 5x – 2 เหลอเศษ 4 แลวผลบวก ของคำ a ทงหมดทสอดคลองเงอนไขดงกลำวเทำกบขอใดตอไปน 1. –6 2. –2 3. 2 4. 6

2.4 สมบตของกำรไมเทำกน

2.5 ชวงและกำรแกอสมกำร 2.5.1 ชวง

2.5.2 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกร 1 2.5.3 กำรแกอสมกำรตวแปรเดยวดกรสง

11(แนว 9 สำมญ) ผลบวกของจ านวนเตมทมากทสดและนอยทสดทสอดคลองกบอสมการ 01) (2x x

3) (x 1) (x มคาเทากบเทาใด

12(En 30) ถำ A เปนเซตค ำตอบของอสมกำร 3x2 + 5x + 2 < 0 และ B เปนเซตค ำตอบของอสมกำร 3 x

1 2x 0 แลว (A B) / คอขอใด

1. 2. [–1 , – 32 )

3. (– 21 , 3 ] 4. ( – , –1) [– 3

2 – 21 ] (3 , )


15

13(แนว Pat 1) ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ x)(21)1)(x(2x

0

และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 2x2 – 7x + 3 < 0 ถา A B = [c , d ) แลว 6c – d เทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

14(แนว A–Net) ก าหนดให A = {x (2x + 1)(x – 1) < 2} และ B = {x 16 – 9x2 > 0}

เซต A B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน 1. ( 3

7 , 32 ) 2. (–1 , 3

5 ) 3. ( 45 , 3

4 ) 4. (– 35 , 1)

15(แนว Pat1) ก าหนดให S =

1 2x

2 x 2 3x 2x

xx

ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S 1. (– , –3) 2. (–1 , 0.5) 3. (–0.5 , 2) 4. (1 , )

16(En47 ต.ค.) จ ำนวนค ำตอบทเปนจ ำนวนเตมของอสมกำร –5 x 62x 1 เทำกบขอใด ตอไปน 1. 8 2. 9 3. 10 4. 11

2.6 คำสมบรณ

2.7 กำรแกสมกำรและอสมกำรในรปคำสมบรณ

2.7.1 กำรแกสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ 2.7.2 กำรแกอสมกำรพหนำมเกยวกบคำสมบรณ

17(En 40) ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 x x 3

0

และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 21 – 2

x 1 แลว (A – B)/ เทากบขอใดตอไปน 1. (– , –2) (–1 , ) 2. (– , –2) [–1 , – ) 3. (– , –2] (–1 , ) 4. (– , –2] [–1 , )


16

18(En44 ม.ค.) ก าหนดให A = x x – 1 2 และ | 1 x |1 > 2

1

B = x x2 + 2x < 0 A B คอชวงในขอใดตอไปน 1. (–1 , 0) 2. [–1 , 0) 3. (0 , 1) 4. (0 , 1] 19(En46 ม.ค.) ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ x > x – 1 และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 3) 1)(x (x

5) (x

0

ถา A – B คอชวง (a , b) แลว a + b มคาเทากบเทาใด 20(แนว PAT1) ก ำหนดให I แทนเซตของจ ำนวนเตม ให A = { xI 2x + 7 9 } และ B = { xI x2 – x – 1 > 1 } พจำรณำขอควำมตอไปน (ก) จ ำนวนสมำชกของเซต A B เทำกบ 7 (ข) A – B เปนเซตวำง ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด

21(En42 ต.ค.) ให A = {x x – 2 < 4} และ B = {x 15x–2 – 8x–1 + 1 > 0} แลว A B คอเซตในขอใดตอไปน 1. (–2 , 3) (5 , 6) 2. (0 , 3) (5 , 6) 3. (0 , 3) (3 ,5) (5 , 6) 4. (–2 , 0) (0 , 3) (5 , 6) 22(แนว Pat1) ให A เปนเอกภพสมพทธทท าใหประพจน x 2x2 + x – 3 0 และ x – 2 3 มคาความจรงเปนจรง

และให B เปนเซตค าตอบของอสมการ 6x–2 – 5x–1 – 1 > 0 แลว A – B มสมาชกทงหมดกจ านวน

1. 1 2. 2 3. 3 4. หำคำไมได


17

23(En41 เม.ย.) เซตค าตอบของ 2x 1x > 2 คอเซตหรอชวงในขอใดตอไปน

1. 2. (2 , 3) 3. (–1 , 2) (2 , 7) 4. ( 3

5 , 2) (2 , 3)

24(แนว 9 สำมญ) ถาเซตค าตอบของอสมการ 3 – 2x – 3x – 7 0 คอชวง [ a , b ] แลว b – a มคาเทากบเทาใด

25(แนว 9 สำมญ) อสมกำร 100 + x – 100 – x ≤ 100 มจ ำนวนเตมเปนค ำตอบกจ ำนวน

26(แนว PAT1) ถำ A แทนเซตของจ ำนวนเตมทงหมดทสอดคลองกบ 3x – 1 – 2x > 2 3x + 1 และ B แทนเซตค ำตอบของอสมกำร x (x + 2) (x + 1)2 < 0 แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. เซต A B มสมำชก 1 ตว 2. (A – B) (B – A) = B 3. เซต A – B มสมำชก 5 ตว 4. A B = A


18

ตะลยขอสอบเขำมหำวทยำล ย บทท 2 ระบบจ ำนวนจรง ชดท 1

1. ตอบ 0.5 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบ 4. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบ –2 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 2 11. ตอบ 2 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 2. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบ 5.5 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบ 2 25. ตอบ 101 26. ตอบขอ 3.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 2 http://www.pec9.com บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

1

บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

4.1 ระบบสมการเชงเสน บทนยาม ให a1 , a2 , ... , an , b เปนจ ำนวนจรงใดๆ ท a1 , a2 , ... , an ไมเปนศนยพรอมกน เรยกสมกำร a1x1 + a2 x2 + … + an xn = b วำสมกำรเชงเสน n ตวแปร โดยท x1 , x2 , ... , xn เปนตวแปร

บทนยาม ระบบสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , ... , xn เปนตวแปร หมำยถงชดของสมกำรเชงเสนทประกอบดวยสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , ... , xn เปนตวแปรจ ำนวน m สมกำร โดยท m > 2 ค ำตอบของระบบสมกำรน คอจ ำนวน n จ ำนวน ทน ำไปแทนตวแปร x1 , x2 , …. , xn ในทกๆ สมกำรตำมล ำดบ แลวไดสมกำรทเปนจรงทงหมด

1(แนว Pat1) จำกระบบสมกำร x + y + z = 6 x – y + z = 2 x + y – z = 0 คำของ x

zy มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 2 2. 6 3. 8 4. 12

4.2 เมทรกซ ( Matrix )

เมทรกซ คอกลมของจ ำนวนซงเรยงกนเปนแถว แถวละเทำๆ กน ภำยในเครองหมำย [ ]

เชน A =

232 9743 23451

ขอตกลงเบองตนเกยวกบเมทรกซ 1. เรำนยมใชอกษร A , B , C , … เปนชอของเมทรกซ 2. สงทอยในเมทรกซ เรยกวำสมาชกของเมทรกซ


2

3. สมำชกทเรยงกนอยในแนวนอนแตละแนว เรยกวำแถว (Row) สมำชกทเรยงกนอยในแนวตงแตละแนว เรยกวำหลก (Column ) เชน

4. เรำจะใช ai j แทนสมำชกของเมทรกซ A ซงอยในแถวท i และหลกท j เชนจำกตวอยำงเมทรกซ A ขำงตน จะไดวำ a12 = –5 , a24 = 7 , a31 = 9

5. รปกำรคณของ แถว x หลก เรยกวำมตของเมทรกซ เชนเมทรกซ A ขำงตน ม 3 แถว และ 4 หลก ดงนน มตของ A = 3 x 4 6. เมทรกซศนย ( 0 ) คอ เมทรกซทมสมำชกทกตวเปนศนยหมด ไมวำจะมกแถวหรอกหลกกตำม 7. เมทรกซสลบเปลยนของ A ( At อานวาเอทรานสโพส ) คอเมทรกซทเกดจำกกำรสลบสมำชกของ A จำกหลกท i ไปเปนแถวท i นนคอ ถำ A = [ aij ] m x n แลว At = [ aji ] n x m

เชน ถำ A =

232 9743 23451

จะไดวำ At =

27 3 344

235

92 1

การเทากนของเมทรกซ บทนยาม ให A = [ ai j ]m x n และ B = [ bi j ]m x n A เทำกบ B กตอเมอ ai j = bi j ส ำหรบทกๆ i { 1 , 2 , … , m } และ j { 1 , 2 , … , m } และเขยน A = B แทน A เทำกบ B นนคอเมทรกซ A และ B จะเทำกนกตอเมอ A และ B มมตเดยวกน และมสมำชกในต ำแหนงทตรงกนมคำเทำกนโดยตลอด

2 3 2 97 4 3 23 4 51

หลก หลก หลก หลก ท 1 ท2 ท3 ท4

แถวท 1 แถวท 2 แถวท 3

A =


3

เชน

07

31

52 =

07

91

52

การบวกเมทรกซ บทนยาม ให A = [ai j]m x n และ B = [bi j]m x n เมทรกซ A บวกกบเมทรกซ B คอเมทรกซ [ci j]m x n เมอ ci j = ai j + bi j ส ำหรบ ทกๆ i { 1 , 2 , … , m } และ j { 1 , 2 , … , m } และเขยน A + B แทน A บวกกบ B นนคอ 1) เมทรกซ A และ B จะบวกกนกตอเมอ A และ B มมตเดยวกน 2) ผลบวกเมทรกซ A กบเมทรกซ B จะหำไดจำกกำรน ำสมำชกทอยตรงต ำแหนงเดยวกนมำบวกกน

การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง บทนยาม ถำ A = [a i j]m x n และ c เปนจ ำนวนคำคงตว ผลคณ ของ c กบเมทรกซ A คอเมทรกซ [b i j]m x n เมอ b i j = c ai j ส ำหรบทกๆ i { 1 , 2 , … , m } และ j { 1 , 2 , … , m } และเขยน cA แทนผลคณ c กบเมทรกซ A นนคอกำรคณ c กบเมทรกซ A ใหน ำ c กระจำยคณกบสมำชกของ A ทกตว

คณสมบตเกยวกบกำรบวกเมทรกซ 1. คณสมบตปดของการบวก

ถำ A และ B เปนเมทรกซ m x n ใด ๆ แลว A + B เปนเมทรกซ m x n เสมอ 2. คณสมบตการสลบทส าหรบการบวก

ถำ A และ B เปนเมทรกซ m x n ใด ๆ แลว A + B = B + A เสมอ 3. คณสมบตการเปลยนกลมไดของการบวก

A + (B + C) = (A + B) + C 4. คณสมบตการมเอกลกษณการบวก

A + 0 = 0 + A = A เรยก 0 วาเปนเอกลกษณการบวก

5. คณสมบตการมอนเวอรสการบวก A + (–A) = (–A) + A = 0

เรยก –A วาเปนอนเวอรการบวกของ A


4

คณสมบตเกยวกบการคณเมทรกซดวยตวเลข 1. c (A + B) = c A + c B เมอ c เปนคำคงตว

2. (c + d) A = c A + d A เมอ c , d เปนคำคงตว 3. ( c d ) A = c ( d A ) เมอ c , d เปนคำคงตว 4. 1A = A และ 0 A = 0

2. ให A =

524

642

311

, B =

146

210

424

และ C = 2A + 21 B แลว C13 + C31

เทำกบเทำใด การคณเมทรกซดวยเมทรกซ บทนยาม ถำ A = [ai j]m x n และ B = [bi j] n x m

ผลคณ A x B หรอ AB คอเมทรกซ C = [ci j]m x n โดยท ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj

3(แนว มช) จำกกำรแกระบบสมกำร

c

3b125

12 =

1

2 จะได 9 b = …………

1. –3 2. –1 3. 1 4. 3


5

4(แนว มช) ถำ B =

10

33 และ B2 + 3B =

22a21a12a11a

แลว จงหำคำของ a11

ผลคณของเมทรกซ A B จะหาคาไดกตอเมอ จ านวนหลกของ A ตองเทากบจ านวนแถวของ B (เพอใหลากไปซอนทบกนไดสนทพอด) และผลคณทไดจะมจ านวนแถวเทากบ A และมจ านวนหลกเทากบ B เสมอ

สมบตทเกยวกบการคณเมทรกซ และเมทรกซสลบเปลยน ( transpose ) ถำ A = [ai j] m x n , B = [bi j] n x p , C = [ci j] p x q

1. A ( B C ) = ( A B ) C 2. 0r x m Am x n = 0r x n และ Am x n 0n x p = 0 m x p

3. ( c A ) B = A ( c B ) = c ( A B ) เมอ c เปนคำคงตว 4. A (B + D) = AB + AD เมอ D เปน n x p เมทรกซ

5. (A + E ) B = AB + EB เมอ E เปน m x n เมทรกซ 6. (A + F)t = At + Ft เมอ F เปน m x n เมทรกซ 7. ( A B )t = Bt At 8. ( At )t = A 9. (c A )t = c At เมอ c เปนคำคงตว

หลก A ตองเทากบแถว B จงหาผลคณได

ผลลพธจะมมตเปน m x p คอมแถวเทากบ A มหลกเทากบ B

Am x n x Bn x p


6

4.3 เมทรกซ 2 x 2

เมทรกซ 2 x 2 คอเมทรกซทม 2 แถว และ 2 หลก เชน

13

21 เปนตน

4.3.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ 2 x 2

เมทรกซเอกลกษณกำรคณ 2 x 2 คอเมทรกซ 1 0

0 1

เขยนแทนดวยเมทรกซ I

ซงมสมบต คอ I A = A และ A I = A เมอ A คอเมทรกซ 2 x 2 ใดๆ

5(แนว มช) ก ำหนดให A =

43

21 ถำ A2 + aA – 2I = 0 เมอ I เปนเมทรกซเอกลกษณ

แลว a2 มคำเทำกบขอใด

1. 9 2. 16 3. 25 4. 36 4.3.2 อนเวอรสการคณของเมทรกซ 2 x 2 บทนยาม ให A เปน n x n เมทรกซ ถา B เปน n x n เมทรกซทมสมบตวา A B = B A = In แลวจะเรยก B วาเปนอนเวอรสการคณ (inverse of a matrix) ของ A และเขยน แทน B ดวย A–1 อาจเรยกอนเวอรสการคณสนๆ วาอนเวอรส กได

สตรส าหรบหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ 2 x 2

ถำ A =

dc

ba

จะไดวำ A–1 =

a c

bd bc)(ad

1


7

สมบตเกยวกบอนเวอรส 1) (A–1) –1 = A 2) (A–1) t = ( At ) –1

3) ( A .B ) –1 = B–1A–1

6(แนว Pat1) ถำ A และ B เปนเมทรกซซง 2A – B =

63

43 และ A + 2B =

24

21

แลว A–1 คอเมทรกซในขอใดตอไปน

1.

1 2

22 2.

1 2

2 2 3.

211

1 1 4.

21 1

11

7(แนว En) ก าหนดให A เปนเมทรกซ และ I เปนเมทรกซเอกลกษณมต 3 x 3

ถา B=

1 2 1

3 0 1

2 1 0

และ

120

213

320

=C สอดคลองกบสมการ

AB – AC – 12 I = 0 แลว A–1 เมทรกซในขอใดตอไปน

1.

112

110

201

2.

224

220

402

3.

112

110

201

4.

224

220

402


8

4.3.3 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ 2 x 2

ถำ A =

dc

ba แลวดเทอรมแนนต A เขยนแทนดวย det (A) หรอ

dc

ba

คอจ านวนจรง ad – bc เชน ถำ

จะไดวำ det A = (2)(6) – (4)(3) = 12 – 12 = 0

เมทรกซทมดเทอรมแนนทเปนศนย เรยกเมทรกซเอกฐาน ( Singular Matrix )

สมบตของดเทอรมแนนตของเมทรกซ 1. ถำ det(A) = det(B) ไมจ ำเปนวำ A B

2. det (A B) = det(A) det(B) 3. det (A1) det(A) = 1 หรอ det (A–1) = 1

det A 4. det ( kA) = kn (det A)

5. det At = det A 6. (det Ap) = (det A)p

7. det In = 1 8. det 0 = 0

8(แนว En) ถำ A =

21

43 และ C =

812

1830 และ B เปนเมทรกซซงท ำให AB = C

แลวขอใดตอไปนถก 1. det (B–1) = 12 2. det (B–1A–1) = 24 3. det (2Bt) = 24 4. det ( A2B) = 48

A =

64

32

(2)(6)

(4)(3)


9

9(แนว มช) ให A และ B เปนเมทรกซจตรสทมมตเดยวกน ซง det (B) 0 , det(A) = –9 , det ( Bt A–1B ) = –4 และ det B–1 (Bt+At) A = 3 แลว det (A + B) มคำ เทำกบ ขอใดตอไปน 1. 2 2. 2 – 2 3. 2 4. –2

4.4 เมทรกซ n x n

4.4.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ n x n บทนยาม ส ำหรบจ ำนวนเตมบวก n ใดๆ จะให In = [ ij k ] n x n ซงมสมำชกดงน

k j เมอ 0

k j เมอ 1 kji

เรยก In วำเมทรกซเอกลกษณ (identity matrix) มต n x n ( In อำจเขยนเปน I กได)

เชน I1 = [ 1 ] , I2 = 1 0

0 1

, I3 =

100

010

001

, I4 =

1000

0100

0010

0001

( สงเกตวำสมำชกทอยในแนวเสนทแยงมมลงขวำจะเปน 1 ทกตว สวนสมำชกอนจะมคำเปน 0 หมด )

สมบตของเมทรกซเอกลกษณเหลำนคอ I A = A และ A I = A

4.4.2 การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ n x n

ตวอยาง จงหำคำดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =

025

011

243

แนวคด วธท 1 คณทะแยง ( วธนใชส ำหรบเมทรกซ 3 x 3 เทำนน )


10

ขนท 1 น ำสมำชกหลกท 1 และหลกท 2 มำเขยนเพมตอทำยเมทรกซ ขนท 2 น ำสมำชกทอยในแนวเสนทะแยงมมตำมแผนภำพ คณเฉยงลงไป 3 รอบ แลวน ำผลลพธมำรวมกนไวดำนลำง ตำมดวยคณเฉยงขนอก 3 รอบแลวน ำ ผลลพธมำรวมกนไวดำนบน ขนท 3 น ำผลรวมจำกกำรคณเฉยงลงดำนลำง มำลบดวยผลลพธจำกกำรคณเฉยง ขนดำนบน จะไดค ำตอบเปนดเทอรมแนนตของเมทรกซทนท

det ( A ) = 4 – 10 det ( A ) = –6

วธท 2 ใชตวประกอบรวมเกยว (cofactor) หลกการ dat (A) = a11 C11(A) + a12 C12(A) + …… + a1n C1n(A)

เมอ Cij(A) เรยกตวประกอบรวมเกยว (cofactor) ของ aij คอผลคณของ (–1)i + j กบ Mij(A) Mij(A) เรยกไมเนอร (minor) ของ aij คอดเทอรมแนนทของเมทรกซทไดจำกกำรตดแถวท i และ หลกท j ของ A ออก

ขนท 1 เลอกแถวหรอหลกทม 0 มำกทสดมำ 1 แถวหรอ 1 หลก เชนขอนเลอกหลกท 3

เลอก

025

011

243

10 + 0 + 0 = 10

0 + 0 + 4 = 4

det ( A ) =

2 5 0 2 5

1 1 0 1 1

4 3 24 3


11

ขนท 2 คดเฉพำะสมำชกทไมเปน 0 ขอนคอแลข 2 (a13) หำไมเนอร (minor) ของ a13 โดยตดสมำชกแถว และหลกทอยตรงกบเลข 2 ออก ( ตดสมำชกทอยตรง กบเลข 2 ทงแนวดงและแนวนอน ) แลวน ำสมำชกท เหลอมำดเทอรมแนนต

จะไดวำ M13(A) = 25

11 = (1)(2) – (5)(1) = –3

ตำมดวยหำตวประกอบรวมเกยว (cofactor) ของ a13 จำก Ci j(A) = (–1)i + j Mij(A) จะได C13(A) = (–1)1+3 M13(A) = (–1)4 (–3) = –3 ขนท 3 หำ det (A) จำก det (A) = a13 C13(A) = ( 2 ) (–3) = –6

สมบตดเทอรมแนนท ( เพมเตม ) 1. ถำสมำชกในแถวหรอหลกอนใดอนหนงเปนศนยหมด ดเทอรมแนนตนนจะมคำ

เทำกบ 0 เสมอ เชน

det

03

01 = 0 , det

872

000

931

= 0

2. ถำสมำชกใน 2 แถว หรอ 2 หลก เหมอนกนตำมล ำดบโดยตลอด ดเทอรมแนนตจะมคำเทำกบ 0 เชน

det

33

11 = 0 , det

872

872

931

= 0

3. ถำน ำสมำชกของ 2 แถว หรอ 2 หลกใดสลบทกนตำมล ำดบ ดเทอรมแนนตของเมทรกซใหมจะมคำเทำกบจ ำนวนตรงขำมกบดเทอรมแนนตเดม เชน

det

846

072

931

= det

846

931

072

4. ถำสมำชกทอยใตเสนทแยงมมหลก หรออยเหนอเสนทแยงมมหลกมคำเทำกบศนยหมด ดเทอรมแนนตจะมคำเทำกบผลคณของสมำชกในแนวเสนทแยงมมหลก เชน

025

011

243


12

det

846

072

001

= (1)(7)(8) = 56 , det

500

720

921

= (1)(2)(5) = 10

5. ถำน ำคำคงตวคณกบสมำชกทกตวในแถวใดแถวหนง หรอในหลกใดหลกหนงด-เทอรมแนนตเมทรกซใหมจะเทำกบคำคงตว k คณดเทอรมแนนตเดม เชน

det

025

011

243

= –6

จะได det

025

011

2 224 2 3 xxx

= det

025

011

486

= (–6)(2)

6. ถำน ำคำคงตวคณกบสมำชกทกตวในแถวใดแถวหนง หรอในหลกใดหลกหนง แลวน ำไปบวกกบแถวอนหรอหลกอน ดเทอรมแนนตเมทรกซทเกดใหมจะเทำกบดเทอร-มแนนตเดม เชน

det

846

072

931

= det

846

931

903712

10(แนว Pat1) คำ x ทท ำให det

1

513

220

0x0

2 = 31 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

R1x2

R1 + R2


13

11(แนว En) ให A =

x11x

1xx0

1xx2x

จงหำ x ทท ำให A เปนเมทรกซเอกฐำน

1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

12(แนว En) ถำ A =

021

702

645

และ B =

12

(A)33C(A)11C แลว det (2B)

มคำเทำกบเทำใด 1. –60 2. –120 3. 60 4. 120

13(แนว A–Net) ให A =

10x

113

11x

ถำ C12(A) = 4 แลว det (A–1) มคำเทำใด

1. 0.5 2. –0.5 3. 2 4. –2


14

14(แนว En) ก ำหนดให A =

92y4

752

61x

ถำไมเนอรของ a32 เทำกบ 23 และ

โคแฟกเตอรของ a23 เทำกบ –44 แลว 2 x – y มคำเทำกบขอใด 1. 6 2. 9 3. 10 4. 5 4.4.3 การหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ n x n ทฤษฏบท ให A เปนเมทรกซ n x n เมอ n > 2 จะไดวา A มอนเวอรสการคณกตอเมอ A ไมเปนเมทรกซเอกฐาน และ A–1 = (A) det

1 adj(A)

เมอ adj(A) หมายถงเมทรกซผกพน (adjoint matrix ) ของ A คอ [ ci j(A) ]t

เพมเตม 1) A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2) adj(A) = det(A) . A–1 3) det [ adj (A)] = [det (A)] n–1

4) 1ija = det(A)

(A)jiC = det(A)

(A)jiM . j i1)(

15(แนว Pat1) ก ำหนดให A =

12 1

0 8 3

4 2 1

สมำชกในแถวท 3 หลกท 2 ของ A–1

เทำกบเทำใด 1. –2 2. –0.5 3. 0 4. 2


15

16(แนว มช) ถำ A =

ba0

c0a

0cb

แลว det (adj A) เทำกบขอใด

1. 2 abc 2. 4 a2 b2 c2 3. 8 a3 b3 c3 4. 16 a4 b4 c4

17(แนว En) ก ำหนดให a เปนจ ำนวนจรง และ A =

a04

030

201

ถำ a < 8 และ

det (adj A) = 9 แลว a มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 3 2. 5 3. 6 4. 7

18(แนว En) ก ำหนดให A =

23

12 ถำ B เปนเมทรกซท B = 2 A–1 แลวขอใด

ตอไปนเปนคำของ det (2 adj B) 1. 5 2. 8 3. 10 4. 16


16

19(แนว En) ให A , B เปนเมตรกซมต 3 x 3 ถำ AB = 2 I โดยท I เปนเมตรกซเอกลกษณ และ adj B = 2

1 A แลว det(A) มคำเทำกบเทำใด

1. 4 2. 8 3. 16 4. 27

4.5 การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ท าไดใชกฎของคราเมอร ( Cramer'S rule ) ดงน เมอก าหนดระบบสมการเชงเสนทม n สมการ และ n ตวแปร โดย AX = B เปนสมการเมทรกซทสมพนธกบระบบสมการน

ให X =

nx

..1x1x

และ B =

nb

..1b1b

ถา det(A) 0 แลว

x1 = det(A))1det(A

, x2 = det(A))1det(A

, ......... , xn = det(A))1det(A

เมอ Ai คอเมทรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A ดวยหลกของ B ทกๆ i { 1, 2 ,… , n } 20. จำกระบบสมกำรเชงเสน x + y + z = 6 x – y + z = 2 x + y – z = 0 คำของ 2x + y – 2z มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. – 4 2. – 2 3. 2 4. 4


17

เฉลยบทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบ 19 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบ 18 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 2.


18

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ชดท 1

4.1 ระบบสมการเชงเสน 1(แนว Pat1) ก ำหนดให x , y และ z เปนจ ำนวนจรงทสอดคลองกบระบบสมกำรเชงเสน

2x – 2y – z = 1 x – 3y + z = 7

–x + y – z = –5 แลว – x

zy เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

4.2 เมทรกซ ( Matrix )

2(มช 35) จำกกำรแกระบบสมกำร

c

3b15

13 =

1

2 จะได b = …………

1. – 21 2. –1 3. 2

1 4. 1

3(มช 35) ก ำหนดให A =

5

1 , B = 0 4 3 และ C =

1520

340

S

ถำ AB – C =

000000 แลว S = ………………………

1. 5 2. 10 3.15 4 .20

4(มช 41) ก ำหนด

10

24

13

z

2

x2

812

413

221

จงหำคำของ z 2 x

1. 5 2. 10 3.15 4 .20

5(มช 36) จงหำคำของ x ทท ำให

2

1

1

125

106

243

1x2x = 0

1. –3 , –1 2. – 31 , –1 3. 3 , 1 4. 3

1 , 1


19

4.3 เมทรกซ 2 x 2

4.3.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ 2 x 2 4.3.2 อนเวอรสการคณของเมทรกซ 2 x 2

6(มช 32) ถาเมทรกซ A =

13

21 แลวเมทรกซ A–1 คอขอใดตอไปน

1.

7173

7271 2.

7173

7271 3.

7173

7271 4.

7173

7271

7(มช 35) ก าหนดให A =

11

20 , B =

24

3 4 และ S = 3A + B

จะได S–1 = …….. เมอ S–1 คอ อนเวอรสการคณของเมทรกซ S

1.

41

31 2.

41

31 3.

41

31 4.

41

31

8(มช 36) ก าหนด A–1 =

θθ

θθ

cos sin

sincos จงหา A + At

1. I 2. cos. I 3. 2 I 4. 2 cos. I

9(En41 เม.ย.) ถำ A =

43

21 , B =

12

11 แลว 2A–1 Bt คอเมตรกซใน

ขอใดตอไปน

1.

72

102 2.

72

102 3.

66

25 4.

66

25

10(En 37) ก าหนดให A เปนเมทรกซ และ I เปนเมทรกซเอกลกษณมต 3 x 3

ถา B=

1 2 1

3 0 1

2 1 0

และ

120

213

320

=C สอดคลองกบสมการ

AB – AC – 12 I = 0 แลว A–1 เมทรกซในขอใดตอไปน

1.

112

110

201

2.

224

220

402

3.

112

110

201

4.

224

220

402


20

11(En 40) ก ำหนดให A =

3

4

2

3 , B =

3

2

1

1 , X =

d

b

c

a

ถำ AX + B = A แลว b + c มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 5 2. 9 3. 10 4. 11

4.3.3 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ 2 x 2

12(มช 31) ให 5

19

x6 det – 6

18

75 det + x

98

65 det = 0 แลว x มคำเทำใด

13(มช 36) ก าหนด AB =

1 4

7 12 และ B =

2 0

3 4 จงหา det (A)

14(En41 เม.ย.) ถำ A =

21

43 , C =

812

1830 และ B เปนเมตรกซซงท ำให

AB = C แลวขอใดตอไปนถก 1. det (B–1) = 12 2. det (B–1A–1) = 24 3. det (2Bt ) = 24 4. det (A2B) = 48

15(แนว PAT1) ก าหนดให a , b , c , d , x และ y เปนจ านวนจรง และ

A =

1y

x1 , B =

dc

ba , C =

10

01 และ I =

10

01

ถา A2 = I และ AB = 2C แลวคาของ det B เทากบขอใดตอไปน 1. 0.25 2. 0.5 3. 2 4. 4

16(En 36) ถำ A =

13

11 แลว det ( –2A3At (A + At ) ) เทำกบขอใดตอไปน

1. 768 2. –768 3. 384 4. –384


21

17(En45 ม.ค.) ก ำหนดให A =

2x)060 (cot

1x)o30 tan ( และ det (A) = 9 แลว A–1 คอ

เมตรกซในขอใดตอไปน

1.

31

91

31

92

2.

31

91

31

92

3.

92

91

31

31

4.

31

31

91

92

18(แนว Pat1) ถำ A และ B เปนเมทรกซซง 2A – B =

63

43 และ A + 2B =

24

21

แลว ( A B )–1 คอเมทรกซในขอใดตอไปน

1.

11

041

2.

411

01 3.

11411

4.

410

11

19(En46 ม.ค.) ก ำหนดให A และ B เปนเมตรกซขนำด 2 x 2 ถำ A + 2B =

168

45

และ A – B =

51

12 แลว det (2A–1B) มคำเทำกบเทำใด

1. 5 2. 8 3. 7 4. 9

20(En41 เม.ย.) ก ำหนดให A =

31

12 และ M =

3x73

xx เซตของจ ำนวนจรง x

ทท ำให det M = det ( [2A + At] A–1 ) คอเซตในขอใดตอไปน 1. { 711 , –5} 2. { 711 , 5} 3. { 7

11 , –5} 4. { 711 , 5}


22

4.4 เมทรกซ n x n

4.4.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ n x n 4.4.2 การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ n x n 21(แนว PAT1) ก าหนดให A , B และ C เปนเมทรกซมมต 3 x 3 โดยท det B 0

ถา A =

013

112

321

และ det (Bt C B–1) = –4 แลว det (CtAC) เทากบเทาใด

22(แนว 9 สามญ) ก ำหนดให A เปนเมทรกซมต 3 x 3 และ AXi = Bi เมอ i = 1 , 2 , 3

ถำ

1

3

1

3 X,

5

2

1

2 X,

5

0

1

1X

1

0

0

3B ,

0

2

0

2B ,

0

0

1

1B

แลว det (A) มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –8 2. 81 3. 81 4. 1 5. 8

23(แนว Pat1) คำ x ทท ำให det 1 x 1

1

513

220

0x0

2 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


23

24(En44 ต.ค.) ให f(x) = det

11x

210

1x2x

ถำชวง [a , b] เปนเซตค ำตอบของ

อสมกำร f(x) –2 แลว a – b คอขอใดตอไปน 1. 3

1 2. 32 3. 3

4 4. 35


11

24 , I =

10

01 แลว c เปนจ ำนวนจรงท

นอยทสด ทท ำให det (A– c I) = 0 ถำ B =

1cc

c1c

cc1

แลว det 21 B เทำกบเทำใด

1. 0.125 2. 0.225 3. 0.625 4. 0.325

26(En 39) เซตของจ ำนวนจรง x ทงหมดทท ำใหเมตรกซ

53x

012

2x01

เปนเมตรกซ

เอกฐำนคอขอใด

1. 1 , 253 5 , 2

53 5 2. 1 , 5 + 3 3 , 5 – 3 3

3. 1 , 45 3 , 4

5 3 4. 1 , 3 + 5 , 3 – 5

27(แนว Pat1) ให S เปนเซตของจ านวนจรง x ทงหมดทท าใหเมทรกซ

x02

31x

724

เปนเมทรกซเอกฐาน และ y เทากบผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต S

ถา A =

y1

1y แลว คาของ det ( ( ( At )–1 )t )–1 เทากบเทาใด


24

28(แนว Pat1) ก าหนดให A และ B เปนเมทรกซ มมต 3 x 3 โดยท det (A) = 2 และ

B =

y20

x10

231

เมอ x และ y เปนจ านวนจรง ถา AB + 3A = 2I เมอ I เปน

เมทรกซเอกลกษณทมมต 3 x 3 แลว x + y เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. –1 3. –2 4. –2.5

29(En43 ม.ค.) ถำ A =

021

702

645

และ B =

23

(A)23C(A)13C แลว det(B–1) ม

คำเทำกบเทำใด 1. 0.3 2. 0.1 3. 0.5 4. 0.2

30(แนว Pat1) ก ำหนดให A =

10x

113

11x

ถำ C12(A) = 4 แลว det (3A) มคำเทำใด

1. 58 2. 54 3. 56 4. 53


1

0

4

y

8

y

x

3

x

โดยทโคเฟกเตอรของ a21 = –6 และ

โคแฟกเตอรของ a23 = 4 แลวโคแฟกเตอรของ a33 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –14 2. –13 3. 13 4. 14

32(แนว Pat 1) ก ำหนดให A =

y12

2x2

121

โดยท x และ y เปนจ ำนวนจรง

ถำ C21(A) = 9 และ C11(A) = 13 แลว det (2A) มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –84 2. –264 3. 84 4. 264


25


92y4

752

61x

ถำไมเนอรของ a32 เทำกบ 23

และโคแฟกเตอรของ a23 เทำกบ –44 แลว x + y มคำเทำกบขอใด 1. 9 2. 7 3. 10 4. 5

34(En46 ต.ค.) ก ำหนดให a เปนจ ำนวนจรง และ A =

a2a

3a6

6 2a1a

ถำ M11(A) = 18

และ M22(A) = –12 แลว C31(A) เทำกบขอใดตอไปน 1. –57 2. –33 3. –15 4. –3

35(มช 39) ให A =

z

y

x

เปน 3 x 1 เมทรกซ โดยท x , y , z เปนจ ำนวนจรงบวกและ

B = 1 2 3 เปน 1 x 3 เมทรกซ จงหำดเทอรมนนตของเมทรกซผลคณ AB 1. 0 2. 6 3. 6xyz 4. x+2y+3z

36(มช 37) ก าหนด A =

u2t2s2

z3y3x3

rqp

B,

uts

rqp

zyx

และ det (A) = 2

จงหา det ( 2 B–1) 37(แนว PAT1) ให A , B และ C เปนเมทรกซไมเอกฐานมต 3 x 3 และ I เปนเมทรกซ

เอกลกษณการคณมต 3 x 3 ถา A =

ihg

fed

cba

เมอ a , b , c , d , e , f , g , h และ i


26

เปนจ านวนจรง และ A3 = 2I , det (C–1) = 4 และ Bt C =

2f2e2d

cba

3i3h3g

แลว det (B) เทากบเทาใด

38(แนว Pat 1) จงหำสมำชกในแถวท 3 หลกท 1 ของ A–1 เมอ A =

121

083

421

1. 0.2 2. 0.3 3. 0.4 4. 0.5

39(แนว Pat 1) ก ำหนดให At =

410

011

322

สมำชกในแถวท 2 และหลกท 3 ของ

A–1 เทำกบขอใดตอไปน 1. – 3

2 2. –2 3. 32 4. 2

40(มช 38) ก าหนดให A เปนเมทรกซขนาด 3 x 3 และ det(A) = –2 จงหา det (adj A)

41(แนว PAT1) ให A เปนเมทรกซทมมต 3 x 3 และ det(A) 0 พจารณาขอความตอไปน

(ก) ถา A2 = 2A แลว det (A) = 2 (ข) (det(A))3 = det (adj (A)) ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด

42(En41 ต.ค.) ก ำหนดให A =

12

11 ถำ B เปนเมทรกซท B = 2A–1 แลวขอใด

ตอไปนเปนคำของ det(3 adj B) 1. 6 2. 9 3. 12 4. 18


27


011

112

121

และ I =

100

010

001

ถำ B เปนเมทรกซ

ทท ำให AB = BA = I แลวคำของ det (2 adj B–1) เทำกบขอใดตอไปน 1. 36 2. 156 3. 288 4. 512

44(En47 ม.ค.) ให A , B เปนเมตรกซมต 3 x 3 ถำ AB = 3I โดยท I เปนเมตรกซเอกลกษณ และ adj B = 3

1 A แลว det(A) มคำเทำกบเทำใด

1. 35 2. 27 3. 24 4. 32

45(En 37) ให A , B เปนเมตรกซจตรสมต 3 x 3 และ I เปนเมตรกซเอกลกษณมต 3 x 3

ถำ AB = BA = I และ A =

101

312

111

แลว adj B เทำกบขอใดตอไปน

1. A31 2. –3A 3. tA3

1 4. –3At

46(En46 ต.ค.) ก ำหนดให a เปนจ ำนวนจรง และ A =

a04

030

201

ถำ a > 10

และ det (adj A) = 225 แลว a มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 11 2. 12 3. 13 4. 14

47(En45 ม.ค.) ถำ A เปนเมตรกซซง A–1 =

20x

113

021

, x 0 และ det(2 adj A) = 181

แลว x เปนจรงตำมขอใด 1. x 5 2. 5 x 9 3. 9 x 13 4. x 13


28

4.5 การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

48(En 38) ก าหนดระบบสมการเชงเสน 2x + 4y + z = 1 x + 2y = –2 –x – 3y + 2z = 3 คาของ x ทเปนค าตอบของสมการนเทากบขอใดตอไปน 1. 20 2. 9 3. –9 4. –20

49(En42 ม.ค.) ถำ x1 สอดคลองกบระบบสมกำร x1 + 2x2 + x3 = 0 3x1 + x2 – 2x3 = 5 2x1 – 3x2 – 3x3 = 9

และ A =

y312xy1x

แลวผลบวกของ y ทงหมดทท ำให A เปนเมตรกซเอกฐำน

เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. –1 3. –2 4. –3


29

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ชดท 1

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบขอ 1. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 4. 12. ตอบ 7 13. ตอบ 5 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบ 320 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 4. 25. ตอบขอ 3 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบ 2 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบ 48 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบ 4 41. ตอบขอ 4. 42. ตอบขอ 3. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 2. 45. ตอบขอ 1. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบขอ 3. 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบขอ 4.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 2 http://www.pec9.com บทท 5 ฟงกชน

1

บทท 5 ฟงกช น

5.1 ความสมพนธ 5.1.1 ผลคณคารทเชยล บทนยาม ผลคณคารทเชยลของเซต A และเซต B คอเซตของคอนดบ (x , y) ทงหมด โดยท x เปนสมาชกของเซต A และ y เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A x B อานวา เอ คณ บ และเขยนในรปเงอนไขไดเปน A x B = (x , y) x A และ y B ตวอยาง ให A = 2 , 5 , B = 1 , 7 , 8 จงหา A x B วธท า ผลของ A x B คอเซตของคอนดบซงตวหนาของแตละคอนดบมาจากเซต A และตว หลงของแตละคอนดบอยในเซต B ดงรป จากรปจะไดวา A x B = { (2 , 1) , (2 , 7) , (2 , 8) , (5 , 1) , (5 , 7) , (5 , 8) }

ฝกท า ให A = 1 , 3 , B = 0 , 7 , 8 , C = จงหา A x B , B x A , A x C , B x C , A x A , C x C

วธท า

1

7

8

2 5

A B


2

ขอควรรเกยวกบผลคณคารทเชยล ก าหนด A , B , C , D เปนเซตจ ากดใด ๆ จะไดวา

1) A x B = กตอเมอ A = หรอ B = 2) A x B = B x A กตอเมอ A = B หรอ A = หรอ B =

3) n(A x B) = n(A) n(B) เมอ n(A x B) คอจ านวนสมาชกของ A x B n(A) คอจ านวนสมาชกของ A n(B) คอจ านวนสมาชกของ B

4) A x (B C) = (A x B) (A x C) 5) A x (B C) = (A x B) (A x C) 6) A x (B C) = (A x B) (A x C) ระวงมากๆ อยาสบสน 1) A (B x C) (A B) x (A C) 2) A (B x C) (A B) x (A C)

1. ให A = {1} , 2 , B = {0} , C = R จงหาจ านวนสมาชกของ AxB , AxC , AxA , BxB 1. 2 , , 4 , 1 2. 1 , , 2 , 2 3. 2 , 0 , 4 , 1 4. 1 , 0 , 2 , 2

5.1.2 ความสมพนธ บทนยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B นนคอ r A x B ดงนน จ านวนความสมพนธจาก A ไป B = จ านวนสบเซตของ A x B = 2[ n(A) x n(B) ]

2. ให A = 1 , 2 , 3 , B = a , b จงหาจ านวนทงหมดของความสมพนธจาก A ไป B 1. 6 2. 26 3. 62 4. 22


3

3(แนว En) ถาเซต A มสมาชก 3 ตวแลว จ านวนทงหมดของความสมพนธจาก A x A ไป A เทากบขอใดตอไปน 1. 29 2. 227 3. 92 4. 272

4. ให A = 1 , 3 , 5 , B = 5 , 10 , 15 , 20 แลว r = (x , y) A x B y = 2x เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 10) 2. 3. (3 , 6) 4. (4 ,8) , (6 ,12)

5.1.3 โดเมนและเรนจของความสมพนธ บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr เรนจของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ กรณท 1. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบแจกแจงสมาชก

การหาโดเมน ใหน าเฉพาะสมาชกตวหนาของแตละคอนดบมาเขยนเปนเซตแลวตอบ การหาเรนจ ใหน าเฉพาะสมาชกตวหลงของแตละคอนดบมาเขยนเปนเซตแลวตอบ

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของความสมพนธมาให โดเมน คอชวงซงเกดจากเงาของกราฟบนแกน X

เรนจ คอชวงซงเกดจากเงาของกราฟบนแกน Y


4

กรณท 3. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได ใหแจกแจงสมาชกของความสมพนธ แลวจงหาโดเมนและเรนจเชนเดยวกบกรณท 1.

กรณท 4. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ขนท 1 การหาโดเมน ควรจดสมการในรป y = เทอมของ x เชน y = 2x + 6

การหาเรนจ ควรจดสมการใหอยในรป x = เทอมของ y เชน x = 26 y

ขนท 2 ใชหลกการพจารณาวา โดเมน คอคา x ทท าให y เปนจรง หรอคา x ทท าใหหาคา y ได

เรนจ คอคา y ทท าให x เปนจรง หรอคา y ทท าใหหาคา x ได การพจารณาคาโดเมนและเรนจ ในเบองตนควรค านงไวเสมอวา

1) ถาความสมพนธอยในรปเศษสวน จะไดวาตวสวนตองไมเทากบ 0 เชน y = 2 x

1 จะไดวา x + 2 0

2) ถาความสมพนธอยในรป y = x จะไดวา xR และ x 0 3) ถาความสมพนธอยในรป y = x2 จะไดวา xR และ x2 0 4) ถาความสมพนธอยในรป y = x จะไดวา x 0 และ x 0

5. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r = { (1 , 2) , (3 ,4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } 1. Dr = {1, 2, 3, 4} , Rr = {1, 2, 3, 4} 2. Dr = {1, 2, 3, 4} , Rr = {2, 3, 4, 5} 3. Dr = {1, 3, 5, 7} , Rr = {2, 4, 6, 8} 4. Dr = {1, 3, 5, 7} , Rr = {2, 3, 4, 5} 6. จากกราฟของความสมพนธดงรป โดเมนและ เรนจของความสมพนธคอขอใดตอไปน 1. Dr = [–1 ,1] , Rr = [– 2 ,] 2. Dr = [– 2 , 2 ] , Rr = [–1 , 1] 3. Dr = [0 ,1] , Rr = [ 0 , 2 ] 4. Dr = [ 0 , 2 ] , Rr = [0 , 1]

– 2 + 2

+1

(0, 0) X

Y

–1


5

7. ให A = –1 , 0 , 1 , 2 , B = 6 , 7 , 8 , 9 และ r = (x , y) A x B y = 9 – x จงหา Dr และ Rr

1. Dr = { 0 , 1 , 2 } , Rr = {7 , 8 , 9 } 2. Dr = { –1 , 0 , 1 } , Rr = {7 , 8 , 9} 3. Dr = {–1 , 0 , 1 , 2 } , Rr = {6 ,7 , 8 , 9 } 4. Dr = { –1 , 0 , 1 } , Rr = {8 , 9 , 10}

8(แนว มช) ก าหนดให S = –2 , –1 , 0 , 1 , 2 และ R เปนเซตของจ านวนจรง

ก าหนดให r = (x , y) S x R y = x1 โดเมนของ r คอ………

1. { 0 , 1 , 2 } 2. { 1 , 2 } 3. {–2 , –1 , 0 } 4. {–2 , –1 }

9. ก าหนดให r = (x , y) y = (x – 2)2 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ 2 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 2 , ) , Rr = R 10. ก าหนดให r = (x , y) y = x2 – 2 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ –2 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ –2 , ) , Rr = R


6

11. ก าหนดให r = (x , y) y – 5 = 2x – 6 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (3 , ) , Rr = [ 5 , ) 2. Dr = (3 , ) , Rr = (– , 5 ] 3. Dr = R , Rr = [ 5 , ) 4. Dr = R , Rr = (– , 5 ]

12. ก าหนดให r = (x , y) y = 4 – x – 3 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (3 , ) , Rr = [ 4 , ) 2. Dr = (3 , ) , Rr = (– , 4 ] 3. Dr = R , Rr = [ 4 , ) 4. Dr = R , Rr = (– , 4 ] 13. ก าหนดให r = (x , y) y = 1 +2x แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = [ –2 , ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = [ –2 , ) , Rr = [ –2 , ) 3. Dr = [– 1

2 , ) , Rr = [ 0 , ) 4. Dr = [– 12 , ) , Rr = [ –2 , )

14. ก าหนดให r = (x , y) y – 2 = x100 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (– , 0 ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = (– , 100 ] , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = (– , 0 ) , Rr = [ 2 , ) 4. Dr = (– , 100 ] , Rr = [ 2 , )


7

15. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 1 x 1 +2x

คอขอใดตอไปน

1. Dr =x x 1 , Rr =y y 0 2. Dr =x x 1 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 1 , Rr =y y 2 4. Dr =x x 1 , Rr =y y 2

1

16. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) x – xy + 2y + 1 = 0 คอขอใดตอไปน 1. Dr =x x 2 , Rr =y y 1 2. Dr =x x 0 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 2 , Rr =y y 2 4. Dr =x x 0 , Rr =y y 2

17. ก าหนดใหความสมพนธ r = { ( x , y ) y = 2 x } แลวโดเมนและเรนจของความสม- พนธ r คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = R 2. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , ) 18. ก าหนดให r = (x , y) y = x2 + 8x – 3 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ –19 , ) 4. Dr = R , Rr = [ –19 , )


8

19. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 3 +x 12

คอขอใดตอไปน

1. Dr = R – {–3} , Rr = ( 0 , ) 2. Dr = R – {–3} , Rr = (– , 0) [2 , ) 3. Dr = R – {–2 , –4} , Rr = ( 0 , ) 4. Dr = R – {–2 , –4} , Rr = (– , 0) [2 , ) 20. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) 2 x + y = 6 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ –6 , 6 ] 2. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ –6 , 6 ] 3. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ 0 , 6 ) 4. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ 0 , 6)

21. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 25 2x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ –5 , 5 ] 2. Dr = [–, –5] [5 , ) , Rr = [ –5 , 5 ] 3. Dr = R , Rr = [ 5 , ) 4. Dr = (–, –5] [5 , ) , Rr = [ 5 , )


9

22(แนว En) ก าหนด r = { (x , y) R x R y = 2x 94 2x

} พจารณาขอความตอไปน

ก. โดเมนของ r คอ (– , –3 ) (3 , ) ข. เรนจของ r คอ (– , –1 ) (– 94 , )

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

23(แนว En) ให r = { (x , y) R x R x2y – 2x2 + 3y + 7 = 0 } แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R – 3 , Rr = [ – 3

7 , 2 ) 2. Dr = R – 3 , Rr = (– 37 , 2 ]

3. Dr = R , Rr = [– 37 , 2 ) 4. Dr = R , Rr = (– 3

7 , 2 )

5.2 ตวผกผนของความสมพนธ บทนยาม ตวผกผนของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r ตวผกผนของความสมพนธ r เขยนแทนดวย r–1

ฝกท า. จงหาตวผกผนของความสมพนธตอไปน 1. r = { (3 , 2) , (3 , 4) , (3 , 5) , (3 , 6) } 2. r = { (x , y) y 2x – 3 }

3. r = { (x , y) | y = x2 + 1 } 4. r = { (x , y) y = 3x }


10

24(แนว En) ก าหนดให r = (x , y) y = 1 2x1

พจารณาขอความตอไปน

ก. Rr–1 = { x x 1 } ข. r–1 = (x , y) | y = x x 1 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

5.3 ฟงกชน 5.3.1 ความหมายของฟงกชน บทนยาม ฟงกชน คอความสมพนธซงส าหรบคอนดบสองคใดๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตองไมตางกน วธการตรวจสอบวา ความสมพนธใดจะเปนฟงกชนหรอไม

กรณท 1. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบแจกแจงสมาชก ขนท 1 หากความสมพนธมสมาชกซ ากนหลายตว ใหตดสมาชกทซ ากนทงไปแลวเหลอไวตวเดยว

ขนท 2 ใหพจารณาโดเมนของสมาชกแตละตว หากโดเมนของสมาชกแตละตวไมซ ากน ความสมพนธนนเปนฟงกชน หากสมาชกมโดเมนซ ากน ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของความสมพนธมาให ใหลากเสนตรงขนานแกน Y ไปตดเสนกราฟของความสมพนธนน หากเสนขนานแกน Y ตดเสนกราฟจดเดยวเสมอ ความสมพนธนนเปนฟงกชน

หากเสนขนานแกน Y ตดเสนกราฟหลายจด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน


11

กรณท 3. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได ใหท าการแจกแจงสมาชกใหเหนจรง แลวตรวจสอบเหมอนกรณท 1

กรณท 4. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ใหใชนยามของฟงกชนทวา

ถา ( x , y) f และ ( x , z)f หาก y = z ความสมพนธนนจะเปนฟงกชน วธท าโดยละเอยดใหศกษาจากตวอยางตอๆ ไป

25. ความสมพนธในขอใดตอไปน ขอใดเปนฟงกชน ก. f = (2 ,6) , (3 , 6) , (4 , 6) ข. h = (2 , 3) , (3 , 4) , (3 , 5) ค. gof = (4 , 2) , (3 , 2) , (4 , 2) ง. f–1 = (2 , 2) , (2 , 2) , (3 , 6) จ. g + h = (3 , 6) , (4 , 6) , (3 , 6) 1. ก. เทานน 2. ก. และ ค. 3. ก. , ค. และ ง. 4. ก. , ค. , ง. และ จ.

26. ความสมพนธทมกราฟดงตอไปน ขอใดเปนฟงกชน 1. 2.

3. 4.

y

x x

y

y

x

y

x


12

ฝกท า. จงบอกวาความสมพนธใดเปน ฟงกชน 1. f = (x , y) y2 = x2 + 6

2. g = (x , y) y = x + 3 3. g = (x , y) x + y = 1 4. g = (x , y) x – y = 1 5. r = (x , y) y > 2x + 6 6. g = (x , y) cos y = x

7. f = (x , y) 3y3 + y2 + 2 y – 5 = x

8. goh = (x , y) x = 3 9. g = (x , y) y5 = x2 + 3 10. hoh = (x , y) y = –2 11. goh = (x , y) y = x 12. goh = (x , y) y = x

5.3.2 ฟงกชนทควรรจก 5.3.2.1 ฟงกชนจาก A ไป B (function from A into B) บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมน และมเรนจเปนสบเซตของ B f เปนฟงกชนจาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A B ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, b) }

1

2

3

a b c b

A B


13

โปรดสงเกต 1. ฟงกชนจาก A ไป B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว สวนสมาชกของ B จะถกใชหมดหรอไมกได 2. จ านวน f : AB = n(B) n(A)

5.3.2.2 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B (function from A onto B) บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมนและ B เปนเรนจ f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย f : A ทวถง B

ตวอยาง

f = { (1, k) , (2, m) , (3, m) } โปรดสงเกต ฟงกชนจาก A ไปทวถง B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว และสมาชกของ B จะถกใชหมดทกตวเชนกน

5.3.2.3 ฟงกชนหนงตอหนง (one–to–one function) บทนยาม f เปนฟงชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B ส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา y1 = y2 แลว x1= x2 f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A 11 B ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, c) }

1

2

3

k m

A B

1

2

3

a b c b

A B


14

โปรดสงเกต 1. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว สวนสมาชกของ B จะถกใชหมดหรอไมกได และการจบคจะเปนแบบตวตอตว 2. จ านวน f : A 11 B = Pn(B) , n(A)

หมายเหต หาก f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ( one-to-one correspondence) เขยนแทนดวย f : A 11 B

ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, c) }

27. ให A = 1 , 2 , 3 , B = 6 , 7 และ f = (1 , 7) , (2 , 7) , (3 , 7) พจารณาขอความตอไปน ก. f เปนฟงกชนจาก A ไป B ข. f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B ค. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B ง. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ขอใดถก 1. ก. เทานน 2. ก. และ ข. เทานน

3. ก. และ ค. เทานน 4. ถกทกขอ

ทวถง

1

2

3

a b c

A B


15

28(แนว Pat1) ก าหนดให A = { 3 , 5 , 7 } , B = { a , b} ฟงกชนจาก A ไป B มจ านวน ทงหมดกฟงกชน

29(แนว Pat1) ให A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} และ B = {a , b} และให S = {f f : AB เปนฟงกชนทวถง} จ านวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน

1. 22 2. 25 3. 27 4. 30 30(แนว Pat1) ก าหนดให A = { 1 , 2 } , B = { a , b , c , d } ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B มจ านวนทงหมดกฟงกชน


16

31(แนว En) ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 4 } ถา S = { f : A – B A x B f เปนฟงกชนหนงตอหนง } แลวจ านวนสมาชกของ S เทากบขอใดตอไปน 1. 20 2. 30 3. 40 4. 120 32(แนว En) ให A = { 1 , 2 } และ B = { 5 , 7 , 9 } แลวจ านวนสมาชกของเซต

{ f : AB f ไมเปนฟงกชน 1 – 1 } เทากบขอใดตอไปน 1. 40 2. 34 3. 30 4. 24

5.3.2.4 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง และ A เปนสบเซตของโดเมน 1. f เปนฟงกชนเพม (increasing function) ใน A กตอเมอส าหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว y1 < 2

2. f เปนฟงกชนลด (decreasing function) ใน A กตอเมอส าหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว y1 > y2

X

Y

X 0

y1

y2 f

x1 x2

(ก) ฟงกชนเพม

Y

0

y1

y2

f

x1 x2

(ข) ฟงกชนลด


17

33. จงพจารณาวา ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอลด ก) f = { (x , y)R x R y = 3x – 2 } ข) g = { (x , y)R x R y = – x3 + 1 } 1. ก. เพม ข. ลด 2. ก. เพม ข. เพม 3. ก. ลด ข. เพม 4. ก. ลด ข. ลด 5.3.3 ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ พจารณาความสมพนธ อนเปนฟงกชนตอไปน

f = { (x , y) y = x2 + 2x – 6 } เราอาจเขยนเปน f (x) = x2 + 2x – 6 โดยท f (x) = y

และเรยก f (x) วาเปน คาของฟงกชน f ท x อานวาเอฟทเอกซ หรอ เอฟเอกซ

34. ให f(x) = x2 –3x + 8 ใหหาคาของ f(0) , f(1) , f(a) 1. 8 , 6 , a2 – 8 2. 6 , 8 , – 3a 3. 8 , 6 , a2 – 3a + 8 4. 6 , 8 , a2 – 3a + 8

35. ก าหนดให f (3x – 1) = 2x2 + 3x คาของ f (5) ตรงกบขอใด 1. 65 2. 35 3. 27 4. 14


18

36. ก าหนดให f (x + 3) = 2x – 1 คาของ f (1) ตรงกบขอใด 1. –5 2. 5 3. –1 4. 1 37. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 1 จงหา f (x) 1. x – 2 2. 2 x 3. x + 2 4. – 2 x

38. ก าหนดให f (3x + 3) = 3x + 5 คาของ f (x) ตรงกบขอใด 1. x – 3 2. 2 x – 3 3. 2 x – 1 4. x + 2 39. ก าหนดให f (x – 1) = 2x + 3 คาของ f (x + 2) ตรงกบขอใด 1. 2 x + 3 2. – 2 x + 3 3. 2 x + 9 4. x + 9


19

40(แนว En) ก าหนดให f (x) = x2 + x + 1 จงหา g(x) ทท าให f(x) = g (x – 1) 1. g(x) = x2 + 3x + 3 2. g(x) = x2 + x – 1 3. g(x) = x2 – x + 1 4. g(x) = x2 – 3x + 3

41(แนว Pat1) ก าหนดให h(x) = 1 – x5 และ g(x) = x5 ถา f เปนฟงกชนซง f (g(x)) = h(x) แลว f (–1 ) มคาเทากบเทาใด

\

42(แนว Pat1) ก าหนดให f (x) = x2 + x + 5 และ a , b เปนคาคงตวโดยท b 0 ถา f (a + b) = f (a – b) แลว a2 อยในชวงใดตอไปน 1. ( 0 , 0.5 ] 2. ( 0.5 , 1 ] 3. ( 1 , 1.5 ] 4. ( 1.5 , 2 ]


20

43(แนว En) ก าหนดให f(x) =

0x , 1)(x0x 1 , 21)(x

1x , 2

เซตค าตอบของสมการ f ( x ) – 1 = 0 เปนสบเซต ซงเปนชวงในขอใดตอไปน 1. (–5 , –3) 2. (–6 , –1) 3. (–5 , 4) 4. (1 , 6)

5.3.4 ฟงกชนผกผน ตวผกผนของฟงกชน f คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ f ถาตวผกผนนนเปนฟงกชน จะเรยกวาฟงกชนผกผน

ทฤษฏบท ให f เปนฟงกชน f จะมฟงกชนผกผนกตอเมอ f เปนฟงกชน 1 – 1

ฝกท า ถา f = (1 , r) , (2 , s) , (3 , r) , (4 , t) จงหา f –1 , Df 1 , R

f 1 และ

f –1 เปนฟงกชนหรอไม 44. ก าหนดให f (x) = 3x – 4 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

4 +x 2. 3x + 4 3. 3

4 x 4. 3x – 4


21

45. ก าหนดให f (x) = 5x + 7 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = 3x – 1 2. f–1(x) = 3 1x 3. f–1(x) = 5x – 7 4. f–1(x) = 5 7x

46. ก าหนดให f (x) = 3 x

2 x แลว f –1(3) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 29 2. 2

9 3. – 211 4. 2

11

47. ก าหนดให f (x) = 12x แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 212x 2. f–1(x) = 2

12x และ x ≥ 0

3. f–1(x) = 2 12x 4. f–1(x) = 2 12x และ x ≥ 0


22

48. ก ำหนดให f (x) = 46x เมอ x [0 , 10] แลว f –1 (x) เทำกบขอใดตอไปน

1. 642x ; x [ 2 , 8 ] 2. 6

42x ; x [ 0 , 10 ]

3. 6 x2 – 4 ; x [ 2 , 8 ] 4. 6 x2 – 4 ; x [ 0 , 10 ]

49. สมมตวำ f เปนฟงกชนหนงตอหนง และ f (3) = 10 , f (10) = 18 , f–1(4) = 3 แลว คำของ f–1(10) + f–1(18) + f (3) มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 31 2. 17 3. –17 4. –31

50. ถา f เปนฟงกชนซง f (x) = 5 + 2x แลว f –1(10) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 25 4. – 25


23

51(แนว มช) ถา f เปนฟงกชน ซง f (x + 3) = 2x – 1 แลว f –1(3) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 5 4. –5

52(แนว En) ก าหนดให f ( 2

1 x + 1) = 21 x – 1 แลว f –1(2) เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2 3. 4 4. 6

53. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 4 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2

5 +x 2. 2x + 5 3. x + 5 4. x – 5

54. ก าหนดให f (x) = 3 5x

4 2x แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. f –1(x) = 2 5x 4 3x

2. f –1(x) = 2 5x

4 3x

3. f –1(x) = 2 5x 4 3x

4. f –1(x) = 2 5x

4 3x


24

55. ก าหนดให f –1 (x) = 3 x x แลว f (x) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. f (x) = 3 x x 3 2. f (x) = 1 x

x 3

3. f (x) = 3 x x 3 4. f (x) = 1 x

x 3

56(แนว Pat1) ก าหนดให

0 x เมอ

0 x เมอ

0 x 2

4x 1 1 f(x)

ถา f–1 (a) = 2 แลว a มคาเทากบเทาใด

5.3.5 ฟงกชนประกอบ บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ Rf Dg ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย gof คอฟงกชนทมโดเมนคอ Dgof = {x Df f (x) Dg} และก าหนด gof โดย (g o f) (x) = g [ f (x) ] ส าหรบทก x ใน Dgof


25

57. ให f(x) = x2 – 2 x , g(x) = x 5 คาของ (fog)(9) เทากบขอใด 1. 7 2. 0 3. 9 4. 13

58(แนว Pat1) ถา f(x) = 2x และ g(x) = 3 f(x) แลว gof (3) – fog–1(3) มคาเทาใด

59(แนว En) ถา f(x) = 4 x และ g(x) = 1x 2

แลวคา x ทท าให (fog)(x) = (gof)(x) เทากบเทาใด

60(แนว En) ถา f(x) = x + 1 และ g(x) = x และ F(x) = ( f o g )( x ) เมอ x 1 แลว (F –1)(5) มคาเทากบขอใด 1. 0 2. 8 3. 16 4. 24


26

61. ก าหนด f(x) = 2x + 1 และ (g o f) (x) = 2x + 4 คาของ g(x) เทากบขอใดตอไปน 1. x – 3 2. x + 3 3. 2x – 4 4. 2x + 4

62. ก าหนดให (g o f) (x) = 12x และ g (x) = x แลว f(x) เทากบขอใดตอไปน

1. x3 + 2 2. x2 – 1 3. 2x – 3 4. 12x

ขอควรรเพมเตมเกยวกบฟงกชนประกอบ 1. ( f o f –1) ( x ) = x

2. ถา f และ g เปนฟงกชนแบบ 1–1 และไปทวถง ( g o f ) –1 = f –1o g –1

63(แนว En) ก าหนดให f (x) = x 1x และ g (x) = x 1

x ขอใดตอไปนผด

1. (f o g)–1 (x) = x 2. (f–1 o g–1) (x) = x 3. (g–1 o f–1) (x) = 2x 1

x 4. (g–1 o f) (x) = 2x 1

x


27

64. ก าหนดให f (x) = x + 1 และ g (x) = x จงหา Dgof 1. R 2. [ 0 , ) 3. ( – , 0 ] 4. [ –1 , ) 65. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = x2 จงหา Dfog 1. R 2. [ 0 , ) 3. ( – , 0 ] 4. ( – , 0 )

66. ก าหนดให f (x) = 5x , g (x) = x2 จงหา Dgof และ g o f 1. [ 5 , ) , x – 5 2. [ 5 , ) , (x + 5)2 3. [ 0 , ) , x – 5 4. R , x – 5

67. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , )


28

68. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , )

69. ก าหนดให f (x) = x

1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , )

70. ก าหนดให f (x) = x

1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ g o g เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , )


29

5.3.6 การด าเนนการของฟงกชน บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ R ผลบวก , ผลตาง , ผลคณ และผลหาร ของ f และ g เขยนแทนดวย f+g , f – g , f.g และ gf ตามล าดบ เปนฟงกชนซงก าหนดคาโดย (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f – g) (x) = f (x) – g (x) (f . g) (x) = f (x) . g (x) (x)gf = (x)g

(x) f เมอ g (x) 0

โดเมนของ f +g , f – g และ f . g คอ Df Dg ส าหรบโดเมนของ gf คอ { x x Df Dg และ g (x) 0 }

71(แนว Pat1) ถา f(x) = 3 x และ g(x) = x 1x แลว (g–1. f–1)( 0 ) มคาเทาใด

72(แนว En) ก าหนดให f(x) = ax2 + b และ g(x – 1) = 6x + c เมอ a , b , c เปนคาคงตว ถา f(x) = g(x) เมอ x = 1 , 2 และ (f + g)( 1 ) = 8 แลว a – c มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9

31 2. 2 3. 8 4. 10 73(แนว En) ถา f(x) = x)x)(2(3 และ g(x) = 3x

1

แลวโดเมนของ f . g คอเซต

ในขอใดตอไปน 1. 2. – , 2 3. –3 , 2 4. –3 , 2


30

เฉลยบทท 5 ฟงกช น

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 3. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 4. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบ 8 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบ 14 31. ตอบขอ 2. 32. ตอบขอ 1. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 4. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 1. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบขอ 3. 41. ตอบ 2 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 3. 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบขอ 4. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบขอ 4. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 3. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 3. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบขอ 2. 56. ตอบ 0.5 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบ 35 59. ตอบ 0.20 60. ตอบขอ 3. 61. ตอบขอ 2. 62. ตอบขอ 2. 63. ตอบขอ 3. 64. ตอบขอ 4. 65. ตอบขอ 1. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 4. 69. ตอบขอ 4. 70. ตอบขอ 1. 71. ตอบ 0 72. ตอบขอ 4. 73. ตอบขอ 4.


31

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 5 ฟงกชน ชดท 1

5.1 ความสมพนธ 5.1.1 ผลคณคารทเชยล 5.1.2 ความสมพนธ 1(แนว Pat1) ก ำหนดให A = { 0 , 1 , {0 , 1} , (0 , 1) } เมอ (0 , 1) หมำยถงคอนดบ และ B = (A x A) – A

จ ำนวนสมำชกของเซต B เทำกบเทำใด

2(En 39) ถำเซต A มสมำชก 10 ตวแลว จ ำนวนทงหมดของควำมสมพนธจำก A x A ไป A เทำกบขอใดตอไปน 1. 2100 2. 21000 3. 1002 4. 10002 5.1.3 โดเมนและเรนจของความสมพนธ

3(แนว มช) ก ำหนดให S = –2 , –1 , 0 , 1 , 2 และ R เปนเซตของจ ำนวนจรง และให

f = (x , y) S x R y = 23 4x x แลวผลคณของสมำชกทกตวของเรนจของ f มคำ

เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 4 4. 8

4(แนว มช) ก ำหนด S = –2 , –1 , 0 , 1 , 2 และ R เปนเซตของจ ำนวนจรง ให r = (x , y) S x R y2 = 1

x โดเมนของ r คอ……… 1. { 0 , 1 , 2 } 2. { 1 , 2 } 3. {–2 , –1 , 0 } 4. {–2 , –1 }

5(แนว PAT1) ก ำหนดให A = [–3 , 0] [1 , 2] และ r = { (x , y) AxA x – y = –1 } ถำ a , b > 0 และ a Dr , b Rr แลว a + b เทำกบขอใดตอไปน 1. 2.5 2. 3 3. 3.5 4. 4

6(En41 เม.ย.) ถำควำมสมพนธ r = { (x , y) R x R y = 2 – 421)(x 4

} แลวขอใด

ตอไปนคอเรนจของ r


32

1. (– , 2) [3 , ) 2. (– , 2) (3 , ) 3. (– , 2] [3 , ) 4. (– , 2] (3 , )

7(แนว Pat1) ก ำหนดให S = [–2 , 2] และ r = {(x , y) S x S x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ Dr – Rr 1. (–1.4 , –1.3) 2. (–1.3 , –1.2) 3. (1.2 , 1.4) 4. (1.4 , 1.5)

8(แนว Pat1) ก ำหนดให r = { (x , y) R x R x2 + y2 = 16 } s = { (x , y) R x R xy2 + x + 3y2 + 2 = 0 } เซตในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ Dr Ds 1. [–4 , –1] 2. [–3 , 0] 3. [2 , 4] 4. [3 , 5]

5.2 ตวผกผนของความสมพนธ

9(En44 ม.ค.) ก ำหนดควำมสมพทธ r = (x , y) y = 1 2x1

พจำรณำขอควำมตอไปน

ก. Dr = (– , –1) (1 , ) ข. r–1 = (x , y) | y = x x 1 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

10(En 28) ก ำหนดให r = (x , y)RxR x = y2 – 6y + 10 ขอควำมใดตอไปนเปนจรง 1. D

r1 = R และ Rr1 = y y 0

2. Dr1 = x x 0 และ R

r1 = R

3. Dr1 = R และ R

r1 = y y 1

4. Dr1 = y y 1 และ R

r1 = R

11(En44 ต.ค.) ถำ r = (x , y) R x R 2x3 + 3x y2 – x2 + y2 = 0 แลว เรนจของ r–1 เทำกบขอใด 1. ( – 3

1 , 21 ] 2. [ – 2

1 , 31 )

3. – , – 31 – 3

1 , 4. – ,


33

12(En43 ม.ค.) ก ำหนดให r = { (x , y) y = 2x9 } และ s = { (x , y) y =

9 2x1

}

พจำรณำขอควำมตอไปน

ก. Dr Rs–1 = ข. Rr Ds–1 = (0 , ) ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

5.3 ฟงกชน 5.3.1 ความหมายของฟงกชน 5.3.2 ฟงกชนทควรรจก 13(แนว Pat1) ให A = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 } , B = {a , b} ฟงกชน A ไป B มจ ำนวน

ทงหมดกฟงกชน

14(En43 ต.ค.) ให A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} และ B = {a , b} และให S = {f f : A B เปนฟงกชนทวถง}

จ ำนวนสมำชกของเซต S เทำกบขอใดตอไปน 1. 22 2. 25 3. 27 4. 30

15(En 39) ถำ A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7} และ B = {a , b} แลวจ ำนวนของฟงกชนจำก A ไปทวถง B เทำกบขอใด 1. 14 2. 63 3. 126 4. 252

16(En 40) ถำเซต A มสมำชก 8 จ ำนวน เซต B มสมำชก 6 จ ำนวน และ A กบ B ม สมำชกรวมกน 3 จ ำนวน แลวฟงกชนหนงตอหนงจำกเซต (B – A) ไปยงเซต (A – B) ม จ ำนวนเทำกบขอใดตอไปน 1. 3 2. 5 3. 10 4. 60


34

17(En42 ต.ค.) ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 4 } ถำ S = { f : A B A x B f เปนฟงกชนหนงตอหนง } แลวจ ำนวนสมำชกของ S เทำกบขอใดตอไปน 1. 120 2. 240 3. 360 4. 480

18(En41 ต.ค.) ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { a , b , c , d } แลวจ ำนวนสมำชกของเซต { f : AB f ไมเปนฟงกชน 1 – 1 } เทำกบขอใดตอไปน

1. 40 2. 34 3. 30 4. 24

5.3.3 ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ

19(แนว Pat1) ก ำหนดให f (x) = x2 + x + 1 และ a , b เปนคำคงตวโดยท b 0 ถำ f (a + b) = f (a – b) แลว a อยในชวงใดตอไปน 1. ( 0 , 0.5 ] 2. ( 0.5 , 1 ] 3. ( 1 , 1.5 ] 4. ( 1.5 , 2 ]

20(En41 เม.ย.) ก ำหนดให f(x) =

0x , 1)(x0x 1 , 21)(x

1x , 2

เซตค ำตอบของสมกำร f (x) – 4 = 0 เปนสบเซตซงเปนชวงในขอใดตอไปน 1. (–3 , 5) 2. (–6 , –1) 3. (–5 , 4) 4. (1 , 6)

21(แนว Pat1) ให h(x) = 1 – x5 และ g(x) = x5 ถำ f เปนฟงกชนซง f (g (x)) = h (x) แลว f (0 ) มคำเทำกบเทำใด

22(มช 36) ก ำหนด f(x) = x x 3 จงหำโดเมนของ f

1. ( –3 , 0 ) 2. (0 , 3 ] 3. [ 3 , ) 4. ( 3 , )

23(มช 31) โดเมนของ f (x) = 3xx53 x16

คอ……

1. ( 3 , 5 ) 2. (3 , 5 ] 3. [ 3 , 5 ) 4. [3 , 5 ]


35

24(มช 38) ถำฟงกชน f(x) = x3/2 – 1 แลวเรนจของ f ตรงกบเซตในขอใด 1. – , 2. –1 , 3. 0 , 4. 1 ,

5.3.4 ฟงกชนผกผน

25(มช 33) ถำ f เปนฟงกชน ซง f (x + 3) = 2x – 1 แลว f –1(1) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 4 4. –4

26(แนว Pat1) ก ำหนดให

02x

24x 1 1 f(x)

ถำ f–1(a) = 32 แลว a มคำเทำกบเทำใด

27(En44 ต.ค.) ให f (x + 1) = 3x + 2 + f (x) และ g (3x – 1) = 2x + 8 ถำ f (0) = 1 แลว g–1 (f (2)) เทำกบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

28(En45 ม.ค.) ก ำหนดให f , g เปนฟงกชนทมสมบตวำ f –1[g(x)] = x + 2 ทก x R พจำรณำขอควำมตอไปน ก. f(2x) = g (2(x – 1)) ทก x R ข. g –1( f(x) ) เปนฟงกชนเพมใน R ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

29(แนว Pat1) ก ำหนดให

0 x เมอ

0 x เมอ

0 x 2

24x 1 1 f(x)

ถำ f–1 (a) = 0 แลว a มคำเทำกบเทำใด

เมอ x 0

เมอ x = 0


36

5.3.5 ฟงกชนประกอบ

30(มช 39) ก ำหนดให f (x) = 3x และ g (x) =

1x เมอ 3x2

1x เมอ 2x จงหำ gof (– 5

1 )

1. 11 2. 925 3. 9

13 4. 13

31(En42 ต.ค.) ถำ f(x) = 4 x และ g(x) = 1x 2

แลวคำ x ทท ำให (fog)(x) = (gof)(x) เทำกบเทำใด

32(En 37) ถำ f(x) = x – 1 และ (gof–1) (x) = 4x2 – 1 แลวเซตค ำตอบของสมกำร g(x) = 0 เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน 1. [–4 , –1] 2. [–1 , 0] 3. [0 , 4] 4. [4 , 6]

33(En41 เม.ย.) ถำ f(x) = x + 1 และ g(x) = x และ F(x) = (fog)(x) เมอ x 1 แลว (F–1)(2) มคำเทำกบขอใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4

34(En 30) ก ำหนดให f = (x , y) R x R y = 3x – 2 และ g = (x , y) R x R y = 2x + 7

คำของ (g–1of–1)(2) คอขอใด 1. 17

6 2. 72 3. 1

6 4. 72

35(มช 42) ก ำหนดให f = (x , y) R x R y = 1 – 4x และ g = (x , z) R x R z = 2x + 7

จงหำคำของ (f–1og–1) (3)

36(มช 40) ก ำหนดให g = (x , y) R x R y = 2x + 5 และ h = (x , y) R x R y = 4x – 3

จงหำคำของ (h–1og–1)( 3 )


37

37(แนว Pat1) ถำ f(x) = x1 และ g(x) = 2 f(x) แลว gof(3) – fog–1(3) มคำเทำใด

38(En 40) ก ำหนดให f(x) = x2 + 2x – 1 และ g(x) = x3 + 3x2 + 3x + 9 แลว (fog–1) (7) มคำเทำกบขอใด 1. –2 2. –1 3. 1 4. 2

39(En46 ต.ค.) ก ำหนดให a > 0 และ f (x) = ax2 ; x 0 และ g(x) = x3

ถำ (f–1 o g) (4) = 2 แลว (64)1g(64)1f

มคำเทำกบเทำใด

40(มช 36) ก ำหนดให g(x) = 1+ x จงหำ f(x) ทท ำให f ( g(x) ) = 1– x 1. f(x) = 2 + x 2. f(x) = 2 – x 3. f(x) = 2 + x 4. f(x) = 2 + x

41(แนว Pat1) ให f(x) = 3x + 5 และ (f o g) (x) = 3x2 + 3x – 1 แลว g(3) มคาเทาใด

42(มช 43) ก ำหนดให R แทนเซตของจ ำนวนจรง และ f R R , g R R โดยท g(x) = 1

2 x + 5 และ (gof)(x) = x –1 จงหำ f–1(7)

43(แนว Pat1) ให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x – 1 ถำ g เปนฟงกชนซงท ำ ให (fog) (x) = h(x) แลว g(1) มคำเทำใด

44(แนว En) ถา (f o g) ( x ) = 3x – 14 และ f ( 31 x + 2) = x – 2 แลว (g o f) (1)

เทากบ ขอใดตอไปน 1. – 7 2. – 3 3. 3 4. 7

45(En43 ต.ค.) ถำ (f o g) ( x ) = 3x – 14 และ f ( 31 x + 2) = x – 2 แลว (g–1o f) (x)

เทำกบขอใดตอไปน 1. 3x – 4 2. 3x – 6 3. 3x – 8 4. 3x – 10


38

46(En 35) ถำ f–1(x) = xx2 และ (fog) (x+2) = 3x + 6 แลว g(2) เทำกบขอใดตอไปน

1. 56 2. 3

2 3. 125 4. 24

11

5.3.6 การด าเนนการของฟงกชน

47(แนว Pat1) ถำ f(x) = 3 x และ g(x) = x 1x แลว (f–1 – g–1) (2) มคำเทำใด

48(แนว Pat1) ก ำหนดให f(x) = x – 5 และ g(x) = x2 ถำ a เปนจ ำนวนจรงซง g o f (a) = f o g (a) แลว (f + g) (a) มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –25 2. –7 3. 7 4. 25

49(En 38) ถำ f(x) = x)x)(2(3 และ g(x) = 3x1

แลวโดเมนของ f – g

คอเซตในขอใดตอไปน 1. 2. – , 2 3. –3 , 2 4. –3 , 2


39

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 5 ฟงกชน ชดท1

1. ตอบ 15 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 3. 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบ 32 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 4. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบ 1 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบ 0.5 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบ 0.5 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบ 0.20 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 1. 35. ตอบ 0.75 36. ตอบ 0.5

37. ตอบ 4.5 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบ 0.5 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบ 10 42. ตอบ 9.5 43. ตอบ 0 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบขอ 2. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบ 10 48. ตอบขอ 3. 49. ตอบขอ 4.

บทน ำ เซตเซตของจ านวนเต มต งแต 1 ถ ง 3 ค...

Documents