สถิติ - trueplookpanya...6. ข อใดต อไปน เป นเท จ [o-net...

สถต

29 Oct 2016

สารบญ

สถตภาคบรรยาย ...................................................................................................................................................................... 1

การแจกแจงความถ .................................................................................................................................................................. 4

กราฟแจกแจงความถ ............................................................................................................................................................... 9

แผนภาพตน - ใบ ................................................................................................................................................................... 12

คากลางขอมล ....................................................................................................................................................................... 13

คาเฉลย .................................................................................................................................................................................. 14

คาเฉลยถวงน าหนก ............................................................................................................................................................... 19

คาเฉลย (อนตรภาคชนเปนชวง) ........................................................................................................................................... 21

การหาคาเฉลยโดยการลดทอนขอมล ................................................................................................................................... 24

สมบตของคาเฉลย ................................................................................................................................................................ 28

มธยฐาน................................................................................................................................................................................. 30

มธยฐาน (อนตรภาคชนเปนชวง) .......................................................................................................................................... 34

มธยฐาน (จากกราฟ)............................................................................................................................................................. 36

สมบตของมธยฐาน ............................................................................................................................................................... 38

ฐานนยม ................................................................................................................................................................................ 40

ฐานนยม (อนตรภาคชนเปนชวง) ......................................................................................................................................... 44

ฐานนยม (จากกราฟ) ............................................................................................................................................................ 46

สมบตของฐานนยม ............................................................................................................................................................... 47

คาเฉลย - มธยฐาน - ฐานนยม ............................................................................................................................................. 49

การวดต าแหนงขอมล ............................................................................................................................................................ 52

การวดต าแหนงขอมล (อนตรภาคชนเปนชวง) ..................................................................................................................... 60

การวดการกระจายสมบรณ .................................................................................................................................................. 64

พสย ....................................................................................................................................................................................... 65

สวนเบยงเบนมาตรฐาน ........................................................................................................................................................ 68

สมบตของสวนเบยงเบนมาตรฐาน ....................................................................................................................................... 73

แผนภาพกลอง ....................................................................................................................................................................... 76

สถต 1

สถตภาคบรรยาย สถต จะแปลวา “ขอมล” กได หรอจะแปลวา “วธจดการขอมล” ตามระเบยบวธการทางสถต กได

สถตมหลายชนด ตามลกษณะการน าไปใช เชน

สถตเชงพรรณนา = สถตทมงอธบายภาพรวมของขอมล

สถตเชงอนมาน = สถตทศกษากลมตวอยางเลกๆ เพอเดาขอสรปของขอมลทงหมด

สถตเพอการตดสนใจ = สถตชนดน จะไมตองการภาพรวมของขอมล แตจะมงเนนเพอตดสนใจบางเรอง โดยจะก าหนดกอนวาตองใชคาสถตใดในการตดสนใจ แลวจงเกบขอมลเทาทจ าเปน

ระเบยบวธการทางสถต ประกอบดวย การเกบขอมล → น าเสนอขอมล → วเคราะห → ตความ

การเกบขอมล สามารถเกบจากทะเบยนประวต จากการส ารวจ จากการทดลอง หรอ จากการสงเกต

โดยเราแบงประเภทขอมล ตามวธเกบไดเปน 2 ชนด

ขอมลปฐมภม = ขอมลทเกบจากตนก าเนดขอมลโดยตรง ขอมลทตยภม = ขอมลทเกบจากผลการเกบขอมลของคนอนอกท เชน เกบจากเอกสาร หรอทะเบยนทมอย

ซงกอนเกบขอมล เราตองเลอกอกวาจะเกบจาก “ประชากร” หรอเกบจาก “ตวอยาง” ประชากร = ขอมล “ทงหมด” ตวอยาง = ขอมล “บางสวน”

การเกบขอมลจากประชากร จะไดผลครบถวนสมบรณกวาเกบจากตวอยาง แตกใชเวลามากกวา

ในชวตจรง เรามกนยมเกบขอมลจากจากตวอยาง

โดยจะมวธเลอกตวอยางตามหลกสถต เพอใหตวอยางทเลอก สามารถเปนตวแทนของประชากรไดใกลเคยงทสด

การน าเสนอขอมล คอ การเอาขอมลมาจดเปนรปแบบทเขาใจงาย ซงแบงไดเปน 2 แบบ คอ ไมเปนแบบแผน ไดแก การน าเสนอในรปบทความ หรอ แบบกงตาราง เปนแบบแผน ไดแก การน าเสนอดวยตาราง แผนภม หรอ กราฟ

การวเคราะหขอมล คอ การหาขอสรปเกยวกบลกษณะตางๆ (คาเฉลย, มธยฐาน, ฐานนยม, ฯลฯ) ของขอมล

คาทวเคราะหได จะมชอเรยก 2 ชอ ขนกบวาเอาขอมลระดบไหนมาวเคราะห

พารามเตอร = คาทไดจาก “ประชากร” คาสถต = คาทไดจาก “ตวอยาง”

ปกต เราจะไมวเคราะหประชากร แตเราจะวเคราะหตวอยาง เพอหาคาสถตแลวน ามาประมาณพารามเตอร

โดยขอมลทน ามาวเคราะห จะแบงไดเปน 2 ประเภท ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทบอกปรมาณ เชน อาย สวนสง น าหนก

ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทแสดงคณสมบต เชน เพศ กรปเลอด ขอมลประเภทน จะไมสามารถ บวก ลบ คณ หาร หรอเทยบมากกวานอยกวา ได จงหาไมสามารถหาคาเฉลย หรอ มธยฐาน ได

การตความขอมล คอ การหาขอสรปจากคาทไดจากการวเคราะห

2 สถต

แบบฝกหด

1. ขอใดถกตอง 1. เบอรโทรศพท เปนขอมลเชงปรมาณ

2. การเกบขอมลของชมชน จากทวาการเขต จดเปนการเกบขอมลแบบปฐมภม

3. การหาคาเฉลยของขอมล เปนสวนหนงของการน าเสนอขอมล

4. สถตเชงอนมาน คอ สถตทมงอธบายลกษณะกวางๆของขอมล

5. พารามเตอร คอ คาทไดจากการน ากลมตวอยางมาค านวณ

6. ประโยชนของการน าเสนอขอมล คอ ท าใหเขาใจขอมลไดงายขน

2. ขอตอไปนมผลกระทบตอความถกตองของการตดสนใจโดยใชสถต ยกเวนขอใด [O-NET 52/34]

1. ขอมล 2. สารสนเทศ 3. ขาวสาร 4. ความเชอ

3. ขอใดเปนขนตอนหนงของการส ารวจความคดเหน [O-NET 57/28] 1. ตงสมมตฐานของปญหาทท าการส ารวจ

2. ก าหนดขอบเขตของการส ารวจ

3. ประมาณการคาใชจายในการส ารวจความคดเหน

4. คดเลอกผ เกบขอมลการส ารวจ

5. น าผลการส ารวจความคดเหนไปใชประโยชน

4. ขอใดไมอยในขนตอนของการส ารวจความคดเหน [O-NET 56/30]

1. ก าหนดขอบเขตของการส ารวจ 2. ก าหนดวธเลอกตวอยาง 3. สรางแบบส ารวจความคดเหน 4. ประมวลผลและวเคราะหผลการส ารวจ

5. เผยแพรผลการส ารวจความคดเหน

5. ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน ส าหรบเรองทจ าเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ ถาขาดขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรท าขนตอนใดกอน [O-NET 53/36]

1. เกบรวบรวมขอมล 2. เลอกวธวเคราะหขอมล

3. เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4. ก าหนดขอมลทจ าเปนตองใช

สถต 3

6. ขอใดตอไปนเปนเทจ [O-NET 52/25]

1. สถตเชงพรรณนาคอสถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวางๆของขอมล

2. ขอมลทเปนหมายเลขทใชเรยกสายรถโดยสารประจ าทางเปนขอมลเชงคณภาพ

3. ขอมลปฐมภมคอขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลโดยตรง

4. ขอมลทนกเรยนรวบรวมจากรายงานตางๆทไดจากหนวยงานราชการเปนขอมลปฐมภม

7. ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ท าโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจรายงานโครงงานของทกคนแลว ผลสรปเปนดงน

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด [O-NET 53/27] 1. ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2. ขอมลทตยภม เชงปรมาณ

3. ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4. ขอมลทตยภม เชงคณภาพ

ผลการประเมน จ านวนโครงงาน

ดเยยม 3

ด 20

พอใช 12

ตองแกไข 5

4 สถต

การแจกแจงความถ

“ตารางแจกแจงความถ” คอ ตารางทบอกวา มขอมลกตวตกอยในแตละชวง

บางตารางจะใจด บวกจ านวนขอมลมาใหขางลาง บางตารางกมชอง “ความถสะสม” มาให คาพวกนเราค านวณเองได

นอกจากน ยงมชองอนๆทไมคอยจะไดใชอก ดงน

ความถสมพทธ = ความถ

จ านวนขอมลทงหมด =

𝑓

𝑁

ความถสะสมสมพทธ = ความถสะสม

จ านวนขอมลทงหมด =

𝐹

𝑁

รอยละของความถสมพทธ = ความถสมพทธ × 100

รอยละของความถสะสมสมพทธ = ความถสะสมสมพทธ × 100

สมพทธ → ÷ 𝑁

รอยละ → × 100

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (คน) 1 - 10

11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50

3 12 15 24 6

คาของขอมล (𝑥) ในทนคอคะแนนสอบของนกเรยนแตละคน

ความถ (𝑓) เปนคาทบอกวามขอมลกตว ตกอยในแตละชวง ในทนคอจ านวนนกเรยนในแตละชวงคะแนน

อนตรภาคชน เรยกสนๆวา “ชน” หมายถงแตละแถวของชวงขอมล

เชน ในตารางน จะม 5 ชน

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (คน) ความถสะสม (𝐹) 1 - 10

11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50

3 12 15 24 6

3 15 30 54 60

60

ความถสะสม (𝐹) ไดจากการน าชอง “ความถ” มาบวกสะสม โดยเรมสะสมตงแตชนแรก

จ านวนขอมลทงหมด (𝑁)

÷ 𝑁 × 100

ความถสมพทธ รวมกนได 1 เสมอ

รอยละของความถสมพทธ รวมกนได 100 เสมอ

คะแนนสอบ

จ านวนนกเรยน (คน)

ความถสะสม (𝐹)

ความถ

สมพทธ

ความถสะสม

สมพทธ

รอยละของ ความถ

สมพทธ

รอยละของ ความถสะสม

สมพทธ 1 - 10 3 3 3/60 = 0.05 3/60 = 0.05 0.05 × 100 = 5 0.05 × 100 = 5

11- 20 12 15 12/60 = 0.20 15/60 = 0.25 0.20 × 100 = 20 0.25 × 100 = 25 21 - 30 15 30 15/60 = 0.25 30/60 = 0.50 0.25 × 100 = 25 0.50 × 100 = 50 31 - 40 24 54 24/60 = 0.40 54/60 = 0.90 0.40 × 100 = 40 0.90 × 100 = 90 41 - 50 6 60 6/60 = 0.10 60/60 = 1.00 0.10 × 100 = 10 1.00 × 100 = 100

60 1.00 100

กลอง

สถต 5

ในตารางแจกแจงความถ มค าศพททตองรดงน

ขอบลาง = คาต าสดของชน+คาสงสดของชนกอนหนา

2

ขอบบน = คาสงสดของชน+คาต าสดของชนถดไป

2

จดกงกลางชน = คาสงสดของอนตรภาคชน+คาต าสดของอนตรภาคชน

2

= ขอบบน+ขอบลาง

2

ความกวางชน (𝐼) = ขอบบน − ขอบลาง = คาขอมลต าแหนงเดยวกน ระหวาง 2 ชนทตดกน ลบกน

หมายเหต: ขอบลางของชนต าสด จะค านวณจากแนวโนมความหางของขอบบน

ขอบบนของชนสงสด จะค านวณจากแนวโนมความหางของขอบลาง


1. จงเตมตารางแจกแจงความถใหสมบรณ

1.

2.

5 12 10 22 11 20 16 8 14 29 20 6 16 12 9 18 18 15 34 34

คาขอมล ความถ ความถสะสม จดกงกลางชน ความกวางชน ขอบลาง ขอบบน

1 - 10

11 - 20

21 - 30

31 - 40

คะแนนสอบ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน ความกวางชน (𝐼) 1 - 10 0.5 (10+11)/2 = 10.5 (1+10)/2 = 5.5 10.5 − 0.5 = 10 11 - 20 (10+11)/2 = 10.5 (20+21)/2 = 20.5 (11+20)/2 = 15.5 20.5 − 10.5 = 10 21 - 30 (20+11)/2 = 20.5 (30+31)/2 = 30.5 (21+30)/2 = 25.5 30.5 − 20.5 = 10 31 - 40 (30+31)/2 = 30.5 (40+41)/2 = 40.5 (31+40)/2 = 35.5 40.5 − 30.5 = 10 41 - 50 (40+41)/2 = 40.5 50.5 (41+50)/2 = 45.5 50.5 − 40.5 = 10

27 1 14 8 30 20 8 27 12 14 12 27 3 5 5 19 2 17 15 14

คาขอมล ความถ ความถสะสม

ความถสมพทธ

ความถสะสมสมพทธ

รอยละของความถสมพทธ

รอยละของความถสะสมสมพทธ

1 - 10

11 - 20

21 - 30

6 สถต

3.

4.

2. ในการส ารวจอายของคนในหมบานแหงหนงเปนดงน

คา 𝑥 ในตารางแจกแจงความถสมพทธเทากบเทาใด [O-NET 54/39]

3. ขอมลชดหนง มบางสวนถกน าเสนอในตารางตอไปน

ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด [O-NET 53/34]


13

5

12

30

2.5

6.5

4

4


2

5

16

20

5.5

11.5

17.5

23.5

อาย (ป) ความถ (คน) ความถสมพทธ

0 10 10

11 20 25

21 30 35

31 40 𝑥

41 50 40

51 60 20 0.10

61 70 15

71 80 3

81 90 2

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ

2 - 6 7 - 11 12 - 16 17 - 21

6

11 14

0.2

0.3

สถต 7

4. ตารางแสดงน าหนกของนกเรยนจ านวน 50 คน เปนดงน น าหนก (กโลกรม) จ านวน (คน)

30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89

4 5

13 17 6 5

ขอสรปในขอไดตอไปน ไมถกตอง [O-NET 49/1-27]

1. นกเรยนกลมนสวนใหญมน าหนก 60 - 69 กโลกรม

2. นกเรยนทมน าหนกต ากวา 50 กโลกรม ม 9 คน

3. นกเรยนทมน าหนกในชวง 50 - 59 กโลกรม ม 26 %

4. นกเรยนทมน าหนกมากกวา 80 กโลกรม ม 10 %

5. ก าหนดใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง เปนดงน ชวงคะแนน ความถสะสม

30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69

1 11 18 20

ขอสรปในขอใดตอไปน ถกตอง [O-NET 50/37]

1. นกเรยนทไดคะแนน 40 - 49 คะแนน มจ านวน 27 %

2. นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 60 - 69 คะแนน

3. นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจ านวนนอยกวา

นกเรยนทไดคะแนน 40 - 49 คะแนน

4. นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจ านวนมากกวา

นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 50 คะแนน

8 สถต

6. จ านวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจ านวนทงสน 4.29 แสนคน ตารางเปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ปพ.ศ. 2550 กบปพ.ศ. 2551 เปนดงน

ขอใดถกตองบาง [O-NET 53/35]

1. จ านวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของปพ.ศ. 2550 และของปพ.ศ. 2551 เทากน

2. จ านวนผอยในก าลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายน ปพ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน

พนทส ารวจ

อตราการวางงานในเดอนกนยายน (จ านวนผวางงานตอจ านวนผอยใน

ก าลงแรงงานคณ 100) ปพ.ศ. 2550 ปพ.ศ. 2551

ภาคใต 1.0 1.0

ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ 0.9 1.3

ภาคเหนอ 1.5 1.2

ภาคกลาง (ยกเวนกรงเทพมหานคร) 1.3 0.9

กรงเทพมหานคร 1.2 1.2

ทวประเทศ 1.2 1.1

สถต 9

กราฟแจกแจงความถ

ในเรองนจะพดถงวธการน าตารางแจกแจงความถ มาเขยนเปนแผนภมใหอานงาย

กอนอน เราสามารถน าตารางแจกแจงความถ มาเขยนเปนแผนภมแทงทเรยกวา “ฮสโทแกรม” ได ดงน

และเราสามารถน าฮสโทแกรม มาสรางเปน “รปหลายเหลยมของความถ” โดยลากเสนเชอมตามยอดของแตละแทง

และสดทาย เราสามารถน ารปหลายเหลยมของความถ มาปรบใหเปนเสนโคง ทเรยกวา “เสนโคงของความถ” ได ดงน

ในโคงความถ มกจะไมนยมแสดง แกนจ านวนนกเรยน

โดยในโคงความถ เราจะใช “พนทใตโคง” ในการบอกจ านวนขอมล เชน จ านวนนกเรยนทไดคะแนน 11 - 20 จะเปนสดสวนกบพนทใตโคง จาก 11 ถง 20

และเราสามารถใชค าวา “เบ” มาบอกลกษณะการเอยงของโคงความถไดอกดวย

0

5 10 15 20 25

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5



แตละแทง จะแทนแตละอนตรภาคชน

ความสงของแทง = ความถในชนนนๆ

ความกวางของแทง = ความกวางชน

จดกงกลางชน แตละแทงชนกนทขอบชน

คะแนนสอบ 0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

11 20

เบซาย เบขวา สมมาตร

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (คน) 1 - 10 3

11 - 20 12 21 - 30 15 31 - 40 24 41 - 50 6

คะแนนสอบ 0

5 10 15 20 25

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5


10 สถต

นอกจากน เรายงสามารถเอา “ความถสะสม” มาสรางกราฟคลายๆฮสโทแกรมได ดงน

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (คน) ความถสะสม 1 - 10 3 3

11 - 20 12 15 21 - 30 15 30 31 - 40 24 54 41 - 50 6 60

จะเหนวากราฟทไดจากความถสะสม จะสงขนเรอยๆ (เพราะความถสะสมมแตบวกเพมไปเรอยๆ) และแทงสดทายจะสงเทากบจ านวนขอมล (𝑁)

และสดทาย ถาลากเสนเชอมตามยอดของแตละแทงของความถสะสม ดงรป เราจะไดกราฟทเรยกวา “โอจฟ”

ประโยชนทส าคญอยางหนงของโอจฟ คอ เราสามารถพลอตหา คาประมาณของขอมล ณ ต าแหนงตางๆ ตามใจชอบได

เพราะต าแหนงขอมล จะมความสมพนธโดยตรง กบ ความถสะสม

เชนจากรป จะไดวา

ขอมลตวท 20 มคาประมาณ 23 กวาๆ

ขอมลตวท 45 มคาประมาณ 36 กวาๆ


1. จงเตมตารางแจกแจงความถใหสอดคลองกบแผนภาพตอไปน

1.


0

10 20 30

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบ

40 50 60


0 10 20 30

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบ

40 50 60


ตวท 20

ตวท 45

0 10 20 30

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบ

40 50 60

คาขอมล ความถ

0

5 10 15 20

6.5 12.5 18.5 24.5

ความถ

คาขอมล

สถต 11

2.

น าหนก จ านวนคน

0

5 10 15 20

4 9 14 19

จ านวนคนสะสม

น าหนก

25

12 สถต

แผนภาพตน - ใบ

แผนภาพตนใบ เปนวธน าเสนอขอมลอกแบบหนง ทสะดวกในการดแนวโนมของคาขอมล

โดยเราจะน า “หลกหนวย” ของขอมลมาเขยนเปน “ใบ” และน า หลกสบ, รอย, พน, ... มาเขยนเปน “ล าตน” เชน ขอมล

จะน ามาสรางแผนภาพตน - ใบ ไดดงน

และในกรณทมขอมล 2 กลม เราสามารถน าขอมลทง 2 กลม มาเขยนลงใน “ล าตนเดยวกน” ได

เชน ถามคะแนนสอบของนกเรยน 2 หอง

จะน ามาเขยนแผนภาพตน - ใบ โดยใชล าตนเดยวกนได ดงน


1. จงเขยนตารางแจกแจงความถ จากแผนภาพตนใบตอไปน

2. ในกรณทมขอมลจ านวนมาก การน าเสนอขอมลในรปแบบใดตอไปนท าใหเหนการกระจายของขอมลไดชดเจนนอยทสด [O-NET 52/32]

1. ตารางแจกแจงความถ 2. แผนภาพตนใบ

3. ฮสโทแกรม 4. การแสดงคาสงเกตทกคา

15 24 8 10 32 10 23 18 31 25 9 22 21 37 22

คะแนนสอบหอง 5/1 98 102 121 130 105 111 115 123 119 124 120 133

คะแนนสอบหอง 5/2 121 110 91 115 116 124 114 120 138 124 99 102

หอง 5/1 หอง 5/2

8 9 1 9 5 2 10 2 9 5 1 11 0 5 6 4

0 4 3 1 12 1 4 0 4 3 0 13 8

หลกหนวย หลกสบ

0 8 9 1 5 0 0 8 2 4 3 5 1 2 2 3 2 1 7

ในแตละแถว จะเรยงล าดบขอมลยงไงกได

8 6 2 0 3 9 8 3 1 2 7 10 4 9 3 11 2 3

คาขอมล ความถ

80 - 88

89 - 97

98 - 106

107 - 115

สถต 13

คากลางขอมล

เวลาเรามขอมลหลายๆตว (เชน น าหนกของเดก 30 คน) เรามกจะสนใจวา “ตรงกลาง” ของขอมลชดนนมคาเทาไหร และเรามกใชคา “ตรงกลาง” น เปนตวแทนของขอมลทงกลม เพอน าไปวเคราะห หรอ เปรยบเทยบกบขอมลชดอน ตอไป

“คากลางขอมล” แปลตรงๆตววา คาทอยตรงกลางของกลมขอมล

คากลางขอมล มอยหลายชนด ขนกบวาเราจะวดความกลางยงไง

ซงในบทน เราจะไดเรยนคากลาง 3 ชนด ไดแก

“คาเฉลย” คอ คาทอยตรงกลาง โดยใช “คาของขอมล” เปนตววด

“มธยฐาน” คอ คาทอยตรงกลาง โดยใช “ต าแหนงของขอมล” เปนตววด

“ฐานนยม” คอ คาท “ซ าบอยทสด” ในกลมขอมล

คากลางขอมลแตละชนด มขอดขอเสยตางกน ขนกบวาจะเอาไปใชท าอะไร

ขอมลบางประเภท กไมสามารถหาคากลางบางชนดได

การเลอกคากลาง จงตองค านงถง ลกษณะขอมล และการน าไปใช

14 สถต

คาเฉลย

คาเฉลย (Mean) คอ คาทไดจากการเอาขอมลทกตวมา “รวม” กน แลว “เฉลย” ดวยจ านวนตว คาเฉลย ยงแบงตอไปไดอกหลายชนด ขนกบวาจะ “รวม” และ “เฉลย” ยงไง เชน

คาเฉลยเลขคณต (Arithmetric Mean: A.M.) ไดจากการเอาขอมลทกตวมา “บวก” กน แลว “หาร” ดวยจ านวนตว

คาเฉลยเรขาคณต (Geometric Mean: G.M.) ไดจากการเอาขอมลทกตวมา “คณ” กน แลว “ถอดรท” อนดบทตามจ านวนตว

คาเฉลยฮารโมนค (Harmonic Mean: H.M.) ไดจาก เอาขอมลมากลบเศษ - สวน แลวน าไปหาคาเฉลยเลขคณต แลวน าคาเฉลยเลขคณตทได มากลบเศษ - สวน กลบไปเปนแบบเกา

ตวอยาง ขอมลชดหนง ม 4 จ านวน ประกอบดวย 2 , 4 , 9 , 18 จงหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และ คาเฉลยฮารโมนค ของขอมลชดน

วธท า คาเฉลยเลขคณต = 2+4+9+18

4=

33

4= 8.25

ค าเฉลยเรขาคณต = √2 × 4 × 9 × 184

= 6

คาเฉลยฮารโมนค → เอาขอมลมากลบเศษ - สวน ไดเปน 12 ,

1

4 ,

1

9 ,

1

18

→ หาคาเฉลยเลขคณต ได 1

2+

1

4+

1

9+

1

18

4=

18+9+4+2

36

4=

33

36×

1

4=

11

48

→ กลบเศษ - สวน อกรอบ แลวตอบ จะได 48

11 #

คาเฉลยเลขคณต จะเปนคากลางทใชบอยกวาคากลางอน

ดงนน ถาไดยนค าวา “คาเฉลย” เฉยๆ กใหหมายถง “คาเฉลยเลขคณต” โดยอตโนมต

ในเรองสถตน อกเดยวจะมสตรมากมาย โผลออกมาใหเราท าความเขาใจ และ ทอง (ถาไมเขาใจ) ดงนน เราควรท าความคนเคยกบสญลกษณทนยมใชในเรองนกนกอน

ในเรองสถต เรานยมใช 𝑁 แทน “จ านวนขอมล” และใช 𝑥 แทน “คาของขอมล” โดยเรานยมให 𝑥1 แทนคาของขอมลตวท 1

𝑥2 แทนคาของขอมลตวท 2

⋮

𝑥𝑁 แทนคาของขอมลตวท 𝑁

เชน ถาขอมลชดหนง ประกอบดวย 2 , 6 , 9 , 18

จะไดวา 𝑁 = 4 และ 𝑥1 = 2 , 𝑥2 = 6 , 𝑥3 = 9 , 𝑥4 = 18

เราจะใชสญลกษณ �� แทนคาเฉลยเลขคณต

ดงนน เราจะเขยนสตรไดเปน �� = 𝑥1+𝑥2+ … +𝑥𝑁

𝑁

สถต 15

อยางไรกตาม เรานยมใชสญลกษณ ∑ มาชวยเขยนสตรใหกระชบขนได

โดยสญลกษณ N

i 1 𝑥𝑖 = ผลบวกของ 𝑥𝑖 ทงหลาย โดยเรมตงแต 𝑖 = 1 จนถง 𝑖 = 𝑁”

= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + … + 𝑥𝑁 นนเอง

ดงนน สตรคาเฉลยเลขคณต จะนยมเขยนเปน �� = N

xN

ii

1 หรอเขยนแบบยอๆไดวา �� = N

xi

สตรน เปนความสมพนธของปรมาณ 3 อยาง คอ “คาเฉลย” “ผลรวมขอมล” และ “จ านวนขอมล” ถาโจทยบอก 2 อยางใดๆมา เราตองสามารถหาตวทเหลอไดทนท ดงน

ตวอยาง นกเรยนหองหนงม 40 คน มคาเฉลยของคะแนนสอบเทากบ 7.8 คะแนน ตอมาพบวาตรวจคะแนนผด โดยจะตองเพมคะแนนใหนกเรยนคนหนง 5 คะแนน และลดคะแนนของนกเรยนอกคนหนง 1 คะแนน จงหาคาเฉลยหลงจากทแกไขคะแนนแลว

วธท า ตอนแรก �� = 7.8 , 𝑁 = 40 ดงนน ผลรวมคะแนน = 7.8 × 40 = 312

แตทถก ตองมคะแนนคาหนงเพมขน 5 และอกคาหนงลดลง 1

ดงนน ผลรวมคะแนนทถกตอง คอ 312 + 5 − 1 = 316

ดงนน �� หลงแกคะแนน = 316

40 = 7.9 คะแนน #


1. จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมล 5 , 8 , 12 , 12 , 16

2. นกเรยน 8 คน มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบคอ 7.5

ถาคะแนนของนกเรยน 7 คนแรก คอ 5 , 8 , 7.5 , 8 , 6 , 7 , 9 แลว จงหาคะแนนของอกหนงคนทเหลอ

�� = ∑ 𝑥𝑖

𝑁 𝑁 =

∑ 𝑥𝑖

�� ∑ 𝑥𝑖 = 𝑁 ∙ ��

***

16 สถต

3. นกเรยนหองหนง ม 20 คน มคะแนนเฉลย คอ 8 แตตอมาพบวาคาเฉลยน ไมถกตอง เนองจากอานคะแนนของนกเรยนคนหนงผดไป จากคะแนนทถกคอ 6 คะแนน อานผดเปน 8 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยทถกตอง

4. นกเรยนหองหนง ม 20 คน เปนผหญง 12 คน ถาคะแนนเฉลยของนกเรยนหญง คอ 8 คะแนน และคะแนนเฉลยของนกเรยนชาย คอ 6 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยของนกเรยนทงหอง

5. นกเรยนหองหนง มน าหนกเฉลย 50 กก. ถาน าหนกเฉลยของนกเรยนหญงคอ 45 กก. และน าหนกเฉลยของนกเรยนชายคอ 60 กก. จงหาอตราสวนของจ านวนนกเรยนหญง ตอ จ านวนนกเรยนชาย

6. นกเรยนหองหนง มอตราสวนนกเรยนชาย ตอ นกเรยนหญง คอ 2 : 3 ถาน าหนกเฉลยของนกเรยนชายคอ 65 กก. และน าหนกเฉลยของนกเรยนหญงคอ 50 กก. จงหาน าหนกเฉลยของนกเรยนทงหอง

สถต 17

7. สตวกลมหนง ม 30 ตว ประกอบดวย วว 8 ตว ชาง 12 ตว และ มา 10 ตว พบวาอายเฉลยของสตวกลมน คอ 20

ป และ อายเฉลยของวว เทากบ 10 ป ถาอายรวมของชาง คอ 300 ป จงหาอายเฉลยของมา

8. คาเฉลยเลขคณตของน าหนกของพนกงานของบรษทหนง เทากบ 48.01 กโลกรม บรษทนมพนกงานชาย 43 คน และพนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของน าหนกพนกงานหญงเทากบ 45 กโลกรม แลว น าหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบกกโลกรม [O-NET 53/28]

9. ในการส ารวจน าหนกตวของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนง ซงม 3 หอง มจ านวนนกเรยน 44,

46 และ 42 คน ตามล าดบ ปรากฏวามคาเฉลยเลขคณตเทากบ 50 กโลกรม แตพบวาเครองชงทใชส าหรบนกเรยนหองแรกมความคลาดเคลอนท าใหชงน าหนกไดตวเลขสงเกนจรงคนละ 1 กโลกรม ดงนนคาเฉลยเลขคณตทถกตองของน าหนกตวของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 นเทากบกกโลกรม [O-NET 56/32]

10. ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพ มการสงรายชอนกกฬาจากประเทศไทย 379 คน มอายเฉลย 22 ป ถามการถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย 24, 25, 25 และ 27 ป และมการเพมนกกฬาไทยอก 5 คน ซงมอายเฉลย 17 ปแลว อายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทยจะเทากบกป

[O-NET 51/38]

18 สถต

11. ชายคนหนงตกปลาทเลยงไวในกระชงเพอสงขายจ านวน 500 ตว ซงมน าหนกโดยเฉลยตวละ 700 กรม ในจ านวนน เปนปลาจากกระชงทหนง 300 ตว และจากกระชงทสอง 200 ตว ถาปลาในกระชงทหนงมน าหนกเฉลยตอตวมากกวาในกระชงทสอง 50 กรม แลวเขาตกปลาจากกระชงทสองมากกโลกรม [O-NET 54/38]

12. ถาในป พ.ศ. 2547 คาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานของบรษทแหงหนงเทากบ 23 ป ในปตอมา บรษทไดรบพนกงานเพมขนอก 20 คน ท าใหคาเฉลยเลขคณตของอายพนกงานในป พ.ศ. 2548 เทากบ 25 ป และผลรวมของอายของพนกงานเพมขนจากป พ.ศ. 2547 อก 652 ป เมอสนป พ.ศ. 2548 บรษทแหงนมพนกงานทงหมดกคน

[O-NET 49/1-29]

13. อายเฉลยของคนกลมหนงเทากบ 31 ป ถาอายเฉลยของผหญงในกลมนเทากบ 35 ป และอายเฉลยของผชายกลมน เทากบ 25 ป แลว อตราสวนระหวางจ านวนผหญงตอจ านวนผชายในกลมเทากบเทาใด [O-NET 50/17]

สถต 19

คาเฉลยถวงน าหนก

ในการหาคาเฉลย เราสามารถ “ถวงน าหนก” ใหกบขอมลทน ามาหาคาเฉลยไดดวย

ในกรณทขอมลแตละตว มความส าคญไมเทากน เราสามารถก าหนดน าหนก (𝑤) ใหกบขอมลแตละตว

ซงจะสงผลใหคาเฉลยเอยงไปตามขอมลทส าคญ มากกวา ขอมลทไมส าคญ

เชน ในการคดเกรดเฉลย เรามกใหน าหนกเกรดบางวชา มากกวา อกวชา

สตรของคาเฉลยถวงน าหนก จะหาไดจากสตร

ตวอยาง จากตารางตอไปน จงหาเกรดเฉลยแบบไมถวงน าหนก และเกรดเฉลยแบบถวงน าหนกดวยหนวยกต

วธท า เกรดเฉลยแบบไมถวงน าหนก = 4+3+3+1+2

5 =

13

5 = 2.6

เกรดเฉลยแบบถวงน าหนกดวยหนวยกต = (4×2.5)+(3×2)+(3×2)+(1×1)+(2×0.5)

2.5+2+2+1+0.5 =

24

8 = 3

จะเหนวาเกรดเฉลยแบบถวงน าหนก จะเอยงไปทางวชาทหนวยกตมาก (คณตศาสตร, วทยาศาสตร, ภาษาไทย) มากกวาวชาทหนวยกตนอย (ภาษาฝรงเศส, สขศกษา) (หมายเหต: ปกตเวลาโรงเรยนคดเกรดเฉลย จะคดดวยวธถวงน าหนกดวยหนวยกตเสมอ) #

ตวอยาง นกเรยนหองหนง ม 30 คน เปนชาย 12 คน และเปนหญง 18 คน ถาน าหนกเฉลยของนกเรยนชายคอ 60 กก. และน าหนกเฉลยของนกเรยนหญงคอ 50 กก. แลว จงหาน าหนกเฉลยของนกเรยนทงหอง

วธท า ขอนคดไดหลายวธ ทตองระวงคอ ค าตอบจะไมเทากบ น าหนกเฉลยชาย + น าหนกเฉลยหญง2

เพราะนกเรยนหญง มจ านวนมากกวา ดงนน น าหนกเฉลยของทงหอง ควรจะเอนไปทางทางเรยนหญงมากกวา

นนคอ ค าตอบ จะเทากบ คาเฉลยทถวงน าหนก ดวย “จ านวนนกเรยน ชาย / หญง”

ดงนน น าหนกเฉลยของทงหอง = (60×12)+(50×18)

12+18

= 720+900

30

= 1620

30 = 54 ก.ก. #

คณตศาสตร วทยาศาสตร ภาษาไทย ภาษาฝรงเศส สขศกษา หนวยกต 2.5 2 2 1 0.5 เกรด 4 3 3 1 2

เอาขอมลมาคณกบน าหนกของมนกอน คอยเอามาบวกกน

หารดวยผลบวกของน าหนกทงหมด คาเฉลยถวงน าหนก =

∑ 𝑤𝑖𝑥𝑖

∑ 𝑤𝑖

20 สถต

แบบฝกหด 1. จงหาเกรดเฉลย

2. ถาเกรดเฉลยเทากบ 3.0 จงหาหนวยกตของวชา ภาษาจน

3. ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนายคณต ในชนมธยมศกษาปท 4 เปนดงน รหสวชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202

จ านวนหนวยกต 1 1.5 1 1.5

เกรด 2.5 3 3.5 2

เกรดเฉลยของวชาคณตศาสตรของนายคณต ในชนมธยมศกษาปท 4 เทากบเทาใด [O-NET 50/16]

4. บรษทหนงมยอดขายในแตละไตรมาสของป 2557 เปนตามล าดบดงน 17 21 19 23 (หนวย : ลานบาท) การพยากรณยอดขายในไตรมาสถดไปจะใชคาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก ถาบรษทถวงน าหนกขอมลดวย

1, 1, 1 และ 3 ตามล าดบ แลว คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนกของขอมลชดนเทากบกลานบาท [O-NET 59/27]

วชา คณตศาสตร ภาษาไทย คอมพวเตอร พละ

หนวยกต 2.5 2 1 0.5

เกรด 2 3.5 4 4

วชา ภาษาไทย ภาษาองกฤษ ภาษาจน ภาษาละตน

หนวยกต 2 2 ? 1

เกรด 2 3.5 4 3

สถต 21

คาเฉลย (อนตรภาคชนเปนชวง) ในกรณทขอมลมาในรปตารางแจกแจงความถทมอนตรภาคชนเปนชวง เราจะสญเสยความแมนย าของขอมลไปนดหนอย

กลาวคอ เราจะไมรวา นกเรยน 3 คน ในชน 1-10 ไดคะแนนแบบเปะๆเทาไหร

ในกรณน ถาเราอยากหา �� เราจะสมมตวา “แตละตวในชน มคาเทากบจดกงกลางชน” เชน เราจะสมมตวานกเรยน 3 คน ในชน 1-10 ไดคะแนน 5.5

ดงนน ผลรวมคะแนนของชนแรก = 3 × 5.5 = 16.5

ผลรวมคะแนนของชนทสอง = 12 × 15.5 = 186.0

⋮

จากนน เอาคะแนนของทกชนมารวมกน แลวหารดวยจ านวนนกเรยนทงหมด กจะได ��

ดงนน �� = ∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖

𝑁 =

1710

60 = 28.5 คะแนน

อยางไรกตาม ถาในตารางม “อนตรภาคชนเปด” เราจะหาคาเฉลยเลขคณตไมได

ในตารางแจกแจงความถ จะมชนเปดได 2 ท คอทชนมากสด (เชน > 41) กบทชนนอยสด (เชน < 10) ซงในกรณน เราจะหาคาเฉลยเลขคณตไมได เพราะไมรวาจดกงกลางชนเทากบเทาไหร

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) 1 - 10 3

11 - 20 12 21 - 30 15 31 - 40 24 41 - 50 6

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) จดกงกลางชน (𝑥) ผลรวมคะแนน (𝑓𝑥) 1 - 10 3 5.5 3 × 5.5 = 16.5

11 - 20 12 15.5 12 × 15.5 = 186.0 21 - 30 15 25.5 15 × 25.5 = 382.5 31 - 40 24 35.5 24 × 35.5 = 852.0 41 - 50 6 45.5 6 × 45.5 = 273.0

𝑁 = ∑ 𝑓𝑖 = 60 ∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖 = 1710.0

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) จดกงกลางชน 1 - 10 3 5.5

11 - 20 12 15.5 21 - 30 15 25.5 31 - 40 24 35.5

≥ 41 6 ???

อนตรภาคชนเปด หาจดกงกลางชนไมได จงหา �� ไมได

22 สถต


1. จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลตอไปน

2. ถาคาเฉลยของคะแนน คอ 9 จงหาคา 𝑥

3. ตารางแจกแจงความถ แสดงจ านวนนกเรยนในชวงอายตางๆของนกเรยนกลมหนง เปนดงน ชวงอาย (ป) ความถ (คน)

1 - 5 6 - 10

11 - 15 16 - 20

4 9 2 5

อายเฉลยของนกเรยนกลมน เทากบกป [O-NET 50/19]

คะแนน ความถ

1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40

2 8 6 4


1 - 4 2 5 - 8 5 9 - 12 𝑥 13 - 16 3

สถต 23

4. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนง เปนดงตารางแจกแจงความถ

คาเฉลยของคะแนนสอบนเปนเทาใด [O-NET 58/30]

5. ในการทดสอบความถนดของนกเรยนกลมหนง มตารางแจกแจงความถของผลการสอบดงน ชวงคะแนน ความถ (คน)

0 - 4 5 - 9

10 - 14 15 - 19

4 5 𝑥 7

ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 11 แลว นกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 5 - 14 คะแนนมจ านวนคดเปนรอยละของนกเรยนกลมนเทากบเทาใด [O-NET 51/35]

6. ในการส ารวจน าหนกตว ของนกเรยนในชนเรยนทมนกเรยน 30 คน เปนดงน

คาเฉลยเลขคณตของน าหนกตวของนกเรยนในชนเรยนนเทากบกกโลกรม [O-NET 54/36]

น าหนก (กโลกรม) ความถสะสม (คน) 30 49 10

50 69 26

70 89 30


20 – 29 7 30 – 39 10 40 – 49 6 50 – 59 7 60 – 69 6 70 – 79 8 80 – 89 6

24 สถต

การหาคาเฉลยโดยการลดทอนขอมล

สมบตทส าคญอยางหนงของคาเฉลย คอ เราสามารถ “แปลง” ขอมล กบ คาเฉลยดวยสตรเดยวกนได พดงายๆกคอ ถาเราเอาขอมลเกา มาบวกลบคณหารดวยตวเลขอะไรกได เปนขอมลชดใหม จะได คาเฉลยของขอมลชดใหม มคาเปลยนไปจาก คาเฉลยเดม ดวยการบวกลบคณหารแบบเดยวกน

เชน ถาเรามขอมล 𝑥𝑖 ซง ประกอบดวย 2 , 6 , 10 , 18 ม �� = 2+6+10+18

4 = 9

ตอมา เราแปลงขอมล 𝑥𝑖 ใหเปนขอมล 𝑦𝑖 ชดใหมโดย การ “คณ 2 แลวลบดวย 8 หารดวย 4” ดงน

ถาจะหาคาเฉลยของขอมล 𝑦𝑖 ชดใหม เราไมตองหาตรงๆแลว แตใหเอา �� มา “คณ 2 ลบ 8 หาร 4” ไดเลย

นนคอ จะได �� = (9×2)−8

4 = 2.5

หรอถาหาแบบตรงๆ กจะได �� = (−1)+1+3+7

4 = 2.5 เทากน

ตวอยาง นกเรยนหองหนง มคาเฉลยของคะแนนวชาคณตศาสตรเทากบ 74 คะแนน ตอมา คณครพบวาตองบวกคะแนนจตพสยใหทกๆคนอกคนละ 10 คะแนน จงหาคาเฉลยของคะแนนหลงจากทบวกคะแนนจตพสยเขาไปแลว

วธท า จากสมบตของคาเฉลยเลขคณต ถาขอมลทกตวเพมขน 10 กจะท าใหคาเฉลยเพมขน 10 ดวย ดงนน คาเฉลยของคะแนนหลงจากทบวกคะแนนจตพสยเขาไปแลว จะเทากบ 74 + 10 = 84 คะแนน #

นอกจากน ความรในเรองการแปลง ยงชวยใหเราหลกเลยงการค านวณเลขเยอะๆยงๆ ได

โดยในกรณทขอมลมคาเยอะ หรอเปนตวเลขทศนยมทค านวณล าบาก เราจะมวธหา �� โดยการ “ลดทอนขอมล” ดงน 1. แปลงขอมลใหเปน “ตวเลขงายๆ” กอน

สตรแปลงทนยมใช คอ “ลบดวยตวทซ ามากสด แลวหารทอนดวยความกวางชน” 2. หา �� ของตวเลขงายๆ

3. แปลง �� ในขอ 2 กลบ ดวยการยอนสตรทใชแปลงในขอ 1

𝑥𝑖 𝑦𝑖

2 → (2×2)−8

4 −1

6 → (6×2)−8

4 1

10 → (10×2)−8

4 3

18 → (18×2)−8

4 7

�� = 9 �� = ?

คณ 2 ลบ 8 หาร 4

สถต 25

ตวอยาง จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมล 9.87 , 12.87 , 12.87 , 16.87 , 18.87

วธท า ถาคดแบบตรงไปตรงมา จะได �� = 9.87+12.87+12.87+16.87+18.87

5 = 14.27

อกวธ คอ เราจะลดทอนขอมลโดยเอาขอมลทกตวมาลบดวย 12.87 เพอให “.87” หายไป

จะไดขอมลชดใหมแบบตวเลขงายๆ คอ −3 , 0 , 0 , 4 , 6 → คาเฉลย = −3+0+0+4+6

5 =

7

5 = 1.4

เอา 1.4 มายอนสตรแปลงกลบ โดยการบวก 12.87 จะได �� = 14.27 #

ตวอยาง จากตารางแสดงคะแนนสอบของนกเรยน 40 คน จงหาคาเฉลยเลขคณต

วธท า ในกรณน ถาจะหา �� เราจะสมมตวาทกตวในชน มคาประมาณจดกงกลางชน

ถายอมเหนอยหนอย กท าแบบตรงไปตรงมาดงน

ซงจะได �� =1198

40= 29.95

แตถาไมอยากเหนอย กมอกมวธ คอ เราจะแปลงจดกงกลางชนใหเปนตวเลขงายๆกอน

วธแปลงทนยมคอ ลบดวยตวทซ ามากสด (= 34.95) แลวหารทอนดวยความกวางชน (= 10)

จากนน ลมจดกงกลางชนไปซะ แลวหาคาเฉลยของผลแปลงแทน ดงน

จะไดคาเฉลยของผลแปลง คอ �� = −20

40 = −0.5

9.87 12.87 12.87 16.87 18.87

−3 0 0 4 6

−12.87

??? 1.4

+12.87

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน 10 - 19.9 7 20 - 29.9 11 30 - 39.9 17 40 - 49.9 5

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) จดกงกลางชน (𝑥) รวมคะแนนในชน (𝑓𝑥)

10 - 19.9 7 14.95 104.65 20 - 29.9 11 24.95 274.45 30 - 39.9 17 34.95 594.15 40 - 49.9 5 44.95 224.75

40 1198.00

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) จดกงกลางชน (𝑥) ผลแปลง (𝑑 =𝑥−34.95

10) รวมคะแนนในชน (𝑓𝑑)

10 - 19.9 7 14.95 −2 −14 20 - 29.9 11 24.95 −1 −11 30 - 39.9 17 34.95 0 0 40 - 49.9 5 44.95 1 5

40 −20

26 สถต

จากนน แปลง −0.5 กลบ ใหเปนคาเฉลยของขอมลเดม โดยยอนสตรทใชแปลง

ขามา เราลบดวย 34.95 แลวหาร 10

ดงนน ขากลบ ตองคณดวย 10 แลวบวกดวย 34.95

จะได �� = (−0.5×10) + 34.95 = 29.95 #


1. คณครทโรงเรยนแหงหนง มอายเฉลย 35 ป หลงจากนน 5 ป มครใหมเขามาเพม 10 คน ท าใหอายเฉลยเปลยนเปน 36 ป ถาครใหมทง 10 คน มอาย 28 ป ทกคน จงหาวาเดม โรงเรยนแหงนมครกคน

2. ในการสอบยอยเพอเกบคะแนน พบวาคะแนนดบของนกเรยน 5 คน คอ 26 , 29 , 25 , 28 , 27 อยางไรกตาม คะแนนดบน ตองน าไปคณ 2

3 กอน จงจะไดคะแนนเกบจรงๆ จงหาคาเฉลยของคะแนนเกบจรงๆ ของนกเรยนทง 5

คนน

3. จงหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธลดทอนขอมล

สวนสง จ านวนนกเรยน (𝑓)

140 - 149 3

150 - 159 12

160 - 169 18

170 - 179 7

𝑥 𝑑

− 34.95 , ÷ 10

× 10 , +34.95

สถต 27

4. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 50 คน มตารางแจกแจงความถดงน

คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบนเทากบเทาใด [O-NET 56/40]

5. ความสมพนธระหวางก าไร (𝑦) และราคาทน (𝑥) ของสนคาในรานแหงหนงเปนไปตามสมการ 𝑦 = 2𝑥 − 30 ถาราคาทนของสนคา 5 ชนด คอ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลว คาเฉลยเลขคณตของก าไรในการขายสนคา 5 ชนดน เทากบกบาท [O-NET 50/18]

ชวงคะแนน จ านวนนกเรยน (คน) 1 – 20 3

21 – 40 5 41 – 60 13 61 – 80 20

81 – 100 9

28 สถต

สมบตของคาเฉลย

คาเฉลยเลขคณต มสมบตพเศษ อยหลายอยาง

อยางแรก �� จะม “คา” อยตรงกลาง แตไมแนวาจะม “ต าแหนง” อยตรงกลางหรอเปลา

เชน ขอมล 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 24 → จะได �� = 2+3+5+7+13+24

6 = 9

จะเหนวา มขอมล 4 ตว (= 2, 3, 5, 7) ทนอยกวา 9 แตมขอมล 2 ตว (= 13, 24) ทมากกวา 9

จะเหนวา �� ไมไดม “ต าแหนง” อยตรงกลาง

อยางไรกตาม �� จะม “คา” อยตรงกลาง ถาเราเทยบ �� กบขอมลแตละตว จะเหนวามขอมล “บางตว” มากกวา �� และมขอมล “บางตว” นอยกวา ��

แตถาหกลบกนออกมาแลว สวนทมากกวา �� กบ สวนทนอยกวา �� จะหกกนหมดพอด

เชน ขอมล 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 24 → จะได �� = 2+3+5+7+13+24

6 = 9

หรอพดอกแบบ ถาเราพจารณาคาของ 𝑥𝑖 − �� จะเหนวา 𝑥𝑖 ทมากกวา �� จะท าให 𝑥𝑖 − �� เปนบวก

𝑥𝑖 ทนอยกวา �� จะท าให 𝑥𝑖 − �� เปนลบ แตถาเราน า 𝑥𝑖 − �� ทงหมด มาบวกกน จะไดผลหกลางกนเปน 0 เสมอ

สมบตขอน เขยนเปนประโยคสญลกษณไดวา ∑(𝑥𝑖 − ��) = 0 เชน จากตวอยางทแลว ∑(𝑥𝑖 − ��) = (2 − 9) + (3 − 9) + (5 − 9) + (7 − 9) + (13 − 9) + (24 − 9)

= (−7) + (−6) + (−4) + (−2) + 4 + 15

= 0

สมบตอยางทสอง คอ ∑(𝑥𝑖 − 𝑎)2 จะมคานอยทสด เมอ 𝑎 = ��

ขอน ตางจากสมบตขอแรก ตรงทมการยกก าลงสอง ซงจะท าใหเลขลบกลายเปนบวก

เชน จากตวอยางทแลว ถาแทน 𝑎 ดวย �� จะได ∑(𝑥𝑖 − ��)2 = (2 − 9)2 + (3 − 9)2 + (5 − 9)2 + (7 − 9)2 + (13 − 9)2 + (24 − 9)2

= (−7)2 + (−6)2 + (−4)2 + (−2)2 + 42 + 152

= 49 + 36 + 16 + 4 + 16 + 225

= 346

จะเหนวา คราวน ไมได 0 เพราะการยกก าลงสอง จะท าใหเลขลบกลายเปนบวก ตวเลขจงไมหกกนเหมอนสมบตขอแรก

แตถงจะไมได 0 สมบตขอน จะรบประกนวา 346 เปนคาทนอยทสด ในบรรดา ∑(𝑥𝑖 − 𝑎)2 ทงหมด พดงายๆกคอ ถา 𝑎 เปนคาอนทไมใช �� จะไมมวนได ∑(𝑥𝑖 − 𝑎)2 นอยกวา 346

2 นอยกวา 9 อย 7




13 มากกวา 9 อย 4

24 มากกวา 9 อย 15

= 19 = 19

สถต 29

เชน ถาแทน 𝑎 ดวย 10 จะได

∑(𝑥𝑖 − 10)2 = (2 − 10)2 + (3 − 10)2 + (5 − 10)2 + (7 − 10)2 + (13 − 10)2 + (24 − 10)2

= (−8)2 + (−7)2 + (−5)2 + (−3)2 + 32 + 142

= 64 + 49 + 25 + 9 + 9 + 196

= 352 → มากกวา 346

หรอ ถาแทน 𝑎 ดวย 8.5 จะได

∑(𝑥𝑖 − 8.5)2 = (2 − 8.5)2 + (3 − 8.5)2 + (5 − 8.5)2 + (7 − 8.5)2 + (13 − 8.5)2 + (24 − 8.5)2

= (−6.5)2 + (−5.5)2 + (−3.5)2 + (−1.5)2 + (4.5)2 + (15.5)2

= 42.5 + 30.25 + 12.25 + 2.25 + 20.25 + 240.25

= 347.5 → มากกวา 346

ดงนน จะเหนวา ∑(𝑥𝑖 − 𝑎)2 จะมคานอยทสด เมอ 𝑎 = ��


1. ให 𝑥 เปนจ านวนจรงใดๆ จงหาคาต าสดของ 1. (2 − 𝑥)2 + (4 − 𝑥)2 + (9 − 𝑥)2 2. (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 4)2 + (𝑥 − 9)2

3. (𝑥 + 2)2 + (𝑥 + 4)2 + (𝑥 + 9)2 4. 2(2 − 𝑥)2 + (𝑥 + 5)2 + (𝑥 − 1)2

30 สถต

มธยฐาน

คากลางตวถดมาทตองเรยน คอ “มธยฐาน” (Median) หรอเรยกสนๆวา Med

มธยฐาน เปนคาม “ต าแหนง” อยตรงกลาง เมอเรยงล าดบขอมลจากนอยไปมาก (หรอมากไปนอยกได) หรอพดงายๆกคอ Med จะเปนจดทแบงจ านวนขอมลออกเปน 2 สวน เทาๆกน

การหา Med ประกอบดวย 2 ขนตอน ขนแรก ตองหากอนวา “ต าแหนงตรงกลาง” คอต าแหนงทเทาไหร เชน ถามขอมล 3 ตว ต าแหนงตรงกลางคอตวท 2

ถามขอมล 4 ตว ต าแหนงตรงกลางคอตวท 2.5 (คออยระหวางตวท 2 กบตวท 3) ถามขอมล 5 ตว ต าแหนงตรงกลางคอตวท 3

จะไดสตร คอ

ขนถดมา เอาต าแหนงทไดไปหาคา

โดยตองเรยงขอมลจากนอยไปมาก (หรอมากไปนอยกได) แลวจมนวไลนบจนกวาจะถงต าแหนงทตองการ ถาต าแหนงทค านวณได ไปตกอยตรงกลางระหวางขอมลสองคา ใหเอาสองคานนบวกกน หารสอง

ตวอยาง จงหาคามธยฐานของขอมลชดหนง ซงประกอบดวย 5 , 15 , 12 , 21 , 13 , 9 , 18 วธท า มขอมล 7 ตว ดงนน มธฐานจะอยต าแหนงท 7+1

2 = 4

เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 5 , 9 , 12 , 13 , 15 , 19 , 21 จะเหนวาตวท 4 มคา = 13

(จรงๆไมตองเรยงขอมลจนหมดทกตวกได แคเรยงใหถงต าแหนงท 4 กพอ) ดงนน จะได Med = 13 #

ตวอยาง จงหาคามธยฐานของขอมลชดหนง ซงประกอบดวย 12 , 18 , 22 , 25

วธท า มขอมล 4 ตว ดงนน มธฐานจะอยตวท 4+1

2= 2.5

จะเหนวาขอนใจด เรยงขอมลมาใหแลว และต าแหนงท 2.5 จะอยตรงกลางระหวางตวท 2 กบตวท 3 ถาเปนแบบน ใหเอาตวท 2 กบตวท 3 บวกกน หาร 2 จะได Med =

18+22

2 = 20 #

ในกรณทขอมลมาในรปตารางแจกแจงความถ เราจะหา “ต าแหนง” ของขอมลยากขนนดหนอย

สงทตองร าลกอยเสมอ คอ ต าแหนงของขอมล จะมความเกยวของโดยตรงกบ “ความถ”

จะเหนวา “ต าแหนง” ของขอมล จะไดจากการน า “ความถ” มาบวกสะสมไปเรอยๆ

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) 14 2 15 3 16 5 17 3

ตวท 1 , 2

ตวท 3 , 4 , 5

ตวท 6 , 7 , 8 , 9 , 10

ตวท 11 , 12 , 13

ต าแหนงมธยฐาน = 𝑁+1

2

สถต 31

บางคนจะนยมสรางชอง “ความถสะสม” เพอความสะดวกรวดเรวในการระบต าแหนงขอมล

ความถสะสม จะบอกวา “ตวสดทายของชน” คอตวทเทาไหร ดงนน ถาอยากหา “ตวท 𝑘” กแคดวาความถสะสม “เลย 𝑘” ไปในชนไหน เชน ขอมลตวท 4 จะอยในชนท 2 เพราะ ความถสะสม เลย 4 ในชนท 2 (𝐹 = 5) ขอมลตวท 8 จะอยในชนท 3 เพราะ ความถสะสม เลย 8 ในชนท 3 (𝐹 = 10) ขอมลตวท 10 จะอยในชนท 3 และเปนตวสดทายของชนท 3 ขอมลตวท 11 จะอยในชนท 4 เพราะ ความถสะสม เลย 11 ในชนท 4 (𝐹 = 13) เปนตน

ตวอยาง จงหามธยฐานของขอมลตอไปน

วธท า อนดบแรก สรางชอง “ความถสะสม” กอน เพอความสะดวกในการอางต าแหนง

จะเหนวามขอมลทงหมด 35 ตว ดงนน Med จะอยต าแหนงท 35+1

2 = 18

ย าอกท วา 18 ไมใช “คา” มธยฐาน แตเปน “ต าแหนง” มธยฐาน

ถดมา หาวา ตวท 18 มคาเทาไหร เราตองหากอน วา ตวท 18 อยในชนไหน จะเหนวาความถสะสม เลย 18 ในชนท 2 (𝐹 = 19) ดงนน ตวท 18 อยในชนท 2

ดงนน จะได Med = 51 #

หมายเหต: นกเรยนจ านวนมาก มกสบสนระหวาง “ต าแหนง” กบ “คา” สตร 𝑁+1

2 เปนสตรทใชหา “ต าแหนง” มธยฐาน เทานน ไมใช “คา” มธยฐาน

เรายงตองเอาต าแหนงดงกลาว ไปหา “คา” ตออก

ตวท 1 , 2

ตวท 3 , 4 , 5

ตวท 6 , 7 , 8 , 9 , 10

ตวท 11 , 12 , 13

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 14 2 2 15 3 5 16 5 10 17 3 13

น าหนก จ านวนนกเรยน (𝑓) 50 6 51 13 52 11 53 5

น าหนก จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 50 6 6 51 13 19 52 11 30 53 5 35

32 สถต

ตวอยาง จงหามธยฐานของขอมลตอไปน

วธท า ขอน โจทยตงใจหลอก โดยให “ความถสะสม” มา แทนทจะเปน “ความถ” เฉยๆ เหมอนปกต ถาไมสงเกตดๆ เราอาจคดวาโจทยให “ความถ” มา แลวดนไปสรางชอง “ความถสะสม” เพม จะไดค าตอบทผด จะเหนวาขอนมขอมลทงหมด 40 ตว ดงนน Med จะอยต าแหนงท 40+1

2 = 20.5

ย าอกท วา 20.5 ไมใช “คา” มธยฐาน แตเปน “ต าแหนง” มธยฐาน

ตวท 20.5 จะอยตรงกลาง ระหวางตวท 20 กบ ตวท 21 → ตองเอาตวท 20 กบ 21 มาบวกกน แลวหาร 2

ตวท 20 → เปนตวสดทายของชนท 3 พอด ดงนน ตวท 20 มคา = 12

ตวท 21 → ความถสะสม เลย 21 ในชนท 4 (𝐹 = 32) ดงนน ตวท 21 อยในชนท 4 มคา = 15

ดงนน จะได Med = 12+15

2 = 13.5 #


1. จงหามธยฐานของขอมลตอไปน

1. 2 , 5 , 8 , 13 , 14 , 14 , 18 , 20 2. 5 , 2 , 8 , 10 , 7 , 11 , 9

3. 4.


7 8 9 10

2 8 12 6

0 5 8 1 0 2 2 2 5 6 7 7 3 1

คะแนนสอบ ความถสะสม 6 5

10 12 12 20 15 32 18 40

สถต 33

5. 6.

7. 2 , 4 , 6 , … , 30 8. 5 , 7 , 9 , 11 , … , 101

2. จากแผนภาพตน – ใบของขอมลชดหนงเปนดงน

จงหาคาเฉลยเลขคณต และ มธยฐาน ของขอมลชดน [O-NET 57/30]

3. จากการสอบถามเยาวชนจ านวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจ านวนกครง ปรากฏผลดงแสดงในแผนภาพตอไปน [O-NET 52/33]

มธยฐานของขอมลชดนเทากบกครง

4. ก าหนดใหขอมลชดหนง คอ 10, 3, 𝑥, 6, 6 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน มคาเทากบมธยฐาน แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด [O-NET 50/20]

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4

จ านวนนกเรยน

เกรดวชาเลข

คะแนน ความถสะสม 21 22 23 24 25

2 8 12 15 16

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

จ านวนเยาวชน

จ านวนครงทเคยฟงพระธรรมเทศนา

0 7 8 9 1 0 1 5 7 2 1 2 2 3 0 2

34 สถต

มธยฐาน (อนตรภาคชนเปนชวง) ในกรณทขอมลมาในรปตารางแจกแจงความถทมอนตรภาคชนเปนชวง เราจะค านวณ Med ยากขนเยอะเลย

ในกรณน ถาจะหา Med จะมขนตอนดงน 1. สรางชอง “ความถสะสม” เพอความสะดวกในการหาคาขอมล ณ ต าแหนงตางๆ

2. หา “ต าแหนง” มธยฐาน ดวยสตรใหม

3. ใชชองความถสะสม หาวามธยฐาน อยชนไหน แลวใชสตรไหนกได จาก 2 สตรตอไปน

เชน


11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12

Med = 𝑈 − (𝐹𝑀 −

𝑁

2

𝑓𝑀) 𝐼

ความถสะสมชน Med

ความกวางชน Med

ความถชน Med ขอบบนชน Med

Med = 𝐿 + (𝑁

2 − 𝐹𝐿

𝑓𝑀) 𝐼

ความถสะสมชนทต ากวา Med

ความกวางชน Med

ความถชน Med ขอบลางชน Med

สตรน จะเรมจากขอบลาง แลวหาวาตองเดนหนาตอไปอกเปนสดสวนเทาไหรของชน

โดยจะดวา Med ล าเขาไปในชนนนๆ เปนสดสวนเทาไหร

สดสวนทล า = Med ล าไปในชน กตวจ านวนตวในชน

สตรน จะเรมจากขอบบน

แลวหาวาตองถอยกลบมาเปนสดสวนเทาไหรของชน

โดยจะดวา Med พรองไปจากชนนนๆ เปนสดสวนเทาไหร

สดสวนทพรอง = ขาดกตว Med ถงจะเลอนไปเตมชน

จ านวนตวในชน

ต าแหนงมธยฐาน = 𝑁

2

สตรน ใชกบกรณ อนตรภาคชนเปนชวงเทานน

ถามาเปนตวๆ ใหใชสตร 𝑁+1

2 เหมอนเกา

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 1 - 10 8 8 11 - 20 10 18 21 - 30 20 38 31 - 40 12 50

𝑁 = 50 , Med อยตวท 50

2 = 25 = ชนท 3

𝐿 = 20.5 , 𝑈 = 30.5 , 𝐼 = 10 𝐹𝐿 = 18 , 𝐹𝑀 = 38 , 𝑓𝑀 = 20

Med = 20.5 + (25−18

20) (10)

= 20.5 + 3.5

= 24

หรอถาใชอกสตร Med = 30.5 − (38−25

20) (10)

= 30.5 − 6.5

= 24 เทากน

สถต 35

ตวอยางอกอน เชน

สงเกตวา ถาบงเอญ Med ไปตกอย “ตวสดทายของชน” แลว 𝑈 − (𝐹𝑀 −

𝑁

2

𝑓𝑀) 𝐼 จะเทากบ 𝑈 − 0 = 𝑈 เสมอ

นกเรยนสวนใหญจงนยมจ าวา “ตวสดทายของชน จะมคาเทากบขอบบนของชน” เสมอ

เชน


1. จงหามธยฐานของขอมลตอไปน

1. 2.

3.


1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40

6 12 10 2

คะแนน ความถ 1 - 4 5 - 8 9 - 12 13 - 16

2 5 10 13

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 1 - 12 8 8 13 - 24 12 20 25 - 36 10 30 37 - 48 49 - 60

7 3

37 40

𝑁 = 40 Med อยตวท 40

2 = 20 = ตวสดทายของชนท 2

𝐿 = 12.5 , 𝑈 = 24.5 , 𝐼 = 12 𝐹𝐿 = 8 , 𝐹𝑀 = 20 , 𝑓𝑀 = 12

Med = 12.5 + (20−8

12) (12)

= 12.5 + 12

= 24.5

หรอถาใชอกสตร Med = 24.5 − (20−20

12) (12)

= 24.5 − 0

= 24.5 เทากน

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 1 - 12 8 8 13 - 24 12 20 25 - 36 10 30 37 - 48 49 - 60

7 3

37 40

ตวท 8 มคา 12.5




ตวท 40 มคา 60.5 เปนตน

คะแนน ความถสะสม 1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50

6 18 20 35 40

36 สถต

มธยฐาน (จากกราฟ) เราสามารถหา Med แบบคราวๆ จาก “โอจฟ” ได

โอจฟ คอ กราฟทไดจากการน า “ความถสะสม” มาเขยนกราฟ แลวลากเสนเชอมยอดแทง ดงรป

ซงจากหวขอทเรยนไปกอนหนาน เราสามารถใชโอจฟ มาพลอตหาคาประมาณของขอมล ณ ต าแหนงตางๆได

ในการหา Med จาก โอจฟ เราจะหาต าแหนงของ Med มากอน แลวพลอตหาคาประมาณของต าแหนงดงกลาว

เนองจาก ความถสะสมชองสดทาย จะมคาเทากบ 𝑁 เสมอ

ดงนน ต าแหนง Med ทเคยหาจากสตร 𝑁2 จะสามารถหาไดจาก ความสงสดทายของโอจฟ

2 ดวย

และเราสามารถใชต าแหนงดงกลาว พลอตหา Med ไดดงรป

เชน จากรป จะได Med มคาประมาณ 32 กวาๆ


0 10 20 30

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบ

40 50 60


=

=

35.5 45.5

ต าแหนง Med

0

10 20 30

5.5 15.5 25.5 คะแนนสอบ

40 50 60


ตวท 20

ตวท 45

0 10 20 30

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบ

40 50 60

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (คน) ความถสะสม 1 - 10 3 3

11 - 20 12 15 21 - 30 10 25 31 - 40 29 54 41 - 50 6 60

สถต 37

นอกจากน เรายงสามารถหา Med แบบคราวๆ จาก “โคงความถ” ไดอกดวย

โคงความถ จะมสมบตทส าคญอยางหนง คอ “พนทใตกราฟ” จะเปนสดสวนกบ “จ านวนขอมล” เชน จ านวนนกเรยนทไดคะแนน 11 - 20 จะเปนสดสวนกบพนทใตโคง จาก 11 ถง 20

เนองจาก Med เปนจดทแบง “จ านวนขอมล” ออกเปน 2 สวน เทาๆกน

ดงนน Med จะเปนจดทแบง “พนทใตโคง” เปน 2 สวนเทาๆกน ดวย

ดงนน ถาใหโคงความถมา เราสามารถประมาณคา Med โดยเลงหาจดทแบงพนทใตโคงออกเปน 2 สวนเทากน ดงรป

11 20

A B

Med คอจดทท าใหพนท A = พนท B

35.5 45.5 คะแนนสอบ

0 5.5 15.5 25.5

38 สถต

สมบตของมธยฐาน

สมบตอยางแรกของมธยฐาน คอ มน “ทน” กบขอมลทมากผดปกต หรอนอยผดปกต ได

ปกต เราจะไมคอยชอบใหขอมลทผดปกต มาฉดภาพรวมของขอมลไปซกเทาไหร เชน 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 → จะเหนวา 2000 เปนขอมลทมากผดปกต

ซงการมอยของ 2000 น จะ “ฉด ��” ไดสดๆ เชน ถาไมม 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 �� =

6+7+7+8+11+12+12

7 = 9

ถา ม 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 �� = 6+7+7+8+11+12+12+2000

8 = 257.88

อยางไรกตาม การมอยของ 2000 จะ ไมมผลกบ Med มากนก

เชน ถาไมม 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 Med = 8

ถา ม 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 Med = 8+11

2= 9.5

ดงนน ถาในขอมล มบางตวทมากหรอนอยผดปกตอย เรามกนยมใช Med เปนคากลาง แทน ��

สมบตอกอยางทส าคญ คอ ∑|𝑥𝑖 − 𝑎| จะมคานอยทสด เมอ 𝑎 = Med

ขอน จะคลายๆ กบของ �� ซงนกเรยนสวนใหญ มกจะจ าสบกน ∑(𝑥𝑖 − 𝑎)2 จะมคานอยทสด เมอ 𝑎 = ��

แต ∑|𝑥𝑖 − 𝑎| จะมคานอยทสด เมอ 𝑎 = Med

ตวอยางเชน ขอมล 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 ม Med = 8 ∑|𝑥𝑖 − 8| = |6 − 8| + |7 − 8| + |7 − 8| + |8 − 8| + |11 − 8| + |12 − 8| + |12 − 8|

= 2 + 1 + 1 + 0 + 3 + 4 + 4

= 15

สมบตของ Med จะรบประกนไดวา 15 จะเปนคาทนอยทสด ในบรรดา ∑|𝑥𝑖 − 𝑎| ทงหมด

พดงายๆกคอ ถา 𝑎 เปนคาอนทไมใช Med จะไมมวนได ∑|𝑥𝑖 − 𝑎| นอยกวา 15

เชน ถาแทน 𝑎 ดวย 7 จะได

∑ |𝑥𝑖 − 7| = |6 − 7| + |7 − 7| + |7 − 7| + |8 − 7| + |11 − 7| + |12 − 7| + |12 − 7|

= 1 + 0 + 0 + 1 + 4 + 5 + 5

= 16 → มากกวา 15

หรอ ถาลองแทน 𝑎 ดวย �� ด (ขอมลชดน ม �� = 6+7+7+8+11+12+12

7 = 9) จะได

∑ |𝑥𝑖 − 9| = |6 − 9| + |7 − 9| + |7 − 9| + |8 − 9| + |11 − 9| + |12 − 9| + |12 − 9|

= 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3

= 16 → กยงแพ Med

ดงนน จะเหนวา ∑|𝑥𝑖 − 𝑎| จะมคานอยทสด เมอ 𝑎 = Med

สถต 39


1. ให 𝑥 เปนจ านวนจรงใดๆ จงหาคาต าสดของ

1. |2 − 𝑥| + |4 − 𝑥| + |9 − 𝑥| 2. |𝑥 − 2| + |𝑥 − 4| + |𝑥 − 9| + |𝑥 − 10|

3. |𝑥 + 2| + |4 − 𝑥| + |𝑥 + 3| 4. 2|1 − 𝑥| + 3|𝑥 + 4| + |𝑥|

40 สถต

ฐานนยม

คากลางตวสดทายทตองเรยน คอ “ฐานนยม” ฐานนยม (Mode) คอ คาทขอมลสวนใหญนยมเปน

เราสามารถหาฐานนยมโดยหาขอมลท “ซ ามากสด” ถามขอมลทซ ามากสดเทากน สองตว กใหตอบเปนฐานนยมไปทงสองตว

ถามขอมลทซ ามากสดเทากน เกนสองตว นยมตอบวา “ไมมฐานนยม”

เชน


1. จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน

1. 3 , 4 , 8 , 12 , 19 , 13 , 16 , 12 2.

3. 4.

5.


7 8 9 10

2 8 12 6

0 2 1 1 2 3 1 2 4 9 9 4 3 4

0 1 2 3 4

5 6 7 8

จ านวนพนกงาน

เบอรรองเทา 9

อาย จ านวนนกเรยน (𝑓) 14 15 16 17

25 53 31 53

→ Mode = 15 , 17

5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 8 , 10 , 10 , 11 , 12 , 12

→ Mode = 8

6 , 7 , 7 , 11 , 12 , 15 , 17 , 20 , 20 , 24 , 28

→ Mode = 7, 20

6 , 6 , 10 , 11 , 12 , 12 , 13 , 15 , 15 , 16 , 18

→ Mode = ไมม

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) 11 12 13 14 15

6 12 15 18 2

→ Mode = 14

คะแนน ความถสะสม 23 24 25 26

2 7 12 13

สถต 41

2. ขอมลสองชดเปนดงน ชดท 1 : 1 3 3 6 8 9

ชดท 2 : 2 3 4 5 5 5

ขอใด ผด [O-NET 58/31] 1. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 มากกวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 อย 0.5

2. ขอมลทงสองชดมมธยฐานเทากน

3. ฐานนยมของขอมลสองชดนตางกนอย 2

4. คาเฉลยเลขคณตรวมของขอมลทงสองชดเทากบ 4.5

5. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 เทากบฐานนยมของขอมลชดท 2

3. แผนภาพตนใบของขอมลชดหนงเปนดงน

ขอใดถกตองบาง [O-NET 54/20]

1. ขอมลชดนไมมฐานนยม

2. มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 40

4. ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 ขอความในขอใดตอไปนเปนเทจ ส าหรบขอมลชดน [O-NET 49/1-14] 1. มธยฐาน เทากบ 12 2. ฐานนยม นอยกวา 12

3. ฐานนยม นอยกวา คาเฉลยเลขคณต 4. คาเฉลยเลขคณต มากกวา 12

2 0 0 3 5 8 3 1 4 4 6 7 4 3 3 5 7 5 1 2 2 2 6 3 5

42 สถต

5. แผนภาพตนใบของน าหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน

ขอสรปใดเปนเทจ [O-NET 53/29] 1. ฐานนยมของน าหนกของไขไกมเพยงคาเดยว

2. คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของน าหนกของไขไกมคาเทากน

3. มไขไก 5 ฟองทมน าหนกนอยกวา 70 กรม

4. ไขไกทมน าหนกสงกวาฐานนยม มจ านวนมากกวา ไขไกทมน าหนกเทากบฐานนยม

6. ขอมลชดหนงประกอบดวย

4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนถกตอง [O-NET 52/27]

1. คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน

2. ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต

3. ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน

4. มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต

7. ก าหนดแผนภาพ ตน - ใบ ของขอมลชดหนง ดงน 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1

ส าหรบขอมลชดน ขอใดตอไปนเปนจรง [O-NET 51/36] 1. มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต

2. มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม

3. คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน

4. คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม

5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1

สถต 43

8. ถาน าหนก (คดเปนกโลกรม) ของนกเรยน 2 กลม กลมละ 6 คน เขยนเปนแผนภาพ ตน - ใบ ไดดงน นกเรยนกลมท 1 นกเรยนกลมท 2

8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 0

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง [O-NET 49/1-30] 1. น าหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 2 มากกวาน าหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 1

2. ฐานนยมของน าหนกของนกเรยนกลมท 2 มากวาฐานนยมของน าหนกของนกเรยนกลมท 1

3. มธยฐานของน าหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวามธยฐานของน าหนกของนกเรยนกลมท 1

4. มธยฐานของน าหนกของนกเรยนทงหมด มากกวามธยฐานของน าหนกของนกเรยนกลมท 1

9. จากแผนภาพ ตน-ใบ ของขอมลแสดงน าหนก (กโลกรม) ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน 4 2 1 0 5 0 8 3 2 2 6 0 3 1 4

เมอสมเลอกนกเรยนมา 1 คน จากกลมน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทมน าหนกนอยกวาฐานนยมของกลม มคาเทากบเทาใด [O-NET 50/36]

10. ถาสมตวเลขหนงจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตว แลว ขอใดตอไปนถก [O-NET 51/39] 1. ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน <

1

2

2. ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 1

2

3. ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคามธยฐาน > 1

2

4. คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม

44 สถต

ฐานนยม (อนตรภาคชนเปนชวง) ในกรณทขอมลมาในรปตารางแจกแจงความถทมอนตรภาคชนเปนชวง กจะมวธหา Mode ทยากขนพอสมควร

ในกรณน ถาจะหา Mode จะมขนตอนดงน 1. หาอนตรภาคชนท Mode ตกอย โดยดจากชนทความถสงสด

2. ค านวณ “ผลตางความถ” ระหวางชน Mode กบชนทอยตดกบ Mode ทงชนบนและชนลาง 𝑑1 = ความถชน Mode − ความถชนต ากวา

𝑑2 = ความถชน Mode − ความถชนสงกวา

3. ค านวณคา Mode ดวยสตรไหนกได จาก 2 สตรตอไปน

เชน

ตวอยางอกอน เชน


11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12


11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12

Mode = 𝐿 + (𝑑1

𝑑1+𝑑2) 𝐼

ความกวาง ชน Mode

ขอบลาง ชน Mode

Mode = 𝑈 − (𝑑2

𝑑1+𝑑2) 𝐼

ความกวาง ชน Mode

ขอบบน ชน Mode

ชนท 3 ความถมากสด = 20 → Mode อยชนท 3

𝐿 = 20.5 , 𝑈 = 30.5 𝑑1 = 20 − 10 = 10 𝑑2 = 20 − 12 = 8

Mode = 20.5 + (10

10+8) 10

= 20.5 + 5.56

= 26.06

หรอถาใชอกสตร Mode = 30.5 − (8

10+8) 10

= 30.5 − 4.44

= 26.06 เทากน

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) 1 - 8 16 9 - 16 12 17 - 24 11 25 - 32 9

ชนท 1 ความถมากสด = 16 → Mode อยชนท 1

𝐿 = 0.5 , 𝑈 = 8.5 𝑑1 = 16 − 0 = 16 (ถอวากอนชน 1 มความถ = 0) 𝑑2 = 16 − 12 = 4

Mode = 0.5 + (16

16+4) 8

= 0.5 + 6.4

= 6.9

หรอถาใชอกสตร Mode = 8.5 − (4

16+4) 8

= 8.5 − 1.6


สถต 45

ในกรณท อนตรภาคชนกวางไมเทากน เราจะไมสามารถใชความถมาวดความนยมของชนไดอกตอไป

(ไมงนชนทแคบ จะเสยเปรยบชนทกวาง เพราะชนทกวางจะมโอกาสทมขอมลอยหลายตวกวา)

ในกรณน เราจะใช ความหนาแนนของชน = ความถ (𝑓)

ความกวางชน (𝐼) มาวดความนยม และใชในการค านวณ 𝑑 แทนความถ 𝑓

เชน

แบบฝกหด 1. จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน

1. 2.

3. 4.

5. 6.


1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40

3 9 12 11

คะแนน ความถสะสม

11 - 16 17 - 22 23 - 28 29 - 34 35 - 40

4 16 26 37 42


1 - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20

4 13 12 11


1 - 4 5 - 8 9 - 12 13 - 16

2 3 6 11

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความกวางชน (𝐼) ความหนาแนน 𝑓𝐼

1 – 8 8 8 1 9 – 10 10 2 5

11 – 20 20 10 2 16 – 35 12 15 0.8

ชนท 2 หนาแนนสด = 5 → Mode อยชนท 2

𝐿 = 8.5 , 𝐼 = 2

𝑑1 = 5 – 1 = 4 𝑑2 = 5 – 2 = 3

→ Mode = 8.5 + (4

4+3) 2

= 8.5 + 1.14

= 9.64

หนาแนนสด


1 - 10 11 - 30 31 - 40 41 - 60

5 10 6 6

คะแนน ความถสะสม 1 - 10 11 - 15 16 - 19 20 - 29

5 15 21 27

46 สถต

ฐานนยม (จากกราฟ) เราสามารถหา Mode จากฮสโทแกรม ได

โดยมขนตอน ดงน 1. หาแทงทสงทสด

2. ลากเสนไขวจากยอดของแทงทสงสด ไปยงยอดของแทงขางๆ

3. จากจดตดทได ลากลงไปหาคา Mode ทแกนคาขอมลไดเลย

เชน เราจะหา Mode ไดจากตวอยางดงรป

ซงจะได Mode มคาประมาณ 26

นอกจากน เรายงสามารถหา Mode จากโคงความถไดดวย

โดย Mode จะอยบรเวณทโคงความถ “โดงทสด”

เชน เราจะ Mode ไดจากตวอยางดงรป

ซงจะได Mode มคาประมาณ 26

0

5 10 15 20

5.5 15.5 25.5 35.5



0

5 10 15 20

5.5 15.5 25.5 35.5



5.5 15.5 25.5 35.5 คะแนนสอบ


11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12

สถต 47

สมบตของฐานนยม

ฐานนยม เปนคากลางเพยงตวเดยว ทสามารถใชกบ “ขอมลเชงคณภาพ” ได

ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทแสดงคณสมบต เชน สทชอบ เพศ กรปเลอด ขอมลประเภทน จะไมสามารถ บวก ลบ คณ หาร ได จงหาคาเฉลยไมได

ขอมลประเภทน จะไมสามารถเทยบมากกวานอยกวา ได จงหา Med ไมได

เชน ถาผลการส ารวจสทชอบของนกเรยน 7 คน พบวาชอบ สฟา , สเขยว , สเขยว , สชมพ , สด า , สฟา , สเขยว ขอมลประเภทน หมดสทธหา �� หรอ Med เพราะ บวก ลบ คณ หาร หรอ เรยงล าดบ ไมได

แตจะหา Mode ได = สเขยว

แบบฝกหด 1. การเลอกใชคากลางของขอมลควรพจารณาสงตอไปนยกเวนขอใด [O-NET 52/29]

1. ลกษณะของขอมล 2. วธจดเรยงล าดบขอมล

3. จดประสงคของการน าไปใช 4. ขอดและขอเสยของคากลางแตละชนด

2. ขอใดถก [O-NET 58/29] 1. ขอมลทจะวดคากลางไดตองเปนขอมลเชงปรมาณเทานน

2. กรณทขอมลมจ านวนนอยควรใชฐานนยมเปนคากลางเพราะสามารถนบความถของขอมลไดสะดวก

3. คาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไมเหมาะสมกบขอมลทมบางคาต ากวาขอมลอนๆมาก

4. เนองจากมธยฐานคอคาของขอมลทอยกงกลางของขอมลทงชด ดงนน มธยฐานจงใชเฉพาะกรณทขอมลมจ านวนขอมลเปนจ านวนคเทานน

5. คากลางของขอมลทแจกแจงความถแลวมความถกตองแนนอนมากกวาคากลางของขอมลชดเดยวกนทยงไมไดแจกแจงความถ

3. คากลางของขอมลในขอใดมความเหมาะสมทจะใชเปนตวแทนของขอมลของกลม [O-NET 56/29]

1. คาเฉลยเลขคณตของน าหนกตวของชาวจงหวดเชยงใหม 2. คาเฉลยเลขคณตของจ านวนหนาของหนงสอทคนไทยแตละคนอานในป พ.ศ. 2554

3. มธยฐานของจ านวนเงนทแตละคนใชจายตอเดอนของคนไทย

4. ฐานนยมของความสงของนกเรยนหองหนง 5. คาเฉลยของฐานนยมกบมธยฐานของคะแนนสอบของนกเรยนทงโรงเรยน

48 สถต

4. คากลางของขอมลในขอใดมความเหมาะสมทจะใชเปนตวแทนของขอมลของกลม [O-NET 57/29] 1. คาเฉลยเลขคณตของขนาดรองเทาของนกเรยนหองหนง

2. คาเฉลยเลขคณตของจ านวนผโดยสารรถไฟฟาใตดนตอวนในเดอน มกราคม พ.ศ. 2557

3. มธยฐานของน าหนกตวของคนไทยในป พ.ศ. 2556

4. ฐานนยมของความสงของนกกฬาไทยไดทไดรบเหรยญทองจากการแขงขนกฬาโอลมปก

5. คากงกลางระหวางมธยฐานกบคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนง

5. ขอมลตอไปนแสดงน าหนกในหนวยกโลกรม ของนกเรยนกลมหนง 41 , 88 , 46 , 42 , 43 , 49 , 44 , 45 , 43 , 95 , 47 , 48 คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน [O-NET 53/31] 1. มธยฐาน 2. ฐานนยม

3. คาเฉลยเลขคณต 4. คาเฉลยของคาสงสดและคาต าสด

6. ยอดขายตอเดอน (หนวย : หมนบาท) ของบรษทแหงหนงในระยะเวลา 10 เดอน เปนดงน 154 151 148 405 158 157 158 148 148 153 ขอใดถก [O-NET 59/29] 1. คาเฉลยเลขคณต (��) เปนคากลางทเหมาะสมทสดส าหรบเปนตวแทนของขอมลน และ �� = 178

2. ฐานนยม เปนคากลางทเหมาะสมทสดส าหรบเปนตวแทนของขอมลน และ ฐานนยม = 148

3. ฐานนยม เปนคากลางทเหมาะสมทสดส าหรบเปนตวแทนของขอมลน และ ฐานนยม = 158

4. มธยฐาน เปนคากลางทเหมาะสมทสดส าหรบเปนตวแทนของขอมลน และ มธยฐาน = 157.5

5. มธยฐาน เปนคากลางทเหมาะสมทสดส าหรบเปนตวแทนของขอมลน และ มธยฐาน = 153.5

สถต 49

คาเฉลย - มธยฐาน - ฐานนยม

หวขอน จะพดถง ความสมพนธระหวางคากลางทง 3 ตว

จากการสงเกตจากขอมลทมอยจรงๆ เราพบวา คาเฉลย มธยฐาน และ ฐานนยม จะมความสมพนธกนอยนดๆ

ความสมพนธดงกลาว คอ

กอนอน ตองเขาใจกอนวา สตรน ไดจากการสงเกตจากขอมลจรง อาจจะไมไดผลถกตอง 100% แตกสามารถใชประมาณของคากลาง เมอรคากลางอก 2 ชนดได

ตวอยาง ขอมลชดหนง ม �� = 20 และ Med = 18 จงหาคาประมาณของฐานนยม

วธท า #

นอกจากน ล าดบมากนอยของคากลางทง 3 ตว ยงสามารถบอก ลกษณะ “การเบ” ไดดวย ตอนทเรยนเรองโคงความถ เราแบงประเภทโคงความถได 3 แบบ ตามลกษณะการเบ ดงน

ซงในการเบแตละแบบ คากลางทง 3 ตว จะเรยงล าดบมากนอยไมเหมอนกน ดงน

สงทตองจ า คอ ในโคงเบซาย �� < Med < Mode

ในโคงเบขวา Mode < Med < ��

ในโคงสมมาตร �� = Med = Mode

หมายเหต : ขอมลทส ารวจจากธรรมฃาตจ านวนมากๆ จะมลกษณะการแจกแจงเฉพาะตว ทเรยกวา “การแจกแจงปกต” ซงขอมลจากธรรมชาตน จะมลกษณะเปนโคงสมมาตรเสมอ

�� Med

Mode

�� Med Mode �� Med Mode

เบซาย เบขวา สมมาตร

�� − Mode = 3(�� − Med)

�� − Mode = 3(�� − Med)

20 − Mode = 3(20 − 18)

20 − Mode = 6

Mode = 14

50 สถต

ตวอยาง ขอมลชดหนง มมธยฐานเทากบ 24 และฐานนยมเทากบ 18 จงหาคาประมาณของ คาเฉลย พรอมทงระบวา ขอมลชดน มลกษณะการเบแบบใด

วธท า

เนองจาก 18 < 24 < 27 ดงนน Mode < Med < ��

ดงนน ขอมลชดนมลกษณะการกระจายแบบเบขวา #


1. จงหาลกษณะการเบของขอมลตอไปน

1. 2 , 3 , 4 , 6 , 10 , 10 , 10 , 11 2.

2. จงหาคาประมาณของคากลางทเหลอ พรอมทงระบลกษณะการเบ 1. �� = 5 , Mode = 11 2. �� = 11, Med = 9

3. Mode = 12 , Med = 14

3 คะแนนสอบของนกเรยนหองหนง มการแจกแจงแบบปกต ถาหองนมนกเรยน 40 คน และฐานนยมเทากบ 60

คะแนน แลว จงหาผลรวมคะแนนของนกเรยนทงหอง

0 2 4 1 3 3 4 5 2 1 2 3 1

�� − Mode = 3(�� − Med)

�� − 18 = 3(�� − 24)

�� − 18 = 3�� − 72

54 = 2��

�� = 27

สถต 51

4. ขอมลชดหนงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 มธยฐานเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 30

ขอสรปใดตอไปนถกตอง [O-NET 52/30] 1. ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางซาย

2. ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางขวา

3. ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบสมมาตร 4. ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของขอมลได

52 สถต

การวดต าแหนงขอมล

ในหวขอกอนหนา เราไดเรยนเกยวกบ มธยฐาน ซงเปนวธวดต าแหนงขอมลอยางหนง

มธยฐาน จะหมายถง ขอมลทม “ต าแหนงตรงกลาง” นนเอง

ในเรองน เราจะไดเรยนขอมลในต าแหนงอนๆ ซงเราวดไดโดยใช ควอไทล เดไซล และ เปอรเซนไทล

ควอไทล

ถาเราแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆกน จะมจดแบงอย 3 จด

เราจะเรยกขอมลตรงจดแบงทง 3 จด วา Q1 Q2 และ Q3 ตามล าดบ ดงน

หมายเหต : จะเหนวา Q2 = Med เสมอ

ต าแหนงของ Q𝑟 จะหาไดจากสตร 𝑟

4∙ (𝑁 + 1)

เชน จากตวอยางดานบน มขอมล 19 ตว (𝑁 = 19) จะได Q1 อยตวท

1

4∙ (19 + 1) = 5 Q2 อยตวท

2

4∙ (19 + 1) = 10

Q3 อยตวท 3

4∙ (19 + 1) = 15

เดไซล


เราจะเรยกขอมลตรงจดแบงทง 9 จด วา D1 D2 D3 … D9 ตามล าดบ ดงน

หมายเหต : จะเหนวา D5 = Q2 = Med เสมอ

ต าแหนงของ D𝑟 จะหาไดจากสตร 𝑟

10∙ (𝑁 + 1)

เชน จากตวอยางดานบน มขอมล 19 ตว (𝑁 = 19) จะได D1 อยตวท

1

10∙ (19 + 1) = 2 D2 อยตวท

2

10∙ (19 + 1) = 4

D5 อยตวท 5

10∙ (19 + 1) = 10 D9 อยตวท

9

10∙ (19 + 1) = 18 เปนตน

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

Med

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

Q2 Q1 Q3

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

D5 D1 D8 D2 D3 D4 D6 D7 D9

สถต 53

เปอรเซนไทล


เราจะเรยกขอมลตรงจดแบงทง 99 จด วา P1 P2 P3 … P99 ตามล าดบ

หมายเหต : จะเหนวา P10 = D1 P20 = D2 P30 = D3 P40 = D4 P50 = D5

P60 = D6 P70 = D7 P80 = D8 P90 = D9

และ P25 = Q1 P50 = Q2 P75 = Q3

และ P50 = Med

ต าแหนงของ P𝑟 จะหาไดจากสตร 𝑟

100∙ (𝑁 + 1)

เชน จากตวอยางดานบน มขอมล 19 ตว (𝑁 = 19) จะได P10 อยตวท

10

100∙ (19 + 1) = 2 P18 อยตวท

18

100∙ (19 + 1) = 3.6

P62 อยตวท 62

100∙ (19 + 1) = 12.4 P87.5 อยตวท

87.5

100∙ (19 + 1) = 17.5 เปนตน

ในการหาคาของ ควอไทล เดไซล และ เปอรเซนไทล จะมขนตอน คลายๆตอนทเราหา Med ดงน 1. หา “ต าแหนง”

หมายเหต : ในกรณท 𝑁 + 1 หารดวย 4 , 10 , 100 ไมลงตว อาจอนโลมใหใช 𝑁 แบบไม + 1 แทนได

2. เอาต าแหนงทได ไปหา “คา” โดยตองเรยงขอมลจากนอยไปมาก นบจนถงต าแหนงทตองการ แลวตอบคาขอมล ณ ต าแหนงนน

ถาต าแหนงไมเปนจ านวนเตม ใหประมาณเอาจากสองตวทครอมต าแหนงนนอย เชน ถาตองการหาคาขอมล ตวท 5.62 จะหาไดดงน

เราตองหดใชสตรนใหคลอง เชน ตวท 10.3 = ตวท 10 + 0.3 × (ตวท 11 − ตวท 10)

ตวท 8.03 = ตวท 8 + 0.03 × (ตวท 9 − ตวท 8) ตวท 3.45 = ตวท 3 + 0.45 × (ตวท 4 − ตวท 3) เปนตน

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

P10

. . .

P18 P87.5 P62

. . . . . . . . .

Q𝑟 → 𝑟

4 ∙ (𝑁 + 1) D𝑟 →

𝑟

10 ∙ (𝑁 + 1) P𝑟 →

𝑟

100 ∙ (𝑁 + 1)

ขอมลตวท 5.62 = ตวท 5 + 0.62 × (ตวท 6 − ตวท 5)

54 สถต

ตวอยาง จงหา Q3 , D2 และ P83 ของขอมล 15 , 18 , 18 , 19 , 20 , 24 , 24 วธท า มขอมล 7 ตว → Q3 จะอยตวท

3

4∙ (7 + 1) = 6

นบด จะไดตวท 6 มคา 24 ดงนน Q3 = 24

→ D2 อยตวท 2

10∙ (7 + 1) = 1.6

ตวท 1.6 = ตวท 1 + 0.6 × (ตวท 2 − ตวท 1)

= 15 + 0.6 × ( 18 − 15 ) = 16.8

ดงนน D2 = 16.8 → P83 อยตวท

83

100∙ (7 + 1) = 6.64

ตวท 6.64 จะอยระหวางตวท 6 กบตวท 7 แตบงเอญตวท 6 กบตวท 7 เทากน = 24

ดงนน ไมตองคดเลข ตอบไดเลยวา P83 = 24 #

สดทาย ถาเราเจอประโยคพวกน ตองรวาเปนเรอง ควอไทล เดไซล เปอรเซนไทล

“มขอมลประมาณ 3 ใน 4 ไดคะแนนนอยกวา สมชาย” → สมชาย = Q3

“มขอมลประมาณครงหนง ไดคะแนนนอยกวา สมหญง” → สมหญง = Med

“มขอมลประมาณ 7 ใน 10 ไดคะแนนนอยกวา สมหวง” → สมหวง = D7

“มขอมลประมาณ 60% ไดคะแนนมากกวา สมปอง” → สมปอง = P40

“สมศร ไดคะแนนสงทสด ในกลม 20% ทไดคะแนนต าสด” → สมศร = P20

“สมหมาย ไดคะแนนต าทสด ในกลม 30% ทไดคะแนนสงสด” → สมหมาย = P70

“โอกาสทจะสมไดคนทคะแนนนอยกวาสมบต เทากบ 3 ใน 10” → สมบต = D3

สงทตองร เวลาใชค าศพทพวกน คอ เราจะไมจกจกเรอง “เทากบ” นนคอ เราจะถอวาประโยคตางๆตอไปน อนโลมใหมความหมายเหมอนกนได “มขอมลประมาณ 3 ใน 4 ไดคะแนนนอยกวา สมชาย” “มขอมลประมาณ 3 ใน 4 ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ สมชาย” “มขอมลประมาณ 1 ใน 4 ไดคะแนนมากกวา สมชาย” “มขอมลประมาณ 1 ใน 4 ไดคะแนนมากกวาหรอเทากบ สมชาย”

อยางไรกตาม การไมจกจกแบบน สรางปญหาใหเราไดพอสมควร เพราะบางท เราตองเดาเอาเอง วาโจทยหมายถงแบบไหน วาโจทยจะนบสมชายเปนหนงในขอมลหรอไม สวนใหญ มกจะตองเลอกแบบทคดแลวมตวเลอกใหกา และ / หรอ ไดค าตอบเปนเลขลงตว

สถต 55

ตวอยาง จากขอมลคะแนนสอบตอไปน

จงหาวา นกเรยนทไดคะแนนมากทสดในกลม 10% ต าสด ไดคะแนนนอยกวานกเรยนทไดคะแนนนอยทสดในกลม 10% สงสด อยกคะแนน

วธท า คะแนนมากทสดในกลม 10% ต าสด → P10

คะแนนนอยทสดในกลม 10% สงสด → P90 ขอน โจทยใหหา P90 − P10 นนเอง นบด จะมขอมลทงหมด 23 ตว → P10 จะอยตวท

10

100∙ (23 + 1) = 2.4

ตวท 2.4 = ตวท 2 + 0.4 × (ตวท 3 − ตวท 2)

= 22 + 0.4 × ( 25 − 22 ) = 23.2

→ P90 จะอยตวท 90

100∙ (23 + 1) = 21.6

ตวท 21.6 = ตวท 21 + 0.6 × (ตวท 22 − ตวท 21)

= 57 + 0.6 × ( 59 − 57 ) = 58.2

ดงนน P10 นอยกวา P90 อย 58.2 − 23.2 = 35 #


1. จงหาคาในแตละขอตอไปน เมอก าหนดขอมลใหดงน

1. Med 2. Q3

3. D3 4. P15

2. ขอมลชดหนงม 10 จ านวนประกอบดวยจ านวนตอไปน 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด [O-NET 49/2-5]

20 22 25 25 27 29 31 33 33 34 38 39 39 41 45 48 49 51 54 55 57 59 59

10 12 15 20 25 26 28 29 33 34 36 38 40 42 42

56 สถต

3. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน - ใบไดดงน

เปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบคะแนนเทาใด [O-NET 54/40]

4. จากแผนภาพตน–ใบของขอมลชดหนงเปนดงน

เปอรเซนไทลท 86 ของขอมลชดนเทากบเทาใด [O-NET 58/40]

5. พจารณาขอมลตอไปน

10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคยงกบขอใดตอไปนมากทสด [O-NET 52/31]

1. 15.1 2. 15.4 3. 15.7 4. 16.0

6. บรษทขนสงพสดแหงหนงไดบนทกระยะทาง (หนวย : กโลเมตร) ในการสงของในแตละวน เปนเวลา 30 วน

เมอเรยงล าดบขอมลจากนอยไปมาก ดงน

แลว เปอรเซนไทลท 33 ของขอมลชดน เทากบเทาใด [O-NET 59/28]

3 0 4 9 4 0 7 7 8 8 8 5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9 6 0 2 3 3 6 8 9 7 0 1

2 0 2 5 5 6 7 7 8 9 9 3 1 3 3 3 4 4 5 8 8 9 4 0 0 0 1 2 2 3 3 4 7 5 0 1 1 2 3 4 5 6 7

33 37 43 44 44 55 58 65 65 66 71 74 75 75 78 81 81 81 82 84 86 86 87 89 89 92 92 93 93 95

สถต 57

7. ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง (เรยงจากนอยไปมาก) เปนดงน

เปอรเซนไทลท 70 ของคะแนนสอบนเทากบเทาใด [O-NET 57/31]

8. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากดงน 5 10 12 20 𝑥 26 30 42 47 𝑦

ถาขอมลชดนมพสยเทากบ 45 และคาเฉลยเลขคณตเทากบ 26.4 แลว ควอไทลทสองของขอมลชดนเทากบเทาใด [O-NET 57/32]

9. คะแนนของผ เขาสอบ 15 คน เปนดงน 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถาเกณฑในการสอบผาน คอ ตองไดคะแนนไมต ากวาเปอรเซนไทลท 60 แลว

ขอใดตอไปนเปนคะแนนต าสดของผทสอบผาน [O-NET 51/18] 1. 68 คะแนน 2. 70 คะแนน 3. 72 คะแนน 4. 73 คะแนน

10. ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จ านวน ตอไปน

6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30

ควอไทลท 3 มคาตางจากเปอรเซนตไทลท 45 เทากบเทาใด [O-NET 50/15]

29, 35, 36, 40, 41, 43, 47, 50, 56, 59, 60, 61, 63, 65, 72, 72, 74, 75, 75, 78, 78, 78, 80, 80, 81, 82, 84, 87, 88, 89, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 95, 95, 95, 97

58 สถต

11. ขอมลชดหนงม 5 จ านวน ถาควอไทลทหนง ควอไทลทสอง และควอไทลทสามเทากบ 18, 25, และ 28 ตามล าดบ แลว คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบเทาใด [O-NET 50/38]

12. ขอมลชดหนง ถาเรยงจากนอยไปมากแลว ไดเปนล าดบเลขคณตตอไปน

2, 5, 8, …, 92 ควอไทลท 3 ของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด [O-NET 51/34]

13. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยนหองหนงจ านวน 119 คน เปนดงน

คะแนนทเปอรเซนไทลท 56 เทากบเทาใด [O-NET 56/39]

คะแนนทได จ านวนนกเรยน (คน) 52 13 55 12 57 17 60 9 62 10 65 6 70 14 75 14 78 7 80 10 82 7

สถต 59

14. นกเรยนกลมหนงจ านวน 80 คน ซงม ล าเจยก ล าดวน และล าพ รวมอยดวย ปรากฏผลการสอบดงน ล าดวนไดคะแนนตรงกบควอไทลทสาม

ล าพไดคะแนนตรงกบเปอรเซนไทลท 50

ล าเจยกไดคะแนนเปนล าดบท 30 เมอเรยงคะแนนจากมากไปหานอย

ขอใดตอไปนเปนการเรยงรายชอของผทไดคะแนนนอยไปหาผทไดคะแนนมาก [O-NET 51/19] 1. ล าพ ล าเจยก ล าดวน

2. ล าพ ล าดวน ล าเจยก

3. ล าเจยก ล าพ ล าดวน

4. ล าเจยก ล าดวน ล าพ

15. จากการตรวจสอบล าดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ใน วชาคณตศาสตรทมผ เขาสอบ 400 คน ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยในต าแหนงควอไทลท 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 60 จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนของนาย ก และนาย ข มประมาณกคน [O-NET 53/33]

16. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวา เปอรเซนไทลท 25 ของคะแนนสอบเทากบ 35 คะแนน และมนกเรยน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 80 คะแนน ถามนกเรยนทสอบได 35 คะแนนเพยงคนเดยว แลว จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35 - 80 คะแนน เทากบกคน [O-NET 49/1-15]

60 สถต

การวดต าแหนงขอมล (อนตรภาคชนเปนชวง) ในกรณทขอมลมาในรปตารางทมอนตรภาคชนเปนชวง เราจะค านวณ ควอไทล เดไซล เปอรเซนไทล ยากขนเยอะเลย

ในกรณน ถาจะหา ควอไทล เดไซล เปอรเซนไทล จะมขนตอนคลายๆตอนหา Med ดงน 1. สรางชอง “ความถสะสม” เพอความสะดวกในการหาคาขอมล ณ ต าแหนงตางๆ

2. หา “ต าแหนง” ดวยสตรใหม

3. ใชชองความถสะสม หาวาต าแหนงทตองการ อยชนไหน แลวใชสตรไหนกได จาก 2 สตรตอไปน


11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12

Q𝑟 → 𝑟

4 ∙ (𝑁) D𝑟 →

𝑟

10 ∙ (𝑁) P𝑟 →

𝑟

100 ∙ (𝑁)

สตรน จะเรมจากขอบบน

แลวหาวาตองถอยกลบมาเปนสดสวนเทาไหรของชน

สดสวนทถอย = อกกตว ขอมลถงจะเลอนไปเตมชน

จ านวนตวในชน

คาขอมล = 𝑈 − (𝐹𝑥 − ต าแหนง

𝑓𝑥) 𝐼

ความถสะสมในชนนน

ความกวางชน

ความถในชนนน ขอบบน

สตรน จะเรมจากขอบลาง แลวหาวาตองเดนหนาตอไปอกเปนสดสวนเทาไหรของชน

สดสวนทล า = ขอมลล าไปในชน กตวจ านวนตวในชน

คาขอมล = 𝐿 + (

ต าแหนง − 𝐹𝐿

𝑓𝑥) 𝐼

ความถสะสมชนกอนหนา

ความกวางชน

ความถในชนนน ขอบลาง

สตรน ใชกบกรณ อนตรภาคชนเปนชวงเทานน

ถามาเปนตวๆ ใหใช 𝑁 + 1 เหมอนเกา

สถต 61

ตวอยาง จงหา Q2 D9 และ P6.5 ของขอมลตอไปน

วธท า จากชองความถสะสมแถวสดทาย จะได 𝑁 = 50 Q2 อยตวท 2

4× 50 = 25 → ชนท 3

D9 อยตวท 9

10× 50 = 45 → ชนสดทาย

P6.5 อยตวท 6.5

100× 50 = 3.25 → ชนแรก

#

ตวอยาง จากขอมลคะแนนสอบตอไปน จงหาวา นกเรยนทไดคะแนนมากทสดในกลม 10% ต าสด ไดคะแนนนอยกวานกเรยนทไดคะแนนนอยทสดในกลม 10% สงสด อยกคะแนน

วธท า คะแนนมากทสดในกลม 10% ต าสด → P10

คะแนนนอยทสดในกลม 10% สงสด → P90

และตองใชความกวางชน = 60 − 51 = 9


100× 60 = 6 → ชนแรก ดงนน P10 = 50.5 + (

6−0

6)(9) = 59.5


100× 60 = 54 → ชนสดทาย ดงนน P90 = 86.5 + (

54−48

12)(9) = 91

ดงนน P10 นอยกวา P90 อย = 91 − 59.5 = 31.5 #

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 51 - 59 6 6 60 - 68 10 16 69 - 77 17 33 78 - 86 15 48 87 - 95 12 60

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 1 - 10 8 8 11 - 20 10 18 21 - 30 20 38 31 - 40 12 50

Q2 = 20.5 + (25−18

20) (10)

= 20.5 + 3.5

= 24

หรอถาใชอกสตร Q2 = 30.5 − (38−25

20) (10)

= 30.5 − 6.5

= 24 เทากน

D9 = 30.5 + (45−38

12) (10)

= 30.5 + 5.83

= 36.33

หรอถาใชอกสตร D9 = 40.5 − (50−45

12) (10)

= 40.5 − 4.17

= 36.33 เทากน

P6.5 = 0.5 + (3.25−0

8) (10)

= 0.5 + 4.06

= 4.56

หรอถาใชอกสตร P6.5 = 10.5 − (8−3.25

8) (10)

= 10.5 − 5.94


62 สถต



1. Med 2. Q3

3. D6 4. P85


1. Med 2. Q3

3. D1 4. P90.5



สถต 63

3. ก าหนดขอมลใหดงตาราง จงหาวาคาขอมลตอไปน เปนเปอรเซนไทลทเทาไร

1. 29 2. 10.1

3. 20.5 4. 26.5


64 สถต

การวดการกระจายสมบรณ

อกหลายๆหวขอตอจากน จะสนใจวาขอมลในกลม มความแตกตางกนมากนอยขนาดไหน

ถา ขอมลในกลม มความแตกตางกนมาก → ขอมลกระจายมาก

ถา ขอมลในกลม มความแตกตางกนนอย → ขอมลกระจายนอย

วธวดการกระจายของขอมล จะมหลายวธ ไดแก

1. พสย (Range) 2. สวนเบยงเบนควอไทล (Quatile Deviation: Q.D.) 3. สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation: M.D.) 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.)

ในคณตศาสตรพนฐานน จะพดถงเฉพาะ พสย และ สวนเบยงเบนมาตรฐานเทานน

30 95 21 80 5 20 85 15 75 12 51 84 62 7 11

คะแนนสอบหอง 5/1 (ขอมลกระจายมาก)

72 81 80 76 75 80 75 75 72 71 81 74 82 77 81

คะแนนสอบหอง 5/2 (ขอมลกระจายนอย)

สถต 65

พสย

พสย (Range) เปนวธทวดการกระจายทงายทสด

ซงหาไดจากสตร

ตวอยาง จงหาพสยของคะแนนสอบหอง 5/1 และ หอง 5/2 ตอไปน

วธท า หอง 5/1: คะแนนมากสด = 95 คะแนนสอบนอยสด = 5

ดงนน พสย = 95 − 5 = 90

หอง 5/2: คะแนนมากสด = 82 คะแนนสอบนอยสด = 71

ดงนน พสย = 82 − 71 = 11 #

พสย จะเปนวธวดการกระจายแบบหยาบๆ คดงาย แตไมคอยแมน

เพราะ พสย หาจากขอมลแค 2 ตว (คอขอมลมากสด กบ ขอมลนอยสด) ขอมลตวอนจะไมมผลกบพสย

เชน 2 7 7 8 8 9 → พสย = 9 − 2 = 7

2 3 4 5 7 9 → นาจะกระจายมากกวา แต พสย = 9 − 2 = 7 เทากน ดงนน เราจงไมคอยนยมใชพสยในการวดการกระจาย


1. จงหาพสยของขอมลตอไปน

1. 2.

2. คะแนนสอบของนกเรยน 3 คน มพสยเทากบ 8 คะแนน ถามธยฐานคอ 12 คะแนน และ คาเฉลยเลขคณตคอ 14 คะแนน แลว จงหาคะแนนของนกเรยนทง 3 คนน

พสย = ขอมลมากสด − ขอมลนอยสด

30 95 21 80 5 20 85 15 75 12 51 84 62 7 11

คะแนนสอบหอง 5/1 72 81 80 76 75 80 75 75 72 71 81 74 82 77 81

คะแนนสอบหอง 5/2

5 12 10 22 11 20 16 8 14 29 20 6 16 12 9 18 18 15 34 34

8 6 2 0 3 9 8 3 1 2 7 10 4 9 3 11 2 3

66 สถต

3. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากดงน 𝑎 11 15 18 25 𝑏 36 41 47 53

ถาขอมลชดนมมธยฐานเทากบ 28 และคาเฉลยเลขคณตเทากบ 28.5 แลว พสยของขอมลชดนเทากบเทาใด

[O-NET 58/39]

4. ขอมลชดหนงม 8 คา เรยงจากนอยไปมาก ดงน 74 78 80 80 𝑎 90 90 𝑏

ถาขอมลชดนมพสยเทากบ 18 และมธยฐานเทากบ 85 แลวคาเฉลยเลขคณต เทากบเทาใด [O-NET 59/38]

5. ความสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน เปนดงน 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามนกเรยนเพมขนอกหนงคน ซงมความสง 158 เซนตเมตร แลว คาสถตใดตอไปนไมเปลยนแปลง [O-NET 52/28] 1. คาเฉลยเลขคณต 2. มธยฐาน

3. ฐานนยม 4. พสย

6. สวนสงของพนอง 2 คน มพสยเทากบ 12 เซนตเมตร มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171 เซนตเมตร ขอใดตอไปน เปนสวนสงของพหรอนองคนใดคนหนง [O-NET 52/26]

1. 167 เซนตเมตร 2. 172 เซนตเมตร 3. 175 เซนตเมตร 4. 177 เซนตเมตร

สถต 67

7. ครอบครวหนงมบตร 4 คน บตร 2 คนมน าหนกเทากนและมน าหนกนอยกวาบตรอก 2 คน

ถาน าหนกของบตรทง 4 คนมคาฐานนยม มธยฐาน และพสย เทากบ 45, 47.5 และ 7 กโลกรมตามล าดบ แลว คาเฉลยเลขคณตของน าหนกของบตรทง 4 คน มคาเทากบกกโลกรม [O-NET 49/1-28]

8. ส าหรบขอมลเชงปรมาณใดๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ [O-NET 53/30] 1. พสย 2. คาเฉลยเลขคณต

3. มธยฐาน 4. ฐานนยม

68 สถต

สวนเบยงเบนมาตรฐาน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.) หรอเรยกสนๆวา 𝑠 สตรส าหรบหา 𝑠 จะม 2 สตร คอ

สตรน อานสตรเขาใจยากนดหนอย ดจากตวอยางจะเขาใจกวา เชน ถาตองการหาสวนเบยงเบนสามาตรฐานของขอมล 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9

ถาหาดวยสตร √∑(𝑥𝑖−��)2

𝑁 จะมขนตอนดงน

1. หา �� จะได �� = 2+3+4+5+7+9

6 = 5

2. หาผลตางของขอมลแตละตว กบ �� แลวยกก าลงสอง ไดเปน (𝑥𝑖 − ��)2

(ผลตางของขอมลแตละตวกบ ��)2 คอ 9 , 4 , 1 , 0 , 4 , 16

3. เอาผลในขอ 2 มาหาคาเฉลย แลวถอดรท ตอบ

→ 9+4+1+0+4+16

6 =

34

6 =

17

3

ดงนน 𝑠 = √17

3 =

√17

√3×

√3

√3 =

√51

3

หรอถาจะหาดวยสตร √∑ 𝑥𝑖2

𝑁− ��2 จะมขนตอนดงน

1. หา �� จะได �� = 2+3+4+5+7+9

6 = 5

2. หา 𝑥𝑖2 โดยเอาขอมลแตละตวมายกก าลงสอง แลวหาคาเฉลยของผลยกก าลงสอง ไดเปน ∑ 𝑥𝑖

2

𝑁

∑ 𝑥𝑖

2

𝑁 =

4+9+16+25+49+81

6 =

184

6 =

92

3

3. เอาผลจากขอ 2 มาลบ ��2 แลวถอดรท ตอบ

→ 92

3− 52 =

92

3− 25 =

92−75

3 =

17

3

ดงนน 𝑠 = √17

3 =

√17

√3×

√3

√3 =

√51

3

4

2 3 4 5 7 9

�� = 5

−3 −2 −1 0 2

4 9 16 25 49 81

2 3 4 5 7 9

𝑠 = √∑(𝑥𝑖−��)2

𝑁 𝑠 = √

∑ 𝑥𝑖2

𝑁− ��2

ใชสตรไหนกได

ไดผลลพธเทากน

สถต 69

จะเหนวา คา 𝑠 มกตด √ ท าใหไดตวเลขไมลงตว อางองล าบาก

เราจะใชค าวา “ความแปรปรวน” (Variance) หรอ 𝑣 ในการเรยก 𝑠 แบบทไมตองถอด √ ดงนน ขอมล 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 จะม ความแปรปรวน (𝑣) = 17

3

อกอยางทควรทราบคอ ในกรณทตองการหา 𝑠 จากกลมตวอยาง เราจะใชสตร

สตรอกชด ทไมจ าเปนตองร แตถารจะท าใหชวยท าขอสอบบางขอไดเรวขน คอ สตร “ความแปรปรวนรวม” ถามขอมล 2 ชด ชดแรก มขอมล 𝑁1 ตว มคาเฉลย = ��1 และมความแปรปรวน = 𝑆1

2

ชดทสอง มขอมล 𝑁2 ตว มคาเฉลย = ��2 และมความแปรปรวน = 𝑆22

ถารวมขอมลทง 2 ชด เปนขอมลชดใหญชดเดยว จะไดจ านวนขอมลทงหมด 𝑁1 + 𝑁2 ตว

ถา ��1 = ��2 แลว จะได คาเฉลยรวม ��รวม = ��1 = ��2

ความแปรปรวนรวม 𝑆รวม2 = 𝑁1𝑆1

2+𝑁2𝑆22

𝑁1+𝑁2

แตถา ��1 ≠ ��2 แลว จะได คาเฉลยรวม ��รวม = 𝑁1��1+𝑁2��2

𝑁1+𝑁2

ความแปรปรวนรวม 𝑆รวม2 = 𝑁1(𝑆1

2+(��1−��รวม)2)+𝑁2(𝑆22+(��2−��รวม)2)

𝑁1+𝑁2

ตวอยาง นกเรยนหองหนง เปนชาย 16 คน เปนหญง 20 คน ถากลมนกเรยนชายมคะแนนเฉลย 22 คะแนน มสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมนกเรยนหญงมคะแนนเฉลย 22 คะแนน มสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3

คะแนน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของนกเรยนหองน วธท า เนองจากกลมนกเรยนชายและหญง มคาเฉลยเทากน (= 22 คะแนน)

ดงนน จะใชสตรความแปรปรวนรวม 𝑆รวม2 =

𝑁1𝑆12+𝑁2𝑆2

2

𝑁1+𝑁2 ได

จะได 𝑆รวม2 = 𝑁ช𝑆ช

2+𝑁ญ𝑆ญ2

𝑁ช+𝑁ญ =

(16)(22) + (20)(32)

16+20 =

64 + 180

36 =

244

36 =

61

9

ถอดรท จะได 𝑆รวม = √61

9 =

√61

3 #

ตวอยาง นกเรยนหองหนง เปนชาย 16 คน เปนหญง 20 คน ถากลมนกเรยนชายมคะแนนเฉลย 15 คะแนน มสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมนกเรยนหญงมคะแนนเฉลย 24 คะแนน มสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3คะแนน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของนกเรยนหองน

วธท า เนองจากกลมนกเรยนชายและหญง มคาเฉลยไมเทากน (15 และ 24 คะแนน)

ดงนน ตองหา ��รวม และใชสตรความแปรปรวนรวม 𝑆รวม2 =

𝑁1(𝑆12+(��1−��รวม)2)+𝑁2(𝑆2

2+(��2−��รวม)2)

𝑁1+𝑁2

จะได ��รวม = 𝑁1��1+𝑁2��2

𝑁1+𝑁2 =

16(15)+20(24)

16+20 =

240+480

36 =

720

36 = 20

จะได 𝑆รวม2 = 𝑁1(𝑆1

2+(��1−��รวม)2)+𝑁2(𝑆22+(��2−��รวม)2)

𝑁1+𝑁2

= (16)(22+(15−20)2) + (20)(32+(24−20)2)

16+20 =

(16)(29)+ (20)(25)

36 =

964

36 =

241

9

ถอดรท จะได 𝑆รวม = √241

9 =

√241

3 #

𝑠 = √∑(𝑥𝑖−��)2

𝑁−1

𝑠 = √∑ 𝑥𝑖

2 − 𝑁��2

𝑁−1

70 สถต


1. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน ของขอมลตอไปน

1. 2 , 3 , 4 , 5 , 6 2. 3 , 6 , 9 , 10

2. ขอมลชดหนง มจ านวน 12 ตว ถา

12

1i

(𝑥𝑖 − ��)2 = 192 แลว จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดน

3. ในการสมตวอยางเพอส ารวจขอมลราคามะนาว (ตอผล) จากตลาด 5 แหง ไดขอมลดงน 2 10 6 8 9 (หนวย : บาท) ถา �� คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมล 𝑠 คอ สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล

แลว รอยละของจ านวนขอมลทอยในชวง (�� − 𝑠 , �� + 𝑠) เทากบเทาใด

(ก าหนดให √2 = 1.41 , √2.5 = 1.58 , √10 = 3.16) [O-NET 59/39]

สถต 71

4. กลมตวอยางของขอมลชดหนง ม 11 จ านวนดงน 15 , 10 , 12 , 15 , 16 , 𝑥 , 16 , 19 , 13 , 17 , 15

ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 15

แลว ก าลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบเทาใด [O-NET 56/31*]

5. ก าหนดให 𝑦 เปนรายไดตอเดอนของพนกงาน (หนวย : หมนบาท) และ 𝑥 เปนจ านวนปทพนกงานใชในการศกษาระดบอดมศกษา

โดย 𝑥 และ 𝑦 สมพนธกน ดงน 𝑦𝑖 = 2𝑥𝑖 + 1 𝑖 = 1, 2, …

ถาพนกงานสคน ซงมรายไดตอเดอนเปน 5 , 7 , 9 , 𝑎 (หมนบาท) และคาเฉลยเลขคณต (��) ของจ านวนปทพนกงานใชในการศกษาระดบอดมศกษาเทากบ 4 แลว ความแปรปรวน

ของรายไดตอเดอน เทากบเทาใด [O-NET 59/30]

6. ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากดงน 2 3 3 𝑥 4 𝑦 7 ถาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 4 และ 4

√7 ตามล าดบ

แลว 𝑦 − 𝑥 มคาเทาใด [O-NET 54/37]

72 สถต

7. มขอมล 5 จ านวนซงเรยงจากนอยไปหามาก คอ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 โดยม 𝑥1 = 7 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 𝑥

และความแปรปรวนเทากบ 16 ถาก าหนดตารางแสดงคาของ 𝑥𝑖 − 𝑥 ดงน 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 1 2 3 4 5

7 − 𝑥 −3 −1 3 6

แลว คาของ 𝑥 เทากบเทาใด [O-NET 49/1-31]

8. โรงเรยนแหงหนงมชน ม.6 อยสองหองคอ 6/1 และ 6/2 ซงมจ านวนนกเรยน 52 และ 48 คน ตามล าดบ ถาคะแนนสอบของนกเรยน ม.6 ทงสองหองมคาเฉลยเลขคณตเทากน และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 และ 1.5

ตามล าดบ แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของชน ม.6 เทากบเทาใด [O-NET 58/32] 1. √3.12 2. √3.14 3. √3.16 4. 1.75 5. 1.76

9. ก าหนดใหขอมลชดทหนงซงประกอบดวย 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥10 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 𝑥 และ ขอมลชดทสองซง

ประกอบดวย 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦20 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 𝑦 โดยท

10

1i

(𝑥𝑖 − 𝑥)2 = 160 ,

20

1i

(𝑦𝑖 − 𝑦)2 = 110 และ 𝑥 = 𝑦 ถาน าขอมลทงสองชดมารวมเปนชดเดยวกนแลว สวนเบยงเบนมาตรฐาน

ของขอมลชดใหมเทากบเทาใด [O-NET 51/20]

สถต 73

สมบตของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน มสมบตทนาสนใจดงน

𝑠 จะไมมทางตดลบ ถงแมขอมลจะเปนเลขตดลบ กไมมทางได 𝑠 ตดลบ

เพราะการยกก าลงสอง จะท าใหเลขลบกลายเปนบวก

ถา 𝑠 = 0 แปลวาขอมลชดนน “ไมกระจาย” เกดขนไดเมอขอมลทกตวเทากนหมด

“กระจายแบบปกต” ของขอมลสวนใหญทมอยตามธรรมชาต มกจะ “กองอยตรงกลางแบบสมมาตร” เสมอ

เชน ถามขอมล 1000 ตว กระจายแบบปกต โดยท �� = 25 และ 𝑠 = 3

𝑠 จะมคาประมาณ พสย4

(สตรนจะใชเวลาตองการประมาณคา 𝑠 แบบเรวๆ)

การเพมหรอลดขอมลทกตวอยางเทาๆกน โดยการบวกหรอลบดวยคาคงท จะไมท าใหคาการกระจายเปลยน

เชน ถาเอาขอมล 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาบวก 50 เพมใหขอมลทกตว

จะไดเปน 52 , 53 , 54 , 55 , 57 , 59

ขอมลชดใหมหลงบวก จะม 𝑠 เทากบขอมลชดเดมทยงไมไดบวก

การเปลยนขอมลทกตวอยางเทาๆกน โดยการคณดวย 𝑘 จะท าใหการกระจายเปลยนเปน |𝑘| เทาของของเดม

การเปลยนขอมลทกตวอยางเทาๆกน โดยการหารดวย 𝑘 จะท าใหการกระจายเปลยนเปน 1

|𝑘| เทาของของเดม

เชน ถาเอา 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาคณ −10 ไดเปน −20 , −30 , −40 , −50 , −70 , −90

ขอมลชดใหม จะม 𝑠 เปน |−10| = 10 เทาของของเดม

68% = 68

100× 1000

= 680 คน

อยระหวาง 22 กบ 28

95% = 95

100× 1000

= 950 คน

อยระหวาง 19 กบ 31

28 22

680

28 22

340

25

340 160 160

31 19

950

31 19 25

475 475 25 25

99% = 99

100× 1000

= 990 คน

อยระหวาง 16 กบ 34 34 16

990

5 5

34 16 25

495 495

กฎ 68 - 95 - 99

จะมขอมลประมาณ 68% อยระหวาง �� − 𝑠 กบ �� + 𝑠

จะมขอมลประมาณ 95% อยระหวาง �� − 2𝑠 กบ �� + 2𝑠

จะมขอมลประมาณ 99% อยระหวาง �� − 3𝑠 กบ �� + 3𝑠

74 สถต

ตวอยาง ขอมลอณหภมประจ าวน ในหนวย °C ชดหนง ประกอบดวย 28 , 27 , 29 , 27 , 24 มสวนเบยงเบน

มาตรฐาน 2.8 เมอแปลงขอมลนใหอยในหนวย °F ดวยสตร (C ×5

9) + 32 จะกลายเปน 47.56 ,

47.00 , 48.11 , 47.00 , 45.33 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดน หลงจากทแปลงเปนหนวย °F แลว

วธท า ขอน จะหา 𝑠 ตรงๆ จาก 47.56 , 47.00 , 48.11 , 47.00 , 45.33 ตรงๆ กได แตใชแรงเยอะมาก

จะเหนวาขอมล 28 , 27 , 29 , 27 , 24 จะถกแปลงโดย คณ 59 แลวบวกดวย 32

การคณดวย 59 จะท าให 𝑠 เปลยนไป 5

9 เทา

แตการบวกดวย 32 จะไมท าให 𝑠 เปลยน

ดงนน ขอมลหลงแปลง จะม 𝑠ใหม = 𝑠เดม ×5

9 = 2.8 ×

5

9 = 1.56 #


1. ชวงกอนสอบ น าหนกของนกเรยน ม. 5/1 จ านวน 40 คน มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 กก. เมอสอบเสรจพบวานกเรยนทกคนน าหนกเพมขนคนละ 2 กก. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของน าหนกนกเรยน ม. 5/1 หลงสอบเสรจ

2. นกเรยนกลมหนง ประกอบดวยผชาย 3 คน และผหญง 2 คน โดยกลมผชายมความแปรปรวนเทากบ 0 และมอายเฉลย 25 ป ถาผหญงทงสองคน มอาย 15 และ 20 ป ตามล าดบแลว ความแปรปรวนของอายนกเรยนกลมน เทากบเทาใด

3. พนกงานบรษทจ านวน 800 คน มเงนเดอนเฉลย 10,000 บาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 1,500 บาท ถาเงนเดอนพนกงานกลมน มการกระจายแบบปกตแลว มพนกงานประมาณกคน ทไดเงนเดอนนอยกวา 7,000 บาท

สถต 75

4. ขอมลชดทหนงม 10 จ านวน คอ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥10 ซงขอมลชดนมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2.3 ถาขอมลชดทสองม 10 จ านวน คอ 3𝑥1 + 174 , 3𝑥2 + 174 , 3𝑥3 + 174 , … , 3𝑥10 + 174 แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดทสองนจะเทากบเทาใด [O-NET 57/39]

5. เมอสองปกอน นกเรยนหองหนงม 30 คน แบงออกไดเปนสองกลม กลมทหนงม 10 คน ทกคนมอาย 10 ป และ กลมทสองม 20 คน มอายเฉลย 8.5 ป ถาความแปรปรวนของอายนกเรยนกลมทสอง เทากบ 0 แลว ในปจจบน ความแปรปรวนของอายนกเรยนหองน เทากบเทาใด [O-NET 50/39]

6. พนกงานโรงงานแหงหนงจ านวน 1,000 คน ไดรบเงนเดอนเฉลยคนละ 8,000 บาท มสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1,000 บาท ถาการกระจายของเงนเดอนพนกงานโรงงานแหงนเปนแบบปกตแลว ขอสรปในขอใดตอไปนผด

[O-NET 51/40] 1. พนกงานจ านวนนอยกวา 100 คน ไดรบเงนเดอนนอยกวา 6,000 บาท

2. พนกงานอยางมาก 930 คน ไดรบเงนเดอนมากกวาหรอเทากบ 6,000 บาท

3. พนกงานทไดรบเงนเดอนมากกวา 10,000 บาท มจ านวนนอยกวา 70 คน

4. ถาในปตอไปพนกงานไดรบเงนเดอนเพมขนคนละ 400 บาทแลว สวนเบยงเบนมาตรฐานของเงนเดอนพนกงานโรงงานนยงคงเดม

76 สถต

แผนภาพกลอง แผนภาพกลอง เปนแผนภมรปภาพเพอบอก คานอยสด , Q1 , Q2 , Q3 และ คามากสด ดงรป

จากแผนภาพกลอง เราจะสามารถค านวณ พสย (= คามากสด − คานอยสด)

สวนเบยงเบนควอไทล (= Q3−Q1

2)

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล (= Q3−Q1

Q3+Q1) ได

ซงคาเหลาน ใชบอกการกระจายของขอมลได

นนคอ ถาคามากสด กบคานอยสด อยหางกนมาก แปลวาขอมลมการกระจายมาก

และเนองจาก ควอไทล เปนจดทแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆกน

สงทตองเขาใจใหแมน คอ “แตละสวน มขอมล 25% เทากนหมด” ไมขนกบวาสวนไหนยาว สวนไหนสน ความยาว ความสน จะมผลกบ “ความแออด” ของขอมล

เนองจาก แตละสวน มขอมล 25% เทากน ดงนน “สวนทสน จะแออด กวาสวนทยาว” ดงนน เราจะบอกลกษณะ “การเบ” ไดดวย โดยดวา “สวนสน อยทางซายหรอทางขวา”

ถา สวนสนอยทางซาย แปลวาทางซายแออด แปลวา โคงโดงซาย แปลวา ขอมลเบขวา ถา สวนสนอยทางขวา แปลวาทางขวาแออด แปลวา โคงโดงขวา แปลวา ขอมลเบซาย

ตวอยาง จากแผนภาพกลองแสดงคะแนนสอบของนกเรยน จ านวน 60 คน ตอไปน

จงพจารณาวาขอใดผด

1. พสยของคะแนนสอบ คอ 90 คะแนน

2. ขอมลมลกษณะการกระจายแบบเบขวา

3. นกเรยนทไดคะแนนในชวง 60 - 80 มนอยกวา 15 คน

4. นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 60 มจ านวนมากกวานกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 60 วธท า จากแผนภาพ จะได ขอมลนอยสด = 25 , Q1 = 40 , Q2 = 60 , Q3 = 90 , ขอมลมากสด = 115

1. พสย = ขอมลมากสด − ขอมลนอยสด = 115 − 25 = 90 ดงนน ขอ 1 ถกตอง 2. จะเหนวาสวนสนอยทางซาย ดงนน ทางซายแออด แปลวาโคงโดงซาย ดงนน ขอมลนเปนแบบเบขวา ดงนน ขอ 2 กถกอก

20 40 60 80 100 120

คานอยสด Q1 Q2 Q3 คามากสด

0 20 40 60 80 100 120 140

สถต 77

3. เนองจากมนกเรยน 60 คน แบงเปน 4 สวน สวนละเทาๆกน จะไดแตละสวนจะมนกเรยน 15 คน

จากภาพ จะไดวาชวง 60 - 90 มนกเรยน 15 คน ดงนน ขอ 3 ถก เพราะ ชวง 60 - 80 เลกกวา 60 - 90 จงนาจะมนกเรยนนอยกวา 15 คน

4. นกเรยนทไดนอยกวา 60 คะแนน จะม 2 สวน (25 - 40 และ 40 - 60) → ม 15 + 15 = 30 คน

นกเรยนทไดมากกวา 60 คะแนน กม 2 สวน (60 - 90 และ 90 - 115) → ม 15 + 15 = 30 คน ดงนน ขอ 4 ผด #

ตวอยาง จากแผนภาพกลองแสดงขอมลคะแนนสอบ วชาคณตศาสตร และ ภาษาองกฤษ ของนกเรยนหองหนง

จงพจารณาวาขอใดถก

1. คะแนนวชาภาษาองกฤษ มการกระจายนอยกวา

2. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบทงสองวชา เทากน 3. จ านวนนกเรยนทไดคณตศาสตร นอยกวา 65 คะแนน มนอยกวา

จ านวนนกเรยนทไดภาษาองกฤษ นอยกวา 65 คะแนน

4. คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ต าสด ของวชาคณตศาสตร มากกวา คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ต าสด ของวชาภาษาองกฤษ

วธท า 1. ภาษาองกฤษ มชวงคะแนน มากสด - นอยสด กวางกวา ดงนน ภาษาองกฤษมการกระจายมากกวา ขอ 1 จงผด

2. เนองจากแผนภาพกลอง บอกแตควอไทล

ขอมลทโจทยให ไมสามารถน าไปสรปเกยวกบคาเฉลยได ดงนน ขอ 2 จะจรงหรอเปลา กไมร 3. นกเรยนทไดคณตศาสตร นอยกวา 65 คะแนน จะม 3 สวน

แตนกเรยนทไดองกฤษ นอยกวา 65 คะแนน จะมแค 2 สวนกวาๆ ดงนน ขอ 3 ผด 4. “คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ต าสด” หมายถง Q1 นนเอง จะเหนวา วชาคณตศาสตร ม Q1 = 20

วชาภาษาองกฤษ ม Q1 = 15 ดงนน ขอ 4 ถกตอง #

15 คน 15 คน 15 คน 15 คน

20 40 60 80 100 120

0 20 40 60 80 100

คณตศาสตร

ภาษาองกฤษ

78 สถต


1. จากแผนภาพกลองแสดงคะแนนสอบ 2 วชา ของนกเรยนหอง ม. 5/1 ตอไปน จงพจารณาวาขอใดถกตองบาง

1. Q1 ของวชาท 1 มากกวา Q1 ของวชาท 2

2. Q2 ของวชาท 1 มากกวา Q2 ของวชาท 2 3. Q3 ของวชาท 1 มากกวา Q3 ของวชาท 2 4. คะแนนเฉลยของวชาท 1 มากกวา คะแนนเฉลยของวชาท 2

5. คะแนนต าสด ในกลม 25% สงสด ในวชาท 1 มากกวา วชาท 2

6. มนกเรยนทสอบไดคะแนน 30 - 40 คะแนน ในวชาท 1 มากกวา วชาท 2

7. มนกเรยนทสอบไดคะแนน 50 - 70 คะแนน ในวชาท 1 มากกวา วชาท 2

8. มนกเรยนทสอบไดคะแนนนอยกวา 40 คะแนน ในวชาท 1 มากกวา วชาท 2



2. คะแนนสอบความรทวไปของนกเรยน 200 คนน าเสนอโดยใชแผนภาพกลองดงน

ขอใดเปนเทจ [O-NET 53/32]

1. จ านวนนกเรยนทท าได 12 ถง 16 คะแนน มเทากบ จ านวนนกเรยนทท าได 16 ถง 18 คะแนน




วชาท 1

วชาท 2

0 20 40 60 80 100

10 12 16 18 24

สถต 79

3. จากการทดสอบนกเรยนจ านวน 100 คนใน 2 รายวชา แตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน ถาผลการทดสอบทงสองรายวชา เขยนเปนแผนภาพกลองไดดงน [O-NET 50/40]

แลว ขอสรปในขอใดตอไปนถก

1. คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงแบบปกต 2. จ านวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 1 มากกวา

จ านวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 2

3. คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ต าสด ของผลการสอบรายวชาท 1 นอยกวา

คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ต าสด ของผลการสอบรายวชาท 2

4. จ านวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60 - 80 คะแนน ในการสอบรายวชาท 2 นอยกวา

จ านวนนกเรยนทไดคะแนนในชวงเดยวกน ในการสอบรายวชาท 1

4. จากแผนภาพกลองของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนจ าแนกตามเพศเปนดงน

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง [O-NET 49/1-32]

1. คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย

สงกวาคะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง

2. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายมการกระจายเบขวา

3. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจาย

มากกวาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย

4. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายเบขวา

คะแนนสอบรายวชาท 1

คะแนนสอบรายวชาท 2

0 20 40 60 80 100 120 140

คะแนนสอบ 0 100

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

คะแนนสอบของนกเรยนชาย

80 สถต

สถตภาคบรรยาย

1. 6 2. 4 3. 2 4. 5

5. 2 6. 4 7. 3

การแจกแจงความถ

1. 1.

2.

3.

4.

2. 0.25 3. 2 - 6 4. 4 5. 3

6. 2

กราฟแจกแจงความถ

1. 1. 2.


1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40

5 11 2 2

5 16 18 20

5.5 15.5 25.5 35.5

10 10 10 10

0.5 10.5 20.5 30.5

10.5 20.5 30.5 40.5

20


1 - 4 5 - 8 9 - 12 13 - 16

5 7 13 5

5 12 25 30

2.5 6.5 10.5 14.5

4 4 4 4

0.5 4.5 8.5 12.5

4.5 8.5 12.5 16.5

30

คาขอมล ความถ ความถสะสม

ความถสมพทธ

ความถสะสมสมพทธ

รอยละของความถสมพทธ

รอยละของความถสะสมสมพทธ

1 - 10 11 - 20 21 - 30

7 9 4

7 16 20

0.35 0.45 0.20

0.35 0.80 1.00

35 45 20

35 80 100

20 1.00 100

คาขอมล ความถ 4 - 9 5 10 - 15 15 16 - 21 20 22 - 27 10

น าหนก จ านวนคน 2 - 6 5 7 - 11 5 12 - 16 10 17 - 21 5


3 - 8 9 - 14 15 - 20 21 - 26

2 3 11 4

2 5 16 20

5.5 11.5 17.5 23.5

6 6 6 6

2.5 8.5 14.5 20.5

8.5 14.5 20.5 26.5

20

สถต 81

แผนภาพตน - ใบ

1. 2. 4

คาเฉลย

1. 10.6 2. 9.5 3. 7.9 4. 7.2

5. 2 : 1 6. 56 7. 22 8. 2236

9. 492

3 10. 21.9 11. 134 12. 96

13. 3 : 2

คาเฉลยถวงน าหนก

1. 3 2. 1 3. 2.70 4. 21

คาเฉลย (อนตรภาคชนเปนชวง)

1. 21.5 2. 6 3. 10 4. 53.1

5. 63.33 6. 55.5

การหาคาเฉลยโดยการลดทอนขอมล

1. 20 2. 18 3. 161.75 4. 61.3

5. 40

สมบตของคาเฉลย

1. 1. 26 2. 26 3. 26 4. 34

มธยฐาน

1. 1. 13.5 2. 8 3. 18.5 4. 9

5. 3 6. 22.5 7. 16 8. 53 2. 17, 16 3. 3 4. 5

คาขอมล ความถ 80 - 88 4 89 - 97 4 98 - 106 3 107 - 115 3

82 สถต

มธยฐาน (อนตรภาคชนเปนชวง)

1. 1. 18 2. 11.7 3. 30.5

สมบตของมธยฐาน

1. 1. 7 2. 13 3. 7 4. 14

ฐานนยม

1. 1. 12 2. ไมม 3. 7 4. 9

5. 24, 25

2. 1 3. 2 4. 4 5. 4

6. 2 7. 4 8. 1 9. 1

3

10. 1

ฐานนยม (อนตรภาคชนเปนชวง)

1. 1. 28 2. 10 3. 13.75 4. 21.3

5. 33 6. 14.25

สมบตของฐานนยม

1. 2 2. 3 3. 2 4. 2

5. 1 6. 5

คาเฉลย - มธยฐาน - ฐานนยม

1. 1. เบซาย 2. เบขวา 2. 1. Med = 7 , เบซาย 2. Mode = 5 , เบขวา 3. �� = 15 , เบขวา 3. 2400 4. 1

การวดต าแหนงขอมล

1. 1. 29 2. 38 3. 24 4. 13.2

2. 19 3. 55 4. 52.4 5. 3

6. 67.15 7. 87.7 8. 24 9. 3

10. 5 11. 23.4 12. 71 13. 66

14. 1 15. 60 16. 21

สถต 83

การวดต าแหนงขอมล (อนตรภาคชนเปนชวง)

1. 1. 24 2. 30.25 3. 26.5 4. 34.25

2. 1. 10.5 2. 13.83 3. 3 4. 16.7

3. 1. P85 2. P12 3. P42.5 4. P72.5

พสย

1. 1. 29 2. 33

2. 11, 12, 19 3. 45 4. 84.25 5. 4

6. 4 7. 48 8. 4

สวนเบยงเบนมาตรฐาน

1. 1. √2 , 2 2. √30

2 ,

30

4

2. 4 3. 80 4. 6.4 5. 18.67

6. 1 7. 12 8. 3 9. 3

สมบตของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

1. 4 2. 16 3. 20 4. 6.9

5. 1

2 6. 2

แผนภาพกลอง

1. 2, 7 2. 2 3. 3 4. 2

เครดต

ขอบคณ คณครเบรด จาก กวดวชาคณตศาสตรครเบรด ยานบางแค 081-8285490 ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารดวยครบ

สถิติ - trueplookpanya...6. ข อใดต อไปน เป นเท จ [o-net...

Documents