หน่วยการเรียนรู้ที่7...

27

หนวยการเรยนรท 7 ความรเบองตนเกยวกบจ านวนจรงความรเบองตนเกยวกบจ านวนจรง

มาตรฐานการเรยนร

มาตรฐาน ค 1.1 : ขอ 1, 2 และ ขอ 5 มาตรฐาน ค 1.2 : ขอ 2 และ ขอ 3 มาตรฐาน ค 1.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 1.4 : ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. เขยนเศษสวนในรปทศนยมซ าและเขยนทศนยมซ าในรปเศษสวนได

2. ระบหรอยกตวอยางจ านวนจรง จ านวนตรรกยะ และจ านวนอตรรกยะได

3. บอกความเกยวของระหวางจ านวนเตม จ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะได

4. อธบายและระบรากทสองและรากทสามของจ านวนจรงได

5. หารากทสองและรากทสามของจ านวนเตมทก าหนดใหโดยการแยกตวประกอบ และน าไปใชแกปญหาได

6. หารากท สองและรากทสามของจ านวนจรงทก าหนดใหโดยการประมาณ การเปดตาราง หรอการใชเครองค านวณ และน าไปใชแกปญหาได

7. อธบายผลทเกดขนจากการหารากทสองและรากทสามของจ านวนเตมและจ านวนตรรกยะได

8. บอกความสมพนธของการยกก าลงและการหารากของจ านวนเตมและจ านวนตรรกยะได

9. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของ ค าตอบทไดจากการค านวณและ

การแกปญหา

สาระการเรยนร

7.1 จ านวนตรรกยะ (3 คาบ) 7.2 จ านวนอตรรกยะ (1 คาบ) 7.3 รากทสอง (5 คาบ) 7.4 รากทสาม (5 คาบ)

28 สอเสรมสาระการเรยนร คณตศาสตรพนฐาน ม.2

ครครรชต แซโฮ โรงเรยนจนทรประภสสรอนสรณ สพม.เขต 15

77..11 จ านวนตรรกยะจ านวนตรรกยะ

จดประสงคการเรยนร ดานความร : นกเรยนสามารถ 1. เขยนเศษสวนในรปทศนยมซ าและเขยนทศนยมซ าใน

รปเศษสวนได 2. บอกได ว าทศนยมทก าหนดให เป นทศนยมซ า

หรอไม 3. บอกไดวาจ านวนทก าหนดใหเปนจ านวนตรรกยะหรอไม 4. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได

ดานทกษะ / กระบวนการ : นกเรยนมความสามารถใน 1. การคดค านวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตผล 4. การสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอ 5. การเชอมโยง 6. ความคดรเรมสรางสรรค

ดานคณลกษณะ : ปลกฝงใหนกเรยน 1. มความรบผดชอบ 2. มความสนใจใฝร 3. มความรอบคอบ มระเบยบวนย 4. มความเชอมนในตนเอง 5. มวจารณญาณและท างานอยางเปนระบบ

6. ตระหนกในคณคา และมเจตคตทดตอวชาคณตศาสตร

MATH

Series

หนวยการเรยนรท 7 จ านวนจรง 29


จ านวนตรรกยะ

ใหนกเรยนเขยนจ านวนเตมบวก จ านวนเตมศนย จ านวนเตมลบ และเศษสวน มาอยางละหนงจ านวน ……………………………………………………………………………………………

นกเรยนคดวาจ านวนทนกเรยนเขยนมาน นสามารถเขยนใหอยในรป ab

เมอ a และ b เปน

จ านวนเตมท b 0 ไดหรอไม ถาไดใหเขยนแสดง………………………………………………….

นกเรยนเคยทราบมาแลววา เศษสวนใด ๆ ab

เมอ a และ b เปนจ านวนเตมท b ไมเทากบศนย

สามารถเขยนใหอยในรปทศนยมได โดยการน าตวสวนหารตวเศษ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงเขยน 52

ในรปทศนยม

52

นนคอ 5

= 2.5 2

ตวอยางท 2 จงเขยน 7

15 ในรปทศนยม

715

15 7

นนคอ 7

= 0.4666... 15

………………………

จ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทเขยนแทนไดใน ดวย เศษส วน ab


จ านวนเตมท b 0

2.52 5.0 4 10 10 0



จากตวอยางดงกลาว สามารถเขยนเศษสวนตอไปนใหอยในรปทศนยมไดดงน 1. 2

3 = 0.666… เขยนแทนดวย 0.6 อานวา ศนยจดหก หกซ า

2. 16045

= 3.555… เขยนแทนดวย 3.5 อานวา สามจดหา หาซ า

3. 1233

= 0.363636… เขยนแทนดวย 0.36 อานวา ศนยจดสามหก สามหกซ า

4. 937

= 0.243243243… เขยนแทนดวย 0.243

อานวา ศนยจดสองสสาม สองสสามซ า 5. 35

24 = 1.458333… เขยนแทนดวย 1.4583

อานวา หนงจดสหาแปดสาม สามซ า ทศนยมทไดจากขอ 1 ถงขอ 5 เรยกวา ทศนยมซ า ซงสามารถจดทศนยมซ าเปนสองกลมดงน

1. ทศนยมซ าศนย ในกลมนไมนยมเขยนตวซ าศนย เชน 0.60 เขยนแทนดวย 0.6

2.6340 เขยนแทนดวย 2.634 2. ทศนยมซ าทไมใชทศนยมซ าศนย เชน 3.5 , 0.428571

ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนเศษสวนตอไปนในรปทศนยมซ า พรอมเขยนค าอาน

โจทย ค าตอบ เขยนในรปทศนยมซ า ค าอาน

1. 13

0.333… 0.3 ศนยจดสาม สามซ า

2. 15

3. 1320

4. 143250

5. 23

6. 433

7. 3111

กจกรรมท 7.1 : ทกษะการใหเหตผล การสอสาร สอความหมายและการน าเสนอ



การเขยนทศนยมซ าในรปเศษสวน

ตวอยางท 3 จงเขยน 0.5 ในรปเศษสวน วธท า ให N = 0.5 = 0.555… (1)

คณทงสองขางของสมการดวย (1) ดวย 10 จะได 10N = 5.555… (2) น าสมการ (2) – (1) จะได

10N – N = (5.555… – 0.555…) 9N = 5

N = 59

นนคอ 0.5 = 59

ตวอยางท 4 จงเขยน 0.25 ในรปเศษสวน

วธท า ให N = 0.25 = 0.252525… (1) คณทงสองขางของสมการดวย ………… …………N = ……………… (2) จากสมการ (2) – (1) จะได ……..N – N = (………………………………………) ……N = ……………………… N = ……………………… นนคอ 0.25 = ………………….……

ตวอยางท 5 จงเขยน 1.18 ในรปเศษสวน

วธท า ให N = 1.18 = ………………. (1) คณทงสองขางของสมการดวย ………… …………N = ……………… (2) จากสมการ (2) – (1) จะได ……..N – N = (………………………………………) ……N = ……………………… N = ………………………

นนคอ 1.18 = ………………….……



มาท าความรจกกนนะครบ โดยใหนกเรยนชวยกนตอบ 1) เราสามารถเขยนแทนเศษสวนดวยจดบนเสนจ านวน ไดหรอไม

…………………………………………………………………………………………………… 2) เราสามารถเขยนแทนทศนยมซ าดวยจดบนเสนจ านวน ไดหรอไม

…………………………………………………………………………………………………… 3) เราสามารถเขยนแทนจ านวนตรรกยะดวยจดบนเสนจ านวน ไดหรอไม

…………………………………………………………………………………………………… 4) จ านวนเตมเปนจ านวนตรรกยะหรอไม เพราะเหตใด

…………………………………………………………………………………………………… 5) เราสามารถบอกไดหรอไมวาระหวาง -1 และ 2 มจ านวนตรรกยะอยกจ านวน

…………………………………………………………………………………………………… 6) มจ านวนตรรกยะบวกทนอยทสดหรอไม

…………………………………………………………………………………………………… 7) มจ านวนตรรกยะบวกทมากทสดหรอไม

…………………………………………………………………………………………………… 8) มจ านวนตรรกยะลบทมากทสดหรอไม

…………………………………………………………………………………………………… 9) มจ านวนตรรกยะลบทนอยทสดหรอไม

……………………………………………………………………………………………………

จะเหนวา จ านวนตรรกยะ หมายถง จ านวนชนดตาง ๆ ดงแผนผงตอไปน

จ านวนตรรกยะ

จ านวนเตม เศษสวนทไมใชจ านวนเตม

จ านวนเตมบวก ศนย จ านวนเตมลบ

ไมรจกฉนไมรจกเธอ (จ านวนตรรกยะเอง)



1. ใหนกเรยนเขยนทศนยมซ าตอไปนในรปเศษสวน

1) 0.639 วธท า ให N = 0.639 = ………………. (1)

คณทงสองขางของสมการดวย ………… …………N = ……………… (2) จากสมการ (2) – (1) จะได ……..N – N = (………………………………………) ……N = ……………………… N = ………………………

นนคอ 0.639 = ………………………

2) 3.4 วธท า ให N = 3.4 = ………………. (1)

คณทงสองขางของสมการดวย ………… …………N = ……………… (2) จากสมการ (2) – (1) จะได ……..N – N = (………………………………………) ……N = ……………………… N = ………………………

นนคอ 3.4 = ………………….……

3) 0.818 วธท า ให N = 0.818 = ………………. (1)

…………N = …………………. (2) …………N = ………………. (3) จากสมการ (3) – (2) จะได ………N – ……N = ……………….

…….N = ………………. ………… = ……………….

กจกรรมท 7.2 : ทกษะการแกปญหา การสอสาร สอความหมายและการน าเสนอ



………… = ………………. นนคอ 0.818 = ……………….

2. จ านวนในแตละขอตอไปนเปนจ านวนตรรกยะหรอไม เพราะเหตใด

ขอท เปน/ไมเปนจ านวนตรรกยะ เพราะเหตใด

1) 12 5 เปนจ านวนตรรกยะ สามารถเขยนในรปเศษสวนได

2) 3.21.3

3) 2 5+3 7

4) 3.56 4.81

5) 4.6×0.7

6) 3 1× 27 2

7) 5.6 ÷1.1

8) 3 ÷ 65

3. แมซอขนม 3 ชน 1 บาท แตปาซอไดรอยละ 33 บาท ใครซอขนมไดถกกวากน เพราะเหตใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. คณแมและออมไปตลาดเพอซอแปรงสฟน 5 อน ส าหรบสมาชกในครอบครว ถาซอปลก ราคาอนละ 14.25 บาท แตถาซอครงโหลจะไดราคา 85 บาท คณแมและออมควรตดสนใจซอ แบบใดด เพราะเหตใด

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



77..22 จ านวนอตรรกยะจ านวนอตรรกยะ

จดประสงคการเรยนร ดานความร : นกเรยนสามารถ 1. บอกได ว าทศนยมทก าหนดให เป นทศนยมซ าหรอไม 2. บอกไดวาจ านวนทก าหนดใหเปนจ านวนอตรรกยะหรอไม 3. ยกตวอยางจ านวนอตรรกยะได

4. บอกความเกยวของระหวางจ านวนเตม จ านวนตรรกยะ และจ านวน

อตรรกยะได

5. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได




MATH

Series



จ านวนอตรรกยะ

จ านวนอตรรกยะ คอ จ านวนทไมสามารถเขยนแทนไดในรปเศษสวน ab


จ านวนเตม ท b 0

ตวอยางของจ านวนอตรรกยะ เชน 1.12653287009922321.. 3.323223222… 16.79779777977779… -4.399339933399… จากตวอยางขางตน นกเรยนจะสงเกตเหนวา เราไมสามารถจดชดตวเลขหลงจดทศนยมของ

จ านวนอตรรกยะแตละจ านวน ใหเปนชดตวเลขทซ ากนได อกตวอยางหนงของจ านวนอตรรกยะคอ ซงเทากบ 3.141592653589793238462…

คอ อตราสวนของความยาวของเสนรอบวงของวงกลมตอความย าวของเสนผานศนยกลางของวงกลม

เมอนกเรยนค านวณหาพนทของวงกลมโดยใชสตร …………… หรอค านวณหาความยาวของเสนรอบวงของวงกลมโดยใชสตร …………… เมอ r แทนรศมของวงกลม มกใชคาประมาณ

ของ เปน 227

หรอ 3.142 ซงเปนจ านวนตรรกยะทงหมด

จ านวนทเปนจ านวนตรรกยะหรอจ านวนอตรรกยะ เรยกวา จ านวนจรง

แผนผงแสดงความเกยวของระหวางจ านวนชนดตาง ๆ เปนดงน

จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะ

จ านวนเตม เศษสวนทไมใชจ านวนเตม

จ านวนเตมบวก ศนย จ านวนเตมลบ

จ านวนจรง



ค าชแจง ใหนกเรยนน าจ านวนตอไปน ลงในชองวางใหถกตอง

………………………………………………………………………………………………………

…………………… ……………………… ………………………………… …………………… ……………………… ………………………………… …………………… ……………………… …………………… ………………………

……………………… …………………… ……………………………. ……………………… …………………… ……………………………. ……………………… …………………… ……………………………. ……………………… …………………… …………………………….

จ านวนจรง

จ านวนเตมลบ

ทศนยมซ า จ านวนเตม

จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะ

ศนย จ านวนเตมบวก

เศษสวน

0 - 16 17

-2.5 100.0

42

0 0.515115111… 9

0.8

2

2

13

03.7

153

-49

แฟนพนธแท เรองจ านวนจรง



นกเรยนทราบแลววา เราสามารถแทนจ านวนตรรกยะแตละจ านวนไดดวยจดบนเสนจ านวน ส าหรบจ านวนอตรรกยะเรากสามารถแทนไดดวยจดบนเสนจ านวนเชนกน

การหาจดบนเสนจ านวนทแทน 2 นน อาจใชทฤษฏบทพทาโกรสมาชวยในการหาไดดงน

บนเสนจ านวน ก าหนดจดทแทน 0 และ 1 เปน A และ B ตามล าดบ จะได AB ยาว 1 หนวย ลาก BC ตงฉาก AB โดยใช BC ยาว 1 หนวย ตามทฤษฏบทพทาโกรสจะหา AC ไดดงน

AC2 = AB2 + BC2 = ………………………… = ………………………… AC = 2

เมอใช A เปนจดศนยกลางรศม AC เขยนสวนโคงของวงกลม ตดเสนจ านวนทจด D จะได จด D ทแทน 2 บนเสนจ านวน

ส าหรบการหาจดทแทน บนเสนจ านวน อาจท าไดดงน

เนองจาก =

ถาเราสรางวงกลมทมเสนผานศนยกลางยาว 1 หนวย ความยาวของเสนรอบวงของวงกลมนนจะเทากบ

หรอกลาวไดวา เทากบความยาวของเสนรอบวงทมเสนผานศนยกลางยาว 1 หนวย เราสามารถหาจดบนเสนจ านวนทแทน ได โดยกลงรปวงกลมทมเสนผานศนยกลางยาว

เทากบ 1 หนวย จากจดทแทน 0 บนเสนจ านวนไปทางขวาบนเสนจ านวนใหครบ 1 รอบ จดทรปวงกลมกลงไปไดครบ 1 รอบนน คอจดทแทน บนเสนจ านวน

ความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ความยาวของเสนผานศนยกลาง

-1 -2 1 2 0 2

2 1

C

A B D



ในทางคณตศาสตร เราสามารถเขยนแทนจ านวนจรงใด ๆ ดวยจดบนเสนจ านวนได และจดใด ๆ บนเสนจ านวนแตละจดจะแทนจ านวนจรงจ านวนหนง ซงอาจเปนจ านวนตรรกยะ หรอจ านวน อตรรกยะ กได

ดงนน เสนจ านวนทเรากลาวถง หมายถง เสนจ านวนจรง 1. จ านวนตอไปนจ านวนใดเปนจ านวนตรรกยะและจ านวนใดเปนจ านวนอตรรกยะ

ขอท เปนจ านวนตรรกยะ เปนจ านวนอตรรกยะ

1. 97

2. 1

23

3. 0

4. 1

2 + 5

5. 0.842 6. 1.3666… 7. 2.4313113111… 8. – 5.932648326483264832… 9. 2.137137137… 10. – 0.166666676869…

2. จงหาจดบนเสนจ านวนทแทนจ านวน 5

………………………………………………………………………………………………

กจกรรมท 7.3 : ทกษะการแกปญหา การใหเหตผล การสอสารและการเชอมโยง

1 2 3 4 0

1

2 3 1 0 -1



77..33 รากทสองรากทสอง

จดประสงคการเรยนร ดานความร : นกเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายของรากทสองของจ านวนจรงบวกหรอศนย ได 2. อ านและใช สญลกษณ ได ถกต อง 3. หารากทสองของจ านวนจรงทก าหนดให โดยการประมาณ

การเป ดตาราง หรอการใช เครองค านวณ และน าไปใช แก ปญหาได 4. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได




MATH

Series



รากทสอง

ใหนกเรยนคดหาจ านวนเตมทเหมอนกน 2 จ านวนมาคณกนใหไดเทากบจ านวนตอไปน

49 = 7 7 = 72 = …………… = ……………

100 = …………… = …………… = …………… = ……………

196 = …………… = …………… = …………… = ……………

ในทางกลบกน 72 = 49 และ …………… ซงในทางคณตศาสตรกลาววา 7 และ ……… เปนรากทสองของ 49

เรยก 7 วาเปนรากทสองทเปนบวกของ 49 เรยก -7 วาเปนรากทสองทเปนลบของ 49

ในการเขยนรากทสองของ 49 อาจเขยนโดยใชเครองหมาย ไดดงน 49 อานวา รากทสองทเปนบวกของ 49 - 49 อานวา รากทสองทเปนบวกของ 49

ดงนน 49 = 7 และ - 49 = -7

บทนยาม ให a แทนจ านวนจรงบวกใด ๆ หรอศนย รากทสองของ a คอ จ านวนจรงทยก ก าลงสองแลวได a

ส าหรบรากทสองของจ านวนจรงลบจะไมกลาวถง เนองจากไมมจ านวนจรงใดทยกก าลงสองแลวไดจ านวนจรงลบ

ชวยกนท าหนอย 8 เปนรากทสองของ 64 เนองจาก 82 = 64 ……… เปนรากทสองของ ………… เนองจาก ……………… 13 เปนรากทสองของ 169 เนองจาก 132 = 169 ……… เปนรากทสองของ ………… เนองจาก ………………



ถา a เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ a มสองราก คอ รากทสองทเปนบวก ซงแทนดวยสญลกษณ a และ รากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ a ถา a = 0 รากทสองของ a คอ 0

จากบทนยามจะได ( a )2 = a และ ( a )2 = a รากทสองทเปนบวกของ a อาจเรยกอกอยางวา กรณฑทสองของ a

ตวอยางท 1 รากทสองของ 36 มสองราก เขยนแทนดวย 36 และ - 36 36 = 6 และ - 36 = -6 ดงนน รากทสองของ 36 คอ 6 และ -6

ตวอยางท 2 รากทสองของ 0.01 มสองราก เขยนแทนดวย 0.01 และ …………… 0.01 = 0.1 และ - 0.01 = -0.1 ดงนน รากทสองของ 0.01 คอ 0.1 และ -0.1

ตวอยางท 3 รากทสองของ 15 มสองราก เขยนแทนดวย 15 และ …………… เนองจาก ไมมจ านวนเตมใดทยกก าลงสองแลวเทากบ 15 ดงนน จงเขยน 15 และ …………… แทนรากทสองของ 15 15 และ …………… เปนจ านวนอตรรกยะ

ตวอยางท 4 รากทสองของ 23

มสองราก เขยนแทนดวย …………… และ - 23

เนองจาก ไมมจ านวนตรรกยะใดทยกก าลงสองแลวเทากบ 23

ดงนน จงเขยน…………… และ - 23

แทนรากทสองของ 23

…………… และ - 23

เปนจ านวนอตรรกยะ

นกเรยนจะเหนไดวา รากทสองของจ านวนตรรกยะบวกตามตวอยางทยกมาทงหมด เปนจ านวนตรรกยะหรอจ านวนอตรรกยะ



1. จ านวนตอไปน เปนรากทสองของจ านวนใด เพราะเหตใด

1) 0 เปนรากทสองของ 0 เพราะวา 02 = 0 2) 1 เปนรากทสองของ ……………………………………………. 3) -3 เปนรากทสองของ ……………………………………………. 4) 4 เปนรากทสองของ …………………………………………….

5) 13

เปนรากทสองของ …………………………………………….

6) 23


7) 0.2 เปนรากทสองของ ……………………………………………. 8) 0.11 เปนรากทสองของ ……………………………………………. 9) 7 เปนรากทสองของ …………………………………………….

10) - 29


2. จ านวนใดบาง เปนรากทสองของแตละจ านวนตอไปน 1) ……1, -1 ……เปนรากทสองของ 1 2) ………………เปนรากทสองของ 9 3) ………………เปนรากทสองของ 25 4) ………………เปนรากทสองของ 100 5) ………………เปนรากทสองของ 1.21 6) ………………เปนรากทสองของ 0.0016 7) ………………เปนรากทสองของ 0.0049

8) ………………เปนรากทสองของ 14



กจกรรมท 7.4 : ทกษะการคดวเคราะห ใหเหตผล และแกปญหา



ตวอยางท 5 จงหารากทสองของ 81 วธท า รากทสองของ 81 เขยนแทนดวย 81 และ - 81

เนองจาก 81 = 29 = 9 และ - 81 = ……………… = ……………… ดงนน รากทสองของ 81 คอ 9 และ ……………… ตอบ 9 และ ………………

ตวอยางท 6 จงหารากทสองของ 2327

วธท า รากทสองของ 2327

เขยนแทนดวย 2327

และ - 2327

เนองจาก ไมมเศษสวนใดทยกก าลงสองแลวเทากบ 2327

ดงนน รากทสองของ 2327

คอ 2327

และ- 2327

ตอบ 2327

และ - 2327

ตวอยางท 7 จงหารากทสองของ 0.12 วธท า รากทสองของ 0.12 เขยนแทนดวย 0.12 และ - 0.12 เนองจาก ไมมเศษสวนใดทยกก าลงสองแลวเทากบ 0.15 ดงนน รากทสองของ 0.12 คอ 0.15 และ - 0.12 ตอบ 0.15 และ - 0.12 ตวอยางท 8 จงหา 64

วธท า เนองจาก 64 = 28 = ……………… ดงนน 64 = ……………… ตอบ ………………



ตวอยางท 9 จงหา - 2(-11)

วธท า เนองจาก - 2(-11) = - 121

= - 211 = ………………

ดงนน - 2(-11) = ……………… ตอบ ………………

ตวอยางท 10 จงหา 2(-13)

วธท า เนองจาก 2(-13) = 169 = ……………… = ………………

ดงนน 2(-13) = ……………… ตอบ ……………… ตวอยางท 11 จงหา 0.04

วธท า เนองจาก 0.04 = 2(0.2) = ……………… = ……………… ดงนน 0.04 = ……………… ตอบ ………………

ตวอยางท 12 จงหา - 1625

วธท า เนองจาก - 1625

= ………………

= ……………… = ………………

ดงนน - 1625

= ………………

ตอบ ………………



1) จงหารากทสองของจ านวนตอไปน

1) 196 2) 729 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3) 1,296 4) 110 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

5) 949

6) 25121

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 7) 0.0064 8) 0.000144 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

กจกรรมท 7.5 : ทกษะการคดวเคราะห แกปญหา สอสาร สอความหมาย และการเชอมโยง



2. จงหาคาของจ านวนตอไปน 1) 625 2) - 2601 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3) 12.96 4) - 0.0036 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

5) - 81625

6) - 2(-0.037)

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

3. จงหาค าตอบของสมการตอไปน 1) x2 = 36 ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2) x = 0.25 ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

3) x = 23

………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………



การหารากทสอง การหารากทสองของจ านวนจรงท าไดหลายวธ อาจใชการแยกตวประกอบ การประมาณ

การเปดตาราง และการใชเครองค านวณ ดงจะไดกลาวตอไปน

การหารากทสองโดยการแยกตวประกอบ

การหารากทสองโดยการแยกตวประกอบเปนสงทท าไดงาย โดยเฉพาะอยางยง การหารากทสองของจ านวนเตมบวกทสามารถแยกตวประกอบได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงหารากทสองของ 400 วธท า เนองจาก 400 = 2 2 2 2 5 5

= (225)2 = ………………………

และ 400 = (-20)2 ดงนน รากทสองของ 400 คอ ……………………… ตอบ ………………………

ตวอยางท 2 จงหา 1089 วธท า เนองจาก 1089 = 111133 = ……………………… = ……………………… = ………………………

และ 1089 = ……………………… ตอบ ………………………

ตวอยางท 3 จงหา - 1764 วธท า เนองจาก - 1764 = - 2×2×3×3×7×7 = ……………………… = ……………………… = ………………………

และ - 1764 = ……………………… ตอบ ………………………



จงหารากทสองของจ านวนตอไปนโดยการแยกตวประกอบ 1) 324 2) 484 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 3) 625 4) 1,024 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 5) 2,601 6) 3,025 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 7) 4,225 8) 4,900 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

กจกรรมท 7.6 : ทกษะการคดวเคราะห แกปญหา และการเชอมโยง



การหารากทสองโดยการเปดตาราง

นกคณตศาสตรไดสรางตารางส าเรจรปแสดงรากทสองทเปนบวกของจ านวนเตมบวกเพอความสะดวกและรวดเรวในการน าไปใชหารากทสองของจ านวนทกจ านวนตงแต 1 ถง 100 ในรป

ของ n ส าหรบหาคาประมาณของ n2, n3, n และ ตามตารางทก าหนดไว ตวอยางตารางแสดงรากทสองทเปนบวกของจ านวนเตมบวกมดงน (ดทายเลม)

n n2 n

15 16 17 18

225 256 289 324

3.873 4.000 4.123 4.243

ตามตาราง เมอ n ไมเปนจ านวนเตม คาทแสดงไวในชอง n จะเปนคาประมาณของจ านวนอตรรกยะ จากตารางขางตนใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1) หาคาของ 16 ตอบ……………………………… 2) หาคาประมาณของ 18 ตอบ……………………………… 3) หาคา n เมอ n 4.123 ตอบ……………………………… 4) หาคา n เมอ n2 = 324 ตอบ………………………………

ฝกสมอง ลองท าด



จากตารางทายหนงสอเรยน ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1. หาคาประมาณของ 20 ตอบ………………………………………………………………………………………………

2. หาคา n เมอ n2 = 1,521 ตอบ………………………………………………………………………………………………

3. หาคา n เมอ n 4.123 ตอบ………………………………………………………………………………………………

4. หาคา n เมอ n = 5,041 ตอบ………………………………………………………………………………………………

5. หาคาประมาณของ n เมอ n2 = 676 ตอบ………………………………………………………………………………………………

6. หาคาของ 961 ตอบ………………………………………………………………………………………………

7. หาคา n เมอ n2 = 4,624 ตอบ………………………………………………………………………………………………

8. หาคา n เมอ n 8.718 ตอบ………………………………………………………………………………………………

9. หาคา n เมอ n = 9,801 ตอบ………………………………………………………………………………………………

10. หาคาประมาณของ n เมอ n2 = 3,249 ตอบ………………………………………………………………………………………………




77..44 รากทสามรากทสาม

จดประสงคการเรยนร ดานความร : นกเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายของรากทสk,ของจ านวนจรงบวกหรอศนย ได 2. อ านและใช สญลกษณ 3 ได ถกต อง 3. หารากทสามของจ านวนจรงทก าหนดให โดยการประมาณ

การเป ดตาราง หรอการใช เครองค านวณ และน าไปใช แก ปญหาได 4. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได


ดานคณลกษณะ : ปลกฝงใหนกเรยน 1. มความรบผดชอบ 2. มความสนใจใฝร 3. มความรอบคอบ มระเบยบวนย 4. มความเชอมนในตนเอง 5. มวจารณญาณและท างานอยางเปนระบบ 6. ตระหนกในคณคา และมเจ ตคตทดตอวชา

คณตศาสตร

MATH

Series



รากทสาม

ใหนกเรยนพจารณาการแยกตวประกอบของจ านวนตอไปน

8 = 2 2 2 = 23

-8 = (-2) (-2) (-2) = …………… 27 = ……………………… = …………… -27 = ……………………… = ……………

จากขางตน ในทางคณตศาสตรเราเรยกวา 2 วาเปนรากทสามของ 8 ……… วาเปนรากทสามของ 8 ……… วาเปนรากทสามของ 27 ……… วาเปนรากทสามของ ………

บทนยาม ให a แทนจ านวนจรงใด ๆ รากทสามของ a คอ จ านวนจรงทยกก าลงสามแลวได a เขยนแทนดวยสญลกษณ 3 a ซงอานวา รากทสามของ a

จะได ( 3 a )3 = a

รากทสามของ 8 เขยนแทนดวยสญลกษณ 3 8 รากทสามของ -8 เขยนแทนดวยสญลกษณ 3 -8

เราหารากทสามของจ านวนจรงใด ๆ โดยใชบทนยามไดดงน

ตวอยางท 1 เนองจาก 33 = 27 ดงนน รากทสามของ 27 คอ 3 หรอ 3 27 = 3

ตวอยางท 2 เนองจาก (-5)3 = ………………. ดงนน รากทสามของ -125 คอ ………………. หรอ 3 -125 = ……………….

ตวอยางท 3 เนองจาก (0.1)3 = ………………. ดงนน รากทสามของ 0.001 คอ ………………. หรอ ………… = ……………

ตวอยางท 4 เนองจาก ไมมจ านวนเตมใดทยกก าลงสามแลวไดเทากบ 10 ดงนน จงเขยน 3 10 แทนรากทสามของ 10 3 10 เปนจ านวนอตรรกยะ



1. จงหารากทสามของจ านวนตอไปน 1) 27 2) 40 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3) 512 4) 650 …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

5) - 2764

6) 216729

…………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

7) 1850

8) 0.008

…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 9) 0.05 10) 0.000729 …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

2. จงหาคาของจ านวนตอไปน 1) 3 125 2) 3 343 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

3) - 3 -8 4) 364125

…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………




5) 327

512 6) 3 -0.008

…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 7) - 3 0.216 8) 3 0.000027 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

3. จงหาค าตอบของสมการตอไปน

1) x3 = 216 2) x3 = 350 …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

3) x3 = 0.027 4) x3 = -0.49 …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

5) x3 = 0 6) 3 x = -7 …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

7) 3 x = 25

8) 3 x = 1.3

…………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………



การหารากทสาม การหารากทสามโดยการแยกตวประกอบ การหารากทสามของจ านวนจรงใด ๆ อาจท าไดโดยการแยกตวประกอบ เพอเขยนใหอยในรป

ก าลงสาม แลวหารากทสาม ดงน

ตวอยางท 5 จงหา 3 343 วธท า เนองจาก 3 343 = 3 7 7 7

= 33 7 = 7

ดงนน 3 343 = 7 ตอบ 7

ตวอยางท 6 จงหา 3 -3375 วธท า เนองจาก 3 -3375 = 3 (-3) (-3) (-3) 5 5 5

= 33 (-3 5) = ……………… = ………………

ดงนน 3 -3375 = ……………… ตอบ ………………

ตวอยางท 7 จงหา 3216

42875

วธท า เนองจาก 3216

42875 = 3

2 2 2 3 3 35 5 5 7 7 7

= ……………… = ……………… = ………………

ดงนน 3216

42875 = ………………

ตอบ ………………



ตวอยางท 8 จงหา 3 -0.000729 วธท า เนองจาก 3 -0.000729 = ………………

= ……………… = ………………

ดงนน 3 -0.000729 = ……………… ตอบ ………………

จงหารากทสามของจ านวนตอไปน 1. -1 2. 20 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 3. 116 4. -1728 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

5. 275

6. - 27343

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 7. -0.064 8. 0.000343 ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………




การหารากทสามโดยการเปดตาราง

เราสามารถหารากทสามของจ านวนเตมบวก โดยการเปดตารางไดเชนเดยวกบการหารากทสอง ซงมตารางส าเรจรปไวแลว

ตวอยางตารางแสดงรากทสามของจ านวนเตมบวกมดงน (ดตารางทายเลม)

n n3 3 n

18 19 20 21 22

5832 6859 8000 9261

10648

2.621 2.668 2.714 2.759 2.802

ตามตาราง เมอ 3 n ไมเปนจ านวนเตม คาทแสดงไวใชในชอง 3 n จะเปนคาประมาณของจ านวนอตรรกยะ

จากตารางขางตนใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1) หาคาประมาณของ 3 21 ตอบ……………………………………….. 2) หาคา n เมอ n3 = 10648 ตอบ……………………………………….. 3) หาคา n เมอ 3 n 2.668 ตอบ……………………………………….. 4) หาคา n3 เมอ 3 n 2.802 ตอบ………………………………………..

ฝกสมอง ลองท าด



ปญหาชวนคด

จากตารางทายเลม ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน 1) หาคาประมาณของ 3 25

ตอบ………………………………………………………………………………………………

2) หาคา n เมอ n3 = 1728

ตอบ……………………………………………………………………………………………… 3) หาคา n เมอ 3 n 3.684

ตอบ……………………………………………………………………………………………… 4) หาคา 3 -n เมอ n = 80

ตอบ………………………………………………………………………………………………

5) หาคาประมาณของ 3 n เมอ n3 = 2197 ตอบ………………………………………………………………………………………………

6) หาคาของ 3 4096 ตอบ………………………………………………………………………………………………

7) หาคาของ 3 -10648 ตอบ………………………………………………………………………………………………

ลงถอแอปเปลมา 9 ผล แบงใหเดก 13 คน ควรจะแบงอยางไรจงจะยตธรรม




ใหน าตวเลขและสญลกษณทางคณตศาสตรทก าหนดมาใชใหครบทกตว โดยน ามาสราง

ความสมพนธใหทงสองขางของสมการเทากน กจกรรมนค าตอบอาจมไดหลายรปแบบ

ขอท ความสมพนธ ตวเลขและสญลกษณ 1 ( 16 + 3 64 )2 = 8 8 2, 8, 8, 16, 64, +, , , 3 , ( )

2 1, 8, 9, 64, +, +, , 3 , 3 3 2, 50, 125, , , , 3 4 4, 25, 343, -, , , , 3 5 2, 2, 3, 36, , , , , ( ) 6 3, 5, 15, 125, , , , , , 3

ก าหนดสมการใหดงน จงหาคาของ 2(xy) เมอ

x2 = 7,569

y3 = 79,507 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

ชวนคดคณตศาสตรชวนคดคณตศาสตร

คสราง คสม

ลองท ากจกรรมด แลวคณจะร

ชวนคดคณตศาสตรชวนคดคณตศาสตร

คณต…คดไมยาก

ลองท ากจกรรมด แลวคณจะร

หน่วยการเรียนรู้ที่7...

Documents