6 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

6ของไหล(Fluids)

หมายถงสสารซงสามารถไหลไดมรปรางไมแนนอนขนอยกบภาชนะทบรรจไดแก ของเหลวและกาซ

การศกษากฎเกณฑเบองตนเกยวกบของไหลไดแกของไหลทอยนง ซงเรยกวา อทกสถตศาสตร(hydrostatics) อนม ความดนในของไหล หลกของพาสคล หลกของอารคมดส และความตงผว สวนการศกษาทเกยวของกบของไหลเคลอนทซงเรยกวา อทกพลศาสตร(hydrodynamics) จะศกษา สมการการตอเนอง สมการของแบรนล และความหนด อทกสถตศาสตร

ของไหลทอยนงจะไมมแรงสมผส(tangential force) กระทา เพราะแรงนจะมผลให ชนของของไหลเลอนผานชนอนๆตอๆกนไป คอจะเกดการไหลนนเอง ดงนนสาหรบของไหลทอยนงจะมแรงกระทาตงฉากกบผวของไหลเทานน เรยกขนาดของแรงกระทาตงฉากนตอหนงหนวยพนทผววา ความดน(pressure) ความดนนจะสงตอไปยงสวนตางๆของของไหลและถงผวภาชนะในทศตงฉาก

เมอ P คอ ความดนมหนวยเปนนวตน/ตารางเมตรหรอ พาสคล 1 พาสคล = 1 N/m2

F⊥ คอ แรงกระทาตงฉากมหนวยเปนนวตน A คอ พนทมหนวยเปนตารางเมตร

จากรป แผนวตถแบนมพนท A ความหนา dy อยทระยะ y จากระดบอางอง ของไหลมความ

หนาแนน ρ มวลของสวนทพจารณาคอ ρAdy และมนาหนก ρgAdy จะเหนไดวาแรงเนองจากของเหลวทลอมรอบกระทาตงฉากททกๆจดบนผวของเหลว เนองจากของเหลวอยนง ดงนนแรงลพธทกระทา

dAdFP ⊥=

7 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

7ตอสวนของของไหลทพจารณาในแนวราบเปนศนย และแรงเหลานเปนแรงเนองจากความดนของของไหลเทานนดงนนความดนททกจดในระนาบราบทระยะyจะเทากนแรงลพธทกระทาในแนวดงเปนศนย เชนเดยวกนโดยแรงในแนวนนอกจากแรงเนองจากความดนทผวแลวกยงมแรงเนองจากมวลของของไหล สาหรบแนวดงจะได

( )

gdydP

gAdyAdPPPA

ρ

ρ

−=

++=

เนองจาก P และ g มคาเปนบวก ถาความสงจากระดบอางองเพมขน ความดนจะลดลง ถาให P1 และ P2 เปนความดนทตาแหนงซงสงจากระดบอางอง y1 และ y2 ตามลาดบเมออนทเกรต

∫ ∫−=2

1

2

1

P

P

y

y

gdydP ρ

จะได ถาให y2 คอระดบผวบนสดของของไหลในภาชนะเปด ดงนน

P2 คอ Pa (ความดนบรรยากาศ) และใหความดนทระดบ y1 คอ P

pa - p = - ρ g ( y2 - y1 )

เมอ h = y2 - y1 = สวนลกวดจากผวของของเหลว P - Pa เรยกวา ความดนเกจ(gauge pressure) ρ คอ ความหนาแนนมหนวยเปนกโลกรม/ลกบาศกเมตร

• ทกจดในระดบเดยวกนในของเหลวทอยนงจะมความดนเทากนและไมขนกบรปรางของภาชนะ โดยปกตความดนของของไหลขนกบระดบความลกเขยนเปนสมการได สาหรบกาซความหนาแนนมคานอยมาก ผลตางของความดนทจดสองจดทระดบตางกนไมมากนกม

คานอยมาก จงถอวา ความดนของกาซเทากนทกๆจด ในภาชนะทบรรจกาซ แตถาตองการหาความดนของอากาศทมระดบ h ตางกนมากๆเชน ความดนของอากาศทระดบนาทะเลและความดนของอากาศบนยอดเขา จะพบวาความดนของอากาศบนยอดเขานอยกวาความดนของอากาศทระดบนาทะเลเนองจาก เมอ y เพมขน

คา p จะลดลง จาก gdydp ρ−=

P2 - P1 = - ρ g ( y2 - y1 )

P = Pa + ρgh

P = ρgh

8 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

8อากาศเปนของไหลชนดทแรงกดดนทาใหปรมาตรลดลง จงมสมบตตางจากของเหลว ความ

หนาแนนของอากาศจะเปลยนแปลงตาม ความสง หรอตาม ความดน และยงเปลยนแปลงตาม อณหภม ซง

เปนไปตามกฎของกาซ RTpM

=ρ

เมอ p เปนความดน , M เปนมวลโมเลกล , T เปนอณหภมสมบรณ และ R เปนคาคงทของกาซ

dyRTpMgd −=ρ

dyRTMg

pdp

−=

ถาอณหภมของบรรยากาศคงททกระดบ(ซงไมจาเปนเสมอไป) อนทเกรตสมการขางบนจะได

∫∫ −=yp

pdy

RTMg

pdp

00

yRTMg

pp

−=0

ln

หรอ

เครองมอทใชวดความดนบรรยากาศ(Pa)คอ บารอมเตอร

(barometer)เชนบารอมเตอรปรอทซงประกอบดวยหลอดแกวขนาดเลกยาว บรรจปรอทจนเตมแลวควาลงในอางปรอทดงรปพบวาปรอทขนไปในหลอดสง 76 เซนตเมตร

ความดน 1 บรรยากาศ(atm)มคาเทากบ 1.01325 x 105 พาสคล หรอ เทากบ ความสงของลาปรอทในหลอดแกวทควาในอางปรอท 76 cm หรอ 760 mm

105 Pa = 1 บาร(bar) = 1000 มลลบาร( millibar) การวดคาความดนเกจ(P - Pa) ใช มานอ

มเตอร(manometer) มานอมเตอรรปตวUประกอบดวยหลอดรปตว U บรรจของเหลวม

ความหนาแนน ρ ปลายขางหนงตอกบทซงมความดน P ทตองการวด สวนปลายขางหนงเปดสบรรยากาศ

yrrtMg

ePP −= 0

9 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

9แรงดนเขอน

เมอระดบนาสง H นาจะออกแรงดนเขอนในแนวระดบ เสมอนวาเขอนจะเลอนไถลไปตามฐาน และ

เกดทอรก(torque)ทพยายามจะพลกเขอนใหหมนรอบแกนทผานจด O แรงลพธในแนวระดบ คอ

PdAdF = ความดน ณ ความสง y คอ P = ρgh ดงนน ( )wdyyHgdF −= ρ เมอ w คอ ความกวางของเขอน

( )dyyHgwFH

−= ∫ ρ0

221 gwHρ=

ทอรก ของแรง dF รอบแกนทผานจด O คอ

( )ydyyHgwydFd −==Γ ρ ทอรกรวมทงหมดรอบแกนผานจด O คอ

( )dyyHgLyH

−=Γ ∫ ρ0

361 gwHρ=

ถา x เปนความสงของนาเหนอจด O ซงแรงรวม F กระทาทจดนและเกดทอรกดงกลาว จะได

3

612

21 gwHxgwHxF ρρ =×=

Hx 31=

นนคอ แนวกระทาของแรงลพธอยเหนอฐานเขอน เทากบ 1/3 ของความลกของนา หรอ 2/3 ของ

ความลกจากผวนา

10 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

10

กฎของพาสคล จากรป ถาออกแรง F1 ทลกสบขนาดเลก ความดน P ทระดบความลกใดๆกจะเพมขนดวยคาเทากนนกวทยาศาสตรชาวฝรงเศส Blaise Pascal ไดพสจนความจรงขอนในปค.ศ.1653 และไดชอวากฎพาสคลซงกลาวไววา

“

ความดนทใชกดของไหลทบรรจอยในภาชนะปดยอมถกสงผานไบยงทกๆสวนของของไหลและผนง

ของภาชนะดวย ขนาดเทากนตลอด ”

จากรป เมอออกแรง F1 ทลกสบเลกซงมพนทหนาตด A1 ความดนทของเหลวไดรบ p =1

1AF จะสง

ตอไปทวทกสวนของของเหลวจนถงลกสบใหญซงมพนทหนาตด A2 ดงนนแรงทลกสบใหญมขนาด

1

212 A

AFF =

F1 คอ แรงดนทลกสบเลก F2 คอ แรงดนทลกสบใหญ

ตวอยางการใชกฎพาสคลเชนเครองอดไฮตรอลค ตวอยาง เครองยกรถยนตในสถานบรการแหงหนงประกอบดวยแรงดนทใชอากาศบนลกสบเลกทมพนท หนาตดทมรศม 5.0 เซนตเมตร ความดนถกถายทอดไปสลกสบใหญทมรศม 15.0 เซนตเมตร จะตองออกแรงดนทลกสบเลกกนวตน เพอทจะยกรถหนก 13,300นวตน

จาก 1

212 A

AFF =

( )( )

( )

N3

322

22

1048.1

103.13100.15100.5

×=

××

×=

−

−

π

π

11 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

11หลกของอารคมดสและแรงลอยตว

มปรากฏการณหลายอยางทแสดงวาของเหลวมแรงพยง(buoyant force) เชนเมอยกวตถในนาจะรสกวาหนกนอยกวาเมอยกวตถในอากาศ วตถเบาๆจะลอยไดในของเหลวโดยอาจจมไปเพยงบางสวน วตถทมความหนาแนนมากกวาของไหลจะจมในของไหล เชนเหลกจมนา แตถาทาใหเหลกมปรมาตรมากขนโดยมโพรงอากาศขางใน เหลกอาจจะลอยนาได ซงปรากฏการณเหลานอารคเมดส(Archimedes) ไดเปนผใหคาอธบายไวดงน

“ เมอวตถใดๆจมอยในของเหลวทงกอนหรอจมเพยงบางสวนกตาม ของเหลวจะออกแรงกระทาตอ

วตถในทศขน มขนาดเทากบขนาดนาหนกของของเหลวทถกวตถแทนท

แรงนคอแรงลอยตว ” พจารณาวตถทจมทงกอนหรอบางสวนในของไหลทอยนง ของไหลจะออกแรงกระทาตอทกๆสวนของผววตถทสมผสกบของไหลโดยแรงดนขนอยกบระดบความลกจากผวของไหลผลรวมของแรงดนทงหมด คอแรงในทศขนผานศนยกลางมวลของวตถนนและมขนาดเทากบขนาดนาหนกของของไหลทมปรมาตรเทาวตถซงอธบายไดวา ถาวตถถกแทนดวยของไหลชนดเดยวกบของไหลเดมทวตถจมอย และของไหลทงหมดหยดนง จะไดแรงดนขนเทากบนาหนกของของไหลทมาแทนทวตถพอด แรงดนขนนกคอแรงลอยตวนนเอง จะไดวา

แรงลอยตว = นาหนกของของไหลทแทนทวตถ นนคอ

ตวอยาง จงหาวานาแขงจะลอยโผลพนนารอยละเทาไรของปรมาตรทงกอน กาหนดความหนาแนนของ

นาแขงและของนาทะเลเปน 0.92 × 10 3 kg –m 3 และ 1.03 × 10 3 kg –m

3 ตามลาดบ

นาหนกของนาแขง W = ρVg = นาหนกของนาทะเลปรมาตรเทากบนาแขงสวนทจม ρI Vi g = ρw Vw g

ΟΟ==

××

== 8989.01003.11092.0

3

3

w

i

i

w

VV

ρρ

ปรมาตรนาแขงสวนทลอยนา = 100 % - 89 % = 11 %

gVgV sS ρρ =

12 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

12ความตงผว(surface tension)

เมอของเหลวรวออกจากรอยแตกเลกๆจะเหนเปนหยดๆตอเนองกน ไมไดไหลเปนสายตอเนอง เชนหยดนาเกลอทไหลออกจากหลอดปรบควาถของหยดในเครองใหนาเกลอคนไข เขมเยบผาหรอใบมดโกน เมอคอยๆ วางบนผวนา จะลอยไดไดโดยไมจมทงๆทมความหนาแนนมากกวานาหลายเทา หรอจมหลอดแกวทมรเลกๆลงในแกวนา นาจะขนไปในหลอดสงกวาระดบนาในแกว แตถาจมลงไปในปรอทกลบปรากฎวาระดบปรอทภายในหลอดตากวาระดบปรอทภายนอกหลอด ปรากฎการณเหลานเกยวของกบสมบตของเหลวทวาระหวางของเหลวและสารอนใดกตามจะมผวขอบเขตเปนฟลมบางๆกนอย ฟลมบางๆนจะอยในสภาพทขงตงคอมแรงดงอยในระนาบของฟลมน แรงดงนจะกระทาในทศตงฉากเรยกวา แรงดงผว แรงดงผวจงเกดจากแรงดงดดระหวางโมเลกลทอยสมผสกน แรงระหวางโมเลกลทอยตดกนมธรรมชาตพเศษคอ เมออยใกลชดกนเกนไป จะเกดแรงผลก แตเมออยหางกนเกนขดจากดขดหนงจะดงดดกนคลายแรงสปรง

พจารณาของเหลวทอยในภาชนะเปดสอากาศ โมเลกลทอยตดกบผวสมผสกบอากาศจะมโมเลกลขางเคยงทกดานยกเวนดานทสมผสกบอากาศ แรงดงดดระหวางโมเลกลจะอยในแนวขนานกบผว สวนโมเลกลทอยลกลงไปจากผวจะมแรงดงทกดาน เมอสมดลจงหกลางกนไป เมอพจารณาทผว แรงดงซงกนและกนระหวางโมเลกลทอยตดกนจงมทศทางสมผสกบผว ทาใหผวมความตงเสมอนเปนผนงกน

เมอวางเขมทผวแหงลงบนผวของ เหลว นาหนกของเขมจะกดผนงลงทาใหผนงบมลงเลกนอย เมอนาหนกของเขมไมมากเกนไป ผวจะไมฉกขาด เขมกจะลอยอยบนผวของเหลวได แรงลอยตวของของเหลวทเกดจากปรมาตรทถกแทนทนนนอยมากจนไมตองนามาคด แรงทใชยกนาหนกของเขมจงเกดจากแรงตงผวทเปนสวนประกอบทแตกขนตามแนวดง (เมอผวของเหลวบมลง แรงตงผวจะมทศชเฉยงขนจากแนวระดบตามรอยบม)แรงตงผวจะมทศทางตงฉากกบผวเสมอ

13 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

13

ลวดวงแหวนทมเสนดายเลกๆผกเปนบวงตรงกลาง เมอจมลวดวงแหวนลงในนาสบแลวคอยๆยกขนจากนาสบ จะปรากฎแผนฟลมของนาสบตดอยภายในลวดวงแหวนและมเสนดายตดกบแผนฟลมขนมาดวย เมอสะกดแผนฟลมของนาสบทอยภายในบวงของเสน ดายใหขาด จะพบวาเสนดายสวนทผกเปนบวงจะถกแผนฟลมของนา สบดงออกทกดานและเปนบวงวงกลม ทเปนเชนนเพราะแรงดงผวทโมเลกลของนาสบดงเสนดายออกในแนวรศมของบวงและมทศทาง

สมผสผวของนาสบและตงฉากกบวงกลมของเสนดาย แรงลพธทกระทาตอบวงเสนดายวงกลมจงเปนศนย เครองมอทแสดงใหเหนผลจากแรงดงผว ประกอบดวยเสนลวดทดดเปนรปตวย(U) และเสนลวดตรงทปลายทงสองขางทาเปนบวงสวมเขากบขาตวยพอด และทาใหไถลขนลงไดสะดวก สวนบนของตวยควาผกดวยดายเหนยว เมอจมชดทดลองนลงไปในนาสบแลวยกขนชาๆ จะมแผนฟลมของสบตดขนมาดวย และเมอแขวนในแนวดง นาหนก W1(ไมมากเกนไป)ของเสนลวดไถลนจะดงแผนฟลมของสบลง ในขณะสงเกตครงแรก จะพบวาเสนลวดไถลนจะถกแผนฟลมของสบดงขนสดานบนสดอยางรวดเรว และเมอแขวนนาหนก W2 แผนฟลมจะถกดงลงและเสนลวดไถลอยในสมดล แผนฟลมจะมผวสมผสกบเสนลวดไถลสองดาน

อตราสวนของแรงตงผวตอหนวยความยาว(ตงฉากกบแรง)ทถกแรงนกระทาเรยกวา ความตงผว นน

คอ LF

=γ

เมอ γ คอ ความตงผว มหนวยเปน นวตนตอเมตร(N/m) F คอ แรงดงผว มหนวยเปน นวตน L คอ ความยาว(ตงฉากกบแรง)ทถกแรงกระทา

จากสมการ LF

=γ ถาคณ s ทงเศษและสวน จะได A

WsLsF=

××

=γ

เมอ W คอ งานของแรงตงผว และA เปนพนทผวทเพมขน จงอาจใหนยามของ ความตงผว ไดวา คอ งานทใชในการสรางผวตอหนงหนวยพนท กได

ทดลองวดความตงผวไดอกวธหนงโดยใชขดลวดวงกลมเสนรอบวง 2πR ผกดวยเชอกจมลงในของเหลวแลวคอยๆยกขน อานคาของแรงดง T ขณะท

ขดลวดกาลงหลดจากผวของเหลวพอด หาคา γ ไดจาก R

Fπ

γ4

=

เมอ F = T - W

14 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

14ถาผวของเหลวสมผสกบอากาศหรอไอของของเหลว จะพบวาความตงผวขนกบอณหภมเทานน

โดยปกตคาความตงผวลดลงเมออณหภมสงขน คาความตงผวของของเหลวชนดตางๆ

หยดของเหลวทตกภายใตความโนมถวงในสญญากาศ จะมรปรางเปนทรงกลมเสมอ เพราะแรงดงผว

จะพยายามทาใหหยดของเหลวมพนทนอยทสด วตถทมปรมาตรเทากน พนทผวจะนอยทสดเมอเปนทรงกลม ความดนภายในฟองสบ ฟองสบเปนรปทรงกลมผวบางมากจนรศมภายในและภายนอกเกอบเทากนจนถอวาเทากนได ความดนภายใน P จะมากกวาความดนภายนอก Pa แตฟองสบไมแตกเพราะมแรงดงผวชวย เมอพจารณาฟองสบครงซกพบวาแรงดนภายในจะดนออกทกดานในแนวตงฉากกบผว สวนผวดานนอกกจะมแรงดนเนองจากบรรยากาศและตงฉากกบผวเชนกน ทขอบของคร งทรงกลมของแผนฟลมของฟองสบจะมแรงดงผวมาทางซายมอสมผสกบผวทงดานนอกและ

ดานในฟองสบแรงดงผว เมอฟองสบอยในสมดล แรงดนภายในจะเทากบผลบวกของแรงดนภายนอกกบแรงดงผว เมอพจารณาแรง ผลลพธทเกดจากความดนภายในและความดนภายนอกทแตกในแนวระดบ(ใน

แนวขนานกบแรงดงผว) จะเทากบความดนคณดวยพนทเงาของครงทรงกลมคอ πR 2 เมอ R เปนรศมของฟองสบ จากกฎขอทหนงของนวตน แรงลพธทกระทาตอครงฟองสบจงเปนศนย

นนคอ P ( πR 2 ) = Pa ( πR 2 ) + F

P ( πR 2 ) = Pa ( πR 2 ) + 4πγR

15 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

15

RPP a

γ4=−

มมสมผส ความตงผวทกลาวเปนเรองเกยวกบฟลมผว

ระหวางของเหลวกบอากาศ แตยงมฟลมผวระหวางของแขงกบของเหลว ระหวางของเหลวกบไอของของเหลวดวย ฟลมเหลานมความหนาเพยง 2-3 โมเลกลเทานน

ให γsl คอ ความตงผวของฟลมของแขง และของเหลว

γsv คอ ความตงผวของฟลมของแขง และไอ γlv คอ ความตงผวของฟลมของเหลวและไอ

สวนโคงนนหรอเวาของผวของของเหลวตดกบผนงของภาชนะขนกบผลตางของ γsv กบ γsl

ในรป ก γsv มากกวา γsl แนวของจดตดกนระหวางฟลมผวทงสามชนดจะโคงขนโดยมมสมผสจะ

อยระหวาง 0 – 90 องศา

ในรป ข γsv นอยกวา γsl แนวของจดตดกนระหวางฟลมผวทงสามชนดจะโคงลงโดยมมสมผสจะอยระหวาง 90 – 180 องศา

ในรป ค γsv มคาใกลเคยง γsl มมสมผสจะเปน 90 องศา

16 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

16คามมสมผสของของเหลวชนดตางๆกบภาชนะททาดวยวสดตางกน

การเตมนาสบหรอผงซกฟอกลงในนาเปนการลดขนาดมมสมผส ทาใหนาซมเขาผางายขนและทาให

สงสกปรกหลดออกงายขน ในทางตรงกนขามถานาผาไปอาบดวยสารกนนาจะทาใหขนาดมมสมผสระหวางนากบผาทอาบดวยสารกนนาเพมขนทาใหผาไมเปยกนา ปรากฎการณcapillarity

ปรากฎการณอนเนองมาจากความตงผวคอ การทของเหลวไหลเขาไปในหลอดรเลกๆเรยกวาสภาพคะปลลา เชนการซมของนาขนบนกองทราย การซมของนามนขนไปในไสตะเกยง การดดนาของรากไมบางสวน

พจารณาของเหลวทขนไปในหลอดคะปลลาสง y รหลอดมรศม r ของเหลวจะ

สมผสกบหลอดเปนระยะทาง 2π r โดยทแรงเนองจากความตงผวกระทาในทศขน

F = 2π rγ cosθ จะสมดลกบแรงลงคอนา

หนกของของเหลวในหลอด W = ρgπ r 2 y ดงนน

2π rγ cosθ = ρgπ r 2 y

gry

ρθγ cos2

=

17 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

17ความหนด (Viscosity)

ของไหลทกชนดยอมมสมบตอยางหนงคอ เมอมวตถเคลอนทผานหรอเมอมนไหลผานวตถใดๆจะมแรงเสยดทานกระทาตอวตถโดยของไหลนนๆเสมอ สมบตของของไหลทตานทานการเคลอนทของวตถนเรยกวา ความหนด (viscosity) และแรงตานทานการเคลอนททเกดจาก

ของไหลนเรยกวา แรงหนด (Viscous force) หรอแรงเสยดทานภายใน เมอของไหลทมความหนดเคลอนท จนตนาการไดวา ของไหลถกแบงออกเปนชนๆ แตละชนบางมากเปรยบเสมอนแผนกระดาษทประกอบเปนหนงสอ สมมตของไหลถกประกบอยระหวางแผนแกวสองแผนขนานกน แผนลางตรงอยกบท แผนบนถกแรงขนานกบแผนแกวดงใหเคลอนท ชนของไหลทตดอยกบแผนบนจะเคลอนทตดไปกบแผนแกวและมความเรวเทากบแผนแกว แตชนบางๆแตละชนทอยตาลงไปจะ

เคลอนทตามไปแตจะมความเรวชาลงไปเรอยๆ จนถงชนลางสดทอยตดกบแผนแกวแผนลางจะไมเคลอนทเลยการไหลแบบนเรยกวา ไหลแบบลามนารหรอแผนบาง (Laminar flow) ซงจะทาใหเกดแรงเสยดทานภายในระหวางชนลามนา เมอพจารณาแผนกระดาษทประกอบกนเปนหนงสอ จะเหนไดชดเจน เมอออกแรงทปกหนงสอดนผวปกตามแนวขนานกบปกบน โดยมผวปกดานลางตรงอยกบโตะ ปกหนงสอดานบนจะเยไปตามแรง กระดาษแผนแรกทอยตดกบปกจะเคลอนทไปตามปก แผนลางลงไปจะเยตามแผนแรก แตระยะทางเคลอนทจะนอยกวาแผนบนสด และลดหลนลงไปเรอยๆจนกระทงถงแผนสดทายซงจะไมเคลอนทเลย คออยตดกบแผนปกดานลาง ลกษณะคลายดงรป เมอพจารณาสวนหนงของของไหลคอ abcd ขณะยงไมมแรง F กระทาจะมรปรางเหมอนเปนแทงสเหลยมทอยระหวางแผนขนาน เมอออกแรง F คงทดงใหแผนบนเคลอนทไดขณะหนง แผนบนเคลอนทไดระยะทางสมมตใหเทากบ x ชนของไหลทอยตดกบแผนบนจะเคลอนทไดระยะทาง x ดวย แตชนถดลงมาจะไดระยะทางนอยกวา x และจนในทสดชนลางสดจะไมเคลอนท แตละชนใชเวลาเคลอนทเทากน ชนบนสดจงมความเรวสงสด และเทากบความเรวของแผนบนทถกแรง F ดง

รป การไหลแบบลามนารของของไหลทมความหนด

18 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

18สมมตใหมความเรวเทากบ v เมอเวลามากขนระยะทางทแตละชนเคลอนทจากตาแหนงเดมกมาก

ขนดวย และลดหลนกนลงมาเรอยๆ เชนกน แรง F ทกระทาขนานกบพนผว A ของแผนบนจะทาใหเกดความเคนเฉอย F/A ขนทชนของของไหล อตราสวนของระยะทางทของไหลแตละชนเยไปจากเดม ตอความสงจากแผนลางถงชนนนๆ (d) เรยกวา ความเครยดเฉอน ซงจะมคามากขนเรอยๆ ตราบเทาทมการเคลอนทในสภาวะทเปนของแขงความเคนจะมคาแปรผนตรงกบความเครยด สาหรบของไหลไมเปนเชนนน กลาวคอความเครยดมคาไมคงทแตจะมคามากขนเรอยอยางตอเนอง โดยไมมขอบเขตจากดตราบเทาทยงมความเคนกระทาอยในกรณของไหลความเคนจงแปรผนตรงกบอตราการเปลยนแปลงของความเครยดเฉอน นนคอ

เมอ v เปนอตราเรวของชนลามนารชนบนสด และ L เปนความหนาของชนของไหลทงหมด

ให η (อานวา อตา) แทนสมประสทธแหงความหนด หรอเรยกยอๆวาความหนด โดยกาหนดวาความหนดคอ อตราสวนระหวางความเคนเฉอนตออตราการเปลยนแปลงของความเครยดเฉอน นนคอ

dvAF

//

=η หรอ dvAF η=

ของไหลทไหลไดงาย เชน นา และแกสโซลน จะมคาความหนดนอยกวาของไหลทไหลไดยาก เชน นาผงหรอนามนเครอง ความหนดของของไหลทกชนดจะเปลยนแปลงตามอณหภมอยางเหนไดชดเจน เมออณหภมเพมขนของไหลทเปนแกสจะมความหนดมากขน แตของไหลทเปนของเหลวจะมความหนดลดลง หนวยของความหนดกคอ หนวยแรงคณเวลาหารดวยหนวยของพนทคณความเรว นนคอ ในหนวย SI จะเปน 1 N.s/m2 ในหนวย cgs จะเปน 1 dyn . s/cm2 ซงเปนหนวยทยงคงใชกนอยเปนประจา ซงเรยกวา พอยส (poise) เพอเปนเกยรตแกนกวทยาศาสตรชาวฝรงเศส ชอ Jean Louis Marie Poiseuille

1 poise = 1 dyn . s/cm2 = 10 - 1 N.s/m2

ความหนดของนาทอณหภม 0° C เทากบ 1.79 cp และทอณหภม 100° C เทากบ 0.28 cp ความหนดของ

นามนหลอลนของเครองยนตอยระหวาง 1 ถง 10 poise และความหนดของอากาศท 20° C จะเทากบ 181μp

ในสมการ dvAF η= ไดมาจากกรณพเศษคอ เมอความเรวของชนลามนารเพมขนดวยอตราคงท

ดงรป จากชนลางสชนบน ในกรณทวไปอตราการเปลยนความเรวของชนลามนารในทศทางตงฉากกบ

ทศทางของการไหลจะเปนอตราสวนระหวางผลตางของขนาดของความเรว Δv ของชนลามนารซงหนา Δy และเมอพจารณาชนลามนารทมความหนานอยๆ dy ผลตางของขนาดความเรวเปน dv เมอแนว y เปน

แนวตงฉากกบทศทางการไหล ดงนนสมการทวไปของสมการ dvAF η= จงอาจเขยนไดเปน

dydvAF η=

อตราการเปลยนแปลงของความเครยดเฉอน = dvL

dtdx

=/

19 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

19ของไหลจรงทเปนไปตามสมการ

dvAF η= เรยกวา ของไหลแบบนวโตเนยน (Newtonian fluids) ซงก

เปนของไหลจรงตามอดมคตอยนนเอง แตมของไหลจรงอกหลายชนดทไมเปนไปตามสมการ

อยางไรกดสมการ dvAF η= กยงเปนสมการตนแบบทมประโยชนมากในการอธบายสมบต

ของของไหลไดเปนอยางด กฏของสโตก (Stokes’ law) เมอของไหลทมความหนดไหลผานวตถทมรปรางเปนทรงกลมแบบสายกระแส หรอวตถทรงกลมเคลอนทผานของไหลทมความหนดทอยนง จะมแรงเสยดทานกระทาตอทรงกลม (วตถทมรปทรงแบบอนกมแรงชนดนกระทาดวยเชนกน) และแรงเสยดทานภายในหรอแรงหนดทกระทากบทรงกลมจะมรปแบบเฉพาะดงน

เมอ η คอสมประสทธแหงความหนดของของไหล , r และ v เปนรศม และอตราเรวของทรงกลมตามลาดบ ความสมพนธดงกลาวน Sir George Stoke เปนผพสจนไดในป พ.ศ. 2388 (ค.ศ. 1845) จงเรยกวากฏของสโตก เมอทรงกลมถกปลอยใหหลนจากหยดนง (v = o) ใหเคลอนทลงตามแนวดงผานของไหลทมความหนด แรงหนดทกระทาตอทรงกลมในตอนเรมเคลอนทจะเปนศนย แรงอนๆทกระทาตอทรงกลมจะมเพยง

สองแรงคอ แรงโนมถวงหรอนาหนกของทรงกลมเองกบแรงลอยตวของของไหล ถา ρ0 เปนความ

หนาแนนของทรงกลม , ρ เปนความหนาแนนของขอไหล และ m เปนมวลของทรงกลม เนองจากแรงลพธทกระทาตอทรงกลมจะเทากบผลคณของมวลของทรงกลมกบความเรงของมน

ความเรงขณะเรมตนเคลอนท (ao) ซงเปนความเรงสงสดจงหาไดโดยใชกฎขอทสองของนวตน คอ

ขณะททรงกลมเคลอนทลงตามแนวดงดวยความเรว v แรงเสยดทานเนองจากความหนดจะมขนาดแปรผนตรงกบความเรวของทรงกลมแตมทศทางตรงกนขาม แรงเสยดทานนจงมทศทางชขนตามแนวดง ทาใหแนวผลลพธซงมทศทางชลงตามแนวดงจะมขนาดลดลงและสมการการเคลอนทจะเปน ดงน

arrvgrgr 033

03

346

34

34 ρππηρπρπ =−−

และเมอ v มากขนเรอยๆ a จะลดลงเรอยๆจนในทสดเมอ a เปนศนย วตถทรงกลมจะเคลอนทลง ดวยความเรวคงทและเรยกความเรวคงทนวา ความเรวทาย (Terminal velocit y , vT ) และสามารถหาไดจากสมการขางบนเมอ a = o นนคอ

rvF πη6=

0

0

ρρρ −

=a

( )ρρη

−= 0

2

.92 grvT

20 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

20

สมการ ( )ρρη

−= 0

2

.92 grvT จะใชไดเมอ vT ไมมากเกนไปจนเกดการไหลอลวน ซงเมอเกดการไหล

อลวนของของไหล แรงตานทานการเคลอนทจะมคามากกวาแรงหนดตามกฏของสโตกเปนอยางมาก การไหลจะเปนแบบลามนาร(Laminar) หรอไหลแบบอลวน(turbulent)ขนอยกบปจจย 4 ประการคอ

1. ความหนาแนนของของไหล(ρ)

2. ความเรวเฉลย(v)

3. ความหนด(η)

4. เสนผาศนยกลางทอ(D)

ทง 4 คารวมกนเรยกวา เลขจานวนเรโนลดส (Reynolds number , NR) เขยนเปนความสมพนธไดวา

ถา เลขจานวนเรโนลดส มคาไมเกน 2,000 การไหลจะเปนแบบลามนาร แตถาเกน 3,000 การไหลจะเปนแบบอลวน ถาอยระหวาง 2,000 และ 3,000 การไหลไมแนนอน อาจเปนลามนาร หรอแบบอลวน กได

เชนการไหลของนาท 20 ° C (η = 10- 3 N-s-m- 2) ผานทอซงมเสนผาศนยกลาง 1.0 ซม. ดวยความเรวเฉลย

10.0 cm/s เลขจานวนเรโนลดสเทากบ 1,000 เปนการไหลแบบลามนาร แตถานาท 20 ° C มความเรวเฉลย เกน 30.0 cm/s เปนการไหลแบบอลวน

การไหลของอากาศผานทอซงมเสนผาศนยกลาง 1.0 ซม. ทความเรวเฉลย 30.0 cm/s เปนการไหลแบบลามนาร จะเปนแบบอลวนจะตองมความเรวเฉลยเกน 4.20 m/s

ηρvDN R =

21 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

21พลศาสตรของไหล(Fluid Dynamics)

เมอของไหลเคลอนทสมบตบางประการของของไหลจะเปลยนไป เชน ความดน แมจะอยในระดบเดยวกนในภาชนะเดยวกน คาความดนกอาจจะไมเทากน ทเปนเชนนแสดงวามนเกยวของกบพลงงานจลนของของไหลขณะกาลงเคลอนท เชน การไหลของกระแสนาในแมนาหรอกระแสนาหลาก หรอการเคลอนทของควนบหร อนภาคของนาหรอควนทเคลอนทจรงๆยอมมความสลบซบซอนยากทจะคาดคะเนไดถกตองสมบรณ ของไหลทไหลอยางไมเปนระเบยบ กระแสของการไหลจะสลบซบซอนอลวน แตในสภาวะทเหมาะสมกระแสของ

การไหลจะเปนระเบยบไมเกดการอลวน ซงในสภาวะเชนนเราเรยกวา การไหลแบบสายกระแส(Streamline flow) การไหลในลกษณะเชนน สายกระแสแตละสายจะไมพนหรอไขวกนแตจะไหลลไปตามกน อนภาคทประกอบเปนของไหลในแตละสายจะอยในสายเดมตลอดเวลา และทกอนภาคทเคลอนทในสายใดสายหนงเมอเคลอนทผานจดตรงจดหนงในสายนนๆความเรวของทกอนภาคจะเทากนหมด ในกรณพเศษถาถอวาของไหลนเปนชนดทแรงกดดนไมทาใหปรมาตรของมนเปลยนแปลง (Incompressible fluid) ในขณะทไหลไมมแรงเสยดทานระหวางสายกระแสหรอไมมความหนด ซงเราจะเรยกวา ของไหลอดมคต(Ideal fluid) แกสทมความดนคงทหรอมผลตางความดน ณ บรเวณใกลเคยงไมมากเกนไป กถอวาเปนของไหลอดมคตได แรงเสยดทานภายในระหวางชนขณะกาลงไหลจะกอใหเกดความเคนเฉอน ดงนน ของไหลในอดมคตมสมบตดงน

1. ไมมความหนด(nonviscous) 2. ไหลแบบสายกระแส(laminar) 3. ไมมการบบอด(incompressible) 4. ไมมการหมน(irrotational)

สมมตของไหลอดมคตไหลในทอทมพนทหนาตดเปลยนแปลง มวลของของไหลทไหลผานพนทภาคตดขวางใดๆในเวลาเทากนจะมคาเทากนเสมอ ถาของไหลทไหลผานพนทภาคตดขวาง A1 มอตราเรว v1 และไหลผานพนทภาคตดขวาง A2 มอตราเรว v2 ในเวลา dt มวลของของไหลทไหลผานพนท A1 และ A2 ใหเปน dm1 และ dm2 ตามลาดบ

22 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

22

dm1 = ρA1 ds1 = ρ A1 v1 dt dm1 = ρA2 ds2 = ρ A2 v2 dt เมอ ρ , ds1 และ ds2 เปนความหนาแนนของของไหลระยะทางทของไหลไหล– ไหลผานพน A1 และ A2 ในเวลา dt ตามลาดบ ดงนน dm1 = dm2

หรอ ρ A1 v1 dt = ρ A2 v2 dt หรอ A1 v1 = A 2 v2 = คงท

เรยกสมการนวา สมการตอเนอง(Continuity equaion) ปรมาณ Av กคออตราการไหลของปรมาตร

จงสามารถกลาวไดวา ของไหลอดมคตเมอไหลในทอ อตราการไหลของปรมาตรจะมคาคงท

หรอ == AvdtdV คงท

เมอ dtdV เปนอตราปรมาตรของของไหลทไหลผานภาคตดขวางของทอ เมอพนทภาคตดขวางใหญขน

อตราเรวของสายกระแสจะลดลง นาทไหลในแมนาเมอไหลผานบรเวณทแคบกระแสนาจะไหลเรว ในขณะทเมอไหลผานบรเวณแมนาทกวางกระแสนาจะไหลชา หรอถาแมนากวางสมาเสมอ บรเวณนาตนกระแสนาจะไหลเรว บรเวณนาลกกระแสนาจะไหลชา แตอตราการไหลของนาทไหลผานทงสองบรเวณจะเทากน(ตามอดมคต) นาทไหลในทอทมเสนผานศนยกลาง 1ซม.จะมอตราเรวมากกวานาทไหลผานทอทมเสนผานศนยกลาง 2 ซม. (ซงเชอมตดกน) ถงสเทา สมการของแบรนลล (Bernoulli s Equation) จากสมการตอเนอง เมอของไหลอดมคตไหลในทอทมพนทภาคตดขวางเปลยนไป อตราเรวของการไหลจะเปลยนไปดวย ทาใหพลงงานจลนตอหนงหนวยมวลของของไหลเปลยนไปดวยและถาทอไมอยในแนวระดบ พลงงานศกยตอหนงหนวยมวลของของไหลกเปลยนไปดวย ดงนนความดนของของไหลในทอทตาแหนงตางๆกจะเปลยนไปดวย นนหมายความวาความดนของของไหลขณะทกาลงไหลในทอจะขนอยกบอตราเรวของสายกระแสและขนอยกบตาแหนงความสง ณ ภาคตดขวางนนๆดวย

23 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

23 เมอของไหลไหลขนตามทอ ณ ตาแหนงสงจากพน y1 มภาคตดขวาง A1 ของไหลมอตราเรว v1 และ ณ ตาแหนงสงจากพน y2 ภาคตดขวางของทอเปน A2 ของไหลมอตราเรว v2 เมอ A1 และ A2 ไมเทากน v1 และ v2 กยอมไมเทากน ดงนนมวลของของไหลในชวงนกจะไหลดวยอตราเรง แสดงวาแรงลพธทกระทาตอมวลของไหลในชวงนไมเปนศนย ณ ภาคตดขวางของทอเสมอนมแผนลกสบบางๆ ซงมขนาดเปลยนแปลงไดตามภาคตดขวางของทอ ดงนนของไหลทอยทางดานซายของพนท A1 จะออกแรงดนลกสบ A1 ดวยขนาดของแรง P1 A1 ไปทางขวา ในขณะเดยวกนของไหลทอยทางดานขวามอพนท A2 กจะออกแรงดนลกสบ A2

มาทางซายมอดวยขนาดของแรง P2 A2 นนกคอ แรงทกระทาตอของไหลจงมาจากของไหลดานขางเคยง เมอแรง P1 A1 ไมเทากบ P2 A2 มวลกเคลอนทมความเรง ถาเวลาของการไหลผานไปเพยงเลกนอย, dt, ปรมาตรของของไหลทไหลผานพนท A1 และ A2 ยอมเทากนใหเปน dV โดยท dV = A1 ds1 =A2 ds2 เมอ ds1 และ ds2 เปนระยะทางทลกสบ A1 และ A2 เคลอนท เมอใชกฏอนรกษพลงงาน ณ ตาแหนงสง y1 และ y2 ทวางานผลลพธของแรงภายนอกทกระทาตอมวลจะเทากบผลตางของพลงงานกลของมวล ณ ตาแหนงทงสอง แรงภายนอก P1 A1 ทางานและไดงานเทากบ P1 A1 ds1 แตแรง P2 A2 ทางาน แตเสยงาน(ถอยหลง) เทากบ P2 A2 ds2 ดงนนงานผลลพธในชวงเวลา dt ใหเปน d dW = P1 A1 ds1 – P2 A2 ds = P1 dV – P2 dV = (P1 - P2) dV ผลตางของพลงงานกลในชวงเวลา dt ใหเปน dE 1

112

12

222

1 dmgydmvdmgydmvdE −−+=

( ) ( )1221

2221 2

1 yygvvpp −+−=− ρρ

นคอสมการของแบรนลล ซงอาจกลาวไดวา งานตอหนงหนวยปรมาตรของของไหล (P1 – P2) มคาเทากบผลบวกของพลงงานจลนและพลงงานศกยทเปลยนไปตอหนงหนวยปรมาตรทเกดขนขณะทกาลงไหล

22221

211 2

121 gyvpgyvp ρρρρ ++=++

ดงนน ซงหมายความวา ผลบวกของ

ความดน พลงงานจลนและพลงงานศกยตอหนงหนวยปรมาตรจะมคาคงทเสมอ ตวอยาง เครองมอทใชวดอตราเรวของการไหลของของเหลว ในทอเรยกวา เวนจรมเตอร (Venturimeter) ดงรป จงหาอตราเรว V1 ในเทอมของพนทภาคตดขวาง A1 และ A 2 และผลตางของระดบความสงของของเหลวในหลอดทตงในแนวดง

=++ gyvp ρρ 21 2

1 คาคงท

24 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

24วธทา กาหนดใหตาแหนงท 1 และท 2 อยใต หลอดและอยในแนวระดบตามแนวศนยกลางของทอ

และให y1 = y2 = 0 จากสมการของแบรนลล

จาก 22221

211 2

121 gyvpgyvp ρρρρ ++=++

A1 v1 = A 2 v2

212

2

21

21 121 v

AApp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− ρ

22

21

22

12

AAghA

v−

=

ตวอยาง แรงยกปกเครองบน ในขณะทเครองบนกาลงเคลอนทดวยความเรว v กระแสอากาศจะไหล

ผานปกเครองบน ภาคตดขวางของปกเครองบนไดออกแบบเปนรปกระสวย เพอใหกระแสอากาศทผานไมเกดการอลวน พนผวดานบนของปกจะมลกษณะโคงพลวลม พนผวดานลางของปกเปนพนราบ ดงรป ถาพนทผวปกดานลางเทากบ A และอากาศมความหนาแนน จงคานวณหาแรงยกปกเครองบนถากระแสอากาศทไหลผานผวบนของปกเปน V

วธทา เนองจากผวดานบนของปกโคง เมออากาศไหลผานปก อากาศทไหลผานผวบนจะเคลอนทเปน

ระยะทางยาวกวาทอากาศไหลผานผวลางของปก แตสายกระแสอากาศใชเวลาเดนทางเทากนจากหวปกถงหางปก โดยหลกการเคลอนทสมพทธอากาศทไหลผานผวลางจะมความเรวเทากบเครองบน (โดยประมาณ)

จากสมการของแบรนลล

จาก 22221

211 2

121 gyvpgyvp ρρρρ ++=++

ΔP = P1- P2 มคาเปนบวก เพราะวา P1 มากกวา P2 ทงนเพราะ v นอยกวา V แรงดนปกเครองบนอนเนองมาจากผลตางของความดนทผวลางและผวบนของปก จงเปนแรงยก ใหเทากบ F

( ) ( )AvVApF 22

21

−=Δ= ρ

25 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

25ถาเครองบนทงลามนาหนกรวม W และเครองบนบนอยในแนวระดบพอด แรงลพธในแนวดง

เทากบศนย ดงนน ( ) ( )AvVApWF 22

21

−=Δ== ρ

แรงยกพลวต (Dynamic Lift) เมอวตถทมรปทรงเปนทรงกลม เชน ลกฟตบอล ลกเทนนส ลกกอลฟ ลกปงปอง เปนตน เคลอนทผานของไหล หรอในทางตรงกนขามของไหลเคลอนทผานลกบอลเหลาน เมอของไหลไหลแบบสายกระแส สายกระแสทไหลผานทรงกลมทกดานจะมอตราเรวเทากนหมด(ดานหลงทรงกลมจะเกดกระแสอลวนบางเลกนอยและในทนจะไมนามาคด) แตเมอทรงกลมหมน สายกระแสของไหลทอยชดกบผวของทรงกลมทหมนไปทางเดยวกบสายกระแสจะมอตราเรวสงขนกวาเดม ในขณะทสายกระแสของของไหลทอยชดกบผวของทรงกลมทหมนตรงกนขามกบสายกระแสทอยชดกบผวของทรงกลมทหมนตรงกนขามกบสายกระแสจะมอตราเรวชาลงกวาเดมดงรป ซงมผลทาใหความดนทผวของทรงกลมดานทอตราเรวของสาย

กระแสสงกวา มคานอยกวาความดนทผวของทรงกลมดานทสายกระแสมอตราเรวตากวา ผลตางความดนนจงทาใหเกดแรงยกพลวตผลกใหทรงกลมเคลอนทเบนไปทางทแรงกระทา ดงรปเชน ถาลกบอลหมนในระนาบดงโดยหมนตามเขมนาฬกา ขณะกาลงเคลอนทไปทางขวามอในอากาศ จะถกแรงพลวตดงลงขางลาง ทาใหลกบอลตกสพนดนเรวกวาปกต แตถาลกบอลหมนทวนเขมนาฬกา แรงพลวตจะยกขนทาใหลกบอลขนไดสงกวาปกตและเคลอนทไดระยะทางมากกวาปกต และถาลกบอลหมนในระนาบระดบเมอมองขนดตามแนวดงเหนหมนตามเขมนาฬกา แรงพลวตจะดนไปทางซายมอทาใหเสนทางเคลอนทไมอยในระนาบดง แตจะเลยวโคงไปทางซายมอ ในทางตรงกนขามถาลกบอลหมนทวนเขมนาฬกาในระนาบระดบ ลกบอลจะเลยวโคงไปทางขวามอ ตวอยางเชน การตลกหมนของปงปองหรอเทนนส หรอการเตะลกโคงของฟตบอล เปนตน

26 ฟสกส ของไหล (Fluid) | รร.มหดลวทยานสรณ

26