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UNIVERSITE CADI AYYAD FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES GUELIZ - MARRAKECH

Master S&T Génie Electrique

Module ELECTROTECHNIQUE

Pr. D. BELKHAYAT

BRUITS ET VIBRATIONS DES MACHINES ELECTRIQUES

I) Notions d’acoustique - pression, intensité, puissance - réponse de l’oreille humaine II) Origines des bruits et vibrations des machines électriques - bruits mécaniques, aérodynamiques, magnétiques - observation de spectres de machines tournantes III) Le bruit magnétique des machines tournantes - description du phénomène - les modes de déformation - exemple IV) Harmoniques d’induction des machines asynchrones - les harmoniques de force magnétomotrice - les harmoniques d’induction - cas de la machine asynchrone monophasée V) Equations mécaniques et acoustiques des vibrations - amplitude des déformations statiques - fréquences de résonances et amplitudes des vibrations - rayonnement acoustique des machines VI) Exemple de prédétermination des vibrations et du bruit - calcul des caractéristiques des ondes de force - calcul des vibrations et du bruit VII) Techniques de réduction du bruit - influence des paramètres de construction - réduction active du bruit magnétique

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Le bruit des machines est désormais un critère de qualité de plus en plus important. Ce travail tente d’expliquer les principales causes du bruit des machines électriques en général, mais il concerne plus particulièrement le bruit magnétique des machines asynchrones. Ce phénomène peut générer des bruits très importants. Son origine est particulièrement difficile à déterminer. De nombreux auteurs tentent de mieux comprendre ces phénomènes en utilisant des simulations numériques par éléments finis. Nous donnons ici des relations analytiques qui, bien qu’approximatives, permettent de mieux comprendre l’origine des phénomènes, donc de mieux concevoir les machines et de combattre le bruit par une méthode de réduction active. I) NOTIONS D’ACOUSTIQUE. 1) Pression, intensité , puissance. a) Pression acoustique La vibration d’un matériau entraîne celle des particules d’air environnantes, d’où des variations de pression de l’air. Si des particules d’air vibrent de manière sinusoïdale avec une amplitude Y à la fréquence fa { ( )tf2sinY)t(y aπ= } avec une vitesse instantanée v(t) { ( )tcosY)t(v aa ωω= }, leur vitesse

efficace est V = ω aY 2 , avec ω πa af= 2 . La pression de l’air subit des variations dont la valeur efficace P est la pression sonore ou pression acoustique (en Pascals). La pression instantanée p(t) est liée à la vitesse instantanée v(t) (en m/s) par la relation : p(t)=Zv(t) où Z, l’impédance acoustique, est en général une grandeur complexe, mais réelle en champ

libre (espace sans réflexion sonores) . Dans l’air, en champ libre, Z kg m s≈ −415 1-2 pour une température de 20°C et une pression atmosphérique de 1013hPa. La valeur de Z dépend de la vitesse du son c et donc de la densité du milieu. La vibration des particules se transmet aux particules voisines, ainsi l’onde sonore se propage à la vitesse du son c qui, à 20°C, dans l’air, est d'environ 344m/s. La longueur d’onde λ est définie par λ=c/fa.

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b) Intensité acoustique La pression et la vitesse des particules d’air peuvent ou non varier en phase. Celle-ci influe sur la direction et le sens de propagation de l’onde sonore. L’intensité acoustique est un vecteur qui permet de caractériser l’amplitude mais aussi la direction et le sens du son. C’est le flux d’énergie sonore par unité de surface traversée perpendiculairement à la direction de l’onde sonore. Le module de ce vecteur

ρI , noté I, se mesure en W/m², il est défini par la

relation suivante :

IT

t t dta

Ta

= ∫1

0

p v ( ) ( ) .

( )IT

Z t dtT

Z Y t dtZ Y

a

T

aa a

aTa a

= ∫ ∫1 1

22

0

2 2

0

v = =2( ) sin( )ω ωω

,

avec Ta=1/fa. En remplaçant Z par sa valeur, on obtient :

I f Ya= 8200 2 2

c) Puissance acoustique La puissance acoustique, mesurée en watts, permet de caractériser une source sonore indépendamment du milieu dans lequel elle est placée. En effet la pression sonore et l’intensité acoustique mesurées à une certaine distance d’un appareil bruyant seront différentes suivant que l’appareil se trouve par exemple dans un local réverbérant ou en plein air alors que la puissance sonore de l’appareil est la même quel que soit le milieu environnant (une analogie permet de bien comprendre ce qu’est la puissance acoustique : la température mesurée à une certaine distance d’un radiateur chauffant dépend à la fois de sa puissance et de la pièce dans laquelle il se trouve). Les normes définissent la puissance acoustique maximale des appareils. En intégrant l’intensité qui traverse une surface S entourant la source sonore, on détermine sa puissance W en watts :

W IS

= ∫ρ ρ dS

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d) Utilisation des décibels Etant donné l’énorme différence entre la plus petite variation de pression perceptible par l’oreille humaine notée P0, environ 20µPa, et le seuil de la douleur, environ 100Pa, le son se mesure en décibels en prenant comme référence P0 si bien que le niveau de pression acoustique L P est défini ainsi :

L P P

P

P

P=

=

10 20

0

2

0log log

Le niveau d’intensité acoustique LI est défini par :

L I =

10 log

I

I 0

avec I 01210= − W/m², niveau qui correspond au seuil de perception de l’oreille humaine.

Dans un champ libre, les niveaux de pression et d’intensité sont presque identiques. Le niveau de puissance acoustique LW d’une source sonore est :

LW =

10 log

W

W0

avec W watts01210= − , c’est à dire la puissance d’une source qui fournirait une intensité

acoustique I 01210= − W/m² de manière uniforme à travers une surface de 1 m² l’entourant.

• On peut déduire la puissance d’une source en mesurant des niveaux de pression. On peut mesurer le niveau moyen LmP de pression sur une surface S entourant la source par plusieurs mesures, le niveau de puissance est alors, en champ libre parfait :

L LS

SW m= +

P 10

0log où S0=1m².

2) Réponse de l’oreille humaine • Le coefficient 10 dans les expressions précédentes a été choisi pour qu’une variation de 25% de la pression, de l’intensité, ou de la puissance, qui est la plus petite variation perceptible par l’oreille humaine, entraîne une variation du niveau correspondant de 1dB. Cette échelle logarithmique ne rend toutefois que partiellement compte de la sensibilité de l’oreille : un auditeur a l’impression subjective d’un doublement du niveau sonore pour une variation de 10dB. On comprend alors qu’il soit intéressant de gagner seulement quelques décibels. Lorsque plusieurs sons de fréquences différentes sont présents en même temps, la pression acoustique résultante est la racine carrée de la somme des carrés de chacune des pressions

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(règle de sommation de valeurs efficaces). Ainsi la présence de deux sons de fréquences différentes à des niveaux identiques entraîne un niveau total de 3dB plus élevé que celui de chacun des sons. Ces considérations sont toutefois à nuancer car l’oreille humaine n’entend pas aussi bien toutes les fréquences. • La bande passante de l’oreille humaine va approximativement de 20Hz à 16000Hz. Des courbes permettant d’apprécier la différence de perception de l’oreille suivant la fréquence ont été établies. Nommées courbes d’isosonie, elles sont présentées sur la figure suivante et précisent le niveau nécessaire d’un son pour créer la même sensation suivant sa fréquence. On constate par exemple qu’un son de 60dB à 1000Hz est perçu de la même façon qu’un son de 80dB à 40Hz, ces courbes peuvent toutefois évoluer suivant les individus.

f(Hz)100 5k2k1k

0

120

100

80

60

40

20

LP (dB)

courbes d’isosonie.

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II) ORIGINES DES BRUITS ET VIBRATIONS DES MACHINES ELECTRIQUES 1) Bruits mécaniques, aérodynamiques, magnétique Il existe principalement 3 origines au bruit des machines électriques. Les transformateurs et convertisseurs statiques génèrent du bruit d’origine électromagnétique et éventuellement de ventilation, les machines tournantes produisent en plus du bruit d’origine mécanique. a) Les bruits d’origine mécanique Les bruits d’origine mécanique existent sur tous les moteurs électriques, ils sont dus aux frottements au niveau des paliers et éventuellement des balais (morceaux de carbone qui permettent d’amener l’électricité au rotor par frottements). Les machine asynchrones à rotor à cage ainsi que les machines synchrones à aimants permanents ne comportant pas de balais, cette source de bruit est supprimée. Dans les machines à courant continu, les balais frottent sur le collecteur constitué de petites lames juxtaposées, ce qui est plus bruyant que le frottement sur des bagues lisses présentes dans les machines synchrones et les machines asynchrones à rotor bobiné. L’importance des bruits dus aux frottements au niveau des paliers dépend du type et de la qualité des roulements utilisés, de leur graissage et de la vitesse de la machine. La puissance sonore due à ces frottements augmente avec le carré de la vitesse, elle dépend également des fréquences propres des roulements, du support sur lequel repose la machine ainsi que des parties entraînées. Les fréquences sonores sont généralement assez élevées. Le bruit mécanique n’est important que sur des machines rapides et intervient rarement pour plus de 20% dans le spectre sonore global. b) Les bruits d’origine aérodynamique Les bruits d’origine aérodynamique sont plus importants. Des turbulences dans l’air sont produites par le mouvement des parties en rotation, la présence d’obstacles dans les écoulements d’air est un facteur supplémentaire de bruit. La ventilation permet la convection nécessaire au refroidissement, elle permet de réduire les dimensions des machines. Il apparaît alors un compromis entre machines de faibles dimensions ou machines bruyantes. L’utilisation de ventilateurs peu bruyants (à pales profilées,...) n’est pas toujours possible (à cause d’un double sens de rotation par exemple). Les bruits de ventilation croissent avec la cinquième puissance de la vitesse, un bruit de ventilation de 80dB à 1000tr/mn atteint 105dB à 3000tr/mn. A puissance égale, une machine lente est plus silencieuse qu’une machine rapide. Signalons que la réponse de la structure mécanique aux sollicitations aériennes intervient également. Les bruits d’origine aérodynamique peuvent donc être ou non dominants suivant la vitesse de rotation, le type de ventilateur et de machine utilisée.

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c) Les bruits d’origine électromagnétique. Les bruits dus aux phénomènes électromagnétiques peuvent également dominer ou non suivant la conception de la machine tournante, son état de charge et sa vitesse. Pour des machines tournantes de faible vitesse le bruit magnétique est presque toujours dominant, mais il peut l’être aussi sur des machines rapides. Il provient d’efforts électromagnétiques qui produisent des vibrations de certaines parties de la machine. Lorsque les fréquences des efforts électromagnétiques coïncident avec celles des résonances mécaniques, alors ce bruit peut devenir très important. On le distingue de ceux d’autres origines en coupant l’alimentation ce qui conduit à l’annuler presque immédiatement tandis que les bruits aérodynamiques et mécaniques décroissent lentement avec la vitesse. Le bruit magnétique se caractérise dans le spectre sonore par des raies fines et généralement peu nombreuses, en étroite relation, d’un point de vue fréquentiel avec les harmoniques de couple. En ce qui concerne les inductances et transformateurs, des phénomènes électromagnétiques sont à l’origine du bruit, en particulier les forces magnétostrictives liées à la propriété qu’ont certains matériaux de voir leur dimensions se modifier lorsqu’ils sont placés dans un champ d’induction variable (ce phénomène est négligeable dans les machines tournantes). 2) Observation de spectres de machines tournantes Des spectres de bruit ont été relevés à l’aide d’un microphone placé à environ 1 mètre de machines placées dans une chambre semi-anechoïque. Un accéléromètre placé sur le stator a permis les relevés du spectres de vibrations. Une pince ampèremétrique permet la mesure du courant absorbé. Un analyseur de spectre permet d’afficher les FFT des différents signaux. a) Exemple d’un moteur asynchrone monophasé de 650W Les spectres suivant ont été relevés sur un moteur asynchrone monophasé de machine à laver le linge.

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- spectre des niveaux de pression acoustique :

On distingue nettement des raies de bruit à 336Hz, 2016Hz, 2160Hz, 3264Hz, 3920Hz, 7550Hz, 7650Hz, 7750Hz, 11490Hz. Le bruit global est de 57.4dB, cette machine n’est donc pas très bruyante. Les 3 raies distantes de 100Hz sont caractéristiques du bruit magnétique (l’alimentation électrique est à 50Hz) Si on coupe l’alimentation, les bruits magnétiques disparaissent immédiatement; alors que la machine tourne encore on relève rapidement le nouveau spectre de pression acoustique, ne comprenant plus que les bruits mécanique et de ventilation :

On constate que les raies à 2016Hz, 3920Hz, 7550, 7650, 7750Hz, 11490Hz, ont disparues, il s’agit donc de raies de bruit d’origine magnétique tandis que 336, 2160, et 3264Hz ont une origine mécanique ou de ventilation. - spectre des vibrations : relevé avec un accéléromètre sur le stator de la machine.

336 2016

2160

3920 7550

7650 7750

11490

50dB

40dB

30dB

3264

2160 50dB

40dB

30dB 3264

336

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On retrouve les raies à 2016, 3264, 3920, 7550, 7650, 7750, 11490 Hz. On a en plus par rapport au bruit des raies à 100 et 1184Hz. Le spectre de vibration comprend les raies de bruit d’origine magnétique et mécanique. Les raies de ventilation n’apparaissent plus. C’est le cas de l’importante raie de bruit à 2160Hz qui était donc due à la ventilation. On coupe l’alimentation et on relève le nouveau spectre de vibrations, les raies de vibration magnétique disparaissent, il ne reste donc que les vibrations d’origine mécanique :

Toutes les raies importantes ont disparues. Le bruit mécanique est donc bien minime sur cette machine; parmi les raies importantes seule la raie à 3264 a une origine mécanique. Le spectre de vibration a mis en évidence des raies magnétiques à 100Hz et 1184Hz qui n’apparaissaient pas dans le spectre de pression acoustique : les relations montrent que le niveau de pression

100

1184

2016

3920

7550

7650

7750

11490 3264

3264

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acoustique est proportionnel à la fréquence, 100Hz est une fréquence trop faible pour générer un bruit important. Par contre il est plus difficile d’expliquer l’absence de 1184 dans le bruit. b) Exemple d’un moteur asynchrone triphasé de 15kW

spectre des niveaux de pression acoustique en dB.

Le niveau total de pression acoustique, relevé à deux mètres sans réseau de pondération, est de

72.6dB. On distingue sur ce spectre des raies importantes à 3470Hz et 3570Hz d’amplitude

63dB et 66dB. Il existe une raie à 3670Hz mais qui ne se détache pas nettement. Pour

s’assurer qu’elles sont d’origine magnétique, on procède comme précédemment, on relève le

spectre après avoir coupé l’alimentation du moteur. Le spectre de la figure suivante ne donne

que les bruits d’origine mécanique et aérodynamique.

bruits mécaniques et de ventilation.

Cette mesure permet de constater que les raies de bruit dominantes de cette machine, qui ont disparu suite à la coupure de l’alimentation, sont bien des raies de bruit magnétique à 3470Hz et 3570Hz.

Hz

40

60

dB 3570Hz 66dB Total : 72.6dB

Hz

40

60

dB Total : 68dB

3470Hz 63dB

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La différence de pression totale entre les deux relevés est de 41%, le bruit magnétique est donc important sur cette machine. Le relevé du spectre du courant statorique absorbé par la machine est présenté figure suivante. La présence de raies de courant montre l’existence d’harmoniques d’induction dans l’entrefer. Une caractéristique courante du bruit magnétique est que l’on trouve des raies de courant à des fréquences distantes de 50Hz par rapport aux raies de bruit.

spectre du courant absorbé.

On constate des raies de courant à 50Hz (fondamental), 150Hz, 250Hz, 350Hz... qui correspondent aux harmoniques 3,5,7 de 50. On trouve ensuite des paires de raies distantes de 100Hz entre elles et distantes de 50Hz des groupes de 3 raies de bruit. Ainsi 3520=3470+50=3570-50, 3620=3570+50=3670-50.

3620Hz

0

-20

-40

dB

Hz

3520

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III) LE BRUIT MAGNETIQUE DES MACHINES TOURNANTES. 1) Description du phénomène a) L’induction dans l’entrefer des machines Le courant circulant dans les conducteurs du stator ou du rotor entraîne l’existence d’un champ magnétique dans l’entrefer des machines. La densité de flux magnétique, ou induction, engendre des forces qui s’exercent sur le fer du stator et du rotor. Elles sont de trois natures : - les forces tangentielles qui sont à l’origine de la rotation du rotor, - les forces magnétostrictives liées à la propriété qu’ont certains matériaux de voir leurs dimensions se modifier lorsqu’ils sont placés dans un champ d’induction variable; ce phénomène est toutefois négligeable dans les machines tournantes, - les forces radiales qui s’exercent entre stator et rotor et qui sont régies par la relation de Maxwell : si dans l’entrefer d’un circuit magnétique de section S se trouve une induction b alors la force f qui tend à diminuer l’épaisseur de l’entrefer se calcule, si l’on ne considère que la composante de l’induction normale à la section, par la relation :

f = b S2

02µ.

Dans cette expression, f s’exprime en Newton, b en Tesla, S en m2 et µ0 représente la

perméabilité magnétique du vide (4 107 1π − −Hm ) qui correspond approximativement à celle de l’air. Si les machines à courant alternatif étaient parfaites, l’équation qui donne à chaque instant t la valeur de l’induction b dans l’entrefer d’une machine synchrone ou asynchrone en fonction de la position α serait :

( )ψ−α−ω=α ptcosB̂)t,(b où ω est la pulsation des courants d’alimentation, p le nombre de paires de pôles de la machine et ψ une phase. Cette équation est celle d’un champ sinusoïdal tournant à la vitesse ω/p. Pour des raisons qui seront expliquées ultérieurement, l’onde d’induction n’est jamais purement sinusoïdale. Les harmoniques présents dans cette onde ont les conséquences suivantes : - harmoniques de couple, - vibrations radiales des tôles, entraînant des vibrations de la carcasse donc du bruit. Comme il existe une infinité d’harmoniques d’induction, il existe une infinité d’ondes de forces alternatives qui font vibrer la machine. Les harmoniques d’induction sont donc à l’origine du bruit magnétique, ils proviennent de : - la répartition des conducteurs dans un nombre fini d’encoches, la force magnétomotrice résulte d’une somme d’ondes rectangulaires et n’est donc jamais parfaitement sinusoïdale, les harmoniques correspondants sont appelés harmoniques d’espace,

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- la variation d’épaisseur donc de réluctance et de perméance de l’entrefer le long de celui-ci due aux encoches statoriques et rotoriques (dans lesquelles sont placés les conducteurs) qui engendrent ce que l’on qualifie d’harmoniques de perméance (la perméance est l’inverse de la réluctance), - l’excentricité éventuelle du rotor liée aux forces radiales et à la construction, à l’origine d’un entrefer variable, - la saturation des tôles magnétiques. Pour concevoir une machine silencieuse, il faut donc minimiser les harmoniques d’induction. b) les ondes de forces Si α désigne la position angulaire de n’importe quel point de l’entrefer par rapport à une référence donnée et t le temps, alors l’expression générale d’un harmonique d’induction

b th( , )α de rang h, d’amplitude ∃Bh , de pulsation ωh et de phase ψ h , dans l’entrefer d’une machine de 2p pôles, en ne considérant que la composante radiale, est :

b t B t hph h h h( , ) ∃ cos( )α ω α ψ= − −

Comme il existe une infinité d’harmoniques d’induction, la force de Maxwell résultante comportera elle aussi une infinité de composantes. Ces dernières, définies par unité de surface, et notées f ( , )α t , se déduisent aisément :

( )f ( , )

( , )∃ cos ( )

∃ ∃ cos( ) cos( ' )' ''

'

αα

µ µ

ω α ψ

ω α ψ ω α ψt

b tB t hp

B B t hp t h p

hh h h

h

h h h h hhh

h∑

∑ ∑

∑∑= =

− − +

− − − −

2

0 0

2 2

2

1

2 2

Dans cette relation, pour pouvoir distinguer les différents termes, on a introduit le paramètre h’ qui joue le même rôle que h. En décomposant les lignes trigonométriques, il vient :

( )f ( , )

∃cos( )

∃ ∃ cos(( ) ( ' ) ( ))

cos(( ) ( ' ) ( ))''

' '

' '

αµ

ω α ψ

ω ω α ψ ψω ω α ψ ψ

t

Bt hp

B Bt h h p

t h h p

hh h

h

h hhh

h h h h

h h h h

∑∑

∑∑=

+ − −

++ − + − + +− − − − −

1

2

21 2 2 2

0

2

Il en résulte que l’expression générale d’une composante de force non stationnaire s’écrit :

f F f f( , ) ∃cos( )α ω α ψt t m= − −

où m est le nombre de modes, ∃F l’amplitude qui s’exprime en N/m2, f f la fréquence de la

force qui est telle que ω πf f= 2 f .

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Il existe dans l’entrefer une infinité d’ondes de forces de fréquences et de nombre de modes variable. Ces forces tournent à la vitesse m/fω , elles se traduisent par des attractions

variables entre stator et rotor d’où des vibrations. On constate dans l’expression de la force qu’il existe deux sortes de composantes de forces : celles dues au carré d’une composante d’induction, et celles dues aux doubles produits entre deux composantes d’induction. Les premières, le terme constant ne jouant aucun rôle dans la formation des bruits (composante stationnaire), ont une pulsation double de celle de la composante d’induction qui en est à l’origine; les secondes (issues des doubles produits) présentent une pulsation qui est la somme ou la différence des pulsations des composantes en question. Ce sont les secondes qui sont généralement à l’origine du bruit. 2) Les modes de déformation Le nombre de modes m, qui représente le nombre de paires de pôles de déformation de la machine, est un facteur très important car les sollicitations diffèrent suivant sa valeur. - Pour m=0, l’attraction entre stator et rotor est uniforme le long de l’entrefer, ceci se traduit par une vibration du stator uniforme sur toute sa périphérie à la fréquencef f . La figure

suivante permet de visualiser cette déformation. Elle représente en coupe transversale le stator soumis à une telle force; il est représenté au repos en trait plein et lorsque l’attraction est maximale en trait interrompu.

Déformation du stator pour m=0 - Le cas où m=1 est particulier puisque l’attraction entre stator et rotor est maximale en un point et minimale à l’opposé. C’est le rotor qui a alors tendance à se décentrer comme le montre la figure suivante qui représente le stator et le rotor. Le point d’attraction maximale tourne à la vitesse angulaireω f , créant un balourd très dangereux du point de vue bruit et

vibrations. De plus cette excentricité entraîne une variation de l’entrefer donc des harmoniques d’induction. Ce cas de figure est donc particulièrement dangereux et heureusement rare.

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déplacement du rotor pour m=1 - Pourm ≥ 2 , il y a m points d’attraction maximale entre stator et rotor, qui provoquent une déformation du stator en 2m pôles qui tournent à la vitesse angulaire ω f / m. La figure

suivante montre ces déformations pour m=2 et 3.

m=2 m=3

déformations du stator pour m=2 et 3 Une force peut être à l’origine d’une vibration plus ou moins importante suivant son amplitude, son nombre de modes, mais aussi suivant la réponse mécanique de la structure de la machine. En effet cette force jouera un rôle d’autant plus significatif que sa fréquence est proche d’une éventuelle fréquence de résonance mécanique. Ces considérations feront l’objet du paragraphe V. 3) Exemple Prenons l’exemple d’une machine asynchrone de puissance 15kW, de nombre de pôles p égal à 3, destinée à être alimenté par le réseau triphasé 50Hz. L’amplitude du fondamental de l’induction présente dans l’entrefer d’une machine asynchrone est de environ 0.9 Tesla, l’induction fondamentale est donc donnée par la relation :

( ) ( )α−π×=α 3t502cos9.0t,b Supposons l’existence d’un seul harmonique d’induction d’amplitude 0.55% du fondamental, soit 0.005Tesla, de fréquence 3370Hz et de rang h=-1 (il tourne donc en sens inverse du champ fondamental) :

( ) ( )α+π×=α 3t33702cos005.0t,'b

attraction maximale

attraction minimale

ω f

ω f2

ω f3

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Les forces de Maxwell par unité de surface sont données par :

( )0

2222

0

22

)3t33702cos()3t502cos(005.09.02

)3t33702(cos005.0)3t502(cos9.02

)t,('b)t,(b)t,( µ

α+π×α−π×××+α+π+α−π=

µα+α=α∑ f

[ ] [ ] 0

222

6t33202cos(

)0t34202cos(005.09.0)6t67402cos(1

2

005.0)6t1002cos(1

2

9.0 µ

α+π+α+π

×+α+π++α−π+=

( ) ( )( ) ( )α+π+α+π+

α+π++α−π+=6t33202cos17900t34202cos1790

6t67402cos556t1002cos161144161144

Ces 2 ondes d’induction entraînent donc la présence de 6 ondes de pression qui s’exercent entre stator et rotor. Remarquons que ces pressions qui s’exercent de manière radiale sont d’amplitudes considérables : la surface du fer est, sur cette machine de 0.1186m² (rayon de 0.118m, longueur de 0.16m), le premier des 6 termes (issus du fondamental de l’induction) a une amplitude de 161 144N/m², il correspond à une pression constante répartie sur toute la surface du fer donc à une force de 19 105N. Cette force est largement plus élevée que celle qui permet le couple et la rotation de la machine : la puissance de 15kW, à 950tr/mn , correspond à un couple de 150Nm qui s’exerce à la périphérie du rotor de rayon 0.118m ce qui correspond à une force de 1270N. Les forces radiales qui s’exercent entre stator et rotor peuvent donc être plus élevées que celles qui permettent la rotation de la machine, on comprend alors qu’elles puissent la déformer. Deux des 6 ondes de forces sont statiques et ne peuvent générer de vibrations, celle d’amplitude 5N/m² est négligeable, il reste donc ici 3 ondes de forces. Celle qui a pour fréquence 100Hz peut créer des vibrations, mais plus difficilement du bruit à cause de sa faible fréquence. Les 2 dernières ondes, d’amplitude 1790N/m² , sont les plus gênantes car d’amplitude non négligeable, de fréquence située dans le domaine audible et assez élevée, de nombres de modes 0 et 6.

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IV) HARMONIQUES D’INDUCTION DES MACHINES ASYNCHRONE S 1) Les harmoniques de force magnétomotrice. Considérons le stator ‘déroulé’ une machine triphasée parfaite la plus simple possible, avec une seule bobine par phase :

Chacune des 3 bobines est reliée à une des 3 phases du réseau triphasé, permettant l’existence d’un champ tournant. Chaque bobine entraîne la circulation d’un flux qui traverse l’entrefer, la force magnétomotrice (ou f.m.m.) est la différence de potentiel magnétique relative à la traversée de l’entrefer, celui-ci consomme la quasi-totalité des ampères-tours. Pour un courant i donné, chaque bobine de zs spires crée le long de l’entrefer une force magnétomotrice εs en créneaux d’amplitude ± zsi/2: Cette force magnétomotrice n’est pas sinusoïdale. Si on décompose ce signal en série de Fourrier et qu’on appelle hs le rang des harmoniques, alors l’amplitude de chaque harmonique

est : 2

iz

h

4 s

sπ , hs ne prenant que des valeurs impaires

Afin de diminuer les harmoniques on répartie les zs spires de chaque bobine en ms bobines voisines de zs/ms spires. ms est le nombre d’encoches par pôle et par phase. Ainsi la f.m.m. résulte d’une somme d’ondes rectangulaires ‘en escalier’ et les harmoniques sont diminués.

On appelle coefficient de bobinage le coefficient noté shsK qui caractérise la diminution de

chaque harmonique de rang hs.

0 2π

zsi/2

-zsi/2

εs

α

1

1’

2

2’ 3’

3

1 1’ 3’ 2 2’ 3

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On montre que, dans le cas d’une machine triphasée, ( )

π

π=

s

ss

ssh

m6

hsinm

6/hsinK s

La figure suivante représente la f.m.m. créée par une phase dans le cas d’une répartition des conducteurs d’une bobine dans deux encoches (ms=2). La f.m.m. résultante est légèrement plus sinusoïdale. Néanmoins, ms ne pouvant être infini (ms est généralement compris entre 2 et 4), les harmoniques de f.m.m. existent toujours, on les appelle harmoniques d’espace car ils sont dus à la répartition des conducteurs dans un nombre fini d’encoches.

L’amplitude des harmoniques devient : sh

s

ss

sK2

iz

h

4m

π

Le passage d’un seuil à un autre (de -zsi/2 à 0, de 0 à +-zsi/2...) se ferait brutalement si les conducteurs avaient une section nulle. Les conducteurs occupent en fait toute la largeur des encoches dans lesquels ils sont logés. Si on considère linéaire l’évolution de la f.m.m. sur l’intervalle d’une encoche, alors les harmoniques diminuent légèrement d’un coefficient noté

shsΓ :

On peut montrer que ( )

ssd

s

ssd

ssh N/)r1(h

N/)r1(hsins −π

−π=Γ où Ns est le nombre d’encoches statoriques

par paire de pôles et sdr le rapport de denture (largeur d’une dent/pas dentaire).

L’amplitude des harmoniques devient : sh

sh

s

ss

ssK2

iz

h

4m Γ

π.

Si il y a p paires de pôles, on retrouve p fois le bobinage le long de l’entrefer, l’expression de

la f.m.m. générée par une phase est : ∑ αΓπs

ss

h

ssh

sh

s

ss )phcos(K

2

iz

h

4m .

0 2π

zsi/2

-zsi/2

εs

α

19

Si l’on remplace i par )tcos(2Is ω , alors la f.m.m. générée par une phase est :

∑ αωΓπs

ss

h

sssh

sh

s

ss )phcos()tcos(2IK

2

z

h

4m .

Si on fait la somme des 3 f.m.m. générées par chacune des phases en tenant compte du déphasage du courant de 2π/3 entre phases, alors on obtient l’expression de la f.m.m. créée par le stator dans l’entrefer d’une machine à courant alternatif :

ε απ

ω αs s shs s

h

z I G t h pss

( ) cos( )= −∑3 2

avec Gh

Khs

h

s hs

hs

s

s

s s= −−

( )1

1

2Γ .

Chaque onde tourne à la vitesse ph/ sω .

Les calculs montrent que les valeurs de hs multiples de 3 ont une résultante nulle, et que un rang sur deux conduit à une onde harmonique tournant en sens inverse, si bien que

[ ]hs ∈ − − − −1 5 7 1113 17 19 23, , , , , , , ...

Pour déduire l’induction, il faut multiplier la f.m.m. par la perméance ρ par unité de surface (la perméance est l’inverse de la réluctance). La perméance caractérise la capacité d’un matériau à laisser passer le flux. On peut écrire:

ρ=ρφ=φℜ=ε /bS d’où S

bρε=

La perméance d’un passage dans l’air d’épaisseur e et de section S est : µ0S/e, d’où e

b 0µε= .

Ainsi si l’entrefer des machines électriques était constant et d’épaisseur e, alors on obtiendrait l’expression des harmoniques d’induction en multipliant l’expression de la f.m.m. obtenue ci-dessus par µ0/e.

20

2) Les harmoniques d’induction. a) Perméance de l’entrefer Les conducteurs des bobinages statoriques et rotoriques sont placés dans des encoches comme le montre la figure suivante :

32

7 6.1

30

5.7

7.5

L’épaisseur de l’entrefer n’est donc pas constante. La forme des encoches réelles étant trop complexe c’est le modèle suivant qui a été retenu :

rotor

stator

modèle d’encoche retenu. Pour caractériser les paramètres de construction, les notations suivantes sont utilisées :

- µ0 : perméabilité du vide ( 4 107 1π − −Hm ) ou approximativement celle de l’air, - p : nombre de paires de pôles, - e : épaisseur minimale de l’entrefer, - ks, kr : entiers résultants de décompositions en séries de Fourrier,

- N ts, N t

r : nombres totaux d’encoches statoriques et rotoriques,

- Ns, N r : nombres d’encoches par paire de pôles (N N psts= / , N N pr

tr= / ),

l er

l es p

s

pr

e

21

- rds, rd

r : rapports de dentures (largeur d’une dent)/(pas dentaire) au stator et au rotor,

- ps, pr : profondeurs fictives d’encoches statoriques et rotoriques(un cinquième de

l’ouverture le). Pour localiser spatialement les différentes variables nous adopterons comme axe de référence l’axe de la phase 1 du stator qui est également, compte tenu de nos hypothèses, confondu avec l’axe d’une dent statorique. Les différentes relations seront établies en utilisant les variables suivantes : - α qui caractérise la position angulaire d’un point quelconque de l’entrefer, - θd qui traduit l’écart angulaire entre les axes de référence statorique et rotorique En supposant les lignes de champ radiales, la perméance de l’entrefer est inversement proportionelle à son épaisseur. On obtient l’expression de la perméance par unité de surface

),( dθαρ en décomposant en série de Fourrier l’épaisseur variable :

[ ] [ ]{ }

ρ α θ µ µ α µ α θ

µ α θ α θ

( , ) ( ) cos ( ) cos( )

( ) ( ) cos ( ) cos ( )

ds s s t

s

k

r r r tr r t

rd

k

sr s r

kk

s ts r t

r r tr

d s ts r t

r r tr

d

A A f k k N A f k k N k N

A f k f k k N k N k N k N k N k N

s r

rs

= + + −

+ − + + + −

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑∑

00 2 2

2

01

01

011

avec :

f kk r

ks

s ds

s( )

sin( )=

π2

, f kk r

kr

r dr

r( )

sin( )=

π2

,

et, en posant e e ps s= + , e e pr r= + , e e p pMs r= + + , les expressions suivantes de A0, As,

Ar, Asr :

[ ]A p r e p r e p p e e r r ee e esds r r

dr s s r

M ds

dr s r

M0 1= + + + +/ / ( ) / / ,

[ ]A p p e e r ee e es s rM d

r sM

r= + +2 1 ( ) / /π ,

[ ]A p p e e r ee e er r sM d

s rM

s= + +2 1 ( ) / /π ,

[ ]A p p e e ee e esr s rM

s rM= +4 2/ π .

L’expression de la perméance fait apparaître 4 types de termes :

- un terme constant fonction de A 0 ,

- une série de termes fonction de la denture statorique liés à A s,

- une série de termes fonction de la denture rotorique dépendants de A r , - une série de termes traduisant l’interaction entre dentures statorique et rotorique fonction de

A sr .

22

C’est en multipliant l’expression de la f.m.m. par l’expression de la perméance que l’on obtient 4 types d’harmoniques d’induction. En multipliant l’expression de la perméance par celle de la f.m.m. créée par les conducteurs statoriques, on obtient des harmoniques d’induction statoriques indépendants du rotor (liés à A0 et As) ou dépendants du rotor (liés à Ar et Asr). Si on considère la f.m.m. créée par les conducteurs rotoriques, on obtient des harmoniques d’induction rotoriques indépendants du stator (liés à A0 et Ar) ou dépendants du stator (liés à Ar et Asr). b) harmoniques d’induction statoriques indépendants du rotor Ils proviennent des harmoniques de f.m.m. (harmoniques d’espace) et de la denture statorique :

b t B t h phs

hs s

s s0 0( , ) ∃ cos( )α ω α= −

avec :

∃ ( )*

*

B I A G A G f khs s s

hs s

hs s

h h k Nkk

s s s

s s s sss

00

0

= +

= +

=−∞≠

+∞∑λ , λ µ πs sz= 3 2 0 / ,

[ ]hs ∈ − − − −1 5 7 1113 17 19 23, , , , , , , ...

Leur pulsation est donc celle de l’alimentation électrique, elle est constante. D’une manière générale les amplitudes des harmoniques diminuent lorsque hs augmente, toutefois certains harmoniques de rang élevé ont une amplitude assez importante. c) harmoniques d’induction statoriques dépendants du rotor Ils proviennent de la denture rotorique et de l’interaction entre les deux dentures

( )( )b t B k N g t h k N p pk Nh ks

h ks r r s r r r r

dsr

sr

( , ) ∃ cos ( ) ( )α ω α θ= − − − − −1 1 0

avec :

∃ ( ) ( )*

*

B I f k A G A G f kh ks s s r r

hs sr

hs s

h h k Nkk

s r s s

s ss

sss

= +

= +

=−∞≠

+∞∑λ

0

, λ µ πs sz= 3 2 0 /

[ ]hs ∈ − − − −1 5 7 1113 17 19 23, , , , , , , ... , kr pouvant prendre toutes les valeurs entières positives ou

négatives non nulles. θd0 dépend de l’état de charge de la machine (de π/p à 3π/4p suivant la charge), g est le glissement (la vitesse angulaire de la machine est égale à (1-g)ω/p )

23

Ces harmoniques ont donc une pulsation différente de celle du réseau, propre à chaque harmonique, et liée au glissement g donc à la vitesse de la machine. D’une manière générale les amplitudes de ces harmoniques sont plus faibles que les précédentes. Si l’on se contente d’examiner les composantes d’induction créées par le stator on a, d’un point de vue qualitatif, une assez bonne représentation du contenu harmonique de l’induction présente dans l’entrefer. Néanmoins pour plus de précision, il faut calculer les harmoniques créés par le rotor. d) harmoniques d’induction rotoriques indépendants du stator Toutes les ondes d’induction statoriques induisent au rotor des forces électromotrices et donc des courants dont la pulsation n’est fonction que de hs. Il existe donc au rotor une

infinité d’harmoniques de courant de pulsation ( )ω−− )g1(h1 s (g étant le glissement), leur

valeur efficace notée rhsI est assez difficile à déterminer. Chaque harmonique de courant

rotorique va générer une infinité d’harmoniques d’induction rotorique. On peut négliger les harmoniques de courants rotoriques et ne considérer que le fondamental, il suffit de prendre dans les expressions suivantes hs=1. Les harmoniques d’induction rotoriques indépendants du stator proviennent des harmoniques de f.m.m. rotorique (harmoniques d’espace) et de la denture rotorique.

[ ]b t B h h g t h p h h p h Arg Zh hr

h hr s r r s r s

hre

s r s r s0 0 01 12

( , ) ∃ cos ( )( ) ( )α ω α θ π= − − − − − − − −

où θ0 dépend de l’état de charge de la machine (de π/p à 3π/4p suivant la charge) et

re

hsZArg représente l’argument de l’impédance complexe qui limite le courant rotorique

(pour hs=1, de 0 à π/4 environ suivant l’état de charge), avec :

∃ ( )B I A G A G f kh hr r

hr

hr r

hr r

h h k Nkk

s r s r r

r r r rrr

00

0

= +

∗= +

=−∞≠

+∞∑λ

λ µ πr rz= 3 2 0 / , Gh

Khr

h

r hr

hr

r

r

r r= −−

( )1

1

2Γ , [ ]hr ∈ − − −1 5 7 1113 17 19, , , , , , ,.. pour un

rotor bobiné,

λµ

πr t

rN=

2

20 , G

h phr

h h

Nhr

rr

r s

rr

=−

−

( )1 Γ, h iN hr r s= + (i entier positif, négatif, ou nul)

pour un rotor à cage.

24

Les harmoniques d’espace sont donc moins nombreux avec un rotor à cage qu’avec un rotor

bobiné. Prenons par exemple N r =18, les harmoniques générés par le fondamental du courant

rotorique (hs=1) d’un rotor à cage ont pour rang 1,-17,19,-35,37,-53,55.... Les termes -5,7,-11,13,-23,25,-29,31,.. présents avec un rotor bobiné n’existent pas avec un rotor à cage comportant le même nombre d’″encoches″. L’induction délivrée par un rotor à cage est donc plus sinusoïdale que celle délivrée par un rotor bobiné. Ceci se justifie par un nombre de phases identique au nombre de barres, largement supérieur à trois d’où une meilleure répartition de la f.m.m.. On constate également que le choix du nombre d’encoches rotoriques influe directement sur l’existence d’harmoniques d’espace d’où l’importance de ce choix pour éviter le bruit magnétique. d) harmoniques d’induction rotoriques dépendants du stator Ils sont liés à la denture statorique et à l’interaction entre les deux dentures.

[ ]b t B h h g t h k N p h h p h Arg Zh h kr

h h kr s r r s s s r s

hre

s r s s r s s( , ) ∃ cos ( )( ) ( ) ( )α ω α θ π= − − − − − − − − −

1 120

avec :

∃ ( ) ( )B I f k A G A G f kh h kr r

hr s s

hr sr

hr r

h h k Nkk

s r s s r r

r rr

rrr

= +

∗

∗ = +=−∞≠

+∞∑λ

0

hr étant défini de la même manière qu’au c), ks pouvant prendre toutes les valeurs entières positives ou négatives non nulles. 3) Cas de la machine monophasée En monophasée, l’armature statorique crée 2 champs tournants fondamentaux, l’un tourne dans un sens et l’autre dans l’autre sens. Il en est de même pour tous les harmoniques d’espace si bien que les valeurs de hs à considérer sont : ±1, ±5, ±7, ±11, ±13, ±17.... Il y a donc deux fois plus d’harmoniques d’induction statorique avec une machine monophasée. Le rotor, une fois en rotation, « s’acroche » à l’un des 2 champs tournants fondamentaux. Chaque onde d’induction statorique induit un courant rotorique, il y a donc 2 fois plus de courants induits au rotor donc 2 fois plus d’harmoniques d’induction créés par le rotor. En première approximation , on ne peut donc plus se contenter de calculer les harmoniques créés par le fondamental du courant rotorique (hs=1), mais il faut considérer au moins les 2 courants fondamentaux rotoriques (hs=±1) d’amplitudes équivalentes. Les expressions données précédemment sont toujours valables à condition de considérer :

25

πµ=λ /z2 0ss , K

h

mh

m

hs

s

ss

s

s =

sin

sin

π

π

3

3

.

(ces expressions ne sont valables que dans le cas classique ou seulement les 2/3 des encoches sont occupées) Comme il y a deux fois plus d’harmoniques d’induction dans une machine monophasée que dans une triphasée, il y a plus de chances pour qu’il existe des combinaisons entre harmoniques susceptibles de générer du bruit. La puissance instantanée reçue par une machine monophasée alimentée à 50Hz fluctue à la fréquence 100Hz (alors que celle reçue par une machine triphasée est constante), il y a donc par conséquent une fluctuation de couple à la fréquence 100Hz qui peut créer des vibrations (et donc du bruit) du support ou des parties entraînées, mais la vibration à 100Hz du stator de la machine n’est pas directement à l’origine du bruit, cette fréquence étant trop faible pour être correctement émise d’un point de vue acoustique par un stator de machine.