บทที่ 4การสราง (8 ช่ัวโมง)

4.1 การแบงสวนของเสนตรง (2 ช่ัวโมง) 4.2 การสรางมุมขนาดตางๆ (3 ช่ัวโมง)

4.3 การสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียมดานขนาน (3 ช่ัวโมง)

เนื้อหาสาระของบทนี้ เปนเนื้อหาที่เพิ่มเติมและมีการสรางซับซอนขึ้นจากการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ขอตกลงเกี่ยวกับการสรางโดยใชเครื่องมือเฉพาะสันตรงและ วงเวียนยังคงเหมือนเดิม

ครูอาจแนะนําวาการสรางที่สมบูรณมี 4 ขั้นตอนดังตอไปนี้1. ขั้นวิเคราะห

กอนสรางรูปใดๆ ครูควรแนะนําใหนักเรียนวิเคราะหหาความสัมพันธระหวางสิ่งที่กําหนดใหและสิ่งที่ตองการสราง โดยการเขียนรูปที่ตองการนั้นอยางคราวๆ กอน แลวจึงคิดลําดับขั้นตอนการสราง และลงมือสรางตามขั้นตอนที่คิดไว ขั้นนี้สําคัญและจําเปนมาก

2. ขั้นสรางดําเนินการสรางตามที่คิดไวในขอ 1. และเพื่อชวยใหเห็นขั้นตอนการสรางชัดเจนขึ้นก็อาจ

ใหเขียนวิธีสรางดวย ในบทนี ้ มหีลักในการเขยีนวธีิสรางดงันี้

1) ถามีขั้นตอนการสรางพื้นฐานทั้งหกหรือการสรางอื่นใดที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว จะเขยีนขัน้ตอนนัน้อยางสงัเขป เพือ่ใหรูวาสรางเสนหรือสรางมมุใดบาง

2) ถามขีัน้ตอนทีส่รางเพิม่เตมิ จะเขยีนโดยละเอยีด3) เมือ่จบการสรางแลวจะเขยีนสรปุสิง่ทีต่องการ

3. ขัน้พสูิจน เมื่อสรางแลวควรจะมีการพิสูจนยืนยันวาไดรูปตามที่ตองการสราง แตในชั้นนี้นักเรียนยงัมพีืน้ฐานไมเพยีงพอทีจ่ะเขยีนวธีิพสูิจนอยางเปนทางการ จงึเวนไวกอนและใหใชการวดั ตรวจสอบผลการสรางแทน

4. ขั้นอภิปรายผลอภิปรายในประเด็นวิธีสราง เชน มีวิธีอ่ืนอีกหรือไม แตละวิธีมีเงื่อนไขเปนอยางไร วิธีใด

เหมาะสมกวากัน ครูอาจใหมีการสนทนาและอภิปรายรวมกันเกี่ยวกับเรื่องเหลานี้ รวมทั้งอาจขยายผลไปถึงการนําวิธีสรางไปใช

82

ในชั้นนี้จะเนนเฉพาะขั้นที่ 1 และขั้นที่ 2

การเขียนวิธีสรางของนักเรียนอาจมีการใชสัญลักษณ เชน AB, AB , AB, CBA ∧ หรือ C)Bm(A ∧ ไมถูกตอง ตลอดจนการเขียนอธิบายการสรางของนักเรียนก็อาจเขียนวกวนหรือใชสํานวน

ไมกะทัดรัด ครูควรย้ําและแกไขใหถูกตองแตไมควรใชปนเกณฑตัดคะแนน ควรถือเอาลําดับขั้นตอนการสรางที่ถูกตองเปนเกณฑใหคะแนน

ครูอาจนําแบบฝกหัดบางขอหรือกิจกรรมกรอบทายบทมาจัดเปนกิจกรรมระหวางการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนไดสืบเสาะ สังเกต วิเคราะหและคาดการณเกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิต ครูควรเลือกใชกิจกรรมดังกลาวตามความเหมาะสมกับเวลา และความสามารถของนักเรียน สําหรับคําตอบแบบฝกหัดบางขอที่ไมไดกําหนดใหเขียนวิธีสราง เพื่ออํานวยความสะดวกแกครูไดใหแนวการสรางประกอบมาดวย

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายปใชการสรางพื้นฐานสรางรูปที่ซับซอนขึ้นได

83

แนวทางในการจัดการเรียนรู

4.1 การแบงสวนของเสนตรง (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. แบงสวนของเสนตรงที่กําหนดใหออกเปนสวน ๆ ที่ยาวเทากันได 2. เขียนวิธีสรางเกี่ยวกับการแบงสวนของเสนตรงได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิตทั้งหก อาจใหนักเรียนชวยกันสรางบนกระดานดําเพื่อครูจะไดอธิบายหรือช้ีแนะเพิ่มเติม การทบทวนการสรางนี้ใหครูเนนการแบงคร่ึงสวนของเสนตรง พรอมทัง้ชีใ้หเหน็จาํนวนสวนแบงทีไ่ดจากการแบงครึง่ของครึง่ซึง่จาํนวนสวนแบงเปนทวคีณูของ 2 เชน 2, 4, 8, … และเนนการสรางมมุใหมขีนาดเทากบัขนาดของมมุทีก่าํหนดให เพื่อใชเปนความรูพื้นฐานในการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวนๆ ที่ยาวเทากันกี่สวนก็ไดโดยสรางมุมแยง 2. การสอนวิธีแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวน ๆ ที่ยาวเทากัน โดยสรางมุมแยงใหมีขนาดเทากนั ในขัน้ตอนการสรางมมุแยงทีม่ขีนาดเทากนั ครูอาจใหนกัเรยีนบอกรายละเอยีดของการสรางกอนขณะที่ครูสรางรูปบนกระดานดํา ควรใหนักเรียนสรางรูปและเขียนวิธีสรางไปพรอมๆกันกับครูดวย

เมื่อสอนการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวนๆ ที่ยาวเทากันจบแลว ควรใหนักเรียนทบทวนการสรางนั้นอีกครั้ง อาจใหแบงสวนของเสนตรงที่ยาว 9 เซนติเมตร ออกเปน 3 สวนที่ยาวเทากนัหรือใหแบงสวนของเสนตรงทีย่าว 8 เซนตเิมตร ออกเปน 5 สวนทีย่าวเทากนั แลวตรวจสอบผลโดยใชวงเวียน

3. คาํถามเกีย่วกบัการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวนๆ ทีย่าวเทากนั ในหนงัสอืเรียนหนา 107ตองการใหนกัเรยีนสงัเกตเหน็แบบรปูของจาํนวนสวนแบงกบัจาํนวนครัง้ทีเ่ขยีนสวนโคง ตดัแขนของมมุ ซ่ึงจะเห็นไดจากตารางตอไปนี้

84

จํานวนสวนแบงท่ียาวเทากัน จํานวนครั้งท่ีเขียนสวนโคงตัดแขนของมุม345

n

234

n – 1

4. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 ขอ 4 ตองการเชื่อมโยงความรูเรขาคณิตกับเศษสวน เมื่อแบงฐานของรปูสามเหลีย่ม ABC ทีก่าํหนดใหเปน 4 สวนทีย่าวเทา ๆ กนั และลาก AD , AE และ AF จะได ∆ABD, ∆ADE, ∆AEF และ ∆AFC ดังรูปขางลางนี้ นักเรียนควรจะเห็นวารูปสามเหลี่ยมที่ไดมีความสัมพันธกันอยางไรบาง

ถาครูนําแบบฝกหัดขอนี้มาจัดเปนกิจกรรมใหนักเรียนเรียนรูพรอมๆ กัน ในชั้นเรียน ครูควรใหนักเรียนบอกเหตุผลที่ทําใหพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปเทากัน และแตละรูปเปน 41 ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กําหนดให

5. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 ขอ 5 และขอ 6 เปนตัวอยางใหนักเรียนเห็นขั้นตอนการวิเคราะหเพื่อจะหาวิธีสรางตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนด ถาตองการแบง PQ ออกเปนสองสวนให PX = 32 PQ นักเรียนควรวิเคราะหรูปที่ตองการสรางตามเงื่อนไขซึ่งจะไดรูปดังนี้

.

.

....

A

B D E F C

P QX32 31

85

ดังนั้นนักเรียนจะตองสรางโดยแบง PQ ออกเปน 3 สวนที่ยาวเทาๆ กันกอน แลวกําหนดจุด X ที่ทําให PX เปนสองเทาของ XQ จะได PX = 32 PQ ตามตองการ สําหรับขอ 6 นักเรียนควรวิเคราะหรูปที่ตองการสรางตามเงื่อนไขโดยแบง XY ออกเปน 5 สวนที่ยาวเทา ๆ กันดังรูป

จะได XP = 32 PY6. แบบฝกหัด 4.1 ขอ 7 ขอ 8 และขอ 9 มีสาระตอเนื่องกัน ตองการใหนักเรียนเห็นการนํา

ความรูเกี่ยวกับการแบงครึ่งสวนของเสนตรงมาใชสรางเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ตลอดจนใชกระบวนการ สืบเสาะ สังเกต วิเคราะหและคาดการณ

ในตอนทายของกิจกรรมนักเรียนจะไดรูจักสมบัติเกี่ยวกับเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงเปนความรูใหม ในการจดักจิกรรมการเรยีนการสอน ครูอาจนาํแบบฝกหดัทัง้สามขอมาใหนกัเรยีนทาํกจิกรรมและเรียนรูไปพรอมกันทั้งชั้น หรืออาจใหนักเรียนที่มีความสามารถและมีความสนใจเปนพิเศษทํานอกเวลาเรียนก็ได ถาใหนักเรียนทําพรอม ๆ กัน ครูควรใหนักเรียนหาเซนทรอยดของรูปสามเหลี่ยมมุมปานหรือรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และอาจแนะนําวา สําหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เซนทรอยดนี้เปนจุดเดียวกันกับ ศูนยกลางมวล (centre of mass) และจุดนี้เปนจุดเสมือนเปนที่รวมมวลทั้งหมดของวัตถุที่เปนรูปสามเหลี่ยมนั้น

ครูอาจเชื่อมโยงความรูคณิตศาสตรกับวิทยาศาสตรใหเห็นศูนยกลางมวลของวัตถุรูปสามเหลี่ยมโดยใหนักเรียนทํากิจกรรมดังนี้ 1) ตัดกระดาษแข็งที่มีความหนาพอสมควรเปนรูปสามเหลี่ยมใด ๆ คนละหนึ่งรูป 2) หาตําแหนงของเซนทรอยด 3) วางกระดาษรูปสามเหลี่ยมบนปลายดินสอตรงตําแหนงเซนทรอยดนั้นแลวดูวากระดาษ

แผนนี้ทรงตัวอยูไดหรือไม ถาครูสนใจการพิสูจนที่เกี่ยวกับเสนมัธยฐาน สามารถศึกษาไดจากตําราเรียนเรขาคณิตในระดับอุดมศึกษา สําหรับการพิสูจนเกี่ยวกับความยาวของสวนของเสนตรงที่เชื่อมตอระหวางจุดกึ่งกลางของดานของรูปสามเหลี่ยม อาจศึกษาไดจากคูมือครูวิชาคณิตศาสตร ค 021 หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนตน พุทธศักราช ๒๕๒๑ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๓๓) ในแบบฝกหัด 4 ขอ 3

X YP

86

4.2 การสรางมุมขนาดตาง ๆ (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. สรางมุมที่มีขนาดตางๆ ตามที่กําหนดใหได 2. เขียนวิธีสรางเกี่ยวกับการสรางมุมที่มีขนาดตาง ๆ ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนการสรางมุมที่มีขนาด 90 องศา ที่นักเรียนเคยสรางมาแลวโดยอาศัย การสรางเสนตั้งฉากกอน แลวจึงใหนักเรียนเห็นวิธีสรางอีกวิธีหนึ่งซึ่งอาศัยการสรางมุมที่มีขนาด 60 องศา จากการสรางในตัวอยางนี้นักเรียนควรบอกขนาดของมุมตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับการสรางตามคําถามในหนังสือเรียน หนา 111 ดังนี้ 1. Y)Am(P ∧ = 90 องศา 2. Y)Am(S ∧ = 45 องศา

3. M)Am(N ∧ = 60 องศา 4. M)Am(R ∧ = 120 องศา5. N)Am(P ∧ = 30 องศา 6. S)Am(R ∧ = 15 องศา

2. การสรางมุมขนาดตาง ๆ ที่กําหนดให ในที่นี้ตองอาศัยการสรางมุมขนาด 90o, 60o หรือการแบงครึง่มมุ ดงันัน้ครคูวรใหนกัเรยีนเขยีนแนวคดิแสดงการหาขนาดของมมุไวดวย เชน 67.5o อาจใช 2 45 90+ หรือ 90 – 22.5 การบอกแนวคิดในการสรางนี้จะชวยใหครูตามรองรอยการสรางที่ นักเรียนเขียนไวไดงายขึ้น

ถาครูตองการใหโจทยเพิ่มเติม ครูควรวิเคราะหการสรางกอนเชนเดียวกัน ใหครูแนะนําวาการสรางเสนที่เปนแขนของมุมที่ไมใชขั้นตอนสุดทายนิยมใชเสนประ และใชเสนทึบเขียนแขนของมุมที่ตองการ อาจเขียนสวนโคงแสดงมุมและขนาดของมุมไวในรูปที่สรางดวยก็ได 4.3 การสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียมดานขนานใหมีขนาดของมุมและความยาว ของดานตามที่กําหนดใหได

87

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. การสรางรูปเรขาคณิตในหัวขอนี้ตองอาศัยการสรางหลายๆ อยาง และหลายๆ ขั้นตอนการวิเคราะหรูปกอนจึงมีความจําเปนอยางยิ่ง ครูควรย้ําใหนักเรียนเขียนรูปที่ตองการสรางอยางคราวๆ กอน และเลือกใชวิธีสรางที่ส้ัน กะทัดรัด โดยเฉพาะการสรางรูปสี่เหล่ียมดานขนานซึ่งมีวิธีสรางไดหลายวิธี

2. สําหรับการสรางซึ่งกําหนดความยาวของดานที่มีหนวยเปนเซนติเมตร ครูควรย้ําให นักเรียนใชวงเวียนวัดความยาวจากไมบรรทัดและเขียนสวนโคงใหเห็นรองรอยการกําหนดความยาวจากความยาวที่วัดไวนั้น 3. สําหรับแบบฝกหัด 4.3 ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ถาครูใหนักเรียนทําเปนการบาน ควรไดนําผลการสรางของนักเรียนมาอภิปรายรวมกันอีกครั้ง ครูอาจใชคําถามนํา เชน เมื่อนักเรียนกําหนดความยาวของสวนของเสนตรง หรือขนาดของมุม ตามใจชอบแลว นักเรียนสามารถใชขนาดที่กําหนดนั้นมาสรางรูปที่ตองการไดทันทีหรือไม ถาไมได เพราะเหตุใด ถานักเรียนยังบอกเหตุผลไมไดครูอาจทบทวนความรูเกีย่วกบัความยาวของดานของรปูสามเหลีย่มทีน่กัเรยีนเคยทราบมาแลว ในบทที ่ 1 การประยกุต 1 ของหนังสือเรียน

ครูอาจนําแบบฝกหัดทั้งสามขอนี้ใหนักเรียนทําพรอมกันในหองเรียน โดยใหนักเรียนออกมากําหนดความยาวของสวนของเสนตรง และขนาดของมุมบนกระดานดําตามใจชอบ แลวสรางรูปตามขนาดนั้นพรอมทั้งใหอภิปรายถึงกรณีที่สรางรูปที่ตองการไมไดดวย

4. สําหรับกิจกรรม “ เขาทําอะไรอยู” เสนอไวเพื่อใหนักเรียนแปลความหมายจากภาพทั้งสามซ่ึงตองการแสดงใหเห็นวา ในสมัยโบราณประมาณชวง 4,000 – 5,000 ปที่ผานมา แมชาวอียิปตไมมีเข็มทิศใชแตก็ยังสามารถหาแนวทิศเหนือ และทิศใตได

ครูอาจสนทนาเพิ่มเติมใหนักเรียนทราบถึงการสันนิษฐานวา ชาวอียิปตโบราณใชวิธีการที่กลาวมากําหนดตําแหนงเหนือใตเพื่อสราง มหาพีระมิดของคูฟู (The Great Pyramid of Khufu (Cheops)) ซ่ึงเปนพีระมิดขนาดใหญสุดในกลุมพีระมิดขนาดใหญ 3 องคแหงเมืองกิเซห (Giza) ที่ไดรับการยกยองวาเปนหนึ่งในเจ็ดสิ่งมหัศจรรยของโลกยุคโบราณ

5. สําหรับกิจกรรมทายบท “ศูนยกลางวงลอม” และ “ศูนยกลางวงกลมแนบใน” เสนอไวเพื่อ ใหนักเรียนเห็นการนําความรูเกี่ยวกับการสรางพื้นฐานมาใชหา ศูนยกลางวงลอม และศูนยกลางวงกลมแนบใน

ถาครใูชกจิกรรมนีใ้นเวลาเรยีน หลังจากนกัเรยีนทาํกจิกรรมถงึขัน้ตอนเขยีนวงกลมเสรจ็แลว ครูควรใหมีการอภิปรายถึงเหตุผลที่เรียกชื่อจุดศูนยกลางของวงกลมทั้งสองวงนั้นตามชื่อของกิจกรรม

88

หลังจากทํากิจกรรมทั้งสอง นักเรียนควรไดรับความรูใหมวาศูนยกลางวงลอมคือ จุดศูนยกลางของวงกลมที่ผานจุดยอดมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม และศูนยกลางวงกลมแนบใน คือ จุดศูนยกลางของวงกลมที่สัมผัสกับดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ครูควรดําเนินกิจกรรมทั้งสองให นกัเรยีนเกดิการเรยีนโดยใชการสบืเสาะ สังเกต วเิคราะหและคาดการณ พรอมทัง้ตรวจสอบผลทีเ่กดิขึน้

ถาใหนกัเรยีนบางกลุมทาํนอกเวลาเรยีน กค็วรไดมกีารอภปิรายรวมกนัระหวางครกูบันกัเรยีนกลุมนี้ดวย

สําหรับการพิสูจนสมบัติที่กลาวไวในกิจกรรมทั้งสอง ครูอาจศึกษาไดจากตําราเรียนเรขาคณิตในระดับอุดมศึกษา

6. กจิกรรม “ภาพประดษิฐ” เสนอไวเพือ่ใหเหน็การเชือ่มโยงความรูทางเรขาคณติกบัศลิปะฝกใหนักเรียนเปนคนชางสังเกต รูจักวิเคราะหอยางมีเหตุผลและมีความคิดริเร่ิมสรางสรรค เมื่อนักเรียนทํากิจกรรมในขอ 2 เสร็จแลว ครูควรนําผลงานของนักเรียนมาติดแสดงบนปายนิเทศ ภาพที่นักเรียนประดิษฐขึ้นควรมีคําอธิบายใหทราบวาใชความรูเร่ืองใดบางในการสรางรูปนั้นซ่ึงครูสามารถนํามาเปนสวนหนึ่งของการวัดผลและประเมินผลได จากกจิกรรมนีถ้ามเีวลาพอและเปนการขยายความรูใหกบันกัเรยีน ครูอาจใหนกัเรยีนสบืเสาะหาความสัมพันธระหวางพื้นที่ของรูปที่ไดจากการแบงกับพื้นที่ของรูปเดิม โดยอาจใชการพับกระดาษหรือตอรูปก็ได

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบของคําถามหนา 107

1. 2 คร้ัง2. 3 คร้ัง3. 4 คร้ัง4. 9 คร้ัง5. n – 1 คร้ัง

89

คําตอบแบบฝกหัด 4.11. กําหนดให AB ตองการสราง แบง AB เปน 4 สวนที่ยาวเทากัน

วิธีสราง

1) ที่จุด A และจุด B สราง BAC ∧ และ ABD ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ให A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด P 3) ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด Q 4) ใช Q เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด R 5) ให B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด M 6) ใช M เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด N 7) ใช N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด O 8) ลาก RM , QN และ PO ตดั AB ทีจ่ดุ U, T และ S ตามลาํดบั จะได AS = ST = TU = UB นั่นคือแบง AB เปน 4 สวนที่ยาวเทากัน ตามตองการ

A

C

R

Q

P

S T U B

D

N

M

O

90

2. กําหนดให AB ตองการสราง แบง AB เปน 5 สวนที่ยาวเทากัน

วิธีสราง 1) ที่จุด A และจุด B สราง BAC ∧ และ ABD ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ใหจุด A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด P 3) ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด Q

4) ใช Q เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด R5) ใช R เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด S

DM

N

O

L

C

R

S

Q

B

P

XA VUT

91

6) ให B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด M 7) ใช M เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด N

8) ใช N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด O 9) ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด L

10) ลาก SM , RN , QO และ PL ตดั AB ทีจ่ดุ X, V, U และ T ตามลาํดบั จะได AT = TU = UV = VX = XB นั่นคือแบง AB เปน 5 สวนที่ยาวเทากัน ตามตองการ

3. กําหนดให RS ตองการสราง แบง RS เปน 7 สวนที่ยาวเทากัน

D

R

A

SX

E

Y

F

G

W

H

V

I

UTB

O

N

L

M

K

P

92

วิธีสราง1) ที่จุด R และจุด S สราง SRD ∧ และ RSB∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน2) ให R เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด A3) ใช A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด E4) ใช E เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด F5) ใช F เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด G6) ใช G เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด H7) ใช H เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด I8) ใช S เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด K9) ใช K เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด L

10) ใช L เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด M11) ใช M เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด N12) ใช N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด O13) ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด P14) ลาก IK , HL , GM , FN , EO และ AP ตัด RS ทีจ่ดุ Y, X, W, V, U และ T

ตามลาํดบั จะได RT = TU = UV = VW = WX = XY = YSนัน่คอืแบง RS เปน 7 สวนทีย่าวเทากนั ตามตองการ

4.

R

C

A

B

QN

M

S

P

D E F

93

คาํตอบ 1) BE = 21 BC 2) BD = 41 BC 3) BD = 31 DC

4) รูปสามเหลีย่มทกุรูปมสีวนสงูจากจดุ A เปนเสนเดยีวกนั ในทีน่ีค้อื AX 5) รูปสามเหลีย่มทกุรูปในขอ 4) มพีืน้ทีเ่ทากนั 6) พืน้ทีข่อง ∆ ABD = 41 ของพืน้ทีข่อง ∆ ABC

5. กาํหนดให PQ ตองการสราง แบง PQ ออกเปนสองสวนทีจ่ดุ X โดยให PX = 32 PQ

R

U

Q

N

M

S

P XO

T

C

A

B D EFX

94

วธีิสราง 1) ทีจ่ดุ P และจดุ Q สราง QPM ∧ และ PQN ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ให P เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด PM ที่จุด R 3) ใช R เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด PM ที่จุด S 4) ให Q เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด QN ที่จุด T 5) ใช T เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด QN ที่จุด U 6) ลาก ST และ RU ตดั PQ ทีจ่ดุ X และจดุ O ตามลาํดบั จะได PO = OX = XQ นัน่คอื แบง PQ เปน 3 สวนทีย่าวเทากนั ซ่ึง PX = 32 PQ ตามตองการ

6. กาํหนดให XY ตองการสราง แบง XY ออกเปนสองสวนทีจ่ดุ P โดยให XP = 32 PY

E

S

H

F

A

X

B

NMO

G

Q

C

D

YP

95

วธีิสราง 1) ทีจ่ดุ X และจดุ Y สราง YXS ∧ และ XYQ ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ให X เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด A 3) ใช A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด B

4) ใช B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด C5) ใช C เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด D6) ให Y เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด E

7) ใช E เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด F8) ใช F เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด G

9) ใช G เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด H 10) ลาก DE , CF , BG และ AH ตดั XY ทีจ่ดุ N, M, P และ O ตามลาํดบั จะได XO = OP = PM = MN = NY นัน่คอืแบง XY เปน 5 สวนทีย่าวเทากนั ซ่ึง XP = 32 PY ตามตองการ

7. กาํหนดให ∆ ABC ม ี AD เปนเสนมธัยฐาน ตองการสราง BE เปนเสนมธัยฐานตดักนัที ่M

แนวการสราง 1) สราง GH แบงครึง่ AC ทีจ่ดุ E 2) ลาก BE ตดั AD ที่จุด M นั่นคือ BE เปนเสนมธัยฐานของ ∆ ABC ตามตองการ 3) ลาก CM ตดั AB ทีจ่ดุ F

C

H

F E

A

B

M

GD

96

ใชวงเวยีนตรวจสอบความยาวของ AF และความยาวของ FB จะไดคาํตอบดงันี้ (1) AF = FB (2) CF เปนเสนมธัยฐานของ ∆ ABC

8. จากรปูทีส่รางไดในขอ 7 เมือ่ใชวงเวยีนตรวจสอบความยาวจะไดวา 1) AM = 2 MD 2) BM = 2 ME 3) CM = 2 MF

9. เมือ่ใชวงเวยีนตรวจสอบความยาว จะได

1) DE = 21 AB 2) EF = 21 BC 3) FD = 21 AC 4) ความยาวรอบรปูของ ∆ DEF เทากบั 21 ของความยาวรอบรปูของ ∆ ABC

คําตอบแบบฝกหัด 4.2

ตัวอยางคําตอบ1. 1) แนวคิด 67.5 = 45 + 22.5

C

H

F E

A

B

M

GD

97

จากการสรางจะได )EO(Bm ∧ = )DO(Bm ∧ + )EO(Dm ∧

= 45 + 22.5 = 67.5 องศา

2) แนวคิด 75 = 60 + 15

จากการสรางจะได )EO(Bm ∧ = )DO(Bm ∧ + )EO(Dm ∧

= 60 + 15 = 75 องศา

3) แนวคิด 150 = 120 + 30

A B

D

E

C

O

CD

E

O BA

B

D

A

C

O

98

จากการสราง จะได )DO(Bm ∧ = )CO(Bm ∧ + )DO(Cm ∧

= 120 + 30 = 150 องศา

4) แนวคิด 195 = 180 + 15

จากการสราง จะได )EOB (มุมกลับm ∧ = )BO(Am ∧ + )EO(Am ∧

= 180 + 15 = 195 องศา

5) แนวคิด 225 = 180 + 45

จากการสราง จะได )DOB (มุมกลับm ∧ = )AO(Bm ∧ + )DO(Am ∧

= 180 + 45 = 225 องศา

C

A BE

O

D

C

BO

D

A

99

6) แนวคิด 165 = 180 – 15

จากการสราง จะได )EO(Bm ∧ = )BO(Am ∧ – )EO(Am ∧

= 180 – 15 = 165 องศา

7) แนวคิด 255 = 270 – 15

จากการสราง จะได )EOB (มุมกลับm ∧ = )DOB (มุมกลับm ∧ – )EO(Dm ∧

= 270 – 15 = 255 องศา

8) แนวคิด 315 = 360 – 45

BOA

DE

C

E

C

A B

D

O

D

A

C

OB

100

จากการสราง จะได )DOB (มุมกลับm ∧ = ขนาดของมุมรอบจุด O – )DO(Bm ∧

= 360 – 45 = 315 องศา

2. 1) แนวคิด 52.5 = 2 60 45+

วิธีสราง 1. สราง BOA ∧ เปนมุมตรง 2. สราง COB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. สราง OD แบงครึ่ง COB ∧ ทําให )DO(Bm ∧ = 45o

4. สราง EOD ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60 องศา จะได )EO(Bm ∧ = )DO(Bm ∧ + )EO(Dm ∧

= 45 + 60 = 105 องศา 5. สราง OF แบงครึ่ง EOB ∧ ทําให )FO(Bm ∧ = 52.5 องศา ตามตองการ

2) แนวคิด 135 = 90 + 45

CD

A BO

B

CD

E

F

A O

101

วิธีสราง 1. สราง BOA ∧ ใหเปนมุมตรง 2. สราง COB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา

3. สราง OD แบงครึ่ง COA ∧ ทําให )DO(Cm ∧ = 45 องศา จะได )DO(Bm ∧ = )CO(Bm ∧ + )DO(Cm ∧ = 90 + 45 = 135 องศา นั่นคือ DOB ∧ มีขนาดเทากับ 135 องศา ตามตองการ

3. 1) จากรองรอยการสราง (1) )EB(Cm ∧ = 30 องศา (2) )EB(Am ∧ = 150 องศา (3) BF แบงครึ่ง EBA ∧

(4) )CB(Fm ∧ = 105 องศา 2) จากรองรอยการสราง (1) )MO(Xm ∧ = 60 องศา (2) )PO(Xm ∧ = 90 องศา

(3) )YO(Nm ∧ = 45 องศา (3) OQ แบงครึ่ง NOM ∧ ซ่ึง )NOm(M ∧ = 75 องศา (4) )YO(Qm ∧ = 82.5 องศา

3) จากรองรอยการสราง (1) )RQ(Am ∧ = 60 องศา (2) )PQ(Am ∧ = 45 องศา (3) )PQ(Rm ∧ = 105 องศา (4) )RQP (มุมกลับm ∧ = 255 องศา

102

คําตอบแบบฝกหัด 4.3

1.

ตองกําหนด a, b และ c ให a + b > c, a + c > b และ b + c > a หรือใหผลบวกของสองจํานวนใด ๆ มากกวาจํานวนที่เหลือจึงจะสรางรูปสามเหลี่ยมได

2.

จะไดรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เนื่องจากเมื่อตรวจสอบดวยวงเวียนจะได PR = QR

b

aP

R

Q

c

a b c

a

kR

P Qa

k k

103

3. ให a และ b เปนความยาวของสวนของเสนตรง

จะสรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไดตองกําหนดให a มากกวา b

4.

แนวการสราง1. สราง MN

2. ที่จุด D ใด ๆ บน MN สราง EDM ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. ให D เปนจุดศูนยกลางรัศมียาว 3 เซนติเมตร เขียนสวนโคงตัด DE ที่จุด A 4. ให A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาว 5 เซนติเมตร เขียนสวนโคงตัด MN ที่จุด B ลาก AB 5. ใช B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาว 7 เซนติเมตร เขียนสวนโคงตัด MN ที่จุด C ลาก CA จะได ∆ ABC มี AB = 5 เซนติเมตร BC = 7 เซนติเมตร และสวนสูง AD ยาวเทากับ 3 เซนติเมตร

a b

P Q

RM

a

b

E

NM D

A

BC7 ซม.

3 ซม. 5 ซม.

104

5.

วิธีสราง1. สราง AB ยาวเทากับ 6 เซนติเมตร

2. สราง PAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. สราง AD แบงครึ่ง PAB ∧ ทําให )DAm(B ∧ = 45 องศา 4. สราง EAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60 องศา ทําให )EAm(D ∧ = 15 องศา 5. สราง AF แบงครึ่ง EAD ∧ ทําให )FAm(D ∧ = 7.5 องศา จะได )FAm(B ∧ = )DAm(B ∧ + )FAm(D ∧

= 45 + 7.5 = 52.5 องศา 6. สราง QBA ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 7. สราง BC แบงครึ่ง QBA ∧ และตัด AF ที่จุด C ทําให )CBm(A ∧ = 45 องศา จะได ∆ ABC ที่ AB ยาวเทากับ 6 เซนติเมตร )CAm(B ∧ = 52.5 องศา และ )CBm(A ∧ = 45 องศา ตามตองการ

6.

CF QP

ED

BA6 ซม.

A BE

FG D CH

8 ซม.

5 ซม.8 ซม.

8 ซม.

105

แนวการสราง1. สราง AB ใหยาวเทากับ 8 เซนติเมตร

2. ที่จุด E ใด ๆ บน AB สราง FEB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. สราง EG ใหยาวเทากับ 5 เซนติเมตร 4. สราง GH ใหขนานกับ AB 5. สราง AD และ BC ใหยาวเทากบั 8 เซนตเิมตร และตดั GH ทีจ่ดุ D และ C ตามลาํดบั

6. ลาก AD และ BC จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูนมีดานยาว 8 เซนติเมตรและสูง 5 เซนติเมตร

7.

แนวการสราง1. สราง AB ใหยาวเทากับ 6 เซนติเมตร

2. สราง FAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60 องศา 3. สราง XAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา จะได )XAm(F ∧ = 30 องศา 4. สราง AE ใหยาวเทากับ 4 เซนติเมตร และสราง EG ใหขนานกับ AB 5. สราง AH แบงครึง่ EAF ∧ และตดั EG ทีจ่ดุ D จะได D)Am(F ∧ = 15 องศา ดังนั้น )DAm(B ∧ = )FAm(B ∧ + )DAm(F ∧

= 60 + 15 = 75 องศา 6. สราง DC ใหยาวเทากับ 6 เซนติเมตร

A B

G CD

X

FH

6 ซม.

E

106

7. ลาก BC จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนานมี AB = 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร และ )DAm(B ∧ = 75 องศา

8.

แนวการสราง1. สราง AB ใหยาวเทากับ a

2. สราง FAB ∧ ใหมีขนาดพอสมควร 3. สราง GBA ∧ ใหมีขนาดเทากับ )( )FAm(B2 ∧

4. สราง AD และ BC ใหแตละเสนยาวเทากับ 2a5. ลาก CD จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนานที่ AB = a, AD = 2a และ

)CBm(A ∧ = )( )DAm(B2 ∧

คําตอบกิจกรรม “เขาทําอะไรอยู”

รูปที่ (1) : ปกเสาบนพื้นทรายแลวผูกเชือกกับโคนเสาใหยาวพอประมาณ เขียนวงกลมบนพื้นทรายโดยมีโคนเสาเปนจุดศูนยกลางหนึ่งวง

รูปที่ (2) : เมื่อเงาของยอดเสาแตะพอดีกับเสนรอบวงทําเครื่องหมายหรือจุดตรงตําแหนงเงาของยอดเสาบนวงกลมนั้น ซ่ึงในหนึ่งวันจะเกิดขึ้นสองครั้ง ตอนเชาหนึ่งครั้งและตอนบายหนึ่งครั้ง

รูปที่ (3) : สรางมุมที่มีจุดยอดมุมอยูที่โคนเสาและแขนของมุมผานตําแหนงที่กําหนดไวในรูปที่ (2) แลวแบงครึ่งมุมโดยใชการสรางทางเรขาคณิต จะไดเสนแบงครึ่งมุมเปนแนวทิศเหนือและทิศใต

a

A

G

B

DF G

C

F

a

2a

107

คําตอบกิจกรรม “ศูนยกลางวงลอม”

กําหนด ∆ ABC ที่มี OD และ OE เปนเสนแบงครึ่งและตั้งฉากกับ AB และ BC ที่จุด D และ E ตามลําดับ และให OD ตัดกับ OE ที่จุด O สราง OF ตั้งฉากกับ AC ที่จุด F จากการตรวจสอบดวยวงเวียนจะได AF = CF ดังนั้น OF เปนเสนแบงครึ่งและตั้งฉากกับ AC ที่จุด F จากการใช O เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ OA เขียนวงกลม จะไดวงกลมผานจุด A จุด B และจุด C หรือวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางลอมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC นั่นเอง

D

CB E

FO

A

108

คําตอบกิจกรรม “ศูนยกลางวงกลมแนบใน”

กําหนด ∆ ABC ที่มี BO และ CO เปนเสนแบงครึ่งมุม CBA ∧ และ BCA ∧ ตามลําดับ และให BO ตัดกับ CO ที่จุด O ลาก AO จากการตรวจสอบดวยวงเวียน จะได )OAm(B ∧ = )OAm(C ∧

ดังนั้น AO เปนเสนแบงครึ่ง CAB ∧

สราง OD , OE และ OF ตั้งฉากกับ AB , BC และ AC ที่จุด D, จุด E และจุด F ตามลําดับ จากการใช O เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ OD เขียนวงกลม จะไดวงกลมผานจุด D จุด E และจุด F หรือ วงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC นั้นเอง

คําตอบกิจกรรม “ภาพประดิษฐ”

1. ภาพประดิษฐทั้งสองใชความรูเกี่ยวกับการสรางเสนแบงครึ่งสวนของเสนตรง ภาพซายมือ เกิดจากการลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอระหวางจุดกึ่งกลางของดานของ

รูปเหล่ียมจตัรัุส เพือ่ใหเกดิรูปสีเ่หล่ียมจตัรัุสรูปใหมและทาํเชนเดยีวกนัไปเรือ่ยๆ จะไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่เล็กลงไปเรื่อยๆ เชนกัน

ภาพขวามือ เกิดจากการลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอระหวางจุดกึ่งกลางของดานของ รูปสามเหลี่ยมดานเทา เพื่อใหเกิดรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปใหมและทําเชนเดียวกันไปเรื่อยๆ จะไดรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่เล็กลงไปเรื่อยๆ เชนกัน

B

O

C

D

A

F

E