advanced topics in search theory 3: concurrent search
TRANSCRIPT
Advanced Topics in Search Theory
3: Concurrent Search
Theme Paper
• The Economics of Information – George Stigler, 1961
שונות מחירים
מדוע מוכרים שונים קובעים מחירים שונים •לאותו מוצר הומוגני?
שונות המחירים כמדד לחוסר המידע בשוק •
כאשר יש שונות גדולה במחירים, כדאי לדגום •מספר מוכרים
דוגמה
המוכרים מתחלקים )באופן שווה( בין כאלה • עבור המוצר וכאלה המבקשים 2$המבקשים
3$
מהי התפלגות המחיר המינימלי אם דוגמים •מספר מוכרים?
0.75*2+0.25*30.875*2+0.125*3
Distribution of the Minimum Price
N
xy
N
NN
dyyfxF
xxxPxF
)(111
,,min 1
11 NNN xFxNf
dx
xdFxf
fN)x(fN)x(
תוחלת מינימום המחיר
uniform distributionדוגמה – •
y
NN
NNN
dyyyfxE
xFxNfdx
xdFxf 11
1
0
1
1
1
1
1111
1
y
N
y
NN
NN
NNN
dyyyNdyyyfxE
xNxf
xxFxF
xxF
xfP=1
0 1
f(x)
0 1
F(x)
1
1
תוחלת מינימום המחיר (המשך)
• You can easily check this with Excel…• Can you guess what is EN(x) for the maximum of a
sample?
1
0
11y
N
y
NN dyyyNdyyyfxE
1
1
1
1011
1,1
1,
1
0
11
0
1
0
1
N
N
ydyyyyxE
yNdvdu
yvyu
N
y
NNN
N
N
התועלת שבדגימה נוספת
(Robert Solowיורד בקצב קטן )הוכחה על-ידי •
?
1
1
1
1
dN
xdE
xFxyNfdyyyfxE
xFxNfdx
xdFxf
N
y
N
y
NN
NNN
עלות החיפוש
בד"כ פרופורציונאלית למספר המוכרים •שנדגום
כמות החיפוש האופטימלית תתקבל על-ידי •השוואת הרווח השולי מחיפוש נוסף ועלות
החיפוש
N
cost of search
marginal benefit
Sequential Search
• Expected benefit when using sequential search with reservation value:
• And when searching for minimal price:
V (x)
c yf (y)dyyx
1 F(x)
)(
)(
)( 0
xF
dyyyfc
xV
x
y
)())(1()()(0
xVxFdyyyfcxVx
y
V (x) c yf (y)dyyx
F(x)V (x)
Sequential Search
• We also know that V(x*)=x*
xy
dyyFc )(1
x
y
dyyFc0
)(
searching for minimumsearching for maximum
איזו שיטה עדיפה?
• Take the uniform distribution as an example:– One-sample strategy:
overall expected cost: – Sequential search:
1
1
1
111
NNNNxExEc NN
012 cNcN
c
cccN
2
42
cNxEN )(
)(2
2)(
0
2
0
xVcx
xdyyFc
x
x
x
y
Comparison
• Sequential search is always better (why?)• Unless what?
דוגמה
ל- 50מחירים מתפלגים בצורה אחידה בין • )רציף(100
דולר1עלות כל מחיר נוסף – •
1
50
1
5050
50501
NNNNxExEc NN
50 100
f)x(
0.02
1
5050
N
xEN
6.6N
N=5: E_5+5=63.33N=6: E_6+6=63.14N=7: E_7+7=63.25
EN+N
N
בו-זמנית?Nמתי נעדיף לדגום
מועמד השולח בקשות למספר מוסדות•
חברה הפונה למספר ספקים לקבל הצעות•
תהליך הבודק מספר שרתים בו זמנית•
תוחלת של מקסימום
NNN xFxxxPxF ,,max 1
1 NNN xFxNf
dx
xdFxf
תוחלת של מקסימום (המשך)
: 1 ל- 0עבור התפלגות אחידה בין •
y
NN dyyyfxE
1
N
NxEN
xEN
N
Problem 1
• You are about to purchase an iPod touch over the internet
• You estimate the price distribution of the product over the different sellers to be uniform between 200-300 dollars
• You can search by yourself, by visiting different web-sites – the cost of time for obtaining a price quote is $1
• How will you search? What will be your expected cost? What’s the mean of the number of merchants you’ll visit?
Problem 1 (cont.)
• Alternatively, you can access one of the comparison-shopping web-sites over the internet– Web-site “A” offers you searching 100 web-sites
for a total of $10 (average of 10 cent per searched site).
– Web-site “B” offers you searching 20 web-sites for a total of $2 (average of 10 cent per searched site)
Solution
• The minimum of a sample of size 100 can be calculated using:
y
NN
NNN
dyyyfxE
xFxNfdx
xdFxf 11
99
99
1
01.03
201.0101.0*100
1
x
x
xFxNfdx
xdFxf NN
N
NN xFxF 11
therwise 0
300x200 01.0
300 x 1
200 x 0
300x200 200*01.0
)(
of(x)
x
xF
Solution (cont.)
• Calculating the expected minimum:
Integration by parts:
9901.03 xxfN
300
200
9901.03yy
NN dyyydyyyfxE
99100 01.03,01.03
1,
ydvyv
duyu
99.200
01.1
1200
01.1
01.03)]200(0[
01.0301.0301.03
300
200
101
300
200
100300
200100
300
200
99
y
y
y
y
N
y
dyyyydyyyxE
Solution (cont.)• 214.14>200.99+10• So we better take this offer…• and here is a simpler way to come up with
that:– The minimum of 100 quotes is very close to the
200 lower bound– In fact, we know for the uniform distribution that:
200 300
f)x(
0.01 NN
xEN1
1
1
In the 201 vicinity
It can become even simpler…
• In our problem:
0 1
f)x(
1
200 300
f)x(
0.01
100*1
1200
N
xEN
Solution for web-site B
• Conclusion: it’s better to use web-site B
76.204100*1
1200
N
xEN
1099.200276.204
Problem 1 (cont.)
• What would be the break-even cost of search c, for which we’ll prefer to search by ourselves?
Solution
x
y
dyyFc0
)(
76.206
200
201.0y
xc
2285.02005.0201.076.206
2002
76.206
200
xxxcy
מודל משולב
α+βN הזדמנויות היא: Nעלות דגימה של •G(x) ו- g(x)ערך דגימה מגיע מהתפלגות •מינימום המדגם הוא:•
FN(y) ו- fN(y)פונקציית התפלגות המינימום:•
תוחלת המינימום:•
אינסופיhorizonה- •
x0
NN xxY ,,min 1
NN YE
NN yGyF )(11)( 1)(1)()( NN yGyNgyf
אסטרטגיה אופטימלית
, ניתן:Nלאחר קבלת מדגם בגודל • YNלסיים החיפוש ולשלם – α+βN, ולשלם שובNלבקש מדגם נוסף בגודל –
האסטרטגיה האופטימלית מאופיינת על-ידי •:*(N*,x)הצמד
–N*גודל המדגם האופטימלי שיש לעבוד לפיו - –x* -ה - reservation valueבו יש להשתמש
אינם תלויים באיטרציית *x ו- *Nשאלה: מדוע •החיפוש בה אנו מצויים )כלומר בזמן(?
Analysis
• For fixed (arbitrary) N, VN(x) is the expected search cost (until the search is terminated) using the rule:– Terminate search if YN≤x
– Resume search otherwise
• Notice that:
Analysis
• The expected cost is thus:
• Notice that:
(this is very intuitive)
Analysis
• Also notice:
32
)(
)(
)( 0
xF
dyyyfN
xVN
x
y
N
Bernoulli trial is an experiment whose outcome is random and can be either of two possible outcomes, "success" and "failure".
Analysis
Analysis
• Proof:
)(
)(
)( 0
xF
dyyyfN
xVN
x
y
N
The Quasi-Convex Function
Strictly Decreasing Cost Function
• If VN‘(x)=0 does not exist over [0,A] then either:– VN(x) is strictly increasing
– VN(x) is strictly decreasing
• From , the sign of VN‘(x) is determined by , and from the sign is negative
Strictly Decreasing Cost Function
Strictly Decreasing Cost Function
Proof:For any value x≥A, (why?)Therefore, VN(x) strictly decreases in x if and
only if A-VN(A) < 0 which is equivalent to
Example – uniform distribution•(0.01=, 0.002=, N=3)
0.050
0.150
0.250
0.350
n=1
n=2
n=4
n=6
n=10
xVN
CLT
0.085
0.093
0.101
0.109
0.117
n=6
n=10
n=12
n=14
n=18
xVN
CLT
α+βN
2001אפריל 30
**)( xxV )(xV
)( RVx *x
xxV xxV
התחום בו מצוי הפתרון
Solution Algorithm
NN
N
NN
Finding x*
• What if α, β, N increase?
Finding N*
• The trivial way:– Set N = 1 and calculate V1(x)=x1 Then set N = 2 and
calculate V2(x)=x1 and so on. Then choose a sample size N* for which the value of the cost function is minimal
– How long should we continue with this?
–We know that and Also, clearly: and therefore:
1* 1N
Algorithmic approach for N*
Proof:
Therefore:
• Similarly:
• Now, let’s assume and show that:
• According to theassumption:
• If (i.e., otherwise):
• Therefore:
≤
however notice that:non-negative, strictly decreasing in kHence:
Which leads to a contradiction!
Implication: just check for increasing N values until you see an increase
kkk yGyGyFyF 11
Special cases
• What is the optimal sample size for α=0? β=0?
Calculating the variance
)()(1
)()(12)(2
2
xFxLxYYE
xFxVxYYENNxL
NNNN
NNNNN
)()(1
)()(2)(2
2
xFxLxYYE
NxFxVNNxL
NNNN
NNN
)(
2
)( 0
2
xF
dyyfyNxVN
xLN
x
NN
N
Finite Decision Horizon
• What would be the solution in the “regular” sequential search?
• For the multi-sample case, the solution via backward induction:– For k=1 (one period remaining) – it’s the one
sample problem– For k=2: the decision maker will follow the rule:
• If then stop; otherwise take an additional sample of N1*
Finite Decision Horizon