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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　問題①

〔問１〕

〔問２〕

〔問３〕

〔問４〕

〔問５〕

〔問６〕

〔問７〕

〔問８〕

〔問９〕

次の各問に答えよ。１

－62＋4×7

9a＋5b－( 8a－b)　を計算せよ。

一次方程式 9 x－8＝5( x＋4)　を解け。

連立方程式 解け。

二次方程式　x2－ 5x＋1＝0　を解け。

2x＋3y ＝ －6

x ＝－4 y＋7{

を計算せよ。327 －12÷

1

1

00

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7 8 9 10 (回)

(人)

右の図１は，ある中学校の生徒31人が，

バスケットボールのフリースローを10回ずつ

行ったとき,シュートが入った回数ごとの

人数をグラフに表したものである。

シユートが入った回数の中央値を求めよ。

A

B

C

x

O

図１

図２右の図２のように,円Oの周上に3点A,B,Cがある。

点Aと点B,点Aと点C,点Oと点B点Oと点Cを

それぞれ結ぶ。

∠ABO＝42°,∠ACO＝ 26°のとき,

xで示した∠BOCの大きさは何度か。

図３右の図３で,△ADEは,△ABCを頂点Aを中心として

反時計回り(矢印の方向)に回転移動させたものである。

解答欄に示した図をもとにして,△ABCを頂点Aを

中心として反時計回りに90°回転移動させてできる

△ADEを,定規とコンパスを用いて作図し,頂点D,

頂点Eの位置を示す文字D,Eも書け。

ただし,作図に用いた線は消さないでおくこと。 A

E

D

C

B

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　問題②

右の図２は,縦と横がともに5マスである正方形のそれぞれの

マスに,左上から,自然数を1から順に1つずつ書いた表である。

図１,図２において,連続して縦に並んだ3つの数を選び,中央の数

の2乗から他の2つの数の積を引いたときの差であるQを考える。

図１において,選んだ3つの数が,

　1,5,9 の場合, Q＝52－1×9＝16＝42 となり,

　6,10,14 の場合, Q＝102－6×14＝16＝42 となる。

図２において,選んだ 3つの数が,

　3,8,13の場合, Q＝82－3×13＝25＝52となり,

　15,20,25の場合, Q＝202－15×25＝25＝52となる。

nを3以上の整数として,縦と横がともにnマスである正方形のそれぞれのマスに,左上から,

自然数を1から順に1つずつ書いた表において,連続して縦に並んだ3つの数を選び,中央の数の

2乗から他の2つの数の積を引いたときの差であるQを考えるとき,Q＝n2 となることを確かめ

なさい。

ある中学校で,Sさんが作った問題をみんなで考えた。次の各問に答えよ。

右の図１は,縦と横がともに4マスである正方形のそれぞれのマスに,

左上から,自然数を1から順に1つずつ書いた表である。

図１において,1,5,9 のように,連続して縦に並んだ 3つの数を選び,

選んだ 3つの数の和であるPを考える。

Pが4の倍数になる選び方は全部で何通りあるか考えてみよう 。

[問１]

[Sさんが作った問題]で,Pが4の倍数になる選び方は全部で何通りあるか。

先生は. [Sさんが作った問題]をもとにして,次の問題を作った。

[問２]

[先生が作った問題]で,Q＝n2 となることを証明せよ。

図１

図２

[先生が作った問題]

[Sさんが作った問題]

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19

1 2 3 4

6 7 8

9

5

1110 12

13 14 15 16

20

21 22 23 24 25

２

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　問題③

３

図１

x

x

P

右の図１で,点Oは原点,点Aの座標は(－6,0)であり,

曲線 l は関数 y ＝　　 のグラフを表している。

曲線 l 上にある点をPとする。

次の各問に答えよ。

〔問２〕

右の図２は,図１において,点Pを通り y 軸に平行な直線 m

を引き,直接 m 上にあり y 座標が点Pの y 座標より6大きい点

をQとし,点Aと点Qを結んだ場合を表している。

次の①,②に答えよ。

〔問１〕

点Pの x 座標をを a , y 座標を b とする。

a のとる値の範囲が－6≦ a ≦5のとき, b のとる値の範囲を

不等号を使って,□≦ b ≦□で表せ。

①　点Pが y 軸上にあるとき,2点A,Qを通る直線の式を求めよ。

②　点Pの x 座標が正の数のとき, y 軸を対称の軸として点Aと

　　線対称な点をBとし,点Aと点P,点Bと点Pをそれぞれ結んだ

　　場合を考える。

　　△ABPの面積と△APQの面積が等しくなるとき,

　　点Pの座標を求めよ。

図２

21

x2 y

y lm

l

－5 5

－5 5

5

10

20

15

O

O

5

10

20

15

P

A

A

Q

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　問題④

４

図１

図２

右の図１で,△ABCは正三角形である。

点Pは,辺BC上にある点で,頂点B,頂点Cのいずれにも

一致しない。

頂点AとPを結ぶ。

点Pから辺ACに引いた垂線と,辺ACとの交点をQとする。

次の各問に答えよ。

①　△PSR∽△ASQであることを証明せよ。

〔問２〕

右の図２は,図１において,点Pを通り辺ACに平行な直線を

引き,辺ABとの交点をRとし,点Qと点Rを結び,

線分APと線分QRとの交点をSとした場合を表している。

次の①,②に答えよ。

〔問１〕

図１において,∠BAPの大きさをa°とするとき,

∠APQの大きさをaを用いた式で表せ。

A

B C

Q

P

A

B C

QR

P

S

②　図２において,BP：PC＝1：2のとき,△PQSの面積は

　　△ABCの面積の何分のいくつか。

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　問題⑤

５

図１

図２

右の図１に示した立体ABCD－EFGHは,

AB＝AD＝8cm,AE＝6cmの直方体である。

頂点Cと頂点Fを結び,線分CF上にある点をPとする。

頂点Aと点P,頂点Dと点Pをそれぞれ結ぶ。

次の各問に答えよ。

AB

CD

E F

G

P

Q

〔問２〕

右の図２は,図１において,点Pが線分CFの中心となるとき,

点Pから辺FGに引いた垂線と,辺FGとの交点をQとし,

頂点Aと点Q,頂点Dと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。

立体P－AQDの体積は何cm3か。

〔問１〕

点Pが頂点Fに一致するとき,△APDの内角である

∠DAPの大きさは何度か。

AB

CD

E F

GH

H

P

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　解答③

〔問７〕

1

1

00

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7 8 9 10 (回)

(回)

(人)生徒の人数が31人なので,シュートが入った回数を

少ない順に並べたとき,16番目の値が中央値となります。

つまり,16番目のシュートの入った回数が中央値となります。

シュートが入った回数が2回以下の人数は,

2＋3＋6＝11(人)で,

3回の人数は,5人なので,中央値は,3回 ……(答え)

次のように,実際に小さい順に並べて16番目の数を調べてもいいよ！ただし,全部かく必要はないよ。

例： 8個の資料

31個の資料

15 1920212324 2529

15 19 20 21 23 24 25 29小さい順に並べると

小さい順に並べると

度数の合計が偶数 → 中央にある2つの値は,21と23

度数の合計が奇数→中央にある値は16番目なので,3

中央値は 21＋232

＝22

0 0 11 1 22 2 22 2 3 3 33 3 4 4 4 4 5 5 6 7 8 8 9 9 9 10 10

0 0 11 1 22 2 22 2 3 3 33 3 4 4 4 4 5 5 6 7 8 8 9 9 9 10 10

シュートが入った回数を小さい順に並べると

16番目

31人

資料をその値の大きさの順に並べたとき,その中央の順位にくる値を中央値またはメジアンという。度数の合計が奇数のときは,中央にある値を中央値とする。度数の合計が偶数のときは,中央にある2つの値の平均値を中央値とする。

中央値(メジアン)中央値(メジアン)

資料をその値の大きさの順に並べたとき,その中央の順位にくる値を中央値またはメジアンという。度数の合計が奇数のときは,中央にある値を中央値とする。度数の合計が偶数のときは,中央にある2つの値の平均値を中央値とする。

奇数の場合。●÷２の商の数＋２

中央値(メジアン)中央値(メジアン)

の中央値は？

ココまでで11人

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　解答④

〔問８〕

奇数の場合。●÷２の商の数＋２

A

B

C

x

O

図１のように,点Aと点Oを結びます。

図２,OAとOBは円Oの半径なので,OA＝OBより,

△OABは二等辺三角形となるので,

∠BAO＝∠ABO＝42°

同様に,図３,OA＝OCより,

△OACは二等辺三角形となるので,

∠CAO＝∠ACO＝26°

∠BAC＝∠BAO＋∠CAO＝42°＋26°＝68°

図４,BCに対する中心角と円周角の関係より,

x＝2×∠BAC＝ 2×68°＝136°……(答え)

A

DC

E

O

A

DC

E

O

80°

42°

42° 26°

26°

40°

A

DC

E

O

80° 60° 40°30°

A B

DC

O

80° 60°

１つの弧に対する円周角は等しく,その弧に対する円周角は,中心角の半分となる。

O

中心角

円周角

弧

円周角の定理円周角の定理

a° a°

2a°

三角形の内角・外角の性質三角形の内角・外角の性質

三角形の外角は,それと隣り合わない２つの内角の和に等しい。

a°

b°a°＋b°

図１

図１

図２

図３

図４

E

40°30°

？

A

B

C

x

O

図２

図３

図４

図１のように,点Oと点C,Dをそれぞれ結びます。

図２,円周角の大きさは,弧の長さに比例するので,

図４,△ABEにおいて,三角形の内角・外角の性質より,

∠AEC＝∠ABE＋∠BAE＝40°＋30°＝70°

A B

DC

E

OACに対する中心角と円周角の関係より,

BDに対する中心角と円周角の関係より,

より,∠AOC＝94

94

AC＝ AB ×180°＝80°

21

21 ×80°＝40°∠ABE＝ ∠AOC＝

21

21 ×60°＝30°∠BAE＝ ∠BOD＝

A B

DC

E

O

80°40°

A B

DC

E

O

80° 60° 40°30°

31BD＝ AB より,∠BOD＝ 3

1 ×180°＝60°図３,

A B

DC

O

80° 60°１つの弧に対する円周角は等しく,その弧に対する円周角は,中心角の半分となる。

O

中心角

円周角

弧

円周角の定理円周角の定理

a° a°

2a°

三角形の内角・外角の性質三角形の内角・外角の性質

三角形の外角は,それと隣り合わない２つの内角の和に等しい。

a°

b°a°＋b°

図１

図２

図３

図４

E

40°30°

？

42°

42° 26°

26°

A

B

C

x

O

A

B

C

x

O

68°

円の問題は,半径を意識し,二等辺三角形の性質を利用できないか考えよう！

●●

●

●の長さは同じ。

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　解答⑤

図１

解答解答

A B

C

図２

A

R

C

B

図３

AP

R

Q

P Q

P Q

C

B

図１,①,辺ABを延長して,点Aを中心とする円(弧)

をかき,直線ABとの交点をP,Q とします。

図２,②,③,2点P,Qを中心とする半径の等しい

円(弧)をそれぞれかき,その交点をRとします。

図３,④,2点A,Rを通る直線を引きます。

①

②

② ③

③

④

方針方針

AB⊥DA,AB＝ADとなる点Dを作図。→ AC⊥EA,AC＝AEとなる点Eを作図。

→ 3点A,D,Eを結べばよい。

まずは,辺ABを延長して,AB⊥DA,AB＝ADとなる点Dを作図するよ！

AB⊥RAとなっているよ！

〔問９〕

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　解答⑩

３

図３

x

y l：

O－6 5

21 x2

y ＝

解答解答

〔問１〕

21

x2 y ＝点Pの x 座標は２次関数

のグラフ上の点なので,

21 ×( －6)2 ＝ 18b ＝

x 座標が－6 (a＝－6)のときの y座標(bの値)は, 225

21

225×52 ＝ b ＝

x 座標が5 (a＝5)のときの y座標(bの値)は,

よって,図３のグラフより,

bのとる値の範囲は,0≦b≦18 ……(答え)

18

bはこの範囲をとる

bはこの範囲ではない！

「 変域」・「とる値の範囲」・「最大値・最小値」 とあったらグラフを書いて考えよう！

条件反射条件反射

〔問１〕

方針方針

とる値の範囲問題なので, x 座標が－6 ,5のときのy座標の値を求めて,簡単なグラフをかいて

考えよう！

範囲内でどこが一番高くて，どこが一番低いかはグラフを見れば一目瞭然(りょうぜん)だよね！

ココが最大値！

ココが最小値！

切りとった部分の一番高いところが最大値,一番低いところが最小値になる。切りとった部分の範囲は,「最小値～最大値」になる。

「変域」・「とる値の範囲」・「最大値・最小値」「変域」・「とる値の範囲」・「最大値・最小値」

最大値はココ！

ココで切りとる

最小値はココ！

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　解答⑯

解答解答

方針方針

まずは,問題で与えられている値を図に書きこむと,次のようになります。

〔問２〕②

BP＝t として,線分PC,ACの長さを t を使った式で表す。→ △PCQにおいて,線分QCの長さを t を

使った式で表す。→ △RBPが正三角形より,線分RPの長さ

を t を使った式で表す。

→ △PSR∽△ASQより,PS：SAを求める。

→ △PQSの面積を T を使った式で表す。

→「△PQSの面積」÷「△ABCの面積」より,△PQSの面積は,

△ABCの面積の何倍かを求める。

図１,BP＝ t とすると,

BP：PC＝1：2 より,PC＝2BP＝2t

△ABCは正三角形だから,AC＝BC＝BP＋PC＝ 3t

図形問題は,まずは問題で与えられている値,そこからわかる値を図に書きこもう！

A

B C

QR

P

S R S

A

B C

Q

P

図１

図２

60°

①

②3

60°

60°

60°

60° 60°

① ②

R S

A

B C

Q

P

60°

60° 60°

① ②

12CQ＝ PC＝ 1

2 ×2t ＝ t

AQ＝AC－CQ＝3t － t ＝ 2t

t 2t

3

図２・３,△PCQは,∠PCQ＝60°,∠PQC＝90°の

直角三角形なので,３辺の比が1：2：　 となるので,

CQ：PC＝1：2

3t

R S

A

B C

Q

P

60°

60°

①

①

②t 2t

3t

60°

図３

3

R S

A

B C

Q

P

60°

60°

① ②

3t

t

2t

60°

3

面積の割合(●倍)を求める問題は,小さい面積をTなどの文字でおいて,大きい面積をTを使って表し,「大きい面積」÷「小さい面積」または

「小さい面積」÷「大きい面積」を計算すると,うまくいくことが多いよ！

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　解答⑰

＝ ＝×( 2T ＋T )32 T

92

ここで,図６,△PQSの面積を

T とすると,

PS：AS＝1：2より

△ASQ＝2△PQS＝2T

図９・10,PC：BC＝2t：3t ＝2：3 より

274

△PQSの面積は,△ABCの面積の

……(答え) となります。

△APQ＝ ×(△ASQ＋△PQS)32

32△APC＝

T92 T

274△APC＝ ×

32

32 ＝△ABC＝

図４

図４,RP//ACより,

∠RPB＝∠ACB＝60°,

∠BRP＝∠BAC＝60°となるので,

△RBPは正三角形とわかります。

よって,RP＝BP＝t

さらに,①より,△PSR∽△ASQだから

(図５参照)

RP：QA＝PS：AS＝t：2t ＝1：2

R S

A

B C

Q

P

60°

60°60° 60°

3t

3tt

t

図５

R S

A

B C

Q

P

3t

3tt

t

2t

１

２

図６

図７ 図８

T

2TR S

A

B C

Q

P

3t

3tt

2t

１

２

T274 27

4よって,△PQS÷△ABC＝T÷ ＝ T

R S

A

B C

Q

P

3t

3tt

2t

3T 92

R S

A

B C

Q

P

3t

3tt

2t

T

図９ 図10

図７・８,AQ：AC＝ 2t：3t ＝2：3 より

92

R S

A

B C

Q

P

3t

3tt

2t

2t

TR

A

B C

Q

P

3t

3tt

2t

2t

T274

高さが等しい三角形の面積比

赤の面積＝a×h÷２緑の面積＝b×h÷２よって,赤の面積：緑の面積＝a：b

すなわち高さの等しい２つの三角形の面積比は底辺の比と一致する。

h

a b

高さが等しい三角形の面積比

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☆東京都 都立高校入試問題 平成26年度　解答⑱

AB

CD

E F(P)

GH

図１ 図２

AD⊥AB，AD⊥AEであるから(図１参照),ADは平面AEFBに垂直(図２参照)となります。

このとき,ADは頂点Aを通る平面AEFB上のどの直線とも垂直となるので,AD⊥AP(AF)

がいえます。(図３参照)

よって,∠DAP＝90°……(答え)

図３

AB

CD

E F(P)

GH

AB

CD

E F(P)

GH

AB

CD

E

GH

AB

CD

E

GH

平面Pと直線 l が交わっていて,その交点をOとする。点Oを通る平面P上の２直線 m,nと直線 l が垂直なら直線 l と平面Pは垂直である。また,その逆も成り立つ。

O平面P

直線 l 直線 m

直線 n

8cm

8cm

6cm

〔問１〕

まずは,問題で与えられている値を図に書きこむと,

次のようになります。

これより,次を確認しましょう！

平面ABCD,平面EFGHは正方形となっている。

解答解答

方針方針

∠DAPの大きさを求める。→ 角度を含む三角形が特殊形(正三角形・30°,60°,90°の直角三角形・

直角二等辺三角形(45°,45°,90°))になるかを考える。→

本問は,三角形を考えなくても,∠DAB＝90°なので,同じ90°になりそう！

平面と直線の垂直平面と直線の垂直

図形問題は,まずは問題で与えられている値,そこからわかる値を図に書きこもう！

F

P

F

P

５

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