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APUNTES DE AEROELASTICIDAD

Ing. Miguel A Bavaro Revisin: 0 04/2009

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AEROELASTICIDAD

1) Introduccin. Definiciones. 2) Sistemas de un grado de libertad. Vibraciones libres con y sin

amortiguamiento. Respuesta de sistemas simples. Diagramas de Bode. 3) Vibraciones de sistemas con mltiples grados de libertad. Modelos

matemticos. Coordenadas generalizadas. Principio de Hamilton. Ecuaciones de Lagrange. Acoplamiento. Sistemas Autoexcitados.

4) Vibraciones de alas. Flexin y torsin. Modelos discretos y continuos. 5) Problemas aeroelastoestticos. Divergencia Torsional. Modelo discreto.

Modelo continuo. Divergencia de alas en flecha. Inversin de comandos 6) Aeroelastodinmica. Fltter y Buffeting. Definicin y clasificacin.

Mtodos de anlisis: analticos y experimentales.

7) Introduccin a la Aerodinmica No estacionaria.

8) Fltter binario flexin-torsin. Modelos bidimensionales.

9) Fltter con las superficies de comando. Mtodos aproximados para la estimacin de la velocidad de Fltter. Balanceo de las superficies de comando y prevencin del Fltter.

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Tema N1: Introduccin a la Aeroelasticidad Aeroelasticidad: Disciplina que estudia los fenmenos de interaccin entre las cargas aerodinmicas y las deformaciones inducidas por estas en la estructura de las aeronaves y sus mecanismos de comando. Una consecuencia directa de esta deformacin es que la propiedad ms importante para prevenir los fenmenos aeroelsticos es la rigidez estructural. Otra caracterstica distintiva de los fenmenos aeroelsticos es que dado que las cargas son aerodinmicas (o sea dependen de la velocidad del aire) no pueden ser eliminados, pues siempre habr una velocidad a la cual se producirn dichos efectos; lo que se busca es que esta velocidad sea mayor que la velocidad mxima de la aeronave. Las normas aeronuticas prescriben la relacin mnima que debe existir entre la velocidad de aparicin de los distintos fenmenos y la velocidad del avin. Se puede definir a la Aeroelasticidad como una conjuncin de tres disciplinas:

DINAMICA (FUERZAS DE INERCIA)

MECANICA DE LOS FLUIDOS MECANICA DEL SOLIDO (FUERZAS AERODINAMICAS) (FUERZAS ELASTICAS) La Aeroelasticidad concierne a aquellos fenmenos fsicos que involucran una significativa INTERACCION entre las fuerzas de INERCIA, ELASTICAS y AERODINAMICAS. Como tal los problemas aeroelsticos pertenecen a la categora de los denominados PROBLEMAS de INTERACCION, los cuales por su naturaleza NO ADMITEN un tratamiento SECUENCIAL para su resolucin, a diferencia de otros problemas, por ejemplo los TERMOMECANICOS. Adicionalmente se pueden definir otras disciplinas tomando las antes mencionadas de a pares: MECANICA DEL VUELO = DINAMICA + AERODINAMICA DINAMICA ESTRUCTURAL = DINAMICA + MECANICA DEL SOLIDO AEROELASTOESTATICA = MECANICA FLUIDOS + MECANICA SOLIDOS Conceptualmente, cada una de estas disciplinas puede pensarse como un aspecto especial de la AEROELASTICIDAD.

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Clasificacin de los fenmenos aeroelsticos. Divergencia 1) Fenmenos aeroelastoestticos:

Inversin de comandos Fltter 2) Fenmenos aeroelastodinmicos:

Buffeting Por razones histricas, en general slo se consideran los fenmenos aeroelastoestticos (Divergencia e Inversin de Comandos). Sin embargo, el impacto de la Aeroelasticidad sobre la Mecnica del Vuelo se ha incrementado sustancialmente en los ltimos aos, por ejemplo: a) Las tensiones inducidas por las altas temperaturas originadas en los

vuelos supersnicos e hipersnicos pueden ser importantes en los problemas aeroelsticos, en estos casos se aplica el trmino AEROTERMOELASTICIDAD.

b) En otras aplicaciones, la Dinmica de los Sistemas de Control y Guiado puede afectar significativamente a los problemas aeroelsticos y viceversa, originando el trmino AEROSERVOELASTICIDAD.

Mientras que la Aeroelasticidad es un disciplina de origen netamente aeronutico, cada vez son ms las aplicaciones de esta disciplina en otras reas de la ingeniera, como por ejemplo: Flujo de aire en puentes, chimeneas y edificios muy altos, Flujo en turbomquinas y caeras, Flujo en intercambiadores de calor y elementos combustibles de centrales nucleares, etc. Se puede pensar que en la medida que se utilicen estructuras cada vez ms livianas y condiciones de flujo ms severas, mayor ser el riesgo de encontrarse con un problema aeroelstico.

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Definiciones: Vibracin: Se dice que un cuerpo vibra cuando ejecuta un movimiento peridico alrededor de una posicin de equilibrio. Movimiento peridico: Es un movimiento que se repite cada cierto intervalo de tiempo llamado: Perodo x

t T = perodo Movimiento armnico simple: Es un movimiento que sigue una funcin senoidal o cosenoidal.

x

C t

x = A sen t + B cos t = C sen (t + ) Donde: = Frecuencia angular. C = Amplitud del movimiento. = Desfasaje inicial. Vibracin libre: Es el movimiento peridico que describe un sistema elstico cuando es apartado de su posicin de equilibrio y liberado. Vibracin forzada: Es la vibracin que resulta de la aplicacin de una fuerza externa peridica. Rgimen transitorio: Es el movimiento que describe un sistema durante el tiempo requerido para adaptarse de un sistema de fuerzas a otro. Rgimen estacionario: Es el movimiento que describe un sistema una vez finalizado el rgimen transitorio. Frecuencia natural: Es la frecuencia de la vibracin libre de un sistema elstico.

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Resonancia: Cuando sobre un sistema acta una fuerza exterior peridica cuya frecuencia coincide o es cercana a una frecuencia natural del sistema, la amplitud del movimiento se incrementa; en este caso se dice que existe un estado de resonancia. Divergencia: Inestabilidad torsional esttica del ala de un avin debida a las fuerzas aerodinmicas. Inversin de comandos: Inestabilidad torsional esttica de un componente con superficie de comando, que anula o invierte el efecto de dicha superficie de comando. Fltter: El Fltter es un movimiento o vibracin inestable y divergente causado por las fuerzas aerodinmicas. Buffeting: Vibracin forzada de una parte del avin causada por la estela generada en otro componente de la aeronave. Fltter binario: Fltter que involucra dos modos simples de vibracin en forma simultnea. Fltter ternario: Fltter que involucra simultneamente tres modos simples de vibracin.

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Tema N2: Vibraciones de sistemas de un grado de libertad u(t)

K

P(t)

C M

( )Mu Cu Ku P t+ + = Vibraciones libres: P(t) = 0

a) Sin amortiguamiento: C = 0

0 0KMu Ku u uM

+ = + =

Denominando: 2nKM

= resulta:

( ) ( ) ( )1 2sen cosn nu t A t A t = +

Donde nKM

= es la frecuencia natural del sistema.

Las constantes A1 y A2 se obtienen a partir de las condiciones iniciales.

b) Con amortiguamiento: C 0

20 0 0nC K CMu Cu Ku u u u u u uM M M

+ + = + + = + + =

Planteamos como solucin: ( ) tu t Ae= , reemplazando resulta:

2 2 2 20 0tn nC CA eM M

+ + = + + =

2

21,2 22 4 n

C CM M

=

8

La forma de la solucin depende del valor del discriminante:

2

224 n

CM

=

Al valor del amortiguamiento C que hace el discriminante igual a 0 se denomina amortiguamiento crtico (Ccr).

2

2 2 2 22 0 4 24

crn cr n cr n

C C M C MM

= = = =

Denominando amortiguamiento reducido () a la relacin entre el amortiguamiento y el amortiguamiento crtico, resulta:

2 2 2 2

1,2

2 2

1

ncr n

n n n n n

C C CC M M

= = =

= =

Para C > Ccr ( >1), las races 1,2 son reales, distintas y negativas: ( ) ( )2 21 21 y 1n n = = + En consecuencia se obtiene:

( ) 1 21 2t tu t A e A e = + Este es un movimiento no armnico denominado sobreamortiguado. Para C = Ccr ( = 1), tendremos una raz doble, real y negativa 1,2 n = y la solucin resulta:

( ) 1 2n nt tu t A e A t e = + obtenindose tambin un movimiento no armnico.

Para C < Ccr ( < 1), las races 1,2 son complejas conjugadas, resultando un movimiento armnico amortiguado: 2 21 21 y 1n n n ni i = = +

Definiendo como frecuencia propia: 21d n = se obtiene la siguiente expresin para el desplazamiento:

( ) ( ) ( )1 2sen cosnt d du t e A t A t = +

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u

> 1

= 1

t

< 1 En todos los casos se supuso que la constante de amortiguamiento C y por lo tanto eran positivas, suponiendo que fuera fsicamente posible que C fuera negativo, en ese caso tendramos que la amplitud del movimiento crecera con el factor nte y el movimiento resultara divergente. Este amortiguamiento negativo puede interpretarse como una entrega de energa al sistema en lugar de su disipacin. Cuando la representacin matemtica de un sistema fsico lineal tiene una apariencia tal que C es negativo, este sistema se denomina auto-excitado. Vibraciones forzadas: P(t) 0 ( )Mu Cu Ku P t+ + = Suponemos una fuerza armnica: ( ) ( )0 senP t P t= Donde es la frecuencia de la fuerza forzante.

( ) ( )00 sen senPC KMu Cu Ku P t u u u t

M M M + + = + + =

Reemplazando por los valores hallados anteriormente, se obtiene:

( )2 02 senn nPu u u tM

+ + =

10

Una solucin particular es: ( ) ( )senu t A t = Reemplazando en la ecuacin diferencial: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 0

sen cos cos sen

cos cos sen sen

sen cos cos sen

sen cos cos sen 2 cos cos sen sen

sen cos cos sen sen

n

n

u t A t t

u t A t t

u t A t t

t t t t

Pt t t

AM

= = +

= + + + + +

+ =

Agrupando tendremos:

( )

( )

2 2 0

2 2

cos sen 2 (1)

cos 2 sen 0 (2)

n n

n n

PAM

+ =

=

de la ecuacin (2) se obtiene:

( ) ( )2 2 2 2

2 2tan arctann nn n

= =

Denominando frecuencia reducida a la relacin: n

= , tendremos:

( )22arctan

1

=

(3)

Operando en la ecuacin (1) nos queda:

( )

( )

2 2 2 0

2 0 0 02

cos 1 sen 2

cos 1 sen 2

n n

n

PAM

P P PKAM A KA MM

+ =

+ = = =

De la expresin (3) obtenemos:

( )

( )( )

2

2 22 2 2 2 2 2

12sen = cos =1 4 1 4

+ +

Reemplazando en (1) y operando obtenemos:

11

( )

0

22 2 2=

1 4

PKA

+

El valor 0PK

es el desplazamiento correspondiente al problema esttico Aest, por

lo tanto resulta:

( )22 2 2

1=1 4est

AA +

(4)

Graficamos est

AA

y en funcin de y tomamos como parmetro al

amortiguamiento reducido : A =0 Aest 6 =0 =0,15 /2 =0,2 =1 =0,5 =0,5 1 =1 =0,2 =0,15 0,5 1 1,5 1 Podemos ver que las cercanas de = 1 se produce un aumento de la amplitud para < 1.

Si planteamos 0estA

A

=

, podremos obtener la frecuencia donde se produce

la resonancia: 2 21 2 1 2R R n = =

12

Reemplazando el valor de la frecuencia de resonancia en la expresin (4) obtendremos la amplitud de resonancia:

2

12 1esr R

AA

=

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Tema N3: Vibraciones de sistemas discretos con mltiples grados de libertad En este punto estudiaremos las caractersticas de vibracin de los sistemas discretos con mltiples grados de libertad, este tipo de sistemas son muy utilizados en los modelos matemticos de sistemas ms complejos. Para el planteo de las ecuaciones de movimiento de estos sistemas emplearemos una formulacin variacional por ser la ms prctica para esta tarea. En principio se podra aplicar la segunda ley de Newton (equilibrio de cuerpo rgido), pero el enfoque basado en el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange resulta ms efectivo, fundamentalmente en sistemas con muchos grados de libertad. El principio de Hamilton se puede deducir a partir de la 2da ley de Newton para una partcula, luego generalizarlo a muchas partculas y finalmente a un medio continuo.

Planteamos la 2da ley de Newton para la partcula P:

2 2

2 2 0d r d rF m m Fdt dt

= =

Consideramos un camino adyacente r r+ , donde r es un desplazamiento virtual. Si el intervalo de inters es 1 2t t t= se requerir que

1 20

t t t tr r

= == =

Planteando el principio de los trabajos virtuales obtenemos:

( )2 2 21 1 1

2 2

2 20 0t t t

t t t

d r d rm r F r dt m r dt F r dtdt dt

= =

i i i i (5)

z

y

x

t1

t2 P

r r r+

r

F

14

Integrando por partes el primer miembro de la ecuacin (5) tendremos:

2 211

2

2

t t

tt

d r d rm r dt m rdt dt

=

i i ( )2

1

t

t

d r dm r dtdt dt

i Si r es una funcin continua y derivable (analtica), se puede demostrar que:

( )d d rrdt dt

=

Con lo cual resulta:

2 21 1

2

2

t t

t t

d r d r d rm r dt m dtdt dt dt

=

i i

Aplicando la variacin de un producto:

2d r d r d r d r d r d r d r d rdt dt dt dt dt dt dt dt

= + =

i i i i

Por lo tanto resulta:

2 2 21 1 1

2

2 2t t t

t t t

d r d r d r m d r d rm r dt m dt dtdt dt dt dt dt

= =

i i i

Reemplazando en (5) se obtiene:

2

1

1 02

t

t

dr drm F r dtdt dt

+ = i i

Este es el Principio de Hamilton para una partcula material que se puede expresar como:

( )21

0t

tT W dt + = (6)

Donde:

12

dr drT mdt dt

=

i Primera variacin de la energa cintica

W F r = i Trabajo virtual de las fuerzas exteriores Vemos que la expresin (6) es la forma variacional de la segunda ley de Newton. Antes de continuar es deseable saber cuando podemos invertir el proceso, o sea, a partir de la expresin integral del Principio de Hamilton, obtener la ecuacin diferencial de Newton. La respuesta a esta pregunta no es

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inmediata, despus de todo, el Principio de Hamilton representa una integral sobre el intervalo de inters, mientras que la ley de Newton debe cumplirse para todo tiempo. Aplicando este proceso inverso, ms adelante obtendremos las ecuaciones de Lagrange. El Principio de Hamilton puede generalizarse fcilmente a un conjunto de partculas, teniendo en cuenta que el principio bsico no vara, sino que se modifican las expresiones del trabajo y la energa cintica:

1 2

Ni i i

i

m dr drTdt dt

=

=

i

1

N

i ii

W F r =

= i Para generalizarlo a un cuerpo continuo, debemos tener en cuenta que el trabajo virtual de las fuerzas tiene que incluir todas las fuerzas presentes, las cuales se pueden descomponer en: i C NCW W W W = + + Donde: Wi = Trabajo virtual de las fuerzas interiores WC = Trabajo virtual de las fuerzas exteriores conservativas WNC = Trabajo virtual de las fuerzas exteriores no conservativas El trabajo virtual de las fuerzas interiores es igual a la variacin de la energa de deformacin cambiada de signo: Wi = -U El trabajo virtual de las fuerzas exteriores conservativas es igual a la variacin del potencial de las cargas exteriores cambiado de signo: WC = -V Reemplazando obtenemos:

( ) *NC NC NCW U V W U V W W = + = + + = + Donde * es la primera variacin de la energa potencial total. Consecuentemente, el Principio de Hamilton para un cuerpo continuo resulta:

( )21

* 0t

NCtT W dt + = (7)

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Ecuaciones de Lagrange Las ecuaciones de Lagrange se utilizan para revertir el proceso por el cual dedujimos el Principio de Hamilton. Sin embargo para obtener un resultado ms general que la 2da ley de Newton, introducimos el concepto de coordenadas generalizadas o grados de libertad. Se define de esta manera a las cantidades independientes necesarias y suficientes para describir el movimiento de un sistema dinmico. O sea, el desplazamiento de una partcula o un punto de un cuerpo continuo puede expresarse como: ( )1 2, , , , , ,i Nr r q q q q t= Donde qi es la isima coordenada generalizada, en consecuencia resulta:

( )( )1 2 1 2

* *1 2 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,i N i N

i N i N

T T q q q q q q q q t

q q q q q q q q t

=

=

Las variaciones de la energa cintica y potencial total resultan:

1 11 1

* * * * * **

1 11 1

i N i Ni N i N

i N i Ni N i N

T T T T T TT q q q q q qq q q q q q

q q q q q qq q q q q q

= + + + + + + + + +

= + + + + + + + + +

Si reemplazamos en la expresin del Principio de Hamilton (7) obtendremos:

( ) ( )2

1

* *

10

N t

i i i iti i i

T Tq q Q q dt

q q

=

+ + =

(8)

Donde las Qi son las fuerzas generalizadas, las cuales se pueden obtener a partir de la expresin:

1

N

NC i ii

W Q q =

= (9) Si integramos por partes el primer trmino de la ecuacin (8) y teniendo en cuenta que para funciones analticas los smbolos derivada y variacin son intercambiables, tendremos:

( ) ( ) 22

1

1

* * tt

i iti i

t

T Tq dt q

q q

=

( )21

*t

iti

Td q dtdt q

Reemplazando en (8) y agrupando:

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( ) ( )2

1

* *

10

N t

i iti i i

T Td Q q dtdt q q

=

+ + =

Dado que los qi son arbitrarios y que las integrales no pueden depender de los lmites de integracin, el cumplimiento de la igualdad implica que:

( ) ( )* *

0 1, 2, ,ii i

T Td Q i Ndt q q

+ + = =

(10)

Las expresiones (10) se denominan Ecuaciones de Lagrange y permiten obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema dinmico a partir de la aplicacin del Principio de Hamilton. Acoplamiento Consideremos el siguiente sistema con 2 grados de libertad y sin amortiguamiento:

Planteamos el Principio de Hamilton, considerando como grados de libertad a u1 y u2:

Energa cintica: 2 21 21 22 2M MT u u= +

Energa Potencial Total: ( )2* 21 21 2 12 2K Ku u u = +

Las ecuaciones de Lagrange resultan:

u2

u1

K1

K2

M1

M2

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( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

1 1 1 1 2 1 21 1

* *

2 2 2 2 12 2

0 0

0 0

T Td M u K u K u udt u u

T Td M u K u udt u u

+ = =

+ = =

Agrupando y expresando en forma matricial obtenemos:

1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2

0 00 0

M u K K K uM u K K u

+ + =

Si planteamos como solucin:

( )1 12 2

( )sen

( )u t A

tu t A

= +

y reemplazamos tendremos:

( )1 1 2 2 122 2 2 2

0 0sen

0 0M K K K A

tM K K A

+ + + =

Para que exista una solucin distinta de la trivial debe cumplirse: ( ) ( )

( )

22 2 21 2 1 2

1 2 1 2 2 222 2 2

4 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 0

0 %

K K M KK K M K M K

K K M

M M K M M K K K K M M

+ = + =

+ + + =

Resulta:

( ) 11 24 2 2 1 2

22 1 1 2

0K KK K K

M M M M

+ + + =

Comparando estas frecuencias con las frecuencias naturales correspondientes

a cada conjunto masa-resorte por separado: 1 21 21 2

n nK KM M

= = ,

verificaramos que:

1

2

ni

ni

ii

< >

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Modelo traslacin-rotacin:

Considerando los grados de libertad u y tendremos:

Energa cintica: 2 22 2

pIMT u = +

Energa Potencial Total: ( ) ( )2 2* 1 21 22 2K Ku L u L = + +

Ecuaciones de Lagrange:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

* *

1 1 2 2

* *2 2

1 1 1 2 2 2

0 0

0 0p

T Td Mu K u L K u Ldt u u

T Td I K L u L K L L udt

+ = + =

+ = + =

En forma matricial:

1 2 1 1 2 2

2 21 1 2 2 1 1 2 2

0 00 0p

M K K L K L Ku uI L K L K L K L K

+ + = +

Si definimos: K = K1 + K2 constante lineal equivalente 2 21 1 2 2CK L K L K= + constante de torsin equivalente KA = L2 K2 L1 K1 constante de acoplamiento

K1 K2

L1 L2 u

CG

M, Ip

20

Obtenemos la expresin:

0 0

0 0A

p A C

M K Ku uI K K

+ =

Cuando L2 K2 = L1 K1 la constante de acoplamiento es 0 y el sistema vibra en un modo traslacional y otro rotacional en forma desacoplada, resultando:

Cnu np

KKM I

= =

Vemos que en este caso, a diferencia del anterior, podemos desacoplar ambos modos de vibracin, con las ventajas que esto implica si recordamos que el acoplamiento provoca una disminucin de la primer frecuencia natural del sistema. Sistemas autoexcitados El estudio del fltter se puede comprender ms fcilmente si tenemos en cuenta que este fenmeno pertenece a la clase de oscilaciones cuya caracterstica es que son autoexcitadas. Si consideramos un sistema mecnico de un grado de libertad, con una carga forzante: Mu Cu Ku F+ + = Resulta evidente que la naturaleza de la funcin forzante F juega un rol clave en la determinacin del tipo de movimiento del sistema. Anteriormente vimos el caso en que F era una funcin armnica simple. El movimiento del sistema bajo este tipo de fuerza es independiente del desplazamiento u y sus derivadas. Si ahora consideramos el caso: F = F0 u Con lo cual la ecuacin diferencial resulta:

( )( )

( )

0

20

20

1,2

0 ( )

0

42 2

t

t

Mu Cu K F u u t A e

M C K F A e

C M K FCM M

+ + = =

+ + =

=

Se obtendr un movimiento oscilatorio amortiguado si se cumple:

( )2

20 04 0 4

CC M K F K FM

< >

El amortiguamiento crtico se obtendr para:

2

04CK FM

=

21

Sin embargo si:

2

04CK FM

<

Se obtiene un movimiento no oscilatorio pero divergente, de hecho si slo se cumple K < F0, la solucin es divergente pues e se eleva a una potencia positiva. Estudiaremos el caso en que F = F0

( )( )

( )( )

( )

0

20

20

1,20 0

0 ( )

0

42 2

t

t

M F u Cu Ku u t A e

M F C K A e

C M F KCM F M F

+ + = =

+ + =

=

Soluciones amortiguadas y estables son posibles para M > F0 y stas sern oscilatorias en el caso que:

( )2

20 04 0 4

CC M F K M FK

< >

Si M F0 obtendremos nuevamente soluciones divergentes pero no armnicas. Hemos visto que es posible obtener movimientos inestables o divergentes (aunque no oscilatorios) en sistemas de un grado de libertad en funcin del valor de F0 cuando la fuerza F es proporcional al desplazamiento o la aceleracin. Consideremos ahora el caso ms interesante que es cuando F es proporcional a la velocidad:

( )( )

( ) ( )

0

0

20

200

1,2

0 ( )

0

42 2

t

t

F F u

Mu C F u Ku u t A e

M C F K A e

C F MKC FM M

=

+ + = =

+ + =

=

Aqu para (CF0) > 0 se obtendrn las soluciones vistas. Pero bajo la condicin (CF0) < 0 existir el efecto de un trmino de amortiguamiento negativo, el cual puede interpretarse fsicamente como una entrada de energa al sistema. Todos estos casos se denominan autoexcitados. Una caracterstica de estos sistemas, que en general los hace de muy difcil manejo matemtico, es que la naturaleza de la funcin forzante es poco clara y compleja. Muchas veces las funciones de fuerzas presentes se obtienen a partir de complejas interacciones entre cantidades sujetas simultneamente a diversas leyes fsicas.

22

Tema N4: Vibraciones de vigas. Flexin y torsin El estudio de las vibraciones de las vigas reviste particular importancia si tenemos en cuenta que los componentes ms importantes del avin se pueden suponer como vigas (alas, fuselaje, empenaje). En este caso estudiaremos el clculo de las frecuencias y modos naturales de vibracin de las vigas en flexin y torsin. Vibraciones en flexin. Plantearemos 2 mtodos para calcular las frecuencias y modos naturales:

a) Ecuacin diferencial b) Mtodo de Rayleigh-Ritz.

a) Ecuacin diferencial: Despreciando la deformacin por corte (hiptesis de

Navier) y la inercia rotatoria, la ecuacin de la elstica para una viga referida a los ejes aerodinmicos de un avin resulta:

z

q(y,t)

2

2( )wA y

t

dy

y

2 2

2 2( ) ( , )TwE I y q y t

y y

= (11)

Donde la carga distribuida qT incluye la carga exterior y la fuerza de inercia, o sea:

2

2( , ) ( , ) ( )Twq y t q y t A y

t =

Reemplazando en la ecuacin (11) obtenemos la ecuacin de movimiento de la viga:

2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( , )w wE I y A y q y t

y y t

+ =

(12)

23

Para completar la solucin deberemos plantear 2 condiciones iniciales:

0( ,0) ( )( ,0) ( )

w y w yw y w y

==

Adems de las 4 condiciones de contorno correspondientes a la ecuacin de la elstica.

Suponiendo una viga de seccin constante (I(y) = I , A(y) = A), la ecuacin diferencial (12) resulta:

( , )IVEI w Aw q y t+ =

Para obtener las frecuencias y modos debemos resolver la ecuacin homognea: 0IVEI w Aw+ = Planteamos una solucin por el mtodo de separacin de variables: ( , ) ( ) ( )w y t y Y t= Reemplazando: ( ) ( ) ( ) ( ) 0IVEI y Y t A y Y t + = Dividiendo ambos miembros por EI w(y,t) tendremos:

( ) ( ) ( ) ( )0 cte( ) ( ) ( ) ( )

IV IVy A Y t y A Y ty EI Y t y EI Y t

+ = = =

Si a esta constante la denominamos a4, resultan dos ecuaciones en derivadas totales:

4

4 2 4

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

IV

n

y a yEI EIY t a Y t a

A A

= + = =

Cuyas soluciones son:

1 2 3 4

5 6

( ) sen( ) cos( ) senh( ) cosh( )( ) sen( ) cos( )n n

y C ay C ay C ay C ayY t C t C t

= + + +

= +

Si combinamos las diferentes condiciones de contorno:

a) Extremo libre: 00

( , ) 0( , ) 0

w y tw y t =

=

b) Extremo articulado: 00

( , ) 0( , ) 0

w y tw y t

= =

24

c) Extremo empotrado: 00

( , ) 0( , ) 0

w y tw y t

= =

Encontraremos las frecuencias y modos naturales para los siguientes casos:

1) Viga no vinculada. 2) Viga articulada - libre. 3) Viga empotrada - libre. 4) Viga biarticulada. 5) Viga empotrada-articulada. 6) Viga biempotrada.

La frmula general para la frecuencia natural es:

2nK EIL A

=

Como ejemplo vamos a calcular las frecuencias y modos de una viga biarticulada:

Condiciones de contorno: (0, ) 0(0, ) 0

w tw t

= =

( , ) 0( , ) 0

w L tw L t

= =

1 2 3 4

1 2 3 42 2 2 2

1 2 3 4

( ) sen( ) cos( ) senh( ) cosh( )( ) cos( ) sen( ) cosh( ) senh( )

( ) sen( ) cos( ) senh( ) cosh( )

y C ay C ay C ay C ayy a C ay a C ay a C ay a C ay

y a C ay a C ay a C ay a C ay

= + + + = + +

= + +

2 42 4

2 4

1 3 3 3

1 11 3

(0, ) 0 (0) 0 00

(0, ) 0 (0) 0 0

( , ) 0 ( ) 0 sen( ) senh( ) 0 2 senh( ) 0 02 sen( ) 0 0( , ) 0 ( ) 0 sen( ) senh( ) 0

sen( ) 0

w t C CC C

w t C C

w L t L C aL C aL C aL CC aL Cw L t L C aL C aL

aL a L n

= = + = = = = = + =

= = + = = = = = = + =

= = naL

=

z

y

E, I, , A

L

w(y,t)

25

En consecuencia los modos y frecuencias resultan:

2 2

2( ) senn nn y n EIy

L L A

= =

b) Mtodo de Rayleigh-Ritz: Para aplicar este mtodo aproximado se utilizan

las ecuaciones de Lagrange que ya hemos derivado del Principio de Hamilton.

Los desplazamientos de la viga se aproximan con la expresin:

1( , ) ( ) ( )

n

i ii

w y t c t y=

= Donde:

ci(t) : Amplitudes funcin del tiempo (grados de libertad generalizados) i(y) : Funciones de forma que deben cumplir con las condiciones

esenciales de contorno Planteamos las expresiones de la energa cintica y la energa de deformacin para la viga de Navier:

[ ]

[ ]

2

0

2

0

1 ( , )21 ( , )2

L

L

T A w y t dy

U EI w y t dy

=

=

Dado que se trata de un problema de vibraciones libres no existen cargas exteriores, en consecuencia las ecuaciones de Lagrange resultan:

0i i

d T Udt c c

+ =

Ejemplo: Viga biarticulada Planteamos como aproximacin una funcin polinmica que satisfaga las condiciones esenciales de contorno:

1(0, ) 0

( , ) ( )( , ) 0

w tw y t c y L y

w L t=

= =

Calculamos las energas cintica y de deformacin:

26

[ ]

[ ]

2 53 2 4 52 2 1

1 100

2 21 10

1 1( )2 2 3 2 5 601 2 22

LL

L

Ac Ly L y L yT A c y L y dy Ac

U EI c dy c EI L

= = + =

= =

La ecuacin de Lagrange resulta:

5

1 1 1 141 1

1204 0 030

d T U AL EIc EILc c cdt c c L A

+ = + = + =

De esta ecuacin diferencial podemos obtener la frecuencia natural:

24 2

120 120EI EIL A L A

= =

Comparando con la solucin exacta vemos que con esta funcin tal simple, slo se comete un error del 11%. Este mtodo es muy til en caso de vigas de seccin y masa variable o cuando existen apoyos elsticos. Vibraciones torsionales: a) Ecuacin diferencial: Por simplicidad planteamos el caso de una viga de

seccin circular de material homogneo, istropo, elstico y lineal.

La inercia rotatoria Ir(y,t) vale:

z

y

x

Mt(y,t)

Ir(y,t) T

TT dyy

+

dy

27

2

2( , ) ( )r mI y t I y t

=

El momento de inercia polar msico por unidad de longitud se puede expresar como: Im(y) = Ip(y), donde Ip(y) es el momento de inercia polar de la seccin. Planteando el equilibrio de momentos respecto del eje y obtenemos:

0yM T= T+ T dyy

+

2

2( )pI y dyt

( , )tM y t dy+ 0=

2

2( ) ( , )p tT I y M y ty t

= (13)

Para conocer la relacin que vincula el esfuerzo de torsin T con el ngulo , planteamos las hiptesis de Navier:

2 ( )p

S dy r d ry

G G ry

T r dA G r dA G I yy y

= = =

= =

= = =

Reemplazando en la expresin (13) obtenemos:

2

2( ) ( ) ( , )p p tT GI y I y M y ty y y t

= =

2

2( ) ( ) ( , )p p tGI y I y M y ty y t

=

(14)

La expresin (14) es la ecuacin de movimiento de torsin para una viga de seccin circular. Para el caso ms general en que la seccin de la viga no es circular o tubular, la hiptesis de Navier de secciones planas luego de la

z

y

x

dy

S

r

d

28

ti bi

ti bi

Am

deformacin no se cumple, ya que stas se alabean. La solucin del problema de torsin para secciones no circulares se debe a Saint-Venant y conduce a una ecuacin anloga, con la salvedad que en la energa de deformacin debe cambiarse el momento de inercia polar (Ip) por el parmetro J, que depende de la forma de la seccin, y que para secciones circulares coincide con Ip. Veamos algunos ejemplos de este parmetro J:

Secciones rectangulares esbeltas:

31

3J bt=

Secciones abiertas de paredes delgadas:

3

1

13

n

i ii

J b t=

=

Secciones cerradas de paredes delgadas:

2

1

4 mn

i

i i

AJbt=

=

La ecuacin (14) solamente tiene en cuenta la torsin uniforme, o sea, el momento torsor exterior es constante y el alabeo de las distintas secciones no se encuentra impedido. En el caso que alguna de estas hiptesis no se cumpla, se debe considerar el aporte de la flexin de las alas de los perfiles cuando se torsionan. Este efecto se denomina Torsin No Uniforme.

b

t

29

Por flexin del ala del perfil tenemos:

2 2

2 2( ) ( )f

f f f f f

M w wQ M EI y Q EI yy y y y

= = =

Donde el subndice f indica que se trata de cantidades asociadas al ala (flange) del perfil. Expresamos w en funcin de y obtenemos:

2

2

2 2 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

( )( ) ( ) ( )2

f f

NU f f

h y h yw y y Q EI yy y

h yT Q h y EI y E yy y y y

=

= = =

Donde (y) es un parmetro que depende de la forma de la seccin. Finalmente la ecuacin de movimiento en torsin para una viga de seccin arbitraria resulta:

2 2

2 2( ) ( ) ( ) ( , )p tGJ y E y I y M y ty y y y t

=

(15)

Suponiendo que se trata de una viga de seccin constante y despreciando el efecto de la torsin no uniforme, la ecuacin para el caso de vibraciones libres resulta:

0pGJ I = (16)

z

y w(y)

TNU

x

z

w(y)

h Qf

30

Planteando la misma metodologa que en el caso de las vibraciones en flexin, tendremos:

( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0p

y t y Y tGJ Y t y I y Y t

=

=

Dividiendo ambos miembros por GJ (y,t) tendremos:

2

2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )0( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

p p

np p

I Iy Y t y Y t cte ay GJ Y t y GJ Y t

y a yGJ GJY t a Y t a

I I

= = = =

+ = + = =

Las soluciones de estas ecuaciones son:

1 2

3 4

( ) sen( ) cos( )( ) sen( ) cos( )n n

y C ay C ayY t C t C t

= +

= +

Como ejemplo calcularemos las frecuencias y modos de un ala en voladizo de semienvergadura L, las condiciones de contorno sern:

Extremo fijo (raz del ala): (0, ) 0 (0) 0t = = Extremo libre (puntera): ( , ) 0 ( ) 0L t L = =

1 2

1 2

( ) sen( ) cos( )( ) cos( ) sen( )y C ay C ayy aC ay aC ay

= + =

2

1 1

(0) 0 0( ) 0 cos( ) 0 0

(2 1)cos( ) 0 (2 1)2 2

CL C aL C

naL a L n aL

= = = =

= = =

Finalmente los modos y frecuencias resultan:

(2 1) (2 1)( ) sen2 2n n p

n y n GJyL L I

= =

b) Mtodo de Rayleigh-Ritz: La aplicacin de este mtodo aproximado es

anloga al caso de flexin, slo daremos las expresiones de los trminos del Principio de Hamilton que se emplean en los problemas de torsin:

31

Energa cintica: 2

0

1 ( , )2

L

pT I y t dy =

Energa de deformacin: [ ] [ ]2 20 01 1( , ) ( , )2 2

L LU GJ y t dy E y t dy = +

En la energa de deformacin se incluyen los trminos correspondientes a la torsin uniforme y no uniforme.

32

Tema N5: Fenmenos Aeroelastoestticos. Los fenmenos aeroelastoestticos se caracterizan por admitir ciertas hiptesis simplificativas:

a) El tiempo no es una variable del problema, por lo tanto las fuerzas de inercia pueden eliminarse de las ecuaciones de equilibrio.

b) Las fuerzas aerodinmicas se pueden calcular a partir de las ecuaciones para el flujo estacionario.

Existen dos tipos de problemas aeroelastoestticos:

1) Divergencia 2) Inversin de comandos

Divergencia: a) Modelo Discreto: Para estudiar este fenmeno plantearemos un modelo

bidimensional constituido por un perfil alar rgido (que simula el comportamiento de un ala recta de alargamiento infinito) y un resorte de torsin que representa la rigidez torsional del ala.

El inters principal en este modelo es la rotacin del perfil (y consecuentemente la torsin del resorte) en funcin de la velocidad V. Si el resorte fuera muy rgido o la velocidad del aire muy baja, el ngulo debera ser muy pequeo. Sin embargo, para resortes muy flexibles o altas velocidades del flujo, el giro del perfil podra torsionar el resorte ms all del lmite elstico y conducir a la falla estructural. Un grfico tpico del ngulo de torsin en funcin de la velocidad se muestra en la figura siguiente:

V

0

L MCA

CA

e

c

o

Kc Kc

33

La velocidad para la cual el ngulo de torsin se incrementa rpidamente al punto de alcanzar la condicin de falla, se denomina Velocidad de Divergencia VD. El objetivo principal de cualquier modelo terico es predecir con exactitud VD. Debe enfatizarse que la curva de arriba no slo representa el comportamiento de una seccin alar tpica, sino tambin el del ala de un avin real. De hecho la diferencia principal no es el fenmeno bsico de la divergencia, sino la complejidad del anlisis terico necesario para predecir el valor de VD para un ala real respecto de la sencillez con que se puede calcular para la seccin tpica. El ngulo de ataque total es la suma de un ngulo de ataque inicial 0 (sin torsin del resorte) ms un ngulo adicional debido a la torsin elstica del ala. Aplicando el concepto de Centro Aerodinmico (CA), definido como el punto del perfil respecto del cual el momento aerodinmico es independiente del ngulo de ataque, el equilibrio de momentos respecto del punto O (eje elstico del perfil) resulta:

0c CAK L e M = (17) Donde:

Kc: Constante equivalente a la rigidez torsional del ala L: Fuerza de Sustentacin e: Distancia entre el CA y el eje elstico (positiva para el sentido

indicado en la figura) MCA: Momento aerodinmico respecto del CA

De la teora aerodinmica estacionaria obtenemos:

( )0 0 0

L LL L L

CA MCA

C CL C q S C q S C q S

M C q Sc

= = + = + + =

V VD

Falla estructural

34

Donde:

q: Presin dinmica = 212

V

S: Superficie alar Si consideramos por razones de simplicidad

00LC = y reemplazamos en la

ecuacin de equilibrio (17) tendremos:

( )0 0Lc MCACK e q S C q Sc

+ =

(18)

De la ecuacin (18) podemos despejar el ngulo de torsin (suponemos por simplicidad CMCA = 0):

0 0

1

L L

L Lcc

c

C CeqS eqSC CeSKK eqS q

K

= =

(19)

La solucin (19) tiene algunas propiedades interesantes. Tal vez la ms relevante sea que para una presin dinmica definida el ngulo de torsin tiende a infinito. O sea, el denominador del miembro derecho de la expresin (19) vale 0:

1 0Lc

CeSqK

=

(20)

La ecuacin (20) representa lo que se denomina Condicin de Divergencia mientras que la presin dinmica que resulta de resolver dicha ecuacin se define como Presin Dinmica de Divergencia qD:

cD

L

Kq Ce S

=

(21)

Dado que slo tienen sentido fsico los valores positivos de qD, solamente puede haber divergencia cuando e > 0. Reemplazando la ecuacin (21) en la (19) obtenemos:

0 0

11

L

c D

L

Dc

CeS qqK q

C qeSqqK

= =

(22)

35

Graficando la ecuacin (22) para un valor arbitrario de 0 tendremos:

Vemos que la curva tiene mucha similitud con la correspondiente al pandeo de una columna imperfecta. Para confirmar esta analoga, veamos que ocurre cuando en la ecuacin (19) consideramos 0 = 0:

0LcCK q e S

=

Excluyendo la solucin trivial = 0 se concluye que:

0LcCK q e S

=

(23)

Como ya vimos la expresin (23) es la condicin de divergencia. Podemos concluir entonces que la divergencia es un problema de autovalores, donde debemos encontrar una solucin distinta de la trivial. En los problemas aeroelastoestticos la presin dinmica q juega el papel del autovalor del problema, equivalente a la carga crtica en los casos de pandeo de columnas. Por supuesto que el ngulo de torsin no se vuelve infinitamente grande para ningn ala real, ms an la relacin entre el ngulo de ataque y las cargas aerodinmicas deja de ser lineal mucho antes. Sin embargo, el ngulo de torsin elstico puede ser lo suficientemente grande como para causar la falla estructural. Por esta razn todos los aviones se disean para volar por debajo de los lmites de divergencia para todas las superficies sustentadoras, por ejemplo: alas, empenajes, superficies de control, etc.

D

qq

1

36

b) Modelo Continuo: En este caso plantearemos un modelo ms realista, el cual contiene bsicamente los mismos ingredientes que el modelo discreto. Modelamos un ala recta de gran alargamiento como una Viga Grilla (flexin + torsin) de seccin constante:

Si de la ecuacin de movimiento en torsin (15) eliminamos los trminos inerciales y los correspondientes a la torsin no uniforme, obtenemos la ecuacin de equilibrio esttico siguiente:

( ) ( ) 0td dGJ y M ydy dy

+ =

(24)

Con las siguientes condiciones de contorno: (0) 0

0y L

ddy

=

= =

De acuerdo con la teora del ala con alargamiento infinito, la sustentacin y el momento aerodinmico en una seccin de coordenada genrica y depende nicamente del ngulo de ataque local de dicha seccin, o sea, es independiente del ngulo de ataque de las secciones vecinas. En consecuencia podemos expresar el momento torsor por unidad de envergadura Mt de la siguiente manera:

( )t CAM y M L e= + Donde: MCA: Momento aerodinmico por unidad de envergadura L : Fuerza de sustentacin por unidad de envergadura e : Distancia del eje elstico al Centro Aerodinmico

z

y

x L

dy

y

CA

e

Mt

c

37

Aplicando las expresiones de la Aerodinmica Estacionaria y reemplazando:

[ ]

[ ]

2

0

20

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

CA MCA

L

LL

LMCA

M C q cL C y c q

CC y y y

Cd dGJ C q c y y ec qdy dy

==

= +

+ + + =

Si adimensionalizamos el problema y consideramos que las propiedades geomtricas y fsicas son constantes, obtenemos:

2 2 2

22

02 2

2 2 2

02

2

( 0)2

1

0

0

L LMCA

L LMCA

y

y

yy y L y dy L dy dy L dyL

C CGJ d ec q C q c ec qL dy

C Cd ec q L q c L e C cdy GJ GJ

R

R ddy

=

=

= = = =

+ =

+ = +

= + = =

Para calcular la presin dinmica de divergencia debemos hallar la solucin de la ecuacin homognea, o sea, consideramos: 0 = CMCA = 0:

2

1 2

1 2

2

1 1

0( ) sen( ) cos( )( ) cos( ) sen( )

(0) 0 0

0 0

(1) 0 cos( ) 0 0

cos( ) 0 (2 1)2

y C y C yy C y C y

C

e q

C C solucintrivial

n

+ =

= + = = = = = = = = = = =

La condicin crtica ocurre para n = 1, reemplazando hallamos qD:

38

2

222

2

42 4

L DD

L

GJC ec q L q CGJ ec L

= = = =

(25)

Comparando la expresin de la presin dinmica de divergencia (25) con la obtenida para el modelo discreto (21), resulta:

2

22

22

c

D cL

K

GJGJLq KC Le Lc

S

= =

Resolviendo la ecuacin no homognea obtendremos la variacin del ngulo de torsin en funcin de la presin dinmica:

( 0)2

1

1 2

23 3 3 2

1 2 2

1 2

2 22 2

1 12 2

0

0

( ) sen( ) cos( )

( )

( ) sen( ) cos( )

( ) cos( ) sen( )

(0) 0 0

(1) 0 cos( ) sen( ) 0 tan

y

y

h

p

R ddy

y C y C y

Ry C C R C

Ry C y C y

y C y C y

R RC C

R RC C

=

=

= + = =

= +

= = =

= + + =

= + = =

= + = =

[ ]2

( )

( ) 1 tan( )sen( ) cos( )Ry y y

=

La condicin de divergencia se sigue cumpliendo:

tan( ) cos( ) 0 = Si consideramos 2 00MCAC R = = , la solucin resulta:

[ ]0( ) 1 tan( )sen( ) cos( )y y y = + + (26)

39

Podemos utilizar el ngulo de torsin en la puntera para caracterizar la variacin de en funcin de la presin dinmica:

[ ]2

0 0

2 2

0 0

sen ( )(1) 1 tan( )sen( ) cos( ) 1 cos( )cos( )

sen ( ) cos ( ) 1(1) 1 1cos( ) cos( )

= + + = + +

+

= + =

En consecuencia el ngulo total en la puntera resulta:

00 0 sec( )cos( )

= + = =

Si expresamos en funcin de la presin dinmica, obtenemos:

22

22

2

2

2

22

44

4

4 2

L

D

L

L

D

D D

C ec q L qq qGJGJ qGJC ec L C ec L

q

q qq q

= = = =

= =

Reemplazamos y graficamos el ngulo en la puntera:

0 sec 2 D

qq

=

D

qq

1

0

40

c) Divergencia de Alas en Flecha: Para analizar la influencia del ngulo de flecha en la condicin de divergencia, proponemos un modelo continuo con flecha positiva:

En la figura el eje y se es el eje aerodinmico y el eje y corresponde al eje elstico del ala. Planteando las ecuaciones de equilibrio esttico para flexin y torsin, referidas al eje elstico ( y ), tendremos:

2 2

2 2 ( )

( )t

d d wEI L ydy dy

d dGJ M ydy dy

=

=

(27)

y

y

y

L

e

V

V cos()

V sen()

x

z

y y

( )w y V sen()

sen( ) dwVdy

dwdy

c

41

Aplicando las ecuaciones aerodinmicas:

[ ]

2

2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 cos( ) cos ( )2

( ) ( )

( ) ( )

L

t L MCA

LL

L y C y c q

M y C y c q e C y c q

q V q

CC y y

Vy y

=

= +

= =

=

= sen( ) dw

dyV

( ) tan( )

cos( )dwydy

=

Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio (27) obtenemos:

2 22

2 2

2 2 2

( ) tan( ) cos ( )

( ) tan( ) cos ( ) ( ) cos ( )

L

LMCA

Cd d w dwEI y c qdy dy dy

Cd d dwGJ y c e q C y c qdy dy dy

=

=

(28)

Analizaremos los 2 casos extremos: 1) Rigidez a flexin infinita ( EI lo cual implica 0w ): El caso es

similar al de un ala recta pero con los coeficientes ligeramente modificados. 2) Rigidez a torsin infinita (GJ lo cual implica 0 ): En este caso la

segunda ecuacin se satisface idnticamente y solamente nos queda la ecuacin de equilibrio en flexin:

2 2

22 2

2 2

2 2

tan( ) cos ( )

sen( ) cos( ) 0

L

L

Cd d w dwEI c qdy dy dy

Cd d w dwEI c qdy dy dy

=

+ =

Esta ltima ecuacin homognea, claramente conduce a un problema de autovalores, por lo cual se infiere que existe la posibilidad de tener una condicin de divergencia en flexin, an para el caso de un ala infinitamente rgida en torsin. Esta condicin es imposible para el caso del ala recta. Introduciendo variables adimensionales y considerando que las propiedades fsicas y geomtricas son constantes con la envergadura, obtenemos

4

4 0d w dwdy dy

+ = (29)

42

Donde:

3

sen( )cos( )L

yyL

C q c L

EI

=

=

Las condiciones de contorno corresponden a una viga en voladizo:

0

2 3

2 31 1

(0) 0

0

y

y y

dwwdy

d w d wdy dy

=

= =

= =

= =

La solucin de esta ecuacin tiene la particularidad que todos los autovalores son negativos. El menor en valor absoluto de estos autovalores provee la condicin de divergencia:

3sen( )cos( )6,33 LDC q c L

EI

= = (30)

Si analizamos la expresin (30), veremos que la nica manera que el trmino derecho sea negativo es que sen() < 0, o sea:

0 < Concluimos entonces que solamente las alas con flecha negativa pueden alcanzar la condicin de divergencia en flexin sin deformacin torsional. Esto sugiere que dichas alas con flecha negativa sern ms susceptibles a la divergencia que las de flecha positiva. Esta caracterstica se preserva an en el caso de divergencia combinada en torsin y flexin.

43

Inversin de comandos: Este fenmeno se produce en alas y empenajes con superficies de comando. Plantearemos un modelo bidimensional de ala e impondremos una deflexin del comando .

La deflexin indicada produce un aumento de sustentacin L y un incremento en el momento de cabeceo MCA. Cuando la velocidad V aumenta, el momento aerodinmico aumenta con el cuadrado de la velocidad mientras que el momento elstico resistente (KC ), permanece constante. En consecuencia la efectividad del comando decrecer con la velocidad del aire hasta que esta velocidad alcance un valor en el cual el comando sea completamente inefectivo. Esta velocidad se conoce como Velocidad de Inversin de Comandos (VI). Aplicando las ecuaciones aerodinmicas tendremos:

LL L

L LL

MCACA MCA

L C S qC CL S qC CC

CM C c S q c S q

= = + = +

= =

Si planteamos el equilibrio de momentos respecto del eje elstico (punto o) obtenemos:

0

0

0

c CA

MCAL Lc

MCAL Lc

K L e MCC CK e S q c S q

CC CK e S q e S q c S q

+ =

+ + = + =

L MCA

Kc Kc

e

o

V

CA

44

Despejando el ngulo de torsin :

MCA L

Lc

C Cc e S q

CK e S q

+ =

(31)

Podemos ver que nuevamente aparece la condicin de divergencia en el denominador de la ecuacin del ngulo . Reemplazando la expresin (31) en la ecuacin del CL resulta:

MCA L

L LL

Lc

L L Lc

L

C Cc e S qC CC CK e S q

C C CK e S qC

+ = +

=

MCAL L LCC C Cc S q e S q

+

Lc

CK e S q

Finalmente CL vale:

MCAL Lc

LL

c

CC CK c S qC CK e S q

=

El comando es completamente inefectivo cuando CL = 0, lo cual nos conduce a un problema de autovalores, cuya solucin trivial es = 0. La solucin no trivial permite obtener la presin dinmica de inversin qI, que es justamente la condicin lmite a partir de la cual el comando comienza a funcionar en el sentido inverso.

0L

cMCAL L

c I IMCAL

C KCC CK c S q q CC c S

= =

Podemos observar que la presin dinmica de inversin de comandos no depende de la distancia e, pues el momento aerodinmico que produce la inversin es directamente una cupla y por lo tanto no depende de ningn brazo de palanca. La expresin hallada permite obtener la presin dinmica inversin de comandos, pero debido a la flexibilidad del ala se producir una disminucin de

45

la rigidez torsional a medida que aumenta q, para cuantificar este efecto introducimos el concepto de Efectividad del comando c que se define como la relacin entre el CL calculado y el correspondiente a un ala rgida perfecta en la cual su cumple que = 0, o sea:

LLr

MCAL Lc

Lc

Lr

CC

CC CK c S qCC

=

= =

LC

1

11

11

1

Lc

I

MCAL

Lc

Ic

L

D

c

D

CK e S q

qCC c S

q qC K qC qe S

qqK

q

= =

Reemplazando por la expresin de la presin dinmica en funcin de la velocidad y operando obtenemos:

2 2 2

2 2

22

2 2

1

1

1

1

1

I D I D Ic

I D I D

D

I

DDc

I

D D

qq q q q V V Vq q q q V V V

q

VVVV

V VV V

= = =

=

De esta ltima expresin podemos sacar una conclusin interesante, si la velocidad de divergencia coincide con la velocidad de inversin de comandos (VD = VI) la efectividad del comando ser 1 para cualquier velocidad. Esto se debe a que el momento debido a la deflexin del comando es igual y de signo contrario al momento debido al aumento de sustentacin.

46

Si graficamos la efectividad del comando en funcin D

VV

para distintos valores

de la relacin ID

VV

= , resulta:

En la figura podemos ver como se reduce rpidamente la efectividad del

comando para bajas relaciones ID

VV

.

c

D

VV

1

0

-1

-2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

=0,3 =0,5 =0,7 =0,9

=1

47

Tema N6: Fenmenos Aeroelastodinmicos. Introduccin. Un ala o un empenaje vibrar con aire calmo cuando es desplazado de su posicin de equilibrio y liberado. Esta vibracin se amortiguar dependiendo de la resistencia del aire y de la friccin interna de la estructura. Bajo condiciones normales de vuelo, un ala u otro componente estructural del avin tendr un comportamiento similar si una estela o rfaga causa una deflexin del componente. En ciertas condiciones de vuelo las fuerzas aerodinmicas son tales que provocan un aumento de la amplitud de la vibracin. En un ala, que puede vibrar en flexin y en torsin como una viga, se pueden dar ciertas condiciones entre los dos modos de vibracin de tal manera que el incremento del ngulo de ataque debido a la oscilacin torsional cambia la fuerza de sustentacin exactamente en fase con la vibracin de flexin. En este caso el movimiento de, por ejemplo, la puntera del ala tendr una forma oscilatoria divergente.

Este movimiento inestable divergente causado por las fuerzas aerodinmicas se denomina Fltter. El Fltter es un tipo de vibracin autoinducida o autoexcitada. Tambin pueden aparecer vibraciones de las superficies de cola como consecuencia de los vrtices producidos por el ala u otra superficie generadora de estela. Esta vibracin se denomina Buffeting y slo es seria cuando la frecuencia de la fuerza forzante, producida por el vrtice, es cercana a la frecuencia natural de vibracin de la superficie sobre la cual acta.

w(t)

t

48

Clasificacin del Fltter: Una aeronave es una estructura lo suficientemente complicada como para que sea bastante difcil visualizar todos los modos posibles de vibracin y adems determinar cuales de ellos podran ser peligrosos. La experiencia ha demostrado que existen unos pocos casos de fltter, que pueden clasificarse de la siguiente manera: Binarios: Involucran dos modos de vibracin o componentes. FLUTTER Ternarios: Involucran tres modos de vibracin o componentes. En este curso slo trataremos los denominados fltter binarios. Los cuales podemos clasificar de la siguiente manera: I) Fltter binario flexin-torsin

II) Fltter binario eje perpendicular + superficie de control.

a) Flexin del ala + alern. b) Torsin del fuselaje + timn de direccin. c) Flexin del empenaje vertical + timn de direccin. d) Flexin del empenaje horizontal + elevador. e) Torsin del fuselaje + movimiento antisimtrico del elevador.

III) Fltter binario eje paralelo + superficie de control.

a) Torsin del ala + alern. b) Flexin lateral del fuselaje + timn de direccin. c) Flexin vertical del fuselaje + elevador. d) Torsin del empenaje vertical + timn de direccin. e) Torsin del empenaje horizontal + elevador.

I) Fltter binario Flexin-torsin: Resulta de la combinacin de estos

modos de vibracin en el ala u otra superficie sustentadora. En este tipo de vibracin se considera al ala u otra superficie fija como una unidad, esto implica suponer que las superficies de control estn rgidamente adheridas a la superficie fija y no existe movimiento relativo entre ambas.

II) Fltter binario eje perpendicular + superficie de control: Este tipo de

vibracin implica la rotacin de una superficie de control alrededor de su eje o su centro de torsin y el movimiento vertical o perpendicular de la superficie fija asociada.

III) Fltter binario eje paralelo + superficie de control: Este tipo de vibracin

implica el movimiento alrededor de dos ejes paralelos.

49

Mecanismos de Fltter I) Fltter binario Flexin-torsin

Si graficamos (t) y w(t) vemos que el defasaje entre los dos desplazamientos es igual a /2:

Direccin de Vuelo

(t)

w(t)

La Torsin causa (+) La Torsin causa (-) La Torsin causa (+)

(t), w(t)

/2

t

50

II) Fltter binario eje perpendicular + superficie de control

Anlogamente al caso anterior el defasaje entre (t) y w(t) es /2

III) Fltter binario eje paralelo + superficie de control

(t), w(t)

/2

t

Direccin de Vuelo

(+) (+) (-) (-) (+)

(t)

(t)

Direccin de Vuelo

(t) w(t)

(+) (-) (+)

51

Nuevamente podemos verificar el mismo defasaje entre (t) y (t).

Buffeting: Las alas y las superficies de la cola de las aeronaves desarrollan, a ciertas velocidades, vibraciones que son dependientes de las caractersticas elsticas y aerodinmicas del sistema. Si estas vibraciones son tales que las propiedades aerodinmicas del sistema provocan un incremento en la amplitud de la vibracin, resultando una inestabilidad dinmica, habamos visto que se denomina fltter. Otro tipo de vibracin debida a las fuerzas aerodinmicas es el buffeting. El buffeting se distingue del fltter en que el buffeting es realmente una vibracin forzada causada por fuerzas aerodinmicas pulsantes. Buffeting es el trmino utilizado generalmente para definir la vibracin de las superficies de cola bajo la accin de los vrtices de la estela generada por el ala o la hlice. En un sentido ms general tambin se aplica a la vibracin forzada de cualquier parte del avin bajo accin de vrtices en el flujo de aire. Cuando el ngulo de ataque es excesivo, los vrtices generados en el ala tienen una frecuencia definida. Si estos vrtices impactan en otra superficie, como por ejemplo el empenaje horizontal, le impartirn a esa superficie una fuerza pulsante con la frecuencia a la cual se generan. Si la frecuencia de los vrtices coincide con la frecuencia natural del componente sobre el que impactan, resulta una condicin de resonancia. La frecuencia a la cual se forman los vrtices puede estimarse con la relacin:

tKV

=

(t), (t)

/2

t

52

Donde: K es una constante que depende del tipo de superficie impactada es la frecuencia de los vrtices V es la velocidad del flujo de aire sobre la superficie y t es la longitud caracterstica de la superficie. La constante K vale 0,15 para placas y perfiles aerodinmicos y alrededor de 0,18 para cilindros. La frecuencia puede obtenerse entonces, conociendo V y t:

K Vt

=

Para controlar el problema del buffeting se puede actuar sobre tres puntos: a) Eliminar la perturbacin. b) Colocar la superficie en un lugar donde no sea impactada por la estela. c) Cambiar la frecuencia natural de la superficie vibrante. Eliminar la perturbacin es prcticamente imposible, por lo que en general se utiliza la solucin b), por ejemplo moviendo la posicin del empenaje horizontal lo suficiente para alejarlo del vrtice alar.

53

Tema N7: Introduccin a la Aerodinmica No estacionaria En este punto analizaremos los desarrollos ms importantes en el rea de la Aerodinmica No Estacionaria desde el punto de vista conceptual. Los primeros estudios sobre las fuerzas aerodinmicas que se desarrollan en perfiles aerodinmicos oscilantes datan de mediados del siglo XX y se basan en la siguiente hiptesis fundamental:

Oscilaciones armnicas de pequea amplitud, de tal forma que se pueda aplicar el principio de superposicin de efectos

Los mayores avances tericos corresponden al Flujo Incompresible (M2

54

Tema N8: Fltter binario flexin-torsin. Encontramos este caso de fltter cuando consideramos que la superficie de control esta rgidamente unida a la superficie fija (no hay movimiento relativo). El estudio de este problema requiere la evaluacin tanto de las fuerzas aerodinmicas no estacionarias como de las fuerzas dinmicas. Tal como indicamos anteriormente, el estudio de las fuerzas aerodinmicas que actan sobre una superficie oscilante es un tema suficientemente complejo y por lo tanto esta ms all del alcance de este curso. Debido a esto se han desarrollado diversas tcnicas aproximadas y modelos simplificados: Ecuaciones diferenciales

Mtodos analticos Mtodos energticos Mtodos numricos Ensayos en tierra Mtodos experimentales Ensayos en vuelo

a) Ecuaciones diferenciales: Para lograr expresiones manejables deben

plantearse modelos simplificados. En muchos casos se utilizan curvas semiempricas desarrolladas sobre la base de los resultados obtenidos en dichos modelos simples.

b) Mtodos energticos: Se plantean las ecuaciones de balance

energtico (Hamilton) y se estudia bajo que condiciones el sistema oscilante extrae energa del medio (amortiguamiento negativo).

c) Mtodos numricos: Es el campo donde se ha hecho el mayor avance.

Es punto critico es la simulacin de las cargas aerodinmicas y la interaccin fluido-estructura.

d) Ensayos en tierra: Son mtodos experimentales, pues lo que se

determina son bsicamente las frecuencias y modos naturales y luego se utilizan curvas para estimar las velocidades de fltter.

e) Ensayos en vuelo: Se miden las oscilaciones flexo-torsionales para

distintas velocidades de vuelo y se calcula el amortiguamiento para cada velocidad. De esta forma se puede extrapolar la velocidad de fltter.

Estudio de un modelo bidimensional simplificado:

Planteamos un modelo bidimensional de un perfil rgido que se mueve con velocidad Vf:

55

Donde: CA: Centro Aerodinmico (punto de aplicacin de las Fuerzas Aerodinmicas) O: Eje Elstico (punto de aplicacin de las Fuerzas Elsticas) CG: Centro de gravedad (punto de aplicacin de las Fuerzas de Inercia) Kh: Constante del resorte equivalente a la rigidez flexional del ala K: Constante del resorte equivalente a la rigidez torsional del ala L: Fuerza de Sustentacin Mt: Momento Aerodinmico e: Distancia entre el CA y el punto O xcg: Distancia entre el CA y el CG c: Cuerda del perfil Vf: Velocidad de vuelo El eje x se define a lo largo de la cuerda del perfil con origen en el Centro Aerodinmico. La razn de emplear este punto como origen, tiene que ver con la dificultad para expresar las fuerzas aerodinmicas no estacionarias con respecto a un punto genrico de la cuerda. Debe notarse que x NO es un grado de libertad del problema, dado que la coordenada x de cada punto del perfil permanece constante durante un desplazamiento virtual. Los grados de libertad que emplearemos son:

q1 = h q2 =

El desplazamiento de un punto genrico sobre la cuerda del perfil resulta:

r u w= +i k

Vf

L

Mt

CA

eo K

xcgh

CG

Kh

x

X

Z

u

w

c

56

Donde u es la componente horizontal del desplazamiento y w la componente vertical, mientras que i y k son los versores correspondientes. Podemos ver que:

(cos 1) 01

senu xw h x h x

=

= para

Aplicando el Principio de Hamilton tendremos:

( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 12 2

1 1 22 21 12 2

c c

c c

c c c

w u wT dx dxt t t

T h x dx h h x x dx

T h dx h x dx x dx

m S I

= +

= = + +

= + +

Consecuentemente la energa cintica resulta:

2 21 12 2

T m h S h I = + +

Donde:

2

c

c

c

m dx

S x dx

I x dx

=

=

=

masapor unidaddeenvergadura y espesor

momento estticopor unidaddeenvergadura y espesor

momento de inerciapor unidaddeenvergadura y espesor

La energa potencial se obtiene de:

( )2* 2 2 2

* 2 2 2 2

1 1 1 1( )2 2 2 2

1 1 12 2 2

h o h

h h h

U V K w K K h e K

K h K e h K e K

= + = + = +

= + + +

Resultando:

( )* 2 2 21 12 2h h hK h K e h K e K = + + +

Para este sistema las ecuaciones de Lagrange resultan:

57

( ) ( )

( ) ( )

* *

* *

0

0

h

T Td Qdt hh

T Td Qdt

+ + =

+ + =

Donde las cargas generalizadas Qh y Q se obtienen de la expresin del trabajo virtual de las fuerzas no conservativas

NC hW Q h Q = + Para este caso en particular, el trabajo virtual de las fuerzas no conservativas por unidad de envergadura resulta:

( )

( )

NCc c c c

hNC t

t

W p w dx p h x dx h p dx p x dx

Q LW h L M

Q M

= = = +

=

= + =

Donde por convencin de signos, la presin (p) y la Sustentacin (L) son positivas hacia arriba y el Momento Aerodinmico (Mt) es positivo nariz arriba. Reemplazando todos los trminos en las ecuaciones de Lagrange obtenemos:

( )

( ) ( )20

0

h h

h h t

d m h S K h K e Ldt

d S h I K e h K e K Mdt

+ = + + + =

Finalmente, en forma matricial, tendremos:

[ ] [ ]

2h h

h h t

m S K K e LhhS I K e K e K M

M K

+ = +

Como ejemplo de cargas aerodinmicas no estacionarias, podemos expresar las definidas por Theodorsen en el Report NACA TR 496, las cuales resultan:

2 22

2

14 3 44

3 14 32 2

aR R R

fR

t a R

mL c h V h c V c VVc

VccM m h c V c

= + + + + = = + +

58

Donde: ma : Es la masa de aire equivalente por unidad de envergadura. Este valor

representa la masa de aire contenida en un cilindro de longitud unitaria cuyo dimetro es igual a la cuerda.

VR: Velocidad reducida. : Frecuencia de la oscilacin. Las cargas aerodinmicas no estacionarias se pueden expresar en forma genricas de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ]A A At

L hh hM C K

M

= + +

Donde: [ ] [ ] [ ], ,A A AM C K son, respectivamente, las matrices aerodinmicas de

masa, amortiguamiento y rigidez. Si en el modelo simplificado consideramos el amortiguamiento estructural, obtendramos la expresin siguiente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) 00

A A A

A A A

h hh h h hM C K M C K

hh hM M C C K K

+ + = + +

+ + =

Esto representa un problema de autovalores, cuya expresin genrica sera:

* * * 00

hh hM C K

+ + = (32)

Planteamos una solucin armnica:

0

0

( )( )

i thh t et

=

Donde h0 y 0 son las amplitudes del movimiento traslacional y angular respectivamente. Sustituyendo en la ecuacin (32) obtenemos:

( ) 02 * * *0

00

i thM i C K e + + =

Donde para obtener una solucin distinta de la trivial, debemos plantear la nulidad del determinante de la matriz de coeficientes:

59

2 * * * 0 ( , ) 0fM i C K P V + + = =

P(,Vf) = 0 es la ecuacin caracterstica del problema de autovalores, que en este caso particular tiene coeficientes complejos. Para obtener las races podemos expresar esta ecuacin de la siguiente forma:

( , ) ( , ) ( , ) 0f f fP V A V i B V = + = Donde A(,Vf) y B(,Vf) son polinomios reales. La solucin se obtendr resolviendo el sistema de ecuaciones:

( , ) 0( , ) 0

f

f

A VB V

= =

El menor valor de la velocidad de vuelo es la velocidad de Fltter (VF) del sistema, siendo F la frecuencia de oscilacin asociada.

Vf

F

VF B(,Vf) = 0

A(,Vf) = 0

60

Tema N9: Fltter con las superficies de comando Los problemas de Fltter ms generales, involucran tanto las superficies de comando como las superficies principales. Por ejemplo, existe la posibilidad que el ala oscile en flexo-torsin y adems lo haga el alern. Usualmente no es necesario considerar los tres modos de oscilacin simultneamente. La introduccin de un tercer modo complica enormemente el tratamiento del problema. En general la frecuencia de uno de los tres modos es mucho ms alta que las dems y entonces el sistema puede considerarse binario. En consecuencia tendremos dos casos posibles de Fltter binario con superficie de comando:

En el primero el ala podra oscilar en flexin y al mismo tiempo el alern oscilar alrededor de su eje.

En el otro caso tanto el ala como el alern podran tener un movimiento torsional alrededor de sus respectivos ejes.

En el tema anterior, cuando tratamos el Fltter binario flexin-torsin, despreciamos el amortiguamiento interno, dado que la presencia de una pequea cantidad de friccin no tiene mayor efecto sobre la velocidad crtica de Fltter. Sin embargo, cuando se tiene en cuenta una superficie de control, el efecto del amortiguamiento o friccin interna del sistema es muy importante. Flutter binario eje perpendicular + superficie de control Este tipo de Fltter puede tratarse empricamente a travs de la expresin: Vf = kf ff c Donde:

Vf : Velocidad de fltter kf : Factor de velocidad de fltter ff : Frecuencia estructural bsica c : Cuerda

El factor kf se puede obtener de distintos grficos y resulta una funcin de:

3 11, , , , , ,cf c

f

f e rk f gf c c

=

e3

c1 c

CG

61

Donde: fc : Frecuencia natural del sistema de control : Relacin masa estructural - masa aerodinmica de la superficie fija : Relacin de cuerdas (c1/c) 1 : Relacin masa estructural - masa aerodinmica del comando e3 : Distancia del CG de la superficie de comando al eje de charnela r1 : Radio de giro de la superficie de comando respecto de su CG gc : Constante de amortiguamiento del sistema de control

Flutter binario eje paralelo + superficie de control Este tipo de fltter es muy sensible al amortiguamiento del sistema de control y los efectos de balanceo de la Superficie de Comando (SC). Se verifica que el amortiguamiento necesario para eliminar la posibilidad de fltter decrece rpidamente conforme disminuye el desbalanceo de la SC. Adems de reducir la velocidad de fltter, el desbalanceo de la SC afecta la estabilidad del avin. Cuando el desbalanceo es pequeo el fltter se desarrolla gradualmente, dando cierto aviso. Cuando el desbalanceo es grande la condicin de fltter se genera repentinamente. En la mayora de los problemas que involucran fltter con las superficies de control se utiliza el contrabalanceo o balanceo para incrementar la velocidad de fltter. Habamos visto que el fltter de las superficies de la cola tiene mayores variantes que los otros tipos de fltter, en particular los casos que involucran la flexin del fuselaje requieren el conocimiento de la lnea nodal del mismo. Balanceo de las superficies de comando y prevencin del flutter El diseador de un avin esta interesado en conocer alguno de los detalles que lo ayudarn a prevenir el fltter en el rango de velocidades de diseo. Afortunadamente, se pueden hacer estimaciones aceptables sin necesitar clculos detallados del fltter. En los temas anteriores vimos que la distribucin de las masas y rigidez de los elementos del avin son muy importantes para determinar las caractersticas del fltter. El balanceo de las superficies de control se utiliza para elevar las velocidades crticas para varios tipos de fltter. La rigidez estructural se mantiene generalmente por encima de determinados lmites. Aunque pueden realizarse cambios en algunos detalles estructurales para aumentar o mantener una cierta velocidad de fltter. Balanceo de las superficies de control. En el punto anterior se mostr como los efectos de inercia de las superficies de control intervienen en la generacin de ciertos tipos de fltter. Los efectos de inercia pueden prevenirse en un amplio rango mediante el balanceo de las Superficies de Control (SC); esto involucra el balanceo aerodinmico, esttico y dinmico.

62

El balanceo aerodinmico se define como la relacin entre el rea de la SC delante del eje de charnela y el rea total de la SC. La determinacin de la relacin apropiada es un problema aerodinmico que no se considerar aqu, pero se puede mencionar que un balanceo aerodinmico de 15% es bastante comn. Para que exista balanceo esttico se requiere que el centro de gravedad de la SC se localice en el eje de charnela. El desbalance esttico esta dado por la expresin Wi xi, donde Wi es el peso de un elemento individual de la SC y xi es la distancia desde el eje de charnela al centro de gravedad del elemento.

Por lo tanto, la mayora de la SC necesitan pesos adicionales cerca de los bordes de ataque o de fuga, para lograr que el CG coincida con el eje de charnela.

Wi

xi

63

Usualmente no se requiere que las SC se encuentren completamente balanceadas en forma esttica, si es que se balancean en forma dinmica; siempre y cuando el desbalance esttico no exceda el 15% de la cuerda media de la SC. Esto se expresa como:

0,15i iW SW x

L

64

Cuando Wi xi no es igual a 0 (existe desbalanceo esttico) el rea tender a retrasarse y torsionar alrededor del eje de charnela. El momento torsor que trata de torsionar el rea (momento actuante) es proporcional al producto de inercia Id, mientras que el momento torsor resistente es proporcional al momento de inercia Ie respecto del eje de charnela. Por lo tanto el desbalanceo (bd) puede medirse con la relacin Id / Ie. Limites del balanceo dinmico El prximo interrogante que surge es cual es el mximo bd que puede tolerarse. Evidentemente no resulta econmico tener pesos en un avin que slo sirven para mantener el balance. En algunos diseos se prefiere aumentar las velocidades de fltter mediante el empleo de estructuras de gran rigidez. Por ejemplo las normas prescriben el valor mximo del desbalanceo en funcin de frmulas semiempricas.