posgrado.mat.uson.mx · agradecimientos le agradezco inﬁnitamente a dios todas las bendiciones...

UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Posgrado en Matematicas

Analisis y Control de Bifurcaciones Estacionarias

T E S I S

Que para obtener el grado academico de:

Maestro en Ciencias

(Matematicas)

Presenta:

David Baca Carrasco

Director de Tesis: Dr. Fernando Verduzco Gonzalez

Hermosillo, Sonora, Mexico, 23 de Enero de 2009.

SINODALES

Dr. Fernando Verduzco GonzalezUniversidad de Sonora, Hermosillo, Mexico.

Dr. Daniel Olmos LiceagaUniversidad de Sonora, Hermosillo, Mexico.

M.C. Horacio Leyva CastellanosUniversidad de Sonora, Hermosillo, Mexico.

Dr. Luis Aguirre CastilloUniversidad Autonoma Metropolitana, unidad Iztapalapa, Ciudad de Mexico.

Agradecimientos

Le agradezco infinitamente a Dios todas las bendiciones que ha derramado sobre mı,por mantenerme con vida y permitirme realizar mis suenos.Agradezco a la institucion CONACyT por su apoyo economico que me proporcionodurante los semestres 2008 − 1 y 2008 − 2.Agradezco de manera muy especial a mi director de tesis Dr. Fernando VerduzcoGonzalez, gracias por compartir sus conocimientos conmigo, por confiar en mı, por suayuda moral que extendio hacia un servidor, muchas gracias por su amistad. Quierodar las gracias a los integrantes del comite revisor de este trabajo: Dr. Daniel OlmosLiceaga, M.C. Horacio Leyva Castellanos y Dr. Luis Aguirre Castillo, sin duda, suscorrecciones, crıticas y consejos me han permitido culminar este trabajo. Graciastambien de manera especial al M.C. Francisco Carrillo por tomarse la molestia derevisar y criticar este trabajo de tesis.Mis agradecimientos al Departamento de Matematicas de la Universidad de Sonora,especialmente al programa de Posgrado en Matematicas y sus coordinadores que du-rante mi estancia lo dirigieron, Dr. Ruben Flores Espinoza y Dr. Fernando LuqueVasquez, gracias a todos los maestros que compartieron sus valiosos conocimientosconmigo y dirigieron mis estudios, a toda la planta docente y administrativa, graciaspor compartir conmigo parte de su tiempo.

De manera muy especial quiero extender mis agradecimientos a toda mi familia, porsu apoyo y la confianza que depositan en mı, son todos el pilar de mi vida, graciaspor estar conmigo en los momentos felices ası como en los mas difıciles, gracias pordarme animos para salir adelante y gracias por ser tan amables, carinosos, graciaspor ser mi familia, sepan todos que los amo, mis agradecimientos a mi madre porestar conmigo, y a mi padre, que aunque ya no esta entre nosotros, espiritualmentedirige mi vida. Gracias Javier y Gloria por depositar su confianza en mı, espero nodefraudarles nunca, gracias a todos mis hermanos, cunados y sobrinos. Agradezcoa mi novia Diana Heledenixa, por tu apoyo, por estar a mi lado, por tu apoyo en

1

2

este proyecto de vida que comparto contigo, tus consejos me han sido de gran ayuda,gracias por alegrar mi vida, te amo y eres parte importantısima en ella.Gracias a todos mis amigos, especialmente a aquellos con quien comparto diariamente momentos de estudio, diversion, tristezas y alegrıas, los admiro mucho y suayuda ha sido invaluable en mi formacion, particularmente agradezco a Misael, Jorge,Dalicia, Antonio, Marysol, Jessica, Laura, Guadalupe, Manuel, y si por descuido nomenciono a alguno, le ofrezco disculpas y le doy las gracias. A todos aquellos quecomparten su tiempo con un servidor, muchas gracias.

Indice General

1 Introduccion 5

2 Preliminares 7

2.1 Bifurcaciones Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Teorema de la Variedad Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Teorema de la Variedad Central Dependiendo de Parametros . . . . . 15

2.4 Teorema de Sotomayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Teorema de Sotomayor para familias m-parametrizadas 19

4 Control de bifurcaciones estacionarias 35

4.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Caso escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Aplicaciones 63

5.1 El pendubot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Control de bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Conclusiones 71

3

4 INDICE GENERAL

1Capıtulo

Introduccion

El control de bifurcaciones se refiere a la tarea de designar un control que puedamodificar las propiedades de la bifurcacion de un sistema dado, ası como alcanzaralgun comportamiento deseable en la dinamica.Los objetivos tıpicos del control de bifurcaciones incluye el retrazo del inicio de unabifurcacion inherente introduciendo una nueva bifurcacion en un valor de parametrodeseado, cambiando el valor del parametro en un punto de bifurcacion existente, mod-ificando la forma o el tipo de una bifurcacion en cadena, estabilizando una solucionbifurcada o rama, monitoreando la multiplicidad, amplitud y/o frecuencia de algunosciclos lımite que emergen de bifurcaciones, optimizando el funcionamiento del sistemacerca de un punto de bifurcacion, o una combinacion de alguno de estos objetivos.Ver [3], [4] y [5].

El control de bifurcaciones no solo es importante en estos casos, tambien su-giere una estrategia efectiva para el control del caos puesto que bifurcacion y caosson usualmente considerados “gemelos ”; en particular, la bifurcacion de duplicacionde periodo es una ruta tıpica al caos en muchos sistemas dinamicos no-lineales. Ver [2].

Tanto control de caos como control de bifurcaciones sugieren una nueva tecnologıaque prometa tener un mejor impacto en muchas areas, quiza no tan tradicionales,aplicaciones a la ingenierıa en tiempo y energıa crıtica.

Ademas de la enorme area de usos de control de caos, el control de bifurcacionesjuega un papel crucial en el analisis dinamico y control de crisis de muchos sis-temas complejos no-lineales. Los ejemplos mas conocidos incluyen a circuitos de altorendimiento, generacion de oscilaciones, mezclas de material basadas en vibracion,reacciones quımicas, prediccion y prevencion de colapsos en sistemas de poder, disenode osciladores y pruebas, analisis y modelado de sistemas biologicos (por ejemplo, elcerebro y el corazon), por nombrar solo algunos. [6].

5

6 Introduccion

Hay muchas razones practicas para controlar varias bifurcaciones. En un sistemadonde la respuesta que se bifurca es danina y peligrosa, debe ser significativamentereducida o completamente suprimida. Este trabajo incluye, por ejemplo, evitar elderrumbe de voltaje y redes de poder, eliminacion de arritmias cardiacas, direccionde series de circuito desordenadas (por ejemplo, osciladores multiacoplados y redesneuronales celulares), alcanzar un cierto nivel de formacion de un modelo deseable,regulando la respuesta dinamica de algun mecanismo y recursos electronicos (porejemplo, diodos, maquinas laser, e ins-trumentos de maquinas), removiendo vibraciones indeseables, entre otros.

Las bifurcaciones tambien son usadas y beneficas para algunas aplicaciones especiales,es interesante ver que ha ido creciendo el interes en la utilizacion de la naturalezamisma de la bifurcacion, particularmente en algunas aplicaciones en ingenierıa, im-plicando el analisis y utilizacion de oscilaciones. Una funcion prominente de las bi-furcaciones esta en la relacion cerrada que tienen con varias vibraciones (oscilacionesperiodicas o ciclos lımite), las cuales a veces no son solo deseadas, si no que actual-mente pueden ser necesarias. Vibraciones mecanicas y algunos procesos de mezclasde materiales y lıquidos son ejemplos muy buenos en los cuales las bifurcaciones yel caos son deseables. En sistemas biologicos, el control de bifurcaciones parecen serun mecanismo esencial empleado para el corazon humano en realizar algunas de sustareas en particular sobre fibrilacion atrial. Debido al gran potencial que tiene elcontrol de bifurcaciones en el mundo real, ha proliferado la investigacion en esta area,ası como tambien en control de caos.

En el trabajo que a continuacion se presenta, se hace un estudio sobre el analisis y elcontrol de las bifurcaciones estacionarias: silla-nodo, transcritita y trinche, las cualesson definidas en el capıtulo 2.

En el capıtulo 3 abordamos el analisis de las bifurcaciones estacionarias, estableciendouna generalizacion del teorema de Sotomayor para una familia m-parametrizada deecuaciones diferenciales,

x = f(x, µ)

con x ∈ Rn y µ ∈ R

m.

En el capıtulo 4 estudiamos el problema de controlar las bifurcaciones estacionarias.Dado el sistema de control

x = f(x) + g(x)u,

el objetivo es disenar una ley de control u(x, µ) tal que el sistema en lazo cerrado

x = f(x) + g(x)u(x, µ) = F (x, µ)

con x ∈ Rn y µ ∈ R, sea tal que podamos establecer a priori el tipo de bifurcacion

estacionaria que deseamos que ocurra.

Finalmente, en el capıtulo 5, aplicamos el teorema principal del capıtulo 4 para con-trolar las bifurcaciones estacionarias en el pendubot, que es un pendulo subactuadode dos grados de libertad.

2Capıtulo

Preliminares

En este capıtulo se presentan los resultados mas importantes utilizados como her-ramientas para el desarrollo de este trabajo de tesis. Para una mejor comprension delos mismos, se pueden consultar los textos [7] y [11].

2.1 Bifurcaciones Estacionarias

Sabemos que el comportamiento cualitativo del conjunto solucion de un sistema

x = f(x, µ) (2.1)

que depende de un parametro µ ∈ Rm, cambia cuando el campo vectorial f pasa a

traves de un punto en el conjunto de puntos de bifurcacion o cuando el parametroµ varıa a traves de un valor de bifurcacion µ0. Un valor µ0 del parametro µ en laecuacion (2.1) para el cual el campo vectorial f(x, µ) ∈ C1 no es estructuralmenteestable es llamado un valor de bifurcacion.

Los puntos de equilibrio no-hiperbolicos son candidatos a ser puntos de bifurcacion,por lo que a continuacion definimos ese concepto.

Definicion 2.1. Considere el sistema

x = f(x, µ),

con x ∈ Rn y µ ∈ R.

El punto (x0, µ0) se dice punto de equilibrio no-hiperbolico del sistema si:

A) f(x0, µ0) = 0

B) Dx(f(x0, µ0)) posee al menos un valor propio con parte real igual a cero

7

8 Preliminares

En este trabajo se estudian las bifurcaciones estacionarias, las cuales son: la silla-nodo, la transcritita y la trinche, por ello daremos a continuacion una descripcion decada una de ellas y las ilustraremos con un ejemplo.

2.1.1 Bifurcacion Silla-Nodo

Este tipo de bifurcacion se presenta en un sistema del tipo (2.1) cuando para algundeterminado valor crıtico µ0 del parametro µ el sistema se comporta de la siguientemanera: Para µ 6= µ0, supongamos, sin perdida de generalidad, µ < µ0, el sistema nopresenta puntos de equilibrio, para µ = µ0 el sistema presenta un punto de equilibrioy para µ > µ0 el sistema presenta un par de puntos de equilibrio.

El siguiente ejemplo ilustra el comportamiento del sistema cuando experimenta labifurcacion silla-nodo.

Ejemplo 2.1. Considere el sistema

x = µ + x2, (2.2)

como podemos observar, si µ > 0 entonces x > 0, y por lo tanto no existe ningunpunto de equilibrio, si µ = 0 entonces x = 0 es un punto de equilibrio y ademas x > 0,por lo que es un equilibrio inestable, ahora, si µ < 0 tenemos lo siguiente

µ + x2 = 0 =⇒ x2 = −µ =⇒ x = ±√−µ

observamos que tenemos dos puntos de equilibrio, analicemos la estabilidad de ellos.

µ + x2 = x2 − (√−µ)2 = (x −√−µ)(x +

√−µ)

• Si x < −√−µ =⇒ x +√−µ < 0 =⇒ x > 0

• Si x >√−µ =⇒ x −√−µ > 0 =⇒ x > 0

• Si −√−µ < x <√−µ =⇒ 0 < x +

√−µ < 2√−µ

=⇒ −2√−µ < x −√−µ < 0 =⇒ x < 0

Podemos observar que nos genera un punto de equilibrio estable y otroinestable. La figura (2.1) muestra el retrato fase para este ejemplo.

Figura 2.1: Retrato fase para el ejemplo (2.2)

2.1 Bifurcaciones Estacionarias 9

Ahora, si consideramos a µ como una variable de estado mas, tenemos elsiguiente sistema

x = µ + x2

µ = 0

cuyo diagrama de bifurcacion se presenta en la figura (2.2).

Figura 2.2: Diagrama de bifurcacion para el ejemplo (2.2)

10 Preliminares

2.1.2 Bifurcacion Transcritica

Este tipo de bifurcacion se presenta en un sistema del tipo (2.1) cuando para algundeterminado valor crıtico µ0 del parametro µ el sistema se comporta de la siguientemanera: Para µ 6= µ0, supongamos, sin perdida de generalidad, µ < µ0, el sistemapresenta un par de puntos de equilibrio con una determinada estabilidad (distinta),para µ = µ0 el sistema presenta un punto de equilibrio y para µ > µ0 el sistemapresenta un par de puntos de equilibrio con la estabilidad opuesta a la de los puntosde equilibrio cuando µ < µ0.El siguiente ejemplo ilustra el comportamiento del sistema cuando experimenta labifurcacion transcritica.


x = x(µ + x). (2.3)

Sus puntos de equilibrio son

x = 0

x = −µ

Analizando la dinamica tenemos que para µ < 0 pasa lo siguiente:

• Si x < 0 =⇒ x > 0

• Si 0 < x < −µ =⇒ µ < x + µ < 0 =⇒ x < 0

• Si x > −µ =⇒ x + µ > 0 =⇒ x > 0

Para µ = 0 tenemos que el unco equilibrio es x = 0 y x > 0.Para µ > 0 tenemos lo siguiente:

• Si x < −µ =⇒ x + µ < 0 =⇒ x > 0

• Si −µ < x < 0 =⇒ x + µ > 0 =⇒ x < 0

• Si x > 0 =⇒ x > 0

La figuara (2.3) muestra el retrato fase de este ejemplo.



Si consideramos a µ como una variable de estado mas moviendose lentamente tenemosel sistema

x = x(µ + x)

µ = 0

con puntos de equilibrio

x = 0

x = −µ

cuyo diagrama de bifurcacion se presenta en la figura (2.4).


2.1.3 Bifurcacion trinche

Este tipo de bifurcacion se presenta en un sistema del tipo (2.1) cuando para algundeterminado valor crıtico µ0 del parametro µ el sistema se comporta de la siguientemanera: Para µ 6= µ0, supongamos, sin perdida de generalidad, µ < µ0, el sistemapresenta un solo punto de equilibrio con una determinada estabilidad, para µ = µ0 elsistema preserva el punto de equilibrio y para µ > µ0 el sistema presenta tres puntosde equilibrio, dos externos y un central, donde la estabilidad de los externos es lamisma y la del central es la opuesta.El siguiente ejemplo ilustra el comportamiento del sistema cuando experimenta labifurcacion trinche.


x = x(µ + x2), (2.4)

sus puntos de equilibrio son

x = 0

x = ±√−µ, si µ ≤ 0.

12 Preliminares

Haciendo un analisis similar a los dos ejemplos anteriores para conocer la estabilidaddel sistema tenemos que para µ < 0 ocurre lo siguiente:

• Si x < −√−µ entonces x < 0,

• Si −√−µ < x < 0 entonces x > 0,

• Si 0 < x <√−µ entonces x < 0,

• Si x >√−µ entonces x > 0

Para µ = 0, el unico punto de equilibrio es x = 0 y es facil ver que es un repulsor.Para µ > 0, tambien el unico equilibrio es x = 0 y conserva la misma estabilidad,sigue siendo un repulsor. La figura (2.5) muestra el retrato fase de este ejemplo.



El diagrama de bifurcacion para este sistema, considerando a µ como una variable de estado mas, se presenta en la figura 5.


El siguiente teorema establece condiciones suficientes bajo las cuales un sistema en R

experimenta las bifurcaciones estacionarias.

Teorema 1. (Teorema de las Bifurcaciones Estacionarias.) Considere el sis-tema suficientemente suave

x = f(x, µ), x ∈ R, µ ∈ R,

donde x es la variable de estado y µ es un parametro. Asumimos que (0, 0) es unpunto de equilibrio no-hiperbolico, es decir, f(0, 0) = 0 y ∂f

∂x(0, 0) = 0.

a) El sistema sufre una bifurcacion silla-nodo en (0, 0) si

∂f

∂µ(0, 0) 6= 0 y

∂2f

∂x2(0, 0) 6= 0.

b) El sistema sufre una bifurcacion transcrıtica en (0, 0) si

∂f

∂µ(0, 0) = 0,

∂2f

∂x∂µ(0, 0) 6= 0 y

∂2f

∂x2(0, 0) 6= 0.

14 Preliminares

c) El sistema sufre una bifurcacion trinche en (0, 0) si

∂f

∂µ(0, 0) = 0,

∂2f

∂x∂µ(0, 0) 6= 0,

∂2f

∂x2(0, 0) = 0 y

∂3f

∂x3(0, 0) 6= 0.

Observacion 1. Para cada bifurcacion estacionaria es posible tener cuatro posicioneso direcciones diferentes, las cuales dependen del signo de las parciales del campovectorial f(x, µ) que son diferentes de cero. La siguiente figura muestra como ejemplolas cuatro direcciones en que puede ocurrir la bifurcacion silla-nodo.

Figura 2.7: Direcciones posibles para la silla-nodo

2.2 Teorema de la Variedad Central 15

2.2 Teorema de la Variedad Central

Considere el sistema

ξ = F (ξ) (2.5)

con ξ ∈ Rn y F ∈ Cr, para r suficientemente grande, tal que

F (0) = 0 y DF (0) ∼

An1×n10

0 Bn2×n2

n×n

.

donde A solo posee valores propios con parte real cero y B solo posee valores propioscon parte real negativa. El sımbolo “∼” denota similitud entre matrices.

Existe un cambio de coordenadas que nos permite descomponerlo en dos bloques deJordan

x = Ax + f(x, y) (2.6)

y = By + g(x, y)

Definicion 2.2. . Una variedad invariante se llama variedad central de (2.6), sipuede ser representada de la forma:

W c(0) = {(x, y) ∈ Rn1 × R

n2 |y = h(x), |x| < δ, h(0) = 0, Dh(0) = 0}

Para δ suficientemente pequeno.

Teorema 2. Considere el sistema (2.6)

(i) Existe una variedad central, alrededor de ξ = 0,

W c(0) = {(x, y) ∈ Rn1 × R

n2 |y = h(x)}

(ii) La dinamica sobre la variedad central esta dada por

x = Ax + f(x, h(x))

(iii) La funcion h : Rn1 → R

n2 puede ser aproximada utilizando la ecuacion

Dh(x) (Ax + f(x, h(x))) − Bh(x) − g(x, h(x)) ≡ 0.

2.3 Teorema de la Variedad Central Dependiendo de

Parametros

Considere el sistema

ξ = F (ξ, µ) (2.7)

16 Preliminares

con ξ ∈ Rn, µ ∈ R

p y F ∈ Cr, para r suficientemente grande, tal que

F (0, 0) = 0 y DF (0, 0) ∼

An1×n10

0 Bn2×n2

n×n

.

donde A solo posee valores propios con parte real cero y B solo posee valores propioscon parte real negativa. El sımbolo “∼” denota similitud entre matrices.

Existe un cambio de coordenadas que nos permite descomponerlo en el siguientesistema extendido

x = Ax + f(x, y)

µ = 0 (2.8)

y = By + g(x, y)

Definicion 2.3. . Una variedad invariante se llama variedad central de (2.8), sipuede ser representada de la forma:

W c(0) = { (x, y, µ) ∈ Rn1 × R

n2 × Rp|y = h(x, µ), |x| < δ, |µ| < δ,

h(0, 0) = 0, Dh(0, 0) = 0}

Para δ y δ suficientemente pequenas.

Teorema 3. Considere el sistema (2.7)

(i) Existe una variedad central, alrededor de (ξ, µ) = (0, 0),

W c(0) = { (x, y, µ) ∈ Rn1 × R

n2 × Rp|y = h(x, µ), |x| < δ, |µ| < δ, h(0, 0) = 0,

Dh(0, 0) = 0}

(ii) La dinamica sobre la variedad central esta dada por

x = Ax + f(x, h(x, µ), µ)

(iii) La funcion h : Rn1 × R

p → Rn2 puede ser aproximada utilizando la ecuacion

Dhx(x, µ) (Ax + f(x, h(x, µ), µ)) − Bh(x, µ) − g(x, h(x, µ), µ) ≡ 0.

2.4 Teorema de Sotomayor

En [7] aparece la siguiente version del teorema de Sotomayor, el cual nos da condi-ciones suficientes para que una familia uni-parametrizada de campos vectoriales pre-sente las bifurcaciones estacionarias.

Teorema 4. Considere el sistema parametrizado

η = F (η, ν) (2.9)

con η ∈ Rn y ν ∈ R. Supongamos que existe (η0, ν0) tal que

2.4 Teorema de Sotomayor 17

H1) F (η0, ν0) = 0

H2) σ(A) = {λ1 = 0, y Re(λj) 6= 0, j = 2, 3, ...n}

donde A ≡ (DF (η0, ν0))n×n. Sean v0 y ω0 los vectores propios derecho e izquierdorespectivamente de A correspondientes al valor propio λ1 = 0.

Si

ωT0 Fν(η0, ν0) 6= 0 y

(2.10)(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0) 6= 0

Entonces, el sistema (2.9) experimenta una bifurcacion silla-nodo en el punto de equi-librio η = η0 cuando el parametro ν pasa a traves del valor de bifurcacion ν = ν0.

Si

ωT0 Fν(η0, ν0) = 0,

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0) 6= 0, (2.11)

vT0 (ωT

0 Fνη(η0, ν0))T 6= 0,

entonces el sistema (2.9) experimenta un bifurcacion transcrıtica en el punto de equi-librio η = η0 cuando el parametro ν varıa atraves del valor de bifurcacion ν = ν0.

Si

ωT0 Fν(η0, ν0) = 0,

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0) = 0 (2.12)

vT0 (ωT

0 Fνη(η0, ν0))T 6= 0

(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0) 6= 0

(2.13)

entonces el sistema (2.9) experimenta un bifurcacion trinche en el punto de equilibrioη = η0 cuando el parametro ν varıa atraves del valor de bifurcacion ν = ν0.

18 Preliminares

3Capıtulo

Teorema de Sotomayor para familiasm-parametrizadas

El teorema de Sotomayor nos da condiciones suficientes para que una familia uni-parametrizada de ecuaciones diferenciales experimente las bifurcaciones estacionarias:silla-nodo, trancrıtica y trinche. En este capıtulo se presenta la demostracion de esteteorema para una familia m-parametrizada de ecuaciones diferenciales. La idea de lademostracion se basa en buscar la expresion de la variedad central y analizar en ellala dinamica del sistema.Previo al enunciado y demostracion del teorema, se presentan los siguientes lemas,los cuales los utilizaremos durante el desarrollo de la demostracion.Considere el sistema parametrizado

η = F (η, ν) (3.1)

con η ∈ Rn y ν ∈ R

m. Supongamos que existe (η0, ν0) tal que

H1) F (η0, ν0) = 0

H2) σ(A) = {λ1 = 0, y R(λj) 6= 0, j = 2, 3, ...n}

dondeA ≡ (DF (η0, ν0))n×n.

Lema 1. Con el cambio de variables y parametros

ξ = P−1(η − η0) (3.2)

µ = ν − ν0

el sistema (3.1) se transforma en

ξ = Jξ + P−1Fν(η0, ν0)µ +1

2P−1D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ) + P−1Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ)

+1

6P−1D3F (η0, ν0)(Pξ, Pξ, Pξ) + ... .

19

20 Teorema de Sotomayor para familias m-parametrizadas

Demostracion. Por el teorema de Jordan, existe una matriz P , invertible, tal que

P−1AP =

(

0 00 JS

)

de tal manera que la matriz P y su inversa, P−1, estan formadas por los vectorespropios (generalizados) asociados a los valores propios de la matriz A, es decir,

P =(

v0 P0

)

y P−1 =

(

ωT0

Q0

)

donde v0 y ω0 son los vectores propios derecho e izquierdo respectivamente, asociadosal valor propio λ1 = 0, tal que

Av0 = 0

ωT0 A = 0,

y P0 ∈ Rn×n−1, Q0 ∈ R

n−1×n. El cambio de variables (3.2) traslada nuestro puntode equilibrio al origen y tambien ortogonaliza el eigenespacio central con los eigenes-pacios estable e inestable.

Antes de introducir las nuevas variables, hacemos un desarrollo de Taylor del campoF (η, ν) alrededor del punto de equilibrio (η0, ν0), quedandonos de la siguiente manera

F (η, ν) = F (η0, ν0) + DF (η0, ν0)(η − η0) + Fν(η0, ν0)(ν − ν0)

+1

2D2F (η0, ν0)(η − η0, η − η0) + Fνη(η0, ν0)(ν − ν0, η − η0)

+1

2Fνν(η0, ν0)(ν − ν0, ν − ν0)

+1

6D3F (η0, ν0)(η − η0, η − η0, η − η0) + ...

Entonces (3.1) se escribe como

η = DF (η0, ν0)(η − η0) + Fν(η0, ν0)(ν − ν0)

+1

2D2F (η0, ν0)(η − η0, η − η0) + Fνη(η0, ν0)(ν − ν0, η − η0)

+1

2Fνν(η0, ν0)(ν − ν0, ν − ν0) +

1

6D3F (η0, ν0)(η − η0, η − η0, η − η0) + ...

Para hacer el cambio de variables propuesto, consideraremos primero la si guientenotacion:

F (η, ν) =

F1(η, ν)F2(η, ν)

.

.

.

Fn(η, ν)

, DF (η0, ν0) =

∂F1

∂η(η0, ν0)

∂F2

∂η(η0, ν0)

.

.

.∂Fn

∂η(η0, ν0)

n×n

= A,

Teorema de Sotomayor para familias m-parametrizadas 21

Fν(η0, ν0) =

∂F1

∂ν(η0, ν0)

∂F2

∂ν(η0, ν0).

.

.∂Fn

∂ν(η0, ν0)

n×m

, D2F (η0, ν0) =

(

D2F1(η0, ν0))

n×n(

D2F2(η0, ν0))

n×n

.

.

.(

D2Fn(η0, ν0))

n×n

,

Fνη(η0, ν0) =

(F1νη(η0, ν0))m×n

(F2νη(η0, ν0))m×n

.

.

.

(Fnνη(η0, ν0))m×n

, D3F (η0, ν0) =

D3F1(η0, ν0)D3F2(η0, ν0)

.

.

.

D3Fn(η0, ν0)

.

Luego, de (3.2) tenemos que

ξ = P−1η, η − η0 = Pξ, ν − ν0 = µ,

entonces

ξ = P−1[APξ + Fν(η0, ν0)µ +1

2D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ)

+Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ) +1

6D3F (η0, ν0)(Pξ, Pξ, Pξ) + ...]

= Jξ + P−1Fν(η0, ν0)µ +1

2P−1D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ) (3.3)

+P−1Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ) +1

6P−1D3F (η0, ν0)(Pξ, Pξ, Pξ) + ...

�

Ya teniendo el sistema en las nuevas variables, necesitamos ponerlo en forma vectorialy definir la variable que nos determina la variedad central, para ello, cada uno de losterminos del sistema (3.3) los pondremos en forma vectorial de tal manera que sepuedan observar explıcitamente las entradas de cada uno de los vectores, nos interesaen particular la primera entrada de cada vector, ya que es la que le correspondeal valor propio cero y es la que nos dara la dinamica del sistema sobre la variedadcentral. El siguiente lema nos dice como hacer dicho calculo.


Lema 2. El sistema (3.3) puede reescribirse como

x = (ωT0 Fν(η0, ν0))µ +

1

2a1x

2 + B1(x, y) +1

2C1(y, y) +

(

ωT0 Fνη(η0, ν0)

)

(µ, v0)x

+(


)

(µ, P0y) +1

6qx3 + ...

y = Jsy + (Q0Fν(η0, ν0))µ +1

2A2x

2 + B2(x, y) +1

2C2(y, y) + (Q0Fνη(η0, ν0)) (µ, v0)x

+ (Q0Fνη(η0, ν0)) (µ, P0y) +1

6Qx3 + ...

donde x = ωT0 (η − η0) ∈ R, y = Q0(η − η0) ∈ R

n−1 y

a1 =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

B1 =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)

C1 =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(P0, P0)

A2 =(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

B2 =(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)

C2 =(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(P0, P0)

q =(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0)

Demostracion. De (3.2) tenemos

ξ = P−1(η − η0) =

(

ωT0

Q0

)

(η − η0) =

(

ωT0 (η − η0)

Q0(η − η0)

)

=

(

x

y

)

con x ∈ R, e y ∈ Rn−1. Entonces,

Jξ =

(

0 00 JS

)(

x

y

)

=

(

0JSy

)

,

P−1Fν(η0, ν0)µ =

(

ωT0

Q0

)

Fν(η0, ν0)µ =

(

ωT0 Fν(η0, ν0)µ

Q0Fν(η0, ν0)µ

)

,

P−1(D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ)) =

(

ωT0

Q0

)

(D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ))

=

(

ωT0 (D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ))

Q0(D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ))

)

,

P−1Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ) =

(

ωT0

Q0

)

Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ)

=

(

ωT0 (Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ))

Q0(Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ))

)

,

P−1D3F (η0, ν0)(Pξ, Pξ, Pξ) =

(

ωT0

Q0

)

(D3F (η0, ν0)(Pξ, Pξ, Pξ))

=

(

(ωT0 D3F (η0, ν0))(Pξ, Pξ, Pξ)

(Q0D3F (η0, ν0))(Pξ, Pξ, Pξ)

)

.


Entonces, el sistema (3.3) en forma vectorial nos queda de la siguiente forma

(

x

y

)

=

(

0JSy

)

+

(

ωT0 Fν(η0, ν0)µ

Q0Fν(η0, ν0)µ

)

+1

2

(

ωT0 (D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ))

Q0(D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ))

)

+

(

ωT0 (Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ))

Q0(Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ))

)

(3.4)

+1

6

(

(ωT0 D3F (η0, ν0))(Pξ, Pξ, Pξ)

(Q0D3F (η0, ν0))(Pξ, Pξ, Pξ)

)

+ ...

En el sistema (3.4), las nuevas variables aun no aparecen en todos los terminos, portal motivo, desarrollaremos cada una de las entradas de los terminos del sistema enlos cuales no aparecen las nuevas variables.

Ahora, considerando que la segunda derivada se puede ver como un operador bilinealtenemos que

D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ) = D2F (η0, ν0)(v0x + P0y, v0x + P0y)

= D2F (η0, ν0)(v0x, v0x) + D2F (η0, ν0)(v0x, P0y)

+D2F (η0, ν0)(P0y, v0x) + D2F (η0, ν0)(P0y, P0y).

Desarrollando cada uno de los terminos de la expresion inmediata anterior tenemos:

• D2F (η0, ν0)(v0x, v0x) = (D2F (η0, ν0)(v0, v0))x2,

donde

D2F (η0, ν0)(v0, v0) =

vT0 D2F1(η0, ν0)v0

vT0 D2F2(η0, ν0)v0

.

.

.

vT0 D2Fn(η0, ν0)v0

•

D2F (η0, ν0)(v0x, P0y) = (v0x)T D2F (η0, ν0)P0y

= x(vT0 D2F (η0, ν0)P0)y

= (D2F (η0, ν0)(v0, P0))(x, y)


•

D2F (η,ν0)(P0y, v0x) =

(P0y)T D2F1(η0, ν0)v0x

(P0y)T D2F2(η0, ν0)v0x

.

.

.

(P0y)T D2Fn(η0, ν0)v0x

=

(v0x)T D2F1(η0, ν0)P0y

(v0x)T D2F2(η0, ν0)P0y

.

.

.

(v0x)T D2Fn(η0, ν0)P0y

= D2F (η0, ν0)(v0x, P0y)

= (D2F (η0, ν0)(v0, P0))(x, y),

•

D2F (η0, ν0)(P0y, P0y) =

yT P T0 D2F1(η0, ν0)P0y

yT P T0 D2F2(η0, ν0)P0y

.

.

.

yT P T0 D2Fn(η0, ν0)P0y

= yT

P T0 D2F1(η0, ν0)P0

P T0 D2F2(η0, ν0)P0

.

.

.

P T0 D2Fn(η0, ν0)P0

y

= yT (D2Fn(η0, ν0)(P0, P0))y

= (D2F (η0, ν0)(P0, P0))(y, y).

De esta manera tenemos que

D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ) = (D2F (η0, ν0)(v0, v0))x2

+2(D2F (η0, ν0)(v0, P0))(x, y)

+(D2F (η0, ν0)(P0, P0))(y, y).


Finalmente, multiplicando por ωT0 tenemos

ωT0

(

D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ))

= ωT0

(

D2F (η0, ν0)(v0, v0))

x2

+2ωT0

(

D2F (η0, ν0)(v0, P0)(x, y))

+ωT0

(

D2F (η0, ν0)(P0, P0)(y, y))

.

Ahora bien, si ωT0 = (ω1, ω2, ..., ωn), entonces

ωT0 (D2F (η0, ν0)(v0, v0)) = (ω1, ω2, ..., ωn)

vT0 D2F1(η0, ν0)v0

vT0 D2F2(η0, ν0)v0

.

.

.

vT0 D2Fn(η0, ν0)v0

=n∑

i=1

ωi(vT0 D2Fi(η0, ν0)v0)

= vT0

(

n∑

i=1

ωiD2Fi(η0, ν0)

)

v0

=(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0).

Analogamente se puede demostrar que

ωT0

(

D2F (η0, ν0))

(v0, P0)(x, y) =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)(x, y),

ωT0 (D2F (η0, ν0)(P0, P0))(y, y) =

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(P0, P0)(y, y)

Entonces, conociendo ya cada uno de los terminos concluimos que

ωT0 D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ) =

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)x2

+ 2(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)(x, y)

+(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(P0, P0)(y, y).

Denotando por

a1 =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

B1 =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0))

C1 =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(P0, P0)

obtenemos que

ωT0 D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ) = a1x

2 + 2B1(x, y) + C1(y, y).


Haciendo un analisis similar al anterior, tenemos que en el sistema (3.4), el termino

Q0(D2F (η0, ν0)(Pξ, Pξ)) = A2x

2 + 2B2(x, y) + C2(y, y)

donde

A2 =(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

B2 =(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)

C2 =(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(P0, P0),

Denotemos por

Q0 =

q11 q12 ... q1n

q21 q22 ... q2n

. . . .

. . . .

. . . .

qn−1,1 qn−1,2 ... qn−1,n

entonces,

Q0D2F (η0, ν0) =

q11 q12 ... q1n

q21 q22 ... q2n

. . . .

. . . .

. . . .

qn−1,1 qn−1,2 ... qn−1,n

D2F1(η0, ν0)D2F2(η0, ν0)

.

.

.

D2Fn(η0, ν0)

=

∑nj=1 q1jD

2Fj(η0, ν0)∑n

j=1 q2jD2Fj(η0, ν0)

.

.

.∑n

j=1 qn−1,jD2Fj(η0, ν0)

Con esto terminamos de analizar los terminos ξT ξ. Consideremos ahora los terminosµiξj . Observese que

ωT0 (Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ)) = ωT

0 (Fνη(η0, ν0)(µ, v0x + P0y))

= ωT0 (Fνη(η0, ν0)(µ, v0)x) + ωT

0 (Fνη(η0, ν0)(µ, P0y))

=

n∑

j=1

ωjFjνη(η0, ν0)

(µ, v0)x +

n∑

j=1

ωjFjνη(η0, ν0)

(µ, P0y)

=(


)

(µ, v0)x +(


)

(µ, P0y).


Analogamente,

Q0Fνη(η0, ν0)(µ, Pξ) = (Q0Fνη(η0, ν0)) (µ, v0)x + (Q0Fνη(η0, ν0)) (µ, P0y).

El desarrollo de los dos terminos anteriores de (3.4) nos da los terminos cuadraticosque necesitamos para buscar la presencia de de las bifurcaciones silla-nodo y tran-scrıtica, el resultado siguiente nos dara los terminos cubicos que nos permitiran iden-tificar la bifurcacion trinche. Sabemos que,

D3F (η0, ν0) =

D3F1(η0, ν0)D3F2(η0, ν0)

.

.

.

D3Fn(η0, ν0)

donde

D3Fi(η0, ν0) =

(

∂∂η1

(D2Fi(η0, ν0)))

n×n(

∂∂η2

(D2Fi(η0, ν0)))

n×n

.

.

.(

∂∂ηn

(D2Fi(η0, ν0)))

n×n

Entonces, el termino del sistema (3.4) que nos interesa lo obtenemos haciendo elsiguiente desarrollo

D3F (η0, ν0)(Pξ, Pξ, Pξ) = D3F (η0, ν0)(v0x + P0y, v0x + P0y, v0x + P0y)

= D3F (η0, ν0)(v0, v0, v0)x3 + ...,

donde

D3F (η0, ν0)(v0, v0, v0) =

D3F1(η0, ν0)(v0, v0, v0)D3F2(η0, ν0)(v0, v0, v0)

.

.

.

D3Fn(η0, ν0)(v0, v0, v0)

con

D3Fi(η0, ν0)(v0, v0, v0) = vT0

vT0

(

∂∂η1

(D2Fi(η0, ν0)))

v0

vT0

(

∂∂η2

(D2Fi(η0, ν0)))

v0

.

.

.

vT0

(

∂∂ηn

(D2Fi(η0, ν0)))

v0

∈ R,


luego entonces

ωT0

(

D3F (η0, ν0)(Pξ, Pξ, Pξ))

= ωT0

(

D3F (η0, ν0)(v0, v0, v0)x3)

+ ...

=

n∑

j=1

ωjD3Fj(η0, ν0)(v0, v0, v0)

x3 + ...

=(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0)x3 + ...

= qx3 + ...

dondeq =

(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0).

�

El siguiente lema nos da la expresion de la variedad central, ası como la dinamica delsistema sobre ella.

Lema 3. La dinamica sobre la variedad central para el sistema (3.1) esta dada porla expresion

x1 =(

ωT0 Fν(η0, ν0)

)

µ +

(

1

2

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

)

x21

+[

−(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1S Q0Fν(η0, ν0) + vT

0

(


)T]

µx1

(3.5)

+

[

1

6

(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0)

− 1

2

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1S

(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

]

x31 + ... ,

donde x1 = ωT0 (η − η0).

Demostracion. Teniendo el sistema (3.3) ya en las variables x e y buscaremos laexpresion de la variedad central, para ello consideraremos al parametro µ como otravariable de estado mas y con esto extenderemos el sistema quedando de la siguientemanera

x

µ

y

=

0 ωT0 Fν(η0, ν0) 0

0 0 00 Q0Fν(η0, ν0) JS

x

µ

y

+

F1(x, µ, y)0

F2(x, µ, y)

(3.6)

donde

F1(x, µ, y) =1

2a1x

2 + B1(x, y) +1

2C1(y, y) +

(


)

(µ, v0)x

+(


)

(µ, P0y) +1

6qx3 + ...

F2(x, µ, y) =1

2A2x

2 + B2(x, y) +1

2C2(y, y) + (Q0Fνη(η0, ν0)) (µ, v0)x

+ (Q0Fνη(η0, ν0)) (µ, P0y) +1

6Qx3 + ... .


Ahora, calcularemos la variedad central pero llevando el sistema (3.6) a una formamas conveniente siguiendo las ideas de las formas de Jordan. Para ello, debemosbuscar una matriz P tal que

P−1AP =

0 L0 00 0 00 0 JS

= J ,

donde A =

0 ωT0 Fν(η0, ν0) 0

0 0 00 Q0Fν(η0, ν0) JS

, L0 se determinara y lo necesitaremos para

garantizar que en la dinamica de la variedad central aparezca el termino lineal en µ,ya que es necesario para que ocurra la bifurcacion silla-nodo.Sea P la matriz

P =

1 P12 P13

P21 Im P23

P31 P32 In−1

,

entonces AP = PJ equivale a

0 ωT0 L 0

0 0 00 Q0L JS

1 P12 P13

P21 Im P23

P31 P32 In−1

=

1 P12 P13

P21 Im P23

P31 P32 In−1

0 L0 00 0 00 0 JS

entonces, multiplicando las matrices e igualando los terminos y considerando que JS

no tiene valores propios cero y por lo tanto es invertible, tenemos que una solucionesta dada por

P =

1 0 00 Im 0

0 −J−1S Q0Fν(η0, ν0) In−1

, P−1 =

1 0 00 Im 0

0 J−1S Q0Fν(η0, ν0) In−1

y

L0 = ωT0 Fν(η0, ν0).

Ahora hacemos el siguiente cambio de coordenadas,

x1

µ

y1

= P−1

x

µ

y

⇐⇒

x

µ

y

= P

x1

µ

y1

,

es decir,x = x1

µ = µ

y = y1 − JTS Q0Fν(η0, ν0)


Entonces,

x1

µ

y1

= P

x

µ

y

= P−1

A

x

µ

y

+

F1(x, µ, y)0

F2(x, µ, y)

= P−1AP

x1

µ

y1

+ P−1

F1(x, µ, y)0

F2(x, µ, y)

=

0 ωT0 Fν(η0, ν0) 0

0 0 00 0 JS

x1

µ

y1

+

F1(x1, µ, y1)0

F2(x1, µ, y1)

dondeFi(x1, µ, y1) = Fi(x1, µ, y1 − (JT

S Q0Fν(η0, ν0))), i = 1, 2

es decir,

F1(x1, µ, y1) =1

2a1x

21 + B1(x1,−JT

S Q0Fν(η0, ν0) + y1)

+1

2C1(−JT

S Q0Fν(η0, ν0) + y1,−JTS Q0Fν(η0, ν0) + y1)

+(


)

(µ, v0)x1

+(


) (

µ, P0(−JTS Q0Fν(η0, ν0) + y1)

)

+1

6qx3

1 + ...

F2(x1, µ, y1) =1

2A2x

21 + B2(x1,−JT

S Q0Fν(η0, ν0) + y1)

+1

2C2(−JT

S Q0Fν(η0, ν0) + y1,−JTS Q0Fν(η0, ν0) + y1)

+ (Q0Fνη(η0, ν0)) (µ, v0)x1

+ (Q0Fνη(η0, ν0))(

µ, P0(−JTS Q0Fν(η0, ν0) + y1)

)

+1

6Qx3

1 + ...

Ya con el sistema en una forma mas adecuada podemos continuar con el calculo dela variedad central.

Seay1 = h(x1, µ) = A1x

21 + µT A2x1 + A3(µ, µ)

la expresion para la variedad central, donde estaremos interesados en determinar A,y cuya ecuacion homologica es

y1 =∂h(x1, µ)

∂x1x1 +

∂h(x1, µ)

∂µµ

entonces, como µ = 0, tenemos

y1 = (2A1x1 + µT A2)x1


de tal manera que

JSy1 + F2(x1, µ, y1) ≡ (2A1x1 + µT A2)(ωT0 Fν(η0, ν0)µ + F1(x1, µ, y1))

entonces

JSy1 + F2(x1, µ, y1) ≡ 2A1x1ωT0 Fν(η0, ν0)µ + 2A1x1F1(x1, µ, y1)

+A2µT ωT

0 Fν(η0, ν0)µ + µT A2F1(x1, µ, y1).

Haciendo las sustituciones y analizando el hecho de que el termino que nos interesade la expresion de la variedad central es solo el primero, podemos observar que losterminos que sobreviven de la expresion inmediata anterior ya desarrollada son

JSA1x21 +

1

2A2x

21 + ... ≡ 0

y esto implica que

A1 = −1

2J−1

S A2,

por lo tanto, la expresion de la variedad central finalmente es

h(x1, µ) = −1

2J−1

S A2x21 + ... (3.7)

y la dinamica sobre (3.7) esta dada por

x1 = ωT0 Fν(η0, ν0)µ + F1(x1, µ, h(x1, µ))

= ωT0 Fν(η0, ν0)µ +

1

2a1x

21 + B1(x1,−JT

S Q0Fν(η0, ν0)µ + h(x1, µ))

+(


)

(µ, v0))x1 +1

6qx3

1 + ...

= (ωT0 Fν(η0, ν0))µ +

1

2a1x

21 +

[

B1(x1,−JTS Q0Fν(η0, ν0)µ)

+(


)

(µ, v0)x1

]

+

[

B1(x1, h(x1, µ)) +1

6qx3

1

]

+ ... .

Por otro lado, sabemos que

B1 =(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)

entonces,

B1(x1,−J−1S Q0Fν(η0, ν0)µ) = −ωT

0 D2F (η0, ν0)(v0, P0)J−1S Q0Fν(η0, ν0)µx1

ahora,

(


)

(µ, v0) =((


)

(µ, v0))T

= vT0

(


)Tµ


Por lo tanto, la dinamica del sistema sobre la variedad central es

x1 =(

ωT0 Fν(η0, ν0)

)

µ +

(

1

2

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

)

x21

+[

−(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1S Q0Fν(η0, ν0) + vT

0

(


)T]

µx1

(3.8)

+

[

1

6

(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0)

− 1

2

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1S

(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

]

x31 + ...

�

Con los tres lemas anteriores, hemos demostrado el teorema principal de este capıtulo.

Teorema 5. Considere el sistema parametrizado

η = F (η, ν) (3.9)

con η ∈ Rn y ν ∈ R

m. Supongamos que existe (η0, ν0) tal que

H1) F (η0, ν0) = 0

H2) σ(A) = {λ1 = 0, y Re(λj) 6= 0, j = 2, 3, ...n}

dondeA ≡ (DF (η0, ν0))n×n.

Sean v0 y ω0 los vectores propios derecho e izquierdo respectivamente de A correspon-dientes al valor propio λ1 = 0. Entonces,

Caso 1 . Si

ωT0 Fν(η0, ν0) 6= 0 y

(3.10)(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0) 6= 0

Entonces, el sistema (3.9) experimenta una bifurcacion silla-nodo en el puntode equilibrio η = η0 cuando el parametro ν pasa a traves del valor de bifurcacionν = ν0. Ademas, la dinamica sobre la variedad central esta dada por

x = β1 + ax2 + ... (3.11)

donde

x = ωT0 (η − η0),

β1 = ωT0 Fν(η0, ν0)(ν − ν0), y

a =1

2

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0).


Caso 2 . Si

ωT0 Fν(η0, ν0) = 0,

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0) 6= 0, (3.12)

−(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1s Q0Fν(η0, ν0) + vT

0 (ωT0 Fνη(η0, ν0))

T 6= 0,

entonces el sistema (3.1) experimenta un bifurcacion transcrıtica en el punto deequilibrio η = η0 cuando el parametro ν varıa atraves del valor de bifurcacionν = ν0. Ademas, la dinamica sobre la variedad central esta dada por

x = ax2 + β2x + ... (3.13)

donde

β2 =[

−(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1s Q0Fν(η0, ν0) + vT

0 (ωT0 Fνη(η0, ν0))

T]

(ν−ν0).

Caso 3 . Si

ωT0 Fν(η0, ν0) = 0,

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0) = 0 (3.14)

−(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1S Q0Fν(η0, ν0) + vT

0 (ωT0 Fνη(η0, ν0))

T 6= 0

1

6

(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0)

−1

2

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1S

(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0) 6= 0

entonces el sistema (3.1) experimenta un bifurcacion trinche en el punto de equilibrioη = η0 cuando el parametro ν varıa atraves del valor de bifurcacion ν = ν0. Ademas,la dinamica sobre la variedad central esta dada por

x1 = β2x + bx3 + ... (3.15)

donde

b =

[

1

6

(

ωT0 D3F (η0, ν0)

)

(v0, v0, v0)

−1

2

(

ωT0 D2F (η0, ν0)

)

(v0, P0)J−1S

(

Q0D2F (η0, ν0)

)

(v0, v0)

]

Observacion 2. Podemos observar que para el caso m = 1, el resultado anteriorcorresponde al teorema de Sotomayor.

4Capıtulo

Control de bifurcaciones estacionarias

En el capıtulo anterior se abordo el analisis de bifurcaciones en una familia m-parametrizada de ecuaciones diferenciales, obteniendose un teorema para el caso delas bifurcaciones estacionarias. En este capıtulo abordaremos el control de las bi-furcaciones estacionarias en sistemas de control utilizando el teorema demostrado enel capıtulo anterior, para el caso m = 1, el cual es conocido como el Teorema deSotomayor. Este problema ha sido abordado en [1], [9] y [10], utilizando distintasherramientas y metodologıas.

4.1 Planteamiento del problema

Considere el sistema de control,

x = f(x) + g(x)u (4.1)

con f, g : Rn → R

n campos suaves y u ∈ R. Supongamos que existe x0 tal que

H1)f(x0) = 0 (4.2)

H2)σ(Df(x0)) = {λ1 = 0, Re(λj) < 0, j = 2, ..., n}.Nos interesa disenar una ley de control u = u(x, µ, γ), con µ ∈ R, γ ∈ R

2, tal que elsistema en lazo cerrado

x = f(x) + g(x)u(x, µ, γ) = F (x, µ, γ) (4.3)

experimente las bifurcaciones estacionarias, y ademas, sea posible establecer a priorilas distintas direcciones de las bifurcaciones mediante la manipulacion de γ. Llamare-mos a µ parametro artificial de bifurcacion y a γ el vector de parametros artificialesde control. Aunque tanto µ como γ son parametros de control, haremos una dis-tincion ectre ellos, µ sera el parametro de bifurcacion, y nos permitira controlar el“lado ”en el que queremos estar dentro de la dinamica dela bifurcacion, mientras quelas entradas de γ nos permitiran controlar la direccion de las bifurcaciones.

35

36 Control de bifurcaciones estacionarias

4.2 Caso escalar

Considere el sistema de control escalar

x = f(x) + g(x)u (4.4)

con f, g : R → R y u ∈ R. Supondremos, sin perdida de generalidad, que x0 = 0.Luego, desarrollando en serie de Taylor alrededor del origen los campos f y g, (4.4)se transforma en

x = a1x2 + a2x

3 + ... + (b1 + b2x + b3x2 + ...)u(x, µ, γ). (4.5)

Como queremos que ocurran las bifurcaciones estacionarias, la ley de control la pro-pondremos de acuerdo con los terminos que generan dichas bifurcaciones. Considerela ley de control

u = c1x + c2µ + c3x2 + c4µx + c5x

3 (4.6)

con ci ∈ R, i = 1...5. Sustituyendo (4.6) en (4.5), desarrollando las operacionesindicadas y agrupando terminos semejantes, obtenemos el sistema en lazocerrado

x = (b1c1)x + (b1c2)µ + (a1 + b1c3 + b2c1)x2 + (b1c4 + b2c2)µx

+(a2 + b1c5 + b2c3 + b3c1)x3 + ... (4.7)

donde a1 = 12D2f(0), b1 = g(0) y b2 = Dg(0). De esta manera, si b1 6= 0, las

condiciones para que ocurran las bifurcaciones estacionarias son:

1) Bifurcacion silla- nodo:

b1c1 = 0 ⇒ c1 = 0

b1c2 6= 0 ⇒ c2 6= 0

a1 + b1c3 + b2c1 6= 0 ⇒ c3 6= −a1

b1

de esta manera, nuestra ley de control esta dada por u(x, µ, γ) = l1µ + l2x2,

donde l1 = c2 y l2 = c3 y entonces el sistema

x = (b1l1)µ + (a1 + b1l2)x2 + ...

experimenta la bifurcacion silla-nodo, ademas, tenemos la posibilidad de ma-nipular l1 y l2 de tal manera que podemos controlar con ello, la direccion de labifurcacion.

2) Bifurcacion transcrıtica:

b1c1 = 0 ⇒ c1 = 0

b1c2 = 0 ⇒ c2 = 0

a1 + b1c3 + b2c1 6= 0 ⇒ c3 6= −a1

b1

b1c4 + b2c2 6= 0 ⇒ c4 6= 0

por lo tanto si u(x, µ, γ) = l1x2 + l2µx,donde l1 = c3 y l2 = c4, entonces el

sistemax = (a1 + b1l1)x

2 + (b1l2)µx + ...

experimenta una bifurcacion transcrıtica, y podemos tambien controlar la di-reccion de la misma debido a que podemos manipular l1 y l2.

4.2 Caso escalar 37

3) Bifurcacion trinche:

b1c1 = 0 ⇒ c1 = 0

b1c2 = 0 ⇒ c2 = 0

a1 + b1c3 + b2c1 = 0 ⇒ c3 = −a1

b1

b1c4 + b2c2 6= 0 ⇒ c4 6= 0

a2 + b1c5 + b2c3 + b3c1 6= 0 ⇒ c5 6= −a2 − b2c3

b1⇒ c5 6= a1b2 − a2b1

b21

por lo tanto si u(x, µ, γ) = −a1

b1x2+ l1µx+ l2x

3,donde l1 = c4 y l2 = c5, entoncesel sistema

x = (b1l1)µx +

(

a2 + b1l2 −a1b2

b1

)

x3 + ...

experimenta una bifurcacion trinche, y podemos tambien controlar la direccionde la misma ya que tenemos la posibilidad de manipular el valor de l1 y l2.

Como podemos observar, en los tres casos analizados se establecio la hipotesis b1 6= 0.Analizaremos ahora el caso en que b1 = 0, entonces, el sistema (4.7) se reduce a

x = (a1 + b2c1)x2 + (b2c2)µx + (a2 + b2c3 + b3c1)x

3 + ... . (4.8)

Podemos observar que en este caso la bifurcacion silla-nodo no puede ocu-rrir, por lo que veremos las condiciones bajo las cuales ocurren la bifurcacion tran-scrıtica y la trinche.

Para que ocurra la bifurcacion trancrıtica necesitamos que

a1 + b2c1 6= 0 ⇒ c1 6= −a1

b2, con b2 6= 0

b2c2 6= 0 ⇒ c2 6= 0

por lo tanto la ley de control esta dada por

u(x, µ, γ) = l1x + l2µ,

donde l1 = c1 y l2 = c2, y la dinamica del sistema (4.8) esta dada por

x = (a1 + b2c1)x2 + (b2c2)µx + ...

Para que ocurra la bifurcacion trinche necesitamos que

a1 + b2c1 = 0 ⇒ c1 = −a1

b2,

b2c2 6= 0 ⇒ c2 6= 0,

a2 + b2c3 + b3c1 6= 0 ⇒ c3 6= −a2 − b3c1

b2⇒ c3 6= a1b3 − a2b2

b22

por lo tanto la ley de control esta dada por

u(x, µ, γ) = −a1

b2x + l1µ + l2x

2


donde l1 = c2 y l2 = c3, y la dinamica del sistema (4.8) esta dada por

x = (b2l1)µx +

(

a2 + b2l2 −a1b3

b2

)

x3 + ...

dandonos ası la posibilidad de controlar su ocurrencia, ası como tambien la direccionde la misma ya que tenemos la posibilidad de manipular l1 y l2. Se observa queaparece otra restriccion sobre g(x), en este caso b2 6= 0. Supongamos ahora queb2 = 0, entonces el sistema (4.7) se reduce a

x = a1x2 + (a2 + b3c1)x

3 + ...,

y como podemos ver, no satisface ninguna de las hipotesis del Teorema de las bifur-caciones estacionarias, por lo que no podemos establecer condiciones suficientes paraque ocurra alguna bifurcacion estacionaria.

De esta manera tenemos que si b1 6= 0 ocurren las tres bifurcaciones estaciona-rias y las podemos controlar, mientras que si b1 = 0 y b2 6= 0 ocurren solo la tran-scrıtica y la trinche, y tambien las podemos controlar.Es importante mencionar que, aunque un sistema no cumpla con estas condiciones,debido a que solo son condiciones suficientes, es posible que el sistema presente lasbifurcaciones y que se puedadn controlar.

Una vez concluido el analisis para el caso escalar, podemos resumir todos los resul-tados en el siguiente teorema, cuya demostracion es precisamente el analisis hechoanteriormente.

Teorema 6. Considere el sistema de control escalar

x = f(x) + g(x)u (4.9)

con x ∈ R y µ ∈ R. Supongamos que f(0) = Df(0) = 0.

Caso 1. Si g(0) 6= 0, entonces

i) La ley de control

u(x, µ, γ) = l1µ + l2x2

es tal que el sistema en lazo cerrado (4.9) experimenta la bifurcacion silla-nodo y la dinamica esta dada por

x = l1g(0)µ +

(

1

2D2f(0) + l2g(0)

)

x2 + ...

ii) La ley de control

u(x, µ, γ) = l1x2 + l2µx

es tal que el sistema en lazo cerrado (4.9) experimenta la bifurcacion tran-scrıtica y la dinamica esta dada por

x =

(

1

2D2f(0) + l1g(0)

)

x2 + (l2g(0))µx + ...

4.3 Caso general 39

iii) La ley de control

u(x, µ, γ) = −D2f(0)

2g(0)x2 + l1µx + l2x

3

es tal que el sistema en lazo cerrado (4.9) experimenta la bifurcaciontrinche y la dinamica esta dada por

x = (l1g(0))µx +

(

1

6D3f(0) + l2g(0) − D2f(0)Dg(0)

2g(0)

)

x3 + ...

Caso 2. Si g(0) = 0 y Dg(0) 6= 0, entonces

i) La ley de controlu(x, µ, γ) = l1x + l2µ

es tal que el sistema en lazo cerrado (4.9) experimenta la bifurcacion tran-scrıtica y la dinamica esta dada por

x =

(

1

2D2f(0) + l1Dg(0)

)

x2 + (l2Dg(0))µx + ...

ii) La ley de control

u(x, µ, γ) = −D2f(0)

2Dg(0)x + l1µ + l2x

2

es tal que el sistema en lazo cerrado (4.9) experimenta la bifurcaciontrinche y la dinamica esta dada por

x = (l1Dg(0))µx +

(

1

6D3f(0) + l2Dg(0) − D2f(0)D2g(0)

4Dg(0)

)

x3 + ... .

4.3 Caso general

A continuacion, haremos un estudio similar al realizado en el caso escalar, pero ahorapara campos vectoriales en R

n.

Considere el sistema de control

x = f(x) + g(x)u (4.10)

con f, g : Rn → R

n, campos vectoriales suficientemente suaves y u ∈ R. Como en elcaso escalar, supongamos que x0 = 0.Como f y g son campos vectoriales suaves, los podemos desarrollar en series de Tayloralrededor de x0, entonces el sistema (4.10) queda de la siguiente manera:

x = Df(0)x +1

2D2f(0)(x, x) +

1

6D3f(0)(x, x, x) + ... (4.11)

+(b + Dg(0)x +1

2D2g(0)(x, x) + ...)u


con x ∈ Rn y b = g(0). Considere la ley de control

u = lµ + LT1 x + µLT

2 x + Q(x, x) + C(x, x, x) (4.12)

donde, l ∈ R, LT1 , LT

2 ∈ Rn, Q(x, x) representa terminos cuadraticos y C(x, x, x) rep-

resenta terminos cubicos.

Sustituyendo la ley de control (4.12) en el sistema (4.11), tenemos el sistema en lazocerrado

x = Df(0)x +1

2D2f(0)(x, x) +

1

6D3f(0)(x, x, x) + ...

+(b + Dg(0)x +1

2D2g(0)(x, x) + ...)(lµ + LT

1 x + µLT2 x + Q(x, x) + C(x, x, x))

= Df(0)x + bLT1 x + blµ +

1

2D2f(0)(x, x) + Dg(0)xLT

1 x + bQ(x, x) + Dg(0)xlµ (4.13)

+bµLT2 x +

1

6D3f(0)(x, x, x) +

1

2D2g(0)(x, x)LT

1 x + Dg(0)xQ(x, x) + bC(x, x, x) + ...

Los siguientes lemas nos permitiran reescribir algunos terminos del sistema en lazocerrado (4.13).

Lema 4.

Dg(0)xLT1 x = L1Dg(0)(x, x)

Demostracion.

Dg(0)xLT1 x =

(LT1 x)Dg1(0)x

(LT1 x)Dg2(0)x

.

.

.

(LT1 x)Dgn(0)x

=

xT (L1Dg1(0))xxT (L1Dg2(0))x

.

.

.

xT (L1Dgn(0))x

= xT

L1Dg1(0)L1Dg2(0)

.

.

.

L1Dgn(0)

x = xT (L1Dg(0))x

= L1Dg(0)(x, x)

�

Lema 5.

bQ(x, x) = xT

b1Q

b2Q

.

.

.

bnQ

x

4.3 Caso general 41

Demostracion. Sea

b = (b1, b2, ..., bn)

entonces

bQ(x, x) =

b1

b2

.

.

.

bn

xT Qx

=

b1xT Qx

b2xT Qx

.

.

.

bnxT Qx

=

xT b1Qx

xT b2Qx

.

.

.

xT bnQx

= xT

b1Q

b2Q

.

.

.

bnQ

x

= bQ(x, x)

�

Lema 6.

1

2D2g(0)(x, x)LT

1 x =1

2L(x, x, x).

Demostracion.

1

2D2g(0)(x, x)LT

1 x =1

2xT L1D

2g(0)(x, x)

=1

2

xT L1D2g1(0)(x, x)

xT L1D2g2(0)(x, x)

.

.

.

xT L1D2gn(0)(x, x)

ahora, analizaremos la i-esima coordenada de la matriz inmediata anterior que es

xT L1D2gi(0)(x, x) = (xT L1)(x

T D2gi(0)x)


sea LT1 = (l11, l12, ..., l1n), entonces

(xT L1)(xT D2gi(0)x) = xT

l11l12.

.

.

l1n

(xT D2gi(0)x)

= xT

l11xT D2gi(0)x

l12xT D2gi(0)x

.

.

.

l1nxT D2gi(0)x

= xT

xT (l11D2gi(0))x

xT (l12D2gi(0))x.

.

.

xT (l1nD2gi(0))x

= Li(x, x, x)

Entonces,

1

2D2g(0)(x, x)LT

1 x =1

2

L1(x, x, x)L2(x, x, x)

.

.

.

Ln(x, x, x)

=1

2L(x, x, x)

donde

L =

L1

L2

.

.

.

Ln

�

Lema 7.

Dg(0)xQ(x, x) = M(x, x, x).

Demostracion.

Dg(0)xQ(x, x) = Dg(0)xxT Qx = xT QxDg(0)x

consideremos

Dg(0)x =

Dg1(0)Dg2(0)

.

.

.

Dgn(0)

x =

Dg1(0)xDg2(0)x

.

.

.

Dgn(0)x

4.3 Caso general 43

entonces

xT QxDg(0)x =

xT QxDg1(0)xxT QxDg2(0)x

.

.

.

xT QxDgn(0)x

analicemos lo que sucede en el i-esimo renglon

xT QxDgi(0)x = xT (xT (Dgi(0))T Qx)

sea Q =

qT1

qT2

.

.

.

qTn

n×n

, entonces, Qx =

qT1 x

qT2 x

.

.

.

qTn x

,

entonces

xT (Dgi(0))T Qx =

xT (Dgi(0))T qT1 x

xT (Dgi(0))T qT2 x

.

.

.

xT (Dgi(0))T qTn x

= xT

(Dgi(0))T qT1

(Dgi(0))T qT2

.

.

.

(Dgi(0))T qTn

x

esto implica quexT (xT (Dgi(0))T Qx) = Mi(x, x, x) ∈ R

donde

Mi =

(Dgi(0))T qT1

(Dgi(0))T qT2

.

.

.

(Dgi(0))T qTn

por lo tantoxT Qx(Dg(0))x = M(x, x, x)

donde

M =

M1

M2

.

.

.

Mn

, (4.14)


�

Lema 8.

bC(x, x, x) = N (x, x, x).

Demostracion. Sea C(x, x, x) = xT

C1(x, x)C2(x, x)

.

.

.

Cn(x, x)

con Ci ∈ Rn×n, luego

bC(x, x, x) =

b1C(x, x, x)b2C(x, x, x)

.

.

.

bnC(x, x, x)

tomemos la i-esima componente,

biC(x, x, x) = xT

xT (biC1)n×nx

xT (biC2)n×nx

.

.

.

xT (biCn)n×nx

= Ni(x, x, x)

donde

Ni =

biC1

biC2

.

.

.

biCn

entonces

b1C(x, x, x)b2C(x, x, x)

.

.

.

bnC(x, x, x)

=

N1(x, x, x)N2(x, x, x)

.

.

.

Nn(x, x, x)

= N (x, x, x)

donde

N =

N1

N2

.

.

.

Nn

(4.15)

�

4.3 Caso general 45

Tenemos entonces que el sistema en lazo cerrado (4.13) puede escribirse como

x = (A + bL1)x + blµ + f2(x) + L2µx + f3(x) + ... (4.16)

donde

A = Df(0)

L2 = Dg(0)l + bLT2 (4.17)

f2(x) =1

2(D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)(x, x) (4.18)

f3(x) =1

6(D3f(0) + 3L + M + 6N )(x, x, x) (4.19)

Ya teniendo el sistema en lazo cerrado (4.16), aplicaremos el teorema de Sotomayory analizaremos las condiciones bajo las cuales podemos controlar la ocurrencia de lasbifurcaciones estacionarias.Observando la parte lineal en (4.16), vemos la conveniencia de considerar dos casos:L1 = 0 y L1 6= 0.Sea L1 = 0, entonces (4.16) se reduce a

x = Ax + blµ +

(

1

2(D2f(0) + 2bQ)

)

(x, x) + (Dg(0)l + bL2)µx (4.20)

+

(

1

6(D3f(0) + M + 6N )

)

(x, x, x) + ...

Observemos que la parte lineal en (4.20) satisface las hipotesis del teorema de So-tomayor, es decir, A posee un unico valor propio cero, luego entonces, aplicaremosel mencionado teorema para tratar de controlar las bifurcaciones estacionarias. Sigu-iendo con la misma notacion, sean v0 y ω0 los vectores propios derecho e izquierdorespectivamente, asociados al valor propio λ1 = 0.El sistema (4.20) experimentara la bifurcacion silla-nodo si se satisfacen (3.10), esdecir, si

ωT0 bl 6= 0 y r = ωT

0 (D2f(0) + 2bQ)(v0, v0) 6= 0 (4.21)

Observe que l y Q son parametros artificiales de control, es decir, tenemos la liber-tad de asignarles cualquier valor conveniente. Ahora bien, la primera condicion secumplira si establecemos la hipotesis ωT

0 b 6= 0 y cualquier l 6= 0.Observese que

r = ωT0 D2f(0)(v0, v0) + 2(ωT

0 b)Q(v0, v0),

luego, el primer sumando es un escalar fijo dado por el sistema, mientras que elsegundo sumando se puede manipular ya que a Q(v0, v0) le podemos asignar cualquiervalor.

Lema 9. Dado un escalar α, existe Q = (qij) una matriz n×n tal que Q(v0, v0) = α,donde v0 es un vector propio de A.

Demostracion. Como v0 6= 0, existe al menos una entrada diferente de cero, digamosla p-esima, v0p 6= 0. Luego, si hacemos qpp 6= 0 y qij = 0, para i, j 6= p entoncesQ(v0, v0) = qppv

20p = α si qpp = α

v2

0p

.

�


Tenemos entonces que

r = ωT0 D2f(0)(v0, v0) + 2(ωT

0 b)v20pqpp.

Resumiendo, las condiciones (4.21) se cumplen si ωT0 b 6= 0, para cualquier

l 6= 0 y qpp 6= −(ωT0 D2f(0)(v0, v0))

2(ωT0 b)v2

0p

,

es decir, el sistema (4.20) experimentara la bifurcacion silla-nodo si aplicamos la leyde control (ver (4.12))

u(x, µ, γ) = l1µ + l2x2p,

donde xp es la p-esima componente del vector de estados x. Siguiendo el teorema deSotomayor, la dinamica sobre la variedad central esta dada por

x1 = ωT0 blµ +

1

2rx2

1 + · · · ,

donde x1 = ωT0 x, l1 = l y l2 = qpp. Tenemos demostrado entonces el siguiente lema

Lema 10. Considere el sistema de control

x = f(x) + g(x)u,

donde x0 = 0 satisface H1) y H2). Sean v0 y ω0 vectores propios derecho e izquierdo,respectivamente, de A = Df(0) asociados a λ1 = 0. Supongamos que la p-esimaentrada de v0 es diferente de cero. Si ωT

0 g(0) 6= 0, entonces la ley de control

u(x, µ, γ) = l1µ + l2x2p,

donde xp es la p-esima coordenada de x, provoca en el sistema en lazo cerrado labifurcacion silla-nodo, y la dinamica sobre la variedad central esta dada por

x1 = ωT0 bl1µ +

1

2

(

a + 2ωT0 bv2

0pl2)

x21 + · · · ,

donde x1 = ωT0 x y a = ωT

0 D2f(0)(v0, v0).

Ahora bien, el sistema (4.20) experimentara la bifurcacion transcrıtica si se satisfacen(3.12), es decir, si

ωT0 bl = 0, r 6= 0, s = (ωT

0 (D2f(0) + 2bQ)(v0, P0))(−J−1S Q0bl) (4.22)

+(ωT0 (Dg(0)l + bLT

2 ))v0 6= 0

Seguiremos suponiendo que ωT0 b 6= 0, luego la primera condicion en (4.22) se cumple

si l = 0, sabemos que la segunda se cumple para Q dada por el lema 9. Para la terceracondicion en (4.22), observese que, al hacer l = 0, se reduce a

s = ωT0 bLT

2 v0,

pero sabemos que la p-esima entrada de v0 es diferente de cero, entonces ha-gamos LT

2 = (0, ..., 0, l2p, 0, ..., 0), entonces

s = ωT0 bv0pl2p 6= 0 si l2p 6= 0.

4.3 Caso general 47

Resumiendo, las condiciones (4.22) se cumplen si ωT0 b 6= 0, para

l = 0, qpp 6= −(ωT0 D2f(0)(v0, v0))

2(ωT0 b)v2

0p

, y cualquier l2p 6= 0,

es decir, el sistema (4.20) experimentara la bifurcacion transcrıtica si aplicamos la leyde control (ver(4.12))

u(x, µ, γ) = l1µxp + l2x2p,

donde xp es la p-esima componente del vector de estados x, l1 = l2p, l2 = qpp y ladinamica sobre la variedad central esta dada por

x1 = ωT0 bl1µx1 +

1

2

(

a + 2ωT0 bv2

opl2)

x21 + · · · .

Hemos demostrado entonces el siguiente resultado:


x = f(x) + g(x)u,

donde x0 = 0 satisface las condiciones dadas en (4.2). Sean v0 y ω0 vectores propiosderecho e izquierdo, respectivamente, de A = Df(0) asociados a λ1 = 0. Si ωT

0 g(0) 6=0, entonces la ley de control


donde xp es la p-esima coordenada de x, es tal que el sistema en lazo cerrado exper-imenta la bifurcacion transcrıtica, y la dinamica sobre la variedad central esta dadapor

x1 = ωT0 bl1µx1 +

1

2

(

a + 2ωT0 bv2

opl2)

x21 + · · · ,


0 D2f(0)(v0, v0).

Por ultimo, el sistema (4.20) experimentara la bifurcacion trinche si se satisfacen(3.14), es decir

ωT0 bl = 0, r = 0, s 6= 0 y k 6= 0, (4.23)

donde

k =1

6ωT

0

(

(D3f(0) + M + 6N )(v0, v0, v0))

−1

2

(

ωT0 (D2f(0) + 2bQ)(v0, P0)(J

−1S )) (

Q0(D2f(0) + 2bQ)(v0, v0)

)

.

Seguimos suponiendo que ωT0 b 6= 0, entonces, la primera condicion en (4.23) se sat-

isface si l = 0. Ademas, es claro que r = 0 si y solo si qpp = − (ωT0

D2f(0)(v0,v0))

2(ωT0

b)v2

0p

. Por

otro lado, s 6= 0 para cualquier l2p 6= 0. Ahora bien, observese que

k = ωT0 N (v0, v0, v0) + c0,


donde

c0 =1

6ωT

0

(

(D3f(0) + M)(v0, v0, v0))

−1

2

(

ωT0 (D2f(0) + 2bQ)(v0, P0)(J

−1S )) (

Q0(D2f(0) + 2bQ)(v0, v0)

)

.

Nuestro problema se reduce entonces a buscar N tal que k 6= 0. Pero, del lema8, sabemos que ωT

0 N (v0, v0, v0) = ωT0 bC(v0, v0, v0), luego, basta seleccionar terminos

cubicos C(x, x, x) en la ley de control (4.12) tales queC(v0, v0, v0) 6= 0. Sabemos que la p-esima coordenada de v0 es diferente de cero,

entonces, hagamos Ci = 0 para i 6= p, y definimos Cp =(

cpij

)

n×ncomo c

pij = 0 para

toda i, j 6= p, entonces

C(v0, v0, v0) = vT0

0...

Cp(v0, v0)...0

= v0pCp(v0, v0) = v30pc

ppp

Resumiendo, las condiciones (4.23) se cumplen si ωT0 b 6= 0, para

l = 0, qpp = −(ωT0 D2f(0)(v0, v0))

2(ωT0 b)v2

0p

, l2p 6= 0, cppp 6= 0,

es decir, el sistema (4.20) experimentara la bifurcacion trinche si aplicamos la ley decontrol (ver(4.12))

u(x, µ, γ) = l1µxp − α0x2p + l2x

3p,

donde xp es la p-esima componente del vector de estados x, α0 =(ωT

0D2f(0)(v0,v0))

2(ωT0

b)v2

0p

,

l1 = l2p, l2 = cppp y la dinamica sobre la variedad central esta dada por

x1 = ωT0 bl1µx1 + (ωT

0 bl2 + c0)x31 + · · · .

Tenemos entonces el siguiente


x = f(x) + g(x)u,

donde x0 = 0 satisface las condiciones dadas en (4.2). Sean v0 y ω0 vectores propiosderecho e izquierdo, respectivamente, de A = Df(0) asociados a λ1 = 0. Si ωT

0 g(0) 6=0, entonces la ley de control


3p,

donde xp es la p-esima coordenada de x, α0 =(ωT

0D2f(0)(v0,v0))

2(ωT0

b)v2

0p

, es tal que el sistema

en lazo cerrado experimenta la bifurcacion trinche, y la dinamica sobre la variedadcentral esta dada por


0 bl2 + c0)x31 + · · · .

donde x1 = ωT0 x .

4.3 Caso general 49

Resumimos los lemas anteriores en el siguiente resultado:

Teorema 7. Considere el sistema de control

x = f(x) + g(x)u,

donde x0 = 0 satisface satisface las condiciones dadas en (4.2). Sean v0 y ω0 vectorespropios derecho e izquierdo, respectivamente, de A = Df(0) asociados a λ1 = 0. Seab = g(0). Supongamos que ωT

0 b 6= 0, entonces

(i) La ley de control

u(x, µ, γ) = l1µ + l2x2p,

donde xp es la p-esima coordenada de x, es tal que el sistema en lazo ce-rrado experimenta la bifurcacion silla-nodo, y la dinamica sobre la variedadcentral esta dada por

x1 = ωT0 bl1µ +

1

2

(

a + 2ωT0 bv2

0pl2)

x21 + · · · ,


0 D2f(0)(v0, v0).

(ii) La ley de control


donde xp es la p-esima coordenada de x, es tal que el sistema en lazo cerradoexperimenta la bifurcacion transcrıtica, y la dinamica sobre la variedad centralesta dada por

x1 = ωT0 bl1µx1 +

1

2

(

a + 2ωT0 bv0pl2

)

x21 + · · · .

(iii) La ley de control


3p,

donde xp es la p-esima coordenada de x, α0 =(ωT

0D2f(0)(v0,v0))

2(ωT0

b)v2

0p

, es tal que el

sistema en lazo cerrado sufre la bifurcacion trinche, y la dinamica sobre lavariedad central esta dada por


0 bl2 + c0)x31 + · · · .

En el analisis anterior se trabajo bajo la hipotesis de que ωT0 b 6= 0, en esta segunda

parte analizaremos el caso cuando ωT0 b = 0.

Considere el sistema (4.16)

x = (A + bL1)x + blµ + f2(x) + L2µx + f3(x) + ...

donde L2, f2(x) y f3(x) estan dadas por (4.17), (4.18) y (4.19) respectivamente. Sea

ωT0 b = 0 (4.24)


donde b =

(

b1

b

)

y LT1 =

(

l1 L1

)

, b1, l1 ∈ R, b, L1 ∈ Rn−1.

Sin perdida de generalidad, supondremos que A =

(

0 00 JS

)

. Sea ω0 vector propio

izquierdo de A, luego, es claro que podemos hacerωT

0 = eT1 = (1, 0, . . . , 0).

Si A = A + bL1, entonces

ωT0 A = ωT

0 A + ωT0 bL1 = 0

por lo que ω0 es tambien vector propio izquierdo de A. Por otro lado, la condicion

(4.24) implica que b1 = 0 por lo que b =

(

0b

)

. Ademas, si hacemos L1 = 0, entonces

A =

(

0 00 JS

)

+

(

0b

)

(

l1 0)

=

(

0 00 JS

)

+

(

0 0¯bl1 0

)

=

(

0 0bl1 JS

)

como podemos observar, A es una matriz triangular por lo que sus valores propiosaparecen en los bloques de la diagonal, observamos que son los mismos que posee lamatriz A, por lo que A cumple tambien con las hipotesis del teorema de Sotomayor.Para continuar con el analisis necesitamos conocer tambien el vector propio derecho

de A, sea este v0 =

(

v01

v0

)

, con v01 ∈ R, v0 ∈ Rn−1, entonces Av0 = 0, es decir,

(

0 0bl1 JS

)(

v01

v0

)

=

(

0bl1v01 + JS v0

)

= 0

entonces

bl1v01 + JS v0 = 0 ⇒ JS v0 = −v01 l1b ⇒ v0 = −v01 l1J−1S b

entonces

v0 =

(

v01

−v01 l1J−1S b

)

=

(

v01

v01 l1v0

)

donde v0 = −J−1S b, como podemos observar, v01 queda libre, entonces conside-

remos que v01 = 1, por lo tanto,

v0 =

(

1l1v0

)

.

Ya teniendo los vectores propios asociados a los valores propios de A, por el teorema

de Jordan existe una matriz P =(

v0 P0

)

y su inversa P−1 =

(

ωT0

Q0

)

tal que

P−1AP =

(

0 00 JS

)

4.3 Caso general 51

que en nuestro caso, JS = JS .Ya con estos datos podemos aplicar el teorema de Sotomayor al sistema (4.16) y verde que manera actua la condicion (4.24) en la ocurrencia y en el control de las bifur-caciones estacionarias.

Primeramente podemos observar que por la condicion (4.24) la bifurcacion silla-nodono puede ocurrir, esto debido a que la primera condicion que pide Sotomayor paraque ocurra esta bifurcacion es que ωT

0 bl 6= 0.

Analicemos ahora las condiciones que pide Sotomayor para la ocurrencia de la bifur-cacion trancrıtica;

• Por hipotesis la primera condicion se cumple

ωT0 bl = 0.

• La segunda condicion es

r =1

2ωT

0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, v0) 6= 0

entonces

r =1

2ωT

0

(

D2f(0))

(v0, v0) + ωT0 (L1Dg(0) + bQ) (v0, v0)

Analicemos por separado cada uno de los sumandos, entonces

1

2ωT

0

(

D2f(0))

(v0, v0) =1

2ωT

0

vT0 D2f1(0)v0

vT0 D2f2(0)v0

.

.

.

vT0 D2fn(0)v0

=1

2(vT

0 D2f1(0)v0)

ahora, sea

D2f(0) =

(

α cT

d B

)

con α ∈ R, d, c ∈ Rn−1, y B ∈ R

n−1×n−1, entonces

vT0 D2f1(0)v0 =

(

1 vT0

)

(

α cT

d B

)(

1v0

)

=(

α + vT0 d, cT + vT

0 B)

(

1v0

)

= (α + vT0 d) + (cT + vT

0 B)v0

= α + l1vT0 d + (cT + l1v

T0 B)l1v0

= α + l1(vT0 d + cT v0) + l21(v

T0 Bv0).


por lo tanto

1

2(vT

0 D2f1(0)v0) =1

2α + l1(

1

2vT0 d +

1

2cT v0) + l21(

1

2vT0 Bv0) (4.25)

Por otro lado, el segundo sumando de r es

ωT0 (L1Dg(0) + bQ) (v0, v0) = ωT

0

vT0 (L1Dg1(0) + b1Q)v0

vT0 (L1Dg2(0) + b2Q)v0

.

.

.

vT0 (L1Dgn(0) + bnQ)v0

= vT0 (L1Dg1(0))v0

=(

1 l1v0

)

(

l10

)

(Dg1(0))v0

= l1Dg1(0))v0.

Sea Dg1(0) =(

g1 g1

)

, por lo tanto

ωT0 (L1Dg(0) + bQ) (v0, v0) = l1g1 + l21g1v0 (4.26)

Entonces, sumando (4.25) y (4.26) tenemos que

r =1

2α + l1(

1

2vT0 d +

1

2cT v0 + g1) + l21(

1

2vT0 Bv0 + g1v0).

dondeDg1(0) = (g1 g1)

Sea

a =1

2vT0 d +

1

2cT v0 + g1 (4.27)

b =1

2vT0 Bv0 + g1v0 (4.28)

entonces

r =1

2α + al1 + bl21 (4.29)

Como podemos observar tenemos una cuadratica en la variable de control, porlo que el siguiente lema nos da la posibilidad de controlar tanto que se cumplala condicion como el signo de r.

Lema 13. Considere la expresion (4.29), si

a2 − 4αb > 0 (4.30)

entonces, existen l1 y l1 tal que r(l1)r(l1) < 0.

Demostracion. Supongamos que se cumple (4.30), entonces, si b 6= 0, (4.29)es una parabola con dos raıces reales y si b = 0 entonces a 6= 0 y por lo tantotenemos una recta que intersecta al eje l1 , por lo que existen l1 y l1.

4.3 Caso general 53

�

• La tercera condicion para que ocurra la bifurcacion transcritica es

[

ωT0

(

(D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)(v0, P0))] (

−J−1S Q0bl

)

+ωT0 (Dg(0)l + bLT

2 )v0 6= 0 (4.31)

Haremos un analisis de esta condicion con la finalidad de simplificarla y luegover la forma en que podemos manipularla para tener su control. Entonces

[

ωT0

(

vT0 (D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)P0

)] (

−J−1S Q0bl

)

+ωT0 (Dg(0)l + bLT

2 )v0

=[

ωT0

(

vT0 (D2f(0) + 2L1Dg(0))P0 + vT

0 (2bQ)P0

)] (

−J−1S Q0bl

)

+ωT0 (Dg(0)l + bLT

2 )v0

=[

ωT0

(

vT0 (D2f(0) + 2L1Dg(0))P0

)] (

−J−1S Q0bl

)

+ lDg1(0)v0

se llego a la ultima igualdad vıa los siguentes calculos:

ωT0 (vT

0 (2bQ)P0) = 2ωT0

vT0 (b1Q)P0

vT0 (b2Q)P0

.

.

.

vT0 (bnQ)P0

= 2ωT0

b1vT0 QP0

b2vT0 QP0

.

.

.

bnvT0 QP0

= 2ωT0 bvT

0 QP0 = 0

y por otro lado

ωT0 (Dg(0)l + bLT

2 )v0 = ωT0

Dg1(0)l + 0Dg2(0)l + b2L

T2

.

.

.

Dgn(0)l + bnLT2

v0

= l(

g1 g1

)

(

1v0

)

= l(g1 + g1v0)

= l(g1 + l1g1v0)

= lDg1(0)v0

de esta manera, la tercera condicion queda dela siguiente manera:

s = sl


donde

s =[

ωT0

(

vT0 (D2f(0) + 2L1Dg(0))P0

)] (

−J−1S Q0b

)

+ Dg1(0)v0 (4.32)

para hacer mas simple la expresion para s haremos lo siguiente. Por un ladotenemos que

P−1AP =

(

0 00 JS

)

P−1A =

(

0 00 JS

)

P−1

(

ωT0

Q0

)

A =

(

0 00 JS

)(

ωT0

Q0

)

(

ωT0 A

Q0A

)

=

(

0JSQ0

)

Q0A = JSQ0

multiplicando por la izquierda la expresion anterior por J−1S tenemos

Q0 = J−1S Q0A

= J−1S Q0(A + bLT

1 )

ahora, multiplicando esta expresion por la izquierda por P0 tenemos

P0Q0 = (P0J−1S Q0)A + (P0J

−1S Q0b)L

T1 (4.33)

Por otro lado, tenemos

P P−1 =(

v0 P0

)

(

ωT0

Q0

)

In = v0ωT0 + P0Q0

=(

v0 0)

n×n+ P0Q0

entonces,

P0Q0 = I −(

v0 0)

=(

e1 − v0 e2 ... en

)

(4.34)

igualando las expresiones (4.33) y (4.34) tenemos

(P0J−1S Q0)A + (P0J

−1S Q0b)L

T1 =

(

e1 − v0 e2 ... en

)

(4.35)

Nos interesa trabajar con la primera columna de cada una de las matrices de laigualdad (4.35), por tal motivo ubicaremos la primer columna de las matrices deambos lados de la igualdad, iniciamos con el lado izquierdo de (4.35), entonces

(P0J−1S Q0)

(

0 A)

=(

0 P0J−1S Q0

)

4.3 Caso general 55

podemos observar que la primer columna es cero, ahora analicemos el segundosumando del lado izquierdo, entonces

(P0J−1S Q0b)

(

l1 0)

=(

l1P0J−1S Q0b 0

)

Ya teniendo la primera columna de las matrices identificadas las igualamos ytenemos lo siguiente

P0J−1S Q0b =

1

l1(e1 − v0) (4.36)

Sustituyendo (4.36) en la expresion (4.32) tenemos que

s =

[

ωT0

(

vT0 (D2f(0) + 2L1Dg(0))

1

l1(e1 − v0)

)]

+ Dg1(0)v0 6= 0

Con la finalidad de simplificar s, hacemos el siguiente desarrollo del primersumando de la expresion anterior. Tenemos

ωT0

(

vT0 (D2f(0) + 2L1Dg(0))

1

l1(e1 − v0)

)

= vT0 (D2f1(0) + 2L1Dg1(0))

1

l1(e1 − v0)

= vT0 (D2f1(0) + 2L1Dg1(0))

1

l1(e1) −

1

l1vT0 (D2f1(0) + 2L1Dg1(0))v0

=1

l1

(

1 vT0

)

(

α cT

d B

)(

10

)

+ 2vT0 L1

(

g1 g1

)

(

10

)

− 1

l1r

=1

l1

(

α + vT0 d cT vT

0 B)

+ 2g1 −1

l1r

=1

l1(α + vT

0 d) + 2g1 −1

l1r

=1

l1α1 + vT

0 d + 2g1 −1

l1r

Entonces

s = Dg1(0)v0 −1

l1α − vT

0 d − 2g1 +1

l1r

Ahora, sustituyendo (4.29) en la expresion anterior tenemos que

s = Dg1(0)v0 −1

l1α − vT

0 d − 2g1

+1

l1(1

2α + l1(

1

2vT0 d +

1

2cT v0 + 2g1) + l21(

1

2vT0 Bv0 + 2g1v0))

= g1 + l1g1v0 −1

l1α − vT

0 d − 2g1 +1

2l1α1 +

1

2vT0 d

+1

2cT v0 + 2g1 +

1

2l1v

T0 Bv0 + 2l1g1v0

= g1 + 3l1g1v0 −1

2l1α1 −

1

2vT0 d +

1

2cT v0 +

1

2l1v

T0 Bv0


entonces

s = g1 −1

2vT0 d +

1

2cT v0 −

1

2l1α + l1(3g1v0 +

1

2vT0 Bv0) (4.37)

Por lo que, la condicion (4.31) se reduce a

sl 6= 0

y por lo tanto, si s 6= 0 entonces la condicion (4.31) se satisface y la variable decontrol l nos permite controlar el signo de esta condicion.

De esta manera podemos concluir que si se cumplen las restricciones (4.30) y s 6= 0,bajo la hipotesis (4.24) y con la ley de control dada por

u(x, µ) = lµ + l1x1

el sistema (4.16) experimenta la bifurcacion transcrıtica y tenemos la posibilidad decontrolarla.

Ya teniendo la ley de control, analizaremos la dinamica sobre la variedad centraldel sistema (4.16), el cual, al momento de cerrar el lazo, para este caso queda de lasiguiente manera:

x = (A + bL1)x + blµ +1

2(D2f(0) + 2LT

1 Dg(0))(x, x) + lDg(0)µx + ....

La dinamica de un sistema parametrizado que cumple con las hipotesis del teoremase Sotomayor esta dada por (3.5), supongamos que x1 es la variable que se relacionacon el eigenespacio central, entonces al aplicarla a nuestro sistema tenemos

x1 =1

2ωT

0

[

(D2f(0) + 2L1Dg(0))(v0, v0)]

x21

+[

ωT0

(

(D2f(0) + 2L1Dg(0))(v0, P0))] (

−J−1s Q0bl

)

+(

ωT0 (Dg(0)l)v0

)

µx1 + ...

Entonces

x1 = rx21 + slµx + ... (4.38)

El desarrollo anterior se resume en el siguiente teorema.

Teorema 8. Considere el sistema parametrizado (4.16)

x = (A + bLT1 )x + blµ + f2(x) + L2µx + f3(x) + ...

Sea ωT0 b = 0. Si

s 6= 0

a2 − 4α1b > 0

donde s es dado por (4.37)

s = g1 −1

2vT0 d +

1

2cv0 −

1

2l1α + l1(3g1v0 +

1

2vT0 Bv0),

4.3 Caso general 57

a y b estan dados por (4.27) y (4.28) respectivamente

a =1

2vT0 d +

1

2cT v0 + g1

b =1

2vT0 Bv0 + g1v0

Entonces, con la ley de control dada por

u(x, µ) = lµ + l1x1

el sistema (4.16) experimenta la bifurcacion trancrıtica y la dinamica del sistemasobre la variedad central esta dada por

x1 = rx21 + slµx + ...

donde r esta dado por (4.29)

Ahora haremos el analisis para la bifurcacion trinche, las condiciones dadas por elteorema de Sotomayor para que ocurra esta bifurcacion son:

• Por la hipotesis (4.24) se cumple la condicion

ωT0 bl = 0

• La segunda condicion es:

r =1

2ωT

0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, v0) = 0

donde, como sabemos,

r =1

2α + al1 + bl21

con

a =1

2vT0 d +

1

2cT v0 + g1 y

b =1

2vT0 Bv0 + g1v0

entonces, el lema 10 nos da la restriccion sobre las variables de control que nospermite controlar la ocurrencia de esta condicion.

• La tercera condicion es:

sl =

(

g1 −1

2vT0 d +

1

2cT v0 −

1

2l1α + l1(3g1v0 +

1

2vT0 Bv0)

)

l 6= 0

entonces, si s 6= 0, se satisface esta condicion y tenemos control sobre el signode la misma.


• La cuarta y ultima condicion para que ocurra la bifurcacion trinche es:

1

6

[

ωT0 (D3f(0) + 3L + M + 6N )(v0, v0, v0)

]

−1

2

[

ωT0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, P0)(J−1S )]

(4.39)[

Q0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, v0)]

6= 0

En esta expresion, el segundo termino que depende de L1 ya esta fijo debido aque L1 ya lo utilizamos para que se cumplieran las condiciones anteriores asıcomo tambien 3L que tambien depende de L1, el termino que nos dara el controlsobre esta condicion sera M.Entonces, sabiendo por (4.14) que

M =

M1

M2

.

.

.

Mn

y que

Mi(v0, v0, v0) = vT0

vT0 (Dgi(0))T qT

1 v0

vT0 (Dgi(0))T qT

2 v0

.

.

.

vT0 (Dgi(0))T qT

n v0

4.3 Caso general 59

entonces

ωT0 M(v0, v0, v0) = ωT

0

vT0

vT0 (Dg1(0))T qT

1 v0

vT0 (Dg1(0))T qT

2 v0

.

.

.

vT0 (Dg1(0))T qT

n v0

vT0

vT0 (Dg2(0))T qT

1 v0

vT0 (Dg2(0))T qT

2 v0

.

.

.

vT0 (Dg2(0))T qT

n v0

.

.

.

vT0

vT0 (Dgn(0))T qT

1 v0

vT0 (Dgn(0))T qT

2 v0

.

.

.

vT0 (Dgn(0))T qT

n v0

= vT0

vT0 (Dg1(0))T qT

1 v0

vT0 (Dg1(0))T qT

2 v0

.

.

.

vT0 (Dg1(0))T qT

n v0

Considere qT1 = (q1 0) y qT

i = 0 para i = 2, 3, ..., n, entonces


ωT0 M(v0, v0, v0) = vT

0

vT0 (Dg1(0))T qT

1 v0

0.

.

.

0

=(

1 vT0

)

(

g1

gT1

)

(

q1 0)

(

1v0

)

=(

1 vT0

)

(

g1q1 0gT1 q1 0

)(

1v0

)

=(

g1q1 + vT0 gT

1 q1 0)

(

1v0

)

= g1q1 + vT0 gT

1 q1

= g1q1 + g1v0q1

= (g1 + g1v0)q1

= (Dg1(0)v0)q1

entonces,ωT

0 M(v0, v0, v0) = (Dg1(0)v0)q1 (4.40)

Ahora, la variable de control q1 es la que nos dara la posibilidad de controlareste termino y con ello la condicion completa, entonces, para utilizar a q1 lepediremos al sistema cumpla con la siguiente restriccion:

Dg1(0)v0 6= 0 (4.41)

De esta manera tenemos que si s 6= 0, donde s esta dado por (4.37), y (4.41) secumplen, bajo la hipotesis (4.24) y con la ley de control dada por

u(x, µ) = lµ + l1x1 + q1x21

el sistema (4.16) experimenta la bifurcacion trinche y es posible controlar el signo dela misma.

Ya teniendo la ley de control, analizaremos la dinamica sobre la variedad centraldel sistema (4.16), el cual, al momento de cerrar el lazo, para este caso queda de lasiguiente manera:

x = (A + bLT1 )x + blµ +

1

2(D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)(x, x) + lDg(0)µx

+1

6(D3F (0) + 3L + M)(x, x, x) + ....

4.3 Caso general 61

La dinamica de un sistema parametrizado que cumple con las hipotesis del teoremase Sotomayor esta dada por (3.5), supongamos que x1 es la variable que se relacionacon el eigenespacio central, entonces al aplicarla a nuestro sistema tenemos

x1 =1

2ωT

0 +[

(D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)(v0, v0)]

x21

+[

ωT0

(

(D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)(v0, P0))] (

−J−1S Q0bl

)

+(

ωT0 (Dg(0)l)v0

)

µx +1

6

[

ωT0 (D3f(0) + 3L + M)(v0, v0, v0)

]

−1

2

[

ωT0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, P0)(J−1S )]

[

Q0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, v0)]

x31 + ...

Entonces

x1 = rx21 + slµx1 + (k0 + Dg1(0)v0q1)x

31 + ... (4.42)

donde

k0 =1

6

[

ωT0 (D3f(0) + 3L)(v0, v0, v0)

]

−1

2

[

ωT0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, P0)(J−1S )]

[

Q0

(

D2f(0) + 2L1Dg(0) + 2bQ)

(v0, v0)]

y

1

6M(v0, v0, v0) = Dg1(0)v0q1.

El desarrollo echo anteriormente se resume en el siguiente teorema.

Teorema 9. Considere el sistema parametrizado (4.16)

x = (A + bLT1 )x + blµ + f2(x) + L2µx + f3(x) + ...

Sea ωT0 b = 0. Si

r = 0,

s 6= 0, y

Dg1(0)v0 6= 0

donde r es dado por (4.29)

r =1

2α + al1 + bl21,

s esta dado por (4.37)

s = g1 −1

2vT0 d +

1

2cT v0 −

1

2l1α + l1(3g1v0 +

1

2vT0 Bv0)

y Dg1(0)v0 esta dado por (4.40), a y b estan dados por (4.27) y (4.28) re-spectivamente.


Entonces, con la ley de control dada por

u(x, µ) = lµ + l1x1 + q1x21

el sistema (4.16) experimenta la bifurcacion trinche y la dinamica del sistema sobrela variedad central esta dada por

x1 = slµx1 + (k0 + Dg1(0)v0q1)x31 + ...

5Capıtulo

Aplicaciones

5.1 El pendubot

En este capıtulo aplicaremos los resultados obtenidos en el capıtulo anterior a unsistema mecanico subactuado de dos grados de libertad llamado pendubot. Ver figura5.1.

Figura 5.1: Pendubot

5.2 Modelo matematico

Las ecuaciones del movimiento pueden ser expresadas mediante la formulacion hamil-toniana. El hamiltoniano asociado al pendubot esta dado por la suma de las energıas

63

64 Aplicaciones

cinetica y potencial del sistema,

H(q, p) =1

2pT M−1(q)p + U(q),

donde q = (q1, q2)T y p = (p1, p2)

T son las posiciones y los momentos generalizados, respectivamente, M(q) es la matriz de inercias y U(q) es la energıa potencial,y estan dadas por

M(q) =

(

r3 r5 cos(q2 − q1)r5 cos(q2 − q1) r4

)

y U(q) = r1(1−cos q1)+r2(1−cos q2),

donde r1 = (m1lc1 + m2 l1)g, r2 = m2lc2g, r3 = m1l2c1

+ m2 l21 + I1, r4 = m2l

2c2

+ I2,y r5 = m2 l1lc2 , donde mi, li, lci

y Ii son la masa, longitud, centro de masa e inerciadel eslabon i, respectivamente, y g es la aceleracion de la gravedad. No se considera

ningun tipo de friccion, y el par aplicado es τ =

(

u

0

)

, es decir, el primer eslabon

esta actuado por u, mientras que el segundo esta libre. Entonces las ecuacioneshamiltonianas de movimiento son

q =∂H

∂p(q, p) (5.1)

p = −∂H(q, p)

∂q+ τ.

Nuestro objetivo es disenar una ley de control u tal que el sistema (5.1) presente lasbifurcaciones estacionarias y sea posible controlarlas, alrededor del punto de equilib-rio (π, π, 0, 0)T , utilizando el Teorema 7.

Si x = (q, p)T , entonces reescribimos (5.1) como

x = XH(x) + cu, (5.2)

donde XH(x) = ( ∂H∂p1

, ∂H∂p2

,− ∂H∂q1

,− ∂H∂q2

), y c = (0, 0, 1, 0)T . Si x0 = (π, π, 0, 0)T , ob-serve que XH(x0) = 0 y la jacobiana

DXH(x0) =

0 0 r4

δ− r5

δ

0 0 − r5

δr3

δ

r1 0 0 00 −r2 0 0

donde δ = r3r4 − r25 > 0, tiene dos valores propios negativos y dos positivos, por

lo que no es posible usar el Teorema 7, pues no tenemos un valor propio cero. Sinembargo, observese que al sustituir la ley de controlu = h(x) + v = s1(q1 − π) + s2(q2 − π) + s3p1 + s4p2 + v, en (5.2) obtenemos

x = XH(x) + c(h(x) + v) = F (x) + G(x)v,

donde F (x) = XH(x) + ch(x) y G(x) = c. Ademas, F (x0) = 0, y si s1 = −r1, s2 =r2r3+11δ

r5, s3 = −6, y s4 = 6(r2r3+δ)

r2r5, entonces A = DF (x0) tiene los valores propios

λ1 = 0, λ2 = −3, λ3 = −2 y λ4 = −1. Despues de algunos calculos, encontramosque los valores propios derecho e izquierdo de A estan dados por v0 = (1, 0, 0, 0)T

y ω0 = (1, r2+r4

r5,− r2

6δ, r2r3+11δ

6r5δ), respectivamente, entonces ωT

0 G(x0) = − r2

6δ6= 0, por

lo tanto, del teorema 7, concluimos que es posible controlar las tres bifurcacionesestacionarias.

5.3 Control de bifurcaciones 65

5.3 Control de bifurcaciones

En esta seccion seguiremos el teorema 7 para disenar leyes de control que nos per-mitan provocar las bifurcaciones estacionarias en el pendubot. Observese que a =12r0D

2F (x0)(v0, v0) = 0.

5.3.1 Control de la bifurcacion silla-nodo

La ley de control

u = s1(q1 − π) + s2(q2 − π) + s3p1 + s4p2 + l1µ + l2 (q1 − π)2 , (5.3)

es tal que el sistema en lazo cerrado (5.1)-(5.3) experimenta la bifurcacion silla-nodo.La figura 5.2 nos muestra el diagrama de bifurcacion para los parametros de control11 = 1 y l2 = 1, mientras que las figuras 5.3 y 5.4 muestran algunas simulaciones delsistema.

Figura 5.2: Bifurcacion silla-nodo. 11 = 1, l2 = 1.

66 Aplicaciones

Figura 5.3: Dinamica del sistema en lazo cerrado (5.1)-(5.3) para µ = −0.01.

Figura 5.4: Dinamica del sistema en lazo cerrado (5.1)-(5.3) para µ = 0.01.


Observacion 3. En [9] se estudia el control de bifurcaciones estacionarias en elpendubot, encontrandose, por ejemplo, que la ley de control

u = s1(q1 − π) + s2(q2 − π) + s3p1 + s4p2 + l1µ

+l2

(

(q1 − π) +r2 + r4

r5(q2 − π) − r2

6δp1 +

r2r3 + 11δ

6r5δp2

)2

,

permite controlar la bifurcacion silla-nodo. Observese la simplificacion que se obtieneen nuestra ley de control (5.3) al controlar el mismo sistema.

5.3.2 Control de la bifurcacion transcrıtica

La ley de control

u = s1(q1 − π) + s2(q2 − π) + s3p1 + s4p2 + l1µ (q1 − π) + l2 (q1 − π)2 , (5.4)

es tal que el sistema en lazo cerrado (5.1)-(5.4) experimenta la bifurcacion transcrıtica.La figura 5.5 nos muestra el diagrama de bifurcacion para los parametros de control11 = 1 y l2 = 1, mientras que las figuras 5.6 y 5.7 muestran algunas simulaciones delsistema.

Figura 5.5: Bifurcacion transcrıtica. 11 = 1, l2 = 1.

68 Aplicaciones



Observacion 4. En [9] se estudia el control de bifurcaciones estacionarias en elpendubot, encontrandose, por ejemplo, que la ley de control

u = s1(q1 − π) + s2(q2 − π) + s3p1 + s4p2

+l1µ

(

(q1 − π) +r2 + r4

r5(q2 − π) − r2

6δp1 +

r2r3 + 11δ

6r5δp2

)

+l2

(

(q1 − π) +r2 + r4

r5(q2 − π) − r2

6δp1 +

r2r3 + 11δ

6r5δp2

)2

,

permite controlar la bifurcacion transcıtica. Observese la simplificacion que se obtieneen nuestra ley de control (5.4) al controlar el mismo sistema.


5.3.3 Control de la bifurcacion trinche

La ley de control

u = s1(q1 − π) + s2(q2 − π) + s3p1 + s4p2 + l1µ (q1 − π) + l2 (q1 − π)3 . (5.5)

es tal que el sistema en lazo cerrado (5.1)-(5.5) experimenta la bifurcacion trinche.La figura 5.8 nos muestra el diagrama de bifurcacion para los parametros de control11 = 1 y l2 = 6, mientras que las figuras 5.9 y 5.10 muestran algunas simulacionesdel sistema.

Figura 5.8: Bifurcacion trinche. 11 = 1, l2 = 6.


Observacion 5. En [9] se estudia el control de bifurcaciones estacionarias en el

70 Aplicaciones


pendubot, encontrandose, por ejemplo, que la ley de control

u = s1(q1 − π) + s2(q2 − π) + s3p1 + s4p2

+l1µ

(

(q1 − π) +r2 + r4

r5(q2 − π) − r2

6δp1 +

r2r3 + 11δ

6r5δp2

)

+l2

(

(q1 − π) +r2 + r4

r5(q2 − π) − r2

6δp1 +

r2r3 + 11δ

6r5δp2

)3

,

permite controlar la bifurcacion trinche. Observese la simplificacion que se obtieneen nuestra ley de control (5.5) al controlar el mismo sistema.

6Capıtulo

Conclusiones

En el trabajo presentado previamente, se ha hecho un estudio del control de lasbifurcaciones estacionarias en un sistema de control

x = f(x) + g(x)u

con f, g : Rn −→ R

n, x ∈ Rn, y u ∈ R. Para tal estudio, se realizo una genera-

lizacion del teorema de Sotomayor, demostrandolo para familias m-parametriza-das de ecuaciones diferenciales, y se utilizo dicho resultado para analizar la ocu-rrencia de las bifurcaciones estacionarias en el sistema de control. Se disenaron lasleyes de control u(x, µ, λ) para el control de cada una de las bifurcaciones estacionar-ias, silla-nodo, transcrıtica y trinche. Podemos observar que dichas leyes de controlresultan muy simples debido a que para controlar la ocurrencia de las bifurcacionessolo se necesita uno de los n estados del sistema y se aplican dichos resultados al mod-elo matematico del pendubot, pendulo subactuado de dos grados de libertad, con lafinalidad de corroborar la validez de los resultados presentados, encontrando que,efectivamente, con las leyes de control disenadas es posible controlar la ocurrencia decada una de las bifurcaciones estacionarias en dicho modelo.

71

72 Conclusiones

Bibliografıa

[1] E.H. Abed, J.H. Fu. “Local feedback stabilization and bifurcation control, II.Stationary bifurcation”. Systems & Control Letters, 8(1987). 467-473.

[2] E.H. Abed, H.O. Wang, A. Tesi. “Control of bifurcation and chaos”, in TheControl Handbook, W.S. Levine, Ed. Boca Raton, FL. CRC Press, 1995. 951-966.

[3] F. Colonius, L. Grune (Eds.) “Dynamics, Bifurcations and Control”. LectureNotes in Control and Information Sciences 273. Springer. 2002.

[4] G. Chen, D.J. Hill, X. Yu (Eds.) “Bifurcation Control, Theory and Applica-tions”. Lecture Notes in Control and Information Sciences 293. Springer. 2003.

[5] G. Chen, J.L. Moiola, H.O. Wang. “Bifurcation control: theories, methods, andapplications”, Int. J. Bif. Chaos, vol. 10, No. 3, 511-548. 2000.

[6] G. Chen (Ed.) “Controlling Chaos and Bifurcations in Engineering Systems”.CRC Press, 2000.

[7] L. Perko. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer. 1998.

[8] J. Sotomayor. “Generic bifurcation of dynamical system”. In Dynamical Sys-tems, M.M. Peixoto (ed.), pp549-560. Academic Press, N.Y. 1973.

[9] F. Verduzco, E. Frias-Armenta, H. Leyva. “Stationary bifurcation control withapplications. ”. Acta Applicandae Mathematicae, Acepatado. 2008.

[10] F. Verduzco. “Control of codimention one stationary bifurcations”. Int. J. ofBifurcation and Chaos, Vol. 17, No. 2, pp. 575-582. 2007.

[11] S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos.Texts in Applied Mathematics, Vol. 2. Springer-Verlag. 1990.

73

posgrado.mat.uson.mx · agradecimientos le agradezco inﬁnitamente a dios todas las bendiciones...

Documents