Akustika

Tónové systémy a ladění

Harmonická řada

Harmonická řada, tónový systém

‣ Harmonická řada je nerovnoměrná, záleží na volbě fundamentu, pak se ale nepotkávají alikvoty nižších pořadových čísel, hodně vysoké harmonické jsou příliš blízko

‣ Hledání univerzální řady tónů, kde by byly obsaženy přirozeně vzniklé vyšší harmonické - přefukování, flažolety

Kde je problém?

Vznik tónové řady:

‣ Snaha vytvořit řadu z přirozených intervalů. Nejjednodušší - 2x a 3x základní frekvence.

‣ Posunuji se těmito dvěma poměry a dostanu oktávy (2x) a kvintový kruh (3x), mám tedy přirozeně vytvořenou soustavu, sejde se po 12 krocích v kvintách = 7 krocích v oktávách, ale nesejde se přesně. Pythagorejské ladění.

‣ Složitější přirozená ladění - zahrnou se další poměry, nejen 2x a 3x

‣ Částečně temperovaná ladění (středotónové)

‣ Plně temperované ladění je matematicky správná konstrukce, nevychází z přirozeného chování nástrojů

‣ Žádný poměr harmonických neodpovídá poměrům frekvencí v temperovaném ladění (iracionální číslo - není poměr dvou celých čísel)

Vývoj

Historie:

‣ Ve středověku konsonantní jen oktávy, kvarty, kvinty

‣ Po zapojení tercií a sext do harmonie - neladily, zapříčinilo to posun všech intervalů, hledání stále lepších poměrů harmonických k upřesnění

Dnes

‣ Některé intervaly jsou temperované a některé čisté, nelze vše mít jen temperované, konkrétně: Vyšší harmonické

Přirozená ladění

‣ Přirozená jsou taková, kdy poměr frekvencí je poměr celých čísel,

‣ Nejjednodušší je Pythagorejské - jen kvinty = 3/2

‣ Složitější - i vyšší čísla, ale zahrnutí velmi vysokých harmonických nemá smysl, nejsou slyšitelné a přirozeně obsažené v tónech

‣ Stejně jako přirozené posunutí tónu nástroje a vyšší harmonické:

‣ 1/2, 2/3, 3/4, ...

Temperovaná ladění

‣ Temperované ladění - Oktáva rozdělena na 12 stejných částí, pokud půltón označíme jako p, tak (f je frekvence)

‣ f noty o oktávu výš = 2 . f noty o oktávu níž

‣ f noty o oktávu výš = p . p . p . p . p . p . p . p . p . p . p . p . f noty o oktávu níž

‣ p . p . p . p . p . p . p . p . p . p . p . p = 2

‣ p = 12 √2 = 1.059463

‣ Poměr frekvencí pro libovolný interval = p(počet půltónů)

‣ Např. frekvence(C#) = frekvence(A) . p4 = 440Hz . 1,2599 = 554Hz

Základní jednotky

‣ Frekvence - Hertz - není vhodné

‣ Mezi stejnými tóny v jedné oktávě je jiný počet hertzů, než v jiné, stejný interval v každé oktávě má jiný počet Hz

‣ Cent - poměr frekvencí

‣ Půltón je rozdělen na 100 centů

‣ Celý tón je 200 centů

‣ Platí pro tóny, ne pro frekvence - že by např. 1 cent byly 3 Hz

Co musíte vědět

‣ Není nutné zkoumat všechna ladění

‣ Interpretace staré hudby - tam už je dobré se seznámit se středotónovým, Kirnbergerovým, Valotti-Young aj.

‣ Není třeba znát všechna komata - rozdíl mezi frekvencemi např. Pythagorejské - stále postupuji po kvintách 3/2, po projití celého kvintového kruhu se “netrefím” do násobku oktávy.

‣ Je třeba znát rozladění přirozeného ladění oproti temperovanému (i když se to vnímá naopak) pro konkrétní intervaly.

‣ Např. čistá kvinta 3/2 = 1.5

‣ Temperovaná = (12√2)7 = 1.4983

‣ Závěr: Temperovaná je níž

Co je přirozené (čisté)

Všechny přirozené posuny frekvence na nástroji jsou v přirozeném ladění

‣ Flažolety

‣ Přefukování

‣ Vyšší harmonické - alikvoty

Co je temperované

Všechny mechanické posuny frekvence na nástroji jsou v temperovaném ladění

‣ Klapky dechových nástrojů

‣ Pražce

‣ Délky píšťal, ladění strun klavíru

Harmonická řada

‣ Vzdálenost mezi druhou a třetí harmonickou je kvinta; poměr frekvencí je 3:2; vzdálenost mezi třetí a čtvrtou harmonickou je kvarta s poměrem frekvencí 4:3, mezi čtvrtou a pátou harmonickou velká tercie s poměrem frekvencí 5:4 atd. V evropské i jiné hudbě se využívají i intervaly i s jinými poměry, např. velká sexta s poměrem frekvencí 5:3.

Srovnání

Py C G D A E H F# C# G# D# A# E#

kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta kvinta

Př C D E F G A H

1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8

Te C C# D D# E F F# G G# A A# H

stejně stejně stejně stejně stejně stejně stejně stejně stejně stejně stejně stejně

Temperovaná ladění

‣ Nerovnoměrně temperovaná ladění mají frekvence tónů upraveny tak, aby blízké tóniny od základní tóniny zněly co nejlépe a vzdálené tóniny alespoň použitelně. Některé intervaly jsou „preferované“ - jsou temperované tak, aby vycházely jako čisté; některé zní disonantněji.

‣ Rovnoměrné temperovaná ladění je v současnosti nejpoužívanějším laděním v evropské hudbě. Všechny intervaly stejného druhu (kvinty, kvarty, tercie atd.) jsou stejně velké (stejně „rozladěné“), ale žádný interval kromě oktáv není úplně „čistý“. Také všechny tóniny jsou rovnocenné, modulace je možná do libovolně vzdálených tónin bez vlivu na zvukovou kvalitu intervalů.

Temperovaná ladění

‣ Existuje zde enharmonická totožnost!

‣ Můžeme rovnocenně zaměňovat křížky za bé či za tóny bez posuvek, dvojitá zmenšení či zvýšení.

‣ Můžeme totožně modulovat, alterovat atd.

Přirozená ladění - výpočet frekvence

f(tón2) = A/B * f(tón1),

kde A a B jsou pořadová čísla tónů harmonické řady, mezi

Například jakou frevenci má e, když A má frekvenci f1 = 220 Hz

e je o kvintu výš, kvinta je 3/2 mezi 3. a 2. notou v harmonické řadě

Temperovaná ladění - výpočet frekvence

f(tón2) = (12√2)N * f(tón1),

N je počet půltónů mezi tóny 2 a 1

Například jakou frevenci má e, když A má frekvenci f1 = 220 Hz

e je o 7 půltónů výš,

f2 = (12√2)N * f1 = (12√2)7 = 1.498307*220 = 329.6275569

Interval Koeficient V centech

prima 1 0

Sekunda malá 1,05946 100

Sekunda velká 1,1225 200

Tercie malá 1,1892 300

Tercie velká 1,2599 400

Kvinta 1,4983 700

Oktáva 2 1200

Frekvence a centy

Elektronické ladičky

Softwarové ladičky

Microtuner

Nevýhody

‣ Čisté přirozené intervaly jsou mírně rozladěny

- temperovaná kvinta mírně dolů

- temperovaná kvarta mírně nahoru

• i malé, velké, zmenšené a zvětšené intervaly se proti harmonické, přírodní řadě rozladí

• zastírají se citlivé tóny a rozvody

• terén se geometricky a barevně zprůměruje

Pythagoras

‣ Za tvůrce pythagorejského ladění je pokládán řecký filosof a matematik Pythagoras. Je však pravděpodobné, že systém ladění založený na číselném poměru 3:2 znali již Babyloňané a před nimi Sumerové. V Číně popsal tento typ ladění Ling Lun již kolem roku 2000 př. n. l.

Phytagorejská pentatonika

‣ Staví se přenášením tří posloupně vzrůstajících kvint a jedné klesající do stejné polohy.

Relativní výška tónu poměrem Interval Rozpětí intervalu

poměrem

c 1 prima 0

d 9:8 velká sekunda 9:8

f 4:3 čistá kvarta 32:27

g 3:2 čistá kvinta 9:8

a 16:9 velká sexta 9:8

c´´ 2:1 oktáva 32:27

Pythagorejská heptatonika

‣ Kvintovými kroky od výchozích stupňů lze získat další tóny a interval

‣ každý nový tón v jiné tónině bude mít i po případných oktávových posunech jinou výšku než tóny, vytvořené dříve

Didymická sedmitónová stupnice

‣ je nejběžnější z čistých hudebních ladění.

‣ K oktávě 2:1 a kvintě 3:2, které byly použity již při konstrukci pythagorejské ladění, byly přidány intervaly, v nichž se objevuje číslo 5. Disonantní Pythagorejská velká tercie 81:64 byla nahrazena Didymickou velkou tercií 5:4 a Pythagorejská velká sexta 27:16 Didymickou sextou 5:3.

‣ Rozdíl mezi Pythagorejskou a Didymickou tercií nebo Pythagorejskou a Didymickou sextou se nazývá Didymické/syntonické koma.

Didymická sedmitónová stupnice

‣ Tímto postupem vznikne sedmitónová stupnice složená ze samých čistých intervalů: velká sekunda (9:8), velká tercie (5:4), kvarta (4:3), kvinta (3:2), velká sexta (5:3), velká septima (15:8) a oktáva (2:1). Jednotlivé tóny této stupnice jsou vzdáleny o velký celý tón (9:8), malý celý tón (10:9) nebo diatonický půltón (16:15).

Didymická sedmitónová stupnice

c d e f g a h c

1:1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:315:8

2:1

velký celý tón

malý celý tón

půltónvelký

celý tónmalý

celý tónvelký

celý tónpůltón

9 : 8 10 : 9 16 : 15 9 : 8 10 : 9 9 : 8 16 : 15

204 centů182

centů112

centů204 centů

182 centů

204 centů112

centů

Středotónové ladění

‣ Nevýhodou didymického čistého ladění je, že obsahuje dva druhy celých tónů:

‣ velký celý tón (9:8)

‣ malý celý tón (10:9).

‣ Tyto celé tóny jsou středotónovým temperováním nahrazeny celými tóny o jednotné velikosti. Takto temperovaný tón se nachází přesně ve středu mezi oběma čistými celými tóny, což dalo i název tomuto druhu ladění.

Vlčí kvinta

• Temperovaných kvint je 11, zbylá dvanáctá kvinta z kvintového okruhu má odlišnou „zbývající“ velikost. Ve středotónových laděních s velkými terciemi blízkými čistým terciím 5:4 je tato poslední kvinta velice disonantní a v hudbě nepoužitelná, proto se označuje jako tzv. vlčí kvinta.

• Nejběžnější středotónové ladění temperuje každou z jedenácti kvint o čtvrtinu syntonického komatu. Kvinty jsou tedy o 5,38 centů užší než kvinty čisté (701,96 c), velké tercie vycházejí jako čisté.