algebarske strukture i operacije grupoidi grupe prsten i...
TRANSCRIPT
![Page 1: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/1.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske strukture
Nikola Milosavljevic
Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet
februar 2010
Istraživacka stanica Petnica
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 2: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/2.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Šta je to algebra i apstraktna algebra?
Šta je to algebarska struktura?
Cemu služe algebarske strukture?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 3: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/3.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Evariste Galois (1811 - 1832) - Jedan od osnivaca teorije grupa iprvi covek koji je uveo termin "grupa".
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 4: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/4.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Definicija
Neka je G neprazan skup i f : Gn → G. Tada za f kažemo da jen-arna operacija (operacija dužine n) skupa G.Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna,binarna, ternarna.
Primeri:
Preslikavanje f : R→ R definisano sa f (x) = −x je unarnaoperacija skupa R.Preslikavanje f : N2 → N definisano sa f (x , y) = x + y je binarnaoperacija skupa N.Preslikavanje f : Z3 → Z definisano sa f (x , y , z) = x3 − 2y + z jeternarna operacija skupa Z.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 5: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/5.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Definicija
Neka je G neprazan skup i f : Gn → G. Tada za f kažemo da jen-arna operacija (operacija dužine n) skupa G.Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna,binarna, ternarna.
Primeri:
Preslikavanje f : R→ R definisano sa f (x) = −x je unarnaoperacija skupa R.Preslikavanje f : N2 → N definisano sa f (x , y) = x + y je binarnaoperacija skupa N.Preslikavanje f : Z3 → Z definisano sa f (x , y , z) = x3 − 2y + z jeternarna operacija skupa Z.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 6: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/6.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 7: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/7.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 8: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/8.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 9: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/9.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 10: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/10.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 11: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/11.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Nama ce od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je fbinarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x , y) cestokoristiti (prakticiniji) zapis xfy .Za oznacavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli+, •, ∗, ◦,−, /,M...
Definicija
Binarna operacija • skupa G je komutativna ako za svako a i b iz Gvaži
a • b = b • a.
Definicija
Binarna operacija • skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz Gvaži
(a • b) • c = a • (b • c).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 12: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/12.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Nama ce od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je fbinarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x , y) cestokoristiti (prakticiniji) zapis xfy .Za oznacavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli+, •, ∗, ◦,−, /,M...
Definicija
Binarna operacija • skupa G je komutativna ako za svako a i b iz Gvaži
a • b = b • a.
Definicija
Binarna operacija • skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz Gvaži
(a • b) • c = a • (b • c).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 13: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/13.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Ukoliko je skup G konacan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnubinarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n × n.
·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1
Operacija ·4 skupa Z4
• a b c da b d b cb a c d bc d a a bd b d b d
G = {a,b, c,d}
Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata?
A m-arnih?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 14: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/14.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Ukoliko je skup G konacan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnubinarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n × n.
·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1
Operacija ·4 skupa Z4
• a b c da b d b cb a c d bc d a a bd b d b d
G = {a,b, c,d}
Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata?
A m-arnih?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 15: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/15.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Ukoliko je skup G konacan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnubinarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n × n.
·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1
Operacija ·4 skupa Z4
• a b c da b d b cb a c d bc d a a bd b d b d
G = {a,b, c,d}
Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata?
A m-arnih?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 16: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/16.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G neprazan skup i neka je • binarna operacija skupa G.Uredjeni par G = (G, •) naziva se grupoid.Skup G se u tom slucaju naziva domen grupoida G. Grupoid G jekonacan (beskonacan) ako je G konacan (beskonacan) skup.
Grupoid = Skup + Operacija
Konacni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije •.Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 17: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/17.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G neprazan skup i neka je • binarna operacija skupa G.Uredjeni par G = (G, •) naziva se grupoid.Skup G se u tom slucaju naziva domen grupoida G. Grupoid G jekonacan (beskonacan) ako je G konacan (beskonacan) skup.
Grupoid = Skup + Operacija
Konacni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije •.Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 18: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/18.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 19: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/19.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 20: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/20.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 21: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/21.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 22: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/22.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 23: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/23.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 24: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/24.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 25: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/25.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 26: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/26.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI GRUPOIDA
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(Z,−), (Q,−), (R,−)
(Q \ {0}, :), (R \ {0}, :)
(P(X ),∩), (P(X ),∪)
(AA, ◦), (T , s)
(Zn,+n), (Zn, ·n), n ∈ N
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 27: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/27.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je komutativan ako je • komutativna operacija.
Definicija
Grupoid G = (G, •) je asocijativan ako je • asocijativna operacija.
Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni?
(R,+), (R, ·), (R,−),
(Zn,+n), (R, ·n)
(AA, ◦), (P(X ),∩), (P(X ),∪)
(T , s), gde je T ranije pomenuti skup tacaka u prostoru
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 28: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/28.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je komutativan ako je • komutativna operacija.
Definicija
Grupoid G = (G, •) je asocijativan ako je • asocijativna operacija.
Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni?
(R,+), (R, ·), (R,−),
(Zn,+n), (R, ·n)
(AA, ◦), (P(X ),∩), (P(X ),∪)
(T , s), gde je T ranije pomenuti skup tacaka u prostoru
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 29: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/29.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je grupoid sa jedinicom ako postoji elemente ∈ G tako da za svaki a ∈ G važi:
e • a = a • e = a.
Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral)grupoida G.
Definicija
Ako u grupoidu G = (G, •) postoji element e tako da za svaki a ∈ Gvaži
e • a = a
tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo dagrupoid G ima levu jedinicu.Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 30: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/30.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je grupoid sa jedinicom ako postoji elemente ∈ G tako da za svaki a ∈ G važi:
e • a = a • e = a.
Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral)grupoida G.
Definicija
Ako u grupoidu G = (G, •) postoji element e tako da za svaki a ∈ Gvaži
e • a = a
tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo dagrupoid G ima levu jedinicu.Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 31: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/31.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 32: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/32.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 33: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/33.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 34: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/34.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 35: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/35.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 36: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/36.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Pitanje: Koji od sledecih grupoida sadrži jedinicu:
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d b cb a b c dc d a a bd b d b d
TeoremaAko u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena.
TeoremaAko grupoid G ima levu jedinicu el i desnu jedinicu ed , onda jeel = ed jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 37: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/37.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Pitanje: Koji od sledecih grupoida sadrži jedinicu:
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d b cb a b c dc d a a bd b d b d
TeoremaAko u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena.
TeoremaAko grupoid G ima levu jedinicu el i desnu jedinicu ed , onda jeel = ed jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 38: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/38.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Pitanje: Koji od sledecih grupoida sadrži jedinicu:
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d b cb a b c dc d a a bd b d b d
TeoremaAko u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena.
TeoremaAko grupoid G ima levu jedinicu el i desnu jedinicu ed , onda jeel = ed jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 39: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/39.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je idempotent ako je a • a = a.
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je levo skrativ ako važi
(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c
Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativnaziva se grupoid sa kracenjem.
Grupoidi (R,+), (R,−), (R \ {0}, ·), (R \ {0}, :) su grupoidi sakracenjem.Da li je grupoid (AA, ◦) grupoid sa kracenjem?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 40: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/40.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je idempotent ako je a • a = a.
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je levo skrativ ako važi
(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c
Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativnaziva se grupoid sa kracenjem.
Grupoidi (R,+), (R,−), (R \ {0}, ·), (R \ {0}, :) su grupoidi sakracenjem.Da li je grupoid (AA, ◦) grupoid sa kracenjem?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 41: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/41.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je idempotent ako je a • a = a.
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je levo skrativ ako važi
(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c
Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativnaziva se grupoid sa kracenjem.
Grupoidi (R,+), (R,−), (R \ {0}, ·), (R \ {0}, :) su grupoidi sakracenjem.Da li je grupoid (AA, ◦) grupoid sa kracenjem?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 42: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/42.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je (G = (G, •) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo(desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je
b • a = e (a • c = e).
Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element jeinvertibilan ako je i levo i desno invertibilan.
Primeri
U grupoidima (Z,+), (Q,+), (R,+) svaki element je invertibilan
U grupoidima (Q, ·), (R, ·) svaki element osim nule je invertibilan
U grupoidu (Z, ·) jedini invertibilni elementi su −1 i 1
U grupoidima (P(X ),∩), (P(X ),∪) nema invertibilnih elemenataosim jedinice.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 43: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/43.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je (G = (G, •) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo(desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je
b • a = e (a • c = e).
Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element jeinvertibilan ako je i levo i desno invertibilan.
Primeri
U grupoidima (Z,+), (Q,+), (R,+) svaki element je invertibilan
U grupoidima (Q, ·), (R, ·) svaki element osim nule je invertibilan
U grupoidu (Z, ·) jedini invertibilni elementi su −1 i 1
U grupoidima (P(X ),∩), (P(X ),∪) nema invertibilnih elemenataosim jedinice.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 44: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/44.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Zadatak: Odrediti sve levo i desno invertibilne elemente u sledecemgrupoidu:
• a b c d ea b d b c ab a e c d bc d a a b cd b e e d de a b c d e
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 45: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/45.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G = (G, •) grupoid i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, •|H×H) grupoid.Tada pišemo H < G.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupoid i i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G akko važi
(∀a,b ∈ H) a • b ∈ H.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 46: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/46.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G = (G, •) grupoid i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, •|H×H) grupoid.Tada pišemo H < G.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupoid i i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G akko važi
(∀a,b ∈ H) a • b ∈ H.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 47: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/47.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 48: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/48.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 49: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/49.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 50: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/50.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 51: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/51.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 52: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/52.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 53: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/53.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 54: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/54.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 55: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/55.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 56: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/56.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 57: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/57.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 58: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/58.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 59: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/59.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 60: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/60.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G = (G, •) i S = (S, ∗) grupoidi. Preslikavanje h : G→ S zakoje važi
(∀a,b ∈ G) h(a • b) = h(a) ∗ h(b)
naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje seh : G→ S.
Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarskustrukturu.
Skup svih homomorfizama iz G u S oznacava se sa Hom(G,S).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 61: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/61.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G = (G, •) i S = (S, ∗) grupoidi. Preslikavanje h : G→ S zakoje važi
(∀a,b ∈ G) h(a • b) = h(a) ∗ h(b)
naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje seh : G→ S.
Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarskustrukturu.
Skup svih homomorfizama iz G u S oznacava se sa Hom(G,S).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 62: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/62.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 63: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/63.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 64: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/64.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 65: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/65.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 66: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/66.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 67: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/67.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 68: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/68.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 69: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/69.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 70: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/70.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 71: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/71.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 72: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/72.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Definicija
Polugrupa je asocijativni grupoid.
Podgrupoid polugrupe naziva se potpolugrupa
Definicija
Polugrupa S = (S, •) je komutativna ako je grupoid (S, •)komutativan.Polugrupa S = (S, •) je sa jedinicom ako grupoid (S, •) imajedinicu. Polugrupa sa jedinicom se naziva monoid.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 73: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/73.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema (Opšti asocijativni zakon)
Neka je S = (S, •) polugrupa, n ∈ N i a1,a2, . . . ,an ∈ S proizvoljnielementi. Tada važi:Svi proizvodi elemenata a1,a2, . . . ,an, u istom poretku, su jednaki.
Drugim recima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi odrasporeda zagrada
Definicija (Stepen u polugrupi)
Neka je S = (S, •) polugrupa, a ∈ S i n ∈ N. Tada je
a1 = aan+1 = an • a
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 74: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/74.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema (Opšti asocijativni zakon)
Neka je S = (S, •) polugrupa, n ∈ N i a1,a2, . . . ,an ∈ S proizvoljnielementi. Tada važi:Svi proizvodi elemenata a1,a2, . . . ,an, u istom poretku, su jednaki.
Drugim recima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi odrasporeda zagrada
Definicija (Stepen u polugrupi)
Neka je S = (S, •) polugrupa, a ∈ S i n ∈ N. Tada je
a1 = aan+1 = an • a
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 75: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/75.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 76: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/76.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 77: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/77.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 78: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/78.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 79: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/79.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Definicija
Grupoid G = (G, •) je kvazigrupa ako za svaki a,b ∈ G svaka odjednacina
a • x = b
y • a = b
ima jedinstveno rešenje u G, tj. ako
(∀a,b ∈ G) (∃!c,d ∈ G) a • c = b ∧ d • a = b.
Primeri(Z,+), (Q,+), (R,+)
(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·)
(Zp, ·p), p - prost broj
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 80: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/80.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Na osnovu Kejlijeve tablice konacnog grupoida ne možemo lakozakljuciti da li se radi o polugrupi ali možemo lako zakljuciti da li je upitanju kvazigrupa.
Pitanje: Koji je od sledecih grupoida kvazigrupa?
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d a cb a b c dc d c b ad c a d b
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 81: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/81.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema
Konacan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuca Kejlijevatablica latinski kvadrat.
Teorema
Svaka kvazigrupa je grupoid sa kracenjem. Da li važi obrat?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 82: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/82.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema
Konacan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuca Kejlijevatablica latinski kvadrat.
Teorema
Svaka kvazigrupa je grupoid sa kracenjem. Da li važi obrat?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 83: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/83.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Grupa je jedna od najbitnijih algebarskih struktura.
Definicija
Polugrupa sa jedinicom u kojoj je svaki element invertibilan naziva segrupa.
Alternativna definicija grupe, polazeci od najosnovnijih pojmova,izgleda ovako:
Definicija
Grupoid G = (G, •) je grupa ako važi:1 (∀a,b, c ∈ G) (a • b) • c = a • (b • c)2 (∃e ∈ G)(∀a ∈ G) e • a = a • e = a3 (∀a ∈ G)(∃a−1 ∈ G) a−1 • a = a • a−1 = e
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 84: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/84.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
PRIMERI GRUPA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - Jedinica je 0, a inverz za x je −x
(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) - Jedinica je 1, a inverz za x je 1x
(Zn,+n) - Jedinica je 0 a inverz za x je n − x
(Zp \ {0}), gde je p prost broj (ovo nije nimalo ocigledno)
(P(X ),4), gde je 4 simetricna razlika
(Sn, ◦), gde je Sn skup svih permutacija skupa {1,2, . . . ,n}, a ◦kompozicija permutacija
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 85: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/85.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Rubikova kocka
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 86: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/86.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Dijedarska grupa
◦ R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 87: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/87.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema
Grupa je grupoid sa kracenjem.
TeoremaJedini idempotentan element u grupi je jedinica.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupa. Tada važi1 (a−1)−1 = a2 (a • b)−1 = b−1 • a−1
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 88: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/88.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema
Grupa je grupoid sa kracenjem.
TeoremaJedini idempotentan element u grupi je jedinica.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupa. Tada važi1 (a−1)−1 = a2 (a • b)−1 = b−1 • a−1
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 89: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/89.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema
Grupa je grupoid sa kracenjem.
TeoremaJedini idempotentan element u grupi je jedinica.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupa. Tada važi1 (a−1)−1 = a2 (a • b)−1 = b−1 • a−1
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 90: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/90.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Grupa G = (G, •) je komutativna ako je grupoid (G, •) komutativan.Takvu grupu nazivamo Abelova grupa.
Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup H odredjujepodgrupu grupe G ako je H = (H, •|H×H) grupa.Tada pišemo H < G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 91: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/91.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Grupa G = (G, •) je komutativna ako je grupoid (G, •) komutativan.Takvu grupu nazivamo Abelova grupa.
Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup H odredjujepodgrupu grupe G ako je H = (H, •|H×H) grupa.Tada pišemo H < G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 92: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/92.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Grupa G = (G, •) je komutativna ako je grupoid (G, •) komutativan.Takvu grupu nazivamo Abelova grupa.
Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup H odredjujepodgrupu grupe G ako je H = (H, •|H×H) grupa.Tada pišemo H < G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 93: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/93.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konacna. Usuprotnom, kažemo da je grupa beskonacnog reda.
Pitanje: Ako je G grupa konacnog reda i ako je a ∈ G proizvoljan, dali se u nizu
a,a2 . . . an, . . .
mora naci jedinica grupe G?
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznacir(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za kojije ak = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =∞.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 94: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/94.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konacna. Usuprotnom, kažemo da je grupa beskonacnog reda.
Pitanje: Ako je G grupa konacnog reda i ako je a ∈ G proizvoljan, dali se u nizu
a,a2 . . . an, . . .
mora naci jedinica grupe G?
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznacir(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za kojije ak = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =∞.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 95: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/95.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konacna. Usuprotnom, kažemo da je grupa beskonacnog reda.
Pitanje: Ako je G grupa konacnog reda i ako je a ∈ G proizvoljan, dali se u nizu
a,a2 . . . an, . . .
mora naci jedinica grupe G?
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznacir(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za kojije ak = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =∞.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 96: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/96.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanjapodgrupa koja sadrži a?
Teorema
Ako je G grupa konacnog reda i a ∈ G, tada je r(a) konacan ir(a) ≤ G.
Teorema
Ako je G grupa i a ∈ G element konacnog reda. Tada za svakiprirodan broj m važi
am = e⇔ r(a)|m.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 97: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/97.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanjapodgrupa koja sadrži a?
Teorema
Ako je G grupa konacnog reda i a ∈ G, tada je r(a) konacan ir(a) ≤ G.
Teorema
Ako je G grupa i a ∈ G element konacnog reda. Tada za svakiprirodan broj m važi
am = e⇔ r(a)|m.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 98: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/98.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanjapodgrupa koja sadrži a?
Teorema
Ako je G grupa konacnog reda i a ∈ G, tada je r(a) konacan ir(a) ≤ G.
Teorema
Ako je G grupa i a ∈ G element konacnog reda. Tada za svakiprirodan broj m važi
am = e⇔ r(a)|m.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 99: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/99.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema (Lagranž)
Ako je G konacna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe Hdeli red grupe G.
Teorema
Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p - a. Tada ap−1 ≡ 1mod p.
Teorema
Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 100: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/100.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema (Lagranž)
Ako je G konacna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe Hdeli red grupe G.
Teorema
Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p - a. Tada ap−1 ≡ 1mod p.
Teorema
Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 101: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/101.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju?
Definicija
Neka je R neprazan skup i neka su + i • binarne operacije skupa R.Ako važe uslovi
1 (R,+) je Abelova grupa2 (R, •) je polugrupa3 Za svaki a,b, c ∈ R važi
a • (b + c) = a • b + a • c
(a + b) • c = a • c + b • c
tada je uredjena trojka R = (R,+, •) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 102: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/102.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju?
Definicija
Neka je R neprazan skup i neka su + i • binarne operacije skupa R.Ako važe uslovi
1 (R,+) je Abelova grupa2 (R, •) je polugrupa3 Za svaki a,b, c ∈ R važi
a • (b + c) = a • b + a • c
(a + b) • c = a • c + b • c
tada je uredjena trojka R = (R,+, •) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 103: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/103.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 104: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/104.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 105: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/105.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 106: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/106.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 107: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/107.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 108: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/108.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 109: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/109.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 110: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/110.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Za jedinicu 0 Abelove grupe (R,+) kažemo da je nula prstena(R,+, ·).
Definicija
Prsten (R,+, ·) ima jedinicu ako polugrupa (R, ·) ima jedinicu.Jedinica se najcešce obeležava sa 1.
Teorema
Neka je (R,+, •) prsten. Tada za svaki element a ∈ R važia • 0 = 0 • a = 0.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 111: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/111.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Za jedinicu 0 Abelove grupe (R,+) kažemo da je nula prstena(R,+, ·).
Definicija
Prsten (R,+, ·) ima jedinicu ako polugrupa (R, ·) ima jedinicu.Jedinica se najcešce obeležava sa 1.
Teorema
Neka je (R,+, •) prsten. Tada za svaki element a ∈ R važia • 0 = 0 • a = 0.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 112: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/112.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je bez delitelja nule ako za svako x , y ∈ R važi
x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0
Pitanje: Za koje n je prsten (Zn,+n, ·n) bez delitelja nule?
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je komutativan ako je (R, •) komutativnapolugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 113: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/113.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je bez delitelja nule ako za svako x , y ∈ R važi
x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0
Pitanje: Za koje n je prsten (Zn,+n, ·n) bez delitelja nule?
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je komutativan ako je (R, •) komutativnapolugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 114: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/114.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je bez delitelja nule ako za svako x , y ∈ R važi
x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0
Pitanje: Za koje n je prsten (Zn,+n, ·n) bez delitelja nule?
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je komutativan ako je (R, •) komutativnapolugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 115: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/115.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva seintegralni domen.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, •) grupa.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je polje ako je (R \ {0}, •) Abelova grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 116: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/116.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva seintegralni domen.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, •) grupa.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je polje ako je (R \ {0}, •) Abelova grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 117: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/117.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva seintegralni domen.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, •) grupa.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je polje ako je (R \ {0}, •) Abelova grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 118: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/118.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Teorema
Dokazati da je komutativni grupoid (G, •) u kome važi
(x • y) • z = (z • x) • y
polugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 119: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/119.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Teorema
Neka je (G, •) polugrupa sa jedinicom. Ako je svaki element iz G levoinvertibilan ili desno invertibilan, onda je (G, •) grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
![Page 120: Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i Poljepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/AlgebarskeStrukture_Nikola... · Algebarske strukture i operacije Grupoidi Polugrupe](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5e19b370556add171f5f0ed4/html5/thumbnails/120.jpg)
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Teorema
Neka je (R,+, ·) polje sa elementima 0, x1, x2, . . . , xn. Dokazati da je1 + x1x2 . . . xn = 0.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture