algebras de carcaj

8/14/2019 algebras de carcaj

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ALGEBRAS DE CARCAJ

JOHN STEWART FABILA CARRASCO

Introduccion.

Las siguientes notas trataran un tema muy particular sobre la Teorade Representaciones, que son las Algebras de Carcaj, y su objetivo prin-cipal es poner al alcance de un estudiante de Matematicas una breveintroduccion a este tema tan interesante. Es importante destacar que

los unicos prerrequisitos para entender estas notas son un haber llevadoun curso de Algebra Lineal y un curso de Teora de Anillos.

Las notas se dividen en dos secciones, en la primer secci on se tratode reunir todo el material de la teora de algebras y de modulos que senecesitan para el desarrollo de los temas posteriores.

Finalmentente en la segunda seccion estudiaremos las algebras decarcaj, sus ideales admisibles y el cociente del algebra de caminos porestos ideales. Finalmente asociaremos un carcaj a cada K-algebra A dedimension finita, donde Kdenotara un campo algebraicamente cerrado.

Para concluir quiero agradecer a la AMC (Asociacion Mexicana dela Ciencia) ya que la realizacion de estas notas fue en el marco delseptimo Verano de la Investigacion organizado por esta institucion yen particular a la Dra. Edith Corina Saenz Valadez, investigadora dela UNAM, bajo cuya direccion se ralizo este trabajo.

Mexico, Agosto del 2008

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ALGEBRAS DE CARCAJ 3

(a) El anillo K[t] de polinomios con variable t con coeficientes enK y el anillo K[x1,...,xn] de los polinomios con variables con-

mutativos t1,...,tn con coeficientes en K sonK-algebras dimen-sionalmente infinita.

(b) El anillo Kx, y de polinomios con variables x,y no conmu-tativos es una K-algebra dimensionalmente infinita. Sea I elideal generado por el elemento xy yx, entonces la K-algebraKx, y/I es isomorfa a K[x, y].

(c) SeaA una K-algebra, podemos construir su algebra de matricesMn[A], que es el conjunto de matrices de n n con entradasen A, que tienes estructura de K-algebra, mediante la suma y

multiplicacion de matrices usual, y con la accion evidente de K.

(d) Sea(G, ) un grupo finito con identidade y seaA unaK-algebra.El algebra de grupo de G con coeficientes en A, es el K-espacio vectorial AG consistente en todas las sumas

gG gg,

cong A yg G, y con la multiplicacion definida como sigue

(gG

gg) (hG

hh) =

f=ghG

f gh.

(e) Sean B y C dos K-algebra. El producto de algebras de B yC es el algebra A = BC con la suma y multiplicacian entradaa entrada.Decimos que una K-algebra A es conexa si no es producto de2 algebras.

(f) Para cualquier K-algebra A, podemos definir el algebra op-uesta AOP de A cuya algebra tiene la misma estructura de K-espacio vectorial, pero la multiplicacion * en AOP esta definidapor a b = ba.

Definicion 1.3. El Radical de unaK-algebra A es la interseccion detodos los ideales maximales de A. Denotaremos por rad A al radicaldel algebra A.

La siguientes es una importante equivalencia del rad A

Lema 1.4. Sea A una K-algebra y sea a A. Las siguientes condi-ciones son equivalentes

(a) a radA;


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(a) a pertenece a la interseccion de todos los ideales maximalesizquierdos de A;

(b) para todo b A, 1 ab tiene inverso;(b) para todo b A, 1 ab tiene inverso derecho;(c) para todo b A, 1 ba tiene inverso;(c) para todo b A, 1 ba tiene inverso izquierdo;

Prueba.

(a) (b) Sea b A, si 1 ab no tiene inverso derecho, entoncesexiste un ideal maximal derecho I tal que 1 ab I, pero a radA I,ab I entonces 1 I, que es una contradiccion. As 1 ab tieneinverso derecho.

(b) (a) Si a / radA, entonces existe ideal maximal derecho talque a / I, entonces A = I + aA y existe x I y b A tal que1 = x + ab, asi 1 ab = x I asi 1 ab no tiene inverso derecho,contradiciendo nuestra hipotesis.

(a) (c) Analogo al anterior(b) (c) Se demuestran facilmente usando las siguientes implica-

ciones:(i) Si (1 cd)x = 1, entonces (1 dc)(1 + dxc) = 1(ii) Si y(1 cd) = 1, entonces (1 + dyc)(1 dc) = 1(b) (b). Sea b A, por (b) entonces existe c A tal que

(1 ab)c = 1, asi c = 1 a(bc) nuevamente por (b) existe d A talque 1 = cd = d + abcd = d + ab, y entonces d = 1 ab y c es el inversode 1 ab.

(c) (c) Similar a la anterior.(b) (b) y (c) (c) es trivial. 2

A partir de ahora para abreviar escribiremos algebra A en lugar deuna K-algebra A si no hay confusion.

Corolario 1.5. Sea rad A el radical de una algebra A

(a) rad A es la interseccion de todos los ideales maximales de A(b) rad A es un ideal bilateral(c) rad(A/rad A)=0(d) Si I es un ideal bilaterial nilpotente de A, entonces I radA.

Si ademas el algebra A/I es isomorfa al producto K ... Kde copias de K, entonces I = radA.

Prueba.

(a) y (b) se siguen facilmente de ??(c) Sea (a + radA) A/radA, por ??, (1 + radA) (r + radA)(a +

radA) = (1 ra) + I es invertible asi existe (b + radA) A/radA tal


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que (b + radA)((1 ra) + I) = 1 + radA, asi 1 (b bra) radAnuevamente por ??, b bra tiene inverso, entonces existe c A tal

que c(b bra) = (cb)(1 ra) = 1, as 1 ra tiene inverso para todor A, por ??, a radA. Entonces a + radA = radA, concluyendo querad(A/radA) = 0.

(d) Por ser I nilpontente Im = 0 con m > 0. Sea x I y a A,entonces ax I y por tanto (ax)r = 0 para algun r > 0. As(1 + ax + (ax)2 + ... + (ax)r1)(1 ax) = 1 (ax)r = 1 para todoa A entonces por ??, x radA, y en consecuencia I radA.Para la otra contension, supongamos el algebra A/I es isomorfa al pro-ducto de copias de K, entonces rad(A/I) = 0, Ahora nos fijamos enel homomorfismo canonico de algebras (que es sobre) : A A/Ique lleva radA al rad(A/I) = 0, si a radA y sea b A, entonces

(b) = b + I A/I y por ?? , 1 ba es invertible en A y entonces(1ba) = 1(a)(B) es invertible en A/I; as (a) rad(A/I) = 0por ??, asi radA ker = I que concluye la prueba. 2

En el estudio de modulos sobre K-algebras dimensionalmente finitosobre un campo K algebraicamente cerrado juega un papel muy impor-tante en el siguiente teorema, conocido como el teorema de Wedderburn-Malcev. Omitiremos la demostracion.

Teorema 1.6. Sea A una K-algebra dimensionalmente finita. Si K esun campo algebraicamente cerrado, entonces existe una K-subalgebra

B de A tal que esiste una descomposicion de K-espacios vectorialesA = B radA tal que la restriccion del homomorfismo canonico dealgebras : A A/radA a B es un isomorfismo de K-algebras.

1.2. MODULOS.

Definicion 1.7. SeaA unaK-algebra. UnA-modulo derecho (o unmodulo derecho sobre A) es una pareja (M, ) donde M es un K-espaciovectorial y : M A M, (m, a) ma, es una operacion binariasatisface las siguientes condiciones:

(a) (x + y)a = xa + ya;(b) x(a + b) = xa + xb;(c) x(ab) = (xa)b;(d) x1 = 1;(e) (x)a = x(a) = (xa)

para todo x, y M, a, b A y K


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La definicion de A-modulo izquierdo es analoga. Ademas escribire-mos M o MA en lugar de (M, ) y AA o AA para ver a la algebra A

como A-modulo derecho o izquierdo respectivamente.

Una M modulo es dimensionalmente finito si la dimension deM como K-espacio vectorial es finita.

Un A-modulo derecho se dice generado por los elementos m1,...,msde M, si cada elemento m M es de la forma m = m1a1+...+msas paraalgunos a1,...,as A, si es el caso escribiremos M = m1A + ... + msA.Un modulo M es finitamente generado si sus generadores son unsubconjunto finito de M.

Es facil notar que un modulo derecho M sobre una algebra dimen-sionalmente finita A, es finitamente generado si y solo si M es dimen-sionalmente finito.

A continuacion mencionaremos un lema que utilizaremos con fre-cuencia y se conoce como el lema de Nakayama.

Lema 1.8. SeaA una K-algebra, M un A-modulo derecho finitamentegenerado, e I radA un ideal bilateral de A. Si MI = M entoncesM = 0

Prueba. Supongamos que M = 0, consideremos el sistema de gen-

eradores m1,...,mn del A-modulo M, de cardinalidad mnima. ComoMI = M, podemos escribir m1 = m1a1 + ... + mnan con ai I, asim1(1 a1) = m2a2... + mnan , como ai I radA entonces 1 a1 esinvertible y entonces m1 = m2A... + mnA as m2,...,mn es un sistemade generadores de M, que es una contradiccion pues el minimo era den elementos. 2

Corolario 1.9. Sea A una K-algebra dimensionalmente finita, en-tonces el radA es nilpotente.

Prueba. Como la dimKA < , entonces la cadena

A radA (radA)2 ... (radA)m (radA)m+1 ...

se estaciona, entonces (radA)m = (radA)m(radA) para algun m, y porel lema de Nakayama ?? tenemos (radA)m = 0 2

Diremos que un A-modulo derecho M no nulo es inescindible si notiene sumandos directos no triviales. Es decir que si

M= N L


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entonces N = 0 o L = 0.

Teorema 1.10. Teorema de descomposicion unica

Sea A una K-algebra dimesionalmente finita.

(a) Cada M modulo tiene una descomposicion M= M1 ...Mmdonde M1,...,Mm son modulos inescindibles.

(b) Si

M=

mi=1

Mi =

nj=1

Nj,

donde Mi y Nj son inescindibles, entonces m=n y existe unapermutacion de {1,...,n} tal que Mi = N(i) para cada i =1, ...n.

Una demostracion del teorema anterior puede verse en [?] pp.23-24.

Es importante notar que una algebra A puede ser vista como un A-modulo gracias a la multiplicacion del anillo. De esta forma, A tieneuna descomposicion unica en inescindibles por el teorema anterior

AA =

mi=1

Pi

En el estudio de modulos indescidibles sobre una K-algebra A, los

elementos idempotentes de A juegan un papel muy importante.Un sis-tema completo de idempotentes ortogonales primitivos de A, es{e1,...,en} un subconjunto de A, tal que es completo (e1+...+en = 1),de idempontes (e2i = ei), ortogonales (eiej = 0 si i = j) y primi-tivos (si ei = a + b con a y b idempotentes ortogonales, entonces a = 0o b = 0).Un idempotente e es central si ea = ae para todo a A.

As dada A una K-algebra dimensionalmente finita, y sea AA =P1 ... Pn su descomposicion como modulo AA en indescindibles.Descompongamos, en esta suma directa el uno de A, 1 = e1 + ... + en,entonces {e1,...,en} forman un sistema completo de idempotentes or-

togonales primitivos, y analogamente, si dado {e1,...,en} un sistemacompleto de idempotentes ortogonales (con ei = 0 para toda i), en-tonces AA = Ae1 ... Aen es una descomposicion en inescindibles.

Una algebra A es conexa (o inescidible) si no es producto directode dos algebras, o equivalentemente, A es conexa si y solo si los unicosidempotentes centrales son 0 y 1.


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Teorema 1.11. Un idempotente e A es primitivo si y solo si elalgebra eAe tiene dos idempotentes 0 y e.

Una demostracion de este teorema puede encontrarse [?] pp 8

Definicion 1.12. Sea A una K-algebra con un conjunto completo deortogonales idempotentes primitivos {e1,...,en}. El algebra A es lla-mada basica si eiA ejA para todo i = j


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2. Algebras de Carcaj

En esta seccion, mostraremos que a cada algebra dimensionalmentefinita sobre un campo algebraicamente cerrado K corresponde unagrafica, llamada carcaj. Y a cada carcaj le corresponde una K-algebraasociativa, que es dimensionalmete finita y tiene identidad bajo ciertascondiciones.

2.1. CARCAJ.

Definicion 2.1. Un carcaj es un cuarteto Q = (Q0, Q1, s , t) de dosconjuntos: Q0 (puntos o vertices) y Q1 (flechas), y dos funcioness, f : Q1 Q0 que a cada flecha Q1 le asigna un vertice inicals() Q0 y un vertice final t() Q0.

Una flecha Q1 con vertice inical a = s() y vertice final b = t()es usualmente denotada por : a b, y el carcaj es denotado solo porQ.

Son ejemplos de carcajes

Un carcaj es finito si Q0 y Q1 son conjuntos finitos. La graficasubyacente Q de un carcaj Q se obtiene de Q olvidandonos de laorientacion de las flechas. El carcaj Q es conexo si Q es una graficaconexa.


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Sea Q = (Q0, Q1, s , t) un carcaj y a, b Q0. Un camino de longi-tud 1 con inicio a y fin b (de a a b) es una secuencia

(a|1,...,|b)

donde k Q0 para todo 1 k y tenemos que s(1) = a, t(k) =s(k+1) para todo 1 k < y t() = b. El camino lo denotaremosbrevemente como 12... y se visualara

a = a01 a1

2 a23 ...

a = b

Q denotara el conjunto de todos los caminos de longitud . A cadavertice a Q0 le asociaremos un camino de longitud = 0, llamado el

camino trivial o estacionario en a, y lo denotaremos pora = (a||a)

Un camino de longitud 1 es un ciclo si el vertice inicial y elvertice final coinciden. Un ciclo de longitud 1 es llamado loop. Uncarcaj es aciclico si no tiene ciclos.

Definicion 2.2. Sea Q un carcaj. El algebra de caminos KQ de Qes unaK-algebra cuya base como K-espacio vectorial es el conjunto detodos los caminos (a|1,...,|b) con 0 en Q y el producto de dosvectores basicos (a|1,...,|b) (c|1,...,k|d) de QK se define comocero si b = d y (a|1,...,, 1,...,k|d) si b = d.

Es facil ver que el producto de los basicos se puede extender acualquier elemento arbitrario de KQ por la propiedad distributiva.

Ejemplo 2.3.

(a) Sea Q el siguiente carcaj

La base del algebra de caminos de KQ es {1, , 2,...,k,...}

y su mulpilicacion esta dada por

1k = k1 =

k para todo k 0 ykj = k+j; l, k 0 para todo l, k 0


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donde 1 = 0. As KQ es isomorfa al algebra de polinomios

K[t] con variable t, y el isomorfismo esta dado por

1 1 y t.

(b) Sea Q el siguiente carcaj

La base de KQ son todas las palabras formadas con {, },con identidad 1. As KQ es isomorfa a la algebra asociativa de

variables no conmutativa Kt1, t2, con el ismorfismo1 1 , t1 y t2

(c) Sea Q el siguiente carcaj

la base del algebra de caminos KQ es {1, 2, } con la tablade multiplicar

. 1 2 1 1 0 02 0 2 0 0

Es facil ver que KQ es isomorfo al algebra de matrices triangu-lares, con el siguiente isomorfismo:

1

1 00 0

, 2

0 00 1

,

0 01 0

.

(d) Sea Q el sigueinte carcaj:


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Analogamente al ejemplo anterior podemos ver el siguienteisomorfismo de K-algebras

KQ =

K 0 0 0K K 0 0K 0 K 0K 0 0 K

Lema 2.4. Sea Q un carcaj y KQ su algebra de caminos. Entonces

(a) KQ tiene elemento identidad si y solo si Q0 es finita(b) KQ es dimensionalmente finita si y solo si Q es finita y aciclica.

Prueba.

(a) Claramente cada camino estacionario a es idempotente en KQ.Si Q0 es finito,aQ0 a es claramente la identidad de KQ.Si 1 = mi=1 ii (donde i es escalar y i son caminos de Q) es laidentidad de KQ, y si Q0 fuera infinito, entonces podemos escoger unvertice en Q0 tal que no es vertice inicial de i, para alguna i, entoncesa 1 = 0, que es una contradiccion.

(b) Si Q es finito y aciclico, existe un numero finito de caminos deKQ, entonces KQ es dimensionalemente finita.

Si Q fuera infinito, la base de KQ sera infinita y por tanto KQ di-mensionalmente infinita, ahora si tuviera un ciclo, digamos = 1...k,para cada t 0, tendramos un basico t, lo que haria de KQ dimen-sionalmente infinito. 2

Corolario 2.5. Sea Q un carcaj finito. El elemento 1 =

aQ0a es

la identidad de KQ y el conjunto {a|a Q} es un sistema completode idempotentes ortogonales primitivos de KQ.

Prueba. Claramente a son elementos idempotentes ortogonales deKQ, del lema anterior {a|a Q} es completo y por ser finito Q0,1 =

aQ0a es la identidad de KQ.

Solo falta demostrar que son primitivos a que por ?? basta ver quelos unicos idempotentes de a(KQ)a son 0 y a. De hecho cualquieridempotente de a(KQ)a es de la forma = a + , donde K y

es combinacion lineal de ciclos que pasan por a y de longitud 0.Asi la desigualdad

0 = 2 = (2 )a + (2 1) + 2

que da = 0 y por tanto 2 = , y as = 0 o = 1. en el primercaso, = 0 y en el segundo = a 2


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Claramente, {a|a Q} no es el unico conjunto completo de idem-potentes ortogonales primitivos de KQ. En el ejemplo ??(c), {1, 2}

y {1 + , 2} son dos conjuntos completos de idempotentes ortog-onales primitivos.

El siguiente lema reduce la conexidad de una algebra a la particionde un conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos.

Lema 2.6. Sea A una algebra asociativa con identidad y sea{e1,...,en}un conjunto completo (finito) de idempotentes ortogonales primitivos.A es una algebra conexa si y solo si no existe una particion trivialIJdel conjunto {1, 2,..,n} tal que i I y j J implica que eiAej = 0 =ejAei

Prueba. Asumamos que existe una particion no trivial, y sea c =jJ ej, entonces c = 0, 1. Como ej son idempotentes ortogonales,

entonces c es ortogonal. Mas aun, cei = eic = 0 para todo i I ycej = ejc = ej para cada j J. Sea a A arbitrario. Por hipotesis,eiaej = 0 = ejaei donde i I y j J. En consecuencia

ca =jJ

ej)a = (jJ

eja) 1 = (jJ

eja)(iI

ei +kJ

ek)

=

j,kJ

ejaek = (jJ

ej +iI

ei)a(kJ

ek)

= ac

As c es idempotente central, y A = cA(1c)A es una descomposicionen producto no trivial en de A, contradiciendo la hipotesis de que A esconexa.

Para el regreso supongamos que A no es conexa, entonces contieneun idempotente central c = 0, 1. As tenemos

c = 1 c 1 = (n

i=1

ei)c(n

j=1

ej) =n

i,j=1

eicej =n

i=1

eicei

pues c es central. Sea ci = eicej eiAei. Entonces c2i = (eicei)(eicei) =

eic2ei = ci, y as ci es idempotente de eiAei. Como ei es primitivo en-tonces ci = 0 o ci = ei. Sea I = {i|ci = 0} y J = {j|cj = ej}. Comoc = 0, 1, esta es un particion no trivial. Mas aun si i I, tenemoseic = cei = 0 y, si j J, tenemos ejc = cej = ej. por lo tanto, si i Iy j J, tenemos que eiAej = eiAcej = eicAej = 0 y similarmenteejAei = 0 . 2


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Lema 2.7. Sea Q un carcaj finito. El algebra de caminos KQ es conexasi y solo si Q es un carcaj conexo

Prueba. Suponga que Q no es conexa, SPG tiene dos componentesconexos Q y Q. Sea a Q y b Q. Como Q no es conexa existeun camino totalmente contenido en Q o en Q.En el primer casob = 0 y entonces ab = 0, en el otro caso tenemos que a = 0 yentonces ab = 0. Esto muestra que a(KQ)b = 0 y similarmenteb(KQ)a = 0 y por ??,KQ es no conexa.Ahora supongamos que Q es un carcaj conexo pero KQ no es un algebraconexa. Por ref1.6 existe una union disjunta que da una particion conQ0 = Q

0 Q

0 tal que, se x Q

0 y y Q

0 entonces ex(KQ)ey =0 = ey(KQ)ex. Como Q es conexo, existe a Q

y b Q tal que : a b. Asi tenemos

= ab a(KQ)b = 0

siendo una contradiccion. 2

Definicion 2.8. Sea Q un carcaj finito y conexo. El ideal bilatera delalgebra de camino de KQ generada por las flechas de Q es llamadaideal flecha de KQ y se denota como RQ. Si no hay ambiguedadnotamos a RQ simplemente como R.

En el siguiente teorema caracterizamos la propiedad universal.

Teorema 2.9. Sea A un carcaj finito y conexo y A una K-algebraasociativa con identidad. Para cada par de funciones 0 : Q0 A talque 1 : Q1 A que satisface las siguientes condiciones:

(i) 1 =

aQ00(a), 0(a)

2 = 0(a), y 0(a) 0(b) = 0 para todoa = b

(ii) si : a b entonces 1() = 0(a)1()1(b)

existe un unico homomorfismo de K-algebras : KQ A tal que(a) = 0(a) para cada a Q0 y () = 1() para cada Q1

Prueba. Sea KQ, entonces

= aQ0

aa + bRQ

bb

y como b RQ entonces b = 1 con 1 y i Q1. Definamos : KQ A, dada por

() =aQ0

a0(a) +bRQ

b(1(1) 1())


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Es facil ver que es un homomorfismo de K-algebras que extiende a0 y 1.

Ademas para todo 1 k camino de Q, tenemos que(1 k) = (1) (k)(1)

= 1(1) 1(k)(2)

que demustra la unicidad de . Por otro lado, es compatible con lacomposicion de caminos (y entonces preserva el producto) y es tal quepreserva la identidad, pues

(1) = (aQ0

a) =aQ0

(a) =aQ0

0(a) = 1

asi es entonces un homomorfismo de K-algebras 2

Proposicion 2.10. Sea Q un carcaj finito y conexo, R el ideal flechade KQ y a = (a||a) para a Q0. el conjunto {a = a + R|a Q0} esun conjunto completo de idempotentes ortogonales de KQ/R, y KQ/Res isomorfo a un producto de copias de K. Si ademas Q es aciclico,entonces radKQ = R.

Prueba. Claramente, existe una descomposicion directa

KQ/R =

a,bQ0

a(KQ/R)b

como K-espacio vectorial, como R contiene todos lo caminos de longitud 1, este se convierte en

KQ/R = a,bQ0

a(KQ/R)a

Entonces KQ/R es generado, como K-espacio vectorial, por las clasesresiduales de longitud zero, esto es, por el conjunto {a = a + R|a Q0}. Claramente este es un conjunto completo de idempotentes ortogo-nales primitivos del algebra cociente KQ/I. Mas aun, para cada a Q0,el algebra a(KQ/R)b, es generado, como K-espacio vectorial, por ay en consecuencia es isomorfa, como K-algebra, a K. Esto muestra queel algebra cociente es isomorfa al producto de |Q0| de copias de K.

Ahora suponga que Q es aciclica, entonces KQ es dimensionalemtefinita (por ??. Entonces existe caminos de longitud maxima 1,implicando que cualquier producto de + 1 flechas es cero, es decir,R+1 = 0, en consecuencia R es nilpotente y por ?? R radKQ. ComoKQ/I es isomorfo a un producto de copias de K, se sigue de ?? queradKQ=R. 2


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Asuma que Q es un carcaj finito y aciclico. Sea n = |Q0| el numerode vertices de Q. Es facil ver que podemos numerar los vertices de Q

del 1 al n tal que, si existe un camino de i a j, entonces j i. Conesta observacion enunciaremos el siguiente lemma del cual omitiremosla demostracion.

Lema 2.11. Sea Q un carcaj conexo, finito y aciclico con Q0 = {1, 2,...,n}tal que para cada i, j Q0,j i si existe un camino de i a j. Entoncesel algebra de caminos KQ es isomorfo al algebra de matrices triangu-lares inferiores

A = 1(KQ)1 0 0

2(KQ)1 2(KQ)1 0......

...n(KQ)1 n(KQ)2 n(KQ)n

donde a = (a||a) para cada a Q0, la adicion es la obvia y la multi-plicacion es inducida por la multiplicacion de KQ.

2.2. IDEALES ADMISIBLES Y EL COCIENTE DEL ALGE-BRA DE CAMINOS.

Definicion 2.12. Sea Q un carcaj finito y RQ el ideal flecha del algebrade caminos de KQ. Un ideal bilateral I de KQ es admisible si existe

m 2, tal que

RmQ I R2Q

Se sigue directamente de la definicion que un ideal I de KQ, cnotenidoen R2Q, es admisible si y solo si contiene a todos los caminos suficien-temente grandes. Este es el caso si y solo si, para cada ciclo Q,existe un s 1 tal que s I.

En particular, si Q es aciclica, cualquier ideal contenido en R2Q esadmisible.

Ejemplo 2.13.(a) Sea Q un carcaj finito arbitrario y m 2, el ideal RmQ es ad-

misible.(b) El ideal cero es admisible en KQ si y solo si Q es aciclico. De

hecho, el ideal cero es admisible si y solo si existe m 2 tal queR2Q = 0, esto es, que cualquier producto de m flechas en KQ escero. En este es el caso si y solo si Q es aciclico.


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(c) Sea Q el carcaj

El ideal I1 = del K-algebra KQ es admisible, peroI2 = no lo es.

(d) Sea Q el siguiente carcaj

Es ideal I = ,,3 es admisible. Claramente I R2Q. Ademas cada camino de longitud mayor a 5,contiene

3,entonce R5Q I.

(e) Sea Q el carcaj

Cada uno de los ideales I1 = y I2 = es admisi-ble, y ademas las algebras KQ/I1 y KQ/I2 son isomorfas bajoel isomorfismo KQ/I1 KQ/I2 inducida por la corresponden-cia para = 1, 2, 3; , y .

Definicion 2.14. Sea Q un carcaj. Una relacion en Q con coefi-cientes en K es una K-combinacion lineal de caminos de longitud almenos 2 con el mismo vertice inicial y final. Entonces, la relacion

es un elemento de KQ tal que

=m

=1

donde los son escalares (no cero) y los son caminos en Q delongitud al menos 2, tal que si = , donde el vertice inicial (o final,respectivamente) de coincide con los de .


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Lema 2.15. Sea Q un carcaj finito y I un ideal admisible de KQ. Elconjunto {ea = a+I|a Q0} es un conjunto completo de idempotentes

ortogonales del algebra KQPrueba. Por ?? es facil ver que este conjunto es un conjunto completode idempotentes ortogonales. Falta ver que cada ea es primitivo, quepor ?? basta probar que los unicos idempotentes de ea(KQ/I)ea son 0y ea. De hecho cada idempotente e de ea(KQ/I)ea se puede escribirde la forma e = a + + I, donde K y es combinacion lineal deciclos que pasan por a y de longitud 1. Asi la desigualdad e2 = eda que

(2 )a + (2 1) + 2 I

Sea RQ el ideal flecha de KQ. Como I R2Q, tenemos

2 = 0 yentonces = 0 o = 1. Si = 0, entonces e = + I donde esidempotente modulo I. Y por otro lado, como RmQ I para algunm 2 tenemos que m I, es decir es nilpotente modulo I y enconsecuencia I y e es cero. Por otro lado si = 1, entoncesea e = + I es idempotente en ea(KQ/I)ea y nuevamente esidempotente modulo I. Igual que el anterior, es nilpotente modulo I,y pertenece a I. Consecuentemente, ea = e 2

Lema 2.16. Sea Q un carcaj finito e I un ideal admisible de KQ. Elalgebra KQ/I es conexa si y solo si Q es un carcaj conexo

Prueba. Si Q no es un carcaj conexo, entonces KQ no es unaalgebra conexa por ??. Entonces KQ contiene un idempotente central

distinto de 0 y 1, y que por la prueba de ?? puede ser elegido comosema de caminos de longitud cero, es decir, de puntos. Pero entoncesc = +I no es igual a I. Por otro lado, c = 1+I implica 1 I, quees imposible (pues I R2Q). Como es claro que c es un idempotentecentral de KQ/I, entonces inferimos que KQ no es una algebra conexa.Si Q es un carcaj conexo pero KQ/I no es una algebra conexa. Por ??y ?? existe una particion no trivial Q0 = Q

0 Q

0 tal que si x Q

0 yy Q

0 entonces ex(KQ/I)ey = 0 = ey(KQ/I)ex. Como Q es conexa,sin perdida de generalidad existe una flecha : a b con x Q

0

y y Q

0 . Pero entonces = ab implica que = + I satisface = ab a(KQ/I)b = 0. Asi = I (pues I R

2Q) que es una

contradiccion.2

Proposicion 2.17. Sea Q un carcaj finito y I un ideal admisible deKQ. El algebra KQ/I es dimensionalmente fininita

Prueba. Como I es admisible, existe m 2 tal que Rm I, donde Res el ideal flecha RQ de KQ. Pero esiste un homomorfismo de algebras


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sobreyectivo KQ/Rm KQ/I. Asi es suficiente probar que KQ/Rm

es dimensionalmente finita. Pero las clases residuales de los caminos

de longitud menor que m forman una base de KQ/Rm

como K-espaciovectorial. Como hay un numero finito de estos caminos, se sigue elresultado. 2

Si I no es admisible, el algebra KQ/I no es necesariamnente dimen-sionalmente finita.

Lema 2.18. Sea Q un carcaj finito, RQ el ideal flecha de KQ, e I unideal admisible de KQ. Entonces el rad(KQ/I) = RQ/I.

Prueba. Como I es admisible, existe m 2 tal que Rm I, dondeR = RQ. As, (R/I)

m = 0 y R/I es ideal nilpotente de KQ/I. Por otro

lado, el algebra (KQ/I)/(R/I) = KQ/I es isomorfo a un producto decopias de K, por ?? y entonces por ?? finalizamos la prueba. 2

Corolario 2.19. Para cada 1, tenemos que el rad(KQ/I) =(RQ/I)

As el K-espacio vectorial

rad(KQ/I)/rad2(KQ/I) = (RQ/I)/(RQ/I)2 = RQ/R

2Q

admite como base el conjunto + rad2(KQ/I), donde = + KQ/Iy Q1

2.3. EL CARCAJ DE UN ALGEBRA DIMENSIONALMENTEFINITA.

En este captulo mostraremos que toda K-algebra dimensionalmetefinita, basica e indescomponible, es isomorfa al cociente de un algerbade carcaj por algun ideal admisible.

Definicion 2.20. Sea A un K-algebra dimensionalmetnte finita, basicay conexa y{e1, e2,...,en} un conjunto completo de idempotentes ortog-onales primitivos de A. El carcaj ordinario de A, denotado por QA,es definido como sigue:

(a) Los vertices de QA nuemrados 1,2,...,n estan en corresponden-cia biyectiva con los idempotentes e1, e2,...,en

(b) Dados dos vertices a, b (QA)0, las flechas : a b estanen correspondencia biyectiva con los vectores de la base del K-espacio vectorial ea(radA/rad

2A)eb.

Lo primero que es necesario checar es que el carcaj ordinario nodepende de la eleccion del conjunto de idempotentes.


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Lema 2.21. Sea A una K-algebra dimensionalmente finita, basica yconexa. (a) El carcaj QA de A no depende de la eleccion del conjunto

de idempotentes ortogonales primitivos de A.Prueba.

(a) El numero de vertices de QA esta determinado de manera unica,y es igual al numero de sumandos directos indescomponibles de AA, yeste es unico por ??. Por otro lado, el mismo teorema nos dice que losfactores de la descomposicion es unica salvo isomorfismos, es decir:

AA =n

a=1

eaA =n

b=1

ebA,

entonces podemos enumerar los factores para que eaA = e

aA, para cadaa con 1 a n. Solo falta mostrar que dim

Kea

(radA/rad2A)eb

=dimKea(radA/rad

2A)eb para todo pareja (a,b). Es facil ver que el A-homomorfismo de modulos : ea(radA) ea(radA/rad

2A) dado porea ea(x + rad

2A) admite a ea(rad2A) como kernel y en consecuencia

ea(radA/rad2A) = ea(radA)/ea(rad

2A) = rad(eaA)/rad2(eaA).

Y entonces tenemos esta sequencia de isomorfismos de K-espacios vec-toriales

ea(radA/rad2A) = [rad(eaA)/rad

2(eaA)]eb= HomA(ebA,rad(eaA)/rad

2(eaA))

= HomA(ebA,rad(eaA)/rad2(eaA))= [rad(eaA/rad

2(eaA))]e

b

= ea(radA/rad2A)eb

2

Ahora mostraremos que todos los elementos de rad A se puedenexpresar en terminos de x y los caminos de QA.

Lema 2.22. Para cada flecha : en (QA)1, sea x e(radA)etal que el conjunto {x+rad

2A| : } es una base de e(radA/rad2A)e.

Entonces:

(a) para cada dos pintos a, b (QA)0, cada elemento x ea(radA)ebpuede ser escrito de la forma: x = x1x2...x12... ,donde 12... K y la suma es tomado sobre todos los caminosx1x2...x en QA de a a b; y

(b) para cada flecha : el elemento x determina de maneraunica un isomorfismo no cero x HomA(eA, eA) tal quex(e) = x, Imx e(radA) y Imx e(rad2A)


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Prueba.

(a) Por ser K-espacio vectorial, radA = (radA/rad2A) rad2A,

tenemos que ea(radA)eb = ea(radA/rad2A)eb ea(rad2A)eb.Entonces x puede ser escrito de la forma

x =:

x

modulo ea(rad2A)eb (donde K para cada flecha de a a

b), o mas formalmente,

x = x:

x ea(rad2A)eb

La descomposicion radA = ,e(radA)e implica que

ea(rad2A)eb = c(QA)0

[ea(radA)ec][ec(radA)eb]

asi que x =

c(QA)0xcy

c donde x

c ea(radA)ec y y

c

ec(radA)eb. Por la discusion anterior, tenemos las expresionesde la forma xc =

:ac x y y

c =

:cb x modulo

rad2A, donde , K. Entonces

x =

:ab

x +

:ac

:cb

xx

modulo ea(rad3A)eb.

Terminamos la prueba por una induccion y usando que el radA es nilpotente.

(b) Por hipotesis, el elemento x e(radA)e es no cero y mapeaal elemento no cerox por el isomorfismo K-lineal e(radA)e =HomA(eA, e(radA)). Se sigue que x(e) = x, Imx e(radA) y Imx e(rad2A) que finaliza la prueba.

2

El siguiente es un importante corolario del lemma anterior, del cualse omite la demostracion.

Corolario 2.23. Si A es una algebra conexa, basica y dimensional-

mente finita, entonces el carcaj QA de A es conexaLema 2.24. Sea Q un carcaj finito conexo, I un ideal ideal admisibledeKQ, y sea A=KQ/I. Entonces QA = Q

Prueba. Por ??, el conjunto {ea = a + I|a Q0} es un conjuntocompleto de idempotentes ortogonales primitivos de A = KQ/I. Asilos puntos de QA estan en correspondencia biyectiva con los de Q. Por


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otro lado por ?? y como las flechas de a a b en Q estan en corre-spondencia biyectiva con los vectores basicos del K-espacio vectorial

ea(radA/rads

A)eb, entonces lo estan con las flechas de a a b en QA. 2

Ejemplo 2.25. Ahora veremos algunos ejemplos sobre como construirde un algebra su carcaj ordinario.

(a) Si A = K[t]/tm conm 1, el unico idempotente de A es el 1,entonces QA tendra un solo punto. Tenemos que el radA = t,donde t = t + tm;de hecho tm = 0 y asi A/t = K. En

consecuencia, rad2 = t2 y la dimK(radA/rad

2A) = 1. Unabase del (radA/rad2A) esta dada por la clase de t del cociente

t/t2. Asi el carcaj QA es

(b) Sea

A =

K 0 0K K 0

K 0 K

el algebra de las matrices triangulares inferiores [ij] M3(K),con 32 = 0 y pq = 0 para pq. Un obvio conjunto de idempo-

tentes ortogonales primitivos de A, esta dada por las matrices:

e1 =

1 0 00 0 0

0 0 0

, e2 =

0 0 00 1 0

0 0 0

, e3 =

0 0 00 0 0

0 0 1

.

Entonces el

radA =

0 0 0K 0 0

K 0 0

y rad2 = 0Mediante algunos calculos que se omiten aqui es facil ver quee2(radA)e1 y e3(radA)e1 son de dimension 1 y los demas es-pacios de la forma ei(radA)ej son de dimension cero (pues ladimK(radA) = 2). Asi QA es el carcaj


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(c) Una obvia generalizacion del anterior es le siguiente. Sea A el

algebra de matrices triangulartes inferiores de n n.

A =

K 0 0 0K K 0 0K 0 K 0...

......

. . ....

K 0 0 K

Asi su QA es el carcaj

Ahora llegamos al teorema fundamental de estas notas.

Teorema 2.26. Sea A una K-algebra dimensionalmente finita conexay basica. Entonces exite un ideal I de KQA tal que A = KQA/I.

Prueba. Asignaremos a cada elemento de la base de KQA otro

elemento de A. Esto dara lugar a un morfismo : KQA A deK-espacios vectoriales, de hecho sera un morfismo de K-algebras, de-spues mostraremos que es sobreyectiva y el kernel I = Ker es unideal admisible de KQA

Para cada flecha : en (QA)1, sea x radA elegidade tal manera que {x + rad

2A| : } forman una base dee(radA/rad

2A)e. Sea 0 : (QA)0 A sea el mapeo definido por0(a) = ea para cada a (QA)0 y 1 : (QA)1 A sea el mapeo definidopor 1() = x para (QA)1. Entonces los elementos 0(a) formanun un conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos de A,

y si : a b tenemos que 0(a)1()0(b) = eaxeb = x = 1().Y as por la propiedad universal de algebras de caminos ??, existe

un unico homomorfismos de K-Algebras : KQA A que extiende0 y 1.

Veremos que es sobre. Como la imagen es generada por los ele-mentos ea (con a (QA)0 y x (para (QA)1), es suficiente probarque estos elementos generan a A. Como K es algebraicamente cerrado,


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se sigue del teorema de Wedderburn-Malcev ?? que el homomorfismocanonico A A/radA se escinde. Asi es claro que el anterior es gen-

erado por ea, es suficiente probar que cada elemento de radA puede serescrito como polinomios en xa y se sigue de ?? .Solo queda demostrar que I = Ker es admisible. R denotara el

ideal flecha del algebra KQA. Por definicion de , tenemos que (R) radA y asi (R) radA para cada 1. Como rad A es nilpotente,entonces existe m 1 tal que radmA = 0 y en consequencia Rm Ker = I. Ahora probaremos que I R2. Si x I, podemosescribirlo de esta forma

x =

a(QA)0

aa +

(QA)1

a + y

Donde a, K y y R

2

. Ahora (x) = 0 da0 =

a(QA)0

eaa +

(QA)1

xaa + (y)

Entonces a(QA)0

eaa =

(QA)1

xaa (y) radA.

Como rad A es nilpotente, y los ea son idempotentes ortogonales, sepuede inferir que a = 0 para cualquier a (QA)0. Similarmente

(QA)1xaa (y) rad

2A. Entonces la igualdad

(QA)1(xa +

rad2)a = 0 se mantiene en radA/rad2A. Pero el conjunto {xa +

rad2A| (QA)1} es, por construccion, una base de radA/rad2A. En-tonces = 0 para cada (QA)1 y entonces x = y R

2

2

References

[1] C. Cibils, F. Larrion, L. Salmeron. Metodos Diagram aticos en Teora de Rep-resentaciones Monografias del Instituto de Matematicas, UNAM. 1982.

[2] F.W. Anderson y K.R. Fuller. Rings and Categories of Modules Graduate Textin Mathematics 13, Spring-Verlag, New York. 1973.

[3] David M. Burton A First Course in Rings an Ideals. Addison-Wesley. 1970.[4] Ibrahim Assen, Daniel Simson, Andrzej Skowronski. Elements of the Represen-

tation Theory of Associative Algebras I. London Mathematical Society. 2006.

John Stewart Fabila Carrasco:Facultad de Ciencias, U.A.E.M.Mexico, D.F. MEXICO.jer [email protected]

algebras de carcaj

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