algebre de boole intro -v3
TRANSCRIPT
1
Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
Module: Codage et représentation de l'information
1ère MI S1
2
Plan
• Algèbre de Boole
3
Algèbre de Boole
الجبر البولياني
4
L'algèbre de Boole
• L'algèbre de Boole, est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques.
قس�م� من� الرياض�يات� والمنط�ق� واللكترونيك� تهتم� بالدوال� •ذات� المتغيرات� المنط�قية
5
Boole
• Elle fut initiée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole
6
Applications تطبيقات
7
Applications تطبيقات
8
Applications تطبيقات
9
Applications تطبيقات
10
Définition
Soit B l'ensemble des valeurs de vérité {VRAI, FAUX}.
Noté B = {1, 0}
On définit deux lois ET et OU
et le complémentaire NON. مجموعة قيم الحقيقة {صح، خطأ} نرمز لها بBنعرف
B = {1, 0}
ف قانونين أو، و، والمتمم ل نعرف
11
Conjonction الوصل
a ET b est VRAI <==> a est VRAI et b est VRAI.
Cette loi est aussi note '.'
نعرف الوصل بأن القضية "أ و ب" صحيحة إذا وفقط إذا كان أ صحيحا وب صحيحا، ونرمز له بالنقطة طة
12
Conjonction الوصل
Table de vérité
13
Conjonction الوصل
Représentation électrique
a b
14
Conjonction الوصل
Symbole
Disjonction الفصل
a ou b est VRAI <==> a est VRAI ou b est VRAI.
Cette loi est aussi note '+'
نعرف الوصل بأن القضية "أ أو ب" صحيحة إذا وفقط إذا كان أ صحيحا أوب صحيحا، ونرمز له بـ طـ
Disjonction لفصلا
Table de vérité
17
Disjonction لفصلا
Représentation électrique
a
b
18
Disjonction لفصلا
Symbole
Complémentaire لمتمما
Non a est VRAI <==> a est Faux.
Cette loi est aussi note ' '
نعرف الوصل بأن القضية "ل أ " صحيحة إذا وفقط إذا كان أ ' 'خاطئا، ونرمز له بـ
Complémentaire لمتمما
Représentation électrique
a
Complémentaire لمتمما
Symbole
Exercice
Tracer la table de vérité pour l'expression
A+B.C
Exercice
A B C B'C A+B'C0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 1
الخواص الجبرية للعواملLes propriétés algébriques
Priorité des opérateurs
• Pour évaluer une expression logique :
()
NON
ET
OU
أولوية العوامل
Element neutre العنصر الحيادي
A + 0 = AA .1 = A
Element absorbant العنصر الماص2
A + 1 = 1A .0 = 0
Complémentarité لمتمما
0.
1
AA
AA
AA
Idempotence التماثل
A + A +A + …. +A = AA .A.....A = A
Commutativité التبديل
A + B = B + AA .B = B.A
Associativité التجميع
(A + B)+C = A + (B+C)(A .B).C = A.(B.C)
Distributivité التوزيع
A . (B+C) = A .B+ A.C(distribution de ET sur OU)
A+(B.C) = (A +B).(A+C)(distribution de OU sur ET)
Simplification تبسيط
Démontrer que A+AB = A
Simplification تبسيط
A+AB = A.1+ A.B (idempotence)
= A.(1+B) (distribution)
= A.1 (absorption) = A (el. neutre)
Simplification تبسيط
Démontrer que A+AB = A+B
Simplification تبسيط
A+AB = (A+A).(A+B) (distribution)
= 1.(A+B) (complément)
= A+B (el. neutre)
Redondance كرارت
Démontrer queAB + AC + BC = AB +AC
Redondance كرارت
AB + AC + BC =
=AB +AC +BC.(A+A) ( complément)
=AB +AC +ABC+ ABC (distribution)
=(AB +ABC) +( AC + ABC) (commutativité)
=AB(1+C) + AC(1+B) (facteur commun)
= AB.1 + AC.1
= AB + AC
5. Dualité de l’algèbre de Boole
• Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.
• Exemple :
0 A .A 1AA
0 0 .A 11A
التقابل
Théorème de DE-MORGANE
6. Théorème de DE-MORGANE
• Le produit logique complémenté de deux variables est égale au somme logique des compléments des deux variables.
•La somme logique complémentée de deux variables est égale au produit des compléments des deux variables.
B . A B A
B A B .A
6.1 Généralisation du Théorème DE-
MORGANE à N variables
A.B .C . . .. . .=A+B+C+. .. . . .. . ..A+B+C+ .. . .. . .. . ..=A.B.C .. . .. .
متمم المجموع = جداء المتممات
متمم الجداء = مجموع المتممات
Exercice
Calculer le complément de
AB+AB
exercice
ab+ab=ab.aba+b .a+ba+b .a+b