第 2 章 导数与微分
Post on 04-Jan-2016
63 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
第 2 章 导数与微分
结束
本章大体上分为两部分。其中第一部分是导数,第二部分是微分,从结构上来说它们是平行的。
前页 结束后页
2.1.1 引出导数概念的实例
例 1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示 ,
在曲线上任取两点 和 ,作割线 ,割线的斜率为
)(xfy
0 0( )M x , y
),( 00 yyxxN
0 0( ) ( )tanMN
f x x f xyk
x x
MN
2.1 导数的概念
y
xO
( )y f x
M
N
T
x
0x xx 0
y
P
前页 结束后页
这里 为割线 MN 的倾角,设 是切线 MT 的倾角,
当 时,点 N 沿曲线趋于点 M 。若上式的
极限存在,记为 k ,则此极限值 k 就是所求切线
MT 的斜率,即
x
xfxxfx
y
k
x
x
x
)()(lim
lim
tanlimtan
00
0
0
0
θ
0x
y
xO
( )y f x
M
N
T
x
0x xx 0
y
P
前页 结束后页
当 趋向于 0 时,如果极限
设某产品的总成本 C 是产量 Q 的函数,即 C=C(Q ) ,当产量 Q 从 变到 时,总成本相应地改变量为
当产量从 变到 时,总成本的平均变化率
0Q 0Q Q
0 0( ) ( )C C Q Q C Q
Q0 0Q Q
0 0( ) ( )C Q Q C QC
Q Q
0 0
0 0
( ) ( )lim limQ Q
C Q Q C QC
Q Q
存在,则称此极限是产量为 时总成本的变化率。0Q
0Q
例 2 产品总成本的变化率
前页 结束后页
定义 设 y=f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义,
属于该邻域,记 若
存在,则称其极限值为 y = f (x) 在点 x0 处的导数,记为
xx 0
),()( 00 xfxxfy
x
yx 0
limx
xfxxfx
)()(lim 00
0
.|d
d,|
d
d,|)(
0000 xxxxxx x
f
x
yy'xf' 或或或
.)()(
limlim)( 00
000 x
xfxxf
x
yxf'
xx
或
2.1.2 导数的概念
前页 结束后页
导数定义与下面的形式等价:
.)()(
lim)(0
00
0 xx
xfxfxf
xx
若 y =f (x) 在 x= x0 的导数存在,则称 y=f(x) 在点
x0 处可导,反之称 y = f (x) 在 x = x0 不可导,此
时意味着不存在 . 函数的可导性与函数的连续性的
概念都是描述函数在一点处的性态,导数的大小
反映了函数在一点处变化 ( 增大或减小 ) 的快慢 .
前页 结束后页
三、左导数与右导数
左导数 : .)()(
lim)( 00
00 x
xfxxfxf
x
右导数 : .)()(
lim)( 00
00 x
xfxxfxf
x
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
,)()(
lim)(0
00
0 xx
xfxfxf
xx
.)()(
lim)(0
00
0 xx
xfxfxf
xx
定理 3.1 y = f (x) 在 x =x0 可导的充分必要条件是
y = f (x) 在 x=x0 的左、右导数存在且相等 .
前页 结束后页
三、导数的几何意义
当自变量 从变化到 时,曲线 y=f(x) 上的点由 变到
)).(,( 00 xxfxxM
此时 为割线两端点 M0 ,
M 的横坐标之差,而
则为 M0 , M 的纵坐标之
差,所以 即为过 M0 ,
M 两点的割线的斜率 .
0x
)).(,( 000 xfxM
x
y
x
y
xx 0
M0
M
0x xx 0
前页 结束后页
曲线 y = f (x) 在点M0处的切线即为割线M0M 当 M 沿曲
线 y=f(x) 无限接近 时的极限位置M0P ,因而当
时,割线斜率的极限值就是切线的斜率 . 即:0xD
0 0( ) lim limtan tan
x
yf x k
x
所以,导数 的几何意义是曲线 y = f (x) 在点
M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率 .
)( 0xf
M0
M
0x xx 0
P
0M
前页 结束后页
设函数 y=f(x) 在点处可导,则曲线y=f(x) 在点处的切线方程为: 而当 时 , 曲线 在 的切线方程为
0 00
1( ) ( ).
( )y f x x x
f x
0x x ( 即法线平行 y 轴 ).
0x x
0 0 0( ) ( )( ).y f x f x x x
当 时 , 曲线 在 的法线方程为
0( ) 0f x ( )f x0M
而当 时 , 曲线 在 的法线方程为
0( ) 0f x ( )f x 0M
0( )f x ( )f x0M
前页 结束后页
例 3 求函数 的导数
解 : (1)求增量 :
(2)算比值 :
(3)取极限 :
同理可得 :
特别地 , .
2xy
( ) ( )y f x x f x 2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x
xxx
y
2
xxxx
yy
xx2)2(limlim
00
为正整数)nnxx nn ()( 1
1 1( ) ( )x n
前页 结束后页
例 4 求曲线 在点 处的切线与法线方程 .
解 : 因为 , 由导数几何意义 , 曲线
在点 的切线与法线的斜率分别为 :
于是所求的切线方程为 :
即
法线方程为 :
3xy )8,2(23 3)( xx 3xy
)8,2(
12
11,12)3(
122
2
21 k
kxykxx
)2(128 xy
01612 yx
)2(12
18 xy
即 09812 yx
前页 结束后页
2.1.4 可导性与连续性的关系
定理 2 若函数 y = f (x) 在点 x0 处可导,则 f(x) 在点 x0 处连续 .
证 因为 f (x) 在点 x0 处可导,故有 0 0( ) lim .
x
yf x
x
根据函数极限与无穷小的关系 , 可得 :
0 0( ) lim 0.
x
yf x
x
,其中
两端乘以 得 : 0( )y f x x x x
由此可见 : 00 0lim lim( ( ) ) 0.x x
y f x x x
即函数 y = f (x) 在点 x0 处连续 . 证毕 .
前页 结束后页
例 5 证明函数 在 x=0 处连续但不可导 .| |y x
证 因为0
lim | | 0x
x
所以 在x =0连续
| |y x
0 0(0) lim lim 1
x x
y xf
x x
1limlim)0(00
x
x
x
yf
xx
而
即函数 在 x=0 处左右导数不相等 , 从而在| |y x x=0 不可导 .由此可见,函数在某点连续是函数在该点可导的必要
条件,但不是充分条件
即可导定连续 , 连续不一定可导 .
前页 结束后页
设函数 u(x) 与 v(x) 在点 x 处均可
导,则 :
定理一
);()()]()()[1( ''' xvxuxvxu
),()()()()]()()[2( ''' xvxuxvxuxvxu
uCCuCCxv ) (,()(, 则为常数)特别地
2)]([
)()()()(
)(
)()3(
xv
xvxuxvxu
xv
xu
( ) 1,u x
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则2.2 导数的运算
特别地 , 如果
可得公式 2
1 ( ) ( ( ) 0)
( ) [ ( )]
v xv x
v x v x
前页 结束后页
wvuwvu )(
注:法则( 1 )( 2 )均可推广到有限
多个可导函数的情形
wuvwvuvwuuvw )(
例:设 u=u(x),v=v(x),w=w(x) 在点 x 处均
可导,则
前页 结束后页
)3lnsin( 3 xexy x解: )3(ln)(sin)()( 3 xex x
xex x cos3 2
例 2 设 5 2 ,xy x y 求
)(52)(5 xx 2xx
解: )25( xxy
2ln252
25 xx
xx
yxexy x ,求设 3lnsin3例 1
前页 结束后页
)(tan xy )cos
sin(
x
x解:
x
xxxx2cos
)(cossincos)(sin
x
xx2
22
cos
sincos x
x2
2sec
cos
1
即
2(tan ) secx x
2(cot ) cscx x类似可得
例 3 求 y = tanx 的导数
前页 结束后页
)cos
1(
x
x
x2cos
sin
)(sec xy解:
xx
tancos
1
xx tansec 即 (sec ) sec tanx x x
(csc ) csc cotx x x 类似可得
例 4 求 y = secx 的导数
前页 结束后页
定理二 )(xu 如果函数 在 x 处可导,而函数y=f(u) 在对应的 u 处可导,那么复合函数
)]([ xfy 在 x 处可导,且有dy dy du
dx du dx 或 x u xy y u
对于多次复合的函数,其求导公式类似,此法则也称链导法
注:
2.2.2 复合函数的导数
前页 结束后页
xu xuy )1()(sin 2
xu 2cos )1cos(2 2xx
例 7 yxy 求,2lnsin 2
2
2lncos2
2
x
xx
xxx
xy 222
1
2
12lncos
22
2
解:
解: 复合而成可看作 22 1,sin)1sin( xuuyxy
yxy 求),1sin( 2例 6
前页 结束后页
定理三,0)( y且
)( yx 如果单调连续函数 在某区间内可导,则它的反函数 y=f(x) 在对应的区间
内可导,且有1
dy dxdydx
1
( )( )
f xy
或
证 因为 的反函数
( ) ( )y f x x y 是
( ) [ ( )]x y f x 所以有
dx
dy
dy
dx1上式两边对 x 求导得 xy f 1 或
dy
dx
dx
dy1或1
( )( )
f xy
所以
0)( y
dy
dx
2.2.3 反函数的求导法则
前页 结束后页
)内单调且可导,在区间(而2
,2
sin
yx
,0cos)(sin yy y且
解:y = arcsinx 是 x = siny 的反函数
因此在对应的区间( -1 , 1 )内有
)(sin
1)(arcsin
yx x
ycos
1
y2sin1
1
21
1
x
2
1(arcsin )
1xx
x
即
同理2
1(arccos )
1xx
x
2
1(arctan )
1x
x
2
1( cot )
1arc x
x
求函数 y = arcsinx 的导数例 7
前页 结束后页
基本导数公式表为常数)CC (0).(1
为常数) ().(2 1 xx
axxa ln
1).(log3 1
4.(ln )xx
xx ee ).(6
xx cos).(sin7 xx sin).(cos8
2.2.4 基本初等函数的导数
aaa xx ln)(5 .
前页 结束后页
dx
dy
dx
d
dx
yd2
2
即 ,)( yy ])([)( xfxf 或
2
2 )(
dx
xfd,y 记作 ),(xf 2
2
dx
yd 或
二阶导数: )(xfy 如果函数 f(x) 的导函数 仍是 x 的可导函数,就称 )(xfy 的导数为 f(x) 的二阶导数,
n 阶导数:
( ) ( )( ) ( )n
n nn
d d d d yf x f x y
dx dx dx dx
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
高阶导数的计算:运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导
2.3 高阶导数
前页 结束后页
,ln aay x解: nxn aay )(ln)( ,)(ln 2aay x ,
特别地 ,)( xx ee xnx ee )()(,)( xx ee ,
例 9 )(,sin nyxy 求设
)
2sin(
xy )
2cos(
x )
22sin( x
解: )(sin xy xcos )2
sin(
x
)
22sin(
xy )2
3sin( x
……
)2
sin()( nxy n 即 ( )(sin ) sin( )
2nx x n
同理 ( )(cos ) cos( )2
nx x n
)(, nx yay 求设 例 8
前页 结束后页
2
2 x
y
xy ey
e x
1. 隐函数的导数
例 10 求方程 所确定的函数的导数解: 方程两端对 x 求导得
0)2( 2 xy eyxxyye
2. 5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
隐函数即是由 所确定的函数,其求导方法就是把 y 看成 x 的函数,方程两端同时对 x 求导,然后解出 。
( , )F x y
y
2 0y xe x y e
即
前页 结束后页
例 9dx
dyyxy 求设 ),2arctan(
解: 两边对 x 求导得
)21()2(1
12
yyx
y
1)2(
12
yx
y得解出 ,y
前页 结束后页
)1ln( 2
)1( xxx exyy 2可以写成函数解一
][ )1ln( 2
xxey
])1ln([ 2)1ln( 2
xxe xx
)1(
1)1ln( 2
22)1ln( 2
xx
xxe xx
2
222
1
2)1ln()1(
x
xxx x
yxy x 求设 ,)1( 2例 11
前页 结束后页
)1ln(ln 2xxy
两边对 x 求导,由链导法有
xx
xxy
y2
1)1ln(
12
2
2
22
1
2)1ln(
x
xx
2
222
1
2)1ln()1(
x
xxxy x
解二称为对数求导法,可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
注:
两边取自然对数将函数 xxy )1( 2解二
前页 结束后页
)1ln(2
1)43ln(
2
1)1ln(
2
1ln 2 xxxy
解:将函数取自然对数得
)1(2
1
)43(2
3
1
12
xxx
xy
y
两边对 x 求导得
22
3 1( 1)(3 4)( 1)
1 2(3 4) 2( 1)
xy x x x
x x x
所以
yxxxy 求设 ,)1)(43)(1( 2例
12
前页 结束后页
且 )(tx )(),( tytx 设 均可导 , 具有单值连续反函数 )(1 xt ,则参数方程确定的函数可看成 )(ty 与 )(1 xt 复合而成的函数,根据求导法则有:
求得 y 对 x 的导数
对参数方程所确定的函数 y=f(x), 可利用参数方程直接
dy dy dt
dx dt dx
dtdxdt
dy 1
)(
1)(
tt
( )
( )
t
t
此即参数方程所确定函数的求导公式
2. 参数方程所确定的函数的导数变量 y 与 x 之间的函数关系有时是由参数方程
)()({ tx
ty
确定的,其中 t 称为参数
前页 结束后页
解:曲线上对应 t =1 的点( x, y) 为( 0,0 ) ,
曲线 t =1 在处的切线斜率为
1
tdx
dyk
1
2
2
31
tt
t
12
2
于是所求的切线方程为 y = - x
12
3{
tx
tty求曲线 在 t =1 处的切线方程例 13
前页 结束后页
解 如图,正方形金属片的面积 A 与边长 x 的函数关系为 A = x2 , 受热后当边长由
x0 伸长到 x0+ 时 , 面积 A
相应的增量为
x
2.6.1 微分的概念例 1 设有一个边长为 x0 的正方形金属片,受热后它的
边长伸长了 ,问其面积增加了多少?x
20
20
20 )(2)( xxxxxxA
2.6 微分
前页 结束后页
的线性函数 同阶的无穷小;时与是当 xxxx 0,2 0
从上式可以看出,xA 是分成两部分:第一部分xA 是分成两部分:第一部分
高阶的无穷小。时比是当第二部分 xxx 0,)( 2
这表明 的近似值:数作为很小时,可用其线性函 Ax
02 .A x x
这部分就是面积 A 的增量的主要部分(线性主部)
,2)()( 02
0 0xxx xx A因为
所以上式可写成 0( ) .A A x x
前页 结束后页
)()( 00 xfxxfy 可以表示为
定义 设函数 )(xfy 在点 0x 的某邻域内有定义,
处的增量0x在点)(xf如果函数
),( xoxAy
0 0 d | d | .x x x xy y A x,即
于是 , ( 2.3.1) 式可写成0xxdAA
处的微分,0x)(xfxA 可微, 称为 在点
0x 处在点)(xf高阶的无穷小,则称函数时0x)( xo x其中 A 是与 无关的常数, 是当
比 x
记为
前页 结束后页
由微分定义,函数 f (x) 在点 x0 处可微与可导等价,且 0( )A f x , 因而 )(xf 在点 x0 处的微分可写成
0 0d ( )x xy f x x
0 0d ( )dx xy f x x
于是函数通常把 x 记为 ,称自变量的微分,
上式两端同除以自变量的微分,得 d( )
dy
f xx
因此导数也称为微商.
可微函数:如果函数在区间 (a , b) 内每一点都可微, 则称该函数在 (a , b) 内可微。
d ( )dy f x x
f (x) 在点 x0 处的微分又可写成d x
f(x) 在 (a,b) 内任一点 x 处的微分记为
前页 结束后页
解: 0201.0101.1)( 2222 xxxy
例 2 求函数 y=x2 在 x=1, 01.0x 时的改变量和微分。
于是
1 10.01 0.01
d 2 0.02x xx x
y x x
面积的微分为 d 2 .rs s r r r
.)(2)( 222 rrrrrrs
解:面积的增量
面积的增量与微分.
r当半径增大2rs 例 3 半径为 r的圆的面
积 时,求
2d ( ) 2y x x x x 在点 1x 处,
前页 结束后页
2.6.2 微分的几何意义
x当自变量 x 有增量 时,切线 MT 的纵坐标相应地有增量
tan ( ) dP x f x x y Q
( , )M x y
因此,微分d ( )y f x x
几何上表示当 x有增量 x 时,曲线 ( )y f x 在对应点 处的切线的纵坐标的增量. y用d y近似代替dy y PN 就是用 QP 近似代替 QN ,并且
tan ( )f x
设函数 y = f (x) 的图形如下图所示 . 过曲线 y = f (x) 上一点M(x,y) 处作切线 MT, 设 MT 的倾角为 则,
y
( )y f x
M
N
O x
y
d y
x x x
Q
P
前页 结束后页
2.6.3 微分的运算法则1. 微分的基本公式:(1) d 0 ( )C C为常数
1(2) d d ( ) a ax ax x a 为常数
(4) de e dx x x
1(6) d ln dx x
x
(8) dcos sin dx x x
(3) d ln d ( 0 1)x xa a a x a ,a
1 1(5) d log d ( 0 1)
lna x x a ,ax a
(7) dsin cos d x x x
前页 结束后页
2
1(16) d arccot d
1x x
x
2
1(14) d arccos d
1x x
x
2
1(13) darcsin d
1x x
x
2
1(15) d arctan d
1x x
x
2(10) dcot csc dx x x2(9) d tan sec dx x x
(12) dcsc csc cot dx x x x(11) dsec sec tan dx x x x
续前表
前页 结束后页
2. 微分的四则运算法则
设 u=u(x) , v=v(x) 均可微 ,则
d( ) d d ;u v u v
d( ) d d ;uv v u u v
d( ) dCu C u ( C 为常数);
2
d dd
u v u u vv v
0( ).v
前页 结束后页
3 .复合函数的微分法则都是可导函数,则( ) ( )y f u u x ,设函数
的微分为)]([ xfy 复合函数
d ( ) d ( ) ( )dx
y f x x f u x x
利用微分形式不变性,可以计算复合函数和隐函数的微分 .
这就是一阶微分形式不变性 .
可见,若 y=f(u) 可微,不论 u 是自变量还是中间变量,d ( )dy f u u总有
而 d ( )du x x uufy d)(d 于是
前页 结束后页
解: )32(322
1)32( 2
2
2
xx
xx
y
dd
232
6
x
x
2
6d d .
2 3
xy x
x
解:对方程两边求导,得 04222 yyyxyx
)(xfy
d y的导数 dd
yx
与微分
例 5 求由方程 122 22 yxyx 所确定的隐函数
即导数为 xyyx
y
微分为 d dx y
y xy x
例4
.,32 2 yx
yxy d
dd与求设
前页 结束后页
由以上讨论可以看出,微分与导数虽是两个不同的概念,但却紧密相关,求出了导数便立即可得微分,求出了微分亦可得导数,因此,通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法. 在高等数学中,把研究导数和微分的有关内容称为微分学.
前页 结束后页
2.6.4 微分在近似计算中的应用
0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x
或写成 0 0 0( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x ( 1 )
上式中令 00 xx
( 2)
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ).f x f x f x x x
,则
特别地 , 当 x0=0 ,x 很小时 , 有
( ) (0) (0)f x f f x ( 3 )公式 (1) (2) (3) 可用来求函数 f(x) 的近似值。
0( ) 0f x ,且 x 很小时,我们有近似公式在 x0 点的导数( )y f x由微分的定义可知,当函数
前页 结束后页
注: 在求 )(xf 的近似值时,要选择适当的 0x ,使
)( 0xf , )( 0xf 容易求得,且 0xx 较小.
应用( 3 )式可以推得一些常用的近似公式 , 当x 很小时 , 有
(1) xx sin (x用弧度作单位)
(3) xex 1
(4) xx )1ln( (5) xn
xn 111
(2) xx tan ( x用弧度作单位)
前页 结束后页
例 6 .46sin 的近似值计算
则 18010
xx
解 : 设 ,sin)( xxf 取 46x , 4
450
x
于是由( 2 )式得
).(cossinsin 000 xxxxx
719.01802
2
2
2
1804cos
4sin46sin
即
top related