第 3 章 单相正弦交流电路
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在日常生活中所用的就是单相正弦交流电,简称交流电。本章主要介绍交流电的相量表示法及电阻、电感、电容元件在交流电路中的电流、电压和功率的分析法。
第 3 章 单相正弦交流电路
幅值、频率和初相 3.1.1 幅值交流电的瞬时值表达式为 u = Umsin(ωt + ψ) (3.1)
Um 幅值 , 又称最大值。
有效值 U 与幅值的关系为 ( 3.2 )
3.1 交流电的三要素
UU 2m
每秒内交流电变化的次数,称为频率 f ( Hz )。交流电变化一次所需要的时间称为周期 T ( s )。频率与周期的关系为 ( 3.3 ) f = 50Hz 称为工频。 ω ( red / s ) 称为角频率。
ω = 2πf = (3.4)
Tf
1
T
2
3.1.2 频率
已知我国的交流电 f = 50 Hz, 试求 T 和 ω 。
解:
ω = 2πf = 2×3.14×50 = 314rad/ s
sf
T 02.050
11
【例 3.1 】
u = Umsin(ωt + ψ)
(ωt + ψ) 称为相位。它表示交流电在某一时刻所处的变化状态,决定该时刻瞬时值的大小、方向和变化趋势。 ψ 称为初相,它表示计时开始时交流电所处的变化状态幅值、频率和初相分别表示交流电变化的幅度、快慢和起始状态。称为交流电的三要素。
3.1.3 初相
交流电的相量表示法是为了便于分析和计算。 用复数的运算方法进行交流电的分析和计算,称为交流电的相量表示法。
3.2 交流电的相量表示法
图 3.2 称为复平面图, A 为复数,横轴为实轴 +1 , a 是 A 的
实部, A 与实轴的夹角 ψ 称为辐角,纵轴为虚轴 j = 。
b 是 A 的虚部, r 为 A 的模。这些量之间的关系为
3.2.1 复数的二种表示形式
1
a
b
bar
rb
ra
arctan
sin
cos
22
交流电的相量 交流电的有效值 I = r交流电的初相 ψ = ψ
3.2.2 相量与复数
a
b
ba
b
a
I
I
III
II
II
arctan
sin
cos
22
相量只是正弦交流电的一种表示方法和运算的工具,
只有同频率的正弦交流电才能进行相量运算,所以相
量运算只含有交流电的有效值(或幅值)和初相两个
要素。
3.2.3 相量的运算
已知 u1 、 u2 的有效值分别为 U1 = 100V , U2
= 60V , u1 超前于 u2 600 ,求 (1) 总电压 u = u1 + u2
的有效值,并画出相量图; (2) 总电压 u 与 u1 及 u2 的
相位差。 解:只有同频率的交流电才能进行相量运算 ,所以 =
=ψ1 - ψ2 = 600 ,如选 ψ1 = 00 ,则
【例 3.2 】
单一参数是指在电路中只有电阻 R 、电感 L
或电容 C 其中的一种元件。掌握了单一参数在电路中的作用,混合参数电路的分析就很容易掌握了。
3.3 单一参数的交流电路
1 . R 上电压与电流关系如选择 i = Imsinωt
则 u = Ri = RImsinωt = Umsinωt
u 与 i 同频同相。其有效值及相量的关系分别为 U = RI
3.3.1 电阻电路
p = ui = UmImsin2ωt = U I (1 - cos2ωt)
= U I - U Icos2ωt
平均功率为 P = UI = I2R =
P 为正值, R 吸收功率为耗能元件
P 又称有功功率
2.R 上功率
R
U 2
1 . L 上电压与电流关系如 i = Imsinωt 则 电感电路 u 超前 i 900 ,有效值的关系为 U = XL I XL = ωL = 2πf L , XL ( Ω )称为感抗, f 愈高 XL愈大。
3.3.2 电感电路
)90sin(cossin 0 tUtLIdt
tdIL
dt
diLu mm
m
p = ui = UmImsin(ωt + 900)sinωt
= UmImcosωtsinωt = UIsin2ωt
在 0-π/2 区间 p 为正值,电感吸收
功率,在 π/2-π 区间 p 为负值,电感
发出功率,不消耗功率,为储能元件。
电感的平均功率 P = 0 。电感与电源之间能量的互换用无功功率 Q 来计量。
Q = UI = I2XL = (var)
2. L 上功率
LX
U 2
在功放机的电路中,有一个高频扼流线圈,用来阻挡高频而让音频信号通过,已知扼流圈的电感 L = 10mH ,求它对电压为 5 伏,频率为 f1 = 500kHz 的高频信号及对 f2 = 1kHz 的音频信号的感抗及无功功率分别是多少?
解: XL1 = 2πf1 L = 2×3.14×500k×10m = 31.4kΩ
Q1 = I1U = 0.16m×5 = 0.8mvar
XL2 = 2πf2 L = 2×3.14×1k×10 m = 62.8Ω
Q = I2U = 79.62 m×5 = 398mvar
【例 3.3 】
mA16.0k4.31
51
LX
UI
mA62.798.62
5
22
LX
UI
1 . C 上电压与电流关系如 u = Umsinωt 则
电容 i 超前 u900 ,有效值 U = XC I ( Ω )
XC 称为容抗,与频率 f 成反比, f 愈高 XC 愈小。电容有隔直通交作用。电容两端的电压与电流的相量关系为
3.3.3 电容电路
)90sin(cossin 0 tItCU
dt
tdUC
dt
duCi mm
mC
fCCX C 2
11
p = ui = UmImsinωtsin(ωt + 900) = UmImsinωtcosωt = UIsin2ωt
在 0-π/2 区间 p 为正值,电容吸收功率,在 π/2-π 区间 p 为负值,电容发出功率,不消耗功率,也为储能元件。
P = 0 ,电容与电源之间互换的能量用无功功率 Q来计量,单位是乏( var )
2. C 上功率
CC X
UXIUIQ
22
在收录机的输出电路中,常利用电容来短掉高频干扰信号,保留音频信号。如高频滤波的电容为0.1μF ,干扰信号的频率 f1 = 1000KHz ,音频信号的频率 f2 = 1kHz ,求容抗分别为多少?
解:
【例 3.4 】
6.10.1μk100014.32
1
2
1
11 Cf
X C
k6.10.1μk114.32
1
2
1
22 Cf
X C
3.4.1 阻抗三角形
R 、 L 、 C 串联后对电流的阻碍作用称为 阻抗,用字母 Z ( Ω )表示,复数式为 Z = R + jXL + ( - jXC) = R + j(XL - XC) = R + jX
X ( Ω )称为电抗 X = XL - XC
阻抗值为
|Z| 、 R 、 X 三者之间符合直角三角形的关系,称其为阻抗三角形。
阻抗角 = arctan
3.4 电阻、电感、电容串联的电
2222 )( CL XXRXRZ
R
X
与 之间的相位差 = ψu - ψi = arctan = arctan
U
I R
X
U
U
R
X
3.4.2 电压三角形
2222 )( CLRXR UUUUUU Z
UI
将电压三角形的各个边乘以电流 I ,就可得到功率三角形。
P = UR I = S cos ( W )
Q = QL - QC=S sin ( var )
S = U I = = ( VA )
阻抗三角形、电压三角形和功率三角形是分析计算 R 、L 、 C 串联或其中两种元件串联的重要依据。
22 QP cos
P
3.4.3 功率三角形
功率因数:
在只有电感或电容元件的
电路中, P = 0 , S = Q , = 0 ;
在只有电阻元件的电路中,
Q = 0 , S = P , = 1 ;
当 L 很大时,并接电容提高功率因数
3.5 功率因数的提高
cosS
P
)tan(tan 12
U
PC
某供电设备输出 220V ,额定视在功率为 220kVA ,如果向额定功率为 33kW ,功率因数为 0.8 的工厂供电,能供给几个工厂?若把功率因数提高到 0.95 ,又能供给几个工厂?每个工厂应并接多大的电容?
解:供电设备输出的额定电流为
当 1 = 0.8 时,每个工厂取用的电流为
可供给的工厂数为 个厂
当 = 0.95 时,每个工厂取用的电流为
可供给的工厂数为 1 个厂
应并接的电容
式中 1 = arccos0.8 = 36.90 = arccos0.95 = 18.20
916μF
【例 3.5 】
kA1220
k220
U
SI N
1
A5.1870.8220
k33
11
U
PI
55.187
1000
1
I
I N
A9.1570.95220
k33
U
PI
69.157
1000
I
I N
)tan(tan 12
U
PC
)2.18tan9.36(tan
2205014.32
100033 002
C
所谓谐振,是指在含有电容和电感的电路中,当调节电路的参数或电源的频率,使电路的总电压和总电流相位相同时,整个电路的负载呈电阻性。这时电路就发生了谐振。谐振分为串联谐振和并联谐振。
3.6 电路中的谐振
R 、 L 、 C 串联
当 与 同相时 ,
即 = 0 ,
电路产生串联谐振。
串联谐振的条件是
XL = XC 即
3.6.1 串联谐振
U
I
CfLf
00 2
12
LCf
2
10
( 1 )电路的阻抗最小并呈电阻性,根据阻抗三角形
( 2 )电路中的电流最大,谐振时的电流为
( 3 )当 XL = XC>> R 时, UL = UC>> U 故又称其为电
压谐。
串联谐振电路的品质因数
串联谐振的特点:
RXXRZ CL 220 )(
R
U
Z
UI
00
R
L
CRU
U
U
UQ LC 0
0
1
某收音机的输入电路,各地电台发射的无线电波在
天线线圈中分别产生感应电动势 e1 、、 e2 、 e3等。如果线圈
的电阻为 16Ω ,电感为 0.3mH ,今欲收听中央人民广播电台 5
60kHz 的广播,应将调谐的可变电容 C调到多少?如果调谐回
路中感应电压为 2μV ,求谐振电流及谐振线圈上的电压 UL 及
谐振电路的品质因数 Q 。
【例 3.
6 】
解: 串联谐振频率
电容
谐振时
XL = 2πf0L = 2×3.14×560k×0.3m = 1kΩ
UL = I0XL = 0.13μ×1k = 130μV
LCf
2
10
pFLf
C 269m3.0k)56014.32(
1
)2(
122
0
A13.016
20
R
UI
652
130
U
UQ L
当 R<< ωL , 同相时,即 = 0 ,电路产生并联谐振。并联谐
振 的条件是 XL = XC 。谐振频率。
并联谐振的特点:
( 1 )阻抗最大,呈电阻性,
( 2 )电路的总电流量小,
( 3 )谐振总电流 和 支路电流的相量关系如图。 并联谐振各支路电流大于总电流,所以并联谐振又称其为电流谐振。
3.6.2 并联谐振
LCf
2
10
RC
LZ 0
00 Z
UI
1. 幅值、频率和初相是正弦交流电的三要素 。2. 正弦交流电主要有瞬时表达式,波形图和相量表示法三种形式。相量表示法是利用复数的运算方法对正弦交流电进行分析和运算。3. 电阻电路电压与电流同相,电感电路电压超前电流 900 ,电容电路电压滞后电流 900. 电阻为耗能元件,电感、电容均为储能元件。利用相量图可得出 R 、 L 、 C 串联电路的阻抗三角形、电压三角形和功率三角形。4. 串联谐振的条件是 XL = XC , 同相。特点是阻抗最小 |Z0| =
R , 电流最大,如果 XL = XC >> R ,则 UL = UC>> U ,所以串联谐振又称电压谐振。并联谐振在 R<< XL 时,(一般情况都能满足),其谐振条件也为 XL
= XC , 同相。特点是阻抗最大,总电流 I0 最小, IL≈IC>> I0
所以并联谐振又称电流谐振。
本章小结
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