第 2 章 单相交流电路
DESCRIPTION
第 2 章 单相交流电路. 2.1 交流电的基本知识. * 2.8 电阻、电感和电容串 联电路及谐振. 2.2 正弦交流电的表示 法. * * 2.9 电感线圈与电容并联 电路. 2.3 正弦交流电的相加 与相减. 2.10 电路的功率因数. 2.4 纯电阻电路. 2.5 纯电感电路. * * 2.11 电阻、电感和电容并 联电路及谐振. 2.6 纯电容电路. 2.7 电阻与电感串联电路. 2.1 交流电路的基本知识. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
2.1 交流电的基本知识2.2 正弦交流电的表示 法2.3 正弦交流电的相加 与相减
2.5 纯电感电路2.6 纯电容电路
2.4 纯电阻电路
2.7 电阻与电感串联电路
* 2.8 电阻、电感和电容串 联电路及谐振
* * 2.9 电感线圈与电容并联 电路
2.10 电路的功率因数
* * 2.11 电阻、电感和电容并 联电路及谐振
第 2 章 单相交流电路
2.1.1 交流电的基本概念
2.1.2 正弦交流电的相关量
2.1 交流电路的基本知识
大小和方向随时间作周期性变化，并且在一个周期内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电。
2.1.1 交流电的基本概念
电路中物理量的表示方法：
电路图中标出的 US 、 i 、 u 的方向是电压、电动势和电流的参考方向，由于实际方向反复变化，与参考方向相同的为正，反之为负。
直流电用大写的英语字母表示，如： E 、 I 、 U 。交流电用小写的英语字母表示，如： e 、 i 、 u 。
2
O+
i
US
即描述正弦交流电特征的物理量1 ．周期 (T)
正弦量变化一次所需的时间，单位为秒 (s) 。
2 ．频率 (f ) 单位时间内完成的周期数，单位为赫 [ 兹 ] (Hz) 。 频率与周期互为倒数。
T 、 f 、 之间的关系
2O
生产和生活中常用的是正弦交流电，简称交流电。
3 ．角频率 () 单位时间内变化的电角度，单位为弧度 / 秒 (rad/s)
2.1.2 正弦交流电的相关量
频率范围及他们的应用
4 ．瞬时值
5 ．最大值
6 ．有效值
正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表示，如： i 、 u 、e 。
瞬时值中最大的值，也称幅值。用带下标 m 的大写字母表示，如： Im 、Um 、 Em 。
交流电流 i 通过电阻 R 在一个周期内产生的热量与某直流 I 通过同样的电阻在相等的时间内产生的热量相等，该直流 I 的数值就定义为交流电流 i 的有效值。
O
根据上述定义，可得
mm 707.02
II
I
同理：
mm
mm
707.02
707.02
EE
E
UU
U
一般情况人们所说的交流电压或电流的大小，以及测量仪表所指示的值都是有效值。
有效值用大写字母表示，如 U 、 I 、 E 。
7 ．相位 图示交流电流的波形可用数学式表示为
tIi sinm它的初始值为零
)sin( 0m tIi
数学式表示为
它的初始值不为零
计时起点 (t = 0) 不同，正弦量的初始值就不同；到达最大值或某一特定值所需时间也就不同。
i
tO0
2O
在 t = 0 时刻以前，正弦交流电具有的角度称为初相角，用 表示，简称初相。0
7 ．相位
而 )( 0 t 称为相位角，简称相位。 相位能反映正弦交流电流变化进程。例如，图示波形 在相位
2
1)( 0 t
时，电流为最大；当 )( 0 t 电流为零。
相位和初相位的单位都是弧度。
i
tO0
8 ．相位差两个同频率正弦交流电的相位之差。
相位差可以比较两个同频率正弦量之间的相位关系( 如超前或滞后，同相或反相 ) 。
设两个同频率交流电流
)sin(
)sin(
02m22
01m11
tIi
tIi
相位差为02010201 )()( tt
由于两个电流的频率相同，所以相位差等于初相位之差。
O t
iu
iu
[ 例 ] ：两正弦量为
)90 sin(m tUu
)30 sin(m tIi
30
90
相位差
603090
则称电压超前电流 60 或电流滞后电压 60 。 而超前是指：电压总比电流先经过对应的最大值或零值。
相位差角要用小于或等于 表示。
60
t
i
O
i1
i2
i3
i1 与 i2 同相 , = 0
i1 与 i3 反相 , =
2.2 正弦交流电的表示法
2.2.1 波形图表示法
2.2.2 解析式表示法
2.2.3 旋转矢量表示法
O
要把正弦量的三要素特征表示出来。
可以直观地表达出交流电的特征。
最大值 ImIm
角频率 或周期 T
T 初相角 0(0 = 0)
Im
0
2.2.1 波形图表示法
u
i
UtUu
ItIi
sin)sin(
sin)sin(
mom
mom
mm 707.02
II
I
mm 707.02
UU
U
式中： α=ωt+φ0 为该正弦交流电压的相位
2.2.2 解析式表示法
[ 例 ]
)sin( 0m tIi矢量以角速度 逆时针旋转。
)sin( 0m tIi
正弦量用矢量表示后，可以将复杂的三角函数运算转换成矢量运算，简化了运算过程。 旋转矢量表示法：选一矢量其长度表示交流电的最大值 ( 或有效值 ) ；矢量与横轴的夹角表示初相角， > 0 在横轴的上方， < 0 在横轴的下方；
2.2.3 旋转矢量表示法
[ 解 ]
A)6
(2sin3
A)3
(2sin2
2
1
ti
ti
[ 例 ] 某两个正弦交流电流，其最大值为 A
和 A ，初相角为 ，和 63
角频率为 作出它
们的旋转矢量，写出其对应的解析式。
22
23
选定 和 为矢量长度，在横轴上方2322
6
3
和 角度作矢量，且以角速度 逆时
对应的 解析式为与下方
针旋转。
两个同频率交流电流，旋转的速度一样，则两个旋转矢量在空间的相对位置固定，这样，可将旋转矢量看成在 t = 0 时刻的相对静止矢量 ( 不需标注 ) 。
从矢量图上可求出相位差，即两矢量之间的夹角；
从矢量图上可判断正弦量的相位关系，逆时针在前的为超前，图示矢量为 i1 超前 i2 角 /2 。
动画：正弦量的旋转矢量表示法
动画：正弦量解析式、波特图、矢量图相互转换
2.3.1 波形合成法
2.3 正弦交流电的相加和相减
2.3.2 矢量运算法
用已知的两个同频正弦交流电各瞬时值逐点相加的方式，描述出相加的波形图。
[ 例 ]
[ 解 ]
21
20m2210m11
)sin( )sin(
iii
tIitIi
求
和
O t
ii
i1 i2
合成波形如图示。 若计算两电流之差，可采用
)( 2121 iiiii
2.3.1 波形合成法
由波形合成法知：
一般情况下 Im≠ I1m+ I2m
当 0 = 01 02 = 0 时， Im ＝ I1m+ I2m
当 0= 01 02 = 时， Im ＝ I1m － I2m
将已知的两个或几个同频率的正弦交流电矢量作在同一坐标图中，利用矢量的平行四边形法则求其矢量和。矢量和的长度和辐角即为交流电求和后的最大值 ( 或有效值 ) 和初相角。
例
解
图为两个正弦量的矢量，试求 u1 + u2 。
作平行四边形
)53sin(250 tu
U2=40V
U1=30V
U
2.3.2 矢量运算法
V 50V4030 2222
21 UUU
53arctan 1
2
U
U
例 图示为两个交流电流的波形，求 i1 + i2 。
02m201m1m2m1m coscos IIIII xxx 02m01mm2m1m sinsin yxyyy IIIII
22
mmm yx III
m
m
0arctan
x
y
I
I
i1 、 i2 、 i 的角频率相相相
相相 i = i1 + i2 = Imsin (t + ) 0
2.4 纯电阻电路
2.4.1 电流与电压的关系
2.4.2 功率
+
设电阻两端输入正弦电压tUu sinm
根据欧姆定律
tR
U
R
ui sinm
tIi sinm电流与电压的关系为 :
(1)u 和 i 的频率相同；(2)u 和 i 的相位相同；
(3)u 和 i 的最大值、有效值满足欧姆定律
R
UI
R
UI ;m
m
u
2.4.1 电流与电压的关系
纯电阻电路波形图与矢量图
u
+
t
i
O
uu
i
U
I
1 ．瞬时功率
tUItIU
tItUuip
2
2mm
m
sin2sin
sinsin
m
2 ．有功功率
u
tOi
p
O t
P = U I 取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电路消耗的功率，称为有功功率
R
UIRUIP
IUP
22
mm
2
或
有功功率是定值
P
2.4.2 功率
例 电炉的额定电压 UN = 220 V ，额定功率 PN = 1 000 W ，在 220 V 的交流电源下工作，求电炉的电流和电阻。使用 2 h ，消耗电能是多少？
解 由于电炉可以看成纯电阻负载，所以
A55.4A220
1000
N
NN
U
PI
电炉的电阻为
Ω4.48Ω55.4
220
I
UR
工作 2 h 消耗的电能为hkW2hW0002hW21000 PtW
2.5.1 电流与电压的关系
2.5 纯电感电路
2.5.2 功率
忽略电阻的线圈接在交流电源上称为纯电感电路。
u
设通过线圈的电流为tIi sin
m
由于电流的变化在线圈中产生自感电动势 eL ，形成电压。在图示 u 与 e
L 的参考方向下 Leu
由理论推导可得 )2
(sin)2
(sin mm
tUtLIu
2.5.1 电流与电压的关系
tIi sinm)
2sin()
2sin( m
tUtLIu
比较 i 与 u 式
(1)i 与 u 的频率相同 ;
(3)i 与 u 最大值与有效值关系为
(2)i 与 u 相位差 ,2
即电压超前电流 ，
2
2
或说电流滞后电压 ；
Um = LIm
U = XLI
Um = XL Im
XL = L = 2 f L 其中
称为电感的电抗，简称感抗，单位是 () 。
纯电感电路电压和电流的波形图与矢量图
t
i
O
uu
i
u
U
XL
f
2f L
1 ．瞬时功率
tUI
ttIU
tItUuip
2sin
sincos
sin)2
πsin(
mm
mm
2 ．有功功率 有功功率 是瞬时功率在一个周期内的平均值。显然 P = 0
3 ．无功功率 纯电感元件的交流电路中只有能量互换，将能量交换时功率的最大值称为无功功率 Q 。
Q = UI = XLI2 单位：乏 (var)
u,i,p
O
P>0 线圈从电源吸收电能P<0 线圈从电源送回电能
2.5.2 功率
解
例 纯电感线圈，电感 L = 300 mH,接至)V( sin2220 tu 的工频电源上，求电感线圈的
电流有效值和无功功率；若改接在有效值为 100 V 交流电源上，测得其电流为 0.4 A ，求该电源的频率是多少？
(1) f = 50 Hz 时XL = L = 2fL
= 2×3.14 × 50 × 0.3
= 94.2
A34.2A2.94
220
LX
UI
Q = UI = 220× 2.34 var
= 514.8 var
(2)接 100 V 交流电源时
Ω250
Ω4.0
100
I
UX L
Hz133
Hz3.014.32
250
2
f
Xf L
2.6.1 电流与电压的关系
2.6.2 功率
2.6 纯电容电路
电容损耗很小，一般情况下可看成纯电容。
设通过电容的电压为
tUu sinm 其 u 与 i 参考方向如图所示
t
uC
t
Cu
t
qi
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
由理论推导可得 )
2sin()
2sin( mm
tItCUi
u
+
2.6.1 电流与电压的关系
u
+
比较 u 与 i 式
(1)u 与 i 的频率相同 ;
(3)i 与 u 最大值与有效值关系为
(2) 电流超前电压 ，2
2
或电压滞后电流 ；
Im = CUm U = XCI
其中 称为电容的电抗，简称容抗，单位欧 () 。
tUu sinm)
2sin()
2sin( mm
tItCUi
CfCXC
2
11
mm
1U
XI
C
纯电感电路电压和电流的波形图与矢量图
t
i
O
uu
i
u
U
XL
f
2f L
1 ．瞬时功率
tUIuip
2sin
2 ．有功功率
电容有功功率与电感一样都为零。即 0P
3 ．无功功率 Q
Q = U I = XC I2 单位：乏 (var)
u
i
u
O
p>0 ，电容储存电压p<0 ，电容释放电压
2.6.2 功率
[ 例 ] 有一个 50 F 的电容器，接到 的工频交流电源上，求电容的电流有效值和无功率。若将交流电压改为 500 Hz 时，求通过电容器的电流为多少？
μ V)(sin2220 tu
Ω64Ω10505014.32
1
2
116
fCCXC
A4.3A64
220
CX
UI
var748var4.3220 UIQ
电容电流由式 (2.38) 求得 无功功率由式 (2.41) 求得
[ 解 ] （ 1）电压 的工频交流电压的有效值为 220V ，频率为 50Hz ，电容容抗为
V)(sin2220 tu
A4.34A4.6
220
CX
UI
Ω4.6Ω105050014.32
1
π2
116
fCCXC
电容容抗为
电容电流为
(2) 当 f = 500 Hz 时
[ 解 ]
2.7 电阻与电感串联电路
2.7.1 电流与电压的关系
2.7.2 功率
设电路中的电流
tIi sinm
电阻与电感两端的电压为
tUtRIu RR sinsin mm
)2π
sin()2π
sin( mm tUtXIu LLL
)2
πsin(sin mm tUtUuuu LRLR
)sin(m tUu
电源电压
uL
uR
u
2.7.1 电流与电压的关系
)2
πsin(sin mm tUtUuuu LRLR
)sin(m tUu
uR
u
uL
(1) 作矢量图求电压 u 的有效值和初相角
UR
I
ULU
根据矢量图可得22LR UUU
R
L
UU
arctan
解之总电压)sin(2 tUu
电压有效值之间为三角形关系
(2) 根据公式 22LR UUU 解出电压与
电流有效值之间关系
22
22
)()( IXRI
UUU
L
LR
ZI
XRI L
22
22LXRZ
称为电阻和电感串联电路的阻抗，单位欧 () 。
Z 、 R 、 XL 关系构成与电压相似的三角形关系，称阻抗三角形。通过阻抗三角形可求 。
R
X
U
U L
R
L arctanarctan 注意：阻抗三角形不是矢量关系
1 ．有功功率 有功功率即电阻消耗的功率
P URI UI cos
2 ．无功功率
式中： UR = Ucos 总为电压的有功分量； = cos 称功率因数； 称功率因数角。即电路中总电压与总电流的相位差。
电感与电源进行能量交换形成无功功率。Q = ULI = UI sin Usin 称为总电压的无功分量。
I
ULU
UR
2.7.2 功率
3 ．视在功率 电路中电流和电压的乘积定义为视在功率，即
S = UI 单位是伏安 (V·A)
S 、 P 、 Q 的关系为三角形关系，与电压、阻抗三角形相似
22 QPS
I
UL
P
QS
R
XLZ
U
UR
P
Qarctan
[ 例 ] 电阻和电感串联电路中，已知 XL = 6.24 k ，电流滞后电压 82 ，试求电阻。
[ 解 ]
877Ω
82tan
1024.6
tantan
3
LL X
RR
X
[ 例 ] 在实际线圈上加 12 V 直流电压，测得直流电流 I = 2 A ；加交流工频 220 V 电压，测得有效值电压 I = 22 A,求线圈的电阻 R 和电感 L 。
[ 解 ] 直流电源作用
6Ω2
12
I
UR
交流电源作用 10Ω
22
220
I
UZ
8 22RZX L
H025.02
f
XL L
[ 例 ] 某电动机接在 220 V 工频交流电源上可获得 14 A 电流， 2.5 kW 的有功功率，试求电动机的视在功率 S 、无功功率 Q 和功率因数 。
[ 解 ] 根据视在功率的定义S = UI = 22014 V·A = 3 080 V · A = 3.08 kV · A
因为 P = UIcos = S cos
所以
7.35
812.008.3
5.2cos
S
P
Q =UIsin = Ssin = 3.08 sin35.7° kvar = 1.8 kvar
*2.8 电阻、电感和电容串联电路及谐振
2.8.1 电流与电压的关系
2.8.2 功率
2.8.3 电路呈现的三种性质
2.8.4 串联谐振
–
+
L
–
+
u
C
R
i
uL
uC
uR–
+
–
+
设电路中电流的初相角为零，即
)2
sin()2
sin( mm
tIXtUu LLL
tIi sinmR 、 L 、 C 两端的电压分别为
tRItUu RR sinsin mm
)2
sin()2
sin( mm
tIXtUu CCC
2.8.1 电流与电压的关系
CLR uuuu
– +
L
–
+
u
C
R
i
uL
uC
uR–
+
– +
总电压为
)2
sin(m
tU L tU R sinm
)2
sin(m
tUC
)sin(m tUu (1) 电源电压矢量为电阻、电感和电容电压矢量之和
IUR
U
UL
UC
UC
R
CL
CLR
U
UU
UUUU
arctan
)( 22
电压矢量符合三角形关系
– +
L
–
+
u
C
R
i
uL
uC
uR–
+
–
+
(2) 电路的阻抗
IZ
IXXR
UUUU
CL
CLR
22
22
)(
)(
22 )( CL XXRI
UZ
称为电路的阻抗，单位为22 )( CL XXRZ 欧 () ， Z 、 R 、 XL 、 XC 仍构成与电压相似的三角形。
阻抗角 ，R
X
R
XX CL
arctan X 称为电抗。
1 ．有功功率 R 、 L 、 C 串联电路中只有电阻是耗能元件，电阻功率即为电路中的有功功率
P = URI = RI2 = UIcosUR = Ucos 为总电压 U 的有功分量。
2 ．无功功率为电感和电容无功功率之差。即Q QL- QC = ULI - UC I UX I= I2 X
其中： UL – UC = Usin 为总电压 U 的无功分量。Q = UIsin
I
U
UR
XUUU CL 其中：
2.8.2 功率
3 ．视在功率根据视在功率定义
S = UI 单位是伏安 (V·A) S 、 P 、 Q 的关系为三角形关系，与电压、阻抗三角形相似。
2222 )( CL QQPQPS
I P
QL QCS
U
UR
CL UU
R
XLXC
Z
LP
PQ CL arctanarctan
当 XL > XC , 电路中电压超前电流 角，电路呈感性；当 XL < XC , 则电流超前电压 角，电路呈容性；当 XL = XC , 则电流与电压同相，电路呈阻性。
I
U
UR
UL
UC
ULUC
I
U
UR
UL
UL
UCUC
IUR
UL
UC
UL
= U
UL> UCUL< UC
UL=UC
实际电路中 R 、 L 、 C 及 f 参数不同，电路对外会分别呈现三种性质。
2.8.3 电路呈现的三种性质
[ 解 ] 8.376Ω2.1314LX L
5.318Ω1010314
116C
XC
7 256Ω)5 3188 376( 250
)(
22
22
...
XXRZ CL
A0.857A7.256
220
Z
UI电流有效值为
[ 例 ] R、 L、 C 串联交流电路如图示。已知(V) 314sin2220 tu R = 250 、 L= 1.2 H 、 C = 10
F ，。
求电路中 I 、 UR 、 UL 、 UC 、 URL 和 P 、 Q 、 S 。
– +
L
–
+
u
C
R
i
uL
uC
uR–
+
–
+uRL
+
–
– +
L
–
+
u
C
R
i
uL
uC
uR–
+
–
+uRL
UL = XL I = 376.8 0.857 V = 322.9 V
UC = XC I = 318.5 0.857 V = 273.0 V
V 5.387V9.3223.214 22
22
LRRL UUU
P = RI2 = 250 0.8572 W = 183.6 W
Q = (XLXC) I2 = (376.5 318.5) 0.8572 var = 42.8 var
S = UI = 220 0.857 V·A = 188.5 V · A
+
–
电压有效值分别为 UR = RI = 2500.857 V = 214.3 V
CL XX Cf
Lf
2
12
0arctan
R
XX CL
LCfXX CL
2
10则由于谐振时
– +
L
–
+
u
C
R
i
uL
uC
uR–
+
–
+
在 RLC 串联电路中，当 UL = UC ，即
或 时，
u 与 i 同相，这时电路中发生串联谐振。
谐振条件
1 ．谐振频率
当电路中的频率达到 f0 值时，电路就会发生谐振。
2.8.4 串联谐振
2 ．谐振时的阻抗RXXRZ CL 22 )( 其阻抗值最小
电路中电流最大3 ．谐振时电流和电压
R
U
Z
UII 0
UL= UC = XLI0 = XCI0
4 ．品质因数 QU = UR
串联谐振时，电感和电容通常会获得很大电压，将 UL
或 UC 与 U 之比称为谐振电路品质因数
CRfR
Lf
U
U
U
UQ CL
0
0
2
12
其值可高达数百
RU
XIXU LLL
RU
XIXU CCC
RXX CL
串联谐振时相量图
– +
L
–
+
u
C
R
i
uL
uc
uR– +
– +
IU
UR
UL
UC
当 时， UL 和 UC 都高于电源电压 U 。 如果电压过高时，可能会击穿线圈和电容的绝缘。因此，在电力系统中应避免发生串联谐振。而在无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。
2.8.4 串联谐振
[ 例 ] 电阻、电感与电容串联电路参数为 R = 10 ， Ｌ = 0.3 mH ， C = 100 pF ，外加交流电压有效值为 U = 10 V ， 试求在其发生串联谐振时的谐振频率 f0 、品质因数Ｑ、 电感电压 UL 、电容电压 UC 及电阻电压 UR 。 [ 解 ] 谐振频率为
kHz919
Hz10100103.014.32
1π2
1
123
0
LCf
品质因数为
17310
103.01091914.32
π2
33
R
fL
R
L
R
XLQ
电感电压为 V7301V10173 QUU L
V7301V10173 QUUC
V10UU R
电容电压为
电阻电压为
动画：串联谐振电路
可见发生串联谐振时，电感和电容上会得到比外加电压高许多倍的电压，利用这个特性，可以从多个不同频率的信号中选出所要求得到的某个特定频率的信号。
* *2.9 电感线圈与电容并联电路
2.9.1 电流与电压的关系
2.9.2 功率
2.9.3 电路呈现的三种性质
设电路外加正弦电压tUu sinm
iRL 、 iC 电流分别为
)sin()2
sin( 1mm
tIitIi RLRLCC
其中
R
XXR
U
Z
UICU
X
UI
L
LCC
arctan 1
22
m1
1
m1m1m
mm
u
2.9.1 电流与电压的关系
U
u
电路的总电流
）
tI
tItI
iii
RLRLC
RLC
sin(
)sin()2
(sin
m
mm
总电流可用矢量求和的方法解
由矢量图可知
11
11
211
211
cos
sinarctan
)cos()sin(
I
IIIIII
C
C
电路总阻抗 UI
Z =
2.9.1 电流与电压的关系
1 ．有功功率
u
U
由矢量图知 IRLcosRL = Icos coscos UIUIP RLRL
2 ．无功功率Q = QL QC = UIsinRL – UIC
= U (ILRsin LRIC)由矢量图知 IRL sinRL IC = Isin
Q = UI sin
RLRLUIP cos
所以：
2.9.2 功率
u
1 ．呈感性
UU
I1
ICU
IC
I
I1
IIC
IC
11
2 ．呈容性
3 ．呈阻性
总电流滞后电压 角；I1 sin 1 > IC ，
总电流超前电压 角；I1 sin 1 < IC ，
总电流与电压同相位。I1 sin = IC ，
2.9.3 电路呈现的三种性质
2.10 电路的功率因数有功功率与视在功率的比值为功率因数。
功率因数：S
P cos
为总电压与总电流的相位差，称为功率因数角。 越小、功率因数 arctan 越高，而 角的大小与电路
的参数和频率 f 有关。
功率因数一般情况下在 1 和 0 之间， cos =1 ，功率因数最高，但此时可能会发生谐振，给电路带来其他问题。
提高功率因数不能达到“ 1”！
提高功率因数的意义在以下两个方面：
有功功率 (1)提高供电设备的利用率
(2)减小了供电设备和输电线路的功率损耗在 P 、 U 一定的情况下， cos 越低， I 越大，损耗越大。
况下， cos 越低， P 越小，供电容量得不到充分利用。
，在电源设备容量 S 一定的情
22
22
cos
1)(
U
PrrIP
cosSP
I
IC
I1
U
1
i
iC
Lu R
–
+ i1
C 交流电路的负载大多数是感性负载。
提高功率因数的方法
并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了电源或电网的功率因数。
已知感性负载的功率及功率因数 cos1 ，若要把电路功率因数提高到 c
os ，则应并联电容 C 。
并联电路提高功率因数应注意：
(1) 并联电容后，负载的工作仍然保持原状态，其自身的功率因数 (cosRL) 并没有提高，只是整个电路的功率因数 (cos) 得到提高。
(2) 并联电容器后，电路总电流由 IRL 减少为 I ，是由于功率因数提高，减少了线路电流。
(3)功率因数的提高不要求达到 cos= 1 ，因为此时电路处于并联谐振状态，会给电路带来其他不利情况。当然将功率因数提高到 > 0 ，即电路呈容性也是没有必要的。
536.0arccosRL
[ 例 ] 有一感性负载 P = 5 kW ，功率因数 cos1 = 0.6 ，接在电压 U = 220 V ，频率 f = 50 Hz 的电源上。若将功率因数提高到 cos = 0.85 ，应并联多大电容器 ?
[ 解 ]
并联电容前可用两种方法计算
解法 1
AkV 3.8AV6.0
105
cos
3
1
PSRL
kvar 63.6var 53 sin 10 3.8sin 3 RLRLRL SQ
并联电容后 79.3185.0arccos
kvar 3.1varsinAkV 8.5AV85.0
105
cos
3
SQP
S
kvar 53.3vark63.61.3 RLC QQQ
75.13 A16A220
1053.3 3
CC
CC I
UX
U
QI
F 232F75.135014.32
1
2
1
CfXC
并联电容前 536.0arccos1
A88.37
A6.0220
105
cos
3
11
U
PI
A25.30
53sin88.37sin 11
I
U
解法 2
并联电容后 79.3185.0arccos
A74.26
A85.0220
105
cos
3
U
PI
A09.1479.31sin74.26sin I
A16A)09.1425.30(sinsin 11 IIIC
75.13Ω16
220
CC I
UX同理
F 2322
1
CfXC
U
u
设电路中外加正弦电压初相角为零u = Um sin t
则各分支电流分别为
)2
sin()2
sin(
2sin()
2sin(
sinsin
mm
mm
mm
tItX
Ui
tItX
Ui
tItR
Ui
CC
C
LL
L
R
）
)sin(m tIiiii CLR
画电流矢量图可求 Im 和
总电位
* * 2.11 电阻、电感和电容并联及谐振
RLC 并联谐振
u
U
并联谐振电路的矢量图如图所示。
并联电路出现电压与总电流同相，电路呈现纯阻性，即为并联谐振。
并联谐振电路的特点：
电感和电容所需的无功功率相互补偿，即
QL = QC Q = QL – QC = 0 S = P cos = 1
(1)谐振电路功率
(2)谐振电路阻抗 感抗等于容抗，两者并联电路部分阻抗无穷大，相当于开路谐振电路总阻抗 Z = R 。
u
(3)谐振电路电流
电感支路电流和电容支路电流相互抵消，电路总电流
I = IR
谐振电路中 IL 和 IC 的数值可能要远大于 I ，因此并联谐振也称电流谐振。
[ 例 ] 图示电路，若外加电压 u 含有 2 000 Hz 和 5 000 Hz 两种频率的信号，要求滤除 2 000 Hz 的信号，使负载 RL 上只有 5 000 Hz 的信号，当 L = 12 mH 时，电容 C 应为多大？ [ 解 ] 让 2 000 Hz 信号在 L 、C 并联电路中产生谐振，该段阻抗无穷大，信号无法通过 , 所以，在 2 000 Hz u段 XL = XC
LCf
2
10
F 53.0F1012000 214.34
1
4
13222
02
Lf
C
动画：并联谐振电路