Ⅵ. 도형의 기초
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Ⅵ. 도형의 기초
1. 기 본 도 형
2. 작도와 합동
점 , 선 , 면
1. 선분 : 두 점을 곧게 이은 선
2. 직선 : 선분을 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선
3. 예각 : 0 도 보다 크고 90 도 보다 작은 각
4. 직각 : 90 도인 각
5. 둔각 : 90 도 보다 크고 180 도 보다 작은 각
6. 수직 : 서로 만나는 두 직선이 90 도를 이룰 때
7. 평행 : 한 평면에서 두 직선이 만나지 않을 때
점 , 선 , 면 , 각
1. 점이 움직인 자리는 선이 된다 .
2. 선이 움직인 자리는 면이 된다 .
3. 평면도형은 선으로 , 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다 .
- 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선
- 교점 : 두 선 또는 선과 면이 만나서 생긴 점
교선
교점
주사위에서 다음 물음에 답하여라 .
1. 교점의 개수는 ?
2. 교선의 개수는 ?
1. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 몇 개인가 ?
AB 의 길이
오직 하나 뿐이다 .
A B A B A B
AB AB AB
직선 AB 반직선 AB 선분 AB
2. 직선 , 반직선 , 선분
3. 두 점 A, B 사이의 거리 :
선분 AB의 중점
선분 AB 위의 한가운데 점을 선분 AB 의 중점이라 함 .
A BM
ABBMAM2
1
각 이란 ?
점 O 를 각의 꼭지점 반직선 OA, OB 를 각의 변이라 한다 .
< 기 호 >
∠AOB, BOA, O, ∠ ∠ ∠a
한 점 O 에서 그은 두 반직선 OA 와 OB 로이루어지는 도형
O A
B
a
각의 분류
예각 : 0 도 보다 크고 , 90 도 보다 작은 각
직각 : 90 도인 각 (∠R)
둔각 : 90 도 보다 크고 180 도 보다 작은 각 평각 : 180 도인 각
60
11'
'"
60
11 R
90
11
수직 교각 : 두 직선이 만나서 생기는 각
직교 : 교각이 직각일 때 , 기호 : l ⊥ m
수직 : 두 직선 l 과 m 이 직교할 때, l , m 은 서로
수직 이라 하며 직선 l 을 직선 m 의 수선이라
한다.
l
m
맞꼭지각
두 직선이 만나서 생기는 네 각 중에서
서로 마주 보는 각
a
b
c
d
맞꼭지각의 크기는 서로 같다
∠a = ∠c
∠b = ∠d
한 점에서 만난다 만나지 않는다 일치한다
l,m
m
l
l
m
< 평면에서 두 직선의 위치 관계 >
공간에서 두 직선의 위치 관계
1) 만난다 .
lm
2) 평행하다 .
l
m
3) 일치한다 .
l=m l
m
4) 꼬인 위치
다음 각기둥에서 모서리 AB 와
1) 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 ?
2) 선분 BD 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 ?
A
B C
D
E
F G
H
A
B C
D
E F
< 공간에서 한 직선과 한 평면과의 위치관계 >
1) 한 점에서 만난다 . 2) 평행하다 . 3) 포함된다 .
l
P
l
P
l ∥ P
P
l
평면의 결정 조건
1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점
2) 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점
3) 만나는 두 직선
4) 평행한 두 직선
공간에서 두 평면의 위치관계
1) 일치한다 .
2) 만난다 .
3) 평행하다 .
평행
한 평면 위에서 두 직선 l, m 이 만나지 않을 때 ,
두 직선 l, m 은 평행 ( 기 호 : l∥m )
평행선 : 평행한 두 직선
l
m
동위각 : 같은 위치에 있는 두 각
l
m
n
a
e
∠a 와 ∠ e
b
f
∠b 와 ∠ f
d
h
∠d 와 ∠ h
c
g
∠c 와 ∠ g
l
m
n
엇 각 : 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각
b
h
∠b 와 ∠ h
e
c
∠c 와 ∠ e
평행선의 성질서로 다른 두 직선이 평행하고 , 다른 한 직선과 만날 때
1. 동위각의 크기는 서로 같다 .
2. 엇각의 크기는 서로 같다 .
m
la
b
c
a
b
l m ∥ 이면 ∠ a = ∠b
c
b
l∥ m 이면 ∠ b = ∠c
평행선의 성질
서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때
1. 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다 .
2. 한 쌍의 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다 .
서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때
1. 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다 .
2. 한 쌍의 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다 .
x115
다음 그림은 직사각형 모양의 종이를 접은 그림이다 .
∠x 의 크기를 구하여라 .
m
l
x
50
30
다음 에서 직선 l 과 m 이 서로 평행일 때 ,
1) x ∠ 의 크기를 구하여라 .
2) a+ b+ c+ d ∠ ∠ ∠ ∠ 의 값을 구하여라 .
m
l a
30
b
cd
도형의 작도
작도 : 눈금이 없는 자와 컴퍼스 만을 사용하여
도형을 그리는 것
-자 : 직선을 긋거나 주어진 선분을 연장할 때
사용
-컴퍼스 : 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를
옮길 때 사용
선분의 수직이등분선의 작도
A B
① ①②① 두 점 A, B 를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 두 점에서 만나도록 그린다 .
② ① 의 두 교점을 지나는 직선을 긋는다 .
수직이등분선의AB
각의 이등분선의 작도
O B
A
① C
D
③ 반직선 OE 를 긋는다 .
① O 를 중심으로 하는 원을 그려서 반직선 OA 와 OB 가 만나는 점을 각각 C, D 라 한다 .
②
②
③E
② C, D 를 각각 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 그려서 만나는 점을 E 라고 한다 .
각 의 이 동
O A
B
③D
O´ A´
④D´
⑤
C
①
C´
②
점 P 를 지나면서 직선 l 에 수직인 직선의 작도
①
P
l
②③
3 대 작도 불능 문제
(1) 주어진 정육면체의 2 배의 부피를 갖는
정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제
(2) 임의의 각을 삼등분하는 문제
(3) 임의의 원과 면적이 같은
정사각형을 작도하는 문제
직각의 3 등분 작도
다음 중 작도할 수 없는 각은 ?
① 10° ② 15° ③ 22.5° ④ 60° ⑤ 135°
정 3, 4, 5 각형은 작도 가능한 정다각형이다 . 가장 손쉬운 정다각형 작도방법은 원을 이용하는 것으로 모든 꼭지점이 원 위에 있도록 작도하는 방법이다 . 원을 이용하여 정삼각형을 그린 뒤 , 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 정삼각형의 꼭지점과 연결하면 정육각형을 작도할 수 있다 . 마찬가지로 정육각형의 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 연결하면 정십이각형을 작도할 수 있다 . 원을 이용하여 정사각형을 작도한 뒤 , 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 이용하면 정팔각형을 그릴 수 있고 , 한 번 더하면 정십육각형을 작도할 수 있다 . 마찬가지의 방법으로 원을 이용하여 그린 정오각형에서 정십각형을 그릴 수 있고 , 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그린 뒤 , 정이십각형을 작도할 수 있다 . 작도에 대해 많은 관심과 연구를 진행했던 고대 그리스의 수학자들은 정 7, 9, 11, 13 각형의 작도방법을 알아내기 위해 많은 노력을 기울였지만 , 끝내 알아내지 못하였다 . 1796 년이 되어서야 당시 18 세였던 수학자 가우스 의해 정 7, 9, 11, 13 각형은 작도 불가능함이 증명되었다 . 가우스에 의해 밝혀진 홀수 개의 변을 가진 정다각형에 대한 작도 가능함에 대한 정리는 다음과 같다 .
1. 작도가 가능한 정 n 각형(1). 의 꼴이면 가능하다 .(2). n 이 꼴인 서로 다른 두 소수의 곱이면 , 작도 가능하다 .(3). 정 n 각형을 작도할 수 있다면 , 정 2n 각형은 작도가 가능하다 .2. 의 꼴인 경우(1) k=0 이면 , 3=2+1 이므로 정 3 각형은 작도가능하다 . (2) k=1 이면 , 5=4+1 이므로 정 5 각형은 작도가능하다 . (3) k=2 이면 , 17=16+1 이므로 정 17 각형은 작도가능하다 . (4) k=3 이면 , 이므로 정 257 형은 작도가능하다 .
3, 5, 17 이 가능하므로 에서 정 15 각형은 작도가 가능하고 , 에서 정 51 각형은 작도가 가능하다 . 에서 정 85 각형도 작도가 가능하다
선택학습 ( 심화과정 )
122 k
n122
k
n
122 k
n
삼각형에 대한 용어
세 선분 AB, BC, CA 로 둘러싸인 삼각형 ABC 를 기호로 △ ABC 와 같이 나타낸다 .
∠A, B, C∠ ∠ 를 △ ABC 의 내각이라고 한다 .
∠A 와 마주 보는 변 BC 를 ∠ A 의 대변 ,
∠A 를 변 BC 의 대각이라고 한다 .
A
B C
c
a
b
삼각형의 변의 길이
삼각형의 두 변의 길이의 합은
나머지 다른 한 변의 길이보다 크다 .
세 변 중 길이가 최대인 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의
합보다 크거나 같으면 삼각형이 될 수 없다 .
삼각형의 결정조건
1. 세 변의 길이가 주어질 때
2. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때
3. 한 변의 길이와 그 양끝각의 크기가 주어질 때
위의 세 가지 조건 중에 어느 한 가지만 주어지면
삼각형의 모양과 크기가 한 가지로 결정된다 .
다음 조건을 만족하는 △ ABC 를 그릴 때 ,
삼각형이 하나로 결정되는 것을 모두 고르면 ?
①
②
③
④
⑤
⑥
cmACcmBCcmAB 8,5,3
30,5,4 AcmBCcmAB
45,15,7 CAcmAB
55,20,10 BAcmAB
110,50,20 CBA
45,4,6 BcmBCcmAB
합동의 뜻한 평면도형 P 를 그 모양이나 크기를 바꾸지 않고 다른 평면도형 Q 와 포갤 수 있을 때 ,
P 와 Q 를 서로 합동이라고 한다 .
< 기 호 >△ABC≡△A’B’C’
합동인 두 도형에서 포개어지는 꼭지점 , 변 , 각은
서로 대응한다고 한다 .
B ´
A
B C
A ´
C´
합동인 도형의 성질
합동인 두 도형은
1. 대응하는 변의 길이는 서로 같다 .
2. 대응하는 각의 크기는 서로 같다 .
삼각형의 합동조건
1. 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 (SSS 합동 )
2. 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 , 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 합동 )
3. 대응하는 한 변의 길이가 같고 ,
그 양 끝각의 크기가 같을 때 (ASA 합동 )
≡
≡
≡
A
BO
C
DA
B
O
C
D
A
B
C D
D
다음 각 그림에서 합동인 삼각형을 찾아서 기호로 나타내고 , 합동조건을 말하여라 .
(1) (2)
(3)
두 쌍의 변의 길이가 같고 한 쌍의 각의 같의 크기가같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 할 수 있나 ?
한 쌍의 변의 길이가 같고 두 쌍의 같의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 말 할 수 있나 ?
A B C
D
EP
x
그림에서 △ EAB, △DBC 는 정삼각형일 때 ,
∠x 의 크기는 ?
a
a
b
b60120
각의 이등분선의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라 .
O B
A
① C
D
②
②
③E
크기가 같은 각의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라 .
O A
B
③D
O´ A´
④D´
⑤
C
①
C´
②
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