隨機變數 機率分配 二元隨機變數之機率分配 隨機變數函數之機率分配
Post on 30-Dec-2015
83 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-1
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
隨機變數
機率分配
二元隨機變數之機率分配
隨機變數函數之機率分配
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-2
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.1 隨機變數 4.1.1 隨機變數之型態 ( 一 )離散型隨機變數 ( 二 )連續型隨機變數 4.2 機率分配 4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 4.2.2 連續型隨機變數之機率分配
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-3
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.1.1 隨機變數之型態
隨機變數依其產生結果之數值個數可分為以下兩種型態:
( 一 ) 離散型隨機變數 (discrete R.V. ) 指所有可能產生的數值個數為有限或無限可數 的隨機變數。 ( 二 ) 連續型隨機變數 (continuous R.V. ) 指所有可能產生的數值個數為無限且不可數之 隨機變數。
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-4
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (1/7)
( 一 )離散型隨機變數之機率函數 當隨機變數 為離散型,其機率函數 必須滿 足以下三個條件: (1)
(2) ,對所有實數
(3) ,代表隨機變數 X 所有可能
產生的值。
X xf
)()( ii xXPxf
1)(0 ixf ix
n
n
ii xxxf ,,,1)( 1
1
參見例 4.2
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-5
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (2/7)
例題 4.2投擲硬幣二次,令隨機變數 表出現正面的次數,請找出 R.V.X 的機率函數 。【解】 因為 X 的所有可能值為 0, 1, 2 。所以當 「 X=0 」,表示其樣本點為 ( 反 , 反 ) 的事件,因此,
「 X=1 」,表示其樣本點為 ( 正 , 反 ) 及 ( 反 , 正 ) 的事件,因此,
「 X=2 」,表示其樣本點為 ( 正 , 正 ) 的事件,因此,
)(xfX
4
1)},{()0()0( 反反PXPf
2
1
4
2)},(),{()1()1( 正反,反正PXPf
4
1)},{()2()2( 正正PXPf
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-6
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (3/7)
承上頁所以 R.V.X 之機率函數
其機率分配可表示如表 4.1 :
241121041
)(xxx
xf,,,
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-7
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (4/7)
承上頁,其機率分配圖如圖 4.2 :
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-8
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (5/7)
( 二 )離散型隨機變數 X 之累積分配函數 假設 X 為一離散型隨機變數,且 為 R.V. X
的機率 函數,則 之累積分配函數為 ( 三 )累積分配函數 特性 (1) 為遞增函數(如果 ,則 ) (2) ,若隨機變數 X 為離散型且其所有
變 量由小到大依序排列為 ,則
)(xf
X
xx
i
i
xfxXPxF )()()(
)(xF
)(xF)()()( xFxFxf
nxxx ,,, 21
1)()( iii xFxFxf 參見例 4.6
21 xx )()( 21 xFxF
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-9
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (6/7)
例題 4.6 某公司考慮一個新的生產計劃。而該計劃可能報酬之機率 分配如下:
(1) 試問該計劃報酬之累積分配函數為何? (2) 試問該計劃報酬為正值的機率為何?
報酬 X
- 10000 0.30
30000 0.30
50000 0.20
70000 0.20
合計 1.00
)()( xXPxf
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-10
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (7/7)
承上頁【解】 (1) 因為累積分配函數 ,
所以
(2) ,或
)()( xXPxF
700001
700005000080.0
500003000060.0
300001000030.0
100000
)(
x
x
x
x
x
xF
,,,,,
7.03.01)0(1)0( FXP
)70000()50000()30000()0( XPXPXPXP7.02.02.03.0
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-11
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (1/4)
( 一 )連續型隨機變數之機率函數 若函數 滿足下列三個條件,則稱
為一連續 型隨機變數 之機率密度函數。 (1)
(2) 若 X 為一實數,則 (3)
)(xf )(xf
X
b
adxxfbxaP )()(
0)( xf
1)( dxxf
參見例 4.10
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-12
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (2/4)例題 4.10
若函數 , 請問 為一機率密度函數?【解】 (1) 當 , 當 或 , 所以對所有實數 x 時,
(2)
所以當一隨機變數 X 定義為 , 則
即為 R.V.X 之機率密度函數
其他
,
21,
07
3)(
2
xx
xf )(xf
21 x 07
3)(
2
x
xf
2x 1x 0)( xf
0)( xf
1
7
1
7
8
77
3)(
2
1
32
1
2 xdx
xdxxf
b
adxxfbXaP )()( )(xf
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-13
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (3/4)
( 二 )連續型隨機變數之累積分配函數 假設 X 為一連續型隨機變數,且 為其
機率密度 函數,則 X 之累積分配函數:
例題 4.13令一連續型隨機變數 X 之 p.d.f 如下:
請找出 R.V.X 之累積機率函數
)(xf
xdttfxXPxF )()()( 參見例 4.13
其他
,
21,
07
3)(
2
xx
xf
?)( xF
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-14
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (4/4)承上頁【解】(1) 當 ,
(2) 當 ,
(3) 當 ,
因此,
1x 0)()(
xdttfxF
21 x7
1
77
3)()(
3
1
3
1
2
xtdt
tdttfxF
xx
x
2x
17
18
70
7
30
)()()()()(
2
1
3
2
2
1
21
2
2
1
1
tdtdt
tdt
dttfdttfdttfdttfxF
x
xx
2,1
21,7
11,0
)(3
x
xx
x
xF
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-15
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3 二元隨機變數之機率分配4.3.1 離散型二元隨機變數4.3.2 連續型二元隨機變數4.3.3 邊際機率函數 ( 一 )離散型二元隨機變數之邊際機率函數 ( 二 )連續型二元隨機變數之邊際機率函數4.3.4 條件機率分配 ( 一 )離散型隨機變數之條件機率函數 ( 二 )連續型隨機變數之條件機率函數4.3.5 獨立隨機變數4.3.6 多元隨機變數
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-16
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.1 離散型二元隨機變數 (1/3)
(一 )離散型二元隨機變數 (X,Y) 之聯合機率(質量)函數 若 X , Y 為離散型隨機變數,且 為
R.V.X 之 所有變量, 為 R.V.Y 之所有變量,則
為二元隨機變數 之聯合機率函數,若且為若
滿足下列三個條件 : (1)
(2) 對所有的 ,
(3)
nxxx ,,, 21
myyy ,,, 21 ),( yxf),( YX
),( yxf
),(),( jiji yxfyYxXP ji yx 、 1),(0 ji yxf
n
i
m
jji yxf
1 1
1),(
參見例 4.16
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-17
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.1 離散型二元隨機變數 (2/3)
例題 4.16 在一產品之市場調查中,發現消費者欲購買此產品與 否 ( 以 X 表示 ) 與消費者年齡 ( 以 Y 表示 ) 之資料
如下:
請問 (1) 之聯合機率函數為何? (2) 16~25 歲且欲購買此產品之比例為何?
),.(. YXVR
Y
X
1
(16~25)
2
(26~45)
3
(46~65)總和
0( 不買 ) 100 200 100 400
1( 欲購買 )
250 250 100 600
總 和 350 450 200 1000
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-18
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.1 離散型二元隨機變數 (3/3)承上頁【解】(1) 之聯合機率函數 如下
表所示:
(2)
),.(. YXVR ),( yxf
25.0)1 ,1()1,1( fYXP
Y
X
1
(16~25)
2
(26~45)
3
(46~65) 總和
0( 不買 ) 0.10 0.20 0.10 0.4
1( 欲購買 ) 0.25 0.25 0.10 0.6
總 和
0.35 0.45 0.20 1
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-19
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.2 連續型二元隨機變數 (1/5)
( 一 )連續型二元隨機變數 (X,Y) 之聯合機率函數 若 為連續型二元隨機變數 (X, Y) 之聯
合機率密度 函數,若且為若 需滿足下列三個條件: (1) ,對任何 xy 平面之區域 A
註1,
( 註1 :表函數以 A 為底所形成之體積 )
(2) 對所有實數 x , y
(3)
),( yxf),( yxf
A
dxdyyxfAYXP ),(]),[(
,0),( yxf
1),( dxdyyxf
參見例 4.18
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-20
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.2 連續型二元隨機變數 (2/5)
例題 4.18
(1) 請問 是否可為一連續型二元隨機變數之聯合機率密度函數 j.p.d.f. ?
(2) 若 (1) 成立,試求
(3) 若 (1) 成立,試求
其他
,若,0
1010),2(3
2),(
yxyxyxf
),( yxf
?)2
1
4
1
2
10( YXP ,
?)1( YXP
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-21
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.2 連續型二元隨機變數 (3/5)
承上頁【解】(1) 定義
當 當 在上述條件之外, 因此,對任意 x , y ,
由上述之條件得知 為連續型隨機變數 之 j.p.d.f. 。
d
c
b
adydxyxfdYcbXaP ),()( ,
),( yx 0),( yxf
0),( yxf
12
3
3
2
2
1
3
21
3
2
][3
2)2(
3
2),(
1
0
21
0
1
0
10
21
0
1
0
yyydy
dyxyxdydxyxdydxyxf
),( yxf ),( YX
0)2(3
2),(1010 yxyxfyx ,,
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-22
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.2 連續型二元隨機變數 (4/5)
承上頁(2)
96
7
64
7
3
2
4
1
4
1
3
2
2
1
4
1
3
2
3
2
)2(3
2),(
)2
1
4
1
2
10(
2
1
4
1
2
2
1
4
12
1
4
12
1
02
2
1
0
2
1
4
12
1
4
12
1
0
yy
ydydyxyx
dxdyyxdxdyyxf
YXP ,
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-23
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.2 連續型二元隨機變數 (5/5)
承上頁(3) 要計算 , 即計算函數 在以底為 的條件下所對應之體積,
所以
)1( YXP )2(3
2),( yxyxf
1 yx
3
1
2
1
3
2]
2
1
2
1
2
1[
3
22
1
2
3
3
2)1(
2
1)1(2
3
2
]2
12[
3
2)2(
3
2)1(
10
23
1
0
21
0
2
1
0
10
21
0
1
0
xxx
dxxxdxxxx
dxyxydxdyyx
YXP
xx
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-24
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.3 邊際機率函數 (1/2)(一 )離散型二元隨機變數之邊際機率函數 令 為一離散型二元隨機變數,且
為 X 之所有變量, 為 Y 之所有變量,
為二元 隨機變數 之聯合機率函數,隨機變數 X 、 Y 之邊際 機率函數分別可以 、 表示如下: R. V. X 之邊際機率函數: R. V. Y 之邊際機率函數:
),( YX nxxx ,,, 21 myyy ,,, 21 ),( yxf
),( YX
)(xg )(yh
m
jj
m
jj yxfyYxXPxXPxg
11
),(),()()(
n
ii
n
ii yxfyYxXPyYPyh
11
),(),()()(
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-25
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.3 邊際機率函數 (2/2)
( 二 )連續型二元隨機變數之邊際機率函數 令 為一連續型二元隨機變數且
為 之聯合機率密度函數,則
),( YX ),( yxf ),(.. YXVR
dxyxfyh
dyyxfxg
),()(
),()(
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-26
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.4 條件機率分配 (1/5)
( 一 )離散型隨機變數之條件機率函數 令 為離散型二元隨機變數且
為其聯合機 率函數, 為 X 之邊際機率函數,則
R.V.Y 在 X = x 的條件下之條件機率函數定義為
),( YX ),( yxf)(xg
0)()(
),()( xg
xg
yxfxyf ,
參見例 4.21
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-27
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.4 條件機率分配 (2/5)例題 4.21
由例 4.16 之聯合機率分配中,求 (1) 隨機抽取一位 16 ~ 25 歲之消
費者,其欲購買此產品之機率為何? (2) 欲購買此商品之消費者 中,何種年齡層發生之機率最大? (3) 試求
。 【解】 (1)
(2)
(3)
)121( XYP
7
5
35.0
25.0
)1(
)1,1()11()11(
h
fyxfYXP
12
5
60
25
6.0
25.0
)1(
)1,1()11()11(
g
fxyfXYP
12
5
60
25
6.0
25.0
)1(
)2,1()12()12(
g
fxyfXYP
6
1
60
10
6.0
1.0
)1(
)3,1()13()13(
g
fxyfXYP
6
5
60
25
60
25)12()11()121( xyfxyfXYP
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-28
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.4 條件機率分配 (3/5)
( 二 )連續型隨機變數之條件機率函數 令 為一連續型二元隨機變數且
為其聯合 機率密度函數, 為 X 之邊際機率密度函
數, R.V.Y
在 X = x 的條件機率密度函數定義為
),( YX ),( yxf)(xg
0)()(
),()( xg
xg
yxfxyf ,
參見例 4.22
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-29
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.4 條件機率分配 (4/5)
例題 4.22若連續型二元隨機變數 之聯合機率密度函數
(1) 試問 R.V. X 在 之條件機率密度函數 為何?
(2) 試求
(3) 試求
),( YX
其他,
,,,
0
10204
)31(),(
2
yxy
xyxf
yY )( yxf
?)3
1
2
1
4
1( YXP |
?)3
13
4
1( YXP |
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-30
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.4 條件機率分配 (5/5)
承上頁【解】
(1)
(2)
(3)
2
431
21
431
431431
)(
),()(
22
0
2
2
2
0
2
2
x
yx
yx
dxy
x
yx
yh
yxfyxf
|
64
3)
16
1
4
1(
4
1
4
1
2)
3
1()
3
1
2
1
4
1(
2
1
4
1
22
1
4
12
1
4
1
xdx
xdxyxfYXP ||
64
63]
16
14[
4
10
4
10
2
)3
132()
3
12
4
1()
3
13
4
1(
2
4
1
22
4
1
xdxx
YXPYXPYXP |||
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-31
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.5 獨立隨機變數 (1/2)
在隨機實驗中,當一隨機變數 X 發生的機率不受另一個隨機變數 Y 產生的數值所影響,則 X 、 Y 稱之為獨立隨機變數。以條件機率 ( 密度 ) 函數來表示,
定理 4-1 令 (X , Y) 為一二元隨機變數, f (x, y) 為其聯合機率 ( 密 度 ) 函數,而 g(x) 、 h(y) 分別為 R.V. X 、 Y 之邊
際機率密 度函數,則以下四個敘述互為等價: (1)R.V. X 、 Y 互為 ( 統計 ) 獨立。 (2) 對所有 x , y , (3) 對所有滿足 之 x , y , (4) 對所有滿足 之 x , y ,
)()()()( xgyxfyhxyf 或
)()(),( yhxgyxf 0)( yh )()( xgyxf 0)( xg )()( yhxyf 參見例 4.24
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-32
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.5 獨立隨機變數 (2/2)
例題 4.24 已知 R.V. X 、 Y 互為獨立,且 R.V. X 、 Y 之機率密度函數分別
為
試問二元隨機變數 之聯合機率密度函數 為何?
【解】 因為 R.V. X 、 Y 獨立,所以 當 時, 當 或 或 時, 因此,
其他,
,0
10,2)(
0,0
0,)(
yyyh
x
xexg
x
),( YX ),( yxf
10,0 yx xx yeyeyhxgyxf 22)()(),(0x 1y 0y 0),( yxf
其他,0
10,0,2),(
yxyeyxf
x
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-33
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.6 多元隨機變數 (1/6)
多元隨機變數 之聯合機率函數 1. 若 為 n 個離散型隨機變數,如果 滿足下列三個條件,則稱 為 n
元隨機變數 之聯合機率 ( 質量 ) 函數,
(1)
(2) 對所有的 ,
(3)
),,,( 21 nXXX
nXXX ,,, 21 ),...,,( 21 nxxxf),...,,( 21 nxxxf
),,,( 21 nXXX
),...,,(),...,,( 212211 nnn xxxfxXxXxXP
nxxx ,...,, 21 1),...,,(0 21 nxxxf
1
1),...,,(... 21x x
n
n
xxxf
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-34
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.6 多元隨機變數 (2/6)
承上頁2. 若 為 n 個連續型隨機變數,如果 滿足下列三個條件,則稱 為 n
元隨機變數 之聯合機率密度函數:
(1)
(2) 對所有的 ,
(3)
nXXX ,...,, 21 ),...,,( 21 nxxxf
),...,,( 21 nxxxf
nXXX ,...,, 21
nn
A
n dxdxxxxfAXXXP ...),...,,(...]),...,,[( 12121
nxxx ,...,, 21 1),...,,(0 21 nxxxf
1...),...,,(... 2121
nn dxdxdxxxxf
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-35
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.6 多元隨機變數 (3/6)
多元隨機變數之邊際機率分配如下,以 X1之邊際機率函數
為例:
(1) 當 為離散型,
(2) 當 為連續型,多元隨機變數之聯合邊際機率分配如下,以 之聯合邊際機率函數 為例:
)( 1xg
),...,,( 21 nXXX 2 3
),...,,(...)( 211x x x
n
n
xxxfxg
),...,,( 21 nXXX nn dxdxdxxxxfxg
32211 ),...,,(...)(
),( 21 XX),( 21 xxg
為連續型若
為離散型若
),,(,...),...,,(...
),,(,),...,,(...
),(214321
2121
213 4
nnn
nx x x
n
xxxdxdxdxxxxf
xxxxxxf
xxg n
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-36
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.6 多元隨機變數 (4/6)
多元隨機變數之條件機率定義,如 R.V. 在
的條件機率函數為
同理也可推廣至聯合條件機率分配,如 在
之聯合條件機率函數為
1X),,44 nn xXxX
0),...,,(),...,,(
),...,,,(),...,,(
3232
321
321
nn
n
nxxxg
xxxg
xxxxfxxxxf ,
),( 21 XX
0),...,,(),...,,(
),...,,,(),...,,,( 43
43
3214321 n
n
nn xxxg
xxxg
xxxxfxxxxxf ,
,,( 3322 xXxX
,( 33 xX ),,44 nn xXxX
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-37
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.6 多元隨機變數 (5/6)
定理 4-2 令 為 n 元隨機變數, 為其
聯合機率 ( 密度 ) 函數,而 為 R.
V. 之邊際機率函數,則 R.V.
互為 ( 統計 ) 獨立 對所有
),...,,( 21 nXXX ),...,,( 21 nxxxf)(),...,(),( 2211 nn xfxfxf
nXXX ,,, 21 nXXX ,,, 21
,nxxx ,,, 21
),...,,( 21 nxxxf )()()( 2211 nn xfxfxf
參見例 4.25
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-38
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.3.6 多元隨機變數 (6/6)例題 4.25
已知明偉燈泡公司所生產之燈泡壽命為一隨機變數,且其機率函數
為 ,今隨機從公司中抽出四個燈泡,
令其壽命分
別為 ,且已知 互為 ( 統計 ) 獨立, 試求,
【解】 因 互為獨立,所以 之
聯合機率函數如下: 當 時,
否則, 。因此,
0,0
0,)(
x
xexf
x
4321 ,,, XXXX4321 ,,, XXXX?)2,1,21,2( 4321 XXXXP
4321 ,,, XXXX ),,,( 4321 XXXX
0,0,0,0 4321 xxxx)(
4321432143214321)()()()(),,,( xxxxxxxx eeeeexfxfxfxfxxxxf
0),,,( 4321 xxxxf
01720.0)1)()(1(
)2,1,2,2(21212
4321)(
2
1
0
2
1
2
043214321
eeeee
dxdxdxdxeXXXXP xxxx
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-39
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 ( 一 )離散型隨機變數函數之機率分配 ( 二 )連續型隨機變數函數之機率分配
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-40
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (1/9)
( 一 ) 離散型隨機變數函數之機率分配 我們將此定義陳述在以下定理中,定理 4-3 假設 X 為一個離散型隨機變數且其機率函數為
,如果 為 之一對一轉換的函
數 ( 即 ,可以由此找出唯一一個關係
式 ) ,則 的機率函數
)(xf )(XqY XVR ..
)(Xqy )(yux YVR ..
)]([)( yufyg
參見例 4.26
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-41
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (2/9)
例題 4.26
若離散型 之機率函數
,令
試問 之機率函數 【解】 對於 , Y 為 X 之一對一轉換的函數,即 ;對於
,此時 。 所以 之機率函數
XVR ..
其他,0
3,2,1,15
13)(
xx
xf 2XY
YVR .. 為何?)(yg
0)(3,2,1 xfX ,yxxy 23,2,1x
0)( yg
YVR ..
其他,0
9,4,1,15
13)( y
yyfyg
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-42
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (3/9)
定理 4-4 假設 (X1, X2) 為二元離散型隨機變數且其聯合機率函 數為 ,如果
和 為
之一對一轉換的函數,即
時,可以由此找出唯一一個關係式
,則
之聯合機率函數
),( 21 xxf ),( 2111 XXqY ),( 2122 XXqY 21,.. XXVR
),(),( 21222111 yyuxyyux , 21,.. YYVR
]),(,),([),( 21221121 yyuyyufyyg
),( 2111 xxqy ),( 2122 xxqy ,
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-43
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (4/9)
( 二 )連續型隨機變數函數之機率分配 我們將此定義陳述在以下定理中,
定理 4-5 假設 X 為一個連續型隨機變數且其機率密度函 數為 ,如果
為 之一對一轉 換的函數 ( 即 ,可
以由此找出唯一一 個關係式 ) ,則
的機率函數
)(xf )(XqY XVR ..
YVR ..
Jyufyg )]([)( 參見例 4.29
)(xqy )(yux
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-44
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (5/9)
例題 4.29
若連續型 之機率密度函數 ,令
,試問 之機率密度函數【解】 因為 Y 為 X 之一對一轉換的函數,即 ( )
所以, ,且 之機率函數
XVR .. 其他,0
21,32)( xxxf 15 XY
YVR .. ?)( 為何yg
5
115
yxxy
5
1
dy
dxJ YVR ..
其他,0
116,75
)1(2)
5
1(
yy
Jy
fyg
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-45
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (6/9)
定理 4-6 假設 ( ) 為二元連續型隨機變數且其聯合機率密
度函數為 ,如果 和
為 之一對一轉換的函數 ( 即
時,可以由此找出唯一一個關係式
) ,則二元 的聯合機率密度函數
21, XX
),( 21 xxf ),( 2111 XXqY ),( 2122 XXqY 21,.. XXVR ),( 2111 xxqy
),( 2122 xxqy ,),(),( 21222111 yyuxyyux , 21,.. YYVR
參見例 4.30
Jyyuyyufyyg )],(),,([),( 21221121
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-46
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (7/9)
例題 4.30已知連續型 的聯合機率密度函數
令 ,試問,(1) 的聯合機率密度函數(2) 之機率密度函數
21,.. XXVR
其他,0
0,0,),( 21
)(
21
21 xxexxf
xx
22211 23 XYXXY , 21,.. YYVR ?),( 21 為何yyg
1.. YVR ?)( 1 為何yh
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-47
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (8/9)承上頁【解】
(1) 因為
( ) ,所以
且 ,因此 之機率函數
212221
122211 ,3
2,23 yyyx
yyxxyxxy
,且
01 x ,,,, 103
2
3
1
2
2
1
2
2
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
3
1
103
2
3
1
J YVR ..
其他,02
0,0,3
1),
3
2(,
121
)3
(
221
21
21 yyyeJy
yyfyyg
yy
統計學:觀念、方法、應用 3/e 4-48
Chapter 4 隨機變數與機率分配
前程企業
4.4 隨機變數函數之機率分配 (9/9)
承上頁(2) 因為 之機率函數 為
之邊際機率密 度函數,所以當
即
1.. YVR )( 1yh ),.(. 21 YYVR,01 y
23
2
0
)3
(2
0 2
)3
(
2211
11
1
211 21
3
1),()(
yy
yyyy yy
ee
edyedyyygyh
其他,00,)( 1
231
11
yeeyhyy
top related