隨機變數機率分配二元隨機變數之機率分配隨機變數函數之機率分配

統計學：觀念、方法、應用 3/e 4-1

Chapter 4 隨機變數與機率分配

前程企業

隨機變數

機率分配

二元隨機變數之機率分配

隨機變數函數之機率分配



前程企業

4.1 隨機變數 4.1.1 隨機變數之型態 ( 一 )離散型隨機變數 ( 二 )連續型隨機變數 4.2 機率分配 4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 4.2.2 連續型隨機變數之機率分配



前程企業

4.1.1 隨機變數之型態

隨機變數依其產生結果之數值個數可分為以下兩種型態：

( 一 ) 離散型隨機變數 (discrete R.V. ) 指所有可能產生的數值個數為有限或無限可數的隨機變數。 ( 二 ) 連續型隨機變數 (continuous R.V. ) 指所有可能產生的數值個數為無限且不可數之隨機變數。



前程企業

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 (1/7)

( 一 )離散型隨機變數之機率函數當隨機變數為離散型，其機率函數必須滿足以下三個條件： (1)

(2) ，對所有實數

(3) ，代表隨機變數 X 所有可能

產生的值。

X xf

)()( ii xXPxf

1)(0 ixf ix

n

n

ii xxxf ,,,1)( 1

1

參見例 4.2



前程企業


例題 4.2投擲硬幣二次，令隨機變數表出現正面的次數，請找出 R.V.X 的機率函數。【解】因為 X 的所有可能值為 0, 1, 2 。所以當「 X=0 」，表示其樣本點為 ( 反 , 反 ) 的事件，因此，

「 X=1 」，表示其樣本點為 ( 正 , 反 ) 及 ( 反 , 正 ) 的事件，因此，

「 X=2 」，表示其樣本點為 ( 正 , 正 ) 的事件，因此，

)(xfX

4

1)},{()0()0( 反反PXPf

2

1

4

2)},(),{()1()1( 正反，反正PXPf

4

1)},{()2()2( 正正PXPf



前程企業


承上頁所以 R.V.X 之機率函數

其機率分配可表示如表 4.1 ：

241121041

)(xxx

xf，，，



前程企業


承上頁，其機率分配圖如圖 4.2 ：



前程企業


( 二 )離散型隨機變數 X 之累積分配函數假設 X 為一離散型隨機變數，且為 R.V. X

的機率函數，則之累積分配函數為 ( 三 )累積分配函數特性 (1) 為遞增函數（如果，則） (2) ，若隨機變數 X 為離散型且其所有

變量由小到大依序排列為，則

)(xf

X

xx

i

i

xfxXPxF )()()(

)(xF

)(xF)()()( xFxFxf

nxxx ,,, 21

1)()( iii xFxFxf 參見例 4.6

21 xx )()( 21 xFxF



前程企業


例題 4.6 某公司考慮一個新的生產計劃。而該計劃可能報酬之機率分配如下：

(1) 試問該計劃報酬之累積分配函數為何？ (2) 試問該計劃報酬為正值的機率為何？

報酬 X

－ 10000 0.30

30000 0.30

50000 0.20

70000 0.20

合計 1.00

)()( xXPxf



前程企業


承上頁【解】 (1) 因為累積分配函數，

所以

(2) ，或

)()( xXPxF

700001

700005000080.0

500003000060.0

300001000030.0

100000

)(

x

x

x

x

x

xF

，，，，，

7.03.01)0(1)0( FXP

)70000()50000()30000()0( XPXPXPXP7.02.02.03.0



前程企業

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (1/4)

( 一 )連續型隨機變數之機率函數若函數滿足下列三個條件，則稱

為一連續型隨機變數之機率密度函數。 (1)

(2) 若 X 為一實數，則 (3)

)(xf )(xf

X

b

adxxfbxaP )()(

0)( xf

1)( dxxf

參見例 4.10



前程企業

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (2/4)例題 4.10

若函數，請問為一機率密度函數？【解】 (1) 當，當或，所以對所有實數 x 時，

(2)

所以當一隨機變數 X 定義為，則

即為 R.V.X 之機率密度函數

其他

,

21,

07

3)(

2

xx

xf )(xf

21 x 07

3)(

2

x

xf

2x 1x 0)( xf

0)( xf

1

7

1

7

8

77

3)(

2

1

32

1

2 xdx

xdxxf

b

adxxfbXaP )()( )(xf



前程企業

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (3/4)

( 二 )連續型隨機變數之累積分配函數假設 X 為一連續型隨機變數，且為其

機率密度函數，則 X 之累積分配函數：

例題 4.13令一連續型隨機變數 X 之 p.d.f 如下：

請找出 R.V.X 之累積機率函數

)(xf

xdttfxXPxF )()()( 參見例 4.13

其他

,

21,

07

3)(

2

xx

xf

?)( xF



前程企業

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配 (4/4)承上頁【解】(1) 當，

(2) 當，

(3) 當，

因此，

1x 0)()(

xdttfxF

21 x7

1

77

3)()(

3

1

3

1

2

xtdt

tdttfxF

xx

x

2x

17

18

70

7

30

)()()()()(

2

1

3

2

2

1

21

2

2

1

1

tdtdt

tdt

dttfdttfdttfdttfxF

x

xx

2,1

21,7

11,0

)(3

x

xx

x

xF



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4.3 二元隨機變數之機率分配4.3.1 離散型二元隨機變數4.3.2 連續型二元隨機變數4.3.3 邊際機率函數 ( 一 )離散型二元隨機變數之邊際機率函數 ( 二 )連續型二元隨機變數之邊際機率函數4.3.4 條件機率分配 ( 一 )離散型隨機變數之條件機率函數 ( 二 )連續型隨機變數之條件機率函數4.3.5 獨立隨機變數4.3.6 多元隨機變數



前程企業

4.3.1 離散型二元隨機變數 (1/3)

(一 )離散型二元隨機變數 (X,Y) 之聯合機率(質量)函數若 X ， Y 為離散型隨機變數，且為

R.V.X 之所有變量，為 R.V.Y 之所有變量，則

為二元隨機變數之聯合機率函數，若且為若

滿足下列三個條件： (1)

(2) 對所有的，

(3)

nxxx ,,, 21

myyy ,,, 21 ),( yxf),( YX

),( yxf

),(),( jiji yxfyYxXP ji yx 、 1),(0 ji yxf

n

i

m

jji yxf

1 1

1),(

參見例 4.16



前程企業

4.3.1 離散型二元隨機變數 (2/3)

例題 4.16 在一產品之市場調查中，發現消費者欲購買此產品與否 ( 以 X 表示 ) 與消費者年齡 ( 以 Y 表示 ) 之資料

如下：

請問 (1) 之聯合機率函數為何？ (2) 16~25 歲且欲購買此產品之比例為何？

),.(. YXVR

Y

X

1

(16~25)

2

(26~45)

3

(46~65)總和

0( 不買 ) 100 200 100 400

1( 欲購買 )

250 250 100 600

總和 350 450 200 1000



前程企業

4.3.1 離散型二元隨機變數 (3/3)承上頁【解】(1) 之聯合機率函數如下

表所示：

(2)

),.(. YXVR ),( yxf

25.0)1 ,1()1,1( fYXP

Y

X

1

(16~25)

2

(26~45)

3

(46~65) 總和

0( 不買 ) 0.10 0.20 0.10 0.4

1( 欲購買 ) 0.25 0.25 0.10 0.6

總和

0.35 0.45 0.20 1



前程企業

4.3.2 連續型二元隨機變數 (1/5)

( 一 )連續型二元隨機變數 (X,Y) 之聯合機率函數若為連續型二元隨機變數 (X, Y) 之聯

合機率密度函數，若且為若需滿足下列三個條件： (1) ，對任何 xy 平面之區域 A

註1，

( 註1 ：表函數以 A 為底所形成之體積 )

(2) 對所有實數 x , y

(3)

),( yxf),( yxf

A

dxdyyxfAYXP ),(]),[(

，0),( yxf

1),( dxdyyxf

參見例 4.18



前程企業


例題 4.18

(1) 請問是否可為一連續型二元隨機變數之聯合機率密度函數 j.p.d.f. ？

(2) 若 (1) 成立，試求

(3) 若 (1) 成立，試求

其他

，若,0

1010),2(3

2),(

yxyxyxf

),( yxf

?)2

1

4

1

2

10( YXP ，

?)1( YXP



前程企業


承上頁【解】(1) 定義

當當在上述條件之外，因此，對任意 x ， y ，

由上述之條件得知為連續型隨機變數之 j.p.d.f. 。

d

c

b

adydxyxfdYcbXaP ),()( ，

),( yx 0),( yxf

0),( yxf

12

3

3

2

2

1

3

21

3

2

][3

2)2(

3

2),(

1

0

21

0

1

0

10

21

0

1

0

yyydy

dyxyxdydxyxdydxyxf

),( yxf ),( YX

0)2(3

2),(1010 yxyxfyx ，，



前程企業


承上頁(2)

96

7

64

7

3

2

4

1

4

1

3

2

2

1

4

1

3

2

3

2

)2(3

2),(

)2

1

4

1

2

10(

2

1

4

1

2

2

1

4

12

1

4

12

1

02

2

1

0

2

1

4

12

1

4

12

1

0

yy

ydydyxyx

dxdyyxdxdyyxf

YXP ，



前程企業


承上頁(3) 要計算，即計算函數在以底為的條件下所對應之體積，

所以

)1( YXP )2(3

2),( yxyxf

1 yx

3

1

2

1

3

2]

2

1

2

1

2

1[

3

22

1

2

3

3

2)1(

2

1)1(2

3

2

]2

12[

3

2)2(

3

2)1(

10

23

1

0

21

0

2

1

0

10

21

0

1

0

xxx

dxxxdxxxx

dxyxydxdyyx

YXP

xx



前程企業

4.3.3 邊際機率函數 (1/2)(一 )離散型二元隨機變數之邊際機率函數令為一離散型二元隨機變數，且

為 X 之所有變量，為 Y 之所有變量，

為二元隨機變數之聯合機率函數，隨機變數 X 、 Y 之邊際機率函數分別可以、表示如下： R. V. X 之邊際機率函數： R. V. Y 之邊際機率函數：

),( YX nxxx ,,, 21 myyy ,,, 21 ),( yxf

),( YX

)(xg )(yh

m

jj

m

jj yxfyYxXPxXPxg

11

),(),()()(

n

ii

n

ii yxfyYxXPyYPyh

11

),(),()()(



前程企業

4.3.3 邊際機率函數 (2/2)

( 二 )連續型二元隨機變數之邊際機率函數令為一連續型二元隨機變數且

為之聯合機率密度函數，則

),( YX ),( yxf ),(.. YXVR

dxyxfyh

dyyxfxg

),()(

),()(



前程企業

4.3.4 條件機率分配 (1/5)

( 一 )離散型隨機變數之條件機率函數令為離散型二元隨機變數且

為其聯合機率函數，為 X 之邊際機率函數，則

R.V.Y 在 X ＝ x 的條件下之條件機率函數定義為

),( YX ),( yxf)(xg

0)()(

),()( xg

xg

yxfxyf ，

參見例 4.21



前程企業

4.3.4 條件機率分配 (2/5)例題 4.21

由例 4.16 之聯合機率分配中，求 (1) 隨機抽取一位 16 ～ 25 歲之消

費者，其欲購買此產品之機率為何？ (2) 欲購買此商品之消費者中，何種年齡層發生之機率最大？ (3) 試求

。【解】 (1)

(2)

(3)

)121( XYP

7

5

35.0

25.0

)1(

)1,1()11()11(

h

fyxfYXP

12

5

60

25

6.0

25.0

)1(

)1,1()11()11(

g

fxyfXYP

12

5

60

25

6.0

25.0

)1(

)2,1()12()12(

g

fxyfXYP

6

1

60

10

6.0

1.0

)1(

)3,1()13()13(

g

fxyfXYP

6

5

60

25

60

25)12()11()121( xyfxyfXYP



前程企業

4.3.4 條件機率分配 (3/5)

( 二 )連續型隨機變數之條件機率函數令為一連續型二元隨機變數且

為其聯合機率密度函數，為 X 之邊際機率密度函

數， R.V.Y

在 X ＝ x 的條件機率密度函數定義為

),( YX ),( yxf)(xg

0)()(

),()( xg

xg

yxfxyf ，

參見例 4.22



前程企業

4.3.4 條件機率分配 (4/5)

例題 4.22若連續型二元隨機變數之聯合機率密度函數

(1) 試問 R.V. X 在之條件機率密度函數為何？

(2) 試求

(3) 試求

),( YX

其他，

，，，

0

10204

)31(),(

2

yxy

xyxf

yY )( yxf

?)3

1

2

1

4

1( YXP ｜

?)3

13

4

1( YXP ｜



前程企業

4.3.4 條件機率分配 (5/5)

承上頁【解】

(1)

(2)

(3)

2

431

21

431

431431

)(

),()(

22

0

2

2

2

0

2

2

x

yx

yx

dxy

x

yx

yh

yxfyxf

｜

64

3)

16

1

4

1(

4

1

4

1

2)

3

1()

3

1

2

1

4

1(

2

1

4

1

22

1

4

12

1

4

1

xdx

xdxyxfYXP ｜｜

64

63]

16

14[

4

10

4

10

2

)3

132()

3

12

4

1()

3

13

4

1(

2

4

1

22

4

1

xdxx

YXPYXPYXP ｜｜｜



前程企業

4.3.5 獨立隨機變數 (1/2)

在隨機實驗中，當一隨機變數 X 發生的機率不受另一個隨機變數 Y 產生的數值所影響，則 X 、 Y 稱之為獨立隨機變數。以條件機率 ( 密度 ) 函數來表示，

定理 4-1 令 (X , Y) 為一二元隨機變數， f (x, y) 為其聯合機率 ( 密度 ) 函數，而 g(x) 、 h(y) 分別為 R.V. X 、 Y 之邊

際機率密度函數，則以下四個敘述互為等價： (1)R.V. X 、 Y 互為 ( 統計 ) 獨立。 (2) 對所有 x , y ， (3) 對所有滿足之 x , y ， (4) 對所有滿足之 x , y ，

)()()()( xgyxfyhxyf 或

)()(),( yhxgyxf 0)( yh )()( xgyxf 0)( xg )()( yhxyf 參見例 4.24



前程企業

4.3.5 獨立隨機變數 (2/2)

例題 4.24 已知 R.V. X 、 Y 互為獨立，且 R.V. X 、 Y 之機率密度函數分別

為

試問二元隨機變數之聯合機率密度函數為何？

【解】因為 R.V. X 、 Y 獨立，所以當時，當或或時，因此，

其他，

,0

10,2)(

0,0

0,)(

yyyh

x

xexg

x

),( YX ),( yxf

10,0 yx xx yeyeyhxgyxf 22)()(),(0x 1y 0y 0),( yxf

其他,0

10,0,2),(

yxyeyxf

x



前程企業

4.3.6 多元隨機變數 (1/6)

多元隨機變數之聯合機率函數 1. 若為 n 個離散型隨機變數，如果滿足下列三個條件，則稱為 n

元隨機變數之聯合機率 ( 質量 ) 函數，

(1)

(2) 對所有的，

(3)

),,,( 21 nXXX

nXXX ,,, 21 ),...,,( 21 nxxxf),...,,( 21 nxxxf

),,,( 21 nXXX

),...,,(),...,,( 212211 nnn xxxfxXxXxXP

nxxx ,...,, 21 1),...,,(0 21 nxxxf

1

1),...,,(... 21x x

n

n

xxxf



前程企業

4.3.6 多元隨機變數 (2/6)

承上頁2. 若為 n 個連續型隨機變數，如果滿足下列三個條件，則稱為 n

元隨機變數之聯合機率密度函數：

(1)

(2) 對所有的，

(3)

nXXX ,...,, 21 ),...,,( 21 nxxxf

),...,,( 21 nxxxf

nXXX ,...,, 21

nn

A

n dxdxxxxfAXXXP ...),...,,(...]),...,,[( 12121

nxxx ,...,, 21 1),...,,(0 21 nxxxf

1...),...,,(... 2121

nn dxdxdxxxxf



前程企業

4.3.6 多元隨機變數 (3/6)

多元隨機變數之邊際機率分配如下，以 X1之邊際機率函數

為例：

(1) 當為離散型，

(2) 當為連續型，多元隨機變數之聯合邊際機率分配如下，以之聯合邊際機率函數為例：

)( 1xg

),...,,( 21 nXXX 2 3

),...,,(...)( 211x x x

n

n

xxxfxg

),...,,( 21 nXXX nn dxdxdxxxxfxg

32211 ),...,,(...)(

),( 21 XX),( 21 xxg

為連續型若

為離散型若

),,(,...),...,,(...

),,(,),...,,(...

),(214321

2121

213 4

nnn

nx x x

n

xxxdxdxdxxxxf

xxxxxxf

xxg n



前程企業

4.3.6 多元隨機變數 (4/6)

多元隨機變數之條件機率定義，如 R.V. 在

的條件機率函數為

同理也可推廣至聯合條件機率分配，如在

之聯合條件機率函數為

1X),,44 nn xXxX

0),...,,(),...,,(

),...,,,(),...,,(

3232

321

321

nn

n

nxxxg

xxxg

xxxxfxxxxf ，

),( 21 XX

0),...,,(),...,,(

),...,,,(),...,,,( 43

43

3214321 n

n

nn xxxg

xxxg

xxxxfxxxxxf ，

,,( 3322 xXxX

,( 33 xX ),,44 nn xXxX



前程企業

4.3.6 多元隨機變數 (5/6)

定理 4-2 令為 n 元隨機變數，為其

聯合機率 ( 密度 ) 函數，而為 R.

V. 之邊際機率函數，則 R.V.

互為 ( 統計 ) 獨立對所有

),...,,( 21 nXXX ),...,,( 21 nxxxf)(),...,(),( 2211 nn xfxfxf

nXXX ,,, 21 nXXX ,,, 21

，nxxx ,,, 21

),...,,( 21 nxxxf )()()( 2211 nn xfxfxf

參見例 4.25



前程企業

4.3.6 多元隨機變數 (6/6)例題 4.25

已知明偉燈泡公司所生產之燈泡壽命為一隨機變數，且其機率函數

為，今隨機從公司中抽出四個燈泡，

令其壽命分

別為，且已知互為 ( 統計 ) 獨立，試求，

【解】因互為獨立，所以之

聯合機率函數如下：當時，

否則，。因此，

0,0

0,)(

x

xexf

x

4321 ,,, XXXX4321 ,,, XXXX?)2,1,21,2( 4321 XXXXP

4321 ,,, XXXX ),,,( 4321 XXXX

0,0,0,0 4321 xxxx)(

4321432143214321)()()()(),,,( xxxxxxxx eeeeexfxfxfxfxxxxf

0),,,( 4321 xxxxf

01720.0)1)()(1(

)2,1,2,2(21212

4321)(

2

1

0

2

1

2

043214321

eeeee

dxdxdxdxeXXXXP xxxx



前程企業

4.4 隨機變數函數之機率分配 ( 一 )離散型隨機變數函數之機率分配 ( 二 )連續型隨機變數函數之機率分配



前程企業

4.4 隨機變數函數之機率分配 (1/9)

( 一 ) 離散型隨機變數函數之機率分配我們將此定義陳述在以下定理中，定理 4-3 假設 X 為一個離散型隨機變數且其機率函數為

，如果為之一對一轉換的函

數 ( 即，可以由此找出唯一一個關係

式 ) ，則的機率函數

)(xf )(XqY XVR ..

)(Xqy )(yux YVR ..

)]([)( yufyg

參見例 4.26



前程企業


例題 4.26

若離散型之機率函數

，令

試問之機率函數【解】對於， Y 為 X 之一對一轉換的函數，即；對於

，此時。所以之機率函數

XVR ..

其他,0

3,2,1,15

13)(

xx

xf 2XY

YVR .. 為何？)(yg

0)(3,2,1 xfX ，yxxy 23,2,1x

0)( yg

YVR ..

其他,0

9,4,1,15

13)( y

yyfyg



前程企業


定理 4-4 假設 (X1, X2) 為二元離散型隨機變數且其聯合機率函數為，如果

和為

之一對一轉換的函數，即

時，可以由此找出唯一一個關係式

，則

之聯合機率函數

),( 21 xxf ),( 2111 XXqY ),( 2122 XXqY 21,.. XXVR

),(),( 21222111 yyuxyyux ， 21,.. YYVR

]),(,),([),( 21221121 yyuyyufyyg

),( 2111 xxqy ),( 2122 xxqy ，



前程企業


( 二 )連續型隨機變數函數之機率分配我們將此定義陳述在以下定理中，

定理 4-5 假設 X 為一個連續型隨機變數且其機率密度函數為，如果

為之一對一轉換的函數 ( 即，可

以由此找出唯一一個關係式 ) ，則

的機率函數

)(xf )(XqY XVR ..

YVR ..

Jyufyg )]([)( 參見例 4.29

)(xqy )(yux



前程企業


例題 4.29

若連續型之機率密度函數，令

，試問之機率密度函數【解】因為 Y 為 X 之一對一轉換的函數，即 ( )

所以，，且之機率函數

XVR .. 其他,0

21,32)( xxxf 15 XY

YVR .. ?)( 為何yg

5

115

yxxy

5

1

dy

dxJ YVR ..

其他,0

116,75

)1(2)

5

1(

yy

Jy

fyg



前程企業


定理 4-6 假設 ( ) 為二元連續型隨機變數且其聯合機率密

度函數為，如果和

為之一對一轉換的函數 ( 即

時，可以由此找出唯一一個關係式

) ，則二元的聯合機率密度函數

21, XX

),( 21 xxf ),( 2111 XXqY ),( 2122 XXqY 21,.. XXVR ),( 2111 xxqy

),( 2122 xxqy ，),(),( 21222111 yyuxyyux ， 21,.. YYVR

參見例 4.30

Jyyuyyufyyg )],(),,([),( 21221121



前程企業


例題 4.30已知連續型的聯合機率密度函數

令，試問，(1) 的聯合機率密度函數(2) 之機率密度函數

21,.. XXVR

其他,0

0,0,),( 21

)(

21

21 xxexxf

xx

22211 23 XYXXY ， 21,.. YYVR ?),( 21 為何yyg

1.. YVR ?)( 1 為何yh



前程企業

4.4 隨機變數函數之機率分配 (8/9)承上頁【解】

(1) 因為

( ) ，所以

且，因此之機率函數

212221

122211 ,3

2,23 yyyx

yyxxyxxy

，且

01 x ，，，， 103

2

3

1

2

2

1

2

2

1

1

1

y

x

y

x

y

x

y

x

3

1

103

2

3

1

J YVR ..

其他,02

0,0,3

1),

3

2(,

121

)3

(

221

21

21 yyyeJy

yyfyyg

yy



前程企業


承上頁(2) 因為之機率函數為

之邊際機率密度函數，所以當

即

1.. YVR )( 1yh ),.(. 21 YYVR，01 y

23

2

0

)3

(2

0 2

)3

(

2211

11

1

211 21

3

1),()(

yy

yyyy yy

ee

edyedyyygyh

其他,00,)( 1

231

11

yeeyhyy

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