线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分
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线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析
2.1 线性连续系统的描述及其响应
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线
性常系数微分方程。对于电系统,列写数学模型的基本依据有如下两方面。
1. 元件约束 VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下: (1) 电阻 R , uR(t)=R·iR(t) ;
(2) 电感 L ,
(3) 电容 C ,
(4) 互感 ( 同、异名端连接 ) 、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。
00
( ) 1( ) , ( ) ( )
tL
L L L Lt
di tu t L i i t u d
dt L
00
( ) 1( ) , ( ) ( ) ( )
tC
C C C Ct
du ti t C u t u t i d
dt C
2. 结构约束 KCL 与 KVL 下面举例说明。 例 2―1 图 2.1 所示电路,输入激励是电流源 iS
(t), 试列出电流 iL(t) 及 R1 上电压 u1(t) 为输出响应变量的方程式。
iS
( t )
iC
( t )
u1
( t )
iL
( t )
R2
R1
L
£«
£
解 由 KVL ,列出电压方程
1 2
2
21
1 221
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
1 ( ) ( ) ( )( )
C L L
LL
L L
u t u t u t R i t
di tL R i t
dt
di t di t di tu t L R
R C dt dt dt
对上式求导,考虑到 1 1
( )( ) ( ) ( )C
C C
du ti t C R i t u t
dt
根据 KCL ,有 iC(t)=iS(t)-iL(t) ,因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
2
1 22
21 2 1
2
1 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )
( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( )
S L L LS L
L L SL S
di t di t d i t di ti t i t R L R
C dt dt dt dt
d i t R R di t R di ti t i t
dt L dt LC L dt LC
整理上式后,可得
2 21 1 2 1 1 2
1 12 2
( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) S Sd i t R R di t d i t R R di t
i t Rdt L dt LC dt L dt
从上面例子可得到两点结论:
(1) 解得的数学模型,即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数 ( 即独立动态元件的个数 ) 是一致的。
(2) 输出响应无论是 iL(t) 、 u1(t) ,或是 uC(t) 、 i1(t) ,还是其它别的变量,它们的齐次方程都相同。
这表明,同一系统当它的元件参数确定不变时,它的自由频率是唯一的。
2.1.2 微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般,如果单输入、单输出线性非时
变的激励为 f(t) ,其全响应为 y(t) ,则描述线性非时变系统的激励 f(t) 与响应 y(t) 之间关系的是 n 阶常系数线性微分方程,它可写为
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1
f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) 式中 an-1 ,…, a1 , a0 和 bm ,
bm-1 ,…, b1 , b0 均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解,用 yh(t) 表示。非齐次方程的特解用 yp(t) 表示。即有
y(t)=yh(t)+yp(t)
1. 齐次解
齐次解满足齐次微分方程
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等数学经典理论知,该齐次微分方程的特征
方程为 λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0
(1) 特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同( 即无重根 ) ,则微分方程的齐次解
(2) 特征根有重根。若 λ1 是特征方程的 γ 重根,即有 λ1=λ2=λ3=…=λγ ,而其余 (n-γ) 个根 λγ+1 ,λγ+2 ,…, λn 都是单根,则微分方程的齐次解
1
( ) i
nt
h ii
y t c e
1
( ) j
nti
h ii
y t c t e
(3) 特征根有一对单复根。即 λ1, 2=a±jb ,则微分方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4) 特征根有一对 m 重复根。即共有 m 重 λ1,2=
a±jb 的复根,则微分方程的齐次解
11 2
11 2
( ) cos cos cos
sin sin sin
at m ath m
at at m atm
y t c dt c te dt c t e dt
d e bt d te bt d t e dt
2. 特解
特解的函数形式与激励函数的形式有关。下表列出了几种类型的激励函数 f(t) 及其所对应的特征解 yp(t) 。选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其待定系数 Pi ,就可得出特解。
激励函数及所对应的解
3. 完全解
根据上节所讲,完全解是齐次解与特解之和,如果微分方程的特征根全为单根,则微分方程的全解为
1
( ) ( )i
nt
i pi
y t c e y t
当特征根中 λ1 为 γ 重根,而其余 (n-γ)个根均为单根时,方程的全解为
1
1 1
( ) ( )i
nt t
i i pi j
y t c t e c e j y t
如果微分方程的特征根都是单根,则方程的完全解为上式,将给定的初始条件分别代入到式上及其各阶导数,可得方程组
y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)
y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)
…
y(n-1)(0)=λn-1 1c1+ λn-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1)p(0)
2.1.3 零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 {x(0)} 所引起的响应,用 yx(t) 表示;零状态响应是系统的初始状态为零 ( 即系统的初始储能为零 ) 时,仅由输入信号所引起的响应,用 yf(t) 表示。这样,线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和,即
y(t)=yx(t)+yf(t)
在零输入条件下,式 (2―7) 等式右端均为零,化为齐次方程。若其特征根全为单根,则其零输入响应
式中 cxi 为待定常数。
若系统的初始储能为零,亦即初始状态为零,这时式 (2―7)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根,则其零状态响应
1
( ) i
nt
x xii
y t c e
1
( ) ( )i
nt
f fi pi
y t c e y t
式中 cfi 为待定常数。
系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应,也可分解为零输入响应和零状态响应,它们的关系为:
1 1 1
( ) ( ) ( )i i i
n n nt t t
i p xi fi pi i i
y t c e y t c e c e y t
式中
1 1 1
i i i
n n nt t t
i xi fii i i
c e c e c e
在电路分析中,为确定初始条件,常常利用系统内部储能的连续性,即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换路发生在 t=t0 时刻,有
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )C C
C L
u t u t
i t i t
2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2.1 冲激响应
一线性非时变系统,当其初始状态为零时,输入为单位冲激信号 δ(t) 所引起的响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,用 h(t) 表示。亦即,冲激响应是激励为单位冲激信号 δ(t) 时,系统的零状态响应。其示意图如下图所示。
冲激响应示意图
0 t
( t )
(1)ÏßÐÔ·Çʱ±äϵͳ
( t ) h ( t )
{¡Á(0)}£½{0}
t
h ( t )
0
1. 冲激平衡法
冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等,方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应 h(t) 。
例: 已知某线性非时变系统的动态方程式为
( )3 ( ) 2 ( ) ( 0)
dy ty t f t t
dt
试求系统的冲激响应 h(t) 。
解 根据系统冲激响应 h(t) 的定义,当 f(t)=δ(t)时,即为 h(t) ,即原动态方程式为
由于动态方程式右侧存在冲激信号 δ(t) ,为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧也必须含有 δ(t) 。这样冲激响应 h(t)必为 Aeλtu(t) 的形式。考虑到该动态方程的特征方程为
( )3 ( ) 2 ( ) ( 0)
dh th t t t
dt
3 0
特征根 λ1=-3 ,因此可设 h(t)=Ae-3tu(t) ,式中 A为待定系数,将 h(t) 代入原方程式有
3 3
3 3 3
[ ( )] 3 ( ) 2 ( )
( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( )
( ) 2 ( )
t t
t t t
dAe u t Ae u t t
dt
Ae t Ae u t Ae u t t
A t t
即
解得 A=2 ,因此,系统的冲激响应为3( ) 2 ( )th t e u t
求导后,对含有 δ(t) 的项利用冲激信号 δ(t) 的取
样特性进行化简,即
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (0) ( )
df t g t f t g t f t g t
dt
f t g t f t
2. 等效初始条件法
系统冲激响应 h(t) 的求解还有另一种方法,称为等效初始条件法。冲激响应 h(t) 是系统在零状态条件下,受单位冲激信号 δ(t) 激励所产生的响应,它属于零状态响应。
例: 已知某线性非时变 (LTI) 系统的动态方程式为
y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0
试求系统的冲激响应 h(t) 。
解 冲激响应 h(t) 满足动态方程式 h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0
由于动态方程式右边最高次为 δ(t) ,故方程左边的最高次 h′(t) 中必含有 δ(t) ,故设
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)
因而有 h(t)=Au(t) 将 h′(t) 与 h(t) 分别代入原动态方程有
Aδ(t)+Bu(t)+3Au(t)=2δ(t) Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t) 解得
A=2 , B=-6
3. 其它方法
系统的冲激响应 h(t)反映的是系统的特性,只与系统的内部结构和元件参数有关,而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应 h(t) 可以由冲激信号δ(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应 h(t) 的过程中,都是已知系统的动态方程。
2.2.2 阶跃响应
一线性非时变系统,当其初始状态为零时,输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,用 g(t) 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 u(t) 时,系统的零状态响应,如图 2.17 所示。
ÏßÐÔ·Çʱ±äϵͳ
g ( t ){¡Á(0)}£½{0}
0
1
t
u ( t )
g ( t )
0 t
u ( t )
阶跃响应示意图
如果描述系统的微分方程是式
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1
f (m-1)(t)+… +b 1f(1)(t)+b0f(t) ,
将 f(t)=u(t) 代入,可求得其特解
上的特征根 λi(i=1 , 2 ,…, n) 均为单根,则系统的阶跃响应的一般形式 (n≥m) 为
0
0
( )b
u ta
0
1 0
( ) ( ) ( )i
nt
ii
bg t c e u t
a
2.3 卷积积分
2.3.1 信号分解为冲激信号序列
在信号分析与系统分析时,常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样,对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析,从而将复杂问题简单化,且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。
信号分解为冲激序列
从上图可见,将任意信号 f(t) 分解成许多小矩形,间隔为 Δτ,各矩形的高度就是信号 f(t) 在该点的函数值。根据函数积分原理,当 Δτ很小时,可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号 f(t) ;而当 Δτ→0 时,可以用这些小矩形来精确表达信号 f(t) 。即
( ) (0)( ( ) ( )) ( ) ( ) ( 2 ))
( )( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( ) ( 2 )(0) ( )
( ( ) ( ))( )
( (( )
k
f t f u t u t f u t u t
f k u t k u t k
u t u t u t u tf f
u t k u t kf k
u tf k
) ( ))k u t k
上式只是近似表示信号 f(t),且Δτ越小,其误差越小。当 Δτ→0 时,可以用上式精确地表示信号 f(t) 。由于当 Δτ→0 时, kΔτ→τ, Δτ→dτ,且
0
0
( ( ) ( ))( )
( ( ) ( ))( ) lim ( )
lim ( ) ( )
( ) ( )
k
k
u t k u t kt
u t k u t kf t f k
f k t k
f t t d
故式在 Δτ→0 时,有
2.3.2 卷积积分法求解零状态响应
在求解系统的零状态响应 yf(t) 时,将任意信号 f(t)都分解为冲激信号序列,然后充分利用线性非时变系统的特性,从而解得系统在任意信号 f(t) 激励下的零状态响应 yf(t) 。
由上式可得
0( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )
k
f t f t t d f k t k
上式表明 ,任意信号 f(t) 可以分解为无限多个冲激序列的叠加。不同的信号 f(t)只是冲激信号 δ(t-kΔτ)前的系数 f(kΔτ) 不同 ( 系数亦即是该冲激信号的强度 ) 。这样,任一信号 f(t)作用于系统产生的响应 yf(t) 可由诸 δ(t-kΔτ) 产生的响应叠加而成。 对于线性非时变系统,若系
统的冲激响应为 h(t) ,则有下列关系式成立。
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim ( ) ( )
k k
k
fk
t h t
t k h t k
f k t k f k h t k
f k t k f k h t k
f t f k t k f t t d
y t f k h t k
( ) ( )f t h t d
系统的零状态响应 yf(t) 为输入激励 f(t) 与系统的冲激响应 h(t) 的卷积积分,为
( ) ( ) ( ) ( ) ( )fy t f t h t d f t h t
2.3.3 卷积积分的性质
1. 卷积积分的代数性质
卷积积分是一种线性运算,它具有以下基本特征。
1)交换律( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f t h t h t f t
f h t d f h t d
由上式说明两信号的卷积积分与次序无关。即系统输入信号 f(t) 与系统的冲激响应 h(t) 可以互相调换,其零状态响应不变。
系统级联满足交换律
h 1 ( t ) h 2 ( t )
h 1 ( t )h 2 ( t )
( t )
( t )
h ( t )£½h 1 ( t ) h 2 ( t )*
h ( t )£½h2
( t ) h1
( t )*
2) 分配律 (f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)
上式的实际意义如下图所示,表明两个信号 f1(t) 与 f2(t)叠加后通过某系统 h(t) 将等于两个信号分别通过此系统 h(t) 后再叠加。
卷积分配律示意图
h ( t )¡Æ
h ( t )
h ( t )
¡Æ
f1 ( t )
f2
( t )
f1 ( t )
f2
( t )
y ( t )
y ( t )
3) 结合律
设有 u(t) , v(t) ,w(t)三函数,则有 u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)
由于 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )
u t t v t d
u t v t t u v t d d
此时积分变量为 τ
此时积分变量为 λ ,而从上式来看,对变量 τ而言, λ 无异于一常数。可引入新积分变量 x=λ+τ,则有 τ=x-λ,dτ=dx 。将这些关系代入上式右边括号内,则有
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )u t v t t u v t d d
交换积分次序,并根据卷积定义,即可得
( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )
( ( ) ( )) ( )
( ( ) ( )) ( )
u t v t t u v t d d
u t v t t x dx
u t v t t
4) 卷积的微分特性
设
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
则
y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)
证明 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
d dy t f h t d
dt dt
f h t d
f t h t
5) 卷积的积分特性
设
y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t)
则
y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t)
式中 y(-1)(t) , f(-1)(t) 及 h(-1)(t) 分别表示 y(t) ,f(t) 及 h(t) 对时间 t 的一次积分。
6) 卷积的等效特性
设
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
则
y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)
证明卷积微分特性,有 y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)
将上式对时间 t 积分,即可证明式 y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)
上式说明,通过激励信号 f(t) 的导数与冲激响应 h(t) 的积分的卷积,或激励信号 f(t) 的积分与冲激响应 h(t) 的导数的卷积,同样可以求得系统的零状态响应。这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径。
上述性质 4) 、 5) 、 6) 可以进一步推广,其一般形式如下:
设
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
则
y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t)
7) 卷积的延时特性
若
f(t)*h(t)=y(t)
则有
f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2)
2. 奇异信号的卷积特性
含奇异信号的卷积积分具有以下特性。
1)延时特性
f(t)*kδ(t-t0)=kf(t-t0)
Df ( t ) y ( t )£½f ( t £ t0
)
0 tt 0
(1)
h ( t )
(a ) (b )
理想延时器及其冲激响应
同理,如果一个系统的冲激响应 h(t) 为 δ(t) ,则此系统称为理想放大器,其中 k 称为放大器的增益或放大系数,如图所示。当信号 f(t)通过该放大器时,其输出为
y(t)=f(t)*kδ(t)=kf(t)
即输出是输入信号 f(t) 的 k倍。
理想放大器及其冲激响应
f ( t ) y ( t )£½k f ( t )
0 t
(k )
h ( t )
(a ) (b )
2) 微分特性
f(t)*δ′(t)=f′(t)
即,任意信号 f(t) 与冲激偶信号 δ′(t) 卷积,其结果为信号 f(t) 的一阶导数。
如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号 δ′(t) ,则此系统称为微分器,如下图所示。
微分器及其冲激响应
f ( t ) y ( t )£½f ( t )
0 t
(1 )
h ( t )
(a ) (b )
¡ätd
d
(£ 1 )
3) 积分特性
即,任意信号 f(t) 与阶跃信号 u(t) 卷积,其结果为信号 f(t) 本身对时间的积分。如果一个系统的冲激响应为阶跃信号 u(t) ,则此系统称为积分器,如下图所示。
( 1)( ) ( ) ( ) ( )t
f t u t f t f d
积分器及其冲激响应
f ( t ) y ( t )£½f (£ 1) ( t )
0 t
h ( t )
(a ) (b )
1
2.3.4 卷积积分的计算
1. 解析计算
参与卷积的两个信号 f1(t) 与 f2(t) 都可以用解析函数式表达,可以直接按照卷积的积分定义进行计算。
例:
已知 f1(t)=e-3t u(t) ,
f2(t)=e-5t u(t) ,试计算两信号的卷积 f1(t)*f2(t) 。
解 根据卷积积分的定义,可得
1 2 1 2
3 5( )
3 5( )
3 5
3 5
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1( )
21
( ) ( )2
t
t
t t
t t
f t f t f f t d
e u e u t d
e e d
e e
e e u t
在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时,对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到,避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算。卷积积分表如下表所示。当然,在利用解析式进行求解信号卷积时,可以利用卷积的一些特性来简化运算。
卷积积分常用公式表
2. 图解计算
对于一些较简单的函数符号,如方波、三角波等,可以利用图解方式来计算。而且,熟练掌握图解卷积的方法,对理解卷积的运算过程是有帮助的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。
例: 已知
分别如下图 (a) , (b) 所示。试用图解法求两信号的卷积 y(t)=f(t)*h(t) 。
1 0 0( ) , ( )
0 0, 0 0,
t T t t Tf t h t
t t T t t T
0 T 2 T 3 T
1
f ()
(a )
0 T 2 T 3 T
1
h ( t £ )
tt £ 2 T
( t £¼0)
(c )
0 T 2 T 3 T
1
(d )
h ( t £ )
t £ 2 T t
(0 £¼t £¼T )
0 T 2 T 3 T
1
t
t £ 2 T
(T £¼t £¼2T )
(e )
h ( t £ )
0 T 2 T 3 T
1
( f )
h ( t £ )
t £ 2 T
(2 T £¼t £¼3T )
2 T0 T 2 T 3 T
1
t
t £ 2 T
( t £¾3T )
(g )
h ( t £ )
0 T 2 T 3 T
(h )
y ( t )
2
2
3t
t
0 T 2 T 3 T
1
h ()
(b )
综合各段结果,有:
2
2
2 3
0 ( 0)
1(0 )
21
( ) ( ) ( ) ( 2 )2
1 3(2 3 )
2 20 ( 3 )
t
t t T
y t f t h t Tt t T t T
t Tt T T t T
t T
3. 数值近似计算
卷积积分实际上是一个定积分,是计算 f(τ)·h(t-τ) 的面积,如果两卷积信号的函数形式复杂,我们在具体计算时又会遇到数学上的困难。有时激励信号不能用基本函数来表示,可能只是一条曲线或者一组测试数据。因此有必要在时域中进行近似的数值计算。
若两个信号 f(t) 与 h(t) 都是有始单边信号,则有
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ty t f t h t f h t d
卷积的数值计算示意图
卷积积分值可以近似地用两块矩形面积 (f0h2+f1h1)T来表示。按此过程,随着参变量 t 的不断增加, f(τ) 与h(t-τ) 的重叠面积随之而不断变化,用相应的矩形面积近似代表 f(τ)·h(t-τ) 的积分。
上述数值近似计算的卷积积分可写成一般表达式,为
1
0
( )n
m n mm
y nT T f h
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