מתמטיקה בדידה

Post on 05-Jan-2016

123 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

DESCRIPTION

מתמטיקה בדידה. תרגול 3. אינדוקציה. אקסיומת האינדוקציה: טענה: לכל n , בהינתן קבוצת סוסים בגודל n , לכולם אותו הצבע. "הוכחה": הטענה ברורה כאשר n= 1. נניח הטענה נכונה לכל קבוצה בגודל k . "נוכיח" עבור קבוצה בגודל k+ 1 . נוציא מהקבוצה סוס, וניוותר עם קבוצה בגודל k. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

מתמטיקה בדידה

3תרגול

אינדוקציהאקסיומת האינדוקציה:•

, לכולם אותו הצבע.n, בהינתן קבוצת סוסים בגודל nלכל טענה: •

)(1()()1( nPNnkPkPNkP

.n=1הטענה ברורה כאשר "הוכחה": •

. "נוכיח" עבור k נניח הטענה נכונה לכל קבוצה בגודל •. נוציא מהקבוצה סוס, וניוותר עם קבוצה k+1קבוצה בגודל

. kבגודל נניח צבע כל הסוסים הוא לבן.• נחזיר את הסוס שהוצאנו, ונוציא סוס אחר. שוב לפנינו •

.kקבוצה בגודל

הוא לבן. k+1 כלומר צבע הסוסים בקבוצה בגודל •

לכן צבע כל הסוסים שוב לבן.•

אינדוקציה (המשך)

. k=2 ל – k=1הרמאות בהוכחה הזאת היא במעבר בין •כשנוציא סוס מהקבוצה, נישאר עם קבוצה בגודל אחד.

לכל הסוסים אותו הצבע אמנם, אבל כשאנחנו חוזרים על התהליך פעמיים, הצבע של שתי קבוצות הסוסים בגודל

אחד לא בהכרח זהה., כלומר שלכל זוג k=2אם היה נתון לנו שהטענה נכונה עבור •

סוסים בעולם יש אותו הצבע, אז באמת היה נובע שבכל קבוצת סוסים בגודל כלשהי, צבע הסוסים זהה

כללי דה-מורגן למספר רב של משתנים

לכל :טענה:•

. כבר הראינו שהטענה נכונהn=2 עבור הוכחה באינדוקציה:•

2n nn AAAAAA 2121

kk AAAAAA 2121

121 kk AAAA

נניח הטענה נכונה עבור k נוכיח עבור .k+1.

121 kk AAAA

121 kk AAAA

כללי דה-מורגן ושלילת פסוק עם כמתים

קיים קשר בין כללי דה-מורגן לבין שלילת •פסוק עם כמתים.

Xנניח נתון לנו . נניח גם ש – •קבוצה סופית, כלומר: . אזי את הפסוק ניתן גם להציג כ - . על-פי כללי דה-מורגן, שלילתו של פסוק זה

, שהינו שקול היא . לפסוק

)(xPXx

nxxxX ,,, 21

)()()( 21 nxPxPxP

)()()( 21 nxPxPxP )(xPXx

קבוצות - הגדרות

. למשל , שייך• םאם" •. אין כפילות2אין חשיבות לסדר איברים •:הכלה•:הכלה ממש•

: הקבוצה שכל האיברים לא שייכים אליה. הקבוצה הריקה•זו הקבוצה שאין בה איברים.

{ , } { , , ,{ , }}1 2 3 4 5 1 2}}2,1{,5,4,3{}4,3{

BABxAxx { , } { , } { , , }3 9 9 3 3 3 9

BxAxxBA )).()(( AxBxBxAxxBA

{ , } { , , , }3 5 1 3 4 5

קבוצות - דוגמאות

קבוצה ריקה: :• xx}}{,2,1{},{,,

}{}{

}{}{

}},{,,{},{ bababa }},{,,{},{ abaa }},{,,{},{ abaa 11AA

קבוצות – הגדרות (המשך)

: לכל קבוצה•

איחוד:•

חיתוך:•

משלים:•

הפרש:•

הפרש סימטרי:•

AAAA ,

BxAxBAxx BxAxBAxx

)( AxAxx

BABA \

)\()\( ABBABA

קבוצות - תכונות

דיאגרמות ואן – טוב לאינטואיציה אבל לא להוכחה.•

אסוציאטיביות•

דיסטריבוטיביות•

קומוטטיביות.•

:דה מורגן•A B A B BABA

A B C A B A C ( ) ( ) ( )

A B C A B A C ( ) ( ) ( )

A B C A B C ( ) ( )A B C A B C ( ) ( )

ABBA ABBA

קבוצות - דוגמאות

טענה:•

הוכחה: •

)(\)( BABABA

)\()\()\()\( ABBAxABBAxBAx ))()(())()(( AxBxBxAx

))()(())^()(())^()(())^()(( AxBxBxBxAxAxBxAx TBxBxTAxAx ))()((,))()((

))()(()( AxBxBAx )(\)()()( BABAxBAxBAx

βכלל קבוצות -

לקבוצות מגדיר את אחד הסימונים βכלל • :לקבוצות

x היא איזושהי נוסחא שבה המשתנה Ψכאשר הוא חופשי. הסימון מימין מיצג את הביטוי

Ψ כאשר מחליפים בו את המופעים t. ב –xהחופשיים של

דוגמא: אם ורק אם כיוון ש •זה אמת אזי גם אמת.

xtxt /

23 xx2323 23 xx

דוגמה:• 0652 2 xxx

)1קבוצות – דוגמא (

: הוכח או הפרך: שאלה•

: דוגמא נגדית•מתקיים:

x y x y A x A y A({ , } ( ) ( ))

A x y {{ , }}, ,1 2 1 2

{ , } {{ , }} {{ , }} {{ , }}1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

)2קבוצות – דוגמא (

האם •

xyx

Nxyyx2

114

פתרון: נבדוק אם•

42

11y

xNxyy

כלומר נבדוק אם

4

2

11y

yNyy

נראה שזה שקר ע"י הוכחת השלילה שלו:

4

2

11y

yNyy

לכן שלילתו y=3זה פסוק אמת. הוכחה לא שייך לקבוצה.4היא שקר. ו

קבוצת החזקה

זו Aקבוצת כל הקבוצות החלקיות של של •A:Pקבוצת החזקה של A B B A( ) { | )

A דוגמא:• P A { , }, ( ) { ,{ },{ },{ , }}1 2 1 2 1 2

APA)(AP)( תמיד מתקיים וגם .•

}{)( P דוגמא:•

קבוצת החזקה )המשך(

)()( תרגיל: אם אז .• VPWP VW

VWPVPWPהוכחה: כמו כן )()()()(WPW

VWלכן .

של הקבוצה עוצמה עבור קבוצה סופית, ההגדרה: בה. הוא מספר האיברים

איברים, אז בקבוצת החזקה שלה יש kאם בקבוצה איברים.

k2

מכפלה קרטזית

אוסף הגדרה: מכפלה קרטזית של הקבוצות•הזוגות הסדורים

BA,

A B a b a A b B {( , )| , }

}4,2,3,2,4,1,3,1{}4,3{}2,1{ למשל:•

למשל:• { , }3 4

, אז m היא B, והעוצמה של n היא Aאם העוצמה של .nm היא AXBהעוצמה של

מכפלה קרטזית

הוכח או הפרך:

1()()()( CABACBACBA

}1{}2,1{}3,1{הטענה לא נכונה CBA

2()()()( CABACBACBA

}1{}2,1{}3,1{הטענה לא נכונה CBA

המשלים של קבוצה

, E ביחס לקבוצה Aהמשלים של קבוצה • , הוא :

.הקבוצה האוניברסלית מכונה Eהקבוצה

EA}|{ AxExA

והקבוצה אם : דוגמה •האוניברסלית היא קבוצת הממשיים, אז

0| xRxA

}0|{ xRxA

AEA תמיד מתקיים: , , AAEAA

AEA BABA

)1דוגמה (

הוכח כי:

הוכחה באינדוקציה:

n=1עבור

)(...)()()...( 2121 BABABABAAA nn

BABA 11

)()( :nנניח הטענה נכונה עבור 11 BABA inii

ni

)()( :n 1+ נראה שהטענה נכונה עבור 11

11 BABA i

nii

ni

אגף ימין:)(})]{[()][()( 11

11

11 BABABABA ni

nii

nii

ni

)2דוגמה (

הוכחת חוק דה מורגן הראשון:•

))}()((|{ BxAxxBA

))}()((|{ BxAxx

BABxAxx }|{

)3דוגמה (

Aהוכח • B C A B A C\ ( \ ) ( \ ) ( )

)\()\(\ CBACBA

)()( CBACBA

) ( ) \ ( ) ( ) (C A B A C A B A

)4דוגמה (

BABAהוכח •

)()( ABBABA

)()( ABBA

BAABBA )()(

1תרגיל בית -

ג:3שאלה •)()( 22 yxyxyx

))()(( 22 yxyxyx ))()(( 22 yxyxyx

top related