第一章 初等数学提要及重要公式

第一章 初等数学提要及重要公式第一章 初等数学提要及重要公式

第一节 初等代数 第二节 常用的初等几何公式 第三节 三角函数 第四节 平面解析几何 第五节 排列与组合 第六节 数学实验一 Mathematica 入门和一元函数的

图形绘制

第一节 初等代数第一节 初等代数一、实数

实数

有理数

整数

分数

正整数

零负整数

正分数负分数

无理数 正无理数负无理数

实数系表如下 .

我们把规定了原点、正方向和长度单位的直线称为数轴，如图 1-1 所示 .

O-1 1 a

图 1-1 数轴

实数的全体和数轴之间建立了一一对应关系 .

二、乘法公式及分解因式由实数概念及运算性质很容易得到下面常用的公式 .

2 2 2

2

3 3 2 2 3

2 2

3 3 2 2

1 2 2 1

2

3 3

为正整数n n n n n n

a ab b

x a x b x a b x ab

a b a a b ab b

a b a b a b

a b a b a ab b

a b a b a a b ab b

a b

n

三、一元二次方程含有一个未知数，且未知数最高次数为二次的方程，叫

做一元二次方程.

2

2

0 0

0

一元二次方程均可化为 的形式.称

为一元二次方程的一般形式.

ax bx c a

ax bx c

1 2 , 若把方程的两个根设为 和 则一元二次方程求根公式为

x x

2

1,2 4 / 2x b b ac a

根与系数之间关系是

1 2 1 2, b c

x x x xa a

2 2

2 2

4 , 4 0, ;

4 0, 4 0, .

且判别式 如 方程有两个不等实根 有两个相等实根; 有两个共轭复根

b ac b ac

b ac b ac

5, 已知方程两根之和为 两根之积为3.求两根的平方和.例1

解1 2 1 2 1 2, 5, 3,设 为方程两根.则有 所以x x x x x x

22 2 2

1 2 1 2 1 22 5 2 3 19x x x x x x

四、不等式1. 基本性质

, ;

, 0, ;

, 0, ;

0, , .

如果 则

如果 则

如果 则

如果 则 n n n n

a b a c b c

a b c ac bc

a b c ac bc

a b n a b a b

N

2. 重要不等式3, .

2 3设以下各量均取正值，则必有

a b a b cab abc

1 21 2 ,一般地 即算术平均值不

小于几何平均值.

n nn

a a aa a a n

n

N

3. 绝对值不等式绝对值定义

, 0

, 0

a aa

a a

2

; ;

; ;

; ;

-

a b a b a b a b

a b a b a a a

a a ab a b

0 ;

0 , 0 .

-

或

aab a a

b b

a b b b a b a b b a b a b

3 7. 求解 2x 例2

解 3 7 2 3 7, 2 5.因为 2 所以 -7 所以得 x x x

五、指数与对数1. 指数

1, 1 ; ;个

正整数指数幂 n

n

a aaa a n n a a N

0 1 0 ;零指数幂 a a

10, ;负指数幂 n

na a n

a N

, 0, , , 1 .有理数指数幂 n

nmma a a m n m N

, 0, , ;

, 0, , ; 0, .

幂指数的运算法则有

a a a a

a a a ab a b a

R

R R

2. 对数 0, 1 ,如果 那么 叫做以 为底 的ba N a a b a N

对数， log ,记作 其中 叫做a N b a 底数， 叫做N 真数 .

对数的性质：

① ②

③ ④

;零和负数没有对数 log 1;底的对数等于1，即 a a

1 log 1 0;的对数等于0，即 a log , log .a N b

aa N a b

运算规则：

log log log 0, 0 ; a a aMN M N M N

log log log 0, 0 ; a a a

MM N M N

N

log log 0 ; n

a aM n M M

1log log 0 . n

a aM M Mn

换底公式：

loglog 0, 0 1

log 且 b

a

b

NN N b b

a

10常用对数：以 为底的对数叫做常用对数 , 10log 通常又N

lg .记作 N

自然对数：以e 为底的对数叫做 自然对数，loge 通常N

ln .又记为 其中数 为一无理数，N e 2.718281828459045 .e

8 27log 9 log 32 求 的值.例3

8 27

lg9 lg32 2lg3 5lg 2 2 5 10log 9 log 32

lg8 lg 27 3lg 2 3lg3 3 3 9 解

log log log . 求证 x y xy z z例4

证 log把 化成以 为底的对数，则y z x

loglog log log log

logx

x y x x

x

zy z y z

y

log 47 3, .若2 求正整数 n n 例5

解2 3 2 3

1 log 1, 2 log log 47

3log , log log 47 log , 47 ,

4,5,6.

当 时，因为 所以

所以 故整数

应取为

n n

n n

n

n n n n n n

n n n

n n

六、集合初步1. 集合的基本概念(1) 集合 把一些确定的对象看成一个整体，就形成了一个

集合 .一般用大写字母 ， ， 等来表示.A B C

(2) 元素 集合里的各个对象叫做集合的元素 .一般用小写

;

字母 等表示. 表示 是集合 的元素，读作“ 属于” 读作“ 不属于 ” ，表示 不是集合 的元素.

a, b, c a A a A a

A a A a A a A

(3) . 0 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作 吗？

(4) 常见的数集自然数集：记作整数集，记作有理数集，记作实数集，记作复数集，记作

;N

;Z

;Q;R

;C

2. 集合的表示法(1) (2) 列举法 描述法

3. 集合与集合的关系

子集，记作：(1) 子集 对于两个集合 与 ,如果集合 的任何一个元

素都是集合 的元素，那么集合 叫做集合 的 A B B

A B A

. 或 B A A B

如果集合 是集合 的子集，并且A中至少有一个元素不属于 ，那么集合 叫做集合 的

B A

B B A 真子集 ,记作 或B A

. 1 2 如图 所示.A B (2) 集合相等 对于两个集合 与 ,如果 ，同时

那么称集合 与集合 A B A B B A

A B

相等， .记作A= B

A

B

A B

图1-3 A B示意

B

A

图1-2 示意B A

(3) 交集 由集合 与集合 的所有公共元素组成的集合，叫做 与 的

A B

A B 交集 ,记作 ，如图 1-3 所示.A B

(4) 并集 把集合A与B的所有元素并在一起所组成的集合，叫做 与 的A B 并集，记作 .如图1-4所示.A B

(5) 全集与补集 在研究集合与集合之间的关系时，这些集合常常是某一个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，用符号 表示;已知全集 ，集合 ，由 中所有不属于 的元素所组成的集合，叫做集合 在全集 中的

A

A A

补集，.记作 Að

A B

图1-4 A B示意

A

图1-5 示意 A

A

在研究实数集时，常用到区间的概念.

, .设 是两个实数，且 把满足 的实数

的集合叫做a b a b a x b x

闭区间， , ;表示为 把满足 的实数 的a b a x b x

集合叫做开区间， , ,表示为 ；把满足 的a b a x b a x b

实数 的都叫做x 半开半闭区间， , , , .分别表示为 这里的a b a b

实数 与 都叫区间的端点.a b

,

, , , , ,

, , , , , .

实数 也可以用区间表示为 - , + 我们还把满足

的实数 的集合分别表示为 x a x a x b x b x a

a b b

R

= 用适当的符号 ，，， ， 填空. 例6

解

(1) ; (2) ; (3) .

(4) ; (5) 0 ; (6) .

1 0 0

0 1, 2 2, 1

N

R N

(1) ; (2) ; (3) .

(4) ; (5) 0 ; (6) .

1 0 0

0 1, 2 = 2, 1

N

R N

, | 2 3 1 , , | 3 ,

.

设 求 A x y x y B x y x y

A B

例7

解 , | 2 3 1 , | 3=A B x y x y x y x y

, | 2 3 1 3= 并且 x y x y x y

, | 2, 1 2,1= x y x y

第二节 常用的初等几何公式第二节 常用的初等几何公式1

(1) sin .2

三角形面积 S ab C

, .1

特别情况：若 = 即直角三角形面积 =2 2

C S ab

(2) , .1

梯形面积 = 其中 、 为上下底，高为 2

S a b h a b h

(3) 2 , . 圆周长 圆弧长 l r l r

2 2; ,1

圆扇形面积 = 其中 为圆半径， 2

为圆心角，以弧度

计

圆面积

.

= S r rS r

2(4) ,

,

圆柱体体积 侧面积 =2 , 全面积

=2 其中 为圆柱底面半径， 为圆柱的高.

V r h S rh

S r h r r h

2(5) , ,1

圆锥体体积 = 侧面积 = 其中 为圆锥3

底面半径， 为母线的长.

V r h S rl r

l

3(6) , .34 球体积 = 表面积 =4

3V r S r

第三节 三角函数第三节 三角函数

一、角的度量

(1)1

角度制 圆周角的 叫做360

1 度的角， 作记作 1，用度

角的单位.

度量

360 2 180

1 0.017453180

1 57 17 44.8

弧度， = 弧度

= 弧度 弧度

180 弧度=

(2) 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，

用弧度作度量角的单位.角度与弧度的换算：

二、任意角的三角函数

,

设 为一个任意角，角 的终边上任一点 的坐标为

，它与原点的距离为 图1-6，那么角 的六种三角函

数定义如下：

P

x y r

正弦函数 sin ;y

r

余弦函数 cos ;x

r

tan ;y

x 正切函数

余切函数 cot ;x

y

sec ;r

x 正割函数 余割函数 csc .

r

y

O x

y

r

,P x y

x

y

图 1-6 三象函数定义示意

三、同角三角函数的基本关系（表 1-2 ）表 1-2 同角三角函数关系

平 方 关 系商 的 关 系倒 数 关 系

sin csc 1

cos sec 1

tan cot 1

sintan

coscos

cotsin

2 2

2 2

2 2

sin cos 1

1 tan sec

1 cot csc

四、三角函数式的恒等变换（表 1-3 ）表 1-3 三角函数式的恒等变换

半角公式

积化和差

公式

倍角公式

半角公式加法定理

sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin

tan tantan

1 tan tan

sin 2 2sin cos 2 2 2sicos n 2cos 12 cos

2

2 tantan 2

1 tan

21 2sin

1 cossin

2 2

1 coscos

2 2

1 cos 1 cos sintan

2 1 cos sin 1 cos

1sin cos sin sin

2

1cos sin sin sin

2

1cos cos cos cos

2

1sin sin cos cos

2

万能公式和差化积公式

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2cos sin2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

2

2 tan2sin

1 tan2

2

2

1 tan2cos

1 tan2

2

2 tan2tan

1 tan2

三角形内的边角关系：2

sin sin sin (正弦定理)a b c R

A B C

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

(余弦定理)

b c bc A

b c a ca B

c a b ab

a

C

其中 、 、 分别是角 、 、 所对的边, 为三角形 的外接圆的半径.

a b c A B C R

ABC

五、三象函数的图像及性质;

1 8

正弦函数、余弦函数 图1-7(a), (b) 正切函数、余切函数

的图像见图 (a), (b).

O x

ysin , y x x R

234 2 3 41

1

(a)

O x

y

2 3 42341

1

(b)

图 1-7 正弦函数与余弦函数

cos , y x x R

O x

y

tany x

(a)

2

3

2

2

3

2

(b)

O x

y

coty x

3

2

2

2

3

2

2 2

图 1-8 正切函数与余切函数

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质见表 1-4 .

表 1-4 三角函数性质

奇偶性

周期性

值域

定义域

项 目 siny x cosy x tany x coty x

R R | ,2

且 x x x k k

R Z | ,且 x x x k k R Z

1,1

最大值为1

最小值为-1

1,1

最大值为1

最小值为-1

R

无最大值、最小值R

无最大值、最小值

2周期为 2周期为 周期为 周期为

奇函数 偶函数 奇函数 奇函数

sin 2 1 sin 2 1

cos 2 cos2

化简

n n

n

n

Z

例1

解 sin 2 sin 2

cos 2 cos2

原式=n n

n

sin sin

cos cos2

2sin2sec

sin cos

sin cos 将 1 化成积的形式. 例2

解 sin cos1

21 cos sin 2sin 2sin cos2 2 2

2sin sin cos2 2 2

2sin 2 sin2 2 4

2 2 sin sin2 2 4

2 2 2 2si 1 sin 2 sin 88 sin 89n

求下列的值:

例3

解 2 2 2 21 sin 89 sin 2 sin 8s 8in原式=

2 2 2sin 44 sin 46 sin 45

2

21 1 1 1

2

144

2

2 4 8cos cos cos

7 7 7

求下列的值：

例4

解2 2 4 8

2sin cos cos cos7 7 7 7

22sin

7

原式

4 4 8sin cos cos

7 7 72

2sin7

8 8 16 2sin cos sin sin 17 7 7 7 .

2 2 2 84sin 8sin 8sin7 7 7

cos36 cos 72 不查表求 的值. 例5

解 2sin 36 cos36 cos 72

2sin 36原式

sin 72 cos72

2sin 36

sin144

4sin 36

1.

4

22

2

tan 1 tan.

1 cot 1 cot

1+ 证明

例6

证

2 2 2

22 2

2 2 2 2

2 2

sin cos sin1 sincos cos

cos sin cos cos1sin sin

左边

22

2 2

2 2

cos sinsin11 tan sincoscos

cos1 cot cossin cos1sin sin

右边

.所以左边 右边

六、反三角函数反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数的

图像和性质(表1-5).表 1-5 反三角函数的图像和性质

arcsiny x arccosy x arctany x arccoty x

1,1 1,1 R R

,2 2

0, ,

2 2

0,

sin arcsin x x cos arccos x x tan arctan x x cot arccot x x

arcsin arccos2

x x

arctan arccot2

x x

1 1

2

2

O x

y

1 1O x

y

O x2

1

y

2

2

1 x

y

2

O

性质

图像

值域

定义域

函数式

反余切函数的主值反正切函数的主值反余弦函数的主值反正弦函数的主值项 目

第四节 平面解析几何

一、直线1. 直线的倾斜角与斜率

0, .

,

一条直线向上的方向与 轴的正向所成的角 叫做这条直线的倾斜角.当直线和 轴平行或重合时，规定倾斜角 =0,

因此 角的取值范围为 角的正切 叫做直线2

的斜率，用 表示，即 当 时，直线与 轴垂2

直，斜率 不存在.

x

x

k k tan x

k

2. 直线方程直线方程的各种形式（表 1-6 ）

一般式

截距式

斜截式

两点式

点斜式

说 明方 程已 知 条 件名 称

1 1,1直线上一点 和斜率P x y k

1 1 2 2, ,1 2直线上两点 和P x y P x y

直线的斜率 和在 轴上的截距 k y b

直线在 轴上截距 和在 轴上截距 x a y b

1 1y y k x x

1 2 1

1 2 1

y y y y

x x x x

y kx b

1x y

a b

0Ax By C

不包括和 轴垂直的直线 x

不包括过原点的直线

、 不同时为零A B

3. 两条直线的位置关系1 1 1 1 1 2 2 2

2 2

0;

0.1

2

为 或 为 或 L y k x b A x B y C L y k x b

A x B y C

1 2 1 2

1

2 2

;1 1

2

两条直线平行的充要条件是 且 或

=

k k b b

A B C

A B C

1 2 1 2 1 21 0.两条直线垂直的充要条件是 或 k k A A B B

二、距离公式1. 两点间距离公式

1 1 2 2, , ,1 2设坐标平面内任意两点 和 则这两点

的距离为

P x y P x y

2 1

2 2

2 11 2 =PP y yx x

2 2, .特别地，点 到原点距离为 =P y OP x yx

2. 点到直线的距离公式

0 0

2 2

Ax Byd

B

C

A

0 0, : 0,

,

设坐标平面内点 和直线 点

到直线 距离为 则有

P x y l Ax By C P

l d

3. 两条平行线间的距离

1 1 2 2 1 2: 0 : 0,设 平行于 与

的距离为 ,则有

l Ax By C l Ax By C l l

d

2 1

2 2

C Cd

A B

2,3 , 1, 1 , 1, 9 . 求证 三点共线A B C 例1

证

3 1 3 94; 4.

2 1 2 1因为 AB ACk k

所以过 的直线与过 的直线斜率相同，且过同一点 ，故 ， ， 共线.

AB AC

A A B C

4,2 : 2 1 0

.

求点 关于直线 的对称点

坐标

P l x y 例2

解

0 0, ,

2 0

2 8 0

2 8 0 6 17,

1 0 5 5

8 24.

5 5

设 点关于直线 的对称点是 与

垂直，设 所在直线方程为 ，将 点坐标

4, 2 代入，得 8, 所在直线方程为 ，

解方程组 得垂足为 ， ，由中点坐标公2

式知 坐标为 ，

P l P x y PP l

PP x y c P

c PP x y

x y

x y

P

1 2 1 2: 3 6 0 : 6 2 3 0, ,

.

已知 和 求与

等距离的点的方程

l x y l x y l l 例3

解1 2 2,

33 0,

2

所求点是平行于 的一条直线，将 改写为 l l l

x y 3 0,设所求直线方程为 则有x y k

2 2 2 21 1

36 2

3 3

kk

36 ,

2即 k k

15

4解得 ，k 4 15 0.所求直线方程为 12x y

三、二次曲线

1. 圆的方程

, ,圆心在 半径为 的C a b r 圆的标准方程 2为 x a

2 2.y b r 2 2 2, , .特别地圆心在坐标原点时圆的标准方程为 x y r

2 2 0形如 的方程称为x y Dx Ey F 圆的一般方程 .

2 2

2 2

4 0. .

4

,2 2

.2

其中 、 、 为常数. 圆心坐标

半径为

D E F D E

E

E

D

DF

F

. 求过点 0, 1和点 0, 3 半径为1的圆的标准方程.并化

为一般式.

例4

2 21,

0

, ,

,1 0,3

设圆心坐标 则圆的方

又圆过 和 两点

程为a b x a y b 解

22

22

1 10, 2

3 1则 解得

a ba b

a b

22

2 2

2 1

4 3 0.

即所求圆的标准方程为 化为一般方程为x y

x y y

2. 椭圆的方程2 2

2 21形如 的方程称为

x y

a b 椭圆的标准方程 . 0,其中 a b

为a 长半轴， 为b 短半轴， 2 2 , ,0称点 为椭圆的两c a cb

个焦点 ( 如图 1-9).

O x

y

a c

b

b

c a

图1-9 焦点在 轴上的椭圆x

O x

y

bb

a

a

c

c

图1-10 焦点在 轴上的椭圆y

2 2

2 21 0

1 10 .

，就得到

焦点在 轴上的椭圆，其标准

将焦点在 轴的椭圆按照逆时针方向旋转90

方程为

如图

y xy a b

a b

x

叫做椭圆的c

ea

离心率，2

0 1.其中 叫做椭圆a

e xc

的两条准线 .

2 2 2 .

特别地，当 时，这时的椭圆就变成为圆.其方程为 a b

x y a

3. 双曲线方程

2 2

2 21形如 的方程称为

x y

a b 双曲线的标准方程 ,其中 叫做a

实半轴 , 叫做b 虚半轴 . 2 2 , ,0点 叫做双曲线的c a cb 焦点 .( 如图 1-11)

2 2

2 21 1 12 .

，就得到焦

点在 轴上的双曲线，其标准方程为

将焦点在 轴的双曲线沿逆时针方向

如

转90

图

旋y x

ya b

x

O x

y

ac a c

图1-11 焦点在 轴上的双曲线x

y

O xa

c

a

c

图1-12 焦点在 轴上的双曲线y

c

2 2

2 21直线 称为双曲线 的两条

b x yy x

a a b 渐近线，

2 2

2 21直线 称为双曲线 的两条渐近线.

a y xy x

b a b

2 2 2

2 21叫做形如 的双曲线的两条

a x yx

c a b 准线 .

4. 抛物线方程 抛物线方程一共有四种形式，它们的图形、标准方程、

焦点坐标以及准线方程如图1-13 图1-16所示.2 2 1

113 3 2

求以椭圆 的焦点为焦点，以直线

为渐近线的双曲线方程.

x yy x 例5

2 2

2 21 0, 0 .设所求曲线方程为

x ya b

a b 解

2 2 1

12 2

,223 3

则有 解得b

ba

aba

2 2

1.8 2

即所求双曲线方程为x y

2

P

2

PO x

y

2 2y Px

21 13 2图 图形y Px

2

P

2

PO x

y

2 2y Px

21 14 2图 图形y Px

2

P

2

P

O x

y

2 2x Py

2 2图1-15 图形x Py

2

P

2

P

O x

y

2 2x Py

21 16 2图 图形x Py

20 某抛物线拱形桥跨度是 m,拱高 4m,在建桥时每隔 4m 需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

例6

解 1 17

.

以拱顶为原点，水平线为 轴建立如图 所示的坐标系

x

.由题意得 =20， =4 、 坐标分别是AB OM A B

10, 4 , 10, 4 .

2 2 ,

100 = 2 4 ,

将点 的坐标代入得

解得 =12. 5.于是抛物线

设抛物线方

方程为

程为 Py A

P P

x

2 25x y ①

.0.16

、 、 、 是 的五等分点， 点坐标应为 2，-4

横坐标也是2，代入 得

C D E F AB E E

y

①

0.16 4 3.84

3.84

则 m

故最长的支柱长应为 m.

EE

A BC D E F

M

C D E FO

x

y

图 1-17 例 5 示意

四、参数方程1. 参数方程的概念

,在给定的坐标系中,如果曲线上的任意一点的坐标

都是某个变数 的函数：x y

t

x t

y t

并且对于 的每一个允许值，由这方程组所确定的点的轨迹为一条曲线，那么方程组就叫做这条

t

曲线的参数方程 .联系, 之间的变量 叫做x y t 参变量，简称参数 .

2. 几种常见曲线的参数方程① 0 0 0, ,经过点 倾角为 的直线的参数方程为P x y

0

0

cos

sin

x x t

y y t

0 0 0, .其中 是直线上点 到点 的有向线段的数量t P x y P x, y

②圆心在原点，半径为 的圆的参数方程为r

cos

sin

x r t

y r t

, ,一般地，圆心在 半径为 的圆的参数方程为C a b r

cos

sin

x a r t

y b r t

③中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程为

cos

sin

x a t

y b t

④顶点在原点，对称轴为 轴的抛物线的参数方程为x

2

2

2x Pt

y Pt

五、极坐标1. 极坐标系

,在平面内取一个点 ，引一条射线 再选定一个单位长度和角的正方向(取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系，定点 叫做

O Ox

O 极点 ,射线 叫做Ox 极轴，如图 1-18 所示 .

,对于平面内任意一点 用

(或 )表示 的长度,

表示从 到 的角度，

叫做点 的

P

r OP

Ox OP

P

极半径， 叫做点 的P 极角，那么有序实数对

( , ) 叫做点 的P

表示为 ( , ) .P

极坐标， O x

y

x

y

P

图 1-18 点 P 的极坐标

极坐标与直角坐标的互化，

2 2 2

tan 0

cos,

sin

x y

yx

x

yx

2. 曲线的极坐标方程

0

在极坐标系中，曲线可用含有 ， 这两个变量的方程

， 来表示，这种含 ， 的方程叫做曲线的

极坐标方程 .

常见的极坐标方程见表 1-7.

图 像

方 程

表 1-7 常见的极坐标方程及图像

0=a a 2 cos 0= a a 2 sin 0= a a

O x

a O x

a

a

O x

a

a

第五节 排列与组合一、加法原理与乘法原理

1. 加法原理 1,2, ,

如果完成一件事，有 类互不关联的方法，且第 类( )方法中又有 种不同的具体办法去完

成这件事，那么完成这件事的不同的方法数共有i

k

i i k n

1 2 种kn n n

;

4 ; 12 ;

2 ;

设从北京到广州有3种交通工具可乘 第一种是乘飞机，一天 个航班 第二种是乘火车，一天 个车次 第三种是乘汽车，一天 班次问一天内从北京到广州有多少种不同的走法？

例1

该问题可用加法原理解决，共有的走法为

4 12 2 18= 种

2. 乘法原理

( 1,2, )

如果完成一件事，有 个相互关联的步骤，只有依次完成这 个步骤，这件事才能完成;且完成第 个

步骤又有 种不同的具体办法，那么完成这件事

的不同的方法数共有i

k

k i

i k n

1 2 3 种kn n n n

某旅游团队有20名男队员，有12名女队员，现从中选一名男队员和一名女队员作为该团队的临时负责人，问有多少种不同的选法？

例2

选负责人这件事可分两步完成，第一步，先选一名男队员，有20种选法;第二步，再选一名女队员，有12种选法，于是，负责人的选法共有

解

20 12=240 种

二、排列

1. 定义 1 从 个不同的元素中，不重复地任取

个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.所得到的所有不同的排列个数，称为从 个不同元素中取出 个元素的

n m m n

n

m

n m

排列数，记作 m

nP

当 时，所得的排列称为m n 选排列；当 时， 所得的排列称为m n 全排列 .由乘法原理可推得，从 个不同元素中任取 个不同

元素进行排列的排列种数为n m

1 2 1m

nP n n n n m ,特别的， 时，全排列种数记为 有nm n P

1 2 3 2 1 ! . 的阶乘nP n n n n n

!

1 1!

于是， m

n

nP n n n m

n m

00 1.规定，0!=1; 时，规定， nn P

用数字1, 2, 3, 4可以组成多少个没有重复数字的三位数？例3

用数字1, 2, 3, 4组成没有重复数字的三位数，就是从这四个数字中每次取三个数字的选排列，每一个排列就对应着一个三位数.因此，三位数的个数为

解

34 =4 3 2=24 个P

今安排5列火车停放在五条铁道上，如果甲车不能停在第一道上，乙车不能停在第5道上，问有几种安排法？

例4

.

4

1 13 3 3

我们把这5列车的安排方法分为两类，第一类是，甲车被安排在第5道上的安排法.此时，4列火车的排放不受限制，因此有 种排法;第二类是，甲车未被安排在第5道上的安排法.此时，四车只能停放在第2，3，4道中的某一道上;乙车不能停放在第5道上，也只有3个道线供选择，因此有排放法：

P

P P P

解

于是，这5列火车的停放法共有

1 14 3 3+ =78 种P P P P

2. 重复排列 从 个不同的元素中，任取可以重复的

个元素，按照一定的顺序排成的一列，称为从 个不同元素中取出 个元素的

n m

n

m 可重复排列 ( 简称，重复排列 ).复排列的个数，称为 元m

这样得到的重

重复的排列数， ,记作 有公式：m

nR

m m

nR n

某城市电话号码为 7 位数,问该城市中前四位号码为5、6、6、8 的电话号码最多有多少个？ 例5

解 电话号码中的数字是允许重复的，且每一个电话号码，对应着 7 个可重复数字的一个排列;于是，符合要求的号码最多有

3 310=10 =1000 个R

三、组合1. 定义 2 从 个不同的元素中，任取 个不同

的元素，不考虑顺序地并成一组，称为从 个不同元素中取出 个元素的

n m m n

n

m

组合， 所得到的所有不同的组合个数，称为从

个不同元素中取出 个元素组合的n

m 组合数， .记作： 或 m

n

n Cm

!

! ! !

m

nP nnm m m n m

某运动会有 10 个篮球队参加比赛,采用单循环制(每两队赛一场,全部轮到) ,问总共需赛多少场?

例6

比赛是每两队一场,是组合问题.因此共需场次为解

10 945

2

21010 = = = 场2 2!

P

例 7 某 50 件商品中含 2 件次品，其余为正品，从中任取 3件 .(1) 3 件都是正品，有多少种不同的取法？(2) 3 件中恰有一件次品，有多少种不同的取法？(3) 3 件中最多有一件次品，有多少种不同的取法？(4) 3 件中至少有一件次品，有多少种不同的取法？

解 (1) "3件都是正品"，应从50-2件正品中取3件，且不考虑顺序，因此有取法

48 47 4617296 ;48 = = 种3 3 2 1

(2)

; 48 2

"恰有一件次品"，分两步取，第一步从2件次品中取一2 48件，共 第二步从 件正品中取 件.共有 ，因此有取法1 2

48 472256 ;2 48 =2 = 种1 2 2 1

(3) "3件中最多一件次品"，分两类，一类是无次品，一类是恰有一件次品，因此有取法

19552 ;48 2 48+ = 种2 1 2

(4) "至少有一件次品"，分两类，一类是恰有一件次品，一类是有2件次品，因此有取法

2304 .2 48 2 48+ = 种1 2 2 1

2. 组合数的性质性质 1 ： n n

m n m

性质 2 ： 11

n n nm m m

* 第六节 数学实验一 Mathematica 入门及简单应用

一、 Mathematica 入门

Mathematica 是一个功能强大的计算机应用软件 , 由美国Wolfram Research 公司开发 , 自 1988年Mathematica 1.0推出后 ,在计算技术领域引起了很大震动 ,使得Wolfram Research 公司成为世界软件工业的先驱 , 并被广泛认为是技术和商业领域的佼佼者 .

1.Mathematica 简介

Mathematica 是一个完全集成环境下的符号运算系统 ,具有强大的数值运算功能、符号运算功能和绘图功能 .利用 Mathema-tica 可能做任意位精度的数值计算 . 如今 , Mathematica 已广泛应用于数学、物理学、化学以及工程领域，被认为是现代技术的标志 .

使用Mathemati ca可以像使用标准科学计算器一样进行算术运算,启动Mathemati ca后即可进入Mathemati ca系统集成界面, Mathemati ca集成界面可以输入文本,动画和实际的Mathe-

mati ca输入.加、减、乘、除、乘方的算符依次为+, - , *, / , .̂

其中乘可以用空格来代替,减号可用来表示一个数的符号,并直接写在数的前边.

2. Mathematica 的数值计算与符号运算

计算5. 2+7. 9.例1

在Mathemati ca工作区输入: 5. 2+7. 9,按shi f t+Enter

键后得结果:

: 5.2 7.9

1 13.1

I n 1

Out

: 1

1 1

, .

其中I n 1 和Out 是系统自动加上的, I n后面代表

输入的表达式, Out后面代表输出的结果. Out 表示输入I n

的输出结果该结果可以被其他输入引用在Mathemati ca工作区输入命令后,按shi f t+Enter键可以执行该命令,并输出结果.

本书各例中当有结果输出时,均需按shi f t+Enter键.

: 1 10

2 23.1

I n 2 Out

Out

但Mathemati ca又与计算器不同,它能给出精确的计算结果.

解

.100 计算2例2

: 2 100

3 1267650600228229401496703205376

I n 3

Out

Mathemati ca可以按任意指定的精度给出数值解.使用 N 函数得到上面近似计算结果:

30

: %

4 1.26765 10

I n 4 N

Out

1

: 2

5 2.31 10

I n 5 N Out

Out

, ,

( )

%代表最后的计算结果 %%代表倒数第二个计算结果 %% %

次 代表倒数第 个计算结果. Mathemati ca函数的第一个字

母应大写,函数调用应使用中括号" ".

k k

或

解

13 1.6 .3 计算2. 1

例3

: 2.1 3 3 1.6 1I n 6

6 9.46933Out

计算20的平方根,精确到40位有效数字.例4

: 20 ,40I n 7 N Sqrt

7 4.472135954999579392818347337462552470881Out

Mathemati ca不但能进行数值计算,而且也能进行符号运算.3 3 32 3 .3 求1 n 例5

: 3, ,1, I n 8 Sum k k n

2218 1

4Out n n

解

解

解

Mathemati ca中使用的数学常量有:

,180

Pi 圆周率E 自然对数的底e

Degree 角的度量单位1 即

I 虚数单位i = -1

I nfi ni ty 无穷大

注意这些常量符号都是以大写字母开头的.

3. Mathematica 的数学常数和数学函数

计算半径为3m的圆的周长和面积,精确到20位有效数字.例6

: 2 3,20 I n 9 N Pi

9 18.849555921538759431Out

10 : 3 2,20I n N Pi 10 28.274333882308139146Out

:Mathemati ca中使用的普通数学函数有

,

x

Sqrt 平方根

Exp 指数函数e

Log 自然对数函数l n

Log 以 为底的对数函数l ogb

x x

x

x x

b x b x

解

, , , , ,

, , ,

Si n Cos Tan Cot Sec Csc 三角函数

ArcSi n x ArcCos ArcTan ArcCot 反三角函数

! 的阶乘

Abs x 的绝对值

x x x x x x

x x x

n n

x

Mathemati ca中函数的自变量都在方括号内,函数名都以大写字母开头.

.计算cos20的近似值例7

: 20I n 11 N Cos Degree

11 0.939693Out

解

4. 自定义函数

函数名自变量_ 表达式

.

自定义函数的基本特点是使用下划线"_", "_"代表任何表

达式. _ 代表任何形如 anythi ng的表达式f f

2 2 3, 2 2 . 设 求 和f x = x x f x f 例8

, , 2 .数字与变量相乘时 乘法运算符号可以省略 如 x

2: _ 2 2 3 12 3 2I n=12 Outf x x x x x

213 : 2 13 3 2 2 2I n Outf x x x

214 : % 14 3 2I n OutSimplify x x

15 : 2 15 3I n Outf

Mathematica 中可以使用自定义函数，自定义函数格式为：

解

如果知道Mathematica 函数名称 ,或知道函数名称的前几个字母 , 可以在Mathematica工作区内输入相应命令 ,查询内部函数的有关信息 .

?函数名 给出该函数的粗略信息??函数名 给出该函数的详细信息?A* 给出以A开头的所有函数的全名?Ab 给出前两个字母为Ab的所有函数的全名

例如: ?si n语句的执行结果为

Si n gi ves the si n of z z

5.获得 Mathematica 的帮助

, 另外如果你曾经自定义过函数 在没有取消这个定义之

前(取消定义用Cl ear ),也可以查询自定义函数的有关信

息.例如对上例中的自定义函数,可以如下查询其信息:

f,

f

2

: ?

_ 3 2

I n 16

Gl obal

f

f

f x x x

也可以在Mathematica 集成界面菜单栏上 , 点击菜单 Help的子菜单 Help Browser,打开 Mathematicar的帮助浏览器 .在帮助浏览器中你可以获得更为详细的信息 ,包括使用函数的一些例子 .

二、一元函数图形的绘制1. 学会Mathematica命令

Plot[ 表达式， { 自变量，下限，上限 } ，可选项 ] ，其中表达式是需要绘制其图形的函数的表达式，下限和上限表示自变量的取值范围 .

Plot[{ 表达式 1 ，表达式 2,…} ， { 自变量，下限，上限 } ，可选项 ] ，在一个坐标系中绘制由表达式 1 、表达式 2 等表示的若干个函数的图形 .

可选项可以有也可以没有，没有可选项时系统按默认值处理 .它的表示方法是：

(1) Mathematica 的绘图命令调用格式为

可选项名——＞可选项的值 .

　　比如可选项 PlotRange,它表示坐标轴的显示范围，系统默认值是 Automatic．可以指定坐标轴的显示范围：

{ , }

{{ , },{ }}

Pl otRange 轴最小值 轴最大值或Pl otRange 轴最小值 轴最大值 轴最小值, 轴最大值

y y

x x y y

　　可选顶 AspectRatio 表示坐标轴的纵横比例，即纵坐标轴长度单位，横坐标轴长度单位．

(2) Parametri cPl ot可以绘制二维参数图形 Parametri -

cPl ot[{ }, { ,下限,上限},可选项] ,绘制由参数方程

t所确定函数的图形. Parametri cPl ot和Pl ot具有一样

的可选项.

x t , y t t

x = x

y = y t

(3) 使用Show函数可以重绘或修改原来的函数图形,如Show[%].

2. 绘制一元函数图形tan 画出 = 的图像.y x例9

输入命令:

Pl ot Tan , , -2Pi , 2Pix x tan .y x执行后可得函数 = 的图像 图10-26

图 10-26 例 1 示意

xO

y

2 4 6246

10

20

30

10

20

30

解

2ln 2 ln 1

.

在同一坐标系中画出函数 =l n 和

的图形

y x y x x 例10

^2 , 2 1 , , 3,3

输入命令:

Pl ot Log Abs Log Log Sqrtx x x x

2ln 2, ln 1 ( 10 27).执行后可得 =l n 的图形图y x y x x

图 10-27 例 2 示意

xO

y

1 2 33 2 1

1

1

2

3

解

23 log 35 11研究函数 = e 在区间 -2, 2上图形

的特性.

xy x x 例

5 3 2,3 , , 2, 2 输入命令: Pl ot E Logx x x x

2

2

3 log 3

3

log 3 2,2

5

5

执行后可得 = e 在区间 -2, 2上图形(图

10-28),从图形上看,曲线沿x轴正向上升,因而函数 = e

在区间 上单调增加.

x

x

y x x

y x

x

图 10-28 例 3 示意

xO

y

11

20

40

20

解

3 .7 画出函数 在区间 -5, 5上的图形y = x x例12

7 3 , , 5,5 Pl ot x x x

10 29 , ,

:

%, 10,10

从图 上看 该曲线似乎沿 轴正向上升事实上重新设定坐标轴的显示范围可以看出这是不对的

Show Pl otRange

x

图 10-29 例 4 示意

x

O

y

2 424

200

400

600

600

400

200

解

10 30 ,

,

如图 所示 可见只根据函数图形来给出结论是不一定正确的这是因为任何软件都有局限性.作图范围选得太大,图形失真的可能性就会越大.我们在绘制函数图形的过程中要注意多取几个不同的范围,以便考察函数图形的真正特征.

图 10-30 例 4 示意

x

O

y

2 424

2.5

5

7.5

10

2.5

5

7.5

3. 绘制参数方程所确定函数的图形2cos 2sin 画出圆 = , = 的图形.x t y t例13

Cos ,2Sin , ,0, 2Parametri cPl ot 2 Pit t t

10 31 ,

.

从图 上看是一椭圆这是因为横坐标轴和纵坐标轴的长度单位不同.重新设定坐标轴的纵横比例,可以看出这是一个

半径为2的圆 图10-32

%, 1Show AspectRati o

图 10-31 例 5 示意

xO

y

1 212

1

2

1

2

图 10-32 例 5 示意

xO

y

1 212

1

2

1

2

解