数 学 建 模

数学建模 概论 1

数 学 建 模数 学 建 模 ———— 从自然走向理性之路 从自然走向理性之路

数学建模 2概论

数学具有超越民族和时空的尺度。数学数学具有超越民族和时空的尺度。数学可能高傲地直达星宿，也可能谦恭地为市可能高傲地直达星宿，也可能谦恭地为市场服务。场服务。

— — H.W.H.W. 邓博邓博

想象力比知识更重要。因为知识是有想象力比知识更重要。因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉。进步，并且是知识的源泉。

— — A. A. 爱因斯坦爱因斯坦

数学建模 3概论

知识＋能力＝力量知识＋能力＝力量

缺乏知识的能力是低层次的能力 ,

缺乏能力的知识是僵死的知识。

大百科全书式的知识积累，如果缺乏转化到应用中去的能力，仅仅是百科全书而已。因此，强调培养“应用能力”是本课程的主要特点。

数学建模 4概论

本课程着重于如下能力的培养。

1. 培养实际问题与数学问题之间的“双向翻译”能力。

2. 培养灵活而恰当地应用数学知识，创造性地解决问题的能力。

3. 培养敏锐的对问题本质的洞察能力。 4. 培养熟练使用计算机手段解决数学问题的能力。

数学建模 5概论

课程考核方式课程考核方式 三人合作完成两篇数学建模论文。三人合作完成两篇数学建模论文。 题目将于四月份公布在网上。题目将于四月份公布在网上。 网址：民网：网址：民网： http://nudt.shumo.comhttp://nudt.shumo.com 军网：军网： http://shumo.gfkd.mtnhttp://shumo.gfkd.mtn 邮箱：邮箱： amao@shumo.comamao@shumo.com

数学建模 6概论

第一讲 数学建模概论第一讲 数学建模概论

本讲主要内容：本讲主要内容：

★ ★ 什么是数学模型？什么是数学模型？

★ ★ 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤

数学建模 7概论

一、 什么是数学模型一、 什么是数学模型

我们从几个简单例子说起我们从几个简单例子说起。。 例 例 1.11.1 航行问题航行问题

甲乙两地相距甲乙两地相距 750750 公里，船从甲到乙公里，船从甲到乙顺水航行需顺水航行需 3030 小时，从乙到甲逆水航行小时，从乙到甲逆水航行需需 5050 小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少 ??

数学建模 8概论

用用 xx 表示船速，用表示船速，用 yy 表示水速，列出方程表示水速，列出方程

( ) 30 750

( ) 50 750

x y

x y

求解x =20y =5

答：船速每小时 20 千米 .

数学建模 9概论

例 1.2 商人安全过河问题

有三个商人与三个随从一块过河，只有一只小船，每次最多载两人。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是乘船渡河的方案由商人决定，商人们怎样才能安全过河？

数学建模 10概论

图解法：

状态 s=(x,y) ~ 16 个格点

允许状态 ~

允许决策 ~ 移动 1 或 2 格；

k 奇，左下移； k 偶，右上移。

安全渡河方案见图中箭头

所指路线。 x

y

3

32

2

1

10

d11

d1

10 个 点

数学建模 11概论

例 例 1.31.3

一只装满水的圆柱型桶，底半一只装满水的圆柱型桶，底半

径为 径为 1 1 米，高为 米，高为 2 2 米， 底部米， 底部

有一直径为 有一直径为 0.1 0.1 米的洞。问桶米的洞。问桶

流空要多少时间？流空要多少时间？

数学建模 12概论

图图

数学建模 13概论

忽略摩擦引起的能量损失，则在一个△ t 时间区间内，水面降低减少的势能应等于等量的水流出小洞的动能，即在任意时刻有

于是

这就是流体力学中的托里拆利定律。

2v gh

21

2mgh mv

数学建模 14概论

设 A 为桶的水平截面积， B 为洞的水平截面积， h 为桶内水的高度，s 为由洞口流出的水柱的长度，则有

－ Adh ＝ Bds

即 dh ＝－ B/Ads

而 ds/dt ＝ v

数学建模 15概论

故有 dh ＝－ B/Avdt

已知

A 2(0.05)B

2 4.43v gh h

数学建模 16概论

hh--1/21/2ddh=-h=-4.43×(0.05)4.43×(0.05)22ddtt———— 模型模型

对上式积分得对上式积分得

解得解得 t=t=255255..39 39 （（秒秒））

以上是经典数学模型的几个简单例子，数学模以上是经典数学模型的几个简单例子，数学模

型的表现形式是多种多样的。 型的表现形式是多种多样的。

01/ 2 2

2 0

d 4.43 (0.05) dt

h h t

数学建模 17概论

数学模型是对于一个数学模型是对于一个特定的对象特定的对象，，

为了一个为了一个特定的目标特定的目标，根据事物的内，根据事物的内

在规律，作出一些在规律，作出一些必要的简化假设必要的简化假设，，

运用适当的数学工具，得到的一个运用适当的数学工具，得到的一个数数

学结构学结构。。

数学建模 18概论

““ 特定的对象”特定的对象”表明了数学模型的应用表明了数学模型的应用

性，即它是为解决某个实际问题而提出的性，即它是为解决某个实际问题而提出的

（桶中的水）。（桶中的水）。

““ 特定的目的”特定的目的”表明了它的功能性，即当表明了它的功能性，即当

研究一个特定对象时，不是笼统地研究该研究一个特定对象时，不是笼统地研究该

对象的方方面面，而是为实现特别的功能对象的方方面面，而是为实现特别的功能

而研究的（水流完的时间）。而研究的（水流完的时间）。

数学建模 19概论

““根据事物的内在规律作出必要的简化根据事物的内在规律作出必要的简化

假设”假设”表明了数学模型的抽象性。从繁杂的表明了数学模型的抽象性。从繁杂的

现象中将那些最本质的因素提炼出来，忽略现象中将那些最本质的因素提炼出来，忽略

次要因素，如例次要因素，如例 1.11.1 中忽略了摩擦、温度、中忽略了摩擦、温度、

气压等。一个因素是否可忽略，须依建模目气压等。一个因素是否可忽略，须依建模目

的而定，例如考虑炮弹射程时可忽略地球自的而定，例如考虑炮弹射程时可忽略地球自

转因素，但洲际导弹则必须考虑此因素。转因素，但洲际导弹则必须考虑此因素。

数学建模 20概论

““ 运用适当的数学工具，得到数学结运用适当的数学工具，得到数学结

构”构”表明了数学模型的数量性。“数学结表明了数学模型的数量性。“数学结

构”可以是数学公式、算法、表格、图示构”可以是数学公式、算法、表格、图示

等。它体现了数学模型不同于其他模型，等。它体现了数学模型不同于其他模型，

是一种用数学语言表达的定量化的抽象模是一种用数学语言表达的定量化的抽象模

型型。。

数学建模 21概论

图 图 1. 1. 数学模型的桥梁作用数学模型的桥梁作用

每个工程技术人员应成为架设这座桥梁每个工程技术人员应成为架设这座桥梁的工程师 的工程师

数学建模 22概论

二、二、数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤

建立数学模型与其说是一门技术，不如建立数学模型与其说是一门技术，不如

说是一门艺术。成功建立一个好的模型，说是一门艺术。成功建立一个好的模型，

就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复

杂的创造性劳动。正因为如此，这里介绍杂的创造性劳动。正因为如此，这里介绍

的步骤只能是一种大致上的规范。的步骤只能是一种大致上的规范。

数学建模 23概论

建立模型的大致步骤。建立模型的大致步骤。

1. 1. 模型准备模型准备

在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，

明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的

数据。归纳为一句话：数据。归纳为一句话：

深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。

数学建模 24概论

2. 2. 模型假设模型假设

在充分消化信息的基础上，将实际问题理想在充分消化信息的基础上，将实际问题理想

化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及

主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理

的假设。归纳为一句话：的假设。归纳为一句话：

充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。

数学建模 25概论

3. 3. 模型建立模型建立 ① ① 用数学语言描述问题。用数学语言描述问题。 ② ② 根据变量类型及问题目标 选择适当数学工根据变量类型及问题目标 选择适当数学工 具。具。 ③ ③ 注意模型的完整性与正确性。注意模型的完整性与正确性。 ④ ④ 模型要充分简化，以便于求解；同时要保模型要充分简化，以便于求解；同时要保 证模型与实际问题有足够的贴近度。证模型与实际问题有足够的贴近度。

正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。

数学建模 26概论

4. 4. 模型求解模型求解

就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更

好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应用好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应用

软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定

求解结果的优化程度及精度。求解结果的优化程度及精度。

掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。

数学建模 27概论

5. 5. 模型检验与分析模型检验与分析 模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。 ① ① 结果检验：将求解结果“翻译”回实际问结果检验：将求解结果“翻译”回实际问

题中，检验模型的合理性与适用性。题中，检验模型的合理性与适用性。 ② ② 敏感性分析：分析目标函数对各变量变化敏感性分析：分析目标函数对各变量变化

的敏感性。的敏感性。 ③ ③ 稳定性分析：分析模型对参数变化的“容稳定性分析：分析模型对参数变化的“容忍”程度。忍”程度。

④ ④ 误差分析：对近似计算结果的误差作出估误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。计。

数学建模 28概论

概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其一般步骤可用流程图表示：一般步骤可用流程图表示：

图 2. 数学建模的过程

数学建模 29概论

下面我们通过例子来解释各个环节。下面我们通过例子来解释各个环节。

11 、用数学语言表述实际问题 、用数学语言表述实际问题

例 例 1.21.2 某旅游者早上某旅游者早上 88：： 0000 从山下旅店从山下旅店

出发，沿一条小路上山，下午出发，沿一条小路上山，下午 55：： 0000 到达山到达山

顶并留宿。次日早顶并留宿。次日早 88：： 0000沿同一小路下山，沿同一小路下山，

下午下午 55：： 0000回到旅店。能否断言：该旅游者回到旅店。能否断言：该旅游者

在这两天的某同一时刻经过小路上的同一地点？在这两天的某同一时刻经过小路上的同一地点？

数学建模 30概论

将上、下山高度分别表示成时间 t 的函数 f(t),g(t) ,显然它们都是关于 t 的连续函数，将它们在同一坐标系中绘出，可知它们必有交点。

图 3. 上下山示意图8 ： 00 17 ： 0

0

时间

高度

山顶

山脚

善于“翻译”实际问题是数学建模能力的重要因素。

数学建模 31概论

22 、必要而合理的假设简化 、必要而合理的假设简化

例例 1.31.3 DVD DVD在线租赁问题在线租赁问题

某网站开展某网站开展 DVDDVD在线租赁业务，现有在线租赁业务，现有 1010万个会员。万个会员。

该网站准备购买一种新的该网站准备购买一种新的 DVDDVD，通过问卷调查，通过问卷调查 10001000

个会员，得知愿意观看该种个会员，得知愿意观看该种 DVDDVD的有的有 200200 人。此外，人。此外，

已知已知 60%60%的会员每月租赁的会员每月租赁 DVDDVD两次，而另外的两次，而另外的 40%40%

只租一次。问：应该至少准备多少张该种只租一次。问：应该至少准备多少张该种 DVD DVD ，才能，才能

保证希望看到该保证希望看到该 DVDDVD的会员中至少的会员中至少 50%50%在一个月内能在一个月内能

够看到该够看到该 DVDDVD？ ？

数学建模 32概论

仔细考虑该问题，不难发现若试图完全按照仔细考虑该问题，不难发现若试图完全按照实际情形考虑，存在太多的不确定性，因此不实际情形考虑，存在太多的不确定性，因此不具可操作性，故问题中至少有两点假定必须明具可操作性，故问题中至少有两点假定必须明确，第一是对该确，第一是对该 DVDDVD 有需求的人数的分布；第有需求的人数的分布；第二是借、还碟时间的分布。二是借、还碟时间的分布。

每个会员愿意观看该每个会员愿意观看该 DVDDVD 的概率记为的概率记为 pp （ （ pp ＝＝ 0.20.2 ），会员总数记为），会员总数记为 nn，在，在 nn比较大的比较大的条件下，可作如下假设条件下，可作如下假设 11 。。

数学建模 33概论

假设假设 11 ：该：该 DVDDVD的总需求近似服从正态分布的总需求近似服从正态分布 N(N(npnp, , nnpqpq) ) （（ qq＝＝ 11 －－ pp）。）。

说明：假设 1 中的正态分布 N(np, npq) 是二项分布 B(n, p）的近似。

一种更为简单的近似是

假设 1′：该DVD的总需求近似为 np

假设假设 22 ：每个会员在借碟时还碟。：每个会员在借碟时还碟。

数学建模 34概论

已知已知 6060％会员（记为％会员（记为 AA类会员）每月类会员）每月借还碟两次，借还碟两次， 4040％会员（记为％会员（记为 BB类会类会员）每月借还碟一次。即员）每月借还碟一次。即 AA、、 BB两类会员两类会员的平均借（还）碟间隔分别为的平均借（还）碟间隔分别为 1515 天、天、 3030天。对于此类随机决策问题，一种常用的天。对于此类随机决策问题，一种常用的方法是按均值考虑，故有以下假设方法是按均值考虑，故有以下假设 33 。。

假设假设 33 ： ： AA、、 BB两类会员的借（还）两类会员的借（还）碟间隔分别固定为碟间隔分别固定为 1515 天、天、 3030天。天。

数学建模 35概论

在置信概率为在置信概率为 9595％的条件下，按照假设％的条件下，按照假设 11 、、

22 、、 33得到该问题的解为：应该至少准备得到该问题的解为：应该至少准备 63156315

张该种张该种 DVD DVD （求解过程略，读者可试解之）。（求解过程略，读者可试解之）。

若用假设若用假设 11′′代替假设代替假设 11 ，则解为：，则解为：应该至少准应该至少准

备备 62506250张该种张该种 DVD DVD 。。

合理假设需要对问题的透彻理解及思维上的成熟度

数学建模 36概论

33 、努力发挥创造性、努力发挥创造性

例例 1.41.4 欲在大学生中调查一个敏感问题，例欲在大学生中调查一个敏感问题，例

如“你谈过恋爱吗？”。采取问卷调查的方式，如“你谈过恋爱吗？”。采取问卷调查的方式，

要求被调查者回答“是”或“不是”。要得到对要求被调查者回答“是”或“不是”。要得到对

该问题回答“是”的比例，应如何设计问卷？该问题回答“是”的比例，应如何设计问卷？

数学建模 37概论

显然，如果被调查者都能如实回答，就能很快统计出比例，但因为涉及个人隐私，事实上往往做不到 ,为此建立如下模型。

为叙述方便起见，我们将谈过恋爱的学生记为 A类学生，其余学生记为 B类。设

z—— A类学生比例 s —— A类学生如实回答的比例 t —— B类学生如实回答的比例 则一个学生回答“是”的概率为 p = zs+(1-z)(1-t )

数学建模 38概论

设学生的回答是各自独立的，记 X 为 n 个学生中回答“是”的个数，则 X～ B（ n ， p）。

我们来求对 z 的估计。设 s ， t 已知，对于 p ，用它的无偏估计 X/n来替代，于是

X/n ＝ zs+(1-z)(1-t ) ＝（ t － 1＋ X/n） /（ s ＋ t － 1） 显然，上式依赖于 s ， t ，而 s ， t 一般并不是已知

的，因此如此调查可能得不到满意的结果，需要改进问卷方法。

z

数学建模 39概论

随机问卷调查法：调查者设计两种问卷：

A卷问题：你谈过恋爱吗？

B卷问题：你没有谈过恋爱吗？

问题分别写在不同卡片上，其中 A卷有 a张卡片， B卷有 b张卡片。由学生随机抽取，题目不给调查者看，抽取者阅后放回，然后根据所抽取的问题回答“是”或“不是”。由于调查者并不知道学生回答的是哪一个问题，因此有理由认为得到的回答是真实的。

数学建模 40概论

记 u=a/(a+b)，则学生抽到 A、 B卷的概率分别为u 与 1 － u ，于是学生回答“是”的概率为

p = z u +(1-z)(1- u) 记 X 为 n 个学生中回答“是”的个数，则 X～ B（ n ， p），用 p 的无偏估计 X/n来替代 p ，于

是 X/n ＝ z u +(1-z)(1- u)

＝ （ uu － 1＋ X/n） /（ 2 uu － 1）z

数学建模 41概论

若令 u ＝ 1 或 0 ，则很容易估计出 z ，但这样做

会使被调查者有一种被愚弄的感觉，从而不会合作。

若令 u ＝ 1/2 ，则分母为 0 ，同样什么信息也得

不到，故可取 u ＝ 1/3 或 u ＝ 1/4。

此例对调查方法的巧妙设计，是很好发挥创造性的一例。

不拘一格是数学建模的魅力所在。