ערכים עצמיים בשיטות נומריות

ערכים עצמיים בשיטות ערכים עצמיים בשיטות נומריותנומריות

משוואה אופיניתמשוואה אופיניתXמציין וקטור עצמי

מציינת ערך עצמי תואם לוקטור A x xA x I x x[A I] 0A I 0 or | I A] 0

::דוגמאדוגמא

221

121

22

xxxxxx

2

1

2

1

00

1221

xx

xx

00

00

1221

2

1

2

1

xx

xx

המשךהמשך

00

1221

2

1

xx

012

21

הדטרמיננטה של המטריצה צריכה להיות שווה לאפס

חישוב משוואה אופינית על פי הדטרמיננטה

04112

21 2

0421 2 0322

13

חישוב הוקטורים העצמייםחישוב הוקטורים העצמיים

כאשר המטריצה לא רגולרית יש אין סוף אפשרויות וצריך לבחור את אחד הבסיסים למרחב הפתרונות

00

1221

2

1

xx

00

2222

2

1

xx

מציבים במטריצה האופינית = 3על מנת למצוא את הוקטור המתאים ל את הערך העצמי ובודקים איך יראה הוקטור שמכפלתו במטריצה תהיה שווה

לאפס

......המשךהמשך

ונמצא את t=1אז נציב

ולכן כל וקטור מהצורה שבו שני הרכיבים זהים 3יהווה וקטור עצמי לערך עצמי

2 12

2 2 1 0 1x t x t x t2 2 x 0 1

המשך...המשך...

-1אותו תהליך מתבצע לערך עצמי השני

1

2

2 2 x 0 1x t2 2 x 0 1

PPower Methodower Methodכדי למצוא את הערך העצמי המקסימאלי

אנחנו יכולים להציג כל וקטור כבסיס הנפרש על ידי הוקטורים העצמיים

nn332211 x

נבצע הכפלה בשני הצדדים במטריצה

Power MethodPower Method

Aובגלל ש

nnn333222111 xA

ונכפיל עוד פעם 32

nn32332

2221

211

2 xA

3knn3

k332

k221

k11

k xA

ועוד פעם

Power MethodPower Method

נניח שהערך העצמי הראשון הוא הגדול ביותר ונוציא אותו מחוץ לסוגריים

שואף לאינסוף נקבל את הביטוי הבאkכאשר

3

k

1

nn2

k

1

2211

k1

k

xA

k as 11k1

k xA

Power MethodPower Method

כאשר ננרמל את שני צידי המשוואה בנורמה אין סוף )בחירת האיבר המקסימאלי בערך מוחלט בווקטור(

אזי

k as 1

1

1k

1k

1k

1k

0k

0k

k

xAxAu

Power MethodPower Method שנבחר כאשר נעשה את האיטרציה אין סוף uמכאן נובע שעבור כל וקטור

פעמים תוך כדי נרמול בנורמה אין סוף אנחנו נשאף לווקטור העצמי שמייצג את הערך העצמי המקסימאלי

lim and 1kk1-k

1-kk

uAuAuu

1-k

1-k11-k11-k u

AuuAu

Power Method Power Method אלגוריתםאלגוריתם

k k 1x x

התחלתיxבחר וקטור •

כל עוד•

• k

k 1

x' A xx'x x'

back tostep2

דוגמאדוגמאConsider the follow matrix A

100120014

A

Assume an arbitrary vector x0 = { 1 1 1}T

Example of Power MethodExample of Power Method

Multiply the matrix by the matrix [A] by {x}

4 1 0 1 50 2 1 1 30 0 1 1 1

Normalize the result of the product

5 13 5 0.61 0.2

Example of Power MethodExample of Power Method

0435.04783.02174.4

0435.0217.01

100120014

0435.0217.01

6.4 2.0

16.44 1 0 1 4.6

0 2 1 0.6 10 0 1 0.2 0.2

0183.01134.01

2174.4 0435.0

4783.02174.4

Example of Power MethodExample of Power Method

0103.02165.01134.4

0183.01134.01

100120014

0025.00526.01

1134.40103.02165.01134.4

As you continue to multiple each successive vector = 4 and the vector uk={1 0 0}T

Power MethodPower Method

יתרונות: תמיד מתכנס

חסרונות: מתכנס רק לערך עצמי אחד )המקסימאלי(

ישנם שיטות לגלות עוד ערכים עצמיים מצריכות הבנה במבנה של המטריצה

Shift MethodShift Method ניתן לגלות Aאם ידוע אחד הערכים העצמיים של

לפחות עוד ערך עצמי אחד על ידי טכניקת הזזה

xsxIsxA

Shift MethodShift Method לאחר Bננסה למצוא את הערך העצמי של

את הערך העצמי הידוע Aשהורדנו מממטריצה מהאלכסון

IAB max

כדי למצוא power methodעכשיו נפעיל את שיטת Bאת הערך העצמי המקסימאלי של

::לדוגמאלדוגמא4 אותה מטריצה מקודם והערך העצמי שמצאנו Aתהי

500120010

100010001

4100

120014

B

x=[1 1 1]ניקח את אותו ניחוש של וקטור

Example of Power MethodExample of Power Method

וננרמלAxנכפיל את

51

1

111

500120010 1 0.2

1 5 0.65 1

Example of Power MethodExample of Power Method

112.004.0

5 56.02.0

56.02.0

12.02.0

500120010

- נוסיף את מה 5לאחר כמה איטרציות נמצא שהערך העצמי הוא A של מטריצה 1-שהחסרנו ונקבל את הערך העצמי

145max

Inverse Power MethodInverse Power Methodכדי לגלות את הערך העצמי המינימאלי מחשבים את הערך העצמי

וההופכי של הערך הנמצא הינו הערך Aהמקסימאלי של ההופכית של Aהעצמי המינימאלי של

xxA xAxAA 11

xAx 11

xBx