آموزش محاسبات عددی - بخش چهارم

MATLABمحاسبات عددی به کمک نرم افزار

«شیوه های مشتق و انتگرال گیری عددی»

:مدرساشکان تاشک

درجه و رشته تحصیلیمخابرات گرایش سیستم و مدرس دانشگاه-دکترای مهندسی برق

محاسبات عددیMATLABبه کمک

faradars.org/fvmth102

فرادرس

FaraDars.org

چهارمفصل عناوين

عددي گيري انتگرال و گيري مشتق :چهارم فصل) MATLAB برنامه همراه به( عددي گيري مشتق هاي روش -1

تيلور بسط- ريچاردسون فرمول -

) MATLAB برنامه همراه به( )يكنواخت بندي بازه با( كوتز – نيوتن روش به عددي هاي گيري انتگرال -2ريمان مجموع بر اي مقدمه - اي ذوزنقه قاعده روش - 3/1 سيمپسون روش - رومبرگ الگوريتم -

محاسبات عدديMATLABبه كمك

فرادرس

FaraDars.org

مقدمه:عددي گيري مشتق ضرورت•

تابع نبودن دست در–تابع پيچيدگي–

:عددي گيري انتگرال مسئله طرح• تحليلي حل-تحليلي تابع–حل بدون-تحليلي تابع–

Discrete( گسسته داده – data(

فرادرس

FaraDars.org

هاي روش مشتق گيري عددي

فرادرس

FaraDars.org

مشتق گيري عددي مرتبه اول

يكنواخت فاصله با( عددي هاي مشتق روابط متداول اشكال(:حول تابع تيلور بسط

حول تابع تيلور بسط

1)()()(

xfhxhfxfh

xfhxfhxfhxfhxf

1)()()(

xfhxhfxfh

xfhxfhxfhxfhxf

)( hxf 0h

فرادرس

FaraDars.org

گيري عددي مرتبه اولادامه مشتق

داريم نيز قبل رابطه دو تركيب از

1)()()(

xfhxhfxfh

)()( 2 xfhxfh

hxfhxf

فرادرس

FaraDars.org

گيري عددي مرتبه اولادامه مشتق

ودنم تعريف زير فرم به اول مرتبه گيري مشتق براي تقريبي هايي فرمول توان مي قبل روابط به توجه با:

Forward(1 :پيشرونده اختالف تقريب )1 difference Estimation

(2:پسرو اختالف تقريب )2 Backward difference Estimation

(3 :مركزي اختالف تقريب )3 Central difference Estimation

)()()()( hOEh

xfhxfxf

)()()()( hOEh

hxfxfxf

)()()( 2hOEh

hxfhxfxf

فرادرس

FaraDars.org

مثال از مشتق گيري عددي مرتبه اول

، مقادير ازاي به را آن اول مشتق مقدار ، تابع به توجه با )1 مثال.آوريد بدست را محاسبات خطاي و كرده محاسبه و

====================================================================================================:نماييم استفاده f(x)=cos(x) تابع اول مشتق محاسبه براي قبل هاي فرمول از تا است كافي سوال، اين به پاسخ براي )حل

زيمرك گيري مشتق روش در محاسباتي خطاي لذا ميگيرد، يك از كوچكتر مقاديري همواره h اينكه به توجه با :گيري نتيجه *.بود خواهد كمتر پسرو و پيشرو روش دو از

radx 8.0 )cos()( xxf

-واقعي مقدار|=خطا|مقدار تخميني

مقدار واقعي)f’(x)=-sin(x) (

يمقدار تخمينمشتق گيري روشمشتق

0.0034-0.7174-0.7208 پيشرو0.0035-0.7174-0.7139 پسرو5.59e-5-0.7174-0.7173 مركزي

hf(x)h)f(x(x)f

hh)f(xf(x)(x)f

2hh)f(xh)f(x(x)f

فرادرس

FaraDars.org

مركزي گيري تفاضل كمك به دوم مشتقتابع تيلور بسط از f(x+h)+f(x-h) حول h=0 داريم:

)(121)()()(2)(

)()(2)()(

xfhxfh

hxfxfhxf

xfhxfhxfhxf

مشتق گيري عددي مرتبه دوم

)()()(2)()( 22 hOE

hhxfxfhxfxf

فرادرس

FaraDars.org

مثال براي مشتق گيري عددي مرتبه دوم

، مقادير ازاي به را آن دوم مشتق تخميني مقدار ، تابع به توجه با )1 مثال.آوريد بدست را محاسبات خطاي و كرده محاسبه و

==================================================================================================== f(x)=cos(x) تابع اول مشتق محاسبه براي قبل هاي فرمول از تا است كافي سوال، اين به پاسخ براي )حل

:نماييم استفاده

radx 8.0

)cos()( xxf

مقدار -واقعي مقدار|=خطا|تخميني

مقدار واقعيf "(x) = - cos(x)

يمقدار تخمينمشتق گيري روشمشتق

5.81e-6-0.6967067-0.6967009مركزي

فرادرس

FaraDars.org

روش هاي مشتق گيري عددي Matlabبرنامه نتايج شبيه سازي آنقبل و مثال براي

فرادرس

FaraDars.org

اول براي تقريب مشتق گيري عددي مرتبهفرمول ريچاردسون

سازد مي قادر را ما كه دهيم مي قرار مطالعه مورد را f(x) مانند تابع يك مشتقات زدن تقريب براي تكنيكي معروف ريچاردسون يابي برون نام با تكنيك اين .دهيم كاهش را تيلور بسط برش از حاصل خطاي ميزان تا

:بگيريد نظر در را زير فرم به معادله ، شيوه اين بهتر فهم براي .است

تعريف زير فرم به تابعي ثابت x يك براي حال .دارند بستگي x و f به 4c و 2c ضرايب مقادير فوق، فرمول در:گردد مي

:داريم نتيجه در

)()()(

hxfhxf

xfhxfhh

hxfhxfxf

hhxfhxfh

2)()()(

22)()( hchchxf

فرادرس

FaraDars.org

:كنيم مي استفاده h/2 از h جاي به برش خطاي كاهش براي حال

فرمول از آن كاستن و 4 در فوق معادله كردن ضرب با را h/2 عامل :كنيم مي حذف

:داريم نتيجه در

22 2/2/)2/()( hchchxf

22)()( hchchxf

31)2/(

43)()2/(4)(3

4)2/(4)(4

hchhxf

hchchxf

لبراي تقريب مشتق گيري عددي مرتبه اوريچاردسون ادامه فرمول محاسبات عدديMATLABبه كمك

فرادرس

FaraDars.org

جديد تقريبي فرمول .يابد مي كاهش 4h مرتبه تا مشتق زدن تخمين خطاي شود مي مشاهده كه طور همان:بود خواهد زير صورت به

به .نمايد نزول تر پايين و 6h به 4h از خطا مرتبه كه داد بسط اي گونه به توان مي را يابي برون روش اين :زير قرار به مقاديري كردن محاسبه و α(h) تقريب يك داشتن فرض با منظور همين

:داشت خواهيم را زير بازگشتي فرمول

1)(31)2/(

34)( hchhxf

)()2/(31)2/()( hhhxf

hhxfhxfh

2)()()(

,1 1( ), 1, 2, ...2n n

hD a n

لبراي تقريب مشتق گيري عددي مرتبه اوريچاردسون ادامه فرمول

, 1 , 1,4 1

4 1 4 1

n m n m n mm mD D D

فرادرس

FaraDars.org

قطري از تري مناسب شيوه به عملكرد نحوه . بود خواهد مرتبه از ورودي به مربوط برش خطاي

:است شده داده نشان زير فرم به جدولي در موجود هاي كميت مقادير كردن تنظيم

1, mnD)( 22 mhO

2,1 2,2

3,2 3,3

,1 ,2 ,

..N N N N

D DD D D

فرادرس

FaraDars.org

خويش الشعاع تحت را محاسبات كامپيوترها در كردن گرد از حاصل خطاهاي آنجائيكه از كه شود مي مشاهده .شود نمي منجر از بهتر دقت به كلي حالت در N بزرگ مقادير براي محاسبه لذا ، دهند مي قرار

ايستسب مي زماني چه كه پرسش اين به پاسخ . بگيريم درنظر تكرار دفعات تعداد براي را حدي است بهتر ، لذا. باشد نمي مشخص همچنان ، داد پايان تقريب بهترين آوردن بدست براي را عمليات

بزرگ h خواهيم مي ، ديگر سوي از و آيد حاصل بيشتري دقت تا باشد كوچك h مقدار خواهيم مي ، سو يك از برش ايخط فرمول آيا كه كرد امتحان )خطا و سعي( تجربي طور به توان مي . آيد فراهم نيز فرمول پايداري تا باشد

را يابي برون عمليات توان مي ، بود منفي پاسخ چنانچه .خير يا ميماند باقي يكسان بعد مرحله به مرحله يك از.داد خاتمه

NND ,1,1D

فرادرس

FaraDars.org

لبراي مشتق گيري عددي مرتبه اوريچاردسون مثال فرمول

براي h=25.0 و )2,2D( N=2 ازاي به ريچاردسون يابي برون فرمول روش به را f)x(=xe تابع مشتق )مثالf مقدار زدن تقريب ’ .نماييد محاسبه (1)

:يمنماي استفاده تابع اول مشتق محاسبه براي قبل هاي فرمول از تا است كافي سوال، اين به پاسخ براي )حل

1.25 0.75

1.125 0.875

4( ) 2.7466850.5

4( / 2) 2.7253660.25

e eD a h

2,2 2,1 1,14 1 2.718259

4 1 4 1D D D

فرادرس

FaraDars.org

براي فرمول برون يابي ريچاردسون MATLABبرنامه

function derive(f,h,a,n)% Approximate the derivative of a function at x=adisp(' Derivative table')disp('__________________________')disp(' i h Di,1 Di,2 Di,3 ... ')disp('__________________________')D(1,1)=(feval(f,a+h)-feval(f,a-h))/(2*h);fprintf('%2.0f %8.4f %12.4f\n',1,h,D(1,1));for i=1:n-1

h=h/2;

D(i+1,1)=(feval(f,a+h)-feval(f,a-h))/(2*h);

fprintf('%2.0f %8.4f %12.4f',i+1,h,D(i+1,1));

for k=1:iD(i+1,k+1)=D(i+1,k)+(D(i+1,k)-

D(i,k))/((4^k)-1);fprintf('%12.4f',D(i+1,k+1));

endfprintf('\n');

x=a معلوم اي نقطه در تابع يك عددي گيري مشتق جهتderive.m بنام زيرMATLAB برنامهdf/dx)) تابع ها ورودي .باشد مي ريچاردسون فرمول از استفاده با f، مقدار h، مشخص نقطه a تعداد و

.هستند n يعني ها سطر

فرادرس

FaraDars.org

حل مثال فرمول برون يابي ريچاردسون به مربوطه MATLABكمك برنامه

>> f = @(x)(exp(x)); % or f=inline(‘exp(x)’)>> derive(f,0.25,1,6)

Derivative table_________________________________________________________i h Di,1 Di,2 Di,3 ...

_________________________________________________________1 0.2500 2.74672 0.125000 2.725366 2.718259673 0.062500 2.720052 2.71828045 2.718281834 0.031250 2.718724 2.71828174 2.71828183 2.718281835 0.015625 2.718392 2.71828182 2.71828183 2.71828183 2.718281836 0.007813 2.718309 2.71828183 2.71828183 2.71828183 2.71828183 2.71828183

فرادرس

FaraDars.org

براي مشتق گيري عددي Matlabنحوه نوشتن كد مرتبه اول برداري

بعدي nمشتق گيري مرتبه اول از توابع يك بعدي و دو بعدي تا : gradientدستور •• [fx]=gradient(F) گراديان يا مشتق مرتبه اول يك بعدي تابع • [fx,fy]=gradient(F) تابعبعدي يا مشتق مرتبه اول دو گراديان • ...

: 1مثال•>> F=[2 1 5 -1];>> [fx]=gradient(F) fx = -1 1.5 -1 -6

:2مثال •>> F=[2 3 -1 5; 3 -2 0 1];>> [fx,fy]=gradient(F) fx =[1.0 -1.5 1.0 6.0;-5.0 -1.5 1.5 1.0]

fy =[1 -5 1 -4; 1 -5 1 -4]

فرادرس

FaraDars.org

براي مشتق گيري عددي مرتبه دوم Matlabكد )الپالسين(

:laplacianدستور •x laplacian(f,x)بر حسب بردار fمحاسبه الپالسين تابع –

>> syms x y z>> f(x, y, z) = 1/x + y^2 + z^3;>> L = laplacian(f, [x y z]) L(x, y, z) = 6*z + 2/x^3 + 2

laplacian(f)به صورت سمبوليك fالپالسين تابع محاسبه –>> syms x y t>> f= 1/x^3 + y^2 - log(t);>>laplacian(f) ans = 1/t^2 + 12/x^5 + 2

):مشتق مرتبه دوم(معادل با محاسبه پالسين Matlabدستورات ديگر •• >> laplacian(f,[x,y]) == divergence(gradient(f(x, y)), [x y])

).(2 fff

فرادرس

FaraDars.org

براي مشتق گيري Matlabنمونه برنامه هاي دوبعدي و سه بعدي

:و سه بعدي براي مشتق گيري از توابع دوبعدي gradientدستور •• [fx,fy]=gradient(f,hx,hy)• [fx,fy,fz]=gradient(f,hx,hy,hz)

فرادرس

FaraDars.org

روش هاي انتگرال گيري عددي

فرادرس

FaraDars.org

روش هاي انتگرال گيري عددي:)ريمان مجموع( مجموع عبارت برمبناي انتگرال تقريب•

.دارند بستگي استفاده مورد روش به iA وزني مقادير و ix نقاط•:عددي گيري انتگرال هاي روش بندي دسته•

)مساوي فواصل( كوتز-نيوتن•

Trapezoidal( اي ذوزنقه روش• Numerical Integration Method(سيمپسون•

)نامساوي فواصل( گوس روش•

اي جمله چند تقريب از استفاده با موضعي يابي ميان مبناي بر•

axfAdxxfI

Pn-1(x)

فرادرس

FaraDars.org

روش هاي انتگرال گيري عددي:كوتز-نيوتن•

.h مساوي فاصله (n-1) به [a,b] فاصله تقسيم•

.داده نقاط از عبوري (n-1) درجه اي چندجمله تقريب•

الگرانژ اي جمله چند•

الگرانژ اي چندجمله تقريب از استفاده با انتگرال تقريب•

dxxLAxfA

dxxLxf

iiin xLxfxP

11 )()()(

Pn-1(x)

فرادرس

FaraDars.org

ادامه روش هاي انتگرال گيري عدديكوتز-نيوتن روش انتگرال عددي محاسبه هاي شيوه مبناي•كوتز-نيوتن روش بر مبتني متداول هاي شيوه و قواعد•

نقطه n=2 با )Trapezoidal( اي ذوزنقه قاعده•.)n=3( 1/3 سيمپسون•

.)n=4( 3/8 سيمپسون•

:نكته *اي ذوزنقه قاعده روش :روش مهمترين •.شود مي نتيجه رامبرگ گيري انتگرال مفيد روش ريچاردسون، يابي برون روش با تركيب با •

فرادرس

FaraDars.org

روش هاي انتگرال گيري عدديروش قاعده ذوزنقه اي -1

:)n=2 نقطه دو براي( اي ذوزنقه قاعده روش •

axxxxxl

bxxxxxl

cfabIdxxfE

bfafhI

فرادرس

FaraDars.org

:)نقطه n براي( مركب اي ذوزنقه قاعده روش •

],[,)(12

)()(2)(2

)(,)()(2

bafhabE

xfxfxfh

dxxfIxfxfhI

روش هاي انتگرال گيري عددي)ادامه(روش قاعده ذوزنقه اي -1

فرادرس

FaraDars.org

ايمثالي از انتگرال گيري به شيوه قاعده ذوزنقه

همچنين .بزنيد تقريب را انتگرال حاصل n=1,2 ازاي به مركب اي ذوزنقه قاعده از استفاده با )1مثالكنيد؟ محاسبه I=98.4277 انتگرال حاصل دقيق مقدار ازاي به را نسبي و مطلق خطاهاي مقدار

:داريم زيربازه n=1 تعداد ازاي به مركب اي ذوزنقه قاعده از استفاده با )مثال حل

Eabs=|98.4277-271.1548|=172.7271 Erel=Eabs/Ireal=172.7271/98.4277=1.7549+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

:زيربازه n=2 تعداد ازاي به مركب اي ذوزنقه قاعده از استفاده حال

Eabs=|98.4277-150.7031|=52.2754 Erel=Eabs/Ireal=52.2754/98.4277=0.5311

2 dxex x

1548.271)3()0(233

2 ffdxexI x )()(2

bfafhI

7031.150)5.1(23)3()0(

2 fffdxexI x

)()(2)(2 321 bxfhaxfaxfhI

فرادرس

FaraDars.org

ايمثالي از انتگرال گيري به شيوه قاعده ذوزنقه

.بزنيد تقريب را انتگرال n=5 گرفتن نظر در با و مركب اي ذوزنقه قاعده از استفاده با )2مثال

:داريم زيربازه n=5 تعداد ازاي به و اي ذوزنقه قاعده از استفاده با )مثال حل

6 )147( dxx

276288.9]21

34.213064.151147.14008.147[101)]1()8.0(2

)6.0(2)4.0(2)2.0(2)0([101)147(

ffffdxxI

)()(2)(2

ii xfxfxfhI

276288.9I

فرادرس

FaraDars.org

ايانتگرال گيري به شيوه قاعده ذوزنقه تقريب خطا در

:)زيربازه n=2 تعداد براي( اي ذوزنقه قاعده روش در خطا تقريب •

:انتگرالها براي متوسط مقدار قضيه طبق•• Mean value theorem for integral

:داده نقطه n براي كل خطاي •

مطلق قدر M و h=(b-a)/n آن در كه باشد مي زير قرار به مركب اي ذوزنقه گيري انتگرال روش به مربوط برش خطاي• اكسترمم مقدار:باشد مي [a,b] بازه در تابع

))()((!2

1)()( 11

dxxxxxfdxxpxfE i

1))(()(!2

x iiii fhhfdxxxxxfE i

)()(112

)()(12

1 fhabf

nhabfhEE

iitotal

MabhET )(12

فرادرس

FaraDars.org

ايمثال تعداد بازه انتگرال گيري به شيوه قاعده ذوزنقه

؟10-10 تدق با و اي ذوزنقه قاعده شيوه به زير انتگرال حاصل تقريب براي الزم فاصله زير تعداد محاسبه مطلوبست )مثال

==================================================================================================:داريم منظور اين براي )حل

آن اكسترمم مقدار و است پيوسته تابع دوم مشتق f يعني x=0 در ”(x=0)=2 دهد مي رخ:

0 112ln dx

32 )1(2)(,

)1(1)(,

]1,0[,2)( f

100825.41061101

12)()(01

12)01()(

nfhabE

5min n

فرادرس

FaraDars.org

روش انتگرال گيري عددي با قاعده ذوزنقه اي Matlabبرنامه function trapez(f,a,b,n)% Compute the integral of a f from a to b

using the %trapezoid ruleh=(b-a)/n;disp('______________________________')disp([' i xi f(xi)

h=',num2str(h) ])disp('______________________________')S=feval(f,a);fprintf(' %2.0f %12.4f %14.6f\n',0,a,S);

for i=1:n-1x=a+h*i;g=feval(f,x);S=S+2*g;fprintf(' %2.0f %12.4f %14.6f\n',i,x,g);

endS=S+feval(f,b);fprintf(' %2.0f %12.4f

%14.6f\n',n,b,feval(f,b));INT=h*S/2;fprintf('\n The intergral of f(x) is

=%16.8f\n',INT);

فرادرس

FaraDars.org

نقاط در 2 درجه اي جمله چند يك از حاصل يابي درون با را تابع ،)1/3( سيمپسون روش در • داده نشان زير شكل در آنچه مشابه محاسبات انجام در h و n براي دو مقدار گرفتن نظر در با سپس و زده تقريب :آيند مي تبدس روش اين خطاي همراه به زير سيمپسون گيري انتگرال فرمول تيلور، سري از استفاده با و است شده

:باشد مي زير قرار به مركب سيمپسون گيري انتگرال روش به مربوط برش خطاي•:باشد مي ]b,a[ بازه در x()4(f( تابع اكسترمم مقدار مطلق قدر M و =h)n/)a-b آن در كه

,...4,2

,...3,10

432210

ffffhI

fffhfffhI

11 ,, iii xxx

روش هاي انتگرال گيري عددي1/3روش سيمپسون -2

MhabE180

فرادرس

FaraDars.org

1/3ون شيوه قاعده سيمپسعددي به گيري براي انتگرال مثال

.كنيد حل را معين انتگرال ساده سيمپسون قاعده از استفاده با )مثال

===========================================================================:داريم منظور اين براي )حل

2 dxex x

55252.110

)3()5.1(4)0(21

)4(3 210

fffhdxex x

فرادرس

FaraDars.org

روش انتگرال گيري عددي با قاعده سيمپسون Matlabبرنامه function simpson(f,a,b,n)% Compute the integral of a f from a to b using

Simpson's% composite rule. n must be even.if n/2~=floor(n/2)

disp(' n must be even')break

end; h=(b-a)/n;disp('__________________________________')disp([' i xi f(xi) h=',num2str(h)

])disp('__________________________________')S=feval(f,a);

fprintf(' %2.0f %12.4f %14.6f\n',0,a,S);for i=1:n/2

m=2*i-1;x=a+h*m;g=feval(f,x);S=S+4*g;fprintf(' %2.0f %12.4f %14.6f\n',m,x,g);m=2*i;x=a+h*m;g=feval(f,x);if(i==n/2)

S=S+g;else

S=S+2*g;end;fprintf(' %2.0f %12.4f %14.6f\n',m,x,g);

endINT=h*S/3;fprintf('\n The intergral of f(x) is =%16.8f\n',INT);

فرادرس

FaraDars.org

.باشد مي رومبرگ، )تربيع( سازي چهارم يك الگوريتم گيري، انتگرال مشهور و كاربرد پر هاي روش از ديگر يكي .باشد مي استوار ريچاردسون يابي برون با مركب اي ذوزنقه قانون تركيبي شكل از استفاده بر روش اين اساس

: كنيم مي شروع مركب اي ذوزنقه شيوه به زدن تقريب از ابتد، در -1

: از عبارتند ها پارامتر فوق فرمول درn = ها ذوزنقه تعداد h = ها زيربازه طول

از هايي توان با متناظر هاn كه است اين بر فرض سادگي براي :باشند مي 2

روش هاي انتگرال گيري عدديالگوريتم رومبرگ -3

1[ ( ) ( )] ( )

hT f a f b h f x

( 0,1, ..., )ix a ih i n

12 ( 1, 2, ...)kn k

فرادرس

FaraDars.org

با هايي بازه زير تا كنيم مي نصف را ]b,a[ بازه كه گرفت نظر در دفعاتي تعداد عنوان به را n توان مي ترتيب اين به.)روبرو شكل( آيند حاصل h)=k2)/a-b-1 طول

فرم رومبرگ، روش به گيري انتگرال بيان و طرح نمايش آغاز براي : گيريم مي نظر در مركب اي ذوزنقه قانون براي را زير جديد نوشتاري

زيربازه k2-1 به را مركب اي ذوزنقه قانون كه آيد مي بدست زماني فوق فرمول كه.باشيم كرده اعمال

روش هاي انتگرال گيري عددي)ادامه(الگوريتم رومبرگ -3

,1 1 11

[ ( ) ( )] ( ), 1, 2, ...2 2 2

k k k ki

b a b a b aR f a f b f a i k

فرادرس

FaraDars.org

:كنيم مي جايگزين را k2-1 و )k2)/a-b-1 ترتيب به n و h جاي به فوق فرمول در حال

براي ليك بازگشتي رابطه استقراء، شيوه به .باشند مي : كه باشيد داشته توجه

,1 1 11

[ ( ) ( )] ( ), 1, 2, ...2 2 2

k k k ki

b a b a b aR f a f b f a i k

[ ( ) ( )]2

[ ( ) ( )] ( )4 2 2

[ ( ) ( )] ( )8 4 2

b aR f a f b

b a b a b aR f a f b f a

b a b a b aR f a f b f a i

1,12,1

( )2 2 2

1[ ( )]2 4 2 2

R b a b aR f a

R b a b aR f a i

فرادرس

FaraDars.org

زير فرمول صورت به =n,…,3,2k براي kR-1,1 جمالت ازاي به و kR,1 براي كلي بازگشتي رابطه استقراء، شيوه به:آيد مي بدست

.كاربرد به nR,…,1,3R,1,2R,1 مقادير دنباله محاسبه براي 1,1R مقدار داشتن با توان مي را فوق بازگشتي رابطه

رد كه است، نشده وارد محاسبات در كردن گرد از حاصل خطاي هيچگونه كه است شده فرض فوق، هاي فرمول در .است شده سازي پياده و استفاده I انتگرال محاسبه براي ريچاردسون يابيي برون روش اينصورت

,1 1 21

1[ ( )]2 22 2

kk k k

R b a b aR f a i

فرادرس

FaraDars.org

قابل زير فرم به انتگرال محاسبه از حاصل خطاي بازه، زير n2-1 تعداد روي بر مركب اي ذوزنقه قانون اعمال با:است نمايش

.هستند آن مشتقات و f(x) از توابعي ... و C، D، E فوق فرمول در كه 1,2R و 1,1R از استفاده با را I انتگرال مقادير نمونه طور به ريچاردسون، يابي درون روش با فوق مراحل انجام براي

:زنيم مي تقريب

2 4 61( ) ( ) ( ) ...

b aC h D h E h with h

2 41,1

( ) ( ) ...

( ) ( ) ...4 16

I R C h D h

h hI R C D

فرادرس

FaraDars.org

:آيند مي بدست روبرو قرار به I انتگرال براي ديگري تخمين فوق، هاي فرمول تركيب با

آن كه آيد مي بدست جديدي تخمين روش، اين كردن دنبال با .كند مي حذف را 4h(D( خطاي جمله يابي برون اين:دهيم مي نمايش زير بصورت را

خواهد k2h(O( مرتبه از k,iR جمله برش خطاي روش اين در .باشند مي i,…,3,2=k و n,…,3,2=i درآن كه .شود مي هناميد رومبرگ )سازي چهارم يك( تربيع الگوريتم انتگرال، محاسبه براي فوق تقريب ترتيب، بدين .بود

2 41,1

( ) ( ) ...

( ) ( ) ...4 16

I R C h D h

h hI R C D

2,1 1,1

1, 1 1, 1

ki k i k

فرادرس

FaraDars.org

الگوريتم رومبرگگيري به شيوه براي انتگرال مثال

تقريب رومبرگ الگوريتم از 2,2R جمله محاسبه با را معين انتگرال عددي مقدار )مثال.بزنيد

===========================================================================:داريم منظور اين براي )حل

2 dxex x

3 [ (0) (3)] 271.15474823 3 3[ (0) (3) ( )] 150.7030754 2 2

R f f f

2,1 1,12,2

4110.552517

فرادرس

FaraDars.org

:باشد مي نمايش قابل زير قرار به رومبرگ )دنباله( آرايه جدول كل در

2,1 2,2

3,1 3,2 3,3

4,1 4,2 4,3 4,4

,1 ,2 ,3 ,4 ,

. . . . .

. . . . .. ..n n n n n n

RR RR R RR R R R

R R R R R

فرادرس

FaraDars.org

الگوريتم رومبرگگيري به شيوه دوم براي انتگرال مثال

انتگرال عددي مقدار محاسبه براي را رومبرگ جدول از اول سطر شش هاي درآيه مقادير )مثال.كنيد محاسبه

===========================================================================:گيريم مي نظر در را زير فرضيات ابتدا )حل

:گردد مي پذير امكان را محاسبات ادامه 1,2R و 1,1R آغازين مقادير محاسبه با

6)147( dxxI

6( ) 7 14 , 0, 1, 6f x x a b n

1,11 0 1[ (0) (1)] [7 21] 14

2 2R f f

2,11 0 1 0 1 0[ (0) (1)] (0 ) 10.609375

4 2 2R f f f

فرادرس

FaraDars.org

الگوريتم رومبرگگيري به شيوه مثال دوم براي انتگرال

و 1,1R مقادير جايگذاري و بازگشتي رابطه از استفاده با حال، )مثال حل ادامه

1,2R داشت خواهيم آن در:

1, 1 1, 1

ki k i k

2,1 1,12,2

4(10.609375) 14 9.47916666673

2,13,1

1 1 1 1 3[ ( , ) ( , )] 9.428446679692 4 2 2 2 2

RR f f

3,1 2,13,2

49.0348307292

3,2 2,24

9.00520833333

R R 3,3R

فرادرس

FaraDars.org

به شيوه الگوريتم رومبرگگيري عددي انتگرال Matlabبرنامه function romberg(f,a,b,n)% Compute the integral of f on [a,b] using

Romberg %integration.fprintf('\n')disp(' Romberg table')disp('_______________________________

_________')disp(' i h Ri,1 Ri,2 Ri,3 ...

')disp('_______________________________

_________')h=b-a;R(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2;fprintf('%2.0f %8.4f

%12.4f\n',1,h,R(1,1));m=1;

for i=1:n-1h=h/2;S=0;

for j=1:mx=a+h*(2*j-1);S=S+feval(f,x);

end R(i+1,1)=R(i,1)/2+h*S;fprintf('%2.0f %8.4f

%12.4f',i+1,h,R(i+1,1));m=2*m;for k=1:i

R(i+1,k+1)=R(i+1,k)+(R(i+1,k)-R(i,k))/(4^k-1);

fprintf('%12.4f',R(i+1,k+1));end fprintf('\n');

فرادرس

FaraDars.org

به منظور انتگرال گيري عددي Matlabمعرفي برخي توابع

وفقي )سازي چهارم يك( تربيع روش بر مبتني عددي گيري انتگرال منظور به تابعي : integral تابع -1سمبوليك نوع تابع يك از معين نا يا معين تحليلي گيري انتگرال براي دستوري :int تابع -2

Example 1:

>> integral(@(x)(exp(x).*x.^2),0,1) ans = 0.7183

>> syms x; f= exp(x)*x^2; int(f,0,1) subs(exp(x)*(x^2 - 2*x + 2),1)-subs(exp(x)*(x^2 -2*x + 2),0) = exp(1)-2 = 0.7183

Example 2:

>> integral(@(x)(x.^2.*sqrt(1+x.^2)),0,2) ans = 4.8507

>> syms x; f= x.^2.*sqrt(1+x.^2); double(int(f,0,2))

01x x dx

2 dxex x

فرادرس

FaraDars.org

به منظور انتگرال گيري عددي Matlabادامه معرفي برخي توابع

.اي ذوزنقه قاعده روش بر مبتني عددي گيري انتگرال منظور به تابعي : trapz تابع -3Z : تابع اين از استفاده كلي فرم = trapz(X,Y) از منظور آن در كه X و Y مقادير بردار ترتيب به xو ها زيربازه هاي .باشد مي X بردار از درآيه هر با متناظر y مقادير بردار

Example:

:مساوي فواصل با هايx بر مبتني اي ذوزنقه قاعده روش به عددي گيري انتگرال كمك به حل -

>> X= 0:pi/100:pi; Y= sin(X); Z = trapz(X,Y) or Z = trapz(Y) * pi/100 Z = 1.9998

:مساوي نا فواصل با هايx بر مبتني اي ذوزنقه قاعده روش به عددي گيري انتگرال كمك به حل-

>> X= sort(rand(1,101),*pi); Y= sin(X); Z = trapz(X,Y) or Z = trapz(Y) * pi/100 Z = 1.9984

2)0cos()cos()sin( dxx

فرادرس

FaraDars.org

سيمپسون روش بر مبتني عددي گيري انتگرال منظور به تابعي :quad تابع -4

q : تابع اين از استفاده كلي فرم = quad(fun,a,b,tol) ورودي هاي آرگومان آن در كه fun، a، b و tol ترتيب به .باشند مي عددي گيري انتگرال خاتمه تلورانس و انتگرال باالي حد و انتگرال پايين حد دار، دسته تابع

Example:

:سيمپسون قاعده روش به عددي گيري انتگرال كمك به حل -

>> F = @(x)1./(x.^3-2*x-5); Q = quad(F,0,2); Q = -0.4605

0 3 4605.052

1 dxxx

فرادرس

FaraDars.org

:شده معرفي عددي گيري انتگرال توابع از منشعب MATLAB افزار نرم دستورات از برخي-

• integral2, integral3: دستور مشابه integral گانه سه و دو توابع براي البته

•quad2d: روش به دوگانه انتگرال عددي محاسبه tiled

•quadgk: وفقي رود كرون-گوس تربيع روش به انتگرال عددي محاسبه

•quadv, quadl: تابع توسط شده جايگذاري( انتگرال عددي محاسبه integral جديد هاي نسخه در(

•dblquad: تابع توسط شده جايگذاري( گانه دو انتگرال عددي محاسبه integral2 جديد هاي نسخه در(

•triplequad: تابع توسط شده جايگذاري( گانه سه انتگرال عددي محاسبه integral3 جديد هاي نسخه در(

فرادرس

FaraDars.org

فرادرس

FaraDars.org

اين اساليد ها بر مبناي نكات مطرح شده در فرادرس» MATLABآموزش محاسبات عددي پيشرفته به كمك نرم افزار«

.تهيه شده است

.براي كسب اطالعات بيشتر در مورد اين آموزش به لينك زير مراجعه نماييد

فرادرس

FaraDars.org

آموزش محاسبات عددی - بخش چهارم

Education

آموزش ترمودینامیک ۲ بخش چهارم

محاسبات عددی

شماره چهارم نشریه پیام دانشجو

ارزیابی و نقد نظریۀ اعجاز عددی...

ایران نامه سال چهارم شماره 3

آموزش سیستم های عامل - بخش چهارم

فنون مذاکره فصل چهارم

فصل چهارم (ادامه)

آموزش محاسبات عددی - بخش پنجم

محاسبات عددی در مهندسی پزشکی...

ایران نامه سال چهارم شماره 2

دوره آثار افلاطون / جلد چهارم

ایران نامه سال چهارم شماره 4

كتاب چهارم موسسه روحی

پیک هفتگی مردادماه 1391 هفته چهارم

مبحث چهارم: ساختارهای کنترلی

شماره چهارم نشریه هفت

4 (اصول محاسبات در پمپ ها)

به نام خدا محاسبات عددی روش های...

شماره چهارم اصلی نشریه هفت